湘教版高中数学必修三解析几何初步学案(3)

7．3.1 圆的标准方程[学习目标]1．会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特点． 2．会根据已知条件求圆的标准方程． 3．能准确判断点与圆的位置关系． [知识链接]1．平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆． 2．确定一个圆的基本要素是圆心和半径．3．平面上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)间的距离公式|AB | [预习导引] 1．圆的定义圆是在平面上到一个固定点的距离等于一个固定长度的所有的点组成的集合，这个固定的点就是圆心．这个固定的长度就是半径．2．定理4：圆心为点(a ，b )、半径为r 的圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，称之为圆的标准方程．3．圆心在原点(0，0)，半径为r 的圆的方程为x 2＋y 2＝r 2． 4．点与圆的位置关系设点P 到圆心的距离为d ，圆的半径为r ，则点与圆的位置有如表所示的对应关系.要点一 点与圆的位置关系例1 已知点A (1，2)不在圆C ：(x －a )2＋(y ＋a )2＝2a 2的内部，求实数a 的取值范围． 解 由题意，点A 在圆C 上或圆C 的外部， ∴(1－a )2＋(2＋a )2≥2a 2， ∴2a ＋5≥0，∴a ≥－52，又a ≠0，∴a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－52，0∪(0，＋∞)． 规律方法 判断点P (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系有几何法与代数法两种，对于几何法，主要是利用点与圆心的距离与半径比较大小．对于代数法，主要是把点的坐标直接代入圆的标准方程，具体判断方法如下： ①当(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2时，点在圆内， ②当(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2时，点在圆上， ③当(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2时，点在圆外．跟踪演练1 点P (m 2，5)与圆x 2＋y 2＝24的位置关系是( ) A ．在圆外 B ．在圆内 C ．在圆上 D ．不确定答案 A解析 把点P (m 2，5)代入圆的方程x 2＋y 2＝24得m 4＋25>24，故点P 在圆外． 要点二 求圆的标准方程例2 求过点A (1，－1)，B (－1，1)且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程． 解 法一 设点C 为圆心， ∵点C 在直线x ＋y －2＝0上， ∴可设点C 的坐标为(a ，2－a )． 又∵该圆经过A ，B 两点，∴|CA |＝|CB |.∴（a －1）2＋（2－a ＋1）2＝（a ＋1）2＋（2－a －1）2， 解得a ＝1.∴圆心坐标为C (1，1)，半径长r ＝|CA |＝2. 故所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4. 法二 由已知可得线段AB 的中点坐标为(0，0)，k AB ＝1－（－1）－1－1＝－1，所以弦AB 的垂直平分线的斜率为k ＝1，所以AB 的垂直平分线的方程为y －0＝1·(x －0)，即y ＝x .则圆心是直线y ＝x 与x ＋y －2＝0的交点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即圆心为(1，1)，圆的半径为（1－1）2＋[1－（－1）]2＝2， 故所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.规律方法 直接法求圆的标准方程时，一般先从确定圆的两个要素入手，即首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程．跟踪演练2 以两点A (－3，－1)和B (5，5)为直径端点的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋(y －2)2＝10 B ．(x －1)2＋(y －2)2＝100 C ．(x －1)2＋(y －2)2＝5 D ．(x －1)2＋(y －2)2＝25答案 D解析 ∵线段AB 的中点坐标为(1，2)， ∴以AB 为直径的圆的圆心坐标为(1，2)， 半径r ＝12（5＋3）2＋（5＋1）2＝5.∴所求圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝25. 要点三 圆的方程的综合应用例3 已知圆心在x 轴上的圆C 与x 轴交于两点A (1，0)，B (5，0)， (1)求此圆的标准方程；(2)设P (x ，y )为圆C 上任意一点，求P (x ，y )到直线x －y ＋1＝0的距离的最大值和最小值． 解 (1)由已知，得C (3，0)，r ＝|AB |2＝2， ∴所求圆的方程为(x －3)2＋y 2＝4. (2)圆心C 到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝|3－0＋1|12＋（－1）2＝2 2.∴P 到直线的最大距离为2＋22，最小距离为22－2.规律方法 解答此类题目经常应用圆的性质，解题过程中用数形结合的思想能有效地找到解题的捷径，即过圆心作已知直线的垂线，便于求解此题．跟踪演练3 已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1，点A (0，－1)，B (0，1)，设P 是圆C 上的动点，令d ＝|PA |2＋|PB |2，求d 的最大值及最小值． 解 设P (x ，y )，则d ＝|PA |2＋|PB |2＝2(x 2＋y 2)＋2. ∵|CO |2＝32＋42＝25，∴|CO |＝5， ∴(5－1)2≤x 2＋y 2≤(5＋1)2，即16≤x 2＋y 2≤36.∴d 的最小值为2×16＋2＝34， 最大值为2×36＋2＝74.1．圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝2的圆心和半径分别是( ) A ．(－2，3)，1 B ．(2，－3)，3 C ．(－2，3)， 2 D ．(2，－3)， 2答案 D解析 由圆的标准方程可得圆心坐标为(2，－3)，半径为 2. 2．以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是( ) A ．x 2＋y 2＝2B ．x 2＋y 2＝4 C ．(x －2)2＋(y －2)2＝8 D ．x 2＋y 2＝ 2答案 B解析 以原点为圆心，2为半径的圆，其标准方程为x 2＋y 2＝4.3．已知两圆C 1：(x －5)2＋(y －3)2＝9和C 2：(x －2)2＋(y ＋1)2＝5，则两圆圆心间的距离为________． 答案 5解析 C 1圆心为(5，3)，C 2圆心为(2，－1)，则d ＝（5－2）2＋（3＋1）2＝5. 4．圆的直径端点为A (2，0)，B (2，－2)，则此圆的标准方程为____． 答案 (x －2)2＋(y ＋1)2＝1解析 圆心C (2，－1)，半径r ＝12（2－2）2＋（0＋2）2＝1，∴圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.5．点(1，1)在圆(x ＋2)2＋y 2＝m 上，则圆的方程是________． 答案 (x ＋2)2＋y 2＝10解析 因为点(1，1)在圆(x ＋2)2＋y 2＝m 上，故(1＋2)2＋12＝m ，∴m ＝10，即圆的方程为(x ＋2)2＋y 2＝10.1．确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于a ，b ，r 的方程组求a ，b ，r 或直接求出圆心(a ，b )和半径r .另依据题意适时运用圆的几何性质解题可以化繁为简，提高解题效率．2．讨论点与圆的位置关系可以从代数特征(点的坐标是否满足圆的方程)或几何特征(点到圆心的距离与半径的关系)去考虑，其中利用几何特征较为直观、简捷.一、基础达标1．圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是( )A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9 B．(x－1)2＋(y＋2)2＝3C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3 D．(x－1)2＋(y＋2)2＝9答案 D解析由题意可知，圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，故选D.2．圆心为(0，4)，且过点(3，0)的圆的方程为( )A．x2＋(y－4)2＝25 B．x2＋(y＋4)2＝25C．(x－4)2＋y2＝25 D．(x＋4)2＋y2＝25答案 A解析由题意，圆的半径r＝（0－3）2＋（4－0）2＝5，则圆的方程为x2＋(y－4)2＝25. 3．与圆(x－3)2＋(y＋2)2＝4关于直线x＝－1对称的圆的方程为( )A．(x＋5)2＋(y＋2)2＝4B．(x－3)2＋(y＋2)2＝4C．(x－5)2＋(y＋2)2＝4D．(x－3)2＋y2＝4答案 A解析已知圆的圆心(3，－2)关于直线x＝－1的对称点为(－5，－2)，∴所求圆的方程为(x＋5)2＋(y＋2)2＝4.4．若点(4a－1，3a＋2)不在圆(x＋1)2＋(y－2)2＝25的外部，则a的取值范围是( )A．|a|<55B．|a|<1C．|a|≤55D．|a|≤1答案 D解析由已知，得(4a)2＋(3a)2≤25.∴a2≤1，∴|a|≤1.5．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程为________．答案x2＋(y－2)2＝1解析 设圆心(0，b )，则圆的方程为(x －0)2＋(y －b )2＝1， 把(1，2)代入得12＋(2－b )2＝1，∴b ＝2. ∴圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.6．已知点P (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上，则（x －1）2＋（y －1）2的最大值为________． 答案 1＋ 2 解析（x －1）2＋（y －1）2的几何意义是圆上的点P (x ，y )到点(1，1)的距离，因此其最大值为圆心(0，0)到点(1，1)的距离加半径，即为2＋1. 7．已知直线l 与圆C 相交于点P (1，0)和点Q (0，1)． (1)求圆心所在的直线方程；(2)若圆C 的半径为1，求圆C 的方程． 解 (1)PQ 的方程为x ＋y －1＝0，PQ 中点M ⎝⎛⎭⎪⎫12，12，k PQ ＝－1，所以圆心所在直线过点M ⎝⎛⎭⎪⎫12，12，且斜率为1， 所以圆心所在的直线方程为y ＝x . (2)由条件设圆的方程为： (x －a )2＋(y －b )2＝1.由圆过P ，Q 点得：⎩⎪⎨⎪⎧（1－a ）2＋b 2＝1，a 2＋（1－b ）2＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1.所以圆C 方程为：x 2＋y 2＝1或(x －1)2＋(y －1)2＝1. 二、能力提升8．已知一圆的圆心为点A (2，－3)，一条直径的端点分别在x 轴和y 轴上，则圆的方程是( )A ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝13 B ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝13 C ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝52 D ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝52 答案 B解析 如图，结合圆的性质可知，圆的半径r ＝（2－0）2＋（－3－0）2＝13.故所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13.9．若实数x ，y 满足(x ＋5)2＋(y －12)2＝142，则x 2＋y 2的最小值为( ) A ．2 B ．1 C. 3 D. 2答案 B解析 由几何意义可知最小值为14－52＋122＝1. 10．已知实数x ，y 满足y ＝9－x 2，则t ＝y ＋3x ＋1的取值范围是________． 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ 解析 y ＝9－x 2表示上半圆，t 可以看作动点(x ，y )与定点(－1，－3)连线的斜率．如图：A (－1，－3)，B (3，0)，C (－3，0)，则k AB ＝34，k AC ＝－32，∴t ≤－32或t ≥34.11．求圆心在直线x －2y －3＝0上，且过点A (2，－3)，B (－2，－5)的圆的标准方程． 解 法一 设点C 为圆心， ∵点C 在直线l ：x －2y －3＝0上， ∴可设点C 的坐标为(2a ＋3，a )． 又∵该圆经过A ，B 两点，∴|CA |＝|CB |. ∴（2a ＋3－2）2＋（a ＋3）2＝（2a ＋3＋2）2＋（a ＋5）2，解得a ＝－2.∴圆心坐标为C (－1，－2)，半径r ＝10. 故所求圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10. 法二 设所求圆的标准方程为 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由条件知⎩⎪⎨⎪⎧（2－a ）2＋（－3－b ）2＝r 2，（－2－a ）2＋（－5－b ）2＝r 2，a －2b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，r 2＝10.故所求圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10. 三、探究与创新12．平面直角坐标系中有A (0，1)，B (2，1)，C (3，4)，D (－1，2)四点，这四点能否在同一个圆上？为什么？ 解 能．设过A (0，1)，B (2，1)，C (3，4)的圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2. 将A ，B ，C 三点的坐标分别代入得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋（1－b ）2＝r 2，（2－a ）2＋（1－b ）2＝r 2，（3－a ）2＋（4－b ）2＝r 2，解得⎩⎨⎧a＝1，b ＝3，r ＝ 5.∴圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝5.将D (－1，2)的坐标代入上式圆的方程左边， (－1－1)2＋(2－3)2＝4＋1＝5， 即D 点坐标适合此圆的方程． 故A ，B ，C ，D 四点在同一圆上．13．(1)如果实数x ，y 满足(x －2)2＋y 2＝3，求y x的最大值和最小值；(2)已知实数x ，y 满足方程x 2＋(y －1)2＝14，求（x －2）2＋（y －3）2的取值范围．解 (1)法一如图，当过原点的直线l 与圆(x －2)2＋y 2＝3相切于上方时y x最大，过圆心A (2，0)作切线l 的垂线交于B ，在Rt△ABO 中，OA ＝2，AB ＝ 3. ∴切线l 的倾斜角为60°， ∴y x的最大值为 3.类似地容易求得y x的最小值为－ 3. 法二 令y x＝n ，则y ＝nx ，与(x －2)2＋y 2＝3 联立消去y 得(1＋n 2)x 2－4x ＋1＝0， Δ＝(－4)2－4(1＋n 2)≥0，即n 2≤3， ∴－3≤n ≤3，即y x的最大值、最小值分别为3，－ 3. (2)（x －2）2＋（y －3）2可以看成圆上的点P (x ，y )到A (2，3)的距离．圆心C (0，1)到A (2，3)的距离为d ＝（0－2）2＋（1－3）2＝2 2.由图可知，圆上的点P (x ，y )到A (2，3)的距离的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤22－12，22＋12. 所以（x －2）2＋（y －3）2的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤22－12，22＋12.。

第7章解析几何初步章末复习1．点的坐标(1)两点间距离公式：两点P 1(x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)间的距离|PQ |＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2. (2)定比分点坐标公式：分两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)所构成的有向线段AB →为定比λ的分点的坐标为(x 1＋λx 21＋λ，y 1＋λy 21＋λ)．(3)三角形重心坐标公式：以(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)为顶点的三角形的重心坐标为(x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33)．(4)三角形面积的公式：以向量(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为两边的三角形的面积S ＝12|x 1y 2－x 2y 1|.2．直线与方程 (1)直线法向量的应用①直线垂直于向量(A ，B )(法向量)⇔直线方程Ax ＋By ＋C ＝0(C 待定) ②两条直线平行或重合⇔它们的法向量平行 两条直线相交⇔它们的法向量不平行 ③两直线垂直⇔它们的法向量垂直(内积为0) (2)直线方程的几种形式(3)斜率公式和点到直线的距离公式 ①k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)②d ＝|Ax 1＋By 1＋C |A 2＋B 23．圆与方程(1)标准方程：以(a ，b )为圆心，r 为半径的圆的方程： (x －a )2＋(y －b )2＝r 2(2)一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)．其中圆心坐标(－D 2，－E2)，r ＝D 2＋E 2－4F2(3)直线与圆的位置关系由圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系决定： 相离⇔d >r ； 相交⇔d <r ； 相切⇔d ＝r .(4)圆与圆的位置关系由两圆的半径R ，r 及圆心距d 决定，有如下关系：(不妨设R ≥r ) 外离⇔d >R ＋r ； 外切⇔d ＝R ＋r ； 相交⇔R －r <d <R ＋r ； 内切⇔d ＝R －r >0； 内含⇔d <R －r ； 同心⇔d ＝0. 4．空间两点间的距离空间两点P (x 1，y 1，z 1)，Q (x 2，y 2，z 2)间的距离： |PQ |＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2＋（z 2－z 1）2.题型一 直线的方程(1)求直线方程的主要方法是待定系数法．要掌握直线方程五种形式的适用条件及相互转化，能根据条件灵活选用方程，当不能确定某种方程条件是否具备时要另行讨论条件不满足的情况．(2)运用直线系方程的主要作用在于能使计算简单．例1 过点P (－1，0)，Q (0，2)分别作两条互相平行的直线，使它们在x 轴上截距之差的绝对值为1，求这两条直线的方程．解 (1)当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别为x ＝－1，x ＝0，它们在x 轴上截距之差的绝对值为1，满足题意；(2)当直线的斜率存在时，显然斜率不为0，设其斜率为k ，则两条直线的方程分别为y ＝k (x ＋1)，y ＝kx ＋2.令y ＝0，分别得x ＝－1，x ＝－2k.由题意⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1＋2k ＝1，即k ＝1.则直线的方程为y ＝x ＋1，y ＝x ＋2， 即x －y ＋1＝0，x －y ＋2＝0，综上可知，所求的直线方程为x ＝－1，x ＝0，或x －y ＋1＝0，x －y ＋2＝0. 跟踪演练1 将直线的方程x －2y ＋6＝0：(1)化成斜截式，并指出它的斜率与在y 轴上的截距； (2)化成截距式，并指出它在x 轴、y 轴上的截距．解 (1)将原方程移项得2y ＝x ＋6，两边同除以2，得斜截式y ＝12x ＋3，因此它的斜率k ＝12，在y 轴上的截距为3.(2)将原方程移项得x －2y ＝－6，两边同除以－6，得截距式x －6＋y3＝1.由方程可知，直线在x 轴、y 轴上的截距分别为－6，3. 题型二 直线的位置关系两条直线的位置关系有相交(特例垂直)、平行、重合三种，主要考查两条直线的平行和垂直．通常借助直线的斜截式方程来判断两条直线的位置关系．解题时要注意分析斜率是否存在，用一般式方程来判断，可以避免讨论斜率不存在的情况．例2 已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0，l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求分别满足下列条件的a ，b 的值．(1)直线l 1过点(－3，－1)，并且直线l 1与直线l 2垂直； (2)直线l 1与直线l 2平行，并且坐标原点到l 1，l 2的距离相等． 解 (1)∵l 1⊥l 2，∴a (a －1)＋(－b )·1＝0， 即a 2－a －b ＝0.① 又点(－3，－1)在l 1上，∴－3a ＋b ＋4＝0.② 由①②解得a ＝2，b ＝2. (2)∵l 1∥l 2且l 2的斜率为1－a ，∴l 1的斜率也存在，a b ＝1－a ，即b ＝a1－a .故l 1和l 2的方程可分别表示为l 1∶(a －1)x ＋y ＋4（a －1）a＝0，l 2：(a －1)x ＋y ＋a1－a＝0. ∵原点到l 1与l 2的距离相等，∴4⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －1a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1－a ，解得a ＝2或a ＝23.因此⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝2.跟踪演练2 已知直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，求m 的值，使得： (1)l 1与l 2相交；(2)l 1⊥l 2；(3)l 1∥l 2；(4)l 1，l 2重合． 解 (1)由已知1×3≠m (m －2)， 即m 2－2m －3≠0， 解得m ≠－1且m ≠3.故当m ≠－1且m ≠3时，l 1与l 2相交． (2)当1·(m －2)＋m ·3＝0， 即m ＝12时，l 1⊥l 2.(3)当1×3＝m (m －2)且1×2m ≠6×(m －2)或(m ×2m ≠3×6)，即m ＝－1时，l 1∥l 2. (4)当1×3＝m (m －2)且1×2m ＝6×(m －2)， 即m ＝3时，l 1与l 2重合．题型三 直线与圆、圆与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系是高考考查的重点，切线问题更是重中之重．判断直线与圆的位置关系以几何法为主，解题时应充分利用圆的几何性质以简化解题过程．2．解决圆与圆的位置关系的关键是抓住它的几何特征，利用两圆圆心距与两圆半径的和、差的绝对值的大小来确定两圆的位置关系，以及充分利用它的几何图形的形象直观性来分析问题．例3 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4和圆C 2：(x －4)2＋(y －5)2＝4.(1)若直线l 过点A (4，0)，且被圆C 1截得的弦长为23，求直线l 的方程；(2)设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和圆C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标．解 (1)由于直线x ＝4与圆C 1不相交，所以直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，圆C 1的圆心到直线l 的距离为d ，因为直线l 被圆C 1截得的弦长为23，所以d ＝22－（3）2＝1.由点到直线的距离公式得d ＝|1－k （－3－4）|1＋k2，从而k (24k ＋7)＝0.即k ＝0或k ＝－724，所以直线l 的方程为y ＝0或7x ＋24y －28＝0.(2)设点P (a ，b )满足条件，不妨设直线l 1的方程为y －b ＝k (x －a )，k ≠0，则直线l 2的方程为y －b ＝－1k(x －a )．因为圆C 1和圆C 2的半径相等，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，所以圆C 1的圆心到直线l 1的距离和圆C 2的圆心到直线l 2的距离相等，即|1－k （－3－a ）－b |1＋k2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪5＋1k （4－a ）－b 1＋1k 2，整理得|1＋3k ＋ak －b |＝|5k ＋4－a －bk |，从而1＋3k ＋ak －b ＝5k ＋4－a －bk 或1＋3k ＋ak －b ＝ －5k －4＋a ＋bk ，即(a ＋b －2)k ＝b －a ＋3或(a －b ＋8)k ＝a ＋b －5. 因为k 的取值范围有无穷多个，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －2＝0，b －a ＋3＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋8＝0，a ＋b －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝52，b ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝132.这样点P 只可能是点P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－12或点P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，132.经检验点P 1和P 2满足题目条件．跟踪演练3 已知直线l 过点P (1，1)并与直线l 1：x －y ＋3＝0和l 2：2x ＋y －6＝0分别交于点A ，B ，若线段AB 被点P 平分，求： (1)直线l 的方程；(2)以原点O 为圆心且被l 截得的弦长为855的圆的方程．解 (1)依题意可设A (m ，n )，B (2－m ，2－n )，则⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＋3＝0，2（2－m ）＋（2－n ）－6＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝－3，2m ＋n ＝0， 解得A (－1，2)．又l 过点P (1，1)，易得直线AB 的方程为x ＋2y －3＝0， 即直线l 的方程为x ＋2y －3＝0.(2)设圆的半径长为r ，则r 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4552，其中d 为弦心距，d ＝35，可得r 2＝5，故所求圆的方程为x 2＋y 2＝5. 题型四 与圆有关的最值问题在解决有关直线与圆的最值和范围问题时，最常用的方法是函数法，把要求的最值或范围表示为某个变量的关系式，用函数或方程的知识，尤其是配方的方法求出最值或范围；除此之外，数形结合的思想方法也是一种重要方法，直接根据图形和题设条件，应用图形的直观位置关系得出要求的范围．例4 已知圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝1，P (x ，y )为圆C 上任一点． (1)求y －2x －1的最大值与最小值； (2)求x －2y 的最大值与最小值． 解(1)显然y －2x －1可以看作是点 P (x ，y )与点Q (1，2)连线的斜率．令y －2x －1＝k ，如图所示，则其最大、最小值分别是过点Q (1，2)的圆C 的两条切线的斜率． 对上式整理得kx －y －k ＋2＝0， ∴|－2k ＋2－k |1＋k 2＝1， ∴k ＝3±34.故y －2x －1的最大值是3＋34，最小值是3－34. (2)令u ＝x －2y ，则u 可视为一组平行线，当直线和圆C 有公共点时，u 的范围即可确定，且最值在直线与圆相切时取得．当直线与圆相切时，有|－2－u |5＝1，解得u ＝－2±5，故x －2y 的最大值是－2＋5，最小值是－2－ 5.跟踪演练4 当曲线y ＝1＋4－x 2与直线y ＝k (x －2)＋4有两个相异交点时，实数k 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，512B.⎝ ⎛⎦⎥⎤13，34 C.⎝⎛⎦⎥⎤512，34D.⎝ ⎛⎭⎪⎫512，＋∞答案 C解析 曲线y ＝1＋4－x 2是以(0，1)为圆心，2为半径的半圆(如图)，直线y ＝k (x －2)＋4是过定点(2，4)的直线．设切线PC 的斜率为k 0，则切线PC 的方程为y ＝k 0(x －2)＋4，圆心(0，1)到直线PC 的距离等于半径2，即|1＋2k 0－4|1＋k 2＝2，k 0＝512.直线PA 的斜率为k 1＝34.所以，实数k 的范围是512<k ≤34.题型五 分类讨论思想分类讨论思想是中学数学的基本思想之一，是历年高考的重点，其实质就是整体问题化为部分问题来解决，化成部分问题后，从而增加了题设的条件．在用二元二次方程表示圆时要分类讨论，在求直线的斜率问题时、用斜率表示直线方程时都要分类讨论．例5 已知直线l 经过点P (－4，－3)，且被圆(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝25截得的弦长为8，求直线l 的方程．解 圆(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝25的圆心为(－1，－2)，半径r ＝5.①当直线l 的斜率不存在时，则l 的方程为x ＝－4，易求得直线与圆的两交点分别为(－4，2)，(－4，6)，显然弦长为8，故直线x ＝－4符合题意． ②当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＋3＝k (x ＋4)， 即kx －y ＋4k －3＝0.由题意可知⎝ ⎛⎭⎪⎫|－k ＋2＋4k －3|1＋k 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫822＝52， 解得k ＝－43，即所求直线方程为4x ＋3y ＋25＝0.综上所述，满足题设的l 方程为x ＝－4或4x ＋3y ＋25＝0.跟踪演练5 过点A (4，－3)作圆C ：(x －3)2＋(y －1)2＝1的切线，求此切线方程． 解 ∵(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1， ∴点A 在圆外．①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k ，则切线方程为y ＋3＝k (x －4)． 因为圆心C (3，1)到切线的距离等于半径1，所以|3k －1－3－4k |k 2＋1＝1，解得k ＝－158.所以切线方程为y ＋3＝－158(x －4)．即15x ＋8y －36＝0.②若切线斜率不存在，因为圆心C (3，1)到直线x ＝4的距离也为1，这时直线与圆也相切， 所以另一条切线方程是x ＝4，综上，所求切线方程为15x ＋8y －36＝0或x ＝4.1．在平面解析几何中，用代数知识解决几何问题时应首先挖掘出几何图形的几何条件，把它们进一步转化为代数方程之间的关系求解．2．关于对称问题，要充分利用“垂直平分”这个基本条件，“垂直”是指两个对称点的连线与已知直线垂直，“平分”是指两对称点连成线段的中点在已知直线上，可通过这两个条件列方程组求解．3．涉及直线斜率问题时，应从斜率存在与不存在两方面考虑，防止漏掉情况．。

圆与方程一、复习目标：圆与方程了解确定圆几何要素〔圆心与半径、不在同一直线上三个点等〕.掌握圆标准方程与一般方程，能根据问题条件选择恰当形式求圆方程；理解圆标准方程与一般方程之间关系，会进展互化.能根据直线与圆方程判断其位置关系〔相交、相切、相离〕；能根据圆方程判断圆与圆位置关系〔外离、外切、相交、内切、内含〕.能用直线与圆方程解决一些简单问题.用代数方法处理几何问题思想体会用代数方法处理几何问题思想，感受“形〞与“数〞对立与统一；初步掌握数形结合思想方法在研究数学问题中应用.二、复习重难点：圆标准方程与一般方程三、高考内容及要求：四、知识回忆：1、圆方程：⑴标准方程：()()222r b y a x =-+-⑵一般方程：022=++++F Ey Dx y x .2、两圆位置关系：21O O d = ⑴外离：r R d +>；⑵外切：r R d +=；⑶相交：r R d r R +<<-；⑷内切：r R d -=；⑸内含：r R d -<.五、课堂教学：问题导学一：我们在解决直线与圆相切时应注意哪些要点？例1、根底训练：求以)3,1(N 为圆心，并且与直线0743=--y x 相切圆方程. 探究1：过坐标原点且与圆0252422=++-+y x y x 相切直线方程为 解：设直线方程为kx y =，即0=-y kx .∵圆方程可化为，∴圆心为〔2，-1〕，半径为210.依题意有，解得3-=k 或，∴直线方程为x y 3-=或. 探究2：直线0125=++a y x 与圆0222=+-y x x 相切，那么a 值为 . 解：∵圆1)1(22=+-y x 圆心为〔1，0〕，半径为1，∴，解得8=a 或18-=a . 练习稳固：求经过点)5,0(A ，且与直线02=-y x 与02=+y x 都相切圆方程. 解：设所求圆方程为222)()(r b y a x =-+-，那么， 解得或，∴圆方程为5)3()1(22=-+-y x 或125)15()5(22=-+-y x .问题导学二：直线被圆所截弦长处理策略是什么关键是借助圆什么性质？例2、根底训练：求直线063:=--y x l 被圆042:22=--+y x y x C 截得弦AB 长.探究1：直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得劣弧所对圆心角为 解：依题意得，弦心距3=d ，故弦长2222=-=d r AB ，从而△OAB 是等边三角形，故截得劣弧所对圆心角为.探究2：设直线03=+-y ax 与圆4)2()1(22=-+-y x 相交于A 、B 两点，且弦AB 长为32，那么=a .解：由弦心距、半弦长、半径构成直角三角形，得22222)3()11(=+++a a ，解得0=a . 练习稳固：圆6)2()1(:22=-++y x C ，直线01:=-+-m y mx l .〔1〕求证：不管m 取什么实数，直线l 与圆C 恒交于两点；〔2〕求直线l 被圆C 截得弦长最小时l 方程.解：〔1〕∵直线)1(1:-=-x m y l 恒过定点)1,1(P ，且65=<=r PC ，∴点P 在圆内，∴直线l 与圆C 恒交于两点.〔2〕由平面几何性质可知，当过圆内定点P 直线l 垂直于PC 时，直线l 被圆C 截得弦长最小，此时，∴所求直线l 方程为)1(21-=-x y 即012=--y x . 问题导学三：如何判断直线与圆位置关系？例3、根底训练：直线0323=-+y x 与圆422=+y x ，判断此直线与圆位置关系.探究1：直线1=+y x 与圆)0(0222>=-+a ay y x 没有公共点，那么a 取值范围是解：依题意有，解得1212-<<--a .∵0>a ，∴120-<<a .探究2：假设直线2+=kx y 与圆1)3()2(22=-+-y x 有两个不同交点，那么k 取值范围是 .解：依题意有，解得，∴k 取值范围是.练习稳固：假设直线m x y +=与曲线24x y -=有且只有一个公共点，求实数m 取值范围.解：∵曲线24x y -=表示半圆)0(422≥=+y y x ，∴利用数形结合法，可得实数m 取值范围是22<≤-m 或22=m .问题导学四：圆与圆位置关系如何确定？例4、根底训练：判断圆02662:221=--++y x y x C 与圆0424:222=++-+y x y x C 位置关系，并画出图形.探究1：圆0222=-+x y x 与圆0422=++y y x 位置关系是 解：∵圆1)1(22=+-y x 圆心为)0,1(1O ，半径11=r ，圆4)2(22=++y x 圆心为)2,0(2-O ，半径22=r ，∴1,3,5122121=-=+=r r r r O O .∵212112r r O O r r +<<-，∴两圆相交.探究2：假设圆042222=-+-+m mx y x 与圆08442222=-+-++m my x y x 相切，那么实数m 取值集合是 .解：∵圆4)(22=+-y m x 圆心为)0,(1m O ，半径21=r ，圆9)2()1(22=-++m y x 圆心为)2,1(2m O -，半径32=r ，且两圆相切，∴2121r r O O +=或1221r r O O -=，∴5)2()1(22=++m m 或1)2()1(22=++m m ，解得或2=m ，或0=m 或，∴实数m 取值集合是.练习稳固：求与圆522=+y x 外切于点)2,1(-P ，且半径为52圆方程. 解：设所求圆圆心为),(1b a O ，那么所求圆方程为20)()(22=-+-b y a x .∵两圆外切于点P ，∴，∴，∴6,3=-=b a ，∴所求圆方程为20)6()3(22=-++y x . 问题导学五：与圆相关最值有哪些解决途径，表达那些思想方法？ 例5、根底训练：点)2,4(),6,2(),2,2(----C B A ，点P 在圆422=+y x 上运动，求222PC PB PA ++最大值与最小值.探究1：圆0104422=---+y x y x 上点到直线014=-+y x 最大距离与最小距离差是解：∵圆18)2()2(22=-+-y x 圆心为〔2，2〕，半径23=r ，∴圆心到直线距离，∴直线与圆相离，∴圆上点到直线最大距离与最小距离差是262)()(==--+r r d r d .探究2：)0,2(-A ，)0,2(B ，点P 在圆4)4()3(22=-+-y x 上运动，那么22PB PA +最小值是 .解：设),(y x P ，那么828)(2)2()2(222222222+=++=+-+++=+OP y x y x y x PB PA .设圆心为)4,3(C ，那么325min =-=-=r OC OP ，∴22PB PA +最小值为268322=+⨯.练习稳固：点),(y x P 在圆1)1(22=-+y x 上运动.〔1〕求最大值与最小值；〔2〕求y x +2最大值与最小值.解：〔1〕设，那么k 表示点),(y x P 与点〔2，1〕连线斜率.当该直线与圆相切时，k 取得最大值与最小值.由，解得，∴最大值为33，最小值为. 〔2〕设m y x =+2，那么m 表示直线m y x =+2在y 轴上截距. 当该直线与圆相切时，m 取得最大值与最小值.由，解得51±=m ，∴y x +2最大值为51+，最小值为51-.问题导学六：如何利用条件挖掘求圆方程重要信息？例6、根底训练：点M 与两个定点)0,0(O ，)0,3(A 距离比为21，求点M 轨迹方程.探究1：两定点)0,2(-A ，)0,1(B ，如果动点P 满足PB PA 2=，那么点P 轨迹所包围面积等于解：设点P 坐标是),(y x .由PB PA 2=，得2222)1(2)2(y x y x +-=++，化简得4)2(22=+-y x ，∴点P 轨迹是以〔2，0〕为圆心，2为半径圆，∴所求面积为π4.探究2：由动点P 向圆122=+y x 引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，APB ∠=600，那么动点P 轨迹方程是 . 解：设),(y x P .∵APB ∠=600，∴OPA ∠=300.∵AP OA ⊥，∴22==OA OP ，∴222=+y x ，化简得422=+y x ，∴动点P 轨迹方程是422=+y x . 练习稳固：设)0)(0,(),0,(>-c c B c A 为两定点，动点P 到A 点距离与到B 点距离比为定值)0(>a a ，求P 点轨迹.解：设动点P 坐标为),(y x P .由，得，化简得0)1()1(2)1()1(2222222=-+++-+-a c x a c y a x a .当1≠a 时，化简得01)1(222222=+-+++c x a a c y x ，整理得222222)12()11(-=+-+-a ac y c a a x ； 当1=a 时，化简得0=x .所以当1≠a 时，P 点轨迹是以为圆心，为半径圆；当1=a 时，P 点轨迹是y 轴.问题导学七：圆中动点变化，带来求其轨迹方程方法是什么？例7、根底训练：线段AB 端点B 坐标是〔4，3〕，端点A 在圆4)1(22=++y x 上运动，求线段AB 中点M 轨迹方程.探究1：定点)0,3(B ，点A 在圆122=+y x 上运动，M 是线段AB 上一点，且，那么点M 轨迹方程是解：设),(),,(11y x A y x M .∵，∴),3(31),(11y x y y x x --=--，∴，∴.∵点A 在圆122=+y x 上运动，∴12121=+y x ，∴，即，∴点M 轨迹方程是.探究2：定点)0,3(B ，点A 在圆122=+y x 上运动，AOB ∠平分线交AB 于点M ，那么点M 轨迹方程是 .解：设),(),,(11y x A y x M .∵OM 是AOB ∠平分线，∴， ∴.由变式1可得点M 轨迹方程是.练习稳固：直线1+=kx y 与圆422=+y x 相交于A 、B 两点，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAPB ，求点P 轨迹方程.解：设),(y x P ，AB 中点为M .∵OAPB 是平行四边形，∴M 是OP 中点，∴点M 坐标为，且AB OM ⊥.∵直线1+=kx y 经过定点)1,0(C ，∴CM OM ⊥，∴0)12(2)2()12,2()2,2(2=-+=-⋅=⋅y y x y x y x CM OM ，化简得1)1(22=-+y x .∴点P 轨迹方程是1)1(22=-+y x .问题导学八：实际生活中我们又该如何利用所学圆知识进展“数学化〞，来解决问题？例8、根底训练：某圆拱桥水面跨度20m ，拱高4m .现有一船宽10m ，水面以上高3m ，这条船能否从桥下通过？探究1：某圆拱桥水面跨度是20m ，拱高为4m .现有一船宽9m ，在水面以上局部高3m m解：建立直角坐标系，设圆拱所在圆方程为222)(r b y x =-+.∵圆经过点〔10，0〕，〔0，4〕，∴，解得.∴圆方程是)40(5.14)5.10(222≤≤=++y y x . 令5.4=x ，得)(28.3m y ≈. m 后，船身至少应降低m 22.1)328.3(5.1=--，船才能通过桥洞.探究2：据气象台预报：在A 城正东方300km 海面B 处有一台风中心，正以每小时40km 速度向西北方向移动，在距台风中心250kmh ，台风将影响A 城，持续时间约为 h h 〕解：以B 为原点，正东方向所在直线为x 轴，建立直角坐标系，那么台风中心移动轨迹是x y -=，受台风影响区域边界曲线方程是222250)()(=++-a y a x .依题意有222250)300(≤+--a a ，解得14251501425150+-≤≤--a . ∴h ，台风将影响A h .练习稳固：有一种商品，A 、B 两地均有出售，且两地价格一样.某地区居民从两地购置此种商品后往回贩运时，单位距离运费A 地是B A 、B 两地距离是10km ，顾客购置这种商品选择A 地或B A 、B 两地售货区域分界限曲线形状，并指出在曲线上、曲线内、曲线外居民如何选择购货地点. 解：以AB 中点为原点，AB 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，那么)0,5(-A ，)0,5(B .设),(y x P 是售货区域分界限上任意一点，单位距离运费为a 元km /，那么PB a PA a =3，∴2222)5()5(3y x a y x a +-=++，化简得.∴A 、B 两地售货区域分界限是以为圆心，415A 地购货，在曲线外居民选择去B 地购货，在曲线上居民去A 、B 两地购货均可.六、反思总结：1、圆标准方程与一般方程2、直线与圆、圆与圆位置关系要点3、复习、学到哪些解决问题策略，掌握了哪些数学思想方法七、作业安排：配套专题练习八、教学反应：问题导学法通过创设特定问题情景，引导学生在解决面临问题中，主动获取与运用知识、技能；激发其学习主动性、自主学习能力与创造性解决问题能力课堂教学方式.本教学方式三个根本特征是：①以问题提出与解决为中心.即教学过程不是简单知识传递讲解过程，而是根据课本知识要求与学生知识经历，把教学问题问题化.问题提出与解决贯穿教学过程.②以开展学生运用知识综合解决问题能力与创新意识及学习能力为重点.③教师引导学生自主合作探索学习为关键.即教师是教学过程中问题情境创设者，解决问题过程指导者，学生学习鼓励者.在新课程高三复习中我们数学教师要把握好新课程标准、教学要求与考试说明中重要信息，从学生实际出发，在复习内容上要进一步创新，要以问题为纽带，编制教案与学案，促进学生加深对复习内容理解与学习负担减轻，从被动承受向主动探求转变从而促进高三课堂复习效益提高.使“双案制〞教学成为问题导学载体、提高学习质量抓手.。

7．5 空间直角坐标系[学习目标]1．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置． 2．掌握空间两点间的距离公式． [知识链接]在平面直角坐标系中，以点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)为端点的线段的中点坐标为 ⎛⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，两点间的距离为|P 1P 2| [预习导引]1．空间直角坐标系及相关概念(1)空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴：x 轴、y 轴、z 轴，这样就建立了空间直角坐标系Oxyz .(2)相关概念：点O 叫作坐标原点，x 轴、y 轴、z 轴叫作坐标轴．通过每两个坐标轴的平面叫作坐标平面，分别称为xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面． 2．空间一点的坐标空间一点M 的坐标可以用有序实数组(x ，y ，z )来表示，有序实数组(x ，y ，z )叫作点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作M (x ，y ，z )．其中x 叫作点M 的横坐标，y 叫作点M 的纵坐标，z 叫作点M 的竖坐标． 3．空间两点间的距离公式(1)在空间中，点P (x ，y ，z )到坐标原点O 的距离|OP | (2)在空间中，P 1(x 1，y 1，z 1)与P 2(x 2，y 2，z 2)的距离|P 1P 2|＝要点一 求空间中点的坐标例1 建立适当的坐标系，写出底边长为2，高为3的正三棱柱的各顶点的坐标． 解以BC 的中点O 为原点，BC 所在的直线为y 轴，射线OA 所在的直线为x 轴，点O 与B 1C 1的中点的连线所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图． 由题意知，AO ＝32×2＝3，从而可知各顶点的坐标分别为A (3，0，0)，B (0，1，0)，C (0，－1，0)，A 1(3，0，3)，B 1(0，1，3)，C 1(0，－1，3)．规律方法 (1)题目若未给出坐标系，则建立空间直角坐标系时应遵循以下原则： ①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内； ②充分利用几何图形的对称性．(2)求某点的坐标时，一般先找这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)确定第三个坐标． 跟踪演练1 画一个正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，以A 为坐标原点，以棱AB ，AD ，AA 1所在的直线为坐标轴，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系． (1)求各顶点的坐标； (2)求棱C 1C 中点的坐标；(3)求面AA 1B 1B 对角线交点的坐标． 解建立空间直角坐标系如图所示，且正方体的棱长为1.(1)各顶点坐标分别是A (0，0，0)，B (1，0，0)，C (1，1，0)，D (0，1，0)，A 1(0，0，1)，B 1(1，0，1)，C 1(1，1，1)，D 1(0，1，1)．(2)棱CC 1的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12. (3)面AA 1B 1B 对角线交点为N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12.要点二 求空间中对称点的坐标例2 在空间直角坐标系中，点P(－2，1，4)．(1)求点P关于x轴的对称点的坐标；(2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标；(3)求点P关于点M(2，－1，－4)的对称点的坐标．解(1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P1(－2，－1，－4)．(2)由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P2(－2，1，－4)．(3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，所以P3(6，－3，－12)．规律方法任意一点P(x，y，z)，关于原点对称的点是P1(－x，－y，－z)；关于x轴(横轴)对称的点是P2(x，－y，－z)；关于y轴(纵轴)对称的点是P3(－x，y，－z)；关于z轴(竖轴)对称的点是P4(－x，－y，z)；关于xOy平面对称的点是P5(x，y，－z)；关于yOz平面对称的点是P6(－x，y，z)；关于xOz平面对称的点是P7(x，－y，z)．求对称点的问题可以用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的口诀来记忆．跟踪演练2 求点A(1，2，－1)关于坐标平面xOy及x轴的对称点的坐标．解如图所示，过点A作AM⊥坐标平面xOy交平面于点M，并延长到点C，使AM＝CM，则点A 与点C关于坐标平面xOy对称，且点C(1，2，1)．过点A作AN⊥x轴于点N并延长到点B，使AN＝NB，则点A与B关于x轴对称且点B(1，－2，1)．∴点A(1，2，－1)关于坐标平面xOy对称的点为C(1，2，1)；点A(1，2，－1)关于x轴对称的点为B(1，－2，1)．(本题也可直接利用点关于坐标面、坐标轴对称的规律写出) 要点三 空间中两点之间的距离例3 已知△ABC 的三个顶点A (1，5，2)，B (2，3，4)，C (3，1，5)． (1)求△ABC 中最短边的边长； (2)求AC 边上中线的长度． 解 (1)由空间两点间距离公式得|AB |＝（1－2）2＋（5－3）2＋（2－4）2＝3， |BC |＝（2－3）2＋（3－1）2＋（4－5）2＝6， |AC |＝（1－3）2＋（5－1）2＋（2－5）2＝29， ∴△ABC 中最短边是BC ，其长度为 6. (2)由中点坐标公式得，AC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，3，72.∴AC 边上中线的长度为（2－2）2＋（3－3）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－722＝12.规律方法 解决空间中的距离问题就是把点的坐标代入距离公式计算，其中确定点的坐标或合理设出点的坐标是解题的关键．跟踪演练3 已知两点P (1，0，1)与Q (4，3，－1)． (1)求P ，Q 之间的距离；(2)求z 轴上的一点M ，使|MP |＝|MQ |.解 (1)|PQ |＝（1－4）2＋（0－3）2＋（1＋1）2＝22. (2)设M (0，0，z )， 由|MP |＝|MQ |，得12＋02＋（z －1）2＝42＋32＋（z ＋1）2， ∴z ＝－6. ∴M (0，0，－6).1．点(2，0，3)在空间直角坐标系中的( ) A ．y 轴上B ．xOy 平面上C ．xOz 平面上D ．第一象限内答案 C解析 点(2，0，3)的纵坐标为0，所以该点在xOz 平面上．2．在空间直角坐标系中，点P (3，4，5)与Q (3，－4，－5)两点的位置关系是( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于xOy 平面对称 C ．关于坐标原点对称 D ．以上都不对 答案 A解析 点P (3，4，5)与Q (3，－4，－5)两点的横坐标相同，而纵、竖坐标互为相反数，所以两点关于x 轴对称．3．已知点A (x ，1，2)和点B (2，3，4)，且|AB |＝26，则实数x 的值是( ) A ．－3或4 B ．6或2 C ．3或－4 D ．6或－2答案 D解析 由题意得（x －2）2＋（1－3）2＋（2－4）2＝26，解得x ＝－2或x ＝6. 4．已知A (3，2，－4)，B (5，－2，2)，则线段AB 中点的坐标为________． 答案 (4，0，－1)解析 设线段AB 的中点坐标为(x 0，y 0，z 0)， 则x 0＝3＋52＝4，y 0＝2－22＝0，z 0＝－4＋22＝－1，∴线段AB 的中点坐标为(4，0，－1)．5．在空间直角坐标系中，点A (1，0，1)与点B (2，1，－1)间的距离为________． 答案6解析 |AB |＝（2－1）2＋（1－0）2＋（－1－1）2＝ 6.1．结合长方体的长、宽、高理解点的坐标(x ，y ，z )，培养立体思维，增强空间想象力． 2．学会用类比联想的方法理解空间直角坐标系的建系原则，切实体会空间中点的坐标及两点间的距离公式同平面内点的坐标及两点间的距离公式的区别和联系．3．在导出空间两点间的距离公式过程中体会转化化归思想的应用，突出了化空间为平面的解题思想．一、基础达标1．空间两点A ，B 的坐标分别为(x ，－y ，z )，(－x ，－y ，－z )，则A ，B 两点的位置关系是( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于z 轴对称 D ．关于原点对称答案 B解析 由A ，B 两点的纵坐标相同，而横、竖坐标互为相反数，可知两点关于y 轴对称． 2．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若D (0，0，0)，A (4，0，0)，B (4，2，0)，A 1(4，0，3)，则对角线AC 1的长为( ) A ．9 B.29 C ．5 D ．2 6答案 B解析 由已知求得C 1(0，2，3)，∴|AC 1|＝29.3．在空间直角坐标系中，点M 的坐标是(4，7，6)，则点M 关于y 轴的对称点在坐标平面xOz 上的射影的坐标为( )A ．(4，0，6)B ．(－4，7，－6)C ．(－4，0，－6)D ．(－4，7，0)答案 C解析 点M 关于y 轴的对称点是M ′(－4，7，－6)，点M ′在坐标平面xOz 上的射影是(－4，0，－6)．4.如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，则A 1C 的中点E 到AB 的中点F 的距离为( )A.2aB.22aC ．a D.12a答案 B解析 由题意得A 1(a ，0，a )，C (0，a ，0)，∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a 2，又F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a2，0， 则|EF |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－a 22＝22a .5．已知点A (1，a ，－5)，B (2a ，－7，－2)(a ∈R )，则|AB |的最小值是( ) A ．3 3 B ．3 6 C ．2 3 D ．2 6答案 B解析 |AB |2＝(2a －1)2＋(－7－a )2＋(－2＋5)2＝5a 2＋10a ＋59 ＝5(a ＋1)2＋54.∴a ＝－1时，|AB |2的最小值为54. ∴|AB |min ＝54＝3 6.6．已知A (1，－2，1)，B (2，2，2)，点P 在z 轴上，且|PA |＝|PB |，则点P 的坐标为________． 答案 (0，0，3)解析 设P (0，0，c )，由题意得 （0－1）2＋（0＋2）2＋（c －1）2＝（0－2）2＋（0－2）2＋（c －2）2. 解之得c ＝3，∴P 的坐标为(0，0，3)．7.如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝2，AA 1＝4，点M 在A 1C 1上，|MC 1|＝2|A 1M |，N 在D 1C 上且为D 1C 的中点，求M 、N 两点间的距离．解 根据已知条件可得|A 1C 1|＝22，由|MC 1|＝2|A 1M |，可得|A 1M |＝223，如图所示，以A 为原点，以AB ，AD ，AA 1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，4，C (2，2，0)，D 1(0，2，4)，N 为CD 1的中点可得N (1，2，2)．∴|MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－232＋（2－4）2＝533. 二、能力提升8．△ABC 在空间直角坐标系中的位置及坐标如图所示，则BC 边上的中线的长是( )A. 2 B ．2 C. 3 D ．3答案 C解析 BC 的中点坐标为M (1，1，0)， 又A (0，0，1)，∴|AM |＝（1－0）2＋（1－0）2＋（0－1）2＝ 3.9．在空间直角坐标系中，一定点P 到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是( ) A.62B. 3 C.32D.63答案 A解析 设P (x ，y ，z )，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，y 2＋z 2＝1，x 2＋z 2＝1，∴x 2＋y 2＋z 2＝32.∴该点到原点的距离为x 2＋y 2＋z 2＝62.10．已知点A (1，a ＋1，5)，B (a ，6，－2)，则|AB |的最小值为________． 答案57解析 由空间两点间的距离公式易得|AB |＝2（a －3）2＋57，所以a ＝3时，|AB |的值最小，最小值为57.11.如图所示，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，|C 1C |＝|CB |＝|CA |＝2，AC ⊥CB ，D ，E 分别是棱AB ，B 1C 1的中点，F 是AC 的中点，求DE ，EF 的长度．解 以点C 为坐标原点，CA ，CB ，CC 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．∵|C 1C |＝|CB |＝|CA |＝2，∴C (0，0，0)，A (2，0，0)，B (0，2，0)，C 1(0，0，2)，B 1(0，2，2)， 由中点坐标公式可得，D (1，1，0)，E (0，1，2)，F (1，0，0)，∴|DE |＝（1－0）2＋（1－1）2＋（0－2）2＝5， |EF |＝（0－1）2＋（1－0）2＋（2－0）2＝ 6. 三、探究与创新12．如图所示，BC ＝4，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0，点D 在平面yOz 上，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，求AD 的长度．解 由题意得B (0，－2，0)，C (0，2，0)， 设D (0，y ，z )，则在Rt△BDC 中，∠DCB ＝30°， 所以BD ＝2，CD ＝23，z ＝3，2－y ＝3. 所以y ＝－1.所以D (0，－1，3)． 又因为A ⎝⎛⎭⎪⎫32，12，0， 所以|AD |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32－02＋⎝⎛⎭⎪⎫12＋12＋（0－3）2＝ 6.13.如图，已知正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1，且平面ABCD 与平面ABEF 互相垂直，点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若CM ＝BN ＝a (0<a <2)，求：(1)MN 的长；(2)a 为何值时，MN 的长最小？ 解 (1)∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ，AB ⊥BE ，BE ⊂平面ABEF ，∴BE ⊥平面ABCD . ∴AB ，BC ，BE 两两垂直． ∴以B 为坐标原点，以BA ，BE ，BC 所在直线分别为x 轴、y 轴和z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，0，1－22a ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，22a ，0. ∴|MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a －22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22a －02 ＝a 2－2a ＋1 ＝⎝⎛⎭⎪⎫a －222＋12(0<a <2)． (2)∵|MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －222＋12，0＜a ＜2， 故当a ＝22时，|MN |min ＝22.。

圆与方程本章在第三章“直线与方程〞根底上，学习圆有关知识——圆标准方程、圆一般方程；继续运用“坐标法〞研究直线与圆、圆与圆位置关系等几何问题；学习空间直角坐标系有关知识，用坐标表示简单空间几何对象。

通过本章学习，要到达如下目标：1．回忆确定圆几何要素，在直角坐标系中，探索并掌握圆标准方程与一般方程。

2．能根据给定直线、圆方程，判断直线与圆、圆与圆位置关系。

3．能用直线与圆方程解决一些简单问题。

4．通过具体情境，感受建立空间直角坐标系必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点位置。

5．通过表示特殊长方体〔所有棱分别与坐标轴平行〕顶点坐标，探索并得出空间两点间距离公式。

研究直线与圆、圆与圆位置关系是本章主要内容之一，判断直线与圆、圆与圆位置关系可以从两个角度入手：一个角度是利用义务教育阶段所介绍平几方法；另一个角度，将两曲线是否有公共点问题，转化为判断它们方程组成方程组有没有实数解问题。

在判断直线与圆、圆与圆位置关系时，常常采用这两种方法．在学习本章时，要不断地体会“数形结合〞思想方法，注意“数〞与“形〞结合：在通过代数方法研究几何对象位置关系以后，还可以画出其图形，验证代数结果；同时，通过观察几何图形得到数学结论，用代数方法加以证明，不应割断它们之间联系。

学习方式转变是课程改革重要目标之一。

在学习中，要重视数学概念理解、典型例题分析、以及结论形成过程，体会蕴涵在其中思想方法；要抓住各种数学活动时机，在自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习过程中获得知识、增强技能、掌握根本数学思想方法；还要关注“观察〞、“思考〞、“探究〞等栏目内容，使自己真正参与到数学活动中来，发挥自己学习主动性，使学习过程成为“再创造〞过程，从中体验数学发现与创造历程，体验数学在解决实际问题中作用、数学与日常生活及其他学科联系，从而形成与开展自己数学应用意识，提高分析问题、解决问题能力。

4．1．1 圆标准方程主要概念：圆――到定点距离等于定长点轨迹。

湘教版高中高二数学必修三《立体几何初步》说课稿一、引言《立体几何初步》是湘教版高中高二数学必修三的一章内容，主要介绍了立体几何的基本概念、性质和计算方法，通过学习此章内容，学生可以掌握立体几何的基本知识，提高几何问题的分析和解决能力。

本次说课从以下四个方面展开：教材分析、教学目标、教学重点和难点、教学方法与策略。

二、教材分析1. 教材内容《立体几何初步》是高中数学必修三的一章内容，共包括以下几个部分：•空间几何体的认识与分类，如点、线、面、体的概念；•空间几何体的性质与关系，如平行、垂直、交角等；•空间几何体的计算，如体积、表面积的计算；•空间几何体的应用问题，如体积的应用、图形的投影等。

2. 教学目标通过本章的学习，学生应该达到以下几个方面的基本要求：•掌握立体几何的基本概念，如点、线、面、体的定义和性质；•理解立体几何体之间的关系和性质，如平行、垂直、交角；•学会运用立体几何的计算方法，如体积、表面积等的计算；•能够解决立体几何的实际应用问题，如体积的应用、图形的投影等。

三、教学重难点1. 教学重点•理解和掌握立体几何的基本概念和性质；•学习立体几何体之间的关系和性质；•掌握立体几何的计算方法，如体积、表面积的计算；•学会应用立体几何解决实际问题。

2. 教学难点•立体几何体之间的关系和性质的理解与应用；•立体几何的计算方法的掌握和灵活运用。

四、教学方法与策略1. 教学方法•归纳法：通过对空间几何体的认识与分类，学生可以逐步归纳和总结其特征和性质。

•演绎法：通过给出具体的例子，让学生从已知条件推导出结论，培养学生的逻辑思维能力。

•实践法：通过实际操作、实物演示等方式，让学生亲自感受几何体的特性和性质。

2. 教学策略•激发学生兴趣：通过生动有趣的教学案例和实际应用问题，激发学生学习兴趣，增强其学习的主动性和积极性。

•引导学生思考：课堂上针对某个问题，引导学生积极思考和探究，培养学生的解决问题的能力。

第一章立体几何初步听课一、知识结构二、重点难点重点：空间直线，平面的位置关系。

柱、锥、台、球的表面积和体积的计算公式。

平行、垂直的定义，判定和性质。

难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。

文字语言，图形语言和符号语言的转化。

平行，垂直判定与性质定理证明与应用。

第一课时棱柱、棱锥、棱台2．了解棱柱、棱锥、棱台中一些常用名称的含义。

3．了解棱柱、棱锥、棱台这几种几何体简单作图方法4．了解多面体的概念和分类．自学评价1．棱柱的概念：表示法：思考:棱柱的特点：.【答】2．棱锥的概念：听课表示法：思考:棱锥的特点：.【答】3．棱台的概念：表示法：思考:棱台的特点：.【答】4．多面体的概念：5．多面体的分类：⑴棱柱的分类⑵棱锥的分类⑶棱台的分类【精典范例】例1：设有三个命题：甲：有两个面平行，其余各面都是平行四边形所围体一定是棱柱；乙：有一个面是四边形，其余各面都三角形所围成的几何体是棱锥；丙：用一个平行与棱锥底面的平面去截棱锥，得到的几何体叫棱台。

以上各命题中，真命题的个数是（）A．0 B. 1 C. 2 D. 3例2：画一个四棱柱和一个三棱台。

【解】四棱柱的作法：⑴画上四棱柱的底面----画一个四边形；⑵画侧棱-----从四边形的每一个顶点画平行且相等的线段；⑶画下底面------顺次连结这些线段的另一个端点⑷画一个三棱锥，在它的一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个侧面画出与底面平行的线段，将多余的线段檫去．点评：(1)被遮挡的线要画成虚线(2)画台由锥截得思维点拔：解柱、锥、台概念性问题和画图需要：(1).准确地理解柱、锥、台的定义(2).灵活理解柱、锥、台的特点：例如：棱锥的特点是：⑴两个底面是全等的多边形；⑵多边形的对应边互相平行；⑶棱柱的侧面都是平行四边形。

反过来，若一个几何体，具有上面三条，能构成棱柱吗？或者说，上面三条能作为棱柱的定义吗？答：点评:就棱柱来验证这三条性质，无一例外，能不能找到反例，是上面三条能作为棱柱的定义的关键。

7．4 几何问题的代数解法[学习目标]1．理解坐标法的意义，并会用坐标法研究问题． 2．进一步掌握用解析法处理平面几何问题． [预习导引]1．解决几何问题的基本方法——解析法解析法是解决解析几何、立体几何等问题的重要方法，它是把几何问题转化成代数问题，通过建立适当的坐标系加以分析研究解决问题的方法． 2．用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”为：(1)建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；(2)通过代数运算，解决代数问题；(3)把代数运算结果“翻译”成几何结论并作答．要点一 用解析法证明几何问题例1 △ABD 和△BCE 是边AB ，BC 在直线AC 上且位于直线AC 同侧的两个等边三角形，用坐标法证明：|AE |＝|CD |.证明 如图，以B 点为坐标原点，取AC 所在直线为x 轴，建立直角坐标系．设△ABD 和△BCE 的边长分别为a ，c ，则A (－a ，0)，E (c 2，32c )，C (c ，0)，D (－a 2，32a )，于是|AE |＝[c 2－（－a ）]2＋（32c －0）2＝a 2＋ac ＋c 24＋34c 2＝a 2＋ac ＋c 2.|CD |＝[（－a 2）－c ]2＋（32a －0）2＝a 24＋ac ＋c 2＋34a 2＝a 2＋ac ＋c 2. 所以|AE |＝|CD |.规律方法 坐标法的基本步骤第一步：建立适当的坐标系用坐标表示有关量． 第二步：进行有关代数运算．第三步：把代数运算结果“翻译”成几何关系．跟踪演练1 在△ABC 中，D 是BC 边上任意一点(D 与B ，C 不重合)，且|AB |2＝|AD |2＋|BD |·|DC |，求证：△ABC 为等腰三角形．证明 如图，作AO ⊥BC ，垂足为O ，以BC 所在直线为x 轴，以OA 所在直线为y 轴，建立直角坐标系．设A (0，a )，B (b ，0)，C (c ，0)，D (d ，0)．因为|AB |2＝|AD |2＋|BD |·|DC |，所以由两点间的距离公式，得b 2＋a 2＝d 2＋a 2＋(d －b )(c －d )，即－(d －b )(b ＋d )＝(d －b )(c －d )， 又d －b ≠0，故－b －d ＝c －d ，即－b ＝c . 所以△ABC 为等腰三角形． 要点二 代数问题的几何解法例2 求函数y ＝x 2＋x ＋1－x 2－x ＋1的值域． 解 显然函数的定义域为R ，y ＝（x ＋12）2＋34－（x －12）2＋34＝（x ＋12）2＋（0－32）2－（x －12）2＋（0－32）2.设P (x ，0)，A (12，32)，B (－12，32)为平面上三点，则|PA |＝（x －12）2＋34＝x 2－x ＋1，|PB |＝（x ＋12）2＋34＝x 2＋x ＋1.y ＝|PB |－|PA |.∵||PB |－|PA ||<|AB |，且|AB |＝1，∴|y |<1，即－1<y <1，故函数的值域为(－1，1)．规律方法 将被开方式配方，可化为两点间的距离公式的形式，结合几何意义求值域． 跟踪演练2 求函数y ＝x 2＋1＋x 2－4x ＋8的最小值． 解 ∵函数的解析式可化为y ＝x 2＋1＋x 2－4x ＋8＝（x －0）2＋（0－1）2＋（x －2）2＋（0－2）2.令A (0，1)，B (2，2)，P (x ，0)，则问题转化为在x 轴上求一点P (x ，0)，使得|PA |＋|PB |取最小值．∵A 关于x 轴的对称点为A ′(0，－1)， ∴(|PA |＋|PB |)min ＝|A ′B |＝（2－0）2＋（2＋1）2＝4＋9＝13， 即函数y ＝x 2＋1＋x 2－4x ＋8的最小值为13. 要点三 坐标法的实际应用例3 一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km 处，受影响的范围是半径为30 km 的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km 处，如果这艘船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？解 以台风中心为坐标原点，以东西方向为x 轴建立直角坐标系(如图所示)，其中取10 km 为单位长度．则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x 2＋y 2＝9， 港口所对应的点的坐标为(0，4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7，0)， 则轮船航线所在直线l 的方程为x 7＋y4＝1，即4x ＋7y －28＝0. 圆心(0，0)到直线4x ＋7y －28＝0的距离d ＝|－28|42＋72＝2865，而半径r ＝3，∵d >r ，∴直线与圆相离，所以轮船不会受到台风的影响．规律方法 先以台风中心为原点建立适当的坐标系，把有关的几何元素用坐标和方程表示，然后把此实际问题转化为数学问题来解决．跟踪演练3 有弱、强两个喇叭在A ，O 两处，若它们的强度之比为1∶4，且相距60 m ，问在什么位置听到两个喇叭传来的声音强度是相等的？(假设声音强度与距离的平方成反比) 解 以直线OA 为x 轴，O 为坐标原点建立如图所示的直角坐标系．则O (0，0)，A (60，0)．设在P (x ，y )处听到O ，A 两处的喇叭声音强度相等． 由题设知|OP |2|PA |2＝14，即x 2＋y 2（x －60）2＋y 2＝14，整理，得(x ＋20)2＋y 2＝402.故P 点的轨迹是以(－20，0)为圆心，40为半径的圆，也就是在此圆周上听到的声音强度相等.1．过点A (－1，4)作圆(x －2)2＋(y －3)2＝1的切线，则A 到切点的距离为( ) A. 5 B ．3 C.10 D ．5答案 B解析 设圆心C (2，3)，则|AC |＝10， ∴点A 到切点的距离即切线长l ＝10－1＝3.2．圆x 2＋y 2＝1上的点到直线3x ＋4y －25＝0的距离的最小值是( )A ．6B ．4C ．5D ．1答案 B解析 圆心到直线3x ＋4y －25＝0的距离为255＝5.则圆上的点到直线3x ＋4y －25＝0的距离的最小值为5－1＝4.3．已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋4＝0关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称，则b ＝________. 答案 4解析 已知圆的圆心为(－1，2)，且点(－1，2)在直线y ＝2x ＋b 上，则2＝－2＋b ，∴b ＝4.4．若点P (x ，y )在圆C ：(x －2)2＋y 2＝3上，则y x的最大值是________． 答案3解析 半径长|PC |＝3，|OC |＝2，y x ＝y －0x －0是圆上的点与原点连线的斜率．当OP 与圆上方相切时，此时斜率最大，则∠POC ＝60°， tan ∠POC ＝ 3.5．点P 在圆O ：x 2＋y 2＝1上运动，点Q 在圆C ：(x －3)2＋y 2＝1上运动，则|PQ |的最小值为________． 答案 1 解析 如下图．设连心线OC 与圆O 交于点P ′，与圆C 交于点Q ′，当点P 在P ′处，点Q 在Q ′处时|PQ |最小，最小值为|P ′Q ′|＝|OC |－r 1－r 2＝1.1．利用数形结合思想求某些二元代数式的最值是直线和圆的方程的一个重要应用，它是利用代数式的几何意义转化为斜率、截距、距离等来求解．2．利用坐标法解决平面几何问题，将几何中“形”的问题转化为代数中“数”的问题．适当建系时，通常取定直线为坐标轴，定点或线段的中点为原点，使其具有对称性，这样便于设坐标．很多实际问题也可采用这种方法转化．一、基础达标1．已知△ABC 的三个顶点是A (5，5)，B (1，4)和C (4，1)，则△ABC 的形状是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形答案 B解析 ∵|AB |＝（5－1）2＋（5－4）2＝17， |BC |＝（1－4）2＋（4－1）2＝32， |AC |＝（5－4）2＋（5－1）2＝17， ∴|AB |＝|AC |，∴△ABC 为等腰三角形． 2．方程y ＝－25－x 2表示的曲线是( ) A ．一条射线 B ．一个圆 C ．两条射线 D ．半个圆答案 D解析 由y ＝－25－x 2得x 2＋y 2＝25. ∵y ＝－25－x 2≤0, ∴曲线表示半个圆．3．点M ，N 在x 2＋y 2＋kx ＋2y －4＝0上，且点M ，N 关于直线x －y ＋1＝0对称，则该圆的半径为( ) A ．2 2 B. 2 C ．1 D ．3答案 D解析 由M ，N 两点关于直线x －y ＋1＝0对称，可知直线x －y ＋1＝0过圆心 (－k2，－1)，∴k ＝4，∴圆的方程即为(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝9，∴r ＝3. 4．点P 是直线2x ＋y ＋10＝0上的动点，直线PA ，PB 分别与圆x 2＋y 2＝4相切于A ，B 两点，则四边形PAOB (O 为坐标原点)的面积的最小值为( ) A ．24 B ．16 C ．8 D ．4答案 C解析 ∵四边形PAOB 的面积S ＝2×12|PA |×|OA |＝2|OP |2－|OA |2＝2|OP |2－4，∴当直线OP 垂直直线2x ＋y ＋10＝0时，|OP |min ＝1022＋12＝2 5.此时，四边形PAOB 的面积的最小值为2（25）2－4＝8.5．已知直线x －2y －3＝0与圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝9相交于E ，F 两点，圆心为C ，则△CEF 的面积为________． 答案 2 5解析 圆心(2，－3)到直线x －2y －3＝0的距离为d ＝|2＋2×3－3|5＝5，∴|EF |＝2×9－d 2＝29－5＝4， ∴S △CEF ＝12×4×5＝2 5.6．已知x ＋y ＋1＝0，那么（x ＋2）2＋（y ＋3）2的最小值是________． 答案 2 2 解析（x ＋2）2＋（y ＋3）2表示点P (x ，y )和点(－2，－3)的距离，则（x ＋2）2＋（y ＋3）2的最小值为点(－2，－3)到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝|－2－3＋1|2＝42＝2 2. 7．有一种大型商品，A ，B 两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后，运回的费用是：每单位距离A 地的运费是B 地运费的3倍，已知A ，B 两地距离10 km ，顾客选A 或B 地购买这件商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低，求A ，B 两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民如何选择购货地点． 解 如图，以A ，B 所确定的直线为x 轴，线段AB 中点O 为坐标原点，建立直角坐标系，则A (－5，0)，B (5，0)，设某地P 的坐标为(x ，y )，假设居民选择A 地购买商品便宜，并设A 地的运费3a 元/千米，B 地的运费为a 元/千米，则价格＋x A 地运费≤价格＋x B 地运费，∴3a （x ＋5）2＋y 2≤a （x －5）2＋y 2. ∵a >0，∴3（x ＋5）2＋y 2≤（x －5）2＋y 2. 化简为(x ＋254)2＋y 2≤(154)2.∴以点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－254，0为圆心，154为半径的圆是这两条购货区域的分界线．圆C 内的居民，从A 地购货便宜， 圆C 外的居民，从B 地购货便宜，圆C 上的居民，从A ，B 两地购货的总费用相等，因此可随便从A ，B 两地之一购货． 二、能力提升8．台风中心从A 地以每小时20 km 的速度向东北方向移动，离台风中心不超过30 km 地区为危险区，城市B 在A 地正东40 km 处，则城市B 处于危险区内的时间是( ) A ．0.5 h B ．1 h C ．1.5 h D ．2 h答案 B解析 如图所示，以A 地为原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则B (40，0)，以B 为圆心，30为半径的圆的方程为(x －40)2＋y 2＝302，台风中心移动到圆B 内时，B 城市将处于危险区，台风移动所在直线方程为y ＝x ，它与圆B 的相交弦为MN ，则可求得|MN |＝2302－⎝ ⎛⎭⎪⎫4022＝20 (km)，|MN |20＝1 (h)，所以B 城市位于危险区内的时间为1 h.9．一束光线从点A (－1，1)出发经x 轴反射到圆(x －2)2＋(y －3)2＝1上的最短距离为________． 答案 4解析 A 关于x 轴的对称点为A ′(－1，－1)，A ′与圆心的距离为32＋42＝5，故所求最短距离为5－1＝4.10．两圆相交于两点(1，3)和(m ，－1)，两圆圆心都在直线x －y ＋c ＝0上，则m ＋c 的值为________． 答案 3解析 由平面几何性质知：两相交圆圆心的连线与两圆的公共弦垂直，且经过弦的中点，则3＋11－m＝－1，得m ＝5，∴弦中点坐标为(3，1)，∴3－1＋c ＝0，得c ＝－2，∴m ＋c ＝3. 11．已知x ，y 满足x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0，求x －2y 的最大值．解 设x －2y ＝b ，则点(x ，y )既在直线x －2y ＝b 上，又在圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0上， 即直线x －2y ＝b 和圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝5有公共点，故圆心(1，－2)到x －2y －b ＝0的距离小于或等于半径5，所以|1－2×（－2）－b |5≤5，即|b －5|≤5，所以0≤b ≤10，即x －2y 的最大值是10. 三、探究与创新12．若圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上至少有三个不同点到直线l ：ax ＋by ＝0(b ≠0)的距离为22，求直线l 斜率的取值范围．解 ∵圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0可整理为(x －2)2＋(y －2)2＝(32)2， ∴圆心坐标为C (2，2)，半径为r ＝3 2.要使圆上至少有三个不同的点到直线l ：ax ＋by ＝0的距离为22，则圆心到直线的距离d 满足d ＝|2a ＋2b |a 2＋b 2≤2，∴(a b )2＋4(ab )＋1≤0，∴－2－3≤ab≤－2＋ 3. ∵k ＝－a b，∴2－3≤k ≤2＋3，∴直线ax ＋by ＝0的斜率范围是[2－3，2＋3]． 13．已知点P (x ，y )在圆x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0上． (1)求y x的最大值和最小值；(2)求x 2＋y 2＋2x ＋3的最大值与最小值； (3)求x ＋y 的最大值与最小值．解 圆x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0变形为(x －3)2＋(y －3)2＝4，故圆心为C (3，3)，半径r ＝2.如图所示．(1)y x表示圆上的点P 与原点连线的斜率，显然PO 与圆相切时，斜率最大或最小．设切线方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0，由圆心C (3，3)到切线的距离等于半径2，可得|3k －3|k 2＋1＝2，解得k ＝9±2145，所以，y x 的最大值为9＋2145，最小值为9－2145.(2)x 2＋y 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋y 2＋2，它表示圆上的点P 到E (－1，0)的距离的平方再加2，所以，当点P 与点E 的距离最大或最小时，所求式子就取最大值或最小值，显然点P 与点E 的距离的最大值为|CE |＋2，点P 与点E 距离的最小值为|CE |－2，又|CE |＝（3＋1）2＋32＝5，所以x 2＋y 2＋2x ＋3的最大值为(5＋2)2＋2＝51，最小值为(5－2)2＋2＝11.(3)设x ＋y ＝b ，则b 表示动直线y ＝－x ＋b 的纵截距，显然当动直线y ＝－x ＋b 与圆(x －3)2＋(y －3)2＝4相切时，b 取最大值或最小值．此时圆心C (3，3)到切线x ＋y ＝b 的距离等于圆的半径2，则|3＋3－b |12＋12＝2， 即|b －6|＝22， 解得b ＝6±22，所以，x ＋y 的最大值为6＋22，最小值为6－2 2.。

第一章立体几何初步听课一、知识结构二、重点难点重点：空间直线，平面的位置关系。

柱、锥、台、球的表面积和体积的计算公式。

平行、垂直的定义，判定和性质。

难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。

文字语言，图形语言和符号语言的转化。

平行，垂直判定与性质定理证明与应用。

第一课时棱柱、棱锥、棱台2．了解棱柱、棱锥、棱台中一些常用名称的含义。

3．了解棱柱、棱锥、棱台这几种几何体简单作图方法4．了解多面体的概念和分类．自学评价1．棱柱的概念：表示法：思考:棱柱的特点：.【答】2．棱锥的概念：听课表示法：思考:棱锥的特点：.【答】3．棱台的概念：表示法：思考:棱台的特点：.【答】4．多面体的概念：5．多面体的分类：⑴棱柱的分类⑵棱锥的分类⑶棱台的分类【精典范例】例1：设有三个命题：甲：有两个面平行，其余各面都是平行四边形所围体一定是棱柱；乙：有一个面是四边形，其余各面都三角形所围成的几何体是棱锥；丙：用一个平行与棱锥底面的平面去截棱锥，得到的几何体叫棱台。

以上各命题中，真命题的个数是（）A．0 B. 1 C. 2 D. 3例2：画一个四棱柱和一个三棱台。

【解】四棱柱的作法：⑴画上四棱柱的底面----画一个四边形；⑵画侧棱-----从四边形的每一个顶点画平行且相等的线段；⑶画下底面------顺次连结这些线段的另一个端点⑷画一个三棱锥，在它的一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个侧面画出与底面平行的线段，将多余的线段檫去．点评：(1)被遮挡的线要画成虚线(2)画台由锥截得思维点拔：解柱、锥、台概念性问题和画图需要：(1).准确地理解柱、锥、台的定义(2).灵活理解柱、锥、台的特点：例如：棱锥的特点是：⑴两个底面是全等的多边形；⑵多边形的对应边互相平行；⑶棱柱的侧面都是平行四边形。

反过来，若一个几何体，具有上面三条，能构成棱柱吗？或者说，上面三条能作为棱柱的定义吗？答：点评:就棱柱来验证这三条性质，无一例外，能不能找到反例，是上面三条能作为棱柱的定义的关键。

高中数学第7章解析几何初步7.3 圆的一般方程教案湘教版必修3 编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望(高中数学第7章解析几何初步7.3 圆的一般方程教案湘教版必修3)的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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圆的一般方程三维目标：知识与技能： (1）在掌握圆的标准方程的基础上,理解记忆圆的一般方程的代数特征,由圆的一般方程确定圆的圆心半径．掌握方程x2＋ｙ2+Ｄx+Ey+Ｆ＝0表示圆的条件．（2)能通过配方等手段,把圆的一般方程化为圆的标准方程．能用待定系数法求圆的方程.(3）:培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。

过程与方法:通过对方程x2＋ｙ2+Dx+Ｅy+F＝0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。

情感态度价值观：渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法,提高学生的整体素质,激励学生创新,勇于探索。

教学重点:圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化,根据已知条件确定方程中的系数,D、E、F.教学难点:对圆的一般方程的认识、掌握和运用教具:多媒体、实物投影仪教学过程:课题引入：问题：求过三点A(0,０），B（1，1),C（４,2)的圆的方程．利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦,得用直线的知识解决又有其简单的局限性，那么这个问题有没有其它的解决方法呢?带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式——圆的一般方程。

探索研究：请同学们写出圆的标准方程:(x-a)2+(y －b)2=r ２，圆心（a,b ）,半径r ． 把圆的标准方程展开,并整理：ｘ2+y 2－2ａx －2by ＋a 2+b 2－r ２=0． 取222,2,2r b a F b E a D -+=-=-=得022=++++F Ey Dx y x ①这个方程是圆的方程.反过来给出一个形如ｘ2+y 2＋Dx ＋E ｙ＋F=０的方程，它表示的曲线一定是圆吗? 把x 2+y 2＋Ｄｘ＋Ey ＋F=0配方得 44)2()2(2222F E D E y D x -+=+++ ② （配方过程由学生去完成)这个方程是不是表示圆? (1）当Ｄ2+E 2－4F>0时,方程②表示（1）当0422>-+F E D 时，表示以（－2D ,—2E )为圆心,F E D 42122-+为半径的圆;(２）当0422=-+F E D 时,方程只有实数解2D x -=,2E y -=,即只表示一个点(-2D ,-2E ）; (3)当0422<-+F E D 时,方程没有实数解，因而它不表示任何图形综上所述，方程022=++++F Ey Dx y x 表示的曲线不一定是圆只有当0422>-+F E D 时,它表示的曲线才是圆,我们把形如022=++++F Ey Dx y x 的表示圆的方程称为圆的一般方程()2214x y ++=我们来看圆的一般方程的特点：（启发学生归纳)（１)①x 2和y 2的系数相同,不等于０． ②没有ｘy 这样的二次项.(2）圆的一般方程中有三个特定的系数D 、E 、F,因之只要求出这三个系数,圆的方程就确定了.(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显,圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。

“解析几何初步”（第二课时）-----圆与圆的方程一、高考《考试大纲》的要求：① 掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.② 能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程，判断两圆的位置关系.③ 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.④ 初步了解用代数方法处理几何问题的思想.二、基础知识填空：1.确定圆的条件是：一个圆的________位置和________一旦给定，这圆就被确定下来了。

2.圆的标准方程：圆心为C （a,b ）,半径为r 的圆的标准方程是_____________________________.3.圆的一般方程：____________________________,其圆心坐标为_______,半径为______________.4.直线与圆的位置关系:设圆222r )b y ()a x (=-+-的圆心C （a,b ）到直线ｌ:Ax+By+C=0的距离为d.则当______时，直线与圆相离；当______时，直线与圆相切；当______时，直线与圆相交。

5.圆与圆的位置关系：设圆C 1：212121r )y y ()x x (=-+-和圆C 2：222222r )y y ()x x (=-+-的圆心距为d=|C 1C 2|.则当___________时，两圆相离；则当___________时，两圆外切；则当___________时，两圆相交；则当___________时，两圆内切；则当___________时，两圆内含。

三、例题选讲：例1． (2006重庆文)以点(2，－1)为圆心且与直线3450x y -+=相切的圆的方程为( )（A ）22(2)(1)3x y -++= （B ）22(2)(1)3x y ++-=（C ）22(2)(1)9x y -++= （D ）9)1()2(22=-++y x例2．（2004全国卷Ⅲ文、理）圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为（ ） A.023=-+y x B.043=-+y x C.043=+-y x D.023=+-y x例3．（2004湖北文）两个圆0124:0222:222221=+--+=-+++y x y x C y x y x C 与的公切线有且仅有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条例4．（2006天津理）设直线30ax y -+=与圆22(1)(2)4x y -+-=相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为a =____________．四、基础训练：1．（2006江苏）圆1)3()1(22=++-y x 的切线方程中有一个是( )（A ）x －y ＝0 （B ）x ＋y ＝0 （C ）x ＝0 （D ）y ＝02．（2006全国Ⅰ卷文）从圆222210x x y y -+-+=外一点()3,2P 向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为( )A ．12 B ．35 C ．03.（2004上海文、理）圆心在直线2x －y －7=0上的圆C 与y 轴交于两点A(0, -4),B(0, -2),则圆C 的方程为 .4．（2005湖南文）设直线0132=++y x 和圆03222=--+x y x 相交于点A 、B ，则弦AB的垂直平分线方程是 .五、巩固练习：1.(2007安徽文)若圆04222=--+y x y x 的圆心到直线0=+-a y x 的距离为22,则a 的值为（ ）(A)-2或2 (B)2321或 (C)2或0 (D)-2或02.（2007上海文）圆01222=--+x y x 关于直线032=+-y x 对称的圆的方程是（ ） Ａ．21)2()3(22=-++y x Ｂ．21)2()3(22=++-y x Ｃ．2)2()3(22=-++y x Ｄ．2)2()3(22=++-y x3.(2004天津理)若)1,2(-P 为圆25)1(22=+-y x 的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是( )A.03=--y xB.032=-+y xC.01=-+y xD.052=--y x4．（2002春招北京理）圆2x 2+2y 2=1与直线xsin θ+y –1=0 (θ∈R, θ≠π/2+k π, k ∈Z)的位置关系是（ ）（A ）相交 （B ）相切 （C ）相离 （D ）不能确定5、（2006湖北文）若直线y ＝kx ＋2与圆(x －2)2＋(y －3)2＝1有两个不同的交点，则k 的取值范围是 .6.（2007天津文、理）已知两圆2210x y +=和22(1)(3)20x y -+-=相交于A B ，两点，则直线AB 的方程是 ．7.（2002上海文、理）已知圆和圆外一点，过点P 作圆的切线，则两条切线夹角的正切值是 。

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直线的方程－一般式●教学目标1.明确直线方程一般式的形式特征;2.会根据直线方程的一般式求斜率和截距；3.会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式.●教学重点直线方程的一般式●教学难点一般式的理解与应用●教学方法学导式●教具准备幻灯片、三角板●教学过程1、。

复习回顾直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式及适用范围。

2、提出问题请大家从上述四种形式的直线方程中,能否找到它们的共同点呢?都是关于ｘ、ｙ的二元一次方程。

由此得出直线与二元一次方程有着一定的关系.3、解决问题：直线和二元一次方程的关系① 在平面直角坐标系中,对于任何一条直线,都有一个表示这条直线关于x ,ｙ的二元一次方程。

在平面直角坐标系中,每一条直线都有倾斜角,在α≠9０°时,它们都有斜率，方程可以写成下面的形式:y = ｋx + b当α=90°时，它的方程x = ｘ１的形式,由于是在坐标平面内讨论问题,所以这个方程应认为是关于x 、y 的二元一次方程,其中y 的系数为0。

②在平面直角坐标系中,任何关于ｘ、y 的二元一次方程都表示一条直线。

因为x 、y 的二元一次方程的一般形式是0=++C By Ax ,其中Ａ、Ｂ不同时为0，当B ≠0时，方程可化为B C x B A y --=，这是直线的斜截式方程，它表示斜率为－A/B ，在ｙ轴上的截距为－Ｃ／B 的直线。

第1课时倾斜角与斜率[学习目标]1．理解直线的倾斜角和斜率的概念．2．掌握求直线斜率的两种方法．[预习导引]1．直线的倾斜角(1)当直线l与x轴相交时，它的倾斜角α就是x轴绕交点沿逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角．当直线与x轴平行或重合时，规定倾斜角α＝0．(2)倾斜角的范围：0≤α<π.2．斜率的概念及斜率公式要点一直线的倾斜角例1 设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为( )A．α＋45°B．α－135°C．135°－αD．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾角为α－135°答案 D解析根据题意，画出图形，如图所示：因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知：当0°≤α<135°，l1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.故选D.规律方法 1.解答本题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答．2．求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．跟踪演练 1 一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为( )A．αB．180°－αC．180°－α或90°－αD．90°＋α或90°－α答案 D解析如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α.故选D.要点二直线的斜率例2 已知直线l过P(－2，－1)，且与以A(－4，2)，B(1，3)为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围．解根据题中的条件可画出图形，如图所示，又可得直线PA 的斜率k PA ＝－32， 直线PB 的斜率k PB ＝43，结合图形可知当直线l 由PB 变化到与y 轴平行的位置时，它的倾斜角逐渐增大到90°，故斜率的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞，当直线l 由与y 轴平行的位置变化到PA 位置时，它的倾斜角由90°增大到PA 的倾斜角，故斜率的变化范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－32. 综上可知，直线l 的斜率的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞. 规律方法 (1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k ＝tan α(α≠90°)解决． (2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k ＝y2－y1x2－x1(x 1≠x 2)求解． (3)涉及直线与线段有交点问题常数形结合利用公式求解．跟踪演练2 已知两点A (－3，4)，B (3，2)，过点P (1，0)的直线l 与线段AB 有公共点． (1)求直线l 的斜率k 的取值范围； (2)求直线l 的倾斜角α的取值范围．解 如图所示，由题意可知k PA ＝4－0－3－1＝－1，k PB ＝2－03－1＝1.(1)要使直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是k ≤－1，或k ≥1. (2)由题意可知，直线l 的倾斜角介于直线PB 与PA 的倾斜角之间，又PB 的倾斜角是45°，PA 的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°.要点三 斜率公式的应用例3 已知实数x ，y 满足y ＝－2x ＋8，且2≤x ≤3，求y x的最大值和最小值． 解如图所示，由于点(x ，y )满足关系式2x ＋y ＝8，且2≤x ≤3，可知点P (x ，y )在线段AB 上移动，并且A ，B 两点的坐标可分别求得为A (2，4)，B (3，2)． 由于y x的几何意义是直线OP 的斜率， 且k OA ＝2，k OB ＝23，所以可求得y x 的最大值为2，最小值为23. 规律方法 若所求最值或范围的式子可化为y2－y1x2－x1的形式，则联想其几何意义，利用图形数形结合来求解．跟踪演练3 已知实数x ，y 满足y ＝x 2－x ＋2(－1≤x ≤1)，试求y ＋3x ＋2的最大值和最小值． 解由y ＋3x ＋2的几何意义可知，它表示经过定点P (－2，－3)与曲线段AB 上任一点(x ，y )的直线的斜率k ，由图可知k PA ≤k ≤k PB ，由已知可得A (1，2)，B (－1，4)． 则k PA ＝2－（－3）1－（－2）＝53，k PB ＝4－（－3）－1－（－2）＝7.∴53≤k ≤7，∴y ＋3x ＋2的最大值为7，最小值为53.1．下图中α能表示直线l 的倾斜角的是( )A ．①B ．①②C ．①③D ．②④答案 A解析 结合直线l 的倾斜角的概念可知只有①可以，选A. 2．已知直线l 的倾斜角为30°，则直线l 的斜率为( ) A.33B.3 C ．1 D.22答案 A解析 由题意可知，k ＝tan 30°＝33. 3．过两点A (4，y )，B (2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y ＝( ) A ．－32B.32C ．－1D ．1答案 C解析 tan 45°＝k AB ＝y ＋34－2，即y ＋34－2＝1，所以y ＝－1. 4．直线l 经过第二、四象限，则直线l 的倾斜角范围是( ) A ．0°≤α<90° B ．90°≤α<180° C ．90°<α<180° D ．0°<α<180°答案 C解析 直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°，又直线l 经过第二、四象限，所以直线l 的倾斜角范围是90°<α<180°.5．如图所示，直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则k 1，k 2，k 3之间的大小关系为________．答案 k 1<k 3<k 2解析 设l 1，l 2，l 3的倾斜角分别为α1，α2，α3，则由图可知0°<α3<α2<90°<α1<180°，所以tan α2>tan α3>0，tan α1<0，故k 1<k 3<k 2.1．倾斜角是一个几何概念，它直观地描述并表现了直线对于x 轴正方向的倾斜程度． 2．直线的斜率是直线倾斜角的正切值，但两者并不是一一对应关系．学会用数形结合的思想分析和理解直线的斜率同其倾斜角的关系． 3．运用两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)求直线斜率k ＝y2－y1x2－x1应注意的问题：(1)斜率公式与P 1，P 2两点的位置无关，而与两点横、纵坐标之差的顺序有关(即x 2－x 1，y 2－y 1中x 2与y 2对应，x 1与y 1对应)．(2)运用斜率公式的前提条件是“x 1≠x 2”，也就是直线不与x 轴垂直，而当直线与x 轴垂直时，直线的倾斜角为90°，斜率不存在．一、基础达标1．下列说法中，正确的是( )A ．直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan αB ．直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为αC ．若直线的倾斜角为α，则sin α>0D ．任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tan α答案 D解析 对于A ，当α＝90°时，直线的斜率不存在，故不正确；对于B ，虽然直线的斜率为tan α，但只有0°≤α<180°时，α才是此直线的倾斜角，故不正确；对于C ，当直线平行于x 轴时，α＝0°，sin α＝0，故C 不正确，故选D.2．若A ，B 两点的横坐标相等，则直线AB 的倾斜角和斜率分别是( ) A ．45°，1 B ．135°，－1 C ．90°，不存在 D ．180°，不存在答案 C解析 由于A ，B 两点的横坐标相等，所以直线与x 轴垂直，倾斜角为90°，斜率不存在．故选C.3．过两点A (4，y )，B (2，－3)的直线的倾斜角是135°，则y 等于( ) A ．1 B ．5 C ．－1 D ．－5 答案 D解析 由斜率公式可得：y ＋34－2＝tan 135°， ∴y ＋32＝－1，∴y ＝－5.∴选D. 4．直线l 过原点(0，0)，且不过第三象限，那么l 的倾斜角α的取值范围是( ) A ．0°≤α≤90°B ．90°≤α<180°C ．90°≤α<180°或α＝0°D ．90°≤α≤135°答案 C解析 倾斜角的取值范围为0°≤α<180°，直线过原点且不过第三象限，切勿忽略x 轴和y 轴．5．斜率为2的直线经过点A (3，5)，B (a ，7)，C (－1，b )三点，则a ，b 的值为( ) A ．a ＝4，b ＝0 B ．a ＝－4，b ＝－3 C ．a ＝4，b ＝－3 D ．a ＝－4，b ＝3 答案 C解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧kAC ＝2，kAB ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧b －5－1－3＝2，7－5a －3＝2.解得a ＝4，b ＝－3.6．如果过点P (－2，m )和Q (m ，4)的直线的斜率等于1，则m ＝________． 答案 1解析 由斜率公式知4－mm ＋2＝1，解得m ＝1. 7．已知直线l 上两点A (－2，3)，B (3，－2)，求其斜率．若点C (a ，b )在直线l 上，求a ，b 间应满足的关系，并求当a ＝12时，b 的值．解 由斜率公式得k AB ＝－2－33＋2＝－1. ∵C 在l 上，∴k AC ＝－1，即b －3a ＋2＝－1.∴a ＋b －1＝0. 当a ＝12时，b ＝1－a ＝12. 二、能力提升8．在平面直角坐标系中，正三角形ABC 的边BC 所在直线的斜率是0，则AC ，AB 所在直线的斜率之和为( ) A ．－23 B ．0 C.3 D ．23答案 B解析 由题意知，AB ，AC 所在直线的倾斜角分别为60°，120°，所以tan 60°＋tan 120°＝3＋(－3)＝0.9．若经过点P (1－a ，1＋a )和Q (3，2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围为________． 答案 (－2，1)解析 ∵直线的倾斜角为钝角，∴k ＝a －1a ＋2<0， 解得－2<a <1.10．直线l 过点A (1，2)，且不过第四象限，则直线l 的斜率的取值范围是________．答案 [0，2] 解析如图，当直线l 在l 1位置时，k ＝tan 0°＝0；当直线l 在l 2位置时，k ＝2－01－0＝2.故直线l 的斜率的取值范围是[0，2]．11．过点M (0，－3)的直线l 与以点A (3，0)，B (－4，1)为端点的线段AB 有公共点，求直线l 的斜率k 的取值范围． 解如图所示，(1)直线l 过点A (3，0)时，即为直线MA ，倾斜角α1为最小值． ∵tan α1＝0－（－3）3－0＝1，∴α1＝45°.(2)直线l 过点B (－4，1)时，即为直线MB ，倾斜角α2为最大值， ∵tan α2＝1－（－3）－4－0＝－1，∴α2＝135°.所以直线l 倾斜角α的取值范围是45°≤α≤135°. 当α＝90°时，直线l 的斜率不存在；当45°≤α<90°时，直线l 的斜率k ＝tan α≥1； 当90°<α≤135°时，直线l 的斜率k ＝tan α≤－1. 所以直线l 的斜率k 的取值范围是 (－∞，－1]∪[1，＋∞)． 三、探究与创新12．已知A (－1，1)，B (1，1)，C (2，3＋1)． (1)求直线AB 和AC 的斜率；(2)若点D 在线段AB (包括端点)上移动时，求直线CD 的斜率的变化范围． 解 (1)由斜率公式得k AB ＝1－11－（－1）＝0，k AC ＝3＋1－12－（－1）＝33.(2)如图所示．k BC ＝3＋1－12－1＝3.设直线CD 的斜率为k ，当斜率k 变化时，直线CD 绕C 点旋转，当直线CD 由CA 逆时针方向旋转到CB 时，直线CD 与AB 恒有交点，即D 在线段AB 上，此时k 由k CA 增大到k CB ，所以k 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，3. 13．光线从点A (2，1)射到y 轴上的点Q ，经y 轴反射后过点B (4，3)，试求点Q 的坐标及入射光线的斜率．解 法一 设Q (0，y )，则由题意得k QA ＝－k QB . ∵k QA ＝1－y 2，k QB ＝3－y 4，∴1－y 2＝－3－y 4. 解得y ＝53，即点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，53，∴k 入＝k QA ＝1－y 2＝－13. 法二如图，点B (4，3)关于y 轴的对称点为B ′(－4，3)，k AB ′＝1－32＋4＝－13，由题意得，A ，Q ，B ′三点共线．从而入射光线的斜率为k AQ ＝k AB ′＝－13. 设Q (0，y )，则k 入＝k QA ＝1－y 2＝－13.5 3，即点Q的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，53.解得y＝。