最新13高阶导数与高阶偏导数汇总

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偏导数公式大全24个

偏导数公式大全24个偏导数是多元函数微分学中的重要概念，用于描述函数在特定方向上的变化率。

在实际问题中，偏导数常常被用于求解最优化、梯度下降等问题。

下面是24个常用的偏导数公式，每个公式都有它们的特定应用场景。

1. 常数偏导数公式：对于常数函数f(x)=c，其偏导数为0，即f/x = 0。

2. 幂函数偏导数公式：对于幂函数f(x)=x^n，其中n为常数，其偏导数为f/x = n*x^(n-1)。

3. 指数函数偏导数公式：对于指数函数f(x)=a^x，其中a为常数，其偏导数为f/x = a^x * ln(a)。

4. 对数函数偏导数公式：对于对数函数f(x)=log_a(x)，其中a为常数且a>0，其偏导数为f/x = 1/(x * ln(a))。

5. 三角函数偏导数公式：对于三角函数f(x)=sin(x)，其偏导数为f/x = cos(x)。

类似地，对于cos(x)和tan(x)函数，其偏导数分别为-sin(x)和sec^2(x)。

6. 反三角函数偏导数公式：对于反三角函数f(x)=asin(x)，其中a为常数，其偏导数为f/x = a/sqrt(1-x^2)。

类似地，对于acos(x)和atan(x)函数，其偏导数分别为-a/sqrt(1-x^2)，-1/sqrt(1+x^2)。

7. 求和公式：对于多个函数的和f(x) = g(x) + h(x)，其偏导数为f/x = g/x + h/x。

8. 积函数公式：对于两个函数的积f(x) = g(x) * h(x)，其偏导数为f/x = g(x) * h/x + h(x) * g/x。

9. 商函数公式：对于两个函数的商f(x) = g(x) / h(x)，其偏导数为f/x = (h(x) * g/x - g(x) * h/x) / h(x)^2。

10. 复合函数公式：对于复合函数f(g(x))，其中f和g是两个函数，其偏导数为f/x = f/g * g/x。

多元函数高阶导数

多元函数高阶导数作为微积分中的重要概念，导数可以理解为某一函数在某一点处的切线斜率。

在单变量函数中，我们常常利用极限的方法求导。

但在多元函数中，情况就会变得更为复杂。

本文将介绍多元函数的高阶导数，为读者打开一扇理解多元函数导数若干复杂问题的新门径。

1. 多元函数定义多元函数是指将多个变量作为自变量的函数，可以表示为$ f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} $。

在一元函数中，自变量只有一个，如$f(x) = x^2$。

而在多元函数中，自变量可以是两个或多个，如$f(x,y) = x^2 + y^2$。

2. 偏导数多元函数中，存在若干个自变量，求导时需要指定对某一个自变量求导。

这就是偏导数的概念。

偏导数是指在其他自变量不变的情况下，对某一自变量求导得到的导数。

以二元函数为例，假设有$f(x,y) = x^2 + y^2$，求其在点$(1,1)$处对$x$的偏导数。

我们可以先将函数$ f(x,y) $带入偏导数的定义式：$$\frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{f(x + \Delta x,y) - f(x,y)}{\Delta x}$$由于我们要在$(1,1)$处求偏导数，因此将$x$代入$1$，得到：$$\frac{\partial f}{\partial x}|_{(1,1)} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(1 + \Delta x,1) - f(1,1)}{\Delta x}$$化简后得到：$$\frac{\partial f}{\partial x}|_{(1,1)} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(1+\Delta x)^2 + 1^2 - (1^2 + 1^2)}{\Delta x} = 2$$同样的，我们可以求出在$(1,1)$处对$y$的偏导数：$$\frac{\partial f}{\partial y}|_{(1,1)} = \lim_{\Delta y \rightarrow 0} \frac{f(1,1 + \Delta y) - f(1,1)}{\Delta y} = 2$$3. 高阶偏导数如果某一函数的偏导数存在，我们就可以考虑对它进行求导。

偏导数与高阶导数

解
将点(1,3)代入上式，得
可得
所以
在求定点处的导数时，
先代入固定变量取值，
然后再求导，可简化求导计算。
或
2.偏导数的计算
例4 设
求
解
所以
二元以上多元函数的偏导数可类似地定义和计算
例求函数的偏导数.
对x求偏导数就是视y, z为常数，对x求导数
曲线
即
fx (x0, y0),
第二节偏导数与高阶偏导数
4.偏导数与连续的关系
对于二元函数偏导数与连续的关系如何？
连续
解
一元函数可导与连续的关系：
可导
由偏导数定义
例
所以，函数在(0, 0) 处对变量 x，y 的偏导数存在.
让沿直线而趋于（0,0），
这里为常数，
当劳动力投入不变时,产量对资本投入的变化率为
当资本投入不变时，产量对劳动力投入的变化率
该问题说明有时需要求二元函数在某个变量不变的条件下，
Q表示产量.
别表示投入的劳动力数量和资本数量，
分
数为
引例
对另一个变量的变化率.
第二节偏导数与高阶偏导数
此时沿着平行坐标轴的方向
偏导数存在连续.
一元函数中在某点可导连续，
可见，多元函数的理论除了与一元函数的理论有许多类似之处，也是还有一些本质的差别。
二、高阶偏导数
设函数 z = f (x, y) 在区域 D内有偏导函数与
则称此极限值为z=f (x,y)在点(x0,y0)处对x的
记为
一元函数导数
如果极限存在,
函数有增量
相应
(1)定义
当y 固定在y0 , 而 x 在x0 处有增量△x时,

一偏导数定义及其计算法二高阶偏导数三小结

思考题解答
不能. 例如, f ( x, y) x2 y2 , 在(0, 0)处连续, 但 f x (0, 0) f y (0, 0) 不存在.
，
f y
，
z
y
或
f y(x, y).
偏导数的概念可以推广到二元以上函数
例如，u f ( x, y,z), 在 ( x, y,z) 处，
f
x
(
x
,
y,
z
)
lim
x0
f
( x x, y,z) x
f
(x, y,z) ,
f
y
(
x,
y,z
)
lim
y0
f
( x, yy,z) y
f
(x, y,z)
,
f
z
(
x,
y,z)
y( y2 x2) ( x2 y2 )2
,
考虑点 (0, 0) 对 x 的偏导数，
lim
x0
f (0 x, 0) x
f (0, 0)
lim
x0
00 x
0.
于是，
f
x
(
x
,
y
)
y( (x
y
2
2 x2) y2 )2
,
0,
x2 y2 0, x2 y2 0.
(2) 求 f y ( x, y). 当 x2 y2 0 时，即 x 0 且 y 0时，
如图
z f ( x0, y)
M0 Tx
z f ( x, y0 )
Ty
几何意义:
偏导数 f x ( x0, y0 )就是曲面被平面 y y0 所截得的曲线在点 M0处的切线 M0Tx对 x轴的斜率.

高阶偏导数

∂z . 的二阶偏导数及 2 ∂y∂x ∂z = 2ex+2y ∂y ∂2 z x+2y = 2e ∂x∂y
3
例12.1.11
f (x, y) =
x2 − y2 xy 2 , x2 + y2 ≠ 0 x + y2 0, x2 + y2 = 0
f x (x, y) =
x4 + 4x2 y2 − y4 y , x2 + y2 ≠ 0 (x2 + y2 )2
证: 记 ϕ ( x ) = f ( x , y0 + ∆y ) − f ( x , y0 ),
ψ ( y ) = f ( x0 + ∆x , y ) − f ( x0 , y ),
f ( x 0 + ∆ x , y 0 + ∆y ) − f ( x 0 , y 0 + ∆y ) − f ( x 0 + ∆x , y 0 ) + f ( x 0 , y 0 ) I= . ∆ x∆ y
(与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序)
下页结束
练习题：练习题：设
确定 u 是 x , y 的函数 , 连续, 且解: 求
方程
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结束
练习题
一、填空题: 填空题: 1 、设 z = ln tan
x ∂z ∂z ,则 = ________; = _________. ∂x y ∂y ∂z ∂z 2 、设 z = e xy ( x + y ), 则 = _______; = ________. ∂x ∂y y ∂u ∂u 3 、设 u = x z , 则 = __________; = __________; ∂x ∂y ∂u = ____________. ∂z ∂2z y ∂2z 4 、设 z = arctan , 则 2 = ________; 2 = _______; x ∂x ∂y ∂2z = ____________. ∂x∂y

高阶导数与高阶偏导数

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三阶导数的导数称为四阶导数,
f(4)(x), y(4),
d4y .
dx4
一般地 ,函数 f(x)的 n1阶导数的导数称为
函数 f(x)的 n 阶导数 ,记作
f(n)(x), y(n), d dx ny n或 dn dfx(nx).
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.
fy(x,y)x2x 3y2(x2 2x 3y y2 2)2,
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当 (x,y)(0,0)时 ,按定义可知：
fx(0 ,0 ) lx i0m f( x ,0 )x f(0 ,0 )lxi m00x 0,
fy(0,0) ly i0m f(0, y ) yf(0,0)
d2 y dxn

f (n) x.
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注 (1) d x n (d x )n ， d x n d (x n ) ， (dx)n表示微分的幂，简记为dxn；
d(xn)指幂的微分，即 d(xn)n xn 1dx ；而 d n x 是 x 的 n 阶微分 .
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观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导函数图象间的关系：
原函数图形
偏导函数图形
偏导
导二函阶
函
数混
数图
图合形偏
形
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例 3 设u eax cosby，求二阶偏导数.

第二节偏导数

x y
x y x y
x
2
y
2
解
z arcsin x e
z 1 1 1 e arcsin x e x y 1 x 2 x
x z arcsin x e 2 y y
x y
7
例1
求下列多元函数的偏导数
3
解
z 1 xy
即函数在点
f 0 x, 0 f 0, 0
0, 0 处可导。
由此知，偏导数存在，函数在该点 11 未必连续。
连续连续
偏导数存在。偏导数存在。
不同！
对比一元函数，我们有：可导但：可导
连续，
连续，
12
偏导数的几何意义（演示）
z x2 y 2 1 5 例4 求曲线在点 ,1, 2 4 y 1
y
z x y 1 xy
y 1
y y 1 xy
2
y 1
ln z y ln 1 xy
1 x z y ln 1 xy y z 1 xy xy y z y 1 xy ln 1 xy 1 xy
0 0
它的几何意义就是函数曲线上点
x , f x 处的切线的斜率。
对于多元函数，我们同样感兴趣它在某处的瞬时变化率问题，以二元函数
z f x, y 为例，我们分别讨论：
z 相对于 x 以及 z 相对于 y 的瞬时变化率——偏导数
3
F x, y , z 0 z f x , y
9
例2 理想气体的状态方程pV RT R为常数，求证： p V T 1 V T p

高阶偏导数及泰勒公式

2021/8/24
15
A fxy(x0 1x, y0 2y)xy A f yx (x0 4x, y0 3y)xy
故
f xy (x0 1x, y0 2y) f yx (x0 4x, y0 3y)
令x 0, y 0. 因 f xy , f yx在(x0 , y0 )连续,有,
f xy (x0 , y0 ) f yx (x0 , y0 )
3 从而 uy ax c( y). 与 uy x y b sin x比较可得a 1,b 0.
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20
例3. 设w f (x y z, xyz), f C2, 求 2w .
xz
解: 设 u=x+y+z, v=xyz,
从而 w = f (u, v)是x , y , z,的复合函数.
f
(x, y) ,
gy
(
x,
y)
lim
y0
g
(
x,
y
y) y
g
(
x,
y)
,
f xy (x,
y)
fx(x,
y)y
lim
y0
f x(x,
y
y) y
f x(x,
y) ,
2021/8/24
9
lim 1 y0 y
lxim0
f
(x
x,
y
y) x
f
(x, y
y)
lim x0
f
(x
x, y) x
f
(x,
y)
2021/8/24
w f (x2 y, y) x
25
例5.
设z
z ( x,
y)由方程x 2

高阶导数与高阶偏导数

f (n)( x),
y(n),
dny dx n
或
d
n f (x) dx n
.
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.
相应地, f ( x)称为零阶导数; f ( x)称为一阶导数.
湘潭大学数学与计算科
3
学学院
例1 已知函数 y ( x3 7 x 8)20(3x 7)30 求 y(90)和 y(91) .
(2) (Cu)(n) Cu(n)
(3) (u v)(n) u(n)v nu(n1)v n(n 1) u(n2)v 2!
n(n 1)(n k 1) u v (nk ) (k ) uv (n) k!
n
C u v k (nk ) (k ) n
莱布尼兹公式
湘潭大学数学与计算科
14
斯方程
2u x 2
2u y2
0.
解因为 ln x2 y2 1 ln( x2 y2 ),
2
湘潭大学数学与计算科
11
学学院
因此
u x x x2 y2 ,
u y
x2
y
y2
,
2u x 2
(x2 y2) x 2x ( x2 y2 )2
y2 x2 ( x2 y2 )2
,
2u (x2 y2) y 2 y y2 ( x2 y2 )2
解由于函数
y ( x3 7 x 8)20(3x 7)30
展开后的最高次幂项为
所以
330 x32030 330 x90
y(90) 330 90!, y(91) 0.
湘潭大学数学与计算科
4
学学院
一、高阶偏导数的定义
函数z f ( x, y)的二阶偏导数为

偏导数公式大全

以下是常见的偏导数公式大全：
1. 一阶偏导数：
-对于函数f(x, y)：
-∂f/∂x：对x 求偏导数
-∂f/∂y：对y 求偏导数
2. 高阶偏导数：
-对于函数f(x, y)：
-二阶偏导数：
-∂²f/∂x²：对x 求二阶偏导数
-∂²f/∂y²：对y 求二阶偏导数
-∂²f/∂x∂y：先对x 求偏导数，再对y 求偏导数
-∂²f/∂y∂x：先对y 求偏导数，再对x 求偏导数
-更高阶的偏导数类似地进行推导
3. 链式法则：
-对于复合函数z = f(g(x, y))：
-∂z/∂x = (∂f/∂g) * (∂g/∂x)
-∂z/∂y = (∂f/∂g) * (∂g/∂y)
4. 常见函数的偏导数：
-对于指数函数e^x：
-∂(e^x)/∂x = e^x
-对于对数函数ln(x)：
-∂(ln(x))/∂x = 1/x
-对于三角函数sin(x) 和cos(x)：
-∂(sin(x))/∂x = cos(x)
-∂(cos(x))/∂x = -sin(x)
以上是一些常见的偏导数公式，但并不是完整的列表。

在实际应用中，还会涉及更复杂的函数和多元变量的情况，需要根据具体问题进行推导和计算。

偏导数

z f ( x , y ) 在点(x , y , f (x , y )) 0 0 0 0 , x x0
x x0 y y0
处的切线的斜率，即 z y
tan .
二、高阶偏导数
函数 z = f ( x , y ) 的两个偏导数
z f x ( x, y), x
z 如 x
处的切线的斜率, 即 z x
z f ( x , y ) , 在点 (x , y , f (x , y ) ) 是曲线 0 0 0 0 x x0 y y0 y y
0
x x0 y y0
tan .
z 同理 y
x x0 y y0
是曲线
RT V R 由V , 得 , P T P
T V PV . 由T , 得 P R R
代入等式左边得
P V T RT R V RT RT 2 1 . V T P V P R VP RT
所以
P V T 1 V T P
2
2z x y x x x 2 y 2 2 2 2 2 y x 1 ( x y ) x ( 2 x 0) 2 , 2 2 2 2 2 (x y ) (x y )
验证了
2z 2z . x y y x
z , f ( x, y ), z 或 f x ( x , y ). x x x 可以定义函数 z = f (x , y) 对自变量 y 的偏导类似地，
函数，记作
z f ( x , y ), z y 或 f y ( x, y ). , y y
在不致混淆的情况下，偏导函数也称偏导数.

高阶导数与高阶偏导数

高阶导数可以描述曲线的弯曲程度，例如二阶导数表示曲线的凹凸程度，三阶导数表示曲线的拐点变化趋势。
03
高阶偏导数
高阶偏导数的定义
总结词
高阶偏导数是函数在某一点的各阶偏导数。
详细描述
高阶偏导数是指函数在某一点的各阶偏导数。对于一个多元函数，在某一点处的偏导数表示该函数在该点的切线斜率。高阶偏导数则表示该切线的弯曲程度，即函数在该点的各阶偏导数。
二阶及以上的导数和偏导数可以描述函数图像的凹凸性和拐点等几何特性。
偏导数表示函数图像上某一点处沿某一方向的变化率。
02
高阶导数
高阶导数的定义
定义
高阶导数是函数在某一点的导数的导数，即函数在这一点连续可导的情况下，求导数的过程可以反复进行，得到的极限值称为高阶导数。
表示方法
对于一元函数，高阶导数表示为f^(n)(x)，其中n表示求导的次数；对于多元函数，高阶偏导数表示为 ∂^n/∂x_1∂x_2...∂x_n。
高阶导数与高阶偏导数
目录
• 导数与偏导数的定义 • 高阶导数 • 高阶偏导数 • 导数与偏导数的应用 • 高阶导数与高阶偏导数的应用
01
导数与偏导数的定义
导数的定义
函数在某一点的导数描述了函数在该点的切线斜率。
导数是函数值随自变量变化的速率，即函数在某一点的切线斜率。
导数公式：$f'(x) = lim_{Delta x to 0} frac{Delta y}{Delta x}$
高阶导数可以用于分析函数的局部形态和性质，如拐源自、极值点、凹凸性等。详细描述
通过求取函数的高阶导数，可以判断函数的单调性、凹凸性以及拐点，从而更深入地了解函数的形态和性质。
总结词

二阶偏导数

A [ f x( x0 1x, y0 y) f x( x0 1x, y0 )]x
再对变量 y 用拉格朗日中值定理. 得
( x0 1x, y0 2 y )xy, 0 1 , 2 1. A f xy
另外, A = [ f (x0 +x , y0 +y) – f (x0, y0 +y )] –
f 21 . 其中 f12
y w f ( x y, ) x
2
x 2 设z z ( x, y )由方程x 2 y 2 tgz e z 所确定, 求 . 2 z 例5.
解: (1) 记F ( x, y, z) x2 y 2 tgz e z
Fx z , 由隐函数求导公式 x Fz
z 例1. 设z x y x sin y 3, 求全部二阶偏导和 3 . x x y 2 y 2 x 1, 2 x 2 y cos y. 解: z z
3 2 2
x 2 2 y2, 2 z
y 2 2 x 2 sin y, 2 z
x 3 0. 3 z
w . 例3. 设w f ( x y z, xyz), f C , 求 xz
2 2
解: 设 u=x+y+z, v=xyz,
从而 w = f (u, v)是x , y , z,的复合函数. 由链式法则.
w f1 1 f 2 yz x
f1( x y z, xyz) yzf 2( x y z, xyz).
( x0 , y0 ) 故, f xy
1 f ( x0 x, y0 y) f (x0 , y0 +y) lim lim y 0 x0 xy

高阶偏导数与高阶全微分

2 f2 y2 f11 4xyf12 4x2 f22 ,
2z xy
f1
y
f11
u y
f
22
v y
2
x
fy[ xf11 2 yf12 ] 2x[ xf21 2 yf22]
f1 xyf11 2( x2 y2 ) f12 4xyf22 .
例3 设由方程 x 2 y z e x yz 确定的隐函数为 z z(x, y), 求 2z .
2
,
x 1 x 2 y z 1 x 2 y z
z x 2 y z 2 1
1
.
y 1 x 2 y z
1 x2y z
从而
2z xy
(1
2 2 z y x2y
z)2
2( x 2 y z) (1 x 2 y z)3
.
二、高阶全微分
考虑 z f (x, y) 的全微分 dz f x( x, y)dx f y( x, y)dy
xy 解方程 x 2 y z ex yz 两边求全微分, 得
dx 2dy dz ex yz (dx dy dz)
因此
( x 2 y z)(dx dy dz)
dz x 2 y z 1dx x 2 y z 2dy 1 x2y z 1 x2y z
由此可得
z x 2 y z 1 1
[1
2x3 y ( xy)2
]2
d2z zxxdx2 2zxydxdy zyydy2
[1
1 ( xy)2
]2
[2
xy 3dx 2
2(1
x2
y2
)dxdy
2
x3
ydy
2
].
三、二元函数的泰勒公式

第讲偏导数总结

f ( x 0 x , y0 ) f ( x 0 , y0 ) 如果 lim 存在，则称此 x 0 x 极限为函数 z f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 处对 x 的偏
导数，记为
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z f ，，z x x0 x x0 x x x y y y y
x 轴的所截得的曲线在点M 0 处的切线M 0Tx 对
斜率.
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几何意义:
偏导数 f y ( x0 , y0 ) 就是曲面被平面 x x 0
y 轴的所截得的曲线在点M 0 处的切线M 0T y 对
斜率.
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二、高阶偏导数
函数 z f ( x , y ) 的二阶偏导数为
但函数在该点.
4、偏导数的几何意义
设 M 0 ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) 为曲面 z f ( x, y ) 上一点,
如图
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几何意义:
偏导数 f x ( x 0 , y0 ) 就是曲面被平面 y y0
2
2u 2 ax a e cos by, 2 x
u abeax sin by, xy
2
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问题：混合偏导数都相等吗？
例 8
x3 y 2 设 f ( x, y) x y 2 0 ( x , y ) (0,0) ( x , y ) (0,0)
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３、偏导数存在与连续的关系一元函数中在某点可导连续，连续，
多元函数中在某点偏导数存在
xy x2 y2 , 例如,函数 f ( x , y ) 0,

高阶偏导数和高阶全微分

2e 2 xy [ y sin(x 2 y) x cos(x 2 y)];
z z u z v y u y v y
e u sinv2 x e u cosv e u (2 xsinv cosv )
e 2 xy [2 x sin(x 2 y) cos(x 2 y)].
z f u f . y u y y
x u y z x y
z f z 注意：这里与是不同的，是把复合函数 x x x
， z f [( x, y) , x , y ] 中的 y 看作不变而对 x 的偏导数
f 是把 f ( u , x , y)中的 u, y 看作不变而对 x 的偏导数 . x
zபைடு நூலகம்
u v w
x x x
dz 例 1．已知 z uv arctan t ，而 u e ， v cos t ，求 . dt
t
d z z d u z d v z 解法 1： d t u d t v d t t
ve u( sint )
t
1 1 t2 1
例 2．设 z e u sinv ，而u 2 xy ，v x 2 y ， z z 求， . x x y
z z u z v 解: x u x v x
z
u y v x y
e u sinv2 y e u cosv2 x 2e u ( ysinv xcosv )
z z x y xy xF(u) yF (u) xy yF (u) z xy . x y
例 4．设 u f ( x , y ,z ) e
u u 求和 . x y

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问题：具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？
定理如果函数z f ( x, y)的两个二阶混合偏导数 2z 及 2z 在区域 D 内连续，那末在该区域内这 yx xy
两个二阶混合偏导数必相等．
例 5 验证函数u( x, y) ln x2 y2 满足拉普拉
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例8 yaxlnx ，求 y(n ) (a0， a1).
fx(x,y)3x2y(x(2x 2 y2y )2 )2 2xx3yx32x2yy2(x22x4yy2)2,
x3
2x3y2
fy(x,y)x2y2(x2y2)2,
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当 (x,y)(0,0)时 ,按定义可知：
fx(0xi m00x 0,
fy(0,0) ly i0m f(0, y ) yf(0,0)
lim
y0
0 y
0,
fx(y 0,0) ly i0m fx(0, y ) yfx(0,0) 0,
fy(x 0 ,0 ) lx i0m fy( x ,0 )x fy(0 ,0 )1.
显然 fx y (0 ,0 ) fy x (0 ,0 ).
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.
相应地 , f ( x ) 称为零阶导数 ; f ( x ) 称为一阶导数 .
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例1 已知函数 y (x 3 7 x 8 )2(3 0 x 7 )30 求y(90)和y(91).
解由于函数 y (x 3 7 x 8 )2(3 0 x 7 )30
2u abeaxsinby, xy
2u abeaxsinby. yx
问题：混合偏导数都相等吗？
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x3y 例 4 设f(x,y)x2y2 (x,y)(0,0)
0
(x,y)(0,0)
求f(x,y)的二阶混合偏导数.
解当 (x,y)(0,0)时 ,
原函数图形
偏导函数图形
偏导
导二函阶
函
数混
数图
图合形偏
形
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例 3 设u eax cosby，求二阶偏导数.
解 uaeaxcobsy, x x2u2 a2eaxcobsy,
ubeaxsinby; y y2u2 b2eaxcobsy,
(2)(C)u (n) C(n u )
(3)(uv)(n) u(n)vnu(n1)v n(n1)u(n2)v 2!
n(n1)(nk1)u(nk)v(k) uv(n) k!
n
C u v k (nk) (k) n k0
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莱布尼兹公式
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例7 设 yx2e2x,求 y(20).
x2 (x2
y2 y2 )2
.
所以
2u x 2
2u y2
y2x2 (x2y2)2
(xx22yy22)2
0.
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二、求高阶导数与高阶偏导数
1.直接法: 根据定义逐步求高阶(偏)导数.
例6 设 y a r c t a n x ,求 f ( 0 ) ,f ( 0 ) .
.
解 z 3x2y23y3y, z 2x3y9x2y x;
x
y
2 z 6xy2, x 2
3z x 3
6y2,
2
y
z
2
2x318x;y
2z
2z
x y 6x2y9y21, y x 6x2y9y21.
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观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导函数图象间的关系：
解
y
1
1 x2
y
1
( 1
x2
)
2x (1 x2 )2
y ((12xx2)2)
2(3x2 1) (1 x2 )3
f(0)(1 2xx2)2 x0 0;
f(0)2((13xx22)13)
2.
x0
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2. 高阶导数的运算法则: 设函数 u 和 v 具有 n 阶导数 ,则 (1 )(u v )(n ) u (n ) v (n )
13高阶导数与高阶偏导数
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三阶导数的导数称为四阶导数,
f(4)(x), y(4),
d4y .
dx4
一般地 ,函数 f(x)的 n1阶导数的导数称为
函数 f(x)的 n 阶导数 ,记作
f(n)(x), y(n), d dx ny n或 dn dfx(nx).
斯方程
2u x2
2u y2
0.
解因为 lnx2y21ln (x2y2), 2
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因此 u x x x2 y2 ,
u y
x2
y
y2
,
x2u2 (x2(x2y2)y2x)22x
y2 (x2
x2 y2 )2
,
2u (x2y2)y2y y2 (x2y2)2
展开后的最高次幂项为
所以
330x32 030330x90
y(90) 330 90!,
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y(91) 0 .
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一、高阶偏导数的定义
函数z f ( x, y)的二阶偏导数为
x x z x 2z2fxx (x,y),y yz y2z2fyy(x,y)
纯偏导
y x zx2zyfx(yx,y) ,x y zy2 zxfyx (x,y)
混合偏导
定义二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.
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例 2 设z x3 y2 3xy3 xy 1，
求
2z x 2
、
2z yx
、
2z xy
、
2 y
z
2
及
3z x 3
解设 u e 2 x , v x 2 , 则由莱布尼兹公式知
y(20) (e2x)(20)x220(e2x)(19)(x2) 20(201)(e2x)(18)(x2)0 2!
220e2x x2 20219e2x 2x 2019218e2x 2 2!
2 2 0 e2 x (x 2 2 0 x 9 5 ).

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