解析几何中的基本公式

空间解析几何知识点1. 空间直角坐标系- 定义：由三条互相垂直的直线（x轴、y轴、z轴）确定的坐标系。

- 坐标表示：任意一点P的坐标表示为(x, y, z)。

- 距离公式：两点P1(x1, y1, z1)和P2(x2, y2, z2)之间的距离为√((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2 + (z2-z1)^2)。

2. 向量及其运算- 向量定义：具有大小和方向的量。

- 向量表示：向量a表示为a = (a1, a2, a3)。

- 向量加法：a + b = (a1+b1, a2+b2, a3+b3)。

- 向量数乘：k * a = (ka1, ka2, ka3)。

- 向量点积：a · b = a1b1 + a2b2 + a3b3。

- 向量叉积：a × b = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 -a2b1)。

- 向量模：|a| = √(a1^2 + a2^2 + a3^2)。

- 向量方向余弦：向量a的方向余弦为(a1/|a|, a2/|a|, a3/|a|)。

3. 平面方程- 点法式：A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0，其中A、B、C为平面的法向量，(x0, y0, z0)为平面上一点。

- 两点式：(y-y1)/(x-x1) = (y2-y1)/(x2-x1)，表示过两点P1(x1, y1, z1)和P2(x2, y2, z2)的平面。

- 一般式：Ax + By + Cz + D = 0。

4. 直线方程- 参数式：x = x0 + at, y = y0 + bt, z = z0 + ct，其中(x0,y0, z0)为直线上一点，(a, b, c)为直线的方向向量，t为参数。

- 一般式：Ax + By + Cz + D = 0。

- 点向式：(x-x0)/a = (y-y0)/b = (z-z0)/c，其中(x0, y0, z0)为直线上一点，(a, b, c)为直线的方向向量。

平面解析几何知识点总结直线方程1．直线的倾斜角(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，把x 轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l 重合所成的角，叫作直线l 的倾斜角．当直线l 和x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)倾斜角的范围为[0°，180°)． 2．直线的斜率(1)定义：当直线l 的倾斜角α≠π2时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k 表示，即k ＝tan α.(2)过两点的直线的斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2) (x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1. (3) 直线的倾斜角α和斜率k 之间的对应关系每条直线都有倾斜角，但不是每条直线都有斜率，倾斜角是90°的直线斜率不存在．它们之间的关系如下：3．直线方程的五种形式4．说明：k 1＝k 2，且b 1≠b 2，则两直线平行；若斜率都不存在，还要判定是否重合． 5．利用一般式方程系数判断平行与垂直设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0， l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0，且B 1C 2－B 2C 1≠0. l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0. 6．三种距离公式 (1)两点间距离公式点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)间的距离：|AB |＝ (x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(2)点到直线的距离公式点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离：d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.说明：求解点到直线的距离时，直线方程要化为一般式． (3)两平行线间距离公式两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0 (C 1≠C 2)间的距离为d ＝|C 2－C 1|A 2＋B 2. 说明：求解两平行线间距离公式时，两直线x ，y 前系数要化为相同．圆的方程1．圆的定义在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆．确定一个圆最基本的要素是圆心和半径．2. 圆的标准方程(1) 以(a ，b )为圆心，r (r >0)为半径的圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2． (2) 特殊的，以(0，0)为圆心，r (r >0)为半径的圆的标准方程为x 2＋y 2＝r 2． 3. 圆的一般方程 方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0可变形为⎝⎛⎭⎫x ＋D 22＋⎝⎛⎭⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F4. (1) 当D 2＋E 2－4F >0时，方程表示以⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2为圆心，D 2＋E 2－4F 2为半径的圆；(2) 当D 2＋E 2－4F ＝0时，该方程表示一个点⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2；(3) 当D2＋E2－4F＜0时，该方程不表示任何图形．4. 直线与圆的位置关系的判断方法设直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)，圆为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.5.(1) 圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含．(2) 判断两圆位置关系的方法设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0)．圆心距O1O2＝d，则(1)几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则(l2)2＝r2－d2.(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：设直线与圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2].注意：常用几何法研究圆的弦的有关问题．椭圆1．椭圆的概念把平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆．这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点F1，F2间的距离叫作椭圆的焦距．椭圆定义用集合语言表示如下：P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a >0，c >0，且a ，c 为常数．在椭圆定义中，特别强调到两定点的距离之和要大于|F 1F 2|．当到两定点的距离之和等于|F 1F 2|时，动点的轨迹是线段F 1F 2；当到两定点的距离之和小于|F 1F 2|时，动点的轨迹不存在． 2．椭圆的标准方程和几何性质－a ≤x ≤a －b ≤x ≤b 说明：当焦点的位置不能确定时，椭圆方程可设成Ax 2＋By 2＝1的形式，其中A ，B 是不相等的正常数，或设成x 2m 2＋y 2n2＝1(m 2≠n 2)的形式．3．椭圆中的弦长公式(1)若直线y ＝kx ＋b 与椭圆相交于两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k2|y 1－y 2|. (2)焦点弦(过焦点的弦)：最短的焦点弦为通径长2b 2a，最长为2a .双曲线1．双曲线的概念把平面内到两定点F 1，F 2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F 1F 2|)的点的集合叫作双曲线．定点F 1，F 2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距．用集合语言表示为：P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.说明：定义中，到两定点的距离之差的绝对值小于两定点间距离非常重要．令平面内一点到两定点F1，F2的距离的差的绝对值为2a(a为常数)，则只有当2a<|F1F2|且2a≠0时，点的轨迹才是双曲线；若2a＝|F1F2|，则点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线；若2a>|F1F2|，则点的轨迹不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a焦点在x轴上，若y2的系数为正，则焦点在y轴上．3．双曲线与椭圆的区别(1) 定义表达式不同：在椭圆中|PF1|＋|PF2|＝2a，而在双曲线中||PF1|－|PF2||＝2a；(2) 离心率范围不同：椭圆的离心率e∈(0，1)，而双曲线的离心率e∈(1，＋∞)；(3) a，b，c的关系不同：在椭圆中a2＝b2＋c2，a＞c；而在双曲线中c2＝a2＋b2，c＞a．抛物线1．抛物线的概念把平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不过F )的距离相等的点的集合叫作抛物线．这个定点F 叫作抛物线的焦点，这条定直线l 叫作抛物线的准线． 用集合语言描述：P ＝{M ||MF |d＝1}，即P ＝{M ||MF |＝d }．注意：抛物线的定义中不可忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与定直线垂直的直线． 2．抛物线的标准方程与几何性质。

解析几何的基础知识解析几何是数学中的一个重要分支，它研究的是几何图形在坐标系中的性质和关系。

通过引入坐标系，解析几何将几何问题转化为代数问题，从而使得几何问题的研究更加简洁和精确。

本文将介绍解析几何的基础知识，包括平面直角坐标系、点的坐标、直线的方程和距离公式等内容。

一、平面直角坐标系平面直角坐标系是解析几何的基础，它由两条相互垂直的坐标轴组成。

通常我们用x轴和y轴表示，x轴水平向右延伸，y轴垂直向上延伸。

坐标轴的交点称为原点，用O表示。

平面直角坐标系将平面划分为四个象限，分别记作第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。

二、点的坐标在平面直角坐标系中，每个点都可以用一个有序数对表示，称为点的坐标。

设点P的坐标为(x, y)，其中x表示点P在x轴上的投影长度，y表示点P在y轴上的投影长度。

例如，点A的坐标为(2, 3)，表示点A在x轴上的投影长度为2，在y轴上的投影长度为3。

三、直线的方程在解析几何中，直线可以用方程表示。

一般来说，直线的方程有两种形式：一般式和斜截式。

1. 一般式方程一般式方程的形式为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，且A和B不同时为0。

例如，直线L的一般式方程为2x + 3y - 6 = 0。

2. 斜截式方程斜截式方程的形式为y = kx + b，其中k为直线的斜率，b为直线在y轴上的截距。

斜率表示直线的倾斜程度，斜率为正表示直线向右上方倾斜，斜率为负表示直线向右下方倾斜。

例如，直线L的斜截式方程为y = 2x + 3。

四、距离公式在解析几何中，我们经常需要计算两点之间的距离。

设点A的坐标为(x1, y1)，点B的坐标为(x2, y2)，则点A和点B之间的距离可以用以下公式表示：d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)其中d表示点A和点B之间的距离。

例如，点A的坐标为(2, 3)，点B的坐标为(5, 7)，则点A和点B之间的距离为d = √((5 - 2)^2 + (7 - 3)^2) = √(3^2 +4^2) = √(9 + 16) = √25 = 5。

解析几何中的基本公式1、 两点间距离：若)y ,x (B ),y ,x (A 2211，则212212)()(y y x x AB -+-=2、 平行线间距离：若0C By Ax :l ,0C By Ax :l 2211=++=++则：2221BA C C d +-=注意点：x ，y 对应项系数应相等。

3、 点到直线的距离：0C By Ax :l ),y ,x (P =++则P 到l 的距离为：22BA CBy Ax d +++=4、 直线与圆锥曲线相交的弦长公式：⎩⎨⎧=+=0)y ,x (F bkx y消y ：02=++c bx ax ，务必注意.0>∆若l 与曲线交于A ),(),,(2211y x B y x则：2122))(1(x x k AB -+=5、 若A ),(),,(2211y x B y x ，P （x ，y ）。

P 在直线AB 上，且P 分有向线段AB 所成的比为λ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧λ+λ+=λ+λ+=112121y y y x x x ，特别地：λ=1时，P 为AB 中点且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=222121y y y x x x变形后：yy y y x x x x --=λ--=λ2121或 6、 若直线l 1的斜率为k 1，直线l 2的斜率为k 2，则l 1到l 2的角为),0(,π∈αα适用范围：k 1，k 2都存在且k 1k 2≠－1 ， 21121tan k k k k +-=α若l 1与l 2的夹角为θ，则=θtan 21211k k k k +-，]2,0(π∈θ注意：（1）l 1到l 2的角，指从l 1按逆时针方向旋转到l 2所成的角，范围),0(π l 1到l 2的夹角：指 l 1、l 2相交所成的锐角或直角。

（2）l 1⊥l 2时，夹角、到角=2π。

（3）当l 1与l 2中有一条不存在斜率时，画图，求到角或夹角。

7、 （1）倾斜角α，),0(π∈α；（2）]0[,π∈θθ→→，，夹角b a ；（3）直线l 与平面]20[π∈ββα，，的夹角；（4）l 1与l 2的夹角为θ，∈θ]20[π，，其中l 1//l 2时夹角θ=0； （5）二面角,θ],0(π∈α； （6）l 1到l 2的角)0(π∈θθ，， 8、 直线的倾斜角α与斜率k 的关系a) 每一条直线都有倾斜角α，但不一定有斜率。

解析几何常用公式-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One11. AB →，A 为AB →的起点，B 为AB →的终点。

线段AB 的长度称作AB →的长度，记作|AB →|.数轴上同向且相等的向量叫做相等的向量．．．．．。

零向量的方向任意。

．．．．．．．．．．在数轴上任意三点A 、B 、C ，向量AB →、BC →、AC →的坐标都具有关系：AC ＝AB ＋BC . .．AC →＝AB →＋2.设 AB → 是数轴上的任一个向量，则AB ＝OB －OA ＝x 2－x 1，d (A ，B )＝|AB |＝|x 2－x 1|. 4.． A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则两点A 、B 的距离公式d (A ，B )＝x 2－x 12＋y 2－y 12若B 点为原点，则d (A ，B )＝d (O ，A )＝x 21＋y 21；5. A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，中点M(x 1＋x 22，y 1＋y 22). A (x ，y )关于M (a ，b )的对称点B(2x 0－x ，2y 0－y )．6. 直线倾斜角：:x 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角，规定，与x 轴 平行或重合的直线的倾斜角为0°.7.直线的位置与斜率、倾斜角的关系①k ＝0时，倾斜角为0°，直线平行于x 轴或与x 轴重合．②k >0时，直线的倾斜角为锐角，k 值增大，直线的倾斜角也增大，此时直线过第一、三象限．③k <0时，直线的倾斜角为钝角，k 值增大，直线的倾斜角也增大，此时直线过第二、四象限．④垂直于x 轴的直线的斜率不存在，它的倾斜角为90°.8. 若直线l 上任意两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)且x 1≠x 2，则直线l 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1. 9.直线方程的五种形式（1）点斜式:经过点P 0(x 0，y 0)的直线有无数条，可分为两类：斜率存在时，直线方程为 y －y 0＝k (x －x 0)；斜率不存在时，直线方程为x ＝x 0.(2)斜截式：已知点（0，b ）,斜率为k 的直线y ＝kx ＋b 中，截距b 可为正数、零、负数． （3）两点式：y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1(x 1≠x 2，y 1≠y 2)(4) 截距式:当直线过(a,0)和(0，b )(a ≠0，b ≠0)时，直线方程可以写为x a ＋yb ＝1，当直线斜率 不 存在(a ＝0)或斜率为0(b ＝0)时或直线过原点时，不能用截距式方程表示直线. (5)一般式:Ax ＋By ＋C ＝0的形式．(220A B +≠)10. (1)已知两条直线的方程为l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.那么①l 1与l 2相交的条件是：A 1B 2－A 2B 1≠0或A 1A 2≠B 1B 2(A 2B 2≠0)．②l 1与l 2平行的条件是：A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0或A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2(A 2B 2C 2≠0)．③l 1与l 2重合的条件是：A 1＝λA 2，B 1＝λB 2，C 1＝λC 2(λ≠0)或A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2(A 2B 2C 2≠0)．2)已知两条直线的方程为l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2.那么①l 1与l 2相交的条件为k 1≠k 2.②l 1与l 2平行的条件为k 1＝k 2且b 1≠b 2. ③l 1与l 2重合的条件为k 1＝k 2且b 1＝b 2.11. 直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直________.直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1与l 2：y ＝k 2x ＋b 2垂直________.若两直线中有一条斜率不存在时，则另一条的斜率为0，即倾斜角分别为90°和0°，也满足|α－β|＝90°.12.与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线可表示为Ax ＋By ＋m ＝0(m ≠C )； 与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线可表示为Bx －Ay ＋m ＝0，14. 点P (x 1，y 1)到直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)的距离为d ＝|Ax 1＋By 1＋C |A 2＋B2 应用点到直线的距离公式时，若给出的直线方程不是一般式，则应先把直线方程化为一般式，然后再利用公式求解． 15.点到几种特殊直线的距离：①点P (x 1，y 1)到x 轴的距离d ＝|y 1| .②点P (x 1，y 1)到y 轴的距离d ＝|x 1|.③点P (x 1，y 1)到直线x ＝a 的距离为d ＝|x 1－a |. ④点P (x 1，y 1)到直线y ＝b 的距离为d ＝|y 1－b |.16．两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0，C 1≠C 2，则l 1与l 2的距离为 d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2. 两条平行线间的距离公式要求：l 1、l 2这两条直线的一般式中x 的系数相等，y 的系数也必须相等；当不相等时，应化成相等的形式，然后求解.17. 圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2；18.点到圆心的距离为d，圆的半径为r.则点在圆外d>r；点在圆上d＝r；点在圆内0≤d<r. 20.规律技巧圆的几何性质：①若直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，过切点与切线垂直线的直线过圆心；②若直线与圆相交，圆心、弦的中点及弦的一个端点组成的三角形是直角三角形，弦的垂直平分线经过圆心．④以A(x1，y1)、B(x2，y2)为直径的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.21. 形如Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程表示圆的等价条件(1)A＝C≠0；x2、y2的系数相同且不等于零；(2)B＝0；不含xy项．(3)(DA)2＋(EA)2－4FA>0，即D2＋E2－4AF>0.23．圆的一般方程形式为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，配方为 (x＋D2)2＋(y＋E2)2＝D2＋E2－4F4．(1)当D2＋E2－4F>0时，它表示以 (－D2，－E2)为圆心，D2＋E2－4F2为半径的圆．(2)当D2＋E2－4F＝0时，它表示点 (－D2，－E2)．(3)当D2＋E2－4F<0时，它不表示任何图形24.直线与圆的位置关系(1)直线与圆相交，有两个公共点；(2)直线与圆相切，只有一个公共点；(3)直线与圆相离，没有公共点．25．直线与圆位置关系的判定有两种方法(1)代数法：通过直线方程与圆的方程所组成的方程组，根据解的个数来判断．若有两组不同的实数解，即Δ>0，则相交；若有两组相同的实数解，即Δ＝0，则相切；若无实数解，即Δ<0，则相离．(2)几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断：当d<r时，直线与圆相交；当d＝r时，直线与圆相切；当d>r时，直线与圆相离．26.直线与圆相切，切线的求法(1)当点(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上时，切线方程为x0x＋y0y＝r2；(2)若点(x 0，y 0)在圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上，切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2； 27.若弦长为l ，弦心距为d ，半径为r ，则(l2)2＋d 2＝r 2.28.判断两圆的位置关系设圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0， ① 圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0. ② ①－②得(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋F 1－F 2＝0. ③若圆C 1与C 2相交，则③为过两圆交点的弦所在的直线方程．求两圆的公共弦所在直线方程，就是使表示圆的两个方程相减即可得到. 31.空间直角坐标系中的对称点点P (x ，y ，z )的对称点的坐标 11112222|P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 12＋z 2－z 12.到定点(a ，b ，c )距离等于定长R 的点的轨迹方程为(x －a )2＋(y －b )2＋(z －c )2＝R 2，此即以定点(a ，b ，c )为球心，R 为半径的球面方程． 33.．空间线段的中点坐标公式在空间直角坐标系中，已知点P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)，则线段P 1P 2的中点P 的坐标为(x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22).。

解析几何中距离公式与中点坐标公式在解析几何中，我们经常需要计算点之间的距离及求解线段的中点坐标。

距离公式和中点坐标公式是解析几何中两个基本的公式，它们在求解点和线段的位置关系以及相关计算中起到了重要的作用。

本文将详细介绍距离公式和中点坐标公式，并给出一些实际问题的例子来加深理解。

距离公式在解析几何中，我们经常需要计算两点之间的距离。

设A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)是平面上的两个点，我们可以使用距离公式来计算它们之间的欧几里得距离。

距离公式如下所示：AB = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)其中，AB表示A点和B点之间的距离。

让我们举一个具体的例子来说明距离公式的用法。

假设有两个点A(2, 3)和B(5, 7)，我们想计算它们之间的距离。

按照距离公式，我们可以进行如下计算：AB = √((5 - 2)² + (7 - 3)²)= √(3² + 4²)= √(9 + 16)= √25= 5所以，点A和点B之间的距离为5。

距离公式的推导可以通过利用勾股定理得到。

我们可以将线段A和B之间的距离看作是由于直角三角形的斜边长度，而直角三角形的两条直角边分别是x轴和y轴上的长度差值。

距离公式在解析几何中非常常用，它可以用于计算点和点、点和直线、点和曲线之间的距离。

在实际问题中，我们经常需要计算两个地点之间的距离、两个物体之间的距离等。

中点坐标公式中点坐标公式是解析几何中求解线段中点坐标的公式。

设A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)是线段的两个端点，我们可以使用中点坐标公式来求解线段AB的中点坐标。

中点坐标公式如下所示：M((x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2)其中，M表示线段AB的中点坐标。

我们可以使用一个实际问题来说明中点坐标公式的用法。

假设有一条线段，其中一个端点为A(2, 3)，另一个端点为B(5, 7)，我们想求解线段AB的中点坐标。

初中：平面解析几何必备公式（文/李文龙）初三的同学们现在应该学习二次函数了吧。

再此之前你必须把平面解析几何的一些常识和公式弄清楚。

本文将从我们熟知的定理出发，通过一系列证明，最后得出好用的结论。

记住这些结论，从初三到高三你就可以自由的畅游在坐标系中，游刃有余。

以下内容有的很基础，有的则需借助高中知识，对于学生学习水平的要求也不一样，我以精英班★★★，目标班★★和提高班★为要求，每一部分后面会有能力等级的标注。

学习★是考试必备的技能，学习★★能让你做题更快，学习★★★可以让你做题方法增多。

文章较长，因此建议先收藏再慢慢学目录（一）两点之间1、求距离★2、取中点★3、算斜率★★4、速求解析式★★5、构造圆★★★（二）点线之间1、距离公式① 利用圆方程★★★② 利用斜率关系★★③ 利用相似★★（三）两线之间1、平行★★★2、垂直★★（一）两点之间在坐标系下给出两个已知的定点可以算出那些东西呢？以下结论不要错过！1，求距离★如下图坐标系中有两点A（x1，y1）和B（x2，y2），求线段AB的长度我们分别作水平和竖直线如下图所示，可以得到Rt△ABC，其中C（x2,y1），这样AC的长为丨x2-x1丨由于不知道x2和x1谁大，线段长度为正，因此需要加绝对值。

同理BC长为丨y2-y1丨。

根据勾股定理可知举例：A（2,1），B（-2，4）则这样就免去画图了，一步出答案。

因此必须记住这个公式。

2，取中点★坐标系中有两点A（x1，y1）和B（x2，y2），求AB 中点C的坐标若A和B在x轴同侧，如下图，则y1和y2都大于零我们向横轴作垂线，AD=y1，BF=y2，四边形ADFB是直角梯形，CE是中位线，y=CE=（y1+y2）/2，同理都向纵轴作做垂线，可得x=（x1+x2）/2若A和B在x轴两侧，如图，y1＜0，y2＞0我们作水平和竖直辅助线如下图：BN=y2-y1，CM为△ABN中位线，CM=（y2-y1）/2。

解析几何知识点总结高中几何学是数学的一部分，涵盖了从平面到空间的所有形状和大小的研究。

解析几何是几何学的一个分支，它利用代数运算和坐标系来描述各种形状和位置。

在高中数学的学习中，解析几何是一个重要的知识点。

在本文中，将详细介绍一些高中解析几何的知识点。

1. 二元一次方程二元一次方程是运用解析几何的基本方法之一。

我们可以通过它来描述到两个物体之间的空间位置关系。

下面是二元一次方程的一般式子：ax + by + c = 0。

其中，a、b、和c是常数，x和y是未知数。

在解析几何中，二元一次方程代表一条直线。

该直线的斜率（k）和截距（b）可以得出如下公式：k = -a/b，b = -c/b。

直线的一般式子可以根据两个点或点与斜率之间的关系来确定。

如果已知直线上的两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，可以通过计算斜率和截距来得出该直线的一般式子：k = (y2 – y1) / (x2 – x1)，b = y – kx。

其中，k为直线的斜率，b为直线的截距。

另一种方法是给定点和斜率的值。

如果直线上有一个点P(x0, y0)和斜率k，可以使用如下公式：y – y0 = k(x – x0)。

这种表示形式称为点斜式。

2. 圆的方程在解析几何中，圆的方程描述了圆的位置和半径。

标准方程如下：(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2。

其中，a和b是圆心的坐标，r是圆的半径。

通过对圆的方程进行简单的变形，可以从常数中得出圆的标准方程。

该变形将方程写成如下形式：x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0。

其中，D、E和F是常数。

该表达式描述的圆方程称为一般圆方程。

3. 空间几何解析几何不仅适用于平面几何，还可以用于空间几何。

在空间几何中，一个点由三个坐标表示。

直线可以通过两点或点和向量表示，而平面可以通过三个点或点和两条直线表示。

空间几何中的一些重要概念包括向量，对称和距离。

向量是大小和方向的量，可以使用两点之间的差值来描述。

解析几何中的基本公式1、两点间距离：若 A （x 1，y 1), B （X 2，y 2)，则 AB=J(X 2 — X i ）2+(y 2 — yj 22、平行线间距离：若 l 1 : AX By C^ 0, 12 : AX By C 0注意点：X ，y 对应项系数应相等。

则P到—S BJ4、直线与圆锥曲线相交的弦长公式： 丿y一 kX + bJ z (x ，y) =0消y ： ax 2∙ bx ∙ c = 0 ，务必注意 厶∙0. 若l 与曲线交于A （x 1, y 1）， B （X 2 ，y 2） 贝 V ： AB = (1一k 2）（x2=xj 25、若A （X 1,y 1）， B （X 2,y 2） , P （X ， y )。

P 在直线AB 上,且P 分有向线段AB 所成的比为入,X I HL X 2 1 ■ W 丁2 1 ■X 2 -Xy 2 一 y6、若直线l 1的斜率为k 1，直线l 2的斜率为k 2，则l 1到l 2的角为 二很三（0，二)则:CI - C 2..A 2 B 23、点到直线的距离:P(X , y ), l: AXByC=O,特别地:变形后:X-X ly 一 y 1'=1时，P 为AB 中点且X 1 X 22 y 「y 22或适用范围：k ι, k 2都存在且k ιk 2= — 1 ，若I i 与12的夹角为R 则tan ，=k1^k 2， —（0,上]1 + k 1k 22IIJmnJnJ注意:(1） ∣1到∣2的角，指从∣1按逆时针方向旋转到∣2所成的角,范围（0，二）∣1到∣2的夹角：指 丨1、∣2相交所成的锐角或直角.（2）∣1 _12时，夹角、到角 =—。

tan _1 + k k― 28、直线的倾斜角：'与斜率k的关系a）每一条直线都有倾斜角-,但不一定有斜率。

(2）斜率存在时为 y - y = k （x — X ) y - y 1 _ X - X 1 y ? 一 y 1 χ2 F其中I 交X 轴于(a,0），交y 轴于（0，b)当直线I 在坐标轴上,距相等时应分： (1) 截距=0 设y=kxb)若直线存在斜率k ,而倾斜角为：■,则k=tan ：•。

解析几何专题教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）掌握解析几何的基本概念和基本公式；（2）学会用坐标系表示点、直线、圆等几何图形；（3）能够运用解析几何方法解决实际问题。

2. 过程与方法：（1）通过观察、分析、归纳，培养学生的逻辑思维能力；（2）运用数形结合的方法，提高学生的问题解决能力。

3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣和自信心；（2）培养学生勇于探索、克服困难的精神。

二、教学内容1. 解析几何基本概念（1）坐标系（2）点、直线、圆的坐标表示2. 解析几何基本公式（1）两点间的距离公式（2）直线的一般方程与斜率（3）圆的标准方程与直径公式三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）解析几何的基本概念和基本公式；（2）坐标系下点、直线、圆的表示方法。

2. 教学难点：（1）直线、圆的方程的求解；（2）运用解析几何解决实际问题。

四、教学过程1. 导入：（1）复习相关知识点，如坐标系、两点间的距离公式等；（2）通过实例引入解析几何的概念。

2. 讲解：（1）讲解解析几何的基本概念，如点、直线、圆的坐标表示；（2）引导学生掌握解析几何的基本公式，如直线的一般方程与斜率、圆的标准方程与直径公式。

3. 练习：（1）让学生独立完成相关练习题，巩固所学知识；（2）引导学生运用解析几何方法解决问题。

五、课后作业1. 完成教材后的练习题；2. 运用解析几何方法解决实际问题，如测量两地间的距离、计算圆的面积等。

教学评价：通过课后作业的完成情况，评价学生对解析几何知识的掌握程度以及运用能力。

六、教学案例分析1. 案例一：直线与圆的位置关系（1）问题描述：分析直线与圆的位置关系，判断直线是否与圆相交、相切或相离；（2）解决方案：运用解析几何公式，求解直线与圆的交点，分析位置关系；（3）案例分析：培养学生运用解析几何方法分析问题、解决问题的能力。

2. 案例二：几何图形的面积计算（1）问题描述：计算三角形、四边形的面积；（2）解决方案：运用解析几何方法，求解坐标系的交点，运用公式计算面积；（3）案例分析：培养学生运用解析几何方法解决实际问题的能力。

解析几何中的基本公式1、两点间距离：若A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则AB2、平行线间距离：若l 1:Ax By C 1 0,则：d(x 2 x 1)2 (y 2 y 1)2l 2:Ax By C 2 0C 1 C 2A B 22注意点：x ，y 对应项系数应相等。

3、点到直线的距离：P(x ,y ),l :Ax By C 0则P 到l 的距离为：dAx By CA B 224、直线与圆锥曲线相交的弦长公式：2 y kx b F(x,y) 0消y ：ax bx c 0，务必注意 0.若l 与曲线交于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)则：AB(1 k 2)(x 2 x 1)25、若A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，P （x ，y ）。

P 在直线AB 上，且P 分有向线段AB 所成的比为 ，x 1 x 2x 1 x 2x x 1 2则，特别地： =1时，P 为AB 中点且y y y y 22 y 1 y 1 1 2变形后：x x 1y y 1或 x 2 x y 2 y6、若直线l 1的斜率为k 1，直线l 2的斜率为k 2，则l 1到l 2的角为 , (0, )适用范围：k 1，k 2都存在且k 1k 2 －1 ，tank 2 k 11 k 1k 2若l 1与l 2的夹角为 ，则tank 1 k 2， (0,]21 k 1k 2注意：（1）l 1到l 2的角，指从l 1按逆时针方向旋转到l 2所成的角，范围(0, )l 1到l 2的夹角：指l 1、l 2相交所成的锐角或直角。

（2）l 1 l 2时，夹角、到角=。

2（3）当l 1与l 2中有一条不存在斜率时，画图，求到角或夹角。

7、（1）倾斜角 ， (0, )；（2）a ,b 夹角 ， [0， ]；（3）直线l 与平面 的夹角 ， [0， 2]；（4）l 1与l 2的夹角为 ， [0，2]，其中l 1//l 2时夹角 =0；（5）二面角 , (0, ]；（6）l 1到l 2的角 ， (0， )8、直线的倾斜角 与斜率k 的关系a)每一条直线都有倾斜角 ，但不一定有斜率。

《解析几何》课程教案一、教学目标1. 让学生掌握解析几何的基本概念和基本公式。

2. 培养学生解决实际问题能力，提高空间想象能力。

3. 引导学生运用数形结合思想，提高数学思维能力。

二、教学内容1. 解析几何的基本概念（1）坐标系（2）点、直线、圆的方程（3）图形的位置关系2. 解析几何的基本公式（1）距离和角度公式（2）直线方程的求解（3）圆的方程及其应用三、教学重点与难点1. 重点：解析几何的基本概念和基本公式的掌握。

2. 难点：直线与圆的位置关系的理解和应用。

四、教学方法1. 采用讲授法，系统讲解解析几何的基本概念和基本公式。

2. 利用数形结合思想，引导学生直观理解直线、圆等图形的性质。

3. 运用案例分析法，分析实际问题，提高学生解决实际问题的能力。

五、教学过程1. 引入：通过简单的实例，让学生感受解析几何在实际生活中的应用，激发学习兴趣。

2. 讲解：系统讲解解析几何的基本概念和基本公式，注意引导学生理解和记忆。

3. 练习：布置相关习题，让学生巩固所学知识，并及时解答学生的疑问。

4. 应用：分析实际问题，引导学生运用所学知识解决实际问题，提高学生解决实际问题的能力。

5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调重点和难点，布置课后作业。

教案暂编至此，如有需要，后续章节将继续编写。

请您参考并提出宝贵意见。

六、教学评价1. 评价方式：过程性评价与终结性评价相结合，主要评价学生对解析几何基本概念和公式的掌握程度，以及解决实际问题的能力。

2. 评价指标：（1）课堂参与度：学生参与课堂讨论、提问和练习的情况。

（2）作业完成情况：学生完成作业的质量和速度。

（3）实际问题解决能力：学生运用所学知识解决实际问题的能力和创新意识。

七、教学资源1. 教材：《解析几何》教材，为学生提供系统的学习材料。

2. 课件：制作精美的课件，辅助讲解，提高课堂效果。

3. 习题库：收集各种类型的习题，为学生提供充足的练习机会。

4. 案例素材：收集与实际问题相关的素材，用于教学实践环节。

一、倾斜角和斜率：1.倾斜角的范围： .2.已知倾斜角α求斜率 ⎧=⎨⎩k ；已知斜率k 求倾斜角⎧=⎨⎩α.1.00(,)P x y 到直线l ：220,0ax by c a b ++=+≠的距离为 . 2.直线221122:0,:0,0l ax by c l ax by c a b ++=++=+≠间的距离为 .注：在研究多点到直线的距离的问题时，通常要分点在直线的 或 两类.3.弦长公式：若直线y kx b =+(倾斜角为α)被曲线截得弦AB ，其中1122(,),(,)A x y B x y ，则弦长d ====四.两直线的夹角公式：1.两直线的夹角范围 .2.2222111122221122:0,:0,0,0l a x b y c l a x b y c a b a b ++=++=+≠+≠对应斜率分别为12,k k ，夹角为θ，则有cos θ=或者tan θ=.五.两条直线的位置关系：2222111122221122:0,:0,0,0l a x b y c l a x b y c a b a b ++=++=+≠+≠，则1l 与2l 分别满足下列情况时，相应地求系数满足的条件：①相交 ；②平行 ；③重合 ；④垂直 ； 六.对称问题：1.点00(,)A x y 关于点(,)P m n 对称的点的坐标为 ；2.直线0ax by c ++=关于点(,)P m n 对称的直线方程为 ；3.曲线(,)0f x y =关于点(,)P m n 对称的曲线方程为 ；4.点00(,)A x y 关于直线2y x =-+对称的点的坐标为 ；5.直线0ax by c ++=关于直线3y x =-对称的直线方程为 ；6.曲线(,)0f x y =关于直线4y x =--对称的曲线方程为 ； 七.直线系方程：1.直线(1)(3)(11)0m x m y m --+--=恒过定点 .2.方程30x y n +-=表示两条平行线，则实数n 的取值范围是 . 八.曲线与方程：1.已知曲线C 的方程不是(,)0f x y =，则下列选项正确的是( )A .曲线C 上至少存在一点00(,)P x y ，使得00(,)0f x y ≠；B .方程(,)0f x y =至少有一组解为坐标的点00(,)P x y 不在曲线C 上；C .曲线C 上至少存在一点00(,)P x y ，使得00(,)0f x y ≠，且方程(,)0f x y =至少有一组解为坐标的点11(,)Q x y 不在曲线C 上；D .曲线C 上至少存在一点00(,)P x y ，使得00(,)0f x y ≠，或者方程(,)0f x y =至少有一组解为坐标的点11(,)Q x y 不在曲线C 上.2.“以方程(,)0f x y =的解为坐标的点都在曲线C 上”是“曲线C 的方程为(,)f x y0=”的 条件？3.方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的充要条件 ？4.24D F =是曲线220x y Dx Ey F ++++=与x 轴相切的 条件？ 5.若点(,)P m n 在圆222x y R +=上，则过此点的圆的切线方程为 .6.(,)P m n 是圆222x y R +=外一点，过此点向圆引切线，切点分别为,A B ，则过,A B 两点的直线方程为 .7.圆221111:0C x y d x e y f ++++=与圆222222:0C x y d x e y f ++++=相交，则过两圆交点的直线方程为 .8.若圆221111:0C x y d x e y f ++++=与圆222222:0C x y d x e y f ++++=的半径相等，则两圆的对称轴方程为 .9.圆222x y R +=的参数方程：x y =⎧⎨=⎩练习1：圆心在原点，半径为1的圆交x 轴的正半轴于A 点，,P Q 分别是圆上的两个动点，它们同时从A 点出发，沿圆作匀速圆周运动，点P 绕逆时针方向每秒钟转3π，点Q 绕顺时针方向每秒钟转6π.(1)当,P Q 第一次相距最远时，求,P Q 的坐标；(2)当它们出发后第五次相遇，试求相遇时该点的位置.练习2：设实数,x y 满足221x y +=，(1)求13y x +-的取值范围；(2)求2x y -的取值范围；九.椭圆、双曲线、抛物线1.①到定点距离等于定值的点的轨迹是 ？ ②到定直线距离等于定值的点的轨迹是 ？ ③到两条平行直线距离相等的点的轨迹是 ？ ④到两条相交直线距离相等的点的轨迹是 ？ ⑤到两个定点距离之和等于定值的点的轨迹是 ？ ⑥到两个定点距离之差的绝对值等于定值的点的轨迹是 ？ ⑦到定点的距离等于到定直线的距离的点的轨迹是 ？2.12,F F 为椭圆22221x y a b +=的焦点，P 为椭圆上的点，且有12F PF θ∠=,则12PF F S ∆= .3.12,F F 为双曲线22221x y a b -=的焦点，P 为椭圆上的点，且有12F PF θ∠=,则12PF F S ∆= .4.12,F F 分别为椭圆22221x y a b+=的左右焦点，P 为椭圆上的点，记12F PF θ∠=,当θ达到最大值时，点P 的坐标为 .5.椭圆22221x y a b +=与双曲线22221x y m n-=共焦点,P 为二者在第一象限的交点,12,F F 分别为它们的左右焦点,用,b n 表示①12cos F PF ∠=②12sin F PF ∠=③12PF F S ∆=. 6.对直线,0y kx m m =+≠与双曲线22221x y a b-=来说，若||b k a >，那么直线与双曲线有三种可能①② ③ ；若||b k a =，则直线与双曲线 ；若||bk a<，则直线必然 .7.若直线与抛物线22,0y px p =>只有一个公共点，则有 .8.过抛物线22,0y px p =>的焦点F 作倾斜角为θ的直线交抛物线于,A B 两点，线段AB 的中点为M点，,,A M B 在准线2px =-上的射影分别为111,,A M B . ①11A FB ∠= ②1AM B ∠= ③ 三点共线④||AB =9.抛物线22,0y px p =>上两点,A B 满足90AOB ∠=,则直线AB 恒过定点 . 10.研究曲线上的点到直线的最短距离时，通常利用 的方法.。

空间解析几何与向量代数》知识点、公式总结空间解析几何与向量代数是数学中非常重要的分支，它们在物理、工程、计算机科学等领域得到了广泛的应用。

以下是一些知识点和公式的总结:一、向量的数量积与向量积1. 向量的数量积：两个向量 a 和 b 的数量积 (也叫数量积或点积) 定义为一个新的向量，记作 a·b，其大小为|a|·|b|，方向遵循右手法则，即对于任意的向量 c,(a·b)·c=a·(b·c)。

2. 向量积：两个向量 a 和 b 的向量积 (也叫向量积或叉积)定义为一个新的向量，记作 a×b，其大小为|a|·|b|，方向遵循右手法则，即对于任意的向量 c,(a×b)·c=a·(b×c)。

二、向量的混合积1. 向量的混合积：三个向量的混合积 (也叫叉积) 定义为一个新的向量，记作 (ab)c，其大小为|a|·|b|，方向遵循右手法则，即对于任意的向量 d,(ab)c·d=a·(b·c)d。

2. 向量共面的条件：三个向量 a、b、c 共面的条件是它们对应的三条法向量共面。

三、空间平面及其方程1. 空间平面的方程：空间中两个不共线的平面的方程分别为Px+My+Nz=C 和 Px+My+Nz=D，其中 P、M、N 为平面上的任意三个点，C 和D 为已知常数。

2. 平面的点法式方程：设 M(x0,y0,z0) 为平面上的已知点，n(A,B,C) 为法向量，M(x,y,z) 为平面上的任一点，则平面的点法式方程为 A(x-x0)B(y-y0)C(z-z0)=0。

四、空间直线及其方程1. 空间直线的方程：空间中一条直线的方程为 x+My+Nz=C，其中 P、M、N 为直线上的任意三个点，C 为已知常数。

2. 空间直线的参数方程：空间中一条直线的参数方程为x=f(t),y=g(t),z=h(t),其中 t 为参数，f、g、h 分别为直线上的点的 x、y、z 坐标。

高中数学解析几何总结(非常全)高中数学解析几何第一部分：直线一、直线的倾斜角与斜率1.倾斜角α直线l向上的方向与x轴正向所成的角叫做直线的倾斜角α，其范围为0≤α<180度。

2.斜率直线倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，表示为k=tanα。

1）倾斜角为90度的直线没有斜率。

2）每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率。

当直线垂直于x轴时，其斜率不存在，因此在研究直线的有关问题时，应考虑到斜率的存在与不存在这两种情况，否则会产生漏解。

3）设经过A(x1,y1)和B(x2,y2)两点的直线的斜率为k，则当x1≠x2时，k=(y1-y2)/(x1-x2)；当x1=x2时，斜率不存在。

二、直线的方程1.点斜式已知直线上一点P(x,y)及直线的斜率k（倾斜角α），求直线的方程，可以用点斜式表示为y-y1=k(x-x1)。

需要注意的是，当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为x=x1.2.斜截式若已知直线在y轴上的截距（直线与y轴焦点的纵坐标）为b，斜率为k，则直线方程为y=kx+b。

特别地，斜率存在且经过坐标原点的直线方程为y=kx。

需要正确理解“截距”这一概念，它具有方向性，有正负之分，与“距离”有区别。

3.两点式若已知直线经过(x1,y1)和(x2,y2)两点，且(x1≠x2,y1≠y2)，则直线的方程为(y-y1)/(x-x1)=(y2-y1)/(x2-x1)。

需要注意的是，不能表示与x轴和y轴垂直的直线。

4.截距式若已知直线在x轴，y轴上的截距分别是a，b（a≠0，b≠0），则直线方程为xy/a + y/b = 1.需要注意的是，截距式方程不能表示经过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线。

5.一般式任何一条直线方程均可写成一般式：Ax+By+C=0（A、B不同时为零）。

反之，任何一个二元一次方程都表示一条直线。

首先，我们需要指出直线方程的特殊形式可以化为直线方程的一般式，但一般式不一定能化为特殊形式，这取决于系数A、B、C是否为零。

解析几何公式大全一份付出一分耕耘圆锥曲线知识考点一、直线与方程1、倾斜角与斜率：1212180＜α≤0(tan x x y y --==）α 2、直线方程：⑴点斜式：直线l 经过点),(000y x P ，且斜率为k ： ()00x x k y y -=- ⑵斜截式：已知直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为),0(b ：b kx y += ⑶两点式：已知两点),(),,(222211y x P x x P 其中),(2121y y x x ≠≠：121121y y y y x x x x --=-- ⑷截距式：已知直线l 与x 轴的交点为A )0,(a ，与y 轴的交点为B ),0(b ：1x y a b+= ⑸一般式：0=++C By Ax （A 、B 不同时为0， 斜率BAk -=，y 轴截距为BC -） (6)k 不存在⇔a x b a x o=⇔⇔=）的直线方程为过（轴垂直,90α3、直线之间的关系：222111:,:b x k y l b x k y l +=+=⑴平行：{⇔⇔≠=21212121//b b k k k k l l 且都不存在，212121C C B B A A ≠=⑵垂直：{⇔⇔⊥-=⇔-==21212111.021k k k k k k l l 不存在，02121=+B B A A⑶平行系方程：与直线0=++C By Ax 平行的方程设为：0=++m By Ax⑷垂直系方程：与直线0=++C By Ax 垂直的方程设为：0=++n Ay Bx⑸定点(交点)系方程：过两条直线:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 的交点的方程设为：0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ反之直线0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ中，λ取任何一切实数R ，则直线一定过定点),(00y x ，即:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 两条直线的交点),(0y x4、距离公式： （1）两点间距离公式：两点),(),,(222211y x P x x P ：()()21221221y y x x P P -+-=（2）点到直线距离公式:点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为2200BA CBy Ax d +++=（3）两平行线间的距离公式：1l ：01=++C By Ax 与2l ：02=++C By Ax 平行，则2221BA C C d +-=二、圆与方程 1、圆的方程：⑴标准方程：()()222r b y a x =-+- 其中圆心为(,)a b ，半径为r .⑵一般方程：022=++++F Ey Dx y x (0422>-+F E D ) 其中圆心为(,)22D E --，半径为r =2、直线与圆的位置关系点),(00y x 和圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种：222222222)()()(rb y a x r b y a x rb y a x >-+-⇔=-+-⇔<-+-⇔）（点在圆外）（点在圆上）（点在圆内直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:0<∆⇔⇔>相离r d ; 0=∆⇔⇔=相切r d ; 0>∆⇔⇔<相交r d .切线方程：（1）当点),(00y x P 在圆222r y x =+上⇔200r y y x x =+ 圆222)()(r b y a x =-+-⇔200))(())((r b y b y a x a x =--+-- （2）当点),(00y x P 在圆222r y x =+外，则设直线方程()00x x k yy -=-，并利用d=r 求出斜率，即可求出直线方程【备注：切线方程一定是两条，考虑特殊直线k 不存在】④弦长公式：222||d r AB -==3、两圆位置关系：21O O d =⑴外离：r R d +> ⇔有4条公切线 ⑵外切：r R d += ⇔有3条公切线 ⑶相交：r R d r R +<<- ⇔有2条公切线 ⑷内切：r R d -= ⇔有1条公切线 ⑸内含：r R d -< ⇔有0条公切线三、圆锥曲线与方程1．椭圆焦点的位置 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上图形标准方程 ()222210x y a b a b+=>> ()222210y xa b a b+=>> 第一定义 到两定点21F F 、的距离之和等于常数2a ， 即21||||2MF MF a +=（212||a F F >）第二定义 与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数e ，即(01)MFe e d=<< 范围 a x a -≤≤且b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,b B -、()20,b B ()10,a A -、()20,a A()1,0b B -、()2,0b B轴长 长轴的长2a = 短轴的长2b = 对称性 关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称焦点 ()1,0F c -、()2,0F c()10,F c -、()20,F c焦距 222122()F F c c a b ==-离心率 22222221(01)c c a b b e e a a a a-====-<<准线方程 2a x c=±2a y c=±焦半径 0,0()M x y 左焦半径：10MF a ex =+ 右焦半径：20MF a ex =-下焦半径：10MF a ey =+ 上焦半径：20MF a ey =-焦点三角形面积12212tan()2MF F S b F MF θθ∆==∠021s 21y c in PF PF •=••=θ 通径过焦点且垂直于长轴的弦叫通径： ab 222．双曲线焦点的位置 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上图形标准方程 ()222210,0x y a b a b-=>> ()222210,0y x a b a b-=>> 第一定义到两定点21F F 、的距离之差的绝对值等于常数2a ， 即21||||2MF MF a -=（2102||a F F <<）第二定义 与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数e ，即(1)MFe e d=> 范围 或x a ≤-x a ≥，y R ∈y a ≤-或y a ≥，x R ∈顶点 ()1,0a A -、()2,0a A()10,a A -、()20,a A轴长 实轴的长2a = 虚轴的长2b = 对称性 关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称焦点 ()1,0F c -、()2,0F c()10,F c -、()20,F c焦距 222122()F F c c a b ==+离心率 22222221(1)c c a b b e e a a a a+====+>准线方程 2a x c=±2a y c=±渐近线方 程b y x a=±a y x b=±焦半径0,0()M x y M 在右支1020MF ex aMF ex a ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩左焦：右焦：M 在左支1020MF ex a MF ex a ⎧=--⎪⎨=-+⎪⎩左焦：右焦：M 上支1020MF ey aMF ey a ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩左焦：右焦：M 下支1020MF ey aMF ey a ⎧=--⎪⎨=-+⎪⎩左焦：右焦：焦点三角形面积 12212cot()2MF F S b F MF θθ∆==∠021s 21y c in PF PF •=••=θ 通径过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：ab 22【备注】1、双曲线和其渐近线得关系：由双曲线求渐进线：x a b y a x b y ax b y b y a x b y a x ±=⇒±=⇒=⇒=-⇒=-22222222222201 由渐进线求双曲线：λ=-⇒=-⇒=⇒±=⇒±=2222222222220by a x b y a x a x b y a x b y x a b y2．等轴双曲线⇔实轴和虚轴等长的双曲线⇔其离心率e ＝2⇔渐近线x ±=y⇔方程设为λ=-22y x2、求弦长的方法： ①求交点，利用两点间距离公式求弦长； ②弦长公式） （消　） （消x y y y y k y y k y x x x x k x x k l ]4))[(11(||11]4))[(1(1212212212212212212-++=-+=-++=-+=3.抛物线图形五、.直线与圆锥曲线的关系1、直线与圆锥曲线的关系如：直线y＝kx＋b与椭圆x2a2+y2b2＝1 (a>b>0)的位置关系：直线与椭圆相交?⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2b 2＝1⇔有2组实数解，即Δ>0.直线与椭圆相切?⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2b 2＝1⇔有1组实数解，即Δ=0，直线与椭圆相离⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2b 2＝1⇔没有实数解，即Δ<③、与弦的中点有关的问题常用“点差法”：把弦的两端点坐标代入圆锥曲线方程，作差→弦的斜率与中点的关系；0202y a x b k -=（椭圆） 0202y a x b k =（双曲线）3、关于抛物线焦点弦的几个结论（了解）设AB 为过抛物线22(0)y px p =>焦点的弦，1122(,)(,)A x y B x y 、，直线AB 的倾斜角为θ，则⑴ 221212,;4p x x y y p ==- ⑵ 22;sin p AB θ=⑶ 以AB 为直径的圆与准线相切；⑷ 焦点F 对A B 、在准线上射影的张角为2π；⑸112.||||FA FB P +=。

空间解析几何公式1. 什么是空间解析几何？空间解析几何是数学中的一门分支，主要研究空间中点、直线、平面的性质和变化规律，利用解析方法（代数方法和几何方法的结合）进行研究。

它是三维空间几何和解析几何的结合，其研究对象涉及到三维空间中点的坐标、向量、线、面等内容，用解析方法研究几何性质和规律，解决空间几何问题。

空间解析几何是算法几何的重要分支，是现代数学、物理学、计算机科学、工程学等领域中的重要基础学科。

2. 空间解析几何公式在三维空间中，常用的解析几何公式主要有以下几种：2.1 点的坐标公式三维空间中的点经常用空间中坐标表示，它的坐标表示方法为(x,y,z)，其中x、y、z分别是点在三个坐标轴上的投影距离。

根据勾股定理可知，三维空间中的距离公式为：d(P1,P2)=Sqrt[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2]其中P1和P2分别是空间中的两个点，d(P1,P2)为它们之间的距离。

2.2 向量的坐标公式向量是基本的几何工具之一，它们是空间中的箭头，用来表示物体在空间中的方向和大小。

空间中的一个向量a可以用(x,y,z)向量表示法来表示，其中x、y、z分别称作向量a在x、y、z方向上的分量。

向量a的大小为a的长度，记作|a|，它可以通过距离公式计算得到。

2.3 直线的参数式方程公式在三维空间中有以下两种表示直线的方法：方程式表示和参数式表示。

参数式表示是指使用参数t表示空间任何一点P在直线L上的位置，表达式为：P=P0+t*a其中P0是直线L上的一个已知点，a是该直线的方向向量，t为参数。

方向向量a是由直线上两个不同点的位置矢量相减得到的，即a=P1-P0。

如果将P的坐标表示为(x,y,z)，那么上式也可以写成：x=x0+at,y=y0+bt,z=z0+ct其中a、b、c为未知常数，x0、y0、z0分别是直线L上的已知点的坐标。

2.4 平面的一般式方程公式平面是三维空间中的二元一次方程，它可以表示为：Ax+By+Cz+D=0其中A、B、C、D为任意四个实数，且A、B、C不同时为零。

《高中数学解析几何基础知识总结》一、圆1、 定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合叫圆2、 圆的方程1）特殊式：222x y r += 圆心（0，0）半径r 2）标准式：222()()x a y b r -+-=3）一般式：220x y Dx Ey F ++++=（2240D E F +->）圆心（,22D E --）4）参数式：cos sin x a r y b r θθ=+⋅⎧⎨=+⋅⎩（θ为参数）圆心（a ，b ）半径为r3、点与圆的位置关系：设点到圆心距离为d ，圆的半径为r点在圆外⇔d>r 点在圆上⇔d=r 点在圆内⇔d<r4、直线与圆的位置关系：直线:0l Ax By C ++= 圆C 222()()x a y b r -+-= 线心距d =相交⇔0>或d<r 相切⇔0=或d=r 相离⇔0<或d>r 5、圆的切线求法1）切点00(,)x y 已知222x y r += 切线2x x y y r +=222()()x a y b r -+-= 切线200()()()()x a x a y b y b r --+--=220x y Dx Ey F ++++= 切线0000022x x y yx x y y DE F ++++++= 满足规律：20x x x →、20y y y →、02x x x +→、02y y y +→2）切线斜率k 已知时，222x y r += 切线y kx =±222()()x a y b r -+-= 切线()y b k x a -=-± 6、圆的切线长：自圆外一点P 00(,)x y 引圆外切线，切点为P ，则20PP x =7、切点弦方程：过圆外一点p 00(,)x y 引圆222x y r +=的两条切线，过切点的直线即切点弦200x x y y r +=（其推到过程逆向思维的运用）8、圆与圆的位置关系：设两圆圆心距离为d ，半径分别为12,r r 1）外离:：12d r r >+ 2）外切：12d r r =+ 3）相交：1212r r d r r -<<+ 4）内切：12d r r =- 5）内含：12d r r <-圆与圆位置关系的判定中，不能简单的应用联立方程求根当有两个根时候，肯定两圆相交；当没有根时候，不能确定是外离还是内含；当有且只有一个根时候，也不能确定是外切和内切9、公共弦方程(相交弦)：相交两圆1C ：221110x y D x E y F ++++=、222222:0C x y D x E y F ++++=公共弦方程121212()()()0D D x E E y F F -++++=10、圆系：具有某些共同性质的圆的集合1）同心圆系：222()()x a y b r -+-=（a ，b 为定值，r 为变量且r>0） 2）等圆系：222()()x a y b r -+-=（a ，b 为变量，r 为定值）3）过直线:0l Ax By C ++=与圆22:0C x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程：22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=()λθ∈简记为0C l λ+=4）过两圆221111:0C x y D x E y F ++++=，222222:0C x y D x E y F ++++=交点的圆系方程：2222111222()0(1)x y D x E y F x y D x E y F λλ+++++++++=≠-简记为120C C λ+=二、椭圆椭圆：平面内到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间距离）的点的集合1、定义：12122(2)PF PF a a F F +=> 第二定义：(01)PF ce e d a==<< 2、标准方程：22221(0)x y a b a b +=>> 或 22221(0)y x a b a b+=>>；3、参数方程cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）θ几何意义：离心角4、几何性质：（只给出焦点在x 轴上的的椭圆的几何性质） ①、顶点(,0),(0,)a b ±± ②、焦点(,0)c ± ③、离心率(01)ce e a=<< ④准线：2a x c=±（课改后对准线不再要求，但题目中偶尔给出）5、焦点三角形面积：122tan 2PF F Sb θ=⋅（设12F PF θ∠=）(推导过程必须会)6、椭圆面积：S a b π=⋅⋅椭（了解即可）7、直线与椭圆位置关系：相离（0∆<）；相交（0∆>）；相切（0∆=） 判定方法：直线方程与椭圆方程联立，利用判别式判断根的个数 8、椭圆切线的求法1）切点（00x y ）已知时，22221(0)x y a b a b +=>> 切线00221x x y y a b +=22221(0)y x a b a b +=>> 切线00221y y x x a b +=2）切线斜率k 已知时， 22221(0)x y a b a b +=>> 切线y kx =±22221(0)y x a b a b+=>> 切线y kx =±9、焦半径：椭圆上点到焦点的距离22221(0)x y a b a b +=>> 0r a ex =±（左加右减）22221(0)y a a b a b+=>> 0r a ey =±（下加上减）三、双曲线1、定义：122PF PF a -=± 第二定义：(1)PF ce e d a ==>2、标准方程：22221(0,0)x y a b a b-=>>（焦点在x 轴）22221(0,0)y x a b a b -=>>（焦点在y 轴） 参数方程：sec tan x a y b θθ=⋅⎧⎨=⋅⎩（θ为参数） 用法：可设曲线上任一点P (sec ,tan )a b θθ3、几何性质 ① 顶点(,0)a ±② 焦点(,0)c ± 222c a b =+ ③ 离心率ce a=1e > ④ 准线2a x c±⑤ 渐近线 22221(0,0)x y a b a b -=>> by x a=±或22220x y a b -=22221(0,0)y x a b a b -=>> by x a=±或22220y x a b -= 4、特殊双曲线①、等轴双曲线22221x y a a -= e =渐近线y x =±②、双曲线22221x y a b-=的共轭双曲线22221x y a b -=-性质1：双曲线与其共轭双曲线有共同渐近线性质2：双曲线与其共轭双曲线的四个焦点在同一圆上 5、直线与双曲线的位置关系 ① 相离（0∆<）；② 相切（0∆=）； ③ 相交（0∆>） 判定直线与双曲线位置关系需要与渐近线联系一起 0∆=时可以是相交也可以是相切 6、焦半径公式22221(0,0)x y a b a b-=>> 点P 在右支上 0r ex a =±（左加右减） 点P 在左支上 0()r ex a =-±（左加右减）22221(0,0)y x a b a b-=>> 点P 在上支上 0r ey a =±（下加上减） 点P 在上支上 0()r ey a =-±（下加上减） 7、双曲线切线的求法① 切点P 00(,)x y 已知 22221(0,0)x y a b a b -=>> 切线00221x x y y a b -=22221(0,0)y x a b a b -=>> 切线00221y y x x a b -=② 切线斜率K 已知 22221x y a b -= 222()by kx a k b k a =->22221y x a b -= 222()by kx a b k k a=-<8、焦点三角形面积：122cot2PF F Sb θ=⋅（θ为12F PF ∠）四、抛物线1、定义：平面内与一定点和一定直线的距离相等的点的集合（轨迹）2、几何性质：P 几何意义：焦准距 焦点到准线的距离设为P 标准方程：22(0)y px p => 22(0)y px p =->图 像：范 围： 0x ≥ 0x ≤ 对 称 轴： x 轴 x 轴 顶 点： （0，0） （0，0）焦 点： （,02p ） （,02p-） 离 心 率： 1e = 1e =准 线： 2px =- 2p x =标准方程：22(0)x py p => 22(0)x py p =->图 像：范 围： 0y ≥ 0y ≤ 对 称 轴： y 轴 y 轴 定 点： （0，0） （0，0）焦 点： （0，2p ） (0,)2p - 离 心 率： 1e = 1e =准 线： 2py =- 2p y =3、参数方程222x pt y pt⎧=⎨=⎩（t 为参数方程）⇔22(0)y px p =>4、通径：过焦点且垂直于对称轴的弦椭圆：双曲线通径长22b a抛物线通径长2P5、直线与抛物线的位置关系1）相交（有两个交点或一个交点） 2）相切（有一个交点）； 3）相离（没有交点） 6、抛物线切线的求法1）切点P 00(,)x y 已知：22(0)y px p =>的切线；00()y y p x x =+2）切线斜率K 已知：22(0):2p y px p y kx k =>=+22(0):2py px p y kx k=->=-222(0):2pk x py p y kx =>=-222(0):2pk x py p y kx =->=+此类公式填空选择或解答题中（部分）可作公式直接应用五、弦长公式：若直线y kx b =+与圆锥曲线相交于两点A 、B ，且12,x x 分别为A 、B 的横坐标，则AB ＝2121k x +-，若12,y y 分别为A 、B 的纵坐标，则AB ＝21211y y k-+，若弦AB 所在直线方程设为x ky b =+，则AB 2121k y y +-。