嘉定区2016年高三数学文科一模试卷

2016年上海市高考文科数学试卷及参考答案与试题解析一、填空题(本大题共14题,每小题4分,共56分).1.(4分)设x∈R,则不等式|x－3|＜1的解集为.2.(4分)设z＝,其中i为虚数单位,则z的虚部等于.3.(4分)已知平行直线l1：2x＋y－1＝0,l2：2x＋y＋1＝0,则l1,l2的距离.4.(4分)某次体检,5位同学的身高(单位：米)分别为1.72,1.78,1.80,1.69,1.76.则这组数据的中位数是(米).5.(4分)若函数f(x)＝4sinx＋acosx的最大值为5,则常数a＝.6.(4分)已知点(3,9)在函数f(x)＝1＋a x的图象上,则f(x)的反函数f－1(x)＝.7.(4分)若x,y满足,则x－2y的最大值为.8.(4分)方程3sinx＝1＋cos2x在区间[0,2π]上的解为.9.(4分)在(－)n的二项式中,所有的二项式系数之和为256,则常数项等于.10.(4分)已知△ABC的三边长分别为3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于.11.(4分)某食堂规定,每份午餐可以在四种水果中任选两种,则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为.12.(4分)如图,已知点O(0,0),A(1,0),B(0,－1),P是曲线y＝上一个动点,则•的取值范围是.13.(4分)设a＞0,b＞0.若关于x,y的方程组无解,则a＋b的取值范围是.14.(4分)无穷数列{an }由k个不同的数组成,Sn为{an}的前n项和,若对任意n∈N*,Sn∈{2,3},则k的最大值为.二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题有且只有一个正确答案,选对得5分,否则一脸得零分).15.(5分)设a∈R,则“a＞1”是“a2＞1”的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件16.(5分)如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E、F分别为BC、BB1的中点,则下列直线中与直线EF相交的是( )A.直线AA1B.直线A1B1C.直线A1D1D.直线B1C117.(5分)设a∈R,b∈[0,2π),若对任意实数x都有sin(3x－)＝sin(ax＋b),则满足条件的有序实数对(a,b)的对数为( )A.1B.2C.3D.418.(5分)设f(x)、g(x)、h(x)是定义域为R的三个函数,对于命题：①若f(x)＋g(x)、f(x)＋h(x)、g(x)＋h(x)均是增函数,则f(x)、g(x)、h(x)均是增函数；②若f(x)＋g(x)、f(x)＋h(x)、g(x)＋h(x)均是以T为周期的函数,则f(x)、g(x)、h(x)均是以T为周期的函数,下列判断正确的是( )A.①和②均为真命题B.①和②均为假命题C.①为真命题,②为假命题D.①为假命题,②为真命题三、简答题：本大题共5题,满分74分19.(12分)将边长为1的正方形AA1O1O(及其内部)绕OO1旋转一周形成圆柱,如图,长为,长为,其中B1与C在平面AA1O1O的同侧.(1)求圆柱的体积与侧面积；(2)求异面直线O1B1与OC所成的角的大小.20.(14分)有一块正方形EFGH,EH所在直线是一条小河,收获的蔬菜可送到F点或河边运走.于是,菜地分别为两个区域S1和S2,其中S1中的蔬菜运到河边较近,S2中的蔬菜运到F点较近,而菜地内S1和S2的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等,现建立平面直角坐标系,其中原点O为EF的中点,点F的坐标为(1,0),如图(1)求菜地内的分界线C的方程；(2)菜农从蔬菜运量估计出S1面积是S2面积的两倍,由此得到S1面积的经验值为.设M是C上纵坐标为1的点,请计算以EH为一边,另一边过点M的矩形的面积,及五边形EOMGH的面积,并判断哪一个更接近于S1面积的“经验值”.21.(14分)双曲线x 2－＝1(b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,直线l 过F 2且与双曲线交于A 、B 两点. (1)若l 的倾斜角为,△F 1AB 是等边三角形,求双曲线的渐近线方程；(2)设b ＝,若l 的斜率存在,且|AB|＝4,求l 的斜率.22.(16分)对于无穷数列{a n }与{b n },记A ＝{x|x ＝a n ,n ∈N *},B ＝{x|x ＝b n ,n ∈N *},若同时满足条件：①{a n },{b n }均单调递增；②A ∩B ＝∅且A ∪B ＝N *,则称{a n }与{b n }是无穷互补数列. (1)若a n ＝2n －1,b n ＝4n －2,判断{a n }与{b n }是否为无穷互补数列,并说明理由； (2)若a n ＝2n 且{a n }与{b n }是无穷互补数列,求数量{b n }的前16项的和；(3)若{a n }与{b n }是无穷互补数列,{a n }为等差数列且a 16＝36,求{a n }与{b n }的通项公式. 23.(18分)已知a ∈R,函数f(x)＝log 2(＋a). (1)当a ＝1时,解不等式f(x)＞1；(2)若关于x 的方程f(x)＋log 2(x 2)＝0的解集中恰有一个元素,求a 的值；(3)设a ＞0,若对任意t ∈[,1],函数f(x)在区间[t,t ＋1]上的最大值与最小值的差不超过1,求a 的取值范围.2016年上海市高考数学试卷(文科) 参考答案与试题解析一、填空题(本大题共14题,每小题4分,共56分).1.(4分)设x ∈R,则不等式|x －3|＜1的解集为 (2,4) .【分析】由含绝对值的性质得－1＜x －3＜1,由此能求出不等式|x －3|＜1的解集. 【解答】解：∵x ∈R,不等式|x －3|＜1, ∴－1＜x －3＜1, 解得2＜x ＜4.∴不等式|x －3|＜1的解集为(2,4). 故答案为：(2,4). 【点评】本题考查含绝对值不等式的解法,是基础题,解题时要认真审题,注意含绝对值不等式的性质的合理运用.2.(4分)设z ＝,其中i 为虚数单位,则z 的虚部等于 －3 . 【分析】利用复数的运算法则即可得出.【解答】解：z ＝＝＝－3i ＋2,则z 的虚部为－3. 故答案为：－3.【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.3.(4分)已知平行直线l 1：2x ＋y －1＝0,l 2：2x ＋y ＋1＝0,则l 1,l 2的距离 .【分析】直接利用平行线之间的距离公式求解即可.【解答】解：平行直线l 1：2x ＋y －1＝0,l 2：2x ＋y ＋1＝0,则l 1,l 2的距离：＝.故答案为：.【点评】本题考查平行线之间的距离公式的应用,考查计算能力.4.(4分)某次体检,5位同学的身高(单位：米)分别为1.72,1.78,1.80,1.69,1.76.则这组数据的中位数是 1.76 (米).【分析】将数据从小到大进行重新排列,根据中位数的定义进行求解即可.【解答】解：将5位同学的身高按照从小到大进行排列为1.69,1.72,1.76,1.78,1.80. 则位于中间的数为1.76,即中位数为1.76, 故答案为：1.76【点评】本题主要考查中位数的求解,根据中位数的定义,将数据从小到大进行排列是解决本题的关键.5.(4分)若函数f(x)＝4sinx ＋acosx 的最大值为5,则常数a ＝ ±3 . 【分析】利用辅助角公式化简函数f(x)的解析式,再利用正弦函数的最大值为5,求得a 的值.【解答】解：由于函数f(x)＝4sinx＋acosx＝sin(x＋θ),其中,cosθ＝,sinθ＝,故f(x)的最大值为＝5,∴a＝±3,故答案为：±3.【点评】本题主要考查辅助角公式,正弦函数的值域,属于基础题.(x－1)(x 6.(4分)已知点(3,9)在函数f(x)＝1＋a x的图象上,则f(x)的反函数f－1(x)＝log2＞1) .【分析】由于点(3,9)在函数f(x)＝1＋a x的图象上,可得9＝1＋a3,解得a＝2.可得f(x)＝1(y－1),(y＞1).把x与y互换即可得出f(x)的反函数f－1(x). ＋2x,由1＋2x＝y,解得x＝log2【解答】解：∵点(3,9)在函数f(x)＝1＋a x的图象上,∴9＝1＋a3,解得a＝2.(y－1),(y＞1).∴f(x)＝1＋2x,由1＋2x＝y,解得x＝log2把x与y互换可得：f(x)的反函数f－1(x)＝log(x－1).2(x－1),(x＞1).故答案为：log2【点评】本题考查了反函数的求法、指数函数与对数函数的互化,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.7.(4分)若x,y满足,则x－2y的最大值为－2 .【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,进行求最值即可.【解答】解：画出可行域(如图),设z＝x－2y⇒y＝x－z,由图可知,当直线l经过点A(0,1)时,z最大,且最大值为z＝0－2×1＝－2.max故答案为：－2.【点评】本题主要考查线性规划的基本应用,利用目标函数的几何意义是解决问题的关键,利用数形结合是解决问题的基本方法.8.(4分)方程3sinx＝1＋cos2x在区间[0,2π]上的解为或.【分析】利用二倍角公式化简方程为正弦函数的形式,然后求解即可.【解答】解：方程3sinx＝1＋cos2x,可得3sinx＝2－2sin2x,即2sin2x＋3sinx－2＝0.可得sinx＝－2,(舍去)sinx＝,x∈[0,2π]解得x＝或.故答案为：或.【点评】本题考查三角方程的解法,恒等变换的应用,考查计算能力.9.(4分)在(－)n的二项式中,所有的二项式系数之和为256,则常数项等于112 . 【分析】根据展开式中所有二项式系数的和等于2n＝256,求得 n＝8.在展开式的通项公式中,令x的幂指数等于0,求得r的值,即可求得展开式中的常数项.【解答】解：∵在(－)n的二项式中,所有的二项式系数之和为256,∴2n＝256,解得n＝8,＝＝,∴(－)8中,Tr＋1∴当＝0,即r＝2时,常数项为T＝(－2)2＝112.3故答案为：112.【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项式展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,二项式系数的性质,属于中档题.10.(4分)已知△ABC的三边长分别为3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于.【分析】可设△ABC的三边分别为a＝3,b＝5,c＝7,运用余弦定理可得cosC,由同角的平方关系可得sinC,再由正弦定理可得该三角形的外接圆半径为,代入计算即可得到所求值. 【解答】解：可设△ABC的三边分别为a＝3,b＝5,c＝7,由余弦定理可得,cosC＝＝＝－,可得sinC＝＝＝,可得该三角形的外接圆半径为＝＝.故答案为：.【点评】本题考查三角形的外接圆的半径的求法,注意运用正弦定理和余弦定理,考查运算能力,属于基础题.11.(4分)某食堂规定,每份午餐可以在四种水果中任选两种,则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为.【分析】利用分步乘法求出两同学总的选法种数,再求出选法相同的选法种数,利用古典概型概率计算公式得答案.【解答】解：甲同学从四种水果中选两种,选法种数为,乙同学的选法种数为,则两同学的选法种数为种.两同学相同的选法种数为.由古典概型概率计算公式可得：甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为.故答案为：.【点评】本题考查古典概型概率计算公式的应用,考查了组合及组合数公式,是基础题. 12.(4分)如图,已知点O(0,0),A(1,0),B(0,－1),P是曲线y＝上一个动点,则•的取值范围是[－1,] .【分析】设出＝(x,y),得到•＝x＋,令x＝cosθ,根据三角函数的性质得到•＝sinθ＋cosθ＝sin(θ＋),从而求出•的范围即可.【解答】解：设＝(x,y),则＝(x,),由A(1,0),B(0,－1),得：＝(1,1),∴•＝x＋,令x＝cosθ,θ∈[0,π],则•＝sinθ＋cosθ＝sin(θ＋),θ∈[0,π],故•的范围是[－,1,],故答案为：[－1,].【点评】本题考查了向量的运算性质,考查三角函数问题,是一道基础题.13.(4分)设a＞0,b＞0.若关于x,y的方程组无解,则a＋b的取值范围是(2,＋∞) .【分析】根据方程组无解可知两直线平行,利用斜率得出a,b的关系,再使用基本不等式得出答案.【解答】解：∵关于x,y的方程组无解,∴直线ax＋y－1＝0与直线x＋by－1＝0平行,∴－a＝－,且.即a＝且b≠1.∵a＞0,b＞0.∴a＋b＝b＋＞2.故答案为：(2,＋∞).【点评】本题考查了直线平行与斜率的关系,基本不等式的应用,属于基础题.14.(4分)无穷数列{an }由k个不同的数组成,Sn为{an}的前n项和,若对任意n∈N*,Sn∈{2,3},则k的最大值为 4 .【分析】对任意n∈N*,Sn∈{2,3},列举出n＝1,2,3,4的情况,归纳可得n＞4后都为0或1或－1,则k的最大个数为4.【解答】解：对任意n∈N*,Sn∈{2,3},可得当n＝1时,a1＝S1＝2或3；若n＝2,由S2∈{2,3},可得数列的前两项为2,0；或2,1；或3,0；或3,－1；若n＝3,由S3∈{2,3},可得数列的前三项为2,0,0；或2,0,1；或2,1,0；或2,1,－1；或3,0,0；或3,0,－1；或3,1,0；或3,1,－1；若n＝4,由S3∈{2,3},可得数列的前四项为2,0,0,0；或2,0,0,1；或2,0,1,0；或2,0,1,－1；或2,1,0,0；或2,1,0,－1；或2,1,－1,0；或2,1,－1,1；或3,0,0,0；或3,0,0,－1；或3,0,－1,0；或3,0,－1,1；或3,－1,0,0；或3,－1,0,1；或3,－1,1,0；或3,－1,1,－1；…即有n＞4后一项都为0或1或－1,则k的最大个数为4,不同的四个数均为2,0,1,－1,或3,0,1,－1.故答案为：4.【点评】本题考查数列与集合的关系,考查分类讨论思想方法,注意运用归纳思想,属于中档题.二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题有且只有一个正确答案,选对得5分,否则一脸得零分).15.(5分)设a∈R,则“a＞1”是“a2＞1”的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【分析】根据不等式的关系,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【解答】解：由a2＞1得a＞1或a＜－1,即“a＞1”是“a2＞1”的充分不必要条件,故选：A.【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,利用不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键,比较基础.16.(5分)如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E、F分别为BC、BB1的中点,则下列直线中与直线EF相交的是( )A.直线AA1B.直线A1B1C.直线A1D1D.直线B1C1【分析】根据异面直线的定义便可判断选项A,B,C的直线都和直线EF异面,而由图形即可看出直线B1C1和直线相交,从而便可得出正确选项.【解答】解：根据异面直线的概念可看出直线AA1,A1B1,A1D1都和直线EF为异面直线；B 1C1和EF在同一平面内,且这两直线不平行；∴直线B1C1和直线EF相交,即选项D正确.故选：D.【点评】考查异面直线的概念及判断,平行直线和相交直线的概念及判断,并熟悉正方体的图形形状.17.(5分)设a∈R,b∈[0,2π),若对任意实数x都有sin(3x－)＝sin(ax＋b),则满足条件的有序实数对(a,b)的对数为( )A.1B.2C.3D.4【分析】根据三角函数恒成立,则对应的图象完全相同.【解答】解：∵对于任意实数x都有sin(3x－)＝sin(ax＋b),则函数的周期相同,若a＝3,此时sin(3x－)＝sin(3x＋b),此时b＝－＋2π＝,若a＝－3,则方程等价为sin(3x－)＝sin(－3x＋b)＝－sin(3x－b)＝sin(3x－b＋π), 则－＝－b＋π,则b＝,综上满足条件的有序实数组(a,b)为(3,),(－3,),共有2组,故选：B.【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质,结合三角函数恒成立,利用三角函数的性质,结合三角函数的诱导公式进行转化是解决本题的关键.18.(5分)设f(x)、g(x)、h(x)是定义域为R的三个函数,对于命题：①若f(x)＋g(x)、f(x)＋h(x)、g(x)＋h(x)均是增函数,则f(x)、g(x)、h(x)均是增函数；②若f(x)＋g(x)、f(x)＋h(x)、g(x)＋h(x)均是以T为周期的函数,则f(x)、g(x)、h(x)均是以T为周期的函数,下列判断正确的是( )A.①和②均为真命题B.①和②均为假命题C.①为真命题,②为假命题D.①为假命题,②为真命题【分析】①举反例说明命题不成立；②根据定义得f(x)＋g(x)＝f(x＋T)＋g(x＋T),f(x)＋h(x)＝f(x＋T)＋h(x＋T),h(x)＋g(x)＝h(x＋T)＋g(x＋T),由此得出：g(x)＝g(x＋T),h(x)＝h(x＋T),f(x)＝f(x＋T),即可判断出真假.【解答】解：对于①,举反例说明：f(x)＝2x,g(x)＝－x,h(x)＝3x；f(x)＋g(x)＝x,f(x)＋h(x)＝5x,g(x)＋h(x)＝2x都是定义域R上的增函数,但g(x)＝－x不是增函数,所以①是假命题；对于②,根据周期函数的定义,f(x)＋g(x)＝f(x＋T)＋g(x＋T),f(x)＋h(x)＝f(x＋T)＋h(x＋T),h(x)＋g(x)＝h(x＋T)＋g(x＋T),前两式作差可得：g(x)－h(x)＝g(x＋T)－h(x＋T),结合第三式可得：g(x)＝g(x＋T),h(x)＝h(x＋T),同理可得：f(x)＝f(x＋T),所以②是真命题.故选：D.【点评】本题考查了函数的单调性与周期性、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题目.三、简答题：本大题共5题,满分74分19.(12分)将边长为1的正方形AA1O1O(及其内部)绕OO1旋转一周形成圆柱,如图,长为,长为,其中B1与C在平面AA1O1O的同侧.(1)求圆柱的体积与侧面积；(2)求异面直线O1B1与OC所成的角的大小.【分析】(1)直接利用圆柱的体积公式,侧面积公式求解即可.(2)设点B1在下底面圆周的射影为B,连结BB1,即可求解所求角的大小.【解答】解：(1)将边长为1的正方形AA1O1O(及其内部)绕OO1旋转一周形成圆柱,圆柱的体积为：π•12•1＝π.侧面积为：2π•1＝2π.(2)设点B1在下底面圆周的射影为B,连结BB1,OB,则OB∥O1B,∴∠AOB＝,异面直线O1B1与OC所成的角的大小就是∠COB,大小为：－＝.【点评】本题考查几何体的体积侧面积的求法,考查两直线所成角的大小的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.20.(14分)有一块正方形EFGH,EH所在直线是一条小河,收获的蔬菜可送到F点或河边运走.于是,菜地分别为两个区域S1和S2,其中S1中的蔬菜运到河边较近,S2中的蔬菜运到F点较近,而菜地内S1和S2的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等,现建立平面直角坐标系,其中原点O为EF的中点,点F的坐标为(1,0),如图(1)求菜地内的分界线C的方程；(2)菜农从蔬菜运量估计出S1面积是S2面积的两倍,由此得到S1面积的经验值为.设M是C上纵坐标为1的点,请计算以EH为一边,另一边过点M的矩形的面积,及五边形EOMGH的面积,并判断哪一个更接近于S1面积的“经验值”.【分析】(1)设分界线上任意一点为(x,y),根据条件建立方程关系进行求解即可.(2)设M(x0,y),则y＝1,分别求出对应矩形面积,五边形FOMGH的面积,进行比较即可.【解答】解：(1)设分界线上任意一点为(x,y),由题意得|x＋1|＝,得y＝2,(0≤x≤1),(2)设M(x0,y),则y＝1,∴x＝＝,∴设所表述的矩形面积为S3,则S3＝2×(＋1)＝2×＝,设五边形EMOGH的面积为S4,则S4＝S3－S△OMP＋S△MGN＝－××1＋＝,S 1－S3＝＝,S4－S1＝－＝＜,∴五边形EMOGH的面积更接近S1的面积.【点评】本题主要考查圆锥曲线的轨迹问题,考查学生的运算能力,综合性较强,难度较大.21.(14分)双曲线x2－＝1(b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2,直线l过F2且与双曲线交于A、B两点.(1)若l的倾斜角为,△F1AB是等边三角形,求双曲线的渐近线方程；(2)设b＝,若l的斜率存在,且|AB|＝4,求l的斜率.【分析】(1)由题意求出A点纵坐标,由△F1AB是等边三角形,可得tan∠AF1F2＝tan＝,从而求得b值,则双曲线的渐近线方程可求；(2)写出直线l的方程y－0＝k(x－2),即y＝kx－2k,与双曲线方程联立,利用弦长公式列式求得k值.【解答】解：(1)若l的倾斜角为,△F1AB是等边三角形,把x＝c＝代入双曲线的方程可得点A的纵坐标为b2,由tan∠AF1F2＝tan＝＝,求得b2＝2,b＝,故双曲线的渐近线方程为y＝±bx＝±x,即双曲线的渐近线方程为y＝±x.(2)设b＝,则双曲线为 x2－＝1,F2(2,0),若l的斜率存在,设l的斜率为k,则l的方程为y－0＝k(x－2),即y＝kx－2k,联立,可得(3－k2)x2＋4k2x－4k2－3＝0,由直线与双曲线有两个交点,则3－k2≠0,即k.△＝36(1＋k2)＞0.x 1＋x2＝,x1•x2＝.∵|AB|＝•|x1－x2|＝•＝•＝4,化简可得,5k4＋42k2－27＝0,解得k2＝, 求得k＝.∴l 的斜率为.【点评】本题考查直线与圆锥曲线位置关系的应用,考查了双曲线的简单性质,考查弦长公式的应用,体现了“设而不求”的解题思想方法,是中档题.22.(16分)对于无穷数列{a n }与{b n },记A ＝{x|x ＝a n ,n ∈N *},B ＝{x|x ＝b n ,n ∈N *},若同时满足条件：①{a n },{b n }均单调递增；②A ∩B ＝∅且A ∪B ＝N *,则称{a n }与{b n }是无穷互补数列. (1)若a n ＝2n －1,b n ＝4n －2,判断{a n }与{b n }是否为无穷互补数列,并说明理由； (2)若a n ＝2n 且{a n }与{b n }是无穷互补数列,求数量{b n }的前16项的和；(3)若{a n }与{b n }是无穷互补数列,{a n }为等差数列且a 16＝36,求{a n }与{b n }的通项公式. 【分析】(1){a n }与{b n }不是无穷互补数列.由4∉A,4∉B,4∉A ∪B ＝N *,即可判断；(2)由a n ＝2n ,可得a 4＝16,a 5＝32,再由新定义可得b 16＝16＋4＝20,运用等差数列的求和公式,计算即可得到所求和；(3)运用等差数列的通项公式,结合首项大于等于1,可得d ＝1或2,讨论d ＝1,2求得通项公式,结合新定义,即可得到所求数列的通项公式. 【解答】解：(1){a n }与{b n }不是无穷互补数列. 理由：由a n ＝2n －1,b n ＝4n －2,可得4∉A,4∉B,即有4∉A ∪B ＝N *,即有{a n }与{b n }不是无穷互补数列； (2)由a n ＝2n ,可得a 4＝16,a 5＝32,由{a n }与{b n }是无穷互补数列,可得b 16＝16＋4＝20, 即有数列{b n }的前16项的和为(1＋2＋3＋…＋20)－(2＋4＋8＋16)＝×20－30＝180；(3)设{a n }为公差为d(d 为正整数)的等差数列且a 16＝36,则a 1＋15d ＝36, 由a 1＝36－15d ≥1,可得d ＝1或2,若d ＝1,则a 1＝21,a n ＝n ＋20,b n ＝n(1≤n ≤20), 与{a n }与{b n }是无穷互补数列矛盾,舍去； 若d ＝2,则a 1＝6,a n ＝2n ＋4,b n ＝.综上可得,a n ＝2n ＋4,b n ＝.【点评】本题考查新定义的理解和运用,考查等差数列的通项公式和求和公式的运用,考查运算和推理能力,属于中档题.23.(18分)已知a ∈R,函数f(x)＝log 2(＋a). (1)当a ＝1时,解不等式f(x)＞1；(2)若关于x 的方程f(x)＋log 2(x 2)＝0的解集中恰有一个元素,求a 的值；(3)设a ＞0,若对任意t ∈[,1],函数f(x)在区间[t,t ＋1]上的最大值与最小值的差不超过1,求a 的取值范围.【分析】(1)当a ＝1时,不等式f(x)＞1化为：＞1,因此2,解出并且验证即可得出.(2)方程f(x)＋log2(x2)＝0即log2(＋a)＋log2(x2)＝0,(＋a)x2＝1,化为：ax2＋x－1＝0,对a分类讨论解出即可得出.(3)a＞0,对任意t∈[,1],函数f(x)在区间[t,t＋1]上单调递减,由题意可得－≤1,因此≤2,化为：a≥＝g(t),t∈[,1],利用导数研究函数的单调性即可得出.【解答】解：(1)当a＝1时,不等式f(x)＞1化为：＞1,∴2,化为：,解得0＜x＜1,经过验证满足条件,因此不等式的解集为：(0,1).(2)方程f(x)＋log2(x2)＝0即log2(＋a)＋log2(x2)＝0,∴(＋a)x2＝1,化为：ax2＋x－1＝0,若a＝0,化为x－1＝0,解得x＝1,经过验证满足：关于x的方程f(x)＋log2(x2)＝0的解集中恰有一个元素1.若a≠0,令△＝1＋4a＝0,解得a＝,解得x＝2.经过验证满足：关于x的方程f(x)＋log2(x2)＝0的解集中恰有一个元素1.综上可得：a＝0或－.(3)a＞0,对任意t∈[,1],函数f(x)在区间[t,t＋1]上单调递减,∴－≤1,∴≤2,化为：a≥＝g(t),t∈[,1],g′(t)＝＝＝≤＜0,∴g(t)在t∈[,1]上单调递减,∴t＝时,g(t)取得最大值,＝.∴.∴a的取值范围是.【点评】本题考查了对数函数的运算法则单调性、不等式的解法、利用导数研究函数的单调性极值与最值,考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力,属于难题.。

2016年上海市嘉定区高考数学一模试卷（理科）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．1．（4分）＝．2．（4分）设集合A＝{x|x2﹣2x＞0，x∈R}，，则A∩B ＝．3．（4分）若函数f（x）＝a x（a＞0且a≠1）的反函数的图象过点（3，﹣1），则a＝．4．（4分）已知一组数据6，7，8，9，m的平均数是8，则这组数据的方差是．5．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为棱A1B1的中点，则异面直线AM 与B1C所成的角的大小为（结果用反三角函数值表示）．6．（4分）若圆锥的底面周长为2π，侧面积也为2π，则该圆锥的体积为．7．（4分）已知，则cos（30°+2α）＝．8．（4分）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S值是．9．（4分）过点P（1，2）的直线与圆x2+y2＝4相切，且与直线ax﹣y+1＝0垂直，则实数a的值为．10．（4分）甲、乙、丙三人相互传球，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者将球等可能地传给另外两人中的任何一人．经过3次传球后，球仍在甲手中的概率是．11．（4分）已知直角梯形ABCD，AD∥BC，∠BAD＝90°．AD＝2，BC＝1，P 是腰AB上的动点，则的最小值为．12．（4分）已知n∈N*，若，则n＝．13．（4分）对一切实数x，令[x]为不大于x的最大整数，则函数f（x）＝[x]称为取整函数．若，n∈N*，S n为数列{a n}的前n项和，则＝．14．（4分）对于函数y＝f（x），若存在定义域D内某个区间[a，b]，使得y＝f （x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，则称函数y＝f（x）在定义域D上封闭．如果函数（k≠0）在R上封闭，那么实数k的取值范围是．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）“函数y＝sin（x+φ）为偶函数”是“φ＝”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件16．（5分）下列四个命题：①任意两条直线都可以确定一个平面；②若两个平面有3个不同的公共点，则这两个平面重合；③直线a，b，c，若a与b共面，b与c共面，则a与c共面；④若直线l上有一点在平面α外，则l在平面α外．其中错误命题的个数是（）A．1B．2C．3D．417．（5分）已知圆M过定点（2，0），圆心M在抛物线y2＝4x上运动，若y轴截圆M所得的弦为AB，则|AB|等于（）A．4B．3C．2D．118．（5分）已知数列{a n}的通项公式为，则数列{a n}（）A．有最大项，没有最小项B．有最小项，没有最大项C．既有最大项又有最小项D．既没有最大项也没有最小项三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）如图①，有一个长方体形状的敞口玻璃容器，底面是边长为20cm 的正方形，高为30cm，内有20cm深的溶液．现将此容器倾斜一定角度α（图②），且倾斜时底面的一条棱始终在桌面上（图①、②均为容器的纵截面）．（1）要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，角α的最大值是多少；（2）现需要倒出不少于3000cm3的溶液，当α＝60°时，能实现要求吗？请说明理由．20．（14分）已知x∈R，设，，记函数．（1）求函数f（x）取最小值时x的取值范围；（2）设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（C）＝2，，求△ABC的面积S的最大值．21．（14分）设函数f（x）＝k•a x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）是奇函数．（1）求常数k的值；（2）若，且函数g（x）＝a2x﹣a﹣2x﹣2mf（x）在区间[1，+∞）上的最小值为﹣2，求实数m的值．22．（16分）在平面直角坐标系xOy内，动点P到定点F（﹣1，0）的距离与P 到定直线x＝﹣4的距离之比为．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）若轨迹C上的动点N到定点M（m，0）（0＜m＜2）的距离的最小值为1，求m的值．（3）设点A、B是轨迹C上两个动点，直线OA、OB与轨迹C的另一交点分别为A1、B1，且直线OA、OB的斜率之积等于，问四边形ABA1B1的面积S 是否为定值？请说明理由．23．（18分）设复数z n＝x n+i•y n，其中x n y n∈R，n∈N*，i为虚数单位，z n+1＝（1+i）•z n，z1＝3+4i，复数z n在复平面上对应的点为Z n．（1）求复数z2，z3，z4的值；（2）是否存在正整数n使得∥？若存在，求出所有满足条件的n；若不存在，请说明理由；（3）求数列{x n•y n}的前102项之和．2016年上海市嘉定区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．1．（4分）＝．【解答】解：＝＝．故答案为：．2．（4分）设集合A＝{x|x2﹣2x＞0，x∈R}，，则A∩B ＝{x|﹣1≤x＜0，x∈R}（或[﹣1，0））．【解答】解：集合A＝{x|x2﹣2x＞0，x∈R}＝{x|x＜0或x＞2，x∈R}，＝{x|﹣1≤x＜1，x∈R}，∴A∩B＝{x|﹣1≤x＜0，x∈R}（或[﹣1，0））．故答案为：{x|﹣1≤x＜0，x∈R}（或[﹣1，0））．3．（4分）若函数f（x）＝a x（a＞0且a≠1）的反函数的图象过点（3，﹣1），则a＝．【解答】解：∵函数f（x）＝a x（a＞0且a≠1）的反函数的图象过点（3，﹣1），∴3＝a﹣1，解得a＝．故答案为：．4．（4分）已知一组数据6，7，8，9，m的平均数是8，则这组数据的方差是2．【解答】解：∵一组数据6，7，8，9，m的平均数是8，∴，解得m＝10，∴这组数据的方差S2＝[（6﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]＝2．故答案为：2．5．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为棱A1B1的中点，则异面直线AM与B1C所成的角的大小为arccos（结果用反三角函数值表示）．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为2，则A（2，0，0），M（2，1，2），B1（2，2，2），C（0，2，0），＝（0，1，2），＝（﹣2，0，2），设异面直线AM与B1C所成的角为θ，cosθ＝＝＝．∴θ＝．∴异面直线AM与B1C所成的角为arccos．故答案为：．6．（4分）若圆锥的底面周长为2π，侧面积也为2π，则该圆锥的体积为．【解答】解：∵圆锥的底面周长为2π，∴圆锥的底面半径r＝1，设圆锥母线为l，则πrl＝2π，∴l＝2，∴圆锥的高h＝＝．∴圆锥的体积V＝πr2h＝．故答案为：．7．（4分）已知，则cos（30°+2α）＝．【解答】解：∵，∴cos75°cosα+sin75°sinα＝cos（75°﹣α）＝，cos（30°+2α）＝cos[180°﹣2（75°﹣α）]＝﹣cos[2（75°﹣α）]＝﹣[2cos2（75°﹣α）﹣1]＝﹣[2×﹣1]＝．故答案为：．8．（4分）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S值是．【解答】解：模拟执行程序，可得k＝1，S＝0满足条件k≤2015，S＝，k＝2满足条件k≤2015，S＝+，k＝3…满足条件k≤2015，S＝++…+，k＝2015满足条件k≤2015，S＝++…++，k＝2016不满足条件k≤2015，退出循环，输出S的值．由于S＝++…++＝1﹣﹣…+＝1﹣＝．故答案为：．9．（4分）过点P（1，2）的直线与圆x2+y2＝4相切，且与直线ax﹣y+1＝0垂直，则实数a的值为．【解答】解：圆x2+y2＝4的圆心为原点O（0，0），半径等于2，显然点P（1，2）在圆的外部．过点P能做2条圆的切线，设切线的斜率为k，则切线方程为y﹣2＝k（x﹣1），即kx﹣y+2﹣k＝0，根据圆心O到kx﹣y+2﹣k＝0的距离等于半径2，可得＝2，求得k＝0，或k＝﹣．当k＝0时，过点P（1，2）的直线斜率为零，故与之垂直的直线ax﹣y+1＝0的斜率不存在；当k＝﹣时，过点P（1，2）的直线斜率为﹣，故与之垂直的直线ax﹣y+1＝0的斜率为，故答案为：．10．（4分）甲、乙、丙三人相互传球，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者将球等可能地传给另外两人中的任何一人．经过3次传球后，球仍在甲手中的概率是．【解答】解：用甲→乙→丙→甲表示一种传球方法所有传球方法共有：甲→乙→甲→乙；甲→乙→甲→丙；甲→乙→丙→甲；甲→乙→丙→乙；甲→丙→甲→乙；甲→丙→甲→丙；甲→丙→乙→甲；甲→丙→乙→丙；则共有8种传球方法．第3次球恰好传回给甲的有两种情况，∴经过3次传球后，球仍在甲手中的概率是p＝．故答案为：．11．（4分）已知直角梯形ABCD，AD∥BC，∠BAD＝90°．AD＝2，BC＝1，P 是腰AB上的动点，则的最小值为3．【解答】解：如图，以直线AD，AB分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（0，1），C（1，1），D（2，0）设P（0，b）（0≤b≤1）则＝（1，1﹣b），＝（2，﹣b），∴+＝（3，1﹣2b），∴＝≥3，当且仅当b＝时取等号，∴的最小值为3，故答案为：3．12．（4分）已知n∈N*，若，则n＝4．【解答】解：∵n∈N*，若，则•2+•22+•23+…+•2n﹣1+•2n＝40•2，即（1+2）n﹣1＝80，∴n＝4，故答案为：4．13．（4分）对一切实数x，令[x]为不大于x的最大整数，则函数f（x）＝[x]称为取整函数．若，n∈N*，S n为数列{a n}的前n项和，则＝100．【解答】解：＝，n∈N*，当n＝1，2，…，9时，a n＝0；当n＝10，11，12，…，19时，a n＝1；…，∴S2009＝0+1×10+2×10+…+199×10+200×10＝10×＝201000，则＝100．故答案为：100．14．（4分）对于函数y＝f（x），若存在定义域D内某个区间[a，b]，使得y＝f （x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，则称函数y＝f（x）在定义域D上封闭．如果函数（k≠0）在R上封闭，那么实数k的取值范围是（1，+∞）∪（﹣∞，﹣1）．【解答】解：根据题意知方程至少有两个不同实数根；即至少有两个实数根；∴；∴k＝1+|x|＞1；由＝﹣x至少有两个不同实数根，同理可得k＜﹣1．∴实数k的取值范围为（1，+∞）∪（﹣∞，﹣1）．故答案为：（1，+∞）∪（﹣∞，﹣1）．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）“函数y＝sin（x+φ）为偶函数”是“φ＝”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若φ＝时，y＝sin（x+φ）＝cos x为偶函数；若y＝sin（x+φ）为偶函数，则φ＝+kπ，k∈Z；∴“函数y＝sin（x+φ）为偶函数”是“φ＝”的必要不充分条件，故选：B．16．（5分）下列四个命题：①任意两条直线都可以确定一个平面；②若两个平面有3个不同的公共点，则这两个平面重合；③直线a，b，c，若a与b共面，b与c共面，则a与c共面；④若直线l上有一点在平面α外，则l在平面α外．其中错误命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：在①中，两条异面直线不能确定一个平面，故①错误；在②中，若两个平面有3个不共线的公共点，则这两个平面重合，若两个平面有3个共线的公共点，则这两个平面相交，故②错误；在③中，直线a，b，c，若a与b共面，b与c共面，则a与c不一定共面，如四面体S﹣ABC中，SA与AB共面，AB与BC共面，但SA与BC异面，故③错误；在④中，若直线l上有一点在平面α外，则由直线与平面的位置关系得l在平面α外，故④正确．故选：C．17．（5分）已知圆M过定点（2，0），圆心M在抛物线y2＝4x上运动，若y轴截圆M所得的弦为AB，则|AB|等于（）A．4B．3C．2D．1【解答】解：如图，圆心M在抛物线y2＝4x上；∴设，r＝；∴圆M的方程为：；令x＝0，；∴；∴y＝y0±2；∴|AB|＝y0+2﹣（y0﹣2）＝4．故选：A．18．（5分）已知数列{a n}的通项公式为，则数列{a n}（）A．有最大项，没有最小项B．有最小项，没有最大项C．既有最大项又有最小项D．既没有最大项也没有最小项【解答】解：令，则t是区间（0，1]内的值，而＝，所以当n＝1，即t＝1时，a n取最大值，使最接近的n的值为数列{a n}中的最小项，所以该数列既有最大项又有最小项．故选：C．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）如图①，有一个长方体形状的敞口玻璃容器，底面是边长为20cm 的正方形，高为30cm，内有20cm深的溶液．现将此容器倾斜一定角度α（图②），且倾斜时底面的一条棱始终在桌面上（图①、②均为容器的纵截面）．（1）要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，角α的最大值是多少；（2）现需要倒出不少于3000cm3的溶液，当α＝60°时，能实现要求吗？请说明理由．【解答】解：（1）根据题意，画出图形，如图a所示，过C作CF∥BP，交AD所在直线于F，在Rt△CDF中，∠FCD＝α，CD＝20cm，DF＝20tanα，且点F在线段AD上，AF＝30﹣20tanα，此时容器内能容纳的溶液量为：S梯形ABCF•20＝•20＝（30﹣20tanα+30）•20•10＝2000（6﹣2tanα）（cm3）；而容器中原有溶液量为20×20×20＝8000（cm3），令2000（6﹣2tanα）≥8000，解得tanα≤1，所以α≤45°，即α的最大角为45°时，溶液不会溢出；（2）如图b所示，当α＝60°时，过C作CF∥BP，交AB所在直线于F，在Rt△CBF中，BC＝30cm，∠BCF＝30°，BF＝10cm，∴点F在线段AB上，故溶液纵截面为Rt△CBF，＝BC•BF＝150cm2，∵S△ABF容器内溶液量为150×20＝3000cm3，倒出的溶液量为（8000﹣3000）cm3＜3000cm3，∴不能实现要求．20．（14分）已知x∈R，设，，记函数．（1）求函数f（x）取最小值时x的取值范围；（2）设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（C）＝2，，求△ABC的面积S的最大值．【解答】解：（1）＝．当f（x）取最小值时，，，k∈Z，所以，所求x的取值集合是．（2）由f（C）＝2，得，因为0＜C＜π，所以，所以，．在△ABC中，由余弦定理c2＝a2+b2﹣2ab cos C，得3＝a2+b2﹣ab≥ab，即ab≤3，所以△ABC的面积，因此△ABC的面积S的最大值为．21．（14分）设函数f（x）＝k•a x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）是奇函数．（1）求常数k的值；（2）若，且函数g（x）＝a2x﹣a﹣2x﹣2mf（x）在区间[1，+∞）上的最小值为﹣2，求实数m的值．【解答】（1）解法一：函数f（x）＝k•a x﹣a﹣x的定义域为R，f（x）是奇函数，所以f（0）＝k﹣1＝0，即有k＝1．当k＝1时，f（x）＝a x﹣a﹣x，f（﹣x）＝a﹣x﹣a x＝﹣f（x），则f（x）是奇函数，故所求k的值为1；解法二：函数f（x）＝k•a x﹣a﹣x的定义域为R，由题意，对任意x∈R，f（﹣x）＝﹣f（x），即k•a﹣x﹣a x＝a﹣x﹣k•a x，（k﹣1）（a x+a﹣x）＝0，因为a x+a﹣x＞0，所以，k＝1．（2）由，得，解得a＝3或（舍）．所以g（x）＝32x﹣3﹣2x﹣2m（3x﹣3﹣x），令t＝3x﹣3﹣x，则t是关于x的增函数，，g（x）＝h（t）＝t2﹣2mt+2＝（t﹣m）2+2﹣m2，当时，则当时，，解得；当时，则当t＝m时，，m＝±2（舍去）．综上，．22．（16分）在平面直角坐标系xOy内，动点P到定点F（﹣1，0）的距离与P 到定直线x＝﹣4的距离之比为．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）若轨迹C上的动点N到定点M（m，0）（0＜m＜2）的距离的最小值为1，求m的值．（3）设点A、B是轨迹C上两个动点，直线OA、OB与轨迹C的另一交点分别为A1、B1，且直线OA、OB的斜率之积等于，问四边形ABA1B1的面积S 是否为定值？请说明理由．【解答】解：（1）设P（x，y），∵动点P到定点F（﹣1，0）的距离与P到定直线x＝﹣4的距离之比为，∴由题意，，…（2分）化简得3x2+4y2＝12，…（3分）∴动点P的轨迹C的方程为．…（4分）（2）设N（x，y），则＝，﹣2≤x≤2．…（2分）①当0＜4m≤2，即时，当x＝4m时，|MN|2取最小值3（1﹣m2）＝1，解得，，此时，故舍去．…（4分）②当4m＞2，即时，当x＝2时，|MN|2取最小值m2﹣4m+4＝1，解得m＝1，或m＝3（舍）．…（6分）综上，m＝1．（3）解法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），则由，得，（1分），，∵点A、B在椭圆C上，∴，，∴＝，化简得．…（2分）①当x1＝x2时，则四边形ABA1B1为矩形，y2＝﹣y1，则，由，得，解得，，S＝|AB|•|A1B|＝4|x1||y1|＝．…（3分）②当x 1≠x2时，直线AB的方向向量为，直线AB的方程为（y2﹣y1）x﹣（x2﹣x1）y+x2y1﹣x1y2＝0，原点O到直线AB的距离为∴△AOB的面积，∴＝，∴．∴四边形ABA1B1的面积为定值．…（6分）解法二：设A（x1，y1），B（x2，y2），则A1（﹣x1，﹣y1），B1（﹣x2，﹣y2），由，得，…（1分）∵点A、B在椭圆C上，所以，，∴＝，化简得．…（2分）直线OA的方程为y1x﹣x1y＝0，点B到直线OA的距离，△ABA1的面积，…（3分）根据椭圆的对称性，四边形ABA 1B1的面积＝2|x1y2﹣x2y1|，…（4分）∴＝，∴．∴四边形ABA1B1的面积为定值．…（6分）解法三：设A（x1，y1），B（x2，y2），则A1（﹣x1，﹣y1），B1（﹣x2，﹣y2）由，得，…（1分）∵点A、B在椭圆C上，所以，，∴＝，化简得．…（2分）△ABA1的面积＝|x1y2﹣x2y1|，…（3分）∴＝，∴．∴四边形ABA1B1的面积为定值．…（6分）23．（18分）设复数z n＝x n+i•y n，其中x n y n∈R，n∈N*，i为虚数单位，z n+1＝（1+i）•z n，z1＝3+4i，复数z n在复平面上对应的点为Z n．（1）求复数z2，z3，z4的值；（2）是否存在正整数n使得∥？若存在，求出所有满足条件的n；若不存在，请说明理由；（3）求数列{x n•y n}的前102项之和．【解答】本题（18分），第1小题（4分），第2小题（6分），第3小题（8分）．解：（1）z2＝（1+i）（3+4i）＝﹣1+7i，z3＝﹣8+6i，z4＝﹣14﹣2i．…（4分）（算错一个扣（1分），即算对一个得（2分），算对两个得3分）（2）若∥，则存在实数λ，使得，故z n＝λ•z1，即（x n，y n）＝λ（x1，y1），…（3分）又z n+1＝（1+i）z n，故，即（1+i）n﹣1＝λ为实数，…（5分）故n﹣1为4的倍数，即n﹣1＝4k，n＝4k+1，k∈N．…（6分）（3）因为，故x n+4＝﹣4x n，y n+4＝﹣4y n，…（2分）所以x n+4y n+4＝16x n y n，…（3分）又x1y1＝12，x2y2＝﹣7，x3y3＝﹣48，x4y4＝28，x1y1+x2y2+x3y3+…+x100y100＝（x1y1+x2y2+x3y3+x4y4）+（x5y5+x6y6+x7y7+x8y8）+…+（x97y97+x98y98+x99y99+x100y100）＝，…（6分）而，，…（7分）所以数列{x n y n}的前102项之和为1﹣2100+12×2100﹣7×2100＝1+2102．…（8分）。

上海市长宁、嘉定区2017届高三一模数学试卷2016.12.21一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 设集合{||2|1,}A x x x R =-<∈，集合B Z =，则AB = 2. 函数sin()3y x πω=-（0ω>）的最小正周期是π，则ω=3. 设i 为虚数单位，在复平面上，复数23(2)i -对应的点到原点的距离为 4. 若函数2()log (1)f x x a =++的反函数的图像经过点(4,1)，则实数a =5. 已知(3)na b +展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则n =6. 甲、乙两人从5门不同的选修课中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的 选法有 种；7. 若圆锥的侧面展开图是半径为2cm ，圆心角为270°的扇形，则这个圆锥的体积为 3cm8. 若数列{}n a 23n n =+（*n N ∈），则 1221lim ()231n n a a a n n →∞++⋅⋅⋅+=+9. 如图，在ABC ∆中，45B ∠=︒，D 是BC 边上的一点，5AD =，7AC =，3DC =，则AB 的长为10. 有以下命题：① 若函数()f x 既是奇函数又是偶函数，则()f x 的值域为{0}；② 若函数()f x 是偶函数，则(||)()f x f x =；③ 若函数()f x 在其定义域内不是单调函数，则()f x 不存在反函数；④ 若函数()f x 存在反函数1()f x -，且1()f x -与()f x 不完全相同，则()f x 与1()f x -图 像的公共点必在直线y x =上；其中真命题的序号是 （写出所有真命题的序号）11. 设向量(1,2)OA =-，(,1)OB a =-，(,0)OC b =-，其中O 为坐标原点，0a >，0b >，若A 、B 、C 三点共线，则12a b+的最小值为 12. 如图，已知正三棱柱的底面边长为2cm ，高为5cm ，一质点自A 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达1A点的最短路线的长为 cm二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. “2x <”是“24x <”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件14. 若无穷等差数列{}n a 的首项10a <，公差0d >，{}n a 的前n 项和为n S ，则以下结论 中一定正确的是（ ）A. n S 单调递增B. n S 单调递减C. n S 有最小值D. n S 有最大值15. 给出下列命题：① 存在实数α使3sin cos 2αα+=；② 直线2x π=-是函数sin y x = 图像的一条对称轴；③ cos(cos )y x =（x R ∈）的值域是[cos1,1]；④ 若α、β都是第 一象限角，且αβ>，则tan tan αβ>；其中正确命题的题号为（ ）A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④16. 如果对一切实数x 、y ，不等式29cos sin 4y x a x y -≥-恒成立，则实数a 的取值范围 是（ ）A. 4(,]3-∞B. [3,)+∞C. [-D. [3,3]-三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，已知AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，AD 与平面BCD 所成的角为30°，且2AB BC ==；（1）求三棱锥A BCD -的体积；（2）设M 为BD 的中点，求异面直线AD 与CM所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；18. 在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且28sin 2cos 272B C A +-=； （1）求角A 的大小；（2）若a =3b c +=，求b 和c 的值；19. 某地要建造一个边长为2（单位：km ）的正方形市民休闲公园OABC ，将其中的区域 ODC 开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点D 的坐标为(1,2)，曲线OD 是函 数2y ax =图像的一部分，过边OA 上一点M 在区域OABD 内作一次函数y kx b =+（0k >）的图像，与线段DB 交于点N （点N 不与点D 重合），且线段MN 与曲线OD 有 且只有一个公共点P ，四边形MABN 为绿化风景区； （1）求证：28k b =-； （2）设点P 的横坐标为t ，① 用t 表示M 、N 两点坐标；② 将四边形MABN 的面积S 表示成关于t 的函数()S S t =，并求S 的最大值；20. 已知函数()9233x xf x a =-⋅+；（1）若1a =，[0,1]x ∈，求()f x 的值域；（2）当[1,1]x ∈-时，求()f x 的最小值()h a ；（3）是否存在实数m 、n ，同时满足下列条件：①3n m >>；②当()h a 的定义域为[,]m n 时，其值域为22[,]m n ，若存在，求出m 、n 的值，若不存在，请说明理由；21. 已知无穷数列{}n a 的各项都是正数，其前n 项和为n S ，且满足：1a a =， 11n n n rS a a +=-，其中1a ≠，常数r N ∈；（1）求证：2n n a a +-是一个定值；（2）若数列{}n a 是一个周期数列（存在正整数T ，使得对任意*n N ∈，都有n T n a a +=成立，则称{}n a 为周期数列，T 为它的一个周期），求该数列的最小周期；（3）若数列{}n a 是各项均为有理数的等差数列，123n n c -=⋅（*n N ∈），问：数列{}n c 中的所有项是否都是数列{}n a 中的项？若是，请说明理由，若不是，请举出反例；参考答案一. 填空题1. {2}2. 23. 354. 35. 66. 607.8. 2 9. 10. ①② 11. 8 12. 13 二. 选择题13. B 14. C 15. B 16. D三. 解答题17.（1）3；（2）arccos 6； 18.（1）3π；（2）1b =，2c =；或2b =，1c =；19.（1）28k b =-；（2）①(,0)2t M ，1(,2)22t N t +；②14()42S t t=-+≤ 20.（1）[2,6]；（2）当13a ≤，282()93h a a =-；当133a <<，2()3h a a =-； 当3a ≥，()126h a a =-；（3）不存在；21.（1）2n n a a r +-=；（2）2T =；（3）不是；。

2015学年嘉定区高三年级第一次质量调研数学试卷（理）考生注意：1．答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码．2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分． 3．本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．1．=+-+∞→221lim22n n n n ____________． 2．设集合},02{2R ∈>-=x x x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≤-+=R x x x xB ,011，则=B A __________．3．若函数xa x f =)(（0>a 且1≠a ）的反函数的图像过点)1,3(-，则=a _________．4．已知一组数据6，7，8，9，m 的平均数是8，则这组数据的方差是_________． 5．在正方体1111D C B A ABCD -中，M 为棱11B A 的中点，则异面直线AM 与C B 1所成的 角的大小为__________________（结果用反三角函数值表示）．6．若圆锥的底面周长为π2，侧面积也为π2，则该圆锥的体积为______________． 7．已知31cos 75sin sin 75cos =︒-︒αα，则=+︒)230cos(α_________．8．某程序框图如图所示，则该程序运行后 输出的S 值是_____________．9．过点)2,1(P 的直线与圆422=+y x 相切，且与直线01=+-y ax 垂直，则实数a 的值 为___________．10．甲、乙、丙三人相互传球，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者将球等可能地传给另外两人中的任何一人．经过3次传球后，球仍在甲手中的概率是__________．11．已知直角梯形ABCD ，AD ∥BC ，︒=∠90BAD ．2=AD ，1=BC ，P 是腰AB上的动点，则||PD PC +的最小值为__________．12．已知*N ∈n ，若4022221123221=+++++---n n n n n n n C C C C ，则=n ________．开始1←k ，0←S2015≤k)1(1++←k k S S1+←k k输出S结束是否13．对一切实数x ，令][x 为不大于x 的最大整数，则函数][)(x x f =称为取整函数．若⎪⎭⎫⎝⎛=10n f a n ，*N ∈n ，n S 为数列}{n a 的前n 项和，则=20102009S __________．14．对于函数)(x f y =，若存在定义域D 内某个区间],[b a ，使得)(x f y =在],[b a 上的值域也是],[b a ，则称函数)(x f y =在定义域D 上封闭．如果函数||1)(x kxx f +=（0≠k ）在R 上封闭，那么实数k 的取值范围是______________．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分．15．“函数)sin()(ϕ+=x x f 为偶函数”是“2πϕ=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件16．下列四个命题：①任意两条直线都可以确定一个平面；②若两个平面有3个不同的公共点，则这两个平面重合；③直线a ，b ，c ，若a 与b 共面，b 与c 共面，则a 与c 共面； ④若直线l 上有一点在平面α外，则l 在平面α外． 其中错误命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．417．已知圆M 过定点)0,2(，圆心M 在抛物线x y 42=上运动，若y 轴截圆M 所得的弦为AB ，则||AB 等于（ ）A ．4B ．3C ．2D ．118．已知数列}{n a 的通项公式为113294--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛=n n n a ，则数列}{n a （ ）A ．有最大项，没有最小项B ．有最小项，没有最大项C ．既有最大项又有最小项D ．既没有最大项也没有最小项三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．如图①，有一个长方体形状的敞口玻璃容器，底面是边长为20cm 的正方形，高为30cm ，内有20cm 深的溶液．现将此容器倾斜一定角度α（图②），且倾斜时底面的一条棱始终在桌面上（图①、②均为容器的纵截面）．（1）要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，角α的最大值是多少；（2）现需要倒出不少于30003cm 的溶液，当︒=60α时，能实现要求吗？请说明理由．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．已知R ∈x ，设)cos sin ,cos 2(x x x m += ，)cos sin ,sin 3(x x x n -= ，记函数n m x f⋅=)(． （1）求函数)(x f 取最小值时x 的取值范围；（2）设△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2)(=C f ，3=c ，求△ABC 的面积S 的最大值．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．设函数xxa a k x f --⋅=)(（0>a 且1≠a ）是奇函数．（1）求常数k 的值； （2）若38)1(=f ，且函数)(2)(22x mf a a xg xx -+=-在区间),1[∞+上的最小值为2-，求实数m 的值．22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．在平面直角坐标系xOy 内，动点P 到定点)0,1(-F 的距离与P 到定直线4-=x 的距离之比为21． （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）若轨迹C 上的动点N 到定点)0,(m M （20<<m ）的距离的最小值为1，求m 的值．（3）设点A 、B 是轨迹C 上两个动点，直线OA 、OB 与轨迹C 的另一交点分别为1A 、1B ，且直线OA 、OB 的斜率之积等于43-，问四边形11B ABA 的面积S 是否为定值？请说明理由．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．α ① ②设复数n n n y i x z ⋅+=，其中n x R ∈n y ，*N ∈n ，i 为虚数单位，n n z i z ⋅+=+)1(1，i z 431+=，复数n z 在复平面上对应的点为n Z ．（1）求复数2z ，3z ，4z 的值；（2）是否存在正整数n 使得n OZ ∥1OZ ？若存在，求出所有满足条件的n ；若不存在，请说明理由； （3）求数列}{n n y x ⋅的前102项之和．2015学年嘉定区高三年级第一次质量调研 数学试卷（理）参考答案及评分标准一．填空题（每题4分，满分56分） 1．212．},01{R ∈<≤-x x x （或)0,1[-） 3．31 4．25．510arccos 6．π33 7．978．201620159．43 10．4111．3 12．4 13．100 14．),1()1,(∞+--∞二．选择题（每题5分，满分20分）15．B 16．C 17．A 18．C三．解答题（共5题，满分74分）答案中的分数为分步累积分数19．本题12分，第1小题6分，第2小题6分．（1）如图③，当倾斜至上液面经过点B 时，容器内溶液恰好不会溢出，α ︒60 AB C D A B CD③ ④E F此时α最大． …………………………………………………………………（2分） 解法一：此时，梯形ABED 的面积等于400202=（2cm ）， ………………（3分） 因为α=∠CBE ，所以αtan 2030-=DE ，AD AB DE S ABED ⋅+=)(21， 即40020)tan 2060(21=⋅-⋅α，解得1tan =α，︒=45α． ………………（5分） 所以，要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，α的最大值是︒45． ……………（6分） 解法二：此时，△BEC 的面积等于图①中没有液体部分的面积，即200=∆BEC S （2cm ）， ……………………………………………………（3分）因为α=∠CBE ，所以αtan 21212⋅⋅=⋅⋅=∆BC CE BC S BEC ，即200tan 200=α， 解得1tan =α，︒=45α． …………………………………………（5分）所以，要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，α的最大值是︒45． …………（6分） （2）如图④，当︒=60α时，设上液面为BF ，因为︒<=∠6023arctan CBD ， 所以点F 在线段AD 上， ………………………………………………………（1分） 此时︒=∠30ABF ，31030tan =︒⋅=AB AF ，=∆ABF S 315021=⋅⋅AF AB （2cm ）， ………………………………………（3分） 剩余溶液的体积为33000203150=⨯（3cm ）， …………………………（4分）由题意，原来溶液的体积为80003cm ，因为3000330008000<-，所以倒出的溶液不满30003cm ． …………（5分）所以，要倒出不少于30003cm 的溶液，当︒=60α时，不能实现要求．……（6分）20．本题14分，第1小题7分，第2小题7分．（1）x x x x x x n m x f 2cos 2sin 3cos sin cos sin 32)(22-=-+=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=62sin 2πx ． ………………………………………………………（3分）当)(x f 取最小值时，162sin -=⎪⎭⎫⎝⎛-πx ，2262πππ-=-k x ，Z ∈k ，……（6分） 所以，所求x 的取值集合是⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k x x ,6ππ． …………………（7分） （2）由2)(=C f ，得162sin =⎪⎭⎫⎝⎛-πC ， …………………………（1分） 因为π<<C 0，所以611626πππ<-<-C ，所以262ππ=-C ，3π=C ． ……………………………………（3分）在△ABC 中，由余弦定理C ab b a c cos 2222-+=， ………………（4分） 得ab ab b a ≥-+=223，即3≤ab ， …………………………（5分） 所以△ABC 的面积43323321sin 21=⨯⨯≤=C ab S ， ……………（6分） 因此△ABC 的面积S 的最大值为433． ……………………（7分） 21．本题14分，第1小题6分，第2小题8分． （1）解法一：函数xxaa k x f --⋅=)(的定义域为R ，因为)(x f 是奇函数，所以01)0(=-=k f ，1=k ． …………………………………………………………（3分）当1=k 时，xxaa x f --=)(，)()(x f a ax f x x-=-=--，)(x f 是奇函数．所以，所求k 的值为1． ………………………………………………………（6分） 解法二：函数xxaa k x f --⋅=)(的定义域为R ，由题意，对任意R ∈x ，)()(x f x f -=-， ……………………………………（2分） 即x x x xa k a a ak ⋅-=-⋅--，0))(1(=+--x x a a k ， …………………………（4分）因为0>+-xxaa ，所以，1=k ． ………………………………………………（6分）（2）由38)1(=f ，得381=-a a ，解得3=a 或31-=a （舍）． …………（2分）所以)33(233)(22x x x xm x g -----=，令x x t --=33，则t 是关于x 的增函数，38313=-≥t ，2222)(22)()(m m t mt t t h x g -+-=+-==，……………（2分） 当38<m 时，则当38=t 时，2238238)(2min -=+⨯-⎪⎭⎫⎝⎛=m x g ，解得1225=m ； ………………………………………………………………（5分） 当38≥m 时，则当m t =时，22)(2min -=-=m x g ，2±=m （舍去）．……（8分） 综上，1225=m ．（本行不写不扣分，每讨论一种情况正确得3分）22．本题16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分．（1）设),(y x P ，由题意，21|4|)1(22=+++x y x ， ……………………………（2分）化简得124322=+y x ， ………………（3分）所以，动点P 的轨迹C 的方程为13422=+y x ． ………………………………（4分） （2）设),(y x N ，则3241413)()(||2222222++-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=+-=m mx x x m x y m x MN)1(3)4(4122m m x -+-=，22≤≤-x ． ………………………………（2分） ①当240≤<m ，即210≤<m 时，当m x 4=时，2||MN 取最小值1)1(32=-m ，解得322=m ，36=m ，此时2364>=x ，故舍去． …………………（4分） ②当24>m ，即221<<m 时，当2=x 时，2||MN 取最小值1442=+-m m ， 解得1=m ，或3=m （舍）． …………………………………………………（6分） 综上，1=m ．（3）解法一：设),(11y x A ，),(22y x B ，则由43-=⋅OB OA k k ，得432121-=x x y y ，（1分）221221)()(||y y x x AB -+-=，因为点A 、B 在椭圆C 上，所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4132121x y ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4132222x y ， 所以，22212221169y y x x =)4)(4(92221x x --=，化简得42221=+x x ． …………（2分）①当21x x =时，则四边形11B ABA 为矩形，12y y -=，则432121=x y ，由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4132121x y ，得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=413432121x x ，解得221=x ，2321=y ， ||||4||||111y x B A AB S =⋅=34=． ……………………………………（3分） ②当21x x ≠时，直线AB 的方向向量为),(1212y y x x d --=，直线AB 的方程为0)()(21121212=-+---y x y x y x x x y y ，原点O 到直线AB 的距离为2122121221)()(||y y x x y x y x d -+--=所以，△AOB 的面积||21||211221y x y x d AB S AOB -=⋅⋅=∆， 根据椭圆的对称性，四边形11B ABA 的面积AOB S S ∆=4||21221y x y x -=，……（4分） 所以，)2(4)(4212221212221212212y x y y x x y x y x y x S +-=-=48)(124132341342221212222212221=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x x x x x x x ，所以34=S ．解法二：设),(11y x A ，),(22y x B ，则),(111y x A --，),(221y x B --， 由43-=⋅OB OA k k ，得432121-=x x y y ， …………………………………………（1分）因为点A 、B 在椭圆C 上，所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4132121x y ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4132222x y ， 所以，22212221169y y x x =)4)(4(92221x x --=，化简得42221=+x x ． …………（2分） 直线OA 的方程为011=-y x x y ，点B 到直线OA 的距离21211221||yx y x y x d +-=，△1ABA 的面积||||21122111y x y x d AA S ABA -=⋅⋅=∆， ……………………（3分） 根据椭圆的对称性，四边形11B ABA 的面积12ABA S S ∆=||21221y x y x -=，……（4分） 所以， )2(4)(4212221212221212212y x y y x x y x y x y x S +-=-=48)(124132341342221212222212221=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x x x x x x x ，所以34=S ．所以，四边形11B ABA 的面积为定值34． ………………………………（6分） 解法三：设),(11y x A ，),(22y x B ，则),(111y x A --，),(221y x B -- 由43-=⋅OB OA k k ，得432121-=x x y y ， …………………………………………（1分）因为点A 、B 在椭圆C 上，所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4132121x y ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4132222x y ， 所以，22212221169y y x x =)4)(4(92221x x --=，化简得42221=+x x ． …………（2分）△1ABA 的面积111211112111y x y x y x S ABA --=∆||1221y x y x -=， ……………………（3分） 根据椭圆的对称性，四边形11B ABA 的面积12ABA S S ∆=||21221y x y x -=，……（4分） 所以，所以，)2(4)(4212221212221212212y x y y x x y x y x y x S +-=-=48)(124132341342221212222212221=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x x x x x x x ，所以34=S ．23．本题18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．（1）i i i z 71)43)(1(2+-=++=，i z 683+-=，i z 2144--=．…………（4分） （算错一个扣1分，即算对一个得2分，算对两个得3分）（2）若n OZ ∥1OZ ，则存在实数λ，使得1n OZ OZ λ=，故1z z n ⋅=λ， 即),(),(11y x y x n n λ=， ……………………（3分）又n n z i z )1(1+=+，故11)1(z i z n n -+=，即λ=+-1)1(n i 为实数， ………………（5分）故1-n 为4的倍数，即k n 41=-，14+=k n ，N ∈k ． ……………………（6分）（3）因为n n n z z i z 4)1(44-=+=+，故n n x x 44-=+，n n y y 44-=+， …………（2分）所以n n n n y x y x 1644=++， ……………………………………………………………（3分） 又1211=y x ，722-=y x ，4833-=y x ，2844=y x ，)()(8877665544332211100100332211y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x +++++++=++++ )(100100999998989797y x y x y x y x +++++1002521161161)2848712(-=--⋅+--=， …………………………………………（6分）而100112510110121216⨯==y x y x ，10022251021022716⨯-==y x y x ， ………………（7分）所以数列}{n n y x 的前102项之和为102100100100212721221+=⨯-⨯+-．………（8分）。

闵行区2015学年第一学期高三年级质量调研考试数 学 试 卷（文科）（满分150分，时间120分钟）考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、准考证号、姓名等填写清楚．2．请按照题号在答题纸各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．本试卷共有23道试题．一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格 12，则UA = .3．方程44．函数f = .56．若一圆锥的底面半径为3，体积是12π，则该圆锥的侧面积等于 .7．已知中，43AB i j =+，34AC i j =-+，其中i j 、是基本单位向量，则ABC △8．在门学科中选择3门学科参加等级考试.小明同学决定在生物、政治、历史9．若n S 是等差数列n a 的前项和，且3232，则2n n n →∞ .10．若函数1()2x f x -=，且()f x 在[,)m +∞上单调递增，则实数m 的最小值等于 .11．若点P 、Q 均在椭圆2222:11x y a a Γ+=-(1)a >上运动，12F F 、是椭圆Γ的左、右焦点，则122PF PF PQ +-的最大值为 .12．已知函数cos 04()25 4x x f x x x π⎧≤≤⎪=⎨⎪-+>⎩，，，若实数a b c 、、互不相等，且满足)()()(c f b f a f ==，则a b c ++的取值范围是 .13．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法,其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为b a 和d c（*,,,a b c d ∈N ）,则b da c ++是x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道 3.14159π=⋅⋅⋅，若令31491015<π<，则第一次用“调日法”后得165是π的更为精确的过剩近似值，即3116105<π<，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为 . 14．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对任意n ∈*N ，都有1(1)32nn n n S a n =-++-，则数列{2n a - 15．若,a . (A) (C) 16．设(f .(A)(C)17．△A 的范围是（(A)⎛⎝18．函数]，图像如图2所示.{}(())0A x f g x ==,{}(())0B x g f x ==,则A B 中元素的个数为（ ）.(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4图2图1三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19.（本题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱⊥1AA 底面ABC ，12AA AB ==，1BC =,BAC π∠=6，D 为棱1AA 中点，证明异面直线11B C 与CD 所成角为π2，并求三棱柱111ABC A B C -的体积．到2l 的距离为10千米，点P 到2l 的距离为2千米.以1l 、2l 分别为x y 、轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy .（1）求曲线段MPN 的函数关系式，并指出其定义域； （2）求直线AB 的方程，并求出公路AB 的长度（结果精确到1米）.CABDA 1B 1C 122．（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2) (3)小题满分各6分．已知椭圆Γ的中心在坐标原点，且经过点3(1,)2，它的一个焦点与抛物线2:4y x E =的焦点重合，斜率为k 的直线l 交抛物线E 于A B 、两点，交椭圆Γ于C D、两点．（1）求椭圆Γ的方程；（2）直线l 经过点()1,0F ，设点(1,)P k -，且PAB △的面积为k 的值； （3）21k 成236分，第(3)r 项{}n a 为“（1（2（3）2n +个数组成一个公差为n d 的等差数列，求n d ，并探究在数列{n d }中是否存在三项m d ，k d ，p d （其中,,m k p 成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，说明理由.闵行区2015学年第一学期高三年级质量调研考试数学试卷参考答案和评分标准一、（第1题至第14题）1．2； 2．)0,(-∞； 3．2log 3x =； 4．π； 5．)2,0(； 6．15π； 7．252； 8．10； 9．5； 10．1； 11．2a ； 12．理(8. 二、（第三、（第[证明]或由AB =即BC ⊥又BC ∴BC ∴⊥三棱柱12分20. （本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分8分，第（2）小题满分6分．[解]（1）方法一: ()2cos 3αβ-=，1)(cos 2)22cos(2--=-∴βαβα=91- …3分3=4απ，即91)223cos(-=-βπ， (6)分912sin =∴β． …………………………………8分方法二: ()2cos 3αβ-=，3=4απ，即32sin 22cos 22=+-ββ， ……………3分322cos sin =-∴ββ，两边平方得，982sin 1=-β ……………………………6分 912sin =∴β． …………………………………8分（2）设直线，由24,y x⎨=⎩得l与抛物线E有两个交点，0k≠，216(1)0k∆=+>，则224(1)kABk+== (6)分(1,)P k-到l的距离d=，又PABS=△2214(1)2kk+∴⋅=8分22433k k =+，故k = ………………………10分（3）(理科)()()1122,,,C x y D x y ，点C 关于y 轴的对称点为11(,)Q x y -，则直线211121:()y y CD y y x x x x --=--，设0x =得121211212121()x y y x y x ym y x x x x --=-=--12分直线211121:()y y QD y y x x x x --=++，设0x =得121211212121()x y y x y x yn y x x x x -+=+=++ (14)分22222112x y x y -2211x y ，2222x y 223223 (⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩==2223．（本题满分18分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分．[解]（1） {}n a 为“6关联数列”，∴{}n a 前6项为等差数列，从第5项起为等比数列,4,51516+=+=∴a a a a 且256=a a ， 即24511=++a a ，解得31-=a (2)分54,42,5n n n n a n --≤⎧∴=⎨≥⎩（或554,54,62,62,7n n n n n n n a n n --⎧-≤-≤⎧==⎨⎨≥≥⎩⎩）． ……………………4分 （2）由（1）得2417,42227,5n n n n n S n -⎧-≤⎪=⎨⎪-≥⎩（或22441717,5,6222227,627,7n n n n n n n n n S n n --⎧⎧-≤-≤⎪⎪==⎨⎨⎪⎪-≥-≥⎩⎩） (6)分{}:3,n a -{}n n a S ，证明：6n a ，8分当6n ≥},m ，2n n a S t =10分（3）（理科）{11r r a -∴=，12rr a a -=2121112111,12,12,222,13256,13n n n n n n n n n a S n n --⎧⎧-≤-≤⎪⎪∴==⎨⎨≥⎪⎪-≥⎩⎩……………………………12分①当12k m <≤时，由221211212222k k m m -=-得(k )(k )21(k )m m m +-=-21,,12,k m k m m k +=≤>，129m k =⎧∴⎨=⎩或1110m k =⎧⎨=⎩． ②当12m k >>时，由1111256256k m ---=-得m k =，不存在 (14)分③当12,12k m ≤>时，由21112125622m k k --=-，102221112m k k -=-+ 当1k =时，10*292,m m N -=∉；当2k =时，10*274,m m N -=∉； 当3k =当5k =当7k =当9k =当11k =16分18分n d ，422n n -=假设在数列{}n d 中存在三项,,m k p d d d （其中,,m k p 成等差数列）成等比数列，则：()2k m p d d d =，即：2555222111k m p k m p ---⎛⎫=⋅ ⎪+++⎝⎭，()()()21010222111k m p m p k -+-=+⋅++（*） …15分因为,,m k p 成等差数列，所以2m p k +=，（*）式可以化简为)1)(1()1(2++=+p m k ， 即：2k mp =，故k m p ==，这与题设矛盾．高三年级质量调研考试文科数学试卷 第11页共11页 所以在数列{}n d 中不存在三项,,m k p d d d （其中,,m k p 成等差数列）成等比数列． (18)分（或：因为下标成等差数列的等差数列一定还是成等差数列，而又要求成等比数列，则必为非零常数列，而521n n d n -=+显然不是非零的常数，所以不存在．）。

试卷第1页，总9页 绝密★启用前 上海市嘉定区2016届高考语文一模试卷（解析版) 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明试卷第2页，总9页 第II 卷（非选择题) 请点击修改第II 卷的文字说明 一、现代文阅读 阅读下文，完成各题。

常人岂可“无法” ■徐建融 ①20世纪前期的中国画坛，画家画的“写实”与文人画的“写意”之争是一个重大的事件，迄今学术界对此仍多有评论，大抵以倡“写实”、斥“写意”为非，指其“全面否定文人画以至中国画”，而以坚守“写意”、摒弃“写实”为是，以为这才能坚决捍卫并弘扬文人画也即中国画。

近读9月25日“笔会”躲斋先生《鲁迅与文人画》一文，提出鲁迅先生既否定文人写意画，又允肯陈师曾、齐白石的文人写意画——这一视点，可以提供我们对当年这场论争以新的认识。

②“存形莫善于画”。

造型，是绘画之所以为绘画的本质属性，中国画也不可能是例外。

而所谓造型，即以客观为对象的物我交融，以形似为前提的形神兼备的形象塑造，所以，它的基础是客观形似。

这就是所谓“写实”，其实质决非真实的再现复制，而是典型地拉开与真实的距离。

唐宋时期的中国画，我们通常称作画家画，便是在这上面用功夫，是谓“画之本法”。

要想成为画家，必须过造型这一关。

当然，要想成为优秀的画家，光凭过客观形似的造型关还是不够的，还必须在此基础上达到形神兼备、物我交融。

而一旦成了优秀的画家，他对于客观形似的造型反而会有所不逮。

③明清时期勃兴的文人画也即“写意”画，它改变了中国画的造型本质，而以笔墨为中心，对于形象的塑造，它注重的是主观和神似，而不再是客观和形似，这样的形象，区别于“写实”，又称“意象”。

文人画家则又称“利家”，以区别于专业画家的“行家”，他的用功，主要也不在“画之本法”的造型，而在“画外功夫”的诗文、书法。

但问题是，过不了造型关，却拥有极高“画外功夫”的偏才实在少之又少。

上海市嘉定区高考数学一模试卷及答案(2)上海市高考数学一模试卷答案一、填空题(共12小题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分)1.设集合A={x||x﹣2|<1，x∈R}，集合B=Z，则A∩B={2} .【考点】交集及其运算.【分析】利用交集定义求解.【解答】解：|x﹣2|<1，即﹣1集合B=Z，则A∩B={2}，故答案为：{2}【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意定义法的合理运用.2.函数y=sin(ωx﹣)(ω>0)的最小正周期是π，则ω= 2 .【考点】正弦函数的图象.【分析】根据三角函数的周期性及其求法即可求值.【解答】解：∵y=sin(ωx﹣)(ω>0)，∴T= =π，∴ω=2.故答案是：2.【点评】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，属于基础题.3.设i为虚数单位，在复平面上，复数对应的点到原点的距离为.【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】利用复数的运算法则、几何意义、两点之间的距离公式即可得出.【解答】解：复数 = = = 对应的点到原点的距离= = .故答案为： .【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.4.若函数f(x)=log2(x+1)+a的反函数的图象经过点(4，1)，则实数a= 3 .【考点】反函数.【分析】由题意可得函数f(x)=log2(x+1)+a过(1，4)，代入求得a的值.【解答】解：函数f(x)=log2(x+1)+a的反函数的图象经过点(4，1)，即函数f(x)=log2(x+1)+a的图象经过点(1，4)，∴4=log2(1+1)+a∴4=1+a，a=3.故答案为：3.【点评】本题考查了互为反函数的两个函数之间的关系与应用问题，属于基础题.5.已知(a+3b)n展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则n= 6 .【考点】二项式系数的性质.【分析】令二项式中的a=b=1得到展开式中的各项系数的和，根据二项式系数和公式得到各项二项式系数的和2n，据已知列出方程求出n的值.【解答】解：令二项式中的a=b=1得到展开式中的各项系数的和4n又各项二项式系数的和为2n据题意得，解得n=6.故答案：6【点评】求二项展开式的系数和问题一般通过赋值求出系数和;二项式系数和为2n.属于基础题.6.甲、乙两人从5门不同的选修课中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有60 种.【考点】排列、组合及简单计数问题.【分析】间接法：①先求所有两人各选修2门的种数，②再求两人所选两门都相同与都不同的种数，作差可得答案.【解答】解：根据题意，采用间接法：①由题意可得，所有两人各选修2门的种数C52C52=100，②两人所选两门都相同的有为C52=10种，都不同的种数为C52C32=30，故只恰好有1门相同的选法有100﹣10﹣30=60种.故答案为60.【点评】本题考查组合公式的运用，解题时注意事件之间的关系，选用间接法是解决本题的关键，属中档题.7.若圆锥的侧面展开图是半径为2cm，圆心角为270°的扇形，则这个圆锥的体积为cm3.【考点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台).【分析】利用圆锥的侧面展开图中扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得底面半径，进而求出圆锥的高，代入圆锥体积公式，可得答案.【解答】解：设此圆锥的底面半径为r，由题意，得：2πr= π×2，解得r= .故圆锥的高h= = ，∴圆锥的体积V= πr2h= cm3.故答案为： .【点评】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.本题就是把扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解.8.若数列{an}的所有项都是正数，且+ +…+ =n2+3n(n∈N*)，则 ( )= 2 .【考点】数列的求和;极限及其运算.【分析】利用数列递推关系可得an，再利用等差数列的求和公式、极限的运算性质即可得出.【解答】解：∵ + +…+ =n2+3n(n∈N*)，∴n=1时， =4，解得a1=16.n≥2时，且+ +…+ =(n﹣1)2+3(n﹣1)，可得：=2n+2，∴an=4(n+1)2.=4(n+1).∴ ( )= =2.故答案为：2.【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的求和公式、极限运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.9.如图，在△ABC中，∠B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB的长为.【考点】余弦定理.【分析】先根据余弦定理求出∠ADC的值，即可得到∠ADB的值，最后根据正弦定理可得答案.【解答】解：在△ADC中，AD=5，AC=7，DC=3，由余弦定理得cos∠ADC= =﹣，∴∠ADC=120°，∠ADB=60°在△ABD中，AD=5，∠B=45°，∠ADB=60°，由正弦定理得，∴AB=故答案为： .【点评】本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，在解决问题的过程中要灵活运用正弦定理和余弦定理.属基础题.10.有以下命题：①若函数f(x)既是奇函数又是偶函数，则f(x)的值域为{0};②若函数f(x)是偶函数，则f(|x|)=f(x);③若函数f(x)在其定义域内不是单调函数，则f(x)不存在反函数;④若函数f(x)存在反函数f﹣1(x)，且f﹣1(x)与f(x)不完全相同，则f(x)与f﹣1(x)图象的公共点必在直线y=x上;其中真命题的序号是①②.(写出所有真命题的序号)【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】①函数f(x)既是奇函数又是偶函数，则f(x)=0.②利用偶函数的定义和性质判断.③利用单调函数的定义进行判断.④利用反函数的性质进行判断.【解答】解：①若函数f(x)既是奇函数又是偶函数，则f(x)=0，为常数函数，所以f(x)的值域是{0}，所以①正确.②若函数为偶函数，则f(﹣x)=f(x)，所以f(|x|)=f(x)成立，所以②正确.③因为函数f(x)= 在定义域上不单调，但函数f(x)存在反函数，所以③错误.④原函数图象与其反函数图象的交点关于直线y=x对称，但不一定在直线y=x上，比如函数y=﹣与其反函数y=x2﹣1(x≤0)的交点坐标有(﹣1，0)，(0，1)，显然交点不在直线y=x上，所以④错误.故答案为：①②.【点评】本题主要考查函数的有关性质的判定和应用，要求熟练掌握相应的函数的性质，综合性较强.11.设向量 =(1，﹣2)， =(a，﹣1)， =(﹣b，0)，其中O为坐标原点，a>0，b>0，若A、B、C三点共线，则 + 的最小值为8 .【考点】基本不等式.【分析】A、B、C三点共线，则=λ ，化简可得2a+b=1.根据 + =( + )(2a+b)，利用基本不等式求得它的最小值【解答】解：向量 =(1，﹣2)， =(a，﹣1)， =(﹣b，0)，其中O 为坐标原点，a>0，b>0，∴ = ﹣ =(a﹣1，1)， = ﹣ =(﹣b﹣1，2)，∵A、B、C三点共线，∴ =λ ，∴ ，解得2a+b=1，∴ + =( + )(2a+b)=2+2+ + ≥4+2 =8，当且仅当a= ，b= ，取等号，故 + 的最小值为8，故答案为：8【点评】本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，基本不等式的应用，属于中档题.12.如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为13 cm.【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题.【分析】将三棱柱展开两次如图，不难发现最短距离是六个矩形对角线的连线，正好相当于绕三棱柱转两次的最短路径.【解答】解：将正三棱柱ABC﹣A1B1C1沿侧棱展开，再拼接一次，其侧面展开图如图所示，在展开图中，最短距离是六个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值.由已知求得矩形的长等于6×2=12，宽等于5，由勾股定理d= =13故答案为：13.【点评】本题考查棱柱的结构特征，空间想象能力，几何体的展开与折叠，体现了转化(空间问题转化为平面问题，化曲为直)的思想方法.二、选择题(共4小题，每小题5分，满分20分)13.“x<2”是“x2<4”的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】先求出x2<4的充要条件，结合集合的包含关系判断即可.【解答】解：由x2<4，解得：﹣2故x<2是x2<4的必要不充分条件，故选：B.【点评】本题考察了充分必要条件，考察集合的包含关系，是一道基础题.14.若无穷等差数列{an}的首项a1<0，公差d>0，{an}的前n项和为Sn，则以下结论中一定正确的是( )A.Sn单调递增B.Sn单调递减C.Sn有最小值D.Sn有最大值【考点】等差数列的前n项和.【分析】Sn=na1+ d= n2+ n，利用二次函数的单调性即可判断出结论.【解答】解：Sn=na1+ d= n2+ n，∵ >0，∴Sn有最小值.故选：C.【点评】本题考查了等差数列的求和公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.15.给出下列命题：(1)存在实数α使 .(2)直线是函数y=sinx图象的一条对称轴.(3)y=cos(cosx)(x∈R)的值域是[cos1，1].(4)若α，β都是第一象限角，且α>β，则tanα>tanβ.其中正确命题的题号为( )A.(1)(2)B.(2)(3)C.(3)(4)D.(1)(4)【考点】正弦函数的定义域和值域;两角和与差的正弦函数;正弦函数的对称性;余弦函数的定义域和值域.【分析】(1)利用辅助角公式将可判断(1);(2)根据函数y=sinx图象的对称轴方程可判断(2);(3)根据余弦函数的性质可求出y=cos(cosx)(x∈R)的最大值与最小值，从而可判断(3)的正误;(4)用特值法令α，β都是第一象限角，且α>β，可判断(4).【解答】解：(1)∵ ，∴(1)错误;(2)∵y=sinx图象的对称轴方程为，k=﹣1，，∴(2)正确;(3)根据余弦函数的性质可得y=cos(cosx)的最大值为ymax=cos0=1，ymin=cos(cos1)，其值域是[cos1，1]，(3)正确;(4)不妨令，满足α，β都是第一象限角，且α>β，但tanα故选B.【点评】本题考查正弦函数与余弦函数、正切函数的性质，着重考查学生综合运用三角函数的性质分析问题、解决问题的能力，属于中档题.16.如果对一切实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立，则实数a的取值范围是( )A.(﹣∞， ]B.[3，+∞)C.[﹣2 ，2 ]D.[﹣3，3]【考点】函数恒成立问题.【分析】将不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立转化为+ ≥asinx+1﹣sin2x恒成立，构造函数f(y)= + ，利用基本不等式可求得f(y)min=3，于是问题转化为asinx﹣sin2x≤2恒成立.通过对sinx>0、sinx<0、sinx=0三类讨论，可求得对应情况下的实数a的取值范围，最后取其交集即可得到答案.【解答】解：∀实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立⇔ + ≥asinx+1﹣sin2x恒成立，令f(y)= + ，则asinx+1﹣sin2x≤f(y)min，当y>0时，f(y)= + ≥2 =3(当且仅当y=6时取“=”)，f(y)min=3;当y<0时，f(y)= + ≤﹣2 =﹣3(当且仅当y=﹣6时取“=”)，f(y)max=﹣3，f(y)min不存在;综上所述，f(y)min=3.所以，asinx+1﹣sin2x≤3，即asinx﹣sin2x≤2恒成立.①若sinx>0，a≤sinx+ 恒成立，令sinx=t，则0由于g′(t)=1﹣ <0，所以，g(t)=t+ 在区间(0，1]上单调递减，因此，g(t)min=g(1)=3，所以a≤3;②若sinx<0，则a≥sinx+ 恒成立，同理可得a≥﹣3;③若sinx=0，0≤2恒成立，故a∈R;综合①②③，﹣3≤a≤3.故选：D.【点评】本题考查恒成立问题，将不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立转化为+ ≥asinx+1﹣sin2x恒成立是基础，令f(y)= + ，求得f(y)min=3是关键，也是难点，考查等价转化思想、分类讨论思想的综合运用，属于难题.三、解答题(共5小题，满分76分)17.(14分)(2017•上海一模)如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AD与平面BCD所成的角为30°，且AB=BC=2;(1)求三棱锥A﹣BCD的体积;(2)设M为BD的中点，求异面直线AD与CM所成角的大小(结果用反三角函数值表示).【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;异面直线及其所成的角.【分析】(1)由AB⊥平面BCD，得CD⊥平面ABC，由此能求出三棱锥A﹣BCD的体积.(2)以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出异面直线AD与CM所成角的大小.【解答】解：(1)如图，因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥CD，又BC⊥CD，所以CD⊥平面ABC，因为AB⊥平面BCD，AD与平面BCD所成的角为30°，故∠ADB=30°，由AB=BC=2，得AD=4，AC=2 ，∴BD= =2 ，CD= =2 ，则VA﹣BCD= = == .(2)以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则A(0，2，2)，D(2 ，0，0)，C(0，0，0)，B(0，2，0)，M( )，=(2 ，﹣2，﹣2)， =( )，设异面直线AD与CM所成角为θ，则cosθ= = = .θ=arccos .∴异面直线AD与CM所成角的大小为arccos .【点评】本题考查了直线和平面所成角的计算，考查了利用等积法求点到面的距离，变换椎体的顶点，利用其体积相等求空间中点到面的距离是较有效的方法，此题是中档题.18.(14分)(2017•上海一模)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且8sin2 .(I)求角A的大小;(II) 若a= ，b+c=3，求b和c的值.【考点】余弦定理;解三角形.【分析】(I)在△ABC中有B+C=π﹣A，由条件可得：4[1﹣cos(B+C)]﹣4cos2A+2=7，解方程求得cosA 的值，即可得到A的值.(II)由余弦定理及a= ，b+c=3，解方程组求得b和c的值.【解答】解：(I)在△ABC中有B+C=π﹣A，由条件可得：4[1﹣cos(B+C)]﹣4cos2A+2=7，(1分)又∵cos(B+C)=﹣cosA，∴4cos2A﹣4cosA+1=0. (4分)解得，∴ .(6分)(II)由 .(8分)又 . (10分)由 .(12分)【点评】本题主要考查余弦定理，二倍角公式及诱导公式的应用，属于中档题.19.(14分)(2017•上海一模)某地要建造一个边长为2(单位：km)的正方形市民休闲公园OABC，将其中的区域ODC开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点D的坐标为(1，2)，曲线OD是函数y=ax2图象的一部分，对边OA上一点M在区域OABD内作一次函数y=kx+b(k>0)的图象，与线段DB交于点N(点N不与点D重合)，且线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，四边形MABN为绿化风景区：(1)求证：b=﹣ ;(2)设点P的横坐标为t，①用t表示M、N两点坐标;②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S=S(t)，并求S的最大值.【考点】函数模型的选择与应用.【分析】(1)根据函数y=ax2过点D，求出解析式y=2x2;由，消去y得△=0即可证明b=﹣ ;(2)写出点P的坐标(t，2t2)，代入①直线MN的方程，用t表示出直线方程为y=4tx﹣2t2，令y=0，求出M的坐标;令y=2求出N的坐标;②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S(t)，利用基本不等式求出S的最大值.【解答】(1)证明：函数y=ax2过点D(1，2)，代入计算得a=2，∴y=2x2;由，消去y得2x2﹣kx﹣b=0，由线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，得△=(﹣k)2﹣4×2×b=0，解得b=﹣ ;(2)解：设点P的横坐标为t，则P(t，2t2);①直线MN的方程为y=kx+b，即y=kx﹣过点P，∴kt﹣ =2t2，解得k=4t;y=4tx﹣2t2令y=0，解得x= ，∴M( ，0);令y=2，解得x= + ，∴N( + ，2);②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数为S=S(t)=2×2﹣×2×[ +( + )]=4﹣(t+ );由t+ ≥2• = ，当且仅当t= ，即t= 时“=”成立，所以S≤4﹣2 ;即S的最大值是4﹣ .【点评】本题考查了函数模型的应用问题，也考查了阅读理解能力，是综合性题目.20.(16分)(2017•上海一模)已知函数f(x)=9x﹣2a•3x+3：(1)若a=1，x∈[0，1]时，求f(x)的值域;(2)当x∈[﹣1，1]时，求f(x)的最小值h(a);(3)是否存在实数m、n，同时满足下列条件：①n>m>3;②当h(a)的定义域为[m，n]时，其值域为[m2，n2]，若存在，求出m、n的值，若不存在，请说明理由.【考点】函数的最值及其几何意义;函数的值域.【分析】(1)设t=3x，则φ(t)=t2﹣2at+3=(t﹣a)2+3﹣a2，φ(t)的对称轴为t=a，当a=1时，即可求出f(x)的值域;(2)由函数φ(t)的对称轴为t=a，分类讨论当a< 时，当≤a≤3时，当a>3时，求出最小值，则h(a)的表达式可求;(3)假设满足题意的m，n存在，函数h(a)在(3，+∞)上是减函数，求出h(a)的定义域，值域，然后列出不等式组，求解与已知矛盾，即可得到结论.【解答】解：(1)∵函数f(x)=9x﹣2a•3x+3，设t=3x，t∈[1，3]，则φ(t)=t2﹣2at+3=(t﹣a)2+3﹣a2，对称轴为t=a.当a=1时，φ(t)=(t﹣1)2+2在[1，3]递增，∴φ(t)∈[φ(1)，φ(3)]，∴函数f(x)的值域是：[2，6];(Ⅱ)∵函数φ(t)的对称轴为t=a，当x∈[﹣1，1]时，t∈[ ，3]，当a< 时，ymin=h(a)=φ( )= ﹣ ;当≤a≤3时，ymin=h(a)=φ(a)=3﹣a2;当a>3时，ymin=h(a)=φ(3)=12﹣6a.故h(a)= ;(Ⅲ)假设满足题意的m，n存在，∵n>m>3，∴h(a)=12﹣6a，∴函数h(a)在(3，+∞)上是减函数.又∵h(a)的定义域为[m，n]，值域为[m2，n2]，则，两式相减得6(n﹣m)=(n﹣m)•(m+n)，又∵n>m>3，∴m﹣n≠0，∴m+n=6，与n>m>3矛盾.∴满足题意的m，n不存在.【点评】本题主要考查二次函数的值域问题，二次函数在特定区间上的值域问题一般结合图象和单调性处理，是中档题.21.(18分)(2017•上海一模)已知无穷数列{an}的各项都是正数，其前n项和为Sn，且满足：a1=a，rSn=anan+1﹣1，其中a≠1，常数r∈N;(1)求证：an+2﹣an是一个定值;(2)若数列{an}是一个周期数列(存在正整数T，使得对任意n∈N*，都有an+T=an成立，则称{an}为周期数列，T为它的一个周期，求该数列的最小周期;(3)若数列{an}是各项均为有理数的等差数列，cn=2•3n﹣1(n∈N*)，问：数列{cn}中的所有项是否都是数列{an}中的项?若是，请说明理由，若不是，请举出反例.【考点】数列递推式.【分析】(1)由rSn=anan+1﹣1，利用迭代法得：ran+1=an+1(an+2﹣an)，由此能够证明an+2﹣an为定值.(2)当n=1时，ra=aa2﹣1，故a2= ，根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项，再由r>0和r=0两种情况进行讨论，能够求出该数列的周期.(3)因为数列{an}是一个有理等差数列，所以a+a=r=2(r+ )，化简2a2﹣ar﹣2=0，解得a是有理数，由此入手进行合理猜想，能够求出Sn.【解答】(1)证明：∵rSn=anan+1﹣1，①∴rSn+1=an+1an+2﹣1，②②﹣①，得：ran+1=an+1(an+2﹣an)，∵an>0，∴an+2﹣an=r.(2)解：当n=1时，ra=aa2﹣1，∴a2= ，根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项：a，r+ ，a+r，2r+ ，a+2r，3r+ ，….当r>0时，奇数项和偶数项都是单调递增的，所以不可能是周期数列，∴r=0时，数列写出数列的前几项：a，，a，，….所以当a>0且a≠1时，该数列的周期是2，(3)解：因为数列{an}是一个有理等差数列，a+a+r=2(r+ )，化简2a2﹣ar﹣2=0，a= 是有理数.设 =k，是一个完全平方数，则r2+16=k2，r，k均是非负整数r=0时，a=1，an=1，Sn=n.r≠0时(k﹣r)(k+r)=16=2×8=4×4可以分解成8组，其中只有，符合要求，此时a=2，an= ，Sn= ，∵cn=2•3n﹣1(n∈N*)，an=1时，不符合，舍去.an= 时，若2•3n﹣1= ，则：3k=4×3n﹣1﹣1，n=2时，k= ，不是整数，因此数列{cn}中的所有项不都是数列{an}中的项.【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的定义与通项公式、数列的周期性性，考查了推理能力与计算能力，属于难题.。

嘉定区2015学年高三年级第一次质量调研语文试卷考生注意：1．本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分。

2．答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。

3．考试时间150分钟。

试卷满分150分。

一阅读80分（一）阅读下文，完成1—6题。

（17分）文房展①前言蒋远桥①到博物馆，我们会看到各式各样的以艺术门类为基本单位的展馆，如陶瓷馆、铜器馆、雕塑馆、玉器馆等，各个展馆内则陈列着许多单个的“典型器物”。

这些器物当然远比照片影像更为真实，但我觉得，这些按门类、按年代或者按质地、按用途陈列的“实物”，还并非“真实”：无数从古代生活中移出然后转入博物馆的瓷器、铜器、雕塑、玉器，都被剥夺了与原来所处环境的千丝万缕的联系，在博物馆里，它们仅用来增加我们专门艺术门类的某些知识。

而那些被忽略的原始环境．．．．，也应该是甚至更应该是作为器物“真实”的一部分。

②为了理解的连贯，我们可以先从影像说起。

③从柏拉图时代开始，仿像这一概念就已经在哲学、艺术、文学各领域占据了重要地位。

随着机械复制的繁荣，尤其是电子世界的产生，人类现今更无可救赎地停留在柏拉图的洞穴．．．．．．里。

身边的影像越来越繁多，影像的内容越来越齐备，生活、研究、批判越来越受到影像的帮助的同时离不开影像。

④人们十分愿意相信照片即真实。

但是其实我们稍加分析即能知道，即使从未被制作的影像如照片，也远非真实。

一位摄影师在拍摄任何一幅作品时，往往要同时或者严格地说是连续拍摄数十张，然后从中选择出自认为满意的一幅，比如这张照片具有令摄影者满意的表情、光线、角度、结构，而未表现或者未恰当地表现这些东西的照片即被认为是“非真”的。

⑤比如，当我进入敦煌第130窟，通高26米的弥勒佛高耸在眼前，在佛像前面感觉到的只有无能为力和相形之下的渺小：佛低垂双目，似乎在看着我，使我觉得自己似乎将要失去固有的信仰。

嘉定区2016年高三第三次模拟练习数学（文）试卷考生注意：1．本试卷共4页，23道试题，满分150分．考试时间120分钟．2．本考试分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚．一．填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．函数1)2lg(--=x x y 的定义域是___________． 2．已知向量)1,2(+-=x a，)2,3(+=x b ，若b a ⊥，则实数=x _________．3．若函数)2sin()(ϕ+=x x f （πϕ<<0）是R 上的偶函数，则=ϕ________． 4．设集合}3,1,1{-=A ，}4,2{2++=a a B ，若}3{=B A ，则实数=a _______．5．已知i ii2+=+b a （R ∈b a ,，i 为虚数单位），则=+b a _________． 6．一个总体分为A 、B 两层，其个体数之比为1:4，用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为10的样本，已知B 层中甲、乙都被抽到的概率为281，则总体中个体的个数为___．7．当实数x 、y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≤≤8,3,42y x y x 时，目标函数y x k 23-=的最大值为_________．8．某棱锥的表面展开图是如图所示的一个边长为4的正方 形和四个正三角形，则该棱锥的体积等于_____________．9．若对任意0>x ，132++≥x x xa 恒成立，则实数a 的取值范围是___________． 10．已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0<x 时，2)(x x x f -=，若0)2()(>-+m f m f ，则实数m 的取值范围是_________________．11．已知直线n l ：142+=+n ny nx （1=n ，2，…）与x 轴、y 轴的交点分别为n A 、n B ，O 为坐标原点，设△n n B OA 的面积为n S （1=n ，2，…），则=∞→n n S lim _______． 12．已知}{n a 是递增的等比数列，且132-=+a a ，那么首项1a 的取值范围是_______． 13．小李同学在研究长方体时发现空间有一条直线与长方体的所有棱所在直线所成的角都相等，那么这个角的大小是__________． 14．在数列}{n a 中，11=a ，1)1(2=-++n n n a a ，则数列}{n a 的前100项之和为_______．二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分． 15．在△ABC 中，“0>⋅BC AB ”是“△ABC 为钝角三角形”的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件16．某几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图都是边长为2的正方形，俯视图中的曲线是半径为2的41圆弧，则该几何体的体积为（ ）． （A ）π-6 （B ）π-8 （C ）π26- （D ）π28-17．过坐标原点O 作单位圆122=+y x 的两条互相垂直的半径OA 、OB ，若在该圆上存在一点C ，使得b a +=（R ∈b a ,），则点),(b a 的位置是（ ）． （A ）点),(b a 一定在单位圆内 （B ）点),(b a 一定在单位圆上（C ）点),(b a 一定在单位圆外 （D ）当且仅当0=ab 时，点),(b a 在单位圆上18．已知函数xx f 241)(-=的图像关于点P 对称，则点P 的坐标是（ ）． （A ）⎪⎭⎫ ⎝⎛21,2 （B ）⎪⎭⎫ ⎝⎛41,2 （C ）⎪⎭⎫⎝⎛81,2 （D ）)0,0(2 22主视图左视图俯视图三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．如图，已知一个圆锥的底面半径与高均为2，且在这个圆锥中有一个高为x 的圆柱． （1）用x 表示此圆柱的侧面积表达式；（2）当此圆柱的侧面积最大时，求此圆柱的体积．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图所示，在直角坐标系xOy 中，角α的顶点是原点，始边与x 轴正半轴重合，终边交单位圆于点A ，且⎪⎭⎫⎝⎛∈2,6ππα．将角α的终边绕原点按逆时针方向旋转3π，交单位圆于点B ．记),(11y x A ，),(22y x B ．（1）若311=x ，求2x 的值；（2）分别过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足依次 为C 、D ．记△AOC 的面积为1S ，△BOD 的面积 为2S ，若212S S =，求角α的值．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图所示，在直角坐标系xOy 中，点⎪⎭⎫ ⎝⎛21,1P 到抛物线:C px y 22=（0>p ）的准线的距离为45，点)1,(t M （0>t ）是C 上的定点，A 、B 是C 上的两个动点，且线段AB 的中点),(n m Q 在线段OM 上．（1）抛物线C 的方程及t 的值；（2）当点A 、B 分别在第一、四象限时，求OB OA k k ⋅的 取值范围；· x22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．设数列}{n a 的前n 项和为n S ，对于任意的*N ∈n ，都有n a S n n 32-=（*N ∈n ）． （1）求数列}{n a 的首项1a 及数列的递推关系式)(1n n a f a =+；（2）若数列}{c a n +成等比数列，求常数c 的值，并求数列}{n a 的通项公式；； （3）数列}{n a 中是否存在三项s a ，p a ，r a （r p s <<），它们组成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知)(x f 是定义在R 上的函数，满足)(1)(1)1(x f x f x f +-=+．（1）证明：2是函数)(x f 的周期；（2）当)1,0[∈x 时，x x f =)(，求)(x f 在)0,1[-∈x 时的解析式，并写出)(x f 在)12,12[+-∈k k x （Z ∈k ）时的解析式；（3）对于（2）中的函数()f x ，若关于x 的方程ax x f =)(恰好有20个解，求实数a 的取值范围．2016年三模数学（文）参考答案和评分标准一．填空题（每题4分，满分56分）1．)2,1( 2．4-或1 3．2π4．1 5．1 6．40 7．6 8．3232 9．⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+,51 10．),1(∞+ 11．4 12．⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-21,13．2arctan 14．1300二．选择题（每题5分，满分20分） 15．A 16．D 17．B 18．C三．解答题（共5题，满分74分） 19．（1）设圆柱的半径为r ，则222xr -=，x r -=2，20<<x …………（2分） 所以，x x rx S )2(22-==ππ圆柱侧（20<<x ）．（x 的范围两处都不写扣1分）（5分） （2）]1)1([2)2(222+--=-=x x x S ππ圆柱侧， ………………………………（2分） 所以当1=x 时，圆柱侧S 取最大值π2， …………………………………（4分） 此时，1=r ，所以ππ==x r V 2圆柱． …………………………………（7分）20．（1）由三角比定义，得αcos 1=x ，⎪⎭⎫⎝⎛+=3cos 2παx ． ………………（1分） 因为⎪⎭⎫⎝⎛∈2,6ππα，31cos =α，所以322sin =α， ……………（3分） 所以⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3cos 2παx 66213sin sin 3cos cos -=-=παπα． ……………（6分）（2）依题意得αsin 1=y ，⎪⎭⎫⎝⎛+=3sin 2παy ．所以ααα2sin 41sin cos 2121111===y x S ； ………………………………（2分） ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-==322sin 413sin 3cos 21||21222παπαπαy x S ．……（4分）由212S S =，得⎪⎭⎫⎝⎛+-=322sin 22sin παα，整理得02cos =α． …………（6分） 因为26παπ<<，所以παπ<<23，所以22πα=，即4πα=． …………（8分）21．（1）抛物线:C px y 22=（0>p ）的准线是2px -=， 所以4521=+p ，21=p ， ……………………………………（4分） 所以抛物线C 的方程为x y =2． ………………………………………（5分） 又点)1,(t M 在曲线上，所以1=t ． ………………………………………（6分） （2）由（1）知，)1,1(M ，直线OM 的方程为x y =，故n m =，即点),(m m Q ． ……………………………………………………………（1分） 由题意，直线AB 的斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为)(m x k m y -=-，由⎩⎨⎧=-=-xy m x k m y 2,)(消去x ，得02=-+-km m y ky ，设),(11y x A ，),(22y x B ，则k y y 121=+，m km y y -=21，因为m y y 221=+，所以m k 21=，0>m ，…（3分）由02221<-=m m y y ，得210<<m ， ………………………………（5分）所以8141212112212121-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-===⋅m m m y y x x y y k k OB OA ， 因为210<<m ，所以m m -22的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡-0,81，故OB OA k k ⋅的取值范围是(]8,-∞-． ……………………………………………………………（8分）22．（1）令1=n ，则32111-==a S a ，所以31=a ． ……………………（1分） 由n a S n n 32-= ①，得)1(3211+-=++n a S n n ②， …………………（2分） ②式减①式，得32211--=++n n n a a a ， ……………………………（3分） 故数列的递推关系式为321+=+n n a a ． ………………………………（4分） （2）由（1）知，321+=+n n a a ，则⎪⎭⎫⎝⎛++=++=++232321c a c a c a n n n ，…（1分）由题意)(1c a q c a n n +=++，故当2=q ，且23+=c c 时，数列}{c a n +是等比数列，所以当3=c 时，数列}{c a n +成等比数列． ……………………………………（3分） 此时，2331=+++n n a a ．故112)3(3-⋅+=+n n a a ，即323-⋅=n n a ，*N ∈n ．……（5分）综上，3=c ，}{n a 的通项公式为323-⋅=n n a ，*N ∈n ． ……………………（6分）（3）假设s a ，p a ，r a （r p s <<）成等差数列，则r s p a a a +=2， …………（1分） 即)323()323()323(2-⋅+-⋅=-⋅r s p ，所以r s p 2221+=+， ……………（2分）从而，s r s p -+-+=2121， …………………………………………（4分）因为*,,N ∈r p s 且r p s <<，故12+-s p 为偶数，而s r -+21为奇数．所以，s r s p -+-+=2121不可能成立，即不存在满足条件的三项． ……………（6分）23．（1）因为)(1)(1)1(x f x f x f +-=+，所以)()(1)(11)(1)(11)1(1)1(1)2(x f x f x f x f x f x f x f x f =+-++--=+++-=+， …………………………（3分） 所以，2是函数)(x f 的周期． …………………………………………………（4分） （2）当)0,1[-∈x 时，)1,0[1∈+x ，则1)1(+=+x x f ， …………………（1分）又)(1)(1)1(x f x f x f +-=+，即1)(1)(1+=+-x x f x f ，解得2)(+-=x x x f ．所以，当)0,1[-∈x 时，2)(+-=x xx f ． …………………………………（3分） 所以，⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈+-=.)1,0[,,)0,1[,2)(x x x x x x f ……………………………………（4分）因为)(x f 的周期为2，所以当)12,12[+-∈k k x （Z ∈k ）时，⎪⎩⎪⎨⎧+∈--∈-+--=.)12,2[,2,)2,12[,2)(k k x k x k k x kx k x x f …………………………………（6分）（3）作出函数的图像，则方程ax x f =)(解的个数就是函数)(x f 的图像与直线ax y =的交点个数． ………………………………………………………………（3分） 若0=a ，则k x 2=（Z ∈k ）都是方程的解，不合题意． ……………………（4分） 若0>a ，则0=x 是方程的解．要使方程恰好有20个解，在区间)19,1[上，)(x f 有9个周期，每个周期有2个解，在区间)21,19[上有且仅有一个解．则⎩⎨⎧><,121,119a a 解得，191211<<a ． …………………………………………（6分） 若0<a ，同理可得211191-<<-a ． …………………………………………（7分） 综上，⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--∈191,211211,191a ． …………………………………………（8分）。