高中数学第二讲四弦切角的性质学案含解析新人教A版选修

课堂探究探究一弦切角定理在使用弦切角定理时，关键是要弄清哪个角是弦切角，这样才能正确解决问题．【典型例题1】如图，AD 是⊙O 的切线，AC 是⊙O 的弦，过C 作AD 的垂线，垂足为B ，CB 与⊙O 相交于点E ，AE 平分∠CAB ，且AE ＝2，求△ABC 各边的长．思路分析：∠BAE 为弦切角，于是∠BAE ＝∠C ，再由AE 平分∠CAB 和△ABC 是直角三角形可求得∠C 的度数，进而解直角三角形即可．解：∵AD 为⊙O 的切线，∴∠BAE ＝∠ACB .∵AE 平分∠CAB ，∴∠BAC ＝2∠BAE .又∵∠ACB ＋∠BAC ＝90°，∴∠BAE ＝∠C ＝30°.则有BE ＝1，AB ＝3，BC ＝3，AC ＝2 3.点评 在题目中出现了圆的切线，常用弦切角定理解决问题．探究二弦切角定理的应用在证明与圆有关的命题时，弦切角定理与圆周角定理等经常要综合应用，正确找出符合定理条件的角是应用定理的前提．【典型例题2】已知△ABC 内接于⊙O ，∠BAC 的平分线交⊙O 于D ，CD 的延长线交过B 点的切线于E .求证：CD 2BC 2＝DE CE. 思路分析：直接证明此等式有一定的难度，可以考虑把它分解成两个比例式的形式，然后借助相似三角形的性质得出结论．证明：连接BD ，如图所示．∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠BAD ＝∠CAD .又∠BCD ＝∠BAD ，∠CBD ＝∠CAD ，∴∠BCD ＝∠CBD .∴BD ＝CD .又BE 为⊙O 的切线，∴∠EBD ＝∠BAD ，∴∠EBD ＝∠BCD .故在△BED 和△CEB 中，∠EBD ＝∠ECB ，∠BED ＝∠CEB ，∴△BED ∽△CEB .∴BD BC ＝BE CE ，BD BC ＝DE BE，∴⎝⎛⎭⎫BD BC 2＝DE CE . 又BD ＝CD ，∴CD 2BC 2＝DE CE. 点评 已知直线与圆相切，证明线段成比例时，常先利用弦切角定理和圆周角定理获得角相等，再通过三角形相似得到成比例线段．探究三易错辨析易错点：忽视弦切角的一边是切线【典型例题3】如图所示，△ABC 内接于⊙O ，AD ⊥AC ，∠C ＝32°，∠B ＝110°，则∠BAD ＝__________.错解：∵AD ⊥AC ，∴∠BAD 是弦切角．∴∠BAD ＝∠C .又∠C ＝32°，∴∠BAD ＝32°.错因分析：错解中，误认为∠BAD 是弦切角，其实不然，虽然AD ⊥AC ，但AD 不是切线．正解：∵∠C ＋∠B ＋∠BAC ＝180°，∴∠BAC＝180°－∠C－∠B＝38°.又AD⊥AC，∴∠BAC＋∠BAD＝90°.∴∠BAD＝90°－∠BAC＝90°－38°＝52°.。

四弦切角的性质
．掌握弦切角定理，并能利用它解决有关问题．(重点)
．体会分类思想，运动变化思想和化归思想．(难点)
[基础·初探]
教材整理弦切角定理
阅读教材～，完成下列问题．
．弦切角
顶点在圆上，一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角．．弦切角定理
()文字语言叙述：
弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．
()图形语言叙述：
如图--，与⊙切于点，则∠＝∠.
图--
．在⊙外，切⊙于，交⊙于，，则( )
．∠＝∠．∠＝∠
．∠＝∠．∠＝∠
【解析】由弦切角定理知∠＝∠.
【答案】
．如图--所示，与⊙相切于点，和是⊙上两点，∠＝°，则∠等于( )
图--
．°．°
．°．°
【解析】根据弦切角定理：∠＝∠＝°.
【答案】
[质疑·手记]
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解惑：
疑问：
解惑：
[小组合作型]
如图--，是半圆的直径，是圆周上一点(异于，)，过作圆的切线，过作直线的垂线，垂足为，交半圆于点，求证：＝.。

主动成长夯基达标1.如图2-4-8,AB 是半圆O 的直径,C 、D 是半圆上的两点,半圆O 的切线PC 交AB 的延长线于点P ,∠PCB ＝25°,则∠ADC 为（ ）图2-4-8A.105°B.115°C.120°D.125°思路解析:连结AC,构造出圆周角∠ADC 所对弧的弦切角,即∠PCA ,而∠PCA 显然等于∠PCB 加上一个直角,由此即得结果.答案:B2.如图2-4-9,AB 是⊙O 的直径,EF 切⊙O 于C ,AD ⊥EF 于D ,AD =2,AB =6,则AC 的长为（ ）图2-4-9A.2B.3C.23D.4思路解析:连结BC ,构造出弦切角所对的圆周角,由已知有△ADC 与△ACB 相似,所以可得AC AD =ABAC,代入数值得关于AC 的方程.答案:C3.如图2-4-10,AB 是⊙O 的弦,CD 是经过⊙O 上的点M 的切线. 求证:图2-4-10(1)如果AB ∥CD,那么AM =MB ; (2)如果AM =BM ,那么AB ∥CD .思路分析:本题的两个问题互为逆命题,利用弦切角在中间起桥梁作用,如第（1）题,由平行得∠B =∠DMB ,由弦切角得∠DMB =∠A ,于是有∠A =∠B .证明:(1)CD 切⊙O 于M 点,∴∠DMB =∠A ,∠CMA =∠B . ∵AB ∥CD ,∴∠CMA =∠A . ∴∠A =∠B .∴AM =MB . (2)∵AM =BM ,∴∠A =∠B .∵CD 切⊙O 于M 点,∴∠DMB =∠A ,∠CMA =∠B.∴∠CMA =∠A .∴AB ∥CD.4.如图2-4-11,四边形ABED 内接于⊙O ,AB ∥DE ,AC 切⊙O 于A,交ED 延长线于C .求证:AD ∶AE =DC ∶BE .图2-4-11思路分析:求证成比例的四条线段正好在两个三角形△ACD 和△ABE 中,所以只要证明△ACD ∽△ABE 即可.证明:∵四边形ABED 内接于圆,∴∠ADC =∠ABE . ∵AC 是⊙O 的切线, ∴∠CAD =∠AED .∵AB ∥DE ,∴∠BAE =∠AED . ∴∠CAD =∠BAE . ∴△ACD ∽△ABE . ∴AD ∶AE =DC ∶BE .5.如图2-4-12,P 为⊙O 的直径CB 延长线上的一点,A 为⊙O 上一点,若=,AE 交BC 于D ,且∠C =21∠PAD.图2-4-12(1)求证:PA 为⊙O 的切线; (2)若∠BEA =30°,BD ＝1,求AP 及PB 的长.思路分析:对于（1）,A 已经是圆上一点,所以可以连结OA ,证明PA 与OA 垂直;对于（2）,将∠E 利用圆周角定理转移到Rt △ODA 和Rt △OAP 中,解直角三角形即可得到线段AP 及PB 的长.（1）证明:连结AO ,∵=,BC 为直径,∴A E ⊥BC ,AD =DE , =DE.∵OA =OB,∴∠C =∠3. ∴∠1=2∠C . 又∵∠C =21∠PAD,∴∠1=∠2. ∵∠1+∠4=90°, ∴∠2+∠4=90°. ∴PA ⊥OA.∴PA 为⊙O 的切线.（2）解:在Rt △EBD 中,∵∠BEA =30°,BD ＝1,∴BE =2,DE =3.在Rt △ODA 和Rt △EBD 中,∠4=90°-∠1=90°-2∠C =90°-2∠E =30°=∠E ,∠ODA =∠BDE ,AD =ED ,∴Rt △ODA ≌Rt △EBD .∴AD =DE =3,OD =BD =1,OA =BE =2. 在Rt △OAP 中,∵AD ⊥OP ,∴AD 2=OD ·DP ,即2)3(=1·DP .∴DP =3. ∴BP =2.在Rt △ADP 中,根据勾股定理,得22DP AD AP +==223)3(+=32.6.如图2-4-13,BA 是⊙O 的直径,AD 是⊙O 的切线,切点为A ,BF 、BD 交AD 于点F 、D ,交⊙O 于E 、C ,连结CE .求证:BE ·BF =BC ·BD .图2-4-13 思路分析:要证BE ·BF =BC ·BD ,只需证△BEC ∽△BDF ,∠DBF 为公共角,只需再找一组角相等,为此,过B 作⊙O 的切线,构造弦切角.证明:过B 作⊙O 的切线BG ,则BG ∥AD ,∴∠GBC =∠BDF . 又∵∠GBC =∠BEC , ∴∠BEC =∠BDF .而∠CBE为公共角,∴△BEC∽△BDF.∴BE·BF =BC·BD.7.如图2-4-14,⊙O是△ABC的外接圆,∠ACB的平分线CE 交AB于D,交⊙O于E,过E点作⊙O的切线交CB的延长线于F.求证:AE2 =AD·EF.图2-4-14思路分析:要证AE2=AD ·EF,考虑相似三角形,但AE、AD、EF所在三角形不相似,因此要找线段等量代换.证明:连结BE,⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫∠=∠⇒⎭⎬⎫∠=∠∠=∠⇒∠=∠⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫∠=∠∠=∠∠+∠=∠∠+∠=∠5FEB522FEBEOEFADEFBE413243ADE21FBE于切圆⇒△FEB∽△EADBEAD=EFAE.又∵∠3=∠2⇒BE=AE⇒BE =AE,则AE2=AD·EF.8.如图2-4-15,PA、PB是⊙O的两条切线,A、B为切点,C是上一点,已知⊙O的半径为r,PO =2r,设∠PAC+∠PBC =α,∠APB =β,则α与β的大小关系为()A.α>βB.α=βC.α<βD.不能确定思路解析:连结AB、AO,∵PA、PB为切线,∴∠PAC=∠ABC,∠PBC=∠BAC.∴α=∠PAC +∠PBC =∠PAC +∠BAC =∠PAB =∠PBA =)180(21APB ∠-︒ =)180(21β-︒. ∵AO =r,PA 切⊙O 于A ,∴AO ⊥PA ,且PO =2r. ∴∠APO = 30°.∴∠APB =2∠APO =60°.∴β=60°. ∴α=21(180°-60°)=60°.∴α=β. 答案:B图2-4-159.如图2-4-16,已知AB 为⊙O 的直径,P 为AB 延长线上一点,PT 切⊙O 于T ,过点B 的切线交AT 延长线于D ,交PT 于C .图2-4-16(1)试判断△DCT 的形状.(2)△DCT 有无可能成为正三角形?若无可能,说明为什么;若有可能,求出这时PB 与PA 应满足的条件.思路分析:要判断△DCT 的形状,先考虑其内角的关系,注意到CT 、CB 为切线,则连结BT ,可用弦切角定理推论得∠ATB =∠BTD =90°,从而可判断△DCT 的形状.解:(1)连结BT ,∵CB 、CT 为⊙O 的切线,∴∠CTB =CBT .又AB 为⊙O 的直径,∴∠ATB =∠DTB =90°. ∴∠DTC =90°-∠CTB , ∠D =90°-∠CBT .∴∠DTC =∠D ,即CD =CT . ∴△DCT 为等腰三角形.(2)若△DCT 为正三角形,则∠D =60°, 由(1)知∠CBT =90°-∠D =30°, 而CB 切⊙O 于B, ∴∠A =∠CBT =30°. ∴在Rt △ATB 中,AB TB =sin30°=21, 且∠ABT=90°-30°=60°,∠ABT =∠CTB +∠P .而∠CTB =∠CBT =30°, ∴∠P =30°.∴∠P =∠CTB .∴PB = TB .∴AB PB =21, 即当PB ∶PA =1∶3时,△DCT 为正三角形. 走近高考10.如图2-4-17,AB 是⊙O 的直径,PB 切⊙O 于点B ,PA 交⊙O 于点C ,∠APB 的平分线分别交BC 、AB 于点D 、E ,交⊙O 于点F,∠A =60°,并且线段AE 、BD 的长是一元二次方程x 2-kx +32=0的两个根(k 为常数).图2-4-17(1)求证:PA ·BD =PB ·AE ;(2)证明⊙O 的直径长为常数; (3)求tan ∠FPA 的值.思路分析:(1)由△PBD ∽△PAE 即可证得.(2)由韦达定理知AE +BD =k,只需证BE =BD ,这可由角的相等证得.(3)要求tan ∠FPA ,先将∠FPA 转化到直角三角形中,而∠FPB =∠FPA ,∠FPB 恰好在Rt △PBE 中,解此三角形即可.(1)证明:∵PB 切⊙O 于点B ,∴∠PBD =∠A .又PE 平分∠APB ,∴∠APE =∠BPD .∴△PBD ∽△PAE .∴PA PB =AEBD . ∴PA ·BD = PB ·AE .(2)解:由(1)知∠APE =∠EPB ,又∵∠BED =∠A +∠EPA ,∠BDE =∠PBC +∠EPB , ∴∠BED =∠BDE .∴BE =BD .∵AE 、BD 为方程x 2-kx +32=0的两个根, ∴A E +BD =k =AB . ∴⊙O 的直径为常数k .(3)解:∵PB 切⊙O 于点B ,AB 为直径, ∴∠PBA =90°.∵∠A =60°, ∴PB =PA ·sin60°=PA 23. 由(1)得PA ·BD =PB ·AE , ∴AE BD 23. ∵AE 、BD 的长是方程x 2-kx +32=0的两个根, ∴AE ·BD =32.∴AE =2,BD =3.∴32+=AB .在Rt △PBA 中,PB =AB ·tan60°=(32+)·3=323+.在Rt △PBE 中,tan ∠BPE =PB BE =3233+ =32-, 又∠FPA =∠BPF ,∴tan ∠FPA =32-.11.如图2-4-18(1),四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形,A 是的中点,过A 点的切线与CB 的延长线交于点E .(1) (2)图2-4-18(1)求证:AB ·DA =CD ·BE ;(2)如图2-4-18(2),若点E 在C B 延长线上运动,使切线EA 变为割线EFA ,其他条件不变,问具备什么条件使原结论成立?思路分析:(1)只需证△ABE ∽△CDA .(2)如题图(2),要使结论仍然成立,注意到∠ABE =∠ADC 始终成立,因此仍然只需使△ABE ∽△CDA 即可,这样只要另一组对应角相等即可,即只需∠BAE =∠ACD 或∠E =∠CAD .(1)证明:连结AC ,∵AE 切⊙O 于A ,∴∠EAB =∠ACB . ∵AB =AD ,∴∠ACD =∠ACB . ∴∠EAB =∠ACD .又∵四边形ABCD 内接于⊙O , ∴∠ABE =∠CDA.∴△A BE ∽△CDA . ∴CD AB =DABE .∴AB ·DA =CD ·BE .(2)解:当BF =DA 时,∠EAB =∠ACD ,又∠ABE =∠ADC,∴△ABE ∽△ACD , ∴AB ·DA =CD ·BE ,此时仍然成立.12.如图2-4-19,已知C 点在⊙O 直径BE 的延长线上,CA 切⊙O 于A 点,∠BAC 的平分线交AE 于F 点,∠BCA 的平分线交AB 于D 点.图2-4-19(1)求∠ADF 的度数.(2)若∠ACB 的度数为y 度,∠B 的度数为x 度,那么y 与x 之间有怎样的关系？试写出你的猜测并给出证明.(3)若AB =AC ,求AC ∶BC . 思路分析:（1）中由AC 为⊙O 切线可得∠B =∠EAC ,由CD 平分∠ACB 可得∠ACD =∠DCB ,根据三角形外角定理,得到∠ADF =∠AFD ,建立等腰三角形,再由顶角求底角;（2）中则利用三角形内角和定理得到方程,获得关系;（3）中求线段的比值,利用△ACE ∽△ABC 可得. 解:（1）∵AC 为⊙O 的切线,∴∠B =∠EAC . ∵CD 平分∠ACB ,∴∠ACD =∠DCB .∴∠B +∠DCB =∠EAC +∠ACD ,即∠ADF =∠AFD . ∵BE 为⊙O 的直径, ∴∠DAE =90°. ∴∠ADF =21(180°-∠DAE )=45°. （2）∵∠B =∠EAC ,∠B +∠BAC +∠ACB =180°,∴x+90+x +y =180. ∴y =90-2x .∵0<∠B <∠ADC , ∴0<x <45.∴y 与x 的函数关系式是y =90-2x ,其中x 的取值范围是0<x <45. （3）∵∠B =∠EAC ,∠ACB =∠ACB , ∴△ACE ∽△BCA . ∴BC AC =ABAE. ∵AB =AC ,∴∠B =∠ACB ,即x =y .又∵y =90-2x ,∴x =90-2x ,x =30. ∴在Rt △ABE 中,BC AC =ABAE=tan ∠ABE =tan30°=33.。

课后导练基础达标1。

如图2-4—7，PC与⊙O相切于C点,割线PAB过圆心O，∠P=40°，则∠ACP等于（）图2—4-7A.20° B。

25°C。

30°D.40°解析:连结OC,∵PC切⊙O于C，∴OC⊥PC.∴∠OCP=90°。

∴∠P+∠COP=90°。

∴∠COP=90°-∠P=50°。

又∵∠PCA是弦切角,1∠AOC=25°.∴∠PCA=2答案：B2.如图2—4-8,四边形ABCD是圆内接四边形，AB是直径,MN是⊙O 切线,C为切点,若∠BCM=38°,则∠B等于（)图2-4—8A.32°B。

42° C.52°D。

48°解析：连结AC，∵MN切圆于C，BC是弦，∴∠BAC=∠BCM.∵AB是直径，∴∠ACB=90°.∴∠B+∠BAC＝90°.∴∠B+∠BCM=90°。

∴∠B=90°—∠BCM=52°.答案:C3.如图2-4—9,CA为⊙O的切线,切点为A,点B在⊙O上,如果∠CAB=55°,那么∠AOB等于（）图2—4—9A.55°B。

90° C.110°D。

120°解析：延长AO交⊙O于D，连结BD,∵AC切⊙O于A，AB是弦，∴∠D=∠CAB。

1∠AOB,又∵∠D=2∴∠AOB=2∠CAB=110°。

答案：C4.如图2-4-10，∠ABC=90°，O是AB上一点，⊙O切AC于D，交AB于E,连结DB、DE、OC,则图中与∠CBD相等的角共有( )图2-4-10A.1个B.2个C。

3个 D.4个解析：∵AB⊥BC，∴BC与⊙O相切,BD为弦.∴∠CBD=∠BED。

同理，∠CDB=∠BED。

∴∠CBD=∠CDB.又OC⊥BD，DE⊥BD,∴DE∥OC。

课后训练1．如图，O 的半径为2 cm,O 切AC 于D ，切BE 于E ，∠ACB ＝60°,则CE 的长为（ ）．A ．3cmB ．23cm 3C ．3cm 3D ．23cm2．如图,AB 是O 的直径,直线EF 切O 于B ，C 、D 为O 上的点，∠CBE ＝40°，AD CD =,则∠BCD 的度数是( )．A ．110°B ．115°C ．120°D ．135°3．如图，在圆的内接四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，EF 切O 于C 点，那么图中与∠DCF 相等的角的个数是( )．A ．4B ．5C ．6D ．74．如图，BD 为O 的直径，AB 、AE 切O 于B 、C ，∠BDC ＝65°,则∠BAC ＝________。

5．如图，已知AB 与O 相切于点M ，MC MD =，且MC 、MD 为14圆周长,则∠AMC ＝__________。

6．已知,如图，△ABC内接于O,DC切O于C点，BC平分∠ACD，则△ABC为________．7．如图，AB是O的直径，CD是O的切线，C为切点，AC 平分∠BAD．求证：AD⊥CD．8．如图，P是O的半径OA上的一点，D在O上，且PD＝PO.过点D作O的切线交OA的延长线于点C，延长DP交O于K，连接KO，OD．(1）证明：PC＝PD；(2)若该圆的半径为5，CD∥KO，求出OC的长．如图,BC为O的直径,AB AD=，过点A的切线与CD的延长线交于点E.(1）试猜想∠AED是否等于90°？为什么？（2）若25AD=，ED∶EA＝1∶2，求O的半径．(3）在（2）的条件下求∠CAD的正弦值．参考答案1.答案：B解析：∵CD、CE是O的切线，∴OC平分∠ECD．∴∠OCE＝12∠ECD＝12(180°－∠ACB)＝12(180°－60°）＝60°.∴CE＝OE cot60°＝323233⨯=(cm）．2。

四弦切角的性质
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1．弦切角
顶点在圆上，一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角．
弦切角可分为三类：(1)圆心在角的外部，如图①；(2)圆心在角的一边上，如图②；(3)圆心在角的内部，如图③.
思考1 你对弦切角是怎样理解的？
提示：弦切角的特点：(1)顶点在圆上；(2)一边与圆相交；(3)另一边与圆相切．
弦切角定义中的三个条件缺一不可．如图①②③④中的角都不是弦切角．图①中，缺少“顶点在圆上”的条件；图②中，缺少“一边和圆相交”的条件；图③中，缺少“一边和圆相切”的条件；图④中，缺少“顶点在圆上”和“另一边和圆相切”两个条件．
2．弦切角定理
证明两个角相等
提示：(1)由弦切角定理及圆周角定理可以得到： ①弦切角的度数等于它所夹弧的度数的一半； ②弦切角等于它所夹的弧所对的圆心角的一半．
(2)由弦切角定理可以直接得出一个结论：若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等．它给我们提供了证明角相等的又一个重要依据．如图，DE 切⊙O 于点A ，若AB ＝
AC ，则∠BAD ＝∠CAE .
温馨提示 (1)弦切角定理的推论：若一个圆的两个弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等．
(2)弦切角定理也可以表述为弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半．这就建立了弦切角与弧之间的数量关系，它为直接依据弧进行角的转换确立了基础．
(3)圆心角、圆周角、弦切角的比较.
AOB 的度数＝AB 度数
ACB 的度数＝12
AB
的度数
ACB 的度数＝1
2
AC
的度数。

四弦切角的性质课后篇巩固探究一、A组1.如图,MN与☉O相切于点M,Q和P是☉O上两点,∠PQM=70°,则∠NMP等于()A.20°B.70°C.110°D.160°解析:∵∠NMP是弦切角,∴∠NMP=∠PQM=70°.答案:B2.如图,已知AB和AC分别是☉O的弦和切线,点A为切点,AD为∠BAC的平分线,且交☉O于点D,BD的延长线与AC交于点C,AC=6,AD=5,则CD的长度等于()A.3B.4C.5D.6解析:由题意,得∠CAD=∠ABC.因为AD为∠BAC的平分线,所以∠CAD=∠DAB,从而∠CBA=∠DAB,所以DB=AD=5,且△ACD∽△BCA,于是,即,解得CD=4(负值舍去).答案:B3.如图,四边形ABCD是圆的内接四边形,AB是直径,MN是☉O的切线,切点为C.若∠BCM=38°,则∠B=()A.32°B.42°D.48°解析:如图,连接AC.∵∠BCM=38°,MN是☉O的切线,∴∠BAC=38°.∵AB为☉O的直径,∴∠BCA=90°.∴∠B=90°-38°=52°.答案:C4.如图,AB是☉O的直径,EF切☉O于点C,AD⊥EF于点D,AD=2,AB=6,则AC的长为()A.2B.3C.2D.4解析:如图,连接BC.∵EF是☉O的切线,∴∠ACD=∠ABC.又AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.又AD⊥EF,∴∠ACB=∠ADC.∴△ADC∽△ACB.∴.∴AC2=AD·AB=2×6=12,∴AC=2.答案:C5.如图,若AB切☉O于A,AC,AD为☉O的弦,且,则∠C与∠CAB的关系是.解析:因为,所以∠ADC=∠ACD.又由弦切角定理可得∠BAC=∠ADC,故∠C=∠CAB.答案:∠C=∠CAB6.已知AB是☉O的弦,PA是☉O的切线,A是切点.如果∠PAB=30°,那么∠AOB=. 解析:∵弦切角∠PAB=30°,∴它所夹的弧所对的圆周角等于30°,所对的圆心角等于60°.答案:60°7.已知PA是圆O的切线,切点为A,PO交圆O于B,C两点,AC=,∠PAB=30°,则线段PB的长为.解析:连接OA,∵PA为☉O的切线,∴∠OAP=90°,∠C=∠PAB=30°,∴∠OBA=∠OAB=60°,∴∠P=∠PAB=30°,∴PB=AB.又AC=,BC为☉O的直径,∴∠CAB=90°,∴AB=1,∴PB=1.答案:18.如图,☉O1与☉O2交于A,B两点,过☉O1上一点P作直线PA,PB分别交☉O2于点C和点D,EF切☉O1于点P.求证:EF∥CD.证明:连接AB,∵EF是☉O1的切线,由弦切角定理知,∠FPA=∠PBA.又在☉O2中,四边形ABDC为圆内接四边形,∴∠C=∠ABP,∴∠FPA=∠C,∴EF∥CD.9.如图,在△ABC中,∠B=90°,O是AB上一点,以O为圆心,OB为半径的圆与AB交于点E,与AC切于,直线ED交BC的延长线于F.若AD∶AE=2∶1,求tan∠F的值.解:如图,连接BD.∵AC为☉O的切线,∴∠ADE=∠ABD.∵∠A=∠A,∴△ADE∽△ABD,∴,即,∴.∵BE为☉O的直径,∴∠BDE=90°,∴tan∠ABD=.∵∠F+∠BEF=90°,∠ABD+∠BEF=90°,∴∠ABD=∠F,∴tan∠F=tan∠ABD=.二、B组1.如图,在圆的内接四边形ABCD中,AC平分∠BAD,EF切☉O于C点,则图中与∠DCF相等的角的个数是()A.4B.5C.6D.7解析:∠DCF=∠DAC,∠DCF=∠BAC,∠DCF=∠BCE,∠DCF=∠BDC,∠DCF=∠DBC.答案:B2.如图,☉O和☉O'相交于A,B两点,过点A作两圆的切线,分别交两圆于C,D两点.若BC=2,BD=4,则AB的长为()A.2B.2C.4D.6解析:∵AC,AD分别是两圆的切线,∴∠C=∠BAD,∠D=∠BAC.∴△ACB∽△DAB.∴.∴AB2=BC·DB=2×4=8,解得AB=2(负值舍去).答案:A.AB切☉O于点A,圆周被AC所分成的优弧与劣弧之比为3∶1,则夹劣弧的弦切角∠BAC=.解析:∵优弧与劣弧之比为3∶1,∴劣弧所对的圆心角为90°,所对的圆周角为45°,故由弦切角定理可知,弦切角∠BAC=45°.答案:45°4.导学号52574036如图,AB是圆O的直径,点C在圆O上.延长BC到D使BC=CD,过C作圆O的切线交AD于E.若AB=6,ED=2,则BC=.解析:连接OC.∵AB为圆O的直径,∴AC⊥BC.又BC=CD,∴AB=AD=6,∠BAC=∠CAD.又CE为圆O的切线,则OC⊥CE.∵∠ACE为弦切角,∴∠ACE=∠B.∴∠ACE+∠CAD=90°.∴CE⊥AD.又AC⊥CD,∴CD2=ED·AD=2×6=12,即CD=2.∴BC=2.答案:25.如图,△ABC内接于☉O,AB=AC,直线XY切☉O于点C,BD∥XY,AC,BD相交于E.(1)求证:△ABE≌△ACD;6 cm,BC=4 cm,求AE的长.(1)证明:因为XY是☉O的切线,所以∠1=∠2.因为BD∥XY,所以∠1=∠3,故∠2=∠3.因为∠3=∠4,所以∠2=∠4.因为∠ABD=∠ACD,又因为AB=AC,ABE≌△ACD.(2)解:易知∠3=∠2,∠ABC=∠ACB,所以△BCE∽△ABC,,即AC·CE=BC2.因为AB=AC=6 cm,BC=4 cm,所以6·(6-AE)=16,故AE= cm.6.导学号52574037如图,AB为☉O的直径,直线CD与☉O相切于E,AD⊥CD于D,BC ⊥CD于C,EF⊥AB于F,连接AE,BE.∠FEB=∠CEB;(2)EF2=AD·BC.证明:(1)由直线CD与☉O相切,得∠CEB=∠EAB.由AB为☉O的直径,得AE⊥EB,从而∠EAB+∠EBF=.又EF⊥AB,得∠FEB+∠EBF=.从而∠FEB=∠EAB,故∠FEB=∠CEB.(2)由BC⊥CE,EF⊥AB,∠FEB=∠CEB,BE是公共边,得Rt△BCE≌Rt△BFE,所以BC=BF.同理可证Rt△ADE≌Rt△AFE,得AD=AF.在Rt△AEB中,EF⊥AB,故EF2=AF·BF,所以EF2=AD·BC.。

课堂导学三点剖析一、弦切角定理【例1】 如图2-4-1,PA 、PB 切⊙O 于A 、B,∠P=50°,则∠D 等于( )图2-4-1A.65°B.75°C.40°D.30°思路分析：连结AB,∠P 与∠D 分别处于两个三角形,它们之间的联系途径就是弦切角. 解:连结AB.∵AB 是弦,PA 、PB 切圆于A 、B,∴∠ABP=∠D,∠BAP=∠D.∴∠ABP=∠BAP.在△ABP 中,∠ABP=21 (180°-∠P)=65°, ∴∠D=∠ABP=65°.答案:A二、弦切角定理综合运用【例2】 如图2-4-3,PA 切⊙O 于A,PBC 是⊙O 的割线,在PC 上截取PD=PA,求证:∠1=∠2.图2-4-3证明：∵PA=PD,∴∠PAD=∠PDA.∵∠PDA=∠C+∠1,∠PAD=∠PAB+∠2,∴∠C+∠1=∠PAB+∠2.又∵PA 切⊙O 于A,AB 为弦,∴∠PAB=∠C.∴∠1=∠2.三、本节数学思想选讲【例3】 如图2-4-5,已知AB 为⊙O 直径,P 为AB 延长线上一动点,过点P 作⊙O 的切线,设切点为C.(1)请你连结AC,作∠APC 的平分线,交AC 于点D,测量∠CDP 的度数.(2)当P 在AB 延长线上运动时,∠CDP 的度数作何变化?请你猜想,并证明.图2-4-5解析:(1)作图,并测量,∠CDP=45°.(2)∠CDP不随P在AB延长线上的位置变化而变化,即∠CDP=45°是一个定值.证明:连结BC交PD于E,∵∠CDP是△ADP的外角,∴∠CDP=∠A+∠2.同理,∠CED=∠1+∠3.但∠1=∠2.又∵BC是弦,PC与⊙O切于C,∴∠3=∠A.∴∠CDE=∠CED.∴CD=CE.∵AB是直径,∴∠DCE=90°.∴△CDE是等腰直角三角形.∴∠CDE=45°.各个击破类题演练1如图2-4-2,△ABC为⊙O的内接三角形,AB为直径,D为BC延长线上一点,PC切⊙O于C 点,∠PCD=20°,则∠A等于( )图2-4-2A.20°B.25°C.40°D.50°解析:∵AB是直径,∴∠ACB=90°.∴∠PCD+∠ACP=90°,∠A+∠B=90°.∵PC是切线,AC为弦,∴∠ACP=∠B.∴∠A=∠PCD=20°.答案:A类题演练2如图2-4-4,AD⊥直径CE,AB为⊙O切线,A为切点,求证:∠1=∠2.图2-4-4证明:连结AE,∵CE是直径,∴∠CAE=90°.∴∠E+∠ACE=90°.∵AD⊥EC,∴∠ADC=90°.∴∠2+∠ACE=90°.∴∠2=∠E.又∵AB切⊙O于A,AC是弦,∴∠1=∠E.∴∠1=∠2.类题演练3在△AEF中,∠A的平分线AD与△AEF的外接圆相交于D,过D作圆的切线BC. 求证:EF∥BC.图2-4-6解析:欲证EF∥BC,只需证∠AEF=∠B,∠B在圆外,考虑弦切角.证明:连结DF,∵BC切⊙O于点D,DF为弦,∴∠ADB=∠AFD.∵AD平分∠A,∴∠1=∠2.∴△ABD∽△ADF.∴∠ADF=∠B.又∵=,∴∠AEF=∠ADF.∴∠AEF=∠B.∴EF∥BC.温馨提示从本题题设出发,还有很多结论,读者可自行推导.。

课堂探究探究一弦切角定理在使用弦切角定理时，关键是要弄清哪个角是弦切角，这样才能正确解决问题．【典型例题】如图，是⊙的切线，是⊙的弦，过作的垂线，垂足为，与⊙相交于点，平分∠，且＝，求△各边的长．思路分析：∠为弦切角，于是∠＝∠，再由平分∠和△是直角三角形可求得∠的度数，进而解直角三角形即可．解：∵为⊙的切线，∴∠＝∠.∵平分∠，∴∠＝∠.又∵∠＋∠＝°，∴∠＝∠＝°.则有＝，＝，＝，＝.点评在题目中出现了圆的切线，常用弦切角定理解决问题．探究二弦切角定理的应用在证明与圆有关的命题时，弦切角定理与圆周角定理等经常要综合应用，正确找出符合定理条件的角是应用定理的前提．【典型例题】已知△内接于⊙，∠的平分线交⊙于，的延长线交过点的切线于.求证：＝.思路分析：直接证明此等式有一定的难度，可以考虑把它分解成两个比例式的形式，然后借助相似三角形的性质得出结论．证明：连接，如图所示．∵是∠的平分线，∴∠＝∠.又∠＝∠，∠＝∠，∴∠＝∠.∴＝.又为⊙的切线，∴∠＝∠，∴∠＝∠.故在△和△中，∠＝∠，∠＝∠，∴△∽△.∴＝，＝，∴＝.又＝，∴＝.点评已知直线与圆相切，证明线段成比例时，常先利用弦切角定理和圆周角定理获得角相等，再通过三角形相似得到成比例线段．探究三易错辨析易错点：忽视弦切角的一边是切线【典型例题】如图所示，△内接于⊙，⊥，∠＝°，∠＝°，则∠＝.错解：∵⊥，∴∠是弦切角．∴∠＝∠.又∠＝°，∴∠＝°.错因分析：错解中，误认为∠是弦切角，其实不然，虽然⊥，但不是切线．正解：∵∠＋∠＋∠＝°，∴∠＝°－∠－∠＝°.又⊥，∴∠＋∠＝°.∴∠＝°－∠＝°－°＝°.。

课题弦切角课型概念课时间教学目标知识与技能经历探究弦切角概念，确切角定理及其推论以及简单应用的过程，掌握弦切角概念，弦切角定理、推论以及并能进行初步应用。

过程与方法引导学生充分经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，如动手画角，从特殊入手进行猜想，完成定理的证明等。

发展合情推理和演绎推理能力，能有条理地，清晰地阐述自己的观点。

情感态度与价值观引导学生参与整个数学学习活动，激发对数学好奇心与求知欲，同时获得成功的体验，锻炼克服困难意识，建立自信心，体验探索与创造的快乐，形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯。

重点正确理解弦切角定理，这一定理在以后的证明中经常使用．难点想到把弦切角的23种情况“转化”为1．方法教具PPt教学过程教师活动学生活动设计意图一、创设情境，以旧探新1提问：什么样的角是圆周角2电脑显示：圆周角∠CAB，让射线AC绕点A旋转，产生无数个圆周角，当AC绕点A旋转至与圆相切时，停止旋转，得∠BAE图7-132提问：这时∠BAE还是圆周角吗为什么3定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角4用反例图形剖析定义，揭示概念本质属性：判断下列各图形中的角是不是弦切角，并说明理由：投学生思考并回答学生思考并回答启发学生进行观察，并归纳总结出弦切角的特点：引导学生共同分析∠BAE的特点，并仿照圆心角、圆周角，给这个特殊角命名学生很可能猜出这样的角叫弦切角，引出课题1顶点在圆周上；2一边与圆相交；3一边与圆相切影打出，让学生讨论，在学生讨论的基础上，教师加以总结图7-133通过以上分析，使全体学生明确：弦切角定义中的三个条件缺一不可教师引导学生继续观察图形，当固定切线，让过切点的弦运动，可发现一个圆的弦切角有无数个如图7-134由此发现，弦切角可分为三类：1圆心在角的外部； 2圆心在角的一边上； 3圆心在角的内部二、观察联想、发现规律1.教师演示电脑或投影片，当弦切角一边通过圆心时，如图7-1351弦切角∠CAB是多少度为什么2∠CAB所夹弧所对的圆周角∠D是多少度为什么3此时，弦切角与它所夹弧所对的圆周角有什么关系边，使弦切角增大或减小，观察它与所夹弧所对圆周角之间的关系，引导学生得出猜想：弦切角等于它所夹的弧对进一步引导学生用数学语言给弦切角下定义：以下各图中的角都不是弦切角图1中，缺少“顶点在圆上”的条件；图2中，缺少“一边和圆相交”的条件；图3中，缺少“一边和圆相切”的条件；图4中，缺少“顶点在圆上”和“一边和圆相切”两个条件学生观察图形，不难发现，此时弦切角与其所夹弧所对的圆周角都是直角的圆周角三、类比联想，尝试论证1首先让学生回忆联想：1圆周角定理的证明采用了什么方法2既然弦切角可由圆周角演变而来，那么上述猜想是否可用类似的方法来证明呢2已经证明了特殊情况，下面考虑圆心在弦切角的外部和内部两种情况电脑或投影演示两种图形，如图7-136组织学生讨论：怎样将一般情况的证明转化为特殊情况在此基础上，教师小结分析如图7-1361，圆心O在∠CAB外，作⊙O的直径AQ，连结PQ，则∠BAC＝∠BAQ-∠1＝∠APQ-∠2＝∠APC如图7-1362，圆心O在∠CAB内，作⊙O的直径AQ，连结PQ，则∠BAC＝∠QAB∠1＝∠QPA∠2＝∠APC回顾证明方法：将情形图7-136都化归至情形图7-135，利用角的合成、对三种情况进行完全归纳、从而证明了上述猜想是正确的，得：弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角板书 3学生看书并考虑：课本上关于定理的证明与我们现在的证明方法有何异同4深化结论练习1 直线AB和圆相切于点P，PC，PD为弦，指出图中所有的弦切角以及它们所夹的弧图7-137 分析完毕，师生共同写出完整的证明过程学生口述，教师板书练习2 如图7-138，DE切⊙O于A，AB，AC是⊙O的弦，若AB＝AC，那么∠DAB和∠EAC是否相等为什么分析，由于ACAB和分别是两个弦切角∠DAB和∠EAC所夹的弧，ACAB和，C，易证∠B＝∠C于是得到∠DAB＝∠EAC由此得出：推论：若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等四、巩固练习、初步应用例1 如图7-139，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，直线CE和⊙O切于点C，AD⊥CE，垂足为D求证：AC平分∠BAD思路一：要证∠BAC＝∠CAD，可证这两角所在的直角三角形相似，于是连结BC，得Rt△ACB，只需证∠ACD＝∠B图7-139 思路二，连结OC，由切线性质，可得OC∥AD，于是有∠1＝∠3，又由于∠1＝∠2，可证得结论图7-140思路三，过C作CF⊥AB，交⊙O于F，连结AF由垂径定理可知∠1＝∠3，又根据弦切角定理有∠2＝∠1，于是∠2＝∠3，进而可证明结论成立图7-141练习题学生思考、口答学生画图，思考、口答组织学生积极思考，可否用前边学过的知识证明此题由学生回答，教师小结此题为课本的练习题，证明方法较多，可组织学生讨论，教师归纳证法在此基础上，可进一步让学生证明CT2＝CB·CA，为下一节课打基础小结本节课的收练习1：已知经过⊙O上的点T的切线和弦AB的延长线相交于点C 求证：错误!∠ATC＝∠TBC②＝CACB•五、归纳小结1教师提出问题，学生回答：1这节课我们主要学习了哪些知识2在学习过程中你体会到哪些重要的数学思想方法2在学生回答的基础上，教师加以小结：1先投影出图形：图7-144弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角2在证明弦切角定理时，我们是从特殊情况入手，通过猜想、分析、证明和归纳，从而证明了弦切角定理通过弦切获AB CT学生用导学案弦切角的性质科目：数学年级：高二备课人：杨雅琦编号：学习重点弦切角定理及其应用是重点．弦切角定理的证明是．学习提纲学习过程：一、自我学习，完成概念1、弦切角定义：2.弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的____________3.下面各图形中的角是弦切角的是（填写正确的序号），并说明理由：二、观察联想、发现规律1当弦切角一边通过圆心时，如左图(1)弦切角∠CAB是多少度为什么(2)∠CAB所夹弧所对的圆周角∠D是多少度为什么3此时，弦切角与它所夹弧所对的圆周角有什么关系边，使弦切角增大或减小，观察它与所夹弧所对圆周角之间的关系，猜想：弦切角是否等于它所夹的弧对的圆周角三、类比联想，尝试论证前面讨论特殊情况，下面考虑圆心在弦切角的外部和内部两种情况讨论：怎样将一般情况的证明转化为特殊情况。

人教版高中选修4-1四弦切角的性质教学设计一、教学目标1.让学生了解四弦切角的定义及其相关概念2.能够运用相应方法计算四弦切角的大小3.能够理解和应用四弦切角的性质，解决相关问题4.培养学生的逻辑思维能力和数学分析能力二、教学内容及步骤安排1. 课前铺垫（10分钟）•提问：在之前的学习中，是否接触过关于三角形的知识？•引入：介绍四弦切角的背景及相关实际应用，激发学生学习的兴趣。

2. 理论介绍（25分钟）•定义四弦切角的概念，讲解相应的图形和术语•介绍四弦切角的计算公式和步骤•通过例题演示如何计算四弦切角的大小3. 练习与巩固（30分钟）•由学生完成一些相应难度的独立或小组习题，老师在课堂上及时辅导授课；•收集学生答案并进行讲解，发现学生在学习中的问题并进行指导。

4. 总结归纳（10分钟）•回顾本节课的重点概念和计算公式；•强调四弦切角的应用以及相关的优秀数学问题。

三、教学方法1.探究式教学法：通过引导学生阐述自己对“四弦切角”的理解，来培养学生推理和判断能力；2.演示法：通过定理的演示、例题的引导等方式来让学生更加形象地理解“四弦切角”的计算方法；3.合作探究法：通过小组讨论和合作解题等方式，促进学生之间的合作和交流，增强学生的团队意识。

四、教学评估1.考试：通过课堂联系、同步的习题以及阶段性测试等方式来考察学生的理论知识及计算方法的掌握情况；2.互动答题：在课堂中提供一些互动答题的机会，让学生了解自己的学习情况并能及时纠正错误；3.作品评比：鼓励学生制作特色作品，如数学拓展题、创意游戏等，提升学生的创造性和运用性。