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topsis法数学方法
Topsis法（Technique for Order of Preference by Similarity to Ideal Solution）是一种多属性决策分析方法，用于确定最佳选择方案。
它结合了最佳和最差解决方案之间的相似度和距离，基于这些度量指标来评估和排序备选方案。
以下是Topsis法的步骤：
1. 收集决策问题的相关数据和属性指标。
2. 对数据进行标准化处理，以确保不同属性的值处于相同的范围内。
常见的标准化方法包括线性标准化和向量标准化。
3. 确定每个备选方案相对于理想解决方案的接近程度。
理想解决方案是在每个属性指标上都具有最佳值的方案。
计算每个备选方案与理想解决方案之间的欧氏距离或曼哈顿距离。
4. 确定每个备选方案相对于最差解决方案的接近程度。
最差解决方案是在每个属性指标上都具有最差值的方案。
计算每个备选方案与最差解决方案之间的欧氏距离或曼哈顿距离。
5. 计算每个备选方案的综合接近程度指标。
综合接近程度指标是最佳解决方案与备选方案之间的相似度与最差解决方案与备选方案之间的距离的比值。
常见的计算方法包括几何平均法和熵权法。
6. 对备选方案按综合接近程度指标进行排序，从高到低排列。
通过Topsis法，决策者可以根据备选方案在各个属性指标上的表现，确定最佳的选择方案。
TOPSIS分析方法研究摘要本文主要介绍了TOPSIS分析方法理论及其主要思想，运用数学理论，对其算法进行了详细的分析，并指出原始方法存在的优缺点；在此基础上提出了一种改进的TOPSIS分析方法，给出具体求权重的方法，突出其客观公正性.本文还分析了TOPSIS方法逆序产生的原因及其改进的方法，突出其实用性，推广其应用范围.关键词TOPSIS法; 改进的TOPSIS; 权重；逆序TOPSIS ANALYSIS METHODABSTRACTThis paper describes a method of theory—TOPSIS, and its main idea. Using mathematical theory, its algorithm for a detailed analysis and noted the advantages and disadvantages of the original methods. On this base ,an improved TOPSIS method is given, and specific for weight, in order to highlight its objective impartiality. The paper also analyzes the causes of TOPSIS Reverse and its improved methods, highlight its practicality and the promotion of its use.Keywords TOPSIS method; Improved TOPSIS; weight; Reverse目录中文摘要 (Ⅰ)英文摘要 (Ⅱ)引言 (1)1 一般TOPSIS分析方法1.1 TOPSIS分析方法概念 (2)1.2 TOPSIS分析方法的一般解题步骤 (2)1.3 应用实例 (4)2 改进的TOPSIS法2.1 一般TOPSIS解法的缺点 (5)2.2 改进的TOPSIS法 (5) (5)2.2.2 指标权重的确定 (6)2.2.3 各方案优劣排序 (7)2.3 实例分析 (7)3. 关于TOPSIS法的逆序问题 (9)3.1 逆序产生的原因 (9)3.1.1 由于增加新的方案产生逆序 (9)3.1.2 由于指标权重改变原始数据结构产生逆序 (10)3.2 逆序消除的方法 (11)结论 (13)参考文献 (13)引言TOPSIS的全称是“逼近于理想值的排序方法”(Technique for Order Preference bv Similarity to Ideal Solution)，是Hwang和Yoon于1981年提出的一种适用于根据多项指标、对多个方案进行比较选择的分析方法.这种方法的中心思想在于首先确定各项指标的正理想值和负理想值，所谓正理想解是一设想的最好值(方案) ,它的各个属性值都达到各候选方案中最好的值,而负理想解是另一设想的最坏值(方案)，然后求出各个方案与理想值、负理想值之间的加权欧氏距离，由此得出各方案与最优方案的接近程度，作为评价方案优劣的标准.TOPSIS法是有限方案多目标决策的综合评价方法之一，它对原始数据进行同趋势和归一化的处理后，消除了不同指标量纲的影响，并能充分利用原始数据的信息，所以能充分反映各方案之间的差距、客观真实的反映实际情况，具有真实、直观、可靠的优点，而且其对样本资料无特殊要求，故应用日趋广泛.TOPSIS法较之单项指标相互分析法，能集中反映总体情况、能综合分析评价，具有普遍适用性.例如，其在评价卫生质量、计划免疫工作质量、医疗质量；评价专业课程的设置、顾客满意程度、软件项目风险评价、房地产投资选址；评价企业经济效益、城市间宏观经济效益、地区科技竞争力、各地区农村小康社会等方面都已得到广泛、系统的应用.尽管如此，该方法在评价各类不同问题过程中还存在着不同的问题，例如权重信息是事先给定，因此结果有一定主观性；另外此方法在应用中由于新增加方案而容易产生逆序问题等，需要对其进行更加具体深入的分析研究.1．一般TOPSIS 分析方法1．1 TOPSIS 分析方法概念TOPSIS(Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution)称为逼近于理想解的排序方法.它的基本思想是：对归一化后的原始数据矩阵，确定出理想中的最佳方案和最差方案，然后通过求出各被评方案与最佳方案和最差方案之间的距离，得出该方案与最佳方案的接近程度，并以此作为评价各被评对象优劣的依据.假设有m 个目标，每个目标都有n 个属性，则多属性决策问题的数学描述如式(1)所示：Z=max ／min{ij z | i=l ，2，…m ，j=l ，2，….n} (1)1．2 TOPSIS 分析方法的一般解题步骤○1．设有m 个目标(有限个目标)，n 个属性,专家对其中第i 个目标的第j 个属性的评估值为ij x ,则初始判断矩阵V 为：1112121222112n ni ijm mmn x x x x x x V x x x x x =(2)○2．由于各个指标的量纲可能不同，需要对决策矩阵进行归一化处理：'''11121'''21222''1'''12'nni ijmm mnx x x x x x V xxx x x =(3)其中'ijx =ij x …m; j=1,2…n. （4）○3．根据DELPHI 法获取专家群体对属性的信息权重矩阵B ，形成加权判断矩阵：'''111121'''221222'''1'''120000n nji ijnm m mnw x x x w x x x Z V B w x x w x x x ===1112121222112n ni ijm m mnf f f f f f f f f f f （5）○4．根据加权判断矩阵获取评估目标的正负理想解：正理想解：**'max(),min(),ijj ij f j J f f j J ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩1,2,...,j n = (6) 负理想解：*''m i n (),m a x (),ij jij f j J f f j J ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩1,2,...,jn = (7) 其中，*J 为效益型指标，'J 为成本型指标. ○5．计算各目标值与理想值之间的欧氏距离：*1,2,...,,iS j n == (8)',1,2,...,.iS j n == (9) ○6．计算各个目标的相对贴近度：*'*'/(),1,2,...,.i i i i C S S S i m =+= (10)○7．依照相对贴近度的大小对目标进行排序，形成决策依据.1.3应用实例某公司需要对其信息化建设方案进行评估，方案由4家信息咨询公司分别提供，记为方案一(S1)、方案二(S2)、方案三(S3)、方案四(S4). 每套方案的评估标准均包括以下6项内容：Pl(目标指标)、P2(经济成本)、P3(实施可行性)、P4(技术可行性)、P5(人力资源成本)、P6(抗风险能力).，四个方案作为4个目标，6个评价标准作为6个属性. 其中，P2和P5是成本型指标，其他为效益型指标. 这里每个目标所对应的属性值均由4名评估专家分别给出，表l 列出了去模糊化之后4位专家评估值的集结结果，并把它作为多属性决策的初始矩阵，每个属性在评估结果中所占的比重(W)根据德尔菲法获得，整个决策方法的处理步骤如下所述：表1 专家评估值结果表○1．初始条件：根据表l 的专家决策结果生成初始判断矩阵V 利用德尔菲法则，生成集结后的群体偏好矩阵：T (2.3,5.1,4.0,6.5,4.8,3.2)B .○2．正、负理想解如下： ○3．结果(计算贴近度)：*i C = （0.6621，0.4666，0.6106，0.5851），依据*i C 从小到大的顺序对决策方案进行排序可知2C 〈4C 〈3C 〈1C ，表明方案一更优.结果分析: 根据方案的排序结果，可以看出, 技术可行性占方案的比重最大，经济成本次之，他们对整个评估结果的影响也最大.2.改进的TOPSIS 法2.1 一般TOPSIS 解法的缺点从TOPSIS 法的排序决策步骤可知，TOPSIS 法存在如下的缺点：① 用(4)式求规范决策矩阵时比较复杂，不易求出正理想解和负理想解；②权重j ω (j=l ，2，… ，n)是事先确定的，其值通常是主观值，因而具有一定的随意性；③当方案i z ，j z 关于*f 和'f 的连线对称时，由于*i f =*j f ，'i f ='j f ， 因而无法比较i z 、j z 的优劣. 文献[10]提出了一种改进的TOPSIS 法，既保留了TOPSIS 法的优点，同时又克服了TOPSIS 法存在的三个缺点.2.2 改进的TOPSIS 法此处举一工程招标的例子来说明改进的TOPSIS 法的求解步骤. 一般来说，对承包单位的选择需要从招标单位的利益出发，考虑的因素包括投标单位的工程报价、工程工期等等，由于评标方案有多指标性特点，各方案指标的优劣程度可能会不统一. 除此之外，在这类评标过程中，对客观、公正性要求较高，因此，我们运用改进的理想解法对各个承包单位进行优选.设经过资格初审后的投标单位有m 家，评标采用的指标有n 个，设第i 家投标单位的第j 个指标值为ij x ，构成一个m 行n 列的评价矩阵：A=n m ij x ⨯)(. 显然ij x 是从各投标单位在投标或资格初审时提供的资料中获取的. 求解步骤：○1．求矩阵进行规范化，将其统一为效益型指标，得到标准化矩阵()ij m n R r ⨯=对于效益型指标min max min max min max min ()/(),1.ij j j j j j ij j j x x x x x x r x x --≠⎧=⎨=⎩(1)对于成本型指标max max min max min max min ()/(),1.j ij j j j j ij j j x x x x x x r x x --≠⎧=⎨=⎩(2)②. 确定标准化矩阵的理想解：*11max ,min ,ij i m j ij i mr j J r r j J +≤≤-≤≤⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩ ， 1,2,...j n = . （3） 其中J +为效益型指标集，J -为成本型指标集，*j r 表示第j 个指标的理想值.显然，对于矩阵R ，因为都统一为效益型指标了，故理想解*j R =(1，1，…，1)，负理想解j R -=(0，0，…，0). 2.2.2 指标权重的确定从上面的分析中可知，应用改进理想解法进行评价必须先确定各指标的权重. 确定指标权重通常有两类方法：一类是主观方法，如专家打分法、层次分析法、经验判断法等；另一类是客观方法，如熵权计算法、主成分分析法等. 因评标过程中，指标的权重对被评价对象的最后得分影响很大，要做到评标尽可能客观，所以采用客观计算法来计算指标的权重比较合适. 即根据决策矩阵的数值信息建立目标规划优化评标模型，通过一定的高等数学求解方法来计算权重.求解步骤：设有指标1G ,2G ,…，n G ，对应的权重分别为1w ,2w ,…，n w , 各方案正理想解和负理想解的加权距离平方和为12()(,,....)i i n f w f w w w ==22211(1)nnj ij j j j w r w ==-+∑∑2ij r (4)在距离意义下，()i f w 越小越好，由此建立如下的多目标规划模型12min ()((),(),.....())m f w f w f w f w = ， (5)其中 11nj j ω==∑，0,1,2,...,j j n ω≥=.由于()0,1,2,....,,i f w i m ≥=上述多目标规划可以化为单目标规划1min ()()mi j f w f w ==∑， (6)其中 11nj j ω==∑，0,1,2,...,j j n ω≥=.构造拉格朗日函数222111(,)((1))(1)mnnjij ijj i j j F w w r r w λλ====-+--∑∑∑. (7)令 22112((1))010mj ij ij j i nj j F w r r w F w λλ==∂=-+-=∂∂=-=∂⎧∑⎪⎨∑⎪⎩（8）解之得 1/,nj j j j w μμ==∑ . （9）其中 2211/((1))mj ij ij i r r μ==-+∑. （10）2.2.3 各方案优劣排序根据（4）式可求出各方案()i f w 的值，将其由大到小排序，即可得优劣顺序.2.3 实例分析某公司拟向国内外招标，现有数家单位投标，经资格预选后，有4家单位达到条件标准，可参与最后的竞标，其具体资料如下表所示表2 4家单位竞标资料○1．由上述各指标，显然在评标中优良工程率、施工经验率、合同完成率是作为效益指标处理；其他作为成本型指标处理. 这些指标构成决策矩阵 46()(1,2,3,4;1,2,...,6)ij X x i j ⨯===，按改进理想解的步骤，首先由 （1）（2）式对ij x 进行标准化处理得标准化矩阵46()ij Y y ⨯= ，计算结果见表3.表3 ij x 经标准化处理后得标准化矩阵Y○2．根据标准化矩阵y ，用本文给出求权重的方法，即由式(9)可求得各指标的权重分别为j W = ( 0.1905, 0.1548,0.1548, 0.1905, 0.1548,0.1548)T .○3．利用改进理想解法，求得()if ω的值并排序.由(4)式得： ()i f ω=(0.024，0.0525，0.1128，0.1206)1234()()()()f f f f ωωωω<<<，因此，方案优劣排序为：甲>乙>丙>丁.从上述结果可知，改进理想解法的评标结果同文献[8]中的线性规划优化模型评标结果相吻合. 这表明，将改进理想解法应用于工程评标是合理有效的，且在技术操作上显得更简便、易行.3.关于TOPSIS 法的逆序问题3.1 逆序产生的原因3.1.1 由于增加新的方案产生逆序下面，举一个简单的例子来说明使用传统的TOPSIS 法很容易产生逆序情况.假设多指标问题仅有两个指标(即n=2)，且两指标权重相等，则每一个方案都可以用点12(,)i i i A x x 表示. 设有4个可行方案，分别为1A (1，2)，2A (2，2)，3A (1.9，2.2)，4A (2，3).根据TOPSIS 法计算步骤，首先将原始数据标准化处理，有1A (0.2817，0.4280)， 2A (0.5634，0.4280)， 3A (0.5352，0.4708)， 4A (0.5634，0.6420)，可求得负理想解 A -=(0.2817，0.4280)， 正理想解 *A =(0.5634，0.6420)，点2A 距负理想解的距离 2A S -=0.2817， 距理想解的距离 2*A S =0.2140， 所以点2A 的相对贴近度2222**A A A A S C S S --=+=0.5682 .计算点3A 距负理想解的距离3A S -=0.2571,距理想解的距离3*A S =0.1735, 点3A 的相对贴近度3333*0.5971A A n A A S C S S --==+.可得4个方案的优劣排序为：4A >3A >2A >1A .设现又增加了一个方案 5A (5，2).，则将原始数据标准化后有1A (0.1631，0.3934)，2A (0.3261，0.3934)，3A (0.3098，0.4328)，4A (0.3261，0.5902)，5A (0.8153，0.3934)，由此知负理想解 -A =(0.1631，0.3934)，理想解 *A =(0.8153，0.3934)，点2A 距负理想解的距离为 -2A S =0.1630， 距理想解的距离为 *2A S =0.5273， 点2A 的相对贴近度为 2*A C =0.2361； 点3A 距负理想解的距离为 3A S -=0.1510， 距理想解的距离为 *3A S =0.5294， 点3A 的相对贴近度为 *3A C =0.221． 同理可计算出点4A 和5A 的相对贴近度分别为 *4A C =0.3431，*5A C =0.7682． 这样5个方案的优劣排序为54231A A A A A >>>>, 比较以上两个排序结果可以发现，当只有4个方案时，3A 优于2A ，而增加了一个方案，其他方案均无变化时，2A 优于3A ，出现了逆序.产生逆序的根本原因是因为增加新的决策方案后，决策问题的理想解和负理想解发生了变化，从而引起评价标准的变化，这样就会产生方案优劣顺序的变化.3.1.2 由于指标权重改变原始数据结构而产生逆序当给出各指标权重W=T n ).....21ωωω，，（时，传统的TOPSIS 法是将其直接加权于标准化后的数据.设4个可行方案分别为1A (1，2)，2A (2，2)，3A (1.9，2.1)，4A (2，3). 若不考虑指标的权重，则经过计算可求得4个方案的优劣顺序为4A 〉3A 〉2A 〉1A .现设给出的指标权重为(0.6，0.4)，则标准化后的数据经指标加权后为：1A (0.1690，0.1729)2A (0.3380，0.1729)3A (0.3211，0.1815)4A (0.3380，0.2594),由此知负理想解 1A =(0.1690，0.1729)，理想解 4A =(0.3380，0.2594)，点2A 距负理想解的距离 -2A S =0.169， 距理想解的距离 *2A S =0.0865， 点A2的相对贴近度 *2A C =0.6614； 点3A 距负理想解的距离 -3A S =0.1523， 距理想解的距离 *3A S =0.0797， 点3A 的相对贴近度 *3A C =0.6565． 则4个方案的优劣顺序为 4A >2A >3A >1A与前排序结果相比可以看出，由于在原始数据上人为地乘上权系数，从而改变了原决策数据间的关系结构，从而使排序结果产生逆序．传统TOPSIS 法在计算中直接将指标权重作用于原始数据，这样做不仅会改变原决策数据间的关系结构，而且也不符合权重使用的原意．3.2 逆序消除的方法根据前面模型，传统TOPSIS 法的理想解和负理想解分别为理想解 **'max(),min(),ij jij f j J f f j J ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩ 1,2,..j n = （1） 负理想解 *''min(),max(),ij j ij f j J f f j J ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩1,2,...,.j n = （2） 由此可以看出，这样定义的理想解和负理想解与决策方案是紧密相连的，因此是相对的. 如果能够定义一种绝对理想解和负理想解(即在决策的有效区域内，任何决策方案都不会比绝对理想解更好，也不会比绝对负理想解差)，则可以证明，这样使用TOPSIS 方法就不会出现逆序的现象.基于这一思想，提出一种改进的TOPSIS 法-RTOPSIS [2]法. RTOPSIS 法的计算步骤为： ①．用向量归一化法对决策矩阵作标准化处理，得到标准化矩阵：y= n m ij y ⨯)( (3)其中，∑==mi ij ij ij x x y 12/ ，i=1，2…m;j=1,2…n.②． 确定绝对理想解和负理想解：绝对理想解和负理想解可以由决策者自己根据对决策问题的了解设定，也可由有关专家根据经验确定.设 ),...,(**2*1*n V V V V =, ），，（----=n V V V V ...21.③．计算各决策方案距绝对理想解和负理想解的距离：*i S = , i=1,2,…,m .(4) i S -=, i=1,2,…,m . (5)④．计算相对贴近**i ii i S C S S --=+ , i=1,2,…,m. ⑤．按照相对贴近度的大小对决策方案进行排序.由(2)、(3) 式可见，使用绝对理想解和负理想解，由于*i S 和j S -值不发生任何变化，无论再增加或减少决策方案，相对贴近度没有任何变化，因此不会出现逆序的问题.使用RTOPSIS 法的关键是要确定合理的绝对理想解和负理想解，这点在实践中并不难做到. 特别是在对原始数据进行标准化处理后，决策数据均转化为[0，1]之间的值， 故绝对理想解可以设定为向量11(1,1...,1)T n ⨯=；绝对负理想解可以设定为向量10(0,0...,0)T n ⨯=，更加便于计算.结论：TOPSIS 法是系统工程中用于综合评价的一种方法,近几年已开始用于经济和卫生领域. 该法对原始数据进行同趋势和归一化处理,不仅消除了不同指标量纲的影响,又能充分利用原始数据信息,可以定量评价不同单元的优劣程度、结果客观、准确.本文讨论了一般TOPSIS 法的缺点及其改进，并讨论了该法逆序问题产生的原因及改进的方法.应用TOPSIS 法进行综合评价,对数据分布、样本含量指标多少均无严格限制,既适用于小样本资料,也适用于多评价单元、多指标的大系统资料,既可用于横向(多单位之间) 对比,也可用于纵向(不同年度) 分析,应用灵活,数学计算比较简单,结果量化客观,因此认为该法在经济领域工作质量、经济效益等的综合评价中有一定的实用价值.参考文献[1]. 乔永辉. 一种基于TOPSIS 的多属性决策方法研究.企业技术开发，2006,25（9）：89-91[2]. 陈 伟. 关于TOPSIS 法应用中的逆序问题及消除的方法. 运筹与管理，2005,14（3）：39-43[3]. 李东坡，孙文生.各地区农村建设全面小康社会的TOPSIS 分析. 数理统计与管理，2006,25（4）：414-418[4]. 鞠丽荣,何 滨,杜 娟,常淑华. 应用TOPSIS 法对校外教学点进行综合评价分析. 西北医学教育，2004,12（6）：497-499[5]. 潘庆仲. 主成分分析及与TOPSIS 法用于医院候诊室卫生评价的对比分析. 数理医药学杂志，1999,12（2）：174-177[6]. 余雁，梁 墚. 多指标决策TOPSIS 方法的进一步探讨. 系统工程. 2003,21（2）：98-101[7]. 马菊红. 应用TOPSIS 法综合评价工业经济效益. 统计与信息论坛,2005,20(3):61-63[8]. 陈红艳. 改进理想解法及其在工程评标中的应用. 系统工程理论方法应用，2004,13（5）：471-473[9]. 赵静,王婷,牛东晓.用于评价的改进熵权TOPSIS 法. 北电力大学报，2004,31（3）：68-70[10]. 尤天慧，樊治平.区间数多指标决策的一种TO PSI S 方法. 东北大学学报，2002,23（9）：840-842。
TOPSIS法是一种多目标决策分析方法，根据有限个评价对象与理想化目标的接近程度进行排序。
这种方法又称为优劣解距离法，其基本原理是通过检测评价对象与最优解最烈解的距离来进行排序。
在解决评价类问题中，TOPSIS法适用于有多个决策变量，或者指标的数据已知的情况。
TOPSIS法的操作方法包括以下步骤：
1.将原始矩阵正向化：即把指标的类型全部转化为极大型（把数值的意义统一）。
常见指标类型如下：极小型→极大型中间型→极大型区间型→
极大型。
2.正向化矩阵标准化：消除指标中不同量纲的影响。
3.计算得分并归一化。
以上信息仅供参考，可以咨询数学领域专业人士获取更准确更全面的信息。
TOPSIS法TOPSIS法（Technique for Order Preferenceby Similarity to Ideal Solution,）逼近理想解排序法、理想点法TOPSIS法概述TOPSIS （Technique for Order Preference by Similarity to an Ideal Solution ）法是C.L.Hwang和K.Yoon于1981年首次提出，TOPSIS法根据有限个评价对象与理想化目标的接近程度进行排序的方法，是在现有的对象中进行相对优劣的评价。
理想化目标（Ideal Solution）有两个，一个是肯定的理想目标（positive ideal solution）或称最优目标，一个是否定的理想目标（negative ideal solution）或称最劣目标，评价最好的对象应该是与最优目标的距离最近，而与最劣目标最远，距离的计算可采用明考斯基距离，常用的欧几里德几何距离是明考斯基距离的特殊情况。
TOPSIS法是一种理想目标相似性的顺序选优技术,在多目标决策分析中是一种非常有效的方法。
它通过归一化后的数据规范化矩阵,找出多个目标中最优目标和最劣目标(分别用理想解和反理想解表示) ,分别计算各评价目标与理想解和反理想解的距离,获得各目标与理想解的贴近度,按理想解贴近度的大小排序,以此作为评价目标优劣的依据。
贴近度取值在0～1 之间,该值愈接近1,表示相应的评价目标越接近最优水平;反之,该值愈接近0,表示评价目标越接近最劣水平。
该方法已经在土地利用规划、物料选择评估、项目投资、医疗卫生等众多领域得到成功的应用,明显提高了多目标决策分析的科学性、准确性和可操作性。
[编辑]TOPSIS法的基本原理其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。
其中最优解的各指标值都达到各评价指标的最优值。
TOPSIS方法介绍TOPSIS（Technique for Order Preference by Similarity toIdeal Solution）方法是一种多属性决策分析方法，用于帮助决策者选择最佳解决方案。
TOPSIS方法通过比较每个解决方案与理想解决方案的相似程度，将解决方案排序，从而快速准确地选择最佳解决方案。
1.选择评价指标：首先，决策者需要确定用于评估解决方案的评价指标。
这些评价指标可以包括成本、效益、可持续性等。
决策者需要根据具体情况选择适当的评价指标。
2.确定权重：决策者需要为每个评价指标分配权重，以反映其重要性。
这些权重可以根据决策者的主观判断或使用数学模型进行确定。
3.构建决策矩阵：构建一个决策矩阵，其中每一行代表一个解决方案，每一列表示一个评价指标。
根据所选择的评价指标，将每个解决方案在每个指标上的表现分值填入矩阵中。
4.标准化决策矩阵：对决策矩阵进行标准化处理，以消除不同指标之间的量纲差异。
可以使用最大最小标准化方法或者正向化方法。
5.构建加权标准化矩阵：将标准化的决策矩阵与权重向量相乘，得到加权标准化矩阵。
这一步可以将权重考虑到标准化的决策矩阵中。
6.确定理想解决方案和负理想解决方案：根据每个指标的性质（例如成本指标越小越好，效益指标越大越好），确定理想解决方案和负理想解决方案。
7.计算与理想解决方案和负理想解决方案的相似程度：计算每个解决方案与理想解决方案和负理想解决方案之间的距离（可以使用欧几里得距离或其他距离度量方法）。
距离越小，说明解决方案越接近理想解决方案。
8.计算相对接近度指标：根据与理想解决方案和负理想解决方案的距离，计算每个解决方案的相对接近度指标。
相对接近度指标越大，说明解决方案越优秀。
9.排序和选择最佳解决方案：根据相对接近度指标，将解决方案进行排序，选取最高的几个作为最佳解决方案。
综上所述，TOPSIS方法是一种有效的多属性决策方法，可以帮助决策者在面对多个评价指标的情况下选择最佳解决方案。
TOPSIS综合评价法TOPSIS综合评价法（The Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution）是一种常用于多指标决策的综合评价方法。
它可以将多个评价指标综合起来，对不同的方案进行排名，找出最优解。
下面将详细介绍TOPSIS综合评价法的原理、步骤以及应用。
TOPSIS综合评价法的原理基于两个关键概念：最优解和最劣解。
最优解是指在评价指标上取最大值的解，而最劣解是指在评价指标上取最小值的解。
TOPSIS的目标是找到一个最优解，使其与最优解之间的距离最大，与最劣解之间的距离最小。
距离计算采用欧氏距离或其他合适的距离度量方法。
1.确定评价指标：根据具体的评价对象和评价目标，确定需要评价的指标。
这些指标应该具有普适性、可度量性和可比较性。
2.数据标准化：对原始数据进行标准化处理，将不同量纲的指标值转化为无量纲的相对指标值。
常见的标准化方法有最大-最小标准化、标准差标准化等。
3.构建评价矩阵：将标准化后的指标值组成评价矩阵，矩阵的每一行代表一个评价对象，每一列代表一个评价指标。
4.确定权重：根据评价指标的重要性确定各指标的权重。
可以使用主观赋权、客观权重法、层次分析法等方法进行权重确定。
5.构建决策矩阵：根据评价矩阵和权重，构建标准化加权评价矩阵。
6.确定理想解和负理想解：根据评价指标的性质确定理想解和负理想解。
理想解是在每个指标上取最大值的解，负理想解是在每个指标上取最小值的解。
7.计算各解与理想解和负理想解之间的距离：利用欧氏距离或其他距离度量方法，计算每个解与理想解和负理想解之间的距离。
8.计算综合得分：根据距离，分别计算每个解与理想解和负理想解的距离比值，得到综合得分。
9.排序：按照综合得分的大小对解进行排名，得到最优解。
TOPSIS综合评价法可以在各种决策环境中应用。
它适用于工程技术领域、经济管理领域、环境评估领域等。
基于直觉模糊相似度的逼近理想解排序方法及其应用王龄苒;李登峰【摘要】直觉模糊集在处理模糊性、犹豫模糊性等不确定性方面比传统模糊集更灵活和实用,是模糊集的进一步推广.相似度是刻画两个(直觉)模糊集相似程度的工具,在直觉模糊多属性决策中有重要应用,但通过对现有文献中所采用的相似度方法进行分析,发现在某些情形下反映的相似度与实际相似度不符,为此给出一种新的相似度计算公式,据此提出基于直觉模糊相似度的逼近理想点排序(TOPSIS)法,并将其应用到多属性决策问题中,最后通过实例说明其合理性和有效性.%Intuitionistic fuzzy sets are more flexible and practical than traditional fuzzy sets in dealing with vagueness,hesitant vagueness and other uncertainty aspects,and they are further promotion of the fuzzy sets.The similarity,a tool of describing similarity degree of two (intuitive) fuzzy sets,has an important application in intuitionistic fuzzy multi-attribute decision making.However,we find that in some cases the reflected similarity and the actual similarity are inconsistent by analyzing similarity method adopted by the existing literature.Therefore,inthis paper,a new kind of similarity calculation formula is presented.A TOPSIS method based on intuitionistic fuzzy similarity is proposed and it is applied to multiple attribute decision making.Finally,an example is given to illustrate the rationality and validity.【期刊名称】《科技管理研究》【年(卷),期】2017(037)019【总页数】7页(P210-216)【关键词】多属性决策;相似度;直觉模糊集;TOPSIS;权重【作者】王龄苒;李登峰【作者单位】福州大学经济与管理学院,福建福州 350108;福州大学经济与管理学院,福建福州 350108【正文语种】中文【中图分类】C934;F224为处理现实世界中存在的不精确、模糊不确定信息等，Zadeh［1］于1965年提出了模糊集(fuzzy set)概念。
