苏科版八年级数学勾股定理复习讲义

教师导学案勾股定理单元复习知识技能一、勾股定理的验证例1:（1）如图①是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式；（2）如图②，Rt△ABC≌△CDE，∠B=∠D=90°，且B，C，D三点共线.试证明∠ACE=90°；（3）伽菲尔德利用（1）中的公式和图②证明了勾股定理，现请你尝试该证明过程.二、运用勾股定理求线段长度例2：已知，如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=3cm，BC=5cm，求EC的长.三、运用勾股定理的逆定理判断三角形是否是直角三角形例3：在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进，2小时后，甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？4. 勾股定理的综合应用例4：如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A.当重型运输卡车P 沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大.若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为18千米/时.（1）求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离；（2）求卡车P沿道路PON方向行驶一次给学校A带来的噪声影响.章末小练：1. 如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8,则阴影部分的面积是（）.A. 48B. 60C. 76D. 802. △ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a,b,c ，AB=8，BC=15，CA=17，则下列结论不正确的是（）.A. △ABC是直角三角形，且AC为斜边B. △ABC是直角三角形，且∠ABC=90°C. △ABC的面积是60D. △ABC是直角三角形，且∠A=60°3. 下列数据中是勾股数的有（）.（1）3,5,7；（2）5,15，17；（3）1.5,2，2.5；（4）7，24,25；（5）10,24，26.A.1组B.2组C.3组D.4组4. △ABC的三边分别为a,b,c ，满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（）.A. c2 -a2 =b2B.∠A-∠C=∠BC. a :b :c =20 : 21: 29D.∠A：∠B：∠C=2:3:4D,E两点，则CD的长=BD·DC，求证：△ABC是直角三角形.、。

【课题名称】八上数学《勾股定理》【考纲解读】1.掌握勾股定理的含义；2.理解勾股数，并且会熟练地运用勾股数；3.能够根据勾股定理，解决实际问题。

【考点梳理】考点1：勾股定理（1）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

（2）勾股定理的表示：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222ab c+= （3）勾股定理的证明：勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图法。

图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。

根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。

考点2：勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征。

考点3：勾股数（1）能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数。

（2）记住常见的勾股数可以提高解题速度，比如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；8，15，17等。

考点4：勾股定理的应用（1）已知直角三角形的任意两边长，求第三边。

在A B C ∆中，90C ∠=︒，则c ，b ，a ；（2）已知直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系；（3）可以运用勾股定理解决一些实际问题，比如圆柱和长方体的最短距离问题。

【例题讲解】c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D C B A例1：如图字母B所代表的正方形的面积是（）A．12 B．13 C．144 D．194例2：下列由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形的是（）A．a=3，b=4，c=5 B．a=2，b=3，c=C．a=12，b=10，c=20 D．a=5，b=13，c=12例3：三角形的三边长a，b，c满足2ab=（a+b）2﹣c2，则此三角形是（）A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．等边三角形例4：如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高5米，两树相距12米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（）A．8米B．10米C．13米D．14米例5：如图，一只蚂蚁从长、宽都是4，高是6的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是（）A．9 B．10 C．D．例6：如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的点C有个．【课堂检测】1．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E．若AC=3，AB=5，则DE等于（）A．2 B．C．D．2．在△ABC中，∠C=90°，若AC=3，BC=4，则AB=（）A．B．5 C．D．73．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）A．∠A+∠B=∠C B．∠A：∠B：∠C=1：2：3C．a2=c2﹣b2D．a：b：c=3：4：64．在△ABC中，AC2﹣AB2=BC2，那么（）A．∠A=90°B．∠B=90°C．∠C=90°D．不能确定5．下列各组数中，能成为直角三角形的三条边长的是（）A．8、15、17 B．10、24、25 C．9、15、20 D．9、80、816．如图，是台阶的示意图．已知每个台阶的宽度都是30cm，每个台阶的高度都是15cm，连接AB，则AB等于（）A．195cm B．200cm C．205cm D．210cm7．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（）A．13cm B．2cm C．cm D．2cm8．已知直角三角形的两边长为3厘米和5厘米，则第三边长为．9．三角形的三边长为a、b、c，且满足等式（a+b）2﹣c2=2ab，则此三角形是三角形（直角、锐角、钝角）．10．如图，是美国总统Garfield于1896年给出的一种验证勾股定理的办法，你能利用它证明勾股定理吗？请写出你的证明过程．（提示：如图三个三角形均是直角三角形）11．如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=BC=4，CD=6，DA=2．求∠DAB的度数．【课后作业】1．如图，将一边长为a的正方形（最中间的小正方形）与四块边长为b的正方形（其中b ＞a）拼接在一起，则四边形ABCD的面积为（）A．b2+（b﹣a）2B．b2+a2 C．（b+a）2D．a2+2ab2．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且（a+b）（a﹣b）=c2，则（）A．∠A为直角B．∠C为直角C．∠B为直角D．不是直角三角形3．已知a=3，b=4，若a，b，c能组成直角三角形，则c=（）A．5 B．C．5或D．5或64．下列是三角形的三边，能组成直角三角形的是（）A．1：2：3 B．1：：3 C．2：3：5 D．1：1：5．如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直．如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（）A．400m B．525m C．575m D．625m6．由于台风的影响，一棵树在离地面6m处折断，树顶落在离树干底部8m处，则这棵树在折断前（不包括树根）长度是（）A．8m B．10m C．16m D．18m7．已知等腰三角形的腰长为5，一腰上的高为3，则以底边为边长的正方形的面积为．8．有一根长24cm的小木棒，把它分成三段，组成一个直角三角形，且每段的长度都是偶数，则三段小木棒的长度分别是m，cm，cm．9．写出一组直角三角形的三边长．（要求是勾股数但3、4、5和6、8、10除外）10．如图所示，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形拼成，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=b，BC=a，请你利用这个图形解决下列问题：（1）证明勾股定理；（2）说明a2+b2≥2ab及其等号成立的条件．11．如图，将边长为a与b、对角线长为c的长方形纸片ABCD，绕点C顺时针旋转90°得到长方形FGCE，连接AF．通过用不同方法计算梯形ABEF的面积可验证勾股定理，请你写出验证的过程．12．已知：如图，AD=4，CD=3，∠ADC=90°，AB=13，BC=12．求图形的面积．13．如图，有一只蚂蚁从一个圆柱体的A点沿着侧面绕圆柱至少一圈爬到B点，已知圆柱的底面半径为1.5cm，高为12cm，则蚂蚁所走过的最短路径是多少？（π取3）。

第3章 勾股定理教材知识全解1、勾股定理1、定义：直角三角形两条直接边的平方和等于斜边的平方2、验证：用拼图法，借助面积不变的关系来证明3、应用：在直角三角形中已知两边求第三边；在直角三角形中已知两直角边求斜边上的高2、勾股定理的逆定理1、定义：如果直角三角形的三边长分别为，那么这个三角形是直角222,,c b a c b a =+，且三角形2、勾股数：满足的三个正整数称为勾股数，常见的有222c b a =+c b a ,,3，4，5；5，12，13等3、应用1、勾股定理的简单应用：求几何表面上两点间的最短距离；解决实际应用问题2、勾股定理逆定理的应用：判定某个三角形是不是直角三角形经典例题全解题型一 利用勾股定理求几何图形的面积例1 已知，如图，以Rt△ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若AB=3，则图中阴影部分的面积为______________题型二勾股定理及其逆定理的综合应用例2 如图，在四边形ABCD中，已知AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，且AB⊥BC，试证明AC⊥CD题型三用勾股定理解决实际问题例3 如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度（滑轮上方的部分忽略不计）为_________________题型四用勾股定理解决距离最短问题例4 如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村（点A）和李庄（点B）送水，已知张村、李庄到河边（直线l）的距离分别为2千米和7千米，且CD=12千米（1）水泵站修建在什么地方，可使所用的水管最短？请你在图中设计出水泵站的位置；（2）如果铺设水管的工程费用为每千米1500元，请求出铺设水管的最少费用题型五利用勾股定理理解有关折叠问题例5 如图，长方形ABCD中，AB=8，BC=6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，且OE=OD，则AP的长为____________题型六利用勾股定理求两点间线段的长度例6 如图，一个长方体盒子的高为30cm，底面是正方形，边长为20cm，现在A处有一只小强想沿长方体盒子侧面去吃位于C处的一只虫子，问小强走的最短路程是多少？。

勾股定理应用复习学习目标：1、勾股定理和勾股定理逆定理2、勾股定理的应用【知识梳理】知识点1、勾股定理的定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c勾股定理的证明：勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是：①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见的勾股数：如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；【例题精讲】例1、如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米？例2、如图，壁虎在一座底面半径为2米，高为4米的油罐的下底边沿A处，它发现在自己的正上方油罐上边缘的B处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击．结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐．请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫?例3、如图，某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向100km的B处有一台风中心，沿BC 方向以20km/h的速度向D移动，已知城市A到BC的距离AD=60km，那么台风中心经过多长时间从B 点移到D点？如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？例4、已知：如图,△ABC中,∠C=900，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，且BC=8cm，CA=6cm，则点O到三边AB，AC和BC 的距离分别等于 cm.例5、如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？例6、如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D与点B重合，已知AB=3，AD=9，求BE的长．例7、如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=450，把△ADC沿直线AD翻折，点C落在点C’的位置，BC=4,求BC’的长.例8、如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=900，D为AB边上一点，求证：（1）△ABC≌△BCD；（2）AD2+BD2=DE2．【课堂练习】1.某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要（）A.450a元B.225a 元C.150a元D.300a元2.已知如图，水厂A和工厂B、C正好构成等边△ABC，现由水厂A和B、C两厂供水，要在A、B、C 间铺设输水管道，有如下四种设计方案，（图中实线为铺设管道路线）,其中最合理的方案是（）3.如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6 cm、BC＝8 cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（）A.4 cmB.5 cmC.6 cmD.10 cm4.已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A.6cm2B.8cm2C.10cm2D.12cm25、如图所示，无盖玻璃容器，高18，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口1cm的F处有一苍蝇，试求急于扑货苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度为 cm.6、为了丰富少年儿童的业余文化生活，某社区在如图9所示AB所在的直线上建一图书阅览室，本社区有两所学校所在的位置在点C和D处．CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，已知AB=25km，CA=15km，DB=10km，试问：阅览室E应建在距A多少㎞处，才能使它到C、D两所学校的距离相等？课后作业：1、在下面图形中,每个大正方形网格都是由边长为1的小正方形组成,则图中阴影部分面积最大的是( )2、将一根长为24cm的筷子置于底面直径为5cm,高为12cm的圆柱形水杯中,则筷子露在杯子外面的长h的取值范围是___________3、已知在△ABC中，AB＞AC，AD是中线，AE是高．求证：AB2-AC2=2BC·DE．4、如图小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD的面积是 ( )A.25B.12.5C.9D.8.55、有一只喜鹊正在一棵高3m的小树的树梢上觅食，它的巢筑在距离该树24m且高为14m的一棵大树上，巢距离大树顶部1m,这时，它听到巢中幼鸟求助的叫声,便立即赶过去．如果它飞行的速度为5m/s，那么它至少需要几秒才能赶回巢中?。

勾股定理1 勾股定理（1）知识领航1．勾股定理：如果直角三角形的两直角边分别是a 、b ，斜边为c ，那么a 2＋b 2＝c 2．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．2．关于勾股定理的证明方法有很多．赵爽的证法是一种面积证法，其中的依据是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变．“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲。

正因为此，这个图案被选为2002年在北京召开的世界数学家大会的会徽。

e 线聚焦【例】 如图所示，可以利用两个全等的直角三角形拼出一个梯形．借助这个图形，你能用面积法来验证勾股定理吗？分析：面积法验证勾股定理关键是要找到一些特殊图形(如直角三角形，正方形，梯形)的面积之和等于另一些特殊图形的面积，从而达到验证的目的．解：此图可以这样理解，有三个Rt △其面积分别为21ab ，21ab 和21c 2．还有一个直角梯形，其面积为21(a ＋b )(a ＋b )． 由图形可知：21 (a ＋b )(a ＋b )＝ 21ab ＋21ab ＋21c 2 整理得(a ＋b )2＝2ab ＋c 2， a 2＋b 2＋2ab ＝2ab ＋c 2， ∴ a 2＋b 2＝c 2 .由此得到勾股定理．这正是美国第20任总统茄菲尔德证明勾股定理的方法．双基淘宝仔细读题，一定要选择最佳答案哟！ 1. 下列说法正确的是（ ）A .若 a 、b 、c 是△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2B .若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2C .若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边， 90=∠A ，则a 2＋b 2＝c 2D .若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边， 90=∠C ，则a 2＋b 2＝c 22. △ABC 的三条边长分别是a 、b 、c ，则下列各式成立的是（ ） A ．c b a =+ B.c b a >+ C.c b a <+ D.222c b a =+ 3．一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ） A ．斜边长为25 B ．三角形周长为25C ．斜边长为5D ．三角形面积为20 4．在Rt ABC ∆中， 90=∠C ，S 1S 2c ab ac bb c ba ac（3）如果a =5，b =12，则c = ； (4) 如果a =15，b =20，则c = .5．如图,三个正方形中的两个的面积S 1＝25，S 2＝144，则另一个的面积S 3为________．综合运用认真解答，一定要细心哟！6．利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图．观察图形，验证：c 2＝a 2＋b2.7．如图，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽4m ，高3m ，长20m ，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积.8．下面是数学课堂的一个学习片段, 阅读后, 请回答下面的问题: 学习勾股定理有关内容后, 张老师请同学们交流讨论这样一个问题: “已知直角三角形ABC 的两边长分别为3和4, 请你求出第三边.”同学们经片刻的思考与交流后, 李明同学举手说: “第三边长是5”; 王华同学说: “第三边长是7.” 还有一些同学也提出了不同的看法…… （1）假如你也在课堂上, 你的意见如何? 为什么?（2）通过上面数学问题的讨论, 你有什么感受? (用一句话表示)9．蚂蚁沿图中的折线从A 点爬到D 点，一共爬了多少厘米？（小方格的边长为1厘米）拓广创新◆ 试一试，你一定能成功哟！10．一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的验证方法.如图，火柴盒的一个侧面ABCD 倒下到AB ′C ′D ′的位置，连接CC ′，设AB=a,BC=b,AC=c ，请利用四边形BCC ′D′的面积验证勾股定理：a 2+b 2=c 2.勾股定理（2）知识领航1．在直角三角形中，若已知任意两边，就可以运用勾股定理求出第三边．无直角时，可作垂线构造直角三角形. 2.勾股定理的作用：（1）计算；（2）证明带有平方的问题；（3）实际应用．e 线聚焦【例】甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源．为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米．早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10：00，甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？分析：要求甲、乙两人的距离，就要确定甲、乙两人在平面的位置关系，由于甲往东、乙往北，所以甲所走的路线与乙所走的路线互相垂直，然后求出甲、乙走的路程，利用勾股定理，即可求得甲、乙两人的距离．解：如图，甲从上午8：00到上午10：00一共走了2走了12千米，即OA =12． 乙从上午9：00到上午10：00一共走了1小时，走了5千米，即OB =5．在Rt △OAB 中，AB 2=122十52＝169，∴AB =13，因此，上午10：00时，甲、乙两人相距13千米． ∵15＞13， ∴甲、乙两人还能保持联系．答：上午10：00甲、乙两人相距13千米，两人还能保持联系．双基淘宝◆ 仔细读题，一定要选择最佳答案哟！1．已知直角三角形中30°角所对的直角边长是32cm ，则另一条直角边的长是（ ）A . 4cmB . 34cmC . 6cmD . 36cm 2．△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为（ ） A ．42 B ．32 C ．42 或 32 D ．37 或 33D ＇BC DA C ＇B ＇a bc顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动( )A . 9分米B . 15分米C . 5分米D . 8分米 4． 如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草． 5. 在△ABC 中，∠C ＝90°，（1）已知 a ＝2.4，b ＝3.2，则c ＝ ；（2）已知c ＝17，b ＝15，则△ABC 面积等于 ；（3）已知∠A ＝45°，c ＝18，则a ＝ .6. 一个矩形的抽斗长为24cm ，宽为7cm ,在里面放一根铁条，那么铁条最长可以是 ．7. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝12cm ，S △ABC ＝30cm 2，则AB ＝ . 8. 等腰△ABC 的腰长AB ＝10cm ，底BC 为16cm ，则底边上的高为 ，面积为 . 9. 一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 ．10．一天，小明买了一张底面是边长为260cm 的正方形，厚30cm 的床垫回家．到了家门口，才发现门口只有242cm 高，宽100cm ．你认为小明能拿进屋吗？ ．综合运用认真解答，一定要细心哟！11．如图，你能计算出各直角三角形中未知边的长吗？12．如图，某会展中心在会展期间准备将高5m ,长13m ，宽2m 的楼道上铺地毯,已知地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱?13．有一只小鸟在一棵高4m 的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m ，高20m 的一棵大树的树梢上发出友好的叫声，它立刻以4m/s 的速度飞向大树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达大树和伙伴在一起？ 5m13m第4题图14．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km /h .如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30m 处，过了2s 后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m ，这辆小汽车超速了吗？拓广创新试一试，你一定能成功哟！15．将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为320cm ， 在无风的天气里，彩旗自然下垂，如右图. 求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h .彩旗完全展平时的尺寸如左图的长方形（单位：cm ）.勾股定理（3）知识领航1．利用勾股定理可以画出长度是无理数的线段，也就可以在数轴上画出表示无理数的点．2．领会和掌握数形结合的数学思想方法.e 线聚焦【例】右图是由36个边长为1的小正方形拼成的，连接小正方形中的点A 、B 、C 、D 、E 、F 得线段AB 、BC 、CD 、DE 、EF 、F A ，请说出这些线段中长度是有理数的是哪些？长度是无理数的是哪些？并在数轴上作出表示1、2、3、4、5的点.观测点_ABC CD 2=12+32=10，DE =3，EF 2=ED 2+DF 2=32+42=25，F A =2.∴BC 、DE 、EF 、F A 的长是有理数，AB 、CD 的长度是无理数. 在数轴上作出表示1、2、3、4、5的点如右图所示.双基淘宝◆ 仔细读题，一定要选择最佳答案哟！1. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC 中，边长为无理数的边数是（ ）A . 0B . 1C . 2D . 32. 如图所示，在△ABC 中，三边a ,b ,c 的大小关系是（ ）A.a ＜b ＜cB. c ＜a ＜bC. c ＜b ＜aD. b ＜a ＜c 3．等边△ABC 的高为3cm ，以AB 为边的正方形面积为 .4．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为_______cm 2.5．在△ABC 中，∠C =900,，BC =60cm ,CA =80cm ,一只蜗牛从C 点出发，以每分20cm 的速度沿CA -AB -BC 的路径再回到C 点，需要 分的时间. 6．第七届国际数学教育大会的会徽主题图案是由一连串如图所示的直角三角形演化而成的. 设其中的第一个直角三角形OA 1A 2是等腰三角形，且OA 1=A 1A 2=A 2A 3=A 3A 4=……=A 8A 9=1，请你先把图中其它8条线段的长计算出来，填在下面的表格中：综合运用◆ 认真解答，一定要细心哟！7．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，任意连结这些小正方形的顶点，可得到一些线段.请在图中画出1352===EF CD AB 、、这样的线段，并选择其中的一个说明这样画的道理.第1题图 第2题图 第4题图8．有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽4尺，求竹竿高与门高.9．已知长方体的长为2cm 、宽为1cm 、高为4cm 到B 点,那么沿哪条路最近,最短的路程是多少?拓广创新◆◆ 试一试，你一定能成功哟！10．已知：正方形的边长为1.（1）如图（a ），可以计算出正方形的对角线长为2.如图（b ）,求两个并排成的矩形的对角线的长.n 个呢？（2）若把（c ）（d ）两图拼成如下“L ”形， 过C 作直线交DE于A，交DF 于B .若DB =35，求DA 的长度.勾股定理（1）参考答案1.D2.B3.C4.5; 10; 13; 255.1696.中空正方形的面积为2)(a b -，也可表示为ab c 2142⨯-，∴2)(a b -=ab c 2142⨯-，整理得222c b a =+. 7.100m 2 8.（1）分两种情况:当4为直角边长时，第三边长为5；当4为斜边长时，第三边长为7.（2）略 9.28cm 10．∵ 四边形BCC′D′为直角梯形，∴S 梯形BCC′D ′=21(BC+C′D ′)·BD ′=2)(2b a +.∵Rt △ABC ≌Rt △AB′C ′， ∴∠BAC =∠BAC ′. ∴∠CAC ′=∠CAB ′+∠B ′AC ′=∠CAB ′+∠BAC =90°. ∴S梯形BCC′D ′=S △ABC +S △CAC ′+S △D′AC′= 21ab +21c 2+21ab =222ab c +. ∴2)(2b a +=222abc +. ∴a 2+b 2=c 2.勾股定理（2）参考答案1.C2.C3.D4.105.4; 60; 36.25cm7.13cm8.6cm, 24cm 29.6, 8, 10 10.能 11.5; 4; 3 12.612元 13.5s 14.BC =72km ,这辆小汽车超速了 15. h =170cm勾股定理（3）参考答案1.C2.B3.12cm4.495.126.依次填22,7,6,5,2,3,27．略 8.7.5尺 9.分三种情况讨论，最短距离是5cm 10.（1）5，12+n ；（2）6135。

第一章勾股定理【知识点概括】1、直角三角形的两边，求第三边勾股定理2、求直角三角形周长、面积等问题3、考证勾股定理建立1、勾股数的应用勾股定理勾股定理的逆定理2、判断三角形的形状3、求最大、最小角的问题、面积问题1、求长度问题2、最短距离问题勾股定理的应用3、航海问题4、网格问题5、图形问题6考点一：勾股定理〔 1〕关于随意的直角三角形，假如它的两条直角边分别为a、b，斜边为 c，那么必定有a2 b 2c2勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

〔2〕结论：①有一个角是 30°的直角三角形， 30°角所对的直角边等于斜边的一半。

②有一个角是 45°的直角三角形是等腰直角三角形。

③直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。

〔3〕勾股定理的考证b aaabc b b cc bb ca aa b a a b例题：例1：直角三角形的两边，利用勾股定理求第三边。

〔1〕在 Rt△ ABC中，∠ C=90°①假定 a=5，b=12，那么 c=___________；②假定 a=15， c=25，那么 b=___________；③假定c=61，b=60，那么a=__________；④假定 a∶ b=3∶4，c=10 那么 Rt △ABC的面积是 =________。

〔2〕假如直角三角形的两直角边长分别为n21，〔〕，那么它的斜边长是〔〕2n n>1A 、2n B、n+1C、 n2－1D、n21〔3〕在 Rt△ ABC中， a,b,c 为三边长，那么以下关系中正确的选项是〔〕A. a2b2c2B.a2c2b2C. c2b2a2D.以上都有可能〔4〕一个直角三角形的两边长分别为 3 和 4，那么第三边长的平方是〔〕A、25B、14C、7D、7 或 25例2：直角三角形的一边以及此外两边的关系利用勾股定理求周长、面积等问题。

〔1〕直角三角形两直角边长分别为 5 和 12，那么它斜边上的高为 __________。

勾股定理总复习1.定理：直角三角形两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。

2. 勾股定理解题技巧：①等积法求三角形的高：根据直角三角形面积的两种算法计算斜边上的高。

例：一个三角形三条边的长分别为15cm,20cm,25cm,这个三角形最长边上的高是多少？②分类讨论求解：在解答三角形的高有关问题时，如果没有给出图形，常需要分类讨论。

例：若△ABC中，AB=25cm，AC=26cm高AD=24,则BC的长为（）A．17 B.3 C.17或3 D.以上都不对③计算面积：根据直角三角形两直角边边上的正方形的面积等于斜边上的正方形的面积计算图形的面积。

例: 如图1,Rt△ABC的三边分别为直径向外作三个半圆,已知以AC为直径的半圆的面积为S1,以BC 为直径的半圆的面积为S2,以AB为直径的半圆的面积为S.（1）求证:S=S1+S2；（2）若将图中半圆改为分别以三边为斜边的等腰三角形，如图2，探究（1）中的结论是否仍成立？④方程思想巧计算：在解答直角三角形有关折叠问题时常考虑运用勾股定理列方程计算。

例：有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿∠CAB的角平分线AD折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出CD 的长吗？AE C DB ⑤证明平方关系：在解答线段的平方有关的计算和证明时常考虑运用勾股定理解答。

例：一个直角三角形的三边长的平方和为200，则斜边长为＿＿＿.3.2勾股定理的逆定理1.定理：如果三角形的三边长a 、b 、c ，且a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形.数学式子：∠C=900满足a 2＋b 2＝c 2三个数a 、b 、c 叫做勾股数。

2.勾股逆定理解题技巧：①计算面积：先根据勾股定理的逆定理判断三角形的形状，再计算面积。

例：一个三角形的三边之比为5：12：13，它的周长为60，则它的面积是＿＿＿.②判断三角形形状：根据勾股定理的逆定理证明两条直线互相垂直。

【知识要点】1. 勾股定理的概念：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么 a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

常用关系式 由三角形面积公式可得：AB ·CD=AC ·BC 2. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边。

3. 勾股数：①满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a ，b ，c 、为勾股数，那么ka ，kb ，kc 同样也是勾股数组。

）②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如；；；；8,15,17等 ③用含字母的代数式表示组勾股数：（为正整数）；（为正整数）（，为正整数）4.判断直角三角形：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。

（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。

（3）如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

（4）如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。

（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）用勾股定理逆定理判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c ）；（2）若c2＝a2＋b2，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形；若a2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中c 为最大边）；若a2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边）5.直角三角形的性质（1）直角三角形的两个锐角互余。

可表示如下：∠C=90°∠A+∠B=90°（2）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

∠A=30°可表示如下： BC =AB∠C=90°c 3,4,56,8,105,12,137,24,25n 221,2,1n n n -+2,n ≥n 2221,22,221n n n n n ++++n 2222,2,m n mn m n -+,m n >m n ⇒⇒21A BCa b c弦股勾（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

勾股定理【知识梳理】知识点一：勾股定理——（揭示的是平面几何图形本身所蕴含的代数关系）:如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2（勾三、股四、弦五）（1）重视勾股定理的叙述形式：①直角三角形直角边上的两个正方形的面积之和等于斜边上的正方形的面积.②斜边的平方等于两直角边的平方和.从这两种形式来看，有“形的勾股定理”和“数的勾股定理”之分。

勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，教科书正文中介绍了赵爽弦图，这是一种面积证法.常见的是拼图的方法，用拼图的方法验证勾股定理的思路是：①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变;②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理.常见方法如下：方法一：（赵爽弦图/毕达哥拉斯证法）方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形方法三：（美国第20任总统詹姆斯·加菲尔德）知识点二：勾股定理的逆定理——如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2；那么这个三角形是直角三角形.（1）勾股定理的逆定理的证明方法，通过构造一个三角形与直角三角形全等，达到证明某个角为直角的目的。

（2）逆定理的作用：判定一个三角形是否为直角三角形。

步骤： 找出最长边‚计算两短边的平方和是否与最长边的平方相等（3）直角三角形的判定：①有一个角是直角的三角形是直角三角形。

②有两个角互余的三角形是直角三角形。

③两短边的平方和等于最长边的平方的三角形是直角三角形。

(4)勾股数：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数如：3，4，5； 5，12，13； 6，8，10； 7，24，25； 8，15，17； 9，12，15； 9，40，41；……以及这些数组的倍数组成的数组。

1）确定勾股数： 三个数都是正整数‚两个较小数的平方和等于最大数的平方2）如果a,b,c是一组勾股数，那么na,nb,nc(n为正整数)也是一组勾股数.【例题精讲】勾股定理的证明：勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2证明：连结DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b﹣a．∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=b2+ab．又∵S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=c2+a（b﹣a）∴b2+ab=c2+a（b﹣a）∴a2+b2=c2请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB=90°．求证：a2+b2=c2勾股定理的计算：1、如图，四边形ABCD中，∠DAB=60°，∠B=∠D=90°，BC=1，CD=2，求对角线AC的长。

初中数学试卷桑水出品2013.12【知识点 1】 勾股定理内容：1、 在Rt △ABC 中， a ，b ，c 分别是三条边，∠C =90°，已知,a b 则c = ； 已知,a c 则b = 。

2、在Rt △ABC 中， a ，b ，c 分别是三条边，∠B =90°，已知a =6，b =10，则c= 。

3、在ABC Rt ∆中，,4,3cm b cm a == 则=c 。

4、在Rt △ABC 中，已知两边长分别是6和8，则其面积为 。

【知识点 2】 勾股数 回忆常见的勾股数1、下列各组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（ ） A ．72425a b c === B ． 1.52 2.5a b c === C ．111345a b c === 2、、判断a 、b 、c 是否是勾股数。

（1）a=13，b=12，c=5 （2）a=4，b=5，c=6 （3）a=0.5，b=0.3，c=0.4 【知识点 3】定理与逆定理的应用1、三角形的三边长为ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是 。

2、已知a 、b 、c 为三个正整数，如果a +b +c =12，那么以a 、b 、c 为边能组成的三角形是：①等腰三角形；②等边三角形；③直角三角形；④钝角三角形．以上符合条件的正确结论是______． 3、在△ABC 中， AB=15，AD=12，BD=9,AC=13,求△ABC 的周长和面积。

CBADE【知识点4】勾股定理与方程的综合运用1、AC=6c m，BC=8c m，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？2、在长方形纸片ABCD中，AD＝4cm，AB＝10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求DE.【知识点5】利用割补法求面积如图，大正方形网格是由16个边长为1的小正方形组成，求图中阴影部分的面积和边长。

【知识点5】勾股定理数学图形内的应用1、已知等腰三角形的一条腰长是5，底边长是6，求它底边上的高2、如图，在△ABC中，AB=26，BC=20，BC边上的中线AD=24，求AC.【知识点 6】 最近问题1、如图，在棱长为1的正方体ABCD —A ’B ’C ’D ’的表面上， 求从顶点A 到顶点C ’的最短距离．2、 如图，有一圆柱体，它的高为20cm ，底面半径为7cm ．在圆柱的下底面A 点处有一个 蜘蛛，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点处的苍蝇，需要爬行的最短路径是_______ cm （结果用带根号和π的式子表示）．课堂检测1、如图在ABC ∆中已知90ACB ∠=︒① 如果a=6，b=8则c=_ __② ②如果:3:4a b =且c=5，则a=_ ____b=___ __2、 图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是 直角三角形．若正方形A 、B 、C 、D 的边长分别是3、5、2、3，则最大正方 形E 的面积是_________3、 如图，等腰ABC △中，AB AC =，AD 是底边上的高，若5cm 6cm AB BC ==，， 则AD = cm ．4、 若ABC ∆的三条边长分别为7cm 、24cm 、25cm 。

勾股定理主讲教师：傲德我们一起回顾1、勾股定理2、勾股定理的几何证明重难点易错点解析勾股定理题一：一个直角三角形的一条直角边长为5，斜边长为13，则面积为（）A．30 B． 32.5 C．60 D．75勾股定理的几何证明题二：将全等的两个直角三角形△ABC和△CDE拼成如图所示图形，并使B、C、D三点共线，连接AE，请用此图证明勾股定理．abC金题精讲题一：四边形ABCD如图所示，请计算其面积．D B题二：已知，一直角三角形的两边长为3和4，则第三边长的平方为 ．题三：如图是我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形. 如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a ，较长的直角边为b ，那么(a +b )2的值是多少？思维拓展题一：如图，在一张长方形ABCD 纸张中，一边BC 折叠后落在对角线BD 上，点E 为折痕与边CD 的交点，若AB =5，BC =12，求图中阴影部分的面积．EA B学习提醒重点：勾股定理直角三角形，a、b为直角边，c为斜边——c2=a2+b2勾股定理的几何证明双求法——同一个图形用两种不同的求法勾股定理讲义参考答案重难点易错点解析题一：A．考点：勾股定理：直角三角形，a、b为直角边，c为斜边：c2=a2+b2题二：证明略，提示：三个直角三角形的面积=梯形的面积．考点：勾股定理的几何证明：双求法——同一个图形用两种不同的求法金题精讲题一：246．考点：勾股定理题二：25或7．考点：勾股定理题三：25．考点：勾股定理与乘法公式综合思维拓展题一：15.6．考点：勾股定理。

勾股定理勾股定理:直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。

（即：a2+b2＝c2）例1：（1）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7 cm，正方形A、B、C的面积分别是8 cm2、10 cm2、14 cm2，则正方形D的面积是_______cm2．如图，已知1号、4号两个正方形的面积为为7，2号、3号两个正方形的面积和为4，则a，b，c三个方形的面积和为（3）如图，阴影部分是以直角三角形的三边为直径的半圆，两个小半圆的面积和为100．则大的半圆面积是__________．例2：(1)在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝45°，AB＝3，则AC＝_______．BC＝______．(2)在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝3，则AC＝_______．BC＝______.(3)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC:AB=3:4，AB＝25，则AC＝_______．BC＝______.(4).在Rt△ABC中, AB＝6，AC＝8，则BC= .【巩固练习】1：（1）在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝45°，BC＝6, 求AC和BC．（2）在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，BC＝3，求AB和AC．（3）若直角三角形中，一斜边比一直角边大2，且另一直角边长为6，求斜边的长．（4）等腰三角形ABC的面积为12，底上的高AD为4，求它的腰长（5）等腰三角形的周长是20 cm，底边上的高是6 cm，求它的面积.2：（1）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，DE垂直平分AB，求BE的长.（2）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，AE平分∠CAE，ED⊥AB,求BE的长.（3）如图，折叠长方形纸片ABCD，是点D落在边BC上的点F处，折痕为AE，AB=CD=6，AD=BC=10，试求EC的长度.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。

——勾三股四弦五1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么222a b c +=. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方ABCa b c弦股勾勾：直角三角形较短的直角边 股：直角三角形较长的直角边 弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长,,a b c 有下面关系：222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形.2、勾股数：满足222a b c +=的三个正整数叫做勾股数（注意：若,,a b c 为勾股数，那么,,ka kb kc 同样也是勾股数组.）*附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,133、 判断直角三角形：如果三角形的三边长,,a b c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形。

（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（1）有一个角为90的三角形是直角三角形. （2）有两个角互余的三角形是直角三角形.用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c ）；（2）若222c a b =+，则ABC ∆是以C ∠为直角的三角形； 若222a b c +<，则此三角形为钝角三角形（其中c 为最大边）； 若222a b c +>，则此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边）4、注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半.（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30。

知识结构5、勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边. （2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系.（3）用于证明线段平方关系的6a =问题. （4例1、 在Rt ABC ∆中，90C ∠=(1)已知6a =， 10c =，求b ， (2)已知40a =，9b =，求c ； (3)已知25c =，15b =，求a .例2、如图，已知：在ABC ∆中，607030B AC AB ∠===，，。