(详细版)三元线性方程组常考题型分类总结(超全面)

线性代数局部题型一：行列式的性质1．设α, β,γ1,γ2 ,γ3 为四维列向量，A = (α,γ1,γ2 ,γ3 ) ，B = (β,γ1,3γ2 ,γ3 ) ，| A |= 3 ，| B |= 21，求| A +B | 。

解答：A +B = (α+β,2γ1,4γ2 ,2γ3 ) ，| A +B |=| α+β,2γ1,4γ2 ,2γ3 |=| α,2γ1,4γ2 ,2γ3 | + | β,2γ1,4γ2 ,2γ3 |= 16 | α,γ,γ,γ| +161 2 3 3| β,γ1,3γ2 ,γ3 |=16 ⨯3 +⨯ 21 = 160 。

32．设A, B 都是三阶矩阵，A 相似于B ，且| E -A |=| E - 2 A |=| E - 3A |= 0 ，求| B -1+ 2E |。

解答：由| E -A |=| E - 2 A |=| E - 3A |= 0 ，得 A 的特征值为λ1=1, λ2=1, λ2 3=1，3因为 A ~ B ，所以 B 的特征值为 λ1=1, λ2=1, λ2 3=1，B -1的特征值为1,2,3 ，于是3B -1 + 2E 的特征值为3,4,5 ，故| B -1 + 2E |= 60 。

2 - 53．设D =- 3 75 - 9 4 - 6解答：1 2-1 42 7，〔1〕计算D ；〔2〕求M 31 +M 33 +M 34 。

1 22 - 5〔1〕 D =- 3 75 - 94 - 6 1 2 2 -5 1-1 4=-1 2 02 7 1 1 01 2 2 -1 026= 1⨯A =M3 13 13-1 2 = 1 12 -1 6 -13 =00 02 63 93 12= 9 。

〔2〕M 31 +M 33 +M 34 = 1⨯A31 + 0 ⨯A32 +1⨯A33 + (-1) ⨯A3416313 2 - 5 1= - 3 7 -1 2 2- 54 = - 3 7 -1 42 1= 1⨯ A = M - 5 -14 -5 -1 4 - 5 -1 4- 3 9= 7 2 1 = 3 72 1 =3 - 3 0 9 = -3⨯ A 12 = 3 3 - 2= -63 。

2020考研数学：线性代数常考题型归纳摘要：线性代数是考研数学必考的内容，它和高数与概率统计相比，有其自身的特点，而我们同学们在学习这门课时应该要注重对知识点的总结归纳。

下面老师为大家分享2020考研数学线性代数常考题型，希望对同学有所帮助。

线性代数还是以计算题为主，证明题为辅，因此，这要求我们必须注重计算能力的培养及提高。

现在的考研趋势是越来越注重基础，淡化技巧，下面老师就具体落实到一个章节一个章节的来谈。

1、关于行列式它在整个考研数学试卷中所占分量不是很大，一般主要是以填空选择题为主，这一块是考研数学中必考内容，它不单单考察行列式的概念、性质、运算，与行列式有关的考题也是很多的，比如在逆矩阵、向量组的线性相关性、矩阵的秩、线性方程组解的判断、特征值的求解、正定二次型与正定矩阵的判断等问题中都会用到行列式的有关计算。

因此，对于行列式的计算方法我们一定要熟练掌握。

2、关于矩阵矩阵是线性代数的核心知识，它是后面其他各章节的基础，在向量组、线性方程组、特征值、二次型中均有体现。

矩阵的概念、运算及理论贯穿整个线性代数的知识部分。

这部分的考点涉及到伴随矩、逆矩阵、初等矩阵、矩阵的秩以及矩阵方程，这些内容是有关矩阵知识中的一类常见的试题。

3、关于向量它既是重点又是难点，主要是因为其比较抽象，因此很多考生对这一块比较陌生，进而就会导致我们同学们在学习理解以及做题上的困难。

这一部分主要是要掌握两类题型：一是关于一个向量能否由一组向量线性表出的问题，二是关于一组向量的线性相关性的问题。

而这两类题型我们一般是与非齐次线性方程组和齐次线性方程组一一对应来求解的。

4、关于线性方程组线性方程组在近些年出现的频率较高，几乎每年都有考题，它也是线性代数部分考查的重点内容。

所以对于线性方程组这一部分的内容，同学们一定要掌握。

其常见的题型如下：(1)线性方程组的求解(2)方程组解向量的判别及解的性质(3)齐次线性方程组的基础解系(4)非齐次线性方程组的通解结构(5)两个方程组的公共解、同解问题5、关于特征值、特征向量它也是线性代数的重点内容，在我们考研数学中一般都是题多分值大。

考研数学三线性代数（线性方程组）模拟试卷4(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．AX=0和BX=0都是n元方程组，下列断言正确的是( )．A．AX=0和BX=0同解r(A)=r(B)．B．AX=0的解都是BX=0的解r(A)≤r(B)．C．AX=0的解都是BX=0的解r(A)≥r(B)．D．r(A)≥r(B)AX=0的解都是BX=0的解．正确答案：C解析：AX=0和BX=0同解(A)=r(B)，但r(A)=r(B)推不出AX=0和BX=0同解，排除(A).AX=0的解都是BX=0的解，则AX=0的解集合BX=0的解集合，于是n一r(A)≤n一r(B)，即r(A)≥r(B)．(C)对，(B)不对．n一r(A)≤n —r(B)推不出AX=0的解集合BX=0的解集合，(D)不对．知识模块：线性代数2．设A是m×n矩阵，r(A)=r．则方程组AX=βA．在r=m时有解．B．在m=n时有唯一解．C．在r＜n时有无穷多解．D．在r=n时有唯一解．正确答案：A解析：此题的考点是解的情况的判别法则以及矩阵的秩的性质。

在判别法则中虽然没有出现方程个数m，但是m是r(A)和r(A|β)的上限．因此，当r(A)=m 时，必有r(A|β)=r(A)，从而方程组有解，(A)正确．(C)和(D)的条件下不能确定方程组有解．(B)的条件下对解的情况不能作任何判断．知识模块：线性代数3．的一个基础解系为A．(0，一1，0，2)T．B．(0，一1，0，2)T，(0，1／2，0，1)T．C．(1，0，一1，0)T，(一2，0，2，0)T．D．(0，一1，0，2)T，(1，0，一1，0)T．正确答案：D解析：用基础解系的条件来衡量4个选项．先看包含解的个数．因为n=4，系数矩阵为其秩为2，所以基础解系应该包含2个解．排除(A)．再看无关性(C)中的2个向量相关，不是基础解系，也排除．(B)和(D)都是两个无关的向量，就看它们是不是解了．(0，一1，0，2)T在这两个选项里都出现，一定是解．只要看(0，1／2，0，1)T或(1，0，一1，0)T(其中一个就可以)．如检查(1，0，一1，0)T是解，说明(D)正确．或者检查出(0，1／2，0，1)T不是解，排除(B)．知识模块：线性代数4．当A=( )时，(0，1，一1)和(1，0，2)构成齐次方程组AX=0的基础解系．A．B．C．D．正确答案：A解析：由解是3维向量知n=3，由基础解系含有两个解得到3一r(A)=2，从而r(A)=1．由此着眼，只有(A)中的矩阵符合此要求．知识模块：线性代数5．A=r(A)=2，则( )是A*X=0的基础解系．A．(1，一1，0)T，(0，0，1)T．B．(1，一1，0)T．C．(1，一1，0)T，(2，一2，a)T．D．(2，一2，a)T，(3，一3，b)T．正确答案：A解析：由A是3阶矩阵，因此未知数个数n为3．r(A)=2，则r(A*)=1．A*X=0的基础解系应该包含n一1=2个解，(A)满足．(1，一1，0)T，(0，0，1)T显然线性无关，只要再说明它们都是A*X=0的解．A*A=|A|E=0，于是A的3个列向量(1，一1，0)T，(2，一2,a)T，(3，一3，b)T都是A*X=0的解．由于r(A)=2，a和b不会都是0，不妨设a≠0，则(0，0，a)T=(2，一2，a)T一2(1，一1，0)T也是A*X=0的解．于是(0，0，1)T=(0，0，a)T／a也是解．知识模块：线性代数6．设A=(α1，α2，α3，α4)．是4阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，若(1，0，1，0)T是方程组AX=0的一个基础解系，则A*X=0的基础解系可为( ) A．α1，α3B．α1，α2．C．α1，α2，α3．D．α2，α3，α4．正确答案：D解析：AX=0的一个基础解系由一个向量构成，说明4一r(A)=1，r(A)=3，从而r(A*)=1．则A*X=0的基础解系应该包含3个解．排除(A)和(B)．由于(1，0，1，0)T是AX=0的解，有α1+α3=0，从而α1，α2，α3线性相关，排除(C)．知识模块：线性代数7．线性方程组的通解可以表示为A．(1，一1，0，0)T+c(0，1，一1，0)T，c任意．B．(0，1，1，1)T+c1(0，一2，2，0)T+c2(0，1，一1，0)T，c1，c2任意．C．(1，一2，1，0)T+c1(一1，2，1，1)T+c2(0，1，一1，0)T，c1，c2任意．D．(1，一1，0，0)T+c1(1，一2，1，0)T+c2(0，1，一1，0)T，c1，c2任意．正确答案：C解析：非齐次方程组AX=β的通解是它的一个特解加上导出组AX=0的一个基础解系的线性组合．因此表达式中带参数的是导出组的基础解系，无参数的是特解．于是可从这两个方面来检查．先看导出组的基础解系．方程组的未知数个数n=4，系数矩阵的秩为2，所以导出组的基础解系应该包含2个解．(A)中只一个，可排除．(B)中用(0，一2，2，0)T，(0，1，一1，0)T为导出组的基础解系，但是它们是相关的，也可排除．(C)和(D)都有(1，一2，1，0)T，但是(C)用它作为特解，而(D)用它为导出组的基础解系的成员，两者必有一个不对．只要检查(1，一2，1，0)T，确定是原方程组的解，不是导出组的解，排除(D)．知识模块：线性代数8．设ξ1，ξ2是非齐次方程组AX=β的两个不同的解，η1，η2为它的导出组AX=0的一个基础解系，则它的通解为( )A．k1η1+k2η2+(ξ1一ξ2)／2．B．k1η2+k2(η1一η2)+(ξ1+ξ2)／2．C．k1η1+k2(ξ1一ξ2)+(ξ1一ξ2)／2．D．k1η1+k2(ξ1一ξ2)+(ξ1+ξ2)／2．正确答案：B解析：先看特解．(ξ1一ξ2)／2是AX=0的解，不是AX=β的解，从而(A)，(C)都不对．(ξ1+ξ2)／2是AX=β的解．再看导出组的基础解系．在(B)中，η1，η1一η2是AX=0的两个解，并且由η1，η2线性无关容易得出它们也线性无关，从而可作出AX=0的基础解系，(B)正确．在(D)中，虽然η1，ξ1一ξ2都是AX=0的解，但不知道它们是否无关，因此(D)作为一般性结论是不对的．知识模块：线性代数9．设线性方程组AX=β有3个不同的解γ1，γ2，γ3，r(A)=n一2，n 是未知数个数，则( )正确．A．对任何数c1，c2，c3，c1γ1+c2γ2+c3γ3都是AX=β的解；B．2γ1—3γ2+γ3是导出组AX=0的解；C．γ1，γ2，γ3线性相关；D．γ1—γ2，γ2一γ3是AX=0的基础解系．正确答案：B解析：Aγi=β，因此A(2γ1一3γ2+γ3)=2β一3β+β=0，即2γ1一3γ2+γ3是AX=0的解，(B)正确．c1γ1+c2γ2+c3γ3都是AX=β的解c1+c2+c3=1，(A)缺少此条件．当r(A)=n一2时，AX=0的基础解系包含两个解，此时AX=β存在3个线性无关的解，因此不能断定γ1，γ2，γ3线性相关．(C)不成立．γ1—γ2，γ2—γ3都是AX=0的解，但从条件得不出它们线性无关，因此(D)不成立．知识模块：线性代数解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

线性代数《线性方程组》常见题型与典型例题壹齐次线性方程组的基本公式与结论(1) 克莱姆法则若n个方程n个未知量构成的非齐次线性方程组AX=b的系数行列式|A|≠0，则方程组有唯一解，并且有其中|A i|是|A|中第i列元素(即x i的系数)替换成方程组右端的系数项b1,b2,…,b n所构成的行列式.(2) 齐次线性方程组解的存在性● 若n个方程n个未知量构成的齐次线性方程组AX=0的系数行列式|A|≠0，则方程组有唯一零解,● 若m个方程n个未知量构成的齐次线性方程组，若r(A)= n，即A的列向量组线性无关，则方程组有唯一零解；若r(A)= s<n，即A 的列向量组线性相关，则方程组有有非零解，且有n-s个线性无关解.(3) 求解方法之高斯消元法将系数矩阵A作初等行变换转换为阶梯型矩阵B，初等变换将方程组化为同解方程组，即Ax=0与Bx=0同解，只需要解Bx=0即可. 设n个变量m各方程构成的方程组，并设r(A)=r≤m≤n，则方程组的独立方程个数为r个，r也是独立变量的个数，故多余方程个数为m-r，自由变量的个数为n-r. 令自由变量为任意常数，回代求得独立未知变量，则得方程组的解.(4) 基础解系和解的结构基础解系：设x1,x2,…,x n-r是方程组Ax=0的解，若①x1,x2,…,x n-r 线性无关；②任一方程组Ax=0的解均由x1,x2,…,x n-r线性表出，则称x1,x2,…,x n-r是方程组Ax=0的一个基础解系.通解：设x1,x2,…,x n-r是方程组Ax=0的一个基础解系，则k1x1+k2x2+…+k n-r x n-r是方程组Ax=0的通解，其中k1，k2，…，k n-r为任意常数.贰非齐次线性方程组的基本公式与结论非齐次线性方程组AX=b，其导出组(即齐次方程组)AX=0，A系数矩阵，(A|b)增广矩阵。

(1) 解的性质● 导出组解的线性组合仍为导出组的解● 非齐次方程组的任意两个解的差为其导出组的解(2) 通解的结构● 导出组的n个线性无关组的线性组合为其通解● 非齐次线性方程组的通解等于其导出组的通解与其任意特解之和● 关于非齐次方程组AX=b解的讨论：若r(A)=r(A|b)=n(未知数个数)，则有唯一解若r(A)≠r(A|b)，则无解若r(A)=r(A|b)=m<n，则有无穷解，其基础解系所含解向量个数为n-m个(3) 求解方法求导出组的通解加上他的任意一个特解即可.叁常见题型(1) 有关线性方程组的概念与性质的命题解题方法：概念与性质必须娴熟。

第四章
4.1 ①求特征值与特征向量，例2、例3
②特征值与特征向量性质考察，例7，习题2
其他：例5
4.2 ①判断某阵能否对角化，并求幂。

例、习题1、2
②两阵相似，求阵中的未知数。

习题1、3、14
4.3 ①将向量正交化or单位化（方法见P185），习题16、17
②已知实对称矩阵，求正交阵使Q−1AQ为对角阵，例4、例5、习题22、23
注意出现多重特征值时要先正交化再单位化
证明类：习题7、3、19、P172 例5
第三章
3.1①线性方程解的情况：无解、唯一解、无穷解、线性方程的非零解时r（A）和r（A|b）的关系。

例1、例2、例3、例4
3.2①向量的4则运算，分配律、结合律。

②某向量能否被另一向量组线性表示，充要条件是
r（α1….αn）＝r（α1…αn,β）。

例5、习题7
③向量组是否等价（能相互表示即可）例6
3.3①判断已知向量组是否线性相关（即r（A）＜n），p130例4、习题10、14、15、
3.4①判断某向量组的一个极大无关组，并用它表示其他向量。

例2，习题16、17
3.5①求方程组的基础解系，分齐次和非齐次的。

例1、2、4
第二章
2.2①加减乘法，习题6、23。

注意6题体现规律，矩阵左乘变列，右乘变行。

②矩阵转置和矩阵行列式的性质，用于判断题。

2.4－2.7①分块矩阵、逆矩阵，矩阵的秩习题33、47、48、51
第一章
重点习题：1.3（例5、例7、例6），
1.4行列式按行列展开（例4）
习题21、22、24、32、35。

线性代数应用题总结分类及经典例题本文旨在总结线性代数中的应用题，并提供一些经典例题。

以下是对应的分类和例题：1. 线性方程组例题1：已知线性方程组如下：$$\begin{cases}2x + y - z = 5 \\x - 3y + 2z = -4 \\3x + 4y - z = 6 \\\end{cases}$$求解以上线性方程组。

例题2：已知线性方程组如下：$$\begin{cases}2x + 3y - z = 4 \\x - 2y + 3z = -1 \\3x + 4y - 2z = 7 \\\end{cases}$$求解以上线性方程组。

2. 矩阵与向量例题1：已知矩阵$A=\begin{bmatrix}1 &2 &3 \\4 &5 &6 \\\end{bmatrix}$，向量$\mathbf{b}=\begin{bmatrix}2 \\-1 \\\end{bmatrix}$，求解方程组$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$。

例题2：已知矩阵$A=\begin{bmatrix}2 & -1 \\3 &4 \\\end{bmatrix}$，向量$\mathbf{b}=\begin{bmatrix}1 \\2 \\\end{bmatrix}$，求解方程组$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$。

3. 线性变换例题1：已知线性变换$T$将向量$\mathbf{v}=\begin{bmatrix}2 \\3 \\\end{bmatrix}$映射为$\mathbf{w}=\begin{bmatrix}5 \\-1 \\\end{bmatrix}$，求线性变换$T$的矩阵表示。

例题2：已知线性变换$T$将向量$\mathbf{v}=\begin{bmatrix} 1 \\-2 \\\end{bmatrix}$映射为$\mathbf{w}=\begin{bmatrix}3 \\4 \\\end{bmatrix}$，求线性变换$T$的矩阵表示。

数学之美解三元三次方程组在数学领域中，方程组是一个重要的概念，特别是高次方程组的解，更是数学中的经典难题之一。

本文将讨论解三元三次方程组的方法和技巧，展现数学之美。

一、三元三次方程组的基本概念三元三次方程组由三个同时含有三次幂的方程组成。

通常形式为：1) ax^3 + by^3 + cz^3 = d2) ex^3 + fy^3 + gz^3 = h3) ix^3 + jy^3 + kz^3 = l其中，a、b、c、d、e、f、g、h、i、j、k、l为已知系数，x、y、z为未知数。

二、解三元三次方程组的方法解三元三次方程组的一般方法是代数法。

下面将介绍两种常用的解法。

1. 消元法消元法是一种基本的代数求解方法，可以通过逐步消除未知数的系数，最终得到方程的解。

首先，我们可以使用第一个方程表示出x^3，然后通过消去x^3的方式，将第二和第三方程变形为只含有y和z的方程。

这样，我们可以得到一个二元二次方程组，然后通过二次方程求解的方法，得到y、z的值。

接着，将求得的y、z的值代入到第一个方程中，可以得到x的值，从而得到方程组的解。

2. 系数矩阵法系数矩阵法是另一种解三元三次方程组的常用方法，它利用线性代数中的知识，将方程组转化为矩阵形式，并通过矩阵的运算求解。

首先，将方程组的系数矩阵表示为A，未知数矩阵表示为X，常数矩阵表示为B。

然后，利用矩阵运算的性质，可以得到AX=B的等式。

接着，通过求解该矩阵方程，可以得到未知数矩阵X的值，从而解出方程组。

三、实例分析为了更好地理解解三元三次方程组的方法和步骤，我们以一个具体的实例进行分析。

考虑以下三元三次方程组：1) x^3 + 2y^3 + 3z^3 = 62) 2x^3 + 3y^3 + 4z^3 = 113) 3x^3 + 4y^3 + 5z^3 = 18首先，我们可以使用第一个方程表示出x^3，得到x^3 = 6 - 2y^3 -3z^3。

然后，将x^3的表达式代入到第二个和第三个方程中，得到：2(6 - 2y^3 - 3z^3) + 3y^3 + 4z^3 = 113(6 - 2y^3 - 3z^3) + 4y^3 + 5z^3 = 18通过化简和整理，可以得到一个二元二次方程组：-4y^3 - 7z^3 = -1-11y^3 - 14z^3 = 0接下来，我们可以利用二次方程的求解方法，解出y、z的值。

三元齐次线性方程组
三元齐次线性方程组是研究多元高斯消元法的基础，是 linear algebra（线
性代数）领域中解决线性方程组的有效数学工具。

三元齐次线性方程组可以用来求解多元一次方程组，被广泛应用于多种研究领域。

三元齐次线性方程组本质上是一组形如 ax + by + cz = d 的线性方程，其中a, b, c, d是常量，x, y, z分别代表不同的未知变量。

求解这类方程组的方法就是采用多元高斯消元法，即分别对x, y 和z的值进行求解，使得方程组可以成立。

多元高斯消元法是三元齐次线性方程组解决非常有效和简便的方法，在学术及
实际领域中得到了非常广泛的应用。

高斯消元法具有计算简单，准确可靠等众多优点，可以用来解决线性方程组或者矩阵计算中有关向量和线性方程组的运算。

特别是当三元齐次线性方程组涉及到多元线性微分方程组、无穷维泛函的最小二乘法等技术领域时，高斯消元法就显得极其有用。

综上所述，三元齐次线性方程组在许多学术与实际研究中，以及在解决线性方
程组、矩阵计算中有关向量和线性方程组的问题时，都有着重要的应用，并且具有计算简单、准确性高的特点，值得推荐给广大的学术研究者。

三元三次方程题100道三元三次方程题100道一、三球体积和表面积1. 已知三个球的半径分别为r1、r2、r3，求三个球的体积之和。

2. 已知三个球的半径分别为r1、r2、r3，求三个球的表面积之和。

二、三角形内切圆和外接圆1. 已知三角形ABC的边长为a、b、c，求其内切圆的半径。

2. 已知三角形ABC的边长为a、b、c，求其外接圆的半径。

三、三角形面积和周长的关系1. 已知三角形ABC的面积为S，周长为p，求其边长a、b、c之间的关系。

四、三角形重心坐标和面积1. 已知三角形ABC的顶点坐标为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)，求其重心的坐标。

2. 已知三角形ABC的面积为S，周长为p，求其重心的坐标。

五、三角形内心和外心的关系1. 已知三角形ABC的内心和外心坐标分别为I(x1,y1)、O(x2,y2)，求两心之间的距离。

六、三角形角度和边长的关系1. 已知三角形ABC的角度分别为A、B、C，其中A=90度，求其边长a、b、c之间的关系。

2. 已知三角形ABC的边长分别为a、b、c，求其角度A、B、C之间的关系。

七、三角形面积和角度的计算1. 已知三角形ABC的面积为S，其中一个角度为C，求该角度的大小。

2. 已知三角形ABC的三个角度分别为A、B、C，求该三角形的面积。

八、三角形内切圆的半径和面积1. 已知三角形ABC的内切圆半径为r，求该三角形的面积。

2. 已知三角形ABC的面积为S，求该三角形的内切圆半径。

九、三角形重心坐标的推导1. 已知三角形ABC的顶点坐标为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)，推导该三角形的重心坐标G((xg,yg))。

抱歉，当前访问用户较多，请稍后重试。

文档助手持续学习升级中，期待为你提供更优质的服务。

当然，以下是更多的三元三次方程题目：十、三角形垂心坐标和面积1. 已知三角形ABC的顶点坐标为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)，求其垂心H的坐标。

线性代数知识点总结第一章 行列式二三阶行列式N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和n nn nj j j j j j j j j nij a a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ（奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。

（转置行列式TD D =） ②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。

推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。

③常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。

推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零； 推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。

④行列式具有分行（列）可加性⑤将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不变 行列式依行（列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1(定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。

克莱姆法则：非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时，有唯一解：)21(n j DD x j j ⋯⋯==、齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解 逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零 特殊行列式：①转置行列式：332313322212312111333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a =③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零④三线性行列式:333122211312110a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零，。

化为三角形行列式 ⑤上（下）三角形行列式:行列式运算常用方法（主要）行列式定义法（二三阶或零元素多的） 化零法（比例）化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章 矩阵n （零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵) ---------交换、结合律 数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律乘法nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑==注意什么时候有意义一般AB=BA ，不满足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0 转置A A T T =)( TT T B A B A +=+)( T T kA kA =)( TT T A B AB =)((反序定理) 方幂：2121k k k kA AA +=2121)(k k k k A A +=对角矩阵：若AB 都是N 阶对角阵，k 是数，则kA 、A+B 、 数量矩阵：相当于一个数（若……）单位矩阵、上（下）三角形矩阵（若……） 对称矩阵 反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方 注：把分出来的小块矩阵看成是元素N 阶方阵，若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的，|A|=0、伴随矩阵)2.、非零k 乘某一行（列）3、将某行（列）的K 初等变换不改变矩阵的可逆性 初等矩阵都可逆倍乘阵 倍加阵） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=O OO I D rr矩阵的秩r(A)：满秩矩阵 降秩矩阵 若A 可逆，则满秩 若A 是非奇异矩阵，则r （AB ）=r （B ） 初等变换不改变矩阵的秩求法：1定义2转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的联系与区别：都是数表；行列式行数列数一样，矩阵不一样；行列式最终是一个数，只要值相等，就相等，矩阵是一个数表，对应元素相等才相等；矩阵n ij n ij a k ka )()(=，行列式nij n n ij a k ka =逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆； ③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A 可逆，则其逆矩阵是唯一的。

线性方程组的解法与应用知识点总结线性方程组是数学中的重要概念，它在各个领域中都有着广泛的应用。

解决线性方程组的问题需要掌握一系列的解法和相关知识点。

本文将对线性方程组的解法和应用进行总结，并给出一些例子来说明其实际应用。

一、解线性方程组的基本方法1. 列主元消元法：列主元消元法是解决线性方程组最常用的方法之一。

其基本思想是通过将方程组化为阶梯型或最简形，进而求解方程组的解。

2. 高斯-约当消元法：高斯-约当消元法是解决线性方程组的另一种常用方法。

它与列主元消元法不同，是以行出发进行消元，最终将方程组化为最简形。

3. 矩阵方法：矩阵方法是一种便捷的解线性方程组的方法。

通过将线性方程组的系数矩阵进行相应运算，可以得到方程组的解。

二、线性方程组的应用1. 工程问题中的线性方程组：在线性方程组的解法中，工程问题是其中的重要应用之一。

例如，在电路分析中，可以通过列主元消元法或矩阵方法解决多个电路元件之间的关系，进而求解未知电流或电压。

2. 经济模型中的线性方程组：经济学中的模型通常涉及到多个未知数之间的关系，而这些关系可以用线性方程组来表示。

通过解决线性方程组，可以得到经济模型的平衡解，以便进行相关的经济分析。

3. 自然科学中的线性方程组：自然科学中的许多问题都可以通过线性方程组的方法求解。

例如，在化学反应中，可以通过解线性方程组来确定各个物质的摩尔浓度；在物理学中，可以通过线性方程组来描述多个物体之间的相互作用。

4. 数据分析中的线性方程组：在数据分析中，线性方程组也有着广泛的应用。

例如，在回归分析中，可以通过解线性方程组来确定自变量与因变量之间的线性关系；在最小二乘法中，可以通过解线性方程组来拟合数据并进行预测。

以上仅仅是线性方程组在实际应用中的一些典型例子，事实上，线性方程组在各个学科中都有着重要的地位，解决实际问题时经常涉及到线性方程组的分析与求解。

总结：通过本文的总结，我们了解了解线性方程组的基本解法和常见应用。

线性方程组解题方法技巧与题型归纳题型一 线性方程组解的基本概念【例题1】如果α1、α2是方程组1231312332312104x x ax x x x ax x --=⎧⎪-=⎨⎪-++=⎩的两个不同的解向量，则a 的取值如何解： 因为α1、α2是方程组的两个不同的解向量，故方程组有无穷多解，r(A)= r(Ab)＜3，对增广矩阵进行初等行变换： 21131132031022352104002314510a a a a a a a ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭易见仅当a=-2时，r(A)= r(Ab)=2＜3， 故知a=-2。

【例题2】设A 是秩为3的5×4矩阵， α1、α2、 α3是非齐次线性方程组Ax=b 的三个不同的解，若α1+α2+2α3=（2，0，0，0）T, 3α1+α2= （2，4，6，8）T,求方程组Ax=b 的通解。

解:因为r(A)= 3，所以齐次线性方程组Ax=0的基础解系由4- r(A)= 1个向量构成， 又因为（α1+α2+2α3）-（3α1+α2） =2（α3-α1）=（0，-4，-6，-8）T, 是Ax=0的解， 即其基础解系可以是（0，2，3，4）T,由A （α1+α2+2α3）=Aα1+Aα2+2Aα3=4b 知1/4 （α1+α2+2α3）是Ax=b 的一个解，故Ax=b 的通解是()1,0,0,00,2,3,42TT k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【例题3】已知ξ1=（-9，1，2，11）T ，ξ2=（1，- 5，13，0）T ，ξ3=（-7，-9，24，11）T是方程组12234411223441234432332494x a x x a x d x b x x b x x x x c x d+++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩的三个解，求此方程组的通解。

分析：求Ax=b 的通解关键是求Ax=0的基础解系，判断r(A)的秩。

2020年考研数学线性代数大纲考点及常考题型(二)研究生入学考试中，线性代数是数一、数二、数三考生研究生考试的公共内容，占22%(总分150分)，考察2个选择题(每题4分，共8分)、1个填空题(每题4分，共8分)、2个解答题(总分22分)。

线性代数相对考研数学高数来说，比较简单，要想取得好的成绩，线代争取不丢分。

下面结合大纲考点，已经对行列式、矩阵实行梳理，接来下梳理向量、线性方程组两个模块，希望对考生有所协助。

一、向量1、考试内容(1)向量的概念;(2)向量的线性组合与线性表示;(3)向量组的线性相关与线性无关;(4)向量组的极大线性无关组;(5)等价向量组;(6)向量组的秩;(7)向量组的秩与矩阵的秩之间的关系;(8)向量的内积线性无关向量组的正交规范化方法;(9)向量空间及其相关概念;(10)n维向量空间的基变换和坐标变换、过渡矩阵、向量的内积。

(其中9、10只有数一考生要求掌握，数二、数三考试不要求)2、考试要求(1)了解向量的概念，掌握向量的加法和数乘运算法则;(2)理解向量的线性组合与线性表示、向量组线性相关、线性无关等概念，掌握向量组线性相关、线性无关的相关性质及判别法;(3)理解向量组的极大线性无关组的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩;(4)理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行(列)向量组的秩之间的关系;(5)了解内积的概念.掌握线性无关向量组正交规范化的施密特(Schmidt)方法.(6)了解n维向量空间、子空间、基底、维数、坐标等概念;(7)了解基变换和坐标变换公式，会求过渡矩阵.(其中5、6只有数一考生要求掌握，数二、数三考试不要求)3、常考题型(1)判定向量组的线性相关性;(2)向量组线性相关性问题的证明;(3)向量组的线性表示问题;(4)向量组的极大线性无关组与向量组的秩;(5)过度矩阵与向量的坐标表示(数一考生要求、数二、数三考生不要求)二、线性方程组1、考试内容(1)线性方程组的克莱姆(Cramer)法则;(2)线性方程组有解和无解的判定;(3)齐次线性方程组的基础解系和通解;(4)非齐次线性方程组的解与相对应的齐次线件方程组(导出组)的解之间的关系;(5)非齐次线性方程组的通解2、考试要求(1)会用克莱姆法则解线性方程组;(2)掌握非齐次线性方程组有解和无解的判定方法;(3)理解齐次线性方程组的基础解系的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法;(4)(4)理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念;(5)掌握用初等行变换求解线性方程组的方法。

中考重点线性方程组的解法线性方程组是中学数学中的重要内容，也是中考数学考试的重点内容之一。

解线性方程组需要灵活运用数学知识和方法，下面将介绍一些中考常见的线性方程组的解法。

一、消元法消元法是解线性方程组最常用的方法之一，它通过消去未知数的系数，将方程组化简为更简单的形式。

例1：求解线性方程组2x + 3y = 83x - 2y = -1解：通过消元法，可以将方程组化简为：2x + 3y = 8 --（1）3x - 2y = -1 --（2）由方程（1）可以得到 x 的表达式：x = (8 - 3y)/2将 x 的表达式代入方程（2）中，可以得到 y 的表达式：3(8 - 3y)/2 - 2y = -1解方程得到：y = 2将 y 的值代入 x 的表达式，可以得到 x 的值：x = (8 - 3(2))/2 = 1所以，该线性方程组的解为：x = 1，y = 2。

二、代入法代入法是解线性方程组常用的方法之一，它通过先解出一个方程，然后将其代入另一个方程，从而求得未知数的值。

例2：求解线性方程组2x - y = 33x + 4y = 10解：首先，可以从第一个方程中解出 x 的值：2x - y = 3解得：x = (3 + y)/2将 x 的值代入第二个方程中：3(3 + y)/2 + 4y = 10解方程得到：y = 1将 y 的值代入第一个方程中，可以得到 x 的值：2x - 1 = 3解得：x = 2所以，该线性方程组的解为：x = 2，y = 1。

三、图解法图解法是解线性方程组直观易懂的方法之一，它通过将方程组表示在笛卡尔坐标系中的直线上，找出方程组共同交点的坐标来求解。

例3：求解线性方程组3x - 2y = 8x + y = 3解：将方程组表示在坐标系中，得到两条直线，如下图所示：[图片]由图可知，两条直线在点 (2, 1) 处交于一点，所以该线性方程组的解为：x = 2，y = 1。

四、增广矩阵法增广矩阵法是解线性方程组常用的线性代数方法之一，在中考中也有可能出现。

三元三次方程题100道
（实用版）
目录
1.引言：介绍三元三次方程的背景和重要性
2.三元三次方程的求解方法
3.三元三次方程题 100 道的概述
4.三元三次方程题 100 道的特点和分类
5.结论：对三元三次方程题 100 道的总结和建议
正文
引言：
三元三次方程是数学中的一种重要方程，它是指包含三个未知数的三次方程。

在数学研究和实际应用中，三元三次方程有着广泛的应用。

因此，对三元三次方程的求解能力的提升，不仅可以提高我们的数学素养，也能帮助我们在实际问题中找到解决方案。

三元三次方程的求解方法：
三元三次方程的求解方法主要有两种，一种是代入法，另一种是消元法。

代入法是指从一个方程中解出一个未知数，然后将其代入到另一个方程中，从而逐步解出所有未知数。

消元法则是通过加减乘除等运算，逐步消去未知数，从而求出所有未知数。

三元三次方程题 100 道的概述：
三元三次方程题 100 道是指包含 100 道三元三次方程的题目。

这些题目涵盖了三元三次方程的各种类型和形式，既有简单的代入法可以解决的题目，也有需要运用消元法才能解决的复杂题目。

三元三次方程题 100 道的特点和分类：
三元三次方程题 100 道的题目有着以下特点：一是题目类型多样，
包含了各种形式的三元三次方程；二是题目难度不同，既有简单的题目，也有复杂的题目；三是题目的应用广泛，既可以用于数学研究，也可以用于实际问题的解决。

结论：
总的来说，三元三次方程题 100 道是一道很好的数学题目，它不仅
可以帮助我们提高数学素养，也可以帮助我们在实际问题中找到解决方案。