高等代数2011

2011学年第一学期 高等代数Ⅰ(A 卷)一、选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 1. 注：此题不考2. 已知方阵33()ij A a ⨯=的第1行元素*732537425A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭分别为111=a ，212=a ，113-=a ，且知A 的伴随矩阵，则A =（ B ）A . 0B . -1C . 1D . 以上答案都不对 分析： A 的第一行元的代数余子式111213,,A A A 就是*A 的第一列元-7,5,4所以按照A 的第一行元展开得111112121313=1-7+25+-=-A a A a A a A =++⨯⨯⨯（1）41。

注意：行列式按本行（列）展开的值为A ，串行（列）展开的值为“0” 内容见课本78页定理3.3. 下列命题中与命题“n 阶方阵A 可逆”不等价．．．的是（ ） A . 0A ≠ B . ()R A n =C . 方程组0Ax =有非零解D . A 的行（列）向量组线性无关 分析：n 阶方阵A 可逆0A ⇔≠⇔判断矩阵可逆的常用方法0(A)=n A A R ≠⇔⇔满秩(A)=n A R A n n ⇔⇔的行（列）向量组的秩为n 的的个行（列）向量无关00A Ax ≠⇔=方程个数与未知数个数相等的齐次线性方程组只有零解 注意：此题改为与“n 阶方阵A 不可逆”的等价条件是？ 4. 设,A B 为n 级矩阵，则下列结论错误的是（ A ）A . AB A B +=+ B . AB BA =C . ()T T T AB B A =D . ()T T T A B A B +=+分析：A B A B +=+，纯属杜撰，无此公式AB BA =，课本175页定理1；C ，D 见课本174页公式（17）（18）. 5. 设A 为5级方阵，且()4R A =，12,αα是0AX =的两个不同的解向量，则0AX =的通解为（ A ）A . 1k αB . 2k αC . 12()k αα+D . 12()k αα- 分析：方程组0AX =含“5”个未知数，其基础解系解向量个数n-r(A)=1,1212121+--0αααααααα≠r，，，中只有，其它不能保证非零，从而无法保证无关 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）1. 以1－i 为根的次数最低的实系数多项式是 .此题不考2. 设,A B 均为3阶方阵，且1,12A B ==-，*A 为A 的伴随矩阵,则12A B *-=－2分析：312*112||||=8A 2BB A B A *--=注意：n 阶方阵A ：11*1A A ,A ,A A n n Aλλ--=== 3. 若矩阵12345(,,,,)A ααααα=经过初等行变换化为10312011010001100000⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭（阶梯型矩阵），那么向量组12345,,,,ααααα的秩为 3 ，它的一个极大线性无关组为124,,ααα.注意：初等行（列）变换不改变矩阵的秩；（矩阵求秩的原理） 初等行变换不改变列向量组的相关性；（求极大无关组依据） 初等列变换不改变行向量组的相关性；4. 当x = -1 时, 向量(,1,0)x 可由向量组12(1,1,0),(2,0,1)αα=-=-线性表出.分析：向量(,1,0)x 可由向量组12(1,1,0),(2,0,1)αα=-=-线性表出，因此3个向量构成相关组，因此111001201x x -=⇒=-- 5. 若二次型222123123121323(,,)5224f x x x x x x t x x x x x x =+++-+是正定的， 则t 的取值范围为405t -<<.分析：二次型正定，所有顺序主子式去全大于零。

华南师大 2011 年考研试卷（高等代数）
一、1．写出四条矩阵 A的秩为 r 的充要条件；
2．写出欧式空间中子空间的正交补定义；
3．写出关于多项式 f(x)的代数基本定理；
4．写出 n 阶方阵 A的伴随矩阵的定义和基本结论；
5．写出对称变换的定义。

二、写出方程组
当 a、b 为何值时，方程组有唯一解，无解，无穷多解？并求无穷多 解的通解。

三、设多项式 f(x)=x 4 +4kx+1(k 为整数)，证明 f(x)在有理数域 Q 上不 可约。

四、A、B为 n 阶方阵，证明：
r（A）+r（B）=
五、给定实二次型 f(x1,x2,x3)=x1 2 +2x2 2 +5x3 2 ­2x1x2+2tx1x3+6x2x3，试求 t 的值，使得该二次型正
定。

六、设 V 是有限维欧式空间，又 σ 为 V 的一个正交变换，记 V1= ｛α∈V|σ（α）=α｝，
V2={α­σ（α）|α∈V}，证明：
1、 V1、V2 都是 V 的子空间；
2、 V1⊥V2
3、 V=V1 V2
七、设 W1 和 W2 是 n维向量空间 V 的两个子空间，且维数之和为 n， 证明：存在 V 上的线性变换 σ，使 ker(σ)=W1,Im(σ)=W2。

北京大学数学学院期末试题2011－2012学年第一学期考试科目 高等代数I 考试时间 2012年1月3日姓 名 学 号一. （10分）已知n 阶方阵A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡111011001 , B =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡n 321332122211111 . 求矩阵X , 使得 A X = B .解: 对矩阵 [ A | B ] 作初等行变换⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1n 2101110022101101110001011110001n 3211111033211112221001111110001⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→100010000110010011100010111100012n 1001100011001001110001011110001故 X =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡100110111 .二.（15分）设 A : X A X 是R 3上的线性变换, 其中A = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡200211011.(1) 求线性变换 A 像空间的维数和一组基;(2) 求矩阵A 的特征值与特征向量;(3) 判断矩阵A 能否对角化并说明理由.解: (1) 在标准基下, A 像空间就是矩阵A 的列空间, 它的一组基为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡220011,, 维数是2 .(2)A 的特征值为λ = 2 (代数二重), 0 .对λ = 2解齐次方程组 ( A - 2 I ) X = 0 :⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--000100011000211011通解为x 1 = x 2 , x 3 = 0 , x 2 为自由变量. 写成向量形式⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0110222321x x x x x x α1 = [ 1 1 0 ] T 构成λ = 2特征子空间的一组基.22)2λ(λ)λ2λ()2λ(1λ111λ)2λ(2λ0021λ1011λλ-=--=-----=------=-|A I |对λ = 0解齐次方程组 A X = 0 :⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000100011200211011通解为x 1 = - x 2 , x 3 = 0 , x 2 为自由变量. 写成向量形式⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0110222321x x x x x xα1 = [ -1 1 0 ] T 构成λ = 0特征子空间的一组基.(3) 由于特征值 λ = 2特征子空间的维数1小于其代数重数2,A 不能否对角化.三．（35分）填空题 (多选) .1．已知3阶矩阵A 的特征值为 1, 1/2 , 0 , 相应的特征向量为[ 1 0 1 ] T , [ 0 1 0 ] T , [ 1 2 0 ] T , 则 2 A 3 – 3 A 2 = .⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-101121010100121010100002100010012101011// 2. 设A = . 当t 取 不等于1的值 时, 存在矩阵B ,使得 AB = I . 当t 取 1 时, 存在非零矩阵C , 使得 C A = 0 .3. 当 -4/5 < t < 0 时, 三元二次型x 2 + y 2 + 5 z 2 + 2 t x y – 2 x z + 4 y z 正定.4. 设α是n 维欧氏空间里的单位列向量 , 则 | I – 5 α αT | = - 4 . 注: 可计算行列式或利用 | I m –A B | = | I n –B A | .5. 在实数域上，以下诸矩阵的相抵分类是 {A,B,D},{C},⎥⎦⎤⎢⎣⎡+421211t t相似分类是 {A,D},{B},{C} , 合同分类是 {A},{B},{C},{D}.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=000010212D 103010001C 010131010B 101010101A ,,,6. 以下说法正确的有 (a)(b)(c)(d) (多选).a) 如果两个实对称矩阵相似, 它们也一定合同;b) 实方阵都能写成P Q 的形式, 其中P 是实对称矩阵, Q 是正交矩阵 c) 每个矩阵都能写成P J 的形式, P 是可逆矩阵, J 是行简化阶梯矩阵 d) 实方阵都能写成Q R 的形式, Q 是正交矩阵, R 是上三角矩阵四.（12分）判断对错, 正确的请给出证明, 错误的举出反例.1) 在包含n (n>1)个向量的向量组中, 若任意n - 1 个向量都线性 无关, 则整个向量组也线性无关.解: 此命题错误. 例如, 考察向量组 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡0201,, 其中由任意一个 向量构成的部分组都线性无关, 但整个向量组线性相关.2) 设A 是m ⨯ n 矩阵. 若存在矩阵B 与C, 使得 BA = I n , AC = I m , 则必有m = n , 且 B = C .解: 此命题正确. 由矩阵乘法的结合律, 有C = ( BA ) C = B ( AC ) = B , 于是 m = n.五.（20分）设 f = 2 x 1 x 2 + 2 x 1 x 3 + 2 x 2 x 3 是三元二次型.(1) 将 f 写成 X T A X 的形式, 并求A 的特征值与特征向量;(2) 求正交矩阵P 及对角矩阵D, 使得A = P D P T ;(3) 求二次齐次函数 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) 在单位球面 x 12 + x 22 + x 32 = 1上的最大、最小值, 并确定在何处取到.解: (1) []⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==321321T AX X f x x x x x x 011101110A 的特征值为λ = - 1 (代数二重), 2 .对λ = - 1解齐次方程组 ( A + I ) X = 0 :⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000000111111111111通解为x 1 = - x 2 - x 3 , x 2 、x 3为自由变量. 写成向量形式⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101011323232321x x x x x x x x xα1 = [ -1 1 0 ] T , α2 = [ -1 0 1 ] T 构成λ = -1特征子空间的一组基. 对λ = 2解齐次方程组 ( A - 2 I ) X = 0 :⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---000110101000112121211121112通解为 x 1 = x 3 , x 2 = x 3 , x 3为自由变量. 向量形式:)2λ()1λ()2λλ()1λ(1λ0011λ112λ1λλ101λ111λλ111λ111λλ22-+=--+=+-----=+------=------=-|A I |⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1113333321x x x x x x x 于是α3 = [ 1 1 1 ] T 构成λ = 2特征子空间的一组基.(2) 将α1 = [ -1 1 0 ] T , α2 = [ -1 0 1 ] T 正交化:令β1 = α1 ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-=2112101121101β)β,β()β,α(αβ1111222 再单位化:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==21161β||β||1γ,01121β||β||1γ222111 将α3 = [ 1 1 1 ] T 也单位化: .⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11131γ3 γ1 , γ2 , γ3 构成R 3 的标准正交基, P = [ γ1 γ2 γ3 ] 为正交矩阵, 且.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==T 3T 2T 1321γγγ211]γγγ[T P D P A (3) 做正交替换X = P Y ,f = X T A X = Y T P T A P Y = Y T D Y = - y 12 - y 22 + 2 y 32 . 由于P 正交, x 12 + x 22 + x 32 = 1 当且仅当 y 12 + y 22 + y 32 = 1.当 y 12 + y 22 + y 32 = 1时,f = - y 12 - y 22 + 2 y 32 ≤ 2( y 12 + y 22 + y 32 ) = 2,等号成立当且仅当 y 3 = ±1, y 1 = y 2= 0, 即X 取λ = 2特征子空间中的单位向量 ± γ3时成立.类似地, 当 y 12 + y 22 + y 32 = 1时,f = - y 12 - y 22 + 2 y 32 ≥ - ( y 12 + y 22 + y 32 ) = -1,等号成立当且仅当X 取λ = -1特征子空间中的单位向量时成立.六.（8分）设 A 是一个n 阶正定矩阵, 其 ( i , j ) 元记为a i j .证明: a 11 a 22 . . . a nn ≥ | A | .证法1. 对 n 应用数学归纳法.当 n = 1 时, A = a 11 = | A | , 命题成立.以下设命题对n -1成立, 考察A 是n 阶矩阵的情况.记A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-nn αT αα1n A , 其中A n-1是n - 1阶正定矩阵, α是 n - 1 维列向量. 对 A 做成对的行,列分块运算, 得⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----αααααα1-1-n 1n 1-1-n 1n 1n 1-1-n 1n A 00A 1A 0I A 1A 0I T T T T nn T nn αα 于是 | A | = | A n-1 | ( a nn - αT A n-1-1 α ) .由归纳假设, | A n-1 | ≤ a 11 a 22 . . . a n-1n-1 . 又由A n-1 正定知A n-1 的特征值都 > 0, 于是实对称矩阵A n-1-1的特征值也都大于0, 故A n-1-1 也正定. 特别地, 有αT A n-1-1 α ≥ 0 .综上所述, | A | = | A n-1 | ( a nn - αT A n-1-1 α )≤ a 11 a 22 . . . a n-1n-1 a nn .故命题对所有n ≥成立.证法2. 利用Cholesky 分解: 每个正定矩阵A都可写成A = L T L,其中L是对角元都> 0的实上三角矩阵.设L 的( i , j ) 元为b i j , 则有a j j = b1 j2+ b2 j2 + … +b j j2 ≥b j j2 .故 a 11 a22 . . . a nn ≥b112 b222. . . b nn2 = | L T L | =| A |.。

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（完整）高等代数2011-2012第一学期期末试卷答案高等代数2011—2012第一学期期末试卷答案课程名称:《高等代数》参考答案及评分标准（A 卷）考试(考查）：考试 时间：200 年 月 日 本试卷共7页，满分100 分； 考试时间:120 分钟答题前请将密封线内的项目填写清楚一．选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分.请在每小题的四个备选答案中选出一个正确的答案,并将其号码填入题后的括号内)。

1．在[]F x 里一定能整除任意多项式的多项式是 【 B 】 A ．零多项式 B ．零次多项式 C ．本原多项式 D ．不可约多项式2．设()1g x x =+是6242()44f x x k x kx x =-++-的一个因式，则=k 【 C 】A ．4B ．3C ．2D ．13．A ,B 是n 阶方阵，则下列结论成立的是 【 C 】A .AB O A O ≠⇔≠且B O ≠ B 。

0A A O =⇔=C ．0AB A O =⇔=或B O =D . 1||=⇔=A I A4．设n 阶矩阵A 满足220A A I --=，则下列矩阵哪个不可逆 【 B 】A 。

2A I +B 。

A I +C ．A I -D .A5．设A 为3阶方阵，且1)(=A r ，则 【 A 】 A 。

湖南大学2011年高等代数真题一．计算n 阶行列式x y z xy zx y z xy z xD n +++++=11111，其中，yz x =。

二．已知多项式)(x f 满足,1)4(,0)3(==f f 求)(x f 除以)4)(3(--x x 的余式。

三．设)1()!2(1!41!211)(242≥++++=k x k x x x f k ，证明)(x f 不存在三重根。

四．设矩阵A,B 分别为n m ⨯和m n ⨯阶矩阵，C 为n 阶可逆矩阵，且矩阵A 的秩为r(r<n)。

并且A(C+BA)=0, 证明：（1）矩阵C+BA 的秩为n-r ；（2）线性方程组0=Ax 的通解为z BA C x )(+=，其中z 为任意的n 维列向量。

五．设()n n ij a A ⨯=，且0=A ，证明：A 的伴随矩阵*A 的n 个特征值中至少有n-1个为0，且一个非零特征值（如果存在）等于nn A A A +++ 2211，其中ij A 为矩阵A 的关于元素ij a 的代数余子式。

六．设A 为n 阶实对称矩阵，()'=n b b b b ,,,21 为n 维实的列向量，证明：（1）若0>A ,则01>-A ,这里0>A 表示A 为正定矩阵。

（2）若0>'-b b A ，则0>A 且11<'-b A b 。

七.设n n P A ⨯∈，且n E A =2，其中n E 为n 阶单位矩阵，令{}x Ax P x V n =∈=|1， {}x Ax P x V n -=∈=|2，证明：（1）1V 和2V 均为n P 的子空间；（2）21V V P n ⊕=,其中⊕表示子空间的直和。

八.设V 是复数域C 上的线性空间，σ和τ均为V 上的线性变换，且满足τσστ=，又设0λ为σ的一个特征值，证明：（1）0λV 为τ的不变子空间，其中{}αλσααλ0|0=∈=V V 为σ的特征子空间；（2）σ与τ至少有一个公共的特征向量。

淮北师范大学2011年招收硕士研究生考题招生专业：基础数学、应用数学 考试科目：高等代数（A ）说明：答案必须写在答题纸上，写在本考题纸上的无效。

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------一、简答题（每小题8分，计48分）： 1、设()24211x ax bx -++，求,a b 的值.2、已知向量组12,,,n αααL 线性无关，向量组12,,,,n αααβL 线性相关，证明β可由向量组12,,,n αααL 唯一线性表出.3、设A 是n 级矩阵，证明1n A A-*=.4、 如果把n 级实矩阵按矩阵等价分类，即两个n 级实矩阵属于同一类，当且仅当它们等价，问共有几类？5、设3级矩阵A 的特征值为1，-1，0，对应的特征向量分别为123,,ααα，设223B A A E =-+.证明B 可逆，并求1B -的特征值与对应的特征向量.6、设n 级矩阵A 的各行元素之和都为零，且()1r A n =-，求齐次线性方程组0AX =的通解.二、（10分）设12,,,n a a a L 为两两不同的整数，证明：()()()()121n f x x a x a x a =----L 在有理数域上不可约.三、（10分）计算n 级行列式()()()()()()1121212212sin 2sin sin sin sin 2sin sin sin sin 2n n n n n nD ααααααααααααααα++++=++L L L LL L L四、（10分）已知308316205A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭，求A 的若当标准形和最小多项式，判断A是否可对角化，并说明理由.五、（12分） 设,A B 分别为,s n n m ⨯⨯矩阵，则()()()r A r B n r AB +-≤. 六、（15分） 设向量组()()()1231,1,1,0,1,1,0,1,2,0,1,1TTTααα=-==,它们生成的子空间为()123,,W L ααα=.试构造一个齐次线性方程组，使它的解空间为W .七、（15分） 设σ为n 维线性空间V 的线性变换，σ在V 的某组基下的矩阵为A ，证明：()()2r A r A =的充要条件是()()10V V σσ-=⊕.八、（15分）设σ是n 维欧氏空间V 的线性变换，如果σ既是正交变换，又是对称变换，证明：2σ是一个恒等变换.九、（15分）已知二次曲面方程2222224x ay z bxy xz yz +++++=可经正交变换x y P z ξηζ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化为椭圆柱面方程2244ηζ+=,求,a b 的值及正交矩阵P .淮北师范大学2012年招收硕士研究生考题（A ）招生专业：基础数学、计算数学、概率论与数理统计、应用数学、运筹学与控制论考试科目：高等代数说明：答案必须写在答题纸上，写在本考题纸上的无效。

四川大学2011年攻读硕士学位研究生入学考试题一、（本题满分20分）1. (5分)设V 是数域F 上的线性空间，V s ∈ααα,,,21Λ.令}{1F k k W i si i i ∈=∑=α.证明：W是V 的子空间（称为由s ααα,,,21Λ生成的子空间）. 证明：取W ∈βα,且∑==si i i k 1αα，∑==si i i k 1ββ∑∑∑===+=+=+s i i i i si i i si i i k k k 111)(βαβαβα，则W ∈+βα ①∑∑====si i i s i i i k k k k k 11)(ααα，则W k ∈α ②由①、②，得W 是V 的子空间2. （15分）设)(2F M 是数域F 上的2阶方阵组成的线性空间，设V 是由如下的4个矩阵生成的)(2F M 的子空间：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=02411A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=30152A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=41233A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=54924A ， （1）求V dim 并写出V 的一个基.（2）设映射f ：F f →为：)()(A tr A f =，其中)(A tr 表示矩阵A 的迹. 求f ker dim 并写出f ker 的一个基.解：（1）取)(2F M 的一个基11E 、12E 、21E 、22E ，V F M →)(2在这个基下对应的矩阵是B有),,,(),,,(432122211211A A A A B E E E E =，则⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=5430410292142351B⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----00003618005430235154300510011021023515430410292142351则3dim =V ，故V 的一个基为1A 、2A 、3A（2）取矩阵C ，使得0)(=C f ，根据题意，有02211=+c c 由332211A x A x A x C ++=，有方程048321=++-x x x此方程的基础解系由2个线性无关的向量构成，即)'1,0,7(、)'8,7,0(- ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==413264)'1,0,7)(,,(3211A A A C ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=1182311)'8,7,0)(,,(3212A A A C 则有2ker dim =f ，故f ker 的一个基为1C 、2C 二、（本题满分20分）设F ，K 都是数域且K F ⊆.1.(5分)设s ααα,,,21Λ是F 上的n 维列向量.证明：s ααα,,,21Λ在F 上线性相关当且仅当s ααα,,,21Λ在K 上线性相关.证明：取s ααα,,,21Λ的极大无关组为F r ∈γγγ,,,21Λ 必要性：s ααα,,,21Λ在F 上线性相关，则方程i r X αγγγ=),,,(21Λ有解（s i ,,2,1Λ=）有K X ∈，则方程i r X αγγγ=),,,(21Λ在K 上有解 故s ααα,,,21Λ在K 上线性相关 充分性：s ααα,,,21Λ在K 上线性相关，则方程i r X αγγγ=),,,(21Λ在K 上有解在K 上有),,,,(),,,(2121i r r r r αγγγγγγΛΛ=由F i r ∈αγγγ,,,,21Λ，则在F 上也有),,,,(),,,(2121i r r r r αγγγγγγΛΛ= 故方程i r X αγγγ=),,,(21Λ在F 上有解 故s ααα,,,21Λ在F 上线性相关2.（5分）设A ，B 为F 上的n 阶方阵.证明：A ，B 在F 上相似当且仅当A ，B 在K 上相似.证明：必要性：由A ，B 在F 上相似，存在可逆矩阵)(F M P n ∈，使得B AP P =-1 又)(K M P n ∈，则A ，B 在K 上相似 充分性：由A ，B 在K 上相似，则在K 上A ，B 有相同的行列式因子)(λk D （n k ,,2,1Λ=） 由A ，)(F M B n ∈，有)(λk D 属于F则在F 上A ，B 也有相同的行列式因子)(λk D 故A ，B 在F 上相似3.（5分）设F 上的n 次多项式)(x f 在K 上有n 个根n x x x ,,,21Λ. 证明：∏≤<≤-112)(j i j i x x 属于F .证明：令0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=--Λ （F a a a n n ∈-01,,,Λ）由根与系数的关系，有n n x x x a +++=--Λ211、n n n x x x x x x a 121212--+++=Λ、……由∏≤<≤-112)(j i j i x x 为对称多项式，则可由01,,,a a a n n Λ-表示故∏≤<≤-112)(j i j i x x 属于F4.(5分)证明：关于数的加法和乘法K 是F 上的线性空间. 证明：取K 上的元素α、β，数a 、F b ∈ 由K F ⊆， αββα+=+，有αβ+为K 上的元素βαβαβαb b a a b a +++=++))((，βαβαb b a a +++为K 上的元素则关于数的加法和乘法K 是F 上的线性空间三、(本题满分20分)给定任意的可逆矩阵A .请说出4种求1-A 的方法（使用计算机程序的方法除外），并简要说明理由. 解：法1：通过初等变换由行变，有()()1-→A E E A M M ；由列变，有⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1A E E A ΛΛ法2：通过伴随矩阵由E A AA =*，有⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==-nn n n n n A A A A A A A A A A A A A ΛM MM ΛΛ21222121211111*1法3：通过H-C 定理令A 的特征多项式为0111)(a a a A E f n n n ++++=-=--λλλλλΛ如00=a ，有)()(1211a a f n n n +++=---Λλλλλ，则A 含特征值0，A 不可逆 故00≠a ，则O E a A a A a A A f n n n =++++=--0111)(Λ有E a a A a a A a A n n n 012011011----=----Λ 法4：通过A 的最小多项式令A 的最小多项式0111)(a a a m m m m ++++=--λλλλΛ 同上，有00≠a ，则O E a A a A a A A m m m m =++++=--0111)(Λ有E a a A a a A a A m m m 012011011----=----Λ 四、（本题满分20分）设1)(121++++=--x x x x f p p Λ，p 是素数.1.（10分）证明)(x f 在有理数域Q 上不可约.2.（10分）令})()({O A f C M A n =∈=M ，其中)(C M n 是全体n 阶复矩阵组成的集合.把M 中的矩阵按相似关系分类，即A ，B 属于同一类当且仅当存在可逆的复矩阵C 使得1-=CBC A .问M 中的全部矩阵可以分成几类？说明理由. 1.证明：11)(--=x x x f p ，令1+=y x ，有yy Cy y y f pk k kpp 11)1()1(0-=-+=+∑=1221111)1(p p p p p p p p pk k k p C y C y C y C y C y f ++++==+---=-∑Λ由艾森斯坦判别法，p 为素数，121,,,-p p p p C C C p Λ、p 不能整除p p C 、2p 不能整除1p C 故)1(+y f 在有理数域不可约，即)(x f 在有理数域不可约.2.证明： 由O A f =)(，又1)0(=f ，则0不是A 的特征值 由)(C M A n ∈，则A 有n 个特征值0≠i λ（n i ,,2,1Λ=） 则存在可逆矩阵P ，使得J AP P =-1J 除去排列次序外是由A 唯一确定的，则J 可能为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡n λλλ11121OO ，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡n λλλ11021OO ，……，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡n λλλ00021OO 共有n 种，则M 中的全部矩阵可分为n 类五、（本题满分20分）设V 是数域F 上的n 维线性空间，)(V End 表示V 上的全体线性变换组成的线性空间.1.（10分）求)(dim V End 并写出)(V End 的一个基.2.（10分）设)(V End ∈A ，设A 的特征多项式为)(x f .证明：如果V 可以分解为非平凡的-A 不变子空间的直和，那么，)(x f 在F 上可约.问：此结论的逆命题是否成立？说明理由.1.解：设nn E E E ,,,1211Λ是n n ⨯P 的一组基，n n ⨯P 是2n 维的，可知V 的全体线性变换与n n ⨯P 同构， 故V 的全体线性变换组成的线性空间是2n 维的。

济 南 大 学2011年攻读硕士学位研究生入学考试试题（A 卷）答案及评分标准一、（20分）⑴.设p 是奇素数，试证1++px x p 在有理数域上不可约.设()1p f x x px =++.令1x y =-,()(1)g y f y =-,那么()(1)(1)(1)1p g y f y y p y =-=-+-+1122221(1)(1)(1)(1)1221p p p p p p p p p y y y y p y p p p ----⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++-+-+-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦,取素数p ,则()g y 满足Eisenstein 判断法的条件,故()g y 在有理数域上不可约. 由于()g y 与()f x 在有理数域上有相同的可约性,故()f x 有理数域上不可约.⑵.判断2=x 是8122116)(2345+--+-=x x x x x x f 的几重根.作综合除法可知,2是()f x 的三重根,且3()(2)(1)(1)f x x x x =-+-.二、（10分）如果1()n x f x -，则1()n nx f x -.()1()()1()(1)01()1()n n n n x f x f x x g x f x f x x f x -⇒=-⇒=⇒-⇒-三、（10分）()111(1)x x x n x x x ααααααααααα=-+()()()()(1)12111(1)1(1)n n n x n x n x x x ααααα---=-+=--+--四、（20分）向量组I 与II 等价⇔I 与II 的极大无关组等价⇔I 与II 的极大无关组为III 的极大无关组123r r r ⇔==.五、（20分）求证：⑴设12,,,s ηηη 是齐次线性方程组0AX =的基础解系，12,,,s ηηη 与12,,,t εεε 等价，由于它们都线性无关，所以s t =；12,,,t εεε 由12,,,s ηηη 表示，i ε为12,,,s ηηη 的线性组合，当然是0AX =的解，又因为任何一个解可由12,,,s ηηη 表示，当然也可由12,,,t εεε 表示，故12,,,t εεε 也是基础解系.⑵显然12,,,,s ξξηξηξη+++ 为AX b =的解，12,,,s ηηη 线性无关，ξ不能由它们表示，12,,,,s ηηηξ 线性无关，秩为1s +;12,,,,s ξξηξηξη+++ 与12,,,,s ηηηξ 等价，12,,,,s ξξηξηξη+++ 的秩也为1s +，从而无关，故为AX b =的线性无关解.试题科目：六、（10分）设n 阶半正定矩阵A ，存在可逆矩阵P ，0'00rE A P P ⎛⎫=⎪⎝⎭，矩阵000rE C P ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则'A C C =．七、（15分）作初等行变换'''''123111312121052(,,,,)1111221153A αααββ--⎛⎫ ⎪⎪== ⎪---- ⎪---⎝⎭100017170100349001032500013B -⎛⎫⎪ ⎪-⎪⎪→=- ⎪⎪⎪⎪⎝⎭由于对矩阵施行初等行变换不改变列向量间的线性关系,从B 知1231,,,αααβ线性无关,且2123117492517333βαααβ=---+.显然dim 13W =,dim 22W =,而dim 12()W W +=dim 12312(,,,,)L αααββ=dim 1231(,,,)4L αααβ=.由维数公式得dim12()W W ⋂=dim1W +dim2W -dim12()3241W W +=+-=.由于211231225174917333W W γββααα=-=---∈⋂,且0γ≠,故γ是12W W ⋂的一个基. 八、（10分）设上三角的正交矩阵为A ，上三角1'A A -=下三角，A 必为对角矩阵，又因为2122'n A A A E λλ⎛⎫ ⎪=== ⎪⎪⎝⎭，21i λ=，1i λ=±，即对角线元素为1±. 九、（15分）⑴对于()()1211,,22V αααααααα∀∈=-A ++A =+()()1211,,22αααααα=-A =+A1122A ,A αααα=-=，112111,,V V V V V αα--∴∈∈=+；又因为{}1111,,0,0V V V V γαααα--∀∈⋂=A =-=⋂=，11V V V -=⊕；⑵线性变换A 在1V 某组基下矩阵为s E ，在1V -某组基下矩阵为n s E --，设11V V -，的基构成V 的基，故线性变换A 在V 的某组基下矩阵为s n s E E -⎛⎫⎪-⎝⎭. 十、（20分）证明：⑴设欧氏空间V 的一组标准正交基为1,,n εε ，()()11A ,,,,n n A εεεε= ，(A ,)(,A )αβαβ= ，(A ,)(,A )ji i j i j ij a a εεεε∴===，'A A ∴=为对称矩阵；反之，A 在一组标准正交基1,,n εε 下的矩阵A 为实对称矩阵，()()11,,,,,n n X Y αεεβεε== ，()()()11(A ,),,,,,n n AX Y αβεεεε=()'''AX Y X A Y ==()()()()11',,,,,(,A )n n X AY X AY εεεεαβ=== ，线性变换A 为对称的.(2)对于11,V V αβ⊥∀∈∀∈，此时1A V β∈，()()A ,=,A 0αβαβ=，1A V α⊥∴∈，则1V ⊥也是A 的不变子空间.。