四. 定积分的换元积分法和分部积分法

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定积分的换元积分法与分部积分法

有
b
a f (x) dx f [(t)](t) dt
上式称为定积分的换元公式。
π
例1 计算 2 cos3 x sin x dx 。 0
解
设 t cos x ，则 dt sin x dx 。当 x 0 时，t 1 ；当
x π 时，t 1。 2
原式 0 t3dt 1 t3dt 1 t4计算
4 dx 。
0 1 x
解
令 x t ，x t2 ，则 dx 2tdt 。当 x 0 时，t 0 ；当
x 4 时，t 2。
原式 2 2t dt 2 2 t 1 1 dt 2 2 ln 1 t 2 4 2ln 3
0 1t
0 1t
0
例3 计算
高等数学
定积分的换元积分法与分部积分法
一、定积分的换元积分法
定理设函数 f (x) 在 [a ，b] 上连续，而 x (t) 是定义在 [ ， ] 上的一个可微函数，并满足条件：
（1）(t)在区间 [a ，b] 上有连续的导数 (t) ；
（2）当t从α 变到β 时，(t) 从 ( ) a 单调地变到( ) b ，则
两边积分，得移项，得即
b
b
b
a (uv)dx a uvdx a uvdx
b uvdx
(uv)
b
b
vudx
a
a
a
b
b
b
udv uv vdu
a
a
a
这就是定积分的分部积分公式。
π
例6 计算 0 x cos x dx 。
解
原式
π
xd (sin
x)
x sin x
π
π

定积分的换元法和分部积分法

定积分的换元法和分部积分法文章标题：深入探讨定积分的换元法和分部积分法在高等数学中，定积分的换元法和分部积分法是两种重要的积分求解方法，它们在求解复杂积分问题时起着至关重要的作用。

通过这篇文章，我们将从简到繁，由浅入深地探讨定积分的换元法和分部积分法，以便读者能更加全面、深刻地理解这两种方法。

1. 定积分的换元法在定积分的换元法中，我们通过引入一个新的变量来简化被积函数，从而更容易求解定积分。

在求解具体的定积分时，我们常常会遇到被积函数与变量之间的复杂关系，利用换元法可以将原积分转化为一个简单的形式，然后通过简单的积分求解方法来得到最终的结果。

举例来说，当被积函数为sin(x^2)时，我们可以通过令u=x^2来进行换元，将原积分化为sin(u)的形式，从而更容易求解出积分的结果。

2. 定积分的分部积分法与换元法类似，分部积分法也是在求解定积分时经常使用的方法之一。

通过分部积分法，我们可以将原积分中的乘积形式进行分解，然后转化为一个更容易求解的形式。

在分部积分法中，我们通常选择一个函数作为u，选择另一个函数的微分作为dv，然后通过积分公式将原积分转化为u*v的形式，最终求解出积分的结果。

举例来说，当被积函数为x*cos(x)时，我们可以通过选择u=x和dv=cos(x)dx来进行分部积分，将原积分化为x*sin(x)-∫(sin(x))dx的形式，从而更容易求解出积分的结果。

通过以上简单的介绍，我们可以看到定积分的换元法和分部积分法在简化复杂积分问题时起着至关重要的作用。

通过这两种方法，我们可以将原积分转化为更容易求解的形式，从而更加灵活地解决数学中的积分难题。

总结回顾：在本文中，我们从简到繁，由浅入深地探讨了定积分的换元法和分部积分法。

通过具体的例子，我们展示了这两种方法在求解复杂积分问题时的重要作用。

我们希望读者通过本文的介绍，能更加全面、深刻地理解定积分的换元法和分部积分法，并在实际的数学问题中灵活运用这两种方法。

定积分计算方法总结

定积分计算方法总结定积分是微积分中的一种重要概念，用于计算曲线与x轴之间的面积、曲线的弧长、质量、质心等物理量。

本文将总结定积分的计算方法，包括基本定积分的计算、换元积分法、分部积分法等。

一、基本定积分的计算基本定积分是指形如∫f(x)dx的定积分，其中f(x)为已知函数。

基本定积分的计算方法主要包括常数法、分段法和凑微分法。

1. 常数法：当被积函数为常数函数时，可以直接利用积分性质计算。

如∫kdx=kx+C，其中k为常数，C为积分常数。

2. 分段法：当被积函数在不同区间上有不同的表达式时，可以将积分区间划分为不同的子区间，在每个子区间上分别计算积分，然后再求和得到整个区间上的积分值。

3. 凑微分法：当被积函数可以通过凑微分的方式转化为已知函数的微分形式时，可以利用凑微分法进行计算。

凑微分法的关键是找到合适的凑微分项，使得被积函数可以表示为一个函数的微分。

例如，对于∫x^2dx，可以将其转化为∫(x^2+1-1)dx，然后利用积分性质计算。

二、换元积分法换元积分法是一种常用的定积分计算方法，通过引入新的变量进行替换，将原来的积分转化为更容易计算的形式。

换元积分法的关键是选择合适的换元变量和适当的换元公式。

1. 一般换元法：当被积函数中存在形如f(g(x))g'(x)的部分时，可以选择g(x)作为新的变量进行替换。

然后利用链式法则计算新的微分形式，将原来的积分转化为新变量的积分。

2. 三角换元法：当被积函数中存在形如sin(x)或cos(x)等三角函数时，可以选择三角函数的反函数作为新的变量进行替换。

然后利用三角函数的导数和反函数的导数计算新的微分形式，将原来的积分转化为新变量的积分。

三、分部积分法分部积分法是一种常用的定积分计算方法，通过将积分中的乘积拆解为两个函数的乘积，利用分部积分公式进行计算。

分部积分法的关键是选择合适的分部函数和求导函数。

分部积分公式为∫u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-∫v(x)u'(x)dx。

定积分的换元积分法和分部积分法

计算0
1
ln(1 x ) dx. 2 (2 x )
解
0
1
1 ln(1 x ) 1 dx 0 ln(1 x )d 2 (2 x ) 2 x
1
1 1 ln(1 x ) 0 2 x d ln(1 x ) 2 x 0
1 ln 2 1 1 1 1 dx 0 2 x 1 x 3 1 x 2 x ln 2 5 1 ln(1 x ) ln(2 x )0 ln 2 ln 3. 3 3

则有 a f ( x )dx f [ ( t )] ( t )dt .
首页上页
b
下页
证
设F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数，
a f ( x )dx F (b) F (a ),
b
( t ) F [( t )],
dF dx f ( x ) ( t ) f [( t )]( t ), ( t ) dx dt
0 0

f (sin x )dx xf (sin x )dx, 0 0 xf (sin x )dx f (sin x )dx. 0 2 0
0

x sin x sin x dx dx 2 2 2 0 1 cos x 1 cos x
解
令则
u x,
dv sinxdx,
du dx, v cos x ,

0

4 0
4 x sin xdx x cos x 0 4 cos xdx
2 sin x 8

4 0
2 2 2 8

定积分的换元积分法和分部积分法

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返回
例2 计算
x

ln 8
ln 3
1 e x dx .
ln(t2
2 td t - 1) ， dx 2 . t 1
解令 1 e t, 则 x =
x ln3 ln8 t 2 3
于是
3

ln 8
ln 3
1 e x dx 2
3 1 2t 2 dt dt 22 1 2 2 t 1 t 1
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例13 解
计算

1
0
(arcsinx )3dx.
先换元，再分部积分.
x 0 1 令 arcsinx = t， = sin t， dx = cos tdt，则 x ， t 0 2 1
0 2 0
于是

(arcsinx )3dx 2 t 3 cos tdt .

2 0
e 2 [e x cos x ]02 e x sin xdx
2 0
e 2 1 2 e x sin xdx

移项，解得
上一页
1 e x sin xdx (e 2 1) 2
下一页
0
返回
e x dx. 例10 计算 0
1
解先换元，后分部积分.
1
解令 x t，则 x = t2 ，dx = 2tdt，
于是
1 2t dx 0 1 x 0 1 t dt
x 0 1 ， t 0 1
1
1 2 1 dt 0 1 t
1
2t ln | 1 t | 0 2 2 ln 2.

定积分的换元法和分部积分法

1 2
-
0
ò
1 2
x 1- x
2
dx
0
1 1 2 π 2 -21 + ò (1- x ) d(1- x 2 ) = 2 0 12
π = 12
+ (1- x )
2
1 2
1 2
π 3 = + 12 2
0
- 1
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返回
结束
x 练习计算(1) x arctanxdx (2) 2 e sinxdx 0 0
目录上页下页返回结束
( 2)
0

2
e sinxdx
x
2 e x d cos x
0

e x cos x

2
0
2 e x cos xdx
0

1 02 e x d sin x
1 [(e sin x ) e x sin xdx]
x
2 2
当 x = 0 时, t = 0;
p 2
且
x = a 时, t = π . 2
0
∴ 原式 = a
a = 2
2
2
ò
π 2
cos t d t
2
y
y=
a2 - x2
ò
(1 + cos 2 t ) dt
π 2
0
a 1 = ( t + sin 2t ) 2 2
2
O
a x
0
目录上页下页返回结束
+ 解: 令 t = 2 x + 1,
t2- 1 x= , dx = t dt , 2 则

第五章第4节定积分的换元法和分部积分法

sin
3
x sin
5
5
x cos x sin x 2
3
0

sin
3
x sin
3
x dx

0

cos x sin x 2 dx
3
3

0
2
cos x sin x 2 dx
3
cos x sin x 2 dx
2 3
0 sin x 2 d sin
3

( t 3) d t
2
1
3 1 1 3 22 ( t 3t ) 2 3 3 1
6
例３
计算 0
x 2
cos
0
5
2
cos
5
x sin xdx .
解
令 t cos x ,
2
dt sin xdx ,
t 0,
x sin xdx
5
x 0 t 1,

a
a x d x (a 0).
2 2
0
解: 令 x a sin t , 则 d x a cos t d t , 且当 x 0 时 t 0 , x a 时 t
2
∴ 原式 = a

2
2

2
cos t d t
(1 cos 2 t ) d t 1 2

2
0

2
a
2 a
则有 f ( x )dx
a
b

f [ ( t )] ( t )dt .
2
证

定积分的换元法与分部积分法

原式
2
ln1xe1
011
(3) 2 cos5xsinxdx. 0
解
2
co5sxsinxdx 2co5sxdcoxs
cos
6
x
2
1
.
0
0
6
6
0
4
2
sinx dx
0
2
2
解 0 sinxd x 0sinx d x sinx d x
cosx0cosx2 1 1 1 1 4
即Φ(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数。
证 (x x)x xf(t)dt
a
xx
x
( x x ) ( x ) f(t)d t f(t)dt
a
a
x
x x
x
xx
af( t) d t x f( t) d a tf( t) dt x f(t)dt,
由积分中值定理得 f() x [x ,x x ],
求定积分问题转化为求原函数的问题.
注意
当a
b时， b a
f
(
x)dx
F
(b)
F
(a)
仍成立.
例2 求下列定积分
1 1 x 2dx 0
解因为y x 2 在 [ 0 , 1 ] 上连续，y 1 x 3 是它的一个原函数 3
所以
1x2dx
0
(1x3) 3
1 0
1 3
2 2 dx
e11 x
解
1lnx5 5
e 1
1 5
凑微分d ln x
不换元则不变限
另解原式
u lnx
1u 4du
0
1 5
u5

定积分换元法与分部积分法

定积分换元法与分部积分法在微积分中，求解定积分是一个常见的问题。

为了解决这一问题，数学家们发展出了一系列的积分技巧和方法。

其中，定积分换元法和分部积分法是两种常用的方法。

1. 定积分换元法定积分换元法，也经常被称为反链式法或者u-置换法，是一种通过变量替换的方法来求解定积分的方法。

其基本思想是：将被积函数中的一个变量替换为一个新的变量，使得原来的被积函数在新的变量下形式简化。

换元法的一般步骤如下：1.选择一个合适的变量替换，通常使用一个新的变量来替换被积函数中的一个变量。

2.计算新的变量对应的微元变量，并求得其微分。

3.将原来的被积函数表示为新的变量的函数，并对其进行简化。

4.计算新的定积分，并将结果转换回原来的变量。

通过这种换元法，我们可以简化复杂的被积函数，从而更容易求解定积分。

下面通过一个实例来进一步说明定积分换元法的具体步骤。

示例：求解定积分 $I = \\int_{1}^{2} \\frac{1}{x^2} dx$步骤1：选择合适的变量替换。

我们选取新变量u=x2，则du=2xdx步骤2：计算新变量对应的微元变量。

由du=2xdx，可以得到 $dx =\\frac{du}{2x}$步骤3：将原被积函数表示为新的变量的函数，并进行简化。

将x表示为u的函数，则 $x = \\sqrt{u}$。

将被积函数 $\\frac{1}{x^2}$ 替换为 $\\frac{1}{u}\\cdot \\frac{1}{2\\sqrt{u}} = \\frac{1}{2u\\sqrt{u}}$步骤4：计算新的定积分，并转换回原变量。

将积分的上下限也用新的变量表示，则新的定积分为 $I = \\int_{1}^{4} \\frac{1}{2u\\sqrt{u}} \\cdot\\frac{du}{2x}$。

对新的定积分进行计算，得到 $I = \\frac{1}{4}\\left( \\frac{1}{\\sqrt{4}} - \\frac{1}{\\sqrt{1}} \\right) = \\frac{1}{8} -\\frac{1}{4} = -\\frac{1}{8}$通过定积分换元法，我们成功求解了该定积分的值。

定积分的换元积分法与分部积分法

定积分的换元积分法与分部积分法教学目的：掌握定积分换元积分法与分部积分法难点：定积分换元条件的掌握重点：换元积分法与分部积分法由牛顿－莱布尼茨公式可知，定积分的计算归结为求被积函数的原函数．在上一章中，我们已知道许多函数的原函数需要用换元法或分部积分法求得，因此，换元积分法与分部积分法对于定积分的计算也是非常重要的．1．定积分换元法定理假设(1) 函数)(x f 在区间],[b a 上连续；(2) 函数)(t x ϕ=在区间],[βα上有连续且不变号的导数；(3) 当t 在],[βα变化时，)(t x ϕ=的值在],[b a 上变化，且b a ==)(,)(βϕαϕ，则有[]dt t t f dx x f ba⎰⎰'=βαϕϕ)()()(． (1)本定理证明从略．在应用时必须注意变换)(t x ϕ=应满足定理的条件，在改变积分变量的同时相应改变积分限，然后对新变量积分．例1 计算⎰-211dx xx ．解令t x =-1，则tdt dx t x 2,12=+=．当1=x 时，0=t ；当2=x 时，1=t ．于是⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⋅+=-102102211112211dt t tdt t t dx x x ⎪⎭⎫⎝⎛-=-=412)arctan (210πt t ．例2 计算⎰-adx x a 022)0(>a ．解令t a x sin =，则tdt a dx cos =．当0=x 时，0=t ；当a x =时，2π=t ．故⎰-adx x a 022dt t a t a ⎰⋅=20cos cos πdt t a )2cos 1(2202+=⎰π2022sin 212π⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=t t a42aπ=．显然，这个定积分的值就是圆222a y x =+在第一象限那部分的面积(图5－8)．例3 计算⎰205sin cos πxdx x ．解法一令x t cos =，则xdx dt sin -=．当0=x 时，1=t ；当2π=x 时，0=t ，于是6161sin cos 01650125=-=-=⎰⎰t dt t xdx x π．解法二也可以不明显地写出新变量t ，这样定积分的上、下限也不要改变．即x d x xdx x cos cos sin cos 205205⎰⎰-=ππ61610cos 61206=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=πx ．此例看出：定积分换元公式主要适用于第二类换元法，利用凑微分法换元不需要变换上、下限．例4 计算dx x ⎰-π0sin 1．解dx x ⎰-πsin 1⎰-=π2cos 2sindx xx 注去绝对值时注意符号．=⎰⎰-+-πππ220)2cos 2(sin )2sin 2(cos dx xx dx x x=222(sin cos )2(cos sin )2222x x x xπππ+--=)12(4-．例5 计算⎰+π2sin 3sin dx xx ．解设x t cos =，则当0=x 时，1=t ；当π=x 时，1-=t ．⎰+π2sin 3sin dx xx =⎰⎰---=--1111224141dt tdt t11arcsin23t π-==．例6 设)(x f 在],[a a -上连续，证明： (1) 若)(x f 为奇函数，则0)(=⎰-aa dx x f ；(2) 若)(x f 为偶函数，则dx x f dx x f aa a)(2)(0⎰⎰=-．证由于dx x f dx x f dx x f aaaa)()()(0⎰⎰⎰+=--,对上式右端第一个积分作变换t x -=，有dt t f dt t f dx x f aaa)()()(00-=--=⎰⎰⎰-dx x f a)(0-=⎰．故dx x f x f dx x f aaa)]()([)(0+-=⎰⎰-．(1) 当)(x f 为奇函数时，)()(x f x f -=-，故00)(0==⎰⎰-dx dx x f aaa．(2) 当)(x f 为偶函数时，)()(x f x f =-，故dx x f dx x f dx x f aaaa)(2)(2)(0⎰⎰⎰==-．利用例6的结论能很方便地求出一些定积分的值．例如0sin 6=⎰-xdx x ππ．⎰⎰---+=-+1122112)424()4(dx x x dx x x 80411=+=⎰-dx ．2．定积分的分部积分法设函数)(x u 与)(x v 均在区间],[b a 上有连续的导数，由微分法则vdu udv uv d +=)(，可得vdu uv d udv -=)(．等式两边同时在区间],[b a 上积分，有vdu uv udv baba ba⎰⎰-=)(． (2)公式(2)称为定积分的分部积分公式，其中a 与b 是自变量x 的下限与上限．例7 计算xdx eln 1⎰．解令dx dv x u ==,ln ，则x v xdxdu ==,．故 xdx x x x xdx e ee⋅-=⎰⎰111]ln [ln 1)1()0(=---=e e ．例8 计算xdx x 3cos 0⎰π．解x xd xdx x 3sin 313cos 00⎰⎰=ππ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰xdx x x 3sin 3sin 3100ππ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=π03cos 31031x 92-=．例9 计算⎰+42cos 1πdx xx．解⎰+42cos 1πdx x x =⎰⎰=4042tan 21cos 2ππx xd dx x x=)tan tan (214040⎰-ππxdx x x =)cos ln 4(2140ππx +=2ln 418-π．例10 计算⎰403sec πxdx ．解⎰⎰⎰=⋅=40402403tan sec sec sec sec πππx xd xdx x xdxxdx x x x x tan sec tan tan sec 4040⋅-=⎰⎰ππxdx x sec )1(sec 2240--=⎰π⎰⎰+-=40403sec sec 2ππxdx xdx40403)tan ln(sec sec 2ππx x xdx ++-=⎰)12ln(sec 2403++-=⎰πxdx ．即 )12ln(2sec 2403++=⎰πxdx 注移项得．故 )12ln(2122sec 43++=⎰πxdx ．例11 计算dx e x ⎰10．解先用换元法，令t x =，则tdt dx t x 2,2==．当0=x 时，0=t ；当1=x 时，1=t ．于是dt te dx e t x⎰⎰=112．再用分部积分法，得dx e x ⎰111122()t t t tde t e e dt ==-⎰⎰2)]1([2=--=e e ．小结：1．定积分换元积分定理：假设 (1) 函数)(x f 在区间],[b a 上连续；(2) 函数)(t x ϕ=在区间],[βα上有连续且不变号的导数；(3) 当t 在],[βα变化时，)(t x ϕ=的值在],[b a 上变化，且b a ==)(,)(βϕαϕ．则有[]dt t t f dx x f ba⎰⎰'=βαϕϕ)()()(．2．定积分分部积分法：设函数)(x u 与)(x v 均在区间],[b a 上有连续的导数，则有vdu uv udv baba ba⎰⎰-=)(．。

定积分的换元法和分部积分法

微积分基本公式
不定积分法
定积分法，
且使用方法与相应的不定积分法类似。
一、定积分的换元法
我们知道，不定积分的换元法有两种，下面就分别介绍对应于这两种换元法的定积分的换元法。
1. 第一类换元积分法（凑微分法）
设函数 f ( x) 在区间 [a, b]上连续， f (x)dx F( x) C
那么
b a
0
1
1
t
)dt
2t
ln
|
1
t
|
2 0
4 2ln3
（2）根号下为 x 的二次式
例8 计算
1
2
0
x2 dx 1 x2
解设 x sint， π t π ，则 dx cos t dt，
2
2
且当 x 0 时，t 0；当 x 1 时，t π，因此
2
6
1 2 0
x2 dx 1 x2
0
分部积分
t sint
6
0
6 sintdt
0
1 62
[
cos
t
]6 0
3 1.
12 2
例16
计算
e-1
ln(1
x)dx
0
解
e-1
ln(1
x)dx
e-1
ln(1
x)d( x)
0
0
x
ln(1
x)
e1 0
e1
0
xd
ln(1
x)
e
1
e-1 0
x
1
1
x
dx
e
1
e-1 0
(1
1
1
x

定积分的换元积分法与分部积分法

解：对 p 1,

a
dx (a 0) p x
收敛或发散

b
1
1 1 1 p 1 p 1 ( b ) x dx x p 1 p 1 p 1
p
重要的问题是b的指数是正数还是负数. 假如是
负数, 则当b趋向无穷时, b–p+1趋向于0. 若指数为
正数,则b–p+1当b趋于无穷时无界增长. 因此, 若–

a
udv uv a vdu .
a
回忆：：
定积分的分部积分公式
不定积分的分部积分公式为 :

udv uv vdu .
例1. 计算
解: 原式 =
x arctan x
1 2
1 0

1
0
1 1 2 d (1 x ) 2 4 2 0 1 x
1 2 ln( 1 x ) 2 4 0 1 ln 2 2 4
当p>1时积分有值

1
b 1 1 1 1 p 1 b ) dx lim p dx lim ( p b p 1 b 0 x p 1 x
1 1 ( ) p 1 p 1
定理1 (比较判别法) [a,), g ( x) f ( x) 0, 设且f ( x)， ( x)于[a,)内有界, 则 g (1) 当 a g ( x)dx 收敛时，a f ( x)dx 也收敛； (2) 当
1
dx 增长且无界, x
y 1 x
dx 发散. y x
1
b
dx x
0
1
b
x
2. 其它情形意义

第4节定积分的换元法与分部积分法

4 1 0

1 0
1 x

1 0
ax dx

a 4
4
即
a

1 0
f ( x )d x

3
7/9/2013 12:56 AM
第6章
函数的积分
7. 设
f (x)
F 是连续函数， ( x ) 是 f ( x ) 的原
函数，则（ A ）
(A) (B ) (C ) (D) F 当 f ( x ) 是奇函数时， ( x ) 必是偶函数 F 当 f ( x ) 是偶函数时， ( x ) 是奇函数
dx )
8(e 2e 2
7/9/2013 12:56 AM
x
) 8(e 2 )
第6章
函数的积分
例9 设
解
f (x)

x 1
2
sin t t
2 2
dt ,

2
求
2
1
x f ( x )d x
0
f ( x ) 2 x
x f ( x )d x
2 1 0
sin x x
，

x 1
3
f ( t ) d t ln x ,
求
x 1
3
f (e ) 。
3
解
ln x
3

1
3 ( t ) d t f ( x ) f (1 ) f ( x ) f
令
u x ,
得
f ( u ) ln
3
u
1 3
ln u
f (e )
3
思考是否还有其它方法？

定积分的换元法与分部积分法

1 2

2 dt
0
2 0
d
sin t cost
sin t cost

1 2

2

1 ln
2
sin
t

cos
t

2 0
.
4
例 4 当 f ( x)在[a, a]上连续，且有
① f ( x)为偶函数，则
a
a
f
( x)dx

a
20
f
(
x)

d dx
x
a
f (t )dt

f (x)
即Φ(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数。
证
xx
( x x) a f (t)dt
x x
x
( x x) ( x) f (t)dt f (t)dt
a
a
x
x x
x
x x
a f (t)dt x f (t)dt a f (t)dt x f (t)dt,
而 st vt
连续函数 f x 在区间 a, b 上的定积分等于它的一个
原函数 F x 在积分区间上的增量 F b F a ？
◆微积分基本公式——牛顿—莱布尼兹公式
设 f x 在区间 a, b上连续，F x 是它的任意一个原函数，
则有
b f x dx F b F a
a
0
a
f (x)dx f (x)dx f (x)dx
a
a
0
a
a
a
a
0 f ( x)dx 0 f (x)dx, 0 f ( x)dx 0 f (x)dx,

定积分的换元法与分部积分法

∫
∫
π 0
x 2 cos xdx
(C)例4.
∫
解：原式 = ∫ 02 sin xde x = e x sin x 02 − ∫ 02 e x d sin x
π 2 x 0 π
e sin xdx
π π
π 2 π 2 x 0 π 2 0 π 2 0 π 2 0
= e − ∫ e cosxdx
= e − ∫ cosxde x
x2
2
2
(2) ∫
2 1
e dx 2 x
2 1
1 x
解： ∫
1 １ e 1 2 2 x dx = − ∫ 1 e d =[et ]1 = e − e x x2
1 x
(B)练习1.计算下列定积分
(1) ∫ 0 x sin x dx
2 π
( 2) ∫
e3 1
2 1 π 2 e 3 d (1 + ln x ) 解：原式 = ∫ 0 sin x dx 解：原式 = ∫ 1 2 1 + ln x 1 e3 2 π = 2 1 + ln x 1 = − cos x 0 2 =2 =1
当x = 0时，t = 0; 当x = 4时，t = 2.
则
∫
4 0
2 e x dx = 2∫ 0te t dt
2 2 2 = [tet ]0 − ∫ 0 et dt = 2e 2 − [et ]0
= e2 + 1
4 ∴ ∫ 0 e x dx = 2(e 2 + 1)
(C)练习4.求下列定积分：
(1) ∫ e cos xdx
2
1 9 t 1 t 9 1 9 ∴ ∫ xe dx = ∫ 0 e dt = [ e ]0 = (e − 1) 2 2 2 另解： (凑微分法) 1 3 x2 2 3 x ∫ 0 xe dx = 2 ∫ 0e dx 1 1 = [ e x ] 3 = (e 9 − 1) 0 2 2 注：两种方法比较可知凑微分法简洁明了。

定积分的换元积分法与分部积分法

1 0
f (2x)dx
1
f (2)
1
1
f (2x)d(2x)
2
40
1 2
f
(2)
1f
4
(
2
x
)
1 0
5 1 f (2) f (0) 2.
24
23
定积分的换元法和分部积分法
思考题试检查下面运算是否正确?
如令x 11 dx11Fra bibliotek x2t
1 1
1
1
1 t2
d
1 t
1 dt 11 t 2
0t
x2
0
sinu
u
du x
x2 sin u du
0u
原式 lim x0
x
x2 sin u du 0u
x2
0
lim
sin x2 x2
2x
1
0 x0
2x
17
定积分的换元法和分部积分法
二、定积分的分部积分法
definite integral by parts
定理2 设 u( x),v( x)在区间[a,b]上有连续的导数,
x3 sin2 x4 2x2
x
dx 1
0
1 4 x2dx 2 1 4 x2dx
1
0
2 x5 x4 x3 x2 2dx
2
1x2
奇
偶
2 2
x15xx23dx
2 x4 x2 2 2 1 x2 dx
02
2 0
x4 x2 1 x2
2dx
8 3
12
定积分的换元法和分部积分法
2
0 20
2

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例5
计算
1
2x2xcoxs dx.
1 1 1x2
解
原式
1 1
2x2 1 1x2
1
dx1
xcoxs 1 1x2
dx
偶函数
奇函数
1
40
1
x2 1x2
dx401
x21(1(11x2x)2)dx
40 1(11x2)dx 4401 1x2dx
4.
单位圆的面积
1
例6 计算 2arcsixndx. 0
4
xdx
0 1cos2x
4
xdx
0 2cos2 x
4
xdtanx
02
12xtanx04
1 2
4
0
tanxdx
812lnsexc0 4
8
ln2 4
.
例3 药物从患者的尿液中排出,一种典型的排
泄速率函数是 r(t)te,kt其中k是常数.求在时间
间隔 0,T 内,排出药物的量D
解
计算 si3n xsi5n xd.x 0 3
f(x )s3 ix n s5 ix n coxssinx2
si3n xsi5n xdx
coxssin x2 3dx
0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
3
2coxssinx2dx
0
coxssinx23dx
3
2 sinx2dsinx
0
2
sinx23dsinx
2
sin
x
相应的改变 .
（2）求出f[(t)](t)的一个原函数 (t)后，不
必象计算不定积分那样再要把 (t)变换成原变量 x的函数，而只要把新变量 t的上、下限分别代入 (t)然后相减就行了 .
例2 解
导数，则有 a budvub a va bvd.u
定积分的分部积分公式
推导
uvuvuv, ab(uv)dxuvba,
ub a va bu vd xa bu vd,x
budvuvb
b
vd.u
a
aa
例7
计算 4
xdx .
0 1cos2x
解 1 c2 o x 2 s c2 o x , s
5
2
2
2
2 sin
5
x 2
4.
5
05
5
2
例3
计算
a
1 d.x(a0)
0 xa2x2
解令 xasitn , d xaco tds , t
xa t , x0t0,
2
原式 2
acots
dt
0 asitn a2(1si2nt)
2 0
cots dt sintcots
1
2
20
1sciotn t scsiottnsdt
0
a
0
a
f(x)dxa f(t)dt0
f
(t)dt,
① f(x )为偶函数，则 f(t)f(t),
a af(x )d x 0 af(x )d x 0 af(x )dx
a
20 f(t)d;t
② f(x )为奇函数，则 f( t)f(t),
a
0
a
af(x )d x af(x )d x 0f(x )d0x .
D
T
r(t)dt
T tektdt
0
0
k1(tektT0
Tektdt)
0
Tk
ekt
1 k2
ekt T 0
1 k2
ekT(T kk12)
（ 2 ）函数 x(t)在 [,]上是单值的且有连续
导数；
（3）当 t在区间 [,]上变化时，x(t)的值在 [a,b]上变化，且 ()a、 ()b，
则有 a bf(x )d x f[(t)](t)d.t
应用换元公式时应注意:
（1）用 x ( t) 把变量 x 换成新变量 t时，积分限也
1 2 21 2ln sitn cots0 2
4
.
例4 当 f ( x)在[a, a]上连续，且有
① f ( x)为偶函数，则
a
a
f
( x)dx
a
20
f
( x)dx；
②
f
(
x
)
为奇函数，则
a
a
f
( x)dx
0.
证
a
0
a
f(x )d xf(x )d xf(x )d,x
a
a
0
在 0 af(x ) d 中令 x x t,
解令 uarcsx,indvdx,
则 du dx , vx, 1 x2
1 2 0
arcsixndxxarcsxin012
1 2
0
xdx 1 x2
1 26
1
1 2
20
1 d(1x2) 1x2
12
1
1x2
2
0
31.
12 2
（二）分部积分公式
设函数 u(x)、 v(x)在区间 a,b上具有连续
第四小节定积分的换元积分法和分部积分法
例1 计算 2 co5sxsinxd.x 0
解 2co s5xsin x d x = -2co s5x dco sx
0
0
令 tcox,s
x t0, x0t1,
2
原式
0 t5dt
t6 1
1.
1
60 6
（一）换元积分法
定理假设
（1） f ( x)在[a, b]上连续；

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定积分的换元积分法与分部积分法

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定积分计算方法总结

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