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§5.1 定积分的概念及性质一、定积分的定义5.1.1 定积分： 设)(x f 是定义在],[b a 上的有界函数，在],[b a 上任取一组分点b x x x x x a n i i =<<<<<<=−L L 110，这些分点将],[b a 分为n 个小区间],[10x x ，],[21x x ，…，],[1n n x x −记每个小区间的长度为：),,2,1(1n i x x x i i i L =−=∆−，并记},,,max{21n x x x ∆∆∆=L λ再任取点),,2,1(],[1n i x x i i i L =∈−ξ，作和式：∑=∆ni i i x f 1)(ξ，若和式的极限∑=→∆ni i i x f 1)(lim ξλ存在，则称)(x f 在区间],[b a 上可积，并称该极限为)(x f 在区间],[b a 上的定积分，记为∫b adx x f )(，即∑∫=→∆=ni i i bax f dx x f 1)(lim )(ξλ其中)(x f 称为被积函数，x 称为积分变量，a 称为积分下限，b 称为积分上限，],[b a 称为积分区间。
注：（1）定积分∫b adx x f )(表示一个常数值，它与被积函数)(x f 和积分区间],[b a 有关；（2）定积分的本质是一个和式的极限，该极限与区间的划分以及点i ξ的取法无关；5.1.2 函数可积的条件：（1）若)(x f 在],[b a 上连续，则)(x f 在],[b a 上可积； （2）若)(x f 在],[b a 上有界，且只有有限个间断点，则)(x f 在],[b a 上可积； （3）若)(x f 在],[b a 上单调有界，则)(x f 在],[b a 上可积； （4）有界不一定可积，可积一定有界，无界函数一定不可积。
5.1.3 定积分的几何意义：∫b adx x f )(表示以)(x f y =为曲边，以b x a x ==,为侧边，x 轴上区间],[b a 为底边的曲边梯形面积的代数和。
5.1定积分的概念与性质1．利⽤定积分的定义计算下列积分：⑴baxdx ?（a b <）；【解】第⼀步：分割在区间[,]a b 中插⼊1n -个等分点：k b ax k n-=，（1,2,,1k n =- ），将区间[,]a b 分为n 个等长的⼩区间[(1),]b a b a a k a k n n--+-+，（12,,k n = ），每个⼩区间的长度均为k b an-?=，取每个⼩区间的右端点k b ax a k n-=+，（12,,k n = ），第⼆步：求和对于函数()f x x =，构造和式1()n n k k k S f x ==??∑1n k k k x ==??∑1()nk b a b aa k n n=--=+∑ 1()n k b a b a a k n n =--=+∑1()nk b a b a na k n n =--=+∑ 1()n k b a b a na k n n =--=+∑(1)[]2b a b a n n na n n ---=+? 1()[(1)]2b a b a a n -=-+-1+-=--?第三步：取极限令n →∞求极限1lim lim ()nn k k n n k S f x →∞→∞==??∑1lim()()22n b a b a b a n→∞+-=--? ()(0)22b a b a b a +-=--?()2b a b a +=-222b a -=，即得baxdx ?222b a -=。
⑵1xe dx ?。
【解】第⼀步：分割在区间[0,1]中插⼊1n -个等分点：k k x n=，（1,2,,1k n =- ），将区间[0,1]分为n 个等长的⼩区间1[,]k k n n -，（12,,1k n =- ），每个⼩区间的长度均为1k n ?=，取每个⼩区间的右端点k kx n=，（12,,k n = ），第⼆步：求和1()nn k k k S f x ==??∑1knx k k e ==??∑11k nnk e n ==?∑11kn n k e n ==∑由于数列k n e 为等⽐数列，其⾸项为11n x e =，公⽐为1n q e =，可知其前n 项和为1111[1()]1k nnnn nk ne e e e=-=-∑11(1)1nne e e-=-，于是1()nn k k k S f x ==??∑11kn n k e n ==∑111(1)1ne -=?-111(1)1n n e n e e =-- 第三步：取极限令n →∞求极限1lim lim ()nn k k n n k S f x →∞→∞==??∑111lim (1)1n n nen e e →∞=--1 x n=0(1)lim 1x x x xe e e →=-- 洛必达法则0(1)lim x x x x e xe e e →+--01=(1)lim 1x x e →+-- =(1)(1)1e e --=-，即得11xe dx e =-?。
