2021届新高考数学(文)复习小题必刷第05练 二次函数与幂函数(解析版)

二次函数与幂函数1．求二次函数的解析式．2．求二次函数的值域与最值．3．利用幂函数的图象和性质分析解决有关问题．【复习指导】本节复习时，应从“数”与“形”两个角度来把握二次函数和幂函数的图象和性质，重点解决二次函数在闭区间上的最值问题，此类问题经常与其它知识结合命题，应注重分类讨论思想与数形结合思想的综合应用．基础梳理1．二次函数的基本知识(1)函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)叫做二次函数，它的定义域是R.(2)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为x＝－，顶点坐标是.①当a＞0时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当x＝－时，f(x)min ＝；②当a＜0时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当x＝－时，f(x)max ＝.③二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)当Δ＝b2－4ac＞0时，图象与x轴有两个交点M1(x1,0)、M2(x2,0)，|M1M2|＝|x1－x2|＝.(3)二次函数的解析式的三种形式：①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋h(a≠0)；③两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．2．幂函数(1)幂函数的定义形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．(2)幂函数的图象(3)幂函数的性质第一象限一定有图像且过点（1，1）；第四象限一定无图像；当幂函数是偶函数时图像分布第一二象限，奇函数时图像分布第一三象限；第一象限图像的变化趋势；当a<0时，递减，a>0时，递增，其中a>1时，递增速度越来越快，0<a<1时，递增速度越来越慢。

y＝x y＝x2y＝x3y＝x y＝x－1定义域R R R[0，＋∞){x|x∈R且x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x∈[0，＋∞)时，增，x∈(－∞，0]时，减增增x∈(0，＋∞)时，减，x∈(－∞，0)时，减定点(0,0)，(1,1) (1,1)一条主线二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的相互关系，能用函数与方程、分类讨论、数形结合思想来研究与“三个二次”有关的问题，高考对“三个二次”知道的考查往往渗透在其他知识之中，并且大都出现在解答题中．两种方法二次函数y＝f(x)对称轴的判断方法：(1)对于二次函数y＝f(x)对定义域内x1，x2，都有f(x1)＝f(x2)，那么函数y＝f(x)图象的对称轴方程为x＝；(2)对于二次函数y＝f(x)对定义域内所有x，都有f(a＋x)＝f(a－x)成立，那么函数y＝f(x)图象的对称轴方程为x＝a(a为常数)．两种问题与二次函数有关的不等式恒成立问题：(1)ax2＋bx＋c＞0，a≠0恒成立的充要条件是(2)ax2＋bx＋c＜0，a≠0恒成立的充要条件是双基自测1．下列函数中是幂函数的是()．A．y＝2x2B．y＝C．y＝x2＋x D．y＝－2．(2011·九江模拟)已知函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f(1)的范围是()．A．f(1)≥25 B．f(1)＝25C．f(1)≤25 D．f(1)＞253．(2011·福建)若关于x的方程x2＋mx＋1＝0，有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是()．A．(－1,1)B．(－2,2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)4．(2011·陕西)函数的图象是()．5．二次函数y＝f(x)满足f(3＋x)＝f(3－x)(x∈R)且f(x)＝0有两个实根x1，x2，则x1＋x2＝________.考向一求二次函数的解析式【例1】?已知函数f(x)＝x2＋mx＋n的图象过点(1,3)，且f(－1＋x)＝f(－1－x)对任意实数都成立，函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于原点对称．求f(x)与g(x)的解析式．【训练1】已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8.试确定此二次函数的解析式．考向二幂函数的图象和性质【例2】?幂函数y＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象关于y轴对称，且当x＞0时，函数是减函数，则m的值为()．A．－1＜m＜3 B．0C．1 D．2【训练2】已知点(，2)在幂函数y＝f(x)的图象上，点在幂函数y＝g(x)的图象上，若f(x)＝g(x)，则x＝________.考向三二次函数的图象与性质【例3】?已知函数f(x)＝x2－2ax＋1，求f(x)在区间[0,2]上的最值．【训练3】已知f(x)＝1－(x－a)(x－b)(a＜b)，m，n是f(x)的零点，且m＜n，则a，b，m，n从小到大的顺序是________．双基自测1．(人教A版教材习题改编)下列函数中是幂函数的是()．A．y＝2x2B．y＝C．y＝x2＋x D．y＝－解析A，C，D均不符合幂函数的定义．答案 B2．(2011·九江模拟)已知函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f(1)的范围是()．A．f(1)≥25 B．f(1)＝25C．f(1)≤25 D．f(1)＞25解析对称轴x＝≤－2，∴m≤－16，∴f(1)＝9－m≥25.答案 A3．(2011·福建)若关于x的方程x2＋mx＋1＝0，有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是()．A．(－1,1)B．(－2,2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析依题意判别式Δ＝m2－4＞0，解得m＞2或m＜－2.答案 C4．(2011·陕西)函数的图象是()．解析由幂函数的性质知：①图象过(1,1)点，可排除A，D；②当指数0＜α＜1时为增速较缓的增函数，故可排除C.答案 B5．二次函数y＝f(x)满足f(3＋x)＝f(3－x)(x∈R)且f(x)＝0有两个实根x1，x2，则x1＋x2＝________.解析由f(3＋x)＝f(3－x)，知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝3对称，应有＝3?x1＋x2＝6.答案6考向一求二次函数的解析式【例1】?已知函数f(x)＝x2＋mx＋n的图象过点(1,3)，且f(－1＋x)＝f(－1－x)对任意实数都成立，函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于原点对称．求f(x)与g(x)的解析式．[审题视点]采用待定系数法求f(x)，再由f(x)与g(x)的图象关于原点对称，求g(x)．解依题意得解得：∴f(x)＝x2＋2x.设函数y＝f(x)图象上的任意一点A(x0，y0)，该点关于原点的对称点为B(x，y)，则x0＝－x，y0＝－y.∵点A(x0，y0)在函数y＝f(x)的图象上，∴y0＝x＋2x0，∴－y＝x2－2x，∴y＝－x2＋2x，即g(x)＝－x2＋2x.二次函数解析式的确定，应视具体问题，灵活地选用其形式，再根据题设条件列方程组，即运用待定系数法来求解．在具体问题中，常常会与图象的平移、对称，函数的周期性、奇偶性等知识有机地结合在一起．【训练1】已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8.试确定此二次函数的解析式．解法一利用二次函数的一般式．设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由题意得解之得∴所求二次函数的解析式为y＝－4x2＋4x＋7.法二利用二次函数的顶点式．设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，∵f(2)＝f(－1)．∴此二次函数的对称轴为x＝＝.∴m＝，又根据题意，函数有最大值8，即n＝8.∴y＝f(x)＝a2＋8，∵f(2)＝－1，∴a2＋8＝－1，解之得a＝－4.∴f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7.考向二幂函数的图象和性质【例2】?幂函数y＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象关于y轴对称，且当x＞0时，函数是减函数，则m的值为()．A．－1＜m＜3 B．0C．1 D．2[审题视点]由幂函数的性质可得到幂指数m2－2m－3＜0，再结合m是整数，及幂函数是偶函数可得m的值．解析由m2－2m－3＜0，得－1＜m＜3，又m∈Z，∴m＝0,1,2.∵m2－2m－3为偶数，经验证m＝1符合题意．答案 C根据幂函数的单调性先确定指数的取值范围，当α＞0时，幂函数在(0，＋∞)上为增函数，当α＜0时，幂函数在(0，＋∞)上为减函数，然后验证函数的奇偶性．【训练2】已知点(，2)在幂函数y＝f(x)的图象上，点在幂函数y＝g(x)的图象上，若f(x)＝g(x)，则x＝________.解析由题意，设y＝f(x)＝xα，，则2＝()α，得α＝2，设y＝g(x)＝xβ，则＝(－)β，得β＝－2，由f(x)＝g(x)，即x2＝x－2，解得x＝±1.答案±1考向三二次函数的图象与性质【例3】?已知函数f(x)＝x2－2ax＋1，求f(x)在区间[0,2]上的最值．[审题视点]先确定对称轴，再将对称轴分四种情况讨论．解函数f(x)＝x2－2ax＋1＝(x－a)2＋1－a2的对称轴是直线x＝a，(1)若a＜0，f(x)在区间[0,2]上单调递增，当x＝0时，f(x)min＝f(0)＝1；当x＝2时，f(x)max＝f(2)＝5－4a；(2)若0≤a＜1，则当x＝a时，f(x)min＝f(a)＝1－a2；当x＝2时，f(x)max＝f(2)＝5－4a；(3)若1≤a＜2，则当x＝a时，f(x)min＝f(a)＝1－a2；当x＝0时，f(x)max＝f(0)＝1；(4)若a≥2，则f(x)在区间[0,2]上单调递减，当x＝0时，f(x)max＝f(0)＝1；当x＝2时，f(x)min＝f(2)＝5－4a.解二次函数求最值问题，首先采用配方法，将二次函数化为y＝a(x－m)2＋n(a≠0)的形式，得顶点(m，n)或对称轴方程x＝m，分三个类型：①顶点固定，区间固定；②顶点含参数，区间固定；③顶点固定，区间变动．【训练3】已知f(x)＝1－(x－a)(x－b)(a＜b)，m，n是f(x)的零点，且m＜n，则a，b，m，n从小到大的顺序是________．解析由于f(x)＝1－(x－a)(x－b)(a＜b)的图象是开口向下的抛物线，因为f(a)＝f(b)＝1＞0，f(m)＝f(n)＝0，可得a∈(m，n)，b∈(m，n)，所以m＜a＜b＜n.答案m＜a＜b＜n考向四有关二次函数的综合问题【例4】?设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足1＜x＜4的一切x值都有f(x)＞0，求实数a的取值范围．[审题视点]通过讨论开口方向和对称轴位置求解．解当a＞0时，f(x)＝a＋2－.∴或或∴或或∴a≥1或＜a＜1或?，即a＞；当a＜0时，解得a∈?；当a＝0时，f(x)＝－2x＋2，f(1)＝0，f(4)＝－6，∴不合题意．综上可得，实数a的取值范围是a＞.含有参数的二次函数与不等式的结合问题是高考的热点，通过围绕二次函数的开口方向、对称轴，不等式的恒成立等基本问题展开，重点考查学生分类讨论的思想、函数与方程的思想，以及分析、解决问题的能力．【训练4】已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a＞0)，F(x)＝若f(－1)＝0，且对任意实数x均有f(x)≥0成立．(1)求F(x)的表达式；(2)当x∈[－2,2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求k的取值范围．解(1)∵f(－1)＝0，∴a－b＋1＝0，∴b＝a＋1，∴f(x)＝ax2＋(a＋1)x＋1.∵f(x)≥0恒成立，∴∴∴a＝1，从而b＝2，∴f(x)＝x2＋2x＋1，∴F(x)＝(2)g(x)＝x2＋2x＋1－kx＝x2＋(2－k)x＋1.∵g(x)在[－2,2]上是单调函数，∴≤－2，或≥2，解得k≤－2，或k≥6.所以k的取值范围为k≤－2，或k≥6.规范解答3——如何求解二次函数在某个闭区间上的最值【问题研究】二次函数在闭区间上的最值问题，一定要根据对称轴与区间的相对位置关系确定最值，当函数解析式中含有参数时，要根据参数的取值情况进行分类讨论，避免漏解．【解决方案】对于二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)而言，首先确定对称轴，然后与所给区间的位置关系分三类进行讨论．【示例】?(本题满分12分)(2011·济南模拟)已知f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在区间[0,1]内有最大值－5，求a的值及函数表达式f(x)．求二次函数f(x)的对称轴，分对称轴在区间的左侧、中间、右侧讨论．[解答示范]∵f(x)＝－42－4a，∴抛物线顶点坐标为.(1分)①当≥1，即a≥2时，f(x)取最大值－4－a2.令－4－a2＝－5，得a2＝1，a＝±1＜2(舍去)；(4分)②当0＜＜1，即0＜a＜2时，x＝时，f(x)取最大值为－4a.令－4a＝－5，得a＝∈(0,2)；(7分)③当≤0，即a≤0时，f(x)在[0,1]内递减，∴x＝0时，f(x)取最大值为－4a－a2，令－4a－a2＝－5，得a2＋4a－5＝0，解得a＝－5或a＝1，其中－5∈(－∞，0]．(10分)综上所述，a＝或a＝－5时，f(x)在[0,1]内有最大值－5.∴f(x)＝－4x2＋5x－或f(x)＝－4x2－20x－5.(12分)求解本题易出现的问题是直接利用二次函数的性质——最值在对称轴处取得，忽视对称轴与闭区间的位置关系，不进行分类讨论．【试一试】设函数y＝x2－2x，x∈[－2，a]，求函数的最小值g(a)．[尝试解答]∵函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1，∴对称轴为直线x＝1，而x＝1不一定在区间[－2，a]内，应进行讨论．当－2＜a＜1时，函数在[－2，a]上单调递减，则当x＝a时，y min＝a2－2a；当a≥1时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a]上单调递增，则当x＝1时，y min＝－1.综上，g(a)＝。

江苏2021届高考数学复习幂函数与二次函数专题练习（含答案）一般的，形如y=xa(a为实数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，下面是幂函数与二次函数专题练习，希望对考生复习提高有帮助。

一、选择题1.(2021宝鸡模拟)已知m2,点(m1,y1),(m,y2),(m+1,y3)都在二次函数y=x22x的图像上,则( )(A)y1ca (B)ac(C)cb (D)ab6.设abc0,二次函数f(x)=ax2+bx+c的图像可能是( )7.函数f(x)=ax2+(a3)x+1在区间[1,+)上是减少的,则实数a 的取值范围是(A)[3,0) (B)(,3](C)[2,0] (D)[3,0]8.(2021安庆模拟)设函数f(x)=若f(4)=f(0),f(2)=2,则关于x的方程f(x)=x的解的个数是( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)49.(2021南昌模拟)设b0,二次函数y=ax2+bx+a21的图像为下列之一.则a的值为( )(A)1 (B)(C)1 (D)10.(能力挑战题)若不等式x2+ax+10对于一切x(0,]恒成立,则a的最小值是( )(A)0 (B)2 (C) (D)3二、填空题11.若二次函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(a,bR)是偶函数,且它的值域为(,4],则该函数的解析式f(x)= .12.(2021上饶模拟)已知关于x的方程x2+a|x|+a29=0只有一个实数解,则实数a的值为.13.二次函数f(x)的二次项系数为正,且对任意x恒有f(2+x)=f(2x),若f(12x2)0，则实数a的取值范围是.三、解答题15.(能力挑战题)已知二次函数f(x)=ax2+bx(a,b为常数,且a0),满足条件f(1+x)=f(1x),且方程f(x)=x有等根.(1)求f(x)的解析式.(2)是否存在实数m,n(m2,1(，由函数y=()x在R上是减函数知((，ab.6.【解析】选D.对于选项A,C,都有abc0,故排除A,C.对于选项B,D,都有0,即ab0,则当c0时,abc0.7.【解析】选D.当a=0时,f(x)=3x+1显然成立,当a0时,需解得30,综上可得30.【误区警示】本题易忽视a=0这一情况而误选A,失误的原因是将关于x的函数误认为是二次函数.8.【解析】选C.由f(4)=f(0),f(2)=2得f(x)=当x0时,由f(x)=x得x2+4x+2=x,解得x=2或x=1.当x0时,由f(x)=x得x=2.故关于x的方程f(x)=x的解的个数是3个.9.【解析】选C.由b0知,二次函数对称轴不是y轴,结合二次函数的开口方向及对称轴位置,二次函数图像是第③个.从而a21=0且a0,a=1.10.【解析】选C.方法一:设g(a)=ax+x2+1,∵x(0,],g(a)为增加的.当x=时满足:a++10即可,解得a.方法二:由x2+ax+10得a(x+)在x(0,]上恒成立,令g(x)=(x+),则知g(x)在(0,]上是增加的,g(x)max=g()=,a.11.【思路点拨】化简f(x),函数f(x)为偶函数,则一次项系数为0可求b.值域为(,4],则最大值为4,可求2a2,即可求出解析式.【解析】∵f(x)=(x+a)(bx+2a)=bx2+(2a+ab)x+2a2是偶函数,则其图像关于y轴对称.2a+ab=0,b=2或a=0(舍去).f(x)=2x2+2a2,又f(x)的值域为(,4],2a2=4,f(x)=2x2+4.答案:2x2+412.【解析】设f(x)=x2+a|x|+a29,则f(x)=(x)2+a|x|+a29=x2+a|x|+a29=f(x),即函数f(x)是偶函数.由题意知,f(0)=0,则a29=0,a=3或a=3,经检验a=3符合题意,a=3不合题意,故a=3.答案:313.【思路点拨】由题意知二次函数的图像开口向上,且关于直线x=2对称,则距离对称轴越远,函数值越大,依此可转化为不等式问题.【解析】由f(2+x)=f(2x)知x=2为对称轴,由于二次项系数为正的二次函数中距对称轴越远函数值越大,|12x22||1+2xx22|,即|2x2+1||x22x+1|,2x2+10的否定为:对于区间[0，1]内的任意一个x都有f(x)0.即解得a1或a2.二次函数在区间[0，1]内至少存在一个实数b，使f(b)0的实数a的取值范围是(2，1).答案:(2，1)幂函数与二次函数专题练习分享到这里，更多内容请关注高考数学试题栏目。

二次函数与幂函数考试要求 1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.2.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)．知识梳理1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α为常数．(2)常见的五种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减；④当α为奇数时，y＝xα为奇函数；当α为偶数时，y＝xα为偶函数．2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．(2)二次函数的图象和性质函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)图象(抛物线)定义域 R值域 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a 对称轴 x ＝－b2a顶点 坐标 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，4ac －b 24a奇偶性当b ＝0时是偶函数，当b ≠0时是非奇非偶函数单调性在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递减； 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b2a ，＋∞上单调递增在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递增；在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b2a ，＋∞上单调递减思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y ＝1212x 是幂函数．( × )(2)若幂函数y ＝x α是偶函数，则α为偶数．( × )(3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象恒在x 轴下方，则a <0且Δ<0.( √ )(4)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的两个零点确定，则二次函数的解析式确定．( × ) 教材改编题1．已知幂函数y ＝f (x )的图象过点(2，2)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14等于( ) A ．－12B.12 C ．±12D.22答案 B解析 设f (x )＝x α， ∴2α＝2，α＝12，∴f (x )＝12x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝12.2．若函数f (x )＝4x 2－kx －8在[5,20]上单调，则实数k 的取值范围为________． 答案 (－∞，40]∪[160，＋∞)解析 依题意知，k 8≥20或k8≤5，解得k ≥160或k ≤40.3．已知y ＝f (x )为二次函数，若y ＝f (x )在x ＝2处取得最小值－4，且y ＝f (x )的图象经过原点，则函数解析式为________． 答案 f (x )＝x 2－4x解析 因为y ＝f (x )在x ＝2处取得最小值－4， 所以可设f (x )＝a (x －2)2－4(a >0)，又图象过原点，所以f (0)＝4a －4＝0，a ＝1， 所以f (x )＝(x －2)2－4＝x 2－4x .题型一 幂函数的图象与性质例1 (1)若幂函数y ＝x －1，y ＝x m 与y ＝x n在第一象限内的图象如图所示，则m 与n 的取值情况为( )A ．－1<m <0<n <1B ．－1<n <0<m <12C ．－1<m <0<n <12D ．－1<n <0<m <1 答案 D解析 幂函数y ＝x α，当α>0时，y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增，且0<α<1时，图象上凸， ∴0<m <1.当α<0时，y ＝x α在(0，＋∞)上单调递减． 不妨令x ＝2，由图象得2－1<2n，则－1<n <0. 综上可知，－1<n <0<m <1.(2)(2022·长沙质检)幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)x m的图象关于y 轴对称，则实数m ＝________. 答案 2解析 由幂函数定义，知m 2－3m ＋3＝1， 解得m ＝1或m ＝2，当m ＝1时，f (x )＝x 的图象不关于y 轴对称，舍去， 当m ＝2时，f (x )＝x 2的图象关于y 轴对称， 因此m ＝2. 教师备选1．若幂函数f (x )＝()12255a a a x ---在(0，＋∞)上单调递增，则a 等于( )A ．1B ．6C ．2D ．－1 答案 D解析 因为函数f (x )＝()12255a a a x---是幂函数，所以a 2－5a －5＝1，解得a ＝－1或a ＝6. 当a ＝－1时，f (x )＝12x 在(0，＋∞)上单调递增；当a ＝6时，f (x )＝x －3在(0，＋∞)上单调递减，所以a ＝－1.2．若f (x )＝12x ，则不等式f (x )>f (8x －16)的解集是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，167B ．(0,2] C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，167 D ．[2，＋∞)答案 A解析 因为函数f (x )＝12x 在定义域[0，＋∞)内为增函数，且f (x )>f (8x －16)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，8x －16≥0，x >8x －16，即2≤x <167，所以不等式的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，167.思维升华 (1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x ＝1，y ＝1，y ＝x 所分区域．根据α<0,0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．跟踪训练1 (1)(2022·宝鸡检测)已知a ＝432，b ＝233，c ＝1225，则( ) A ．b <a <c B ．a <b <c C ．b <c <a D ．c <a <b答案 A解析 由题意得b ＝233<234＝432＝a ，a ＝432＝234<4<5＝1225＝c ，所以b <a <c .(2)已知幂函数y ＝p qx (p ，q ∈Z 且p ，q 互质)的图象关于y 轴对称，如图所示，则( )A ．p ，q 均为奇数，且p q>0 B ．q 为偶数，p 为奇数，且p q <0 C ．q 为奇数，p 为偶数，且p q >0 D ．q 为奇数，p 为偶数，且p q<0 答案 D解析 因为函数y ＝p q x 的图象关于y 轴对称，于是函数y ＝p qx 为偶函数，即p 为偶数， 又函数y ＝p qx 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上单调递减，则有p q<0， 又因为p ，q 互质，则q 为奇数，所以只有选项D 正确． 题型二 二次函数的解析式例2 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定该二次函数的解析式．解 方法一 (利用“一般式”解题) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.所以所求二次函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.方法二 (利用“顶点式”解题) 设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． 因为f (2)＝f (－1)， 所以抛物线的对称轴为x ＝2＋－12＝12， 所以m ＝12.又根据题意，函数有最大值8，所以n ＝8，所以f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8.因为f (2)＝－1，所以a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4，所以f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.方法三 (利用“零点式”解题)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)(a ≠0)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1. 又函数有最大值8， 即4a－2a －1－－a24a＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍去)．故所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 教师备选若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(a ，b ∈R )满足条件f (－x )＝f (x )，定义域为R ，值域为(－∞，4]，则函数解析式f (x )＝________. 答案 －2x 2＋4解析 f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a ) ＝bx 2＋(2a ＋ab )x ＋2a 2.∵f (－x )＝f (x )， ∴2a ＋ab ＝0， ∴f (x )＝bx 2＋2a 2.∵f (x )的定义域为R ，值域为(－∞，4]， ∴b <0，且2a 2＝4，∴b ＝－2，∴f (x )＝－2x 2＋4.思维升华 求二次函数解析式的三个策略：(1)已知三个点的坐标，宜选用一般式；(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式；(3)已知图象与x 轴的两交点的坐标，宜选用零点式．跟踪训练2 (1)已知f (x )为二次函数，且f (x )＝x 2＋f ′(x )－1，则f (x )等于( ) A ．x 2－2x ＋1 B ．x 2＋2x ＋1 C ．2x 2－2x ＋1 D ．2x 2＋2x －1答案 B解析 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b ， 由f (x )＝x 2＋f ′(x )－1可得ax 2＋bx ＋c ＝x 2＋2ax ＋(b －1)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝2a ，c ＝b －1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，c ＝1，因此，f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，且图象被x 轴截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，则f (x )的解析式为________．答案 f (x )＝x 2－4x ＋3解析 ∵f (2＋x )＝f (2－x )对任意x ∈R 恒成立， ∴f (x )图象的对称轴为直线x ＝2， 又∵f (x )的图象被x 轴截得的线段长为2， ∴f (x )＝0的两根为1和3，设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)， ∵f (x )的图象过点(4,3)， ∴3a ＝3，∴a ＝1，∴所求函数的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)， 即f (x )＝x 2－4x ＋3.题型三 二次函数的图象与性质 命题点1 二次函数的图象例3 设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )答案 D解析 因为abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，那么可知， 在A 中，a <0，b <0，c <0，不符合题意； B 中，a <0，b >0，c >0，不符合题意； C 中，a >0，c <0，b >0，不符合题意，故选D. 命题点2 二次函数的单调性与最值 例4 已知函数f (x )＝x 2－tx －1.(1)若f (x )在区间(－1,2)上不单调，求实数t 的取值范围； (2)若x ∈[－1,2]，求f (x )的最小值g (t )．解 f (x )＝x 2－tx －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －t 22－1－t 24.(1)依题意，－1<t2<2，解得－2<t <4，∴实数t 的取值范围是(－2,4)．(2)①当t2≥2，即t ≥4时，f (x )在[－1,2]上单调递减，∴f (x )min ＝f (2)＝3－2t . ②当－1<t2<2，即－2<t <4时，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＝－1－t 24.③当t2≤－1，即t ≤－2时，f (x )在[－1,2]上单调递增，∴f (x )min ＝f (－1)＝t .综上有g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t ，t ≤－2，－1－t24，－2<t <4，3－2t ，t ≥4.延伸探究 本例条件不变，求当x ∈[－1,2]时，f (x )的最大值G (t )． 解 f (－1)＝t ，f (2)＝3－2t ，f (2)－f (－1)＝3－3t ，当t ≥1时，f (2)－f (－1)≤0， ∴f (2)≤f (－1)， ∴f (x )max ＝f (－1)＝t ； 当t <1时，f (2)－f (－1)>0， ∴f (2)>f (－1)， ∴f (x )max ＝f (2)＝3－2t ，综上有G (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t ，t ≥1，3－2t ，t <1.教师备选1．(多选)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交于点A (－1,0)，顶点坐标为(1，n )，与y 轴的交点在(0,2)，(0,3)之间(包含端点)，则下列结论正确的是( )A ．当x >3时，y <0B ．4a ＋2b ＋c ＝0C ．－1≤a ≤－23D ．3a ＋b >0答案 AC解析 依题意知，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交于点A (－1,0)，顶点坐标为(1，n )， ∴函数与x 轴的另一交点为(3,0)， ∴当x >3时，y <0，故A 正确；当x ＝2时，y ＝4a ＋2b ＋c >0，故B 错误；∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A (－1,0)，且a <0，∴a －b ＋c ＝0，∵b ＝－2a ，∴a ＋2a ＋c ＝0， ∴3a ＋b <0，c ＝－3a ， ∵2≤c ≤3，∴2≤－3a ≤3， ∴－1≤a ≤－23，故C 正确，D 错误．2．(2022·沈阳模拟)已知f (x )＝ax 2－2x ＋1. (1)若f (x )在[0,1]上单调，求实数a 的取值范围； (2)若x ∈[0,1]，求f (x )的最小值g (a )． 解 (1)当a ＝0时，f (x )＝－2x ＋1单调递减； 当a >0时，f (x )的对称轴为x ＝1a ，且1a>0，∴1a≥1，即0<a ≤1；当a <0时，f (x )的对称轴为x ＝1a 且1a<0，∴a <0符合题意． 综上有，a ≤1.(2)①当a ＝0时，f (x )＝－2x ＋1在[0,1]上单调递减， ∴f (x )min ＝f (1)＝－1.②当a >0时，f (x )＝ax 2－2x ＋1的图象开口方向向上，且对称轴为x ＝1a.(ⅰ)当1a<1，即a >1时，f (x )＝ax 2－2x ＋1图象的对称轴在[0,1]内，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1a 上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，1上单调递增．∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝1a －2a＋1＝－1a ＋1.(ⅱ)当1a≥1，即0<a ≤1时，f (x )在[0,1]上单调递减．∴f (x )min ＝f (1)＝a －1.③当a <0时，f (x )＝ax 2－2x ＋1的图象的开口方向向下，且对称轴x ＝1a<0，在y 轴的左侧，∴f (x )＝ax 2－2x ＋1在[0,1]上单调递减． ∴f (x )min ＝f (1)＝a －1.综上所述，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －1，a ≤1，－1a＋1，a >1.思维升华 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．跟踪训练3 (1)若函数f (x )＝x 2＋a |x |＋2，x ∈R 在区间[3，＋∞)和[－2，－1]上均单调递增，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－113，－3B ．[－6，－4]C ．[－3，－22]D ．[－4，－3]答案 B解析 ∵f (x )为偶函数，∴f (x )在[1,2]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增， 当x >0时，f (x )＝x 2＋ax ＋2， 对称轴为x ＝－a 2，∴2≤－a2≤3，解得－6≤a ≤－4.(2)(2022·抚顺模拟)已知函数f (x )＝－x 2＋2x ＋5在区间[0，m ]上有最大值6，最小值5，则实数m 的取值范围是________． 答案 [1,2]解析 由题意知，f (x )＝－(x －1)2＋6， 则f (0)＝f (2)＝5＝f (x )min ，f (1)＝6＝f (x )max ，函数f (x )的图象如图所示，则1≤m ≤2.课时精练1．若二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，则g (x )的解析式为( ) A ．g (x )＝2x 2－3x B ．g (x )＝3x 2－2x C ．g (x )＝3x 2＋2x D ．g (x )＝－3x 2－2x 答案 B解析 二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点， 设二次函数为g (x )＝ax 2＋bx ，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，a －b ＝5，解得a ＝3，b ＝－2，所求的二次函数为g (x )＝3x 2－2x .2．(2022·延吉检测)若函数y ＝()222433m m m m x +--+为幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则实数m 的值为( ) A ．0B ．1或2C ．1D ．2 答案 C解析 由于函数y ＝()222433mm m m x +--+为幂函数，所以m 2－3m ＋3＝1，解得m ＝1或m ＝2，当m ＝1时，y ＝x －1＝1x，在(0，＋∞)上单调递减，符合题意．当m ＝2时，y ＝x 4，在(0，＋∞)上单调递增，不符合题意．3．(2022·长沙模拟)已知函数f (x )＝x 2－2mx －m ＋2的值域为[0，＋∞)，则实数m 的值为( ) A ．－2或1 B ．－2 C ．1 D ．1或2答案 A解析 因为f (x )＝x 2－2mx －m ＋2＝(x －m )2－m 2－m ＋2≥－m 2－m ＋2，且函数f (x )＝x 2－2mx －m ＋2的值域为[0，＋∞)，所以－m 2－m ＋2＝0，解得m ＝－2或m ＝1.4．如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A (－3,0)，对称轴为直线x ＝－1.下面四个结论中正确的是( )A ．b 2<4ac B ．2a －b ＝1 C ．a －b ＋c ＝0 D ．5a <b答案 D解析 因为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点A (－3,0)，对称轴为直线x ＝－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a＝－1，9a －3b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2a ，c ＝－3a ，因为二次函数的图象开口方向向下，所以a <0，对于A ，因为二次函数的图象与x 轴有两个交点，所以b 2－4ac ＝4a 2＋12a 2＝16a 2>0， 所以b 2>4ac ，故选项A 不正确； 对于B ，因为b ＝2a ，所以2a －b ＝0，故选项B 不正确；对于C ，因为a －b ＋c ＝a －2a －3a ＝－4a >0， 故选项C 不正确； 对于D ，因为a <0，所以5a <2a ＝b ，故选项D 正确．5．(多选)(2022·宜昌质检)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a 有两个零点x 1，x 2，以下结论正确的是( ) A ．a <1B ．若x 1x 2≠0，则1x 1＋1x 2＝2aC ．f (－1)＝f (3)D ．函数y ＝f (|x |)有四个零点 答案 ABC解析 二次函数对应二次方程根的判别式Δ＝(－2)2－4a ＝4－4a >0，a <1，故A 正确； 由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝a ，1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝2a，故B 正确；因为f (x )的对称轴为x ＝1，点(－1，f (－1))，(3，f (3))关于对称轴对称，故C 正确； 当a <0时，y ＝f (|x |)只有两个零点，故D 不正确． 6．(多选)已知幂函数f (x )＝()2231m m m m x +---，对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，都满足f x 1－f x 2x 1－x 2>0，若a ，b ∈R 且f (a )＋f (b )<0，则下列结论可能成立的有( )A ．a ＋b >0且ab <0B ．a ＋b <0且ab <0C ．a ＋b <0且ab >0D ．以上都可能 答案 BC解析 因为f (x )＝()2231m m m m x +---为幂函数，所以m 2－m －1＝1， 解得m ＝2或m ＝－1.依题意f (x )在(0，＋∞)上单调递增， 所以m ＝2，此时f (x )＝x 3，因为f (－x )＝(－x )3＝－x 3＝－f (x )， 所以f (x )＝x 3为奇函数． 因为a ，b ∈R 且f (a )＋f (b )<0， 所以f (a )<f (－b )． 因为y ＝f (x )为增函数， 所以a <－b ，所以a ＋b <0.7．(2022·张家口检测)已知幂函数f (x )＝mx n＋k 的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫116，14，则m －2n ＋3k ＝________. 答案 0解析 因为f (x )是幂函数， 所以m ＝1，k ＝0，又f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫116，14， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫116n ＝14，解得n ＝12，所以m －2n ＋3k ＝0.8．(2022·江苏海安高级中学模拟)函数f (x )＝x 2－4x ＋2在区间[a ，b ]上的值域为[－2,2]，则b －a 的取值范围是________． 答案 [2,4]解析 解方程f (x )＝x 2－4x ＋2＝2， 解得x ＝0或x ＝4，解方程f (x )＝x 2－4x ＋2＝－2，解得x ＝2， 由于函数f (x )在区间[a ，b ]上的值域为[－2,2]． 若函数f (x )在区间[a ，b ]上单调， 则[a ，b ]＝[0,2]或[a ，b ]＝[2,4]， 此时b －a 取得最小值2；若函数f (x )在区间[a ，b ]上不单调，且当b －a 取最大值时，[a ，b ]＝[0,4]，所以b －a 的最大值为4.所以b －a 的取值范围是[2,4]．9．已知二次函数f (x )＝ax 2＋(b －2)x ＋3，且－1，3是函数f (x )的零点． (1)求f (x )的解析式，并解不等式f (x )≤3； (2)若g (x )＝f (sin x )，求函数g (x )的值域．解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝－b －2a，－1×3＝3a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝4，∴f (x )＝－x 2＋2x ＋3，∴当－x 2＋2x ＋3≤3时，即x 2－2x ≥0， 解得x ≥2或x ≤0，∴不等式的解集为(－∞，0]∪[2，＋∞)． (2)令t ＝sin x ，则g (t )＝－t 2＋2t ＋3＝－(t －1)2＋4，t ∈[－1,1]， 当t ＝－1时，g (t )有最小值0， 当t ＝1时，g (t )有最大值4， 故g (t )∈[0,4]． 所以g (x )的值域为[0,4]．10．(2022·烟台模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，且满足f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋1.(1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈[t ，t ＋2](t ∈R )时，求函数f (x )的最小值g (t )(用t 表示)．解 (1)因为二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a x ＋12＋b x ＋1＋c －ax 2＋bx ＋c ＝2x ＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，2ax ＋b ＋a ＝2x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2，2a ＝2，b ＋a ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a ＝1，b ＝0，因此f (x )＝x 2＋2.(2)因为f (x )＝x 2＋2是图象的对称轴为直线x ＝0，且开口向上的二次函数， 当t ≥0时，f (x )＝x 2＋2在x ∈[t ，t ＋2]上单调递增， 则f (x )min ＝f (t )＝t 2＋2； 当t ＋2≤0，即t ≤－2时，f (x )＝x 2＋2在x ∈[t ，t ＋2]上单调递减，则f (x )min ＝f (t ＋2)＝(t ＋2)2＋2＝t 2＋4t ＋6； 当t <0<t ＋2，即－2<t <0时，f (x )min ＝f (0)＝2，综上g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋2，t ≥0，2，－2<t <0，t 2＋4t ＋6，t ≤－2.11．(2022·福州模拟)已知函数f (x )＝2x 2－mx －3m ，则“m >2”是“f (x )<0对x ∈[1,3]恒成立”的( ) A ．充分不必要条件 B ．充要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 若f (x )<0对x ∈[1,3]恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝2－4m <0，f3＝18－6m <0，解得m >3，{m |m >3}是{m |m >2}的真子集，所以“m >2”是“f (x )<0对x ∈[1,3]恒成立”的必要不充分条件．12.幂函数y ＝x α，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)，设点A (1,0)，B (0,1)，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝x a，y ＝x b的图象三等分，即有BM ＝MN ＝NA ，那么a －1b等于( )A ．0B ．1C.12D ．2答案 A解析 由BM ＝MN ＝NA ，点A (1,0)，B (0,1)，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，13， 将两点坐标分别代入y ＝x a，y ＝x b， 得a ＝132log 3，b ＝231log 3， ∴a －1b＝132log 3－2311log 3＝0.13．(多选)关于x 的方程(x 2－2x )2－2(2x －x 2)＋k ＝0，下列命题正确的有( ) A ．存在实数k ，使得方程无实根B ．存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根C ．存在实数k ，使得方程恰有3个不同的实根D ．存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根 答案 AB解析 设t ＝x 2－2x ，方程化为关于t 的二次方程t 2＋2t ＋k ＝0.(*)当k >1时，方程(*)无实根，故原方程无实根；当k ＝1时，可得t ＝－1，则x 2－2x ＝－1，原方程有两个相等的实根x ＝1； 当k <1时，方程(*)有两个实根t 1，t 2(t 1<t 2)， 由t 1＋t 2＝－2可知，t 1<－1，t 2>－1. 因为t ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，所以x 2－2x ＝t 1无实根，x 2－2x ＝t 2有两个不同的实根． 综上可知，A ，B 项正确，C ，D 项错误．14．设关于x 的方程x 2－2mx ＋2－m ＝0()m ∈R 的两个实数根分别是α，β，则α2＋β2＋5的最小值为________． 答案 7解析 由题意有⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝2m ，αβ＝2－m ，且Δ＝4m 2－4(2－m )≥0， 解得m ≤－2或m ≥1，α2＋β2＋5＝(α＋β)2－2αβ＋5＝4m 2＋2m ＋1，令f (m )＝4m 2＋2m ＋1，而f (m )图象的对称轴为m ＝－14，且m ≤－2或m ≥1， 所以f (m )min ＝f (1)＝7.15．(2022·台州模拟)已知函数f (x )＝(x 2－2x －3)(x 2＋ax ＋b )是偶函数，则f (x )的值域是________． 答案 [－16，＋∞)解析 因为f (x )＝(x 2－2x －3)(x 2＋ax ＋b ) ＝(x －3)(x ＋1)(x 2＋ax ＋b )是偶函数， 所以有⎩⎪⎨⎪⎧f －3＝f 3＝0，f1＝f －1＝0，代入得⎩⎪⎨⎪⎧9－3a ＋b ＝0，1＋a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－3.所以f (x )＝(x 2－2x －3)(x 2＋2x －3)＝(x 2－3)2－4x 2＝x 4－10x 2＋9 ＝(x 2－5)2－16≥－16.16．已知a ，b 是常数且a ≠0，f (x )＝ax 2＋bx 且f (2)＝0，且使方程f (x )＝x 有等根． (1)求f (x )的解析式；(2)是否存在实数m ，n (m <n )，使得f (x )的定义域和值域分别为[m ，n ]和[2m,2n ]? 解 (1)由f (x )＝ax 2＋bx ，且f (2)＝0， 则4a ＋2b ＝0，又方程f (x )＝x ，即ax 2＋(b －1)x ＝0有等根， 得b ＝1，从而a ＝－12，所以f (x )＝－12x 2＋x .(2)假定存在符合条件的m ，n ，由(1)知f (x )＝－12x 2＋x ＝－12(x －1)2＋12≤12，则有2n ≤12，即n ≤14.又f (x )图象的对称轴为直线x ＝1， 则f (x )在[m ，n ]上单调递增，于是得⎩⎪⎨⎪⎧m <n ≤14，f m ＝2m ，f n ＝2n ，即⎩⎪⎨⎪⎧m <n ≤14，－12m 2＋m ＝2m ，－12n 2＋n ＝2n ，解方程组得m ＝－2，n ＝0，所以存在m ＝－2，n ＝0，使函数f (x )在[－2,0]上的值域为[－4,0]．。

高考数学总复习---《幂函数与二次函数》综合运用练习题（含答案解析）一、若关于x的不等式x2－4x－2－a＞0在区间(1，4)内有解，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，－2) B．(－2，＋∞)C．(－6，＋∞) D．(－∞，－6)A[不等式x2－4x－2－a＞0在区间(1，4)内有解等价于a＜(x2－4x－2)max，令f(x)＝x2－4x－2，x∈(1，4)，所以f(x)＜f(4)＝－2，所以a＜－2.]二、如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图像的一部分，图像过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：①b2＞4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a＜b.其中正确的是( )A．②④B．①④C．②③D．①③B[因为图像与x轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，①正确；对称轴为x＝－1，即－b2a＝－1，2a－b＝0，②错误；结合图像，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，③错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a.又函数图像开口向下，所以a ＜0，所以5a ＜2a ，即5a ＜b ，④正确．]三、已知y ＝f (x )是偶函数，当x ＞0时，f (x )＝(x －1)2，若当x ∈[－2，－12]时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为________．1 [当x ＜0时，－x ＞0，f (x )＝f (－x )＝(x ＋1)2，因为x ∈[－2，－12]，所以f (x )min ＝f (－1)＝0，f (x )max ＝f (－2)＝1，所以m ≥1，n ≤0，m －n ≥1.所以m －n 的最小值是1.]四、已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3.(1)当a ＝2，x ∈[－2，3]时，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )在[－1，3]上的最大值为1，求实数a 的值．[解] (1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2，3]，对称轴为x ＝－32∈[－2，3]， ∴f (x )min ＝f (－32)＝94－92－3＝－214， f (x )max ＝f (3)＝15，∴函数f (x )的值域为[－214，15]． (2)∵函数f (x )的对称轴为x ＝－2a －12. ①当－2a －12≤1，即a ≥－12时，f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，∴6a＋3＝1，即a＝－13，满足题意；②当－2a－12＞1，即a＜－12时，f(x)max＝f(－1)＝－2a－1，∴－2a－1＝1，即a＝－1，满足题意．综上可知，a＝－13或－1.五、设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y＝f(x)－g(x)在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f(x)和g(x)在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f(x)＝x2－3x＋4与g(x)＝2x＋m在[0，3]上是“关联函数”，则m的取值范围为________．(－94，－2][由题意知，y＝f(x)－g(x)＝x2－5x＋4－m在[0，3]上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y＝m与y ＝x2－5x＋4(x∈[0，3])的图像如图所示，结合图像可知，当x∈[2，3]时，y＝x2－5x＋4∈[－94，－2]，故当m∈(－94，－2]时，函数y＝m与y＝x2－5x＋4(x∈[0，3])的图像有两个交点．]六、是否存在实数a∈[－2，1]，使函数f(x)＝x2－2ax＋a的定义域为[－1，1]时，值域为[－2，2]？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．[解]f(x)＝(x－a)2＋a－a2，当－2≤a＜－1时，f(x)在[－1，1]上为增函数，∴由⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＝－2，f （1）＝2，得a ＝－1(舍去)； 当－1≤a ≤0时，由⎩⎪⎨⎪⎧f （a ）＝－2，f （1）＝2，得a ＝－1； 当0＜a ≤1时，由⎩⎪⎨⎪⎧f （a ）＝－2，f （－1）＝2，得a 不存在； 综上可得，存在实数a 满足题目条件，a ＝－1.七、选择题1．已知幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)x m ＋1为偶函数，则m ＝( )A ．1B ．2C ．1或2D ．3A [∵函数f (x )为幂函数，∴m 2－3m ＋3＝1，即m 2－3m ＋2＝0，解得m ＝1或m ＝2.当m ＝1时，幂函数f (x )＝x 2为偶函数，满足条件；当m ＝2时，幂函数f (x )＝x 3为奇函数，不满足条件，故选A.]2．已知幂函数f (x )的图像过点(2，14)，则函数g (x )＝f (x )＋x 24的最小值为( ) A ．1B ．2C ．4D ．6A [设幂函数f (x )＝x α.∵f (x )的图像过点(2，14)，∴2α＝14，解得α＝－2. ∴函数f (x )＝x －2，其中x ≠0.∴函数g(x)＝f(x)＋x24＝x－2＋x24＝1x2＋x24≥21x2·x24＝1，当且仅当x＝±2时，g(x)取得最小值1.]3．一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图像大致是( )A B C DC[若a＞0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像开口向上，故可排除A；若a＜0，一次函数y＝ax＋b为减函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像开口向下，故可排除D；对于选项B，看直线可知a＞0，b＞0，从而－b2a＜0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故可排除B.故选C.]4．已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(0)＝f(4)＞f(1)，则( ) A．a＞0，4a＋b＝0 B．a＜0，4a＋b＝0C．a＞0，2a＋b＝0 D．a＜0，2a＋b＝0A[由f(0)＝f(4)，得f(x)＝ax2＋bx＋c图像的对称轴为x＝－b2a＝2，∴4a＋b＝0，又f(0)＞f(1)，f(4)＞f(1)，∴f(x)先减后增，于是a＞0，故选A.] 5．设x＝0.20.3，y＝0.30.2，z＝0.30.3，则x，y，z的大小关系为( )A．x＜z＜y B．y＜x＜zC．y＜z＜x D．z＜y＜xA[由函数y＝0.3x在R上单调递减，可得y＞z.由函数y＝x0.3在(0，＋∞)上单调递增，可得x＜z.所以x＜z＜y.]八、填空题1．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，若y＝f(x)在区间[－4，6]上是单调函数，则实数a的取值范围为________．(－∞，－6]∪[4，＋∞)[由于函数f(x)的图像开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4，6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.]2．已知二次函数y＝f(x)的顶点坐标为(－32，49)，且方程f(x)＝0的两个实根之差等于7，则此二次函数的解析式是________．f(x)＝－4x2－12x＋40[设f(x)＝a(x＋32)2＋49(a≠0)，方程a(x＋32)2＋49＝0的两个实根分别为x1，x2，则|x1－x2|＝14－1a＝7，所以a＝－4，所以f(x)＝－4x2－12x＋40.]3．已知函数f(x)＝a2x＋3a x－2(a＞1)，若在区间[－1，1]上f(x)≤8 恒成立，则a的最大值为________．2 [令a x ＝t ，因为a ＞1，x ∈[－1，1]，所以1a ≤t ≤a ，原函数化为g (t)＝t 2＋3t －2，显然g (t)在[1a，a ]上单调递增，所以f (x )≤8恒成立，即g (t)max ＝g (a )≤8恒成立，所以有a 2＋3a －2≤8，解得－5≤a ≤2，又a ＞1，所以a 的最大值为2.]九、解答题1．求函数f (x )＝－x (x －a )在x ∈[－1，1]上的最大值．[解] 函数f (x )＝－(x －a2)2＋a 24的图像的对称轴为x ＝a 2，应分a 2＜－1，－1≤a2≤1，a 2＞1，即a ＜－2，－2≤a ≤2和a ＞2三种情形讨论． (1)当a ＜－2时，由图①可知f (x )在[－1，1]上的最大值为f (－1)＝－1－a ＝－(a ＋1)．(2)当－2≤a ≤2时，由图②可知f (x )在[－1，1]上的最大值为f (a 2)＝a 24. (3)当a ＞2时，由图③可知f (x )在[－1，1]上的最大值为f (1)＝a －1.图① 图② 图③综上可知，f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧－（a ＋1），a ＜－2，a 24，－2≤a ≤2，a －1，a ＞2.2．已知二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；(2)当x∈[－1，1]时，函数y＝f(x)的图像恒在函数y＝2x＋m的图像的上方，求实数m的取值范围．[解](1)设f(x)＝ax2＋bx＋1(a≠0)，由f(x＋1)－f(x)＝2x，得2ax＋a＋b＝2x.所以，2a＝2且a＋b＝0，解得a＝1，b＝－1，因此f(x)的解析式为f(x)＝x2－x＋1.(2)因为当x∈[－1，1]时，y＝f(x)的图像恒在y＝2x＋m的图像上方，所以在[－1，1]上，x2－x＋1＞2x＋m恒成立，即x2－3x＋1＞m在区间[－1，1]上恒成立．所以令g(x)＝x2－3x＋1＝(x－32)2－54，因为g(x)在[－1，1]上的最小值为g(1)＝－1，所以m＜－1.故实数m的取值范围为(－∞，－1)．本课结束。

2021年新高考数学总复习：幂函数与二次函数1．(多选题)已知二次函数f(x)＝x2－2ax＋1在区间(2，3)上是单调函数，则实数a的取值范围可以是()A．(－∞，2] B．[2，3]C．[3，＋∞) D．[－3，－2]解析：f(x)图象的对称轴为x＝a，若f(x)在(2，3)上单调递增，则a≤2，若f(x)在(2，3)上单调递减，则a≥3，因此选项A、C、D满足．答案：ACD2．已知p：|m＋1|<1，q：幂函数y＝(m2－m－1)x m在(0，＋∞)上单调递减，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：p：由|m＋1|<1得－2<m<0，q：因为幂函数y＝(m2－m－1)x m在(0，＋∞)上单调递减．所以m2－m－1＝1，且m<0，解得m＝－1.所以p是q的必要不充分条件．答案：B3．(2017·浙江卷)若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m()A．与a有关，且与b有关B．与a有关，但与b无关C．与a无关，且与b无关D．与a无关，但与b有关解析：设x1，x2分别是函数f(x)在[0，1]上的最小值点与最大值点，则m＝x21＋ax1＋b，M＝x22＋ax2＋b.所以M－m＝x22－x21＋a(x2－x1)，显然此值与a有关，与b无关．答案：B4．(2020·广东揭阳一中检测)定义在R上的函数f(x)＝－x3＋m与函数g(x)＝f(x)＋x3＋x2－kx在[－1，1]是具有相同的单调性，则k的取值范围是()A．(－∞，－2) B．[2，＋∞)C．[－2，2] D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)解析：易知f(x)＝－x3＋m在R上是减函数．依题设，函数g(x)＝x2－kx＋m在[－1，1]上单调递减，所以抛物线的对称轴k2≥1，所以k≥2.答案：B5．(多选题)已知定义在[1－a，2a－5]上的偶函数f(x)在[0，2a－5]上单调递增，则函数f(x)的解析式可能是()A．f(x)＝x2＋a B．f(x)＝－a|x|C．f(x)＝x a D．f(x)＝|x－a|解析：因为函数f(x)是定义在[1－a，2a－5]上的偶函数，所以1－a＋2a－5＝0，解得a＝4，所以函数f(x)的定义域是[－3，3]．研究的区间是[0，3]，从而能够得到A，C项对应的函数都满足在[0，3]上是增函数，B项f(x)＝－a|x|在[0，3]上是减函数，D项不是偶函数，故选AC.答案：AC6．(2020·荆州质检)若对任意x∈[a，a＋2]均有(3x＋a)3≤8x3，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－2] B．(－∞，－1]C．(－∞，0] D．[0，＋∞)解析：因为y ＝x 3在R 上是增函数，由(3x ＋a )3≤8x 3，得3x ＋a ≤2x ，即x ≤－a ，所以∀x ∈[a ，a ＋2]时，x ≤－a 恒成立．所以a ＋2≤－a ，因此a ≤－1.答案：B7．已知幂函数f (x )＝x a的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，则函数g (x )＝(x －1)f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的最小值是________，最大值为________． 解析：由f (x )＝x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12， 得2a＝12，知a ＝－1， 所以g (x )＝x －1x ＝1－1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递增， 所以g (x )min ＝1－2＝－1，g (x )max ＝g (2)＝12. 答案：－1 128．已知函数f (x )为幂函数，且f (4)＝12，则当f (a )＝4f (a ＋3)时，实数a 等于________．解析：设f (x )＝x a ，则4a＝12，所以a ＝－12. 因此f (x )＝x －12，从而a －12＝4(a ＋3)－12，解得a ＝15. 答案：159．设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1<x <4的一切x 值都有f (x )>0，则实数a 的取值范围为________．解析：由题意得a >2x －2x 2对1<x <4恒成立， 又2x －2x 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －122＋12，14<1x <1， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2x 2max ＝12，所以a >12. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 10．已知幂函数f (x )＝(m －1)2xm 2－4m ＋2在(0，＋∞)上单调递增，函数g (x )＝2x －k .(1)求m 的值；(2)当x ∈[1，2)时，记f (x )，g (x )的值域分别为集合A ，B ，设p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，若p 是q 成立的必要条件，求实数k 的取值范围．解：(1)依题意得：(m －1)2＝1⇒m ＝0或m ＝2，当m ＝2时，f (x )＝x －2在(0，＋∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去，所以m ＝0.(2)由(1)得，f (x )＝x 2，当x ∈[1，2)时，f (x )∈[1，4)，即A ＝[1，4)，当x ∈[1，2)时，g (x )∈[2－k ，4－k )，即B ＝[2－k ，4－k )，因p 是q 成立的必要条件，则B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧2－k ≥1，4－k ≤4，即⎩⎪⎨⎪⎧k ≤1，k ≥0，得0≤k ≤1. 故实数k 的取值范围是[0，1]．[B 级 能力提升]11.幂函数y ＝x α，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图所示)，设点A (1，0)，B (0，1)，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝xa ，y ＝xb 的图象三等分，即有BM ＝MN ＝NA ，那么a －1b＝( )A ．0B ．1 C.12 D ．2解析：因为BM ＝MN ＝NA ，点A (1，0)，B (0，1)，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，13， 将两点坐标分别代入y ＝x a ，y ＝x b，得a ＝log 1323，b ＝log 2313. 所以a －1b ＝log 1323－1log 2313＝0. 答案：A12.右图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)图象的一部分，图象过点A (－3，0)，对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论：①b 2>4ac ；②2a －b ＝1；③a －b ＋c ＝0；④5a <b .其中正确的是________．(填写序号)解析：因为图象与x 轴交于两点，所以b 2－4ac >0，即b 2>4ac ，①正确．对称轴为x ＝－1，即－b 2a＝－1，2a －b ＝0，②错误．结合图象，当x ＝－1时，y >0，即a －b ＋c >0，③错误．由对称轴为x ＝－1知，b ＝2a .根据抛物线开口向下，知a <0，所以5a <2a .所以5a <b ，④正确．答案：①④13．已知二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈[－1，1]时，函数y ＝f (x )的图象恒在函数y ＝2x ＋m 的图象的上方，求实数m 的取值范围．解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (x ＋1)－f (x )＝2x ，得2ax ＋a ＋b ＝2x .所以2a ＝2，且a ＋b ＝0，解得a ＝1，b ＝－1.又f (0)＝1，所以c ＝1.因此f (x )的解析式为f (x )＝x 2－x ＋1.(2)因为当x ∈[－1，1]时，y ＝f (x )的图象恒在y ＝2x ＋m 的图象上方，所以在[－1，1]上，x 2－x ＋1＞2x ＋m 恒成立．即x 2－3x ＋1＞m 在区间[－1，1]上恒成立．所以令g (x )＝x 2－3x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－54， 因为g (x )在[－1，1]上的最小值为g (1)＝－1，所以m ＜－1.故实数m 的取值范围为(－∞，－1)．[C 级 素养升华]14．(多选题)由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：“已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点(1，0)，…，求证：这个二次函数的图象关于直线x＝2对称．”根据已知消息，题中二次函数的图象具有的性质是()A．在x轴上截得的线段长是2B．与y轴交于点(0，3)C．顶点为(2，－2)D．过点(3，0)解析：因为函数图象过点(1，0)，且对称轴是直线x＝2，所以可求得函数的解析式为y＝x2－4x＋3.令y＝0，得x＝1或x＝3，所以在x轴上截得的线段长是2，故A正确；令x＝0，可得该函数图象与y 轴的交点为(0，3)，故B正确；由函数的解析式可得其图象的顶点坐标为(2，－1)，故C错误；易知该函数图象与x轴的交点为(1，0)和(3，0)，故D正确．答案：ABD。

专题5 函数嵌套1．已知函数2()(1)x f x x x e =−−，设关于x 的方程25()()()f x mf x m R e−=∈有n 个不同的实数解，则n 的所有可能的值为( ) A ．3B ．1或3C ．4或6D ．3或4或6【解析】解：22()(21))(1)(2)x x x f x e x x x e e x x ′=−++−−=+−， ∴当2x <−或1x >时，()0f x ′>，当21x −<<时，()0f x ′<，()f x ∴在(,2)−∞−上单调递增，在(2,1)−上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， ()f x 的极大值为25(2)f e −=，()f x 的极小值为f （1）e =−． 作出()f x 的函数图象如图所示：25()()()f x mf x m R e−=∈，25()()0f x mf x e ∴−−=，△2200m e=+>， 令()f x t =则，则125t t e=−．不妨设120t t <<，（1）若1t e <−，则2250t e <<，此时1()f x t =无解，2()f x t =有三解； （2）若1t e =−，则225t e =，此时1()f x t =有一解，2()f x t =有两解； （3）若10e t −<<，则225t e >，此时1()f x t =有两解，2()f x t =有一解； 综上，25()()f x mf x e−=有三个不同的实数解．故选：A ．2．已知函数())f x x R =∈，若关于x 的方程2()()10f x mf x m −+−=恰好有4个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为( ) A．(1,1)2e+ B．(0 C ．1(1,1)e+ D．【解析】解：化简可得0()0x f x x =<…，当0x >时，()0f x …，()f x ′= 当102x <<时，()0f x ′>，当12x >时，()0f x ′<， 故当12x =时，函数()f x有极大值1()2f =； 当0x <时，()0f x ′=<，()f x 为减函数，作出函数()f x 对应的图象如图：∴函数()f x 在(0,)+∞上有一个最大值为1()2f =； 设()t f x =，当t >()t f x =有1个解，当t =()t f x =有2个解，当0t <<时，方程()t f x =有3个解， 当0t =时，方程()t f x =有1个解， 当0t <时，方程()m f x =有0个解，则方程2()()10f x mf x m −+−=等价为210t mt m −+−=，等价为方程21(1)[(1)]0t mt m t t m −+−=−−−=有两个不同的根1t =，或1t m =−， 当1t =时，方程()t f x =有1个解，要使关于x 的方程2()()10f x mf x m −+−=恰好有4个不相等的实数根，则1t m −∈，即01m <−<11m <<+， 则m的取值范围是1) 故选：A ．3．已知函数|1|2,0()21,0x e x f x x x x − >= −−+…，若方程2()()20f x bf x ++=有8个相异实根，则实数b 的取值范围()A ．(4,2)−− B．(4,−− C ．(3,2)−− D．(3,−−【解析】解：令()f x t =，则方程2()()20f x bf x ++=⇔方程220t bt ++=． 如图是函数|1|2,0()21,0x e x f x x x x − >= −−+ …，的图象，根据图象可得：方程2()()20f x bf x ++=有8个相异实根⇔方程220t bt ++=．有两个不等实数解1t ，2t 且1t ，2(1,2)t ∈．可得22280112032220122b b b b b =−> ++> ⇒−<<− ++><−< ． 故选：D ．4．已知函数22,0()(1),0x x x f x ln x x −+>= −+< ，关于x 的方程2()2()10()f x af x a a R −+−=∈有四个相异的实数根，则a 的取值范围是( )A ．(,0)−∞B ．[1，)+∞C ．(,0)[2−∞ ，)+∞D ．(−∞，0)(1∪，)+∞【解析】解：函数22,0()(1),0x x x f x ln x x −+>=−+< 的图象如图： 方程2()2()10()f x af x a a R −+−=∈有四个相异的实数根， 必须()f x 由两个解，一个()1f x >，一个()(0f x ∈，1)， 或者()(0f x ∈，1)，另一个()0f x …，2()2()10()f x af x a a R −+−=∈，可得()f x a =±，当1a >时，1a +>，(0,1)a −．满足题意．当1a =时，2a +=，0a −=，不满足题意． 考察选项可知，D 正确； 故选：D ．5．已知函数33,0()1,0xx x x f x x lnx x ex −= ++> …，若关于x 的方程2()()10f x mf x −−=恰好有6个不相等的实根，则实数m 的取值范围是( ) A ．(2−，11e + )B ．(2−，0 )(∪ 0，11e + )C ．2321(,)2e e e+−+D ．( 32−，0 )(∪ 0，221)e e e ++【解析】解：当0x …时，3()3f x x x =−，则2()333(1)(1)f x x x x ′=−=−+， 令()0f x ′=得：1x =−，∴当(,1)x ∈−∞−时，()0f x ′<，()f x 单调递减；当(1,0)x ∈−时，()0f x ′>，()f x 单调递增，且(1)2f −=−，(0)0f =，当0x >时，1()x x lnx f x e x +=+，则21()x x lnxf x e x−−′=+，显然f ′（1）0=，∴当(0,1)x ∈时，()0f x ′>，()f x 单调递增；当(1,)x ∈+∞时，()0f x ′<，()f x 单调递减，且f （1）11e=+， 故函数()f x 的大致图象如图所示：，令()t f x =，则关于x 的方程2()()10f x mf x −−=化为关于t 的方程210t mt −−=， △240m =+>，∴方程210t mt −−=有两个不相等的实根，设为1t ，2t ， 由韦达定理得：12t t m +=，1210t t =−<，不妨设10t >，20t <，关于x 的方程2()()10f x mf x −−=恰好有6个不相等的实根， ∴由函数()f x 的图象可知：1101t e<<+，220t −<<，设2()1g t t mt =−−，则(2)0(0)01(1)0g g g e−>< +>，解得：23212e m e e+−<<+， 故选：C ．6．已知函数|1|221,0()21,0x x f x x x x − −= ++< …，若关于x 的方程22()(1)()20f x m f x m −++=有五个不同实根，则m 的值是( ) A ．0或12B ．12C ．0D ．不存在【解析】解：画出函数()f x 的图象，如图所示：，当()1f x =时，有三个根，把()1f x =代入方程22()(1)()20f x m f x m −++=得，21(1)20m m −++=， 解得：0m =或12， 当0m =时，方程22()(1)()20f x m f x m −++=为2()()0f x f x −=，所以()0f x =或1，所以有五个根， 当12m =时，方程22()(1)()20f x m f x m −++=为231()()022f x f x −+=，所以()1f x =或12，所以有7个根，舍去，综上所求，0m =时，方程22()(1)()20f x m f x m −++=有五个不同实根， 故选：C ．7．已知函数2(2),0()|2|,0x x f x x x += −>…，方程2()()0f x af x −=（其中(0,2))a ∈的实根个数为p ，所有这些实根的和为q ，则p 、q 的值分别为( ) A ．6，4B ．4，6C ．4，0D ．6，0【解析】解：2()()0f x af x −= ， ()0f x ∴=或()f x a =．作出()f x 的函数图象如图所示：由图象可知()0f x =有两解，()f x a =有四解． 6p ∴=．由图象可知()0f x =的两解为2x =−，2x =，()f x a =的四个解中，较小的两个关于直线2x =−对称，较大的两个关于直线2x =对称， 0q ∴=．故选：D ．8．已知函数()(1)(1)g x a x ln x =++的图象在点2(1e −，2(1))g e −处的切线与直线610x y ++=垂直( 2.71828e =…是自然对数的底数），函数()f x 满足3()(1)0xf x g x x +−−=，若关于x 的方程2()()0(f x bf x c b −+=，c R ∈，且0)c <在区间1[,]e e上恰有3个不同的实数解，则实数b 的取值范围是()A ．21(1,2]e + B ．221[2,2]e e+−C ．2221[2,]e e e−+ D ．221(2,]e e+ 【解析】解：函数()(1)(1)g x a x ln x =++的导数为()(1)g x aln x a ′=++， 可得()g x 图象在点2(1e −，2(1))g e −处的切线斜率为3a ， 由切线与直线610x y ++=垂直，可得36a =， 解得2a =，()2(1)(1)g x x ln x =++，3()(1)0xf x g x x +−−=，可得2()2f x x lnx =−， 导数为222(1)(1)()2x x f x x x x −+′=−=， 当1x >时，()0f x ′>，()f x 递增；当01x <<时，()0f x ′<，()f x 递减． 即有1x =处()f x 取得最小值1． 则()f x 在1[e，]e 的图象如右：若关于x 的方程2()()0(f x bf x c b −+=，c R ∈，且0)c < 在区间1[,]e e上恰有3个不同的实数解，可令()t f x =，则20t bt c −+=，（1） 可得t 的范围是[1，22]e −，方程（1）判别式为240b c −>，必有两不同的实数解， 设为1t ，2t ，12t t b +=， 可得11t =，22112t e<+…， 即21112b e <−+…， 解得2123b e <+…，① 又212122t e e +<−…， 22112t e <+…， 则21222113t t b e e e+<+=+…，② 由①②求并可得2212b e e <+…， 故选：D ．9．已知函数()1xf x x =+，(1,)x ∈−+∞，若关于x 的方程2()|()|230f x m f x m +++=有三个不同的实数解，则m 的取值范围是( ) A ．3(2−，0)B ．3(2−，4)3−C ．3(2−，4]3−D ．4(3−，0)【解析】解：1()11f x x −=++，|()|y f x =，(1,)x ∈−+∞的图象如下：设|()|f x t =，则2|()||()|230f x m f x m +++=有三个不同的实数解，即为2230t mt m +++=有两个根， ①0t =时，代入2230t mt m +++=得32m =−，即2302t t −=，另一根为32只有一个交点，舍去②一个在(0,1)上，一个在[1，)+∞上时， 设2()23h t t mt m =+++(0)230(1)1230h m h m m =+>=+++ …，解得3423m −<−…． 故选：C ．10．已知函数2()x x f x e=，若关于x 的方程2[()]()10f x mf x m ++−=恰有3个不同的实数解，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,2)B ．1(1,2)e −C ．24{1,1}e −D ．24(1,1)e − 【解析】解：函数2()x x f x e=的导数为22()x x x f x e −′=， 当02x <<时，()0f x ′>，()f x 递增；当2x >或0x <时，()0f x ′<，()f x 递减，可得()f x 在0x =处取得极小值0，在2x =处取得极大值241e <， 作出()y f x =的图象，设()t f x =，关于x 的方程2()()10f x mf x m ++−=，即为210t mt m ++−=，解得1t =−或1t m =−，当1t =−时，()1f x =−无实根； 由题意可得当241(0,)t m e =−∈， 解得241m e −=或1m =， 所以24(1m e ∈−，1) 故选：D ．11．已知函数()1x x f x e=−，若关于x 的方程2[()]()10f x mf x m ++−=恰有3个不同的实数解，则实数m 的取值集合是( )A ．(−∞，2)(2∪，)+∞B ．1(2,)e −+∞C ．1(2,2)e −D ．12e −【解析】解：由题意1()x x f x e −′=．令1()0xx f x e −′==，解得1x =； 且1x >时，()0f x ′<，1x <时，()0f x ′>，所以()f x 在(,1)−∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， 在1x =处取极大值11e=−． ()f x 大致图象如下：令()t f x =，则2[()]()10f x mf x m ++−=可化为210t mt m ++−=． 假设2m =，则2210t t ++=．解得1t =−，即()1f x =−．根据()f x 图象，很明显此时只有一个解，故2m =不符合题意，由此排除B 选项；假设3m =，则2320t t ++=，解得12t =−，21t =−．即()2f x =−，或()1f x =−．根据()f x 图象，很明显此时方程只有两个解，故3m =不符合题意，由此排除A 选项． 假设12m e=−时，则211(2)10t t e e +−+−=，解得111t e =−，21t =−． 即()1f x =−或1()1f x e=−， 根据()f x 的图象，很明显此时方程只有两个根， 故12m e=−不符合题意，由此排除D 故选：C ．12．已知函数||||()1x x f x e =+，2(),0()2,0f x x g x x x a x = −+>…，且g （1）0=，则关于x 的方程(())10g g x t −−=实根个数的判断正确的是( )A ．当2t <−时，方程(())10g g x t −−=没有相异实根B ．当110t e−+<<或2t =−时，方程(())10g g x t −−=有1个相异实根 C ．当111t e <<+时，方程(())10g g x t −−=有2个相异实根 D ．当111t e−<<−+或01t <…或11t e =+时，方程(())10g g x t −−=有4个相异实根 【解析】解：当0x …时，||||()111x x x x x f x xe e e−−=+=+=−+， 因为g （1）0=，所以120a −+=，所以1a =，所以21,0()21,0x xe x g x x x x −+= −+> …， 图象如图所示：当0x …时，0x −…，0x e >， 则11x xe −+…，当且仅当0x =时等号成立，()g x 在(,1)−∞−上是增加的，在(1,0)−上是减少的；当0x >时，()f x 在(0,1)上是减少的，在(1,)+∞上是增加的，故()(1)0g x g −=…恒成立．故()g x 在(,1)−∞−上是增加的，在(1,1)−上是减少的，在(1,)+∞上是增加的． 令()m g x t =−，则()10g m −=，解得：0m =或2m =，当0m =即()0g x t −=时，()g x t =，当2t <−时，()2g x <−，无解，当2m =即()2g x t −=时，()2g x t =+，当2t <−时，()0g x <，无解，故方程(())10g g x t −−=没有相异实根，故A 正确；当2t =−时，由A 可知：()0g x =，解得1x =， 当110t e −+<<时，12(1,2)t e+∈+， 由上可知()f x 在1x =−时取得极大值为1(1)1g e−=+， 结合图象可知，此时2y t =+与()g x 有且仅有一个交点，故B 正确； 当111t e<<+时，()g x t =或()2g x t =+， 若()g x t =，结合图象可知()g x 与y t =有三个不同的交点，若()2g x t =+，12(3,3)t e+∈+， 此时()g x 与y t =有一个交点，故方程(())10g g x t −−=有4个相异实根，故C 错误； 当111t e −<<−+时，1()2(1,1)g x t e=+∈+， 由C 可知此时有三个不等实根，当01t <…时，()g x t =或()2g x t =+，当()g x t =时，由图可知有两个不等实根，当()2g x t =+时，由图可知有一个实根， 当11t e=+时，()g x t =或()2g x t =+， 当()g x t =时，由图可知有两个不等实根，当()2g x t =+时，由图可知有一个实根，故此时方程(())10g g x t −−=共有9个不等实根，故D 错误．故选：AB ．13．已知函数,1()1,12lnx x f x x x = −< …，则函数()(()1)g x f f x =+的零点是 1 ，若()(()1)h x f f x m =++有两个零点1x ，2x ，则12x x +的最小值是 ．【解析】解：()(()1)g x f f x =+，,1()1,12lnx x f x x x = −< …， 当1x …时，0lnx …，()11f x +…，则(()1)(1)f f x ln lnx +=+，当1x <时，1112x −+>，则(()1)(2)2x f f x ln +=−． (1),1()(()1)(2),12ln lnx x g x f f x x ln x + ∴=+= −< …， 令()0g x =，则1(1)0x ln lnx += …或1(2)02x x ln < −= ， 解得1x =．故函数()(()1)g x f f x =+的零点是1；由上可知，(()1)(()1)f f x ln f x +=+，()(()1)h x f f x m =++有两个零点1x ，2x ，即(()1)ln f x m +=−有两根，也就是()1m f x e −+=，()1m f x e −=−有两根1x ，2x ，不妨设12x x <， 当1x …时，21m lnx e −=−，当1x <时，1112m x e −−=−， 令112m t e −=−>，则 2lnx t =，2t x e =，112x t −=，122x t =−， ∴1222t x x e t +=+−，12t >， 设()22t t e t ϕ=+−，12t >， 则()2t t e ϕ′=−，可得当1(2t ∈，)lnt 时，()0t ϕ′<， 当(,)t lnt ∈+∞时，()0t ϕ′>，则()t ϕ的最小值为(2)422ln ln ϕ=−．12x x ∴+的最小值是422ln −．故答案为：1；422ln −．14．已知函数,1()1,12lnx x f x x x = −< …，若()(()1)F x f f x m =++有两个零点1x ，2x ，则12x x 的取值范围(−∞ ．【解析】解：当1x …时，()0f x lnx =…，则()11f x +…，(()1)(()1)f f x ln f x ∴+=+，当1x <时，1()122x f x =−>，则3()12f x +>， (()1)(()1)f f x ln f x ∴+=+，综上可知，()(()1)(()1)F x f f x m ln f x m =++=++，令()0F x =，得()1m f x e −+=，依题意，()1m f x e −=−有两个根1x ，2x ，不妨设12x x <， 当1x …时，21m lnx e −=−，当1x <时，1112m x e −−=−， 令112m t e −=−>，则1221,,1,222t x lnx t x e t x t ==−==−， ∴121(22),2t x x e t t =−>， 设1()(22),2t g t e t t =−>，则()20t g t te ′=−<，()g t ∴在1(,)2+∞上单调递减，∴1()()2g t g <， 12x x ∴的取值范围为(−∞．故答案为：(−∞．15．已知函数,2()48,25x ex x e f x x x x= − > …（其中e 为自然对数的底数），若关于x 的方程22()3|()|20f x a f x a −+=恰有5个相异的实根，则实数a 的取值范围为 1{}2 ． 【解析】解：当2x …时，令()0xe exf x e −′==，解得1x =， 所以当1x …时，()0f x ′>，则()f x 单调递增，当12x 剟时，()0f x ′<，则()f x 单调递减， 当2x >时，4848()555x f x x x −==−单调递增，且()[0f x ∈，4)5作出函数()f x 的图象如图：（1）当0a =时，方程整理得2()0f x =，只有2个根，不满足条件；（2）若0a >，则当()0f x <时，方程整理得22()3()2[()2][()]0f x af x a f x a f x a ++=++=，则()20f x a =−<，()0f x a =−<，此时各有1解，故当()0f x >时，方程整理得22()3()2[()2][()]0f x af x a f x a f x a −+=−−=，()2f x a =有1解同时()f x a =有2解，即需21a =，12a =，因为f （2）22212e e e ==>，故此时满足题意；或()2f x a =有2解同时()f x a =有1解，则需0a =，由（1）可知不成立； 或()2f x a =有3解同时()f x a =有0解，根据图象不存在此种情况，或()2f x a =有0解同时()f x a =有3解，则21245a a e> < …，解得245a e <…， 故2[a e ∈，4)5（3）若0a <，显然当()0f x >时，()2f x a =和()f x a =均无解，当()0f x <时，()2f x a =−和()f x a =−无解，不符合题意．综上：a 的范围是12{}[2e ，4)5故答案为12{}[2e ，4)516．已知函数231,0()26,0a x x f x x lnx x x ++< = −> ，若关于x 的方程()()0f x f x +−=恰有四个不同的解，则实数a 的取值范围是 (2,0)− ．【解析】解：已知定义在(−∞，0)(0∪，)+∞上的函数231,0()26,0a x x f x x lnx x x ++< = −> ， 若()()0f x f x +−=在定义域上有四个不同的解 等价于231a y x x =++关于原点对称的函数231a y x x=−+−与函数()26(0)f x lnx x x =−>的图象有两个交点， 联立可得226310a lnx x x x −+−+=有两个解， 即23263a xlnx x x x =−++，0x >，可设23()263g x xlnx x x x =−++，0x >，2()32129g x lnx x x ′=+−+，2()1812120g x x x ′′=+−−=…，可得()g x ′在(0,)+∞递增， 由g ′（1）0=，可得01x <<时，()0g x ′<，()g x 递减；1x >时，()0g x ′>，()g x 递增， 即()g x 在1x =处取得极小值且为2−，作出()y g x =的图象，可得20a −<<时，226310a lnx x x x−+−+=有两个解， 故答案为：(2,0)−．17．已知函数21,0()21,0x x f x x x x + = −+> …，若关于x 的方程2()()0f x af x −=恰有5个不同的实数解，则a 的取值范围是 (0,1) ．【解析】解：作()f x 的图象如下，，2()()()(())0f x af x f x f x a −=−=， ()0f x ∴=或()f x a =； ()0f x = 有两个不同的解， 故()f x a =有三个不同的解， 故(0,1)a ∈；故答案为：(0,1)．18．已知函数()|1|33f x x x x =−−+．（1）求函数()f x 的零点；（2）若关于x 的方程2()()0(f x mf x n m −+=、)n R ∈恰有5个不同的实数解，求实数m 的取值范围．【解析】解：（1）由题得2223,(1)()|1|3343,(1)x x x f x x x x x x x −−+<=−−+= −+…， ①当1x <时，令()0f x =，得3x =−或1x =（舍)；②当1x …时，令()0f x =，得1x =或3x =， ∴函数()f x 的零点是3−，1，3；（2）作出函数2223,(1)()|1|3343,(1)x x x f x x x x x x x −−+<=−−+= −+…的大致图象，如图：令()t f x =，若关于x 的方程2()()0f x mf x n −+=恰有5个不同的实数解， 解法一：则函数2()g t t mt n =−+的零点分布情况如下：①当11t =−，2(1,4)t ∈−时，则(1)0(4)0142g g b a −= > −<−< ，得101640142m n m n m ++= −+> −<< ，故(2,3)m ∈−； ②当14t =，2(1,4)t ∈−时，则(4)0(1)0142g g b a = −> −<−< ，得164010142m n m n m −+= ++> −<< ，故(3,8)m ∈．综上所述，实数m 的取值范围为(2m ∈−，3)(3∪，8)； 解法二：则方程20t mt n −+=的根的情况如下： ①当11t =−，2(1,4)t ∈−时，由11t =−得10m n ++=，则方程2(1)0t mt m −−+=，即(1)(1)0t t m +−−=，故21(1,4)t m =+∈−，所以(2,3)m ∈−； ②当14t =，2(1,4)t ∈−时，由14t =得1640m n −+=，则方程24(4)0t mt m −+−=，即(4)(4)0t t m −−+=，故24(1,4)t m =−∈−，所以(3,8)m ∈．综上所述，实数m 的取值范围为(2m ∈−，3)(3∪，8)．19．已知函数2()sin()2cos 1,468f x x x x R πππ=−−+∈． （1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）若关于x 的方程()()24410,43f x mf x x −+=∈在内有实数解，求实数m 的取值范围． 【解析】解：（1）23()sin()2cos 1sin cos cos sin cos cos sin()4684646442443f x x x x x x x x ππππππππππππ=−−+=−−=−=−… （3分） ∴函数()f x 的最小正周期为8．…（4分） 令222432k x k ππππππ−−+剟，k Z ∈，求得2108833k x k −+剟，k z ∈，故函数的单调递增区间为210[8,8]33k k −+，k Z ∈…（6分）（2）设()t f x =，4(3x ∈ ，4)，∴2(0,)433x πππ−∈，()(0f x ∴∈，∴方程2410t mt −+=在(0t ∈内有实数解，即当(0t ∈时方程有实数解．…（10分） 11442t t t += 当且仅当…时取等号，4m ∴…，…（8分） 故实数m 的取值范围是[4，)+∞．…（12分） 20．已知函数()g x 对一切实数x ，y R ∈都有()()(22)g x y g y x x y +−=+−成立，且g （1）0=，()(1)(h x g x bx c b =+++，)c R ∈，()()g x f x x=． （Ⅰ）求(0)g 的值和()g x 的解析式；（Ⅱ）记函数()h x 在[1−，1上的最大值为M ，最小值为m ．若4M m −…，当0b >时，求b 的最大值；（Ⅲ）若关于x 的方程2(|21|)30|21|x x k f k −+−=−有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围． 【解析】解：（Ⅰ）令1x =，0y =得g （1）(0)1g −=−，g （1）0=，(0)1g ∴=， 令0y =得()(0)(2)g x g x x −=−，即2()21g x x x =−+．（Ⅱ）2()(1)h x g x bx c x bx c =+++=++．①当12b −<−，即2b >时，M m h −=（1）(1)24h b −−>，与题设矛盾②当102b −−<…时，即02b <…时，M m h −=（1）2()(1)422b b h −−+…恒成立， 综上可知当02b <…时，b 的最大值为2．（3）当0x =时，210x −=则0x =不是方程的根， 方程2(|21|)30|21|x x k f k −+−=−可化为： 2|21|(23)|21|(12)0x x k k −−+−++=，|21|0x −≠， 令|21|x t −=，则方程化为2(23)(12)0t k t k −+++=，(0)t >， 方程2(|21|)310|21|x x k f k −+−−=−有三个不同的实数解， ∴由|21|x t =−的图象知， 2(23)(12)0t k t k −+++=，(0)t >，有两个根1t 、2t ， 且1201t t <<<或101t <<，21t =． 记2()(23)(12)h t t k t k =−+++，则(0)210(1)0h k h k =+> =−<，此时0k >， 或(0)210(1)032012h k h k k =+> =−= + << ，此时k 无解， 综上实数k 的取值范围是(0,)+∞．。

2021届高考数学（理）考点复习幂函数与二次函数1．幂函数 (1)幂函数的定义一般地，形如y ＝x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数． (2)常见的五种幂函数的图象和性质比较函数y ＝xy ＝x 2y ＝x 3y ＝12xy ＝x －1图象性质定义域 R R R {x |x ≥0} {x |x ≠0} 值域 R {y |y ≥0} R {y |y ≥0} {y |y ≠0} 奇偶性 奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R 上单调递增在(－∞，0]上单调递减；在(0，＋∞)上单调递增在R 上单调递增在[0，＋∞)上单调递增在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减公共点(1,1)2.二次函数的图象和性质解析式f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象定义域 RR值域 ⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a单调性在x ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上单调递减； 在x ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上单调递增；在x ∈⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上单调递增 在x ∈⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上单调递减 对称性函数的图象关于直线x ＝－b2a对称概念方法微思考1．二次函数的解析式有哪些常用形式？ 提示 (1)一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)； (2)顶点式：y ＝a (x －m )2＋n (a ≠0)； (3)零点式：y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)．2．已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，写出f (x )≥0恒成立的条件． 提示 a >0且Δ≤0.3．函数y ＝2x 2是幂函数吗？ 提示 不是．1．（2016•新课标Ⅲ）已知432a =，254b =，1325c =，则( ) A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a << D ．c a b <<【答案】A【解析】423324a ==， 2244255534(2)22b a ===<<，1233242554233c a ==>==，综上可得：b a c <<， 故选A ．2．（2015•北京）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况 加油时间 加油量（升) 加油时的累计里程（千米） 2015年5月1日 12 35000 2015年5月15日4835600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为( )A ．6升B ．8升C ．10升D ．12升【答案】B【解析】由表格信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600千米，所以该车每100千米平均耗油量4868÷=； 故选B ．3．（2017•浙江）若函数2()f x x ax b =++在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则(M m -)A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关【答案】B【解析】函数2()f x x ax b =++的图象是开口朝上且以直线2ax =-为对称轴的抛物线，①当12a ->或02a-<，即2a <-，或0a >时，函数()f x 在区间[0，1]上单调， 此时|M m f -=（1）(0)||1|f a -=+， 故M m -的值与a 有关，与b 无关 ②当1122a-，即21a --时， 函数()f x 在区间[0，]2a -上递减，在[2a-，1]上递增，且(0)f f >（1），此时2(0)()24a a M m f f -=--=，故M m -的值与a 有关，与b 无关 ③当1022a -<，即10a -<时， 函数()f x 在区间[0，]2a -上递减，在[2a-，1]上递增，且(0)f f <（1），此时M m f -=（1）2()124a a f a --=++，故M m -的值与a 有关，与b 无关 综上可得：M m -的值与a 有关，与b 无关 故选B ．4．（2017•上海）函数2()(1)f x x =-的单调递增区间是( ) A ．[0，)+∞ B ．[1，)+∞ C ．(-∞，0] D ．(-∞，1]【答案】B【解析】函数()f x 的对称轴是1x =，开口向上， 故()f x 在[1，)+∞递增， 故选B ．5．（2016•新课标Ⅱ）已知函数()()f x x R ∈满足()(2)f x f x =-，若函数2|23|y x x =--与()y f x =图象的交点为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，⋯，(m x ，)m y ，则1(mi i x ==∑ )A ．0B ．mC ．2mD ．4m【答案】B【解析】函数()()f x x R ∈满足()(2)f x f x =-， 故函数()f x 的图象关于直线1x =对称，函数2|23|y x x =--的图象也关于直线1x =对称，故函数2|23|y x x =--与()y f x = 图象的交点也关于直线1x =对称， 故122mi i mx m ==⨯=∑， 故选B ．6．（2018•上海）已知{2α∈-，1-，11,22-，1，2，3}，若幂函数()f x x α=为奇函数，且在(0,)+∞上递减，则α=__________． 【答案】1-【解析】{2α∈-，1-，11,22-，1，2，3}，幂函数()f x x α=为奇函数，且在(0,)+∞上递减， a ∴是奇数，且0a <，1a ∴=-．故答案为：1-．7．（2019•上海）如图，已知正方形OABC ，其中(1)OA a a =>，函数23y x =交BC 于点P ，函数12y x-=交AB 于点Q ，当||||AQ CP +最小时，则a 的值为__________．3【解析】由题意得：P 点坐标为(3a ，)a ，Q 点坐标为1()a a ，11||||233a AQ CP a+=，当且仅当3a = 38．（2016•上海）函数221y x x =-+在区间[0，]m 上的最小值为0，最大值为1，则实数m 的取值范围是__________． 【答案】12m 【解析】22()21(1)f x x x x =-+=-，∴对称轴1x =，f ∴（1）0=，f （2）1=，(0)1f =，2()21f x x x =-+在区间[0，]m 上的最大值为1，最小值为0， ∴21()(1)1m f m m ⎧⎨=-⎩，12m ∴， 故答案为：12m ．1．（2020•重庆模拟）已知点1(2,)8在幂函数()n f x x =的图象上，设3(a f =，()b f ln π=，2(2c f =，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a << D ．a c b <<【答案】C【解析】点1(2,)8在幂函数()n f x x =的图象上，∴128n =，3n ∴=-， ∴幂函数331()f x x x -==，在(0,)+∞上单调递减， 又321ln π<<<， ∴32((()f f f ln π>>，即a c b >>， 故选C ．2．（2020•三明模拟）已知幂函数2242()(1)mm f x m x -+=-在(0,)+∞上单调递增，函数()2x g x t =-，对于任意1[1x ∈，5)时，总存在2[1x ∈，5)使得12()()f x g x =，则t 的取值范围是( ) A ．∅ B ．7t 或1t C ．7t >或t l < D ．17t【答案】D【解析】幂函数2242()(1)m m f x m x -+=-在(0,)+∞上单调递增，∴22(1)1420m m m ⎧-=⎨-+>⎩，解得0m =，2()f x x ∴=，当1[1x ∈，5)时，1()[1f x ∈，25)，设集合[1A =，25)，又当2[1x ∈，5)时，2()[2g x t ∈-，32)t -，设集合[2B t =-，32)t -， 由题意得：A B ⊆，∴213225t t -⎧⎨-⎩，解得：17t ，故选D ．3．（2020•武昌区模拟）已知点(,8)m 在幂函数()(1)n f x m x =-的图象上，设()ma f n=，()b f ln π=，()c f n =，则( )A ．b a c <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．a c b <<【答案】B【解析】由幂函数的定义可知，11m -=，2m ∴=，∴点(2,8)在幂函数()n f x x =上，28n ∴=，3n ∴=，∴幂函数解析式为3()f x x =，在R 上单调递增，23m n =，13ln π<<，3n =， ∴mln n nπ<<， a b c ∴<<，故选B ．4．（2020•金安区校级模拟）已知幂函数1()n f x mx +=是定义在区间[2-，]n 上的奇函数，设2(sin)7a f π=，2(cos )7b f π=，2(tan )7c f π=，则( )A ．b a c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a b c <<【答案】A【解析】根据幂函数1()n f x mx +=是定义在区间[2-，]n 上的奇函数， 得1m =，且20n -+=，解得2n =；3()f x x ∴=，且在定义域R 上是单调增函数； 又20472πππ<<<， 222cossin 1tan777πππ∴<<<， 222(cos)(sin )(tan )777f f f πππ∴<<， 即b a c <<． 故选A ．5．（2020•B 卷模拟）已知幂函数()y f x =的图象经过点(4,2)，则f （2）(= ) A ．14B ．4C 2D 2【答案】D【解析】设()a f x x =，因为幂函数图象过(4,2)， 则有24a=，12a ∴=，即12()f x x =，f ∴（2）1222==故选D ．6．（2020•江门模拟）若函数()f x 是幂函数，且满足(4)3(2)f f =，则1()2f 的值为( ) A ．3- B ．13-C ．3D ．13【答案】D【解析】设()(f x x αα=为常数），满足(4)3(2)f f =，∴432αα=，2log 3α∴=．∴23()log f x x =．则2311()223log f -==．故选D ．7．（2020•福田区校级模拟）已知幂函数1()(21)a g x a x +=-的图象过函数1()(0,1)2x b f x m m m -=->≠的图象所经过的定点，则b 的值等于( ) A ．12±B ．22±C ．2D ．2±【答案】B【解析】函数1()(21)a g x a x +=-是幂函数， 211a ∴-=，解得1a =，2()g x x ∴=；令0x b -=，解得x b =，∴函数1()2x b f x m -=-的图象经过定点1(,)2b ，212b ∴=，解得2b =．故选B ．8．（2013秋•鹰潭期末）对于幂函数45()f x x =，若120x x <<，则12()2x x f +，12()()2f x f x +大小关系是( ) A ．1212()()()22x x f x f x f ++>B ．1212()()()22x x f x f x f ++<C ．1212()()()22x x f x f x f ++=D ．无法确定 【答案】A【解析】幂函数45()f x x =在(0,)+∞上是增函数，图象是上凸的，∴当120x x <<时，应有1212()()()22x x f x f x f ++>． 故选A ．9．（2018•保定一模）已知函数()f x 既是二次函数又是幂函数，函数()g x 是R 上的奇函数，函数()()1()1g x h x f x =++，则(2018)(2017)(2016)h h h h +++⋯+（1）(0)(1)(2016)(2017)(2018)(h h h h h ++-+⋯-+-+-= )A ．0B ．2018C ．4036D ．4037【答案】D【解析】函数()f x 既是二次函数又是幂函数，2()f x x ∴=，()1f x ∴+为偶函数； 函数()g x 是R 上的奇函数， ()()()1g x m x f x =+为定义域R 上的奇函数；函数()()1()1g x h x f x =++，()()()()()()[1][1][]22()1()1()1()1g x g x g x g x h x h x f x f x f x f x --∴+-=+++=++=+-+++，(2018)(2017)(2016)h h h h ∴+++⋯+（1）(0)(1)(2016)(2017)(2018)h h h h h ++-+⋯+-+-+- [(2018)(2018)][(2017)(2017)][h h h h h =+-++-+⋯+（1）(1)](0)h h +-+ 2221=++⋯++ 220181=⨯+4037=．故选D ．10．（2019•大武口区校级三模）已知点(2,8)在幂函数()n f x x =的图象上，设32(),(),(a f b f ln c f π===，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a c b << B ．a b c << C ．b c a << D ．b a c <<【答案】A【解析】由点(2,8)在幂函数()n f x x =的图象上，得82n =，即3n =．3()f x x ∴=，单调递增， 又1ln π>321<， a c b ∴<<．故选A ．11．（2019•陕西二模）已知点(2,8)在幂函数()n f x x =图象上，设0.51(())2a f =，0.2(2)b f =，21(log )2c f =，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b a c >>B ．a b c >>C ．c b a >>D ．b c a >>【答案】A【解析】点(2,8)在幂函数()n f x x =图象上， f ∴（2）28n ==，解得3n =，3()f x x ∴=， 0.5 1.5 1.511(())()222a f -===，0.20.6(2)2b f ==，321(log )(1)(1)12c f f ==-=-=-，a ∴，b ，c 的大小关系为b a c >>．故选A ．12．（2019•陕西二模）已知点(2,8)在幂函数()n f x x =图象上，设0.30.212455(()),(()),(log )544a fb fc f ===，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．b a c >>B ．a b c >>C ．c b a >>D ．b c a >>【答案】A【解析】点(2,8)在幂函数()n f x x =图象上， f ∴（2）28n ==，解得3n =，3()f x x ∴=， 设0.30.212455(()),(()),(log )544a fb fc f ===，∴0.330.904444[()]()()15555a <==<=，0.230.605555[()]()()14444b >==>=， 3311225()(log 1)04c log =<=，a ∴，b ，c 的大小关系是b a c >>．故选A ．13．（2019•西湖区校级模拟）若幂函数2()(33)m f x m m x =--在(0,)+∞上为增函数，则实数(m =) A ．4 B ．1- C ．2 D ．1-或4【答案】A【解析】幂函数2()(33)m f x m m x =--在(0,)+∞上为增函数， 所以2331m m --=，并且0m >， 解得4m =． 故选A ．14．（2019•西城区模拟）函数2y x -=在区间上1[2，2]的最大值是( )A ．14B ．1-C ．4D ．4-【答案】C【解析】函数2y x -=在第一象限是减函数，∴函数2y x -=在区间1[2，2]上的最大值是211()()422f -==．故选C ．15．（2019•西湖区校级模拟）幂函数()f x x α=的图象过点(2,4)，那么函数()f x 的单调递增区间是()A ．(2,)-+∞B ．[1-，)+∞C ．[0，)+∞D ．(,2)-∞-【答案】C【解析】幂函数()f x x α=的图象过点(2,4)， 所以42α=，即2α=，所以幂函数为2()f x x = 它的单调递增区间是：[0，)+∞ 故选C ．16．（2017•长沙一模）已知函数12()f x x =，则( ) A ．0x R ∃∈，使得()0f x < B ．[0x ∀∈，)+∞，()0f x C ．1x ∃，2[0x ∈，)+∞，使得1212()()0f x f x x x -<-D ．1[0x ∀∈，)+∞，2[0x ∃∈，)+∞使得12()()f x f x > 【答案】B【解析】由函数12()f x x =，知： 在A 中，()0f x 恒成立，故A 错误； 在B 中，[(0,)x ∀+∞，()0f x ，故B 正确； 在C 中，1x ∃，2[0x ∈，)+∞，使得1212()()0f x f x x x ->-，故C 错误；在D 中，当10x =时，不存在2[0x ∈，)+∞使得12()()f x f x >，故D 不成立． 故选B ．17．（2019•西湖区校级模拟）若11222(21)(1)m m m +>+-，则实数m 的取值范围是( ) A ．(-∞51-- B ．51[-，)+∞ C ．(1,2)- D ．51[-，2) 【答案】D【解析】考察幂函数12y x =，它在[0，)+∞上是增函数， 11222(21)(1)m m m +>+-， 22110m m m ∴+>+-，解得，51[x -∈，2)． 故选D ．18．（2020•海南模拟）已知函数2()5f x x mx =-+在(2,)+∞上单调递增，则m 的取值范围为( ) A ．[4，)+∞ B ．[2，)+∞ C ．(-∞，4] D ．(-∞，2]【答案】C【解析】函数2()5f x x mx =-+的对称轴为2mx =， 函数()f x 在区间(2,)+∞上单调递增，∴22m，解得4m ， 故选C ．19．（2019•西湖区校级模拟）若函数2()8f x x kx =+-在区间[2-，3]上是减函数，则( ) A ．6k - B ．6k - C ．4k D ．4k【答案】【解析】由2()8f x x kx =+-，抛物线开口向上，对称轴22b kx a =-=-， 若()f x 在区间[2-，3]上是减函数，则32k-，即6k -， 故选A ．20．（2019•西湖区校级模拟）二次函数2()y ax bx c x R =++∈的部分对应值如表：x3- 2-1- 0 1 2 3 4 y64-6-6-4-6则不等式20ax bx c ++>的解集是( ) A ．(-∞，6)(6--，)+∞ B ．(-∞，2)3-，)+∞ C ．(2,3)- D ．(6,)-+∞【答案】B【解析】由表格中的数据可得，122b a -=， 又(2)f f -=（3）0=，且在对称轴左边为减函数，右边为增函数，∴不等式20ax bx c ++>的解集是(-∞，2)3-，)+∞．故选B ．21．（2019•西湖区校级模拟）设函数22()f x x mx n =++，22()(4)24g x x m x n m =+++++，其中x R ∈，若对任意的t R ∈，()f t ，()g t 至少有一个为非负值，则实数m 的最大值是( )A ．1B 2C ．2D 5【答案】C【解析】222221()()24m f x x mx n x n m =++=++-， 2222241()(4)24()24m g x x m x n m x n m +=+++++=++-，根据二次函数的图象与性质可知，若对任意的n ，t R ∈，()f t 和()g t 至少有一个为非负值， 只需两个函数图象交点处的函数值大于等于0即可， 由()()f x g x =，可得22m x +=-， 所以22224()()0224m m m f g n ++--=-=+，解得222121n m n -++ 所以0n =时m 取得最大值为2． 故选C ．22．（2020•静安区二模）若幂函数()y f x =的图象经过点1(,2)8，则1()8f -的值为__________．【答案】2-【解析】设幂函数为：y x α= 幂函数的图象经过点1(8，2)，312()28αα-∴==；13α∴=-；13y x -∴=；则1()8f -的值为：113331()(2)28----=-=-．故答案为：2-．23．（2020•吉林模拟）93(,)42M 是幂函数()n f x x =图象上的点，将()f x 的图象向右平移2个单位长度，再向上平移32个单位长度，得到函数()y g x =的图象，若点(n T n ，*)(m n N ∈，且2)n 在()g x 的图象上，则239||||||MT MT MT ++⋯+=__________． 【答案】30 【解析】由39()24n=，解得12n =．()f x x ∴=可得：3()22g x x -， 点(n T n ，*)(m n N ∈，且2)n 在()g x 的图象上，322m n ∴=-+． 23()22m n -=-，3()2m ．抛物线23()22y x -=-的焦点9(4M ，3)2，准线方程为17244x =-=．根据抛物线的性质可得：7||4n MT n =-， 则239777(29)87||||||23983044424MT MT MT +⨯++⋯+=-+-+⋯⋯+-=-⨯=． 故答案为：30．24．（2020•攀枝花模拟）已知幂函数(,)n y mx m n R =∈的图象经过点(4,2)，则m n -=__________． 【答案】12【解析】函数(,)n y mx m n R =∈为幂函数，则1m =； 又函数y 的图象经过点(4,2)，则42n =，解得12n =； 所以11122m n -=-=． 故答案为：12． 25．（2020•郑州二模）幂函数2()(33)m f x m m x =-+的图象关于y 轴对称，则实数m =__________． 【答案】2【解析】函数2()(33)m f x m m x =-+是幂函数， 2331m m ∴-+=，解得1m =或2m =；当1m =时，函数y x =的图象不关于y 轴对称，舍去；当2m =时，函数2y x =的图象关于y 轴对称；∴实数2m =．故答案为：2．26．（2019•西湖区校级模拟）如果幂函数221(33)mm y m m x --=-+的图象不过原点，则m 的值是__________． 【答案】1【解析】幂函数221(33)m m y m m x --=-+的图象不过原点，所以2210331m m m m ⎧--⎨-+=⎩解得1m =，符合题意． 故答案为：127．（2015•黄冈模拟）已知幂函数()f x k x α=的图象过点1(22，则()k f α+=__________．【答案】212+【解析】幂函数()f x k x α=的图象过点1(22，1k ∴=，112()()22f α==， 解得12α=，2()1k f α∴+=， 故答案为：212+． 28．（2020•松原模拟）幂函数()f x x α=的图象经过点1(2,)4，则α=__________．【答案】2-【解析】幂函数()f x x α=的图象经过点1(2,)4，21224α-∴== 2α∴=-故答案为：2-．29．（2019•西湖区校级模拟）已知函数223()(2,)nn f x x n k k N -++==∈的图象在[0，)+∞上单调递增则n =__________，f （2）=__________．【答案】0，2；8 【解析】函数223()n n f x x -++=的图象在[0，)+∞上单调递增，所以2230n n -++>， 即2230n n --<， 解得13n -<<； 又2n k =，且k N ∈， 所以0n =，2， 当0n =时，3()f x x =； 当0n =时，3()f x x =； 所以f （2）328==． 故答案为：0，2；8．30．（2019•西湖区校级模拟）若幂函数()f x 的图象过点(2,8)，则f （3）=__________． 【答案】27【解析】设()a f x x =，因为幂函数图象过(2,8)， 则有82a =，3a ∴=，即3()f x x =， f ∴（3）=（3）327=故答案为：27．31．（2019•西湖区校级模拟）幂函数()f x 的图象过点427)，则()f x 的解析式是__________． 【答案】34()f x x =【解析】由题意设()a f x x =， 幂函数()f x 的图象过点427)， f ∴（3）3443273a=， 34a ∴=， 34()f x x ∴=，故答案为：34()f x x =．32．（2020•浙江模拟）已知函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，对一切[1x ∈-，1]，都有|()|1f x ，则当[2x ∈-，2]时，()f x 的最大值为__________． 【答案】7【解析】由题意(1)(1)(0)f a b cf a b c f c =++⎧⎪-=-+⎨⎪=⎩，有得1[(1)(1)2(0)]21[(1)(1)]2(0)a f f f b f f c f ⎧=+--⎪⎪⎪=--⎨⎪=⎪⎪⎩所以()f x f =（1）222()(1)()(0)(1)22x x x xf f x +-+-+-对一切[1x ∈-，1]，都有|()|1f x 所以当21x -<-时， 222222|()|(1)(1)(0)1)|12222x x x xx x x xf x f f f x x +-+-+-+-++- 2222()()(1)21722x x x xx x +-=++-=-当12x <时，222222|()|(1)(1)(0)1)|12222x x x xx x x xf x f f f x x +-+-+-+-++- 2222()()(1)21722x x x xx x +-=++-=-综上所述，当[2x ∈-，2]时，()f x 的最大值为7．33．（2020•余姚市校级模拟）已知2()f x x ax =-，若对任意的a R ∈，存在0[0x ∈，2]，使得0|()|f x k 成立，则实数k 的最大值是__________． 【答案】1282-【解析】设2()g x x =，()h x ax =，当[0x ∈，2]时，由|()|f x 可看作函数()g x 与函数()h x 的纵向距离，当切点与端点(2,4)到直线()h x ax =纵向距离相等时，|()|f x 取得最大值的最小值，由()2g x x a '==，得2ax =，则切线方程为24a y ax =-，过端点(2,4)的平行线为24y ax a =-+，当纵向距离2244a a -+=时，即442a =-+时，纵向距离有最大值的最小值，此时纵向距离22412824a a -+==-，即1282k -．故答案为：1282-．34．（2020•江苏一模）已知函数2()(2)(8)()f x m x m x m R =-+-∈是奇函数，若对于任意的x R ∈，关于x 的不等式2(1)f x f +<（a ）恒成立，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】(,1)-∞【解析】由奇函数的性质可得，()()f x f x -=-恒成立， 即22(2)(8)(2)(8)m x m x m x m x ---=----，故20m -=即2m =，此时()6f x x =-单调递减的奇函数， 由不等式2(1)f x f +<（a ）恒成立，可得21x a +>恒成立， 结合二次函数的性质可知，211x +， 所以1a <． 故答案为：(,1)-∞．35．（2020•江都区校级模拟）函数2()2(3)1f x x a x =+-+在区间(,3)-∞-上递减，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】{|6}a a 【解析】2()2(3)1f x x a x =+-+在区间(,3)-∞-上递减，33a ∴--，解可得，6a 故答案为：{|6}a a ．36．（2019•西湖区校级模拟）已知函数223()()mm f x x m Z -++=∈为偶函数，且f （3）f <（5）．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若()log [()](0a g x f x ax a =->且1)a ≠在区间[2，3]上为增函数，求实数a 的取值范围． 【解析】（1）()f x 为偶函数，223m m ∴-++为偶数，又f （3）f <（5），∴22232335mm mm -++-++<，即有：2233()15m m -++<，2230m m ∴-++>，312m ∴-<<，又m Z ∈，0m ∴=或1m =． 当0m =时，2233m m -++=为奇数（舍去）， 当1m =时，2232m m -++=为偶数，符合题意． 1m ∴=，2()f x x =（2）由（1）知：()log [()]log a a g x f x ax =-= 2()x ax - (0a >且1)a ≠在区间[2，3]上为增函数．令2()u x x ax =-，log a y u =；①当1a >时，log a y u =是关于u 的增函数，只需2()u x x ax =-在区间[2，3]上为增函数． 即：2122(2)420aa u a ⎧⎪⇒<<⎨⎪=->⎩②当01a <<时，log a y u =是关于u 的减函数，只需2()u x x ax =-在区间[2，3]上为减函数． 即：32(3)930a a u a ⎧⎪⇒∈∅⎨⎪=->⎩，综上可知：a 的取值范围为：(1,2)．。

专题3.4 幂函数1．（2021·全国高一课时练习）下列命题中，不正确的是（ ）A ．幂函数y =x -1是奇函数B ．幂函数y =x 2是偶函数C ．幂函数y =x 既是奇函数又是偶函数D ．y =12x 既不是奇函数，又不是偶函数【答案】C 【解析】根据奇偶函数的定义依次判断即可.【详解】因为11xx -=，11=--xx ，所以A 正确；因为22()x x -=，所以B 正确；因为x x -=不恒成立，所以C 不正确；因为12y x =定义域为[0，+∞)，不关于原点对称，所以D 正确.故选：C.2.（2020·上海高一课时练习）下列函数中，既是偶函数，又在(,0)-∞上单调递增的函数是( )A ．2y x -=-B ．23y x=-C ．13y x=-D ．3y x -=【答案】B 【解析】A: 2y x -=-为偶函数，且在()0,∞+上递增，即2y x -=-在(,0)-∞上单调递减，排除；B: 23y x =-为偶函数，在(,0)-∞上单调递增；C: 13y x=-为奇函数，故排除；D: 3y x -=为奇函数，故排除.故选:B.练基础3．（2020·石嘴山市第三中学高二月考（文））幂函数()221()21m f x m m x -=-+在()0,∞上为增函数，则实数m 的值为（ ）A ．0B ．1C ．1或2D ．2【答案】D 【解析】由题意()f x 为幂函数，所以2211m m -+=，解得0m =或2m =.因为()f x 在()0,∞上为增函数，所以210m ->，即12m >，所以2m =.故选D.4．（2020·上海高一课时练习）下面是有关幂函数3()-=f x x 的四种说法，其中错误的叙述是( )A ．()f x 的定义域和值域相等B ．()f x 的图象关于原点中心对称C ．()f x 在定义域上是减函数D ．()f x 是奇函数【答案】C 【解析】3()-=f x x ，函数的定义域和值域均为()(),00,-∞⋃+∞，A 正确；3()-=f x x ，()()33()f x x x f x ---=-=-=-，函数为奇函数，故BD 正确；()f x 在(),0-∞和()0,∞+是减函数，但在()(),00,-∞⋃+∞不是减函数，C 错误.故选：C.5．（2020·上海高一课时练习）若幕函数()f x 的图像经过点1,42⎛⎫⎪⎝⎭，则该函数的图像（ ）A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y x =对称【答案】B 【解析】设()f x x α=，依题意可得1(42α=，解得2α=-，所以2()f x x -=，因为22()()()f x x x f x ---=-==，所以()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称.故选：B.6．（2019·延安市第一中学高三月考（文））已知幂函数()f x x α=的图像过点1(2，则方程()2f x =的解是（ ）A ．4BC ．2D ．12【答案】A 【解析】依题意得1(2α=，解得12α=，所以12()f x x =，由()2f x =得122x =，解得4x =.故选：A.7．（2021·浙江高一期末）幂函数()()22222m f x m m x-=--在()0,∞+为增函数，则m 的值是（）A ．1-B ．3C ．1-或3D ．1或3-【答案】B 【解析】由幂函数解析式的形式可构造方程求得1m =-或3m =，分别验证两种情况下()f x 在()0,∞+上的单调性即可得到结果.【详解】()f x 为幂函数，2221m m ∴--=，解得：1m =-或3m =；当1m =-时，()1f x x -=，则()f x 在()0,∞+上为减函数，不合题意；当3m =时，()7=f x x ，则()f x 在()0,∞+上为增函数，符合题意；综上所述：3m =.故选：B.8．（2021·全国高一课时练习）下列结论正确的是（ ）A ．幂函数图象一定过原点B ．当0α<时，幂函数y x α=是减函数C ．当1α>时，幂函数y x α=是增函数D ．函数2y x =既是二次函数，也是幂函数【答案】D 【解析】由函数1y x -=的性质，可判定A 、B 不正确；根据函数2y x =可判定C 不正确；根据二次函数和幂函数的定义，可判定D 正确.【详解】由题意，函数1y x -=的图象不过原点，故A 不正确；函数1y x -=在(,0)-∞及(0,)+∞上是减函数，故B 不正确；函数2y x =在(,0)-∞上是减函数，在(0,)+∞上是增函数，故C 不正确；根据幂函数的定义，可得函数2y x =是二次函数，也是幂函数，所以D 正确.故选：D.9．（2021·全国高一课时练习）幂函数的图象过点(3， )，则它的单调递增区间是（ ）A ．[-1，+∞)B ．[0，+∞)C ．(-∞，+∞)D ．(-∞，0)【答案】B 【解析】根据利用待定系数法求出幂函数的解析式，再根据幂函数求出单调增区间即可.【详解】设幂函数为f (x )=x α，因为幂函数的图象过点(3， )，所以f (3)=3α=123，解得α=12，所以f (x )=12x ，所以幂函数的单调递增区间为[0，+∞).故选：B10．（2021·全国高三专题练习）下列关于幂函数图象和性质的描述中，正确的是（）A ．幂函数的图象都过(1,1)点B ．幂函数的图象都不经过第四象限C ．幂函数必定是奇函数或偶函数中的一种D ．幂函数必定是增函数或减函数中的一种【答案】AB 【解析】举反例结合幂函数的性质判断即可.【详解】因为11α=，所以的幂函数都经过(1,1)，故A 正确；当0x >时，0x α>，幂函数的图象都不经过第四象限，故B 正确；12y x =的定义域为[)0,+∞，为非奇非偶函数，故C 错误；1y x=在(),0-∞和()0,∞+上为减函数，但在定义域内不是减函数，故D 错误.故选：AB1．（2020·内蒙古自治区集宁一中高二月考（文））若a ＝12⎛⎫ ⎪⎝⎭23，b ＝15⎛⎫ ⎪⎝⎭23，c ＝12⎛⎫ ⎪⎝⎭13，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＜b ＜c B ．c ＜a ＜b C ．b ＜c ＜a D ．b ＜a ＜c【答案】D 【解析】∵y ＝x 23 (x >0)是增函数，∴a ＝12⎛⎫⎪⎝⎭23>b ＝15⎛⎫ ⎪⎝⎭23.∵y ＝12⎛⎫⎪⎝⎭x 是减函数，∴a ＝12⎛⎫ ⎪⎝⎭23＜c ＝12⎛⎫ ⎪⎝⎭13，∴b ＜a ＜c .故本题答案为D.2．（2019·湖北高三高考模拟（理））幂函数f (x )=x m的图象过点(2,4)，且a =m 12，b =(13)m，c =―log m 3，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A ．a >c >bB ．b >c >aC ．a >b >cD ．c >a >b 【答案】C练提升【解析】幂函数f (x )=x m 的图象过点(2,4)，∴2m ＝4，m ＝2；∴a =m 12=2>1，b =(13)m =19∈(0,1)，c =―log m 3＝﹣log 23＜0，∴2＞19＞―log 23，∴a >b >c ．故选：C ．3．（2021·全国高三专题练习）已知幂函数()f x x α=满足()()2216f f =，若()4log 2a f =，()ln 2b f =，()125c f -=，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．b c a>>【答案】C 【解析】由()()2216f f =可求得13α=，得出()f x 单调递增，根据单调性即可得出大小.【详解】由()()2216f f =可得4222αα⋅=，∴14αα+=，∴13α=，即()13f x x =.由此可知函数()f x 在R 上单调递增.而由换底公式可得242log 21log 2log 42==，22log 2ln 2log e =，125-=，∵21log 2e <<，∴2222log 2log 2log 4log e<，于是4log 2ln 2<，12<，∴1245log 2-<，故a ，b ，c 的大小关系是b a c >>.故选：C.4．（2021·安徽高三二模（理））函数()nxf x x a =，其中1a >，1n >，n 为奇数，其图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】分析()f x 在()0,∞+、(),0-∞上的函数值符号，及该函数在()0,∞+上的单调性，结合排除法可得出合适的选项.【详解】对任意x ∈R ，0x a >，由于1n >，n 为奇数，当0x <时，0n x <，此时()0f x <，当0x >时，0n x >，此时()0f x >，排除AC 选项；当0x >时，任取1x 、()20,x ∈+∞且12x x >，则120x x a a >>，120n nx x >>，所以()()12f x f x >，所以，函数()f x 在()0,∞+上为增函数，排除D 选项.故选：B.5．（2021·新疆高三其他模拟（理））若实数m ，n 满足m n >，且0mn ≠，则下列选项正确的是（ ）A ．330m n ->B ．1122m n⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()lg 0m n ->D ．11m n<【答案】A 【解析】利用幂函数、指数函数单调性和对数的运算可求解.【详解】解：∵函数3y x =，在R x ∈时单调递增，且m n >，∴330m n ->，故A 正确；∵函数1(2x y =，在R x ∈时单调递减，且m n >，∴11()()22mn<，故B 错误；当11,2m n ==时，()1lg lg 02m n -=<，故C 错误；当,11m n ==-时，1111m n=>=-，故D 错误；故选：A.6.【多选题】（2020·新泰市第二中学高二月考）已知函数图像经过点(4,2)，则下列命题正确的有（ ）A ．函数为增函数B ．函数为偶函数C ．若，则D ．若，则.【答案】ACD 【解析】将点(4,2)代入函数得：，则.所以，显然在定义域上为增函数，所以A 正确.的定义域为，所以不具有奇偶性，所以B 不正确.当，即，所以C 正确.当若时，=..=.即成立，所以D 正确.()f x x α=1x >()1f x >120x x <<()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭()f x x α=2=4α1=2α12()f x x =()f x [0,)+∞()f x [0,)+∞()f x 1x >1>()1f x >120x x <<()()122212(()22f x f x x x f ++-22-122x x +-0<()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭故选：ACD.7．【多选题】（2021·湖南高三月考）已知函数1,0(),0x x e x f x xe x -⎧>⎪=⎨≤⎪⎩，若关于x 的方程()f x a =有且仅有一个实数解，且幂函数()a g x x =在()0,∞+上单调递增，则实数a 的取值可能是（ ）A ．1B ．1eC ．2D ．e【答案】AD 【解析】作出()f x 的图象，根据方程根的个数判断参数a 的取值，再结合函数()a g x x =在()0,∞+上单调递增，即可求解出结果．【详解】当0x ≤时，()x f x xe =，()()1xf x e x '=+，当1x <-时()0f x '<，当10x -<<时()0f x '>所以()x f x xe =在(),1-∞-上单调递减，在()1,0-上单调递增，最小值为1(1)f e --=-；所以()f x 的图象如图所示，因为()f x a =有且仅有一个实数解，即()y f x =的图象与y a =有且只有一个交点，所以[)1,1,0,a e e ⎧⎫∈+∞-⎨⎬⎩⎭，又因为()a g x x =在()0,∞+上单调递增，所以0a >，所以[){},1a e ∈+∞ .故选：AD8.（2019·上海高考模拟）设α∈12,―1,―2,3，若f (x )=x α为偶函数，则α=______．【答案】―2【解析】由题可知，α=―2时，f (x )=x ―2，满足f(-x)=f(x),所以是偶函数；α=13,12,―1,3时，不满足f(-x)=f(x), ∴α=―2．故答案为：―2．9．（2021·全国高三专题练习（理））已知幂函数()39*N m y x m -=∈的图像关于y 轴对称，且在()0,∞+上函数值随着x 的增大而减小.（1）求m 值.（2）若满足()()22132mma a +<-，求a 的取值范围.【答案】（1）1m =；（2）()2,4,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭.【解析】（1）由题意可知39m -为负偶数，且*N m ∈，即可求得m 值；（2）将所求不等式化为()()22132a a +<-，求解，即可得出结果.【详解】（1）因为函数39*()m y x m N -=∈在()0,∞+上单调递减，所以390m -<，解得3m <.又因为*m N ∈，所以1m =，2；因为函数的图象关于y 轴对称，所以39m -为偶数，故1m =.（2）由（1）可知，1m =，所以得()()22132a a +<-，解得4a >或23<a ，即a 的取值范围为()2,4,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭.10．（2021·浙江高一期末）已知幂函数2242()(1)mm f x m x -+=-在(0,)+∞上单调递增，函数()2g x x k =-．（1）求m 的值；（2）当[1,2)x ∈时，记(),()f x g x 的值域分别为集合A ，B ，设:,:p x A q x B ∈∈，若p 是q 成立的必要条件，求实数k 的取值范围．（3）设2()()1F x f x kx k =-+-，且|()|F x 在[0,1]上单调递增，求实数k 的取值范围．【答案】（1）0m =；（2）01k ≤≤；（3）[][)1,02,-+∞ 【解析】（1）由幂函数的定义2(1)1m -=，再结合单调性即得解.（2）求解()f x ，()g x 的值域，得到集合A ，B ，转化命题p 是q 成立的必要条件为B A ⊆，列出不等关系，即得解.（3）由（1）可得22()1F x x kx k =-+-，根据二次函数的性质，分类讨论02k ≤和12k ≥两种情况，取并集即可得解.【详解】（1）由幂函数的定义得：2(1)1m -=，0m ⇒=或2m =，当2m =时，2()f x x -=在(0,)+∞上单调递减，与题设矛盾，舍去；当0m =时，2()f x x =在(0,)+∞上单调递增，符合题意；综上可知：0m =.（2）由（1）得：2()f x x =，当[1,2)x ∈时，[)()1,4f x ∈，即[)1,4A =，当[1,2)x ∈时，[)()2,4g x k k ∈--，即[)2,4B k k =--，由命题p 是q 成立的必要条件，则B A ⊆，显然B ≠∅，则2144k k -≥⎧⎨-≤⎩，即10k k ≤⎧⎨≥⎩，所以实数k 的取值范围为：01k ≤≤.（3）由（1）可得22()1F x x kx k =-+-，二次函数的开口向上，对称轴为2k x =，要使|()|F x 在[0,1]上单调递增，如图所示：或即02(0)0k F ⎧≤⎪⎨⎪≥⎩或12(0)0k F ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩，解得：10k -≤≤或2k ≥.所以实数k 的取值范围为：[][)1,02,-+∞ 1.（2019·全国高考真题（理））若a >b ，则（ ）A ．ln(a −b )>0B ．3a <3bC ．a 3−b 3>0D ．│a │>│b │【答案】C【解析】取，满足，，知A 错，排除A ；因为，知B 错，排除B ；取，满足，，知D 错，排除D ，因为幂函数是增函数，，所以，故选C ．2．（2020·天津高考真题）已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧=⎨-<⎩…若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是（）A．1,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ B．1,(0,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C．(,0)(0,-∞ D．(,0))-∞+∞ 【答案】D 【解析】2,1a b ==a b >ln()0a b -=9333a b =>=1,2a b ==-a b >12a b =<=3y x =a b >33a b >练真题注意到(0)0g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()|2|||f x kx x -=恰有3个实根即可，令()h x =()||f x x ，即|2|y kx =-与()()||f x h x x =的图象有3个不同交点.因为2,0()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩，当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()()||f x h x x =有2个不同交点，不满足题意；当k 0<时，如图2，此时|2|y kx =-与()()||f x h x x =恒有3个不同交点，满足题意；当0k >时，如图3，当2y kx =-与2y x =相切时，联立方程得220x kx -+=，令0∆=得280k -=，解得k =，所以k >综上，k 的取值范围为(,0))-∞+∞ .故选：D.3.（2020·江苏高考真题）已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23f x x = ，则f (-8)的值是____.【答案】4-【解析】先求(8)f ，再根据奇函数求(8)f -【详解】23(8)84f ==，因为()f x 为奇函数，所以(8)(8)4f f -=-=-故答案为：4-4. (2018·上海卷)已知α∈{－2，－1，－12，12，1，2，3}.若幂函数f (x )＝x α为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝ .【答案】-1【解析】∵幂函数f (x )＝x α为奇函数，∴α可取－1,1,3，又f (x )＝x α在(0，＋∞)上递减，∴α＜0，故α＝－1.5.（浙江省高考真题（文））已知函数()2,1{ 66,1x x f x x x x≤=+->，则()2f f ⎡⎤-=⎣⎦ ， ()f x 的最小值是 ．【答案】162-【解析】如图根据所给函数解析式结合其单调性作出其图像如图所示，易知()()min 12,62f f f x f ⎡⎤-=-==⎣⎦.6．（江苏省高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，设定点A (a ，a )，P 是函数y ＝1x(x >0)图象上一动点．若点P ，A 之间的最短距离为，则满足条件的实数a 的所有值为________．【答案】－1【解析】试题分析：设点1,P x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭()0x >，则PA ===令1,0,2t x x t x=+>∴≥ 令()()22222222g t t at a t a a =-+-=-+-（1）当2a ≥时，t a =时()g t 取得最小值()22g a a =-，=，解得a =（2）当2a <时，()g t 在区间[)2,+∞上单调递增，所以当2t =时，()g t 取得最小值()22242g a a =-+=1a =-综上可知：1a =-或a =所以答案应填：-1.。

教学内容幂函数与二次函数教学目标了解幂函数与二次函数的形式重点幂函数与二次函数难点幂函数与二次函数教学准备教学过程幂函数与二次函数知识梳理1．幂函数(1)幂函数的定义形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．(2)常见的5种幂函数的图象2.二次函数(1)二次函数的定义形如f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫做二次函数．(2)二次函数的三种常见解析式①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，(m，n)为顶点坐标；③两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)其中x1，x2分别是f(x)＝0的两实根．教学效果分析教学过程(3)二次函数的图象和性质函数二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)图象a>0a<0定义域R R值域y∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac－b24a，＋∞y∈⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac－b24a对称轴x＝－b2a顶点坐标⎝⎛⎭⎪⎫－b2a，4ac－b24a奇偶性b＝0⇔y＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数递增区间⎝⎛⎭⎪⎫－b2a，＋∞⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－b2a递减区间⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－b2a⎝⎛⎭⎪⎫－b2a，＋∞最值当x＝－b2a时，y有最小值y min＝4ac－b24a当x＝－b2a时，y有最大值y max＝4ac－b24a辨析感悟1．对幂函数的认识(1)函数f(x)＝x2与函数f(x)＝2x2都是幂函数．( )(2)幂函数的图象都经过点(1,1)和(0,0)．( )(3)幂函数的图象不经过第四象限．( )2．对二次函数的理解(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函数．( )(5)(教材习题改编)函数f(x)＝12x2＋4x＋6，x∈[0,2]的最大值为16，最小值为－2.( )教学效果分析教学过程[感悟·提升]三个防范一是幂函数的图象最多出现在两个象限内，一定会经过第一象限，一定不经过第四象限，若与坐标轴相交，则交点一定是原点，但并不是都经过(0,0)点，如(2)、(3)．二是二次函数的最值一定要注意区间的限制，不要盲目配方求得结论，如(5)中的最小值就忽略了函数的定义域．考点一幂函数的图象与性质的应用【例1】(1)(2014·济南模拟)已知幂函数y＝f(x)的图象过点⎝⎛⎭⎪⎫12，22，则log4f(2)的值为________．(2)函数y＝13x的图象是________．规律方法(1)幂函数解析式一定要设为y＝xα(α为常数)的形式；(2)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性；(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．【训练1】比较下列各组数的大小：⑴121.1，120.9，1；⑵2322⎛⎫- ⎪⎝⎭，23107-⎛⎫- ⎪⎝⎭，()431.1-.教学效果分析教学过程考点二二次函数的图象与性质【例2】(2013·浙江七校模拟)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：①b2＞4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a＜b.其中正确的是________．规律方法解决二次函数的图象问题有以下两种方法：(1)排除法，抓住函数的特殊性质或特殊点；(2)讨论函数图象，依据图象特征，得到参数间的关系．【训练2】(2012·山东卷改编)设函数f(x)＝1x，g(x)＝－x2＋bx，若y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2________0，y1＋y2________0(比较大小)．教学效果分析教学过程1．对于幂函数的图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x分区域．根据α＜0,0＜α＜1，α＝1，α＞1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．2．二次函数的综合应用多涉及单调性与最值或二次方程根的分布问题，解决的主要思路是等价转化，多用到数形结合思想与分类讨论思想．3．对于与二次函数有关的不等式恒成立或存在问题注意等价转化思想的运用．答题模板2——二次函数在闭区间上的最值问题【典例】(12分)(经典题)求函数f(x)＝－x(x－a)在x∈[－1,1]上的最大值．[反思感悟] (1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键是对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论．(2)部分学生易出现两点错误：①找不到分类的标准，无从入手；②书写格式不规范，漏掉结论答题模板第一步：配方，求对称轴.第二步：分类，将对称轴是否在给定区间上分类讨论.第三步：求最值.第四步：下结论.【自主体验】已知函数f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在区间[0,1]内有一个最大值－5，求a的值．教学效果分析。

课时作业 A 组——基础对点练1．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝( )A.12 B ．1 C.32D ．2解析：由幂函数的定义知k ＝1.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，解得α＝12，从而k＋α＝32. 答案：C2．已知幂函数f (x )＝x n ，n ∈{－2，－1,1,3}的图象关于y 轴对称，则下列选项正确的是( ) A ．f (－2)>f (1) B ．f (－2)<f (1) C ．f (2)＝f (1)D ．f (－2)>f (－1)解析：由于幂函数f (x )＝x n 的图象关于y 轴对称，可知f (x )＝x n 为偶函数，所以n ＝－2，即f (x )＝x －2，则有f (－2)＝f (2)＝14，f (－1)＝f (1)＝1，所以f (－2)<f (－1)，故选B. 答案：B3．若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·xm 2－m －2的图象不过原点，则m 的取值是( ) A ．－1≤m ≤2 B ．m ＝1或m ＝2 C ．m ＝2D ．m ＝1解析：由幂函数性质可知m 2－3m ＋3＝1，∴m ＝2或m ＝1.又幂函数图象不过原点，∴m 2－m －2≤0，即－1≤m ≤2，∴m ＝2或m ＝1. 答案：B4．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象是( )解析：∵a＞b＞c，a＋b＋c＝0，∴a＞0，c＜0，∴y＝ax2＋bx＋c的开口向上，且与y轴的交点(0，c)在负半轴上．选D. 答案：D5．设函数f(x)＝x2－x＋a(a＞0)．若f(m)＜0，则f(m－1)的值为() A．正数B．负数C．非负数D．正数、负数和零都有可能解析：函数f(x)＝x2－x＋a图象的对称轴为直线x＝12，图象开口向上，且f(0)＝f(1)＝a＞0.所以当f(m)＜0时，必有0＜m＜1，而－1＜m－1＜0，所以f(m－1)＞0.答案：A6．已知函数f(x)＝x2－m是定义在区间[－3－m，m2－m]上的奇函数，则下列成立的是()A．f(m)＜f(0)B．f(m)＝f(0)C．f(m)＞f(0)D．f(m)与f(0)大小不确定解析：因为函数f(x)是奇函数，所以－3－m＋m2－m＝0，解得m＝3或－1.当m ＝3时，函数f(x)＝x－1，定义域不是[－6,6]，不合题意；当m＝－1时，函数f(x)＝x3在定义域[－2,2]上单调递增，又m＜0，所以f(m)＜f(0)．答案：A7．已知函数f(x)＝x2－2x＋4在区间[0，m](m＞0)上的最大值为4，最小值为3，则实数m的取值范围是()A．[1,2]B．(0,1]C．(0,2] D．[1，＋∞)解析：作出函数的图象如图所示，从图中可以看出当1≤m≤2时，函数f(x)＝x2－2x＋4在区间[0，m](m＞0)上的最大值为4，最小值为3.故选A.答案：A8．在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x >0)，g (x )＝log a x 的图象可能是( )解析：因为a >0，所以f (x )＝x a 在(0，＋∞)上为增函数，故A 错．在B 中，由f (x )的图象知a >1，由g (x )的图象知0<a <1，矛盾，故B 错．在C 中，由f (x )的图象知0<a <1，由g (x )的图象知a >1，矛盾，故C 错．在D 中，由f (x )的图象知0<a <1，由g (x )的图象知0<a <1，相符，故选D. 答案：D9．若函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a 等于( ) A ．－1 B ．1 C ．2D ．－2解析：∵函数f (x )＝x 2－ax －a 的图象为开口向上的抛物线， ∴函数的最大值在区间的端点取得． ∵f (0)＝－a ，f (2)＝4－3a ，∴⎩⎨⎧ －a ≥4－3a ，－a ＝1，或⎩⎨⎧－a ≤4－3a ，4－3a ＝1，解得a ＝1. 答案：B10．已知g (x )是R 上的奇函数，当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，函数f (x )＝⎩⎨⎧x 3，x ≤0，g (x )，x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是( )A ．(－∞，1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(1,2)D ．(－2,1)解析：设x >0，则－x <0，所以g (x )＝－g (－x )＝ln(1＋x )，所以f (x )＝⎩⎨⎧x 3，x ≤0，ln (1＋x )，x >0，并且函数f (x )是R 上的单调递增函数，所以当f (2－x 2)>f (x )时，满足2－x 2>x ，解得－2<x <1，故选D. 答案：D11．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a ，b ，c 是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( ) A ．3.50分钟 B ．3.75分钟 C ．4.00分钟D ．4.25分钟解析：由已知得⎩⎨⎧16a ＋4b ＋c ＝0.8，25a ＋5b ＋c ＝0.5，9a ＋3b ＋c ＝0.7，解得⎩⎨⎧a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2，∴p ＝－0.2t 2＋1.5t －2＝－15⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1542＋1316，∴当t ＝154＝3.75时p 最大，即最佳加工时间为3.75分钟．故选B. 答案：B12．已知y ＝f (x )是奇函数，且满足f (x ＋2)＋3f (－x )＝0，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x 2－2x ，则当x ∈[－4，－2]时，f (x )的最小值为( ) A ．－1B ．－13C ．－19D ．19解析：设x ∈[－4，－2]，则x ＋4∈[0,2]．∵y ＝f (x )是奇函数，∴由f (x ＋2)＋3f (－x )＝0，可得f (x ＋2)＝－3f (－x )＝3f (x )，∴f (x ＋4)＝3f (x ＋2)，故有f (x )＝13f (x ＋2)＝f (x ＋4)9.故f (x )＝19f (x ＋4)＝19[(x ＋4)2－2(x ＋4)]＝19(x 2＋6x ＋8)＝(x ＋3)2－19.∴当x ＝－3时，函数f (x )取得最小值为－19.故选C. 答案：C13．设函数则使得f (x )≤4成立的x 的取值范围是________． 解析：f (x )的图象如图所示，要使f (x )≤4只需≤4，∴x ≤64.答案：(－∞，64]14．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2－2x ，x ≥0，x 2－2x ，x <0，若f (3－a 2)<f (2a )，则实数a 的取值范围是__________．解析：如图，画出f (x )的图象，由图象易得f (x )在R 上单调递减，∵f (3－a 2)<f (2a )，∴3－a 2>2a ，解得－3<a <1. 答案：(－3,1)15．已知函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上为增函数，那么f (2)的取值范围是__________．解析：函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上为增函数，由于其图象(抛物线)开口向上，所以其对称轴x ＝a －12或与直线x ＝12重合或位于直线x ＝12的左侧，即应有a －12≤12，解得a ≤2，∴f (2)＝4－(a －1)×2＋5≥7，即f (2)≥7.答案：[7，＋∞)16．若x ＞1，x a －1＜1，则a 的取值范围是________． 解析：因为x ＞1，x a －1＜1，所以a －1＜0，解得a ＜1. 答案：a ＜1B 组——能力提升练1．(2018·福州市质检)已知函数f (x )＝x 2－πx ，α，β，γ∈(0，π)，且sin α＝13， tan β＝54，cos γ＝－13，则( ) A ．f (α)＞f (β)＞f (γ) B ．f (α)＞f (γ)＞f (β) C ．f (β)＞f (α)＞f (γ)D ．f (β)＞f (γ)＞f (α)解析：因为sin α＝13，tan β＝54，cos γ＝－13，且α，β，γ∈(0，π)，所以0＜α＜π6或 5π6＜α＜π，π4＜β＜π3，π2＜γ＜2π3，因为函数f (x )＝x 2－πx 的图象的对称轴为x ＝π2，其图象如图所示，由图易知，f (α)＞f (β)＞f (γ)，故选A.答案：A2．(2018·衡阳模拟)已知a 为正实数，函数f (x )＝x 2－2x ＋a ，且对任意的x ∈[0，a ]，都有f (x )∈[－a ，a ]，则实数a 的取值范围为( ) A ．(1,2) B ．[1,2] C ．(0，＋∞)D ．(0,2]解析：当0<a <1时，f (0)＝a ，f (a )≥－a ，即a 2－2a ＋a ≥－a ，因此0<a <1；当a ≥1时，f (0)＝a ，f (1)≥－a ，f (a )≤a ，即1－2＋a ≥－a ，a 2－2a ＋a ≤a ，因此1≤a ≤2.综上，实数a 的取值范围为0<a ≤2.故选D. 答案：D3．函数f (x )＝(m 2－m －1)·x 4m 9－m 5－1是幂函数，对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，满足f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0，若a ，b ∈R ，且a ＋b ＞0，ab ＜0，则f (a )＋f (b )的值( ) A ．恒大于0 B ．恒小于0 C ．等于0D ．无法判断解析：∵f (x )＝(m 2－m －1)x 4m 9－m 5－1是幂函数， ∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，指数4×29－25－1＝2 015＞0，满足题意．当m ＝－1时，指数4×(－1)9－(－1)5－1＝－4＜0，不满足题意， ∴f (x )＝x 2 015.∴幂函数f (x )＝x 2 015是定义域R 上的奇函数，且是增函数． 又∵a ，b ∈R ，且a ＋b ＞0，∴a ＞－b ， 又ab ＜0，不妨设b ＜0，则a ＞－b ＞0，∴f (a )＞f (－b )＞0， 又f (－b )＝－f (b )，∴f (a )＞－f (b )，∴f (a )＋f (b )＞0.故选A. 答案：A4．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋3，x >a ，x 2＋6x ＋3，x ≤a ，函数g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－1,3) B ．[－3，－1] C ．[－3,3)D ．[－1,1)解析：因为f (x )＝⎩⎨⎧x ＋3，x >a ，x 2＋6x ＋3，x ≤a ，所以g (x )＝⎩⎨⎧3－x ，x >a ，x 2＋4x ＋3，x ≤a .又g (x )有三个不同的零点，则方程3－x ＝0，x >a 有一个解，解得x ＝3，所以a <3，方程x 2＋4x ＋3＝0，x ≤a 有两个不同的解，解得x ＝－1或x ＝－3，又因为x ≤a ，所以a ≥－1.故a 的取值范围为[－1,3)． 答案：A5．幂函数f (x )＝(m 2－4m ＋4)·x m 2－6m ＋8在(0，＋∞)上为增函数，则m 的值为( ) A ．1或3 B ．1 C ．3D ．2解析：由题意知⎩⎨⎧m 2－4m ＋4＝1，m 2－6m ＋8>0，解得m ＝1.故选B.答案：B6．下列选项正确的是( )A ．0.20.2>0.30.2C ．0.8－0.1>1.250.2D ．1.70.3>0.93.1解析：A 中，∵函数y ＝x 0.2在(0，＋∞)上为增函数，0.2<0.3，∴0.20.2<0.30.2；B 中，∵函数y ＝在(0，＋∞)上为减函数，∴；C 中，∵0.8－1＝1.25，y ＝1.25x 在R 上是增函数，0.1<0.2， ∴1.250.1<1.250.2， 即0.8－0.1<1.250.2；D 中，1.70.3>1,0.93.1<1， ∴1.70.3>0.93.1.故选D. 答案：D7．已知二次函数f (x )＝ax 2－bx ＋c ，f ′(0)<0，且f (x )∈[0，＋∞)，则f (－1)f ′(0)的最大值为( ) A ．－3 B ．－2 C ．－52D ．－32解析：由题意得f ′(x )＝2ax －b ，因为f ′(0)<0，所以b >0.由f (x )∈[0，＋∞)得⎩⎨⎧a >0Δ＝b 2－4ac ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >04ac b2≥1，所以c >0，a ＋c b >0，f (－1)f ′(0)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋c b ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c b 2＝a 2＋c 2＋2ac b 2≥4acb 2≥1，所以a ＋c b ≥1，当且仅当a ＝c ＝b 2时，等号成立，所以f (－1)f ′(0)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋cb ≤－2. 答案：B8．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R)的定义域和值域分别为A ，B ，若集合{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B }对应的平面区域是正方形区域，则实数a ，b ，c 满足( ) A ．|a |＝4B ．a ＝－4且b 2＋16c ＞0C ．a ＜0且b 2＋4ac ≤0D ．以上说法都不对解析：由题意可知a ＜0，且ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝b 2－4ac ＞0.设y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴相交于两点(x 1,0)，(x 2,0)， 则x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca ，f (x )的定义域为[x 1，x 2]， ∴|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a 2－4ca ＝b 2－4ac －a.由题意可知4ac －b 24a ＝b 2－4ac－a ，解得a ＝－4.∴实数a ，b ，c 满足a ＝－4，b 2＋16c ＞0，故选B. 答案：B9．已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在区间[0,1]上的最大值为2，则a 的值为( ) A ．2 B ．－1或－3 C ．2或－3D ．－1或2解析：函数f (x )＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1图象的对称轴为x ＝a ，且开口向下，分三种情况讨论如下：①当a ≤0时，函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在区间[0,1]上是减函数，∴f (x )max ＝f (0)＝1－a ，由1－a ＝2，得a ＝－1.②当0<a ≤1时，函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在区间[0，a ]上是增函数，在(a,1]上是减函数，∴f (x )max ＝f (a )＝－a 2＋2a 2＋1－a ＝a 2－a ＋1，由a 2－a ＋1＝2，解得a ＝1＋52或a ＝1－52，∵0<a ≤1，∴两个值都不满足，舍去．③当a >1时，函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在区间[0,1]上是增函数，∴f (x )max ＝f (1)＝－1＋2a ＋1－a ＝2，∴a ＝2. 综上可知，a ＝－1或a ＝2. 答案：D10．对二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a 为非零整数)，四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是( ) A ．－1是f (x )的零点 B ．1是f (x )的极值点 C ．3是f (x )的极值 D ．点(2,8)在曲线y ＝f (x )上解析：由已知得，f ′(x )＝2ax ＋b ，则f (x )只有一个极值点，若A 、B 正确，则有⎩⎨⎧a －b ＋c ＝0，2a ＋b ＝0，解得b ＝－2a ，c ＝－3a ，则f (x )＝ax 2－2ax －3a . 由于a 为非零整数，所以f (1)＝－4a ≠3，则C 错．而f (2)＝－3a ≠8，则D 也错，与题意不符，故A 、B 中有一个错误，C 、D 都正确．若A 、C 、D 正确，则有⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0， ①4a ＋2b ＋c ＝8， ②4ac －b 24a ＝3， ③由①②得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝83－a ，c ＝83－2a ，代入③中并整理得9a 2－4a ＋649＝0，又a 为非零整数，则9a 2－4a 为整数，故方程9a 2－4a ＋649＝0无整数解，故A 错．若B 、C 、D 正确，则有⎩⎨⎧ 2a ＋b ＝0，a ＋b ＋c ＝3，4a ＋2b ＋c ＝8，解得a ＝5，b ＝－10，c ＝8，则f (x )＝5x 2－10x ＋8，此时f (－1)＝23≠0，符合题意．故选A.答案：A 11．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5在(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，则实数a 的取值范围是________．解析：f (x )＝(x －a )2＋5－a 2，根据f (x )在区间(－∞，2]上是减函数知，a ≥2，则f (1)≥f (a ＋1)，从而|f (x 1)－f (x 2)|max ＝f (1)－f (a )＝a 2－2a ＋1，由a 2－2a ＋1≤4，解得－1≤a ≤3，又a ≥2，所以2≤a ≤3.答案：[2,3]12．若方程x 2＋ax ＋2b ＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(1,2)内，则b －2a －1的取值范围是__________．解析：令f (x )＝x 2＋ax ＋2b ，∵方程x 2＋ax ＋2b ＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(1,2)内， ∴⎩⎨⎧ f (0)>0，f (1)<0，f (2)>0，∴⎩⎨⎧ b >0，a ＋2b <－1，a ＋b >－2.根据约束条件作出可行域(图略)，可知14<b －2a －1<1. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 13．在平面直角坐标系xOy 中，设定点A (a ，a )，P 是函数y ＝1x (x ＞0)图象上一动点．若点P ，A 之间的最短距离为22，则满足条件的实数a 的所有值为________．解析：设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，1x ，x ＞0，则|P A |2＝(x －a )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －a 2＝x 2＋1x 2－2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋2a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋2a 2－2. 令t ＝x ＋1x ，则由x ＞0，得t ≥2.所以|P A |2＝t 2－2at ＋2a 2－2＝(t －a )2＋a 2－2，由|P A |取得最小值得⎩⎨⎧ a ≤222－4a ＋2a 2－2＝(22)2或⎩⎨⎧a ＞2a 2－2＝(22)2， 解得a ＝－1或a ＝10.答案：－1，1014．设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围是________．解析：由题意知，y ＝f (x )－g (x )＝x 2－5x ＋4－m 在[0,3]上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象如图所示，结合图象可知，当x ∈[2,3]时，y ＝x 2－5x ＋4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，－2， 故当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2时，函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象有两个交点．答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2。

专题五二次函数与幂函数一、题型全归纳题型一幂函数的图象及性质【题型要点】1．巧识幂函数的图象和性质2.幂函数的图象与性质问题的解题策略(1)关于图象辨识问题，关键是熟悉各类幂函数的图象特征，如过特殊点、凹凸性等．(2)关于比较幂值大小问题，结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂，选择适当的幂函数，借助其单调性进行比较或应用．(3)在解决幂函数与其他函数的图象的交点个数、对应方程根的个数及近似解等问题时，常用数形结合的思想方法，即在同一坐标系下画出两函数的图象，数形结合求解．【例1】已知幂函数y＝x m2－2m－3(m∈N*)的图象与x轴、y轴没有交点，且关于y轴对称，则m的所有可能取值为．【解析】因为幂函数y＝x m2－2m－3 (m∈N*)的图象与x轴、y轴没有交点，且关于y轴对称，所以m2－2m－3≤0且m2－2m－3(m∈N*)为偶数．由m2－2m－3≤0得－1≤m≤3，又m∈N*，所以m＝1，2，3，当m＝1时，m2－2m－3＝1－2－3＝－4为偶数，符合题意；当m＝2时，m2－2m－3＝4－4－3＝－3为奇数，不符合题意；当m＝3时，m2－2m－3＝9－6－3＝0为偶数，符合题意．综上所述，m＝1，3.【例2】幂函数y＝f(x)的图象过点(4,2)，则幂函数y＝f(x)的图象是()【解析】设幂函数的解析式为y ＝x α，因为幂函数y ＝f (x )的图象过点(4，2)，所以2＝4α，解得α＝12， 所以y ＝x ，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数，当0<x <1时，其图象在直线y ＝x 的上方．故选C. 题型二 求二次函数的解析式【题型要点】求二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，但所给条件不同选取的求解方法也不同，选择规律如下：【例1】已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．【解析】解法一(利用一般式)：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.所以所求二次函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.解法二(利用顶点式)：设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)．因为f (2)＝f (－1)，f (－1)＝－1，所以抛物线的对称轴为x ＝2＋（－1）2＝12.所以m ＝12.又根据题意函数有最大值8，所以n ＝8，所以f (x )＝a 221⎪⎭⎫ ⎝⎛-x ＋8.因为f (2)＝－1，所以a 221⎪⎭⎫ ⎝⎛-x ＋8＝－1，解得a ＝－4，所以f (x )＝－4221⎪⎭⎫ ⎝⎛-x ＋8＝－4x 2＋4x ＋7. 解法三(利用零点式)：由已知得f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1，故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)，即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值8，即4a （－2a －1）－a 24a ＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍去)， 所以所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.题型三 二次函数的图象与性质命题角度一 二次函数图象的识别问题【题型要点】确定二次函数图象应关注的三个要点一是看二次项系数的符号，它确定二次函数图象的开口方向．二是看对称轴和最值，它确定二次函数图象的具体位置．三是看函数图象上的一些特殊点，如函数图象与y 轴的交点、与x 轴的交点，函数图象的最高点或最低点等． 从这三个方面入手，能准确地判断出二次函数的图象．反之，也可以从图象中得到如上信息．【例1】(2020·陕西榆林一中模拟)如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A (－3，0)，对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论：①b 2>4ac ；②2a －b ＝1；③a －b ＋c ＝0；④5a <b .其中正确的结论是( )A ．②④B ．①④C ．②③D ．①③【答案】B【解析】因为二次函数的图象与x 轴交于两点，所以b 2－4ac >0，即b 2>4ac ，①正确；对称轴为x ＝－1，即－b 2a ＝－1，2a －b ＝0，②错误；结合图象，当x ＝－1时，y >0，即a －b ＋c >0，③错误；由对称轴为x ＝－1知，b ＝2a ，又函数图象开口向下，所以a <0，所以5a <2a ，即5a <b ，④正确．故选B.命题角度二 二次函数的单调性及最值问题【题型要点】二次函数的单调性及最值问题(1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动．(2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．【例1】求函数f (x )＝x 2＋2ax ＋1在区间[－1，2]上的最大值．【解析】f (x )＝(x ＋a )2＋1－a 2，所以f (x )的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x ＝－a .①当－a <12即a >－12时，f (x )max ＝f (2)＝4a ＋5.②当－a ≥12即a ≤－12时，f (x )max ＝f (－1)＝2－2a ， 综上，f (x )max ＝⎩⎨⎧4a ＋5，a >－12，2－2a ，a ≤－12. 【例2】函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值范围是 ．【解析】当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上递减，满足条件．当a ≠0时，f (x )的对称轴为x ＝3－a 2a ，由f (x )在[－1，＋∞)上递减知⎩⎪⎨⎪⎧a <03－a 2a≤－1， 解得－3≤a <0.综上，a 的取值范围为[－3，0]．故填[－3，0]．命题角度三 一元二次不等式恒成立问题【题型要点】1.不等式恒成立求参数取值范围的思路一是分离参数；二是不分离参数．两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域．2.记牢一元二次不等式恒成立的条件(1)ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b 2－4ac <0. (2)ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b 2－4ac <0.【例1】已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是 ．【解析】作出二次函数f (x )的草图，对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0，则有⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）<0，f （m ＋1）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m 2－1<0，（m ＋1）2＋m （m ＋1）－1<0，解得－22<m <0. 【例2】已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋1，f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，则k 的取值范围为 ．【解析】由题意得x 2＋x ＋1>k 在区间[－3，－1]上恒成立．设g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，则g (x )在[－3，－1]上递减．所以g (x )min ＝g (－1)＝1.所以k <1.故k 的取值范围为(－∞，1)．题型四 分类讨论思想在二次函数问题中的应用【题型要点】二次函数是单峰函数(在定义域上只有一个最值点的函数)，x ＝－b 2a为其最值点横坐标，在其两侧二次函数具有相反的单调性，当已知二次函数在某区间上的最值求参数时，要根据对称轴与已知区间的位置关系、二次函数开口方向进行分类讨论，研究其最值【例1】已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－1，2]上有最大值4，则实数a 的值为________．【解析】：f (x )＝a (x ＋1)2＋1－a .(1)当a ＝0时，函数f (x )在区间[－1，2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；(2)当a >0时，函数f (x )在区间[－1，2]上是增函数，最大值为f (2)＝8a ＋1＝4，解得a ＝38； (3)当a <0时，函数f (x )在区间[－1，2]上是减函数，最大值为f (－1)＝1－a ＝4，解得a ＝－3.【例2】已知函数f (x )＝x 2－2tx ＋1在区间[2，5]上单调且有最大值为8，则实数t 的值为 ．【解析】 函数f (x )＝x 2－2tx ＋1图象的对称轴是x ＝t ，函数在区间[2，5]上单调，故t ≤2或t ≥5.若t ≤2，则函数f (x )在区间[2，5]上是增函数，故f (x )max ＝f (5)＝25－10t ＋1＝8，解得t ＝95；若t ≥5，则函数f (x )在区间[2，5]上是减函数， 此时f (x )max ＝f (2)＝4－4t ＋1＝8，解得t ＝－34，与t ≥5矛盾．综上所述，t ＝95.综上可知，a 的值为38或－3. 二、高效训练突破一、选择题1.(2020·洛阳一中月考）抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点在第一象限，与x 轴的两个交点分别位于原点两侧，则a ，b ，c 的符号为( )A ．a ＜0，b ＜0，c ＜0B ．a ＜0，b ＞0，c ＞0C ．a ＜0，b ＜0，c ＞0D ．a ＜0，b ＞0，c ＜0【解析】 由题意知抛物线开口向下，故a <0.由抛物线与x 轴的两个交点分别位于原点两侧得c a<0，所以c >0.再由顶点在第一象限得－b 2a>0，所以b >0. 2．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋5满足条件f (－1)＝f (3)，则f (2)的值为( )A ．5B ．6C ．8D ．与a ，b 的值有关【解析】因为函数f (x )＝ax 2＋bx ＋5满足条件f (－1)＝f (3)，所以f (x )＝ax 2＋bx ＋5的图象关于x ＝－1＋32＝1对称，则f (2)＝f (0)＝5.故选A.3.如图是①y ＝x a ；②y ＝x b ；③y ＝x c 在第一象限的图象，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <b <aB ．a <b <cC ．b <c <aD ．a <c <b【解析】：根据幂函数的性质，可知选D.4．(2020·辽宁第一次联考)设函数f (x )＝x 23，若f (a )>f (b )，则( )A ．a 2>b 2B ．a 2<b 2C ．a <bD ．a >b 【答案】A.【解析】：函数f (x )＝x23＝(x 2)13，令t ＝x 2，易知y ＝t 13，在第一象限为单调递增函数．又f (a )>f (b )，所以a 2>b 2.故选A. 5．对任意的x ∈[－2,1]，不等式x 2＋2x －a ≤0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，3]C ．[0，＋∞)D ．[3，＋∞)【解析】设f (x )＝x 2＋2x －a (x ∈[－2,1])，其对称轴为x ＝－1，所以当x ＝1时，f (x )取得最大值3－a ， 所以3－a ≤0，解得a ≥3.故选D.6.(2020·石家庄市模拟(一))若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的图象与x 轴的交点为(1，0)和(3，0)，则函数f (x )( )A ．在(－∞，2)上递减，在[2，＋∞)上递增B ．在(－∞，3)上递增C ．在[1，3]上递增D ．单调性不能确定【解析】：由已知可得该函数图象的对称轴为x ＝2，又二次项系数为1>0，所以f (x )在(－∞，2)上是递减的，在[2，＋∞)上是递增的．7.(2020·福建连城一模)已知函数f (x )＝2ax 2－ax ＋1(a <0)，若x 1<x 2，x 1＋x 2＝0，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系是( )A ．f (x 1)＝f (x 2)B ．f (x 1)>f (x 2)C ．f (x 1)<f (x 2)D ．与x 的值无关【解析】：由题知二次函数f (x )的图象开口向下，图象的对称轴为x ＝14，因为x 1＋x 2＝0，所以直线x ＝x 1，x ＝x 2关于直线x ＝0对称，由x 1<x 2，结合二次函数的图象可知f (x 1)<f (x 2)．8.(2020·甘肃甘谷一中第一次质检)若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡4-425-，，则m 的取值范围是( )A ．[0，4] B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡423， C.⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，23D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡323， 【解析】：二次函数图象的对称轴为x ＝32，且⎪⎭⎫ ⎝⎛23f ＝－254，f (3)＝f (0)＝－4，结合函数图象(如图所示)可得m ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡323，9．(2019·襄阳五中期中)已知a ，b ，c ，d 都是常数，a ＞b ，c ＞d .若f (x )＝2 019－(x －a )(x －b )的零点为c ，d ，则下列不等式正确的是( )A ．a ＞c ＞b ＞dB ．a ＞b ＞c ＞dC ．c ＞d ＞a ＞bD ．c ＞a ＞b ＞d 【解析】 f (x )＝2 019－(x －a )(x －b )＝－x 2＋(a ＋b )x －ab ＋2 019，又f (a )＝f (b )＝2 019，c ，d 为函数f (x )的零点，且a ＞b ，c ＞d ，所以可在平面直角坐标系中作出函数f (x )的大致图象，如图所示，由图可知c ＞a ＞b ＞d .故选D.10.(2019·杭州测试)若函数f (x )＝x 2－2x ＋1在区间[a ，a ＋2]上的最小值为4，则实数a 的取值集合为( )A ．[－3,3]B ．[－1,3]C ．{－3,3}D ．{－1，－3,3}【解析】因为函数f (x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2的图象的对称轴为直线x ＝1，f (x )在区间[a ，a ＋2]上的最小值为4，所以当a ≥1时，f (x )min ＝f (a )＝(a －1)2＝4，a ＝－1(舍去)或a ＝3；当a ＋2≤1，即a ≤－1时，f (x )min ＝f (a ＋2)＝(a ＋1)2＝4，a ＝1(舍去)或a ＝－3；当a ＜1＜a ＋2，即－1＜a ＜1时，f (x )min ＝f (1)＝0≠4.故a 的取值集合为{－3,3}．故选C.二、填空题1.二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x ＝2，最小值为－1，则它的解析式为________．【解析】依题意可设f (x )＝a (x －2)2－1(a ＞0)，又其图象过点(0,1)，所以4a －1＝1，所以a ＝12，所以 f (x )＝12(x －2)2－1. 2.(2020·甘肃兰州一中月考)已知函数f (x )＝(m 2－m －1)x m2－2m －3是幂函数，且在x ∈(0，＋∞)上递减，则实数m ＝ ．【解析】：根据幂函数的定义和性质，得m 2－m －1＝1.解得m ＝2或m ＝－1，当m ＝2时，f (x )＝x －3在(0，＋∞)上是减函数，符合题意；当m ＝－1时，f (x )＝x 0＝1在(0，＋∞)上不是减函数，所以m ＝2.3.设函数f (x )＝mx 2－mx －1，若对于x ∈R ，f (x )<0恒成立，则实数m 的取值范围是 ．【解析】：当m ＝0时，f (x )＝－1<0，符合题意．当m ≠0时，f (x )为二次函数，则由f (x )<0恒成立得⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m <0，（－m ）2－4m ×（－1）<0，解得－4<m <0.故实数m 的取值范围是(－4，0]． 4.若函数f (x )＝x 2－2x ＋1在区间[a ，a ＋2]上的最小值为4，则a 的取值集合为 ．【解析】：因为函数f (x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2，对称轴x ＝1，因为f (x )在区间[a ，a ＋2]上的最小值为4， 所以当1≤a 时，f (x )min ＝f (a )＝(a －1)2＝4，解得a ＝－1(舍去)或a ＝3，当a ＋2≤1，即a ≤－1时，f (x )min ＝f (a ＋2)＝(a ＋1)2＝4，解得a ＝1(舍去)或a ＝－3，当a <1<a ＋2，即－1<a <1时，f (x )min ＝f (1)＝0≠4，故a 的取值集合为{}－3，3.5.(2020·重庆(区县)调研测试)已知函数f (x )＝－2x 2＋mx ＋3(0≤m ≤4，0≤x ≤1)的最大值为4，则m 的值为 ．【解析】：f (x )＝－2x 2＋mx ＋3＝－224⎪⎭⎫ ⎝⎛-m x ＋m 28＋3， 因为0≤m ≤4，所以0≤m 4≤1，所以当x ＝m 4时，f (x )取得最大值，所以m 28＋3＝4，解得m ＝2 2. 6.(2019·河北师大附中期中)若函数f (x )＝mx 2－2x ＋3在[－1，＋∞)上单调递减，则实数m 的取值范围为________．【解析】当m ＝0时，f (x )＝－2x ＋3在R 上单调递减，符合题意；当m ≠0时，函数f (x )＝mx 2－2x ＋3在[－1，＋∞)上单调递减，只需对称轴x ＝1m≤－1，且m ＜0，解得－1≤m ＜0，综上，实数m 的取值范围为[－1,0]． 7.定义：如果在函数y ＝f (x )定义域内的给定区间[a ，b ]上存在x 0(a <x 0<b )，满足f (x 0)＝f （b ）－f （a ）b －a，则称函数y ＝f (x )是[a ，b ]上的“平均值函数”，x 0是它的一个均值点，如y ＝x 4是[－1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f (x )＝－x 2＋mx ＋1是[－1，1]上的平均值函数，则实数m 的取值范围是 ．【解析】：因为函数f (x )＝－x 2＋mx ＋1是[－1，1]上的平均值函数，设x 0为均值点，所以f （1）－f （－1）1－（－1）＝m ＝f (x 0)，即关于x 0的方程－x 20＋mx 0＋1＝m 在(－1，1)内有实数根， 解方程得x 0＝1或x 0＝m －1.所以必有－1<m －1<1，即0<m <2，所以实数m 的取值范围是(0，2)．三、解答题1.(2019·杭州模拟)已知值域为[－1，＋∞)的二次函数f (x )满足f (－1＋x )＝f (－1－x )，且方程f (x )＝0的两个实根x 1，x 2满足|x 1－x 2|＝2.(1)求f (x )的表达式；(2)函数g (x )＝f (x )－kx 在区间[－1,2]上的最大值为f (2)，最小值f (－1)，求实数k 的取值范围．【解析 (1)由f (－1＋x )＝f (－1－x )可得f (x )的图象关于直线x ＝－1对称，设f (x )＝a (x ＋1)2＋h ＝ax 2＋2ax ＋a ＋h (a ≠0)，由函数f (x )的值域为[－1，＋∞)，可得h ＝－1，根据根与系数的关系可得x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝1＋h a ，所以|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝－4h a＝2，解得a ＝1，所以f (x )＝x 2＋2x . (2)由题意得函数g (x )在区间[－1,2]上单调递增，又g (x )＝f (x )－kx ＝x 2－(k －2)x .所以g (x )的对称轴方程为x ＝k －22，则k －22≤－1，即k ≤0，故k 的取值范围为(－∞，0]．2.(2020·辽宁第一次联考)已知幂函数f (x )＝(m －1)2x m 2－4m ＋3(m ∈R )在(0，＋∞)上单调递增．(1)求m 的值及f (x )的解析式； (2)若函数g (x )＝－3f （x ）2＋2ax ＋1－a 在[0，2]上的最大值为3，求实数a 的值．【解析】：(1)幂函数f (x )＝(m －1)2x m 2－4m ＋3 (m ∈R )在(0，＋∞)上单调递增，故⎩⎪⎨⎪⎧（m －1）2＝1，m 2－4m ＋3>0，解得m ＝0，故f (x )＝x 3. (2)由f (x )＝x 3，得g (x )＝－3f （x ）2＋2ax ＋1－a ＝－x 2＋2ax ＋1－a ，函数图象为开口方向向下的抛物线，对称轴为x ＝a .因为在[0，2]上的最大值为3，所以 ①当a ≥2时，g (x )在[0，2]上单调递增，故g (x )max ＝g (2)＝3a －3＝3，解得a ＝2. ②当a ≤0时，g (x )在[0，2]上单调递减，故g (x )max ＝g (0)＝1－a ＝3，解得a ＝－2. ③当0<a <2时，g (x )在[0，a ]上单调递增，在[a ，2]上单调递减，故g (x )max ＝g (a )＝a 2＋1－a ＝3，解得a ＝－1(舍去)或a ＝2(舍去)．综上所述，a ＝±2.3.已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5(a >1)．(1)若函数f (x )的定义域和值域均为[1，a ]，求实数a 的值；(2)若f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，求实数a 的取值范围．【解析】：(1)因为f (x )＝x 2－2ax ＋5在(－∞，a ]上为减函数，所以f (x )＝x 2－2ax ＋5(a >1)在[1，a ]上单调递减，即f (x )max ＝f (1)＝a ，f (x )min ＝f (a )＝1，所以a ＝2或a ＝－2(舍去)．即实数a 的值为2.(2)因为f (x )在(－∞，2]上是减函数，所以a ≥2.所以f (x )在[1，a ]上单调递减，在[a ，a ＋1]上单调递增，又函数f (x )的对称轴为直线x ＝a ，所以f (x )min ＝f (a )＝5－a 2，f (x )max ＝max{f (1)，f (a ＋1)}，又f(1)－f(a＋1)＝6－2a－(6－a2)＝a(a－2)≥0，所以f(x)max＝f(1)＝6－2a.因为对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，所以f(x)max－f(x)min≤4，即6－2a－(5－a2)≤4，解得－1≤a≤3.又a≥2，所以2≤a≤3.即实数a的取值范围为2≤a≤3.。

2.如图是①y＝x a；②y＝x b；③y＝x c在第一象限的图象，则a，b，c的大小关系为()A.c＜b＜aB.a＜b＜cC.b＜c＜aD.a＜c＜bD[根据幂函数的性质，可知选D.]3．已知函数f(x)＝x2＋4ax在区间(－∞，6)内单调递减，则a的取值范围是()A.a≥3 B．a≤3C.a＜－3 D．a≤－3D[函数f(x)＝x2＋4ax的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x＝－2a，由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知，区间(－∞，6)应在直线x＝－2a的左侧，所以－2a≥6，解得a≤－3，故选D.]4．函数g(x)＝x2－2x(x∈[0，3])的值域是________．[－1，3][∵g(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0，3]，∴当x＝1时，g(x)min＝g(1)＝－1，又g(0)＝0，g(3)＝9－6＝3，∴g(x)max＝3，即g(x)的值域为[－1，3].](对应学生用书第27页)考点1幂函数的图象及性质幂函数的性质与图象特征的关系(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)判断幂函数y＝xα(α∈R)的奇偶性时，当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．(3)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α＞0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α＜0.1.幂函数y＝f(x)的图象经过点(3，3)，则f(x)是()A.偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，如T3.考点2求二次函数的解析式求二次函数解析式的策略设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0).又∵f(x)的图象经过点(4，3)，∴3a＝3，a＝1.∴所求f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3.]考点3二次函数的图象与性质解决二次函数图象与性质问题时应注意2点(1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论．(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解).二次函数的图象[多选]二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论中正确的是()A.b＝－2aB.a＋b＋c＜0C.a－b＋c＞0D.abc＜0AD[由图象知a＜0，对称轴x＝－b2a＝1，则b＝－2a，则b＞0，由f(0)＝c＞0，∴abc＜0，由f(－1)＜0，则a－b＋c＜0，由f(1)＞0，则a＋b＋c＞0，故选AD.]识别二次函数图象应学会“三看”(1)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0成立，则实数m 的取值范围是________；(2)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋1，f (x )＞x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，则k 的取值范围为________．(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 (2)(－∞，1) [(1)作出二次函数f (x )的草图如图所示，对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0，则有⎩⎨⎧f （m ）＜0，f （m ＋1）＜0，即⎩⎨⎧m2＋m2－1＜0，（m ＋1）2＋m （m ＋1）－1＜0， 解得－22＜m ＜0.(2)由题意得x 2＋x ＋1＞k 在区间[－3，－1]上恒成立． 设g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]， 则g (x )在[－3，－1]上递减． ∴g (x )min ＝g (－1)＝1.∴k ＜1.故k 的取值范围为(－∞，1).]。

第五讲幂函数与二次函数ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE 知识梳理·双基自测知识梳理知识点一 幂函数 函数y ＝xy ＝x 2y ＝x 3y ＝x 12y ＝x －1图象定义域 R R R {x |x ≥0} {x |x ≠0} 值域 R {y |y ≥0} R {y |y ≥0} {y |y ≠0} 奇偶性奇 函数偶 函数 奇 函数非奇非偶 函数奇 函数 单调性在R 上单 调递增在(－∞，0)上单调递减， 在(0，＋∞) 上单调递增在R 上 单调递增在[0，＋∞) 上单调递增在(－∞，0) 和(0，＋∞) 上单调递减公共点(1,1) 解析式f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象定义域 RR值域[4ac －b 24a，＋∞) (－∞，4ac －b 24a ]单调性在(－∞，－b 2a )上单调递减，在[－b2a，＋∞)上单调递增在(－∞，－b2a)上单调递增，在[－b2a，＋∞)上单调递减重要结论1．二次函数解析式的三种形式： (1)一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)； (2)顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)； (3)零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． 2．一元二次不等式恒成立的条件：(1)“ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立”的充要条件是“a >0，且Δ<0”． (2)“ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立”的充要条件是“a <0，且Δ<0”．双基自测题组一 走出误区1．(多选题)下列结论中不正确的是( ABD ) A ．y ＝x 0的图象是一条直线B ．若幂函数y ＝x n 是奇函数，则y ＝x n 是增函数C ．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )不可能是奇函数D ．当n <0时，幂函数y ＝x n 是定义域上的减函数 题组二 走进教材2．(必修1P 79T1改编)已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点(12，22)，则k ＋α＝( C )A ．12B ．1C ．32D ．2[解析] 由幂函数的定义知k ＝1.又f (12)＝22，所以(12)α＝22，解得α＝12，从而k ＋α＝32.3．(必修1P 39BT1改编)函数f (x )＝－x 2－6x ＋8，当x ＝－3时，函数取得最大值17. 4．(必修1P 44AT9改编)二次函数y ＝f (x )满足f (－1)＝f (3)，x 1，x 2是方程f (x )＝0的两根，则x 1＋x 2＝2.题组三 考题再现5．(2016·全国卷Ⅲ)已知a ＝243 ，b ＝323 ，c ＝2513 ，则(A )A ．b <a <cB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b[解析]f (x )＝x 13 在(0，＋∞)上为增函数，a ＝1613 ，b ＝913 ，c ＝2513 ，∴c >a >b .故选A ．6．(2017·浙江卷，5)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( B )A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，且与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，且与b 有关[解析] f (x )＝(x ＋a 2)2－a 24＋b ，①当0≤－a 2≤1时，f (x )min ＝m ＝f (－a 2)＝－a 24＋b ，f (x )max＝M ＝max{f (0)，f (1)}＝max{b,1＋a ＋b }，∴M －m ＝max{a 24，1＋a ＋a 24}与a 有关，与b 无关；②当－a2<0时，f (x )在[0,1]上单调递增，∴M －m ＝f (1)－f (0)＝1＋a 与a 有关，与b 无关；③当－a2>1时，f (x )在[0,1]上单调递减，∴M －m ＝f (0)－f (1)＝－1－a 与a 有关，与b 无关．综上所述，M －m 与a 有关，但与b 无关，故选B ．KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU 考点突破·互动探究考点一 幂函数图象与性质——自主练透例1 (1)(2020·河北衡水武邑中学高三上第一次调研)已知幂函数y ＝f (x )的图象，经过点(2,22)，则幂函数的解析式为( C )A ．y ＝2x 12B ．y ＝x 12C ．y ＝x 32D ．y ＝12x 52(2)若四个幂函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c ，y ＝x d 在同一坐标系中的图象如图所示，则a ，b ，c ，d 的大小关系是( B )A ．d >c >b >aB ．a >b >c >dC ．d >c >a >bD ．a >b >d >c(3)(2018·上海)已知α∈{－2，－1，－12，12，1,2,3}，若幂函数f (x )＝x α为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝－1.(4)若(a ＋1) 12 <(3－2a ) 12 ，则实数a 的取值范围是[－1，23).[解析] (1)幂函数y ＝f (x )＝x α的图象经过点(2,22)，∴2α＝22，解得α＝32，∴幂函数的解析式为y ＝x 32 .故选C ．(2)由幂函数图象性质知，在x ＝1右侧从下至上次数依次增大，故选B ． (3)由奇函数知α＝－1,1,3，又在(0，＋∞)为减函数知α＝－1.(4)由幂函数y ＝x 性质得⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >a ＋1a ＋1≥0，解得－1≤a <23.故填[－1，23)．名师点拨 ☞(1)幂函数的形式是y ＝x α(α∈R )，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x 轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x 轴．(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．考点二 二次函数的图象与性质考向1 二次函数的解析式——师生共研例2 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，求此二次函数的解析式．[解析] 解法一：利用“一般式”解题： 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意得⎩⎨⎧ 4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 解法二：利用“顶点式”解题： 设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． ∵f (2)＝f (－1)，∴抛物线的对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12，∴m ＝12.又根据题意，函数有最大值8，∴n ＝8， ∴y ＝f (x )＝a (x －12)2＋8.∵f (2)＝－1，∴a (2－12)2＋8＝－1，解得a ＝－4，∴f (x )＝－4(x －12)2＋8＝－4x 2＋4x ＋7.(解法三：利用“零点式”解题：由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)(a ≠0)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值8，即4a (－2a －1)－a 24a ＝8，解得a ＝－4或a ＝0(舍去)．∴所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.名师点拨 ☞。

考点7 二次函数与幂函数1．函数在区间的最大值是( )A． 0 B．C． D． 1【答案】C2．已知函数在R上是减函数，则的取值X围是A． B． C． D．【答案】B【解析】由f（x）=ax3+3x2﹣x+2，得到=3ax2+6x﹣1，因为函数在R上是减函数，所以=3ax2+6x﹣1≤0恒成立，所以，由△=36+12a≤0，解得a≤﹣3，则a的取值X围是（﹣∞，﹣3]．故答案为：B.3．，若方程f(x)=x无实根，则方程f(f(x))=x( )A．有四个相异实根 B．有两个相异实根 C．有一个实根 D．无实数根【答案】D【解析】∵f（x）=ax2+bx+c（a≠0）方程f（x）=x 即f（x）-x=ax2+（b-1）x+c=0无实根，f（x）-x仍是二次函数，f（x）-x=0仍是二次方程，且无实根，∴△＜0．若a＞0，则函数y=f（x）-x的图象在x轴上方，∴y＞0，即f（x）-x＞0恒成立，即：f（x）＞x对任意实数x恒成立．∴对f（x），有f（f（x））＞f（x）＞x恒成立，∴f（f（x））=x无实根．故选D.4．函数的值域为A． B． C． D．5．平行四边形中，点在边上，则的最大值为A． 2 B． C． 0 D．【答案】A【解析】∵平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，，点M在边CD上，∴=﹣1，cos∠A=﹣1，6．中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，关于“刍童”体积计算的描述，《九章算术》注曰：“倍上袤，下袤从之。

亦倍下袤，上袤从之。

各以其广乘之，并以高乘之，皆六而一。

”其计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘；将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘；把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一。

已知一个“刍童”的下底面是周长为18的矩形，上底面矩形的长为3，宽为2，“刍童”的高为3，则该“刍童”的体积的最大值为A． B． C． 39 D．【答案】D7．在区间上任取一个数，则函数在上的最大值是的概率为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】在区间[﹣2，2]上任取一个数a，基本事件空间对应区间的长度是4，由y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，x∈[0，4]，得y∈[﹣1，3]，∴﹣1﹣a≤x2﹣4x+3﹣a≤3﹣a，∴|x2﹣4x+3﹣a|的最大值是|3﹣a|或|﹣1﹣a|，即最大值是|3﹣a|或|1+a|；令|3﹣a|≥|1+a|，得（3﹣a）2≥（1+a）2，解得a≤1；又a∈[﹣2，2]，∴﹣2≤a≤1；∴当a∈[﹣2，1]时，|3﹣a|=3﹣a，∴f（x）=|x2﹣4x+3﹣a|+a在x∈[0，4]上的最大值是3﹣a+a=3，满足题意；当a∈（1，2]时，|1+a|=a+1，函数f（x）=|x2﹣4x+3﹣a|+a在x∈[0，4]上的最大值是2a+1，由1＜a≤2，得3＜2a+1≤5，f（x）的最大值不是3.则所求的概率为P=．故答案为：A.8．已知函数，对任意不等实数，不等式恒成立，则实数的取值X围为（）A． B． C． D．【答案】D9．二次函数的导数为，对一切，，又，则的最小值是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵f（x）=ax2+bx+c，∴f′（x）=2ax+b，f′（0）=b＞0，∵对任意实数x都有f（x）≥0，∴a ＞0，c＞0，b2-4ac≤0即而，故答案为：A .10．已知抛物线的焦点为，点为上一动点，，,且的最小值为，则等于A． 4 B． C． 5 D．【答案】B【解析】设点，则．∴，∴当时，有最小值，且最小值为．由题意得，整理得，解得或．又，∴，∴点B坐标为．∴由抛物线的定义可得．故选B．11．已知函数,则该函数的最小值是________.【答案】212．已知二次函数f（x）=ax2+2x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），则的最小值为_____．【答案】4【解析】由题意知，则当且仅当时取等号．∴的最小值为4．13．已知关于x的不等式＞0在[1，2]上恒成立，则实数m的取值X围为___________ 【答案】14．设函数，若，，则对任意的实数，的最小值为_________________．【答案】1015．已知实数，且满足，则的取值X围是__________. 【答案】【解析】又，，设，a，b是方程的两个实根.，①存在时，使，，，即.②存在时，使，，，即..故答案为：.16．设正实数满足，则的最小值是__________.【答案】17．已知函数的最小值为，则实数的取值集合为__________．【答案】.18．已知函数.(1)若函数的图象与轴无交点，求的取值X围；(2)若函数在上存在零点，求的取值X围. 【答案】（1）；（2）.19．已知为二次函数，且，（1）求的表达式；（2）设，其中，为常数且，求函数的最小值. 【答案】（1）；（2）见解析.【解析】（1）设f（x）=ax2+bx+c 2x2﹣4x故有即，所以f（x）=x2﹣2x﹣1;,综上所述：20．已知集合，集合，集合. （1）当时，若，某某数的取值X围；（2）当时，求集合中的函数的单调减区间.【答案】（1）或；（2）.21．已知函数f(x)=x2-2ax-1+a,a∈R.(1)若a=2,试求函数y=(x>0)的最小值.(2)对于任意的x∈[0,2],不等式f(x)≤a成立,试求a的取值X围.【答案】（1）；（2）22．已知函数，其中为常数.(1)若函数在区间上单调递减，某某数的取值X围:(2)若，都有，某某数的取值X围.【答案】（1）（2）【解析】 (1)因为开口向上，所以该函数的对称轴是因此解得所以的取值X围是.(2)因为恒成立，所以整理得解得因此，的取值X围是.23．已知函数的最大值为t．(I)求t的值以及此时x的取值集合；(II)若实数满足，证明：. 【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)证明见解析.。

专题二函数狂刷05二次函数与幂函数1．若关于的不等式在区间上有解，则的取值范围是A．B．C．D．【答案】D2．若幂函数在（0，+∞）上为增函数，则实数m= A．B．C．D．或4【答案】A【解析】幂函数在（0，+∞）上为增函数，，解得，（舍去）.故选A.3．已知函数在区间上是单调增函数，则实数的取值范围为A．B．C．D．【答案】B4． 如图所示的曲线是幂函数 y x α=在第一象限的图象，已知11{44}44α∈--,,,，相应曲线1234,,,C C C C 对应的α值依次为A ．114444--，，， B ．114444--，，，C ．114444--，，，D ．114444--，，，【答案】B【解析】结合幂函数的单调性及图象，易知曲线1234,,,C C C C 对应的α值依次为114444--，，，．故本题选B ．5．已知函数261y x ax =-+在区间(,6]-∞上为减函数，则实数a 的取值范围是 A ．(,2]-∞- B ．(,2]-∞ C ．[2,)-+∞D ．[2,)+∞【答案】D【解析】主要考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键． 函数261y x ax =-+的图象开口向上，且以直线3x a =为对称轴，若函数261y x ax =-+在区间(,6]-∞上为减函数，则36a ≥，即2a ≥，故实数a 的取值范围为[2,)+∞．故选D ．6．“2a =”是“函数()223f x x ax =--在区间[2,)+∞上为增函数”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A7．有四个幂函数：①()1f x x -=；②()2f x x -=；③()3f x x =；④()13f x x =．某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的如下三个性质： （1）是偶函数；（2）值域是{|y y ∈R ， 且0}y ≠； （3）在(,0)-∞ 上是增函数．如果他给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是 A ．① B ．② C ．③D ．④【答案】B【解析】本题考查幂函数的性质．对于函数①()1f x x -=，这是一个奇函数，值域是{|y y ∈R ， 且0}y ≠，在(,0)-∞上是减函数，不符合题意；对于函数②()2f x x -=，这是一个偶函数，其值域是{|y y ∈R ，且0}y >，在(,0)-∞上单调递增，符合题意，故选B ．8．已知函数的定义域和值域都为，则______.【答案】5【解析】函数f （x ）=x 2﹣2ax +b （a ＞1）的对称轴方程为x =，所以函数f （x ）=x 2﹣2ax +b 在[1，a ]上为减函数， 又函数在[1，a ]上的值域也为[1，a ]， 则，即，由①得：b =3a ﹣1，代入②得：a 2﹣3a +2=0，解得：a =1（舍），a =2． 把a =2代入b =3a ﹣1得：b =5． 故答案为5． 学科……网 9．幂函数的图象关于轴对称，则实数＝_______.【答案】210．若函数()f x 是幂函数，且满足(4)3(2)f f =，则1()2f 的值等于_______________．【答案】13【解析】本题考查幂函数．令()f x x α=，因为(4)3(2)f f =，即432αα=⨯，解得2log 3α=； 所以2log 3()f x x=，所以2221log log 3log 33111()()22223f -====．11．已知函数2()68,[1,]f x x x x a =-+∈，且()f x 的最小值为()f a ，则实数a 的取值范围是___________．【答案】(1，3]【解析】函数2()68f x x x =-+的对称轴为3x =，根据函数的单调性有3a ≤，又1a >，故13a <≤．故填(1，3]．12．若00x y ≥≥，，且21x y +=，则223x y +的最小值为_______________．【答案】34【解析】10021,02x y x y y ≥≥+=∴≤≤，，，令2222223243333Z x y y y y =+=-+=-+（）， 由1[0,]2y ∈，可得当12y =时，223Z x y =+取得最小值34．13．若函数对于一切实数都有，则A ．B ．C ．D ．【答案】A14．当11,132{}α∈-，,时，幂函数y x α=的图象不可能经过的象限是 A ．第二象限 B ．第三象限 C ．第四象限D ．第二、四象限【答案】D【解析】1y x -=的图象经过第一、三象限，12y x =的图象经过第一象限，y x =的图象经过第一、三象限，3y x =的图象经过第一、三象限．故选D ．15．已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ．若f (0)＝f (4)＞f (1)，则A ．a ＞0，4a ＋b ＝0B ．a ＜0，4a ＋b ＝0C ．a ＞0，2a ＋b ＝0D ．a ＜0，2a ＋b ＝0【答案】A【解析】由f (0)＝f (4)知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 对称轴为x ＝2，即22ba-=．所以4a ＋b ＝0，又f (0)＞f (1)且f (0)，f (1)在对称轴同侧，故函数f (x )在(－∞，2]上单调递减，则抛物线开口向上，故a ＞0，故选A ．16．已知函数f (x )=x 2−2(a ＋2)x ＋a 2，g (x )=−x 2＋2(a −2)x −a 2＋8.设H 1(x )=max{f (x )，g (x )}，H 2(x )=min{f (x )，g (x )}(max{p ，q }表示p ，q 中的较大值，min{p ，q }表示p ，q 中的较小值)．记H 1(x )的最小值为A ，H 2(x )的最大值为B ，则A −B = A ．a 2−2a −16B ．a 2＋2a −16C ．−16D ．16【答案】C17．中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，关于“刍童”体积计算的描述，《九章算术》注曰：“倍上袤，下袤从之。