1.2反比例函数的图像与性质 第3课时 教案(湘教版九年级下)

湘教版九年级上册数学教案1.2 反比例函数的图像与性质（3）教学目标1.能用待定系数法求反比例函数的解析式．2．能用反比例函数的定义和性质解决实际问题重点难点重点：能用待定系数法求反比例函数的解析式．难点：根据反比例函数的图象或表达式来理解反比例函数的性质.教学设计一．预习导学自主学习教材P10-11，并思考下列问题：1.认真完成P10的动脑筋，思考怎样用待定系数法求反比例函数的解析式？2.认真阅读例题2，书上是运用反比例函数的什么知识解决问题的？3.例题3中，用待定系数法时为什么要标明1k 、2k ？二．探究展示（一）合作探究如何解答教材P10的动脑筋？由组长带领组员讨论交流，教师适当引导，然后总结得出：由于反比例函数y=k x中只有一个待定系数K ，因此只需要图像上一点的坐标，把其值代入得到一个关于K 的一元一次方程，求出K 值即可确定函数关系式.知道反比例函数的表达式就可以知道某一点是否在这个函数图象上.由K 值得正负就可以知道函数图象分布的象限及函数值随自变量值的变化情况.（二）展示提升1.反比例函数y=k x的图象如图所示，根据图象，回答下列问题： （1）K 的取值范围是K ＞0还是K ＜0？说明理由（2）如果点A （-3，y 1），B （-2，y 2）是该函数图象上的两点，试比较y 1，y 2的大小.设计意图：读图能力训练，加深学生对反比例函数图象性质的理解.2.已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点P （-3,4），试求出它们让你的表达式，并在同一坐标系内画出这两个函数的图象.提示：先设两个函数的表达式，且两个函数表示式中的比例系数应用1k 、2k 区分.学生分组讨论交流，交流后小组代表展示，教师进行补充.设计意图：揭示知识间的内在联系，有助于构建较完整的知识网络.三.知识梳理启发学生谈谈本节课的收获.1. 用待定系数法求反比例函数的解析式．2. 用待定系数法求反比例函数的解析式步骤：（1）设出反比例函数的解析式y=k x（k ≠0） （2）把已知条件（一组自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于k 的一元一次方程（3）解这个方程，求出待定系数k（4）将k 的值代入得出反比例函数的解析式.四.当堂检测1.已知反比例函数的图像经过点（a ，b ），则它的图像一定也经过（ ）A 、(－a ,－b )B 、 (a ,－b )C 、(－a ，b )D 、（0，0）2.已知反比例函数y=k x的图象经过点M （-2,2） （1）求这个函数的表达式（2）判断点A （-4,1），B （1,4）是否在这个函数图象上（3）这个函数的图象位于哪些象限？函数值y 随自变量x 的增大而如何变化？3.如图， 一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数xm y 的图象交于A （－2，1）、B （1，n ）两点（1）求反比例函数和一次函数的解析式（2）根据图象写出一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围五.教学反思本节课通过用待定系数法求反比例函数的解析式让学生理解根据反比例函数的图象或表达式来理解反比例函数的性质，采取小组合作交流、竞争的方式，更能激起学生的求知的欲望.学生通过展示锻炼了口头表达能力，同时培养了学生分析问题和解决问题的能力,增强了小组的凝聚力.。

12 反比例函数的图象与性质第3课时 反比例函数的图象与性质的综合应用教学目标：(一)教学知识点1进一步巩固作反比例函数的图象2逐步提高从函数图象中获取信息的能力，探索并掌握反比例函数的主要性质(二)能力训练要求1通过画反比例函数图象，训练学生的作图能力2通过从图象中获取信息训练学生的识图能力3通过对图象性质的研究，训练学生的探索能力和语言组织能力(三)情感与价值观要求让学生积极投身于数学学习活动中，有助于培养他们的好奇心与求知欲经过自己的努力得出的结论，不仅使他们记忆犹新，还能建立自信心由学生自己思考再经过合作交流完成的数学活动，不仅能使学生学到知识，还能使他们互相增进友谊教学重点：通过观察图象，概括反比例函数图象的共同特征，探索反比例函数的主要性质 教学难点：从反比例函数的图象中归纳总结反比例函数的主要性质教学方法：教师引导学生类推归纳概括学习法教具准备：多媒体课件教学过程：Ⅰ创设问题情境，引入新课[师]上节课我们学习了画反比例函数的图象，并通过图象总结出当＞0时函数图象的两个分支分别位于第一、三象限内；当＜0时，函数图象的两个分支分别位于第二、四象限内并讨论了反比例函数y=x 4与y=-x4的图象的异同点这是从函数的图象位于哪些象限研究了反比例函数的我们知道在学习正比例函数和一次函数图象时，还研究了当＞0时，y 的值随的增大而增大，当＜0时，y 的值随值的增大而减小，即函数值随自变量的变化而变化的情况，以及函数图象与轴，y 轴的交点坐标本节课我们研究一下反比例函数的有关性质Ⅱ 新课讲解1做—做[师]观察反比例函数y=x 2，y=x 4y=x6的形式，它们有什么共同点?[生]表达式中的都是大于零的[师]大家的观察能力非同一般呐!下面再用你们的慧眼观察它们的图象，总结它们的共同特征(1)函数图象分别位于哪几个象限?(2)在每一个象限内，随着值的增大y 的值是怎样变化的?能说明这是为什么吗？(3)反比例函数的图象可能与轴相交吗?可能与y 轴相交吗？为什么？[师]请大家先独立思考，再互相交流得出结论[生](1)函数图象分别位于第一、三象限内(2)从图象的变化趋势看，当自变量逐渐增大时，函数值y 逐渐减小(3)因为图象在逐渐接近轴y 轴，所以当自变量取很小或很大的数时，图象能与轴y 轴相交[师]大家同意他的观点吗?[生]不同意(3)的观点[师]能解释一下你的观点吗？[生]从关系式y ＝x2中看因为≠0，所以图象与y 轴不可能能有交点；因为不论取任何实数，2是常数，y ＝x2永远也不为0，所以图象与轴心也不可能有交点 [师]对于(1)和(3)我不需要再说什么了，因为大家都回答的非常棒，不面我再补充—下(2)观察函数y ＝x2的图象，在第一象限我任取两点A （1y 1），B(2y 2)，分别向轴y 轴作垂线，找到对应的12y 1y 2因为在坐标轴上能比较出1与2y 1与y 2的大小，所以就可判断函数值的变化随自变址的变化是如何变化的山图可知1＜2y 2＜y 1所以在第一象限内有y 随的增大而减小 同理可知在其他象限内y 随的增大而如何变化大家可以分组验证上图中的其他五种情况[生]情况都一样[师]能不能总结一下[生]当>0时，函数图象分别位于第一、三象限内，并且在每一个象限内，y 随的增大而减小2议一议[师]刚才我们研究了y ＝x 2，y ＝x 4y=x 6的图象的性质，下面用类推的方法研究y ＝-x 2，y ＝-x 4y=-x6的图象有哪些共同特征?[生](1)y=-x 2，y=-x 4，y=-x6中的都小于0，它们的图象都位于第二，四象限，所以当A<0时，反比例函数的图象位于第二、四象限内(2)在图象y=-x2中，在第二象限内任取两点A(1y 1)B(2y 2)可知1>2，y 1>y 2，所以可以得出当自变量逐渐减小时，函数值也逐渐减小，即函数值y 随自变量的增大而增大(3)这些反比例函数的图象不可能与轴相交，也不可能与y 轴相交[师]通过我们刚才的讨论，可以得出如下结论：反比例函数y ＝xk 的图象，当>0时，在每一象限内，y 的值随值的增大而减小；当<0时，在每一象限内，y 的值随值的增大而增大3想一想(1)在一个反比例函数图象任取两点P 、Q ，过点Q 分别作轴，y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S 1；过点Q 分别作轴y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S 2，S 1与S 2有什么关系?为什么?(2)将反比例函数的图象绕原点旋转180°后能与原的图象重合吗?[师]在下面的图象上进行探讨[生]设P(1y 1)，过P 点分别作轴，y 轴的平行线，与两坐标轴围成的矩形面积为S 1，则S 1=｜1｜·｜y 1｜=｜1y 1｜∵(1y 1)在反比例函数y ＝xk 图象上，所以y 1＝1x k ，即1y 1＝ ∴S 1＝｜｜同理可知S 2＝｜｜，所以S 1＝S 2[师]从上面的图中可以看出，P 、Q 两点在同一支曲线上，如果P ，Q 分别在不同的曲线，情况又怎样呢?[生]S 1＝｜1y 1｜=｜｜，S 2=｜2y 2｜=｜｜[师]因此只要是在同一个反比例函数图象上任取两点P 、Q 不管P 、Q 是在同一支曲线上，还是在不同的曲线上过P 、Q 分别作轴，y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S 1，S 2，则有S 1＝S 2(2)将反比例函数的图象绕原点旋转180°后，能与原的图象重合，这个问题在上节课中我们已做过研究Ⅲ课堂练习P 155 随堂练习Ⅳ课时小结本节课学习了如下内容1反比例函数y ＝x k 的图象，当0时，在第一、三象限内，在每一象限内，y 的值随，值的增大而减小；当<O 时，图象在第二、四象限内，y 的值随值的增大而增大2在一个反比例函数图象上任取两点P ，Q ，分别过P ，Q 作轴、y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S 1S 2，则有S 1＝S 23将反比例函数的图象绕原点旋转180°后能与原的图形重合即反比例函数是中心对称图形4反比例函数的图象既不能与轴相交也不能与y 轴相交但是当的值越越接近于0时，y 的值将逐渐变得很大；反之，y 的值将逐渐接近于0因此，图象的两个分支无限接近；轴和y 轴，但永远不会与轴和y 轴相交Ⅴ课后作业习题63Ⅵ活动与探究反比例函数图象与三等分角历史上，曾有人把三等分角问题归结为下面的作图问题任取一锐角∠POH，过点P 作OH 的平行线，过点O 作直线，两线相交于点MOM 交PH 于点Q ，并使QM=20P ，设N 为OM 的中点∵NP=NM＝OP∴∠1＝∠2=2∠3∵∠4=∠3，∴∠1=2∠4∴∠MOH＝31∠POH 问题在于，如何确定线段OM 两端点的位置，并且保证O ，Q ，M 在同一条直线上?事实上，用尺规作图无法解决这一问题那么退而求其次，能不能借助一些特殊曲线解决这一问题呢? 帕普斯(Pappus ，公元300前后)给出的一种方法是：如下图，将给定的锐角∠AOB 置于直角坐标系中，角的一边OA 与y ＝x1的图象交于点P ，以P 为圆心；以2OP 为半径作弧交图象于点R 分别过点P 和B 作轴和y 轴的平行线，两线相交于点M ，连接OM 得到∠MOB(1)为什么矩形PQRM 的顶点Q 在直线OM 上?(2)你能说明∠MOB＝31∠AOB 的理由吗? (3)当给定的已知角是钝角或直角时，怎么办?解：(1)设P 、R 两点的坐标分别为P(a 1，11a )R(a 2 21a )则Q(a 1，21a )，M(a 2 11a ） 设直线OM 的关系式为y ＝∵当＝a 2时，y=11a ∴11a =a 2∴=211a a ∴y=211a a 当=a 1时，y=21a ∴Q(a 1，21a )在直线OM 上 (2)∵四边形PQRM 是矩形∴P=21PR=M∴∠2＝2∠3 ∵P=OP，∴∠1＝∠2，∵∠3=∠4，∴∠1=2∠4，即∠MOB=31∠AOB (3)当给定的已知角是钝角或直角时，钝角或直角的一半是锐角，该锐角可以用此方法三等分备课资料参考例题如图能表示函数y ＝(1-)和y ＝xk (≠0)在同一直角坐标系小的图象大致是( )分析：从对函数y ＝xk 的讨论入手，若>0，双曲线分布在一、三象限，因此可考虑A ， 两个答案，这时对于一次函数说，y 的值随值的增大而减小，且一次函数的图象与y 轴正半轴相交，显然A ，两个答案都不对若＜0，双曲线分布在二四象限，因此考虑B ，D 两个答案，对于一次函数说，y 的 值随的增大而增大，且一次函数的图象与y 轴的负半轴相交，应选D解：选D。

第一章 反比例函数知识结构()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<><>≠=.,0,,0:.0,0:,0:的增大而增大随在每一个象限时的增大而减小随在每一个象限时性质象限时，双曲线落在二、四；双曲线落在一、三象限时图象为常数定义x y k x y k k k k k x k y 重点、热点反比例函数的图象与性质目标要求1.理解反比例函数的概念，会根据问题中的条件确定反比例函数的解析式.2.理解反比例函数的性质，会画出它们的图象，以及根据图象指出函数值随自变量的增加或减少而变化的情况.3.会用待定系数法求反比例函数的解析式.检查学生的学案，了解学生课前预习情况。

二、【典型例析】例1，反比例函数y= x k 2(k ≠0)的图象的两个分支分别位于（）A 第一，二象限B 第一，三象限C 第二，四象限D 第一，四象限分析：对于反比例函数y=k/x(k<>0)而言，当k>0时，图象的两个分支分别位于第一，三象限；当k<0时，图象的两个分支分别位于第二，四象限。

解：因为k ≠0 所以k 2 >0因此y=k 2/x(k<>0)的图象的两个分支分别位于第一，三象限。

故选（B ）.例2 已知点（1，3）是双曲线y=m/x 与抛物线y=x 2+(k+1)x+m 的交点，则k 的值等于 。

分析：既然点（1，3）是双曲线y=m/x 与抛物线y=x 2+(k+1)x+m 的交点，那么点（1，3）就在y=m/x 上，并且也在y=x 2+(k+1)x+m 上。

解： 依题意有 3=m/1 3=12+(k+1)×1+m解之 m=3k=-2所以k 的值等于-2例3， 如图，过反比例函数y= x1(x>0)的图象上任意两点A 、B 反比例函数分别作x 轴的垂线，垂足分别是C 、D,连结OA,OB,设AC 与OB E ，AOE 与梯形ECDB 的面积分别为S 1,S 2,比较它们的大小，可得（）A S 1>S 2B S 1=S 2C S 1<S 2D 大小关系不能确定分析：欲比较 △AOE 和梯形ECDB 的面积大小，可比较△AOC 与△BOD 的面积大小。

湘教版九年级下册第一章反比例函数课时教案课题 1.1建立反比例函数模型第 1 课时总序第个教案课型新授编写时间年月日执行时间年月日教学目标知识与技能：1. 理解反比例函数的概念，能判断两个变量之间的关系是否是函数关系，进而识别其中的反比例函数.过程与方法：能根据实际问题中的条件确定反比例函数的关系式. 体会和认识反比例函数是刻画现实世界中特定数量关系的一种数学模型。

情感与价值观：进一步理解常量与变量的辩证关系和反映在函数概念中的运动变化观点.教学重点反比例函数的概念教学难点例1涉及较多的《科学》学科的知识，学生理解问题时有一定的难度教学用具幻灯、三角板教学方法启发探索法、讲授法、讨论法相结合教学过程一、创设情境引入课题情境1：当路程一定时，速度与时间成什么关系？（s＝vt）当一个长方形面积一定时，长与宽成什么关系?这个情境是学生熟悉的例子，当中的关系式学生都列得出来，鼓励学生积极思考、讨论、合作、交流，最终让学生讨论出：当两个量的积是一个定值时，这两个量成反比例关系，如xy＝m（m为一个定值），则x与y成反比例。

这一情境为后面学习反比例函数概念作铺垫。

【幻灯】情境2：汽车从南京出发开往上海（全程约300km），全程所用时间t（h）随速度v（km/h）的变化而变化.问题：（1）你能用含有v的代数式表示t吗？（2）利用（1）的关系式完成下表：v/(km/h) 60 80 90 100 120t/h（3）速度v是时间t的函数吗？为什么？讲解方法：（1）引导学生观察、讨论路程、速度、时间这三个量之间的关系，得出关系式s＝vt，指导学生用这个关系式的变式来完成问题（1）.（2）引导学生观察、讨论，并运用（1）中的关系式填表，并观察变化的趋势，引导学生用语言描述.（3）结合函数的概念，特别强调唯一性，引导讨论问题（3）.【幻灯】情境3：用函数关系式表示下列问题中两个变量之间的关系：（1）一个面积为6400m2的长方形的长a（m）随宽b（m）的变化而变化；（2）实数m与n的积为－200，m随n的变化而变化.问题：（1）这些函数关系式与我们以前学习的一次函数、正比例函数关系式有什么不同？（2）它们有一些什么特征？（3）你能归纳出反比例函数的概念吗？一般地，形如y ＝kx (k 为常数，k ≠0)的函数称为反比例函数，其中x 是自变量，y 是x 的函数，k 是比例系数.反比例函数的自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数.二、合作交流 解读探究【幻灯】1.下列关系式中的y 是x 的反比例函数吗？如果是，比例系数k 是多少？（目的是使学生认识反比例函数概念的本质，提高辨别的能力.） y ＝x 15 ；(2)y ＝2x －1 ；(3)y ＝－ 3x； 2.在函数y ＝2x －1，y ＝2x+1 ，y ＝x －1，y ＝12x 中，y 是x 的反比例函数的有 个.这个练习也是引导学生从反比例函数概念入手，着重从形式上进行比较，识别一些反比例函数的变式,如y ＝kx －1的形式. 还有y ＝2x －1通分为y ＝2－x x ，y 、x 都是变量，分子不是常量，故不是反比例函数，但变为y ＋1＝2x 可说成（y ＋1）与x 成反比例.3.若y 与x 成反比例，且x ＝－3时，y ＝7，则y 与x 的函数关系式为 .［说明］这个练习引导学生观察、讨论，并回顾以前求一次函数关系式时所用的方法，初步感知用“待定系数法”来求比例系数，并引导学生归纳求反比例函数关系式的一般方法，即只需已知一组对应值即可求比例系数.三、应用举例 巩固提高【幻灯】 1、写出下列问题中两个变量之间的函数关系式，并判断其是否为反比例函数. 如果是，指出比例系数k 的值.（1）底边为5cm 的三角形的面积y （cm 2）随底边上的高x （cm ）的变化而变化；（2）某村有耕地面积200ha ，人均占有耕地面积y （ha ）随人口数量x （人）的变化而变化；（3）一个物体重120N ，物体对地面的压强p （N/m2）随该物体与地面的接触面积S （m 2）的变化而变化. 【幻灯】2、已知函数y ＝（m ＋1）x22 m 是反比例函数，则m 的值为 .小结这节课你学到了什么？还有那些困惑？ 布置作业：教学后记（后思）：课 时 教 案课题 1.1建立反比例函数模型 第 2 课时 总序第 个教案 课型 新授 编写时间 年 月 日 执行时间 年 月 日教学目标知识与技能：会用待定系数法求反比例函数的解析式. 过程与方法：通过实例进一步加深对反比例函数的认识,能结合具体情境,体会反比例函数的意义,理解比例系数的具体的意义.情感与价值观：让学生充分参与观察、比较、合作、交流、探索，进而培养学生的各种能力。

湘教版数学九年级上册1.2《反比例函数的图象与性质》（第3课时）说课稿一. 教材分析湘教版数学九年级上册1.2《反比例函数的图象与性质》（第3课时）是本册教材中的重要内容，它主要介绍了反比例函数的图象与性质。

本节课的内容是在学生已经掌握了函数的概念、正比例函数的图象与性质的基础上进行学习的，为后续学习二次函数、函数的应用等知识奠定了基础。

本节课的教学内容主要包括两个方面：一是反比例函数的图象，二是反比例函数的性质。

在图象部分，学生需要了解反比例函数的一般形式，能够根据比例系数的大小判断图象在坐标平面内的位置；在性质部分，学生需要理解反比例函数的单调性、奇偶性等性质，并能运用这些性质解决一些简单的问题。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对函数的概念、正比例函数的图象与性质有一定的了解。

但是，对于反比例函数的图象与性质，学生可能还存在一些困惑，如反比例函数图象的特点、如何判断图象在坐标平面内的位置等。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，针对学生的困惑进行讲解，帮助学生理解和掌握反比例函数的图象与性质。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生了解反比例函数的一般形式，能够根据比例系数的大小判断反比例函数图象在坐标平面内的位置；理解反比例函数的单调性、奇偶性等性质，并能运用这些性质解决一些简单的问题。

2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，让学生掌握反比例函数的图象与性质，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识，使学生感受到数学在生活中的应用。

四. 说教学重难点1.教学重点：反比例函数的一般形式，反比例函数图象的特点，反比例函数的单调性、奇偶性等性质。

2.教学难点：反比例函数图象在坐标平面内的位置判断，反比例函数性质的应用。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例分析法、小组讨论法等，引导学生主动探究、合作学习。

九年级数学下册反比例函数的图象和性质教案一湘教版一、教学目标1．使学生进一步明白得和把握反比例函数及其图象与性质2．能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题3．深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方式二、重点、难点1．重点：明白得并把握反比例函数的图象和性质，并能利用它们解决一些综合问题2．难点：学会从图象上分析、解决问题3．难点的冲破方式：在前一节的基础上，可适当增加一些较综合的题目，帮忙学生熟练把握反比例函数的图象和性质，要让学生学会如何通过函数图象分析解析式，或由函数解析式分析图象的方式，以便更好的明白得数形结合的思想，最终能达到从“数”和“形”两方面去分析问题、解决问题。

三、例题的用意分析教材第51页的例3一是让学生明白得点在图象上的含义，把握如何用待定系数法去求解析式，温习巩固反比例函数的意义；二是通过函数解析式去分析图象及性质，由“数”到“形”，体会数形结合思想，加深学生对反比例函数图象和性质的明白得。

教材第52页的例4是已知函数图象求解析式中的未知系数，并由双曲线的转变趋势分析函数值y随x的转变情形，此进程是由“形”到“数”，目的是为了提高学生从函数图象中获取信息的能力，加深对函数图象及性质的明白得。

补充例1目的是引导学生在解有关函数问题时，要数形结合，另外，在分析反比例函数的增减性时，必然要注意强调在哪个象限内。

补充例2是一道有关一次函数和反比例函数的综合题，目的是提高学生的识图能力，并能灵活运用所学知识解决一些较综合的问题。

四、课堂引入温习上节课所学的内容1．什么是反比例函数？2．反比例函数的图象是什么？有什么性质？五、例习题分析例3．见教材P51 分析：反比例函数x k y =的图象位置及y 随x 的转变情形取决于常数k 的符号，因此要先求常数k ，而题中已知图象通过点A （2，6），即表明把A 点坐标代入解析式成立，因此用待定系数法能求出k ，如此解析式也就确信了。

1.2反比例函數的圖像和性質（3）學習目標：1.鞏固反比例函數圖像和性質，通過對圖像的分析，進一步探究反比例函數的增減性。

2.掌握反比例函數的增減性，能運用反比例函數的性質解決一些簡單的實際問題。

3.培養學生的好奇心與求知欲，增進同學之間的友誼，體會與他人合作的重要性。

學習重點：通過對反比例函數圖像的分析，探究反比例函數的增減性。

學習難點：由於受小學反比例關係增減性知識的負遷移，又由於反比例函數圖像分成兩條分支，給研究函數的增減性帶來複雜性。

學習方法：類比 啟發教學輔助：多媒體教學過程：一、復習：1．反比例函數xy 6=的圖象經過點（－1，2），那麼這個反比例函數的解析式為______，圖象在第________象限，它的圖象關於_________-成中心對稱．2．反比例函數xk y =的圖象與正比例函數Y=3X 的圖象，交於點A （1，m ），則m ＝________，反比例函數的解析式為__________，這兩個圖象的另一個交點座標是_________.3．用“＞”或“＜”填空：（1）已知11,y x 和22,y x 是反比例函數x y 3=的兩對引數與函數的對應值．若120x x <<，則120y y（2）已知11,y x 和22,y x 是反比例函數x y 3-=的兩對引數與函數的對應值．若120x x >>，則120___________y y ．4．已知（11x y ，），（22x y ，），（33x y ，）是反比例函數2y x-=的圖象上的三個點，並且1230y y y >>>，則123x x x ，，的大小關係是（ ）（A ）123x x x <<； （B ）312x x x ><； （C ）123x x x >>； （D ）132.x x x ><二、合作交流，解讀探究1．平面直角坐標系中象限的分佈概括及做一做：（課件演示）2．通過觀察，探究反比例函數的圖象與性質做一做：完成教材P9的“做一做” 引 導：（課件演示）觀察反比例函數y=x 2,y=x 4,y=x 6的形式，它們有什麼共同點?（交流討論總結）總結：反比例函數的圖象的性質（課件演示）做一做：完成教材P11練習第2題三、應用遷移，鞏固提高（課件演示例題）1．類型之一 ----平面直角坐標系象限知識的運用例：在平面直角坐標系內，已知點A （7-2m,5-m ）在第2象限，且m 為整數，求過點A 的反比例函數的解析式。

1.2 反比例函数的图象与性质1.2.1 反比例函数的图象与性质（一）教学目标1．体会并了解反比例函数的图象的意义 2．能描点画出反比例函数的图象3．结合图象分析并掌握当k ＞0时反比例函数的性质 重点、难点重点：反比例函数的图象及当k ＞0时反比例函数的性质 难点：绘制反比例函数的图象 教学设计 一、预习导学自主预习教材，并思考下列问题：1．画反比例函数图象的步骤是 、 、 . 2．反比例函数y=kx（k 为常数，k ≠0）的图象是 ，当k ＞0时，双曲线的两支分别位于第 、 象限，它们与 轴、 轴都不相交，在每个象限内，y 随x 的增大而 . 3．函数xy 20=的图象在第 象限,在每一象限内，y 随x 的增大而 . 二、探究展示 （一）合作探究 如何画反比例函数xy 6=的图象？ 由组长带领本组组员共同探讨完成. 由于反比例函数y=x6的图象是曲线型的，且分成两支．对此，学生第一次接触有一定的难度，因此需要分几个层次来探求：(1) 可以先估计.例如，位置(图象所在象限、图象与坐标轴的交点等)、趋势(上升、下降等)；(2)方法与步骤——利用描点作图；列表：取自变量x 的哪些值? —— x 是不为零的任何实数，所以不能取x 的值的为零，但仍可以以零为基准，左右均匀，对称地取值.x… -6 -5 -4 -3 -2 -1.5 -1 1 1.5[ 2 34 5 6 (x)y 6=… -1 -1.2 -1.5 -2 -3 -4[-6 643 2 1.5 1.2 1…描点：依据什么(数据、方法)找点?在平面直角坐标系内，以自变量x 的取值为横坐标，以相应的函数值y 为纵坐标，描出相应的点. 连线：怎样连线? ——可在各个象限内按照自变量从小到大的顺序用两条光滑的曲线把所描的点连接起来.y x6-665-6-5-51-2-2-1-15-4-4-3-343243201观察上图，图象位于哪些象限？图象与坐标轴相交吗？在每一象限内，函数值y 随自变量x 的变化如何变化？（点名回答）设计意图：学习正确的作图过程，在填表过程中感受y 随x 的变化规律，为基于图象探究函数性质打下基础. （二）展示提升1．完成教材做一做，画出反比例函数xy 3=的图象. xy 6=设计意图：提高学生利用描点法画反比例函数的基本技能，加深学生对反比例函数图象的认识，为下一步归纳反比例函数的性质做准备. 2．观察画出的x y 6=，xy 3=的图象，思考下列问题： （1）每个函数的图象分别位于哪些象限？（2）在每一象限内，函数值y 随自变量x 的变化如何变化？ 先由小组讨论交流，教师准确引导，及时点拨和追问，总结出规律： 一般的，当k 〉0时，反比例函数y=kx的图象由分别在第一、第三象限内的两支曲线组成，它们与x 轴、y 轴都不相交，在每个象限内，函数值y 随自变量x 的增大而减小.设计意图：让学生独立思考、讨论交流，经历从特殊到一般的归纳过程，积累基本活动经验. 三、知识梳理启发学生谈谈本节课的收获.1.用描点法作反比例函数图象的步骤：列表、描点、连线.2.图象和性质：反比例函数y=kx（k 为常数，k ≠0）的图象是双曲线，当k 〉0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，它们与x 轴、y 轴都不相交，在每个象限内，y 随x 的增大而减小. 四、当堂检测1．如右图，这是下列四个函数中哪一个函数的图象 （ ） A. x y 5= B. 32+=x y C. x y 4= D. xy 3-= 2．函数20y x=的图象在第________象限,在每一象限内，y 随x 的增大而_________. 3．在反比例函数y ＝xk 3-图象的每一支曲线上，y 都随x 的增大而减小，则k 的取值范围是________.若关于x,y 的函数xk y 1+=的图象位于第一、三象限，则k 的取值范围是_______________. 4．画出反比例函数xy 4的图象. 五、布置作业六、教学反思本节课通过用描点法画反比例函数的图象让学生理解当k>0时反比例函数y=kx的图象和性质，更直观、有效运用各种启发、激励的语言，以及小组合作交流、竞争的方式，更能激起学生求知的欲望.学生通过展示锻炼了口头表达能力，同时培养了学生分析问题和解决问题的能力,增强了小组的凝聚力.1.2 反比例函数的图象与性质（二）教学目标1． 能画出反比例函数y ＝kx(k 为常数，k ＜0)的图象.2． 根据反比例函数y ＝kx(k 为常数，k ＜0)的图象探索并理解其性质.3． 在自主探究反比例函数的性质的过程中，让学生初步感知反比例函数的图象的对称性. 重点难点重点：反比例函数y ＝kx (k 为常数，k ＜0)的图象的画法及其性质.难点：由反比例函数y ＝kx (k 为常数，k ＜0)的图象探究出其性质.教学设计 一、预习导学自主预习教材完成下列各题：1.反比例函数y ＝kx (k 为常数，k ≠0)的图象是由两支曲线围成的，这两支曲线称为 .2.当k ﹤0时，反比例函数y ＝kx的图象与 的图象关于x 轴对称.3. 当k ﹤0时，反比例函数y ＝kx 的图象由分别在第 象限内的两支曲线组成，它们与x轴、y 轴都 ，在每个象限内，函数值y 随自变量x 的增大而 . 二、探究展示 （一）合作探究探究1：如何画反比例函数x y 6-=的图象？xy 6-=的图象与x 6=的图象有什么关系？由组长带领组员共同探讨画反比例函数xy 6-=的图象的方法. 引导学生采用多种方式进行自主探索活动：1.可以通过探索函数x y 6-=与x y 6=之间的关系，画出x y 6-=的图象. 2.可以用画反比例函数xy 6=的图象的方式与步骤进行自主探索其图象.引导学生总结归纳：1.当k ﹤0时，反比例函数y ＝kx 的图象与xk y -=的图象关于x 轴对称.2.当k ﹤0时，反比例函数y ＝kx 的图象由分别在第二、四象限内的两支曲线组成，它们与x 轴、y轴都不相交，在每个象限内，函数值y 随自变量x 的增大而增大. 3.可用描点法画反比例函数y ＝kx（k ﹤0）的图象.设计意图：巩固了反比例函数图象的基本作法，也为后面观察分析归纳出反比例函数图象的性质增加感性认识.探究2：反比例函数y ＝kx (k 为常数，k ≠0)的图象的对称性.先让学生观察函数x y 6-=与xy 6=的图象，讨论、交流它们各自具有什么对称性,然后总结得出：反比例函数y ＝kx (k 为常数，k ≠0)的图象是中心对称图形，其对称中心为坐标原点，其图象还是轴对称图形，对称轴有两条，分别是一、三象限角平分线（即直线y=x ）和二、四象限角平分线（即直线y=-x ）.探究3：根据我们已经学过的反比例函数的性质填写下表，并说说k ＞0和k ＜0时图象和性质的区别.反比例函数 xky =)0(≠k k 的符号k >0k<0图象 （双曲线）x 、y 的 取值范围 x 的取值范围：x ≠0 y 的取值范围：y ≠0 x 的取值范围：x ≠0 y 的取值范围：y ≠0 位置 第一,三象限内第二,四象限内增减性 每一象限内,y 随x 的增大而减小每一象限内,y 随x 的增大而增大渐近性 反比例函数的图象无限接近于x,y 轴,但永远达不到x,y 轴,画图象时,要体现出这个特点对称性反比例函数的图象是关于原点成中心对称的图形.反比例函数的图象也是轴对称图形设计意图：使学生经历由特殊到一般的过程，培养学生的抽象概括能力、渗透分类讨论思想和类比思想.（二）展示提升 1.反比例函数xy 21-=的图象在第 、 象限，在每个象限内，函数值y 随自变量x 的增大而 ,图象关于 成中心对称，关于 成轴对称.2.画出反比例函数x y 4-=的图象. 3.若反比例函数xm y 3-=的图象在第二、四象限，求m 的取值范围.设计意图:通过练习及时去巩固学生对反比例函数图象的画法及其性质的理解及是否能够正确的运用其性质解决简单问题. 三、知识梳理 本节课有什么收获？1. 用描点法画反比例函数y ＝kx（k ＜0）的图象步骤：列表，描点，连线.2. 反比例函数y ＝kx的图象和性质：图象与x 轴、y 轴都不相交，当k ＞0时，图象在第一、三象限，在每个象限内，函数值y 随自变量x 的增大而减小；当k ﹤0时，图象在第二、四象限，在每个象限内，函数值y 随自变量x 的增大而增大.3.反比例函数y ＝kx (k 为常数，k ≠0)的图象关于原点成中心对称，当k ﹥0时，图象关于直线y=-x 成轴对称，当k ﹤0时，图象关于直线y=x 成轴对称. 四、当堂检测1.在反比例函数x ky -=1的图象的每一支曲线上，y 随x 的增大而增大，则k 的值为 . 2.画出反比例函数xy 8-=的图象.3．已知点（2，y 1），（3，y 2）在 函数xy 2-=的图象上，试比较y 1,y 2的大小.五、作业六、教学反思在整个的设计过程中，始终体现以学生为中心的教育理念.在学生已有的基础上进行设问和引导，关注学生的认知过程，重视讨论、交流和合作，重视探究问题习惯的培养和养成.同时，考虑不同学生的个性差异和发展层次，使不同的学生都有发展，体现因材施教的原则.1.2 反比例函数的图象与性质（三）教学目标1.能用待定系数法求反比例函数的解析式． 2．能用反比例函数的定义和性质解决实际问题. 重点、难点重点：能用待定系数法求反比例函数的解析式．难点：根据反比例函数的图象或表达式来理解反比例函数的性质. 教学设计 一、预习导学自主学习教材，并思考下列问题：1.认真完成动脑筋，思考怎样用待定系数法求反比例函数的解析式？2.认真阅读例2，书上是运用反比例函数的什么知识解决问题的？3.例3中，用待定系数法时为什么要标明1k 、2k ？ 二、探究展示 （一）合作探究如何解答教材动脑筋？由组长带领组员讨论、交流，教师适当引导，然后总结得出：由于反比例函数y=kx中只有一个待定系数k ，因此只需要图象上一点的坐标，把其值代入得到一个关于k 的一元一次方程，求出k 值即可确定函数关系式.知道反比例函数的表达式就可以知道某一点是否在这个函数图象上.由k 值的正负就可以知道函数图象分布的象限及函数值随自变量值的变化情况. （二）展示提升 1.反比例函数y=kx的图象如图，根据图象，回答下列问题： （1）k 的取值范围是k ＞0还是k ＜0？说明理由.（2）如果点A （-3，y 1），B （-2，y 2）是该函数图象上的两点，试比较y 1，y 2的大小.设计意图：读图能力训练，加深学生对反比例函数图象性质的理解.2.已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点P （-3,4），试求出它们的表达式，并在同一坐标系内画出这两个函数的图象.提示：先设两个函数的表达式，且两个函数表示式中的比例系数应用1k 、2k 区分. 学生分组讨论、交流，交流后小组代表展示，教师进行补充. 设计意图：揭示知识间的内在联系，有助于构建较完整的知识网络. 三、知识梳理启发学生谈谈本节课的收获.1. 用待定系数法求反比例函数的解析式．2. 用待定系数法求反比例函数解析式的步骤： （1）设出反比例函数的解析式y=kx（k ≠0） （2）把已知条件（一组自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于k 的一元一次方程 （3）解这个方程，求出待定系数k（4）将k 的值代入得出反比例函数的解析式 四、当堂检测1.已知反比例函数的图象经过点（a ，b ），则它的图象一定也经过（ ） A.(－a ,－b ) B. (a ,－b ) C.(－a ，b ) D.（0，0）2.已知反比例函数y=kx的图象经过点M （-2,2）. （1）求这个函数的表达式.（2）判断点A （-4,1），B （1,4）是否在这个函数图象上.（3）这个函数的图象位于哪些象限？函数值y 随自变量x 的增大而如何变化？3.如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数xmy 的图象交于A （－2，1）、B （1，n ）两点.（1）求反比例函数和一次函数的解析式.（2）根据图象写出一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围. 五、作业六、教学反思本节课通过用待定系数法求反比例函数的解析式让学生理解根据反比例函数的图象或表达式来理解反比例函数的性质，采取小组合作交流、竞争的方式，更能激起学生的求知的欲望.学生通过展示锻炼了口头表达能力，同时培养了学生分析问题和解决问题的能力,增强了小组的凝聚力.。

湘教版数学九年级上册1.2《反比例函数的图象与性质》（第3课时）教学设计一. 教材分析《反比例函数的图象与性质》是湘教版数学九年级上册1.2的教学内容。

本节课的主要内容是让学生掌握反比例函数的图象与性质，能够利用反比例函数解决实际问题。

教材通过实例引入反比例函数，让学生观察反比例函数的图象，探究反比例函数的性质，从而理解反比例函数的概念。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了函数的概念、正比例函数的图象与性质以及初等函数的图象与性质。

他们对函数的概念和图象有一定的了解，但反比例函数的概念和图象与他们之前学习的函数有所不同，需要通过实例和探究来理解和掌握。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握反比例函数的图象与性质，能够利用反比例函数解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、探究、归纳、总结等方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和创新精神。

四. 教学重难点1.反比例函数的图象与性质。

2.利用反比例函数解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动法、合作探究法、归纳总结法等教学方法。

通过实例引入反比例函数，引导学生观察、探究、归纳、总结反比例函数的图象与性质。

六. 教学准备1.准备反比例函数的图象和实例。

2.准备教学PPT。

3.准备练习题和测试题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用实例引入反比例函数，展示反比例函数的图象，引导学生观察反比例函数的特点。

2.呈现（10分钟）呈现反比例函数的图象，让学生观察并描述反比例函数的性质。

引导学生通过小组合作，探讨反比例函数的图象与性质。

3.操练（10分钟）让学生通过练习题，运用反比例函数的性质解决问题。

教师引导学生归纳总结解题方法，并进行讲解。

4.巩固（10分钟）让学生通过测试题，巩固反比例函数的图象与性质。

教师进行点评，指出学生的错误并进行讲解。

5.拓展（10分钟）利用反比例函数解决实际问题，让学生运用所学知识解决生活中的问题。

湘教版数学九年级上册1.2《反比例函数图象与性质》教学设计3一. 教材分析《反比例函数图象与性质》是湘教版数学九年级上册1.2节的内容，本节课主要让学生掌握反比例函数的图象与性质，能运用反比例函数解决实际问题。

教材通过引入反比例函数的概念，引导学生探究反比例函数的图象与性质，从而培养学生对函数知识的认识和应用能力。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了正比例函数和一次函数，对函数的概念和性质有了一定的了解。

但反比例函数与正比例函数和一次函数在性质上有很大的差异，学生需要通过探究和思考，才能理解和掌握。

此外，学生对于函数图象的观察和分析能力有待提高，因此在教学过程中，需要注重培养学生的观察、分析和解决问题的能力。

三. 教学目标1.知识与技能：理解反比例函数的定义，掌握反比例函数的图象与性质，能运用反比例函数解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，探究反比例函数的图象与性质，提高学生的数学思维能力。

3.情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，增强学生对函数知识的学习信心。

四. 教学重难点1.反比例函数的定义及其图象的特点。

2.反比例函数的性质及其运用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究。

2.启发式教学法：在教学过程中，引导学生提出问题，培养学生解决问题的能力。

3.合作学习法：学生进行小组讨论，培养学生的团队协作能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作反比例函数图象与性质的教学课件。

2.教学素材：准备一些实际问题，用于引导学生运用反比例函数解决。

3.黑板、粉笔：用于板书重要知识点和解题过程。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活中的实例，如商场打折、地图的比例尺等，引导学生回顾正比例函数和一次函数的知识，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）介绍反比例函数的定义，引导学生观察反比例函数的图象，分析其特点。

通过对比正比例函数和一次函数的图象，让学生深刻理解反比例函数的图象特点。

湘教版九年级上册数学教案(全册)第1章反比例函数1.1 反比例函数教学目标【知识与技能】理解反比例函数的概念，根据实际问题能列出反比例函数关系式.【过程与方法】经历从实际问题抽象出反比例函数的探索过程，发展学生的抽象思维能力.【情感态度】培养观察、推理、分析能力，体会由实际问题转化为数学模型，认识反比例函数的应用价值.【教学重点】理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式.【教学难点】能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想.教学过程一、情景导入，初步认知1．复习小学已学过的反比例关系，例如：(1)当路程s一定，时间t与速度v成反比例，即vt=s(s是常数)(2)当矩形面积一定时，长a和宽b成反比例，即ab＝S(S是常数)2、电流I、电阻R、电压U之间满足关系式U＝IR，当U=220V时,请你用含R的代数式表示I吗？【教学说明】对相关知识的复习，为本节课的学习打下基础.二、思考探究，获取新知探究1：反比例函数的概念（1）一群选手在进行全程为3000米的赛马比赛时，各选手的平均速度v(m/s)与所用时间t(s)之间有怎样的关系？并写出它们之间的关系式.（2）利用（1）的关系式完成下表：（3）随着时间t 的变化，平均速度v 发生了怎样的变化？ （4）平均速度v 是所用时间t 的函数吗？为什么？（5）观察上述函数解析式，与前面学的一次函数有什么不同？这种函数有什么特点？【归纳结论】一般地，如果两个变量x,y 之间可以表示成y=kx（k 为常数且k ≠0）的形式，那么称y 是x 的反比例函数.其中x 是自变量，常数k 称为反比例函数的比例系数.【教学说明】先让学生进行小组合作交流，再进行全班性的问答或交流.学生用自己的语言说明两个变量间的关系为什么可以看作函数，了解所讨论的函数的表达形式．探究2：反比例函数的自变量的取值范围思考：在上面的问题中，对于反比例函数v=3000/t ，其中自变量t 可以取哪些值呢？分析：反比例函数的自变量的取值范围是所有非零实数，但是在实际问题中，应该根据具体情况来确定该反比例函数的自变量取值范围.由于t 代表的是时间，且时间不能为负数，所有t 的取值范围为t>0.【教学说明】教师组织学生讨论，提问学生，师生互动． 三、运用新知，深化理解 1.见教材P3例题.2.下列函数关系中，哪些是反比例函数？(1)已知平行四边形的面积是12cm 2，它的一边是acm ，这边上的高是hcm ，则a 与h 的函数关系；(2)压强p 一定时，压力F 与受力面积S 的关系；(3)功是常数W 时，力F 与物体在力的方向上通过的距离s 的函数关系．(4)某乡粮食总产量为m 吨，那么该乡每人平均拥有粮食y(吨)与该乡人口数x 的函数关系式．分析：确定函数是否为反比例函数，就是看它们的解析式经过整理后是否符合y=kx(k 是常数，k ≠0)．所以此题必须先写出函数解析式，后解答．解：(1)a=12/h ，是反比例函数； (2)F ＝pS ，是正比例函数； (3)F=W/s ，是反比例函数； (4)y=m/x ，是反比例函数． 3.当m 为何值时，函数y=224m x－是反比例函数，并求出其函数解析式．分析：由反比例函数的定义易求出m 的值．解：由反比例函数的定义可知：2m －2＝1，m=3/2．所以反比例函数的解析式为y=4x．4.当质量一定时，二氧化碳的体积V 与密度ρ成反比例.且V=5m 3时，ρ=1．98kg ／m 3 （1）求p 与V 的函数关系式，并指出自变量的取值范围. （2）求V=9m 3时，二氧化碳的密度. 解：略5.已知y ＝y 1＋y 2，y 1与x 成正比例，y 2与x 2成反比例，且x ＝2与x ＝3时，y 的值都等于19．求y 与x 间的函数关系式．分析：y1与x 成正比例，则y1＝k1x ，y2与x2成反比例，则y2=k2x2，又由y ＝y1＋y2，可知，y=k1x+k2x2，只要求出k1和k2即可求出y 与x 间的函数关系式．解：因为y 1与x 成正比例，所以y 1＝k 1x ；因为y 2与x 2成反比例，所以y 2=22k x，而y ＝y 1＋y 2，所以y=k 1x+22k x，当x ＝2与x ＝3时，y 的值都等于19．【教学说明】加深对反比例函数概念的理解，及掌握如何求反比例函数的解析式. 四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业：教材“习题1.1”中第1、3、5题.教学反思学生对于反比例函数的概念理解的都很好，但在求函数解析式时，解题不够灵活，如解答第5题时，不知如何设未知数.在这方面应多加练习.1.2 反比例函数的图象与性质第1课时反比例函数的图象与性质（1）教学目标【知识与技能】1.会用描点法画反比例函数图象；2.理解反比例函数的性质.【过程与方法】观察、比较、合作、交流、探索.【情感态度】通过对反比例函数的图象的分析，探索并掌握反比例函数的图象的性质.【教学重点】画反比例函数的图象，理解反比例函数的性质.【教学难点】理解反比例函数的性质，并能灵活应用.教学过程一、情景导入，初步认知你还记得一次函数的图象吗?一次函数的图象怎样画呢？一次函数有什么性质呢？反比例函数的图象又会是什么样子呢?【教学说明】在回忆与交流中，进一步认识函数，图象的直观有助于理解函数的性质.二、思考探究，获取新知探究1：反比例函数图象的画法画出反比例函数y=6x的图象．分析∶画出函数图象一般分为列表、描点、连线三个步骤.(1)列表：取自变量x的哪些值?x是不为零的任何实数，所以不能取x的值为零，但仍可以以零为基准，左右均匀，对称地取值.(2)描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系中描出各点(－6,－1)、(－3,－2)、(－2,－3)等．（3）连线：用平滑的曲线将第一象限各点依次连起来，得到图象的第一个分支；用平滑的曲线将第三象限各点依次连起来，得到图象的另一个分支．这两个分支合起来，就是反比例函数的图象．思考：（1）观察上图，y轴右边的各点，当横坐标x逐渐增大时，纵坐标y如何变化？y轴左边的各点是否也有相同的规律？（2）这两条曲线会与x轴、y轴相交吗？为什么？探究2：反比例函数所在的象限画出函数y=3x的图形，并思考下列问题：（1）函数图形的两个分支分别位于哪些象限？（2）在每一象限内，函数值y随自变量x的变化是如何变化的？【归纳结论】一般地，当k>0时，反比例函数y=kx的图象由分别在第一、三象限内的两支曲线组成，它们与x轴、y轴都不相交，在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小.探究3：反比例函数y=－6x的图象．可以引导学生采用多种方式进行自主探索活动：(1)可以用画反比例函数y=－6x的图象的方式与步骤进行自主探索其图象；(2)可以通过探索函数y=6x与y=－6x之间的关系，画出y=－6x的图象．【归纳结论】一般地，当k<0时，反比例函数y=kx的图象由分别在第二、四象限内的两支曲线组成，它们与x轴、y轴都不相交，在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大.探究4：反比例函数的性质反比例函数y=－6x与y=6x的图象有什么共同特征?【教学说明】引导学生从通过与一次函数的图象的对比感受反比例函数图象“曲线”及“两支”的特征．【归纳结论】反比例函数y=kx(k≠0)的图象是由两个分支组成的曲线.当k>0时，图象在一、三象限；当k<0时，图象在二、四象限.反比例函数y=kx与y=-kx(k≠0)的图象关于x轴或y轴对称.【教学说明】学生动手画反比函数图象，进一步掌握画函数图象的步骤.观察函数图象，掌握反比例函数的性质.三、运用新知，深化理解1.教材P9例1.2.如果函数y＝2x k＋1的图象是双曲线，那么k＝．【答案】-23.如果反比例函数y=3kx－的图象位于第二、四象限内，那么满足条件的正整数k的值是．【答案】1，24.已知直线y＝kx＋b的图象经过第一、二、四象限，则函数y=kbx的图象在第象限．【答案】二、四5.反比例函数y=1x的图象大致是图中的( )．解析：因为k=1>0，所以双曲线的两支分别位于第一、三象限. 【答案】 C6.下列反比例函数图象一定在第一、三象限的是( )【答案】 C7.已知函数23()2m y m x －－为反比例函数．(1)求m 的值；(2)它的图象在第几象限内？在各象限内，y 随x 的增大如何变化？ (3)当－3≤x ≤－12时，求此函数的最大值和最小值．8.作出反比例函数y=12x的图象，并根据图象解答下列问题： (1)当x ＝4时，求y 的值； (2)当y ＝－2时，求x 的值； (3)当y ＞2时，求x 的范围． 解：列表：由图知：(1)y＝3；(2)x＝－6；(3)0＜x＜69.作出反比例函数y=－4x的图象，结合图象回答：（1)当x＝2时，y的值；(2)当1＜x≤4时，y的取值范围；(3)当1≤y＜4时，x的取值范围．解：列表：由图知：(1)y＝－2；(2)－4＜y≤－1；(3)－4≤x＜－1．【教学说明】为了让学生灵活的用反比例函数的性质解决问题，在研究每一题时，要紧扣性质进行分析，达到理解性质的目的.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业∶教材“习题1.2”中第1、2、4题.教学反思通过本节课的学习使学生理解了反比例函数的意义和性质，并掌握了用描点法画函数图象的方法.同时也为后面的学习奠定基础.从练习上来看，学生掌握的不够好，应多加练习.第2课时反比例函数的图象与性质（2）教学目标【知识与技能】1.会求反比例函数的解析式；2.巩固反比例函数图象和性质，通过对图象的分析，进一步探究反比例函数的增减性.【过程与方法】经历观察、分析、交流的过程，逐步提高运用知识的能力.【情感态度】提高学生的观察、分析能力和对图形的感知水平.【教学重点】会求反比例函数的解析式.【教学难点】反比例函数图象和性质的运用.教学过程一、情景导入，初步认知1.反比例函数有哪些性质？2.我们学会了根据函数解析式画函数图象，那么你能根据一些条件求反比例函数的解析式吗？【教学说明】复习上节课的内容，同时引入新课.二、思考探究，获取新知1.思考：已知反比例函数y=kx的图象经过点P（2,4）（1）求k的值，并写出该函数的表达式；（2）判断点A（-2，-4），B(3,5)是否在这个函数的图象上；（3）这个函数的图象位于哪些象限？在每个象限内，函数值y随自变量x的增大如何变化？分析：(1)题中已知图象经过点P（2，4），即表明把P点坐标代入解析式成立，这样能求出k，解析式也就确定了.(2)要判断A、B是否在这条函数图象上，就是把A、B的坐标代入函数解析式中，如能使解析式成立，则这个点就在函数图象上.否则不在.(3)根据k的正负性，利用反比例函数的性质来判定函数图象所在的象限、y 随x的值的变化情况.【归纳结论】这种求解析式的方法叫做待定系数法求解析式.2.下图是反比例函数y=kx的图象，根据图象，回答下列问题：（1）k的取值范围是k>0还是k<0？说明理由；（2）如果点A(-3,y1),B(-2,y2)是该函数图象上的两点，试比较y1，y2的大小.分析：（1）由图象可知，反比例函数y=kx的图象的两支曲线分别位于第一、三象限内，在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小，因此，k>0.(2)因为点A(-3,y1),B(-2,y2)是该函数图象上的两点且-3<0，-2<0.所以点A、B 都位于第三象限，又因为-3<-2，由反比例函数的图像的性质可知：y1>y2.【教学说明】通过观察图象，使学生掌握利用函数图象比较函数值大小的方法.三、运用新知，深化理解1.若点A(7，y1)，B(5，y2)在双曲线y=－3x上，则y1、y2中较小的是．【答案】y22.已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是反比例函数y=kx(k＞0)的图象上的两点，若x1＜0＜x2，则有( )．A.y1＜0＜y2B.y2＜0＜y1C.y1＜y2＜0D.y2＜y1＜0【答案】 A3.若A(a1，b1)，B(a2，b2)是反比例函数图象上的两个点，且a1＜a2，则b1与b2的大小关系是( )A.b1＜b2B.b1=b2C.b1＞b2D.大小不确定【答案】 D4.函数y=-1x的图象上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若0＜x1＜x2，则( )A.y1＜y2B.y1＞y2C.y1=y2D.y1、y2的大小不确定【答案】 A5.已知点P(2，2)在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上，(1)当x=-3时，求y的值；(2)当1＜x＜3时，求y的取值范围．6.已知y=kx(k≠0，k为常数)过三个点A(2，-8)，B(4，b)，C(a，2)．(1)求反比例函数的表达式； (2)求a 与b 的值． 解：（1）将A （2，-8）代入反比例解析式得：k=-16，则反比例解析式为y=-16x； （2）将B （4，b ）代入反比例解析式得：b=-4；将C （a ，2）代入反比例解析式得：2=-16a，即a=-8. 7.已知反比例函数的图象过点(1,－2)． (1)求这个函数的解析式，并画出图象；(2)若点A(－5,m)在图象上，则点A 关于两坐标轴和原点的对称点是否还在图象上？分析：(1)反比例函数的图象过点(1,－2)，即当x ＝1时，y ＝－2．由待定系数法可求出反比例函数解析式；再根据解析式，通过列表、描点、连线可画出反比例函数的图象；(2)由点A 在反比例函数的图象上，易求出m 的值，再验证点A 关于两坐标轴和原点的对称点是否在图象上．解：(1)设：反比例函数的解析式为：y=kx (k ≠0)．而反比例函数的图象过点(1,－2)，即当x ＝1时，y ＝－2．所以－2=1k，k ＝－2．即反比例函数的解析式为：y=－2x．(2)点A(－5,m)在反比例函数y=－2x图象上，所以m=25--=25，点A的坐标为(－5, 25)．点A关于x轴的对称点(－5,－25)不在这个图象上；点A关于y轴的对称点(5, 25)不在这个图象上；点A关于原点的对称点(5,－25)在这个图象上；【教学说明】通过练习，巩固本节课数学内容.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业:教材“习题1.2”中第7题.教学反思教学中，我深深地体会到：要想让学生真正掌握求函数解析式的方法，教师应在给出相应的典型例题的条件下，让学生自己去寻找答案，自己去发现规律.最后，教师清楚地向学生总结每一种函数解析式的适用范围，以及一般应告知的条件.在信息社会飞速发展的今天，教师要从以前的教师教、学生学的观念中解放出来，教会学生如何学，让学生自己去探究，自己去学习，去获取知识.在《中学数学课程标准》中明确规定：教师不仅是学生的引导者，也是学生的合作者.教学中，要让学生通过自主讨论、交流，来探究学习中碰到的问题、难题，教师从中点拨、引导，并和学生一起学习，探讨，才能真正做到教学相长，也才能真正让每一个学生都学有所获.第3课时反比例函数的图象与性质（3）教学目标【知识与技能】1.综合运用一次函数和反比例函数的知识解决有关问题；2.借助一次函数和反比例函数的图象解决某些简单的实际问题． 【过程与方法】经历观察、分析、交流的过程，逐步提高运用知识的能力. 【情感态度】能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题，培养学生看图（象）、识图（象）能力、体会用“数、形”结合思想解答函数题.【教学重点】理解并掌握一次函数，反比例函数的图象和性质，并能利用它们解决一些综合问题.【教学难点】学会从图象上分析、解决问题，理解反比例函数的性质.教学过程一、情景导入，初步认知 1.正比例函数有哪些性质？ 2.一次函数有哪些性质？ 3.反比例函数有哪些性质？【教学说明】对所学的三种函数的性质教学复习，让学生对它们的性质有系统的了解.二、思考探究，获取新知1.已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于P （-3,4），试求出它们的表达式，并在同一坐标系内画出这两个函数的图象.解：设正比例函数，反比例函数的表达式分别为y=k 1x,y=2k x,其中，k 1,k 2是常数，且均不为0. 由于这两个函数的图象交于P （-3,4），则P （-3,4）是这两个函数图象上的点，即点P 的坐标分别满足这两个表达式.因此，4=k 1×(-3),4=23k －解得，k 1=43- k 2=-12所以，正比例函数解析式为y=43-x,反比例函数解析式为y=-12x .函数图象如下图.【教学说明】通过图象，让学生掌握一次函数与反比例函数的综合应用.2.在反比例函数y=6x的图象上取两点Ｐ（1，6），Ｑ（6，1），过点Ｐ分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1= ；过点Ｑ分别作x轴、y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S2= ；S1与S2有什么关系？为什么？【归纳结论】反比例函数y=kx（k≠0）中比例系数k的几何意义：过双曲线y=kx（k≠0）上任意一点引x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为k的绝对值.【教学说明】引导学生根据一定的分类标准研究反比例函数的性质，同时鼓励学生用自己的语言进行表述，从而提高学生的表达能力与数学语言的组织能力．三、运用新知，深化理解1.已知如图，A是反比例函数y=kx的图象上的一点，AB丄x轴于点B，且△ABO的面积是3，则k的值是( )A.3B.-3C.6D.-6分析：过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 是个定值，即S ＝12|k|． 解：根据题意可知：S △AOB ＝12|k|＝3，又反比例函数的图象位于第一象限，k ＞0，则k ＝6．【答案】 C2.反比例函数y=6x 与y=2x在第一象限的图象如图所示，作一条平行于x 轴的直线分别交双曲线于A 、B 两点，连接OA 、OB ，则△AOB 的面积为( )A.12B.2C.3D.1分析：分别过A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为D 、E ，过B 作BC ⊥y 轴，点C 为垂足，再根据反比例函数系数k 的几何意义分别求出四边形OEAC 、△AOE 、△BOC 的面积，进而可得出结论．解：分别过A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为D 、E ，过B 作BC ⊥y 轴，点C 为垂足，∵由反比例函数系数k 的几何意义可知，S 四边形OEAC =6，S △AOE =3， S △BOC =1，∴S △AOB =S 四边形OEAC -S △AOE -S △BOC =6-3-1=2．【答案】 B3.已知直线y ＝x ＋b 经过点A(3,0)，并与双曲线y=kx的交点为B(－2，m)和C ，求k 、b 的值．解：点A(3,0)在直线y ＝x ＋b 上，所以0＝3＋b ，b ＝－3．一次函数的解析式为：y ＝x －3．又因为点B(－2，m)也在直线y ＝x －3上，所以m ＝－2－3＝－5，即B(－2,－5)．而点B(－2,－5)又在反比例函数y=kx上，所以k ＝－2×(－5)＝10．4.已知反比例函数y=1k x的图象与一次函数y ＝k 2x －1的图象交于A(2,1)． (1)分别求出这两个函数的解析式；(2)试判断A 点关于坐标原点的对称点与两个函数图象的关系．分析: (1)因为点A 在反比例函数和一次函数的图象上，把A 点的坐标代入这两个解析式即可求出k 1、k 2的值．(2)把点A 关于坐标原点的对称点A ′坐标代入一次函数和反比例函数解析式中，可知A ′是否在这两个函数图象上．解：(1)因为点A(2,1)在反比例函数和一次函数的图象上，所以k1＝2×1＝2．1＝2k 2－1，k 2＝1．所以反比例函数的解析式为：y=2x；一次函数解析式为：y＝x －1．(2)点A(2,1)关于坐标原点的对称点是A ′(－2,－1)．把A ′点的横坐标代入反比例函数解析式得，y=22=－1，所以点A 在反比例函数图象上．把A ′点的横坐标代入一次函数解析式得，y ＝－2－1＝－3，所以点A ′不在一次函数图象上．5.已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点A(0,1)和点B(a,－3a),a＜0，且点B在反比例函数的y=－3x的图象上．(1)求a的值．(2)求一次函数的解析式，并画出它的图象．(3)利用画出的图象，求当这个一次函数y的值在－1≤y≤3范围内时，相应的x的取值范围．(4)如果P(m,y1)、Q(m＋1,y2)是这个一次函数图象上的两点，试比较y1与y2的大小．分析：(1)由于点A、点B在一次函数图象上，点B在反比例函数图象上，把这些点的坐标代入相应的函数解析式中，可求出k、b和a的值．(2)由(1)求出的k、b、a的值，求出函数的解析式，通过列表、描点、连线画出函数图象．(3)和(4)都是利用函数的图象进行解题．一次函数和反比例函数的图象为：(3)从图象上可知，当一次函数y的值在－1≤y≤3范围内时，相应的x的值为：－1≤x≤1．(4)从图象可知，y随x的增大而减小，又m＋1＞m，所以y1＞y2.或解：当x1＝m时，y1＝－2m＋1；当x2＝m＋1时，y2＝－2×(m＋1)＋1＝－2m－1所以y1－y2＝(－2m＋1)－(－2m－1)＝2＞0，即y1＞y2.6.如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y=mx的图象交于A、B两点．(1)利用图象中的条件，求反比例函数和一次函数的解析式；(2)根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数值的x的取值范围．分析:(1)把A、B两点坐标代入两解析式，即可求得一次函数和反比例函数解析式．(2)因为图象上每一点的纵坐标与函数值是相对应的，一次函数值大于反比例函数值，反映在图象上，自变量取相同的值时，一次函数图象上点的纵坐标大于反比例函数图象上点的纵坐标．【教学说明】检测题采取多种形式呈现，增加了灵活性，以基础题为主，也有少量综合问题，可使不同层次水平的学生均有机会获得成功的体验．四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业：教材“习题1.2”中第6题.通过本节课的学习，发现了一些问题，因此必须强调：教学反思1．综合运用一次函数和反比例函数求解两种函数解析式，往往用待定系数法．2．观察图象，把图象中提供、展现的信息转化为与两函数有关的知识来解题．1.3反比例函数的应用教学目标【知识与技能】经历通过实验获得数据，然后根据数据建立反比例函数模型的一般过程，体会建模思想.【过程与方法】观察、比较、合作、交流、探索.【情感态度】体验数形结合的思想.【教学重点】建立反比例函数的模型，进而解决实际问题.【教学难点】经历探索的过程，培养学生学习数学的主动性和解决问题的能力.教学过程一、情景导入，初步认知复习回顾1.什么是反比例函数？2.反比例函数的图象是什么？3.反比例函数图象有哪些性质?4.反比例函数的图象对称性如何？【教学说明】通过提出问题,引发学生思考,培养学生解决问题的能力.二、思考探究，获取新知1.某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地，为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺垫了若干块木板，构筑成一条临时通道，从而顺利完成了任务.你能解释他们这样做的道理吗？(1)根据压力F(N)、压强p(Pa)与受力面积S(m2)之间的关系式p=FS，请你判断：当F一定时，p是S的反比例函数吗？(2)如人对地面的压力F=450N，完成下表：（3）当F=450N时，试画出该函数的图象，并结合图象分析当受力面积S 增大时，地面所受压强p是如何变化的，据此，请说出它们铺垫木板通过湿地的道理.解：（1）对于p=FS，当F一定时，根据反比例函数的定义可知，p是S的反比例函数.（2）因为F=450N，所以当S=0.005m2时，由p=FS得：p=450/0.005=90000（Pa)类似的，当S=0.01m2时，p=45000Pa；当S=0.02m2时，p=22500Pa；当S=0.04m2时，p=11250Pa(3)当F=450N时，该反比例函数的表达式为p=450/S,它的图象如下图所示，由图象的性质可知，当受力面积S增大时，地面所受压强p会越来越小，因此，该科技小组通过铺垫木板的方法来增大受力面积.以减小地面所受压强，从而可以顺利地通过湿地.2.你能根据玻意耳定律（在温度不变的情况下，气体的压强p与它的体积V 的乘积是一个常数K(K>0),即pV=K)来解释：为什么使劲踩气球时，气体会爆炸？【教学说明】逐步提高学生从函数图象中获取信息的能力，提高感知水平；此外，在解决实际问题时，要引导学生体会知识之间的联系及知识的综合运用.三、运用新知，深化理解1.教材P15例题.2.一个水池装水12m3，如果从水管中每小时流出xm3的水，经过yh可以把水放完，那么y与x的函数关系式是，自变量x的取值范围是．【答案】y=12x；x＞03.若梯形的下底长为x，上底长为下底长的13，高为y，面积为60，则y与x的函数关系是(不考虑x的取值范围)．【答案】y=90 x4.某一数学课外兴趣小组的同学每人制作一个面积为200cm2的矩形学具进行展示．设矩形的宽为xcm，长为ycm，那么这些同学所制作的矩形的长y(cm)与宽x(cm)之间的函数关系的图象大致是( )【答案】A5.下列各问题中两个变量之间的关系，不是反比例函数的是( )A.小明完成百米赛跑时，所用时间t(s)与他的平均速度v(m/s)之间的关系B.长方形的面积为24，它的长y与宽x之间的关系C.压力为600N时，压强p(Pa)与受力面积S(m2)之间的关系D.一个容积为25L的容器中，所盛水的质量m(kg)与所盛水的体积V(L)之间的关系【答案】D6.在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强，如下表：则可以反映y与x之间的关系的式子是( )．A.y＝3000xB.y＝6000xC.y=3000xD.y=6000x【答案】D7.一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案，如图所示，设小矩形的长和宽分别为x、y，剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，则y 与x的函数图象是( )【答案】A8.一个长方体的体积是100cm3，它的长是y(cm)，宽是5cm，高是x(cm)．(1)写出长y(cm)关于高x(cm)的函数关系式，以及自变量x的取值范围；(2)画出(1)中函数的图象；(3)当高是3cm时，求长．解：(1)y=20x(x>0)；(2)图象略；。