一次函数面积问题专题含答案解析

【期末复习】浙教版八年级上册提分专题：一次函数与几何图形面积探究考点一 一次函数图象与坐标轴围成图形的面积 【知识点睛】❖ 求三角形面积时，三角形有边在水平或者竖直边上，常以这条边为底，再由底所对顶点的坐标确定高； 类型一 一条直线与坐标轴围成的三角形面积 解题步骤：①求出直线与x 轴、y 轴的交点坐标，从而得出直线与坐标轴围成的直角三角形的两条直角边长； ②利用三角形面积公式求出三角形的面积 【类题训练】1．已知一次函数图象经过A （﹣4，﹣10）和B （3，4）两点，与x 轴的交于点C ，与y 轴的交于点D ． （1）求该一次函数解析式；（2）点C 坐标为 ，点D 坐标为 ；（3）画出该一次函数图象，并求该直线和坐标轴围成的图形面积．【分析】（1）用待定系数法求直线AB 的解析式； （2）令y ＝0求得点C 的坐标，令x ＝0求得点D 的坐标；（3）利用已知的点A 和点B 画出一次函数的图象，然后利用求得的点C 和点D 求出OC 和OD 的长度，最后求得直线和坐标轴围成的图形面积．【解答】解：（1）设一次函数的解析式为y ＝kx +b （k ≠0），则，解得：，∴一次函数的解析式为y ＝2x ﹣2．（2）当x ＝0时，y ＝﹣2，当y ＝0时，x ＝1， ∴C （1，0），D （0，﹣2）． 故答案为：（1，0），（0，﹣2）．（3）由点A和点B，可以画出一次函数的图象，如下如所示，∵C（1，0），D（0，﹣2），∴OC＝1，OD＝2，∴S△OCD＝＝1，∴一次函数与坐标轴围成的图形的面积为1．2．在平面直角坐标系中，一条直线经过A（﹣1，5），与B（3，﹣3）两点．（1）求这条直线与坐标轴围成的图形的面积．（2）若这条直线与y＝﹣x+1交于点C，求点C的坐标．【分析】（1）根据待定系数法求得直线的解析式，进一步求出直线与x轴和y轴的交点坐标，然后根据三角形面积公式求解；（2）联立方程，解方程即可．【解答】（1）解：设直线解析式为y＝kx+b（k≠0），将A（﹣1，5），与B（3，﹣3）两点代入得，解得，∴直线解析式为y＝﹣2x+3，将x＝0代入得y＝3，∴与y轴交于点（0，3），将y=0代入得x＝，∴与x轴交于点（，0），∴S＝×3×＝．（2）解得，∴点C的坐标是（2，﹣1）．变式．已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点（2，0），且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则这个一次函数的解析式是．【分析】先根据一次函数y＝kx+b（k≠0）图象过点（2，0）可知b＝﹣2k，用k表示出函数图象与y轴的交点，再利用三角形的面积公式得到关于k的方程，解方程即可求出k的值．【解答】解：∵一次函数y＝kx+b（k≠0）图象过点（2，0），∴2k+b＝0，b＝﹣2k，∴y＝kx﹣2k，令x＝0，则y＝﹣2k，∵函数图象与两坐标轴围成的三角形面积为1，∴×2×|﹣2k|＝1，即|2k|＝1，解得：k＝±，则函数的解析式是y＝x﹣1或y＝﹣x+1．故答案为y＝x﹣1或y＝﹣x+1．类型二两条直线与坐标轴围成的三角形面积解题标准：在平面直角坐标系内求三角形的面积，通常以坐标轴上的边为底，高就是底所对的顶点到这条边的距离【类题训练】1．如图，若直线y＝﹣2x+1与直线y＝kx+4交于点B（﹣1，m），且两条直线与y轴分别交于点C、点A；那么△ABC 的面积为．【分析】根据B点在直线y＝﹣2x+1上，且横坐标为﹣1，求出B点的坐标，再根据直线y＝kx+4过B点，将（﹣1，3）代入直线y＝kx+4解析式，即可求出答案，根据已知得出B点的坐标，再根据直线y＝﹣2x+1和直线y＝x+4求得与y轴交点A和C点的坐标，再根据三角形的面积公式得出S△ABC．【解答】解：∵B点在直线y＝﹣2x+1上，且横坐标为﹣1，∴y＝﹣2×（﹣1）+1＝3，即B点的坐标为（﹣1，3）又直线y＝kx+4过B点，将（﹣1，3）代入直线y＝kx+4得：3＝﹣k+4，解得k＝1；∴直线AB的解析式为y＝x+4，∴直线AB与y轴交点A的坐标为（0，4），∵直线y＝﹣2x+1与y轴交点C的坐标为（0，1），∴AC＝4﹣1＝3，∴S△ABC＝AC•|x B|＝×3×1＝．故答案为．2．如图，直线l1：y＝﹣2x+b与直线l2：y＝kx﹣2相交于点P（1，﹣1），直线l1交y轴于点A，直线交y轴于点B，则△PAB的面积为．【分析】利用一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）可得直线l1与直线l2：与y轴交点，然后可求出△PAB 的面积．【解答】解：∵直线l1：y＝﹣2x+b与直线l2：y＝kx﹣2相交于点P（1，﹣1），∴﹣1＝﹣2×1+b，解得：b＝1，∴A点坐标为（0，1），∵直线l2：y＝kx﹣2交y轴于B，∴B（0，﹣2），∴AB＝3，∴△PAB的面积为：3×1＝，故答案为：．变式．已知直线y＝kx﹣4（k＜0）与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，则直线的解析式为（）A．y＝﹣x﹣4 B．y＝﹣2x﹣4 C．y＝﹣3x+4 D．y＝﹣3x﹣4【分析】首先求出直线y＝kx﹣4（k＜0）与两坐标轴的交点坐标，然后根据三角形面积等于4，得到一个关于k 的方程，求出此方程的解，即可得到直线的解析式．【解答】解：直线y＝kx﹣4（k＜0）与两坐标轴的交点坐标为（0，﹣4）（，0），∵直线y＝kx﹣4（k＜0）与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，∴4×（﹣）×0.5＝4，解得k＝﹣2，则直线的解析式为y＝﹣2x﹣4．故选：B．类型三三条直线围成的三角形面积解题标准：在平面直角坐标系内求三角形的面积，通常以坐标轴上的边为底，高就是底所对的顶点到这条边的距离【类题训练】1．如图，已知点A（2，4），B（﹣2，2），C（4，0），求△ABC的面积．【分析】先利用待定系数法求直线AB的解析式，再确定直线AB与x轴的交点D的坐标，然后根据三角形面积公式和以S△ABC＝S△ACD﹣S△BDC进行计算．【解答】解：设直线AB的解析式为y＝kx+b，把A（2，4）、B（﹣2，2）代入得，解得．所以直线AB的解析式为y＝x+3，当y＝0时，y＝x+3＝0，解得x＝﹣6，则D点坐标为（﹣6，0），所以S△ABC＝S△ACD﹣S△BDC＝×（4+6）×4﹣×（4+6）×2＝10．2．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D（0，﹣6）在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处，直线CD交AB于点E．（1）求点A、B、C的坐标；（2）求△ADE的面积；（3）y轴上是否存在一点P，使得S△PAD＝S△ADE，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A ，B 的坐标，在Rt △AOB 中，利用勾股定理可求出AB 的长度，由折叠的性质可得出AC ＝AB ，结合OC ＝OA +AC 可得出OC 的长度，进而可得出点C 的坐标；（2）根据点E 为直线AB 与直线CD 的交点，联立两直线解析式可求出点E 坐标，再由△ADE 和△ADB 组成△BDE ，得△ADE 的面积=△BDE 的面积-△ABD 的面积，即可求出△ADE 的面积；（3）假设存在，设点P 的坐标为（0，m ），则DP ＝|m +6|，利用三角形的面积公式可得出关于m 的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）当x ＝0时，y ＝﹣x +4＝4， ∴点B 的坐标为（0，4）； 当y ＝0时，﹣x +4＝0， 解得：x ＝3，∴点A 的坐标为（3，0）． 在Rt △AOB 中，OA ＝3，OB ＝4， ∴AB ＝＝5．由折叠的性质，可知：∠BDA ＝∠CDA ，∠D ＝∠C ，AC ＝AB ＝5， ∴OC ＝OA +AC ＝8， ∴点C 的坐标为（8，0）． （2）∵C （8，0），D （0，﹣6）， ∴直线CD 的解析式为：y=43x-6， ∵点E 为直线AB 与直线CD 的交点．由⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=643434x y x y 求得点E 坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛512-524，， ∴S △ADE ＝S △BDE ﹣S △ABD ＝BD •|x E |﹣BD •|x A |＝9（3）假设存在，设点P 的坐标为（0，m ），则DP ＝|m +6|． ∵S △PAD ＝S △ADE ，即DP •OA ＝×OD •OA ，∴|m+6|＝3，解得：m＝﹣3或m＝﹣9，∴假设成立，即y轴上存在一点P（0，﹣3）或（0，﹣9），使得S△PAD＝S△ADE．3．如图，已知：直线AB：分别与x轴、y轴交于点A、B，直线CD：y＝x+b分别与x轴、y轴交于点C、D，直线AB与CD相交于点P，S△ABD＝2．求：（1）b的值和点P的坐标；（2）求△ADP的面积．【分析】（1）首先根据分别与x轴、y轴交于点A、B可求得A、B坐标，然后根据S△ABD＝2可求得D点坐标，代入直线CD：y＝x+b可求得b，直线AB与CD相交于点P，联立两方程可求得P点坐标．（2）可把S△ADP的面积分解为S△ABD+S△BDP，而S△BDP＝|x P|，即可求得．【解答】解：（1）∵直线AB：分别与x轴、y轴交于点A、B，令y＝0则x＝﹣2，A（﹣2，0），令x＝0则y＝1∴B（0，1），又∵S△ABD＝2∴|BD|•|OA|＝2而|OA|＝2∴|BD|＝2，又B（0，1），∴D（0，﹣1）∴b＝﹣1；∵直线AB与CD相交于点P，联立两方程得：，解得x＝4，y＝3，∴P（4，3）；（2）由图象坐标可知：S△ADP＝S△ABD+S△BDP＝2+|x P|＝6或S△ADP＝S△PAC+S△DAC＝|y P|）＝×3×（1+3）＝6．4．已知直线m经过两点（1，6）、（﹣3，﹣2），它和x轴、y轴的交点式B、A，直线n过点（2，﹣2），且与y轴交点的纵坐标是﹣3，它和x轴、y轴的交点是D、C；（1）分别写出两条直线解析式，并画草图；（2）计算四边形ABCD的面积；（3）若直线AB与DC交于点E，求△BCE的面积．【分析】（1）利用待定系数法可分别求出直线AB的解析式为y＝2x+4；直线CD的解析式为y＝x﹣3；然后利用两点确定一直线画函数图象；（2）利用坐标轴上点的坐标特征确定A点坐标为（0，4）＝B点坐标为（﹣2，0）、D点坐标为（6，0），然后根据三角形面积公式和四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△CBD进行计算；（3）根据一次函数的交点问题通过解方程组得到E点坐标，然后利用△BCE的面积＝S△EBD﹣S△CBD进行计算．【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，把（1，6）、（﹣3，﹣2）代入得，解得．所以直线AB的解析式为y＝2x+4；设直线CD的解析式为y＝mx+n，把（2，﹣2）、（0，﹣3）代入得，解得，所以直线CD的解析式为y＝x﹣3；如图所示；（2）把x＝0代入y＝2x+4得y＝4，则A点坐标为（0，4）；把y＝0代入y＝2x+4得2x+4＝0，解得x＝﹣2，则B点坐标为（﹣2，0）；把y＝0代入y＝x﹣3得x﹣3＝0，解得x＝6，则D点坐标为（6，0），所以四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△CBD＝×（6+2）×4+×（6+2）×3＝28；（3）解方程组得，所以E点坐标为（﹣，﹣），所以△BCE的面积＝S△EBD﹣S△CBD＝×（6+2）×﹣×（6+2）×3＝．变式．已知点A（2，4），B（﹣2，2），C（x，2），若△ABC的面积为10，求x的值．【分析】审题知B、C纵坐标相等，所以BC是一条平行于x轴的直线，所以A到BC的距离为2，而且B、C两点之间的距离可用两点的横坐标之差的绝对值表示，即x+2的绝对值．已知三角形的面积为10，依此列出方程求解即可．【解答】解：由B、C纵坐标相等，所以BC是一条平行于x轴的直线，所以A到BC的距离为4﹣2＝2，BC＝|x ﹣（﹣2）|＝|x+2|，因为△ABC的面积为10，所以×2×|x+2|＝10，|x+2|＝10，x+2＝10，或x+2＝﹣10，解得：x＝8，或x＝﹣12．考点二一次函数图象与几何图形动点面积【知识点睛】❖此类问题需要将动点所在几何图形与一次函数图象同时分析，对照一次函数图象得出动点所在几何图形的边长信息❖对函数图象的分析重点抓住以下两点：①分清坐标系的x轴、y轴的具体意义②特别分析图象的拐点——拐点一般表示动点运动到几何图形的一个顶点❖动点所在几何图形如果是特殊图形，如等腰三角形、等腰直角三角形、含30°的直角三角形，注意对应图形性质与辅助线的应用。

一次函数之面积问题（与坐标轴围成的面积）（人教版）一、单选题(共8道，每道12分)1.已知一次函数和的图象都经过点A(2，0)，且与y轴分别交于B，C两点，则△ABC的面积是( )A.1B.2C.4D.8答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：坐标线段长互转2.已知一次函数y=kx+(k-3)与一次函数y=2x+b交于点C(1，3)，则两条直线的函数图象与x 轴所围成的三角形的面积是( )A.1B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数与坐标轴围成的图形面积3.已知一次函数y=kx+b的图象经过点B(0，10)，且与正比例函数y=2x的图象相交于点A(2，a)，则这两个函数图象与y轴所围成的三角形的面积是( )A.5B.10C.20D.40答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数与坐标轴围成的图形面积4.已知一次函数y=kx+b的图象经过点(3，-3)，且与直线y=4x-3的交点在x轴上，则此函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数与坐标轴围成的图形面积5.已知一次函数的图象经过点(-2，0)，它与坐标轴围成的三角形面积等于1，则这个一次函数的函数表达式是( )A. B.C.或D.或答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数与坐标轴围成的图形面积6.已知一次函数的图象过点(3，0)，且与两坐标轴围成的三角形面积为3，则一次函数的表达式为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数与坐标轴围成的图形面积7.若直线y=kx+b与直线y=4x平行，且直线y=kx+b与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则直线y=kx+b与x轴的交点坐标是( ).A.（1，0）B.（1，0）或（-1，0）C.（2，0）D.（2，0）或（-2，0）答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数与坐标轴围成的图形面积8.若直线y=x+k，x=1，x=4和x轴围成的直角梯形的面积等于9，则k的值为( )A. B.C.或D.或答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数与坐标轴围成的图形面积。

一次函數面積問題1、如图，一次函数的图像与X轴交于点B (- 6 , 0),交正比例函数的图像于点A，点A的横坐标为-4，△ ABC的面积为15，求直线OA的解析式。

2、直线y=x+3的图像与X轴、y轴分别交于A B两点，直线a经过原点与线段AB 交于。

，把厶ABO勺面积分为2：1的两部分，求直线a的函数解析式。

3、直线PA是一次函数y=x+n的图像，直线PB是一次函数y=-2x+m (m>n>0的图像，(1) 用m n表示A、B、P的坐标(2) 四边形PQoB勺面积是'，AB=2求点P的坐标4、A AOB的顶点0( 0, 0) A (2, 1)、B (10, 1),直线CDL X 轴且△ AOB面积二等分，若D (m, 0),求m的值5、点B在直线y=-x+1上，且点B在第四象限，点A(2, 0)、0(0, 0),A ABo 的面积为2,求点B的坐标。

6直线y=- x+1与X轴y轴分别交点A B,以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ ABC N BAC=90 ,点P( a,])在第二象限，△ ABP勺面积与△ ABC7、如图，已知两直线y=0.5x+2.5和y=-x+1分别与X轴交于A、B两点，这两直线的交点为P(1)求点P的坐标(2)求厶PAB的面积8、已知直线y=ax+b (b>0)与y轴交于点N,与X轴交于点A且与直线y=kx交于点M (2, 3)，如图它们与y轴围成的厶MoN勺面积为5,求(1)这两条直线的函数关系式(2)它们与X轴围成的三角形面积9、已知两条直线y=2x-3和y=5-x(1)求出它们的交点A的坐标(2)求出这两条直线与X轴围成的三角形的面积10、已知直线y=x+3的图像与X轴、y轴交于A B两点，直线I经过原点，与线段AB 交于点。

，把厶AoB的面积分为2：1的两部分，求直线I的解析式。

11、已知直线y=2x+3与直线y=-2x-1与y轴分别交于点A B（1）求两直线交点C的坐标（2）求厶ABe的面积（3）在直线BC上能否找到点P,使得△ APC的面积為6,求出点P的坐标,12、已知直线y=-x+2与X轴、y轴分别交于点A和点B,另一直线y=kx+b（k≠ 0）经过点C（1，0）,且把△ AOB分为两部分，（1）若厶AOB被分成的两部分面积相等，求k和b的值（2）若厶AOB被分成的两部分面积为1：5,求k和b的值13、直线y=- x+3交X, y坐标轴分别为点A B,交直线y=2x-1于点P,直线-Iy=2x-1交X, y坐标轴分别为C。

一次函数中三角形面积问题一次函数中三角形面积问题一、一条直线与两坐标轴围成的三角形面积问题问题1：已知直线y=2x-6与x轴、y轴分别交于点A、B，求△AOB的面积拓展练习一1、已知直线y=2x+b与x轴、y轴分别交于点A、B，且△AOB的面积是9，求b的值.2、已知直线y=kx-6与x轴、y轴分别交于点A、B，且△AOB的面积是9，求k是的值.问题2、一次函数y=kx+b的图象过点A(3,0)且与两坐标轴围成的三角形的面积是9，求该一次函数的解析式.拓展练习二若把问题2中点A的坐标改为（0，3），你将怎样求解？问题3、已知点A(8,0)及在第一象限的动点P(x,y)，且x+y=10,设△OPA的面积为S.（1）求S关于x的函数关系式.（2）求x的取值范围.（3）画出函数S关于x的图象.（4）当P点在什么位置时，S=12二、两条直线与一坐标轴围成的三角形的面积问题问题4、求直线y=2x-6和直线y=-2x+2与x 轴围成的三角形的面积.你会求与y 轴围成的三角形的面积吗？拓展练习四1、已知直线l 1： y=2x-6和直线l 2： y=kx+b 交于点（2，-2）,两直线与x 轴围成的三角形的面积2,求直线l 2的解析式.2、已知直线l 1: y=2x-6与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，直线 l 2: y=kx+b 过（2，-2）将△ABO 的面积分为2：7，求:直线l 2的解析式. 综合练习：已知A 、B 分别是x 轴上位于原点左、右两侧的点，点P （2，p ）在第一象限，直线AP 交y 轴于点C （0,2），直线PB 交y 轴于点D ，6AOP△S （1）求△COP 的面积；（2）求点A 的坐标和p 的值；（3）若DOP BOP △△S S ，求直线BD 的函数解析式。

2020年中考二轮专题复习：一次函数综合题（与面积有关）1．如图所示，在平面直角坐标系中，过点A（﹣，0）的两条直线分别交y轴于B，C两点，∠ABO＝30°，OB＝3OC．（1）证明：AC⊥AB；（2）将△ABC沿直线AB翻折得到△ABD，求直线BD的函数解析式；（3）在（2）的条件下，设直线BD交x轴于点E，嘉淇认为△ADE的面积与△AOB的面积相同，请判断嘉淇的观点是否正确．2．如图，直线l与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、点B（0，2），以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，∠BAC＝90°，点P（1，a）为坐标系中的一个动点．（1）请直接写出直线l的表达式；（2）求出△ABC的面积；（3）当△ABC与△ABP面积相等时，求实数a的值．3．如图，四边形OABC是矩形，点A、C在坐标轴上，△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H，线段BC、OC 的长是方程x2﹣6x+8＝0的两个根，且OC＞BC．（1）求直线BD的解析式；（2）求△OFH的面积；（3）点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．4．一次函数y＝kx+b的图象与x轴的负半轴相交于点A，与y轴的正半轴相交于点B，且sin∠ABO＝．△OAB的外接圆的圆心M的横坐标为﹣3．（1）求一次函数的解析式；（2）求图中阴影部分的面积．5．如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直线y＝2x+6交x轴于点B，交y轴于点A，且AO＝BC．（1）求直线AC的解析式；（2）如图2，点P在线段AC上，连接PB交OA于点D，设点P的横坐标为t，△ABP 的面积为S，求S与t之间的函数解析式；（3）如图3，在（2）的条件下，过点A作∠CAO的平分线交DP于点E，点L在BP的延长线上，连接CE、CL，若∠ABP＝2∠ACE，CL＝AC，求DL的长．6．如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝kx+4交x轴、y轴分别于点A、点B，且△ABO的面积为8．（1）如图2，求k的值；（2）如图3，点P是第一象限直线AB上的一个动点，连接PO，将线段OP绕点O顺时针旋转90°至线段OC，设点P的横坐标为t，点C的横坐标为m，求m与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，过点B作直线BM⊥OP，交x轴于点M，垂足为点N，点K在线段MB的延长线上，连接PK，且PK+KB＝OP，∠PMB＝2∠KPB，连接MC，求四边形BOCM的面积．7．如图，直线y＝kx+b与x轴，y轴分别交于点A，点B，点A的坐标为（﹣2，0），且2OA ＝OB．（1）求直线AB解析式；（2）如图，将△AOB向右平移6个单位长度，得到△A1O1B1，求线段OB1的长；（3）求（2）中△AOB扫过的面积．8．如图：一次函数y＝﹣x+3的图象与坐标轴交于A、B两点，点P是函数y＝﹣x+3（0＜x＜4）图象上任意一点，过点P作PM⊥y轴于点M，连接OP．（1）当AP为何值时，△OPM的面积最大？并求出最大值；（2）当△BOP为等腰三角形时，试确定点P的坐标．9．如图，直角坐标系xOy中，A（0，5），直线x＝﹣5与x轴交于点D，直线y＝﹣x﹣与x轴及直线x＝﹣5分别交于点C，E，点B，E关于x轴对称，连接AB．（1）求点C，E的坐标及直线AB的解析式；（2）设面积的和S＝S△CDE+S四边形ABDO，求S的值；（3）在求（2）中S时，嘉琪有个想法：“将△CDE沿x轴翻折到△CDB的位置，而△CDB与四边形ABDO拼接后可看成△AOC，这样求S便转化为直接求△AOC的面积不更快捷吗？”但大家经反复演算，发现S△AOC≠S，请通过计算解释他的想法错在哪里．10．如图，矩形AOCB的顶点A、C分别位于x轴和y轴的正半轴上，线段OA、OC的长度满足方程|x﹣15|+＝0（OA＞OC），直线y＝kx+b分别与x轴、y轴交于M、N两点，将△BCN沿直线BN折叠，点C恰好落在直线MN上的点D处，且tan∠CBD＝（1）求点B的坐标；（2）求直线BN的解析式；（3）将直线BN以每秒1个单位长度的速度沿y轴向下平移，求直线BN扫过矩形AOCB 的面积S关于运动的时间t（0＜t≤13）的函数关系式．11．直线y＝x﹣6与x轴、y轴分别交于A、B两点，点E从B点出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BO向O点移动（不考虑点E与B、O两点重合的情况），过点E作EF ∥AB，交x轴于点F，将四边形ABEF沿直线EF折叠后，与点A对应的点记作点C，与点B对应的点记作点D，得到四边形CDEF，设点E的运动时间为t秒．（1）画出当t＝2时，四边形ABEF沿直线EF折叠后的四边形CDEF（不写画法）；（2）在点E运动过程中，CD交x轴于点G，交y轴于点H，试探究t为何值时，△CGF 的面积为；（3）设四边形CDEF落在第一象限内的图形面积为S，求S关于t的函数解析式，并求出S的最大值．12．如图，直线与x轴，y轴分别交于点A（6，0），B．点C（0，t）是线段OB 上一点，作直线AC．（1）若BC＝2，求直线AC的函数解析式；（2）当1≤t≤4时，求△ABC面积的取值范围；（3）若AC平分∠OAB，记△ABC的周长为m，△AOC的周长为n，求m﹣n的值．13．如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOC的直角边OA在y轴正半轴上，且顶点O与坐标原点重合，点C的坐标为（1，2），直线y＝﹣x+b过点C，与x轴交于点B，与y轴交于点D．（1）B点的坐标为，D点的坐标为；（2）动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度，沿O→A→C的路线向点C运动，同时动点Q从点B出发，以相同速度沿BO的方向向点O运动，过点Q作QH⊥x轴，交线段BC或线段CO于点H．当点P到达点C时，点P和点Q都停止运动，在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒：①设△CPH的面积为S，求S关于t的函数关系式；②是否存在以Q、P、H为顶点的三角形的面积与S相等？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．14．阅读下列两则材料，回答问题：材料一：定义直线y＝kx+b（kb≠0）与直线y＝bx+k（kb≠0）互为“对称直线”．例如，直线y＝x+2与直线y＝2x+1互为“对称直线”；直线y＝kx+b中，k称为斜率，若A（x1，y1），B（x2，y2）为直线y＝kx+b上任意两点（x1≠x2），则斜率k＝材料二：对于平面直角坐标系中的任意两点（x1，y1），B（x2，y2），定义一种新的运算：L（A，B）＝x1x2+y1y2，例如：A（﹣3，1）、B（2，4），（A，B）＝﹣3×2+1×4＝﹣2（1）若点A（﹣3，1）、B（2，4）在直线y＝kx+b上，则k＝；直线y＝2x+3上的一点P（x，y）又是它的“对称直线”上的点，求点P的坐标．（2）对于直线y＝kx+b上的任意一点M（m，n），都有点N（2m，6n﹣34）在y＝kx+b 的“对称直线”上：横坐标互不相同的三个点C，D，E满足L（C，D）＝L（D，E），且D点的坐标为（2，2），过点D作DF∥y轴，交直线CE于点F，若DF＝6，请求出直线CE、直线y＝kx+b与x轴围成的三角形的面积．15．问题探究（1）如图①，在Rt△ABC中，∠B＝90°，请你过点A作一条直线AD，其中点D为BC上一点，使直线AD平分△ABC的面积；（2）如图②，点P为▱ABCD外一点，AB＝6，BC＝12，∠B＝45°，请过点P作一条直线l，使其平分▱ABCD的面积，并求出▱ABCD的面积；问题解决（3）如图③，在平面直角坐标系中，四边形OABC是李爷爷家一块土地的示意图，其中OA∥BC，点P处有一个休息站点（占地面积忽略不计），李爷爷打算过点P修一条笔直的小路l（路的宽度不计），使直线l将四边形OABC分成面积相等的两部分，分别用来种植不同的农作物．已知点A（8，8）、B（6，12）、P（3，6）．你认为直线1是否存在？若存在，求出直线l的表达式；若不存在，请说明理由．16．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝k1x+6与x轴、y轴分别交于A、B两点，且OB ＝OA，直线l2：y＝k2x+b经过点C（，1），与x轴、y轴、直线AB分别交于点E、F、D三点．（1）求直线l1的解析式；（2）如图1，连接CB，当CD⊥AB时，求点D的坐标和△BCD的面积；（3）如图2，当点D在直线AB上运动时，在坐标轴上是否存在点Q，使△QCD是以CD为底边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．17．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+4的图象与x轴和y轴分别相交于A、B两点．动点P从点A出发，在线段AO上以每秒3个单位长度的速度向点O作匀速运动，到达点O停止运动，点A关于点P的对称点为点Q，以线段PQ为边向上作正方形PQMN．设运动时间为t秒．（1）当t＝秒时，点Q的坐标是；（2）在运动过程中，设正方形PQMN与△AOB重叠部分的面积为S，求S与t的函数表达式；（3）若正方形PQMN对角线的交点为T，请直接写出在运动过程中OT+PT的最小值．18．如图，已知△ABC的顶点坐标分别为A（3，0），B（0，4），C（﹣3，0）．动点M，N 同时从A点出发，M沿A→C，N沿折线A→B→C，均以每秒1个单位长度的速度移动，当一个动点到达终点C时，另一个动点也随之停止移动，移动的时间记为t秒．连接MN．（1）求直线BC的解析式；（2）移动过程中，将△AMN沿直线MN翻折，点A恰好落在BC边上点D处，求此时t 值及点D的坐标；（3）当点M，N移动时，记△ABC在直线MN右侧部分的面积为S，求S关于时间t的函数关系式．19．如图直线y＝kx+k交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，且AB＝2（1）求k的值；（2）点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AB运动，过点P作直线AB的垂线交x轴于点Q，连接OP，设△PQO的面积为S，点P运动时间为t，求S与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围；（3）在（2）的条件下，当P在AB的延长线上，若OQ+AB＝（BQ﹣OP），求此时直线PQ的解析式．20．如图，等腰梯形OBCD中，DC∥OB，OD＝CB，∠DOB＝∠CBO，BD⊥OD，在平面直角坐标系中，等腰梯形OBCD的下底OB在x轴正半轴上，O为坐标原点，点B的坐标为（a，0），C、D两点落在第一象限，且BD＝2a．点P以每秒1个单位长度的速度在对角线BD上由点B向点D运动（点P不与点B、点D重合），过点P作PE⊥BD，交下底OB于点E，交腰BC（或上底CD）于点F．（1）线段BC的长是（用含a的代数式表示）；（2）已知直线PE经过点C时，直线PE的解析式为y＝2x﹣，求a的值，并直接写出点B、C、D的坐标；（3）在（2）的条件下，设动点P运动时间为t（秒），在点P运动过程中，请直接写出△BEF为等腰三角形时t的值（或取值范围），并直接写出等腰△BEF面积的最大值．参考答案1．解：（1）证明：∵A（﹣，0），则OA＝，∵∠ABO＝30°，∴OB＝＝3，∵OB＝3OC，∴OC＝1，∴点B的坐标为（0，3），点C的坐标为（0，﹣1），∴tan∠ACB＝＝，∴∠ACB＝60°，∴∠ACB+∠ABC＝90°，∴∠BAC＝90°，即AC⊥AB．（2）∵△ABD是由△ABC折叠得到的，∴∠ADB＝∠ACB＝60°，∠ABD＝∠ABC＝30°，∴∠DBC＝60°，∴△BCD是等边三角形，∴BD＝BC＝4，如图1，过点D作DF⊥BC于F，则BF＝2，DF＝2，∴点D的坐标为（﹣2，1），设直线BD的函数解析式为y＝kx+b（k≠0），将点B，D的坐标代入得：，解得：，∴直线BD的函数解析式为y＝x+3．（3）如图2，∵点E是直线BD与x轴的交点，∴令y＝x+3＝0，解得x＝﹣3，故OE＝3，而AO＝，∴AE＝EO﹣AO＝3﹣＝2，∴S△AED＝AE•y D＝×2×1＝，∵S△AOB＝AO•OB＝××3＝，∴S△AED≠S△AOB，∴嘉淇的观点错误．2．解：（1）将点A、B的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，故直线l的表达式为：；（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB2＝OA2+OB2＝32+22＝13∵△ABC为等腰直角三角形，∴S△ABC＝AB2＝；（3）连接BP，PO，P A，则：①若点P在第一象限时，如图1：∵S△ABO＝3，S△APO＝a，S△BOP＝1，∴S△ABP＝S△BOP+S△APO﹣S△ABO＝，即，解得；②若点P在第四象限时，如图2：∵S△ABO＝3，S△APO＝﹣a，S△BOP＝1，∴S△ABP＝S△AOB+S△APO﹣S△BOP＝，即，解得a＝﹣3；故：当△ABC与△ABP面积相等时，实数a的值为或﹣3．3．解：（1）解方程x2﹣6x+8＝0可得x＝2或x＝4，∵BC、OC的长是方程x2﹣6x+8＝0的两个根，且OC＞BC，∴BC＝2，OC＝4，∴B（﹣2，4），∵△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，∴OD＝OC＝4，DE＝BC＝2，∴D（4，0），设直线BD解析式为y＝kx+b，把B、D坐标代入可得，解得，∴直线BD的解析式为y＝﹣x+；（2）由（1）可知E（4，2），设直线OE解析式为y＝mx，把E点坐标代入可求得m＝，∴直线OE解析式为y＝x，令﹣x+＝x，解得x＝，∴H点到y轴的距离为，又由（1）可得F（0，），∴OF＝，∴S△OFH＝××＝；（3）∵以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形，∴△DFM为直角三角形，①当∠MFD＝90°时，则M只能在x轴上，连接FN交MD于点G，如图1，由（2）可知OF＝，OD＝4，则有△MOF∽△FOD，∴＝，即＝，解得OM＝，∴M（﹣，0），且D（4，0），∴G（，0），设N点坐标为（x，y），则＝，＝0，解得x＝，y＝﹣，此时N点坐标为（，﹣）；②当∠MDF＝90°时，则M只能在y轴上，连接DN交MF于点G，如图2，则有△FOD∽△DOM，∴＝，即＝，解得OM＝6，∴M（0，﹣6），且F（0，），∴MG＝MF＝，则OG＝OM﹣MG＝6﹣＝，∴G（0，﹣），设N点坐标为（x，y），则＝0，＝﹣，解得x＝﹣4，y＝﹣，此时N（﹣4，﹣）；③当∠FMD＝90°时，则可知M点为O点，如图3，∵四边形MFND为矩形，∴NF＝OD＝4，ND＝OF＝，可求得N（4，）；综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（，﹣）或（﹣4，﹣）或（4，）．4．解：（1）作MN⊥BO，由垂径定理得：点N为OB的中点，∴MN＝OA，∵MN＝3，∴OA＝6，即A（﹣6，0），∵sin∠ABO＝，OA＝6，∴OB＝，即B（0，），设y＝kx+b，将A、B代入得：，（2）NB＝OB＝，MN＝3，tan∠BMN＝＝，则∠BMN＝30°，∴∠ABO＝60°，∴∠AMO＝120°∴阴影部分面积为．5．解：（1）由题可求A（0，6），B（﹣3，0），∴AO＝6，BO＝3，∵AO＝BC，∴BC＝6，∴CO＝BC﹣BO＝3，∴C（3，0），设直线AC的解析式为y＝kx+b，将点C与A代入，可得，∴，∴y＝﹣2x+6；（2）过点P作PM⊥x轴交于点M，∵点P的横坐标为t，∴P（t，﹣2t+6），∴PM＝﹣2t+6，∴S△PBC＝BC•PM＝×6×（﹣2t+6）＝﹣6t+18，S△ABC＝BC•AO＝18，∴S＝S△ABC﹣S△PBC＝6t；（3）过点B作BF平分∠ABD，且BF＝CE，连接AF ∵∠ABD＝2∠ACE，∴∠ABF＝∠ACE∵BO＝CO，AO⊥BC，∴AB＝AC，∴△ABF≌△ACE（SAS），∴AF＝AE，∠BAF＝∠CAE，∵AE平分∠OAC，∴∠OAE＝∠CAE，∵∠BAO＝∠CAO，∴∠BAF＝∠F AO，过点F作FG⊥AB于点G，FK⊥AD于点K，FH⊥BD于点H，∵AF平分∠BAD，∴FG＝FK，∵BF平分∠ABD，∴FG＝FH，∴FH＝FK，∴DF平分∠ADB，∴∠BDF＝∠ADF，∵AF＝AE，∠F AD＝∠EAD，AD＝AD，∴△AFD≌△AED（SAS），∴∠ADF＝∠ADE，∴∠ADF＝∠ADE＝∠BDF＝60°，∴∠CDP＝∠CDO＝60°，过点C作CN⊥BP于点N，∵CO⊥AO，∴CN＝CO＝3，∵CA＝CL，∴△AOC≌△LNC（HL），∴NL＝AO＝6，∵tan∠NDC＝，∴＝，∴DN＝，∴DL＝6+．6．解：（1）把x＝0代入y＝kx+4，y＝4，∴OB＝4，∵△ABO的面积为8，∴＝8，∴AO＝4，∴A（﹣4，0），把x＝﹣4，y＝0代入y＝kx+4，∴k＝1；（2）把x＝t代入y＝x+4，∴P（t，t+4），如图1，过点P作PD⊥x轴，垂直为D过点C作CE⊥x轴，垂直为E；∴∠PDO＝∠CEO＝90°，∴∠POD＝∠OPD＝90°，∵线段OP绕点O顺时针旋转90°至线段OC，∴∠POC＝90°，OP＝OC，∴∠POD+∠EOC＝90°，∴∠OPD＝∠EOC，∴△OPD≌△OCE，∴OE＝PD，m＝t+4；（3）如图2，过点O作直线TO⊥AB，交直线BM于点Q，垂足为点T，连接QP，由（1）知，AO＝BO＝4，∴∠BOA＝90°，∴△ABO为直角三角形，∴∠ABO＝∠BAO＝45°，∠BOT＝90°﹣∠ABO＝45°＝∠ABO，∴BT＝TO，∵∠BTO＝90°，∴∠TPO+∠TOP＝90°，∵OP⊥BM，∴∠BNO＝90°，∴∠BQT＝∠TPO，∴△QTB≌△PTO，∴QT＝TP，PO＝BQ，∴∠PQT＝∠QPT，∵OP＝PK+KB，∴QB＝KP+KB，QK＝KP，∴∠KQP＝∠KPQ，∴∠PQT﹣∠KQP＝∠QPT﹣∠KPQ，∠TQB＝∠TPK，∴∠KPB＝∠BPN，设∠KPB＝x°，∴∠BPN＝x°，∵∠PMB＝2∠KPB，∴∠PMB＝2x°，∠POM＝∠P AO+∠APO＝45°+x°，∠NMO＝90°﹣∠POM＝45°﹣x°，∴∠PMO＝∠PMB+∠NMO＝45°+x°＝∠POM，∴PO＝PM，过点P作PD⊥x轴，垂直为点D，∴OM＝2OD＝2t，∴∠OPD＝90°﹣∠POD＝45°﹣x°＝∠BMO，∴tan∠OPD＝tan∠BMO，∴，，∴t＝4或t＝﹣2（舍），∴OM＝8，由（2）知：m＝t+4＝8＝OM，∴CM∥y轴，∵∠PNM＝∠POC＝90°，∴BM∥OC，∴四边形BOCM是平行四边形，∴四边形BOCM的面BO×OM＝4×8＝32；7．解：（1）∵点A的坐标为（﹣2，0），∴OA＝2，∵OB＝2OA＝4，∴B（0，4），把A（﹣2，0）和B（0，4）代入y＝kx+b中得：，解得：，∴直线AB解析式为：y＝2x+4；（2）∵∠AOB＝90°，∴∠AO1B1＝90°，由平移得：OO1＝6，O1B1＝OB＝4，由勾股定理得：OB1＝＝2，即线段OB1的长是2；（3）△AOB扫过的面积＝+4×6＝28．8．解：（1）令点P的坐标为P（x0，y0）∵PM⊥y轴∴S△OPM＝OM•PM＝将代入得S△OPM＝＝﹣（x﹣2）2+∴当x0＝2时，△OPM的面积，有最大值S max＝，即：PM＝2，∴PM∥OB，∴即∵直线AB分别交两坐标轴于点A、B，∴A（0，3），B（4，0），∴OA＝3，OB＝4，∴AB＝5，∴AP＝；（2）①在△BOP中，当BO＝BP时BP＝BO＝4，AP＝1∵PM∥OB，∴∴，将代入代入中，得∴P（，）；②在△BOP中，当OP＝BP时，如图，过点P作PN⊥OB于点N∵OP＝BP，∴ON＝将ON＝2代入中得，NP＝∴点P的坐标为P（2，），即：点P的坐标为（，）或（2，）．9．解：（1）在直线y＝﹣x﹣中，令y＝0，则有0＝﹣x﹣，∴x＝﹣13，∴C（﹣13，0），令x＝﹣5，则有y＝﹣×（﹣5）﹣＝﹣3，∴E（﹣5，﹣3），∵点B，E关于x轴对称，∴B（﹣5，3），∵A（0，5），∴设直线AB的解析式为y＝kx+5，∴﹣5k+5＝3，∴k＝，∴直线AB的解析式为y＝x+5；（2）由（1）知，E（﹣5，﹣3），∴DE＝3，∵C（﹣13，0），∴CD＝﹣5﹣（﹣13）＝8，∴S△CDE＝CD×DE＝12，由题意知，OA＝5，OD＝5，BD＝3，∴S四边形ABDO＝（BD+OA）×OD＝20，∴S＝S△CDE+S四边形ABDO＝12+20＝32，（3）由（2）知，S＝32，在△AOC中，OA＝5，OC＝13，∴S△AOC＝OA×OC＝＝32.5，∴S≠S△AOC，理由：由（1）知，直线AB的解析式为y＝x+5，令y＝0，则0＝x+5，∴x＝﹣≠﹣13，∴点C不在直线AB上，即：点A，B，C不在同一条直线上，∴S△AOC≠S．10．解：（1）∵|x﹣15|+＝0，∴x＝15，y＝13，∴OA＝BC＝15，AB＝OC＝13，∴B（15，13）；（2）如图1，过D作EF⊥OA于点E，交CB于点F，由折叠的性质可知BD＝BC＝15，∠BDN＝∠BCN＝90°，∵tan∠CBD＝，∴＝，且BF2+DF2＝BD2＝152，解得BF＝12，DF＝9，∴CF＝OE＝15﹣12＝3，DE＝EF﹣DF＝13﹣9＝4，∵∠CND+∠CBD＝360°﹣90°﹣90°＝180°，且∠ONM+∠CND＝180°，∴∠ONM＝∠CBD，∴＝，∵DE∥ON，∴＝＝，且OE＝3，∴＝，解得OM＝6，∴ON＝8，即N（0，8），把N、B的坐标代入y＝kx+b可得，解得，∴直线BN的解析式为y＝x+8；（3）设直线BN平移后交y轴于点N′，交AB于点B′，当点N′在x轴上方，即0＜t≤8时，如图2，由题意可知四边形BNN′B′为平行四边形，且NN′＝t，∴S＝NN′•OA＝15t；当点N′在y轴负半轴上，即8＜t≤13时，设直线B′N′交x轴于点G，如图3，∵NN′＝t，∴可设直线B′N′解析式为y＝x+8﹣t，令y＝0，可得x＝3t﹣24，∴OG＝3t﹣24，∵ON＝8，NN′＝t，∴ON′＝t﹣8，∴S＝S四边形BNN′B′﹣S△OGN′＝15t﹣（t﹣8）（3t﹣24）＝﹣t2+39t﹣96；综上可知S与t的函数关系式为S＝．11．解：（1）如图1：（2）如图2：，由折叠的性质，得∠C＝∠A＝∠COA＝45°，AF＝BE＝CF＝t，S△CFG＝CF•FG＝t2＝，解得t＝，t＝﹣（不符合题意，舍）；（3）分两种情况讨论：①当0＜t≤3时，如图2：四边形DCFE落在第一象限内的图形是△DFG，∴S＝t2，∵S＝t2，在t＞0时，S随t增大而增大，∴t＝3时，S最大＝；②当3＜t＜6时，如图3：，四边形DCFE落在第一象限内的图形是四边形CHOF，∴S四边形CHOF＝S△CGF﹣S△HGO，∴S＝t2﹣2（2t﹣6）2＝﹣t2+12t﹣18＝﹣（t﹣4）2+6，∵a＝﹣＜0，∴S有最大值，∴当t＝4时，S最大＝6，综上所述，当t＝4时，S最大值为6．12．解：（1）将A（6，0）代入y＝﹣x+b，得：0＝﹣×6+b，解得：b＝8，∴点B的坐标为（0，8）．∵BC＝2，点C在线段OB上，∴点C的坐标为（0，6）．设直线AC的函数解析式为y＝mx+n（m≠0），将点A（6，0），C（0，6）代入y＝mx+n，得：，解得：，∴直线AC的函数解析式为y＝﹣x+6；（2）∵点C的坐标为（0，t），∴OC＝t，BC＝OB﹣OC＝8﹣t，∴S△ABC＝OA•BC＝×6×（8﹣t）＝﹣3t+24．∵1≤t≤4，∴12≤﹣3t+24≤21，∴△ABC面积的取值范围是12≤S△ABC≤21；（3）在Rt△AOB中，OA＝6，OB＝8，∴AB＝＝10．过点C作CD⊥AB于点D，如图所示．∵AC平分∠OAB，∴CD＝CO＝t．∵∠CBD＝∠ABO，∠CDB＝∠AOB＝90°，∴△BCD～△BAO，∴＝，即＝，解得：t＝3，∴BC＝5，∴m＝AB+BC+AC＝15+AC，n＝AC+OC+OA＝AC+9，∴m﹣n＝（15+AC）﹣（AC+9）＝6．13．解：（1）∵直线y＝﹣x+b过点C（1，2）∴﹣1+b＝2∴b＝3，即直线为y＝﹣x+3当y＝0时，﹣x+3＝0，得x＝3；当x＝0时，y＝3∴B（3，0），D（0，3）故答案为：（3，0）；（0，3）．（2）①∵Rt△AOC中，∠OAC＝90°，C（1，2）∴A（0，2），OA＝2，AC＝1∵OB＝OD＝3，∠BOD＝90°∴OA+AC＝OB＝3，∠OBD＝45°∴0≤t＜3，且t≠2i）当0≤t＜2时，点P在线段OA上，点H在线段BC上，如图1∴OP＝BQ＝t∴AP＝OA﹣OP＝2﹣t，OQ＝OB﹣BQ＝3﹣t∵HQ⊥x轴于点Q∴∠BQH＝90°∴△BQH是等腰直角三角形∴HQ＝BQ＝t∴HQ∥OP且HQ＝OP∴四边形OPHQ是平行四边形∴PH∥x轴，PH＝OQ＝3﹣t∴S＝S△CPH＝PH•AP＝（3﹣t）（2﹣t）＝t2﹣t+3ii）当2＜t＜3时，点P在线段AC上，点H在线段OC上，如图2∴CP＝OA+AC﹣t＝3﹣t，x H＝OQ＝3﹣t∵直线OC解析式为：y＝2x∴QH＝y H＝2（3﹣t）＝6﹣2t∴点H到CP的距离h＝2﹣（6﹣2t）＝2t﹣4∴S＝S△CPH＝CP•h＝（3﹣t）（2t﹣4）＝﹣t2+5t﹣6综上所述，S关于t的函数关系式为S＝②存在以Q、P、H为顶点的三角形的面积与S相等．i）当0≤t＜2时，如图3∵S△CPH＝S△QPH，两三角形有公共底边为PH∴点C和点Q到PH距离相等，即AP＝OP∴t＝2﹣t∴t＝1ii）当2＜t≤2.5时，如图4，延长QH交AC于点E∴AE＝OQ＝3﹣t，AP＝t﹣2，QH＝6﹣2t∴PE＝AE﹣AP＝（3﹣t）﹣（t﹣2）＝5﹣2t∴S△QPH＝QH•PE＝（6﹣2t）（5﹣2t）＝2t2﹣11t+15∵S△CPH＝S△QPH∴﹣t2+5t﹣6＝2t2﹣11t+15解得：t1＝3（舍去），t2＝iii）当2.5＜t＜3时，如图5，延长QH交AC于点E∴PE＝AP﹣AE＝（t﹣2）﹣（3﹣t）＝2t﹣5∴S△QPH＝QH•PE＝（6﹣2t）（2t﹣5）＝﹣2t2+11t﹣15∴﹣t2+5t﹣6＝﹣2t2+11t﹣15解得：t1＝t2＝3（舍去）综上所述，t＝1或时，以Q、P、H为顶点的三角形的面积与S相等．14．解：（1）把A（﹣3，1）、B（2，4）分别代入y＝kx+b，得．解得．∵直线y＝2x+3上的一点P（x，y）又是它的“对称直线”上的点，∴点P（x，y）是直线y＝2x+3与直线y＝3x+2的交点．∴．解得．∴P（1，5）故答案是：；（2）∵点M（m，n）是直线y＝kx+b上的任意一点，∴km+b＝n①，∵点N（2m，6n﹣34）在y＝kx+b的“对称直线”上，即N（2m，6n﹣34）在直线y＝bx+k上∴2bm+k＝6n﹣34②，将①代入②得，2bm+k＝6km+6b﹣34，整理得：（2b﹣6k）m＝6b﹣k﹣34，∵对于任意一点M（m，n）等式均成立，∴，解得，∴y＝2x+6．∴B（﹣3，0）．设点C，E的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）（x1≠x2），∵L（C，D）＝L（D，E），且D点的坐标为（2，2），∴2x1+2y1＝2x2+2y2，即x1+y1＝x2+y2，由材料一可知：直线CE的斜率为k CE＝﹣1，故设直线CE的解析式为：y＝﹣x+d（c≠0）∵DF＝6，DF∥y轴，∴F（2，﹣4）．∴﹣2+d＝﹣4．则d＝﹣2．故直线CE的解析式是：y＝﹣x﹣2．易得A（﹣2，0）．由得到：，即G（﹣，）．∴S△ABG＝AB•|y G|＝×1×＝；同理，当直线C′E′的解析式为：y＝﹣x+10时，B′（12，0），G′（，），此时S△AB′F＝AB′•|y G|＝×13×＝；综上所述，直线CE、直线y＝kx+b与x轴围成的三角形的面积是或．15．解：（1）如图1，点D为BC的中点，作直线AD，直线AD则平分△ABC的面积；（2）如图2，连接AC、BD，AC与BD交于点O，则点O为平行四边形ABCD的对称中心，作直线OP，直线OP即为所求；如图3，过A作AE⊥BC于E，∵∠ABC＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AE＝＝＝3，∵BC＝12，∴▱ABCD的面积＝BC•AE＝12×3＝36；（3）∵A（8，8），∴直线OA的解析式为：y＝x，过点B作BD⊥x轴于点D，交AO于E，连接OB，则E（6，6），∵B（6，12），点P（3，6），∴点P为线段OB的中点．∵OA∥BC，BE∥OC，∴四边形OEBC是平行四边形．∴点P是平行四边形OEBC的对称中心，∴过点P的直线平分平行四边形OEBC．∴过点P的直线PF只要平分△BEA的面积即可．设直线PF的表达式为y＝kx+b，且过点P（3，6），∴3k+b＝6，即b＝6﹣3k，∴y＝kx+6﹣3k．设直线AB的表达式为y＝mx+n，且过点B（6，12），A（8，8），则，解得：，∴直线AB的函数表达式为y＝﹣2x+24．∴，解得：x＝，∴F的横坐标为，把x＝6代入y＝kx+6﹣3k得y＝3k+6，∴G（6，3k+6）同理得直线AP的解析式为y＝x+，当x＝6时，y＝，∴＜3k+6＜12，解得＜k＜2，∵S△BFG＝BG•（F x﹣6）＝（12﹣3k﹣6）（﹣6）＝（8﹣6）（12﹣6），解得k＝或k＝4（舍去），∴直线l的表达式为y＝x+4．16．解：（1）y＝k1x+6，当x＝0时，y＝6，∴OB＝6，∵OB＝OA，∴OA＝2，∴A（﹣2，0），把A（﹣2，0）代入：y＝k1x+6中得：﹣2k1+6＝0，k1＝，∴直线l1的解析式为：y＝x+6；（2）如图1，过C作CH⊥x轴于H，∵C（，1），∴OH＝，CH＝1，Rt△ABO中，AB＝＝4，∴AB＝2OA，∴∠OBA＝30°，∠OAB＝60°，∵CD⊥AB，∴∠ADE＝90°，∴∠AED＝30°，∴EH＝，∴OE＝OH+EH＝2，∴E（2，0），把E（2，0）和C（，1）代入y＝k2x+b中得：，解得：，∴直线l2：y＝﹣x+2，∴F（0，2）即BF＝6﹣2＝4，则，解得，∴D（﹣，3），∴S△BCD＝BF（x C﹣x D）＝＝4；（3）分四种情况：①当Q在y轴的正半轴上时，如图2，过D作DM⊥y轴于M，过C作CN⊥y轴于N，∵△QCD是以CD为底边的等腰直角三角形，∴∠CQD＝90°，CQ＝DQ，∴∠DMQ＝∠CNQ＝90°，∴∠MDQ＝∠CQN，∴△DMQ≌△QNC（AAS），∴DM＝QN，QM＝CN＝，设D（m，m+6）（m＜0），则Q（0，﹣m+1），∴OQ＝QN+ON＝OM+QM，即﹣m+1＝m+6+，m＝＝1﹣2，∴Q（0，2）；②当Q在x轴的负半轴上时，如图3，过D作DM⊥x轴于M，过C作CN⊥x轴于N，同理得：△DMQ≌△QNC（AAS），∴DM＝QN，QM＝CN＝1，设D（m，m+6）（m＜0），则Q（m+1，0），∴OQ＝QN﹣ON＝OM﹣QM，即m+6﹣＝﹣m﹣1，m＝5﹣4，∴Q（6﹣4，0）；③当Q在x轴的负半轴上时，如图4，过D作DM⊥x轴于M，过C作CN⊥x轴于N，同理得：△DMQ≌△QNC（AAS），∴DM＝QN，QM＝CN＝1，设D（m，m+6）（m＜0），则Q（m﹣1，0），∴OQ＝QN﹣ON＝OM+QM，即﹣m﹣6﹣＝﹣m+1，m＝﹣4﹣5，④当Q在y轴的负半轴上时，如图5，过D作DM⊥y轴于M，过C作CN⊥y轴于N，同理得：△DMQ≌△QNC（AAS），∴DM＝QN，QM＝CN＝，设D（m，m+6）（m＜0），则Q（0，m+1），∴OQ＝QN﹣ON＝OM+QM，即﹣m﹣6+＝﹣m﹣1，m＝﹣2﹣1，∴Q（0，﹣2）；综上，存在点Q，使△QCD是以CD为底边的等腰直角三角形，点Q的坐标是（0，±2）或（6﹣4，0）或（﹣4﹣6，0）．17．解：（1）令y＝0，∴﹣x+4＝0，∴x＝6，∴A（6，0），当t＝秒时，AP＝3×＝1，∴OP＝OA﹣AP＝5，∴P（5，0），故答案为（4，0）；（2）当点Q在原点O时，OA＝6，∴AP＝OA＝3，∴t＝3÷3＝1，①当0＜t≤1时，如图1，令x＝0，∴y＝4，∴B（0，4），∴OB＝4，∵A（6，0），∴OA＝6，在Rt△AOB中，tan∠OAB＝＝，由运动知，AP＝3t，∴P（6﹣3t，0），∴Q（6﹣6t，0），∴PQ＝AP＝3t，∵四边形PQMN是正方形，∴MN∥OA，PN＝PQ＝3t，在Rt△APD中，tan∠OAB＝＝＝，∴PD＝2t，∴DN＝t，∵MN∥OA∴∠DCN＝∠OAB，∴tan∠DCN＝＝＝，∴CN＝t，∴S＝S正方形PQMN﹣S△CDN＝（3t）2﹣t×t＝t2；②当1＜t≤时，如图2，同①的方法得，DN＝t，CN＝t，∴S＝S矩形OENP﹣S△CDN＝3t×（6﹣3t）﹣t×t＝﹣t2+18t；③当＜t≤2时，如图3，S＝S梯形OBDP＝（2t+4）（6﹣3t）＝﹣3t2+12；（3）如图4，由运动知，P（6﹣3t，0），Q（6﹣6t，0），∴M（6﹣6t，3t），∵T是正方形PQMN的对角线交点，∴T（6﹣t，t），∴点T是直线y＝﹣x+2上的一段线段，（﹣3≤x＜6），∵A（6，0）∴点N是直线AG：y＝﹣x+6上的一段线段，（0≤x≤6），∴G（0，6），∴OG＝6，∵A（6，0），∴AG＝6，在Rt△AOG中，OA＝6＝OG，∴∠OAG＝45°，∵PN⊥x轴，∴∠APN＝90°，∴∠ANP＝45°，∴∠TNA＝90°，即：TN⊥AG，∵T正方形PQMN的对角线的交点，∴TN＝TP，∴OT+TP＝OT+TN，∴点O，T，N在同一条直线上（点Q与点O重合时），且ON⊥AG时，OT+TN最小，即：OT+TN最小，∵S△OAG＝OA×OG＝AG×ON，∴ON＝＝3．即：OT+PT的最小值为3．18．解：（1）设直线BC的解析式为y＝kx+b，则，解得，∴直线BC的解析式为y＝x+4．（2）如图，连接AD交MN于点O′．由题意：四边形AMDN是菱形，M（3﹣t，0），N（3﹣t，t），∴O′（3﹣t，t），D（3﹣t，t），∵点D在BC上，∴t＝×（3﹣t）+4，解得t＝．∴t＝s时，点A恰好落在BC边上点D处，此时D（﹣，）．（3）如图2中，当0＜t≤5时，△ABC在直线MN右侧部分是△AMN，S＝•t•t＝t2．如图3中，当5＜t≤6时，△ABC在直线MN右侧部分是四边形ABNM．S＝×6×4﹣×（6﹣t）•[4﹣（t﹣5）]＝﹣t2+t﹣12．19．解：（1）对于直线y＝kx+k，令y＝0，可得x＝﹣1，∴A（﹣1，0），∴OA＝1，∵AB＝2，∴OB＝＝，∴k＝．（2）如图，∵tan∠BAO＝＝，∴∠BAO＝60°，∵PQ⊥AB，∴∠APQ＝90°，∴∠AQP＝30°，∴AQ＝2AP＝2t，当0＜t＜时，S＝•OQ•P y＝（1﹣2t）•t＝﹣t2+t．当t＞时，S＝OQ•P y＝（2t﹣1）•t＝t2﹣t．（3）∵OQ+AB＝（BQ﹣OP），∴2t﹣1+2＝（﹣），∴2t+1＝•，∴4t2+4t+1＝7t2﹣7t+7，∴3t2﹣11t+6＝0，解得t＝3或（舍弃），∴P（，），Q（5，0），设直线PQ的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线PQ的解析式为y＝﹣x+．20．解：（1）如图1中，∵BD⊥OD，∴∠BDO＝90°，∵BD＝2a，AB＝a，∴OD＝＝a，∵四边形ODCB是等腰梯形，∴BD＝OD＝a．故答案为a．（2）如图2中，作DM⊥OB于M，CN⊥OB于N．∵∠DOB＝∠CBO，BC＝a，∴sin∠CBO＝sin∠DOB＝＝a＝，∴CN＝a，BN＝＝a，∴ON＝OB﹣BN＝a，∴C（a，a），∵直线y＝2x﹣经过点C，∴a＝a﹣，∴a＝1．∴B（，0），C（，），D（，）．（3）如图3﹣1中，当点F在线段BC上时，∵EF⊥BD，OD⊥BD，∴EF∥OD，∴∠FEB＝∠DOB，∵∠DOB＝∠CBO，∴FEB＝∠FBE，∴FE＝FB，∴△FEB是等腰三角形，如图2中，当直线EF经过点C时，E（，0），此时EB＝，∴PB＝EB•cos∠EBP＝•＝，共线图形可知当0＜t≤时，△BFE是等腰三角形．如图3﹣2中，当点F在线段CD上，EF＝BE时，1＝t，∴t＝．如图3﹣3中，当点F在线段CD上，BF＝BE时，易证：PE＝PF，∴t＝，∴t＝1，综上所述，t的值为0＜t≤或或1时，△BEF是等腰三角形．当t＝1时，△BEF的面积最大，最大值＝××＝．。

一次函数面积专题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题1．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 三个顶点的坐标分别是A (1，5)，B (-3，-3)和C (7，2)，求△ABC 的面积．【答案】30 【解析】 【分析】解法1：延长AC 交x 轴于点D ，先求出直线AC 的解析式，从而得出点D 的坐标，再利用=+-ABCAEDBEFCFDSSSS即可．解法2：分别过点A ，B ，C 向坐标轴作垂线，得到矩形BEFG ，然后利用矩形=---ABCBEACFACBGBEFG SS SSS就可得到所求三角形的面积．解法3：分别过点A ，B ，C 向坐标轴作垂线，得到矩形BEFG ，据勾股定理求得45AB =同理可得35AC =55BC =由勾股定理逆定理和三角形的面积公式即可得出答案． 解法4：作AM//y 轴交BC 于M ，先得出直线BC 解析式为1322y x =-，然后得出点M (1，-1)，从而确定水平宽a =10，铅垂高h =6，再利用=+ABCABMACMS SS即可；【详解】解法1：如图2，延长AC 交x 轴于点D ． 因为A (1，5)，C (7，2)，所以直线AC 的解析式为11122y x =-+，所以点D 的坐标为D (11，0)．同理，可以求出点E 3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，点F (3，0)，所以DE =252，EF =92，DF =8，所以1252783044ABCAEDBEFCFDSSSS=+-=+-=．解法2：如图3，分别过点A ，B ，C 向坐标轴作垂线，得到矩形BEFG ． 因为A (1，5)，B (-3，-3)，C (7，2)， 所以E (-3，5)，F (7，5)，G (7，-3)，所以BE =8，BG =10，AE =4，AF =6，CF =3，CG =5， 所以801692530ABCBEACFACBGBEFG SS SSS=---=---=矩形．解法3：如图4，在Rt △ABE 中，因为A (1，5)，B (-3，-3)，E (-3，5)， 所以根据勾股定理求得45AB = 同理可得35AC =55BC = 因为2224580125AC AB BC +=+==， 所以由勾股定理逆定理得90BAC ∠=︒． 所以1145353022ABCSAB AC =⋅=⨯=．解法4：如图5，由B (-3，-3)，C (7，2)容易得到水平宽a =10， 所以直线BC 解析式为1322y x =-． 作AM//y 轴交BC 于M ， 令x =1，代入1322y x =-得y =-1，则M (1，-1)． 此时，可以得到铅垂高h =5+1=6． 所以1211130222ABCABMACMSSSAM h AM h a h =+=⋅+⋅=⋅=．2．如图，已知直线AB 经过A (2，0)，B (0，1)两点，点P 的坐标为(-2，a )，且0<a <2．若△ABP 的面积是1，求a 的值．【答案】1 【解析】 【分析】方法1：先根据A 、B 两点坐标求出直线AB 的解析式为112y x =-+，再过点P 作QN x⊥轴，交直线AB 于点Q ，交x 轴于点N ，利用割补法建立关于a 的方程，求解即可；方法2：设直线BP 交x 轴于点Q ，利用P 、B 两点坐标求出直线PB 的解析式为112a y x -=+，进而求出Q 2,01a ⎛⎫⎪-⎝⎭，利用割补法建立关于a 的方程，求解即可； 方法3：过点O 作AB 的平行线于直线x =-2交于点P ，根据A 、B 两点坐标求出直线AB 的解析式为112y x =-+，由直线OP 与直线AB 平行，且过原点，得到直线OP 的解析式即可求解． 【详解】 方法1：如答图所示，过点P 作QN x ⊥轴，交直线AB 于点Q ，交x 轴于点N ． 设直线AB 的解析式为y kx b =+．将A (2，0)，B (0，1)两点坐标代入可得201k b b +=⎧⎨=⎩，解得121k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩． 则直线AB 的解析式为112y x =-+，令x =-2得y =2，则Q (-2，2)． 由42(2)1ABPAQNPNAPQBSSSSa a =--=---=，解得a =1．方法2：设直线BP 交x 轴于点Q ，直线PB 的解析式为y kx b =+．将P (-2，a)，B (0，1)两点坐标代入可得21k b ab -+=⎧⎨=⎩，解得121a k b -⎧=⎪⎨⎪=⎩． 则直线PB 的解析式为112ay x -=+．a =1时，显然成立； 1a ≠时，令y =0得x =2a 1-，则Q 2,01a ⎛⎫⎪-⎝⎭．如图所示，121212212121ABPABQPQASSSa a a ⎛⎫⎛⎫=-=⨯⨯--⨯⨯-= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， 解得a =1，又1a ≠，故此时a 不存在．综上得a =1．方法3：如答图所示，过点O 作AB 的平行线于直线x =-2交于点P ，连接AP ，BP ． 因为“平行线间的距离处处相等”，所以△ABP 与△AOB 同底等高，面积都是1． 设直线AB 的解析式为y kx b =+．将A (2，0)，B (0，1)两点坐标代入可得201k b b +=⎧⎨=⎩，解得121k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，则直线AB 的解析式为112y x =-+． 因为直线OP 与直线AB 平行，且过原点，所以直线OP 的解析式为12y x =-．令x =-2得a =1．3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y x b =-+的图象与正比例函数y kx =的图象都经过点()3,1B ．（1）求一次函数和正比例函数的解析式；（2）若点(),P x y 是线段AB 上一点，且在第一象限内，连接OP ，设APO ∆的面积为S ，求面积S 关于x 的函数解析式． 【答案】（1）y =﹣x +4，13y x =；（2）S =2x （0＜x ≤3）． 【解析】 【分析】（1）把B （3，1）分别代入y =﹣x +b 和y =kx 即可得到结论； （2）根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）把B （3，1）分别代入y =﹣x +b 和y =kx 得1=﹣3+b ，1=3k ，解得：b =4，k 13=，∴y =﹣x +4，y 13=x ；（2）∵点P （x ，y ）是线段AB 上一点，∴S 12OA =•xP 142x =⋅⋅=2x （0＜x ≤3）．【点睛】本题考查了两直线相交或平行，三角形面积的求法，待定系数法确定函数关系式，正确的理解题意是解题的关键．4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数12y x m =-+的图象1l 分别与x ，y 轴交于A ，B 两点，正比例函数的图象2l 与1l 交于点()2,4C ．(1)求m 的值及2l 的解析式；(2)若点M 是直线12y x m =-+上的一个动点，连接OM ，当AOM 的面积是BOC 面积的2倍时，请求出符合条件的点M 的坐标；(3)一次函数2y kx =+的图象为3l ，且1l ，2l ，3l 不能围成三角形，直接写出k 的值．【答案】(1)5m =，2l 的解析式为2y x =(2)()6,2M 或()142，(3)12k =-或2或1【解析】 【分析】（1）设2l 的解析式为1y k x =，将点C 的坐标代入12,l l 的解析式，即可求解；（2）设1(,5)2M a a -+，进而根据题意列出方程，解方程求解即可；（3）根据题意，则31l l ∥或32l l ∥，进而即可求得k 的值 (1)2l 与1l 交于点()2,4C ．设2l 的解析式为1y k x =，将点C 的坐标代入12,l l 的解析式，可得， 1422m =-⨯+，142k =，解得5m =，12k =，∴2l 的解析式为2y x = (2)设1(,5)2M a a -+，152y x =-+，令0x =，则5y =，令0y =，则10x =()0,5B ∴，()10,0A又()2,4C∴11111525,105522222BOCC AOMM M SBO x S OA y y a =⨯=⨯⨯==⨯=⨯⨯=⨯-+ AOM 的面积是BOC 面积的2倍，∴1552a ⨯-+2=⨯5即1522a -+=解得6a =或14∴()6,2M 或()142， (3)一次函数2y kx =+的图象为3l ，且1l ，2l ，3l 不能围成三角形，∴31l l ∥或32l l ∥当3l 过点C （2,4）时,将点C 坐标代入y =kx ＋2并解得:k =l ,∴12k =-或2或1【点睛】本题考查了一次函数综合，求一次函数解析式，求一次函数与坐标轴围成的三角形面积，一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数的平移，掌握一次函数的性质是解题的关键． 5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数332y x =-+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，过点B 作AB 的垂线，垂线与反比例函数()10my m x=≠交于C 、D 两点，且AB BC =．(1)求反比例函数()10my m x=≠的表达式，及经过点C 、D 的一次函数表达式()20y kx b k =+≠；(2)请直接写出使12y y >的x 取值范围； (3)求出ABD △的面积． 【答案】(1)110y x =，22433y x =- (2)3x <-或05x << (3)656【解析】 【分析】（1）由一次函数y ＝﹣32x +3求得A 、B 的坐标，然后通过证得△ABO ≌△BCF ，求得C（5，2），然后利用待定系数法即可求得函数的解析式； （2）求得D 的坐标，然后根据图象即可求得；（3）利用三角形面积公式，根据S △ABD ＝S △ABE +S △ADE 求得即可． (1)解：∵332y x =-+ 与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，∴A （0，3），B （2，0）， 如图，过点C 作CF ⊥x 轴于点F ，∵AB ⊥CD ，∴∠ABO +∠CBF ＝90°， ∵∠ABO +∠BAO ＝90°， ∴∠BAO ＝∠CBF ， 在△ABO 和△BCF 中，BAO CBF AOB BFC AB BC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ ， ∴△ABO ≌△BCF （AAS ）， ∴BF ＝AO ＝3，CF ＝OB ＝2， ∴C （5，2）， ∵反比例函数y 1＝mx（m ≠0）过点C ， ∴m ＝5×2＝10， ∴反比例函数110y x=， 将B （2，0），C （5，2）代入y 2＝kx +b （k ≠0）得2052k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得2343k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴经过点C 、D 的一次函数表达式为22433y x =- ； (2)由102433y xy x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 解得52=⎧⎨=⎩x y 或3103x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，∴D 横坐标为﹣3．∴y 1＞y 2的x 取值范围：x ＜﹣3或0＜x ＜5； (3)ABD ADE ABE S S S =+△△△ 12D AE x =1·2B AE x + 656=． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．6．如图，已知一次函数1y k x b =+与反比例函数2k y x=的图象交于第一象限内的点()1,6A 和()6,B m ，与x 轴交于点C ．(1)分别求出这两个函数的表达式；(2)①观察图象，直接写出不等式21k k x b x+≥的解集；②请连接OA 、OB ，并计算△AOB 的面积；(3)是否存在坐标平面内的点P ，使得由点O ，A ，C ，P 组成的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)反比例函数的表达式是：y ＝6x ，一次函数表达式是：y ＝﹣x +7 (2)①x ＜0或1≤x ≤6；352(3)存在点P 的坐标为（8，6）或（﹣6，6）或（6，﹣6）使得由点O ，A ，C ，P 组成的四边形是平行四边形【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法分别求出一次函数与反比例函数解析式；（2）①利用函数图象结合其交点得出不等式k 1x +b ≥2k x的解集；②如图所示，过点A 作AD ⊥x 轴于D ，过点B 作BE ⊥x 轴于B ，则2==32AOD BOE k S S =△△，再根据=AOB BOE AOD ADEB S S S S ++△△△梯形进行求解即可；（3）利用平行四边形的性质结合当AP 为边和AP 为对角线两种情况分别得出答案即可．(1)解：∵点A （1，6）在反比例函数y ＝2k x 的图象上， ∴6＝21k ， 解得：k 2＝6，∴反比例函数的表达式是：y ＝6x； ∵B （6，m ）在反比例函数y ＝6x的图象上， ∴m ＝66＝1，∴B （6，1），将点A （1，6），B （6，1）代入y ＝k 1x +b ，可得： 11616k b k b =+⎧⎨=+⎩， 解得：117k b =-⎧⎨=⎩， ∴一次函数表达式是：y ＝﹣x +7；(2)解：①∵点A （1，6），B （6，1），∴不等式k 1x +b ≥2k x的解集是：x ＜0或1≤x ≤6； 故答案为：x ＜0或1≤x ≤6；②如图所示，过点A 作AD ⊥x 轴于D ，过点B 作BE ⊥x 轴于B ， ∴2==32AOD BOE k S S =△△， ∵A （1，6），B （6，1），∴OD =1，AD =6，OE =6，BE =1，∴DE =5，∵=AOB BOE AOD ADEB S S S S ++△△△梯形，∴()35===22AOB ADEB AD BE DE S S +⋅△梯形；(3)解：∵C是直线AB与x轴的交点，∴点C的坐标为（7，0），如图3-1所示：当AP为边时，∴AP∥OC，AP＝OC＝7，∵A（1，6），∴P点坐标为：（8，6）或（-6，6）；当AP为对角线时，如图3-2所示，∵AP与OC的中点坐标相同，∴1072260022PPxy++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩，∴66PPxy=⎧⎨=-⎩，∴点P的坐标为（6，-6）；综上所述存在点P的坐标为（8，6）或（﹣6，6）或（6，﹣6）使得由点O，A，C，P 组成的四边形是平行四边形．【点睛】此题主要考查了反比例函数的综合以及待定系数法求一次函数解析式、平行四边形的性质等知识，正确数形结合分析是解题关键．7．如图，一次函数y=kx+b(k>0)的图象经过点C(−3，0)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为3．(1)求一次函数的解析式；(2)若反比例函数myx的图象与该一次函数的图象交于一、三象限内的A，B两点，且AC=2BC，求m的值．【答案】(1)一次函数的解析式为y=23x+2；(2)m的值为12．【解析】【分析】（1）根据一次函数y=kx+b（k＞0）的图象经过点C（-3，0），得到-3k+b=0①，点C到y轴的距离是3，解方程即可得到结论；（2）如图，作AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，则AD∥BE．根据相似三角形的性质得到AD=2BE．设B点纵坐标为-n，则A点纵坐标为2n．求得A（3n-3，2n），B（-3-32 n，-n），根据反比例函数y=mx的图象经过A、B两点，列方程即可得到结论．(1)解：∵一次函数y=kx+b（k＞0）的图象经过点C（-3，0），∴-3k+b=0①，点C到y轴的距离是3，∵k＞0，∴b＞0，∵一次函数y=kx+b的图象与y轴的交点是（0，b），∴12×3×b=3，解得：b=2．把b=2代入①，解得：k=23，则函数的解析式是y=23x+2．故这个函数的解析式为y=23x+2；(2)解：如图，作AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，则AD∥BE．∵AD∥BE，∴△ACD∽△BCE，∴AD ACBE BC=2，∴AD=2BE．设B点纵坐标为-n，则A点纵坐标为2n．∵直线AB的解析式为y=23x+2，∴A（3n-3，2n），B（-3-32n，-n），∵反比例函数y=mx的图象经过A、B两点，∴（3n-3）•2n=（-3-32n）•（-n），解得n1=2，n2=0（不合题意舍去），∴m=（3n-3）•2n=3×4=12．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，难度适中．正确求出一次函数的解析式是解题的关键．8．如图，反比例函数kyx=的图象与一次函数12y x=-的图象分别交于M，N两点，已知点M（－2，m）．(1)求反比例函数的表达式；(2)点P为y轴上的一点，当点P的坐标为(5时，求△MPN的面积．【答案】(1)2 yx =-(2)5【解析】【分析】（1）把M（-2，m）代入函数式y=-12x中，求得m的值，从而求得M的坐标，代入y=kx可求出函数解析式；（2）根据反比例函数与正比例函数的中心对称性求得N的坐标，然后利用S△MPN=S△MOP+S△NOP求得即可．(1)解：∵点M（-2，m）在一次函数y=-12x的图象上，∴m=-12×（-2）=1．∴M（-2，1）．∵反比例函数y=kx的图象经过点M（-2，1），∴k=-2×1=-2．∴反比例函数的表达式为y=-2x；(2)解：∵反比例函数y=kx的图象与一次函数y=-12x的图象分别交于M，N两点，M（-2，1），∴N（2，-1），∵点P为y轴上的一点，点P的坐标为（0，5），∴OP=5，∴S△MPN=S△MOP+S△NOP=12×5×2+12×5×2=25．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，本题利用了待定系数法求函数解析式以及利用中心对称求两个函数的交点，三角形的面积等知识．9．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数ymx（m≠0）的图象相交于A，B两点，过点A作AD⊥x轴于点D，AO＝5，OD：AD＝3：4，B点的坐标为（﹣6，n）(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)求△AOB的面积；(3)P是y轴上一点，且△AOP是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的P点坐标．【答案】(1)y23=x+2，y12x=；(2)△AOB的面积S9=；(3)P点坐标为：（0，8）或（0，5）或（0，﹣5）或（0，258）【解析】【分析】（1）设OD=3a，AD=4a，则AO=5a=5，解得：a=1，故点A（3，4），故反比例函数的表达式为：y=12x，故B（-6，2），将点A、B的坐标代入一次函数表达式，即可求解；（2）△AOB的面积S=12×OM×（xA-xB）=12×2×（3+6）=9；（3）分AP=AO、AO=PO、AP=PO三种情况，分别求解即可．(1)解：AO＝5，OD：AD＝3：4，设：OD＝3a，AD＝4a，则AD＝5a＝5，解得：a＝1，故点A（3，4），则m＝3×4＝12，故反比例函数的表达式为：y12x=，故B（﹣6，﹣2），将点A、B的坐标代入一次函数表达式y＝kx+b得：4326k bk b=+⎧⎨-=-+⎩，解得：232kb⎧=⎪⎨⎪=⎩，故一次函数的表达式为：y23=x+2；(2)解：设一次函数y23=x+2交y轴于点M（0，2），∵点A（3，4），B（﹣6，﹣2），∴△AOB的面积S12=⨯OM×（xA﹣xB）12=⨯2×（3+6）＝9；(3)解：设点P（0，m），而点A、O的坐标分别为：（3，4）、（0，0），AP2＝9+（m﹣4）2，AO2＝25，PO2＝m2，当AP＝AO时，9+（m﹣4）2＝25，解得：m＝8或0（舍去0）；当AO＝PO时，同理可得：m＝±5；当AP＝PO时，同理可得：m258 =；综上，P点坐标为：（0，8）或（0，5）或（0，﹣5）或（0，258）．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，等腰三角形的判定与性质，利用形数结合解决此类问题，是非常有效的方法．10．如图，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y=mx(m≠0)的图象交于二、四象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为(−3，4)，点B的坐标为(6，n)．(1)求该反比例函数和一次函数的解析式；(2)连接OB，求△AOB的面积；(3)在x轴上是否存在点P，使△APC是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)反比例函数的解析式为y=-12x；一次函数的解析式为y=-23x+2；(2)S△AOB=9；(3)存在．P点坐标为（-3，0）、（-173，0）．【解析】【分析】（1）先把A（-3，4）代入反比例函数解析式得到m的值，从而确定反比例函数的解析式为y =-12x；再利用反比例函数解析式确定B 点坐标为（6，-2），然后运用待定系数法确定所求的一次函数的解析式为y =-23x +2； （2）先依据一次函数求得点C 的坐标，进而得到△AOB 的面积；（3）过A 点作AP 1⊥x 轴于P 1，AP 2⊥AC 交x 轴于P 2，可得P 1点的坐标为（-3，0）；再证明Rt △AP 2P 1∽Rt △CAP 1，利用相似比计算出P 1P 2的长度，进而得到OP 2的长度，可得P 2点的坐标为（-173，0），于是得到满足条件的P 点坐标． (1)解：将A （-3，4）代入y =m x ，得m =-3×4=-12， ∴反比例函数的解析式为y =-12x ； 将B （6，n ）代入y =-12x，得6n =-12， 解得n =-2，∴B （6，-2）， 将A （-3，4）和B （6，-2）分别代入y =kx +b （k ≠0），得3462k b k b -+=⎧⎨+=-⎩， 解得232k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴所求的一次函数的解析式为y =-23x +2； (2)解：当y =0时，-23x +2=0， 解得：x =3，∴C （3，0），∴S △AOC =12×3×4=6，S △BOC =12×3×2=3， ∴S △AOB =6+3=9；(3)解：存在．过A 点作AP 1⊥x 轴于P 1，AP 2⊥AC 交x 轴于P 2，如图，∴∠AP 1C =90°，∵A 点坐标为（-3，4），∴P 1点的坐标为（-3，0）；∵∠P 2AC =90°，∴∠P 2AP 1+∠P 1AC =90°，而∠AP 2P 1+∠P 2AP 1=90°，∴∠AP 2P 1=∠P 1AC ，∴Rt △AP 2P 1∽Rt △CAP 1， ∴11211AP PP CP AP =，即12464PP =， ∴P 1P 2=83， ∴OP 2=3+83=173， ∴P 2点的坐标为（-173，0）， ∴满足条件的P 点坐标为（-3，0）、（-173，0）． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，解决问题的关键是了解反比例函数图象上点的坐标特征和待定系数法确定函数解析式；会运用三角形相似知识求线段的长度．。

一次函数与几何图形面积问题解析课时小练一、新课导入（一）学习目标学会运用数形结合思想，能根据题意处理与面积有关的一次函数问题，依据函数性质及图形特征学会面积转化，建立相应的数式关系，运用方程或不等式的知识来解决问题．（二）预习导入如图，已知A（0，2），B（6，0），C（2，m）），当S△ABC=1时，m=______．．二、典型问题知识点一：与静态图形有关的面积问题例1如图，点A，B的坐标分别为（0，2），（1，0），直线y=12x−3与y轴交于点C、与x 轴交于点D．（1）直线AB解析式为y=kx+b，求直线AB与CD交点E的坐标；（2）四边形OBEC的面积是________；分析：（1）运用待定系数法即可得到直线AB解析式，再根据方程组的解，即可得到直线AB 与CD交点E的坐标；（2）根据坐标轴上点的特征求出C、D两点的坐标，然后根据S四边形OBEC=S△DOC−S△DBE 面积公式计算即可；知识点二：与动态图形有关的面积问题例2如图，平面直角坐标系中，直线AB：y=﹣x+b交y轴于点A，交x轴于点B，S△AOB=8．（1）求点B的坐标和直线AB的函数解析式；（2）直线a垂直平分OB交AB于点D，交x轴于点E，点P是直线a上一动点，且在点D 的上方，设点P的纵坐标为m．①用含m的代数式表示△ABP的面积；②当S△ABP=6时，点P的坐标为；③在②的条件下，在坐标轴上，是否存在一点Q，使得△ABQ与△ABP面积相等？若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．分析：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可找出点A、B的坐标，结合S△AOB=8即可求出b值，进而可得出点B的坐标和直线AB的函数表达式；（2）①由OB的长度结合直线a垂直平分OB，可得出OE、BE的长度，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点D的坐标，进而可用含m的代数式表示出DP的值，再利用三角形的面积公式即可用含m的代数式表示△ABP的面积；②由①的结论结合S△ABP=6，即可求出m值，此题得解；③分点Q在x轴及y轴两种情况考虑，利用三角形的面积公式即可求出点Q的坐标，此题得解．三、阶梯训练A组：基础练习1．直线y=kx－4与两坐标轴所围成三角形的面积是4，则k=．2.已知直线y＝2x+4与x轴、y轴分别交于A，B两点，点P（﹣1，m）为平面直角坐标系内一动点，若△ABP面积为1，则m的值为．3．如图，过点A（2，0）的两条直线l1，l2分别交y轴于B，C，其中点B在原点上方，点C在原点下方，已知AB=13.（1）则点B的坐标为；（2）若△ABC的面积为4，求l2的解析式为．4．如图,直线y=12x+2分别与x轴、y轴相交于点A，B两点．（1）求点A和点B的坐标；（2）若点P是y轴上的一点，设△AOB、△ABP的面积分别为S△AOB与S△ABP，且S△ABP=2S△AOB，求点P的坐标．5．如图，点N（0，6），点M在x轴负半轴上，ON＝3OM，A为线段MN上一动点，AB ⊥x轴，垂足为点B，AC⊥y轴，垂足为点C．（1）点M的坐标为；（2）求直线MN的解析式；（3）若点A的横坐标为﹣1，求四边形ABOC的面积．6．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线l1：y=12x与直线l2：y=−x+6交于点A，l2与x轴交于B，与y轴交于点C．（1）求△OAC的面积；（2）若点M在直线l2上，且使得△OAM的面积是△OAC面积的34，求点M的坐标．B组：拓展练习7．如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，P是线段AB上任意一点(不包括端点)，过P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为10，则该直线的函数解析式是()．A.y＝x＋5B.y＝x＋10C.y＝－x＋5D.y＝－x＋108．如图，直线AB：y=12x+1分别与x轴、y轴交于点A.点B,直线CD：y=x+b分别与x轴、y 轴交于点C.点D．直线AB与CD相交于点P，已知S△ABD=4，则点P的坐标是.9.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（4，0），C（0，3），直线y＝﹣32x+92交OA于点D，交BC于点E，动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿OA﹣AB运动，到点B停止，设△PDE的面积为S（平方单位），点P的运动时间为t（秒）．（1）求点D和点E的坐标；（2）求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）当点P在边AB上运动，且PD+PE的值最小时，直接写出直线EP的解析式．四、归纳小结方法、规律解决有关图形面积问题，着眼于相应条件在环境下的集中和转化，利用函数的性质及图形特征，运用全等、勾股及方程等相关知识进行处理，如何建立相应的方程或进行相应的计算，从而确定点的坐标，灵活运用条件是处理问题的关键．一次函数与几何图形面积问题解析课时小练答案预习导入1或53.例1（1）点A，B的坐标分别为(0，2)，（1，0），∴k+b=0，b=2.解得k=−2，b=2.∴直线AB的解析式是y=－2x+2．∴y=−2x+2，y=12x−3.解得x=2，y=−2.∴E(2，－2).（2直线CD的解析式为y=12x−3.当x=0时，y=-3，当y=0时，x=6，则点C的坐标是（0，-3），点D的坐标是（6，0）.S四边形OBEC=S△DOC−S△DBE=12×6×3−12×5×2=4.例2（1）∵直线AB：y=﹣x+b交y轴于点A，交x轴于点B，∴点A的坐标为（0，b），点B的坐标为（b，0）．∵S△AOB=12b2=8，∴b=±4．∵点A在y轴正半轴上，∴b=4．∴点B的坐标为（4，0），直线AB的函数解析式为y=﹣x+4；（2）①∵直线a垂直平分OB，OB=4，∴OE=BE=2．当x=2时，y=﹣x+4=2．∴点D的坐标为（2，2）．∵点P的坐标为（2，m）（m＞2），∴PD=m﹣2．∴S△ABP=S△APD+S△BPD=12DP•OE+12DP•BE=12×2（m﹣2）+12×2（m﹣2）=2m﹣4；②∵S△ABP=6，∴2m﹣4=6．∴m=5．∴点P的坐标为（2，5）；③假设存在．当点Q在x轴上时，设其坐标为（x，0）．∵S△ABQ=12AO•BQ=12×4×|x﹣4|=6，∴x1=1，x2=7．∴点Q的坐标为（1，0）或（7，0）；当点Q在y轴上时，设其坐标为（0，y）．∵S△ABQ=12BO•AQ=12×4×|y﹣4|=6，∴y1=1，y2=7．∴点Q的坐标为（0，1）或（0，7）．综上所述：假设成立，即在坐标轴上，存在一点Q，使得△ABQ与△ABP面积相等，且点Q 的坐标为（1，0）或（7，0）或（0，1）或（0，7）．1.±2.2.由y＝2x+4，当x＝0时，y＝4；当y＝0时，x＝﹣2∴点A（﹣2，0），点B（0，4）．如图，过点P作PE⊥x轴，交线段AB于点E．∴点E横坐标为﹣1．∴y＝﹣2+4＝2．∴点E（﹣1，2）．＝12×PE×2＝1，∴|m﹣2|＝1．∴m＝3或1．∵S△ABP故答案为3或1.3.（1）（0，3）；（2）y=12x−1．4（1）在y=12x+2中，令y=0，则12x+2=0，解得x=-4，∴点A的坐标为（-4，0）．令x=0，则y=2，∴点B的坐标为（0，2）；（2）∵点P是y轴上的一点，∴设点P的坐标为（0，y）．又∵点B的坐标为（0，2），∴BP=y−2．∵S△AOB=12OA·OB=12×4×2=4，S△ABP=12BP·OA=12|y-2|×4=2|y-2|，又∵S△ABP=2S△AOB，∴2y−2=2×4．解得y=6或y=-2．∴点P的坐标为（0，6）或（0，-2）．5.（1）（﹣2，0）；（2）设直线MN的函数解析式为y＝kx+b，把点（﹣2，0）和（0，6）分别代入上式，得−2k+b=0，b=6.解得k＝3，b＝6.∴直线MN的函数解析式为y＝3x+6；（3）把x＝﹣1代入y＝3x+6，得y＝3×（﹣1）+6＝3．∴点A（﹣1，3）．∴点C（0，3）．∵AB⊥x轴，AC⊥y轴，∠BOC＝90°，∴四边形ABOC为矩形，OB＝1，OC＝3．∴四边形ABOC的面积＝1×3＝3．6.（1）联立{y=12x，y=−x+6，解之得{x=4，y=2．∴A（4，2）由y=-x+6，当x=0，y=6，∴C（0，6）．∴S△OAC=12×6×4=12；（2）当△OMC的面积是△OAC的面积的34时，∴M点的横坐标是34×4=3，当点M在线段OA上时，把x=3代入y=12x得y=32，则此时M（3，32）；当点M在线段AC上时，把x=3代入y=-x+6得y=3，则此时M（3，3）．综上所述，M的坐标为（1，32）或（3，3）．7.C.8.(8，5).9.（1）由y＝﹣32x+92，当y＝0时，x＝3．∴点D（3，0），当y＝3时，x＝1．∴点E（1，3）．（2）如图1，①当点P在OD段时，此时0≤t≤32，S ＝12×PD ×OC ＝12×3t −2t ×3＝﹣3t +92；②当点P 在DA 段时，此时32＜t ≤2，同理可得S ＝3t ﹣92；③当点P （P ′）在AB 段时，此时2＜t ≤72，S ＝S 梯形DABE ﹣S △ADP ′﹣S △BEP ′＝6﹣12×1×（2t ﹣4）﹣12×3×（7﹣2t ）＝2t ﹣52；故S ＝−3t +92，0≤t ≤323t −92，32＜t ≤22t −52，2＜t ≤72；（3）在x 轴上取点D 的对称点D ′（5，0），连接D ′E 交AB 于点P ，则此时PD +PE 的值最小，将点E ，D ′的坐标代入一次函数解析式y ＝kx +b ，得5k +b =0，k +b =3．解得k =−34，b =154．故直线EP 的解析式为y ＝﹣34x +154．。

一次函数常与三角形或四边形的面积相结合进行考查，两种类型的题目比较常见：（1）由函数图像求面积；（2）由面积求点坐标。

遇到第一种类型题目时，找准三角形的底和高是解题的关键，特别是遇到钝角三角形。

如果无法直接求解，可以利用割补法、铅锤法等方法进行转化。

遇到第二种类型题目时，要特别注意，很容易出错，不要忘记使用绝对值。

01类型一：由函数图像求图形面积例题1：如图，直线l1：y=-3x+3与x轴交于点A，直线l2经过点B（4，0），C（3，-1.5），并与直线l2交于点D．（1）求直线l2的函数解析式；（2）求△ABD的面积.分析：求l2的函数解析式，利用待定系数法，已知点B（4，0）、点C （3，-1.5），代入解析式中求出K、b得值即可得到一次函数解析式。

求△ABD的面积，三角形有一边在x轴上，求三角形的面积可直接利用三角形的面积公式，选择x轴上的线段AB为底，那么点D纵坐标的绝对值即为三角形的高，因此需要求出点B坐标。

点B是两直线的交点，联立方程组即可求得点B坐标。

本题主要是有函数图像求得三角形的面积，属于基础题。

02类型二：由面积求点坐标例题2：如图，在平面直角坐标系中，过点C（0，6）的直线AC与直线OA相交于点A（4，2）．（1）求直线AC的表达式；（2）求△OAC的面积；（3）动点M在线段OA和射线AC上运动，是否存在点M，使△OMC 的面积是△OAC的面积的14？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．分析：（1）由点C和点A的坐标，利用待定系数法即可求得函数的解析式；（2）求△AOC的面积，由题可知该三角形可选OC作为底，点A的横坐标的绝对值即为该三角形的高，点A与点C坐标已知，可通过三角形的面积公式直接求出。

（3）当△OMC的面积是△OAC的面积的1/4时，根据面积公式即可求得M的横坐标的绝对值，然后代入解析式即可求得M的坐标．由面积求点坐标时，一定要注意绝对值的使用，注意分情况进行讨论。

一次函数中的面积问题（专题）例1：已知一次函数 ，求该函数图象与坐标轴围成的图形的面积.（针对性训练1）已知一次函数 ，求该函数图象与坐标轴围成的图形的面积.例2：若直线 与两坐标轴所围成的图形面积为4，求该直线的解析式.（针对性训练2）若直线 与两坐标轴所围成的图形面积为6，求该直线的解析式.例3：已知一次函数图像经过（0，2）且与两坐标轴围成的三角形面积为1，求一次函数的 解析式.（针对性训练3）已知一次函数图像经过（0，-2）且与两坐标轴围成的三角形面积为3， 求一次函数的解析式.4、如图所示一次函数 的图象经过A（2，4）和B （0，2）两点，且与x 轴相交于C 点，连接AO 。

（1）求此一次函数的解析式；（2）求AOC ∆的面积.b kx y +=121+-=x y b x y +=2231-=x y b x y --=321-5、已知直线 和直线 相交于点P ，且直线分别交x 轴、 轴于点A ，B ，直线 交 轴于点C ，如图所示（1）求点P 的坐标；（2）求PCA ∆的面积.6、如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数的图象 分别与x 轴、y 轴和直线4=x 交于点A ，B ，C ，直线4=x 与x 轴交于点D ，梯形OBCD （O 为坐标原点）的面积为10，若点A 的横坐标为 ，求这个一次函数的解析式.7、直线 过点A （0，2），B （2，0），直线 ： 过点C （1，0），且把分成两部分，其中靠近原点的那部分是一个三角形，设此三角形的面积为S ，求S 关于m 的函数解析式.643+-=x y 243-=x y 643+-=x y 243-=x y y y bkx y +=1l 2l bmx y +=AOB ∆。

1．能由一次函数的知识求有关图形的面积；2．能由已知图形的面积解决一次函数的有关问题； 3．体会一次函数的有关面积问题的解决思路．（此环节设计时间在10—15分钟）回顾上次课的预习思考内容，要求学生先画出一次函数的大致图形再解题．1．直线1y x =--与x 轴相交于点 ，与y 轴相交于点 ，与坐标轴围成的三角形面积为 ．2．一次函数的图像经过(3，5)，(—4，—9)，则此一次函数的解析式为 ，一次函数与坐标轴围成的三角形面积为 ．3．直线34y x =-+与直线21y x =-相交于P ，直线34y x =-+与x 轴相交于点A ，直线21y x =- 与x 轴相交于点B ，交点P 的坐标为 ，△ABP 面积为 ． 参考答案：1．（—1，0），（0，—1），12； 2．21y x =-，14； 3．4(,0)3，1(,0)2，（1，1），512； 归纳总结：一次函数与坐标轴围成的面积可以推到出相应公式：22b S k∆=（此环节设计时间在50-60分钟）案例1：问题1：如图，已知直线l ：22y x =-+与直线m ：y x =交于点T ，求直线l 和直线m 与x 轴所围成的图形面积。

参考答案：解：由题意：(3,0),(0,3)A B - ∴1922AOBS OA OB =⋅= ∴11113232BOC AOBSOB C D S =⋅==∴11C D = 代入3y x =+得1(1,2)C -， 设直线l 的解析式：y kx = 代入1(1,2)C -得2k =- ∴直线l 的解析式2y x =- 同理：2(2,1)C -,∴直线l 的解析式12y x =-试一试：已知直线2y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A 点和B 点，另一条直线(0)y kx b k =+≠经过点C （1，0），且把△AOB 分成两部分。

若△AOB 被分成的两部分面积比为1：5，求k 和b 的值.参考答案：22,33k b =-=或2,2k b ==-此环节设计时间在30分钟左右（20分钟练习＋10分钟互动讲解）。

专题07 一次函数中的面积问题精讲一、平面直角坐标系中面积的几种求法面积问题是中考的一个重点知识点，考查方式灵活多样，很多题目有创新性，能很好考查学生的灵活运用知识的能力.我们除了要熟知常见图形的面积公式外，在平面直角坐标系中还要懂得以下几种面积的方法： 方法一、割补法割补方法不仅仅只有一种，要灵活使用.方法二、铅垂高、水平宽法=21=2ABC ABC S CD OAS CE OB⨯⨯⨯⨯△△ 二、典型例题选讲题1. 如图1-1所示，把Rt △ABC 放在直角坐标系内，其中∠CAB =90°，BC =5，点A 、B 的坐标分别为（1，0）、（4，0）．将△ABC 沿x 轴向右平移，当点C 落在直线y =2x ﹣6上时，线段BC 扫过的面积为（ ）图1-1A ．4B ．8C ．16D ．12 【答案】C .【解析】如图1-2所示．图1-2设C 点移动到直线y =2x ﹣6上的点为C ’. ∵点A 、B 的坐标分别为（1，0）、（4，0）， ∴AB =3．∵∠CAB =90°，BC =5，∴在Rt △ABC 中，由勾股定理得：AC =4． ∴A ′C ′=4．∵点C ′在直线y =2x -6上， ∴2x -6=4，解得 x =5．即OA ′=5， ∴CC ′=5-1=4．∴四边形BB ’C ’C 是平行四边形，面积 =4×4=16． 即线段BC 扫过的面积为16，故答案为：C .题2. 已知一次函数2y x a =+与y x b =-+的图象都经过A （2-，0），且与y 轴分别交于B 、C 两点，则△ABC 的面积为 （ ）．A ． 4B ． 5C ． 6D ． 7 【答案】C .【解析】因为y =2x +a 与y =-x +b 的图象都经过A (-2,0), 所以0=2×（-2）+a ， 解得：a =4， 又因为0=2+b 解得：b =-2y =2x +4、y =-x -2与y 轴分别交于B 、C 两点 ∴B (0.4)，C (0,-2)，三角形ABC 的面积=2×6÷2=6. 故答案为：C .题3. (河北中考)如图3-1所示，在平面直角坐标系xOy 中，A (0，5)，直线x ＝－5与x 轴交于点D ，直线y ＝－38x －398与x 轴及直线x ＝－5分别交于点C ，E .点B ，E 关于x 轴对称，连接AB . (1)求点C ，E 的坐标及直线AB 的解析式； (2)若S ＝S △CDE ＋S 四边形ABDO ，求S 的值；(3)在求(2)中S 时，嘉琪有个想法：“将△CDE 沿x 轴翻折到△CDB 的位置，而△CDB 与四边形ABDO 拼接后可看成△AOC ，这样求S 便转化为直接求△AOC 的面积，如此不更快捷吗？”但大家经反复验算，发现S △AOC ≠S ，请通过计算解释他的想法错在哪里．图3-1【答案】见解析【解析】解：（1）y ＝－38x －398，令y ＝0，有0＝－38x －398，解得：x ＝－13，即C (－13，0)．令x ＝－5，则有y ＝－38×(－5)－398＝－3，即E (－5，－3)．∵点B ，E 关于x 轴对称， ∵B (－5，3)． ∵A (0，5)，∵设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋5， ∵－5k ＋5＝3， ∵k ＝25，∵直线AB 的解析式为y ＝25x ＋5.（2）由（1）知E (－5，－3)， ∵DE ＝3. ∵C (－13，0)，∵CD ＝－5－(－13)＝8， ∵S ∵CDE ＝12CD ·DE ＝12.由题意知OA ＝5，OD ＝5，BD ＝3， ∵S 四边形ABDO ＝12(BD ＋OA )·OD ＝20，∵S ＝S ∵CDE ＋S 四边形ABDO ＝12＋20＝32.（3）由（2）知S ＝32，在∵AOC 中，OA ＝5，OC ＝13， ∵S ∵AOC ＝12OA ·OC ＝652＝32.5，∵S ≠S ∵AOC .理由：由(1)知直线AB 的解析式为y ＝25x ＋5，令y ＝0，则0＝25x ＋5，∵x ＝－252≠－13，∵点C 不在直线AB 上，即点A ，B ，C 不在同一条直线上， ∵S ∵AOC ≠S .题4. 已知一次函数的图象过点(0,3)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为3, 则其表达式为( ) A . y ＝1.5x ＋3B . y ＝－1.5x ＋3C . y ＝1.5x ＋3或y ＝－1.5x ＋3D . y ＝1.5x －3或y ＝－1.5x －3【答案】C .【解析】解：设该一次函数与x 轴的交点坐标为（a ,0）， 由题意得：1332a ⨯⨯=， 解得：a =±2， 当a =2时，设直线解析式为y =kx +3，将（2,0）代入，求得k =-1.5； 同理求得，当a =-2时，k =1.5.所以函数解析式为：y ＝1.5x ＋3或y ＝－1.5x ＋3，故答案为C .题5. 如图5-1所示，已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过A (－2，－1)，B (1，3)两点，并且交x 轴于点C ，交y 轴于点D .图5-1(1)求该一次函数的解析式；(2)求∵AOB 的面积． 【答案】见解析.【解析】解：(1)把A (－2，－1)，B (1，3)代入y ＝kx ＋b ，得：⎩⎪⎨⎪⎧－2k ＋b ＝－1，k ＋b ＝3. 解得⎩⎨⎧k ＝43，b ＝53.∵一次函数的解析式为y ＝43x ＋53.(2)把x ＝0代入y ＝43x ＋53，得y ＝53，∵D 点坐标为(0，53)．∵S ∵AOB ＝S ∵AOD ＋S ∵BOD ＝12×53×2＋12×53×1＝52.题6. 已知，一次函数y kx b =+的图像与正比例函数13y x =交于点A ，并与y 轴交于点(0,4)B -，△AOB 的面积为6，则kb = 【答案】203-或4. 【解析】解：因为一次函数y kx b =+的图像与y 轴交于点(0,4)B -， ∴b =－4，OB =4， 设A 点横坐标为a ， 因为△AOB 的面积为6， 所以162a OB ⨯⨯=, 即a =3或－3，点A 的坐标为（3,1）或（－3，－1） 将A 点坐标代入4y kx =-，得： k =53或－1 所以kb = 203-或4. 故答案为：203-或4.题7. 如图7-1所示,点G ，D ，C 在直线a 上,点E ,F ,A ,B 在直线b 上,若a ∥b ,Rt △GEF 从如图所示的位置出发,沿直线b 向右匀速运动,直到EG 与BC 重合.运动过程中△GEF 与矩形ABCD 重合部分的面积（S ）随时间（t ）变化的图象大致是（ ）图7-1A B C D【解析】根据题意可得：①F、A重合之前没有重叠面积；②F、A重叠之后，重叠部分面积逐渐增大，且增加的速度越来越快；③△EFG完全进入且F与B重合之前，重叠部分的面积是三角形的面积，不变，④F与B重合之后，重叠部分的面积逐渐减小，减小的速度越来越慢，直至最后重叠部分的面积为0．综上所述，只有B选项图形符合．故答案为：B．题8. 如图8-1所示，已知直线y=2x+3与直线y=-2x-1.(1)求两直线交点C的坐标;(2)求∵ABC的面积.(3)在直线BC上能否找到点P,使得S∵APC=6，若能，请求出点P的坐标，若不能请说明理由。

一次函數面積問題1、如图，一次函数的图像与*轴交于点B〔-6，0〕，交正比例函数的图像于点A，点A的横坐标为-4，△ABC的面积为15，求直线OA的解析式。

2、直线y=*+3的图像与*轴、y轴分别交于A、B两点，直线a经过原点与线段AB交于C，把△ABO的面积分为2：1的两局部，求直线a的函数解析式。

3、直线PA是一次函数y=*+n的图像，直线PB是一次函数y=-2*+m〔m>n>0〕的图像，〔1〕用m、n表示A、B、P的坐标〔2〕四边形PQOB的面积是，AB=2，求点P的坐标4、△AOB的顶点O〔0，0〕、A〔2，1〕、B〔10，1〕，直线CD⊥*轴且△AOB面积二等分，假设D〔m，0〕，求m的值5、点B在直线y=-*+1上，且点B在第四象限，点A〔2，0〕、O〔0，0〕，△ABO的面积为2，求点B的坐标。

6、直线y=-*+1与*轴y轴分别交点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC， BAC=90°，点P〔a，〕在第二象限，△ABP的面积与△ABC 面积相等，求a的值.7、如图，两直线y=0.5*+2.5和y=-*+1分别与*轴交于A、B两点，这两直线的交点为P〔1〕求点P的坐标〔2〕求△PAB的面积8、直线y=a*+b〔b>0〕与y轴交于点N，与*轴交于点A且与直线y=k*交于点M 〔2，3〕，如图它们与y轴围成的△MON的面积为5，求〔1〕这两条直线的函数关系式〔2〕它们与*轴围成的三角形面积9、两条直线y=2*-3和y=5-*〔1〕求出它们的交点A的坐标〔2〕求出这两条直线与*轴围成的三角形的面积10、直线y=*+3的图像与*轴、y轴交于A、B两点，直线l经过原点，与线段AB 交于点C，把△AOB的面积分为2：1的两局部，求直线l的解析式。

11、直线y=2*+3与直线y=-2*-1与y轴分别交于点A、B〔1〕求两直线交点C的坐标〔2〕求△ABC的面积〔3〕在直线BC上能否找到点P，使得△APC的面积為6，求出点P的坐标，假设不能请说明理由。

模型介绍方法点拨☑知识点1两直线平行如图，直线b∥a，那么k b =k a ，若已知k a 及C 的坐标即可求出直线b 的解析式.☑知识点2两直线垂直如图，直线c⊥a，那么k c *k a =-1，若已知k a 及C 或B 的坐标即可求出直线c 的解析式.（针对这一性质，初中不要求掌握，一般用全等、相似的方法求解）例题精讲考点一：一次函数平行问题【例1】．一次函数y＝kx+b与y＝3x+1平行，且经过点（﹣3，4），则这个函数的表达式为y＝3x+13．解：∵一次函数y＝kx+b与y＝3x+1平行，∴k＝3，把（﹣3，4）代入y＝3x+b得﹣9+b＝4，解得b＝13，∴所求一次函数解析式为y＝3x+13．故答案为y＝3x+13．变式训练【变1-1】．一条直线平行于直线y＝2x﹣1，且与两坐标轴围成的三角形面积是4，则直线的解析式是（）A．y＝2x+4B．y＝2x﹣4C．y＝2x±4D．y＝x+2解：∵所求直线与直线y＝2x﹣1平行∴可设所求直线的解析式为y＝2x+b令x＝0可得直线在y轴的截距为b令y＝0可得直线在x轴的截距为由题意可知：b××＝4∴b＝±4，故选：C．【变1-2】．一个一次函数图象与直线y＝x+平行，与x轴、y轴的交点分别为A、B，并且过点（﹣1，﹣20），则在线段AB上（包括端点A、B），横、纵坐标都是整数的点有4个．解：因为一次函数的图象与直线y＝x+平行，所以所求直线的斜率为，又因为所求直线过点（﹣1，﹣20），所以所求直线为5x﹣4y﹣75＝0，所以此直线与x轴、y轴的交点分别为A（15，0）、B（0，﹣），设在直线AB上并且横、纵坐标都是整数的点的横坐标是x＝﹣1+4N，纵坐标是y＝﹣20+5N，（N是整数）．因为在线段AB上这样的点应满足0≤x＝﹣1+4N≤15，且﹣＜y＝﹣20+5N≤0，解得：≤N≤4，所以N＝1，2，3，4，故答案为：4．考点二：一次函数垂直问题【例2】．已知直线y＝kx+b经过点A（3，8），并与直线y＝2x﹣3垂直，则k＝﹣；b＝．解：∵已知直线y＝kx+b与直线y＝2x﹣3垂直，则k＝﹣，∴y＝x+b，将A（3，8）代入，8＝+b，解得b＝，故答案为﹣，．变式训练【变2-1】．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、B，直线CD与y轴交于点C（0，﹣8），与直线AB交于点D，若△AOB∽△CDB，则点D的坐标为（，）．解：∵△AOB∽△CDB，∴∠CDB＝∠AOB＝90°，设直线CD的解析式为：y＝2x+b，∵点C的坐标为（0，﹣8），∴b＝﹣8，，解得，，则点D的坐标为：（，），故答案为：（，）．【变2-2】．直线y＝kx+b与抛物线y＝x2交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，当OA⊥OB时，直线AB恒过一个定点，该定点坐标为（0，4）．[提示：直线l1：y＝k1x+b1与直线l2：y＝k2x+b2互相垂直，则k1•k2＝﹣1]解：∵直线y＝kx+b与抛物线y＝x2交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，∴kx+b＝x2，化简，得x2﹣4kx﹣4b＝0，∴x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4b，又∵OA⊥OB，∴×＝＝＝＝＝﹣1，解得，b＝4，即直线y＝kx+4，故直线恒过顶点（0，4），故答案为：（0，4）．考点三：一次函数的面积问题【例3】．已知一次函数y＝mx+2的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则常数m＝±2．解：令x＝0，则y＝2，令y＝0，则x＝﹣，∵一次函数y＝mx+2的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为1，∴×2×|﹣|＝1，解得m＝±2．故答案为：±2．变式训练【变3-1】．已知直线y＝（n为正整数）与坐标轴围成的三角形的面积为S n．则S1+S2+S3+…+S2020的值为（）A．B．C．D．解：令x＝0，则y＝，令y＝0，则＝0，解得x＝，所以，S n＝••＝（﹣），所以，S1+S2+S3+…+S2020＝（+﹣+﹣+…+﹣）＝（﹣）＝．故选：B．【变3-2】．如图，正比例函数y＝﹣3x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点P（m，3），一次函数图象经过点B（1，1），与y轴的交点为D，与x轴的交点为C．（1）求一次函数表达式；（2）求△COP的面积．解：（1）∵正比例函数y＝﹣3x的图象过点P（m，3），∴3＝﹣3m，解得：m＝﹣1，∴P（﹣1，3），∵一次函数y＝kx+b的图象过点P（﹣1，3），B（1，1），∴，解得：，∴一次函数表达式为y＝﹣x+2；（2）由（1）知，一次函数表达式为y＝﹣x+2，令y＝0，﹣x+2＝0，解得：x＝2，∴C（2，0），∴OC＝2，∴＝3．1．两直线y1＝k1x+b1与y2＝k2x+b2相交于y轴，则（）A．k1≠k2，b1≠b2B．k1≠k2，b1＝b2C．k1＝k2，b1≠b2D．k1＝k2，b1＝b2解：两直线y1＝k1x+b1与y2＝k2x+b2相交于y轴，则两直线与y轴的交点是同一点，在直线y1＝k1x+b1中，令x＝0，解得y＝b1，与y轴的交点是（0，b1），同理直线y2＝k2x+b2与y轴的交点是（0，b2），则b1＝b2，若k1＝k2，则两直线重合，因而k1≠k2．故选：B．2．若直线x+3y+1＝0与ax+y+1＝0互相垂直，则实数a的值为（）A．﹣3B．﹣C．D．3解：直线x+3y+1＝0的斜率为：﹣，直线ax+y+1的斜率为：﹣a，∵两直线垂直，∴﹣×（﹣a）＝﹣1，∴a＝﹣3，故选：A．3．已知一次函数y＝x+2与y＝﹣2+x，下面说法正确的是（）A．两直线交于点（1，0）B．两直线之间的距离为4个单位C．两直线与x轴的夹角都是30°D．两条已知直线与直线y＝x都平行解：根据一次函数的性质，一次函数y＝x+2与y＝﹣2+x，分别与y轴相交于（0，2）和（0，﹣2）两点，因为x的系数，都为1，因此直线的方向是一样的，都与直线y＝x平行．故选：D．4．如图，直线l1过原点，直线l2解析式为y＝﹣x+2，且直线l1和l2互相垂直，那么直线l1解析式为（）A．y＝x B．y＝x C．y＝x D．y＝x解：∵一次函数经过原点，∴设所求的一次函数为y＝kx，∵一次函数的图象与直线y＝﹣x+2垂直，∴k＝，则直线l1解析式为y＝x，故选：D．5．已知直线y＝mx﹣1上有一点B（1，n），它到原点的距离是，则此直线与两坐标轴围成的三角形的面积为（）A．B．或C．或D．或解：∵点B（1，n）到原点的距离是，∴n2+1＝10，即n＝±3．则B（1，±3），代入一次函数解析式得y＝4x﹣1或y＝﹣2x﹣1．（1）y＝4x﹣1与两坐标轴围成的三角形的面积为：××1＝；（2）y＝﹣2x﹣1与两坐标轴围成的三角形的面积为：××1＝．故选：C．6．如图，一次函数y＝kx+b的图象与正比例函数y＝2x的图象平行且经过点A（1，﹣2），则kb＝﹣8．解：∵一次函数y＝kx+b的图象与正比例函数y＝2x的图象平行，∴k＝2，∴y＝2x+b，把点A（1，﹣2）代入y＝2x+b得2+b＝﹣2，解得b＝﹣4，∴kb＝2×（﹣4）＝﹣8．故答案为﹣8．7．若平行于直线y＝﹣2x的某直线y＝kx+b与两坐标轴所围成的三角形面积为5，则b＝．解：直线y＝kx+b与直线y＝﹣2x平行，因而k＝﹣2，直线y＝﹣2x+b与x轴的交点坐标是，与y轴的交点坐标是（0，b），∴||•|b|＝5，即＝5，解得：b＝±2．8．如图，直线y＝﹣x+2与x，y轴交于A、B两点，以AB为边在第一象限作矩形ABCD，矩形的对称中心为点M，若双曲线y＝（x＞0）恰好过点C、M，则k＝．解：∵y＝﹣x+2，∴x＝0时，y＝2；y＝0时，﹣x+2＝0，解得x＝4，∴A（4，0），B（0，2）．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°．设直线BC的解析式为y＝2x+b，将B（0，2）代入得，b＝2，∴直线BC的解析式为y＝2x+2，设C（a，2a+2），∵矩形ABCD的对称中心为点M，∴M为AC的中点，∴M（，a+1）．∵双曲线y＝（x＞0）过点C、M，∴a（2a+2）＝（a+1），解得a1＝，a2＝﹣1（不合题意舍去），∴k＝a（2a+2）＝（2×+2）＝．故答案为．9．在平面直角坐标系xOy中，已知直线AB与x轴交于点A（2，0），与y轴交于点B（0，1）．（1）求直线AB的解析式；＝2，求点C的坐标．（2）若x轴上有一点C，且S△ABC解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），将点A（2，0），B（0，1）代入，可得，解得，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+1；（2）∵x轴上有一点C，设点C（x，0），∴AC＝|2﹣x|，＝2，∵S△ABC∴×|2﹣x|×1＝2，∴x＝﹣2或x＝6，∴C（﹣2，0）或C（6，0）．10．如图，直线l1：y＝x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2：y＝kx+b与x轴交于点C（0.5，0），与y轴交于点D（0，2），直线l1，l2交于点E．（1）求直线l2的函数表达式．（2）试说明CD＝CE．（3）若P为直线l1上一点，当∠POB＝∠BDE时，求点P的坐标．解：（1）将C（0.5，0）．D（0，2）代入y＝kx+b得，，解得，∴直线l2的函数解析式为y＝﹣4x+2；（2）当﹣4x+2＝x﹣3时，∴x＝1，∴E（1，﹣2），过点E作EF⊥x轴于F，∴EF＝OD＝2，∵∠ODC＝∠CEF，∠DCO＝∠ECF，∴△DOC≌△EFC（AAS），∴CD＝CE；（3）∵∠POB＝∠BDE，∴点P在l1上有两个位置，当点P在点B上方时，如图，∴OP∥DE，∴直线OP的函数解析式为y＝﹣4x，∴﹣4x＝x﹣3，∴x＝，当x＝时，y＝﹣，∴P（，﹣），当点P在点B的下方时，设点P关于y轴的对称点为Q，连接OQ交l1为点P'，∴Q（﹣），则直线OQ的函数解析式为y4，∴直线OQ与l1的交点为P'（﹣1，﹣4），综上所述：P（，﹣）或（﹣1，﹣4）．11．如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板△ABC放在第三象限，斜靠在两坐标轴上，点C坐标为（0，﹣4），直角顶点B坐标为（﹣1，0），一次函数y＝kx+b的图象经过点A、C交x轴于点D．（1）求点A的坐标；（2）求直线AC与坐标轴围成的三角形的面积．解：（1）作AE⊥x轴，垂足为E．∵∠AEB＝90°，∴∠ABE+∠CBO＝90°．在Rt△AEB中，∵∠ABE+∠EAB＝90°，∴∠CBO＝∠EAB，在△AEB和△BOC中，，∴△AEB≌△BOC（AAS）．∴AE＝BO＝1，BE＝OC＝4，∴OE＝OB+BE＝1+4＝5，∴A（﹣5，﹣1）．（2）把A（﹣5，﹣1），C（0，﹣4）代入y＝kx+b，得，解得，函数解析式为：y＝﹣x﹣4，当y＝0时，x＝﹣，D（﹣，0）．S△COD＝××4＝．12．如图，直线l1：y＝x+3分别与直线l2：y＝kx+b（k≠0）、直线l3：y＝k1x+b1（k1≠0）交于A、B两点，直线l1交y轴于点E，直线l2与x轴和y轴分别交于C、D两点，已知点A的纵坐标为，B的横坐标为1，l2∥l3，OD＝1，连BD．（1）求直线l3的解析式；（2）求△ABD的面积．解：（1）在y＝x+3中，令y＝，则x＝﹣，∴A（﹣，），∵OD＝1，∴D（0，﹣1），把点A，D的坐标代入l2：y＝kx+b，可得，解得，∴l2：y＝﹣x﹣1，在y＝x+3中，令x＝1，则y＝4，∴B（1，4），∵l2∥l3，∴k1＝﹣，把B（1，4）代入y＝﹣x+b1可得，4＝﹣+b1，∴b1＝，∴直线l3的解析式为y＝﹣x+；（2）在y＝x+3中，令x＝0，则y＝3，∴E（0，3），∴DE＝3+1＝4，＝DE（|x A|+|x B|）＝（+1）＝5．∴S△ABD13．如图，一次函数y＝x﹣2的图象与x轴交于点A，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点B，且点B的纵坐标为1．（1）求反比例函数y＝（x＞0）的表达式；（2）过点A作x轴的垂线交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点C，平移直线y＝x ﹣2得到过点C的直线l，l的函数表达式为y＝mx+n，结合函数的图象，求＞mx+n对应x的取值范围．解：（1）∵点B在一次函数y＝x﹣2的图象上，且B的纵坐标为1，∴1＝，∴x＝6，∴B（6，1），∵反比例函数y＝（x＞0）的图象过点B，∴，∴k＝6，∴反比例函数的表达式为（x＞0）；（2）∵一次函数y＝x﹣2的图象与x轴交于点A，∴令y＝0得，，∴x＝4，∴A（4，0），∵CA⊥x轴，∴点C的横坐标为4，结合函数图象可知，要求＞mx+n，即反比例函数y＝的图象在一次函数y＝mx+n的图象的上方，∴0＜x＜4．14．已知抛物线y＝ax2﹣a（a＞0）．（1）求抛物线与x轴的交点坐标；（2）设C为抛物线上的一定点，抛物线和x轴交点为E、F，直线l：y＝kx+2k+3与抛物线交于点A、B（点B与点C不重合），与y轴交于点P，直线BD垂直于直线y＝﹣a，垂足为D，且△CEF为等腰直角三角形．①求点C的坐标和抛物线的解析式；②证明：对于每一个给定的实数k，都有DP∥AC．解：（1）在y＝ax2﹣a中，令y＝0，得ax2﹣a＝0，∵a＞0，∴x2﹣1＝0，解得：x＝﹣1或x＝1，∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0）和（1，0）；（2）①∵y＝ax2﹣a，∴E（﹣1，0），F（1，0），∵△CEF为等腰直角三角形，∴CE＝CF，∠ECF＝90°，∠CEF＝∠CFE＝45°，∵∠EOC＝∠FOC＝90°，OE＝OF＝1，∴OC＝OE＝1，∴C（0，﹣1），将C（0，﹣1）代入y＝ax2﹣a中，则﹣a＝﹣1，∴a＝1，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣1；②由题意得：，解得：或，∴A（﹣2，3），B（k+2，k2+4k+3），且k+2≠0，∵直线BD垂直于直线y＝﹣1，垂足为D，∴D（k+2，﹣1），在y＝kx+2k+3中，令x＝0，得y＝2k+3，∴P（0，2k+3），设直线AC解析式为y＝mx+n，则，解得：，∴直线AC解析式为y＝﹣2x﹣1，设直线DP的解析式为y＝m′x+n′，则，解得：，∴直线DP的解析式为y＝﹣2x+2k+3，∴AC∥DP．15．定义：已知直线l：y＝kx+b（k≠0），则k叫直线l的斜率．性质：直线l1：y＝k1x+b1．l2：y＝k2x+b2（两直线斜率存在且均不为0），若直线l1⊥l2，则k1k2＝﹣1（1）应用：若直线y＝2x+1与y＝kx﹣1互相垂直，求斜率k的值；（2）探究：一直线过点A（2，3），且与直线y＝﹣x+3互相垂直，求该直线的解析式．解：（1）∵直线y＝2x+1与y＝kx﹣1互相垂直，∴2•k＝﹣1，∴k＝﹣；（2）设该直线的解析式为y＝kx+b，∵直线y＝kx+b与直线y＝﹣x+3互相垂直，∴﹣k＝﹣1，解得k＝3，把A（2，3）代入y＝3x+b得6+b＝3，解得b＝﹣3，∴该直线的解析式为y＝3x﹣3．16．在平面几何中，我们学过两条直线垂直的定义，下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们垂直的定义：设一次函数y＝k1x+b（k1≠0）的图象为直线l1，一次函数y＝k2x+b2（k≠0）的图象为直线l2，若k1•k2＝﹣1，我们就称直线l1与直线l2互相垂直，如直线y＝3x﹣1与直线y＝﹣x+1，因为3×（﹣）＝﹣1，所以相互垂直．根据以上定义内容，解答下面的问题：（1）求过点P（1，2）且与已知直线y＝0.5x﹣2垂直的直线l的函数表达式，并在如图所示的坐标系中画出直线l的图象．（2）求（1）问中的两条直线与y轴所围的三角形的面积；（3）已知点A（0，2），点B，C分别是（1）问中直线l和x轴上的动点，求出△ABC 周长的最小值．解：（1）设直线l的函数表达式为y＝kx+b，∵直线l与直线y＝0.5x﹣2垂直，∴k＝﹣2，∵直线l过点P（1，2），∴﹣2×1+b＝2，∴b＝4．∴直线l的函数表达式为y＝﹣2x+4；直线l的图象如图；（2）解方程组得，，∵直线y＝0.5x﹣2与y轴的交点为（0，﹣2），直线l的函数表达式为y＝﹣2x+4与y轴的交点为（0，4），∴两条直线与y轴所围的三角形的面积＝×6×＝；（3）∵点A（0，2）关于x轴的对称点为E（0，﹣2），关于直线l的对称点D（，），连接DE交直线l于B，交x轴于C，则此时，△ABC周长的值最小，△ABC周长的最小值＝DE＝＝．17．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点A（﹣4，3），将点A向右平移2个单位长度，再向上平移a个单位长度得到点B，点B恰好落在该函数的图象上，过A，B两点的直线与y轴交于点C．（1）求k的值及点C的坐标；（2）在y轴上有一点D（0，4），连接AD，BD，求△ABD的面积．解：（1）设反比例函数表达式为，把A（﹣4，3）代入得，3＝，解得k＝﹣4×3＝﹣12．∴反比例函数的表达式为．∵将点A向右平移2个单位长度，再向上平移a个单位长度得到点B，∴点B的坐标为（﹣2，y）．当x＝﹣2时，．∴点B的坐标为（﹣2，6）．设直线AB的函数表达式为y＝kx+b．由题意，得，解得．∴．∵当x＝0时，y＝9，∴点C的坐标为（0，9）．（2）由（1）知CD＝OC﹣OD＝9﹣4＝5．∴|x A|﹣＝．18．如图在平面直角坐标系中，过点C（0，6）的直线AC与直线OA相交于点A（4，2），动点M在线段OA和射线AC上运动．（1）求直线AB的函数关系式；（2）求△OAB的面积；（3）是否存在点M，使△OMC的面积与△OAB的面积相等？若存在求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）设直线AB的解析式是y＝kx+b，根据题意得：，解得：．则直线的解析式是：y＝﹣x+6；（2）∵y＝﹣x+6，当y＝0时，x＝6，∴B（0，6），∴OB＝6，∴△OAB的面积＝×6×2＝6；（3）存在点M，使△OMC的面积与△OAB的面积相等，理由如下：如图所示：设OA的解析式是y＝mx，则42，解得：m＝．则直线OA的解析式是：y＝x，∵点C（0，6），∴OC＝6，∴OB＝OC＝6，∵△OMC的面积与△OAB的面积相等，∴M到y轴的距离＝点A的纵坐标2，∴点M的横坐标为2或﹣2；当M的横坐标为2时，在y＝x中，当x＝2时，y＝1，则M的坐标是（2，1）；在y＝﹣x+6中，当x＝2则y＝4，则M的坐标是（2，4）．则M的坐标为（2，1）或（2，4）．当M的横坐标为﹣2时，在y＝﹣x+6中，当x＝﹣2时，y＝8，则M的坐标是（﹣2，8）．综上所述：点M的坐标为（2，1）或（2，4）或（﹣2，8）．19．如图1，平面直角坐标系中，直线y＝x﹣2与x轴、y轴分别交于点A，B，直线y＝﹣x+b经过点A，并与y轴交于点C．（1）求A，B两点的坐标及b的值；（2）如图2，动点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向运动．过点P作x轴的垂线，分别交直线AC，AB于点D，E．设点P运动的时间为t．点D的坐标为（t，﹣t+4）．点E的坐标为（t，t﹣2）；（均用含t的式子表示）（3）在（2）的条件下，当点P在线段OA上时，探究是否存在某一时刻，使DE＝OB？若存在，求出此时△ADE的面积；若不存在说明理由．解：（1）令y＝0，则x＝4，∴点A的坐标为（4，0），令x＝0，则y＝﹣2，∴点B的坐标为（0，﹣2），将A（4，0）代入y＝﹣x+b，得0＝﹣4+b，解得b＝4；（2）由（1）知，直线AC的表达式为y＝﹣x+4，∵点P（t，0），∵PD⊥x轴，∴D（t，﹣t+4），E（t，t﹣2），故答案为（t，﹣t+4），（t，t﹣2）；（3）存在t，使DE＝OB，理由如下：∵点P在线段OA上，∴0≤t≤4，由（2）知D（t，﹣t+4），E（t，t﹣2），∴DE＝﹣t+4﹣（t﹣2）＝﹣t+6，∵B（0，﹣2），∴OB＝2，∵DE＝OB，∴﹣t+6＝2，解得：t＝，∴AP＝4﹣t＝4﹣＝，＝DE•AP＝×2×＝．∴S△ADE20．如图，已知一次函数y1＝kx+b的图象与函数y2＝（x＞0）的图象交于A（6，﹣），B（，n）两点，与y轴交于点C．将直线AB沿y轴向上平移t个单位长度得到直线DE，DE与y轴交于点F．（1）求y1与y2的解析式；（2）观察图象，直接写出y1＜y2时x的取值范围；（3）连接AD，CD，若△ACD的面积为6，则t的值为2．解：（1）将点A（6，﹣）代入y2＝中，∴y2＝，∵B（，n）在y2＝中，可得n＝﹣6，∴B（，﹣6），将点A、B代入y1＝kx+b，∴，解得，∴y1＝x﹣；（2）∵一次函数与反比例函数交点为A（6，﹣），B（，﹣6），∴＜x＜6时，y1＜y2；（3）在y1＝x﹣中，令x＝0，则y＝﹣，∴C（0，﹣），∵直线AB沿y轴向上平移t个单位长度，∴直线DE的解析式为y＝x﹣+t，∴F点坐标为（0，﹣+t），过点F作GF⊥AB于点G，连接AF，直线AB与x轴交点为（，0），与y轴交点C（0，﹣），∴∠OCA＝45°，∴FG＝CG，∵FC＝t，∴FG＝t，∵A（6，﹣），C（0，﹣），∵AB∥DF，＝S△ACF，∴S△ACD∴×6×t＝6，∴t＝2，故答案为：2．21．如图，抛物线y＝ax2+bx与直线l交于点A（1，5）、B（6，0），点C是l上方的抛物线上的一动点，过C作CD⊥x轴于点D，交直线l于点E．连接AC、BC．（1）求抛物线的解析式；（2）设点C的横坐标为n，△的面积为S，求出S的最大值；（3）在抛物线上是否存在点P，使得△PAB是直角三角形，且始终满足AB边为直角边？若存在，求出所有符合条件的P的坐标；若不存在，简要说明理由．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx与直线l交于点A（1，5）、B（6，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+6x；（2）易求直线l的解析式为y＝﹣x+6．由题意，知C（n，﹣n2+6n），E（n，﹣n+6），∴EC＝（﹣n2+6n）﹣（﹣n+6），即EC＝﹣n2+7n﹣6．过A作AF⊥CD于F，则AF＝n﹣1，DB＝6﹣n，+S△BCE∴S＝S△ACE＝×EC×（n﹣1）+×EC×（6﹣n）＝×EC×5＝（﹣n2+7n﹣6），即S＝﹣n2+n﹣15，配方得S＝﹣（n﹣）2+．∵﹣＜0，＝；∴S有最大值，当n＝时，S最大值（3）在抛物线上存在点P，能够使得△PAB是直角三角形，且始终满足AB边为直角边．分两种情况：①当∠PBA＝90°时，∵∠ABO＝45°，∴过点B且垂直于AB y＝x﹣6，解方程组，得，，∵B（6，0），∴P1（﹣1，﹣7）；②当∠PAB＝90°时，∵过点A且垂直于AB的直线解析式为y＝x+4，解方程组，得，，∵A（1，5），∴P2（4，8）．综上所述，符合条件的P点坐标为P1（﹣1，﹣7），P2（4，8）．。

专题12 一次函数-面积问题函数的学习中，自然离不开点、线、面，如求点的坐标、直线、曲线解析式、图形的面积，并且点、线、面之间的相互转化，本专题以一次函数为背景下求多边形面积，即由点或线的条件下求图形的面积，反之，也可以由面积求点的坐标，由面积求直线或曲线的解析式等，本专题的面积问题的巩固，为后面学习函数综合题的面积问题有极大帮助！一、单选题1．（2020·广西博白·期末）如图，矩形ABCD 中，AB =4，BC =3，动点E 从B 点出发，沿B ﹣C ﹣D ﹣A 运动至A 点停止，设运动的路程为x ，△ABE 的面积为y ，则y 与x 的函数关系用图象表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ． 2．（2020·广西灵山·期末）一次函数24y x =-+的图象与x 轴、y 轴的交点分别为A B 、，则OAB ∆的面积是（ ）A ．12B ．1C ．2D ．43．（2020·广西大化·初二期末）若直线4y x b =-+与两坐标轴围成的三角形的面积是5，则b 的值为（ ）A ．±B ．±C ．D ．- 4．（2020·山东枣庄·初三其他）如图，一次函数y ＝2x +1的图象与坐标轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△AOB 的面积为（ ）A ．14B ．12C ．2D ．4二、填空题5 ．（2020·甘肃省庆阳市第五中学初二期末）已知直线8y kx =+与轴和轴所围成的三角形的面积是4，则k 的值是________．6．（2020·湖南隆回·初三二模）一次函数24y x =-的图象与x 轴，y 轴所围成的三角形面积S =__________．7．（2020·湖北曾都·初二期末）若直线y=kx+b （k≠0）的图象经过点（0，2），且与坐标轴所围成的三角形面积是2，则k 的值为_______8．（2020·长沙市南雅中学初二期末）函数 y=2x+6 的图象与 x 、y 轴分别交于 A 、B 两点，坐标系原点为 O ，求△ABO 的面积___________．9．（2020·湖南渌口·初二期末）已知一次函数y ＝kx +4（k ＜0）的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积等于8，则k 的值为_____．10．（2019·山西初二期末）如图所示，点A （﹣3，4）在一次函数y ＝﹣3x +b 的图象上，该一次函数的图象与y 轴的交点为B ，那么△AOB 的面积为_____．三、解答题11．（2020·福建宁化·期中）已知直线l 的表达式为y=﹣x+8，与x 轴交于点B ，点P （x ，y ）在直线l 上，且x >0，y >0，点A 的坐标为（6，0）．（1）求出B 点的坐标；（2）设△OPA 的面积为S ，求S 与x 的函数关系式(并写出自变量的取值范围)．12.（2020·甘肃徽县·初二期末）如图，直线l 1的解析式为y ＝﹣x +2，l 1与x 轴交于点B ，直线l 2经过点D （0，5），与直线l 1交于点C （﹣1，m ），且与x 轴交于点A（1）求点C 的坐标及直线l 2的解析式；（2）求ABC 的面积．13．（2020·湖北下陆·初二期末）在平面直角坐标系中，原点为O ，已知一次函数的图象过点A （0，5），点B （-1，4）和点P （m ，n ）．（1）求这个一次函数的解析式；（2）当n =2时，求直线 AB ，直线 OP 与 x 轴围成的图形的面积；（3）当OAP △的面积等于OAB 的面积的2倍时，求n 的值．14．（2020·昆明市官渡区第一中学初二月考）已知一次函数22y x =--．（1）画出函数图象；（2）求图象与x 轴、y 轴的交点A 、B 的坐标; （3）求图象与坐标轴围成的图形的面积．15．（2018·安徽初二期末）如图，直线PA 是一次函数1y x =+的图象，直线PB 是一次函数24y x =-+的图象.（1）求A 、B 、P 三点坐标；（2）求PAB △的面积；（3）已知过P 点的直线把PAB △分成面积相等的两部分，求该直线解析式.16．（2019·山东初一期末）如图，已知一次函数y =−x +2的图像与y 轴交于点A ，一次函数y =kx +b 的图像过点B(0，4)，且与x 轴及y =−x +2的图像分别交于点C 、D ，D 点坐标为(−23，n). （1）求n 的值及一次函数y =kx +b 的解析式.（2）求四边形AOCD 的面积.17．（2019·内蒙古初二期中）如图，一次函数y=kx+b 的图象经过A 、B 两点，与x 轴交于点C ． （1）写出点A 、B 、C 的坐标；（2）求此一次函数的解析式；（3）求△AOC 的面积．18．（2019·内蒙古初三月考）一次函数CD ：y kx b =-+与一次函数AB ：22y kx b =+，都经过点B （-1,4）.（1）求两条直线的解析式；（2）求四边形ABDO 的面积.19．（2017·山东省济南兴济中学初二单元测试）两个一次函数的图象如图所示，（1）分别求出两个一次函数的解析式；（2）求出两个一次函数图象的交点C 坐标；（3）求这两条直线与y 轴围成△ABC 的面积．20．（2020·安徽初二期末）在平面直角坐标系xOy 中，ABC ∆如图所示，点()()()3,2,1,1,0,4A B C -.（1）求直线AB 的解析式；（2）求ABC ∆的面积；（3）一次函数32y ax a =++（a 为常数）.21．（2020·湖北房县·初二期末）如图1，直线l ：y ＝12x +2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．已知点C （﹣2，0）．。

初中数学求一次函数图形的面积15道题题专题训练含答案 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．如图，平面直角坐标系中，过点(0,6)C 的直线BC 与直线OA 相交于点(4,2)A -，动点M 在线段OA 和射线AC 上运动.(1)求直线BC 的表达式.(2)求OAC ∆的面积.(3)直接写出使OMC ∆的面积是OAC ∆面积的14的点M 坐标.2．已知：2y -与x 成正比例，且2x =时，8y =．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）求函数图像与坐标轴围成的面积．3．已知直线1:33l y x =-和直线23:62l y x =-+相交于点A ． （1）求点A 坐标；（2）若1l 与x 轴交于点B ，2l 与x 轴交于点C ，求ABC 面积．4．在平面直角坐标系中，已知直线l ：y ＝﹣12x+2交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，直线l 上的点P(m ，n)在第一象限内，设△AOP 的面积是S ．（1）写出S 与m 之间的函数表达式，并写出m 的取值范围．（2）当S ＝3时，求点P 的坐标．（3）若直线OP 平分△AOB 的面积，求点P 的坐标．5．直线AC与线段AO如图所示：（1）求出直线AC的解析式；（2）求出线段AO的解析式，及自变量x的取值范围（3）求出△AOC的面积6．在平面直角坐标系中，直线l与x轴、y轴分别交于点A、B（0，4）两点，且点C(2，2）在直线l上．（1）求直线l的解析式；（2）求△AOB的面积；7．在直角坐标系中，一条直线经过A （﹣1，5），P （2，a ），B （3，﹣3）.（1）求直线AB 的函数表达式；（2）求a 的值；（3）求△AOP 的面积.8．如图，直线11:l y x =和直线22:26l y x =-+相交于点A ，直线2l 与x 轴交于点B ，动点P 在线段OA 和射线AB 上运动．（1）求点A 的坐标；（2）求AOB 的面积；（3）当POB 的面积是AOB 的面积的13时， 求出这时点P 的坐标．9．如图，直线1l 的函数解析式为24y x =-+，且1l 与x 轴交于点D ，直线2l 经过点A 、B ，直线1l 、2l 交于点C ．（1）求直线2l 的函数解析式；（2）求ADC ∆的面积；（3）在直线2l 上是否存在点P ，使得ADP ∆面积是ADC ∆面积的1.5倍？如果存在，请求出P 坐标；如果不存在，请说明理由．10．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线1l ：12y x =与直线，2l ：6y x =-+交于点A ，2l 与x 轴交于B ，与y 轴交于点C .（1）求OAC 的面积；（2）若点M 在直线2l 上，且使得OAM △的面积是OAC 面积的34，求点M 的坐标.11．如图，已知直线:l y ax b =+过点()2,0A -，()4,3D .（1）求直线l 的解析式；（2）若直线4y x =-+与x 轴交于点B ，且与直线l 交于点C .①求ABC ∆的面积；②在直线l 上是否存在点P ，使ABP ∆的面积是ABC ∆面积的2倍，如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由.12．如图，直线1l 的解析表达式为3+3y x =-，且1l 与x 轴交于点D ，直线2l 经过点A ，点B ，直线1l ，2l 交于点C ．（1）求直线2l 的解析表达式；（2）求ADC 的面积；（3）在直线2l 上存在异于点C 的另一点P ，使得ADP △的面积等于ADC 面积，请直接写出点P 的坐标．13．如图，在平面直角坐标系中，过点()60B ，的直线AB 与直线OA 相交于点()42A ，，动点M 在线段OA 和射线AC 上运动．（1）求直线AB 的解析式．（2）求OAC ∆的面积．（3）是否存在点M ，使OMC ∆的面积是OAC ∆的面积的12？若存在求出此时点M 的坐标；若不存在，说明理由．14．点()P x y ，在第一象限，且8x y +=，点A 的坐标为()60，，设OPA ∆的面积为S .(1)用含x 的表达式表示S ，写出x 的取值范围，画出函数S 的图象；(2)当点P 的横坐标为5时，OPA ∆的面积为多少？(3)OPA ∆的面积能否大于24？为什么？15．（本题满分10分） 如图，直线23y x =+与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B .(1)求△AOB 的面积；(2)过B 点作直线BP 与x 轴相交于P ，△ABP 的面积是92，求点P 的坐标.参考答案1．(1) 6y x =+ (2)12 (3) 1(1,)2-、()1,5-、()1,7【解析】【分析】(1)利用待定系数法即可求得函数的解析式；(2)利用三角形的面积公式即可求解；(3)当OMC 的面积是OAC 的面积的14,求出M 点的横坐标，分别按照题意代入表达式即可; 【详解】解：(1) 设直线AB 的解析式是y kx b =+，根据题意得： 0642k b k b +=⎧⎨-+=⎩解得：16k b =⎧⎨=⎩， 则直线的解析式是：6y x =+； (2)164122OAC S ∆=⨯⨯=; (3) 设OA 的解析式是y mx =，则42m -=， 解得：12m =-, 则直线的解析式是：12y x =-， 当OMC 的面积是OAC 的面积的14时， ∴M 的横坐标是±1， 在12y x =-中,当1x =-时,12y = ,则M 的坐标是1(1,)2-； 在6y x =+中, 当1x =-则5,y = 则M 的坐标是()1,5.-在6y x =+中,当1x =时,7y =,则M 的坐标是()1,7.综上所述：M 的坐标是：111),2(M -或()21,5M -或()31,7M .【点睛】本题考查一次函数综合题.本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

一次函數面積問題1、如图，一次函数的图像与x轴交于点B（-6，0），交正比例函数的图像于点A，点A的横坐标为-4，△ABC的面积为15，求直线OA的解析式。

2、直线y=x+3的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线a经过原点与线段AB交于C，把△ABO的面积分为2：1的两部分，求直线a的函数解析式。

3、直线PA是一次函数y=x+n的图像，直线PB是一次函数y=-2x+m（m>n>0）的图像，（1）用m、n表示A、B、P的坐标（2）四边形PQOB的面积是，AB=2，求点P的坐标4、△AOB的顶点O（0，0）、A（2，1）、B（10，1），直线CD⊥x轴且△AOB面积二等分，若D（m，0），求m的值5、点B在直线y=-x+1上，且点B在第四象限，点A（2，0）、O（0，0），△ABO 的面积为2，求点B的坐标。

6、直线y=-x+1与x轴y轴分别交点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC， BAC=90°，点P（a，）在第二象限，△ABP的面积与△A BC 面积相等，求a的值.7、如图，已知两直线y=0.5x+2.5和y=-x+1分别与x轴交于A、B两点，这两直线的交点为P（1）求点P的坐标（2）求△PAB的面积8、已知直线y=ax+b（b>0）与y轴交于点N，与x轴交于点A且与直线y=kx交于点M（2，3），如图它们与y轴围成的△MON的面积为5，求（1）这两条直线的函数关系式（2）它们与x轴围成的三角形面积9、已知两条直线y=2x-3和y=5-x（1）求出它们的交点A的坐标（2）求出这两条直线与x轴围成的三角形的面积10、已知直线y=x+3的图像与x轴、y轴交于A、B两点，直线l经过原点，与线段AB交于点C，把△AOB的面积分为2：1的两部分，求直线l的解析式。

11、已知直线y=2x+3与直线y=-2x-1与y轴分别交于点A、B（1）求两直线交点C的坐标（2）求△ABC的面积（3）在直线BC上能否找到点P，使得△APC的面积為6，求出点P的坐标，若不能请说明理由。

一次函数之面积问题（与坐标轴围成的面积）（北师版）（综合）一、单选题(共10道，每道10分)1.直线y=2x-4与坐标轴围成的三角形的面积是( )A.2B.4C.8D.16答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：略2.直线y=kx+3与坐标轴所围成的三角形面积为6，则k的值为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：略3.已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图象过点(0，2)，且与两坐标轴围成的三角形面积为2，则一次函数的表达式为( )A.y=x+2B.y=-x+2C.y=x+2或y=-x+2D.y=-x+2或y=x-2答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：略4.已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图象过点(3，0)，且与两坐标轴围成的三角形面积为3，则一次函数的表达式为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：略5.直线y=-2x+4与直线y=x-2的交点在x轴上，则这两个函数图象与y轴围成的三角形的面积是( )A.6B.8C.10D.12答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：略6.已知一次函数y=kx+b的图象经过点B(0，10)，且与正比例函数y=2x的图象相交于点A(2，a)，则这两个函数图象与y轴所围成的三角形的面积是( )A.5B.10C.20D.40答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：略7.已知一次函数y=kx+1的图象与直线y=4x-3的交点在x轴上，则一次函数y=kx+1的图象与坐标轴围成的三角形的面积为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：略8.已知一次函数和的图象都经过点A(2，0)，且与y轴分别交于B，C两点，则△ABC的面积是( )A.1B.2C.4D.8答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：略9.若直线y=kx+b与直线y=4x平行，且直线y=kx+b与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则直线y=kx+b与x轴的交点坐标是( )A.(1，0)B.(1，0）或(-1，0)C.(2，0)D.(2，0）或(-2，0)答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：略10.如图所示，已知函数y=kx+3交x轴于点A，与直线y=mx的图象相交于点P(2，1)，则m 的值为______，△OAP的面积为______．( )A.；B.1；C.；3D.1；3答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：略。

一次函数之面积问题（讲义）➢知识点睛1.坐标系中处理面积问题，要寻找并利用横平竖直的线，通常有以下三种思路：①公式法（规则图形）；②割补法（分割求和、补形作差）；③转化法（例：同底等高）．2.坐标系中面积问题的处理方法举例①割补法——铅垂法求面积：B()2APB B AS PM x x=⋅⋅-△②转化法——借助平行线转化：l1l2如图，满足S△ABP=S△ABC的点P都在直线l1，l2上．➢精讲精练1.如图，在平面直角坐标系中，已知A(2，3)，B(4，2)，则△AOB的面积为___________．2.如图，点A，B在直线74y kx=+上，点A的坐标为(-1，3)，点B的横坐标为3，则△AOB的面积为___________．3.如图，直线y=-x+4与x轴、y轴分别交于点A，B，点P的坐标为(-2，2)，则S△PAB=___________．4.如图，一次函数y=kx+5的图象经过点A(1，4)，点B是一次函数y=kx+5的图象与正比例函数23y x的图象的交点，则△AOB的面积为___________．5.如图，直线l1：y=x+1与x轴、y轴分别交于点A，B，直线l2：y=kx-2与x轴、y轴分别交于点C，D，直线l1，l2相交于点P．若S△APD=92，则k的值为__________．6.如图，在平面直角坐标系中，已知A(2，4)，B(6，6)，C(8，2)，则四边形OABC的面积为___________．7.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2，1)，点B(8，4)，点C(m，2m-3)在直线AB上方，若△ABC的面积为9，则m的值为________．8.如图，直线l1：y=x与直线l2：y=-2x+3相交于点A，点B在直线l1上，且横坐标为4．C为l2上的一个动点，且在点A的左侧，若△ABC的面积为18，则点C的坐标为__________．9.如图，直线112y x=-+与x轴、y轴分别交于点A，B，点C的坐标为(1，2)，点P为坐标轴上一点，若S△ABP =S△ABC，则点P的坐标为__________．10.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，过点A的直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段OB的中点．（1）求直线AM的函数解析式；（2）若点P是直线AM上一点，使得S△ABP =S△AOB，请直接写出点P的坐标．【参考答案】1. 42.7 23.84.55.5 26.247. 48.(-3，9)9.(0，52)，(5，0)，(-1，0)，(0，12-)10.（1）直线AM的函数解析式为y=x+2；（2）P1(2，4)，P2(-6，-4)。