三元线性回归方程

三元线性模型公式
线性回归方程公式：b=（x1y1+x2y2+…xnyn-nXY）/（x1+x2+…xn-nX）。

线性回归方程是利用数理统计中的回归分析，来确定两种或两种以上变数间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法之一。

线性回归方程公式求法：
第一：用所给样本求出两个相关变量的（算术）平均值：
x_=（x1+x2+x3+…+xn）/n
y_=（y1+y2+y3+…+yn）/n
第二：分别计算分子和分母：（两个公式任选其一）
分子=（x1y1+x2y2+x3y3+…+xnyn）-nx_Y_
分母=（x1^2+x2^2+x3^2+…+xn^2）-n*x_^2
第三：计算b：b=分子/分母
用最小二乘法估计参数b，设服从正态分布，分别求对a、b的偏导数并令它们等于零，得方程组解为
其中，且为观测值的样本方差。

线性方程称为关于的线性回归方程，称为回归系数，对应的直线称为回归直线。

顺便指出，将来还需用到，其中为观测值的样本方差。

先求x，y的平均值X，Y
再用公式代入求解：b=（x1y1+x2y2+…xnyn-nXY）/
（x1+x2+…xn-nX）
后把x，y的平均数X，Y代入a=Y-bX
求出a并代入总的公式y=bx+a得到线性回归方程
（X为xi的平均数，Y为yi的平均数）。

高中数学线性回归方程线性回归方程公式详解
线性回归方程是一种用于拟合一组数据的最常见的数学模型，它可以用来预测一个因变量（例如销售额）和一个或多个自变量（例如广告费用）之间的关系。

下面是线性回归方程的公式详解：
假设有n个数据点，每个数据点包含一个因变量y和k个自变量x1,x2,...,xk。

线性回归方程可以表示为：
y = β0 + β1*x1 + β2*x2 + ... + βk*xk + ε
其中，β0, β1, β2, ..., βk是模型的系数，ε是误差项，用来表示实际数据和模型预测之间的差异。

系数β0表示当所有自变量均为0时的截距，而β1, β2, ..., βk 则表示每个自变量对因变量的影响。

当系数为正时，自变量增加时因变量也会增加；而当系数为负时，自变量增加时因变量会减少。

通常，我们使用最小二乘法来估计模型的系数。

最小二乘法就是通过最小化所有数据点与模型预测之间的距离来找到最优的系数。

具体来说，我们可以使用以下公式来计算系数：
β = (X'X)-1 X'y
其中，X是一个n×(k+1)的矩阵，第一列全为1，其余的列为自变量x1,x2,...,xk。

y是一个n×1的向量，每一行对应一个因
变量。

X'表示X的转置，-1表示X的逆矩阵，而β则是一个(k+1)×1的向量，包含所有系数。

当拟合出线性回归方程后，我们可以使用它来预测新的数据点的因变量。

具体来说，我们可以将自变量代入方程中，计算出相应的因变量值。

如果模型的系数是可靠的，我们可以相信这些预测结果是比较准确的。

多元线性回归方程公式
多元线性回归是一种数理统计方法，它将一个或多个自变量与多个因变量的关系进行描述和建模的一种方法。

它能够识别自变量与因变量之间的相关关系并用于预测，通常会以一个函数的形式来进行建模。

多元线性回归的一般形式是一个拟合的函数：
y=b0 + b1*x1 + b2*x2 +…… +bn*xn
其中，y是因变量，X1，X2，…，xn是自变量，b0，b1，b2，…，bn是参数。

多元线性回归可以用来应用于多种场合，比如分析市场营销数据，探索客户满意度，研究葡萄酒品质等。

通过多元线性回归，我们可以更深入地分析数据，找出自变量与因变量之间的关系。

此外，多元线性回归还可以有效地用于预测目标变量。

只要设计合理的模型，便可以用多元线性回归方程来预测一个变量如何受另一变量的影响。

总之，多元线性回归是一种有效的统计分析手段，可以进行有效的数据分析和预测，有助于更好地理解数据之间的关系，并帮助企业更有效地利用这些数据。

回归分析课后作业第二章2.14 为了调查某广告对销售收入的影响，某商店记录了5个月的销售收入y(万元)和广告费用x（万元），数据见表2.1，要求用手工计算：（1）画散点图(2.1)；图(2.1)（2） x与y之间是否大致呈线性关系？从（1）中看出x 与y 没有线性关系。

（3） 用最小二乘估计求出回归方程；令回归方程为x y ∧∧-=10ββ,则可知道()()∑∑==∧--=512511i ii iixxy x xβ，代入数据易得71=∧β，110-=-=∧∧x y ββ，从而得到回归方程为x y 71+-=。

（4） 求回归标准误差∧σ；我们知道回归标准差0553.6)(2112=--=∑=∧∧ni i i y y n σ。

（5） 给出∧∧10ββ和置信度为%95的区间估计；因为我们知道()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∑∧22200)(1,~σββx x x n N i ，可以算出3333.40var 0=⎪⎭⎫ ⎝⎛∧β，所以我们知道∧0β置信度为%95的区间估计为（∧0β-⎪⎭⎫ ⎝⎛∧02/var βαt ，∧0β-⎪⎭⎫ ⎝⎛∧02/var βαt ），所以∧0β的得到区间为]211.19,211.21[-（注意这里的2σ估计时用其有偏估计值）。

同理我们知道()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑∧2211,~x x N i σββ，可以算出667.3var 1=⎪⎭⎫ ⎝⎛∧β，所以可得∧1β置信度为%95的区间估计为()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-∧∧∧∧12/112/1var 3,var 3ββββααt t ，所以可得到∧1β的区间估计为]094.13,906.0[。

（6） 计算x 与y 的决定系数。

因为()8167.022212122==-⎪⎭⎫ ⎝⎛-==∑∑==∧yyxxxy ni ini i LL L yyy y SSTSSRr 。

（7） 对回归方程作方差分析；（8） 做回归系数1β显著性的检验；我们用t 检验做回归系数1β的显著性。

选择“国内生产总值（GDP）”作为经济整体增长水平的代表；选择中央和地方“财政支出”作为公共财政需求的代表；选择“商品零售物价指数”作为物价水平的代表。

由于税制改革难以量化，而且1985年以后财税体制改革对税收增长影响不是很大，可暂不考虑。

所以解释变量设定为可观测“国内生产总值（GDP）”、“财政支出”、“商品零售物价指数”一，数理经济学方程Y = C(1) + C(2)*XY i=β0+β2X2+β3X3+β4X4二，计量经济学方程设定线性回归模型为：Y i=β0+β2X2+β3X3+β4X4+μ三，数据收集从《国家统计局》获取以下数据：年份财政收入（亿元）Y 国内生产总值(亿元）X2财政支出（亿元）X3商品零售价格指数（%)X41978 519.28 3624.1 1122.09 100.7 1979 537.82 4038.2 1281.79 102 1980 571.7 4517.8 1228.83 106 1981 629.89 4862.4 1138.41 102.4 1982 700.02 5294.7 1229.98 101.9 1983 775.59 5934.5 1409.52 101.5 1984 947.35 7171 1701.02 102.8 1985 2040.79 8964.4 2004.25 108.8 1986 2090.73 10202.2 2204.91 106 1987 2140.36 11962.5 2262.18 107.3 1988 2390.47 14928.3 2491.21 118.5 1989 2727.4 16909.2 2823.78 117.81990 2821.86 18547.9 3083.59 102.1 1991 2990.17 21617.8 3386.62 102.9 1992 3296.91 26638.1 3742.2 105.4 1993 4255.3 34636.4 4642.3 113.2 1994 5126.88 46759.4 5792.62 121.7 1995 6038.04 58478.1 6823.72 114.8 1996 6909.82 67884.6 7937.55 106.1 1997 8234.04 74462.6 9233.56 100.8 1998 9262.8 78345.2 10798.18 97.4 1999 10682.58 82067.5 13187.67 97 2000 12581.51 89468.1 15886.5 98.5 2001 15301.38 97314.8 18902.58 99.2 2002 17636.45 104790.6 22053.15 98.7四，参数估计利用eviews软件可以得到Y关于X2的散点图：可以看出Y和X2成线性相关关系Y关于X3的散点图：可以看出Y和X3成线性相关关系Y关于X1的散点图：Dependent Variable: YMethod: Least SquaresDate: 01/09/10 Time: 13:16Sample: 1978 2002Included observations: 25Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.C -2582.755 940.6119 -2.745825 0.0121X2 0.022067 0.005577 3.956633 0.0007X3 0.702104 0.033236 21.12474 0.0000X4 23.98506 8.738296 2.744821 0.0121R-squared 0.997430 Mean dependent var 4848.366Adjusted R-squared 0.997063 S.D. dependent var 4870.971S.E. of regression 263.9591 Akaike info criterion 14.13511Sum squared resid 1463163. Schwarz criterion 14.33013Log likelihood -172.6889 F-statistic 2717.254Durbin-Watson stat 0.948521 Prob(F-statistic) 0.000000模型估计的结果为：Y i=-2582.755+0.022067X2+0.702104X3+23.98506X4(940.6119) (0.0056) (0.0332) (8.7383)t={-2.7458} {3.9567} {21.1247} {2.7449}R2=0.997 R2=0.997 F=2717.254 df=21五，相关检验1.经济意义检验模型估计结果说明，在假定其他变量不变的情况下，当年GDP 每增长1亿元，税收收入就会增长0.02207亿元；在假定其他变量不变的情况下，当年财政支出每增长1亿元，税收收入就会增长0.7021亿元；在假定其他变量不变的情况下，当零售商品物价指数上涨一个百分点，税收收入就会增长23.985亿元。

回归方程公式研究回归方程的关键公式回归分析是一种用于描述两个或多个变量之间关系的统计方法。

在回归分析中，回归方程是研究的核心，它能够通过自变量的值来预测因变量的值。

本文将重点探讨回归方程的关键公式，帮助读者更好地理解回归分析的数学模型。

一、简单线性回归方程简单线性回归是回归分析中最简单的一种形式，它描述了两个变量之间的线性关系。

简单线性回归方程的数学形式为：Y = α + βX + ε其中，Y是因变量，X是自变量，α和β分别是回归方程的截距和斜率，ε是误差项。

β可以通过最小二乘法来进行估计，最小二乘估计的公式为：β = Σ((Xi - X¯)(Yi - Y¯)) / Σ(Xi - X¯)²其中，Xi和Yi分别代表第i个数据点的自变量和因变量的取值，X¯和Y¯分别代表自变量和因变量的平均值。

二、多元线性回归方程多元线性回归是在简单线性回归的基础上，引入了两个或多个自变量来描述因变量之间的关系。

多元线性回归方程的数学形式为：Y = α + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε其中，Y是因变量，X1、X2、...、Xn是自变量，α和β1、β2、...、βn分别是回归方程的截距和斜率，ε是误差项。

多元线性回归方程中的参数估计可以使用最小二乘法进行，公式为：β = (X'X)⁻¹X'Y其中，X是自变量矩阵，Y是因变量向量，(X'X)⁻¹代表(X'X)的逆矩阵，X'代表X的转置。

三、回归方程的解释回归方程的系数α和β可以用来解释自变量和因变量之间的关系。

截距α表示当自变量为0时因变量的取值，斜率β表示自变量每增加一个单位时，因变量的平均变化量。

此外，回归方程还可以通过R²来评估拟合优度，R²代表回归方程能够解释因变量变异性的比例，取值范围为0到1。

R²越接近1，说明回归方程对数据的拟合程度越好。

耿老师总结的高考统计部分的两个重要公式的具体如何应用第一公式：线性回归方程为ˆˆˆy bx a =+的求法：（1） 先求变量x 的平均值，既1231()n x x x x x n=+++⋅⋅⋅+ （2） 求变量y 的平均值，既1231()n y y y y y n=+++⋅⋅⋅+ （3） 求变量x 的系数ˆb，有两个方法 法1121()()ˆ()niii nii x x y y bx x ==--=-∑∑（题目给出不用记忆）[]112222212()()()()...()()()()...()n n n x x y y x x y y x x y y x x x x x x --+--++--=⎡⎤-+-++-⎣⎦（需理解并会代入数据）法2121()()ˆ()niii nii x x y y bx x ==--=-∑∑（题目给出不用记忆）[]1122222212...,...n n n x y x y x y nx y x x x nx ++-⋅=⎡⎤+++-⎣⎦（这个公式需要自己记忆，稍微简单些）（4） 求常数ˆa，既ˆˆa y bx =- 最后写出写出回归方程ˆˆˆybx a =+。

可以改写为：ˆˆy bx a =-（ˆy y 与不做区分） 例．已知,x y 之间的一组数据：求y 与x 的回归方程：解：（1）先求变量x 的平均值，既1(0123) 1.54x =+++= （2）求变量y 的平均值，既1(1357)44y =+++= （3）求变量x 的系数ˆb，有两个方法 法1ˆb =[]11223344222212342222()()()()()()()()()()()()(0 1.5)(14)(1 1.5)(34)(2 1.5)(54)(3 1.5)(74)57(0 1.5)(1 1.5)(2 1.5)(3 1.5)x x y y x x y y x x y y x x y y x x x x x x x x --+--+--+--=⎡⎤-+-+-+-⎣⎦--+--+--+--==⎡⎤-+-+-+-⎣⎦法2ˆb =[][]11222222222212...011325374 1.5457...0123n n n x y x y x y nx y x x x nx ++-⋅⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯==⎡⎤⎡⎤+++-+++⎣⎦⎣⎦ (4)求常数ˆa，既525ˆˆ4 1.577a y bx =-=-⨯=最后写出写出回归方程525ˆˆˆ77ybx a x =+=+第二公式：独立性检验两个分类变量的独立性检验： 注意：数据a 具有两个属性1x ，1y 。

多元线性回归方程预测农村人均生活垃圾产量摘要经济的发展、人民生活水平的提高使得农村居民的消费朝着多样化发展，过量的垃圾产量早已超出了农村自身消化能力。

本课题通过走访调研和发放问卷等方式调研南昌多个村镇，了解影响南昌市农村生活垃圾产量重要因素，借助Spss软件进行影响因子分析，建立回归方程，为农村人均生活垃圾产量和垃圾管理机制和处理系统的建立提供支持。

关键词三元线性回归；农村生活垃圾；影响因子引言：农村生活垃圾又称农村固体废弃物，主要来源于农村人口的日常生产生活。

2014年《全国农村生活垃圾治理工作电视电话会议》上提出“要全面启动农村生活垃圾5年专项治理，形成农村生活垃圾治理的长效机制。

”一、处理现状目前，我国现有的生活垃圾无害化处理投资主要集中在设市城市，农村的生活垃圾处理处置技术相对落后，主要以填埋为主，垃圾收运体系不完善，二次污染严重。

绝大多数村镇没有建立垃圾收运系统，垃圾被随意倾倒；部分地区设立了垃圾收集点、开敞式垃圾池或是简易填埋场，然而由于设施设备简陋，操作人员专业性低，农民环保意识不强，造成了相当程度的污染。

只有少数经济发达地区和近郊村镇的生活垃圾则被纳入城市环卫系统。

以南昌市新建县部分村镇为例，其主要问题有：（1）垃圾收集容器的投入不足，居民将生活垃圾任意倾倒在街头巷尾、房前屋后；（2）垃圾收集点过于简陋，一般用垃圾斗或敞开式垃圾池代替，不但影响村容而且易造成二次污染；（3）垃圾清理和运输基本以人力作业为主，劳动强度大，工作效率低，收运不及时；（4）运输车辆密闭性差，垃圾中的灰尘和渗滤液沿街滴洒，更加剧了村镇街区脏乱差的局面。

二、建立多元线性回归方程本文通过调研、分析和筛选多个人均生活垃圾产量影响因子，挑选出具有显著影响作用的三项作为预测因子，建立三元线性回归预测方程，预测未来某个时间点人均垃圾产量。

1.影响因子分析经过调研可知农村生活垃圾产生量的影响因子很多包括，人均收入、生活习惯、居民素质、燃料能源、消费习惯、住房面积等。

回归方程公式回归方程又称回归模型，是统计学中用来研究变量之间关系的重要理论工具，可以用来解释一个变量如何影响另一个变量的变化的。

一般来说，回归方程包括一个或多个自变量，而这些自变量代表被影响的变量（即因变量）。

回归方程一般有两种形式，一种是线性回归方程，也可以称为一元线性回归方程，这种方程式具有形式：Y=ax+b，其中a和b分别代表斜率和截距，Y代表因变量，x代表自变量。

这种方程式代表了因变量Y与自变量x的线性关系，其中a代表因变量Y随自变量x单位增加而变化的幅度，b代表X取零时的因变量Y的值。

另一种是多元线性回归方程，它可以用以下形式表示：Y=a1x1+a2x2+…+anxn+b，其中Y代表因变量，x1, x2, , xn和b分别代表n个自变量和一个截距，a1, a2,, an分别代表n个自变量的回归系数。

回归方程的应用很广，可以用来解释实际中数据的变化，也可以用来预测未来数据的发展趋势。

它还可以用于挖掘数据中潜在的模式、规律和联系，从而提出有效的策略，协助企业更加清晰地理解市场状况，获得成功。

如果要使用回归方程来分析一定的数据，首先应该考虑的是如何对这些数据进行处理，将其转换为有意义的变量。

其次，需要验证这些变量之间的统计关系，以及回归方程的拟合度，以确保获得的结果是有效的。

最后，要注意回归方程的收敛性和非线性特性，以确保计算精度。

当运用回归方程进行分析时，有以下几点需要注意：首先，要确定数据集的变量，以及它们之间的关系，因为这是计算回归方程的基础；其次，要根据一元线性回归方程或多元线性回归方程，确定回归系数和截距；最后，要计算模型的拟合度，以确定模型的可靠性。

以上就是回归方程的具体内容，回归方程是一个重要的统计学理论工具，有了它，能够更好地分析变量之间的关系及模型的拟合程度，从而有助于我们更有效地完成工作。

三元线性回归方程的矩阵运算及其结果分析
张振坤
【期刊名称】《纺织高校基础科学学报》
【年(卷),期】1995(008)002
【摘要】通过三元线性回归方程的建立过程，运用矩阵“打洞”分块矩阵求逆等
方法推出两个偏回归平方和等结果，并利用矢量及其投影阐述所得结果的几何意义，由实例分析，主宰偏回归平方和重要作用，从而在夸在回归系数作用带来的判断失误。

【总页数】7页(P188-194)
【作者】张振坤
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】O212.4
【相关文献】
1.三元理论之五：世界系统运动变化中的三元（人、自然、社会）及其运动机制分析——三元理论的建立（上） [J], 张晓霞
2.三元理论（之五）：世界系统运动变化中的三元（人、自然、社会）及其运动机制分析——三元理论的建立（中） [J], 张晓霞
3.5-29风机三元设计及实验结果分析 [J], 黄修乾
4.三元线性回归方程的矩阵运算及其结果分析 [J], 张振坤
5.慧眼识三元嘉铭献真情——记三元嘉铭房地产公司拟建项目三元嘉铭公寓 [J], 永红
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

对于一个稳定生产的水泥厂家来说,其主要工艺条件,原、燃料状况,在某一较长的时间内,是基本稳定的。

在此前提条件下,出厂水泥28d抗压强度与熟料3d强度、混合材掺量、水泥3d强度之间,具有线性相关关系。

应用三元线性回归分析方法,可直接预报水泥28d强度。

现列举工作中的一个实例,说明此预报方法的操作步骤。

1 设立关系式水泥28d强度y与熟料3d强度x1、混合材(煤渣)掺量x2、水泥3d强度x3之间具有直接相关关系,其回归关系式为:y=a0+a1x1+a2x2+a3x3(1)其中:a0、a1、a2、a3为回归系数。

求得并验证了这些系数,就会使以后的预报来得十分方便。

2 选取样本选取某一段时间内的连续实际数据,剔除个别明显异常值后即为样本。

一般选取30组以上的数据为好,样本数据越多,回归分析结果越准确,见表1。

表1 样本数据3 参数计算4 求解回归系数依最小二乘法原理所得方程组及解:得:a1=0.597;a2=-0.282;a3=0.397;a0= 21.6805 整理检验将所求得的回归系数代入(1)式即得水泥28d强度预报值为:=21.680+0.597x1-0.282x2+0.397x3(1)检验其相关性r接近1,说明相关性良好。

(2)检验其精度剩余标准偏差S值较小,说明回归方程精度良好。

(3)检验其可靠性预报值与实测值y的比较见表2,其相对误差几乎全部落于±5%的范围内,说明可靠性良好。

表228d强度预报值与实测值的比较6 结语(1)出厂水泥28d抗压强度与熟料3d强度、混合材掺量、水泥3d强度之间具有三元线性相关关系。

(2)采用三元线性回归分析比一元或二元线性回归分析方法更能直接预报水泥28d强度。

(3)采用三元线性回归分析方法预报水泥28d强度,相对误差小,可靠性高。

(4)利用三元线性回归方程良好的可靠性、精度、相关程度,如果将混合材掺量视为因变量,则可很好地指导水泥粉磨配料。

此时方程式改写为:即:x2=3.546-2.120x1-1.408x3-76.879 式中:x2———需预测的混合材掺量;———期望的水泥28d强度;x1———已知的熟料3d强度;x3———期望的水泥3d强度。

应用FX-4000P 计算器进行三元回归分析的方法姚永兰1，门海元2(1.原平市绿委，山西 原平 034100；2.山西省林业调查规划院，山西 太原 0.0012)摘要:文中根据FX-4000P 计算器的编程原理，编制了林业上常用三元回归方程的通解 程序。

输出方程参数，相关系数及方差分析表，并通过实例操作系统地叙述了计算的 全过程。

关鍵词: 计算器 三元回归分析 1.概述三元回归分析方法是林业生产和科研中分析处理变量之间相互关系的数学方法，在研究变量之间相互关系时，常按照既定的目标选择变量，收集数据。

建立合乎实际的回归方程。

并对回归方程的显著性进行检验。

而用回归分析的方法找到的变量之间的关系式，并不是确定性的，而是近似性的。

通常称为经验公式，找出的这个函数称为回归函数。

因此，研究回归关系的主要之点，是要确定回归函数。

在林业生产中常会遇到这样的关系，林木的材积与胸径、树高和形数有关；造林的成活率与水分、温度和光照有关；林木的结实量与光照、气候和降水量有关。

研究这一类型的问题，就可以使用三元回归的方式来解决。

本文求解的三元回归方程有：1. Y=B 0+B 1X 1+B 2X 2+B 3X 32.D=B 0+B 1 (1/A)+B 2(1/A)2+B 3(1/A)3或者P V = B 0+B 1 (1/D)+B 2(1/D)2+B 3(1/D)33.Y=B 0+B 1X+B 2X 2+B 3X 32.基本原理设自变量为X 1，X 2，X 3，因变量为Y ，样本数为N 。

L 11=)(21121∑∑-X XNL 22=22122)(∑∑-X XNL 33=23123)(∑∑-X XNL 12=∑∑∑-))((21121X X X X NL 13=∑∑∑-))((31131X X X XNL 23=∑∑∑-))((32132X X X XNL 1Y =∑∑∑-))((111Y X YX NL 2Y =∑∑∑-))((212Y X Y XNL 3Y =∑∑∑-))((313Y X YX NL YY =212)(∑∑-Y YN用最小二乘法整理得正规方程组： L 11B 1+L 12B 2+L 13B 3=L 1Y (1) L 21B 1+L 22B 2+L 23B 3=L 2Y (2) L 31B 1+L 32B 2+L 33B 3=L 3Y (3) 用高斯消元法解方程组得参数：B 1、B 2 、B 3。