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2014年1月线代B试题(A卷)

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A 的特征值为 λ1 = λ2 = 0, λ3 = 2. p = ) 证明: 与齐次线性方程组 A→ x = 0 的基础解系等价的线性无关向量组也是该方程组的基础解系. 八. (10 分) 在 R4 中, 向量 α 在基 α1 = (1, 1, 0, 0), α2 = (0, 1, 1, 0), α3 = (0, 0, 1, 1), α4 = (0, 0, 0, 1) 下的坐标 为 (2, 3, 1, 2), : 求 α 在基 β1 = (1, 2, 0, 0), β2 = (0, 2, 3, 0), β3 = (0, 0, 2, 4), β4 = (3, 0, 0, 2) 下的坐标. 所求坐标为:( 13 , 7 , 11 , 1 ). 8 8 16 8 九. (10 分) 设 α = (a1 , a2 , a3 )T , β = (b1 , b2 , b3 )T , 且 αT β = 2, A = αβ T , (1) 求 A 的特征值, (2) 求可逆矩 阵 P 及对角阵 Λ, 使得 P −1 AP = Λ. b2 0 b3 0 −b1 a1 a2 , Λ = diag(0, 0, 2). a3
1 √ 2 1 −√ 2
0
1 √ 6 1 √ 6 2 −√ 6
y1

2 2 2 y2 . 标准型为 f = −2y1 + 2y 2 + 4y 3 . y3
六. (16 分) 讨论 a, b 为何值时, 方程组 出其解.

x + ay + a2 z = 1
2 2 五. (12 分) 用正交变换化二次型 f = x2 1 + x2 + 2x3 − 2x1 x2 + 4x1 x3 + 4x2 x3 为标准型, 并写出所用正交变换
a
b
c
x1

及 f 的标准型.
x1


正交变换为 x2 = x3
1 √ 3 1 √ 3 1 −√ 3
有唯一解? 有无穷多解? 无解? 并在有解时求 x + ay + abz = a bx + a2 y + a2 bz = a2 b
a2 (1 − b) b(a2 − 1) a−1 , x2 = 2 , x3 = . 当 a = 0 时无 a−b a − ab ab − a2 解; 当 a = b ≠= 1 时无解; 当 a = b = 1 时有无穷多解, 通解为 x1 = 1 − k1 − k2 , x2 = k1 , x3 = k2 . 当 a ̸= 0 且 a ̸= b 时, 方程组有唯一解: x1 =
α1 , α2 为极大无关组 α3 = α1 − α2 , α4 = α1 − 2α2 , α5 = α1 + α2 . (答案不唯一.) b −a d x2 四. (10 分) 设 A = c −d −a x , a, b, c, d 是不全为 0 的实数, 求 xi (i = 1, 2, 3, 4) 及数 k, 使 B = kA 为 3 d c − b x4 正交矩阵. 1 x1 = d, x2 = −c, x3 = b, x4 = −a; 或 x1 = −d, x2 = c, x3 = −b, x4 = a; k = ± √ . 2 2 a + b + c2 + d2
1
武汉大学 2013 – 2014 学年第一学期
《线性代数 B》(工科 54 学时) 试题
一. (8 分) 在 n 阶行列式 D 中, 如果把第一列移到最后一列, 而其余各列保持原来次序各向左移动了一列, 得到 行列式 ∆, 问行列式 ∆ 与 D 有何关系？∆ = (−1)n−1 D. −1 1 −1 −1 , (1) 求 An . (n 为正整数). (2) 设 A2 + AB − A = E, 求 |B |. 二. (12 分) 设矩阵 A = −1 −1 1 −1 −1 −1 −1 1 5 A 为奇数时,An = 2n−1 A; A 为偶数时, An = 2n E ; |B | = − . 16 三. (15 分) 求下列向量组的一个最大线性无关组, 并用它线性表出向量组中的其余向量. α1 = (3, 1, 2, 5), α2 = (1, 1, 1, 2), α3 = (2, 0, 1, 3), α4 = (1, −1, 0, 1), α5 = (4, 2, 3, 7). 1 −1 −1 −1

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2014线代B 答案(1)

2014线代B 答案(1)

二．选择题：（每题5分，共20分）
1.齐次线性方程组 有非零解，则 ______。
（A） (B) (C) (D)
2．设A,B为n阶可逆阵，k为正整数，下式中不成立的是_______。
（A） （）
（C） （D）
3.关于矩阵的秩，下式中正确的是_______。
（A） （B）
（C） （D）
4.设 是3维向量，则下列命题正确的为_______。
（A）向量组 线性相关。
（B）如果 线性无关,则 线性无关；
（C）如果 线性相关, 线性相关，则 线性相关；
（D）如果 不能由 线性表示,则 线性无关.
三．计算与证明（每题12分，共60分）
1．已知行列式，求 。
2.设 ，且 ，求 。
3.已知方程组 ，问 取何值时，此方程组（1）有唯一解，（2）无解，（3）有无穷多解？
4.设向量组： .
求：（1） 为何值时，该向量组的秩等于 ；
（2）求该向量组的一个最大无关组.
5.设 ，且向量组 线性无关，
证明向量组 线性无关。
2014线性代数A卷答案

2014线性代数A卷答案

20142学期《线性代数》考试A 卷答案及评分标准一、选择题(每题2分，共计20分)1-5 D C C A C 6-10 C A A A C二、填空题(每题2分，共计20分)1、-122、1或33、10123321015432176543---⎛⎫⎪-⎪ ⎪⎪⎝⎭4、1815、28a6、11121321111222231331323322()2a a a a a a a a a aa a -⎛⎫⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭7、R （A ）=R （A ，b ）或线性方程组系数矩阵的秩与线性方程组增广矩阵的秩相等。

8、21,αα3,α 9、无 10、16三、证明题(每题10分，共计20分)1、证明：线性方程组的系数矩阵为A=1100011000111001-⎛⎫⎪-⎪ ⎪-⎪-⎝⎭； （1分） 线性方程组的增广矩阵为12341100011000111001a a A a a -⎛⎫⎪-⎪= ⎪-⎪-⎝⎭； （1分） 又线性方程组有解的充分必要条件为R （A ）=R （A ）， （2分）12341100011000111001a a a a -⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎪-⎝⎭~12314110001100011011a a a a a -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪-+⎝⎭~123214110001100011011a a a a a a -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪-++⎝⎭~12332141100011000110a a a a a a a -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪+++⎝⎭（4分）∴3214a a a a +++=0 （2分） 证毕。

2、证明：假设存在一组数12,r k k k ，使得02211=+++r r k k k βββ 成立， （2分）即++++++++++p r p r r k k k k k k ααα)()()(2211 0=+r r a k 因向量组r a a a ,,,21 线性无关，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++=+++000221r r r k k k k k k ⇔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00010011011121 r k k k ，因为01100110111≠= ,(6分） 故方程组只有零解，即当且仅当021====r k k k ，故r βββ,,,21 线性无关. （2分）四、计算题（共计40分）1、解：将第2，3…n 列都加到第一列得：(3分)()()()()1111a n bb b b a n b a bb a n b b a b a n b bba+-+-+-+-D =[]11(1)1b b b a b b a n b b a b =+-(4分)(1分)2、解：由 B AX X +=2，得 B X A E =-)2(. 因为032110111|2|≠=--=-A E ，所以矩阵A E -2可逆， (2分) B A E A E B A E X |2|*)2()2(1--=-=- 求出1(2)E A --得(4分)或者(2)E A E -=110100101010102001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭~1((2))E E A --=10002/31/301012/31/300101/31/3⎛⎫ ⎪- ⎪⎪-⎝⎭,即1(2)E A --=02/31/312/31/301/31/3⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ X = 02112211321303330110311--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪--=-⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2分) 3、解：非齐次线性方程组的增广矩阵为()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----==b a A B 1223131121β⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---225050501121~b a []10011101201j c bc a b a (n )b a b j ,,nab--======+--=-[]1(1)().n a n b a b -=+--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++---320010101121~b a (2分) 所以（1）当3,2-≠-=b a 时，()()B R A R ≠，非齐次线性方程组无解； (2分)（2）当2-≠a 时，()()3==B R A R ，非齐次线性方程组有唯一解； (2分)（3）当3,2-=-=b a 时，()()3<=B R A R ，非齐次线性方程组有无穷多解，(2分)当3,2-=-=b a 时，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---000010101101~000010101121~B =R (4分) 矩阵R 对应的线性方程组为1321,1.x x x -=⎧⎪=-⎨⎪⎩把3x 看成自由未知数，取3x =k,k 为任意实数得1231,1.x k x x k=+⎧⎪=-⎨⎪=⎩所以，其通解为123111*********x k k x x k x k k +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（其中k 为任意实数.） 4、解 (1) A 的特征多项式为|A -λE|=λλλ---111011002=(1-λ)2(2-λ)所以A 的特征值为λ1=2, λ2=λ3=1. (4分)当λ1=2时,解线性方程组(A-2E)x =0.由A-2E=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--111011000∽⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--00021102101得基础解系x 1=(1/2，1/2，1)T所以对应于λ1=2的所有特征向量为k 1 x 1 （k 1≠0）当λ2=λ 3 =1时,解线性方程组(A-E)x =0.由 (4分)A- E=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011001001∽⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000010001得基础解系x 2=(0，0，1)T所以对应于λ2=λ 3 =1的所有特征向量为k 2 x 2 （k 2≠0） (4分)。

武汉理工大学 2014-2015第一学期现代试卷A答案

武汉理工大学 2014-2015第一学期现代试卷A答案

方式二：
向量组1,2 ,3 线性相关，知 R(2 ,3,1) R(1,2,3) 3 -----------1 分 向量组2 ,3,4 线性无关，知 R(2 ,3,4 )=3.
由整体无关则部分无关，知2 ,3 也线性无关。---------------------2 分
而 R(2 ,3,1) R(2 ,3) 2 ，综上知
--------------6 分
A卷3
A卷4
1 1
1 2 1, 3 2 为特征值
1 1
当 1 1解方程组 (A E)x 0 ，得正交的的特征向量为 p1 1 , p2 1
0
2
1
当
3
2
解方程组 ( A
2E)x
0
得
p3
1
为对应特征向量
1
故所求正交矩阵 P 为
1
1
1
2
P(
p1
,
p2
,
p3
) 1
p1 p2 p3 2
…
…
31
11
… …
4 31 23 若 1,4 是最大无关组，则3 2 1 2 4 ，2 2 1 2 4
…
4. k=-2.
装
订
线
… … … …
A卷1
四、（本题 15 分）
（1）a=-8,b≠1,无解；--------------6 分
（2）a≠-8,唯一解；--------------8 分
,3
线性表示。-----------------6
分
第二部分还可以用反证法：假设即4 能由1,2 ,3 线性表示，由于1 能由2 ,3 线性表示，
且表示法唯一，故4 能由2 ,3 线性表示，------------5 分
2014-2015(1)期末考试试卷(A)(线性代数)

2014-2015(1)期末考试试卷(A)(线性代数)

考试课程：班级：姓名：学号：-------------------------------------------------密----------------------------------封-----------------------------线---------------------------------------------------------第1页(共1页)3、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100152321A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=141B ，利用初等变换求1-A ，并求解求矩阵方程B AX =。

4、设有向量组TTTT---=--=-==)1,1,3,4(,)3,1,0,3(,)7,1,3,2(,)0,0,1,1(4321αααα，（1）求此向量组的秩和一个极大无关组；（2）将其余向量用极大无关组线性表示。

5、设四元非齐次线性方程组b Ax =的系数矩阵A 的秩为3，已知4321,,,ηηηη是它的四个解向量，且T )2,2,0,1(1=η，T )8,2,5,1(432=++ηηη，求其通解。

6、λ为何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=++-=++223321321321x x x x x x x x x λλλλ有唯一解？无解？有无穷多组解？7、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1010111a a A 与⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=b B 10相似，求b a ,的值。

8、求一个正交变换，将二次型2123222132142),,(x x x x x x x x f -+-=化为标准形。

9、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=30201t t t t A ，且A 为正定矩阵，求t 的取值范围。

三、证明题（每小题6分，共12分）1、设向量组321,,ααα线性无关，321αααβ++=，证明：1αβ-、2αβ-、3αβ-线性无关。

2、设A 是正交矩阵，证明：A 的特征值为1或1-。

考试课程：班级：姓名：学号：-------------------------------------------------密----------------------------------封-----------------------------线---------------------------------------------------------满分8分得分4、满分8分得分5、满分8分得分满分8分得分7、满分8分得分8、满分8分得分满分8分得分三、证明题1、满分6分得分2、满分6分得分。