2020年北京市初三一模分类汇编(全)之圆汇编

2024北京初三一模数学汇编圆章节综合一、单选题1．（2024北京东城初三一模）如图，是的弦，是的直径，于点E ．在下列结论中，不一定成立的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．（2024北京东城初三一模）如图，作线段，在线段的延长线上作点，使得，取线段的中点，以为圆心，线段的长为半径作，分别过点作直径的垂线，交于点，连接，过点作于点．设，给出下面4个结论：①；；；④；上述结论中，正确结论的个数是（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题3．（2024北京门头沟初三一模）如图所示，为了验证某个机械零件的截面是个半圆，某同学用三角板放在了如下位置，通过实际操作可以得出结论，该机械零件的截面是半圆，其中蕴含的数学道理是 ．4．（2024北京大兴初三一模）如图，是的直径，点，在上，若，则的度数为 ．AB O CD O CD AB ⊥AE BE =90CBD ∠=︒2COB D ∠=∠COB C∠=∠AC a =AC B ()CB b a b =<AB O O OA O C O 、AB O D F 、OD AF CF 、、C CE OD ⊥E CF c =2a b c +<c <)a b <+2ab ac bc <+AB O C D O AC BC =D ∠︒5．（2024北京通州初三一模）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提出了著名的“割圆术”．所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积，并以此求取圆周率的方法，刘徽指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．例如，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积估计的面积，的面积近似为的面积，可得的估计值为 ．6．（2024北京平谷初三一模）如图，内接于，为的直径， D 为上一点，连接．若，则的度数为 ．7．（2024北京西城初三一模）如图， 在的内接四边形中， 点A 是的中点，连接， 若，则 ．8．（2024北京石景山初三一模）如图，是的直径，是延长线上一点， 与相切于点．若，则 ．πO O 1612S =⨯⨯正六边形O πO πABC O BC O O AD CD 、20D ∠=︒ACB ∠O ABCD BDAC 130DAB ∠=︒ACB =∠︒AB O P AB PC O C 40P ∠=︒A ∠=︒9．（2024北京顺义初三一模）如图，是的外接圆，，，平分，交于点D ，则的度数为 ．10．（2024北京朝阳初三一模）如图，是的外接圆，于点，交于点，若，，则的长为 ．11．（2024北京燕山初三一模）如图，是的直径，点在上，过点作的切线与直线交于点．若，则 °．三、解答题12．（2024北京朝阳初三一模）如图，在矩形中，，，点A 在直线l 上，与直线l 相交所得的锐角为．点F 在直线l 上，，⊥直线l ，垂足为点F 且，以为直径，在的左侧作半圆O ，点M 是半圆O 上任一点．发现：的最小值为 ，的最大值为 ，与直线l 的位置关系是 ．思考：矩形保持不动，半圆O 沿直线l 向左平移，当点E 落在边上时，重叠部分面积为多少？O ABC AB AC =36BAC ∠=︒BD ABC ∠O DAB ∠O Rt ABC △OE AB ⊥D O E 8AB =2DE =BC AB O C O B O AC D 50D ∠=︒BOC ∠=ABCD 6AB =8BC =AD 60︒8AF =EF 6EF =EF EF AM AM OB ABCD AD13．（2024北京通州初三一模）如图，为的直径，过点A 作的切线，C 是半圆上一点（不与点A 、B 重合），连结，过点C 作于点E ，连接并延长交于点F ．(1)求证：；(2)若的半径为5，，求的长．14．（2024北京东城初三一模）在平面直角坐标系中，的半径为1．对于线段给出如下定义：若线段与有两个交点，，且，则称线段是的“倍弦线”．(1)如图，点的横、纵坐标都是整数，在线段，，中，的“倍弦线”是_____；(2)的“倍弦线”与直线交于点，求点纵坐标的取值范围；(3)若的“倍弦线”过点，直线与线段有公共点，直接写出的取值范围．AB O O AM AB AC CD AB ⊥BD AM ∠=∠CAB AFB O 8AC =DF xOy O PQ PQ O M N ==PM MN NQ PQ O A B C D ，，，AB CB CD O O PQ 2x =E E E y O PQ (1,0)y x b =+PQ b15．（2024北京西城初三一模）在平面直角坐标系 中，已知的半径为．对于上的点 和平面内的直线 给出如下定义：点关于直线的对称点记为，若射线 上的点满足 则称点为点关于直线的“衍生点”．(1)当时，已知上两点 在点， 中，点关于直线的“衍生点”是 ，点关于直线的“衍生点”是 ；(2)为 上任意一点， 直线 与轴， 轴的交点分别为点 ，． 若线段上存在点，，使得点是点关于直线的“衍生点”，点不是点关于直线的“衍生点”，直接写出的取值范围；(3)当时，若过原点的直线上存在线段 ，对于线段 上任意一点，都存在上的点和直线，使得点是点关于直线的“衍生点”． 将线段长度的最大值记为，对于所有的直线，直接写出的最小值．16．（2024北京房山初三一模）在平面直角坐标系中，将中心为的等边三角形记作等边三角形，对于等边三角形和点（不与重合）给出如下定义：若等边三角形的边上存在点N ，使得直线与以为半径的⊙相切于点，则称点为等边三角形的“相关切点”．xOy O 1O P :l y ax =P l P 'OP Q OQ PP ='，Q P l 0a =O121.2P P ⎛⎛ ⎝⎝，()112Q，232Q ⎫⎪⎪⎭，()(341,1Q Q --，1P l 2P l P O y x m =+()0m ≠x y A B AB S T S P l T P l m 11a -≤≤s MN MN R O P l R P l MN ()D s s ()D s xOy M M M P O M OP MN M P P M(1)如图，等边三角形的顶点分别为点，，．①在点，，中，等边三角形的“相关切点”是 ；②若直线上存在等边三角形的“相关切点”，求的取值范围；(2)已知点，等边三角形的边长为的两个“相关切点”，，使得△为等边三角形，直接写出的取值范围．17．（2024北京顺义初三一模）在平面直角坐标系中，对于图形M 和图形N 给出如下定义：如果图形M 上存在点P 、轴上存在点T ，使得点P 以点T 为旋转中心，逆时针旋转得到的点Q 在图形N 上，那么称图形N 是形M 的“关联图形”．(1)如图，点，，，．①在点B ，C ，D 中，点A 的“关联图形”是_____；②若不是点A 的“关联图形”，求的半径的取值范围；(2)已知点，，，的半径为1，以线段为对角线的正方形为，若是正方形的“关联图形”，直接写出的最小值和最大值．18．（2024北京门头沟初三一模）在平面直角坐标系中，的半径为2，点P 、Q 是平面内的点，如果点P 关于点Q 的中心对称点在上，我们称圆上的点为点P 关于点Q 的“等距点”．M ()0,0O (A (3,B 132P ⎛ ⎝23,2P ⎛ ⎝()32,2P M y x b =+M b (2)M m m -，M M E F OEF m xOy y 90︒()3,2A -()0,1B -()3,2C ()1,6D -O O r (),0O m '()3,0E m -()2,1G m -O ' EG EFGH O ' EFGH m xOy O O(1)已知如图1点．①如图1，在点 中，上存在点P 关于点Q 的“等距点”的是________；②如图2，点 ，上存在点P 关于点Q 的“等距点”，则m 的取值范围是________；(2)如图3，已知点，点P 在的图象上，若上存在点P 关于点Q 的“等距点”，求b 的取值范围．40（，）P ()()()12330,2,1,1,1Q Q Q -，O (),Q m n O ()1,1Q y x b =-+O参考答案1．D【分析】此题考查了圆周角定理、垂径定理，熟练掌握圆周角定理、垂径定理是解题的关键．根据垂径定理、圆周角定理判断求解即可．【详解】解：是的直径，，，，，，故A 、B 、C 不符合题意，D 符合题意；故选：D ．2．C【分析】本题考查了圆的基本性质以及勾股定理内容以及完全平方公式的应用，先找出半径，结合斜边大于直角边，得知①是正确的，结合勾股定理以及完全平方公式的变形运算，得证③是错误的；同理得证②是正确的．对④运用反证法，得出，与①的结论相矛盾，即可作答．【详解】解：∵∴∵∴（斜边）大于即故①是正确的；∴在中，即∴∵故③是错误的；∵∴∴CD OCD AB ⊥AE BE ∴=90CBD ∠=︒2COB D ∠=∠CBO C ∠=∠2a b c +<2a b c +>2a b c +<()A b C a CB b a ==>，()1122OF AB a b ==+OF AB⊥CF OF2a bc +>()111222OC AO AC a b a b a =-=+-=-Rt COF △222OC OF FC +=22211222a b b a c +⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222a b c +==2a b c +<)a b =+b a>()2b a ->222b a ab +>，故②是正确的；假设是正确的则∴∵，且∴∴即与①的结论相矛盾故④是错误的综上：正确结论的个数是个故选：C3．的圆周角所对的弦是直径【分析】本题考查圆周角定理，掌握“的圆周角所对的弦是直径”是正确解答的关键．根据圆周角定理进行判断即可．【详解】解：根据“的圆周角所对的弦是直径”即可得出答案，故答案为：的圆周角所对的弦是直径．4．45【分析】本题主要考查了圆周角定理，先由直径所对的圆周角为，可得，然后由得：，然后根据同弧所对的圆周角相等，即可求出的度数．【详解】解：∵是的直径，∴，∵，∴，∴．故答案为：455．3【分析】过作于，求得的度数，根据直角三角形的性质得到，求出三角形的面积，于是得到正十二边形的面积，根据圆的面积公式即可得到结论．本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．【详解】如图，是正十二边形的一条边，点是正十二边形的中心，设的半径为1，过作于，>=>c 2ab ac bc <+0ac ab bc ab<-+-()()0a c b b c a <-+-00c b c a -<->，a b<0c b c a ->->b c c a->-2a b c +>2a b c +<290︒90︒90︒90︒90︒90ACB ∠=︒AC BC =45CAB CBA ∠=∠=︒D ∠AB O 90ACB ∠=︒AC BC =45CAB CBA ∠=∠=︒45D CAB ∠=∠=︒A AM OB ⊥M AOB ∠AM AB O O A AM OB ⊥M在正十二边形中，，∴正十二边形的面积为,，,的近似值为3，故答案为：3．6．/70度【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，三角形内角和定理等知识．熟练掌握直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等是解题的关键．由为的直径，可得，由，可得，根据，计算求解即可．【详解】解：∵为的直径，∴，∵，∴，∴，故答案为：．7．25【分析】本题考查了圆的内接四边形性质，圆周角定理等知识，利用圆的内接四边形的性质求出的性质，然后利用圆周角定理求解即可．【详解】解：∵的内接四边形中，，∴，∵点A 是的中点，3601230AOB ∠=︒÷=︒1122AM OA ∴==111112224AOB S OB AM ∴=⋅=⨯⨯= 11234⨯=231π∴=⨯3π∴=π∴70︒BC O 90BAC ∠=︒ AC AC =20ABC D ∠=∠=︒180ACB BAC ABC ∠=︒-∠-∠BC O 90BAC ∠=︒ AC AC =20ABC D ∠=∠=︒18070ACB BAC ABC ∠=︒-∠-∠=︒70︒BCD ∠O ABCD 130DAB ∠=︒18500DA BCD B ∠︒∠==︒- BD∴，∴，故答案为：25．8．【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，切线的性质，如图，连接，求解，再根据圆周角定理即可得答案．【详解】解：如图，连接，∵ 与相切于点．，∴，，∴，故答案为：9．/72度【分析】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理及三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质及圆周角定理是解题的关键．根据等边对等角和三角形内角和定理可求得，再由角平分线及圆周角定理确定，即可求解．【详解】解：∵，，∴，∵平分，∴，∴，∴，故答案为：．10．【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理和中位线定理，由垂径定理得，，则可得是的中位线，设半径为，由勾股定理得，求出即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】解：∵，AD AB =1252ACD ACB BCD ∠=∠=∠=︒25OC 904050COP ∠=︒-︒=︒OC PC O C 40P ∠=︒90OCP ∠=︒904050COP ∠=︒-︒=︒1252A COP ∠=∠=︒2572︒72ABC C ∠=∠=︒36CBD CAD ∠=∠=︒AB AC =36BAC ∠=︒180180367222BAC ABC C ︒-∠︒-︒∠=∠===︒BD ABC ∠36CBD ∠=︒36CBD CAD ∠=∠=︒72DAB DAC CAB ∠=∠+∠=︒72︒6142AD BD AB ===90ADO BDO ∠=∠=︒OD ABC r 222OA OD AD =+=5r OE AB ⊥∴，，∵，∴是的中位线，∴，即，设半径为，则，在中，由勾股定理得：，∴，解得，∴，∴．11．【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．先根据圆的切线垂直于经过切点的半径得到，根据直角三角形两个锐角互余计算出，然后根据圆周角定理即可求解．【详解】解：∵是的直径，为的切线，∴，∴，∵，∴，∴．故答案为：．12；；平行（或）；思考：【分析】发现：如图1，连接，作于，由题意知，，，当三点共线时，最小，为；当重合时，最大，由勾股定理求解即可；由题意知，则，进而求解作答即可； 思考：如图2，连接，作于，则，，由，可得，，根据，计算求解即可．【详解】发现：解：如图1，连接，作于，142AD BD AB ===90ADO BDO ∠=∠=︒OA OC =OD ABC 12OD BC =2BC OD =r 2OD OE DE r =-=-Rt AOD 222OA OD AD =+()22224r r =-+=5r 23OD r =-=26BC OD ==8090ABD Ð=°40A ∠=︒AB O BD O AB BD ⊥90ABD Ð=°50D ∠=︒40A ∠=︒280BOC A ∠=∠=︒80310 3πAO AE 、BP AF ⊥P 3OM =60DAF ∠=︒A M O 、、AM AO OM -M E 、AM 30BAP ∠=︒132BP AB OF ===OG OH AD ⊥H 30AEF ∠=︒1322OH OE ==OE OG =120EOG ∠=︒2GE EH =EOG EOG S S S =- 重叠扇形AO AE 、BP AF ⊥P由题意知，，，当三点共线时，最小，由勾股定理得，∴；当重合时，最大，由勾股定理得，，∴的最大值为；∵矩形，∴，∴，∴，又∵，∴，故答案为：平行（或）；；；平行（或）；思考：解：如图2，连接，作于，∵，∴，∴，∵，∴，∴3OM =60DAF ∠=︒A M O 、、AM AO ==AM 3-M E 、AM 10AE ==AM 10ABCD 90BAD ∠=︒30BAP ∠=︒132BP AB OF ===BP OF ∥OB l ∥ 310 OG OH AD ⊥H 60DAF EF AF ∠=︒⊥，30AEF ∠=︒1322OH OE ==OE OG =120EOG ∠=︒2GE EH ===EOG EOG S S S =- 重叠扇形212031336022π⋅=-⨯3π=∴重叠部分面积为【点睛】本题考查了勾股定理，含的直角三角形，平行线的判定，等腰三角形的判定与性质，扇形面积等知识．熟练掌握勾股定理，含的直角三角形，平行线的判定，等腰三角形的判定与性质，扇形面积是解题的关键．13．(1)证明见解析(2)【分析】本题考查切线的判定和性质，垂径定理，圆周角定理以及勾股定理，掌握切线的性质和判断方法，垂径定理，圆周角定理以及勾股定理是正确解答的关键．（1）根据切线的性质，平行线的判定和性质以及圆周角定理即可得出结论；（2）根据相似三角形的判定和性质以及垂径定理进行计算即可．【详解】（1）证明：是的切线，，于点，，，，，．（2）解：连结，于点，是的直径，，是的垂直平分线，，的半径为5，，，是的直径，，3π30︒30︒323DF =AM O 90BAM ∴∠=o CD AB ⊥ E 90CEA ∴∠= CD AF ∴∥∴∠=∠CDB AFB CDB CAB ∠=∠ ∴∠=∠CAB AFB AD CD AB ⊥ E AB O CE DE ∴=AB ∴CD 8AC AD ∴==O 10AB ∴=6BD =∴AB O 90BDA =∴∠，，，，．14．(1)、；(2)；(3)．【分析】本题是新定义阅读题，考查了理解能力，与圆的位置关系，勾股定理等知识，解决问题的关键是几何直观能力，数形结合．（1）根据定义验证可得结果；（2）根据最大值为6，所以以为圆心，3为半径画圆，根据勾股定理求得，进而求得结果；（3）以为圆心，1为半径作圆，直线与圆相切，此时，以为圆心，2为半径作圆，直线与圆相切，求得，进而求得结果．【详解】（1）解：如图1，，，，是的“倍弦线”，与不相交，，和不是的“倍弦线”，故答案为：、；（2）如图2，BAD AFB ∴∠=∠tan tan ∴∠=∠BAD AFB ∴=AD BD DF AD2AD DF BD ∴=⋅323∴=DF AB CD ≤≤E y 21b -≤≤+PQ O EF (2,0)y x b =+2b =-(1,0)-y x b =+I b 2AF FH BH === CG GF DF ===AB ∴CD O BC O 23AI AE DI BH ==BC ∴AD O AB CD以为圆心，3 为半径画圆交直线于和，，；（3）如图3，以为圆心，2为半径画圆，直线与相切，此时，以为圆心，1为半径作，直线与线切，此时15．(1)(2)(3)【分析】（1）先得出直线为，根据轴对称得出进而可得，勾股定理求得点与原点的距离，进而根据新定义即可求解；（2）依题意，当线段上存在一个点到原点的距离为时，则符合题意，进而分画出图形，即可求解；（3）根据题意，画出图形，就点的位置，分类讨论，根据新定义即可求解．【详解】（1）解：∵当时，直线为，即轴，∵∴∴∵， O 2x =E E'EFE y (1,0)O '-O '1y x b =+ 11b =(2,0)O ''O '' 2y x b =+O '' 22b =-21b ∴-≤≤+23Q Q ，2m ≤≤2m -≤≤-2l 0y =121,.2P P ''⎛⎛ ⎝⎝，11PP '=22P P '=1234,,,Q Q Q Q 02PP '≤≤AB 20,0m m ><P 0a =l 0y =x 121.2P P ⎛⎛ ⎝⎝，121,.2P P ''⎛⎛ ⎝⎝，11PP '=22P P '=()112Q ，232Q ⎫⎪⎪⎭，()(341,1Q Q --，∴，，∴点关于直线的“衍生点”是，点关于直线的“衍生点”是，故答案为：．（2）解：依题意，，由（2）可得当点是点关于直线的“衍生点”则，∵为 上任意一点， 直线 与轴， 轴的交点分别为点 ，．∴，∴当线段上存在一个点到原点的距离为时，当时，如图所示，当时，即与点重合时，存在点是点关于直线的“衍生点”，则则（除端点外）上所有的点到的距离都，∵对称轴为直线，不能为轴，则和不是点关于直线的“衍生点”，则符合题意，∵线段上存在点，，使得点是点关于直线的“衍生点”，点不是点关于直线的“衍生点”，∴，当，此时最短，则当时，，此时只有1个点到的距离为，其他的点都不是点关于直线的“衍生点”，∴根据对称性，当时，可得；综上所述，（3）∵时∴随着的变化，点关于直线的对称点始终在圆上，如图所示，依题意，直线是经过圆心，且经过的直线，经过圆心，1OQ =2OQ ==3OQ ==42OQ ==1P l 2Q 2P l 3Q 23Q Q ，02PP '≤≤S P l 2OS ≤P O y x m =+()0m ≠x y A B OA OB m ==AB 20m >2OS =S B S P l 2m =AB O 2<y ax =y ()0,2()2,0-P l 2m =AB S T S P l T P l m 2≥OS y x m '⊥=+OS '2OS '=m =O 2P l 2m ≤≤0m <2m -≤≤-2m ≤≤2m -≤≤-11a -≤≤a P l P 'l AB s①当点在（包括边界）上时，当重合时，当为直径时，则，根据新定义可得，∴，②当点在的内部的圆弧上时（不包括边界），当为直径时，则，则对于线段 上任意一点，都存在上的点和直线，使得点是点关于直线的“衍生点”．当在轴上时，两条边界线的正中间，则P AB ,P P 'PP '2OQ PP '==02PP '≤≤()2D s =P AD PP '2OQ PP '==MN R O P l R P l P y PP '即综上所述，【点睛】本题考查了一次函数，圆的定义，轴对称的性质，勾股定理求线段长，理解新定义，熟练掌握几何变换是解题的关键．16．(1)①，；②；(2)或．【分析】（）根据新定义即可求解；找到关键点先求出此时的值，然后即可求解；（）由可知，点在直线上，再根据新定义分四种情况画出图即可；本题考查了圆的切线，勾股定理和等边三角形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】（1）如图，根据题意，直线与以为半径的相切，由图可知，等边三角形的“相关切点”是，故答案为：；根据题意，满足题意的点是以，半径为的弧上，如图，2PP OQ '≤=≤()2D s =()2D s =1P 2P 312b -≤21m ≤≤10m ≤1①②b 2().2M m m -2y x =-①OP MN M M 12P P 、12P P 、②P ()1,01若直线上存在等边三角形的“相关切点”，如图，由，是等腰直角三角形，，∴，∴，即，∵，∴，∴此时，∴的取值范围为；（2）如图，此时中，，，y x b =+M HIK OSK 1HI=KI =1OK OS ==b =3,2P ⎛ ⎝PL =32KL =OG =b =b b 312b -≤≤OEM △30EOM ∠=︒90OEM ∠=︒(),2M m m -此时，，解得：，如图，此时中，，，此时，，解得：（正值舍去），如图，4OM =()22224m m +-=1m =+OEM △30EOM∠=︒90OEM ∠=︒(),2M m m -4OM =()22224m m +-=1m =此时，，解得：或（舍去），如图，此时，，解得：（舍去）或，综上可知：．17．(1)①②；(2)．【分析】（1）①根据“关联图形”的定义判断即可；②根据关联图形的定义，判断出点旋转后的轨迹， 从而得到的半径范围（2）根据关联图形的定义，求出点旋转后的轨迹，当与该轨迹有唯一交点时，取最小值；根据关联图形的定义，求出点旋转后的轨迹，当与该轨迹有唯一交点时，取最大值；2OM =()22222m m +-=2m =0m =2OM =()22222m m +-=2m =0m =21m ≤≤10m ≤B0r <<m m A O G O ' m E O ' m【详解】（1）①点绕逆时针旋转得到点，故答案为：；②设点，那么点绕点逆时针旋转得到点,作轴交轴于点，作轴交轴于点，如图所示由旋转可知，，，，坐标为在上运动设与轴的交点为，与轴交点为当，，当时，，，以点为圆心，作圆，当与有为唯一交点时，半径为斜边上的高当不是点的关联图形时，故答案为：．（2）设点绕点逆时针旋转对应点为点，过点作轴交轴于点，连接A (0,2)90B B (0,)T a A T 90 A 'AJ y ⊥y J A K y '⊥y K AT A T '=90ATA ∠='︒90AJT ∠=︒90TAJ ATJ ∴∠+∠=︒90ATJ A TK =︒'+ TAJ A TK'∴∠=ATJ A KT'∴ ≌(3,2)A - 2TJ a KA '∴=-=3AJ TK==3OK TO TK a ∴=-=-∴A '(2,3)a a --A '∴1y x =-1y x =-x M y N0x =1y =-0y =1x =(1,0)M ∴(0,1)N-MN ∴==O O 1y x =-OMNOM ON r MN ⋅∴===∴OA 0r <0r <<(3,0)E m -(0,)T a 90︒E 'E 'E S y '⊥y S，，如图所示由旋转可知，，，，点坐标为所以在上运动，与轴的夹角为设在轴的交点为，那么点坐标为当与有唯一交点时，最大与相切为等腰直角三角形且故；TE TE 'AE =TE T E '=90ETE ∠='︒90ETO E TO '∴∠+∠=︒90ETO TEO ∠+∠=︒0E T TEO'∴∠=∠90EOT E ST '∠=∠=︒ETO TE S'∴ ≌3EO TS m ∴==-TO E S a'==(3)3TS TO SO a m a m∴=-=--=+-E '∴(,3)a a m +-E '3y x m =+-1k = 3y x m ∴=+-x 45︒3y x m =+-x Q Q (3,0)m -3y x m =+-O ' R m 3y x m =+- O ' 90O RQ ∴='∠︒O RQ '∴ 1O R '=(3)23O Q m m m '∴=--=-=m ∴=m设点绕点逆时针旋转对应点为点，过点作轴交轴于点，过点作轴交连接，，如图所示同理可证，，的坐标是在上运动设与轴的交点为，当与该直线有唯一交点时，取最小值．同理可证为等腰直角三角形，且故【点睛】本题考查了线段的旋转，三角形全等的判定与性质，圆与直线的关系判断，圆的切线的性质与计算，一次函数， “关联图形”等知识点，熟练掌握以上知识点并根据画出正确的图形是解题的关键．18．(1)①；②(2)【分析】（1）①求出点P关于的对称点，利用点到圆心的距离与半径比较，即可判断“等距点”；②在上任取一点点P 关于点Q 的“等距点”M ，连接，取的中点即为点Q ，连接，取其中点，连接，根据中位线定理则判断出点Q 的在以为圆心，半径为1的上，即可求解；（2）过点O 作点Q 的对称点，则点为，则上所有的点关于点Q 的对称点都在以为圆心，半径为2的上，那么直线与有公共点即可，找到两个临界状态，即相切位置，分别求b 即可．(2,1)G m -(0,)T a 90 G 'G 'G P y '⊥y P G GQ y ⊥TG TG 'GTQ G TP ' ≌1TQ PG a '∴==-2GQ TP m==-(2)2PO TO TP a m a m ∴=-=--=+-G '∴(1,2)a a m -+-G '∴1y x m =+-1y x m =+-x (1,0)L m -O ' K m O KL ' O L K ''==112O L m m m '∴=--=-=m ∴=m 12,Q Q 13m ≤≤44b -≤≤+()()()12330,2,1,1,1Q Q Q -，O MP MP OP O 'QO '()2,0O 'O ' O 'O '()2,2O O '()2,2O ' y x b =-+O '【详解】（1）解：①如图，点P 关于的对称点分别为，则，，∴在上，∴点P 关于点Q 的“等距点”的是故答案为：；②在上任取一点点P 关于点Q 的“等距点”M ，连接，取的中点即为点Q ，连接，取其中点，连接，∴，∴点Q 的在以为圆心，半径为1的上，()()()12330,2,1,1,1Q Q Q -，()()()2,0,0,2,2,2--12d R ==22d R ==3d R==>()()2,0,0,2-O 12,Q Q 12,Q Q O MP MP OP O 'QO '112QO OM '==()2,0O 'O '∵与轴交于点，∴，故答案为：．（2）解：过点O 作点Q 的对称点，则点为，∴上所有的点关于点Q 的对称点都在以为圆心，半径为2的上，∵点P 在的图象上，∴当直线与相交即可，当直线与第一次相切时，设切点为点E ，直线与y 轴交点G ，当直线与第二次相切时，设切点为点F ，∵，∴∴，∵点，∴其点Q 与点O 的水平距离与铅锤距离均是1，∴，由相切得：，∴为等腰直角三角形，∴，同理可求当直线与第二次相切时，综上：【点睛】本题考查了新定义，中心对称，圆的定义，中位线定理，点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．O ' x ()()1,0,3,0-13m ≤≤13m ≤≤O 'O '()2,2O O '()2,2O ' y x b =-+y x b =-+O ' y x b =-+O ' y x b =-+O ' ()2,2O 'OO ¢=2OE OO O E ''=-=()1,1Q 45EOG ∠=︒GE OO '⊥ OGE 4OG b ==-=y x b =-+O ' 4b =+44b -≤≤+。

23．如图，直线l与⊙O相离，OA l于点A，与⊙O相交于点P，5OA .C是直线l上一点，连接CP并延长，交⊙O于点B，且AB AC.（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若1tan2ACB∠，求线段BP的长.【2020西城一模】23．如图，四边形OABC中，∠OAB=90°，OA=OC，BA=BC．以O为圆心，以OA为半径作⊙O.（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）连接BO并延长交⊙O于点D，延长AO交⊙O于点E，与BC的延长线交于点F，若AD AC，①补全图形；②求证：OF=OB.24．如图，在Rt ABC，分，点D为BC边的中点，以AD为直径作OBAC中，90别与AB，AC交于点E，F，过点E作EG BC于G．（1）求证：EG是O的切线；（2）若6的半径为5，求BE的长.AF ，O【2020朝阳一模】23．如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5．在同一平面内，△ABC内部一点O到A B，AC，BC的距离都等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G．（1）直接写出a的值；（2）连接BO并延长，交AC于点M，过点M作MN⊥BC于点N．①求证：∠BMA=∠BMN；②求直线MN与图形G的公共点个数．24．在Rt △ABC 中，∠A =90 ，∠B =22.5 ．点P 为线段BC 上一动点，当点P 运动到某一位置时，它到点A ，B 的距离都等于a ，到点P 的距离等于a 的所有点组成的图形为W ，点D 为线段BC 延长线上一点，且点D 到点A 的距离也等于a ．（1）求直线DA 与图形W 的公共点的个数；（2）过点A 作AE ⊥BD 交图形W 于点E ，EP 的延长线交AB 于点F ，当a=2时，求线段EF 的长.【2020石景山一模】23．如图，AB 是⊙O 的直径，直线PQ 与⊙O 相切于点C ，以OB ，BC 为边作□OBCD ，连接AD 并延长交⊙O 于点E ，交直线PQ 于点F .（1）求证：AF CF ；（2）连接OC ，BD 交于点H ，若tan 3OCB ，⊙O 的半径是5，求BD 的长.AB CA22．如图，∠APB，点C在射线PB上，PC为⊙O的直径，在∠APB内部且到∠APB两边距离都相等的所有的点组成图形M，图形M交⊙O于D，过点D作直线DE⊥P A，分别交射线P A，PB于E，F．（1）根据题意补全图形；（2）求证：DE是⊙O的切线；（3）如果PC=2CF，且DF ，求PE的长．【2020房山一模】24．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，线段BC上有一点P．（1）当点P在什么位置时，直线DP与⊙O有且只有一个公共点，补全图形并说明理由.（2）在（1）的条件下，当BP AD=3时，求⊙O半径．23．已知：如图，在△ABC中，B C．以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E.（1）求证：DE与⊙O相切；，求线段FA的长.（2）延长DE交BA的延长线于点F，若8AB ，sin B=5【2020通州一模】22．已知：ABC为等边三角形．（1）求作：ABC．（不写作法，保留作图痕迹）的外接圆O（2）射线AO交BC于点D，交O的切线EF，与AB的延长线交于于点E，过E作O点F．①根据题意，将（1）中图形补全；②求证：EF BC∥；③若2DE ，求EF的长．22．如图，在□ABCD中，∠B=45°，点C恰好在以AB为直径的⊙O上．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）连接BD，若AB=8，求BD的长．【2020延庆零模】22．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，点D是弧BC的中点，连接AC，B D，过点D作AC的垂线EF，交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F.（1）依题意补全图形；（2）判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；（3）若AB=5，BD=3，求线段BF的长.23．如图，AB为⊙O的直径，点C、点D为⊙O上异于A、B的两点，连接CD，过点C 作CE⊥DB，交DB的延长线于点E，连接AC、AD．（1）若∠ABD=2∠BDC，求证：CE是⊙O的切线．（2）若⊙O，1tan2BDC，求AC的长．【2020平谷一模】22．如图，等边△ABC，作它的外接圆⊙O，连接AO并延长交⊙O于点D，交BC于点E，过点D作DF//BC，交AC的延长线于点F.（1）依题意补全图形并证明：DF与⊙O相切；（2）若AB=6，求CF的长.22．如图，AB 为⊙O 的直径，AC 为弦，点D 为 BC中点，过点D 作DE ⊥直线AC ，垂足为E ，交AB 的延长线于点F ．（1）求证：EF 是⊙O 的切线；（2）若EF ＝4，sin F ＝35，求⊙O 的半径．【2020 朝阳零模】17．如图，线段AB 经过⊙O 的圆心O ，交⊙O 于A ，C 两点，BC =1，AD 为⊙O 的弦，连接BD ，∠BAD =∠ABD =30°，连接DO 并延长交⊙O 于点E ，连接BE 交⊙O 于点M ． （1）求证：直线BD 是⊙O 的切线；（2）求线段EM 的长．A。

专题11 新定义一．解答题（共15小题）1．（2020•丰台区一模）如果一个圆上所有的点都在一个角的内部或边上，那么称这个圆为该角的角内圆．特别地，当这个圆与角的至少一边相切时，称这个圆为该角的角内相切圆．在平面直角坐标系xOy 中，点E ，F 分别在x 轴的正半轴和y 轴的正半轴上．（1）分别以点(1,0)A ，(1,1)B ，(3,2)C 为圆心，1为半径作圆，得到A ，B 和C ，其中是EOF ∠的角内圆的是 ；（2）如果以点(,2)D t 为圆心，以1为半径的D 为EOF ∠的角内圆，且与直线y x =有公共点，求t 的取值范围；（3）点M 在第一象限内，如果存在一个半径为1且过点(2P ，的圆为EMO ∠的角内相切圆，直接写出EOM ∠的取值范围．【分析】（1）画出图象，根据角内相切圆的定义判断即可． （2）求出两种特殊位置时t 的值即可判断．（3）如图3中，连接OP ，OM ．首先求出POE ∠，根据图象可知当射线OM 在POF ∠的内部（包括射线OP ，不包括射线)OF 时，存在一个半径为1且过点(2P ，的圆为EMO ∠的角内相切圆．【解答】解：（1）如图1中，观察图象可知，B 和C ，其中是EOF ∠的角内圆．故答案为：B ，C ．（2）解：如图，当1D 与y 轴相切时，设切点为M ，则11MD =，可得11t =．当2D 与y x =相切时，设切点为H ，连接2HD ，设直线y x =与直线2y =交于点K ，则2HKD ∆，MOK ∆都是等腰直角三角形， 21KH HD ==，2KD ∴=2OM MK ==，222MD MK KD ∴=+=可得22t =观察图象可知，满足条件的t 的取值范围是122t +．（3）如图3中，连接OP ，OM ．(2P ，，tan POE ∴∠== 60POE ∴∠=︒，观察图象可知当射线OM 在POF ∠的内部（包括射线OP ，不包括射线)OF 时，存在一个半径为1且过点(2P ，的圆为EMO ∠的角内相切圆，6090EOM ∴︒∠<︒．2．（2020•燕山一模）在平面直角坐标系xOy 中，过T （半径为)r 外一点P 引它的一条切线，切点为Q ，若02PQ r <，则称点P 为T 的伴随点． （1）当O 的半径为1时，①在点(4,0)A ，B ，C 中，O 的伴随点是 ；②点D 在直线3y x =+上，且点D 是O 的伴随点，求点D 的横坐标d 的取值范围；（2）M 的圆心为(,0)M m ，半径为2，直线22y x =-与x 轴，y 轴分别交于点E ，F ．若线段EF 上的所有点都是M 的伴随点，直接写出m 的取值范围．【分析】（1）①画出图形，求出切线长，根据O的伴随点的定义判断即可．②如图2中，设点D的坐标为(,3)d d+，构建方程求出两种特殊位置时点D的坐标即可解决问题．（2）求出几种特殊位置时m的值即可判断．①如图31FT=时，线段EF-中，设ET是M的切线，当4上的所有点都是M的伴随点．②如图32∠=︒．③如图-中，设ET是M的切线，连接MT，则90MTE-中，当M在直线EF的左侧与EF相切时，设切点为T，连接MT．分别求出m的值，结合图形即可33得出结论．【解答】解：（1）①如图1中，A，B，C，(4,0)∴切线AG的长2，切线BN的长2==，切线CM 的长2<，∴点B ，C 是，O 的伴随点，故答案为：B ，C ．②如图2中，设点D 的坐标为(,3)d d +，当过点D 的切线长为22r =时，OD =22(3)5d d ∴++=， 解得12d =-，21d =-．结合图象可知，点D 的横坐标d 的取值范围是21d --．（2）由题意(1,0)E ，(0,2)F -．①如图31-中，设ET 是M 的切线，当4FT =时，线段EF 上的所有点都是M 的伴随点，此时4m =．观察图象可知：当34m <时，线段EF 上的所有点都是M 的伴随点． ②如图32-中，设ET 是M 的切线，连接MT ，则90MTE ∠=︒当4ET =时，EM ===1m =-③如图33-中，当M 在直线EF 的左侧与EF 相切时，设切点为T ，连接MT ．(1,0)E ，(0,2)F -，1OE ∴=，2OF =，EF ∴==EF 是切线， EF MT ∴⊥，90MTE EOF ∴∠=∠=︒， MET FEO ∠=∠， MTE FOE ∴∆∆∽，∴EM MTEF OF=， ∴22=，EM ∴=此时1m =结合图象可知，当11m -<-时，线段EF 上的所有点都是M 的伴随点，综上所述，m 的取值范围是11m -<-34m <．3．（2020•海淀区一模）A ，B 是C 上的两个点，点P 在C 的内部．若APB ∠为直角，则称APB ∠为AB 关于C 的内直角，特别地，当圆心C 在APB ∠边（含顶点）上时，称APB ∠为AB 关于C 的最佳内直角．如图1，AMB ∠是AB 关于C 的内直角，ANB ∠是AB 关于C 的最佳内直角．在平面直角坐标系xOy 中． （1）如图2，O 的半径为5，(0,5)A -，(4,3)B 是O 上两点．①已知1(1,0)P ，2(0,3)P ，3(2,1)P -，在1APB ∠，2AP B ∠，3AP B ∠，中，是AB 关于O 的内直角的是 ； ②若在直线2y x b =+上存在一点P ，使得APB ∠是AB 关于O 的内直角，求b 的取值范围．（2）点E 是以(,0)T t 为圆心，4为半径的圆上一个动点，T 与x 轴交于点D （点D 在点T 的右边）．现有点(1,0)M ，(0,)N n ，对于线段MN 上每一点H ，都存在点T ，使DHE ∠是DE 关于T 的最佳内直角，请直接写出n 的最大值，以及n 取得最大值时t 的取值范围．【分析】（1）判断点1P ，2P ，3P 是否在以AB 为直径的圆弧上即可得出答案；（2）求得直线AB 的解析式，当直线2y x b =+与弧AB 相切时为临界情况，证明OAH BAD ∆∆∽，可求出此时5b =，则答案可求出；（3）可知线段MN 上任意一点（不包含点)M 都必须在以TD 为直径的圆上，该圆的半径为2，则当点N 在该圆的最高点时，n 有最大值2，再分点H 不与点M 重合，点M 与点H 重合两种情况求出临界位置时的t 值即可得解．【解答】解：（1）如图1，1(1,0)P ，(0,5)A -，(4,3)B ，AB ∴=1P A ==1P B =， 1P ∴不在以AB 为直径的圆弧上，故1APB ∠不是AB 关于O 的内直角， 2(0,3)P ，(0,5)A -，(4,3)B ，28P A ∴=，AB =24P B =，22222P A P B AB ∴+=， 290AP B ∴∠=︒，2AP B ∴∠是AB 关于O 的内直角，同理可得，22233P B P A AB +=， 3AP B ∴∠是AB 关于O 的内直角， 故答案为：2AP B ∠，3AP B ∠；（2）APB ∠是AB 关于O 的内直角， 90APB ∴∠=︒，且点P 在O 的内部，∴满足条件的点P 形成的图形为如图2中的半圆H （点A ，B 均不能取到），过点B 作BD y ⊥轴于点D ， (0,5)A -，(4,3)B ，4BD ∴=，8AD =，并可求出直线AB 的解析式为25y x =-，∴当直线2y x b =+过直径AB 时，5b =-，连接OB ，作直线OH 交半圆于点E ，过点E 作直线//EF AB ，交y 轴于点F ， OA OB =，AH BH =，EH AB ∴⊥， EH EF ∴⊥，EF ∴是半圆H 的切线．OAH OAH ∠=∠，90OHB BDA ∠=∠=︒， OAH BAD ∴∆∆∽，∴4182OH BD AH AD ===， 1122OH AH EH ∴==， OH EO ∴=，EOF AOH ∠=∠，90FEO AHO ∠=∠=︒，()EOF HOA ASA ∴∆≅∆， 5OF OA ∴==，//EF AB ，直线AB 的解析式为25y x =-，∴直线EF 的解析式为25y x =+，此时5b =，b ∴的取值范围是55b -<．（3）对于线段MN 上每一个点H ，都存在点T ，使DHE ∠是DE 关于T 的最佳内直角，∴点T 一定在DHE ∠的边上，4TD =，90DHT ∠=︒，线段MN 上任意一点（不包含点)M 都必须在以TD 为直径的圆上，该圆的半径为2，∴当点N 在该圆的最高点时，n 有最大值，即n 的最大值为2． 分两种情况：①若点H 不与点M 重合，那么点T 必须在边HE 上，此时90DHT ∠=︒，∴点H 在以DT 为直径的圆上，如图3，当G 与MN 相切时，GH MN ⊥，1OM =，2ON =，MN ∴=GMH OMN ∠=∠，GHM NOM ∠=∠，2ON GH ==，()GHM NOM ASA ∴∆≅∆，MN GM ∴==，1OG ∴，1OT ∴=，当T 与M 重合时，1t =，∴此时t 的取值范围是11t <，②若点H 与点M 重合时，临界位置有两个，一个是当点T 与M 重合时，1t =，另一个是当4TM =时，5t =，∴此时t 的取值范围是15t <，综合以上可得，t 的取值范围是15t <．4．（2020•平谷区一模）在ABM ∆中，90ABM ∠=︒，以AB 为一边向ABM ∆的异侧作正方形ABCD ，以A 为圆心，AM 为半径作A ，我们称正方形ABCD 为A 的“关于ABM ∆的友好正方形”，如果正方形ABCD 恰好落在A 的内部（或圆上），我们称正方形ABCD 为A 的“关于ABM ∆的绝对友好正方形”， 例如，图1中正方形ABCD 是A 的“关于ABM ∆的友好正方形”．（1）图2中，ABM ∆中，BA BM =，90ABM ∠=︒，在图中画出A 的“关于ABM ∆的友好正方形ABCD ”． （2）若点A 在反比例函数(0,0)k y k x x=>>上，它的横坐标是2，过点A 作AB y ⊥轴于B ，若正方形ABCD为A 的“关于ABO ∆的绝对友好正方形”，求k 的取值范围．（3）若点A 是直线2y x =-+上的一个动点，过点A 作AB y ⊥轴于B ，若正方形ABCD 为A 的“关于ABO ∆的绝对友好正方形”，求出点A 的横坐标m 的取值范围．【分析】（1）BA BM =，90ABM ∠=︒，则圆的半径AM AC =，故点C 在圆上，即可求解； （2）分2a =、2a >、2a <三种情况，分别探究即可求解；（3）分1m =、01m <<、0m =、0m <、1m >五种情况，通过画图探究即可求解．【解答】（1）BA BM =，90ABM ∠=︒，∴圆的半径AM AC ==，故点C 在圆上，补全图形如图1，（2）设(2,)A a ，当2a =时，正方形ABCD 的顶点C 恰好落在A 上（如图2)； 当2a >时，正方形ABCD 的顶点均落在A 内部（如图3)； 当2a <时，正方形ABCD 的顶点C 落在A 外部（如图4)； 反比例函数()(0,0)2,ky k x A a x=>>过点，∴当2a 时，则4k ，k ∴的取值范围为：4k ；（3）当1m =时，正方形ABCD 的顶点C 恰好落在A 上（如图5)； 当01m <<时，正方形ABCD 均落在A 内部（如图6)； 当0m =时，ABO ∆ 不存在；当0m <时，正方形ABCD 均落在A 内部（如图7)；当1m >时，正方形ABCD 的顶点C 落在A 外部（如图8)，（当2m =时ABO ∆不存在）；综上分析，点A 的横坐标m 的取值范围为：01m <或0m <．5．（2020•顺义区一模）已知：点P 为图形M 上任意一点，点Q 为图形N 上任意一点，若点P 与点Q 之间的距离PQ 始终满足0PQ >，则称图形M 与图形N 相离． （1）已知点(1,2)A 、(0,5)B -、(2,1)C -、(3,4)D ．①与直线35y x =-相离的点是 ； ②若直线3y x b =+与ABC ∆相离，求b 的取值范围；（2）设直线3y =+、直线3y =+及直线2y =-围成的图形为W ，T 的半径为1，圆心T 的坐标为(,0)t ，直接写出T 与图形W 相离的t 的取值范围．【分析】（1）①将A ，B ，C ，D 四个点的坐标代入直线35y x =-计算即可判断． ②根据直线3y x b =+经过点A ，和点C 计算b 的值即可得出答案． （2）分三种情形求出经过特殊位置的T 的坐标即可得出答案． 【解答】解：（1）①点(1,2)A ，∴当1x =时，352-=-， ∴点A 不在直线35y x =-上，同理，点(2,1)C -不在直线35y x =-上，点(0,5)B -，点(3,4)D 在直线上，∴与直线35y x =-相离的点是A ，C ；故答案为：A ，C ；②当直线3y x b =+过点(1,2)A 时，32b ∴+=． 1b ∴=-．当直线3y x b =+过点(2,1)C -时， 61b ∴+=-． 7b ∴=-．b ∴的取值范围是1b >-或7b <-．（2）①如图1，图形W 为ABC ∆，直线3y =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，令0x =，3y =，令0y =，x =3OA ∴=，OD30OAD ∴∠=︒，60ADO ∠=︒，当T 位于直线AC 右侧，且与直线AC 相切于点H ，连接TH ，TH DH ∴⊥，60TDH ADO ∠=∠=︒，1TH =，∴=DT∴=+==，OT OD DT∴，0)，T∴当t>时，T与图形W相离，②如图2，当T位于直线3y=+左侧，且与直线AB相切于点H，连接TH，直线AB与x轴交于点E，同理可得，TE OE=∴=，OT∴，0)，(T∴当t<T与图形W相离，③如图3，当T位于直线AC左侧，且与直线AC相切时，同理可得TD=OD∴=-==，OT OD TDT∴0)，当T与AB相切，且位于直线AB的右侧时，(T0)，∴当t<<T与图形W相离．综合以上可得，T与图形W相离时t的取值范围是：t<t>或t<<6．（2020•东城区一模）在ABC∆的内部或边上，∆的中线，如果CD上的所有点都在ABC∆中，CD是ABC则称CD为ABC∆的中线弧．（1）在Rt ABC∠=︒，1AC=，D是AB的中点．ACB∆中，90①如图1，若45∆的一条中线弧CD，直接写出ABC∆的中线弧CD所在圆的半径r的最∠=︒，画出ABCA小值；②如图2，若60∆的最长的中线弧CD的弧长l．∠=︒，求出ABCA（2）在平面直角坐标系中，已知点(2,2)A，(4,0)B，(0,0)C，在ABC∆中，D是AB的中点．求ABC∆的中线弧CD所在圆的圆心P的纵坐标t的取值范围．【分析】（1）①如图1中，当直线弧CD的圆心是AC或BC的中点时，CD所在圆的半径r的最小．②如图2中，当中线弧CD所在的圆与AC，AB都相切时，CD的弧长最大．（2）分两种情形：如图3中，若中线弧CD在线段CD的下方时，如图4中，若中线弧CD在线段CD的上方时，分别求解即可解决问题．【解答】解：（1）①如图1中，当直线弧CD的圆心是AC或BC的中点时，CD所在圆的半径r的最小，此时1122r AC==，ABC∴∆的中线弧CD所在圆的半径r的最小值为12．②如图2中，当中线弧CD所在的圆与AC，AB都相切时，CD的弧长最大，此时，CD的圆心在BC上，⊥，ND BDNDB∴∠=︒，90ACB∠=︒，∠=︒，90A60∴∠=︒，B30∴==，BN DN CN22∴==，3CN BC∴=CN∴．（2）如图3中，若中线弧CD在线段CD的下方时，ABC ∆的中线弧CD 所在的圆的圆心在线段CD 使得垂直平分线上，当中线弧CD 所在圆与BC 相切时，可得(0,5)P ，观察图象可知中线弧CD 所在圆的圆心P 的纵坐标5t ．如图4中，若中线弧CD 在 线段CD 的上方时，当中线弧CD 所在圆与AC 相切时，可得5(2P ，5)2-，观察图象可知中线弧CD 所在圆的圆心P 的纵坐标52t -． 综上所述，．中线弧CD 所在圆的圆心P 的纵坐标t 的取值范围为：5t 或52t -．7．（2020•石景山区一模）在ABC ∆中，以AB 边上的中线CD 为直径作圆，如果与边AB 有交点E （不与点D 重合），那么称DE 为ABC ∆的C -中线弧．例如，如图中DE 是ABC ∆的C -中线弧．在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC ∆存在C -中线弧，其中点A 与坐标原点O 重合，点B 的坐标为(2t ，0)(0)t >．（1）当2t =时，①在点1(3,2)C -，2(0C ，，3(2,4)C ，4(4,2)C 中，满足条件的点C 是 ；②若在直线(0)y kx k =>上存在点P 是ABC ∆的C -中线弧DE 所在圆的圆心，其中4CD =，求k 的取值范围；（2）若ABC ∆的C -中线弧DE 所在圆的圆心为定点(2,2)P ，直接写出t 的取值范围．【分析】（1）①先确定出点C 的横坐标的范围即可得出结论； ②先确定出分界点点P ，P '的坐标，即可得出结论；（2）表示出点D 的坐标，再分点E 在线段AD 和BD 上，求出AE ，利用02AE t ，且AE t ≠，即可得出结论．【解答】解：（1）当2t =时，点B 的坐标为(4,0)， 点D 是AB 的中点，(2,0)D ∴， ①如图1，过点C 作CE AB ⊥于E ，则90CED ∠=︒， CE AB ∴⊥，即点C 和点E 的横坐标相同，点E 是以CD 为直径与边AB 的交点，04AE ∴，点E 与点D 重合，2AE ∴≠，∴点E 的横坐标大于等于0小于等于4，且不等于2，即点E 的横坐标大于等于0小于等于4，且不等于2，点1(3,2)C -，2(0C ，，3(2,4)C ，4(4,2)C ，∴只有点2C ，4C 的横坐标满足条件，故答案为2C ，4C ；②ABC ∆的中线4CD =，∴点C 在以点D 为圆心4为直径的弧上，由①知，点C 的横坐标大于等于0小于等于4，且不等于2，∴点C 在如图2所示的CC '上（点(2,4)H 除外），点P 是以CD 为直径的圆的圆心，∴点P 在如图2所示的PP '上（点(2,2)G 除外），在Rt OAM ∆中，2AD =，4MD =，根据勾股定理得，AO =(0C ∴，，同理：(4C '，，点P 是DC 的中点，P ∴，同理：点P '，当直线y kx =过点P 时，得k =当直线y kx =过点P '时，得k =， 当直线y kx =过点(2,2)G 时，得1k =，结合图形，可得k 3k 且1k ≠；（2）同（1）①知，点E 的横坐标大于等于0小于等于2t ，且不等于t ， 点D 是AB 的中点，且(2,0)B t ， (,0)D t ∴，当点E 在线段AD 上时，2(2)40AE t t t =--=-+，4t ∴，当点E 在线段BE 上时，2(2)2AE t t t =-+，43t∴， ∴443t 且2t ≠．8．（2020•西城区一模）对于平面直角坐标系xOy 中的图形1W 和图形2W ，给出如下定义：在图形1W 上存在两点A ，B （点A 与点B 可以重合），在图形2W 上存在两点M ，N （点M 与点N 可以重合），使得2AM BN =，则称图形1W 和图形2W 满足限距关系．（1）如图1，点(1,0)C ，(1,0)D -，E ，点P 在线段DE 上运动（点P 可以与点D ，E 重合），连接OP ，CP ．①线段OP 的最小值为 ，最大值为 ，线段CP 的取值范围是 ； ②在点O ，点C 中，点 与线段DE 满足限距关系；（2）如图2，O 的半径为1，直线(0)y b b +>与x 轴、y 轴分别交于点F ，G ．若线段FG 与O 满足限距关系，求b 的取值范围；（3）O 的半径为(0)r r >，点H ，K 是O 上的两点，分别以H ，K 为圆心，1为半径作圆得到H 和K ，若对于任意点H ，K ，H 和K 都满足限距关系，直接写出r 的取值范围．【分析】（1）①根据垂线段最短以及已知条件，确定OP ，CP 的最大值，最小值即可解决问题． ②根据限距关系的定义判断即可．（2）直线y b =+与x 轴、y 轴分别交于点F ，(0,)G b ，分三种情形：①线段FG 在O 内部，②线段FG 与O 有交点，③线段FG 与O 没有交点，分别构建不等式求解即可．（2）如图3中，不妨设K ，H 的圆心在x 轴上位于y 轴的两侧，根据H 和K 都满足限距关系，构建不等式求解即可．【解答】解：（1）①如图1中，(1,0)D -，E ，1OD ∴=，OE =tan OEEDO OD∴∠== 60EDO ∴∠=︒，当OP DE ⊥时，sin 60OP OD =︒=，此时OP 的值最小，当点P 与E 重合时，OP当CP DE ⊥时，CP 的值最小，最小值cos60CD =︒ 当点P 与D 或E 重合时，PC 的值最大，最大值为2，2CP ．②根据限距关系的定义可知，线段DE 上存在两点M ，N ，满足2OM ON =， 故点O 与线段DE 满足限距关系． 故答案为O ．（2）直线y b =+与x 轴、y 轴分别交于点F ，(0,)G b ，当01b <<时，线段FG 在O 内部，与O 无公共点，此时O 上的点到线段FG 的最小距离为1b -，最大距离为1b +， 线段FG 与O 满足限距关系， 12(1)b b ∴+-，解得13b， b ∴的取值范围为113b <． 当12b 时，线段FG 与O 有公共点，线段FG 与O 满足限距关系， 当2b >时，线段FG 在O 的外部，与O 没有公共点，此时O 上的点到线段FG 的最小距离为112b -，最大距离为1b +，线段FG 与O 满足限距关系， 112(1)2b b ∴+-，而112(1)2b b +-总成立，2b ∴>时，线段FG 与O 满足限距关系，综上所述，b 的取值范围为13b．（3）如图3中，不妨设K ，H 的圆心在x 轴上位于y 轴的两侧，两圆的距离的最小值为22r -，最大值为22r +，H 和K 都满足限距关系，222(22)r r ∴+-，解得3r ，故r 的取值范围为03r <．9．（2020•通州区一模）如果MN 的两个端点M ，N 分别在AOB ∠的两边上（不与点O 重合），并且MN 除端点外的所有点都在AOB∠的内部，则称MN是AOB∠的“连角弧”．（1）图1中，AOB∠是直角，MN是以O为圆心，半径为1的“连角弧”．①图中MN的长是，并在图中再作一条以M，N为端点、长度相同的“连角弧”；②以M，N为端点，弧长最长的“连角弧”的长度是．（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点M，点(,0)N t在x轴正半轴上，若MN是半圆，也是AOB∠的“连角弧”求t的取值范围．（3）如图3，已知点M，N分别在射线OA，OB上，4ON=，MN是AOB∠的“连角弧”，且MN所在圆的半径为1，直接写出AOB∠的取值范围．【分析】（1）①利用弧长公式计算即可．如图11-中，作正方形OMKN，以K为圆心，KM为半径画弧，交AO于M，交OB于N，可得劣弧MN．②作正方形OMKN，以K为圆心，KM为半径画弧，交AO于M，交OB于N，可得优弧MNJ即为最长的弧．（2）求出两种特殊情形ON的长即可判断．（3）如图3中，当MN为直径，且NM AB⊥时，AOB∠的值最大，求出AOB∠的最大值即可．【解答】解：（1）①MN的长9011802ππ==．如图11-中，MN即为所求．②作正方形OMKN ，以K 为圆心，KM 为半径画弧，交AO 于M ，交OB 于N ，可得优弧MNJ 即为最长的弧优弧MN 的长270131802ππ==， 故答案为2π，32π．（2）如图2中，(1,3)M ，tan MOB ∴∠=，60MOB ∴∠=︒，2OM ，当1MN OB ⊥时，可得11ON =，此时1t =， 当2MN OM ⊥时，可得24ON =，此时4t =， 观察图象可知满足条件的t 的值为14t ．（3）如图3中，当MN 为直径，且NM AB ⊥时，AOB ∠的值最大，在Rt OMN ∆中，21sin 42MN AOB ON ∠===， 30AOB ∴∠=︒，观察图形可知满足条件的AOB ∠的值为030AOB ︒<∠︒10．（2020•延庆区一模）对于平面内的点P 和图形M ，给出如下定义：以点P 为圆心，以r 为半径作P ，使得图形M 上的所有点都在P 的内部（或边上），当r 最小时，称P 为图形M 的P 点控制圆，此时，P 的半径称为图形M 的P 点控制半径．已知，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的位置如图所示，其中点(2,2)B ．（1）已知点(1,0)D ，正方形OABC 的D 点控制半径为1r ，正方形OABC 的A 点控制半径为2r ，请比较大小：1r 2r ；（2）连接OB ，点F 是线段OB 上的点，直线:l y b =+；若存在正方形OABC 的F 点控制圆与直线l 有两个交点，求b 的取值范围．【分析】（1）根据控制半径的定义，分别求出1r 和2r 的值即可得解．（2）如图所示：O 和B 的半径均等于OB ，分两种情况：①当直线:l y b =+与O 相切于点M 时，连接OM ，则OM l ⊥，②当直线:l y b =+与B 相切于点N 时，连接BN ，则BN l ⊥；分别求得两个切点的坐标，进而得出b 值，则可得答案．【解答】解：（1）由题意得：1r BD CD ====2r AC === 12r r ∴<，故答案为：<．（2）如图所示：O 和B 的半径均等于OB ，当直线:l y b =+与O 相切于点M 时，连接OM ，则OM l ⊥，则直线OM 的解析式为：y =，设(,)M x ， OM OB =，OM ∴== 2283x x ∴+=，解得：x =x =)，=，(M ∴，将(M 代入y b =+(b =+，解得：b =当直线:l y b =+与B 相切于点N 时，连接BN ，则BN l ⊥，同理，设直线BN 的解析式为：y n =+，将(2,2)B 代入得：22n =+，2n ∴=+，∴直线BN 的解析式为：2y =++，设(,2N m +， BN OB =，∴= 2244448333m m m m ∴-++-+=2420m m ∴-+=，2m ∴=)或2m =222+=+++=-(2N ∴+2-，∴将(2N +2-代入y b =+得：2b +，解得：2b =-，∴存在正方形OABC 的F 点控制圆与直线l 有两个交点，此时b 的取值范围为：2b -<．11．（2020•房山区一模）如图，平面上存在点P 、点M 与线段AB ．若线段AB 上存在一点Q ，使得点M 在以PQ 为直径的圆上，则称点M 为点P 与线段AB 的共圆点． 已知点(0,1)P ，点(2,1)A --，点(2,1)B -．（1）在点(0,0)O ，(2,1)C -，(3,0)D 中，可以成为点P 与线段AB 的共圆点的是 ；（2）点K 为x 轴上一点，若点K 为点P 与线段AB 的共圆点，请求出点K 横坐标K x 的取值范围； （3）已知点(,1)M m -，若直线132y x =+上存在点P 与线段AM 的共圆点，请直接写出m 的取值范围．【分析】（1）当Q 与A 重合时，点C 在以AP 为直径的圆上，所以可以成为点P 与线段AB 的共圆点的是C ；（2）由两点的距离公式可得AP BP ==分别画以AP 和BP 为直径的圆交x 轴于4个点：1K 、2K 、3K 、4K ，结合图形2可得4个点的坐标，从而得结论；（3）先根据直线132y x =+，当0x =和0y =计算与x 轴和y 轴的交点坐标，分两种情况：M 在A 的左侧和右侧，先计算圆E 与直线132y x =+相切时m 的值，从而根据图形可得结论． 【解答】解：（1）如图1，可以成为点P 与线段AB 的共圆点的是C ，故答案为：C ；（2）(0,1)P ，点(2,1)A --，点(2,1)B -．AP BP ∴==，如图2，分别以PA 、PB 为直径作圆，交x 轴于点1K 、2K 、3K 、4K ，1OP OG ==，//OE AB ，PE AE ∴==112OE AG ∴==，1(1K ∴--0)，2(1k ，0)，31k ，0)，4(1k 0)，点K 为点P 与线段AB 的共圆点，112k x ∴--或112k x +；（3）分两种情况：①如图3，当M 在点A 的左侧时，Q 为线段AM 上一动点，以PQ 为直径的圆E 与直线132y x =+相切于点F ，连接EF ，则EF FH ⊥，当0x =时，3y =，当0y =时，1302y x =+=，6x =-， 3ON ∴=，6OH =，31tan 62ON EF EHF OH FH ∠====，设EF a =，则2FH a =，EH ，6OE ∴=-，Rt OEP ∆中，1OP =，EP a =，由勾股定理得：222EP OP OE =+，∴2221(6)a =+，解得：a =（舍)22(6)3QG OE ∴==-=-+3210m ∴-②如图4，当M 在点A 的右侧时，Q 为线段AM 上一动点，以PQ 为直径的圆E 与直线132y x =+相切于点F ，连接EF ，则EF FH ⊥，同理得3QG =+3210m ∴+综上，m 的取值范围是3210m -或3210m +．12．（2020•门头沟区一模）对于平面直角坐标系xOy 中的任意点(P x ，)y ，如果满足(0x y a x +=，a 为常数），那么我们称这样的点叫做“特征点”． （1）当23a 时，①在点(1,2)A ，(1,3)B ，(2.5,0)C 中，满足此条件的特征点为 ；②W 的圆心为(,0)W m ，半径为1，如果W 上始终存在满足条件的特征点，请画出示意图，并直接写出m 的取值范围；（2）已知函数1(0)Z x x x=+>，请利用特征点求出该函数的最小值．【分析】（1）①根据“特征点”的定义判断即可．②如图2中，当1W 与直线2y x =-+相切时，1(2W 0)，当2W 与直线3y =-相切时，2(3W 0)，结合图象，W 与图中阴影部分有交点时，W 上存在满足条件的特征点．（2）特征点的图象是由原点向外扩大，当与反比例函数的图象第一次有交点时，1x x+的值最小（如图3中）．【解答】解：（1）①123+=，134+=，2.50 2.5+=， 又23a ，A ∴，C 是特征点．故答案为：A ，C ．②如图2中，当1W 与直线2y x =-+相切时，1(2W -0)，当2W 与直线3y =-相切时，2(3W +0)，观察图象可知满足条件的m 取值范围为：232m +．（2）0x >，1y x∴=的图象在第一象限，这个图象上的点的坐标为1(,)x x ，特征点满足(0x y a x +=，a 为常数），1x a x ∴+=，特征点的图象是由原点向外扩大，当与反比例函数的图象第一次有交点时，1x x+的值最小（如图3中），此时交点的坐标为(1,1)，1Z x x∴=+的值最小，最小值为2．13．（2020•朝阳区一模）在平面直角坐标系xOy 中，点(,0)A t ，(2,0)B t +，(,1)C n ，若射线OC 上存在点P ，使得ABP ∆是以AB 为腰的等腰三角形，就称点P 为线段AB 关于射线OC 的等腰点．（1）如图，0t =，①若0n =，则线段AB 关于射线OC 的等腰点的坐标是 ；②若0n <，且线段AB 关于射线OC 的等腰点的纵坐标小于1，求n 的取值范围；（2）若n =，且射线OC 上只存在一个线段AB 关于射线OC 的等腰点，则t 的取值范围是 ． 【分析】（1）①根据线段AB 关于射线OC 的等腰点的定义可知2OP AB ==，由此即可解决问题． ②如图2中，当OP AB =时，作PH x ⊥轴于H ．求出点P 的横坐标，利用图象法即可解决问题． （2）如图31-中，作CH y ⊥轴于H ．分别以A ，B 为圆心，AB 为半径作A ，B ．首先证明30COH ∠=︒，由射线OC 上只存在一个线段AB 关于射线OC 的等腰点，推出射线OC 与A ，B 只有一个交点，求出几种特殊位置t 的值，利用数形结合的思想解决问题即可． 【解答】解：（1）①如图1中，由题意(0,0)A ，(2,0)B ，(0,1)C ，点P是线段AB关于射线OC的等腰点，∴==，2OP ABP∴．(0,2)故答案为(0,2)．②如图2中，当OP AB⊥轴于H．=时，作PH x在Rt POH==OP AB∆中，1==，2PH OC∴，OH观察图象可知：若0n<，且线段AB关于射线OC的等腰点的纵坐标小于1时，n<（3）如图31⊥轴于H．分别以A，B为圆心，AB为半径作A，B．-中，作CH y由题意C ，1)，CH ∴=，1OH =，tan CH COH OH ∴∠==， 30COH ∴∠=︒，当B 经过原点时，(2,0)B -，此时4t =-，射线OC 上只存在一个线段AB 关于射线OC 的等腰点，∴射线OC 与A ，B 只有一个交点，观察图象可知当42t -<-时，满足条件，如图32-中，当点A 在原点时，60POB ∠=︒，此时两圆的交点P 在射线OC 上，满足条件，此时0t =，如图33-中，当B 与OC 相切于P 时，连接BP ．OC ∴是B 的切线，OP BP ∴⊥， 90OPB ∴∠=︒，2BP =，60POB ∠=︒，cos60PB OB ∴==︒2t =-，如图34-中，当A 与OC 相切时，同法可得OA t =观察图形可知，满足条件的t 432t-<，综上所述，满足条件t 的值为42t -<-或0t =432t-<．故答案为：42t -<-或0t =432t-<．14．（2020•密云区一模）对于平面直角坐标系xOy 中的任意一点P ，给出如下定义：经过点P 且平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫做点P 的“特征线”． 例如：点(1,3)M 的特征线是2y x =+和4y x =-+；（1）若点D 的其中一条特征线是1y x =+，则在1(2,2)D 、2(1,0)D -、3(3,4)D -三个点中，可能是点D 的点有 ；（2）已知点(1,2)P -的平行于第二、四象限夹角平分线的特征线与x 轴相交于点A ，直线(0)y kx b k =+≠经过点P ，且与x 轴交于点B ．若使BPA ∆的面积不小于6，求k 的取值范围；（3）已知点(2,0)C ，(,0)T t ，且T 的半径为1．当T 与点C 的特征线存在交点时，直接写出t 的取值范围．【分析】（1）画出图形，根据点的特征线的定义解决问题即可．（2）过点P 平行于第二四象限角平分线的特征线的解析式为y x b =-+，求出PAB ∆的面积为6时点B 的坐标，再利用待定系数法求直线PB 的解析式，结合图形即可解决问题．（3）如图3中，由题意点C 的特征线的解析式为2y x =-或2y x =-+，设当T 与直线2y x =-+相切于点M 时，当T '与直线2y x =-相切于点N 时，分别求出OT ，OT '结合图象即可解决问题． 【解答】解：（1）如图1中，观察图象可知，点2D 的特征线是1y x =+．故答案为2D ．（2）如图2中，设过点P 平行于第二四象限角平分线的特征线的解析式为y x b =-+， 12b ∴+=， 1b ∴=，∴过点P 平行于第二四象限角平分线的特征线的解析式为1y x =-+，(1,0)A ∴，当BPA ∆的面积6=时，1262AB =，6AB ∴=，(5,0)B ∴-或(7,0)，当y kx b =+'经过(1,2)P -，(5,0)B -时，250k b k b -+'=⎧⎨-+'=⎩解得12k =， 当直线y kx b =+'经过(1,2)P -，(7,0)B 时，270k b k b -+'=⎧⎨+'=⎩，解得14k =-， 观察图形可知满足条件的k 的值为1142k-且0k ≠．（3）如图3中，由题意点C 的特征线的解析式为2y x =-或2y x =-+，当T 与直线2y x =-+相切于点M 时，连接TM ， 在Rt TCM ∆中，90TMC ∠=︒，45MCT ∠=︒， 1MT MC ∴==，TC ∴=，2OT ∴=，此时2t =当T '与直线2y x =-相切于点N 时，推出法可得2OT '=+2t =结合图象可知满足条件的t 的值为：222-+．15．（2020•大兴区一模）已知线段AB ，如果将线段AB 绕点A 逆时针旋转90︒得到线段AC ，则称点C 为线段AB 关于点A 的逆转点．点C 为线段AB 关于点A 的逆转点的示意图如图1: （1）如图2，在正方形ABCD 中，点 为线段BC 关于点B 的逆转点；（2）如图3，在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为(,0)x ，且0x >，点E 是y 轴上一点，点F 是线段EO 关于点E 的逆转点，点G 是线段EP 关于点E 的逆转点，过逆转点G ，F 的直线与x 轴交于点H ． ①补全图；②判断过逆转点G ，F 的直线与x 轴的位置关系并证明；③若点E 的坐标为(0,5)，连接PF 、PG ，设PFG ∆的面积为y ，直接写出y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．【分析】（1）根据点C 为线段AB 关于点A 的逆转点的定义判断即可．（2）结论：GF x ⊥轴．证明()GEF PEO SAS ∆≅∆，推出90GFE EOP ∠=∠=︒可得结论．（3）分两种情形：如图41-中，当05x <<时，如图42-中，当5x >时，分别利用三角形的面积公式求解即可．【解答】解：（1）由题意，点A 是线段AB 关于点B 的逆转点，故答案为A．（2）①图形如图3所示．②结论：GF x⊥轴．理由：点F是线段EF关于点E的逆转点，点G是线段EP关于点E的逆转点，=，=，EF EO∴∠=∠=︒，EG EPOEF PEG90∴∠=∠，GEF PEO∴∆≅∆，GEF PEO SAS()∴∠=∠，GFE EOPOE OP⊥，∴∠=︒，90POEGFE∴∠=︒，90OEF EFH EOH∠=∠=∠=︒，90∴四边形EFHO是矩形，∴∠=︒，90FHOFG x ∴⊥轴．③如图41-中，当05x <<时，(0,5)E ， 5OE ∴=，四边形EFHO 是矩形，EF EO =，∴四边形EFHO 是正方形，5OH OE ∴==， 21115(5)2222y FG PH x x x x ∴==-=-+． 如图42-中，当5x >时，21115(5)2222y FG PH x x x x ==-=-．。

专题06 数据统计一．选择题（共11小题）1．（2020•燕山一模）为了解高校学生对5G移动通信网络的消费意愿，从在校大学生中随机抽取了1000人进行调查，下面是大学生用户分类情况统计表和大学生愿意为5G套餐多支付的费用情况统计图（例如，早期体验用户中愿意为5G套餐多支付10元的人数占所有早期体验用户的50%）．用户分类人数260人A：早期体验用户（目前已升级为5G用户）B：中期跟随用户（一年540人内将升级为5G用户）200人C：后期用户（一年后才升级为5G用户）下列推断中，不合理的是（）A．早期体验用户中，愿意为5G套餐多支付10元，20元，30元的人数依次递减B．后期用户中，愿意为5G套餐多支付20元的人数最多C．愿意为5G套餐多支付10元的用户中，中期跟随用户人数最多D．愿意为5G套餐多支付20元的用户中，后期用户人数最多【分析】分别计算出早期体验用户、中期跟随用户、后期用户中支付10元、20元、30元人数，再分析即可．【解答】解：早期体验用户：支付10元人数：260×50%＝130，支付20元人数260×35%＝91，支付30元人数260×15%＝39，中期跟随用户：支付10元人数55%×540＝297，支付20元人数540×40%＝216，支付30元人数540×5%＝27，后期用户：支付10元人数200×40%＝80，支付20元人数200×56%＝112，支付30元人数200×4%＝8，A、早期体验用户中，愿意为5G套餐多支付10元，20元，30元的人数依次递减，说法正确，故此选项不合题意；B、后期用户中，愿意为5G套餐多支付20元的人数最多，说法正确，故此选项不合题意；C、愿意为5G套餐多支付10元的用户中，中期跟随用户人数最多，说法正确，故此选项不合题意；D、愿意为5G套餐多支付20元的用户中，后期用户人数最多，说法不正确，应为中期跟随用户最多，故此选项符合题意；故选：D．2．（2020•平谷区一模）某校在“爱护地球，绿化祖国”的活动中，组织同学开展植树造林活动，为了了解同学的植树情况，学校抽查了初一年级所有同学的植树情况（初一年级共有两个班），并将调查数据整理绘制成如下所示的部分数据尚不完整的统计图表．下面有四个推断：①a的值为20；②初一年级共有80人；③一班植树棵树的众数是3；④二班植树棵树的是中位数2．其中合理的是（）A．①③B．②④C．②③D．②③④【分析】①由折线图与统计表可知a的值，即可判断①错误；将统计表中所有的人数相加，即可判断②正确；根据众数的定义即可判断③正确；根据中位数的定义即可判断④正确．【解答】解：①由折线图与统计表可知，a＝20+5＝25，故①错误；②由统计表可知，初一年级两个班共有7+33+25+12+3＝80（人），故②正确；③由题意可知，初一年级两个班每人种树1棵与5棵的人数和为7+3＝10（人），∴37＜一班人数＜47，33＜二班人数＜43，又∵一班每人种树3棵树的有20人，人数最多，所以一班植树棵树的众数是3，故③正确；④∵二班人数＜43，且二班每人种树2棵树的有21人，∴二班植树棵树的是中位数2，故④正确．故选：D．3．（2020•顺义区一模）小明、小聪参加了100m跑的5期集训，每期集训结束时进行测试，根据他们的集训时间、测试成绩绘制成如图两个统计图．根据图中信息，有下面四个推断：①这5期的集训共有56天；②小明5次测试的平均成绩是11.68秒；③从集训时间看，集训时间不是越多越好，集训时间过长，可能造成劳累，导致成绩下滑；④从测试成绩看，两人的最好成绩都是在第4期出现，建议集训时间定为14天．所有合理推断的序号是（）A．①③B．②④C．②③D．①④【分析】根据图中的信息可以求得这5期的集训共有多少天和小明5次测试的平均成绩，根据图中的信心和题意，说明自己的观点即可．【解答】解：①这5期的集训共有：5+7+10+14+20＝56（天），故正确；②小明5次测试的平均成绩是：（11.83+11.72+11.52+11.58+11.65）÷5＝11.66（秒），故错误；③从集训时间看，集训时间不是越多越好，集训时间过长，可能造成劳累，导致成绩下滑，故正确；④从测试成绩看，两人的最好的平均成绩是在第1期出现，建议集训时间定为5天．故错误；故选：A．4．（2020•东城区一模）党的十八大以来，全国各地认真贯彻精准扶贫方略，扶贫工作力度、深度和精准度都达到了新的水平，为2020年全面建成小康社会的战略目标打下了坚实基础．以下是根据近几年中国农村贫困人口数量（单位：万人）及分布情况绘制的统计图表的一部分．201720182019年份人数地区东部30014747中部1112181西部1634916323 Array（以上数据来源于国家统计局）根据统计图表提供的信息，下面推断不正确的是（）A．2018年中部地区农村贫困人口为597万人B．2017﹣2019年，农村贫困人口数量都是东部最少C．2016﹣2019年，农村贫困人口减少数量逐年增多D．2017﹣2019年，虽然西部农村贫困人口减少数量最多，但是相对于东、中部地区，它的降低率最低【分析】分别对照统计表和统计图分析或计算即可．【解答】解：A 、2018年中部地区农村贫困人口为：1660﹣147﹣916＝597（万人）．故A 的说法正确； B 、由统计表可知B 选项说法正确；C 、∵4335﹣3046＝1289，3046﹣1660＝1386，1660﹣551＝1109， ∴1109＜1289＜1386，故C 不正确，D 、∵300−47300≈0.843，1112−1811112≈0.837，1634−3231634≈0.802，∴0.802＜0.837＜0.843， ∴D 说法正确． ∴只有C 推断不正确． 故选：C ．5．（2020•石景山区一模）某地区经过三年的新农村建设，年经济收入实现了翻两番（即是原来的22倍）．为了更好地了解该地区的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后的年经济收入构成结构如图，则下列结论中不正确的是（ ）A ．新农村建设后，种植收入减少了B ．新农村建设后，养殖收入实现了翻两番C ．新农村建设后，第三产业收入比新农村建设前的年经济收入还多D ．新农村建设后，第三产业收入与养殖收入之和超过了年经济收入的一半【分析】设建设前经济收入为a ，建设后经济收入为4a ．通过选项逐一分析新农村建设前后，经济收入情况，利用数据推出结果．【解答】解：设建设前经济收入为a ，建设后经济收入为4a ． A 、建设后，种植收入为30%×4a ＝120%a ， 建设前，种植收入为55%a ，故新农村建设后，种植收入增加了，故A 项符合题意； B 、建设后，养殖收入为30%×4a ＝120%a ，建设前，养殖收入为30%a，故120%a÷30%a＝4，故B项不符合题意；C、建设后，第三产业收入为32%×4a＝128%a，故第三产业收入比新农村建设前的年经济收入还多，故C项不符合题意；D、建设后，养殖收入与第三产业收入总和为（30%+32%）×4a＝248%a，经济收入的一半为2a，故248%a＞2a，故D项不符合题意．故选：A．6．（2020•西城区一模）甲、乙两名运动员的10次射击成绩（单位：环）如图所示，甲、乙两名运动员射击成绩的平均数依次记为x甲，x乙，射击成绩的方差依次记为s甲2，s乙2，则下列关系中完全正确的是（）A．x甲=x乙，s甲2＞s乙2B．x甲=x乙，s甲2＜s乙2C．x甲＞x乙，s甲2＞s乙2D．x甲＜x乙，s甲2＜s乙2【分析】分别计算平均数和方差后比较即可得到答案．【解答】解：（1）x甲=110（8×4+9×2+10×4）＝9；x乙=110（8×3+9×4+10×3）＝9；s甲2=110[4×（8﹣9）2+2×（9﹣9）2+4×（10﹣9）2]＝0.8；s乙2=110[3×（8﹣9）2+4×（9﹣9）2+3×（10﹣9）2]＝0.7；∴x甲=x乙，s甲2＞s乙2，故选：A．7．（2020•通州区一模）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要的支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A种支付方式和仅使用B种支付方式的学生的支付金额a（元）的分布情况如下：支付金额a（元）支付方式0＜a≤10001000＜a≤2000a＞2000仅使用A18人9人3人仅使用B10人14人1人下面有四个推断：①从样本中使用移动支付的学生中随机抽取一名学生，该生使用A支付方式的概率大于他使用B支付方式的概率；②根据样本数据估计，全校1000名学生中，同时使用A，B两种支付方式的大约有400人；③样本中仅使用A种支付方式的同学，上个月的支付金额的中位数一定不超过1000元；④样本中仅使用B种支付方式的同学，上个月的支付金额的平均数一定不低于1000元．其中合理的是（）A．①③B．②④C．①②③D．①②③④【分析】根据概率公式、样本估计总体思想的运用、中位数和平均数的定义逐一判断可得．【解答】解：①从样本中使用移动支付的学生中随机抽取一名学生，该生使用A支付方式的概率为18+9+3 100=0.3，使用B支付方式的概率为10+14+110=0.25，此推断合理；②根据样本数据估计，全校1000名学生中，同时使用A，B两种支付方式的大约有1000×100−5−30−25100=400（人），此推断合理；③样本中仅使用A种支付方式的同学，第15、16个数据均落在0＜a≤1000，所以上个月的支付金额的中位数一定不超过1000元，此推断合理；④样本中仅使用B种支付方式的同学，上个月的支付金额的平均数无法估计，此推断不正确．故推断正确的有①②③，故选：C．8．（2020•门头沟区一模）随着智能手机的普及，“支付宝支付”和“微信支付”等手机支付方式倍受广大消费者的青睐，某商场对2019年712月中使用这两种手机支付方式的情况进行统计，得到如图所示的折线图，根据统计图中的信息，得出以下四个推断，其中不合理的是()A．6个月中使用“微信支付”的总次数比使用“支付宝支付”的总次数多B．6个月中使用“微信支付”的消费总额比使用“支付宝支付”的消费总额大C．6个月中11月份使用手机支付的总次数最多D．9月份平均每天使用手机支付的次数比12月份平均每天使用手机支付的次数多【分析】从折线统计图中得到每个月使用“微信支付”的次数、使用“支付宝支付”的次数，计算后即可判断．【解答】解：A、6个月中使用“微信支付”的总次数 5.69 4.82 5.21 4.89 4.86 5.1230.59=+++++=，6个月中使，“支付宝支付”的总次数 3.21 4.03 4.21 4.17 5.47 4.3125.4=+++++=，6∴个月中使用“微信支付”的总次数比使用“支付宝支付”的总次数多，本选项说法合理；B、从统计图中不能得到消费总额的信息，本选项说法不合理；+=，C、7月份使用手机支付的总次数为5.69 3.218.98月份使用手机支付的总次数为4.82 4.038.85+=，9月份使用手机支付的总次数为5.21 4.219.42+=，10月份使用手机支付的总次数为4.89 4.179.06+=，11月份使用手机支付的总次数为4.86 5.4710.33+=，12月份使用手机支付的总次数为5.12 4.319.43+=，∴个月中11月份使用手机支付的总次数最多，本选项说法合理；6D、9月份平均每天使用手机支付的次数比12月份平均每天使用手机支付的次数多，本选项说法合理；故选：B．9．（2020•朝阳区一模）生活垃圾分类回收是实现垃圾减量化和资源化的重要途径和手段．为了解2019年某市第二季度日均可回收物回收量情况，随机抽取该市2019年第二季度的m天数据，整理后绘制成统计表进行分析．1 2b3 0.050.10a0.15表中34x <组的频率a 满足0.200.30a ． 下面有四个推断： ①表中m 的值为20； ②表中b 的值可以为7；③这m 天的日均可回收物回收量的中位数在45x <组； ④这m 天的日均可回收物回收量的平均数不低于3． 所有合理推断的序号是( ) A ．①②B ．①③C ．②③④D ．①③④【分析】①根据数据总和=频数÷频率，列式计算可求m 的值；②根据34x <组的频率a 满足0.200.30a ，可求该范围的频数，进一步得到b 的值的范围，从而求解； ③根据中位数的定义即可求解； ④根据加权平均数的计算公式即可求解． 【解答】解：①10.0520÷=． 故表中m 的值为20，是合理推断； ②200.24⨯=， 200.36⨯=， 126312+++=，故表中b 的值可以为7，是不合理推断； ③1269++=，故这m 天的日均可回收物回收量的中位数在45x <组，是合理推断； ④(15)23+÷=， 0.050.100.15+=故这m 天的日均可回收物回收量的平均数不低于3，是合理推断． 故选：D ．10．（2020•密云区一模）据统计表明，2019年中国电影总票房高达642.7亿元，其中动画电影发展优势逐渐显现出来．下面的统计表反映了六年来中国上映的动画电影的相关数据：-年中国动画电影影片数量及票房统计表20142019（以上数据摘自《中国电影产业市场前瞻与投资战略规划分析报告》)根据上表数据得出以下推断，其中结论不正确的是()A．2017年至2019年，国产动画影片数量均低于进口动画影片数量B．2019年与2018年相比，中国动画电影的数量增加了50%以上C．2014年至2019年，中国动画电影的总票房逐年增加D．2019年，中国动画电影的总票房占中国电影总票房的比例不足20%【分析】根据20142019-年中国动画电影影片数量及票房统计表进行分析即可．【解答】解：A、2017年至2019年，国产动画影片数量均低于进口动画影片数量，说法正确，故此选项不合题意；B、2019年与2018年相比，中国动画电影的数量增加了50%以上，说法正确，故此选项不合题意；C、2014年至2019年，中国动画电影的总票房逐年增加，说法错误，故此选项符合题意；D、2019年，中国动画电影的总票房占中国电影总票房的比例不足20%，说法正确，故此选项不合题意；故选：C．11．（2020•大兴区一模）众志成城，抗击疫情，救助重灾区．某校某小组7名同学积极捐出自己的零花钱支援灾区，他们捐款的数额分别是（单位：元）:100，45，100，40，100，60，155．下面有四个推断：①这7名同学所捐的零花钱的平均数是150；②这7名同学所捐的零花钱的中位数是100；③这7名同学所捐的零花钱的众数是100；④由这7名同学所捐的零花钱的中位数是100，可以推断该校全体同学所捐的零花钱的中位数也一定是100．所有合理推断的序号是()A．①③B．②③C．②④D．②③④【分析】平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．【解答】解：①这7名同学所捐的零花钱的平均数是100451004010060155867++++++≈，错误；②这7名同学所捐的零花钱的中位数是100，正确；③这7名同学所捐的零花钱的众数是100，正确；④由这7名同学所捐的零花钱的中位数是100，不能推断该校全体同学所捐的零花钱的中位数一定是100，错误；故选：B．二．填空题（共10小题）12．（2020•丰台区一模）某快递公司的快递件分为甲类件和乙类件，快递员送甲类件每件收入1元，送乙类件每件收入2元．累计工作1小时，只送甲类件，最多可送30件，只送乙类件，最多可送10件；累计工作2小时，只送甲类件，最多可送55件，只送乙类件，最多可送20件；…，经整理形成统计表如表：累计工作时长最多件数（时）种类（件）12345678甲类件305580100115125135145乙类件1020304050607080（1）如果快递员一天工作8小时，且只送某一类件，那么他一天的最大收入为元；（2）如果快递员一天累计送x小时甲类件，y小时乙类件，且x+y＝8，x，y均为正整数，那么他一天的最大收入为元．【分析】（1）根据表格数据得出答案即可；（2）根据x+y＝8，x，y均为正整数，得出最大收入即可．【解答】解：（1）当只送乙类件时，他一天的最大收入为2×80＝160； （2）∵x +y ＝8，x ，y 均为正整数，所以当送甲类件3小时，乙类件5小时时，他一天的最大收入为80×1+50×2＝180， 故答案为：160；180．13．（2020•丰台区一模）某研究所发布了《2019年中国城市综合实力排行榜》，其中部分城市的综合实力、GDP 和教育科研与医疗的排名情况如图所示，综合实力排名全国第5名的城市，教育科研与医疗排名全国第 名．【分析】由第一个图可得综合实力排名全国第5名的城市的GDP 排名第九，再由第二个图可求解． 【解答】解：由第一个图可得综合实力排名全国第5名的城市的GDP 排名第九， 由第二个图可得GDP 排名第九的城市的教育科研与医疗的排名为第3名， 故答案为：3．14．（2020•燕山一模）某大学为了解学生在A ，B 两家餐厅用餐的满意度，从在A ，B 两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行了评分，统计如下：人数 满意度评分 餐厅 非常满意（20分） 较满意（15分） 一般（10分） 不太满意 （5分）非常不满意（0分）合计A 28 40 10 10 12 100 B25204564100若小芸要在A ，B 两家餐厅中选择一家用餐，根据表格中数据，你建议她去 餐厅（填A 或B ），理由是 ．【分析】根据表格中的数据，建议她去A 餐厅，然后表格中的数据可知非常满意和较满意的人数A餐厅较多，即可解答本题．【解答】解：若小芸要在A，B两家餐厅中选择一家用餐，根据表格中数据，你建议她去A餐厅，理由是：在A餐厅用餐非常满意和较满意的人员比例更大，故答案为：A，在A餐厅用餐非常满意和较满意的人员比例更大．15．（2020•平谷区一模）某公司计划招募10名技术人员，他们对20名面试合格人员进行了测试，测试包括理论知识和实践操作两部分，20名应聘者的成绩排名情况如图所示，下面有3个推断：①甲测试成绩非常优秀，入选的可能性很大；②乙的理论知识排名比实践操作排名靠前；③位于椭圆形区域内的应聘者应该加强该专业理论知识的学习；其中合理的是．（写序号）【分析】利用图中信息一一判断即可．【解答】解：从图中信息可知，甲的成绩排名比较落后，故入选的可能性不大．故①错误．乙的理论知识排名第一，实践操作排名第7，故②正确．位于椭圆形区域内的应聘者，实践操作排名比较前，理论知识排名比较后，所以位于椭圆形区域内的应聘者应该加强该专业理论知识的学习，故③正确，故答案为②③．16．（2020•顺义区一模）某同学要统计本校图书馆最受学生欢迎的图书种类，以下是打乱顺序的统计步骤：①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类；②去图书馆收集学生借阅图书的记录；③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比；④整理借阅图书记录并绘制频数分布表，正确统计步骤的顺序是．【分析】根据题意和频数分布表、扇形统计图制作的步骤，可以解答本题．【解答】解：正确统计步骤的顺序是：②去图书馆收集学生借阅图书的记录；④整理借阅图书记录并绘制频数分布表；③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比；①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类；故答案为：②④③①．17．（2020•石景山区一模）为了做到合理用药，使药物在人体内发挥疗效作用，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度与最低中毒浓度之间．某成人患者在单次口服1单位某药后，体内血药浓度及相关信息如图：根据图中提供的信息，下列关于成人患者使用该药物的说法中：①首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥疗效作用；②每间隔4小时服用该药物1单位，可以使药物持续发挥治疗作用；③每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2.5小时，不会发生药物中毒．所有正确的说法是．【分析】根据该药物的血药浓度应介于最低有效浓度与最低中毒浓度之间时，药物在人体内发挥疗效作用，通过观察图象的变化情况即可判断①②正确，③错误．【解答】解：∵该药物的血药浓度应介于最低有效浓度与最低中毒浓度之间时，药物在人体内发挥疗效作用，∴观察图象的变化情况可知：①首次服用该药物1单位约10分钟后，达到最低有效浓度，药物开始发挥疗效作用，所以①正确；②每间隔4小时服用该药物1单位，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度与最低中毒浓度之间，可以使药物持续发挥治疗作用，所以②正确；③每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2.5小时，会发生药物中毒，所以③错误．故答案为：①②．18．（2020•西城区一模）某景区为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了某月（30天）接待游客人数（单位：万人）的数据，绘制了下面的统计图和统计表．每日接待游客人数（单位：万人）游玩环境评价0≤x＜5好5≤x＜10一般10≤x＜15拥挤15≤x＜20严重拥挤根据以上信息，以下四个判断中，正确的是（填写所有正确结论的序号）．①该景区这个月游玩环境评价为“拥挤或严重拥挤”的天数仅有4天；②该景区这个月每日接待游客人数的中位数在5～10万人之间；③该景区这个月平均每日接待游客人数低于5万人；④这个月1日至5日的五天中，如果某人曾经随机选择其中的两天到该景区游玩，那么他“这两天游玩环境评价均为好”的可能性为310．【分析】根据统计图与统计表，结合相关统计或概率知识逐个选项分析即可．【解答】解：①根据题意每日接待游客人数10≤x ＜15为拥挤，15≤x ＜20为严重拥挤，由统计图可知，游玩环境评价为“拥挤或严重拥挤”，1日至5日有2天，25日﹣30日有2天，共4天，故①正确；②本题中位数是指将30天的游客人数从小到大排列，第15与第16位的和除以2， 根据统计图可知0≤x ＜5的有16天，从而中位数位于0≤x ＜5范围内，故②错误； ③从统计图可以看出，接近10的有6天，大于10而小于15的有2天，15以上的有2天， 10上下的估算为10，则（10×8+15×2﹣5×10）÷16＝3.25，可以考虑为给每个0至5的补上3.25，则大部分大于5，而0至5范围内有6天接近5，故平均数一定大于5，故③错误；④由题意可知“这两天游玩环境评价均为好”的可能性为：35×24=310，故④正确．故答案为：①④．19．（2020•通州区一模）某班甲、乙、丙三名同学20天的体温数据记录如表：甲的体温乙的体温 丙的体温 温度℃ 36.136.436.536.8温度℃ 36.136.436.536.8温度℃ 36.136.436.536.8频数5555频数6446频数4664则在这20天中，甲、乙、丙三名同学的体温情况最稳定的是 ． 【分析】分别计算平均数和方差后比较即可得到答案． 【解答】解：甲的平均数为：120（36.1×5+36.4×5+36.5×5+36.8×5）＝36.45；乙的平均数为：120（36.1×6+36.4×4+36.5×4+36.8×6）＝36.45； 丙的平均数为：120（36.1×4+36.4×6+36.5×6+36.8×4）＝36.45；甲的方差为：120[5×（36.1﹣36.45）2+5×（36.4﹣36.45）2+5×（36.5﹣36.45）2+5×（36.8﹣36.45）2]＝0.0625； 乙的方差为：120[6×（36.1﹣36.45）2+4×（36.4﹣36.45）2+4×（36.5﹣36.45）2+6×（36.8﹣36.45）2]＝0.0745； 丙的方差为：120[4×（36.1﹣36.45）2+6×（36.4﹣36.45）2+6×（36.5﹣36.45）2+4×（36.8﹣36.45）2]＝0.064；∵0.064＜0.625＜0.0745，∴在这20天中，甲、乙、丙三名同学的体温情况最稳定的是丙， 故答案为：丙．20．（2020•房山区一模）已知第一组数据：12，14，16，18的方差为21S ；第二组数据：32，34，36，38的方差为22S ；第三组数据：2020，2019，2018，2017的方差为23S ，则21S ，22S ，23S 的大小关系是21S 22S _____23S （填“>”，“ =”或“<” )．【分析】根据方差是反映数据波动情况的量进行判断即可． 【解答】解：第一组和第二组数据都是间隔为2的偶数，∴两组数据波动情况相同，即：2212S S =，第三组数据是相差为1的整数，∴方差最小，即：222123S S S =>， 故答案为：=，>．21．（2020•门头沟区一模）抗击肺炎期间，小明准备借助网络评价选取一家店铺，购置防护用品．他先后选取三家店铺，对每家店铺随机选取了1000条网络评价，统计结果如表：小明选择在 （填“甲”“乙”“丙” )店铺购买防护用品，能获得良好的购物体验（即评价不低于四星）的可能性最大．【分析】不低于四星，即四星与五星的和居多为符合题意的餐厅． 【解答】解：不低于四星，即比较四星和五星的和，甲最多．故答案是：甲．三．解答题（共17小题）22．（2020•丰台区一模）居民人均可支配收入、居民人均消费总支出和恩格尔系数都是反映居民生活水平的指标，其中恩格尔系数指居民家庭中食品支出占消费总支出的比重，恩格尔系数越小，说明食品支出占消费总支出比重越低，居民家庭越富裕，反之越贫穷． 下面是根据从权威机构获得的部分数据绘制的统计图：根据以上信息，回答下列问题：（1）2019年中国城乡居民恩格尔系数m 约为 28.3% （精确到0.1%）； （2）2019年居民人均消费总支出n 约为 2.1 万元（精确到千位）； （3）下面的推断合理的是 ①② ．①2015﹣2019年中国城乡居民人均可支配收入和人均消费总支出均呈逐年上升的趋势，说明中国居民生活水平逐步提高；②2015﹣2019年中国城乡居民恩格尔系数呈现下降趋势，说明中国居民家庭富裕程度越来越高． 【分析】（1）根据扇形统计图中食品所占的圆心角的度数÷360°即可得到结论； （2）根据食品支出占消费总支出的百分比×0.6即可得到结论； （3）由折线统计图和条形统计图中的信息监控得到结论． 【解答】解：（1）2019年中国城乡居民恩格尔系数m 约为102°360°×100%≈28.3%，故答案为：28.3%；（2）2019年居民人均消费总支出n约为0.6÷28.3%≈2.1（万元）；（3）由条形统计图可以看出2015﹣2019年中国城乡居民人均可支配收入和人均消费总支出均呈逐年上升的趋势，说明中国居民生活水平逐步提高；由折线统计图可知2015﹣2019年中国城乡居民恩格尔系数呈现下降趋势，说明中国居民家庭富裕程度越来越高．故推断合理的是①②；故答案为：（1）28.3%；（2）2.1；（3）①②．23．（2020•燕山一模）为了解学生居家学习期间对函数知识的掌握情况，某学校数学教师对九年级全体学生进行了一次摸底测试，测试含一次函数、二次函数和反比例函数三项内容，每项满分10分．现随机抽取20名学生的成绩（成绩均为整数）进行收集、整理、描述和分析，下面给出了部分信息：a．该20名学生一次函数测试成绩如下：7 9 10 9 7 6 8 10 10 8 6 10 10 9 10 9 9 910 10b．该20名学生总成绩和二次函数测试成绩情况统计图：c．该20名学生总成绩平均分为25分，一次函数测试平均分为8.8分．根据以上信息，回答下列问题：（1）该20名学生一次函数测试成绩的中位数是9，众数是10．。

专题07 圆的有关计算及证明一．选择题（共9小题）1．（2020•丰台区一模）在⊙O中按如下步骤作图：（1）作⊙O的直径AD；（2）以点D为圆心，DO长为半径画弧，交⊙O于B，C两点；（3）连接DB，DC，AB，AC，BC．根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中错误的是（）A．∠ABD＝90°B．∠BAD＝∠CBD C．AD⊥BC D．AC＝2CD̂=CD̂，根据垂径定理即可判断A、B、C正确，再【分析】根据作图过程可知：AD是⊙O的直径，BD根据DC＝OD，可得AD＝2CD，进而可判断D选项．【解答】解：根据作图过程可知：AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，∴A选项正确；∵BD＝CD，̂=CD̂，∴BD∴∠BAD＝∠CBD，∴B选项正确；根据垂径定理，得AD⊥BC，∴C选项正确；∵DC＝OD，∴AD＝2CD，∴D选项错误．故选：D．2．（2020•海淀区一模）如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连结BC，若OC=12OA，则∠C等于（）A．15°B．30°C．45°D．60°【分析】连接OB，构造直角△ABO，结合已知条件推知直角△ABO的直角边OB等于斜边OA的一半，则∠A＝30°．【解答】解：如图，连接OB．∵AB与⊙O相切于点B，∴∠ABO＝90°．∵OB＝OC，OC=12 OA，∴∠C＝∠OBC，OB=12OA，∴∠A＝30°，∴∠AOB＝60°，则∠C+∠OBC＝60°，∴∠C＝30°．故选：B．3．（2020•平谷区一模）已知锐角∠AOB如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作弧DE，交射线OB于点F，连接CF；（2）以点F为圆心，CF长为半径作弧，交弧DE于点G；（3）连接FG，CG．作射线OG．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．∠BOG＝∠AOB B．若CG＝OC，则∠AOB＝30°C．OF垂直平分CG D．CG＝2FG【分析】依据作图即可得出△OCF≌△OGF（SSS），即可得到对应角相等；再根据等边三角形的性质，即可得到∠AOB＝30°；依据OC＝OE，FC＝FG，即可得出OF垂直平分CG，CG＝2MG＜2FG．【解答】解：由作图可得，OC＝OE，FC＝FG，OF＝OF，∴△OCF≌△OGF（SSS），∴∠BOG＝∠AOB，故A选项正确；若CG＝OC＝OG，则△OCG是等边三角形，∴∠COG＝60°，∴∠AOB=12∠COG＝30°，故B选项正确；∵OC＝OE，FC＝FG，∴OF垂直平分CG，故C选项正确；∴CG＝2MG＜2FG，故D选项错误；故选：D．4．（2020•石景山区一模）如图，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，弦AD 的延长线与弦BC 的延长线相交于点E ．用①AB 是⊙O 的直径，②CB ＝CE ，③AB ＝AE 中的两个作为题设，余下的一个作为结论组成一个命题，则组成真命题的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【分析】根据题意和图形，可以写出其中的两个为题设，一个为结论时的命题是否为真命题，然后写出理由即可．【解答】解：当①②为题设时，③为结论，这个命题是真命题， 理由：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°， ∴∠ACB ＝∠ACE ＝90°， 在△ACB 和△ACE 中， {AC =AC∠ACB =∠ACE BC =EC， ∴△ACB ≌△ACE （SAS ）， ∴AB ＝AC ；当①③为题设，②为结论时，这个命题是真命题， 理由：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°， ∴∠ACB ＝∠ACE ＝90°， 在Rt △ACB 和Rt △ACE 中， {AB =AE AC =AC， ∴Rt △ACB ≌Rt △ACE （HL ）， ∴CB ＝CE ；当②③为题设，①为结论时，这个命题是真命题， 理由：在△ACB 和△ACE 中，{AB =AE AC =AC CB =CE， ∴△ACB ≌△ACE （SSS ）， ∴∠ACB ＝∠ACE ，又∵∠ACB +∠ACE ＝180°， ∴∠ACB ＝∠ACE ＝90°， ∴AB 是⊙O 的直径； 故选：D ．5．（2020•西城区一模）如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的两点．若∠CAB ＝65°，则∠ADC 的度数为（ ）A ．65°B ．35°C ．32.5°D ．25°【分析】首先利用直径所对的圆周角是直角确定∠ACB ＝90°，然后根据∠CAB ＝65°求得∠ABC 的度数，利用同弧所对的圆周角相等确定答案即可． 【解答】解：∵AB 是直径， ∴∠ACB ＝90°， ∵∠CAB ＝65°，∴∠ABC ＝90°﹣∠CAB ＝25°， ∴∠ADC ＝∠ABC ＝25°， 故选：D ．6．（2020•延庆区一模）如图，在⊙O 中，点C 在优弧AB ̂上，将弧BC ̂沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ．若⊙O 的半径为√5，AB ＝4，则BC 的长是（ ）A ．2√3B ．3√2C ．5√32D ．√652【分析】连接OD 、AC 、DC 、OB 、OC ，作CE ⊥AB 于E ，OF ⊥CE 于F ，如图，利用垂径定理得到OD ⊥AB ，则AD ＝BD =12AB ＝2，于是根据勾股定理可计算出OD ＝1，再利用折叠的性质可判断弧AC 和弧CD 所在的圆为等圆，则根据圆周角定理得到AĈ=CD ̂，所以AC ＝DC ，利用等腰三角形的性质得AE ＝DE ＝1，接着证明四边形ODEF 为正方形得到OF ＝EF ＝1，然后计算出CF 后得到CE ＝BE ＝3，于是得到BC ＝3√2．【解答】解：连接OD 、AC 、DC 、OB 、OC ，作CE ⊥AB 于E ，OF ⊥CE 于F ，如图， ∵D 为AB 的中点， ∴OD ⊥AB ，∴AD ＝BD =12AB ＝2，在Rt △OBD 中，OD =√(√5)2−22=1， ∵将弧BĈ沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ． ∴弧AC 和弧CD 所在的圆为等圆， ∴AC ̂=CD ̂， ∴AC ＝DC ， ∴AE ＝DE ＝1，易得四边形ODEF 为正方形， ∴OF ＝EF ＝1，在Rt △OCF 中，CF =√(√5)2−12=2， ∴CE ＝CF +EF ＝2+1＝3， 而BE ＝BD +DE ＝2+1＝3， ∴BC ＝3√2．故选：B．7．（2020•朝阳区一模）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，CD＝4，tan C=12，则AB的长为（）A．2.5B．4C．5D．10【分析】首先根据垂径定理和CD的长求得CE和DE的长，然后根据同弧所对的圆周角相等确定∠B＝∠C，根据正切的定义求得AE和BE的长即可求得答案．【解答】解：∵AB⊥CD，CD＝4，∴CE＝DE＝2，∵∠B＝∠C，tan C=1 2，∴tan B=1 2，∴AE＝1，BE＝4，∴AB＝AE+BE＝1+4＝5，故选：C．8．（2020•朝阳区一模）如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1，l2于B，C两点，以点C为圆心，CB长为半径画弧，与前弧交于点D（不与点B重合），连接AC，AD，BC，CD，其中AD交l2于点E．若∠ECA＝40°，则下列结论错误的是（）A．∠ABC＝70°B．∠BAD＝80°C．CE＝CD D．CE＝AE 【分析】根据平行线的性质得出∠CAB＝40°，进而利用圆的概念判断即可．【解答】解：∵直线l1∥l2，∴∠ECA＝∠CAB＝40°，∵以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1，l2于B，C两点，∴BA＝AC＝AD，∴∠ABC=180°−40°2=70°，故A正确；∵以点C为圆心，CB长为半径画弧，与前弧交于点D（不与点B重合），∴CB＝CD，∴∠CAB＝∠DAC＝40°，∴∠BAD＝40°+40°＝80°，故B正确；∵∠ECA＝40°，∠DAC＝40°，∴CE＝AE，故D正确；故选：C．9．（2020•大兴区一模）如图，A、B、C三点在⊙O上，且∠AOB＝80°，则∠ACB等于（）A．100°B．80°C．50°D．40°【分析】由圆周角定理知，∠ACB=12∠AOB＝40°．【解答】解：∵∠AOB＝80°∴∠ACB=12∠AOB＝40°．故选：D．二．填空题（共6小题）10．（2020•燕山一模）已知⊙O．如图，（1）作⊙O的直径AB；（2）以点A为圆心，AO长为半径画弧，交⊙O于C，D两点；（3）连接CD交AB于点E，连接AC，BC．根据以上作图过程及所作图形，有下面三个推断：①CE＝DE；②BE＝3AE；③BC＝2CE．所有正确推断的序号是．̂=AD̂，再根据垂径定理即可判断；【分析】①连接OC，根据作图过程可得AC②根据作图过程可得AC＝OA＝OC，即△AOC是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可判断；③可以根据直角三角形30度角所对直角边等于斜边的一半，也可以根据三角形相似对应边成比例得结论．【解答】解：如图，连接OC，①∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵以点A为圆心，AO长为半径画弧，交⊙O于C，D两点，̂=AD̂，∴AC根据垂径定理，得AB⊥CE，CE＝DE，所以①正确；②∵AC＝OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∵AB⊥CE，∴AE＝OE，∴BE＝BO+OE＝3AE，∴②正确； ③方法一：∵∠CAO ＝60°，∠ACB ＝90°，∠CBE ＝30°， ∴BC ＝2CE ． 所以③正确． 方法二：由△ACE ∽△CBE ，∴AC ：AE ＝BC ：CE ＝2：1， ∴BC ＝2CE ， 所以③正确．11．（2020•东城区一模）如图，半径为√3的⊙O 与边长为8的等边三角形ABC 的两边AB 、BC 都相切，连接OC ，则tan ∠OCB ＝ ．【分析】根据切线长定理得出∠OBC ＝∠OBA =12∠ABC ＝30°，解直角三角形求得BD ，即可求得CD ，然后解直角三角形OCD 即可求得tan ∠OCB 的值． 【解答】解：连接OB ，作OD ⊥BC 于D ， ∵⊙O 与等边三角形ABC 的两边AB 、BC 都相切， ∴∠OBC ＝∠OBA =12∠ABC ＝30°， ∴tan ∠OBC =ODBD ， ∴BD =ODtan30°=√333=3，∴CD ＝BC ﹣BD ＝8﹣3＝5， ∴tan ∠OCB =ODCD =√35． 故答案为√35．12．（2020•石景山区一模）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中卷九中记载了一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意思是：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，BE＝1寸，CD＝1尺，那么直径AB的长为多少寸？（注：1尺＝10寸）根据题意，该圆的直径为寸．【分析】连接OC，由直径AB与弦CD垂直，根据垂径定理得到E为CD的中点，由CD的长求出DE 的长，设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，由勾股定理得出方程，解方程求出半径，即可得出直径AB的长．【解答】解：连接OC，∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径，∴E为CD的中点，又∵CD＝10寸，∴CE＝DE=12CD＝5寸，设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，由勾股定理得：OE2+CE2＝OC2，即（x﹣1）2+52＝x2，解得：x＝13，∴AB＝26寸，即直径AB的长为26寸，故答案为：26．13．（2020•延庆区一模）把光盘、含60°角的三角板和直尺如图摆放，AB＝2，则光盘的直径是．【分析】设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，由切线长定理得出AB＝CB＝2，∠OBA＝60°，根据OA＝AB tan∠OBA可得答案．【解答】解：设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，如图所示：由切线长定理知AB＝CB＝2，OA平分∠ABC，∴∠OBA＝60°，在Rt△ABO中，OA＝AB tan∠OBA＝2√3，∴光盘的直径为4√3，故答案为：4√3．14．（2020•房山区一模）如图，AC是⊙O的弦，AC＝6，点B是⊙O上的一个动点，且∠ABC＝60°，若点M、N分别是AC、BC的中点，则MN的最大值是．【分析】作直径AD，如图，先判断NM为△CAB的中位线得到MN=12AB，再根据圆周角定理得到∠ACD＝90°，利用含30度的直角三角形三边的关系得到AD＝4√3，由于AB＝AD时，AB的值最大，从而得到MN的最大值．【解答】解：作直径AD，如图，∵点M、N分别是AC、BC的中点，∴NM为△CAB的中位线，∴MN=12AB，∵AD为直径，∴∠ACD＝90°，∵∠ADC＝∠ABC＝60°∴CD=√33AC＝2√3，AD＝2CD＝4√3，当AB＝AD时，AB的值最大，∴AB最大值为4√3，MN的最大值为2√3．故答案为2√3．15．（2020•密云区一模）如图，AB为⊙O直径，点C为⊙O上一点，点D为AĈ的中点，且OD与AC相交于点E，若⊙O的半径为4，∠CAB＝30°，则弦AC的长度为．【分析】利用垂径定理得到OD⊥AC，AE＝CE，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求出AE，从而得到AC的长．【解答】解：∵点D为AĈ的中点，∴OD⊥AC，∴AE＝CE，在Rt△OAE中，∵∠OAE＝30°，∴OE=12OA＝2，AE=√3OE＝2√3，∴AC＝2AE＝4√3．故答案为4√3．三．解答题（共14小题）16．（2020•燕山一模）如图，AB为⊙O的直径，AC为弦，点D为BĈ中点，过点D作DE⊥直线AC，垂足为E，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若EF＝4，sin∠F=35，求⊙O的半径．【分析】（1）如图，连接BC，OD，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，求得OD⊥BC，得到OD⊥EF，于是得到结论；（2）解直角三角形得到AE＝3，AF＝5，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：如图，连接BC，OD，∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°， 又∵EF ⊥AE ， ∴BC ∥EF ， ∵点D 为BC ̂中点， ∴OD ⊥BC ， ∴OD ⊥EF ，又∵OD 是⊙O 的半径， ∴EF 是⊙O 的切线；（2）解：在Rt △AEF 中，∠AEF ＝90°，EF ＝4，sin ∠F =35， ∴AE ＝3，AF ＝5， ∵OD ∥AE ， ∴△ODF ∽△AEF ， ∴OD AE=OF AF，设⊙O 的半径为r ，则OD ＝r ，OF ＝AF ﹣AO ＝5﹣r ， ∴r3=5−r 5，解得r =158， ∴⊙O 的半径为158．17．（2020•海淀区一模）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 为BC 边的中点，以AD 为直径作⊙O ，分别与AB ，AC 交于点E ，F ，过点E 作EG ⊥BC 于G ． （1）求证：EG 是⊙O 的切线；（2）若AF ＝6，⊙O 的半径为5，求BE 的长．【分析】（1）先判断出EF是⊙O的直径，进而判断出OE∥BC，即可得出结论；（2）先根据勾股定理求出AE，再判断出BE＝AE，即可得出结论．【解答】（1）证明：如图，连接EF，∵∠BAC＝90°，∴EF是⊙O的直径，∴OA＝OE，∴∠BAD＝∠AEO，∵点D是Rt△ABC的斜边BC的中点，∴AD＝BD，∴∠B＝∠BAD，∴∠AEO＝∠B，∴OE∥BC，∵EG⊥BC，∴OE⊥EG，∵点E在⊙O上，∴EG是⊙O的切线；（2）∵⊙O的半径为5，∴EF＝2OE＝10，在Rt△AEF中，AF＝6，根据勾股定理得，AE=2−AF2=8，由（1）知OE∥BC，∵OA＝OD，∴BE＝AE＝8．18．（2020•平谷区一模）如图，等边△ABC，作它的外接圆⊙O，连接AO并延长交⊙O于点D，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交AC的延长线于点F．（1）依题意补全图形并证明：DF与⊙O相切；（2）若AB＝6，求CF的长．【分析】（1）根据题意补全图形即可；（2）连接DC，根据等边三角形的性质和直径所对圆周角是直径即可求出CF的长．【解答】解：（1）如图，依题意补全图形．证明：∵等边△ABC，∴AB＝AC，̂=AĈ，∴AB∵AD过圆心O，由垂径定理，∠AEC＝90°，∵DF∥BC，∴∠ADF＝90°，∴DF与⊙O相切．（2）解：连接DC，∵等边△ABC，∴AB＝AC＝BC＝6，∠BAC＝60°，∵AD⊥BC，∴∠DAC＝30°，∵AD是直径，∴∠ACD＝90°，∴DC=2√3，∵∠DCF＝90°，∠F＝60°，∴CF＝2．19．（2020•顺义区一模）如图，在▱ABCD中，∠B＝45°，点C恰好在以AB为直径的⊙O上．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）连接BD，若AB＝8，求BD的长．【分析】（1）连接OC，欲证明CD是⊙O的切线，只要证明CD⊥OC即可．（2）连接AC，BD交于点E．求出BE，再根据BD＝2BE可得结论．【解答】（1）证明：连接OC．∵OB＝OC，∠B＝45°，∴∠BCO＝∠B＝45°．∴∠BOC＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC．∴∠OCD＝∠BOC＝90°，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线．（2）解：连接AC，BD交于点E．∵AB是直径，AB＝8，∴∠ACB＝90°．∴BC=AC=4√2，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CE=12AC=2√2，∴BE=2+CE2=√40=2√10，∴BD=2BE=4√10．20．（2020•东城区一模）如图，直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，与⊙O相交于点P，OA＝5．C是直线l 上一点，连接CP并延长，交⊙O于点B，且AB＝AC．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若tan∠ACB=12，求线段BP的长．【分析】（1）连接OB，由等腰三角形的性质可得∠ACB＝∠ABC，∠OBP＝∠OPB＝∠CP A，由余角的性质可求∠ABO＝90°，可得结论；（2）过点O作OD⊥BP于D，设AP＝x，AC＝2x，由勾股定理可求AP＝2，AC＝4，由勾股定理可求CP的长，通过证明△ACP∽△DOP，可求PD的长，由等腰三角形的性质可求BP的长．【解答】证明：（1）连接OB，则OP＝OB，∴∠OBP＝∠OPB＝∠CP A，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∵OA⊥l，∴∠OAC＝90°，∴∠ACB+∠CP A＝90°，∴∠ABP+∠OBP＝90°，∴∠ABO＝90°，∴OB⊥AB，∴AB是⊙O的切线；（2）如图，过点O作OD⊥BP于D，∵tan ∠ACB =AP AC =12， ∴设AP ＝x ，AC ＝2x ， ∴AB ＝2x ，OP ＝OB ＝5﹣x ， ∵AO 2＝OB 2+AB 2， ∴25＝（5﹣x ）2+4x 2， ∴x ＝2， ∴AP ＝2，AC ＝4 ∴OB ＝OP ＝3， ∴CP =√AC 2+AP2=√16+4=2√5，∵∠CAP ＝∠ODP ＝90°，∠APC ＝∠OPD ， ∴△ACP ∽△DOP ， ∴PD PA=OP CP=OD CA，∴PD =OP⋅PA CP=35√5， ∵OB ＝OP ，OD ⊥BP ， ∴BP ＝2PD =6√55． 21．（2020•石景山区一模）如图，AB 是⊙O 的直径，直线PQ 与⊙O 相切于点C ，以OB ，BC 为边作▱OBCD ，连接AD 并延长交⊙O 于点E ，交直线PQ 于点F ． （1）求证：AF ⊥CF ；（2）连接OC ，BD 交于点H ，若tan ∠OCB ＝3，⊙O 的半径是5，求BD 的长．【分析】（1）连接OC，如图，根据平行四边形的性质得到DC∥OB，DC＝OB，推出四边形OCDA是平行四边形，得到AF∥OC，根据切线的性质得到∠OCQ＝90°，于是得到结论；（2）过点B作BN⊥OC于点N，如图，根据平行四边形的性质得到BD＝2BH，CH=12CO=52．tan∠NCB=BNCN=3，设CN＝x，BN＝3x，求得ON＝5﹣x．根据勾股定理即可得到结论．【解答】（1）证明：连接OC，如图，∵四边形OBCD是平行四边形，∴DC∥OB，DC＝OB，∵AO＝OB，∴DC∥AO，DC＝AO，∴四边形OCDA是平行四边形，∴AF∥OC，∵直线PQ与⊙O相切于点C，OC是半径，∴∠OCQ＝90°，∴∠AFC＝∠OCQ＝90°，即AF⊥CF；（2）解：过点B作BN⊥OC于点N，如图，∵四边形OBCD是平行四边形，∴BD＝2BH，CH=12CO=52．在Rt△BNC中，tan∠NCB=BNCN=3，设CN＝x，BN＝3x，∴ON＝5﹣x．在Rt△ONB中，（5﹣x）2+（3x）2＝52，解得x1＝0（舍），x2＝1．∴BN＝3x＝3，HN=52−x=32．在Rt△HNB中，由勾股定理可得BH=3√5 2．∴BD=2BH=3√5．22．（2020•西城区一模）如图，四边形OABC中，∠OAB＝90°，OA＝OC，BA＝BC．以O为圆心，以OA为半径作⊙O．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）连接BO并延长交⊙O于点D，延长AO交⊙O于点E，与BC的延长线交于点F，若AD̂=AĈ，①补全图形；②求证：OF＝OB．【分析】（1）连接AC，根据等腰三角形的性质得到∠OAC＝∠OCA，∠BAC＝∠BCA，得到∠OCB＝∠OAB＝90°，根据切线的判定定理证明；（2）①根据题意画出图形；②根据切线长定理得到BA＝BC，得到BD是AC的垂直平分线，根据垂径定理、圆心角和弧的关系定理得到∠AOC＝120°，根据等腰三角形的判定定理证明结论．【解答】（1）证明：如图1，连接AC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵BA＝BC，∴∠BAC＝∠BCA，∴∠OAC+∠BCA＝∠OCA+∠BCA，即∠OCB＝∠OAB＝90°，∴OC⊥BC，∴BC是⊙O的切线；（2）①解：补全图形如图2；②证明：∵∠OAB＝90°，∴BA是⊙O的切线，又BC是⊙O的切线，∴BA＝BC，∵BA＝BC，OA＝OC，∴BD是AC的垂直平分线，̂=CD̂，∴AD̂=AĈ，∵AD̂=CD̂=AĈ，∴AD∴∠AOC＝120°，∴∠AOB＝∠COB＝∠COE＝60°，∴∠OBF＝∠F＝30°，∴OF＝OB．23．（2020•通州区一模）已知：△ABC为等边三角形．（1）求作：△ABC的外接圆⊙O．（不写作法，保留作图痕迹）（2）射线AO交BC于点D，交⊙O于点E，过E作⊙O的切线EF，与AB的延长线交于点F．①根据题意，将（1）中图形补全；②求证：EF∥BC；③若DE＝2，求EF的长．【分析】（1）直接利用外接圆的作法作出三角形任意两边的垂直平分线，进而得出外接圆圆心，进而得出答案；（2）①按题意画出图形即可；②连接OB，OC，证明AE⊥BC．可得出AE⊥EF，则结论得证；③得出∠BOD＝60°，设OD＝x，则OB＝OE＝2+x，得出cos∠BOD=ODOB=x2+x=12，求出x＝2，得出tan∠BAD=EFAE=EF8=√33，则可求出EF的值．【解答】解：（1）如图所示：⊙O即为所求．（2）①如图2，补全图形：②证明：连接OB，OC，∵OB＝OC，∴点O在线段BC的垂直平分线上，∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上，∴AO垂直平分BC，∴AE⊥BC．∵直线EF为⊙O的切线，∴AE⊥EF，∴EF∥BC；③解：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AB＝AC，AE⊥BC，∴∠BAD=12∠BAC，∴∠BAD＝30°，∴∠BOD＝60°，∵DE＝2，设OD＝x，∴OB＝OE＝2+x，在Rt△OBD中，∵OD⊥BC，∠BOD＝60°，∴cos∠BOD=ODOB=x2+x=12，∴x＝2，∴OD＝2，OB＝4，∴AE＝8，在△AEF中，∵AE⊥EF，∠BAD＝30°，∴tan∠BAD=EFAE=EF8=√33，∴EF=8√3 3．24．（2020•延庆区一模）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，点D是弧BC的中点，连接AC，BD，过点D作AC的垂线EF，交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F．（1）依题意补全图形；（2）判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；（3）若AB＝5，BD＝3，求线段BF的长．【分析】（1）依据几何语言进行画图即可；（2）连接OD．求得∠FDO＝90°，即可得到直线EF是⊙O的切线；（3）连接AD．依据△ABD∽ADE，即可得到AE＝3.2．设BF＝x，则OF＝2.5+x，AF＝5+x．再根据△ODF∽△AEF，即可得到BF=45 7．【解答】解：（1）如图所示：（2）相切，理由如下：如图，连接OD．∵点D是弧BC的中点，∴∠BOD＝∠F AE．∴OD∥AE．∴∠FDO＝∠E．∵AE⊥EF，∴∠E＝90°．∴∠FDO＝90°．∴直线EF是⊙O的切线．（3）如图，连接AD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．∵AB＝5，BD＝3，∴AD＝4．∵∠E ＝∠ADB ＝90°，∠BAD ＝∠DAE ， ∴△ABD ∽ADE ， ∴AE AD=AD AB，∴AE ＝3.2．设BF ＝x ，则OF ＝2.5+x ，AF ＝5+x ． ∵OD ∥AE ， ∴△ODF ∽△AEF ， ∴OD OF=AE AF，∴2.52.5+x=3.25+x，解得x =457． ∴BF =457． 25．（2020•门头沟区一模）如图，∠APB ，点C 在射线PB 上，PC 为⊙O 的直径，在∠APB 内部且到∠APB 两边距离都相等的所有的点组成图形M ，图形M 交⊙O 于D ，过点D 作直线DE ⊥P A ，分别交射线P A ，PB 于E ，F ．（1）根据题意补全图形； （2）求证：DE 是⊙O 的切线；（3）如果PC ＝2CF ，且DF =√3，求PE 的长．【分析】（1）根据要求画出图形即可．（2）欲证明DE 是⊙O 的切线，只要证明DE ⊥OD 即可．（3）首先证明OF ＝2OD ，推出∠OFD ＝30°，解直角三角形求出OD ，OF ，PF 即可解决问题． 【解答】（1）解：图形如图所示：（2）证明：连接OD．∵OD＝OP，∴∠ODP＝∠OPD，∴PD平分∠APB，∴∠APD＝∠POD，∴∠APD＝∠ODP，∴OD∥P A，∵DE⊥P A，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线．（3）解：∵PC＝2CF，∴可以假设CF＝x，则PC＝2x，OD=12OF，∵∠ODF＝90°，∴∠OFD＝30°，∵DF=√3，∴OD＝DF•tan30°＝1，∴OF＝2OD＝2，PF＝3，在Rt△PEF中，∵∠PEF＝90°，∠PFE＝30°，∴PE=12PF=32．26．（2020•朝阳区一模）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5．在同一平面内，△ABC内部一点O 到AB，AC，BC的距离都等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G．（1）直接写出a的值；（2）连接BO并延长，交AC于点M，过点M作MN⊥BC于点N．①求证：∠BMA＝∠BMN；②求直线MN与图形G的公共点个数．【分析】（1）根据题意可得三角形ABC是直角三角形，再根据切线长定理即可求出a的值；（2）①根据题意可得点O是三角形ABC的内心，再根据三角形内角和即可得结论；②作OE⊥MN于点E，根据角平分线的性质可得OD＝OE，所以得OE为圆O的半径，进而可得MN为圆O的切线，即可得出结论．【解答】解：（1）如图，∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，∴33+42＝52，∴∠A＝90°，∴△ABC是直角三角形，由题意可知：图形G是以O为圆心，a为半径的圆，AB，AC，BC与圆O相切，设切点分别为F，D，Q，连接OF，OD，OQ，∴OF⊥AB，OD⊥AC，OQ⊥BC，∴四边形AFOD为正方形，∴AF＝AD＝OF＝OD＝a，根据切线长定理可知：BF＝BQ＝3﹣a，CD＝CQ＝4﹣a，∴3﹣a+4﹣a＝5，解得a＝1；（2）①由题意可知：点O是△ABC的内心，∴∠ABM＝∠CBM，∵MA⊥AB，MB⊥BC，∴∠A＝∠BNM＝90°，∴∠BMA＝∠BMN；②如图，作OE⊥MN于点E，∵∠BMA＝∠BMN，∵OD⊥AC，∴OD＝OE，∴OE为圆O的半径，∴MN为圆O的切线，∴直线MN与图形G的公共点个数为1．27．（2020•密云区一模）如图，AB为⊙O的直径，点C、点D为⊙O上异于A、B的两点，连接CD，过点C作CE⊥DB，交DB的延长线于点E，连接AC、AD．（1）若∠ABD＝2∠BDC，求证：CE是⊙O的切线．（2）若⊙O的半径为√5，tan∠BDC=12，求AC的长．【分析】（1）连接OC，可证明OC∥DE，由于CE⊥DB，∠CED＝90°，所以∠OCE＝90°，OC⊥CE，根据切线的判定即可求出答案．（2）连接BC，由于∠BDC＝∠BAC，所以tan∠BAC＝tan∠BDC=12，设BC＝x，AC＝2x，所以AB=√5x，列出方程即可求出x的值．【解答】解：（1）连接OC，∵OC ＝OA ，∴∠OCA ＝∠OAC ，∴∠COB ＝2∠OAC ，∵∠BDC ＝∠OAC ，∠ABD ＝2∠BDC ，∴∠COB ＝∠ABD ，∴OC ∥DE ，∵CE ⊥DB ，∠CED ＝90°，∴∠OCE ＝90°，OC ⊥CE ，∴CE 是⊙O 的切线．（2）连接BC ，∵∠BDC ＝∠BAC ，∴tan ∠BAC ＝tan ∠BDC =12，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠BCA ＝90°，∴BC AC =12， 设BC ＝x ，AC ＝2x ，∴AB =√5x ，∵⊙O 的半径为√5，∴√5x ＝2√5，∴x ＝2，∴AC ＝2x ＝4．28．（2020•大兴区一模）已知：如图，在△ABC 中，∠B ＝∠C ．以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AC 于点E ．（1）求证：DE 与⊙O 相切；（2）延长DE交BA的延长线于点F，若AB＝8，sin B=√55，求线段F A的长．【分析】（1）要想证DE是⊙O的切线，只要连接OD，求证∠ODE＝90°即可；（2）连接AD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，根据三角函数的定义得到AD＝AB•sin B=8√55，求得∠B＝∠ADE，得到sin B＝sin∠ADE=AEAD=√55，求得AE=√55AD=√55×8√55=85，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）连接OD，则OD＝OB，∴∠B＝∠ODB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC．∴∠ODE＝∠DEC＝90°，∴DE是⊙O的切线；（2）连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵AB＝8，sin B=√5 5，∴AD＝AB•sin B=8√5 5，∵∠ODB+∠ADO＝∠ADO+∠ADE＝90°，∴∠BDO＝∠ADE，∴∠B＝∠ADE，∴sin B＝sin∠ADE=AEAD=√55，∴AE=√55AD=√55×8√55=85，∵OD∥AE，∴△F AE∽△FOD，∴FAFO =AEOD，∵AB＝8，∴OD＝AO＝4，∴FAFA+4= 2 5∴F A=8 3．29．（2020•丰台区一模）在Rt ABC∆中，90A∠=︒，22.5B∠=︒，点P为线段BC上一动点，当点P运动到某一位置时，它到点A，B的距离都等于a，到点P的距离等于a的所有点组成的图形为W，点D为线段BC 延长线上一点，且点D到点A的距离也等于a．（1）求直线DA与图形W的公共点的个数；（2）过点A作AE BD⊥交图形W于点E，EP的延长线交AB于点F，当2a=时，求线段EF的长．【分析】（1）连接AP，根据圆周角定理得到45APD∠=︒，求得DA AP a==，得到45D APD∠=∠=︒，推出D A PA⊥，于是得到结论；（2）根据等腰三角形的性质得到22.5BAP B∠=∠=︒，求得67.5PAC PCA∠=∠=︒，推出点C在P上，根据垂径定理得到AC CE=，求得90APE∠=︒，于是得到结论．【解答】解：（1）直线DA与图形W的公共点的个数为1个；点P到点A，B的距离都等于a，∴点P为AB的中垂线与BC的交点，到点P的距离等于a的所有点组成图形W，∴图形W是以点P为圆心，a为半径的圆，根据题意补全图形如图所示，连接AP，∠=︒，22.5B∴∠=︒，45APD点D到点A的距离也等于a，∴==，DA AP aD APD∴∠=∠=︒，45∴∠=︒，PAD90∴⊥，DA PA∴为P的切线，DA∴直线DA与图形W的公共点的个数为1个；（2）AP BP=，∴∠=∠=︒，BAP B22.5BAC∠=︒，90∴∠=∠=︒，PAC PCA67.5∴==，PA PC a∴点C在P上，⊥交图形W于点E，AE BD=，∴AE CE∴=，AC CEDPE APD∴∠=∠=︒，45APE∴∠=︒，90===，2EP AP a∴=，45AE∠=︒，E⊥，∠=︒，AE BDB22.567.5BAE ∴∠=︒，67.5AFE BAE ∴∠=∠=︒．EF AE ∴==。

2020初三数学一模分类汇编 圆（23题）1.（2020东城一模23题）23． 如图，直线l 与⊙O 相离，l OA ⊥于点A ，与⊙O 相交于点P ，5=OA .C 是直线l 上一点，连接CP 并延长，交⊙O 于点B ，且AC AB =.（1）求证：AB 是⊙O 的切线；（2）若1tan 2ACB =∠，求线段BP 的长.23. 解：(1) 证明：如图，连结OB ，则OB OP =.∴CPA OPB OBP ∠=∠=∠.ΘAC AB =，ABC ACB ∠=∠∴.而l OA ⊥，即︒=∠90OAC .︒=∠+∠∴90CPA ACB .即︒=∠+∠90OBP ABP .︒=∠∴90ABO ，AB OB ⊥∴，故AB 是⊙O 的切线.………………………………2分 （2）∵ 1tan 2ACB =∠，∴ 在Rt △ACP 中，设AP =x ,AC =2x .∵ 5=OA ，∴ 5OP x =-.∴ 5OB x =-.ΘAC AB =，∴2AB x =.∵︒=∠90ABO ，由勾股定理，得222OB AB OA +=.即 2225-)25x x +=（（）.解得 2x =.∴ AP =2.∴3OB OP ==.∴4AB AC ==.∴ 5CP =过O 作PB OD ⊥于D ，在ODP △和CAP △中，CPA OPD ∠=∠Θ，=∠=∠90CAP ODP ∴ODP △∽CAP △. =PD OP OD PA CP CA∴=. 553=⋅=∴CP PA OP PD . 5562==∴PD BP . ………………………………6分2. （2020西城一模23题） 23. 如图，四边形OABC 中，∠OAB =90°，OA = OC ，BA = BC . 以O 为圆心，以OA 为半径作⊙O .（1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）连接BO 并延长交⊙O 于点D ，延长AO 交⊙O 于点E ，与BC 的延长线交于点F ，若»»AD AC =， ① 补全图形；② 求证：OF =OB .23．（1）证明：连接AC ，∵ OC = OA ，∴点C 在⊙O 上．∵ OA = OC ， BA = BC ，∴ ∠OAC =∠OCA ，∠BAC =∠BCA ．∴ ∠OCB =∠OAB =90°．∴ OC ⊥BC 于点C ．∴ BC 是⊙O 切线．（2）① 补全图形.② 证明：∵ BA ，BC 是⊙O 的两条切线，切点分别为A ，C ，∴ BA =BC ，∠DBA =∠DBC ．∴ BD 是AC 的垂直平分线．∵ OA =OC ，∴ ∠AOB =∠COB ．∵ »»AD AC =，AE 为⊙O 的直径，∴ »»CEDE =． ∴ ∠COE =∠DOE ．∵ ∠AOB =∠DOE ，∴ ∠AOB =∠BOC =∠COE =60°．∵ BC 是⊙O 的切线，切点为C ，∴ ∠OCB =∠OCF =90°．∴ ∠OBC =∠OFC =30°．∴ OF = OB ． ······························································ 6分23．如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5．在同一平面内，△ABC内部一点O到AB，AC，BC的距离都等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G．（1）直接写出a的值；（2）连接BO并延长，交AC于点M，过点M作MN⊥BC于点N．①求证：∠BMA=∠BMN；②求直线MN与图形G的公共点个数．23．（1）a=1；（2）①由题意可知图形G是以O为圆心，a为半径的圆，AB，AC，BC与⊙O相切．∴∠ABM=∠NBM．∵AB=3，AC=4，BC=5，∴∠A=90°．∵MN⊥BC，∴∠A=∠BNM=90°．∴∠BMA=∠BMN．②如图，设⊙O与AC的切点为D，连接OD，作OE⊥MN于点E．∴OD⊥AC．∴OD = OE．∴OE为⊙O的半径．∴MN为⊙O的切线．∴直线MN与图形G的公共点个数为1．24.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D为BC边的中点，以AD为直径作⊙O，分别与AB，AC交于点E,F，过点E作EG⊥BC于G.(1)求证:EG是⊙O的切线;(2)若AF=6, ⊙O的半径为5，求BE的长5.（2020丰台一模24题）24．在Rt △ABC 中，∠A =90︒，∠B =22.5︒.点P 为线段BC 上一动点，当点P 运动到某一位置时，它到点A ，B 的距离都等于a ，到点P 的距离等于a 的所有点组成的图形为W ，点D 为线段BC 延长线上一点，且点D 到点A 的距离也等于a ．（1）求直线DA 与图形W 的公共点的个数；（2）过点A 作AE ⊥BD 交图形W 于点E ，EP 的延长线交AB 于点F ，当a=2时，求线段EF 的长.24. 解：（1）直线DA 与图形W 的公共点的个数为1个.……1分 ∵点P 到点A ，B 的距离都等于a ，∴点P 为AB 的中垂线与BC 的交点.∵到点P 的距离等于a 的所有点组成图形W .∴图形W 是以点P 为圆心，a 为半径的圆.根据题意补全图形：……2分连接AP∵∠B =22.5°，∴APD =∠45°.∵点D 到点A 的距离也等于a ，∴DA=AP=a .∴∠D =APD =∠45°.∴∠P AD = 90°.∴D A ⊥P A .∴DA 为☉P 的切线.∴直线DA 与图形W 的公共点的个数为1个. (3)分 （2） ∵AP =BP ，∴∠BAP =∠B =22.5°.∵∠BAC =90°.∴∠P AC =∠PCA =67.5°.∴P A = PC =a .∴点C 在☉P 上. ……4分∵AE ⊥BD 交图形W 于点E ， D C B A EP FA BC F P E A B C D∴AC=CE .∴∠DPE =∠APD =45°.∴∠APE = 90°.∵EP=AP=a=2，∴AE=22，45E =︒∠. …5分∵∠B =22.5°， AE ⊥BD ，∴∠BAE =67.5°.∴∠AFE =∠BAE =67.5°.∴EF=AE=22. ……6分6.（2020石景山一模）23. 如图，AB 是⊙O 的直径，直线PQ 与⊙O 相切于点C ，以OB ，BC 为边作□OBCD ， 连接AD 并延长交⊙O 于点E ，交直线PQ 于点F .（1）求证：AF CF ⊥；（2）连接OC ，BD 交于点H ，若tan 3OCB ∠=，⊙O 的半径是5，求BD 的长.23．（1）证明：连接OC ，如图1．∵四边形OBCD 是平行四边形，∴DC OB ∥，DC OB =．∵AO OB =，∴DC AO ∥，DC AO =．∴四边形OCDA 是平行四边形．∴AF OC ∥．∵直线PQ 与⊙O 相切于点C ，OC 是半径，∴90OCQ ∠=°．∴90AFC OCQ ∠=∠=°． Q P F E O D C B A QP F E O D C B A 图1即AF CF ⊥． ………… 2分（2）解：过点B 作BN OC ⊥于点N ，如图2．∵四边形OBCD 是平行四边形，∴2BD BH =，1522CH CO ==． 在BNC Rt △中，tan 3BN NCB CN ∠==， 设CN x =，3BN x =，∴5ON x =-．在ONB Rt △中，222(5)(3)5x x -+=，解得10x =（舍），21x =． ∴33BN x ==，5322HN x =-=． 在HNB Rt △中，由勾股定理可得35BH =． ∴235BD BH ==． ………………………………… 6分8.（2020通州一模）22.已知:△ABC 为等边三角形.(1)求作:△ABC 的外接圆⊙O .(不写作法，保留作图痕迹)(2)射线AO 交BC 于点D ，交⊙O 于点E ，过E 作⊙O 的切线EF ，与AB 的延长线交于点F . ①根据题意，将(1)中图形补全;②求证:EF//BC ;③若DE =2，求EF 的长.P H F O D B A QN C 图29.（2020顺义一模）22．如图，在□ABCD 中，∠B =45°，点C 恰好在以AB 为直径的⊙O 上．（1）求证：CD 是∠O 的切线；（2）连接BD ，若AB =8，求BD 的长．22．(1)证明：连接OC ，∵OB=OC ，∠B=45°，∴∠BCO =∠B=45°．∴∠BOC =90°．…………………… 1分∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥DC ．∴∠OCD=∠BOC =90°．…………2分∵OC 是，∴CD 是⊙O 的切线．……………… 3分(2)解：连接AC ，交BD 于点E ．∵AB 是直径，AB =8，∴∠ACB =90°．∴BC AC ==4分∵四边形ABCD 是平行四边形，∴12CE AC ==∴BE ===．………………………………5分∴2BD BE ==6分DD10.（2020大兴一模）23 .已知：如图，在△ABC 中，B C ∠=∠．以AB 为直径的 ⊙O 交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AC 于点E . (1)求证：DE 与⊙O 相切；(2)延长DE 交BA 的延长线于点F ，若8AB =，sin B =5，求线段FA 的长.23.（1）证明：连接OD . ……………………………………………………………1分∵OB OD =, ∴1B ∠=∠. 又∵B C ∠=∠, ∴1C ∠=∠. ∴OD ∥AC . ∵DE ⊥AC 于E , ∴∠DEC =90°=∠EDO . ∴DE ⊥OD . ∵点D 在⊙O 上， ∴DE 与⊙O 相切.……………………………………………………………2分 （2）解：连接AD . ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ADB =90°.∵AB =8，sin B =55， ∴sin AD AB B =⋅=855.…………………………………………………………3分∵123290∠+∠=∠+∠=︒，∴13∠=∠. ∴ 3.B ∠=∠在△AED 中，∠AED =90°. ∵5sinB=sin 35AE AD ∠==，∴85555AE AD ==⨯=. …………………………………………………………4分 又∵OD ∥AE ， ∴△FAE ∽△FOD . ∴FA AE FO OD=. ∵8AB =, ∴4OD AO ==. ∴245FA FA =+.∴83FA =. ……………………………………………………………6分11.（2020房山一模）24. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，以AC 为直径作⊙O 交AB 于点D ，线段BC 上有一点P ．（1）当点P 在什么位置时，直线DP 与⊙O 有且只有一个公共点，补全图形并说明理由. （2）在（1）的条件下，当210=BP ，AD =3时， 求⊙O 半径．24. （1）补全图形 ……………………………………1分 情况一：点P 在过点D 与OD 垂直的直线与BC 的交点处 ……………………………………2分理由：经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 …………………………3分 情况二：当P 是BC 中点时，直线DP 与⊙O 有且只有一个公共点…………………………………2分证明：连接CD 、OD ∵AC 为⊙O 直径∴∠ADC =∠BDC =90° 在Rt △BCD 中∵∠BDC =90°，P 是BC 中点 ∴DP=CP∴∠PDC =∠PCD ∵∠ACB =90°∴∠PCD+∠DCO =90° ∵OD=OC∴∠DCO =∠ODC∴∠PDC +∠ODC =90° ∴∠ODP =90° ∴DP ⊥OD∴直线DP 与⊙O 相切 ……………………………………3分（2）在Rt △BCD 中∵∠BDC =90°，P 是BC 中点∴2BC BP =∵210=BP∴BC ∵∠ACB =∠BDC =90° ∠B =∠B∴△ACB ∽△CDB ∴AB BCBC BD=∴2=BCAB BD g……………………………………4分设AB =x ，∵AD =3 ∴BD =x -3∴210=3-(）（）x x∴5x =（舍负）∴AB =5 ……………………………………5分在Rt △ABC 中∵∠BDC =90°∴AC∴12OC AC = ……………………………………6分22．如图，∠APB ，点C 在射线PB 上，PC 为⊙O 的直径，在∠APB 内部且到∠APB 两边距离都相等的所有的点组成图形M ，图形M 交⊙O 于D ，过点D 作直线DE ⊥PA ，分别交射线PA ，PB 于E ，F ． （1）根据题意补全图形； （2）求证：DE 是⊙O 的切线；（3）如果PC =2CF，且DF =PE 的长．22．（本小题满分6分） 解：（1）如图所示，补全图形……………………………………1分 （2）证明：连接OD .∵DE ⊥PA ，∴∠PED =90°. ……………………………………2分 ∵依题意，PD 是∠APB 的角平分线， ∴∠APD =∠DPB . ∵OP =OD ， ∴∠DPB =∠PDO .∴∠APD =∠PDO . …………………………………………………………………3分 ∴AP ∥OD ，∴∠ODF =∠PED =90°∴DE 是⊙O 的切线．………………………………………………………………4分 （3）∵PC =2CF ，∴设CF =x ，那么PC =2x ，OD =x ． ∵∠ODF =90°，∴在Rt △ODF 中，OD =12OF ．又∵DF =，∴OD =1，OF =2，PF =3．……………………………………………………………5分 ∵在Rt △PEF 中，∠PEF =90°， ∴1sin 2PE OD DFP PF OF ∠===．∴32PE =．…………………………………………………………………………6分23．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 、点D 为⊙O 上异于A 、B 的两点，连接CD ，过点C 作CE ⊥DB ，交DB 的延长线于点E ，连接AC 、AD ． (1)若∠ABD =2∠BDC ，求证：CE 是⊙O 的切线． (2)若⊙O 的半径为，，求AC 的长．23．（1）证明：连接OC ………………………………1分 ∵OC=OA ∴∠OCA =∠OAC ∴∠COB =2∠OAC∵∠BDC =∠OAC ，∠ABD =2∠BDC ∴∠COB =∠ABD∴OC // DE 2分 ∵CE ⊥DB ，∠C ED =90° ∴∠OC E =90°，OC ⊥CE∴CE 是⊙O 的切线 …………………………3分 （2）解：连接BC ………………………………4分 ∵∠BDC=∠BAC ，∴tan ∠BAC= tan ∠BDC=12∵ AB 是⊙O 的直径 ∴∠BCA=90°∴12BC AC =设BC =x ，AC =2x∴AB =5x ∵⊙O 的半径为5∴5x =25 ∴ x =2∴AC =2x =4 ………………………………6分51tan 2BDC ∠=E OBCE OBC22.如图，等边∠ABC ，作它的外接圆∠O ，连接AO 并延长交∠O 于点D ，交BC 于点E,过点D 作DF//BC ，交AC 的延长线于点F.（1）依题意补全图形并证明：DF 与∠O 相切； （2）若AB=6，求CF 的长.22．(1)依题意补全图形. (1)证明： ∵等边∠ABC ，∴AB=AC∴ººAB=AC (2)∵AD 过圆心O由垂径定理，∠AEC=90°∵DF//BC ， ∴∠ADF=90°∴DF 与∠O 相切..........................................3 （2）解：连接DC∵等边∠ABC ， ∴AB=AC=BC=6∠BAC=60°．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．４ ∵AD ⊥BC ∴∠DAC=30° ∵AD 是直径 ∴∠ACD=90°∴32DC ...........................................................5 ∵∠DCF=90°，∠F=60°∴CF=2 (6)16.(2020延庆一模）22.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上的一点，点D 是弧BC 的中点，连接AC ，BD ，过点D 作AC 的垂线EF ，交AC 的延长线于点E ，交AB 的延长线于点F . (1)依题意补全图形；(2)判断直线EF 与⊙O 的位置关系，并说明理由； (3)若AB =5，B D =3，求线段BF 的长.（1）画图（2）相切 ，理由如下： 连接OD ．∠点D 是弧BC 的中点， ∠∠BOD ＝∠F AE ． ∠OD ∠AE ． ∠∠FDO ＝∠E ． ∠AE ∠EF ，∠∠E ＝90°．∴∠FDO ＝90°．∴直线EF 是∠O 的切线． （3）连接AD ．∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°． ∵AB =5，BD =3， ∴AD ＝4． ∴AE ＝3.2． 设BF=x ，则OF =2.5+x ，AF ＝5+x ．∴x x +=+52.35.25.2 ∴x =745．∴BF ＝745．17.（2020燕山一模）22．如图，AB 为⊙O 的直径，AC 为弦，点D 为BC ︵中点，过点D 作DE ⊥直线AC ，垂足为E ，交AB 的延长线于点F ． (1) 求证：EF 是⊙O 的切线；(2) 若EF ＝4，sin F ＝35，求⊙O 的半径．22．(1)证法1：如图，连接OC ，OD ，∵点D 为BC ︵中点， ∴∠1＝∠2＝12∠BOC ． ………………………………1分 ∵OA ＝OC ， ∴∠A ＝∠3＝12∠BOC ． ∴∠1＝∠3， ∴OD ∥AE ． ∵EF ⊥AE ， ∴EF ⊥OD ．又∵OD 是⊙O 的半径，∴EF 是⊙O 的切线． ………………………………2分 证法2：如图，连接BC ，OD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°． ………………………………1分又∵EF ⊥AE ， ∴BC ∥EF ． ∵点D 为BC ︵中点，∴OD ⊥BC ， ∴OD ⊥EF ．又∵OD 是⊙O 的半径，∴EF 是⊙O 的切线． ………………………………2分(2) 解：在Rt △AEF 中，∠AEF ＝90°，EF ＝4，sin ∠F ＝35， ∴AE ＝3，AF ＝5． ………………………………3分 ∵OD ∥AE ，∴△ODF ∽△AEF ， ∴=OD OFAE AF． ………………………………4分 设⊙O 的半径为r ，则OD ＝r ，OF ＝AF －AO ＝5－r ，∴535-=r r． 解得r ＝158，∴⊙O 的半径为158． ………………………………5分。

【关键字】试题目录类型1：圆基础 (2)类型2：圆综合 (4)类型3：新定义问题 (9)类型1：圆基础1.（18延庆一模14）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，∠AOC=42°，那么∠CDB的度数为____________．2. （18房山一模5）如图，在⊙O中，AC为⊙O直径，B为圆上一点，若∠OBC=26°，则∠AOB的度数为（）A．26° B．52°C．54° D．56°3.（18西城一模13）如图，AB为⊙O的直径，C为AB上一点，∠BOC=50°，AD∥OC，AD交⊙O于点D，连接AC，CD，那么∠ACD=__________．4.（18朝阳毕业8）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，若∠ADE=110°，则∠AOC的度数是（）A.70°B.110°C.140°D.160°5.（18朝阳一模13）如图，点A，B，C在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，OD⊥AB于点E，交⊙O于点D，则∠BAD= 度.6.（18海淀一模14）如图，四边形ABCD是平行四边形，⊙O经过点A，C，D，与BC交于点E，连接AE，若∠D = 72°，则∠BAE = °.7.（18门头沟一模13）如图，PC是⊙O的直径，PA切⊙O于点P，AO交⊙O于点B；连接BC，若∠C=32°，则∠A=______ °．8.（18燕山一模10）在平面直角坐标系xoy中，点A(4,3) 为⊙O 上一点，B为⊙O内一点，请写出一个符合条件要求的点B 的坐标9.（18平谷一模14）如图，AB是⊙O的直径，AB⊥弦CD于点E，若AB=10，CD=8，则BE= ．10.（18石景山一模13）如图，是⊙的直径，是弦，于点，若⊙的半径是，，则．11.（18大兴一模5）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A=22.5°，OC=6，则CD的长为（）A．3 B．C．6 D．12.（18丰台一模13）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．如果∠A = 15°，弦CD = 4，那么AB的长是．13.（18朝阳毕业10）如图，正方形ABCD的边长为2，以BC为直径的半圆与对角线AC相交于点E，则图中阴影部分的面积为（）A. B.C. D.14.（18东城一模4）如图，是等边△ABC的外接圆，其半径为3. 图中阴影部分的面积是（）A．π B．C．D．类型2：圆综合1.（18平谷一模24）如图，以AB 为直径作⊙O ，过点A 作⊙O 的切线AC ，连结BC ，交⊙O 于点D ，点E 是BC 边的中点，连结AE ．（1）求证：∠AEB=2∠C ；（2）若AB=6，，求DE 的长．2.（18延庆一模23）如图，是⊙O 的直径，D 是⊙O 上一点，点是的中点，过点作⊙O 的切线交的延长线于点F ．连接并延长交于点．（1）求证：；（2）如果AB=5，，求的长．3. （18石景山一模23）如图，是⊙的直径，是弦，点是弦上一点，连接并延长交⊙于点，连接，过点作⊥交⊙的切线于点．（1）求证：；（2）若⊙的半径是，点是中点，，求线段的长．4. （18房山一模22）如图，AB 、BF 分别是⊙O 的直径和弦，弦CD 与AB 、BF 分别相交于点E 、G ，过点F 的切线HF 与DC 的延长线相交于点H ，且HF ＝HG.（1）求证：AB⊥CD ；（2）若sin∠HGF ＝，BF ＝3，求⊙O 的半径长.5.（18西城一模24）如图，⊙的半径为，内接于⊙，，，为延长线上一点，与⊙相切，切点为．（1）求点到半径的距离（用含的式子表示）．（2）作于点，求的度数及的值．6.（18怀柔一模23）如图，AC 是⊙O 的直径，点B 是⊙O 内一点，且BA=BC ，连结BO 并延长线交⊙O于点D ，过点C 作⊙O 的切线CE ，且BC 平分∠DBE.（1）求证：BE=CE ；（2）若⊙O 的直径长8，sin∠BCE=，求BE 的长.7.（18海淀一模23）如图，是⊙的直径，弦于点，过点作⊙的切线交的延长线于点.（1）已知，求的大小（用含的式子表示）； （2）取BE 的中点M ，连接MF ，请补全图形；若30A ∠=︒，MF =，求⊙O 的半径.8.（18朝阳一模23）如图，在⊙O 中，C ，D 分别为半径OB ，弦AB 的中点，连接CD 并延长，交过点A 的切线于点E ．（1）求证：AE ⊥CE ．（2）若AE =√2，sin ∠ADE =31，求⊙O 半径的长． 9.（18东城一模）如图，AB 为⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，且点C 是BD 的中点.过点C作 AD 的垂线EF 交直线AD 于点E .（1）求证：EF 是⊙O 的切线；（2）连接BC . 若AB =5，BC =3，求线段AE 的长.10.（18丰台一模23）如图，A ，B ，C 三点在⊙O 上，直径BD 平分∠ABC ，过点D 作DE ∥AB交弦BC 于点E ，过点D 作⊙O 的切线交BC 的延长线于点F ．（1）求证：EF =ED ；（2）如果半径为5，cos ∠ABC =35，求DF 的长． 11.（18门头沟一模23）如图，AB 为⊙O 直径，过⊙O 外的点D 作DE ⊥OA 于点E ，射线DC 切⊙O 于点C 、交AB 的延长E F H B O D A P C 线于点P ，连接AC 交DE 于点F ，作CH ⊥AB 于点H ．（1）求证：∠D =2∠A ；（2）若HB =2，cosD =35，请求出AC 的长． 12.（18大兴一模）.已知：如图，在△OAB 中，OA OB =，⊙O 经过AB 的中点C ，与OB 交于点D ，且与BO 的延长线交于点E ，连接EC CD ，．（1）试判断AB 与⊙O 的位置关系，并加以证明；（2）若1tan 2E =，⊙O 的半径为3，求OA 的长． 13.（18顺义一模24）如图，等腰△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB =AC ，过点A 作BC 的平行线AD 交BO 的延长线于点D ．（1）求证：AD 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为15，sin ∠D ＝35，求AB 的长．14.（18通州一模24）如图，已知AB 为⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，D 是弧BC 的中点.过点D 作⊙O 的切线，分别交AC ，AB 的延长线于点E 和点F ，连接CD ，BD.（1）求证：∠A =2∠BDF ;（2）若AC =3，AB =5，求CE 的长.15.（18燕山一模25）如图，在△ABC 中，AB=AC ，AE 是BC 边上的高线，BM 平分∠ABC 交AE 于点M ，经过B ，M 两点的⊙O 交 BC 于点G ，交AB 于点F ，FB 为⊙O 直径．（1）求证：AM 是⊙O 的切线（2）当BE =3，cos C =52时，求⊙O 的半径． 16.（18朝阳毕业25）如图，在△ABC 中，AB =BC ，∠A =45°，以AB 为直径的⊙O 交CO 于点D ． （1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）连接BD ，若BD =m ，tan ∠CBD =n ，写出求直径AB 的思路． 类型3：新定义问题 1.（18海淀一模8）如图1，矩形的一条边长为x ，周长的一半为y .定义(,)x y 为这个矩形的坐标. 如图2，在平面直角坐标系中，直线1,3x y ==将第一象限划分成4个区域. 已知矩形1的坐标的对应点A 落在如图所示的双曲线上，矩形2的坐标的对应点落在区域④中. E O M G F AB C图1 图2则下面叙述中正确的是（ ）A. 点A 的横坐标有可能大于3B. 矩形1是正方形时，点A 位于区域②C. 当点A 沿双曲线向上移动时，矩形1的面积减小D. 当点A 位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等2.（18海淀一模15）定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．阿基米德折弦定理：如图1，AB 和BC 组成圆的折弦，AB BC >，M 是弧ABC 的中点，MF AB ⊥于F ，则AF FB BC =+． 如图2，△ABC 中，60ABC ∠=︒，8AB =，6BC =，D 是AB 上一点，1BD =，作DE AB ⊥交△ABC 的外接圆于E ，连接EA ，则EAC ∠=________°． 3.（18平谷一模28）在平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为()11,x y ，点N 的坐标为()22,x y ，且12x x ≠，12y y ≠，以MN 为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于x 轴，y 轴，则称该菱形为边的“坐标菱形”.（1）已知点A （2，0），B （0，2，则以AB 为边的“坐标菱形”的最小内角为_______；（2）若点C （1，2），点D 在直线y =5上，以CD 为边的“坐标菱形”为正方形，求直线CD 表达式；（3）⊙O，点P 的坐标为(3，m ) .若在⊙O 上存在一点Q ，使得以QP 为边的“坐标菱形”为正方形，求m 的取值范围．2. （18延庆一模28）平面直角坐标系xOy 中，点1(A x ，1)y 与2(B x ，2)y ，如果满足120x x +=，120y y -=，其中12x x ≠，则称点A 与点B 互为反等点．已知：点C (3，4)（1）下列各点中， 与点C 互为反等点；D (-3，-4)，E （3，4），F （-3，4）（2）已知点G （-5，4），连接线段CG ，若在线段CG 上存在两点P ，Q 互为反等点，求点P 的横坐标p x 的取值范围；x 图2图1E A（3）已知⊙O 的半径为r ，若⊙O 与（2）中线段CG 的两个交点互为反等点，求r 的取值范围．3.（18石景山一模28）对于平面上两点A ，B ，给出如下定义：以点A 或B 为圆心，AB 长为半径的圆称为点A ，B 的“确定圆”．如图为点A ，B 的“确定圆”的示意图．．．． （1）已知点A 的坐标为(1,0)-，点B 的坐标为(3,3)，则点A ，B 的“确定圆”的面积为_________； （2）已知点A 的坐标为(0,0)，若直线y x b =+上只存在一个点B ，使得点A ，B 的“确定圆”的面积为9π，求点B 的坐标；（3）已知点A 在以(0)P m ，为圆心，以1为半径的圆上，点B在直线3y =-A ，B 的“确定圆”的面积都不小于9π，直接写出m 的取值范围．4.（18房山一模28）在平面直角坐标系xOy 中，当图形W 上的点P 的横坐标和纵坐标相等时，则称点P 为图形W 的“梦之点”.（1）已知⊙O 的半径为1.①在点E （1，1），F （－22 ，－22 ），M (－2，－2)中，⊙O 的“梦之点”为 ；②若点P 位于⊙O 内部，且为双曲线k y x=（k ≠0）的“梦之点”，求k 的取值范围. （2）已知点C 的坐标为（1，t ），⊙C 的半径为 2 ，若在⊙C 上存在“梦之点”P ，直接写出t 的取值范围.（3）若二次函数21y ax ax =-+的图象上存在两个“梦之点”()11A x ,y ，()22B x ,y ，且122x x -=，求二次函数图象的顶点坐标.5.（18西城一模28）对于平面内的⊙C 和⊙C 外一点Q ，给出如下定义：若过点Q 的直线与⊙C 存在公共点，记为点A ，B ，设AQ BQ k CQ+=，则称点A （或点B ）是⊙C 的“k 相关依附点”，特别地，当点A 和点B 重合时，规定AQ BQ =，2AQ k CQ =（或2BQ CQ ）． 已知在平面直角坐标系xOy 中，(1,0)Q -，(1,0)C ，⊙C 的半径为r ．（1）如图1，当r =①若1(0,1)A 是⊙C 的“k 相关依附点”，则k 的值为__________．②2(1A +是否为⊙C 的“2相关依附点”．答：__________（填“是”或“否”）．（2）若⊙C 上存在“k 相关依附点”点M ，①当1r =，直线QM 与⊙C 相切时，求k 的值．②当k =r 的取值范围．（3）若存在r的值使得直线y b =+与⊙C 有公共点，且公共点是⊙C 的点”，直接写出b 的取值范围．6.（18怀柔一模28）P 是⊙C 外一点，若射线．．PC 交⊙C 于点A ，B 两点，则给出如下定义：若0＜P A PB ≤3，则点P 为⊙C 的“特征点”．（1）当⊙O 的半径为1时．①在点P 1（,0）、P 2（0,2）、P 3（4，0）中，⊙O 的“特征点”是 ；②点P 在直线y =x +b 上，若点P 为⊙O 的“特征点”．求b 的取值范围；（2）⊙C 的圆心在x 轴上，半径为1，直线y =x +1与x 轴，y 轴分别交于点M ，N ，若线段MN 上的所有点都不是．．．⊙C 的“特征点”，直接写出点C 的横坐标的取值范围． 7.（18海淀一模28）在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 和⊙C ，给出如下定义：若⊙C 上存在一点T 不与O 重合，使点P 关于直线OT 的对称点'P 在⊙C 上，则称P 为⊙C 的反射点．下图为⊙C 的反射点P 的示意图．（1）已知点A 的坐标为(1,0)，⊙A 的半径为2，①在点(0,0)O ，(1,2)M ，(0,3)N -中，⊙A 的反射点是____________；②点P 在直线y x =-上，若P 为⊙A 的反射点，求点P 的横坐标的取值范围；（2）⊙C 的圆心在x 轴上，半径为2，y 轴上存在点P 是⊙C 的反射点，直接写出圆心C的横坐标x 的取值范围．8.（18朝阳一模28）对于平面直角坐标系xOy 中点P 和线段AB ，其中A (t ，0)、B (t +2，0)两点，给出如下定义：若在线段AB 上存在一点Q ，使得P ，Q 两点间的距离小于或等于1，则称P 为线段AB 的伴随点．（1）当t =-3时，①在点P 1（1，1），P 2（0，0），P 3（-2，-1）中，线段AB 的伴随点是 ；②在直线y =2x +b 上存在线段AB 的伴随点M 、N ， 且MN =，求b 的取值范围；（2）线段AB 的中点关于点（2，0）的对称点是C ，将射线CO 以点C 为中心，顺时针旋转30°得到射线l ，若射线l 上存在线段AB 的伴随点，直接写出t 的取值范围．9.（18东城一模28）给出如下定义：对于⊙O 的弦MN 和⊙O 外一点P （M ，O ，N 三点不共线，且P ，O 在直线MN 的异侧），当∠MPN ＋∠MON=180°时，则称点 P 是线段MN 关于点O 的关联点．图1是点P 为线段MN 关于点O 的关联点的示意图.在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1.（1）如图2，22M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，22N ⎛- ⎝⎭.在A （1，0），B （1，1），)C 三点中，是线段MN 关于点O 的关联点的是 ；（2）如图3， M （0，1），N 122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，点D 是线段 MN 关于点O 的关联点.①∠MDN 的大小为 °；②在第一象限内有一点E ),m ，点E 是线段MN 关于点O 的关联点，判断△MNE 的形状，并直接写出点E 的坐标； ⋅2③点F 在直线23y x =-+上，当∠MFN ≥∠MDN 时，求点F 横坐标x F 的取值范围． 10.（18丰台一模28）对于平面直角坐标系xOy 中的点M 和图形1W ，2W 给出如下定义：点P为图形1W 上一点，点Q 为图形2W 上一点，当点M 是线段PQ 的中点时，称点M 是图形1W ，2W 的“中立点”．如果点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，那么“中立点”M 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛++2,22121y y x x ． 已知，点A (-3，0)，B (0，4)，C (4，0)．（1）连接BC ，在点D (12，0)，E (0，1)，F (0，12)中，可以成为点A 和线段BC 的“中立点”的是____________；（2）已知点G (3，0)，⊙G 的半径为2．如果直线y = - x + 1上存在点K 可以成为点A 和⊙G 的“中立点”，求点K 的坐标；（3）以点C 为圆心，半径为2作圆．点N 为直线y = 2x + 4上的一点，如果存在点N ，使得y 轴上的一点可以成为点N 与⊙C 的“中立点”，直接写出点N 的横坐标的取值范围．11.（18门头沟一模28）在平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为11(,)x y ，点N 的坐标为22(,)x y ，且12x x ≠，12y y =,我们规定：如果存在点P ，使MNP ∆是以线段MN 为直角边的等腰直角三角形，那么称点P 为点M 、N 的 “和谐点”.（1）已知点A 的坐标为)3,1(，①若点B 的坐标为)3,3(，在直线AB 的上方，存在点A ，B 的“和谐点”C ，直接写出点C 的坐标；②点C 在直线x =5上，且点C 为点A ，B 的“和谐点”，求直线AC 的表达式.（2）⊙O 的半径为r ，点D (1,4)为点E (1,2)、F ),(n m 的“和谐点”，若使得△DEF 与⊙O有交点，画出示意图直接．．．．．写出半径r 的取值范围. 备用图1 备用图212.（18大兴一模28）在平面直角坐标系xOy 中，过y 轴上一点A 作平行于x 轴的直线交某函数图象于点D ，点P 是x 轴上一动点，连接D P ，过点P 作DP 的垂线交y 轴于点E （E在线段OA 上，E 不与点O 重合），则称∠DPE 为点D ，P ,E 的“平横纵直角”.图1为点D ，P ，E 的“平横纵直角”的示意图.图113.如图2，在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数图象与y 轴交于点(0,)F m ，与x 轴分别交于点B （3-，0），C （12，0）. 若过点F 作平行于x 轴的直线交抛物线于点N .（1）点N 的横坐标为 ；（2）已知一直角为点,,N M K 的“平横纵直角”，若在线段OC 上存在不同的两点1M 、2M ，使相应的点1K 、2K 都与点F 重合，试求m 的取值范围；（3）设抛物线的顶点为点Q ，连接BQ 与FN 交于点H ,当4560QHN ︒≤≤︒∠时，求m 的取值范围．图213.（18顺义一模28）如图1，对于平面内的点P 和两条曲线1L 、2L 给出如下定义：若从点P 任意引出一条射线分别与1L 、2L 交于1Q 、2Q ，总有12PQ PQ 是定值，我们称曲线1L 与2L “曲似”，定值12PQ PQ 为“曲似比”，点P 为“曲心”． 例如：如图2，以点O'为圆心，半径分别为1r 、2r （都是常数）的两个同心圆1C 、2C ，从点O'任意引出一条射线分别与两圆交于点M 、N ，因为总有12''r O M O N r =是定值，所以同心圆1C 与2C 曲似，曲似比为12r r ，“曲心”为O'．（1）在平面直角坐标系xOy 中，直线y kx =与抛物线2y x =、212y x = 分别交于点A 、B ，如图3所示，试判断两抛物线是否曲似，并说明理由；（2）在（1）的条件下，以O 为圆心，OA 为半径作圆，过点B 作x 轴的垂线，垂足为C ，是否存在k 值，使⊙O 与直线BC 相切？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由；（3）在（1）、（2）的条件下，若将“212y x =”改为“21y x m=”，其他条件不变，当存在⊙O 与直线BC 相切时，直接写出m 的取值范围及k 与m 之间的关系式．14.（18通州一模）.在平面直角坐标系xOy 中有不重合的两个点()11,y x Q 与()22y x P ，.若Q ，P为某个直角三角形的两个锐角顶点，且该直角三角形的直角边均与x 或y 轴平行(或重合)，则我们将该直角三角形的两条直角边的边长之和定义为点Q 与点P 之间的“直距PQ D ”.例如在下图中，点()1,1P ，()3,2Q ，则该直角三角形的两条直角边长为1和2，此时点Q 与点P 之间的“直距”=3PQ D .特别地，当PQ 与某条坐标轴平行(或重合)时，线段PQ 的长即为点Q 与点P 之间的“直距”.（1）①已知O 为坐标原点，点()2,1A -，()2,0B -，则_______=AO D ，_______=BO D ；② 点C 在直线3y x =-+上，请你求出CO D 的最小值；（2）点E 是以原点O 为圆心，1为半径的圆上的一个动点；点F 是直线24y x =+上一动点.请你直接写出点E 与点F 之间“直距EF D ”的最小值.15.（18燕山一模27）如图，抛物线)0(2>++=a c bx ax y 的顶点为M ，直线y=m 与抛物线交于点A ，B ，若△AMB 为等腰直角三角形，我们把抛物线上A ，B 两点之间的部分与线段AB 围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB 称为碟宽，顶点M 称为碟顶．（1）由定义知，取AB 中点N ，连结MN ，MN 与AB 的关系是（2）抛物线221x y =对应的准蝶形必经过B (m ，m ),则m = ，对应的碟宽AB 是 （3）抛物线)0(3542>--=a a ax y 对应的碟宽在x 轴上，且AB =6.①求抛物线的解析式；②在此抛物线的对称轴上是否有这样的点P （p x ，p y ），图2使得∠APB为锐角，若有，请求出y的取值范围.若没有，请说明理由.p,备用图此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word可编辑版本！。

2020年北京市中考数学一模汇编：圆2、丰台24.在Rt△ABC 中，∠A=90︒，∠B=22.5︒.点P 为线段BC 上一动点，当点P 运动到某一位置时，它到点A，B 的距离都等于a，到点P 的距离等于a 的所有点组成的图形为W，点D 为线段BC 延长线上一点，且点D 到点A 的距离也等于a．（1）求直线DA 与图形W 的公共点的个数；（2）过点A 作AE⊥BD 交图形W 于点E，EP 的延长线交AB 于点F，当a=2 时，求线段EF 的长.3、西城4、朝阳23.如图，在△ABC 中，AB=3，AC=4，BC=5．在同一平面内，△ABC 内部一点O 到AB，AC，BC的距离都等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G．（1）直接写出a 的值；（2）连接BO 并延长，交AC 于点M，过点M 作MN⊥BC 于点N．①求证：∠BMA=∠BMN；②求直线MN 与图形G 的公共点个数．5、房山24.如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，以AC 为直径作⊙O 交AB 于点D，线段BC 上有一点P．（1）当点P 在什么位置时，直线DP 与⊙O 有且只有一个公共点，补全图形并说明理由.（2）在（1）的条件下，当BP= 求⊙O 半径．6、密云10，AD=3 时，223．如图，AB 为⊙O 的直径，点C、点D 为⊙O 上异于A、B 的两点，连接CD，过点C 作CE⊥DB，交DB 的延长线于点E，连接AC、AD． (1)若∠ABD=2∠BDC，求证：CE 是⊙O 的切线．(2)若⊙O 的半径为，tan ∠BDC =1，求AC 的长．257、平谷8、顺义22．如图，在□ABCD 中，∠B=45°，点C 恰好在以AB 为直径的⊙O 上．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）连接BD，若AB=8，求BD 的长．9、延庆22.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上的一点，点D 是弧BC 的中点，连接AC，BD，过点D 作AC 的垂线EF，交AC 的延长线于点E，交AB 的延长线于点F.(1)依题意补全图形；(2)判断直线EF 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(3)若AB=5，BD=3，求线段BF 的长.10、燕山︵22.如图，A B为⊙O的直径，A C为弦，点D为B C中点，过点D作D E⊥直线A C，垂足为E，交AB的延长线于点F．(1)求证：EF 是⊙O 的切线；(2)若EF＝4，sin F ＝3 ，求⊙O的半径．511、通州。

2020年北京市初三一模分类汇编（全）圆专项1、海淀0，24.如图，在R綐△Aଘଘ中，∠ଘAଘ矀密矀°，点D 为ଘଘ边的中点，以AD 为直径作Ⓢ分别与Aଘ，Aଘ交于点Eଘଘ，过点E作E G Tଘଘ于G.(1)求证:EG 是Ⓢ0 的切线;(2)若Aଘ矀⺁, Ⓢ0 的半径为5，求ଘE 的长2、丰台24.在Rt△ABC 中，∠A=90︒，∠B=22.5︒.点P 为线段BC 上一动点，当点P 运动到某一位置时，它到点A，B 的距离都等于a，到点P 的距离等于a 的所有点组成的图形为W，点D 为线段BC 延长线上一点，且点D 到点A 的距离也等于a．（1）求直线DA 与图形W 的公共点的个数；（2）过点A 作AE⊥BD 交图形W 于点E，EP 的延长线交AB 于点F，当a=2 时，求线段EF 的长.3、西城4、朝阳23.如图，在△ABC 中，AB=3，AC=4，BC=5．在同一平面内，△ABC 内部一点O 到AB，AC，BC的距离都等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G．（1）直接写出a 的值；（2）连接BO 并延长，交AC 于点M，过点M 作MN⊥BC 于点N．①求证：∠BMA=∠BMN；②求直线MN 与图形G 的公共点个数．5、房山24.如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，以AC 为直径作⊙O 交AB 于点D，线段BC 上有一点P．（1）当点P 在什么位置时，直线DP 与⊙O 有且只有一个公共点，补全图形并说明理由.（2）在（1）的条件下，当BP= 求⊙O 半径．6、密云10，AD=3 时，223．如图，AB 为⊙O 的直径，点C、点D 为⊙O 上异于A、B 的两点，连接CD，过点C 作CE⊥DB，交DB 的延长线于点E，连接AC、AD． (1)若∠ABD=2∠BDC，求证：CE 是⊙O 的切线．(2)若⊙O 的半径为，tan ∠BDC =1，求AC 的长．257、平谷8、顺义22．如图，在□ABCD 中，∠B=45°，点C 恰好在以AB 为直径的⊙O 上．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）连接BD，若AB=8，求BD 的长．9、延庆22.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上的一点，点D 是弧BC 的中点，连接AC，BD，过点D 作AC 的垂线EF，交AC 的延长线于点E，交AB 的延长线于点F.(1)依题意补全图形；(2)判断直线EF 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(3)若AB=5，BD=3，求线段BF 的长.10、燕山︵22.如图，A B为⊙O的直径，A C为弦，点D为B C中点，过点D作D E⊥直线A C，垂足为E，交AB的延长线于点F．(1)求证：EF 是⊙O 的切线；(2)若EF＝4，sin F ＝3 ，求⊙O的半径．511、通州12.东城13.石景山23. 如图，AB 是⊙O 的直径，直线PQ 与⊙O 相切于点C ，以OB ，BC 为边作□OBCD ， 连接AD 并延长交⊙O 于点E ，交直线PQ 于点F .（1）求证：AF CF ⊥；（2）连接OC ，BD 交于点H ，若tan 3OCB ∠=， ⊙O 的半径是5，求BD 的长.14.大兴23 .已知：如图，在△ABC 中，B C ∠=∠．以AB 为直径的 ⊙O 交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AC 于点E . (1)求证：DE 与⊙O 相切；(2)延长DE 交BA 的延长线于点F ，若8AB =，sin B，求线段FA 的长.15.门头沟22．如图，∠APB ，点C 在射线PB 上，PC 为⊙O 的直径，在∠APB 内部且到∠APB 两边距离都相等的所有的点组成图形M ，图形M 交⊙O 于D ，过点D 作直线DE ⊥PA ，分别交射线PA ，PB 于E ，F ． （1）根据题意补全图形； （2）求证：DE 是⊙O 的切线；（3）如果PC =2CF，且DF =PE 的长．A。

专题01 数与式一．选择题（共42小题）1．（2020•丰台区一模）据报道，位于丰台区的北京排水集团槐房再生水厂，是亚洲规模最大的一座全地下再生水厂，日处理污水能力600000立方米，服务面积137平方公里．将600000用科学记数法表示为( )A ．50.610⨯B ．60.610⨯C ．5610⨯D ．6610⨯2．（2020•丰台区一模）在数轴上，点A ，B 分别表示数a ，3，点A 关于原点O 的对称点为点C ．如果C 为AB 的中点，那么a 的值为( )A ．3−B ．1−C ．1D ．33．（2020•燕山一模）为解决延期开学期间全市初高三学生的学习需求，提升学生的实际获得，北京市教委打造了“答疑平台”，全市144000名初高三学生全部纳入在线答疑辅导范围．将144000用科学记数法表示应为( )A ．314410⨯B ．414.410⨯C ．51.4410⨯D ．61.4410⨯4．（2020•燕山一模）在数轴上，点A ，B 分别表示实数a ，b ，将点A 向左平移1个单位长度得到点C ，若点C ，B 关于原点O 对称，则下列结论正确的是( )A ．1a b +=B ．1a b +=−C ．1a b −=D ．1a b −=−5．（2020•燕山一模）若1a b +=，则代数式2222(1)a b b a b−−的值为( ) A ．2− B ．1− C ．1 D ．26．（2020•海淀区一模）2−的相反数是( )A ．2B ．2−C ．12 D ．12− 7．（2020•海淀区一模）北京故宫有着近六百年的历史，是最受中外游客喜爱的景点之一，其年接待量在2019年首次突破19000000人次大关．将19000000用科学记数法可表示为( )A ．80.1910⨯B ．70.1910⨯C ．71.910⨯D ．61910⨯8．（2020•海淀区一模）若实数m ，n ，p ，q 在数轴上的对应点的位置如图所示，且n 与q 互为相反数，则绝对值最大的数对应的点是( )A ．点MB ．点NC ．点PD ．点Q9．（2020•平谷区一模）面对突如其来的疫情，全国广大医务工作者以白衣为战袍，义无反顾的冲在抗疫战争的一线，用生命捍卫人民的安全．据统计，全国共有346支医疗队，将近42600名医护工作者加入到支援湖北武汉的抗疫队伍，将42600用科学记数法表示为( )A ．50.42610⨯B ．44.2610⨯C ．342.610⨯D ．242610⨯10．（2020•平谷区一模）若已知实数a ，b 满足0ab <，且0a b +>，则a ，b 在数轴上的位置符合题意的是( )A ．B ．C ．D ．11．（2020•平谷区一模）如果30m n −−=，那么代数式2()m n n n m n−+的值为( ) A ．3 B ．2 C ．3− D ．2−12．（2020•顺义区一模）港珠澳大桥被英国《卫报》誉为“新世界七大奇迹”之一，它是世界总体跨度最长的跨海大桥，全长55000米．数字55000用科学记数法表示为( )A ．45.510⨯B ．45510⨯C ．55.510⨯D ．60.5510⨯13．（2020•顺义区一模）在数轴上，点A 表示数a ，将点A 向右平移4个单位长度得到点B ，点B 表示数b ．若||||a b =，则a 的值为( )A ．3−B ．2−C ．1−D ．114．（2020•顺义区一模）用三个不等式a b >，c d >，a c b d +>+中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．315．（2020•东城区一模）2019年上半年北京市实现地区生产总值15212.5亿元，同比增长6.3%．总体来看，经济保持平稳运行，高质量发展．将数据15212.5用科学记数法表示应为( )A ．51.5212510⨯B ．41.5212510⨯C ．50.15212510⨯D ．60.15212510⨯16．（2020•东城区一模）把228a −分解因式，结果正确的是( )A ．22(4)a −B ．22(2)a −C ．2(2)(2)a a +−D ．22(2)a +17．（2020•东城区一模）点O ，A ，B ，C 在数轴上的位置如图所示，O 为原点，1AC =，OA OB =．若点C 所表示的数为a ，则点B 所表示的数为( )A ．(1)a −+B ．(1)a −−C ．1a +D ．1a −18．（2020•石景山区一模）2019年5月7日，我国自主创新研发的“东方红3号科学考察船”通过挪威DNV GL −船级社权威认证，成为全球最大静音科考船．“东方红3”是一艘5000吨级深远海科考船，具有全球无限航区航行能力，可持续航行15000海里．将15000用科学记数法表示应为( )A ．50.1510⨯B ．41.510⨯C ．41510⨯D ．31510⨯19．（2020•石景山区一模）实数a ，b ，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则不正确的结论是( )A ．||3a >B ．0b c −<C ．0ab <D ．a c >−20．（2020•西城区一模）北京大兴国际机场目前是全球建设规模最大的机场，2019年9月25日正式通航，预计到2022年机场旅客吞吐量将达到45000000人次，将45000000用科学记数法表示为( )A ．64510⨯B ．74.510⨯C ．84.510⨯D ．80.4510⨯21．（2020•西城区一模）在数轴上，点A ，B 表示的数互为相反数，若点A 在点B 的左侧，且AB =则点A ，点B 表示的数分别是( )A ．BC ．0，D ．−22．（2020•通州区一模）在疫情防控的特殊时期，为了满足初三高三学生的复习备考需求，北京市教委联合北京卫视共同推出电视课堂节目《老师请回答特别节目“空中课堂”》，在节目播出期间，全市约有200000名师生收看了节目．将200000用科学记数法表示应为( )A ．50.210⨯B ．60.210⨯C ．5210⨯D ．6210⨯23．（2020•通州区一模）在数轴上，表示实数a 的点如图所示，则2a −的值可以为( )A ． 5.4−B ． 1.4−C ．0D ．1.424．（2020•通州区一模）如果210a a +−=，那么代数式21(1)211a a a a a −−÷+++的值是( ) A ．3 B ．1 C ．1− D ．3−25．（2020•延庆区一模）最近，科学家发现了一种新型病毒，其最大直径约为0.00012mm ，将0.00012用科学记数法表示为( )A ．31.210−⨯B ．41.210−⨯C ．41.210⨯D ．31210⨯26．（2020•延庆区一模）若分式12x +在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是( ) A ．2x >− B ．2x <− C ．2x =− D ．2x ≠−27．（2020•延庆区一模）数轴上A ，B ，C ，D 四点中，有可能在以原点为圆心，以为半径的圆上的点是( )A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D28．（2020•延庆区一模）下列实数中，无理数的个数是( )①0.333；②17；；④π；⑤6.18118111811118⋯⋯ A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个29．（2020•房山区一模）2019年9月25日正式通航的北京大兴国际机场，为4F 级国际机场、大型国际枢纽机场．距北京大兴国际机场官方微博显示，2019年北京大兴国际机场共完成旅客吞吐量313.82万人次，保障航班约21000架次，货邮吞吐量7375.53吨，航班放行正点率达96%以上．将21000用科学记数法表示应为( )A ．42.110⨯B ．32110⨯C ．50.2110⨯D ．32.110⨯30．（2020•房山区一模）实数a 、b 、c 、d 在数轴上对应点的位置如图所示，正确的结论有( )A ．a b >B ．0bc >C ．||||c b >D ．0b d +>31．（2020•房山区一模）如果5a b −=，那么代数式22(2)a b ab ab a b+−−的值是( ) A ．15− B ．15 C ．5− D ．532．（2020•门头沟区一模）2019年10月1日，庆祝中华人民共和国成立70周年大会在北京天安门广场隆重举行．10月3日微博观看互动量累计达到19280000次，将19280000用科学记数法表示为( )A ．41.92810⨯B ．4192810⨯C ．71.92810⨯D ．80.192810⨯33．（2020•门头沟区一模）点A ，B 在数轴上的位置如图所示，如果点C 也在数轴上，且B 和C 两点间的距离是1，那么AC 长度为( )A ．2B ．4C ．2或4D ．0或234．（2020•朝阳区一模）自2020年1月23日起，我国仅用10天左右就完成了总建筑面积约为113800平方米的雷神山医院和火神山医院的建设，彰显了“中国速度”．将113800用科学记数法表示应为( )A ．51.13810⨯B ．411.3810⨯C ．41.13810⨯D ．60.113810⨯35．（2020•朝阳区一模）实数a ，b ，c ，d 在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，相反数最大的是( )A ．aB ．bC ．cD ．d36．（2020•朝阳区一模）如果1a ，那么代数式21(1)11a a a +÷−−的值为( )A ．3BCD 237．（2020•密云区一模）5G 是第五代移动通信技术，5G 网络下载速度可以达到每秒1300000KB 以上，这意味着下载一部高清电影只需1秒．将1300000用科学记数法表示应为( )A ．51310⨯B ．51.310⨯C ．61.310⨯D ．71.310⨯38．（2020•密云区一模）下列各式计算正确的是( )A ．326a a a =B ．5510a a a +=C ．339(2)8a a −=−D ．22(1)1a a −=−39．（2020•密云区一模）实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式不成立的是( )A ．55a b −>−B ．a b −>−C ．66a b >D ．0a b −>40．（2020•大兴区一模）中国国家统计局2019年12月6日公布数据显示，2019年我国粮食总产量为1327700000000，创历史最高水平，将1327700000000用科学记数法表示应为( )A ．130.1327710⨯B ．121.327710⨯C ．131.327710⨯D ．1213.27710⨯41．（2020•大兴区一模）在数轴上，点A ，B 分别表示数a ，2，点A 在原点O 的左侧，将点A 向右平移2个单位长度，得到点C ．若CO BO =，则a 的值为( )A ．4−B ．3−C ．2−D ．1−42．（2020•大兴区一模）如果240x −=，那么代数式22(1)()7x x x x x x +−+−−的值为( )A ．3−B ．3C ．11−D ．11二．填空题（共30小题）43．（2020a 的取值范围是 ．44．（2020•丰台区一模）当1m n +=时，代数式22231()()m m n m mn m n +−−−的值为 ． 45．（2020•燕山一模）使式子32x −有意义的x 取值范围是 ．46．（2020x 的取值范围是 ．47．（2020•海淀区一模）分解因式：22ab ac −= ．48．（2020•平谷区一模）因式分解2242x x −+= ．49．（2020•平谷区一模）代数式1x x −有意义的x 的取值范围是 ．50．（2020x 的取值范围是 ．51．（2020•顺义区一模）化简分式22231()x y x y x y x y−−÷+−−的结果为 ．52．（2020 那么x 的取值范围是 ．53．（2020•东城区一模）若230x x +−=，则代数式2(2)(2)(1)x x x x −+−−的值是 ．54．（2020小的整数： ．55．（2020•石景山区一模）分解因式：24xy x −= ．56．（2020•石景山区一模）如果2m n +=224(2)24n m m n m n +÷−−的值为 ．57．（2020x 的取值范围是 ．58．（2020•西城区一模）如果21a a +=，那么代数式2111a a a −−−的值是 ． 59．（2020•通州区一模）举出一个数字“0”表示正负之间分界点的实际例子，如 ．60．（2020•通州区一模）若(41)(41)41m n K ++=+，则K 可以用含m ，n 的代数式表示为 ．61．（2020•延庆区一模）因式分解：39a a −= ．62．（2020•延庆区一模）如果2a b +=，那么代数式222(1)2b a b a b a ab b −+−++的值是 ．63．（2020x 的取值范围是 ．64．（2020•房山区一模）分解因式：34m m −= ．65．（2020•房山区一模）举出一个m 的值，说明命题“代数式221m −的值一定大于代数式21m −的值”是错误的，那么这个m 的值可以是 ．66．（2020x 的取值范围是 ．67．（2020•朝阳区一模）若分式12x −有意义，则x 的取值范围为 ． 68．（2020•朝阳区一模）分解因式：2288x x ++= ．69．（2020•密云区一模）请写出一个绝对值大于2的负无理数： ．70．（2020•密云区一模）使分式13x x +−有意义的x 的取值范围是 ． 71．（2020•大兴区一模）若124x −在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是 ． 72．（2020•大兴区一模）分解因式：32m mn −= ．三．解答题（共15小题）73．（202002cos30(3)|1π︒+−+．74．（2020•燕山一模）计算：114sin30|()2−︒+．75．（2020•海淀区一模）计算：0(2)2sin30|−︒+．76．（2020•平谷区一模）计算：0113tan30(4)()2|2π−︒−−++．77．（2020•顺义区一模）计算：1|tan30−+︒．78．（2020•东城区一模）计算：011|(3)2cos60()2π−−−+︒+．79．（2020•石景山区一模）计算：101()(2020)1|3tan305π−−−+−︒．80．（2020•西城区一模）计算：101()(1|2sin 602−++−︒．81．（2020•通州区一模）计算：011|(4)2sin 60()4π−−−−︒+．82．（202003tan30(1)|1π︒−−+．83．（2020•房山区一模）计算：011|(3)2cos 45()3π−−−+︒+84．（2020•门头沟区一模）计算：011|(2020)2sin 60()3π−−−−︒+． 85．（2020•门头沟区一模）已知0a ≠，0a b +≠且1a b −=，求代数式22222()22a b ab b a a ab a−−÷−+的值．86．（2020•朝阳区一模）计算：011|2cos60(2020)()3π−+︒−−+．87．（2020•大兴区一模）计算：011|(1)2cos30()4π−−−−+︒+．。