高中数学 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质教案 新人教版选修2-3

§1．3．2“杨辉三角”与二项式系数的性质教学目标：知识与技能：掌握二项式系数的四个性质。

过程与方法：培养观察发现，抽象概括及分析解决问题的能力。

情感、态度与价值观：要启发学生认真分析书本图1－5－1提供的信息，从特殊到一般，归纳猜想，合情推理得到二项式系数的性质再给出严格的证明。

教学重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题教学难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题授课类型：新授课课时安排：2课时教学过程：一、复习引入：1．二项式定理及其特例：（1）01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈，（2）1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++.2．二项展开式的通项公式：1r n r r r n T C a b -+=3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性二、讲解新课：1二项式系数表（杨辉三角）()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和2．二项式系数的性质：()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．r n C 可以看成以r 为自变量的函数()f r定义域是{0,1,2,,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图）（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵m n m n n C C -=）．直线2n r =是图象的对称轴． （2）增减性与最大值．∵1(1)(2)(1)1!k k n n n n n n k n k C C k k ----+-+==⋅， ∴k n C 相对于1k n C -的增减情况由1n k k -+决定，1112n k n k k -++>⇔<， 当12n k +<时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值； 当n 是偶数时，中间一项2nn C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12n n C-，12n n C +取得最大值． （3）各二项式系数和：∵1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++，令1x =，则0122n r n n n n n n C C C C C =++++++三、讲解范例：例1．在()na b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和 证明：在展开式01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈中，令1,1a b ==-，则0123(11)(1)n n n n n n n n C C C C C -=-+-++-， 即02130()()n n n n C C C C =++-++，∴0213n n n n C C C C ++=++，即在()n a b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．说明：由性质（3）及例1知021312n n n n n C C C C -++=++=.例2．已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++，求：（1）127a a a +++； （2）1357a a a a +++； （3）017||||||a a a +++. 解：（1）当1x =时，77(12)(12)1x -=-=-，展开式右边为 0127a a a a ++++∴0127a a a a ++++1=-，当0x =时，01a =，∴127112a a a +++=--=-，（2）令1x =， 0127a a a a ++++1=- ① 令1x =-，7012345673a a a a a a a a -+-+-+-= ②①-② 得：713572()13a a a a +++=--，∴ 1357a a a a +++=7132+-.（3）由展开式知：1357,,,a a a a 均为负，0248,,,a a a a 均为正， ∴由（2）中①+② 得：702462()13a a a a +++=-+，∴ 70246132a a a a -++++=，∴017||||||a a a +++=01234567a a a a a a a a -+-+-+- 702461357()()3a a a a a a a a =+++-+++=例3.求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x 3的系数解：)x 1(1])x 1(1)[x 1(x 1)x 1()x 1(10102+-+-+=+++++）（=x x x )1()1(11+-+，。

§1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质【教学目标】1. 使学生建立“杨辉三角”与二项式系数之间的直觉，并探索其中的规律；2．能运用函数观点分析处理二项式系数的性质；3. 理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用。

【教学重难点】教学重点：二项式系数的性质及其应用；教学难点：杨辉三角的基本性质的探索和发现。

【教学过程】一、复习引入1、二项式定理：________________________________________________； 二项式系数：______________________________________________；2、( 1+x) n =________________________________________________；二、杨辉三角的来历及规律 练一练：把( a+b) n （n=1，2，3，4，5，6）展开式的二项式系数填入课本P 37的表格，为了方便，可将上表改写成如下形式：(a+b)1 …………………………………………………1 1(a+b)2…………………………………………………1 2 1(a+b)3………………………………………………1 3 3 1(a+b)4……………………………………………1 4 6 4 1(a+b)5…………………………………………1 5 10 10 5 1 (a+b)6………………………………………1 6 15 20 15 6 1…………………………… 爱国教育，杨辉三角 因上图形如三角形，南宋的杨辉对其有过深入研究，所以我们称它为杨辉三角。

杨辉，我国南宋末年数学家，数学教育家．著作甚多。

“杨辉三角”出现在杨辉编著的《详解九章算法》一书中，此书还说明表内除“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和。

杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它，这表明我国发现这个表不晚于11世纪。

高中数学 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质学案基础梳理1．杨辉三角的特点(1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C r n＋1＝C r－1n＋C r n．2．二项式系数的性质3．赋值法的应用．设f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a n x n.(1)a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a n＝f(1)．(2)a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)n a n＝f(－1)．(3)a0＋a2＋a4＋a6＋…＝f（1）＋f（－1）2．(4)a1＋a3＋a5＋a7＋…＝f（1）－f（－1）2．(5)a0＝f(0)．☞想一想：设(2－x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，则a0＋a1＋a2＋…＋a8的值为1．自测自评1．1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)100的展开式的各项系数之和为(C)A．199 B．2100－1 C．2101－1 D．21002．在(1＋x)n(n∈N＋)的二项展开式中，若只有x5的系数最大，则n＝(C)A．8 B．9 C．10 D．11解析：由题意(1＋x)n展开式中，x5的系数就是第6项的二项式系数，因为只有它是二项式系数中最大的，所以n＝10. 故选C.3．设(x＋2)(2x＋3)10＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为(B)A．0 B．1 C．6 D．15解析：令x＝－1，则1＝a0＋a1＋a2＋…＋a11，故选B.对二项式定理理解不透致误【典例】设n∈N*，则C1n＋C2n6＋C3n62＋…＋C n n6n－1＝________．解析：原式＝16(C1n6＋C2n62＋C3n63＋…＋C n n6n)＝16(C0n＋C1n6＋C2n62＋C3n63＋…＋C n n6n－1)＝16[(1＋6)n－1]＝16(7n－1)．【易错剖析】由于对二项式定理理解不透，误认为C1n＋C2n6＋C3n62＋…＋C n n6n－1＝(1＋6)n－1＝7n－1，导致结果错误．基础巩固1．(1＋x)2n＋1的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是(C)A．n，n＋1B．n－1，nC．n＋1，n＋2D．n＋2，n＋32．已知(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a n x n(n∈N*)，若a0＋a1＋…＋a n ＝30，则n等于(C)A．5 B．3 C．4 D．7解析：令x＝1得a0＋a1＋…＋a n＝2＋22＋…＋2n＝30得n＝4.3．关于(a－b)10的说法，错误的是(C)A．展开式中的二项式系数之和是1 024B．展开式的第6项的二项式系数最大C．展开式的第5项或第7项的二项式系数最大D．展开式中第6项的系数最小解析：由二项式系数的性质知，C010＋C110＋C210＋…＋C1010＝210＝1 024.∴A正确．又二项式系数最大的项为C 510，是展开式的第6项．∴B 正确．又由通项T r ＋1＝C r 10a10－r (－b )r ＝(－1)r C r 10a10－rb r 知，第6项的系数－C 510最小．∴D 正确．4．下图是一个类似杨辉三角的递推式，则第n 行的首尾两个数均为________．1 3 3 5 6 5 7 11 11 7 9 18 22 18 9 … … … … … …解析：由1，3，5，7，9，…，可知它们成等差数列，所以a n ＝2n －1. 答案：2n －1 能力提升5．若(1＋a )＋(1＋a )2＋(1＋a )3＋… ＋(1＋a )n ＝b 0＋b 1a ＋b 2a 2＋… ＋b n a n，且b 0＋b 1＋b 2＋… ＋b n ＝30，则自然数n 的值为(C )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：令a ＝1，得b 0＋b 1＋b 2＋…＋b n ＝2＋22＋ (2)＝2（2n－1）2－1＝2n ＋1－2，又b 0＋b 1＋b 2＋…＋b n ＝30，∴2n ＋1－2＝30，解得n ＝4.6．设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a ＝7b ，则m ＝(B )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：由题知a ＝C m 2m ，b ＝C m ＋12m ＋1，所以13C m 2m ＝7C m ＋12m ＋1，即＝13×（2m ）！m ！m ！＝7×（2m ＋1）！（m ＋1）！m ！，解得m ＝6，故选B.7．若⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x n 的展开式中所有二项式系数之和为64，则展开式的常数项为________． 解析：∵⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x n 的展开式的二项式的二项系数之和为64，∴2n＝64，∴n ＝6，由二项式定理的通项公式可知，Tr ＋1＝C r n·(2x )6－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝26－r (－1)r ·C r 6·x3－r. 当r ＝3时，展开式的常数项23(－1)3·C 36＝－160.8．若⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 3n展开式的各项系数之和为32，则n ＝________，其展开式中的常数项为________(用数字作答)．解析：依题意得2n＝32，∴n ＝5， ∵T r ＋1＝C r5(x 2)5－r·⎝⎛⎭⎫1x 3r＝C r 5x 10－5x.令10－5r＝0，得r＝2，∴常数项为T3＝C25＝10.答案：5 109．已知(1＋3x)n的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中二项式系数最大的项．解析：由题意知，C n n＋C n－1n＋C n－2n＝121，即C0n＋C1n＋C2n＝121，所以1＋n＋n（n－1）2＝121，即n2＋n－240＝0，解得：n＝15或－16(舍去)．所以在(1＋3x)n展开式中二项式系数最大的项是第8、9两项，且T8＝C715(3x)7＝C71537x7，T9＝C815(3x)8＝C81538x8.10．(1)求证：1＋2＋22＋…＋25n－1能被31整除(n∈N*)；(2)求S＝C127＋C227＋…＋C2727除以9的余数．(1)证明：1＋2＋22＋…＋25n－1＝25n－12－1＝25n－1＝32n－1＝(31＋1)n－1＝C0n×31n＋C1n31n－1＋…＋C n－1n×31＋C nn－1＝31(C0n×31n－1＋C1n×31n－2＋…＋C n－1n)，显然上式括号内为整数，故原式能被31整除．(2)解析：S＝C127＋C227＋…＋C2727＝227－1＝89－1＝(9－1)9－1＝C09×99－C19×98＋…＋C89×9－C99－1＝9(C09×98－C19×97＋…＋C89)－2＝9(C09×98－C19×97＋…＋C89－1)＋7，显然上式括号内的数是正整数．故S除以9的余数是7.。

1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质教学目标：1、德育渗透：介绍杨辉三角，加强爱国主义教育.2、知识目标：掌握二项式系数的性质,进一步认识组合数、组合数的性质.会应用二项式系数的性质解决一些简单问题.运用函数观点分析处理二项式系数的性质.3、能力目标：通过对问题的尝试、探究加强对学生观察、归纳、发现能力的在培养.教学重点：二项式系数的性质教学难点：二项式系数的性质2教学过程：教师的教学及活动学生的思维与活动媒体应用一、设疑（提出问题）提问:请同学观察这个图表的结果，有哪些规律？1 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1……提问:为什么会有这些性质？介绍:这个图表我们把它叫做二项式系数表.在我国它又被叫做杨辉三角.这里还流传一个美丽动人的故事.在国外，这个表被称为帕斯卡三角.认为是法国数学家帕斯卡在17 世纪最早发现这一规律的.而在我国，早在13 世纪，杨辉在他的《详解九章算法》中就不仅有了这个的图表，还清楚地写着‘贾宪用此术’.贾宪是我国11 世学生思考后总结：（学生可以讨论、研究无须顺序总结）1）两边的数都是1.2）具有对称性.3）除1以外每个数都是肩上两个数的和.4）中间数最大.学生讨论后得出结论：这些数都是前面讲过的二项式系数.由学生翻阅材料介绍（通过古中国数学成就的介绍，加强对学生的爱国主义教育.）多媒体给出图表，显示学生的总结（可以设计跳转）纪的数学家，这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年，也说明了古代中华民族就在数学上有着辉煌的成就.但是，杨辉，贾宪的成就只有《详解九章算法》中有记载而此书早已失传，仅在《永乐大典》中抄录了部分内容，这是证明杨、贾两人成就的唯一证据.《永乐大典》是极其珍贵的国宝，然而1900 年，八年联军侵占北京，把翰林院中的《永乐大典》残本掠走，运往英国.后来，中国数学家李俨的外国朋友在英国见到《永乐大典》残本，拍下了记载‘杨辉三角’内容的文字，并把照片寄给李俨，这段历史才得以证实，我们今天的数学课本中也才能堂堂正正地写上‘杨辉三角’.但是可惜的是，《永乐大典》的残本至今未能回到祖国的怀抱.二、尝试：（提出问题尝试解决）杨辉三角既然是二项式系数表我们就可以用杨辉三角来研究二项式系数的性质.提问：还可以用什么方法研究它的性质.提问：如何来做图象.提问：观察图象有何性质？为什么会有这种性质. 学生预习得出：函数图象可以形象，直观反应性质，我们还可以用函数图象来研究二项式的系数.学生讨论后回答：C n r可以看成以r为自变量的函数f（r），其定义域是｛0,1,···,n｝.观察图表及图象得出：对称性.这是二项式系数的性质1.学生总结：生：在二项展开式中，与首末两端“等距”的两项的二项式系数相等.学生证明：有组合数性质C n r=C n n-r得到.回答：它的值先增后减.回答：有，中间位置可能最大学生活动：（这里让学生讨论研究，尝试证明.让学板演，可以多种方法证明，让学生充分体会成功的喜悦.教师还可以让学生对不完善多媒体给出有关介绍及图片多媒体给出图象提问：能否用语言总结一下？提问：能否证明？提问：下面我们继续观察图象，还可以发现哪些问题？提问：有最大值吗？提问：能再具体一些吗？是哪些项二项式系数最大提问：目前我们已经发现了二项式系数的两个性质，二项式系数还有没有其它规律呢？我们看杨辉三角：1 1 21 2 1 221 3 3 1 231 4 6 4 1 241 5 10 10 5 1 251 6 15 20 15 6 1 26 ……提问：可以发现什么规律呢？提问：如何来证明呢？定义：这种方法我们叫赋值法，是解决与二项展开系数有关问题的重要手段．提问：我们已经发现并证明了二项式系数的三个性质，可以发现什么规律呢的证明加以补充.）（学生未必一下能说清楚，尽量鼓励学生说，积极参与）n为偶数时，中间一项二项式系数最大，中间一项是第12n+项；n为奇数是，中间两项二项式系数最大，中间两项是第23n,21n++项.（学生语言未必简捷，只要正确就要鼓励他往下说，以免打消学生的积极性）思考得出：（计算每行和）二项式系数和为2n（学生讨论，尝试证明并板演）可以多种方法.如（1+x）n中令x=1，或（a+b）n中令a=1，b=1.思考得出：奇数项二项式系数和等于偶数给出学生的确定函数的过程.多媒体给出图表多媒体给出图象奇数项和为偶数项和为1 11 12 1 2 1 222 1 33 1 2223 14 64 1 2324 1 5 10 10 5 1 2425 1 6 15 20 15 6 1 25 ……提问：如何来证明呢？强调：我们得到了奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，但这并不意味着等号两边的个数相同．当n为偶数时，奇数项的二项式系数多一个；当n为奇数时，奇数项的二项式系数与偶数项的二项式系数个数才相同．提问：可有没有发现其他规律呢？1 7 21 35 21 7 11 8 28 56 56 28 8 1.......定义：这种方法我们叫递推法，我们可以无限得到下面的行的结果.三、归纳：时间关系，我们今天这堂课就研究到这里.本节课关键是利用杨辉三角形直观性发现并证明二项式系数的性质．教师归纳：我们可以把第一个性质简记为二项式系数对称规律，性质2简记为最大二项式系数规律，3、4两个性质所采取的方法——赋值法.性质5项二项式系数和为2n—1.既C n）+C n2+C n4+……=C n1+C n3+C n5……学生证明：（由于有例1的铺垫，学生很容易想到赋值法）（1+x）n中令x=-1，或（a+b）n中令a=1，b=-1.思考得出：由两边的数都是1.及除1以外每个数都是肩上两个数的和.可以向下接着写出下一行.1、7、21、35、21、7、1.学生总结：（由学生叙述这五个性质）多媒体给出图表，动画显示每行最大值多媒体闪烁指明最大值，并指出其项数.用了递推法.赋值法解决与二项展开系数有关问题的重要手段．递推法是我们数学归纳法的基本思想.四、反馈发现了这些性质对解题的帮助体现在哪儿呢？我们来看几组练习：（一）基础练习：1、（a+b）6展开式中的倒数第三项的二项式系数．2、若（a+b）n的展开式中，第三项的二项式系数与第五项的二项式系数相等，则n=？3、分别指出（a+b）20与（x+5y）15的展开式中哪些项的二项式系数最大，并分别求出其最大的二项式系数．（用组合数表示）4、已知（a+b）n的展开式中第十项和第十一项的二项式系数最大，求n的值．5．求（a+b）10的展开式中的各项的二项式系数和及奇数项的二项式系数和．（二）作业：P 111 4、8、五、板书设计：10.4 二项式定理（3）性质1 对称性性质2证明性质2 先增后减性质3证明性质3 二项式系数和2n性质4 奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和为2n—1.性质5 递推法学生练习：（可以请一些基础较差的学生回答，使他们也体会成功的喜悦，完成基本教学要求.也可以分组抢答，激发学生的学习兴趣）学生讨论研究练习：（这两道题难度较大，给基础较好的学生一个提高的机会，体现了分层教学的思想）多媒体给出图表在学生计算过程中有动画效果多媒体给出图表在学生计算过程中有动画效果多媒体给出图表，并补充下面行的内容。

亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学 习 资 料 专 题1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质学习目标：1.了解杨辉三角各行数字的特点及其与组合数性质、二项展开式系数性质间的关系，培养学生的观察力和归纳推理能力．(重点)2.理解和掌握二项式系数的性质，并会简单应用．(难点)3.理解和初步掌握赋值法及其应用．(重点)[自 主 预 习·探 新 知]1．杨辉三角的特点(1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等．(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C r n ＋1＝C r －1n＋C rn .2．二项式系数的性质(1)对称性：在(a ＋b )n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C 0n ＝C n n ，C 1n ＝C n －1n ，…，C r n ＝C n －rn .(2)增减性与最大值：当k ＜n ＋12时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值．当n 是偶数时，中间一项的二项式系数C n 2n 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项的二项式系数C n －12n与C n ＋12n相等，且同时取得最大值．3．各二项式系数的和 (1)C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n； (2)C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1.[基础自测]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列． ( ) (2)二项展开式的二项式系数和为C 1n ＋C 2n ＋…＋C nn . ( ) (3)二项展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同．( )[解析] (1)√ 由杨辉三角可知每一斜行数字的差成一个等差数列，故正确． (2)× 二项展开式的二项式系数的和应为C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n.(3)× 二项式系数最大项不一定是二项式系数最大的项，只有当二项式系数与各项系数相等时，二者才一致．[答案](1)√(2)×(3)×2．(1－2x)15的展开式中的各项系数和是( )【导学号：95032084】A．1 B．－1C．215D．315B[令x＝1即得各项系数和，∴和为－1.]3．在(a＋b)10二项展开式中与第3项二项式系数相同的项是( )A．第8项B．第7项C．第9项D．第10项C[由二项式展开式的性质与首末等距离的两项的二项式系数相等．]4．(1－x)4的展开式中各项的二项式系数分别是( )【导学号：95032085】A．1,4,6,4,1B．1，－4,6，－4,1C．(－1)r C r4(r＝0,1,2,3)D．(－1)r C r4(r＝0,1,2,3,4)A[杨辉三角第4行的数字即为二项式系数．][合作探究·攻重难]个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，….记其前n项和为S n，求S19的值．图1­3­1[思路探究]由图知，数列中的首项是C22，第2项是C12，第3项是C23，第4项是C13，…，第17项是C210，第18项是C110，第19项是C211.[解]S19＝(C22＋C12)＋(C23＋C13)＋(C24＋C14)＋…＋(C210＋C110)＋C211＝(C12＋C13＋C14＋…＋C110)＋(C22＋C23＋…＋C210＋C211)＝(2＋3＋4＋…＋10)＋C312＝＋2＋220＝274.1．将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15……按照以上排列的规律，第n 行(n ≥3)从左向右的第3个数为________．n 2－n ＋62[前n －1行共有正整数[1＋2＋…＋(n －1)]个，即n 2－n2个，因此第n 行第3个数是全体正整数中第⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2－n 2＋3个，即为n 2－n ＋62.]012 2 018(1)求a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 018的值； (2)求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 017的值； (3)求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 2 018|的值.【导学号：95032086】[思路探究] 先观察所求式子与展开式各项的特点，利用赋值法求解． [解] (1)令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 018＝(－1)2 018＝1.①(2)令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…－a 2 017＋a 2 018＝32 018. ②①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 2 017)＝1－32 018， ∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 017＝1－32 0182.(3)∵T r ＋1＝C r2 018(－2x )r＝(－1)r·C r2 018·(2x )r， ∴a 2k －1＜0(k ∈N *)，a 2k ＞0(k ∈N )． ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 2 017| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 2 017＋a 2018＝32 018.，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R ，m ，n ∈N *)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对(ax ＋by )n (a ，b ∈R ，n x ＝y ＝1即可．＋－2，－－2.2．已知(2x －3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，求： (1)a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4； (2)(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2.[解] (1)由(2x －3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4， 令x ＝1得(2－3)4＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4， 所以a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1.(2)在(2x －3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4中， 令x ＝1得(2－3)4＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4， ① 令x ＝－1得(－2－3)4＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4. ②所以(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2＝(a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4)(a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4) ＝(－2－3)4(2－3)4＝(2＋3)4(2－3)4＝625.1．根据杨辉三角的特点，在杨辉三角同一行中与两个1等距离的项的系数相等，你可以得到二项式系数的什么性质？[提示] 对称性，因为C mn ＝C n －mn ，也可以从f (r )＝C rn 的图象中得到． 2．计算C knC k －1n ，并说明你得到的结论．[提示] C k n C k －1n ＝n －k ＋1k.当k <n ＋12时，C knC k －1n >1，说明二项式系数逐渐增大；同理，当k >n ＋12时，二项式系数逐渐减小．3．二项式系数何时取得最大值？[提示] 当n 是偶数时，中间的一项取得最大值；当n 是奇数时，中间的两项C n －12n，C n ＋12n相等，且同时取得最大值．已知f (x )＝(3x 2＋3x 2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项.【导学号：95032087】[思路探究] 求二项式系数最大的项，利用性质知展开式中中间项(或中间两项)是二项式系数最大的项；求展开式中系数最大的项，必须将x ，y 的系数均考虑进去，包括“＋”“－”号．[解] 令x ＝1，则二项式各项系数的和为f (1)＝(1＋3)n ＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n .由题意知，4n －2n＝992.∴(2n )2－2n－992＝0， ∴(2n ＋31)(2n－32)＝0，∴2n ＝－31(舍去)或2n＝32，∴n ＝5.(1)由于n ＝5为奇数，∴展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是 T 3＝C 25(x 23)3(3x 2)2＝90x 6，T 4＝C 35(x 23)2(3x 2)3＝270x 223.(2)展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 53r·x 23(5＋2r )． 假设T r ＋1项系数最大， 则有{ C r 53r≥C r －15·3r －1，r 53r ≥C r ＋15·3r ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧5！－r ！r ！×3≥5！－r ！r －！，5！－r ！r ！≥5！－r ！r ＋！×3，∴⎩⎪⎨⎪⎧3r ≥16－r ，15－r ≥3r ＋1.∴72≤r ≤92，∵r ∈N ，∴r ＝4. ∴展开式中系数最大的项为T 5＝C 45x 23(3x 2)4＝405x 263.3．(1＋2x )n的展开式中第6项和第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．[解] T 6＝C 5n (2x )5，T 7＝C 6n (2x )6， 依题意有C 5n 25＝C 6n ·26⇒n ＝8，∴(1＋2x )8的展开式中，二项式系数最大的项为T 5＝C 48·(2x )4＝1 120x 4.设第r ＋1项系数最大，则有∵r ∈{0,1,2，…，8}，∴r＝5或r＝6.∴系数最大的项为T6＝1 792x5，T7＝1 792x6.[当堂达标·固双基]1．已知(a＋b)n展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n等于( )A．11 B．10C．9 D．8D[第5项的二项式系数最大，故展开式为9项，∴n＝8.]2．在(x＋y)n展开式中第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是( )【导学号：95032088】A．第6项B．第5项C．第5、6项D．第6、7项A[因为C3n＝C7n，所以n＝10，系数最大的项即为二项式系数最大的项．]3．若(x＋3y)n的展开式中各项系数的和等于(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和，则n的值为________．5[(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和为C010＋C110＋…＋C1010＝210，令(x＋3y)n中x＝y ＝1，则由题设知，4n＝210，即22n＝210，解得n＝5.]4．(2x－1)6展开式中各项系数的和为________；各项的二项式系数和为________.【导学号：95032089】1 64[在二项式中，令x＝1，得各项系数和为1；各项的二项式系数之和为26＝64.]5．已知(a－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，若a2＝80，求a0＋a1＋a2＋…＋a5的值．[解](a－x)5展开式的通项为T k＋1＝(－1)k C k5a5－k x k，令k＝2，得a2＝(－1)2C25a3＝80，解得a＝2，即(2－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1.所以a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1.。

《杨辉三角》教学设计一、教材分析《杨辉三角》是高中数学新课标人教B版选修2-3教材第1.3.2节的内容。

本节课是在学生学习了两个计数原理、组合及组合数的性质后，又具体学习了二项式定理、二项式系数等概念的基础上进行的。

“杨辉三角”的内涵实际上就是二项式系数的性质，其内容丰富，值得学生深入探讨。

对于杨辉三角所蕴含的规律，学生不难发现，而难点就在于如何把学生通过观察发现的规律进行归纳，进而推理论证，揭示其数学本质。

本节课利用了转化和化归的数学思想，把对观察得到的规律的证明化归为组合数性质的应用上。

从知识发生发展过程的角度上看，学生可以从直观上很好地观察发现杨辉三角中蕴含的数字规律，但对于高二的学生，他们思考问题的思维已经不仅仅满足于“知其然”，他们更渴望的是“知其所以然”，在老师适当的点拨下，学生能很自然地联系到上位知识，即组合数的性质与二项式系数的联系，通过师生合作完成知识发展过程的探究，这符合学生的认知规律，也体现了互助学习的价值观教育。

二、学情分析对于高二的学生来说，他们已经具备了比较理性的思考，对发现的规律能够尝试证明。

同时学生已掌握了组合及组合数的性质，这是突破本节课难点的基础。

本节课授课班级为普通班，在数学科的学习特点是个体存在较大差距，但学习积极性都很高。

另外，该班设有合作基层小组①，即小组内拥有稳定的成员，他们之间相互支持、鼓励和帮助，小组内部及小组之间有了一定的解决问题的能力，但对于本节课的难点——证明规律，学生还需要在老师的指导下共同完成。

三、教学目标：本节课让学生掌握二项展开式中的二项式系数的基本性质及其推导方法；通过对杨辉三角中蕴含的数字规律的初步探究，培养学生发现问题、提出问题、经过分析——猜想——证明以后解决问题的能力，激励学生自主创新；通过从不同的角度观察杨辉三角，培养学生要从多角度看问题的意识，提高学生解决实际问题的能力，在学习中鼓励学生在学习中学会交流、合作，培养学生团结协作的精神，同时，通过杨辉三角，了解中华优秀传统文化中的数学成就，体会其中的数学文化，培养学生的爱国情感。

1.3.2 “杨辉三角〞与二项式系数的性质●三维目标1.知识与技能(1)能认识杨辉三角，并能利用它解决实际问题．(2)记住二项式系数的性质，并能解决相关问题．2．过程与方法通过观察、分析杨辉三角数表的特点，掌握二项式系数的性质．3．情感、态度与价值观通过“杨辉三角〞的学习，了解中华民族的历史，增强爱国主义意识．●重点、难点重点：二项式系数的性质．难点：杨辉三角的结构．第一课时[问题导思](1)观察“杨辉三角〞发现规律①第一行中各数之和为多少？第二、三、四、五行呢？由此你能得出怎样的结论？②观察第3行中2与第2行各数之间什么关系？第4行中3与第2行各数之间什么关系？第5行中的4、6与第4行各数之间有什么关系？由此你能得出怎样的结论？[提示] (1)①20,21,22,23,24，第n行各数之和为2n－1.②2＝1＋1,3＝2＋1,4＝1＋3,6＝3＋3，相邻两行中，除1外的每一个数都等于它“肩上〞两个数的和，设C r n＋1表示任一不为1的数，那么它“肩上〞两数分别为C r－1，C r n，所以C r n＋1＝nC r －1n ＋C r n .1．杨辉三角的特点(1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等．(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上〞两个数的和，即C r n ＋1＝C r －1n ＋C rn .2．二项式系数的性质(1)对称性：在(a ＋b )n 的展开式中，与首末两端“等距离〞的两个二项式系数相等，即C 0n ＝C n n ，C 1n ＝C n －1n ，…，C r n ＝C n －rn .(2)增减性与最大值：当k ＜n ＋12时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值．当n 是偶数时，中间一项的二项式系数C n2n 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项的二项式系数C n －12n，C n ＋12n相等，且同时取得最大值．3．二项式系数的和(1)C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n .(2)C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1.图1－3－1例1 如图1－3－1所示，在“杨辉三角〞中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，…，记其前n 项和为S n ，求S 16的值．[思路探究] 观察数列的特点、它在杨辉三角中的位置，或者联系二项式系数的性质，直接对数列求和即可．[自主解答] 由题意及杨辉三角的特点可得：S 16＝(1＋2)＋(3＋3)＋(6＋4)＋(10＋5)＋…＋(36＋9)＝(C 22＋C 12)＋(C 23＋C 13)＋(C 24＋C 14)＋…＋(C 29＋C 19)＝(C 22＋C 23＋C 24＋...＋C 29)＋(2＋3＋ (9)＝C 310＋8×2＋92＝164.解决与杨辉三角有关的问题的一般思路：(1)观察：对题目进行多角度观察，找出每一行的数与数之间，行与行之间的数的规律． (2)表达：将发现的规律用数学式子表达． (3)结论：由数学表达式得出结论．本例条件不变，假设改为求S 21，那么结果如何？ [解] S 21＝(1＋2)＋(3＋3)＋(6＋4)＋…＋(55＋11)＋66＝(C 22＋C 12)＋(C 23＋C 13)＋(C 24＋C 14)＋…＋(C 211＋C 111)＋C 212＝(C 22＋C 23＋C 24＋……C 212)＋(2＋3＋…＋11) ＝C 313＋2＋11×102＝286＋65 ＝351.第二课时例1：设(1－2x )2 012＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 012·x 2 012(x ∈R )． (1)求a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 012的值． (2)求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 011的值． (3)求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 2 012|的值．[思路探究] 先观察所要求的式子与展开式各项的特点，用赋值法求解． [自主解答] (1)令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 012＝(－1)2 012＝1.①(2)令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…＋a 2 012＝32 012.② ①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 2 011)＝1－32 012， ∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 011＝1－32 0122.(3)∵T r ＋1＝C r 2012(－2x )r ＝(－1)r ·C r 2 012·(2x )r，∴a 2k －1＜0(k ∈N *)，a 2k ＞0(k ∈N )． ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 2 012| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2 012＝32 012.1．此题根据问题恒等式的特点采用“特殊值〞法即“赋值法〞，这是一种重要的方法，适用于恒等式．2．“赋值法〞是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x＝0可得常数项，令x＝1可得所有项系数之和，令x＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差．例2：(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7，a0＋a2＋a4＋a6.[解] (1)∵(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a7＝－1，①令x＝0，得a0＝1，∴a1＋a2＋…＋a7＝－2.(2)令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a6－a7＝37＝2187，②由①、②得a1＋a3＋a5＋a7＝－1 094，a0＋a2＋a4＋a6＝1 093.例3f(x)＝(3x2＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项．[思路探究] 求二项式系数最大的项，利用性质知展开式中中间项(或中间两项)是二项式系数最大的项；求展开式中系数最大的项，必须将x，y的系数均考虑进去，包括“＋〞、“－〞号．[自主解答] 令x＝1，那么二项式各项系数的和为f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知，4n－2n＝992.∴(2n)2－2n－992＝0，∴(2n＋31)(2n－32)＝0，∴2n＝－31(舍去)，或2n＝32，∴n＝5.(1)由于n＝5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是假设T r ＋1项系数最大，那么有⎩⎪⎨⎪⎧C r 53r≥C r －15·3r －1，C r 53r ≥C r ＋15·3r ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧5！5－r ！r ！×3≥5！6－r ！r －1！，5！5－r ！r ！≥5！4－r ！r ＋1！×3，∴⎩⎪⎨⎪⎧3r ≥16－r ，15－r ≥3r ＋1.∴72≤r ≤92，∵r ∈N ，∴r ＝4.小结：1．求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．2．求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等式的方法求得．练习：求(1＋2x )7的展开式中的二项式系数最大项与系数最大项．[解] 在二项式系数C 07，C 17，C 27，…，C 77中，最大的是C 37与C 47，故二项式系数最大项是第4项与第5项，即T 4＝C 37(2x )3＝280x 3与T 5＝C 47(2x )4＝560x 4.设第r ＋1项的系数最大，那么由⎩⎪⎨⎪⎧T r ＋1≥T r ，T r ＋1≥T r ＋2⇒⎩⎪⎨⎪⎧C r 72r ≥C r －172r －1，C r 72r≥C r ＋172r ＋1⇒⎩⎪⎨⎪⎧3r ≤16，3r ≥13，由于r 是整数，故r ＝5，所以系数最大的是第6项，即T 6＝C 57(2x )5＝672x 5.第三课时例4 (2x －1)n 二项展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小38，那么C 1n ＋C 2n ＋C 3n＋…＋C n n的值为( )A．28B．28－1 C．27D．27－1[错解] 设(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a n x n，令A＝a1＋a3＋a5＋…，B＝a0＋a2＋a4＋…，由题意知B－A＝38.令x＝－1得a0－a1＋a2－a3＋…＋a n(－1)n＝(－3)n，∴(a0＋a2＋…)－(a1＋a3＋…)＝(－3)n∴B－A＝(－3)n＝38，∴n＝8.由二项式系数性质可得，a1n＋a2n＋…＋C n n＝2n＝28[答案] A[错因分析] 误将C1n＋C2n＋…＋C n n看作是二项展开式各项二项式系数和，忽略了C0n.[防X措施] (1)解答此题应认真审题，搞清条件以及所要求的结论，避免失误．(2)解决此类问题时，要对二项式系数的性质熟练把握，尤其是赋值法，要根据题目的要求，灵活赋给字母所取的不同值．[正解] 设(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a n x n，且奇次项的系数和为A，偶次项的系数和为B.那么A＝a1＋a3＋a5＋…，B＝a0＋a2＋a4＋a6＋….由可知：B－A＝38.令x＝－1，得：a0－a1＋a2－a3＋…＋a n(－1)n＝(－3)n，即：(a0＋a2＋a4＋a6＋…)－ (a1＋a3＋a5＋a7＋…)＝(－3)n，即：B－A＝(－3)n.∴(－3)n＝38＝(－3)8，∴n＝8.由二项式系数性质可得：C1n＋C2n＋C3n＋…＋C n n＝2n－C0n＝28－1.[答案] B二项式系数的有关性质的形成过程表达了观察——归纳——猜想——证明的数学方法，并且在归纳证明的过程中应用了函数、方程等数学思想，大致对应如下：对称性应用了组合数的性质增减性与最大值应用了组合数公式、分类讨论思想等系数和应用了赋值法、方程思想1．(a＋b)7的各二项式系数的最大值为( )A．21 B．35 C．34 D．70[答案] B2．在(a－b)20的二项展开式中，二项式系数与第6项二项式系数相同的项是( ) A．第15项B．第16项C．第17项D．第18项[解析] 由二项式系数的性质知与第6项系数相等的项应为倒数第6项，即第16项．[答案] B3．(1＋2x)2n的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是第________项．[解析] (1＋2x)2n的展开式中共有2n＋1项，中间一项的系数最大，即第n＋1项．[答案] n＋14．(1－2x＋3x2)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a13x13＋a14x14，试求：(1)a0＋a1＋a2＋…＋a14；(2)a1＋a3＋a5＋…＋a13.[解] (1)在等式中令x＝1，那么得：a0＋a1＋a2＋…＋a13＋a14＝27＝128.①(2)在等式中令x＝－1，那么得：a0－a1＋a2－a3＋…－a13＋a14＝67.②①－②得：2(a1＋a3＋a5＋…＋a13)＝27－67＝－279 808.因此，a1＋a3＋a5＋…＋a13＝－139 904.。

1．3.2“杨辉三角"与二项式系数的性质教学目标知识与技能1．利用二项式定理得出二项式系数的一些性质;2．能运用二项式系数的性质解决一些简单问题．过程与方法1．熟知二项式系数的对称性、单调性、最大项及所有二项式系数之和等结论;2．熟练运用赋值法求一些代数式的值．情感、态度与价值观1．培养学生观察、归纳、发现的能力以及分析问题与解决问题的能力．2．通过学习“杨辉三角”的有关知识，了解我们国家悠久的文化传统，陶冶学生的爱国主义情操,进一步提升学生学好数学用好数学的决心和勇气,提升学生学习数学的兴趣．重点难点教学重点:了解“杨辉三角"的结构与规律,掌握二项式系数的一些性质,掌握赋值法．教学难点:二项式系数性质的得到和证明，利用二项式系数的性质解决有关问题．错误!错误!前面我们学习了二项式定理，请回顾：（1)（a＋b)n＝__________________（n∈N*），这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做(a＋b)n的__________________，其中C错误!(r＝0，1，2，…,n）叫做____________，通项是指展开式的第________________项，展开式共有______________项．(2）什么是二项式系数？什么是系数？活动设计：学生先独立回忆,然后独立发言,其他同学进行补充，必要时可以看书．活动结果：（答案展示）（1)(a＋b)n＝C0n a n＋C错误!a n－1b＋C错误!a n－2b2＋…＋C错误!a n－r b r ＋…＋C n n b n（n∈N）、展开式、二项式系数、r＋1、n＋1。

(2）二项式系数是C错误!，系数是变量前的常数．设计意图：通过复习二项式定理的有关知识,为发现杨辉三角的有关性质打下基础，形成知识储备，引出本节课要研究的内容．提出问题：计算（a＋b）n展开式的二项式系数并填入下表n展开式的二项式系数1234567活动设计:通过学案或者投影展示表格，学生填空,学生之间可以交流，教师指导．。