初三数学.圆中三大切线定理.学生版

1与切线有关的定理一、切线的性质及判定 1． 切线的性质：定理：圆的切线垂直于过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 2． 切线的判定：定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； 距离法：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 3． 切线长和切线长定理：⑴ 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．⑵ 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．①切线的判定定理设OA 为⊙O 的半径，过半径外端A 作l ⊥OA ，则O 到l 的距离d=r ，∴l 与⊙O 相切．因此，我们得到：切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 注：定理的题设①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个条件缺一不可．结论是“直线是圆的切线”．举例说明：只满足题设的一个条件不是⊙O 的切线．l AlAl证明一直线是圆的切线有两个思路：（1）连接半径，证直线与此半径垂直；（2）作垂线，证垂足在圆上②切线的性质定理及其推论切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径． 二、内切圆1． 定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．P22． 多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．3．直角三角形的内切圆半径与三边关系OF ED C BACBA CBAcbacba（1） （2）图（1）中，设a b c ，，分别为ABC ∆中A B C ∠∠∠，，的对边，面积为S 则内切圆半径（1）s r p=，其中()12pa b c =++；图（2）中，90C∠=︒，则()12r a b c =+-cm,BC=14 cm ，CA=13 cm ，求AF 、BD 、CE 的长例2. 如图所示，已知：AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B。

圆的切线知识点总结一、切线的定义在欧式几何中，对圆的切线有以下几种定义：1. 如果一条直线与圆相交于两点，那么这条直线就被称为圆的切线。

2. 一条直线与圆相交于圆上的一点，那么这条直线就是圆的切线。

3. 一条直线与圆相切于圆上的一点，且直线上的其他点都在圆的外部，那么这条直线就是圆的切线。

这三种定义表达了切线与圆的位置关系，指出了切线与圆的相交情况以及位置特征。

二、切线的性质1. 切线与半径垂直圆的半径与切线的交点处相互垂直。

2. 切线定理若直线l与圆相切于点P，直线l与直径所夹的角为直角。

3. 切线长度相等过圆外一点作一切线与圆相交于A、B两点，连接线A、B，若CA=CB，则线段CA与线段CB构成圆的切线。

4. 切线的判定若直线l经过圆外一点，分别与圆上两点A、B相连，若线段AB的中点恰好是圆心O，那么直线l即为圆的切线。

5. 切线的唯一性圆外一点到圆的切线唯一。

以上是切线的主要性质，这些性质在解题时常常起到重要的作用，特别是在证明几何问题时，能够帮助我们理解和应用切线的知识。

三、切线与圆的位置关系1. 内切线如果一条直线与圆相交于圆上的一点，但直线上的其他点都在圆的内部，那么这条直线就是圆的内切线。

2. 外切线如果一条直线与圆相交于圆上的一点，且直线上的其他点都在圆的外部，那么这条直线就是圆的外切线。

3. 相切线如果一条直线与圆相切于圆上的一点，且直线上的其他点都在圆的外部，那么这条直线就是圆的相切线。

切线与圆的位置关系在解题时十分重要，通过分析切线和圆的位置关系，可以帮助我们求解许多几何问题。

四、切线的判定方法1. 切线与圆的位置关系我们可以通过切线与圆的位置关系来判断一条直线是否为圆的切线，如切线的定义所述，可以分析直线与圆的相交情况以及位置特征来判定切线。

2. 对于圆外一点到圆的切线的判定，我们可以利用中位线作图，利用几何思维判定出直线是否为圆的切线。

3. 切线定理的应用切线定理是判定切线的重要原理之一，通过利用切线定理，可以判定一条直线是否为圆的切线。

14 初三秋季·第2讲·尖子班·学生版围田地漫画释义满分晋级阶梯圆7级期末复习之圆中的 重要结论及应用圆6级期末复习之圆的综合 圆5级圆中三大切线定理 2圆中三大切线定理15中考内容中考要求ABC圆的有关概念 理解圆及其有关概念会过不在同一直线上的三点作圆；能利用圆的有关概念解决简单问题圆的性质知道圆的对称性，了解弧、弦、圆心角的关系 能用弧、弦、圆心角的关系解决简单问题能运用圆的性质解决有关问题 圆周角了解圆周角与圆心角的关系；知道直径所对的圆周角是直角会求圆周角的度数，能用圆周角的知识解决与角有关的简单问题能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题 垂径定理 会在相应的图形中确定垂径定理的条件和结论 能用垂径定理解决有关问题点与圆的位置关系了解点与圆的位置关系直线与圆的位置关系了解直线与圆的位置关系；了解切线的概念，理解切线与过切点的半径之间的关系；会过圆上一点画圆的切线；了解切线长的概念能判定直线和圆的位置关系；会根据切线长的知识解决简单的问题；能利用直线和圆的位置关系解决简单问题能解决与切线有关的问题圆与圆的位置关系 了解圆与圆的位置关系 能利用圆与圆的位置关系解决简单问题弧长 会计算弧长 能利用弧长解决有关问题 扇形会计算扇形面积能利用扇形面积解决有关问题圆锥的侧面积和全面积会求圆锥的侧面积和全面积 能解决与圆锥有关的简单实际问题圆是北京中考的必考内容，主要考查圆的有关性质与圆的有关计算，每年的第20题都会考中考考点分析中考内容与要求16 初三秋季·第2讲·尖子班·学生版查，第1小题一般是切线的证明，第2小题运用圆与三角形相似、解直角三角形等知识求线段长度问题，有时也以阅读理解、条件开放、结论开放探索题作为新的题型。

要求同学们重点掌握圆的有关性质，掌握求线段、角的方法，理解概念之间的相互联系和知识之间的相互转化，理解直线和圆的三种位置关系，掌握切线的性质和判定方法，会根据条件解决圆中的动态问题。

初中数学知识归纳圆的切线与切线定理计算方法初中数学知识归纳：圆的切线与切线定理计算方法在初中数学中，圆是一个重要的几何概念。

掌握圆的性质和相关定理，对于解决与圆相关的数学问题至关重要。

本文将对初中数学中与圆的切线及切线定理相关的计算方法进行归纳和总结。

一、切线的定义与性质在圆上，如果一条直线与圆相交，且与圆的交点只有一个，那么这条直线被称为圆的切线。

切线具有以下性质：1. 切线与半径的关系：切线与连接切点和圆心的半径垂直，即切线与半径的夹角是直角。

2. 切线的长度：从切点到切线上的圆心的距离是切线的长度。

3. 切线的唯一性：圆的外切线和内切线只有一条。

二、切线定理的计算方法1. 切线与切线的关系：圆外一点到圆的切线与该点连线的夹角等于切线与半径的夹角。

2. 切线与弦的关系：切线与一条弦的夹角等于弦所对的圆心角的一半。

3. 弦的长度计算：如果两条切线相交于圆的外点，那么两条切线的积等于外切点到两个切点的弦的积。

即切线外点到切点的线段的长度分别为a和b，那么a*b等于两条切线的积。

4. 弦切角公式：圆上的两条弦所对的圆心角之和等于两条弦所对的弧所对的圆心角的一半。

5. 切线长度计算：给定圆的半径R和切线与半径的夹角α，可以使用三角函数来计算切线的长度。

切线的长度等于R乘以正切函数的值，即L = R * tan(α)。

三、实例解析下面通过几个实例来应用切线定理的计算方法：示例1：已知圆的半径R为5cm，求切线与半径的夹角α为30°时的切线长度L。

解答：根据切线长度的计算公式L = R * tan(α)，代入已知数据，可得L =5 * tan(30°) = 5 * 1/√3 ≈ 2.88cm。

示例2：圆的直径是10cm，切线与半径的夹角α为45°，求切线的长度L。

解答：由于圆的直径等于半径的两倍，所以半径R = 直径/2 = 10/2 = 5cm。

根据切线长度的计算公式L = R * tan(α)，代入已知数据，可得L = 5 * tan(45°) = 5 * 1 ≈ 5cm。

初中数学知识归纳圆的切线与切线定理的计算方法圆是初中数学中非常重要的一个几何概念，而切线与切线定理也是与圆密切相关的概念和定理。

在本文中，我们将对圆的切线和切线定理进行归纳并介绍计算方法。

一、圆的切线圆的切线是指与圆只有一个公共点的直线。

切线的特点是与圆相切于切点，并且切点在切线上。

根据切线的定义，我们可以得出切线具有以下性质：1. 切线与半径垂直在圆的任意切点处，切线与通过该点的半径垂直相交。

这是切线与圆的一个重要性质，在计算切线时会用到。

2. 切线的切点切线与圆相切于切点，而切点位于切线上。

这也是切线的定义之一，切点的坐标可以通过计算得出。

二、切线定理的计算方法切线定理是描述切线与半径之间的关系的一组定理。

我们将介绍几个常用的切线定理及其计算方法。

1. 切线长定理切线长定理描述了切线和半径之间的关系。

对于与圆相切的切线来说，切线上的两个切点到圆心的距离乘积等于这两个切点分别到圆心的距离的平方。

具体计算方法如下：假设切线与圆相切于点A和点B，圆的半径为r，圆的圆心为O。

则有以下关系成立：AO × BO = AC² = BC²其中，AO和BO分别表示点A和点B到圆心O的距离，AC和BC分别表示点A和点B到圆心O的距离。

2. 外切线定理外切线定理指出，如果一条直线同时与两个相交圆的外切，那么它们的切点与连接圆心的直线构成一个等边三角形。

具体计算方法如下：对于与两个圆相切的外切线来说，它的两个切点与两个圆心之间形成的三角形是等边三角形。

设两个圆的半径分别为r₁和r₂，切点之间的距离为d，则有以下关系成立：d = r₁ + r₂其中，d表示切点之间的距离，r₁和r₂表示两个圆的半径。

三、圆的切线与切线定理的应用举例为了更好地理解切线和切线定理的计算方法，我们举例说明。

例题1：已知一个圆的半径为3 cm，点A是这个圆上的一个切点，连接点A和圆心O的线段OA与圆相交于一点B。

初中数学知识归纳圆的切线与切圆初中数学知识归纳：圆的切线与切圆圆是数学中重要的几何概念之一，学习圆的性质和应用对于初中数学的学习至关重要。

其中，圆的切线与切圆是我们需要重点掌握的内容之一。

本文将对这一知识点进行归纳总结，帮助大家更好地理解和应用。

第一部分：切线的定义和性质在开始讨论圆的切线与切圆之前，我们首先来了解一下切线的定义和性质。

1. 切线的定义在几何中，圆与直线相切时，我们称这条直线为圆的切线。

切线与圆接触点形成的线段称为切线段。

2. 切线的性质（1）切线与半径垂直切线与半径的相交点处，切线和半径互相垂直。

（2）切线只有一个切点切线与圆只能有一个切点，这是切线独特的性质。

（3）切线和半径的夹角切线和半径之间的夹角可以通过用切点的弧度与此弧对应的圆心角进行计算。

夹角的度数等于其对应的圆心角的一半。

第二部分：切线的判定条件了解了切线的定义和性质后，我们继续学习切线的判定条件。

1. 定理1：半径与切线的垂直性若直线与圆相交于圆心和一点，则该直线为圆的切线。

2. 定理2：切线的唯一性若直线与圆相交于圆上两点，则这条直线不是圆的切线。

3. 定理3：勾股定理若直角三角形中，直角边长分别为a、b，斜边长为c（c为圆的半径），则该直角三角形是一个切三角形。

第三部分：切圆和切线的性质切圆与切线是密切相关的，下面我们来了解一下切圆和切线的性质。

1. 切圆的定义切圆是指在一个圆内部，同时与圆内的一点P相切的圆。

2. 切圆和切线的关系切圆与切线之间有以下关系：（1）切线是切圆的直径线段，直径线段刚好是切线所经过的圆心。

（2）相切的两个圆，切点处的切线是两个圆的公共切线。

第四部分：应用实例下面我们通过几个具体的实例来应用所学的知识。

实例1：已知AB为圆O的直径，且C为圆上一点，求线段AC的长度。

解：根据圆的性质，可知AC为切线段，且与直径垂直，所以AC = AO/2。

实例2：已知圆A和圆B相切于点C，且圆A与直线AB相切于点D，求证：CD是直线BC的角平分线。

14初三秋季·第2讲·尖子班·学生版围田地漫画释义满分晋级阶梯暑期班第六讲秋季班第六讲秋季班第八讲圆7级期末复习之圆中的重要结论及应用圆6级期末复习之圆的综合圆5级圆中三大切线定理秋季班第十五讲秋季班第十三讲秋季班第二讲2圆中三大切线定理15中考内容中考要求ABC圆的有关概念理解圆及其有关概念会过不在同一直线上的三点作圆；能利用圆的有关概念解决简单问题圆的性质知道圆的对称性，了解弧、弦、圆心角的关系能用弧、弦、圆心角的关系解决简单问题能运用圆的性质解决有关问题圆周角了解圆周角与圆心角的关系；知道直径所对的圆周角是直角会求圆周角的度数，能用圆周角的知识解决与角有关的简单问题能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题垂径定理会在相应的图形中确定垂径定理的条件和结论能用垂径定理解决有关问题点与圆的位置关系了解点与圆的位置关系直线与圆的位置关系了解直线与圆的位置关系；了解切线的概念，理解切线与过切点的半径之间的关系；会过圆上一点画圆的切线；了解切线长的概念能判定直线和圆的位置关系；会根据切线长的知识解决简单的问题；能利用直线和圆的位置关系解决简单问题能解决与切线有关的问题圆与圆的位置关系了解圆与圆的位置关系能利用圆与圆的位置关系解决简单问题弧长会计算弧长能利用弧长解决有关问题扇形会计算扇形面积能利用扇形面积解决有关问题圆锥的侧面积和全面积会求圆锥的侧面积和全面积能解决与圆锥有关的简单实际问题圆是北京中考的必考内容，主要考查圆的有关性质与圆的有关计算，每年的第20题都会考中考考点分析中考内容与要求16初三秋季·第2讲·尖子班·学生版查，第1小题一般是切线的证明，第2小题运用圆与三角形相似、解直角三角形等知识求线段长度问题，有时也以阅读理解、条件开放、结论开放探索题作为新的题型。

要求同学们重点掌握圆的有关性质，掌握求线段、角的方法，理解概念之间的相互联系和知识之间的相互转化，理解直线和圆的三种位置关系，掌握切线的性质和判定方法，会根据条件解决圆中的动态问题。

九年级圆的切线知识点圆是几何学中的一种基本图形，它具有很多重要的性质和知识点。

其中，圆的切线是一个非常重要的概念。

下面，我将为大家介绍九年级圆的切线的相关知识点。

一、什么是切线在圆的几何中，切线是指与圆相切且只有一个交点的直线。

切线的特点是与圆的切点处的切线段垂直于半径。

根据切线与半径的关系可以推导出切线的性质。

二、切线的性质1. 切线与半径的关系：切线与半径的切点处的切线段垂直。

2. 切线与半径的夹角：切线与从切点到圆心的半径之间的夹角为90度。

3. 切线的斜率：切线的斜率等于切线与圆心连线的斜率的负倒数。

4. 切线的长度：切线的长度等于与圆心连线的长度的平方减去半径的平方再开根号。

三、切线的证明1. 证明切线与半径的关系：我们可以通过作图来证明切线与半径的切点处的切线段垂直。

首先，以圆心为原点建立坐标系，假设切点坐标为(x0, y0)，圆的半径为r。

则圆的方程为x^2 + y^2 =r^2。

假设切线过切点的斜率为k，则切线的方程为y - y0 = k(x -x0)。

由于切点处的切线段垂直于半径，所以切线的斜率等于半径与切线的夹角的正切值。

即k = -x0 / y0。

将k带入切线的方程得到y - y0 = (-x0 / y0)(x - x0)。

将切线与圆的方程联立解得切点坐标(x0, y0)。

由此可证明切线与半径的切点处的切线段垂直。

2. 证明切线与半径的夹角为90度：我们可以通过证明切线的斜率与半径的斜率的乘积为-1来证明切线与半径的夹角为90度。

假设切点坐标为(x0, y0)，圆的半径为r。

则切线的斜率为- x0 / y0，半径的斜率为y0 / x0。

由于切线的斜率与半径的斜率的乘积为-1，所以切线与半径的夹角为90度。

四、切线的应用圆的切线在很多问题中都有重要的应用。

比如，切线的长度可以用来计算切点到圆心的距离，这对于解决与切线和半径有关的问题非常有用。

切线还可以用来解决与切线和直线的交点有关的问题，如切线与直线的夹角等。

初中数学圆的切线与切圆知识点总结圆是初中数学中常见的几何图形之一，而圆的切线与切圆也是初中数学中的重要知识点。

接下来，我们将对初中数学中关于圆的切线和切圆的知识点做一个总结。

一、圆的切线切线是圆上一点到该点处圆周的切线，也是与圆只有一个交点的直线。

切线有以下几个重要性质：1. 切线与半径的垂直性：切线与圆的半径相交处呈垂直关系，即切点处的切线垂直于过切点的半径。

2. 切线的长度：切线与圆的半径相交处形成直角三角形，根据勾股定理，切线的平方等于半径的平方与切线段的乘积。

3. 切线之间的关系：若两条切线分别与圆相交于点A和点B，则切线上的两个切点与圆心所连接的线段AB平行。

二、切线的性质与定理1. 切线定理：若直线L与圆相交于点A和点B，且点A处的线段AB的端点B在圆上，则直线L为圆的切线。

2. 弦切角定理：若弦AB与切线CD相交于点E，则角BED为弦切角，角BED的角度等于弦AB的对应弧的一半。

3. 切线与半径之间的关系定理：若切线与圆的半径相交于点A，则线段OA的平方等于切线上的切点与该切点处半径的乘积。

三、切圆切圆是指一个圆与另一个圆外切于一个点的情况。

切圆有以下几个重要性质：1. 切圆的切点：切圆的切点即两个圆外切点的连线与两个圆的切点连线重合。

2. 切线关系：两个相切的圆的切点处的切线重合。

3. 切圆的切线长度：两个相切的圆的切线长度相等。

四、切圆的性质与定理1. 切圆外切定理：若两个圆相切于点A，则过该切点的直线为两个圆的外公切线。

2. 切圆公切线定理：若两个圆外切于点A，并且直线L与两个圆相交于点B和点C，则过点B和点C的直线为两个圆的公切线。

3. 切圆的切线垂直关系：两个切圆的切线相交于切点处且垂直。

总结：通过以上的总结，我们了解了初中数学中与圆的切线与切圆相关的知识点。

理解并掌握这些知识，可以帮助我们解决与圆相关的几何问题，在解题过程中更加灵活和准确。

如果对这些知识点还不够熟悉，建议多进行相关题目的练习，加深对这些知识的理解和应用能力。

三圆的切线的性质及判定定理[对应学生用书P25]1．切线的性质(1)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径． 如图，已知AB 切⊙O 于A 点，则OA ⊥AB .(2)推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． (3)推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 2．圆的切线的判定方法(1)定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线． (2)数量关系：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线． (3)定理：过半径外端点且与这条半径垂直的直线是圆的切线．其中(2)和(3)是由(1)推出的，(2)是用数量关系来判定，而(3)是用位置关系加以判定的．[说明] 在切线的判定定理中要分清定理的题设和结论，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则该直线就不是圆的切线．[对应学生用书P25]圆的切线的性质[例1] 如图，已知∠C ＝90°，点O 在AC 上，CD 为⊙O 的直径，⊙O 切AB于E ，若BC ＝5，AC ＝12.求⊙O 的半径．[思路点拨] ⊙O 切AB 于点E ，由圆的切线的性质，易联想到连接OE 构造Rt △OAE ，再利用相似三角形的性质，求出⊙O 的半径．[解] 连接OE ，∵AB 与⊙O 切于点E ， ∴OE ⊥AB ，即∠OEA ＝90°. ∵∠C ＝90°，∠A ＝∠A ， ∴Rt △ACB ∽Rt △AEO ， ∴OE BC ＝AOAB. ∵BC ＝5，AC ＝12，∴AB ＝13， ∴OE 5＝12－OE 13，∴OE ＝103.即⊙O 的半径为103.利用圆的切线的性质来证明或进行有关的计算有时需添加辅助线，其中连接圆心和切点的半径是常用辅助线，从而可以构造直角三角形，利用直角三角形边角关系求解，或利用勾股定理求解，或利用三角形相似求解等．1．如图，AB 切⊙O 于点B ，延长AO 交⊙O 于点C ，连接BC .若∠A ＝40°，则∠C ＝( )A ．20°B ．25°C ．40°D ．50°解析：连接OB ，因为AB 切⊙O 于点B ，所以OB ⊥AB ，即∠ABO ＝90°，所以∠AOB＝50°.又因为点C 在AO 的延长线上，且在⊙O 上， 所以∠C ＝12∠AOB ＝25°.答案：B2.如图，已知P AB 是⊙O 的割线，AB 为⊙O 的直径．PC 为⊙O 的切线，C 为切点，BD ⊥PC 于点D ，交⊙O 于点E ，P A ＝AO ＝OB ＝1.(1)求∠P 的度数； (2)求DE 的长． 解：(1)连接OC .∵C 为切点，∴OC ⊥PC ，△POC 为直角三角形． ∵OC ＝OA ＝1，PO ＝P A ＋AO ＝2， ∴sin ∠P ＝OC PO ＝12.∴∠P ＝30°.(2)∵BD ⊥PD ，∴在Rt △PBD 中， 由∠P ＝30°，PB ＝P A ＋AO ＋OB ＝3， 得BD ＝32.连接AE .则∠AEB ＝90°，∴AE ∥PD . ∴∠EAB ＝∠P ＝30°，∴BE ＝AB sin 30°＝1，∴DE ＝BD －BE ＝12.[例2] 已知D 是△ABC ADB ＝60°，求证：AB 是△BCD 的外接圆的切线．[思路点拨]连接OB ，OC ，OD →∠BOD ＝90°→ ∠OBC ＝∠OCB ＝30°→∠ABO ＝90°→结论. [证明] 如图，连接OB ，OC ，OD ，OD 交BC 于E . ∵∠DCB 是BD 所对的圆周角， ∠BOD 是BD 所对的圆心角，∠BCD ＝45°， ∴∠BOD ＝90°.∵∠ADB 是△BCD 的一个外角， ∴∠DBC ＝∠ADB －∠ACB ＝60°－45°＝15°， ∴∠DOC ＝2∠DBC ＝30°， 从而∠BOC ＝120°，∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB ＝30°. 在△OEC 中，因为∠EOC ＝∠ECO ＝30°， ∴OE ＝EC ，在△BOE 中，因为∠BOE ＝90°，∠EBO ＝30°. ∴BE ＝2OE ＝2EC ， ∴CE BE ＝CD DA ＝12， ∴AB ∥OD ，∴∠ABO ＝90°， 故AB 是△BCD 的外接圆的切线．要证明某直线是圆的切线，主要是运用切线的判定定理，除此以外，还有圆心到直线的距离等于半径等判定方法，但有时需添加辅助线构造判定条件，其中过圆心作直线的垂线是常用辅助线．3．本例中，若将已知改为“∠ABD ＝∠C ”，怎样证明：AB 是△BCD 的外接圆的切线． 证明：作直径BE ，连接DE ， ∵BE 是⊙O 的直径，∴∠BDE ＝90°， ∴∠E ＋∠DBE ＝90°. ∵∠C ＝∠E ，∠ABD ＝∠C ， ∴∠ABD ＋∠DBE ＝90°. 即∠ABE ＝90°.∴AB 是△BCD 的外接圆的切线．4.如图，△ABC 内接于⊙O ，点D 在OC 的延长线上，sin B ＝12，∠D ＝30°.(1)求证：AD 是⊙O 的切线． (2)若AC ＝6，求AD 的长． 解：(1)证明：如图，连接OA ， ∵sin B ＝12，∴∠B ＝30°，∵∠AOC ＝2∠B ，∴∠AOC ＝60°， ∵∠D ＝30°，∴∠OAD ＝180°－∠D －∠AOC ＝90°， ∴AD 是⊙O 的切线． (2)∵OA ＝OC ，∠AOC ＝60°，∴△AOC 是等边三角形，∴OA ＝AC ＝6， ∵∠OAD ＝90°，∠D ＝30°， ∴AD ＝3AO ＝6 3.圆的切线的性质和判定的综合考查[例3] 如图，AB 为⊙O 的直径，D 是BC 的中点，DE ⊥AC 交AC 的延长线于E ，⊙O 的切线BF 交AD 的延长线于点F .(1)求证：DE 是⊙O 的切线；(2)若DE ＝3，⊙O 的半径为5，求BF 的长． [思路点拨] (1)连接OD ，证明OD ⊥DE ； (2)作DG ⊥AB . [证明] (1)连接OD ，∵D 是BC 中点， ∴∠1＝∠2. ∵OA ＝OD ，∴∠2＝∠3. ∴∠1＝∠3. ∴OD ∥AE .∵DE ⊥AE ，∴DE ⊥OD ，即DE 是⊙O 的切线． (2)过D 作DG ⊥AB ， ∵∠1＝∠2，∴DG ＝DE ＝3. 在Rt △ODG 中，OG ＝52－32＝4， ∴AG ＝4＋5＝9.∵DG ⊥AB ，FB ⊥AB ，∴DG ∥FB . ∴△ADG ∽△AFB . ∴DG BF ＝AG AB. ∴3BF ＝910.∴BF ＝103.对圆的切线的性质与判定的综合考查往往是热点，其解答思路常常是先证明某直线是圆的切线，再利用切线的性质来求解相关结果．5.如图，已知两个同心圆O ，大圆的直径AB 交小圆于C 、D ，大圆的弦EF 切小圆于C ，ED 交小圆于G ，若小圆的半径为2，EF ＝43，试求EG 的长．解：连接GC ，则GC ⊥ED . ∵EF 和小圆切于C ， ∴EF ⊥CD ，EC ＝12EF ＝2 3.又CD ＝4，∴在Rt △ECD 中， 有ED ＝EC 2＋CD 2 ＝(23)2＋42＝27.由射影定理可知EC 2＝EG ·ED ， ∴EG ＝EC 2ED ＝(23)227＝677.6．如图，以Rt △ABC 直角边AC 上一点O 为圆心，OC 为半径的⊙O 与AC 的另一个交点为E ，D 为斜边AB 上一点且在⊙O 上，AD 2＝AE ·AC .(1)证明：AB 是⊙O 的切线； (2)若DE ·OB ＝8，求⊙O 的半径． 解：(1)证明：连接OD ，CD ，∵AD 2＝AE ·AC ， ∴AD AE ＝ACAD.又∵∠DAE ＝∠DAC ， ∴△DAE ∽△CAD ，∴∠ADE ＝∠ACD . ∵OD ＝OC ，∴∠ACD ＝∠ODC ， 又∵CE 是⊙O 的直径，∴∠ODE ＋∠CDO ＝90°，∴∠ODA ＝90°， ∴AB 是⊙O 的切线． (2)∵AB ，BC 是⊙O 的切线，∴OB ⊥DC ，∴DE ∥OB ，∴∠CED ＝∠COB ， ∵∠EDC ＝∠OCB ，∴△CDE ∽△BCO ， ∴DE CO ＝CEBO，DE ·OB ＝2R 2＝8， ∴⊙O 的半径为2.[对应学生用书P27]一、选择题1．下列说法：①与圆有公共点的直线是圆的切线；②垂直于圆的半径的直线是圆的切线；③与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；④过直径的端点，垂直于此直径的直线是圆的切线．其中正确的有( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④答案：C2．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，AC 交⊙O 于D .AB ＝6，BC ＝8，则BD 等于( )A ．4B ．4.8C ．5.2D ．6解析：∵AB 是⊙O 的直径，∴BD ⊥AC . ∵BC 是⊙O 的切线，∴AB ⊥BC . ∵AB ＝6，BC ＝8，∴AC ＝10. ∴BD ＝AB ·BCAC ＝4.8.答案：B3.如图，CD 切⊙O 于B ，CO 的延长线交⊙O 于A ，若∠C ＝36°，则∠ABD 的度数是( )A ．72°B ．63°C ．54°D ．36°解析：连接OB .∵CD 为⊙O 的切线，∴∠OBC ＝90°. ∵∠C ＝36°，∴∠BOC ＝54°. 又∵∠BOC ＝2∠A ，∴∠A ＝27°， ∴∠ABD ＝∠A ＋∠C ＝27°＋36°＝63°. 答案：B4．如图，在⊙O 中，AB 为直径，AD 为弦，过B 点的切线与AD 的延长线交于C ，若AD ＝DC ，则sin ∠ACO 等于( )A.1010 B.210 C.55D.24 解析：连接BD ，则BD ⊥AC .∵AD ＝DC ，∴BA ＝BC ， ∴∠BCA ＝45°.∵BC 是⊙O 的切线，切点为B ， ∴∠OBC ＝90°.∴sin ∠BCO ＝OB OC ＝OB 5OB ＝55，cos ∠BCO ＝BC OC ＝2OB 5OB ＝255.∴sin ∠ACO ＝sin(45°－∠BCO ) ＝sin 45°cos ∠BCO －cos 45°sin ∠BCO ＝22×255－22×55＝1010. 答案：A 二、填空题5．如图，已知∠AOB ＝30°，M 为OB 边上一点，以M 为圆心、2为半径作⊙M .若点M 在OB 边上运动，则当OM ＝________时，⊙M 与OA 相切．解析：若⊙M与OA相切，则圆心M到直线OA的距离等于圆的半径2.过M作MN⊥OA于点N，则MN＝2.在Rt△MON中，∵∠MON＝30°，∴OM＝2MN＝2×2＝4.答案：46．已知P A是圆O的切线，切点为A，P A＝2，AC是圆O的直径，PC与圆O交于B点，PB＝1.则圆O 的半径R＝________.解析：AB＝AP2－PB2＝ 3.由AB2＝PB·BC，∴BC＝3，Rt△ABC中，AC＝AB2＋BC2＝2 3.∴R＝ 3.答案： 37．圆O的直径AB＝6，C为圆周上一点，BC＝3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E，则∠DAC＝________，DC＝________.解析：连接OC，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC.又∠DCA＋∠ACO＝90°，∠ACO＋∠OCB＝90°，∴∠DCA＝∠OCB，∵OC＝3，BC＝3，∴△OCB是正三角形．∴∠OBC＝60°，即∠DCA＝60°.∴∠DAC＝30°.在Rt△ACB中，AC＝AB2－BC2＝33，DC＝AC sin 30°＝32 3.答案：30°33 2三、解答题8.如图所示，D是⊙O的直径AB的延长线上一点，PD是⊙O的切线，P是切点，∠D＝30 °.求证：P A＝PD.证明：如图，连接OP，∵PD是⊙O的切线，P为切点．∴PO⊥PD.∵∠D＝30°，∴∠POD＝60°.又∵OA＝OP，∴∠A＝∠APO＝30°.∴∠A＝∠D.∴P A＝PD.9.如图，已知在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，过D点作⊙O的切线交AC于E.求证：(1)DE⊥AC；(2)BD2＝CE·CA.证明：(1)连接OD，AD.∵DE是⊙O的切线，D为切点，∴OD⊥DE.∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC.又AB＝AC，∴BD＝DC.∴OD∥AC.∴DE⊥AC.(2)∵AD⊥BC，DE⊥AC，∴△CDE∽△CAD.∴CDCA＝CECD.∴CD2＝CE·CA.∴BD＝DC.∴BD2＝CE·CA.10.如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD，垂足为E，DA平分∠BDE.(1)求证：AE是⊙O的切线；(2)若∠DBC＝30°，DE＝1 cm，求BD的长．解：(1)证明：连接OA.∵DA平分∠BDE，∴∠BDA＝∠EDA.∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD.∴∠OAD＝∠EDA.∴OA∥CE.∵AE⊥DE，∴∠AED＝90°，∴∠OAE＝∠DEA＝90°.∴AE⊥OA.∴AE是⊙O的切线．(2)∵BD是直径，∴∠BCD＝∠BAD＝90°.∵∠DBC＝30°，∴∠BDC＝60°.∴∠BDE＝120°.∵DA平分∠BDE，∴∠BDA＝∠EDA＝60°.∴∠ABD＝∠EAD＝30°.在Rt△AED中，∠AED＝90°，∠EAD＝30°，∴AD＝2DE.在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，∠ABD＝30°，∴BD＝2AD＝4DE.∵DE的长是1 cm，∴BD的长是4 cm.。

圆中的重要模型之阿基米德折弦(定理)模型、婆罗摩笈多(定理)模型圆在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就圆形中的重要模型(阿基米德折弦(定理)模型、婆罗摩笈多(布拉美古塔)(定理)模型)进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.阿基米德折弦模型【模型解读】折弦:从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，我们称之为该图的一条折弦。

一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点。

如图1所示，AB 和BC 是⊙O 的两条弦(即ABC 是圆的一条折弦)，BC >AB ，M 是ABC的中点，则从M 向BC 所作垂线之垂足D 是折弦ABC 的中点，即CD =AB +BD 。

图1图2图3图4常见证明的方法：1)补短法：如图2，如图，延长DB 至F ，使BF =BA ；2)截长法：如图3，在CD 上截取DG =DB ；3)垂线法：如图4，作MH ⊥射线AB ，垂足为H 。

1(2023·山西·九年级专题练习)定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．阿基米德折弦定理：如图1，AB 和BC 组成圆的折弦，AB >BC ，M 是弧ABC 的中点，MF ⊥AB 于F ，则AF =FB +BC ．如图2，△ABC 中，∠ABC =60°，AB =8，BC =6，D 是AB 上一点，BD =1，作DE ⊥AB 交△ABC 的外接圆于E ，连接EA ，则∠EAC =°．2(2023·浙江温州·九年级校考阶段练习)阿基米德是古希腊最伟大的数学家之一，他曾用图1发现了阿基米德折弦定理．如图2，已知BC 为⊙O 的直径，AB 为一条弦(BC >AB )，点M 是ABC上的点，MD ⊥BC 于点D ，延长MD 交弦AB 于点E ，连接BM ，若BM =6，AB =4，则AE 的长为()A.52B.94C.125D.1353(2023·山东济宁·校考二模)阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子，在后世的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容．在1964年出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理．【定理内容】一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点．【定理模型】如图①，已知AB 和BC 是⊙O 的两条弦(即折线ABC 是⊙O 的一条折弦)，BC >AB ，M 是ABC的中点，那么从M 向弦BC 作垂线的垂足D 是折弦ABC 的中点，即CD =AB +BD ．下面是运用“补短法”证明CD =AB +BD 的部分证明过程：如图②，延长DB 至点F ，使BF =BA ，连接MF ，AB ，MC ，MA ，AC ，⋯【定理证明】按照上面思路，写出剩余部分的证明过程．【问题解决】如图③，△ABC 内接于⊙O ，已知AB =AC =22，D 为AC上一点，连接AD ，DC ，∠ABD =45°，∠CBD =15°，求△ABC 的周长．4(2022上·江苏盐城·九年级统考期中)【了解概念】我们知道，折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形．如图1，线段MQ 、QN 组成折线段MQN ．若点P 在折线段MQN 上，MP =PQ +QN ，则称点P 是折线段MQN 的中点．【理解应用】(1)如图2，⊙O 的半径为2，PA 是⊙O 的切线，A 为切点，点B 是折线段POA 的中点．若∠APO =30°，则PB =；【定理证明】(2)阿基米德折弦定理：如图3，AB 和BC 是⊙O 的两条弦(即折线段ABC 是圆的一条折弦)，BC >AB ，点M 是ABC 的中点，从M 向BC 作垂线，垂足为D ，求证：D 是折弦ABC 的中点；【变式探究】(3)如图4，若点M 是AC的中点，【定理证明】中的其他条件不变，则CD 、DB 、BA 之间存在怎样的数量关系？请直接写出结论．【灵活应用】(4)如图5，BC 是⊙O 的直径，点A 为⊙O 上一定点，点D 为⊙O 上一动点，且满足∠DAB =45°，若AB =8，BC =10，则AD =．5(2023·江苏·九年级期中)小明学习了垂径定理，做了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究．(1)更换定理的题设和结论可以得到许多真命题．如图1，在⊙O中，C是劣弧AB的中点，直线CD⊥AB于点E，则AE=BE．请证明此结论；(2)从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦．如图2，PA，PB组成⊙O的一条折弦．C是劣弧AB的中点，直线CD⊥PA于点E，则AE=PE+PB．可以通过延长DB、AP相交于点F，再连接AD证明结论成立．请写出证明过程；(3)如图3，PA，PB组成⊙O的一条折弦．C是优弧ACB的中点，直线CD⊥PA于点E，则AE，PE与PB之间存在怎样的数量关系？写出结论，不必证明．模型2.婆罗摩笈多(定理)模型【模型解读】婆罗摩笈多(Brahmagupta)是七世纪时的印度数学家。

初中数学知识归纳圆的切线与切点的性质初中数学知识归纳——圆的切线与切点的性质圆是初中数学中一个重要的图形，圆的切线和切点是圆的重要性质之一。

在本文中，我们将归纳总结初中数学中关于圆的切线与切点的性质。

一、圆的切线的定义与性质切线是与圆只有一个公共点的直线。

下面给出几个关于圆的切线的性质：1. 切线与半径垂直：一个切线与通过切点的半径垂直相交。

2. 切线长度相等：如果两条切线都与同一条半径垂直，则这两条切线的长度相等。

3. 外切线：若直线与圆外切，并且与通过切点的圆的半径垂直，则该直线是圆的外切线。

4. 内切线：若直线与圆内切，并且与通过切点的圆的半径垂直，则该直线是圆的内切线。

二、圆的切点的定义与性质切点是切线与圆的唯一交点。

下面给出几个关于圆的切点的性质：1. 切点在切线上：切点是切线与圆的唯一交点，所以切点一定在切线上。

2. 切点与半径的关系：切点与圆心连线构成的半径与切线垂直相交于切点。

3. 同一切线的切点关系：如果两条切线是同一直线的不同部分，那么它们在切点出重合。

三、切线与切点的应用圆的切线与切点的性质在几何证明和问题求解中有着广泛的应用。

下面以一个例题来说明：例题：已知圆 O 的半径为 5cm，过圆外一点 A 作圆的切线 AB，AB 的长度为 12cm，求 AB 与 OA 的夹角。

解析：根据圆的切线与半径垂直的性质可知，AO 与 AB 垂直相交于切点 B。

由于圆 O 的半径为 5cm，所以 OB = 5cm。

根据勾股定理，可得 AO² = AB² + OB²，即 OA² = 12² + 5²。

计算可得OA ≈ 13cm。

根据余弦定理，夹角 AOB 的余弦为cosθ = AB / OA，即 c osθ = 12 / 13。

通过反余弦函数可计算得到夹角 AOB 的近似值，约为 36.87°。

通过以上例题，我们可以看到切线与切点的性质在解决具体问题时非常有用。

圆的三大切线定理
圆的三大切线定理：
第一个定理，就是切线的性质定理，这个定理是很简单的，而且理解不困难，只要记住：”过圆心“，”过切点“和”互相垂直“这三条谁知二推一就够了。

第二个定理，是切线的判定定理，切线的判定是中考中常经常考的内容，切线判定主要有三种方式：定义法、距离法及定理法。

其中最常用的是定理法，其次是距离法，定义法就很少用到了。

这里面，在进行切线判定时，其实只需要记住："有交点，连半径，证垂直；无交点，作垂直，正半径"就可以了。

也就是说，切线的判定主要就这两种题型，即题目中告诉直线与圆有交点和直线与圆无交点。

第三个定理，是切线长定理。

在这个定理中，同一交点所形成的两条切线长时相等的，并且此交点与圆心的连线是两条切线长的夹角的角平分线，所以说是有一对相等的角的。

在做相应的练习时，同学们要条件反射式的看到切线长，就要知道有两组相等，即线相等及角相等。

初中九年级圆切线知识点在初中九年级的数学中，圆的知识是一个重要的部分。

而其中一个重要的概念就是圆与切线的关系。

本文将详细介绍初中九年级圆切线的知识点。

1. 圆的定义与性质圆是由平面上一点到另一点距离保持不变的所有点的集合。

圆的所有点到圆心的距离相等，这个距离称为半径。

圆的直径是通过圆心且两端点在圆上的线段，直径的长度是半径的两倍。

圆的弦是连接圆上两点的线段，弦的长度可以小于或等于直径的长度。

2. 切线的定义与性质切线是与圆只有一个公共点的直线。

切点是切线和圆的交点。

切线与半径的关系是：切线与半径的垂直线垂直相交。

3. 切线的判定定理如果一条直线与圆相交且过相交点的切线方向与与圆心连线的方向一致，那么这条直线就是圆的切线。

4. 圆切线的性质（1）切线与半径的垂直性：切线与半径的垂直线垂直相交；（2）切线与切点的判定：切线只与圆上切点相交；（3）切线与切点的角：切线与过切点且垂直于切线的直径的夹角为直角；（4）切线与弦的夹角：切线与通过切点的弦所对的圆内角相等。

5. 切线定理（1）切线长定理：切线长的平方等于切点到圆心距离的平方减去半径的平方；（2）切线与切点关系定理：圆内任意一点到切点的距离等于这个点到切线的距离。

6. 圆与切线的应用切线的性质和定理可以应用于解决一些与圆相关的几何问题。

例如，在求解圆的切线长度时，可以利用切线长定理进行计算；在解决直角三角形的问题时，可以利用切线与切点关系定理来求解。

综上所述，初中九年级的圆切线知识点包括圆的定义与性质、切线的定义与性质、切线的判定定理、圆切线的性质、切线定理以及圆与切线的应用。

熟练掌握这些知识点能够帮助同学们更好地理解和解决与圆相关的几何问题。

在学习过程中，同学们应当多做一些相关的练习题，提高自己的解题能力和应用能力。