因式分解方法的拓展.docx

因式分解数学教案优秀5篇更多因式分解数学教案资料，在搜索框搜索因式分解数学教案（篇1）教学目标1.学问与技能了解因式分解的意义，以及它与整式乘法的关系.2.过程与方法经历从分解因数到分解因式的类比过程，把握因式分解的概念，感受因式分解在解决问题中的作用.3.情感、态度与价值观在探究因式分解的方法的活动中，培养学生有条理的思考、表达与交流的能力，培养乐观的进取意识，体会数学学问的内在含义与价值.重、难点与关键：1.重点：了解因式分解的意义，感受其作用.2.难点：整式乘法与因式分解之间的关系.3.关键：通过分解因数引入到分解因式，并进行类比，加深理解.教学方法：采用“激趣导学”的教学方法.教学过程：一、创设情境，激趣导入【问题牵引】请同学们探究下面的2个问题：问题1：720能被哪些数整除?谈谈你的想法.问题2：当a=102，b=98时，求a2-b2的值.二、丰富联想，展示思维探究：你会做下面的填空吗?1.ma+mb+mc=()();2.x2-4=()();3.x2-2xy+y2=()2.【师生共识】把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式.三、小组活动，共同探究【问题牵引】(1)下列各式从左到右的变形是否为因式分解：①(x+1)(x-1)=x2-1;②a2-1+b2=(a+1)(a-1)+b2;③7x-7=7(x-1).(2)在下列括号里，填上适当的项，使等式成立.①9x2(______)+y2=(3x+y)(_______);②x2-4xy+(_______)=(x-_______)2.四、随堂练习，巩固深化课本练习.【探研时空】计算：993-99能被100整除吗?五、课堂总结，发展潜能由学生自己进行小结，老师提出如下纲目：1.什么叫因式分解?2.因式分解与整式运算有何区别?六、布置作业，专题突破选用补充作业。

因式分解数学教案（篇2）【教学目标】1、了解因式分解的概念和意义;2、认识因式分解与整式乘法的相互关系——相反变形，并会运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法。

因式分解的方法和技巧一、引言因式分解是数学中十分重要的一项技巧，可以帮助我们将复杂的数学表达式简化为更简洁的形式。

它对于解方程、求导函数以及研究数学模型等都有着广泛的应用。

本文将介绍因式分解的基本概念、常见的因式分解方法和一些技巧，以及一些实例来帮助读者更好地理解这一技巧。

二、基本概念在进行因式分解之前，我们需要了解一些基本概念。

1. 因式因式是指能够整除给定表达式的一个因子。

通常情况下，因式是指一个多项式的因子。

2. 因式分解因式分解是指将一个给定的表达式表示为多个因式的乘积的过程。

通过因式分解，我们可以将一个复杂的表达式简化为更简洁的形式。

三、常见的因式分解方法和技巧下面将介绍一些常见的因式分解方法和技巧。

1. 提公因式法提公因式法也称为公因式法，是最基本也是最常见的因式分解方法之一。

它适用于多项式的第一项系数不为1的情况。

通过观察多项式的各项的公共因子，并将其提出来作为一个因式，然后用提出来的因式除以原来的多项式，即可完成因式分解。

例如，对于多项式2x2+4x，我们可以观察到其中的公共因子为2和x，因此可以用2x提出来，得到2x(x+2)。

2. 完全平方差公式完全平方差公式是指一个二次三项式的平方可以表示为两个一次三项式的平方之差。

它的形式为a2−b2=(a+b)(a−b)。

例如，对于多项式x2−4，我们可以将其写成(x+2)(x−2)。

3. 立方差公式立方差公式是指一个三次三项式的平方可以表示为一个二次三项式和一个一次三项式的乘积。

它的形式为a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)。

例如，对于多项式x3−8，我们可以将其写成(x−2)(x2+2x+4)。

4. 分组法分组法适用于多项式中存在分组的情况。

通过将多项式中的一些相邻项进行分组，并寻找共同的因子，可以进行因式分解。

例如，对于多项式x3−3x2+2x−6，我们可以将其分组为(x3−3x2)+(2x−6)，然后分别进行因式分解。

四、实例分析为了更好地理解因式分解的方法和技巧，我们来看几个具体的例子。

02公式法因式分解的拓展【基础内容与方法】因式分解的主要公式：平方差公式()()22b a b a b a -=-+；完全平方和公式()2222b ab a b a ++=+；完全平方差公式()2222b ab a b a +-=-；补充：立方和公式))((2233b ab a b a b a +-+=+；立方差公式))((2233b ab a b a b a ++-=-；三元三次相关等式3332223()()a b c abc a b c a b c ab bc ac ++-=++++---．类型一：平方差公式因式分解1．因式分解（1）8x 2y 2﹣18； （2）4a 2﹣16； （3）（x 2﹣1）2+8（1﹣x 2）．【分析】（1）先提取公因式2，再利用平方差公式因式分解；（2）原式提取公因式4，再利用平方差公式分解即可；（3）先提取公因式（x 2﹣1），再利用平方差公式因式分解．【解答】解：（1）原式＝2（4x 2y 2﹣9）＝2（2xy +3）（2xy ﹣3）；（2）原式＝4（a 2﹣4）＝4（a +2）（a ﹣2）；（3）原式＝（x 2﹣1）2﹣8（x 2﹣1）＝（x 2﹣1）（x 2﹣9）＝（x +1）（x ﹣1）（x +3）（x ﹣3）．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．类型二：完全平方公式因式分解2．分解因式：（1）（y ﹣1）2﹣10（y ﹣1）+25； （2）（x +2）（x +4）+1；（3）x 4﹣18x 2y 2+81y 4； （4）（y 2﹣1）2﹣6（y 2﹣1）+9；（5）2a 3b ﹣4a 2b 2+2ab 3； （6）（m 2﹣4m ）2+8（m 2﹣4m ）+16．【分析】（1）原式利用完全平方公式分解即可；（2）原式利用多项式乘多项式法则计算，整理后利用完全平方公式分解即可；（3）根据完全平方公式和平方差公式因式分解；（4）利用完全平方公式进行分解，再次利用平方差进行二次分解即可；（5）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；（6）直接利用完全平方公式分解因式得出答案．【解答】解：（1）原式＝（y﹣1﹣5）2＝（y﹣6）2；（2）原式＝x2+6x+8+1＝（x+3）2；（3）原式＝（x2﹣9y2）2＝（x﹣3y）2（x+3y）2；（4）原式＝（y2﹣1﹣3）2＝（y2﹣4）2＝（y+2）2（y﹣2）2；（5）原式＝2ab（a2﹣2ab+b2）＝2ab（a﹣b）2；（6）原式＝（m2﹣4m+4）2＝（m﹣2）4．【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．类型三：立方和与立方差公式因式分解3．分解因式：（1）1+27x3；（2）a3﹣8b3；（3）m6﹣n6；（4）x6﹣729y6．【分析】（1）根据立方和可以分解因式；（2）根据立方差可以分解因式；（3）根据平方差公式和立方和、立方差公式可以分解因式；（4）根据平方差公式和立方和、立方差公式可以分解因式；【解答】解：（1）1+27x3＝（1+3x）（1﹣3x+9x2）；（2）a3﹣8b3＝（a﹣2b）（a2+2ab+4b2）；（3）m6﹣n6＝（m3﹣n3）（m3+n3）＝（m﹣n）（m+n）（m2+mn+n2）（m2﹣mn+n2）；（4）x6﹣729y6＝（x3+27y3）（x3﹣27y3）＝（x+3y）（x﹣3y）（x2﹣3xy+9y2）（x2+3xy+9y2）；【点评】本题考查因式分解，解答本题的关键是明确因式分解的方法．4．分解因式：（1）（b﹣c）3+（c﹣a）3+（a﹣b）3；（2）（x+y+z）3﹣x3﹣y3﹣z3．【分析】（1）根据立方和、立方差公式可以分解因式；（2）根据立方和、立方差公式可以分解因式．【解答】解：（1）（b﹣c）3+（c﹣a）3+（a﹣b）3＝[（b﹣c）+（c﹣a）][（b﹣c）2﹣（b﹣c）（c﹣a）+（c﹣a）2]+（a﹣b）3＝（b﹣a）（b2﹣2bc+c2﹣bc+ab+c2﹣a c+c2﹣2ac+a2）﹣（b﹣a）3＝（b﹣a）[（a2+b2+3c2﹣3bc+ab﹣3ac）﹣（b2﹣2ab+a2）]＝（b﹣a）[a2+b2+3c2﹣3bc+ab﹣3ac﹣b2+2ab﹣a2]＝（b﹣a）（3c2+3ab﹣3bc﹣3ac）＝3（b﹣a）（c2﹣bc﹣ac+ab）＝3（b﹣a）[c（c﹣b）﹣a（c﹣b）]＝3（b﹣a）（c﹣b）（c﹣a）；（2）（x+y+z）3﹣x3﹣y3﹣z3＝[（x+y+z）﹣x][（x+y+z）2+x（x+y+z）+x2]﹣（y+z）（y2﹣yz+z2）＝（y+z）[x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz+x2+xy+xz+x2]﹣（y+z）（y2﹣yz+z2）＝（y+z）[x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz+x2+xy+xz+x2﹣y2+yz﹣z2]＝（y+z）（3x2+3xy+3yz+3xz）＝3（y+z）[x（x+y）+z（x+y）]＝3（y+z）（x+z）（x+y）．【点评】本题考查因式分解，解答本题的关键是明确因式分解的方法．类型四：与分解因式相关的计算5．已知实数a，b，c满足a+b+c＝0，a2+b2+c2＝，求a4+b4+c4的值．【分析】先对a+b+c＝0两边平方，从而得出2ab+2ac+2bc＝﹣0.1，再对2ab+2ac+2bc＝﹣0.1，两边平方，从而得出a2b2+a2c2+b2c2＝0.0025和（a2+b2+c2）2＝0.01，即可得出a4+b4+c4．【解答】解：∵a+b+c＝0，∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc＝0，∵a2+b2+c2＝＝0.1，∴2ab+2ac+2bc＝﹣0.1，∵（2ab+2ac+2bc）2＝4（a2b2+a2c2+b2c2+2a2bc+2ab2c+2abc2）＝0.01，∵2a2bc+2ab2c+2abc2＝2abc（a+b+c）＝0，∴a2b2+a2c2+b2c2＝0.0025①（a2+b2+c2）2＝a4+b4+c4+2（a2b2+a2c2+b2c2）＝0.01②由①②得出，a4+b4+c4＝0.005．故答案为：0.005．【点评】本题考查了完全平方公式的应用，是中档题，用一定的难度，要准确把握公式的反复使用．6．已知：a＝2008x+2007，b＝2008x+2008，c＝2008x+2009，求a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值．【分析】由已知求出a﹣b，b﹣c，a﹣c的值，原式变形后，利用完全平方公式变形，将各自的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵a＝2008x+2007，b＝2008x+2008，c＝2008x+2009，∴a﹣b＝﹣1，b﹣c＝﹣1，a﹣c＝﹣2，则原式＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac）＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]＝×（1+1+4）＝3．故a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值是3．【点评】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．。

2023年关于因式分解教案3篇因式分解教案篇1教学目标：1、进一步巩固因式分解的概念;2、巩固因式分解常用的三种方法3、选择恰当的方法进行因式分解4、应用因式分解来解决一些实际问题5、体验应用知识解决问题的乐趣教学重点：灵活运用因式分解解决问题教学难点：灵活运用恰当的因式分解的方法，拓展练习2、3教学过程：一、创设情景：若a=101,b=99,求a2-b2的值利用因式分解往往能将一些复杂的运算简单化，那么我们先来回顾一下什么是因式分解和怎样来因式分解。

二、知识回顾1、因式分解定义：把一个多项式化成几个整式积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.判断下列各式哪些是因式分解?(让学生先思考，教师提问讲解，让学生明确因式分解的概念以及与乘法的关系)(1).x2-4y2=(x+2y)(x-2y)因式分解(2).2x(x-3y)=2x2-6xy整式乘法(3).(5a-1)2=25a2-10a+1整式乘法(4).x2+4x+4=(x+2)2因式分解(5).(a-3)(a+3)=a2-9整式乘法(6).m2-4=(m+4)(m-4)因式分解(7).2πR+2πr=2π(R+r)因式分解2、.规律总结(教师讲解):分解因式与整式乘法是互逆过程.分解因式要注意以下几点:(1).分解的对象必须是多项式.(2).分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.(3).要分解到不能分解为止.3、因式分解的方法提取公因式法：-6x2+6xy+3x=-3x(2x-2y-1)公因式的概念;公因式的求法公式法:平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)24、强化训练教学引入师：教材在《四边形》这一章《引言》里有这样一句话：把一个长方形折叠就可以得到一个正方形。

现在请同学们拿出一个长方形纸条，按动画所示进行折叠处理。

动画演示：场景一：正方形折叠演示师：这就是我们得到的正方形。

下面请同学们拿出三角板(刻度尺)和圆规，我们来研究正方形的几何性质—边、角以及对角线之间的关系。

因式分解的“八个注意”事项及"课本未拓展的五个的方法”一、“八个注意”事项(一)首项有负常提负例1把一a'—b'+2ab+4分解因式。

解：一a'—b'+2ab + 4= — (a：—2ab+b‘一4) =— (a—b+2) (a-b —2)这里的“负”，指“负号” °如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。

防止出现诸如一a' —b'= ( —a+b) ( —a—b)的错误。

(二)各项有公先提公例2因式分解8a：-2a=解：8a'—2a：=2a： (4a：—l)=2a：(2a+l) (2a—1)这里的“公”指“公因式” °如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式。

防止出现诸如4a'a- (2a：+a) (2a=a)而乂不进一步分解的错误.(三)某项提出莫漏1例3因式分解a'~2a:+a解：a:_2a:+a=a (a：-2a+l) =a (a~l):这里的“1”，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1。

防止学生出现诸如a'-2a：+a二a(a=2a)的错误。

(四)括号里面分到“底”。

例4因式分解x;-3x:-4解：x*+3x s-4= (x3+4) (X3-1) = (x=+4) (x+l) (x-1)这里的“底”，指分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。

即分解到底，不能半途而废的意思。

其中包含提公因式要一次性提“干净”，不留“尾巴”，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。

如上例中许多同学易犯分解到x,+3X2-4= (x=+4) (x c-l)而不进一步分解的错误。

因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中，与因式分解的四个步骤是一脉相承的。

(五)各式之间必须是连乘积的形式例5 分解因式x：-9+8x=解：x：-9+8x=x：+8x-9=(x-l) (X+9)这里的“连乘积”，是指因式分解的结果必须是儿个整式的连乘积的形式，否则不是因式分解。

因式分解的‎“八个注意”事项及“课本未拓展‎的五个的方‎法”在因式分解‎这一章中，教材总结了‎因式分解的‎四个步骤，可概括为四‎句话：“先看有无公‎因式，再看能否套‎公式，十字相乘试‎一试，分组分解要‎合适”然而在初学‎因式分解时‎，许多同学在‎解题中还是‎会出现一些‎这样或那样‎的错误，或者都学透‎了，但是试卷上‎给出的题目‎却还是不会‎分解，本文提出以‎下“八个注意”事项及“五大课本未‎总结的方法‎”，以供同学们‎学习时参考‎。

一、“八个注意”事项（一）首项有负常‎提负例1把－a2－b2＋2ab＋4分解因式‎。

解：－a2－b2＋2ab＋4＝－（a2－2ab＋b2－4）＝－（a－b＋2）（a－b－2）这里的“负”，指“负号”。

如果多项式‎的第一项是‎负的，一般要提出‎负号，使括号内第‎一项系数是‎正的。

防止出现诸‎如－a2－b2=（－a+b）（－a－b）的错误。

（二）各项有公先‎提公例2因式分‎解8a4－2a2解:8a4－2a2=2a2(4a2－1)=2a2(2a+1)(2a－1)这里的“公”指“公因式”。

如果多项式‎的各项含有‎公因式，那么先提取‎这个公因式‎，再进一步分‎解因式。

防止出现诸‎如4a4-a2=（2a2+a）(2a2-a）而又不进一‎步分解的错‎误.（三）某项提出莫‎漏1例3因式分‎解a3-2a2+a解：a3-2a2+a=a(a2-2a+1)=a(a-1)2这里的“1”，是指多项式‎的某个整项‎是公因式时‎，先提出这个‎公因式后，括号内切勿‎漏掉1。

防止学生出‎现诸如a3‎-2a 2+a=a(a 2-2a)的错误。

（四）括号里面分‎到“底”。

例4 因式分解x ‎4－3x 2－4解：x 4+3x 2－4＝（x 2＋4）（x 2－1）＝（x 2＋4）（x ＋1）（x －1）这里的“底”，指分解因式‎，必须进行到‎每一个多项‎式因式都不‎能再分解为‎止。

即分解到底‎，不能半途而‎废的意思。

因式分解教案模板（10篇）因式分解教案 1教学目标：1、进一步巩固因式分解的概念;2、巩固因式分解常用的三种方法3、选择恰当的方法进行因式分解4、应用因式分解来解决一些实际问题5、体验应用知识解决问题的乐趣教学重点：灵活运用因式分解解决问题教学难点：灵活运用恰当的因式分解的方法，拓展练习2、3教学过程：一、创设情景：若a=101,b=99,求a2-b2的值利用因式分解往往能将一些复杂的运算简单化，那么我们先来回顾一下什么是因式分解和怎样来因式分解。

二、知识回顾1、因式分解定义：把一个多项式化成几个整式积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.判断下列各式哪些是因式分解?(让学生先思考，教师提问讲解，让学生明确因式分解的概念以及与乘法的关系)(1)._2-4y2=(_+2y)(_-2y)因式分解(2).2_(_-3y)=2_2-6_y整式乘法(3).(5a-1)2=25a2-10a+1整式乘法(4)._2+4_+4=(_+2)2因式分解(5).(a-3)(a+3)=a2-9整式乘法(6).m2-4=(m+4)(m-4)因式分解(7).2πR+2πr=2π(R+r)因式分解2、规律总结(教师讲解)：分解因式与整式乘法是互逆过程.分解因式要注意以下几点：(1).分解的对象必须是多项式.(2).分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.(3).要分解到不能分解为止.3、因式分解的方法提取公因式法：-6_2+6_y+3_=-3_(2_-2y-1)公因式的概念;公因式的求法公式法：平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)24、强化训练教学引入师：教材在《四边形》这一章《引言》里有这样一句话：把一个长方形折叠就可以得到一个正方形。

现在请同学们拿出一个长方形纸条，按动画所示进行折叠处理。

动画演示：场景一：正方形折叠演示师：这就是我们得到的正方形。

下面请同学们拿出三角板(刻度尺)和圆规，我们来研究正方形的几何性质—边、角以及对角线之间的关系。

一、主元法所谓主元法分解因式就是在分解含有多个字母的代数式时，选取其中一个字母为主元（未知数），将其字母看成为常数，将代数式整理成关于主元的降幂排列（或升幂排列）的多项式，再尝试用公式法、配方法、分组法等分解因式的方法进行分解。

题目:已知对于任意有理数a、b,关于x、y的方程(a-b)x-(a+b)y=5a+b 有一组公共解，试求这组公共解。

分析:由上等式可得知其是一个关于x、y的方程,即x、y是未知数,而a、b则是系数.一看便知道不将括号拆开当然解不出,于是将其括号拆开,便可得到一个关于a、b、x、y的方程(即a、b、x、y为未知数).所以,各单项式便"地位等同"了.而现在,我们便会立即想到将各单项式重新组合(组合的方式当然不同),则就要将a、b看作未知数,x、y作为系数.而再览题目,题中说a、b为任意有理数,而等式却永远成立,说明a、b的系数为0.由系数为0可得两个方程,将其联立,得一个新方程组,解之便得x、y的值,即其公共解.解题过程:解: (a-b)x-(a+b)y=5a+bax-bx-ay-by-5a-5b=0(x-y-5)a-(x+y+1)b=0∴x-y=5x+y=-1∴x=2 y=-3.二、换元法题目:分解因式:(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90.分析:不多说,首先将前两个多项式用"十字相乘法"进行分解.分解完一览,貌似没什么办法解,只能尝试用"分组分解法"继续.将(x+2)与(2x+3)交换.再将前两个多项式和后两个分别相乘,再化简,发现前一个比后面的大1.此时懂换元法的同学就知道应用"换元法"了.将后一项用一个字母代替,则前面的是那个字母多1.至于后面就不多说了.解题过程:解: (x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90原式=(x+1)(x+2)(2x+3)(2x+1)-90=(x+1)(2x+3)(x+2)(2x+1)-90=(2x2+2x+3x+3)(2x2+4x+x+2)-90=(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90设2x2+5x+2为a,则2x2+5x+3为a+1.=(a+1)a-90=a2+a-90=(a+10)(a-9)=(2x2+5x+12)(2x2+5x-6).三、待定系数法待定系数法，一种求未知数的方法。

2023年初高中衔接素养提升专题课时检测第一讲因式分解的拓展（精练）（解析版）（测试时间60分钟）一、单选题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（2022·浙江金华·二模）下列多项式中，在实数范围内不能进行因式分解的是（）A ．24a -B ．269a a ++C ．216a +D ．2961a a -+【答案】C解：A、()()2422,a a a -=+-故不符合题意．B、()22693,a a a ++=+故不符合题意．C、216a +，不能分解，故符合题意．D、()2296131,a a a -+=-故不符合题意．故选：C．2．（2023·甘肃二模）下列因式分解正确的是（）A ．22()()-=+-a b ab a a b a b B ．22(21)(21)(21)--=+--+a b a b a b C ．3222()-+=-a ab ab a a b D ．2222244(2)-+=-a b a b a a b 【答案】B【解析】【分析】【详解】解：A 中()22()()a b ab ab a b a a b a b -=-≠+-，错误，故不符合题意；B 中22(21)(21)(21)--=+--+a b a b a b ，正确，故符合题意；C 中()32222()22a ab ab a a b b a a b -+=-+≠-，错误，故不符合题意；D 中()2222222()4422a b a b a a b ab -+=-≠-，错误，故不符合题意；故选B．3．（2022·江苏·泰州市第二中学附属初中七年级期中）将多项式2224912x y z yz ---分解成因式的积，结果是（）A ．(23)(23)x y z x y z +---B ．(23)(23)x y z x y z ---+C ．(23)(23)x y z x y z +++-D ．(23)(23)x y z x y z ++--【答案】D【解析】原式)32)(32()32()1294(22222z y x z y x z y x yz z y x --++=+-=++-=．4．（2022银川一中初中七年级期中）要是二次三项式26x x m -+在整数范围内可因式分解，则正整数m 的取值可以有（）A ．2个B ．3个C ．5个D ．6个【答案】B【解析】6=1+5，6=2+4，6=3+3，∴9,8,5=m ．5.（2022秋·河北邢台·八年级统考期末）计算1−×1−×1−×1×1−）．A ．512B ．12C ．712D ．1130【答案】C 【分析】原式各括号利用平方差公式变形，约分即可得到结果．【详解】原式=1×1+×1×1×1−×1+×1−×1+×1−×1=12×32×23×43×34×54×45×65×56×76，=12×76，=712，故选：C．二、填空题6．已知正数a 、b 、c 满足ab +a +b =bc +b +c =ac +a +c =3，则（a +1）（b +1）（c +1）=_________．【答案】8【解析】4111=+++=+++=+++c a ac c b bc b a ab ，即4)1)(1()1)(1()1)(1(=++=++=++c b c a b a ，∴2111=+=+=+c b a ．7．因式分解22(34)(6)24x x x x +---+=_________．【答案】)8)(2)(3(2-+-+x x x x 【解析】原式=24)4)(3)(2)(1(24)3)(2)(1)(4(++-+-=+-+-+x x x x x x x x 24)2(10)2(24)12)(2(22222+-+--+=+-+-+=x x x x x x x x)8)(2)(3()8)(6(222-+-+=-+-+=x x x x x x x x ．8．（2021·上海市第四中学八年级阶段检测）在实数范围内因式分解3x 2+6x ﹣2＝____．【答案】3(x x +解：令212333620,33x x x x --++-=⇒==所以2113623()()x x x x x x +-=--⇒233333623()()3()()3333x x x x x x --+-=--=+-+三、解答题（解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）9．（2020·广东·华南师范大学中山附属中学八年级期中）分解因式：（1）221632a a -+（2）22414x xy y --+【答案】（1）()224a -；（2）()()2121x y x y -+--．【解析】（1）221632a a -+，=()22816a a -+，=()224a -；（2）22414x xy y --+，()224=41x xy y -+-，()2=x-2y -1，()()=x 2121y x y -+--．10、已知a 、b 、c 是△ABC 的三条边，且满足2220a b c ab bc ac ++---=，试判断△ABC 的形状．【解析】两边同乘2，得：022*******=---++bc ac ab c b a ，即0)()()(222=-+-+-c a c b b a ，∴c b a ==．【答案】等边三角形11．（2022·江苏·泰州市第二中学附属初中七年级期中）先阅读下面的内容，再解决问题：问题：对于形如222x xa a ++，这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成2()x a +的形式.但对于二次三项式2223x xa a +-，就不能直接运用公式了.此时，我们可以在二次三项式2223x xa a +-中先加上一项2a ，使它与22x xa +的和成为一个完全平方式，再减去2a ，整个式子的值不变，于是有：2222222323x xa a x xa a a a +-=++--（）22()4x a a =+-22()(2)x a a =+-(3)()x a x a =+-像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”.利用“配方法”，解决下列问题：(1)分解因式：265a a -+；(2)若2211264502a b a b m c +--++-=①当a b m ，，满足条件：248a b m ⨯=时，求m 的值；②若△ABC 的三边长是,,a b c ，且c 边的长为奇数，求ABC ∆的周长【答案】(1)(a -1)(a -5)；(2)①4；②14或16【解析】(1)解：a 2﹣6a +5＝a 2﹣6a +9﹣4＝（a ﹣1）(a ﹣5)(2)∵2211264502a b a b m c +--++-=；∴（a 2﹣12a +36）+（b 2﹣6b +9）+|12m ﹣c |＝0∴（a ﹣6）2+（b ﹣3）2+|12m ﹣c |＝0∴a ﹣6＝0，b ﹣3＝0∴a ＝6，b ＝3①∵2a ×4b ＝8m∴26×43＝8m ∴26×43＝23m 时∴212＝23m ∴12＝3m ∴m ＝4；故答案为：4．②由①知，a ＝6，b ＝3，∵△ABC a ，b ，c ，∴3＜c ＜9，又∵c 边的长为奇数，∴c ＝5，7，当a ＝6，b ＝3，c ＝5时，△ABC 的周长是：6+3+5＝14，当a ＝6，b ＝3，c ＝7时，△ABC 的周长是：6+3+7＝16，12.（2021·四川·成都教育科学研究院附属学校七年级期中）在二次三项式245x x +-先加上一项4，使它与24x x +成为一个完全平方式，然后再减去4，使整个式子的值不变，于是有：()22245444529x x x x x +-=++--=+-．像这种先添一适当项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．请利用“配方法”解决下列问题：(1)已知：2246130x y x y ++-+=，求x y 的值．(2)已知：2,3,a b b c -=-=求222a b c ab bc ca ++---的值．【答案】(1)8-(2)19【解析】(1)解： 2246130x y x y ++-+=2244690x x y y \+++-+=()()22230,x y \++-=20,30,x y \+=-=解得：2,3,x y =-=()328.y x \=-=-(2) 2,3,a b b c -=-=5,a c \-=∴222abc ab bc ca ++---()22212222222a b c ab bc ac =++---()22222212222a ab b a ac c b bc c =-++-++-+()142592=++19=。

2023年初高中衔接素养提升专题讲义第一讲因式分解的拓展（精讲）（解析版）【知识点透析】因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。

【方法精讲】一．提公因式法提取公因式法：把一个多项式各项都有的公因式提到括号外边来．符号语言：)(c b a m mc mb ma ++=++【例1】因式分解3(2)(2)x x x ---．【解析】提取公因式，原式=)13)(2(+-x x ．【变式】因式分解324(1)2(1)q p p -+-．【解析】提取公因式，原式=)424()1(]2)1(4[)1(22pq q p p q p -+-=+--．【例2】计算9879879879871232684565211368136813681368⨯+⨯+⨯+⨯．【解析】原式=987)521456268123(1368987=+++⨯．【变式1】（2022·广东汕头·一模）已知4m n +=，5mn =-，则22m n mn +=________．【答案】20-【解析】∵m +n =4，mn =-5，∴m 2n +mn 2=mn （m +n ）=-5×4=-20．故答案为：-20．【变式2】（2022·湖南娄底·七年级期中）因式分解：2229612abc a b abc -+；【答案】()23324ab c ab c -+【解析】：()222296123324abc a b abc ab c ab c -+=-+；二．公式法公式法：利用乘法公式的逆变换对多项式进行因式分解．常见的公式如下：（1）a 2－b 2=_))((b a b a -+_；（平方差公式）（2）a 2±2ab +b 2=_2)(b a ±_；（完全平方公式（两个数））（3）a 3±b 3=_))((22b ab a b a +± _；（立方和差公式）（4）a 3±3a 2b +3ab 2±b 3=_3)(b a ±_；（完全立方公式）（5）a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac =_2)(c b a ++_；（完全平方公式（三个数））【例3】因式分解22(2)(31)a a +--．【解析】法一：原式=)14)(23()132)(132(+-=+-+-++a a a a a a 法二：原式=)14)(23(310816944222+-=++-=-+-++a a a a a a a a ．【变式】（2022·福建省泉州实验中学八年级期中）因式分解：(1)42−16+16；(2)2−+16−．【答案】(1)4−22；(2)−+4−4【解析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可求解；（2）先进行公式变形为2−−16−，再提取公因式，最后用平方差公式分解即可（1）解：42−16+16=42−4+4=4−22；（2）解：2−+16−=2−−16−=−2−16=−+4−4；【例4】．（2022·上海外国语大学尚阳外国语学校七年级阶段检测）多项式的乘法公式中，除了平方差公式，完全平方公式之外，还有立方和公式与立方差公式如下：立方和公式：()()2233a b a ab b a b+++=+立方差公式：()()2233a b a ab b a b -++=-如果把公式逆运用，则成为因式分解中的立方和与立方差公式.根据以上材料，请完成下列问题：（1）因式分解：99a b +（2）因式分解：66a b -（3）已知：6631a b ab a b +==+，，的值【答案】（1）（a＋b）（a 2−ab＋b 2）（a 6−a 3b 3＋b 6）；（2）（a −b）（a＋b）（a 4＋a 2b 2＋b 4）．（3）322【详解】（1）因式分解：a 9＋b 9＝（a 3）3＋（b 3）3＝（a 3＋b 3）（a 6−a 3b 3＋b 6）＝（a＋b）（a 2−ab＋b 2）（a 6−a 3b 3＋b 6）；（2）因式分解：a 6−b6＝（a 2）3−（b 2）3＝（a 2−b 2）（a 4＋a 2b 2＋b 4）＝（a −b）（a＋b）（a 4＋a 2b 2＋b 4）；（3）∵a＋b＝3，ab＝1，∴a 2＋b 2＝（a＋b）2−2ab＝7，∴a 6＋b 6=（a 2＋b 2）（a 4−a 2b 2＋b 4）＝[（a＋b）2−2ab][（a 2＋b 2）2−2a 2b 2−a 2b 2]＝7×（49−3×1）＝322．【变式1】因式分解52(2)(2)x x y x y x -+-．【答案】原式=)1)(1)(2(22++--x x x y x x ．【解析】原式=)1)(1)(2()1)(2())(2(223225++--=--=--x x x y x x x y x x x x y x 【变式2】分解下列因式(1)38x +(2)34381a b b -【解析】：(1)333282(2)(42)x x x x x +=+=+-+(1)3433223813(27)3(3)(39)a b b b a b b a b a ab b -=-=-++【变式3】分解因式：(1)30.12527b -(2)76a ab -【解析】：(1)中应先提取公因式再进一步分解；(2)中提取公因式后，括号内出现66a b -，可看着是3232()()a b -或2323()()a b -．(1)333220.125270.5(3)(0.53)[0.50.53(3)]b b b b b -=-=-+⨯+2(0.53)(0.25 1.59)b b b =-++(2)76663333()()()a ab a a b a a b a b -=-=+-22222222()()()()()()()()a ab a ab b a b a ab b a a b a b a ab b a ab b =+-+-++=+-++-+三．十字相乘法十字相乘法：对于二次三项式或可看作二次三项式的多项式分解因式．【例5】（2022·上海闵行·七年级期中）在因式分解的学习中我们知道对二次三项式2+++B 可用十字相乘法方法得出2+++B =++，用上述方法将下列各式因式分解：(1)2+5B −62=__________．(2)2−4+2+32+6=__________．(3)2−5−−6−2=__________．(4)20182−2017×2019−1=__________．【答案】(1)(x -y )(x +6y )(2)(x -3a )(x -a -2)(3)(x +a -3b )(x -a -2b )(4)(20182x 2+1)(x -1)【分析】（1）将-6y 2改写成-y ·6，然后根据例题分解即可；（2）将3a 2+6a 改写成−3−+2，然后根据例题分解即可；（3）先化简，将B +62−2改写−3+−2−，然后根据例题分解即可；（4）将2017×2019改写成(2018-1)(2018+1)，变形后根据例题分解即可；(1)解：原式=2+(−+6p +−⋅6=(x -y )(x +6y )；(2)解：原式=2+−3−+2+−3−+2=(x -3a )(x -a -2)；(3)解：原式=2−5B +B +62−2=2−5B +3−2+=2+−3++−2−+−3+−2−=(x +a -3b )(x -a -2b )；(4)解：原式=20182−2018-12018+1−1=201822−20182-1−1=201822+1−20182−1=(20182x +1)(x -1)．【例6】．（2023·山东济宁·八年级期末）【知识背景】八年级上册第121页“阅读与思考”中，我们利于因式分解是与整式乘法方向相反的变形这种关系得到：()()()2x p q x pq x p x q +++=++．【方法探究】对于多项式()2x p q x pq +++我们也可这样分析：它的二次项系数1分解成1与1的积；它的常数项pq 分解成p 与q 的积，按图1所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数()p q ++．所以()()()2x p q x pq x p x q +++=++例如，分解因式：256x x ++它的二次项系数1分解成1与1的积；它的常数项6分解成2与3的积，按图2所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数5．所以()2562(3x x x x ++=++）．类比探究：当二次项系数不是1时，我们也可仿照上述方式进行因式分解．例如，分解因式：226x x --．分析：二次项系数2分解成2与1的积；常数项－6分解成－1与6（或－6与1，－2与3，－3与2）的积，但只有当－2与时按如图3所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数－1．所以()22623(2)x x x x --=+-．【方法归纳】一般地，在分解形如关于x 的二次三项式2ax bx c ++时，二次项系数a 分解成1a 与2a 的积，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；常数项c 分解成1c 与2c 的积，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，把1a ，2a ，1c ，2c 按如图4所示方式排列，当且仅当1221a c a c b +=（一次项系数）时，2ax bx c ++可分解因式．即21122()()ax bx c a x c a x c ++=++．我们把这种分解因式的方法叫做十字相乘法．【方法应用】利用上面的方法将下列各式分解因式：(1)256x x -+；(2)21021x x +-；(3)()()22247412x x x x -+-+【答案】(1)（x －2）（x －3）(2)（2x ＋3）（5x －7）(3)2(2)x -（x －1）（x －3）【解析】(1)256x x -+=（x －2）（x －3）．(2)21021x x +-=（2x ＋3）（5x －7）．(3)()()22247412x x x x -+-+=22(44)(43)x x x x -+-+=2(2)x -（x －1）（x －3）．【变式1】将下列各式分解因式（1）2615x x --；（2）231310x x -+．【解析】（1）原式=)53)(32(-+x x ；（2）原式=)5)(23(---x x ．【变式2】（1）42222459x y x y y --；（2）223129x xy y ++．【答案】（1）原式=)94)(1(222-+x x y ；（2）原式=)33)(3(y x y x ++．【变式3】把下列各式因式分解：(1)226x xy y+-(2)222()8()12x x x x +-++【解析】：(1)222266(3)(2)x xy y x yx x y x y +-=+-=+-．(2)22222()8()12(6)(2)x x x x x x x x +-++=+-+-(3)(2)(2)(1)x x x x =+-+-【例7】（提高型）：分解因式613622-++-+y x y xy x .【解析】设613622-++-+y x y xy x =)2)(3(n y x m y x +-++，∵)2)(3(n y x m y x +-++=mn y m n x n m y xy x--+++-+)23()(622，∴613622-++-+y x y xy x =mn y m n x n m y xy x --+++-+)23()(622，对比左右两边相同项的系数可得⎪⎩⎪⎨⎧-==-=+613231mn m n n m ，解得⎩⎨⎧=-=32n m .∴原式=)32)(23(+--+y x y x .【变式】（1）2910322-++--y x y xy x ；（2）6752322+++++y x y xy x .解：原式=)12)(25(-++-y x y x 原式=)2)(32(++++y x y x 四．分组分解法根据多项式各项的特点，适当分组，分别变形，再对各组之间进行整体分解（先部分后整体的分解方法）【例8】．（2022·甘肃省兰州市教育局八年级期中）【阅读学习】课堂上，老师带领同学们学习了“提公因式法、公式法”两种因式分解的方法．分解因式的方法还有许多，如分组分解法．它的定义是：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫分组分解法．使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性．能预见到下一步能继续分解．例如：（1）()()()()()()am an bm bn am bm an bn m a b n a b a b m n +++=+++=+++=++；（2）()2222222121(1)(1)(1)x y y x y y x y x y x y ---=-++=-+=++--．【学以致用】请仿照上面的做法，将下列各式分解因式：（1）1ab a b --+；（2）22444x xy y -+-．【拓展应用】已知：7x y +=，5x y -=．求：2222x y y x --+的值．【答案】（1）(1)(1)a b --；（2）(22)(22)x y x y -++-；【拓展应用】45．【详解】（1）1ab a b --+()()()()111ab a b a b =---=--（2）()()()()22222444444422222x xy y x xy y x y x y x y -+-=--+=--=-++-【拓展应用】()()()()222222222x y y x x y x y x y x y --+=-+-=-++∵7x y +=，5x y -=，代入得：原式=()(2)5(72)45x y x y -++=⨯+=．将下列各式分解因式（1）3232()()x x y y +-+；（2）32x x +-．【答案】（1）原式=))((22y x y xy x y x ++++-（2）原式=)2)(1(2++-x x x 【解析】（1）原式=))(())(()()(222233y x y x y xy x y x y x y x -++++-=-+-))((22y x y xy x y x ++++-=；（2）原式=)2)(1()1()1)(1(11223++-=-+++-=-+-x x x x x x x x x ．【例9】分解因式：（1）32933x x x +++；（2）222456x xy y x y +--+-．解：（1）32933x x x +++=32(3)(39)x x x +++=2(3)3(3)x x x +++=2(3)(3)x x ++．或32933x x x +++＝32(331)8x x x ++++＝3(1)8x ++＝33(1)2x ++＝22[(1)2][(1)(1)22]x x x +++-+⨯+＝2(3)(3)x x ++．（2）222456x xy y x y +--+-=222(4)56x y x y y +--+-=22(4)(2)(3)x y x y y +----=(22)(3)x y x y -++-．或222456x xy y x y +--+-=22(2)(45)6x xy y x y +----=(2)()(45)6x y x y x y -+---=(22)(3)x y x y -++-．【变式】（1）323x x +-；（2）222(1)41m n mn n -+-+．【答案】（1）原式=)3)(1(2++-x x x （2）原式=)1)(1(+-+++-n m mn n m mn ．【解析】（1）原式=)3)(1(22123++-=-+-x x x x x （2）原式=2222222221214n mn m mn n m n mn m n m -+-++=+-+-)1)(1()()1(22+-+++-=--+=n m mn n m mn n m mn ．五．换元法换元法分解因式：是将多项式中的某一部分用新的变量替换，从而使较复杂的数学问题得到简化【例10】．（2022·福建漳州·八年级期中）阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，这种方法就是换元法．对于()()22525312x x x x ++++-．解法一：设25x x y +=，则原式()()2231256y y y y =++-=+-()()()()()()()2226156512351y y x x x x x x x x =+-=+++-=+++-；解法二：设22x m +=，5x n =，则原式()()()()211212m n m n m n m n =+++-=+++-()()()()()()()2224356512351m n m n x x x x x x x x =+++-=+++-=+++-．请按照上面介绍的方法解决下列问题：(1)因式分解：()()2241479x x x x -+-++；(2)因式分解：()()()2221x y xy x y xy +-+-+-；(3)求证：多项式()()()()21236x x x x x +++++的值一定是非负数．【答案】(1)（1）()42x -(2)()()2211x y --(3)见解析【解析】(1)解：解法一：设2x x y -=，则原式()()179y y =+++2816y y =++()24y =+()2244x x =-+()42x =-；方法二：设214x m x n +=-=，，则原式()()=69m n m n ++++()()269m n m n =++++()23m n =++()22143x x =+-+()2244x x =-+()42x =-；(2)解：设x y m xy n +==，，则原式()()()2221m n m n =--+-2222421m mn m n n n =--++-+()22221m mn m n =--+-()()22211m m n n =-+++()21m n =--()21x y xy =+--()()2211x y =--；(3)解：()()()()21236x x x x x +++++()()2227656x x x x x =+++++，设26x m x n +==，，则原式()()2=75m n m n n +++221236m mn n =++()26m n =+()2266x x =++，∵()22660x x ++≥，∴()()()()212360x x x x x ++++≥+，∴多项式()()()()21236x x x x x +++++的值一定是非负数．【变式1】将下列各式分解因式（1）221639a b ab ++；【答案】原式=)13)(3(++ab ab （2）22(1)(2)12x x x x ++++-【解析】原式=)5)(2(12)1()1(22222++-+=-+++++x x x x x x x x ．)5)(1)(2(2++-+=x x x x ．【变式2】（1）x 6－7x 3－8（2）（x +1）（x +2）（x +3）（x +4）+1【解析】（1）原式=)1)(42)(1)(2()1)(8(2233+-+++-=+-x x x x x x x x ；（2）原式=1)65)(45(1)3)(2)(4)(1(22+++++=+++++x x x x x x x x 2222)55(11)55(++=+-++=x x x x ．六．配方法【例题11】．（2022·上海·七年级期末）阅读理解：对于形如222x ax a ++这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成2()x a +的形式．但对于二次三项式2223x ax a +-，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式2223x ax a +-中先加上一项2a ，使它与22x ax +的和成为一个完全平方式，再减去2a ，整个式子的值不变，于是有：2223x ax a +-＝222223x ax a a a ++--＝22()4x a a +-＝22()(2)x a a +-＝(3)()x a x a +-，像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．请利用“配方法”进行因式分解：(1)2815x x -+；(2)4224a a b b ++．【答案】(1)(3)(5)x x --(2)2222()()a b ab a b ab +++-【解析】(1)原式＝28161615x x a -+-+＝2(4)1x --＝(41)(41)x x -+--＝(3)(5)x x --；(2)42244224222a a b b a a b b a b ++=++-＝22222()a b a b +-＝2222()()a b ab a b ab +++-．七．因式分解的应用【例题12】．（2022·江苏扬州·七年级期中）阅读下列材料：若一个正整数x 能表示成22a b -（a ，b 是正整数，a b >）的形式，则称这个数为“明礼崇德数”，a 与b 是x 的一个平方差分解，例如22532=-，所以5是“明礼崇德数”3与2是5的平方差分解；再如：()22222222M x xy x xy y y x y y =+=++-=+-(,x y 为正整数），所以M 也是“明礼崇德数”，（x y +）与y 是M 的一个平方差分解．(1)判断9“明礼崇德数”（填“是”或“不是”）；(2)已知()2x y +与2x 是P 的一个平方差分解，求代数式P ；(3)已知2223818N x y x y k =-+-+（,x y 是正整数，k 是常数，且1x y >+），要使N 是“明礼崇德数”，试求出符合条件的k 值，并说明理由．【答案】(1)是(2)222x y y +(3)k =-19【解析】(1)解∶∵22954=-，∴9是“明礼崇德数”；故答案为：是(2)解：()()2222P x y x =+-42242x x y y x =++-222x y y =+；(3)解：2223818N x y x y k =-+-+()()2224436919x x y y k=++-++++()()22223319x y k=+-+++2219k=+-+++∵N 是“明礼崇德数”，∴19+k =0，∴k =-19．【例题13】．已知a b =22a b ab -的值．【答案】【解析】【分析】先利用提公因式法把22a b ab -进行因式分解，再代入计算即可．【详解】解：∵()22a b ab ab a b -=-，又a =b∴a b =-=1ab +=-=，∴()221a b ab ab a b -=-=⨯=【变式1】．（1）因式分解：()()211x x x +-+．（2）先化简，再求值：22169124x x x x ++⎛⎫+÷ ⎪+-⎝⎭，其中3x =．【答案】（1）1x +；（2）23x x -+，16【解析】【分析】（1）直接提公因式即可；（2）先算括号内的部分，将除法变乘法，最后约分化简后代入求值即可．【详解】（1）原式=()()11x x x ++-=x +1；（2）原式=212(3)22(2)(2)x x x x x x ++⎛⎫+÷ +++-⎝⎭23(2)(2)2(3)x x x x x ++-=⋅++23x x -=+，当3x =时，原式=3233-+16=．【变式2】．（2022·湖北十堰·八年级期末）阅读理解题：已知二次三项式x 2﹣4x ＋m 有一个因式是x ＋3，求另一个因式及m 的值．解：设另一个因式为x ＋n ，依题意得x 2﹣4x ＋m ＝（x ＋3）（x ＋n ）．即x 2﹣4x ＋m ＝x 2＋（n ＋3）x ＋3n ，比较系数得：343n m n +=-⎧⎨=⎩，解得217m n =-⎧⎨=-⎩．∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21仿照上述方法解答下列问题：(1)已知二次三项式2x2＋3x﹣k有一个因式是2x﹣1，求另一个因式及k的值；(2)已知2x2﹣13x＋p有一个因式x﹣4，则p＝．【答案】(1)另一个因式为x+2，k的值为2(2)20(1)解：（1）设另一个因式为x+m，则2x2+3x—k＝（2x—1）（x+m），即2x2+3x—k＝2x2+（2m—1）x—m，比较系数得：213 mk m-=⎧⎨-=-⎩，解得22 mk=⎧⎨=⎩，∴另一个因式为x+2，k的值为2；(2)解：设另一个因式为（2x+m），由题意，得：2x2﹣13x+p＝（x﹣4）（2x+m），则2x2﹣13x+p＝2x2+（m﹣8）x﹣4m，∴8134mp m-=-⎧⎨=-⎩，解得520 mp=-⎧⎨=⎩，故答案为：20．。

专题4 因式分解方法的应用知识解读在一定的条件下，把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式称为代数式的恒等变形，它是研究代数式、方程和函数的基础.因式分解是代数变形的重要工具.在后续的学习中，因式分解是学习分式、一元二次方程等知识的基础.现阶段，因式分解在数值计算、代数式的化简求值、不定方程（组）的求解、代数等式的证明等方面有广泛的应用.同时，通过因式分解的训练和应用，能使我们的观察能力、运算能力、变形能力、逻辑思维能力及探究能力得到提高.因此，有人说因式分解是学好代数的基础之一.培优学案典例示范一、因式分解在代数式化简中的应用例1 （希望杯试题）若0=++c b a ，则3223b c b abc c a a ++-+的值是 . 【提示】将3223b c b abc c a a ++-+变形，设法凑c b a ++. 【技巧点评】本题已知0=++c b a ，在对3223b c b abc c a a ++-+变形的时候，需要设法凑c b a ++，凑得的c b a ++就用0代替. 跟踪训练11.已知2=+b a ，则b b a 422+-的值是 （ ） A.2 B.3 C.4 D.6 二、利用因式分解进行简便计算 例2 计算下列各题：（1）)220162013()2107)(285)(263)(241()220172014()2118)(296)(274)(252(+⨯⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯+⨯；（2）20162015201520132015220152323-+-⨯-【提示】观察分子、分母数字间的特点，用字母表示数，从一般情形考虑，通过分解变形，寻找复杂数值下隐含的规律. 【解答】【技巧点评】当计算的式子中数值较大，且彼此有联系的时候，常考虑用字母代替这些较大的数值进行计算，这样做的目的是简化运算过程.跟踪训练2 2.计算： （1）)201611)(201511()411)(311)(211(22222--⋅⋅⋅---； （2）（华杯赛试题）)6435)(6427)(6419)(6411)(643()6439)(6431)(6423)(6415)(647(4444444444++++++++++.三、应用因式分解推理证明例3 若ABC ∆的三边长分别是a ，b ，c .（1）当ac c ab b 2222+=+时，试判断ABC ∆的形状； （2）判断代数式ac c b a 2222-+-值的符号.【提示】（1）由边长判断三角形形状，这个三角形可能是等腰（等边）三角形，也可能利用勾股定理逆定理，证明这个三角形是直角三角形.可将右边的各项移到方程的左边，然后因式分解；（2）先考虑将ac c b a 2222-+-因式分解. 【解答】【技巧点评】因式分解是代数变形的有力工具.跟踪训练33.（北京市竞赛试题）已知0)()()(222=-+-+-b a c a c b c b a .证明：a ，b ，c 三个数中至少有两个相等. 拓展延伸例4 两个小孩的年龄分别是x ，y ，且992=+xy x ，试求这两个小孩的年龄.【提示】本题的突破口是两个小孩的年龄应该是正整数，且xy x +2可因式分解为)(y x x +，由于x ，y 是正整数，因此x ，)(y x +也是正整数，且x ＜)(y x +，接下去只需考虑99可分解成哪两个正整数的乘积即可. 【解答】【技巧点评】当已知条件中出现一个方程两个未知数，常需考虑将这个方程化成两个方程，或者分类讨论所有可能，化一个方程为两个方程，常用的办法就是因式分解. 跟踪训练44.设a 是一个无理数，且a ，b 满足1=-+b a ab ，则b = . 竞赛链接例5（1）（上海竞赛试题）求方程07946=--+y x xy 的整数解；（2）（希望杯试题）设y x ，为正整数，096422=-++y y x ，求xy 的值. 【提示】（1）结合方程的特点对其因式分解，将不定方程转化为方程组求解； （2）将等式左边适当变形后进行配方，利用y x ，为正整数的特点，结合不等式求解。

1 / 10辅导教案授课日期时 间 主 题 因式分解拓展教学内容因式分解的方法【知识梳理】一、因式分解的意义把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，其操作过程叫分解因式。

其中每一个整式叫做积的因式。

二、因式分解的方法1、常用方法有提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等，通常根据多项式的项数来选择分解的方法。

2、一些复杂的因式分解的方法：（1）换元法：对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化、明朗化，在减少多项式项数、降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用。

（2）主元法：在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式重新整理成关于这个字母的按降幂排列的多项式，则能排除字母间的干扰，简化问题的结构。

（3）拆项、添项法：拆项是将多项式中的某项拆成两项或更多项的代数和的一种恒等变形；添项是特殊的拆项，即把零拆成两个相反项的和。

配方法则是一种特殊的拆项、添项法。

（4）待定系数法：对所给的数学问题，根据已知条件和要求，先设出问题的多项式表达式（含待定的字母系数），然后利用已知条件，确定或消去所设待定系数，使问题得以解答。

（5）常用的公式：平方差公式：()()b a b a b a -+=-22； 完全平方公式：()2222b a b ab a ±=+±； ()2222222c b a ca bc ab c b a ++=+++++；2 / 10()2222222c b a ca bc ab c b a -+=--+++；()2222222c b a ca bc ab c b a --=-+-++；立方和（差）公式：()()2233b ab a b a b a +-+=+； ()()2233b ab a b a b a ++-=-；完全立方公式：()3322333b a b ab b a a +=+++； ()3322333b a b ab b a a -=-+-。

因式分解拓展课(1)教学案例一、情境引入情境一、回顾因式分解的一般方法：提取公因式法、运用公式法、十字相乘法、分组分解法。

问题：因式分解的一般策略是什么？情景二、指出下列多项式因式分解的方法及结果.【评析】：对因式分解基本方法的熟练掌握是因式分解的基础，所以在情景引入这一问题中，设置了“因式分解的一般策略”和4个因式分解的题目，主要是训练学生会根据题目的特点选用合理的方法，为后续的学习奠定基础。

二、问题研究拓展一：（重新组合法）【例1】 因式分解【评析】：此题直接应用因式分解的基本方法难以解决，学生通过去掉括号，发现可以使用分组分解发解决本题。

练习一：因式分解：【评析】：通过实践练习总结出这类问题的解题方法----重新组合法，增加了因式分解的一种策略。

拓展二：（求同取一法）【例2】 因式分解：22.46)(5)(.3)()(.263.12222222-+++++-+---++y x y xy x b a b a z x y x ab b a 23)2)(1(-+---b ab a a 23222++-+--=b ab a a a 解：原式)33()(2b a ab a ---=b ab a a 332+--=)(3)(b a b a a ---=)3)((--=a b a 22)()()1(ac bd bc ad -++6)2)(1()2(---x x x 5)4)((----b a b a解：【辨析】：例题2与例题1的相似之处在于不能直接使用因式分解的基本方法，但例题2与例题1又有明显的区别，应鼓励学生通过观察题目特点寻找合理的方法。

练习二：因式分解1、 2、 3、 【评析】：本题组重在渗透“整体思想”在因式分解中的应用，对培养学生的观察力和问题转化的能力很有帮助。

拓展三：（添项、拆项法）【例3】 因式分解： 解：【评析】：教师安排这一过程，完全放手让学生自主进行，充分暴露学生的思维过程，展现学生生动活泼、主动求知和富有的个性，使学生真正成为学习的主体，学生成功的进行了添项、拆项的处理，使因式分解得以顺利进行，也分散了本节课的难点。