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第三章 二维随机变量及其分布■2009考试内容多维随机变量及其分布 二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布 二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度 随机变量的独立性和不相关性 常用二维随机变量的分布两个及两个以上随机变量简单函数的分布■2009考试要求1．理解多维随机变量的概念，理解多维随机变量的分布的概念和性质，理解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布，理解二维离散型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度，会求与二维随机变量相关事件的概率。
2．理解随机变量的独立性及不相关性的概念，掌握随机变量相互独立的条件。
3．掌握二维均匀分布，了解二维正态分布N （221212,;,;)μμσσρ的概率密度，理解其中参数的概率意义。
4. 会求两个随机变量简单函数的分布，会求多个相互独立随机变量简单函数的分布。
本章的核心内容是离散3分布（联合、边缘和条件）；连续3密度（联合、边缘和条件）；均匀与正态。
介绍了作者原创的3个秘技（直角分割法、平移法和旋转法） 求分布问题。
本章是教育部关于概率论大题命题的重点。
一、二维随机变量（向量）的分布函数1.1 二维随机变量（向量）的分布函数的一般定义(), X Y 是二维随机变量，对任意实数x 和y ，称为(), X Y 的分布函数，又称联合分布函数。
●(), F x y 具有一维随机变量分布类似的性质。
① ()0, 1F x y ≤≤；② (), F x y 对x 和y 都是单调非减的，如()()1212, , x x F x y F x y >⇒≥； ③ (), F x y 对x 和y 都是右连续；④ ()()()()(), lim , 1, , , , 0,x x F F x y F F x F y →+∞→+∞+∞+∞==-∞-∞=-∞=-∞=●(), F x y 几何意义：表示(), F x y 在(), x y 的函数值就是随机点(), X Y 在X x =左侧和Y y =下方的无穷矩形内的概率。
第三章 多维随机变量及其分布第一节二维随机变量的概念1.二维随机变量定义：设(X,Y)是二维随机变量，记为:(,){()()}=≤⋂≤F x y P X x Y y (,)=≤≤P X x Y y (,)-∞<<∞-∞<<∞x y称(,)F x y 为X 与Y 的分布函数，或称X 与Y 的联合分布函数}}(){{(,lim (,)→+∞=≤=≤≤+∞=X y F x P X x P X x Y F x y}}(){{,lim (,)→+∞=≤=≤+∞≤=Y x F y P Y y P X Y y F x y分布函数(,)F x y 性质:1）(,)F x y 是变量x 和变量y 的不减函数，(分别关于x 和y 有单调不减性) 2）0(,)1≤≤F x y ，任意一边趋于-∞＝０.F(∞，∞)=1（用来确定未知参数）.3）(,)(0,)(0,0)=+=++F x y F x y F x y ，即(,)F x y 分别关于x 右连续，关于y 也右连续,4）对于任意11221212(,),(,),,,<<x y x y x x y y 下述不等式成立(可用于判定二元函数(,)F x y 是不是某二维随机变量的分布函数):22211112(,)(,)(,)(,)0-+-≥F x y F x y F x y F x y 2.二维离散型随机变量:定义:如果二维随机变量(X,Y)只取有限对或可列无穷多对，则称(X,Y)是二维离散型随机变量其概率{,},,1,2,====i i ij P X x Y y p i j …为二维离散型随机变量(X,Y)的分布律，或随机变量X 和Y 是联合分布律 性质:1.0,(i,j 1.2.....)≥=ij P2.1≤≤=∑∑i i ijx x y yp满足以上两条，即为二维离散型随机变量的分布律. 注；步骤:定取值,求概率,验证1.离散型随机变量X 和Y 的联合分布函数为(,)≤≤=∑∑i i ijx x y yF x y p，其中和式是对一切满足,≤≤i i x x y y 的i,j 来求和的边缘分布定义:对于离散型随机变量(X,Y)，分量X 和Y 的分布律(), 1.2...(), 1.2..的边缘分布律：的边缘分布律：••========∑∑i i ij jJ i ij iX p P X x p i Y p P Y y p i ，0,0(, 1.2....)1•••≥≥===∑∑i j jiip p i j pi p联合确定边缘，但一般情况，边缘不能确定的联合，除非相互独立. 比如；有放回的摸球，就是X ，Y 相互独立. 不放回地摸球，是条件分布.3.二维连续型随机变量的概率密度和边缘概率密度. 对比一维的: 概率密度:()()1∞-∞==⎰f x f x dx ，分布律:{}(),≤≤=⎰b aP a x b f x dx 分布函数:()()-∞=⎰xF x f t dt二维:定义:设二维随机变量(X,Y)的分布函数为(,)F x y ，若存在非负可积函数(,)f x y ，使得对于任意实数x,y 有(,)(,)-∞-∞=⎰⎰xyF x y f u v dudv ，则称(X,Y)为二维连续型随机变量，(,)f x y 称为(X,Y)的概率密度，或联合概率密度.概率密度的性质: 1.(,)F x y ≥0 2.(,)1∞∞-∞-∞=⎰⎰f x y dxdy只要具有以下两条性质，必可作为某二维随机变量的概率密度.3.已知(X,Y)的概率密度(,)f x y ，则(X,Y)在平面区域D 内取值的概率为:{(,)}(,)∈=⎰⎰DP X Y D f x y dxdy (作二重积分)(随机点(X,Y)落在平面区域D 上的概率等于以平面区域D 为底，以曲面(,)=z f x y 顶的典顶的体积) 4.若(,)F x y 在点(x,y)连续，则有2(,)(,)∂=∂∂F x y f x y x y(连续就能根据分布律求概率密度)1） 当求()=P X Y 时，它只是一条线，所以：()0＝=P X Y2） 一个方程有无实根：20++=ax bx c ，即求：22240,40,40,一个实根无实根两个实根+=+<+>b ac b ac b ac均匀分布：定义:设D 为平面上的有界区域，其面积为S ，且0>S ,如果二维随机变量(X,Y)的概率密度为1,(x,y)(,)0,其它⎧∈⎪=⎨⎪⎩Df x y S，则称(X,Y)服从区域D 上的均匀分布(或叫(X,Y)在D 上服从均匀分布，记作（X,Y ）D U . 两种特殊情形:1） D 为矩形，,c )≤≤≤≤a x b y d 时，1,()()(,),c )0,其它⎧⎪--=≤≤≤≤⎨⎪⎩b a dc f x y a x b y d2） D 为圆形，如(X,Y)在以原点为圆心，R 为半径的圆域上服从均匀分布，则(X,Y)的概率密度为:22221,(,))0,其它π⎧⎪=+≤⎨⎪⎩f x y x y R R定义:对连续型随机变量(X,Y),分量X,Y 的概率密度称为(X,Y)关于X 或Y 的边缘概率密度,记作(),X f x ().Y f y X 的分布函数:()(,)(,)∞-∞-∞⎡⎤=∞=⎢⎥⎣⎦⎰⎰xX F x F x f u v dv du （让Ｙ趋于正无穷） Y 的分布函数:()(,)(,)∞-∞-∞⎡⎤=∞=⎢⎥⎣⎦⎰⎰yY F y F y f u v du dv （让Ｘ趋于正无穷） X 的概率密度:()(,),()∞-∞=-∞<<∞⎰X f x f x y dy xY 的概率密度:()(,),()∞-∞=-∞<<∞⎰Y f y f x y dx y（二维的边缘概率密度是直接以联合概率密度在负无穷到正无穷对对应元素积分，其间需要对划分区间的作分别积分）(X,Y)的概率密度:(,)(,)[(,)]-∞-∞-∞-∞==⎰⎰⎰⎰x yx yf x y f u v dudv f u v dv du二维正态分布： 二维正态221212(,)(,,,,)σσρX Y N u u 分布函数的性质:1.211()(,)σX N u ,222()(,)σY N u 边缘服从一维正态分布2.0,ρ=⇔xy X Y 独立（相关系数为Ｏ，则两个随机变量独立）3.212()()σ++k X k Y N u (线性组合按一维正态处理)4. 1212()，±±k X k Y c X c Y 服从二维正态（如：(,)+-X Y X Y ） 条件分布:设(X,Y)是二维离散型随机变量，对于固定的j ，若{}0=>j P Y y ，则称{=i P X x ｜{,}},1,2,{}⋅=======i j ij j j jP X x Y y p Y y i P Y y p …为在=j Y y 条件下随机变量X 的条件分布律同样地，若{}0,=>i P X x 则称{=j P Y y ｜{,}},1,2,{}⋅=======i j ij i i i P X x Y y p X x j P X x p …为=i X x 条件下随机变量Y 的条件分布律 变形，即得求联合分布律的方法.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y),(X,Y)关于Y 的边缘概率密度为()Y f y .若对于固定的y,()0,>Y f y 则称(,)()Y f x y f y 为在Y=y 的条件下X 的条件概率密度称|(,)(|)()-∞-∞=⎰⎰xxX Y Y f x y f x y dx dx f y 为在Y=y 的条件下，X 的条件分布函数，记为P{X ≤x|Y=y}或|(|)X Y F x y ，即|(,)(|){|}()-∞=≤==⎰x X Y Y f x y F x y P X x Y y dx f y 设F(x,y)及(),()X Y F x F y 分别是二维随机变量(X,Y)的分布函数及边缘分布函数，若对于所有x,y 有P{X ≤x,Y ≤y}=P{X ≤x}P{Y ≤y},即(,)()()=X Y F x y F x F y ，则称随机变量X 和Y 是相互独立的设(X,Y)是连续型随机变量，(,),(),()X Y f x y f x f y 分别为(X,Y)的概率密度和边缘概率密度，则X 和Y 相互独立的条件等价于(,)()()=X Y f x y f x f y 在平面上几乎处处成立(除去面积为0的集合以外，处处成立)第二节随机变量的独立性1. 两个随机变量的独立性 定义:设(,),().()X Y F x y F x F y 分别是二维随机变量(X,Y)的分布函数和两个边缘分布函数，若对任意实数,x y 有(,)().()=X Y F x y F x F y ，则称X 与Y 相互独立.可用于判断独立性(随机变量独立,对任意实数x,y,事件X ,Y ≤≤x y 相互独立) 以上公式等价于:(X ,Y )(X ).()≤≤=≤≤X Y P x y P x P Y y 可类推至多个函数的情况.1)如果X,Y 随机变量独立，().()连续f x g y ，(通过函数作用)则().()f x g y 也独立.(可类推至多个随机变量的情况)例:X,Y 独立，则22,x y 独立.2)如果1212,...,...，ＹＹＹm m X X X 相互独立，12m 121()()...()()()....()和，f x f x f x g y g y g y 也相互独立。
大学概率论第三章----随机向量第三章 随机向量第一节 二维随机向量及其分布1、二维随机向量及其分布函数定义1：设E 是一个随机试验，它的样本空间是{}e Ω=.设X(e)与Y(e)是定义在同一样本空间Ω上的两个随机变量,则称(X(e),Y(e))为Ω上的二维随机向量或二维随机变量。
简记为(X,Y).定义2：设(X,Y)是二维随机向量,对于任意实数x,y ，称二元函数 F(x,y)=P{X ≦x ，Y ≦y}为二维随机向量(X,Y)的分布函数或联合分布函数。
(X,Y)的分布函数满足如下基本性质： (1)F(x,y)是变量x,y 的不减函数. (2)0≦F(x,y)≦1,(,)0y F y -∞=对于任意的 ,(,)0x F x -∞=对于任意的(,)0(,)1F F -∞-∞=+∞+∞=，(3)(,), (,)(0,)(,)(,0)F x y x y F x y F x y F x y F x y =+=+关于是右连续的，即， 1122121222211211(4)(,)(,),, (,)(,)(,)(,)0x y x y x x y y F x y F x y F x y F x y <<--+≥对于任意和，有2、二维离散型随机变量定义3：若二维随机向量(X,Y)的所有可能取值是有限对或无限可列多对,则称(X,Y) 为二维离散型随机向量。
设(X,Y)的一切可能值为(,) , ,1,2,i j X Y i j =L ，且(X,Y)取各对可能值的概率为,(,), ,1,2,i j i j P X Y P i j ==L(1) 非负性:,0, ,1,2,i j P i j ≥=L ；,(2)1ij i jp =∑规范性：, (,){,}i i ijx x y yX Y F x y P X x Y Y p ≤≤=≤≤=∑∑离散型随机变量的联合分布函数为定义4：{,}(,1,2,...)(,)ij P X x Y Y p i j X Y X Y ≤≤==称为二维离散型随机变量的概率分布或分布律，或随机变量和的联合分布律。
1．甲乙两人独立地进行两次射击，命中率分别为0.2、0.5，把X、Y分别表示甲乙命中的次数，求（X,Y）联合分布律。
2．袋中有两只白球，两只红球，从中任取两只以X、Y表示其中黑球、白球的数目，求（X,Y）联合分布律。
3．设，且P{}=1，求（，）的联合分布律，并指出，是否独立。
4．设随机变量X的分布律为Y=，求（X,Y）联合分布律。
5．设（X,Y）的概率分布为且事件{X=0}与{X+Y=1}独立求a，b。
6. 设某班车起点上车人数X服从参数λ(λ>0)的泊松分布，每位乘客中途下车的概率为P （0<P<1）相互独立。
以Y表示中途下车的人数。
（1）求在发车时有n个人的情况下，中途m个人下车的概率；（2）求（X,Y）联合分布律。
7. 设二维随机变量（X,Y）联合分布函数F(x.y)=A(B+arctan) (C+arctan)。
（1）A、B、C （2）(X,Y)的联合密度f(x,y) （3）（X,Y）的边缘密度，概率论与数理统计第三章二维随机变量及其概率分布例题8.设f(x,y)=为二维随机变量（X,Y）的联合密度函数，求：其它（1）C的值（2）， (3)P{X+Y1}并判别X与Y是否独立。
为（X,Y）的密度函数，求：9．设f(x,y)=其它(3)P{X>1/2|Y>0}为（X,Y）的密度函数，求10. 设f(x,y)=其它11. 设f(x,y)=为（X,Y）的密度函数，求（）的联合分布其它函数。
12.设X,Y独立，均服从(0,1)上的均匀分布，Z的密度函数。
13. 设f(x,y)=（）为（X,Y）的密度函数，Z=X+Y,求的密度函其它数。
概率论与数理统计第三章二维随机变量及其概率分布例题14.设X,Y独立，X~N(μ,),Y~V(-π,π),Z=X+Y,求，结果用Φ( x)表示。
15.设（X,Y）的联合密度函数为f(x,y)=,Z=X+Y,求Z的概率密度。
为（X,Y）的密度函数，Z=X+2Y,求的密度函数。
第三章 二维随机变量及其联合概率分布考试内容：二维随机变量的联合分布函数 / 离散型二维随机变量的联合概率分布、边缘分布和条件分布 / 连续型二维随机变量的联合概率密度、边缘密度/ 随机变量的独立性和相关性 / 常见二维随机变量的概率分布 / 两个随机变量的函数的概率分布 考试要求：1、理解二维随机变量的联合分布函数的概念和基本性质。
2、理解二维随机变量的联合分布的概念、性质及其两种基本表达形式：离散型二维随机变量联合概率分布和连续型二维随机变量联合概率密度。
掌握已知两个随机变量的联合分布时分别求它们的边缘分布的方法。
3、理解随机变量的独立性和相关性的概念，掌握随机变量独立的条件；理解随机变量的不相关性与独立性的关系。
4、掌握二维均匀分布和二维正态分布，理解其中参数的概率意义。
5、掌握根据两个随机变量的联合概率分布求其函数概率分布的方法。
一、知识要点1、二维随机变量的分布函数),(Y X 的联合分布函数 },{),(y Y x X P y x F ≤≤=， 性质:1),(0≤≤y x F ，单调不减，右连续，0),(=-∞-∞F ，0),(=-∞y F ，0),(=-∞x F ，1),(=+∞+∞F ； X 的边缘分布函数：),()(+∞=x F x F X ； Y 的边缘分布函数：),()(y F y F Y +∞=.2、二维离散型随机变量),(Y X联合分布律：ij j p y Y x X P ===),(1， ,2,1,=j i ，一般用矩形表格列出； 边缘分布律：⋅===∑i jiji p px X P 记)(， ,2,1=ij iijj p py Y P ⋅===∑记)(， ,2,1=j .3、二维连续型随机变量),(Y X若⎰⎰∞-∞-=x yv u v u f y x F d d ),(),(，称),(y x f 为),(Y X 的联合密度函数；),(y x f 的性质:(1) 0),(≥y x f ；(2)1d d ),(=⎰⎰∞+∞-∞+∞-y x y x f ；(3)若),(y x f 连续，则),(),(2y x f yx y x F =∂∂∂； (4)⎰⎰=∈Dy x y x f D Y X P d d ),(}),{(；边缘密度: ⎰∞+∞-=y y x f x f X d ),()(；⎰∞+∞-=x y x f y f Y d ),()(；二维均匀分布：⎪⎩⎪⎨⎧∈=其它 , 0),( , 1),(Dy x S y x f D ，D S 为D 的面积；二维正态分布);,;,(222121ρσσμμN ：⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=222221121122212)1(21exp 121),(σμσμσμρσμρρσπσy y x x y x f 其边缘分布分别为一维正态分布),(~211σμN X ，),(~222σμN Y .4、随机变量的独立性若)()(),(y F x F y x F Y X ⋅=，称X 与Y 相互独立； 离散型：j i ij p p p ⋅⋅=. ， ,2,1,=j i ；连续型：)()(),(y f x f y x f Y X ⋅=)()(y f x f Y X ⋅=，R y x ∈,.5、条件分布离散型：在j y Y =条件下X 的条件分布为jij j i p p y Y x X P ⋅===)|(， ,2,1=j .6、二维随机变量函数的分布主要研究Y X Z +=的分布： 连续型，卷积公式：⎰∞+∞--=x x z x f z f Z d ),()(或⎰∞+∞--=y y y z f z f Z d ),()(；若Y X ,相互独立，则⎰∞+∞--=x x z f x f z f Y X Z d )()()(或⎰∞+∞--=y y f y z f z f Y X Z d )()()(；可加性定理：(1) 设),(~p m B X ，),(~p n B Y ，且Y X ,相互独立，则),(~p n m B Y X ++； (2) 设)(~1λP X ，)(~2λP Y ，且Y X ,相互独立，则)(~21λλ++P Y X ;(3) 设),(~211σμN X ，),(~222σμN Y ，且Y X ,相互独立，则有),(~222121σσμμ+++N Y X ;推广到有限多个，若),(~2i i i N X σμ，n i ,,2,1 =，且n X X X ,,,21 相互独立，则有∑∑∑====n i ni i i i i n i i i a a N X a Z 11221),(~σμ，称为正态分布的可加性.二、典型例题题型1：二维离散型随机变量的联合分布、边缘分布、条件分布【例1】 (研97) 设两个随机变量X 和Y 相互独立且同分布：21}1{}1{=-==-=Y P X P ，21}1{}1{====Y P X P ，则下列各式成立的是 【 】(A)21}{==Y X P (B) 1}{==Y X P (C) 41}0{==+Y X P (D) 41}0{==XY P【详解】 由X 和Y 相互独立知}1,1{}1,1{}{==+-=-===Y X P Y X P Y X P}1{}1{}1{}1{=⋅=+-=⋅-==Y P X P Y P X P 2121212121=⨯+⨯=。
而 }1,1{}1,1{}0{-==+=-===+Y X P Y X P Y X P}1{}1{}1{}1{-=⋅=+=⋅-==Y P X P Y P X P 2121212121=⨯+⨯=， 0}0{==XY P 。
【答案】 应选(A).【例2】 (研99) 设随机变量⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-412141101~i X )2,1(=i ，且满足1}0{21==X X P ，则}{21X X P =等于【 】(A )0(B )41(C )21(D )1【详解】 先求联合分布：由于1}0{21==X X P ，所以0}0{21=≠X X P ，即}1,1{21-=-=X X P }1,1{21=-==X X P }1,1{21-===X X P 0}1,1{21====X X P ，由联合与边缘分布的关系得 41====e d b a ，0=c ， 所以 000}{21=++==c X X P ， 【答案】 应选(A).【例3】 (研09) 设袋中有1个红球，2个黑球和3个白球。
现有放回地从袋中取两次，每次取一球，以Z Y X ,,分别表示两次取球所取得的红球、黑球和白球的个数. (1) 求}0|1{==Z X P ；(2) 求二维随机变量),(Y X 的概率分布.【详解】 (1) }0|1{==Z X P 表示在没有取得白球的情况下取了一次红球的概率，相当于在红球和黑球中有放回地从袋中两次取球，其中一个为红球，一个为黑球的概率，故94}0|1{13131212=⋅⋅===C C C C Z X P .(2) Y X ,的取值为0，1，2，且41}0,0{16161313=⋅⋅===C C C C Y X P ，61}0,1{16161312=⋅⋅===C C C C Y X P ，3611}0,2{1616=⋅===C C Y X P ，31}1,0{1616131212=⋅⋅⋅===C C C C C Y X P ， 91}1,1{16161212=⋅⋅===C C C C Y X P ，91}2,0{16161212=⋅⋅===C C C C Y X P ，0}2,2{}2,1{}1,2{=========Y X P Y X P Y X P ， 故二维随机变量),(Y X 的概率分布如下：题型2：二维连续型随机变量的联合分布、边缘分布【例1】 设随机变量),(Y X 的分布函数为)3arctan )(2arctan (),(yC x B A y x F ++=，试求：(1) 系数C B A ,,；(2) ),(Y X 的概率密度；(3) 边缘密度函数；(4) }3,20{<<≤Y X P .【详解】 (1) )2)(2(),(1ππ++=∞++∞=C B A F ，)2)(2(),(0ππ+-=∞+-∞=C B A F ，)2)(2(),(0ππ-+=∞-+∞=C B A F ，2π==⇒C B ，21π=A .(2) ),(Y X 的联合概率密度函数为 yx y x F y x f ∂∂∂=),(),(2)9)(4(6222y x ++=π. (3) ⎰∞+∞-=y y x f x f X d ),()(⎰∞+∞-++=y y x d )9)(4(6222π)4(22x +=π，⎰∞+∞-=x y x f y f Y d ),()(⎰∞+∞-++=x y x d )9)(4(6222π)9(32y +=π， 或解：边缘分布函数分别为)2arctan 2(1),()(x x F x F X +=∞+=ππ，)3arctan 2(1),()(yy F y F Y +=+∞=ππ， 求导得边缘密度函数分别为)()(x F x f XX '=)4(32x +=π，)()(y F y f Y Y '=)9(32y +=π.(4) }3,20{<<≤Y X P ⎰⎰∞-=203d d ),(y x y x f ⎰⎰∞-++=3220229d 4d 6yyx x π 32023arctan312arctan 216∞-⋅⋅=yx π163=. 【例2】 (研92) 设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=-其他, 00 , e ),(yx y x f y ， (1) 求X 的边缘密度)(x f X ；(2) 求概率}1{≤+Y X P . 【详解】(1) ⎰∞+∞-=y y x f x f X d ),()(，当0≤x 时， 0)(=x f X ； 当0>x 时， x x-y X y x f -∞+==⎰e d e )(，所以⎩⎨⎧≤>=-0, 00, e )(x x x f x X . (2) }1{≤+Y X P ⎰⎰≤+=1d ),(y x y x f σ⎰⎰--=x xy yx 12/10d e d 21e 2e11--+=. 【例3】 (研95) 设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其他 , 0 10,10 , 4),(y x xy y x f ， 求),(Y X 的联合分布函数. 【详解】 ⎰⎰∞-∞-=x yv u v u f y x F d d ),(),(，分块计算，当0<x 或0<y 时，显然0),(=y x F ； 当10≤≤x 且10≤≤y 时，2200d d 4),(y x v u uv y x F x y==⎰⎰；当1>x 且10≤≤y 时，2100d d 4),(y v u uv y x F y==⎰⎰；当1>y 且10≤≤x 时，201d d 4),(x v u uv y x F x ==⎰⎰；当1>x 且1>y 时，1d d 4),(101==⎰⎰v u uv y x F ，综上所述，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>>≤≤>≤≤>≤≤≤≤<<=11 , 1 101 , 101 , 10,10 , 00, 0 ),(2222y x y x y x y x y x y x y x y x F 且且且或.题型3：二维随机变量函数的分布【例1】 (研01) 设二维随机变量),(Y X 在正方形}31,31|),{(≤≤≤≤=y x y x G 上服从均匀分布，试求随机变量||Y X U -=的概率密度函数)(u p . 【详解】 由题设知， ),(Y X 的联合密度函数为⎩⎨⎧∉∈=G y x Gy x y x f ),( , 0),( , 4/1),(， 先求||Y X U -=的分布函数}{)(u U P u F ≤=， 当0≤u 时，0)(=u F ；当2≥u 时，1)(=u F ； 当20<<u 时，⎰⎰≤-=≤-=u y x y x f u Y X P u F ||d ),(}||{)(σ⎰⎰≤-=uy x ||d 41σ]}1)3[()]1(3[4{41--⨯+--=u u ])2(4[412u --=2)2(411u --=， 于是⎪⎩⎪⎨⎧<<-='=其他, 0 20 , )2(21)()(u u u F u p .【例2】 (研03) 设随机变量X 与Y 独立，其中X 的概率分布为⎪⎪⎭⎫⎝⎛7.03.021~X ，而Y 的概率密度为)(y f ，求随机变量Y X U +=的概率密度)(u g .【分析】求二维随机变量函数的分布，一般用分布函数法转化为求相应的概率. 注意X 只有两个可能的取值，求概率时可用全概率公式进行计算.【详解】 设)(y F 是Y 的分布函数，则由全概率公式，知Y X U +=的分布函数为}{)(u Y X P u G ≤+=}2|{7.0}1|{3.0=≤++=≤+=X u Y X P X u Y X P}2|2{7.0}1|1{3.0=-≤+=-≤=X u Y P X u Y P . 由于X 和Y 相互独立，可见}2{7.0}1{3.0)(-≤+-≤=u Y P u Y P u G )2(7.0)1(3.0-+-=u F u F ， 由此，得U 的概率密度)2(7.0)1(3.0)()(-'+-'='=u F u F u G u g )2(7.0)1(3.0-+-=u f u f .【评注】 本题属新题型，求两个随机变量和的分布，其中一个是连续型一个是离散型，要求用全概率公式进行计算，类似问题以前从未出现过，具有一定的难度和综合性。
