2015届高三第三次诊断性考试数学(文科)试卷及答案四川省雅安市

2015年四川省雅安市高考三诊试卷（文科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合M={0，1}，N={﹣1，0}，则M∩N=（）A．{﹣1，0，1} B．{﹣1，1} C．{0} D．φ【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】根据集合的基本运算进行求解即可．【解析】解：∵M={0，1}，N={﹣1，0}，∴M∩N={0}，故选：C．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）已知向量=（1，2），=（x，﹣4），若∥，则x=（）A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2【考点】平行向量与共线向量．【专题】平面向量及应用．【分析】利用向量共线定理即可得出．【解析】解：∵∥，∴﹣4﹣2x=0，解得x=﹣2．故选：D．【点评】本题考查了向量共线定理，属于基础题．3．（5分）设a，b∈R，则“a≥1且b≥1”是“a+b≥2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的关系进行判断即可．【解析】解：若a≥1且b≥1则a+b≥2成立，当a=0，b=3时，满足a+b≥2，但a≥1且b≥1不成立，即“a≥1且b≥1”是“a+b≥2”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件，比较基础．4．（5分）设α为锐角，若cosα=，则sin2α的值为（）A．B．C．D．【考点】二倍角的正弦．【专题】三角函数的求值．【分析】利用同角三角函数基本关系式、倍角公式即可得出．【解析】解：∵α为锐角，cosα=，∴=．则sin2α=2sinαcosα==．故选：B．【点评】本题考查了同角三角函数基本关系式、倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是（）A．1 B． 2 C． 4 D．7【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】由已知中的程序框图及已知中输入3，可得：进入循环的条件为i≤3，即i=1，2，3．模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值．【解析】解：当i=1时，S=1+1﹣1=1；当i=2时，S=1+2﹣1=2；当i=3时，S=2+3﹣1=4；当i=4时，退出循环，输出S=4；故选C．【点评】本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理．6．（5分）某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）A．B．C．8﹣2π D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题．【分析】三视图复原的几何体是正方体，除去一个倒放的圆锥，根据三视图的数据，求出几何体的体积．【解析】解：三视图复原的几何体是棱长为：2的正方体，除去一个倒放的圆锥，圆锥的高为：2，底面半径为：1；所以几何体的体积是：8﹣=故选A．【点评】本题是基础题，考查三视图复原几何体的判定，几何体的体积的求法，考查空间想象能力，计算能力，常考题型．7．（5分）已知直线l：x﹣ky﹣5=0与圆O：x2+y2=10交于A，B两点且=0，则k=（）A．2 B．±2 C．±D．【考点】平面向量数量积的运算；直线与圆的位置关系．【专题】平面向量及应用．【分析】由题意可得弦长AB对的圆心角等于90°，故弦心距等于半径的倍，再利用点到直线的距离公式求得k的值．【解析】解：由题意可得弦长AB对的圆心角等于90°，故弦心距等于半径的倍，等于=，故有=，求得k=±2，故选：B．【点评】本题主要考查直线和圆相交的性质，弦长公式、点到直线的距离公式的应用，属于基础题．8．（5分）若实数a，b满足a2+b2≤1，则关于x的方程x2﹣2x+a+b=0有实数根的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【专题】概率与统计．【分析】易得总的基本事件包含的区域为单位圆，面积S=π，由根的存在性可得满足条件的区域为阴影部分，可求面积S′，由概率公式可得．【解析】解：∵实数a，b满足a2+b2≤1，∴点（a，b）在单位圆内，圆面积S=π，∵关于x的方程x2﹣2x+a+b=0有实数根，∴△=（﹣2）2﹣4（a+b）≥0，即a+b≤1，表示图中阴影部分，其面积S′=π﹣（π﹣）=+故所求概率P==故选：A．【点评】本题考查几何概型，涉及一元二次方程根的存在性和不等式与平面区域，属中档题．9．（5分）对于定义在正整数集且在正整数集上取值的函数f（x）满足f（1）≠1，且对∀n ∈N*，有f（n）+f（n+1）+f（f（n））=3n+1，则f（2）=（）A．1 B． 2 C． 3 D． 4【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】令n=1，得到等式f（1）+f（2）+f（f（1））=4，分别讨论f（2）的取值，进行排除验证即可．【解析】解：∵对∀n∈N*，有f（n）+f（n+1）+f（f（n））=3n+1，∴令n=1，则f（1）+f（2）+f（f（1））=4，若f（2）=2，则f（1）+f（f（1））=2，则必有f（1）=1，f（f（1））=1，与f（1）≠1矛盾，若f（2）=3，则f（1）+f（f（1））=1，∵定义在正整数集且在正整数集上取值的函数f（x），∴f（x）≥1，此时方程不成立，若f（2）=4，则f（1）+f（f（1））=0，∵定义在正整数集且在正整数集上取值的函数f（x），∴f（x）≥1，此时方程不成立，若f（2）=1，则f（1）+f（f（1））=3，∵定义在正整数集且在正整数集上取值的函数f（x），f（1）≠1，∴f（1）=2，f（2）=1成立，故选：A．【点评】本题主要考查函数值的运算和判断，利用特殊值法和排除法是解决本题的关键．10．（5分）过抛物线x2=4y的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，分别过A，B作抛物线的切线l1，l2，则l1与l2的交点P的轨迹方程是（）A．y=﹣1 B．y=﹣2 C．y=x﹣1 D．y=﹣x﹣1【考点】轨迹方程．【专题】导数的综合应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，由斜截式写出过焦点的直线方程，和抛物线方程联立求出A，B两点横坐标的积，再利用导数写出过A，B两点的切线方程，然后整体运算可求得两切线的交点的纵坐标为定值﹣1，从而得到两切线焦点的轨迹方程．【解析】解：由抛物线x2=4y得其焦点坐标为F（0，1）．设A（），B（），直线l：y=kx+1，联立，得：x2﹣4kx﹣4=0．∴x1x2=﹣4…①．又抛物线方程为：，求导得，∴抛物线过点A的切线的斜率为，切线方程为…②抛物线过点B的切线的斜率为，切线方程为…③由①②③得：y=﹣1．∴l1与l2的交点P的轨迹方程是y=﹣1．故选：A．【点评】本题考查了轨迹方程，训练了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了整体运算思想方法，是中档题．二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．（5分）已知（1+2i）z=3﹣i（i为虚数单位），则复数z=．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】直接由复数代数形式的除法运算化简求值即可得答案．【解析】解：由（1+2i）z=3﹣i，得．故答案为：．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．12．（5分）某高中共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表，已知在全校学生中随机抽取1人，抽到高二年级女生的概率是0.19，现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则在高三年级应抽取16名学生．【考点】分层抽样方法．【专题】概率与统计．【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．【解析】解：∵在全校学生中随机抽取1人，抽到高二年级女生的概率是0.19，∴，即m=380，则高一，高二的学生总数为373+380+377+370=1500，则高三学生为2000﹣1500=500，若用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则在高三年级应抽取，故答案为：16．【点评】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系，结合概率求出m是解决本题的关键．比较基础．13．（5分）若函数f（x）=（a+2）x2+2ax+1有零点，但不能用二分法求其零点，则a的值2或﹣1．【考点】二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用二次函数的性质以及函数的零点判定定理推出结果即可．【解析】解：函数f（x）=（a+2）x2+2ax+1有零点，说明函数是二次函数，函数的图象与x轴有一个交点，即△=4a2﹣4（a+2）=0解得a=2或﹣1故答案为：2或﹣1．【点评】本题考查二次函数的性质，函数的零点判定定理的应用，考查计算能力．14．（5分）曲线y=2sin（x+）cos（x﹣）和直线y=在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P1，P2，P3，…，则|P2P4|等于π．【考点】两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数；三角函数的周期性及其求法．【专题】计算题；压轴题．【分析】本题考查的知识点是诱导公式，二倍角公式及函数图象的交点，将y=2sin（x+）cos（x﹣）的解析式化简得y=sin（2x）+1，令y=，解得x=kπ+±（k∈N），代入易得|P2P4|的值．【解析】解：∵y=2sin（x+）cos（x﹣）=2sin（x﹣+）cos（x﹣）=2cos（x﹣）cos（x﹣）=cos[2（x﹣）]+1=cos（2x﹣）+1=sin（2x）+1若y=2sin（x+）cos（x﹣）=则2x=2kπ+±（k∈N）x=kπ+±（k∈N）故|P2P4|=π故答案为：π【点评】求两个函数图象的交点间的距离，关于是要求出交点的坐标，然后根据两点间的距离求法进行求解．15．（5分）以下命题，错误的是①②③（写出全部错误命题）①若f（x）=x3+（a﹣1）x2+3x+1没有极值点，则﹣2＜a＜4②f（x）=在区间（﹣3，+∞）上单调，则m≥③若函数f（x）=﹣m有两个零点，则m＜④已知f（x）=log a x（0＜a＜1），k，m，n∈R+且不全等，．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】导数的综合应用；简易逻辑．【分析】①若f（x）没有极值点，则f′（x）=3x2+2（a﹣1）x+3≥0恒成立，可得△≤0，解出即可判断出正误；②f（x）在区间（﹣3，+∞）上单调，f′（x）=≥0或f′（x）≤0恒成立，且m=时舍去，解出即可判断出正误；③f′（x）=，利用单调性可得：当x=e时，函数f（x）取得最大值，f（e）=．且x→0，f（x）→﹣∞；x→+∞，f（x）→﹣m．若函数f（x）有两个零点，则，解得即可判断出正误；④由于f（x）=log a x（0＜a＜1），可得函数f（x）在（0，+∞）上单调递减．k，m，n∈R+且不全等，kd ，，，等号不全相等，即可判断出正误．【解析】解：①若f（x）=x3+（a﹣1）x2+3x+1没有极值点，则f′（x）=3x2+2（a﹣1）x+3≥0恒成立，∴△=4（a﹣1）2﹣36≤0，解得﹣2≤a≤4，因此①不正确；②f（x）=在区间（﹣3，+∞）上单调，f′（x）=≥0或f′（x）≤0恒成立，且m=时舍去，因此m∈R且m≠，因此②不正确；③f′（x）=，当x∈（0，e）时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减，∴当x=e时，函数f（x）取得最大值，f （e）=．且x→0，f（x）→﹣∞；x→+∞，f（x）→﹣m．若函数f（x）=﹣m有两个零点，则，解得，因此③不正确．④∵f（x）=log a x（0＜a＜1），∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递减．∵k，m，n∈R+且不全等，则，，，等号不全相等，，因此正确．综上可得：错误的是①②③．故答案为：①②③．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：（本大题共6个小题，75分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（12分）已知向量，，函数（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f（C）=1，c=1，，且a＞b，求a，b的值．【考点】平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性；余弦定理．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）由题意结合数量积的定义可得f（x）的解析式，由整天法可求单调区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）和条件可得（2C+）=1，进而可得，结合余弦定理和结合可解答案．【解析】解：（Ⅰ）由题意可得：===（3分）由，得．（5分）所以f（x）的单调增区间是．（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）和条件可得（2C+）=1∵C是三角形内角，∴，即，（7分）∴cosC==，即a2+b2=7．（9分）将代入可得，解之得：a2=3或4，∴a=或2，∴b=2或，（11分）∵a＞b，∴a=2，b=．（12分）【点评】本题为三角函数和解三角形的综合应用，涉及余弦定理，属中档题．17．（12分）有编号为A1，A2，…A10的10个零件，测量其直径（单位：cm），得到下面数据：其中直径在区间[1.48，1.52]内的零件为一等品．（Ⅰ）从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；（Ⅱ）从一等品零件中，随机抽取2个．（ⅰ）用零件的编号列出所有可能的抽取结果；（ⅱ）求这2个零件直径相等的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式；等可能事件；等可能事件的概率．【专题】概率与统计．【分析】（1）考查古典概型用列举法计算随机事件所含的基本事件数，从10个零件中随机抽取一个共有10种不同的结果，而符合条件的由所给数据可知，一等品零件共有6个，由古典概型公式得到结果．（2）（i）从一等品零件中，随机抽取2个，一等品零件的编号为A1，A2，A3，A4，A5，A6．从这6个一等品零件中随机抽取2个，所有可能的结果有15种．（ii）从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等记为事件B，列举出B的所有可能结果有：{A1，A4}，{A1，A6}，{A4，A6}，{A2，A3}，{A2，A5}，{A3，A5}，共有6种．根据古典概型公式得到结果．【解析】（Ⅰ）解：由所给数据可知，一等品零件共有6个．设“从10个零件中，随机抽取一个为一等品”为事件A，则P（A）==；（Ⅱ）（i）一等品零件的编号为A1，A2，A3，A4，A5，A6．从这6个一等品零件中随机抽取2个，所有可能的结果有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}共有15种．（ii）“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”记为事件BB的所有可能结果有：{A1，A4}，{A1，A6}，{A4，A6}，{A2，A3}，{A2，A5}，{A3，A5}，共有6种．∴P（B）=．【点评】本小题主要考查用列举法计算随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率等基础知识，考查数据处理能力及运用概率知识解决简单的实际问题的能力．18．（12分）如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D﹣ABC，如图2所示．（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACD；（Ⅱ）求几何体D﹣ABC的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）解法一：由题中数量关系和勾股定理，得出AC⊥BC，再证BC垂直与平面ACD中的一条直线即可，△ADC是等腰Rt△，底边上的中线OD垂直底边，由面面垂直的性质得OD⊥平面ABC，所以OD⊥BC，从而证得BC⊥平面ACD；解法二：证得AC⊥BC后，由面面垂直，得线面垂直，即证．（Ⅱ），由高和底面积，求得三棱锥B﹣ACD的体积即是几何体D﹣ABC的体积．【解析】解：（Ⅰ）【解法一】：在图1中，由题意知，，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC取AC中点O，连接DO，则DO⊥AC，又平面ADC⊥平面ABC，且平面ADC∩平面ABC=AC，DO⊂平面ACD，从而OD⊥平面ABC，∴OD⊥BC又AC⊥BC，AC∩OD=O，∴BC⊥平面ACD【解法二】：在图1中，由题意，得，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC∵平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC=AC，BC⊂面ABC，∴BC⊥平面ACD （Ⅱ）由（Ⅰ）知，BC为三棱锥B﹣ACD的高，且，S△ACD=×2×2=2，所以三棱锥B﹣ACD的体积为：，由等积性知几何体D﹣ABC的体积为：．【点评】本题通过平面图形折叠后得立体图形，考查空间中的垂直关系，重点是“线线垂直，线面垂直，面面垂直”的转化；等积法求体积，也是常用的数学方法．19．（12分）已知数列{a n}的前项n和为S n，点（n，S n）（n∈N*）均在函数f（x）=3x2﹣2x 的图象上．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=是数列{b n}的前n项和，求使得2T n≤λ﹣2015对所有n∈N*都成立的实数λ的范围．【考点】数列的求和；数列与函数的综合．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）利用点（n，S）在函数f（x）=3x2﹣2x的图象上，得到，求出首项，判断数列是等差数列，然后求解通项公式．（2另一类消费求出数列的和，然后结合不等式求出λ≥2016即可．【解析】解：（1）∵点（n，S）在函数f（x）=3x2﹣2x的图象上，∴当n=1时，a1=S1=3﹣2=1…（2分）当n≥2时，=6n﹣5…（5分）当n=1时，6n﹣1=1符合∴…（6分）（2）∵，∴=…（10分）∴2T n＜1又∵2T n≤λ﹣2015对所有n∈N*都成立∴1≤λ﹣2015故λ≥2016…（12分）【点评】本题考查等差数列的判定，数列求和的方法，数列与函数相结合，以及不等式的应用，考查计算能力．20．（13分）已知抛物线C1：y2=2px（p＞0）的焦点F以及椭圆C2：=1（a＞b＞0）的上、下焦点及左、右顶点均在圆O：x2+y2=1上．（1）求抛物线C1和椭圆C2的标准方程；（2）过点F的直线交抛物线C1于A，B两不同点，交y轴于点N，已知=，=，则λ1+λ2是否为定值？若是，求出其值；若不是，说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）根据抛物线的焦点坐标满足圆的方程确定等量关系，求解抛物线方程；根据椭圆的焦点和右定点也在圆上，确定椭圆方程；（2）利用已知的向量关系式进行坐标转化求出λ1=，λ2=然后通过直线与抛物线方程联立，借助韦达定理进行化简λ1+λ2并求值．【解析】解：（1）由抛物线C1：y2=2px（p＞0）的焦点F（）在圆O：x2+y2=1上得：∴p=2，∴抛物线C1：y2=4x（3分）同理由椭圆C2：=1（a＞b＞0）的上、下焦点（0，c），（0，﹣c）及左、右顶点（﹣b，0），（b，0）均在圆O：x2+y2=1上可解得：b=c=1，∴．得椭圆C2：x2+．（6分）（2）λ1+λ2是定值，且定值为﹣1．设直线AB的方程为y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2）则N（0，k）．联立方程组，消去y得：k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，∴△=16k2+16＞0，且，（9分）由=，=得：λ1（1﹣x1）=x1，λ2（1﹣x2）=x2，整理得：λ1=，λ2=，λ1+λ2=（13分）【点评】本题考查抛物线与椭圆的标准方程的求法，直线与圆锥曲线的位置关系，考查分析问题解决问题的能力．21．（14分）已知函数f（x）=x2﹣（2a+1）x+alnx，a∈R（1）当a=1，求f（x）的单调区间；（2）a＞1时，求f（x）在区间[1，e]上的最小值；（3）g（x）=（1﹣a）x，若使得f（x0）≥g（x0）成立，求a的范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）求出f（x）的表达式，定义域以及导数，然后判断导函数的符号，求出单调区间．（2）求出导函数以及极值点，通过当1＜a＜e时，当a≥e时方便起见函数的最小值即可．（3）转化不等式f（x）≥g（x）在区间上有解为x2﹣2x+a（lnx﹣x）≥0在上有解，通过时，当x∈（1，e]时，求解函数的导数求出新函数的最值，然后求解a的取值范围．【解析】解：（1）当a=1，f（x）=x2﹣3x+lnx，定义域（0，+∞），∴…（2分），解得x=1或x=，x∈，（1，+∞），f′（x）＞0，f（x）是增函数，x∈（，1），函数是减函数．…（4分）（2）∴，∴，当1＜a＜e时，∴f（x）min=f（a）=a（lna﹣a﹣1）当a≥e时，f（x）在[1，a）减函数，（a，+∞）函数是增函数，∴综上…（9分）（3）由题意不等式f（x）≥g（x）在区间上有解即x2﹣2x+a（lnx﹣x）≥0在上有解，∵当时，lnx≤0＜x，当x∈（1，e]时，lnx≤1＜x，∴lnx﹣x＜0，∴在区间上有解．令…（10分）∵，∴x+2＞2≥2lnx∴时，h′（x）＜0，h（x）是减函数，x∈（1，e]，h（x）是增函数，∴，∴时，，∴∴a的取值范围为…（14分）【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．。

雅安市高中2015级第三次诊断性考试数学试题(理科)（本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，答题时间120分钟） 注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。

并检查条形码粘贴是否正确。

2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

3.考试结束后，将答题卡收回。

第Ⅰ卷 （选择题，50分）一、选择题：(本大题共10个小题,每小题5分,共50分.)在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}02=-=x x x M ，{}0,1-=N ,则=N MA. {}1,0,1-B. {}1,1-C. {}0D. φ2. 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x ，－4)，若a ∥b ，则x = A ．4B ．－4C ．2D ．2-3. 设a,b ∈R,则“a ≥1且b ≥1”是“a+b ≥2”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 设α为锐角，若cos ()6πα+＝45，则sin (2)3πα+的值为A ．2512 B ．2425C. 2425-D ．1225-5. 执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为3,则输出s 的值是 A. 1B. 2C. 4D. 76. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是A. 283π-B. 83π-C. 82π-D.23π 7. 已知直线l ：50x ky --=与圆O :2210x y +=交于,A B两点且0OA OB ⋅=，则k =A.2B. 2±C. 8. 若实数a ，b 满足a 2＋b 2≤1，则关于x 的方程x 2－2x ＋a ＋b ＝0有实数根的概率是A.3142π+ B ．314π+ C ．3152π+ D ．315π+ 9.过抛物线24x y =的焦点作直线l 交抛物线于A,B 两点，分别过A,B 作抛物线的切线12,l l ,则1l 与2l 的交点P 的轨迹方程是（ ）A.1y =-B.2y =-C.1y x =-D. 1y x =--10. 对于定义在正整数集且在正整数集上取值的函数)(x f 满足1)1(≠f ，且对*N n ∈∀,有,13))(()1()(+=+++n n f f n f n f 则=)2015(fA. 2014B. 2015C. 2016D. 2017第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上） 11. 已知(1＋2i) z ＝3－i(i 为虚数单位)，则复数z = 12. 在二项式22()nx x-的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为 .13. 若函数12)2()(2+++=ax x a x f 有零点，但不能用二分法求其零点，则a 的值______ 14．曲线y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4与直线y ＝12在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P 1，P 2，P 3，…，则|P 2P 4|＝________15. 以下命题，错误的是_________（写出全部错误命题）①若13)1()(23++-+=x x a x x f 没有极值点，则42<<-a②31)(++=x mx x f 在区间()+∞-,3上单调，则31≥m③若函数m x x x f -=ln )(有两个零点，则em 1< ④已知且不全等，+∈<<=R n m k a x x f a ,,),10(log )()()()()2()2()2(n f m f k f n k f n m f m k f ++<+++++则三、解答题：(本大题共6个小题,75分)解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 16．（本题满分12分）已知向量p ＝(2sin x ，3cos x )，q ＝(－sin x,2sin x )，函数f (x )＝p ·q (1)求f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且f (C)＝1，c ＝1，ab ＝23， 且a >b ，求a ，b 的值．17. （本题满分12分）雅安市某中学随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学路上所需时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]． （1）求直方图中x 的值；（2）如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生1200名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿； （3）从学校的高一学生中任选4名学生，这4名学生中上学路上所需时间少于20分钟的人数记为X ，求X 的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）18. （本题满分12分）如图1在Rt ABC ∆中，90ABC ︒∠=，D 、E 分别为线段AB 、AC 的中点，4,AB BC ==DE 为折痕，将Rt ADE ∆折起到图2的位置，使平面A DE '⊥平面DBCE ，连接,A C A B ''，设F 是线段A C '上的动点，满足CF CA λ'=． （1）证明：平面FBE A DC '⊥平面；（2）若二面角F BE C --的大小为45°，求λ的值．C频率/组距时间19.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前项n 和为n S ，点))(,(*∈N n S n n 均在函数x x x f 23)(2-=的图象上。

第Ⅰ卷（共50分）一、选择题:本大题共10个小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1。

已知集合{}02=M （）=xM,{}0,1-xx-=N,则=NA. {}1,0,1-B。

{}1,1- C. {}0D。

φ【答案】C考点：集合的基本运算.2.已知向量a＝（1,2），b＝（x,－4）,若a∥b，则x（）A．4 B．－4 C．2 D．2【答案】D【解析】试题分析：因为a∥b，42,2x x,选D.考点：共线向量。

3.设a，b∈R,则“a≥1且b≥1”是“a+b≥2”的（）A。

充分而不必要条件B。

必要而不充分条件C。

充分必要条件D。

既不充分也不必要条件【答案】A【解析】 试题分析：若1,1ab ，则2a b,故为充分条件；但2a b，不一定有1,1a b ,比如3,0.5a b ，故不是必要条件.选A 。

考点：命题与逻辑。

4.设α为锐角,若cos ()6πα+＝45，则sin (2)3πα+的值为（ ）A ．2512 B ．2425 C 。

2425D ．1225【答案】B 【解析】 试题分析：令6，则43cos,sin 55，3424sin(2)sin 22sin cos235525,选B 。

考点:三角恒等变换。

5.执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为3，则输出s 的值是( )A 。

1B 。

2 C. 4 D 。

7【答案】C 【解析】试题分析:这是一个循环结构，循环的结果依次为：101,2;112,3;224,4S i S i S i =+===+===+==。

最后输出4。

选C.考点：程序框图.6。

某几何体的三视图如图所示,则它的体积是 ( ） A.283π- B 。

83π-C.82π- D 。

23π【答案】A 【解析】试题分析：从三视图可知，该几何体为正方体中间挖去一个圆锥所得的几何体，其体积为3212212833V。

选A 。

考点：三视图及几何体的体积。

雅安市高中2015级第三次诊断性考试数学试题(理科)（本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，答题时间120分钟） 注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。

并检查条形码粘贴是否正确。

2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

3.考试结束后，将答题卡收回。

第Ⅰ卷 （选择题，50分）一、选择题：(本大题共10个小题,每小题5分,共50分.)在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}02=-=x x x M ，{}0,1-=N ,则=N MA. {}1,0,1-B. {}1,1-C. {}0D. φ2. 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x ，－4)，若a ∥b ，则x = A ．4B ．－4C ．2D ．2-3. 设a,b ∈R,则“a ≥1且b ≥1”是“a+b ≥2”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 设α为锐角，若cos ()6πα+＝45，则sin (2)3πα+的值为A ．2512 B ．2425C. 2425-D ．1225-5. 执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为3,则输出s 的值是 A. 1B. 2C. 4D. 76. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是 A. 283π-B. 83π-C. 82π-D.23π7. 已知直线l ：50x ky --=与圆O :2210x y +=交于,A B 两点且0OA OB ⋅=，则k=A.2B. 2±C. 2±D. 28. 若实数a ，b 满足a 2＋b 2≤1，则关于x 的方程x 2－2x ＋a ＋b ＝0有实数根的概率是A.3142π+ B ．314π+ C ．3152π+ D ．315π+ 9.过抛物线24x y =的焦点作直线l 交抛物线于A,B 两点，分别过A,B 作抛物线的切线12,l l ,则1l 与2l 的交点P 的轨迹方程是（ ）A.1y =-B.2y =-C.1y x =-D. 1y x =--10. 对于定义在正整数集且在正整数集上取值的函数)(x f 满足1)1(≠f ，且对*N n ∈∀,有,13))(()1()(+=+++n n f f n f n f 则=)2015(fA. 2014B. 2015C. 2016D. 2017第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上） 11. 已知(1＋2i) z ＝3－i(i 为虚数单位)，则复数z = 12. 在二项式22()nx x-的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为 .13. 若函数12)2()(2+++=ax x a x f 有零点，但不能用二分法求其零点，则a 的值______ 14．曲线y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4与直线y ＝12在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P 1，P 2，P 3，…，则|P 2P 4|＝________15. 以下命题，错误的是_________（写出全部错误命题）①若13)1()(23++-+=x x a x x f 没有极值点，则42<<-a②31)(++=x mx x f 在区间()+∞-,3上单调，则31≥m③若函数m x x x f -=ln )(有两个零点，则em 1<④已知且不全等，+∈<<=R n m k a x x f a ,,),10(log )()()()()2()2()2(n f m f k f nk f n m f m k f ++<+++++则 三、解答题：(本大题共6个小题,75分)解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 16．（本题满分12分）已知向量p ＝(2sin x ，3cos x )，q ＝(－sin x,2sin x )，函数f (x )＝p ·q (1)求f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且f (C)＝1，c ＝1，ab ＝23， 且a >b ，求a ，b 的值． 17. （本题满分12分）雅安市某中学随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学路上所需时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．（1）求直方图中x 的值；（2）如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生1200名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿； （3）从学校的高一学生中任选4名学生，这4名学生中上学路上所需时间少于20分钟的人数记为X ，求X 的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率） 18. （本题满分12分）如图1在Rt ABC ∆中，90ABC ︒∠=，D 、E 分别为线段AB 、AC 的中点，4,22AB BC ==．以DE 为折痕，将Rt ADE ∆折起到图2的位置，使平面A DE '⊥平面DBCE ，连接,A C A B ''，设F 是线段A C '上的动点，满足CF CA λ'=． （1）证明：平面FBE A DC '⊥平面；（2）若二面角F BE C --的大小为45°，求λ的值．图1ADBECA'BDEC图2F19.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前项n 和为n S ，点))(,(*∈N n S n n 均在函数x x x f 23)(2-=的图象上。

雅安市高中2015级第三次诊断性考试数学试题(理科)（本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，答题时间120分钟） 注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。

并检查条形码粘贴是否正确。

2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

3.考试结束后，将答题卡收回。

第Ⅰ卷 （选择题，50分）一、选择题：(本大题共10个小题,每小题5分,共50分.)在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}02=-=x x x M ，{}0,1-=N ,则=N MA. {}1,0,1-B. {}1,1-C. {}0D. φ2. 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x ，－4)，若a ∥b ，则x = A ．4B ．－4C ．2D ．2-3. 设a,b ∈R,则“a ≥1且b ≥1”是“a+b ≥2”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 设α为锐角，若cos ()6πα+＝45，则sin (2)3πα+的值为A ．2512 B ．2425C. 2425-D ．1225-5. 执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为3,则输出s 的值是 A. 1B. 2C. 4D. 76. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是 A. 283π-B. 83π- C. 82π-D.23π7. 已知直线l ：50x ky --=与圆O :2210x y +=交于,A B 两点且0OA OB ⋅=，则k=A.2B. 2±C.D.8. 若实数a ，b 满足a 2＋b 2≤1，则关于x 的方程x 2－2x ＋a ＋b ＝0有实数根的概率是 A.3142π+ B ．314π+ C ．3152π+ D ．315π+ 9.过抛物线24x y =的焦点作直线l 交抛物线于A,B 两点，分别过A,B 作抛物线的切线12,l l ,则1l 与2l 的交点P 的轨迹方程是（ ） A.1y =-B.2y =-C.1y x =-D. 1y x =--10. 对于定义在正整数集且在正整数集上取值的函数)(x f 满足1)1(≠f ，且对*N n ∈∀,有,13))(()1()(+=+++n n f f n f n f 则=)2015(fA. 2014B. 2015C. 2016D. 2017 第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上） 11. 已知(1＋2i) z ＝3－i(i 为虚数单位)，则复数z =12. 在二项式22()nx x-的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为 .13. 若函数12)2()(2+++=ax x a x f 有零点，但不能用二分法求其零点，则a 的值______ 14．曲线y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4cos ⎝⎛⎭⎫x －π4与直线y ＝12在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P 1，P 2，P 3，…，则|P 2P 4|＝________15. 以下命题，错误的是_________（写出全部错误命题） ①若13)1()(23++-+=x x a x x f 没有极值点，则42<<-a②31)(++=x mx x f 在区间()+∞-,3上单调，则31≥m③若函数m x x x f -=ln )(有两个零点，则em 1< ④已知且不全等，+∈<<=R n m k a x x f a ,,),10(log )()()()()2()2()2(n f m f k f nk f n m f m k f ++<+++++则 三、解答题：(本大题共6个小题,75分)解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 16．（本题满分12分）已知向量p ＝(2sin x ，3cos x )，q ＝(－sin x,2sin x )，函数f (x )＝p ·q (1)求f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且f (C)＝1，c ＝1，ab ＝23， 且a >b ，求a ，b 的值． 17. （本题满分12分）雅安市某中学随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学路上所需时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]． （1）求直方图中x 的值；（2）如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生1200名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿； （3）从学校的高一学生中任选4名学生，这4名学生中上学路上所需时间少于20分钟的人数记为X ，求X 的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率） 18. （本题满分12分）如图1在Rt ABC ∆中，90ABC ︒∠=，D 、E 分别为线段AB 、AC 的中点，4,AB BC ==．以DE 为折痕，将Rt ADE ∆折起到图2的位置，使平面A DE '⊥平面DBCE ，连接,A C A B ''，设F 是线段A C '上的动点，满足CF CA λ'=．（1）证明：平面FBE A DC '⊥平面；（2）若二面角F BE C --的大小为45°，求λ的值．图1EC频率/组距时间19.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前项n 和为n S ，点))(,(*∈N n S n n 均在函数x x x f 23)(2-=的图象上。

2015年四川省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）（2015•四川）设集合M={x|﹣1＜x＜2}，集合N={x|1＜x＜3}，则M∪N=（）A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{x|1＜x＜3}D．{x|1＜x＜2}2．（5分）（2015•四川）设向量=（2，4）与向量=（x，6）共线，则实数x=（）A．2 B．3 C．4 D．63．（5分）（2015•四川）某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（）A．抽签法B．系统抽样法C．分层抽样法D．随机数法4．（5分）（2015•四川）设a，b为正实数，则“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）（2015•四川）下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（）A．y=cos（2x+）B．y=sin（2x+）C．y=sin2x+cos2x D．y=sinx+cosx6．（5分）（2015•四川）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（）A．﹣B．C．﹣D．7．（5分）（2015•四川）过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则|AB|=（）A．B．2C．6 D．48．（5分）（2015•四川）某食品保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y=e kx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（）A．16小时B．20小时C．24小时D．28小时9．（5分）（2015•四川）设实数x，y满足，则xy的最大值为（）A．B．C．12 D．1610．（5分）（2015•四川）设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点，与圆（x﹣5）2+y2=r2（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（）A．（1，3）B．（1，4）C．（2，3）D．（2，4）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）（2015•四川）设i是虚数单位，则复数i﹣=．12．（5分）（2015•四川）lg0.01+log216的值是．13．（5分）（2015•四川）已知sinα+2cosα=0，则2sinαcosα﹣cos2α的值是．14．（5分）（2015•四川）在三棱住ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设M，N，P分别是AB，BC，B1C1的中点，则三棱锥P﹣AMN的体积是．15．（5分）（2015•四川）已知函数f（x）=2x，g（x）=x2+ax（其中a∈R）．对于不相等的实数x1、x2，设m=，n=．现有如下命题：①对于任意不相等的实数x1、x2，都有m＞0；②对于任意的a及任意不相等的实数x1、x2，都有n＞0；③对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=n；④对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=﹣n．其中的真命题有（写出所有真命题的序号）．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）（2015•四川）设数列{a n}（n=1，2，3…）的前n项和S n，满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列的前n项和为T n，求T n．17．（12分）（2015•四川）一辆小客车上有5名座位，其座号为1，2，3，4，5，乘客P1，P2，P3，P4，P5的座位号分别为1，2，3，4，5．他们按照座位号顺序先后上车，乘客P1因身体原因没有坐自己1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就坐：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位．如果自己的座位已有乘客就坐，就在这5个座位的剩余空位中选择座位．（Ⅰ）若乘客P1坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法．下表给出其中两种坐法，请填入余下两种坐法（将乘客就坐的座位号填入表中空格处）乘客P1P2P3P4P5座位号3 2 1 4 5 3 2 4 5 1（Ⅱ）若乘客P1坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，求乘客P5坐到5号座位的概率．18．（12分）（2015•四川）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．（Ⅰ）请按字母F ，G，H标记在正方体相应地顶点处（不需要说明理由）（Ⅱ）判断平面BEG 与平面ACH 的位置关系．并说明你的结论．（Ⅲ）证明：直线DF⊥平面BEG．19．（12分）（2015•四川）已知A、B 、C为△ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x2+px ﹣p+1=0（p∈R）两个实根．（Ⅰ）求C的大小（Ⅱ）若AB=3，AC=，求p的值．20．（13分）（2015•四川）如图，椭圆E：=1（a＞b＞0）的离心率是，点P（0，1）在短轴CD上，且•=﹣1（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A、B两点．是否存在常数λ，使得•+λ•为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．21．（14分）（2015•四川）已知函数f（x）=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．（Ⅰ）设g（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性；（Ⅱ）证明：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解．2015年四川省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）（2015•四川）设集合M={x|﹣1＜x＜2}，集合N={x|1＜x＜3}，则M∪N=（）A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{x|1＜x＜3}D．{x|1＜x＜2}【分析】根据并集的定义解答即可．【解答】解：根据并集的定义知：M∪N={x|﹣1＜x＜3}，故选：A．【点评】本题考查了并集运算，熟练掌握并集的定义是解题的关键．2．（5分）（2015•四川）设向量=（2，4）与向量=（x，6）共线，则实数x=（）A．2 B．3 C．4 D．6【分析】利用向量共线的充要条件得到坐标的关系求出x．【解答】解；因为向量=（2，4）与向量=（x，6）共线，所以4x=2×6，解得x=3；故选：B．【点评】本题考查了向量共线的坐标关系；如果两个向量向量=（x，y）与向量=（m，n）共线，那么xn=ym．3．（5分）（2015•四川）某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（）A．抽签法B．系统抽样法C．分层抽样法D．随机数法【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样．【解答】解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，而事先已经了解到三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，这种方式具有代表性，比较合理．故选：C．【点评】本小题考查抽样方法，主要考查抽样方法，属基本题．4．（5分）（2015•四川）设a，b为正实数，则“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【分析】先求出log2a＞log2b＞0的充要条件，再和a＞b＞1比较，从而求出答案．【解答】解：若log2a＞log2b＞0，则a＞b＞1，故“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的充要条件，故选：A．【点评】本题考察了充分必要条件，考察对数函数的性质，是一道基础题．5．（5分）（2015•四川）下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（）A．y=cos（2x+）B．y=sin（2x+）C．y=sin2x+cos2x D．y=sinx+cosx【分析】求出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可．【解答】解：y=cos（2x+）=﹣sin2x，是奇函数，函数的周期为：π，满足题意，所以A正确y=sin（2x+）=cos2x，函数是偶函数，周期为：π，不满足题意，所以B不正确；y=sin2x+cos2x=sin（2x+），函数是非奇非偶函数，周期为π，所以C不正确；y=sinx+cosx=sin（x+），函数是非奇非偶函数，周期为2π，所以D不正确；故选：A．【点评】本题考查两角和与差的三角函数，函数的奇偶性以及红丝带周期的求法，考查计算能力．6．（5分）（2015•四川）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（）A．﹣B．C．﹣D．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k的值，当k=5时满足条件k＞4，计算并输出S的值为．【解答】解：模拟执行程序框图，可得k=1k=2不满足条件k＞4，k=3不满足条件k＞4，k=4不满足条件k＞4，k=5满足条件k＞4，S=sin=，输出S的值为．故选：D．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题．7．（5分）（2015•四川）过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则|AB|=（）A．B．2C．6 D．4【分析】求出双曲线的渐近线方程，求出AB的方程，得到AB坐标，即可求解|AB|．【解答】解：双曲线x2﹣=1的右焦点（2，0），渐近线方程为y=，过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，x=2，可得y A=2，y B=﹣2，∴|AB|=4．故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查基本知识的应用．8．（5分）（2015•四川）某食品保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y=e kx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（）A．16小时B．20小时C．24小时D．28小时【分析】由已知中保鲜时间与储藏温度是一种指数型关系，由已知构造方程组求出e k，e b 的值，运用指数幂的运算性质求解e33k+b即可．【解答】解：y=e kx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．当x=0时，e b=192，当x=22时e22k+b=48，∴e22k==e11k=e b=192当x=33时，e33k+b=（e k）33•（e b）=（）3×192=24故选：C【点评】本题考查的知识点是函数解析式的运用，列出方程求解即可，注意整体求解．9．（5分）（2015•四川）设实数x，y满足，则xy的最大值为（）A．B．C．12 D．16【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用基本不等式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图；由图象知y≤10﹣2x，则xy≤x（10﹣2x）=2x（5﹣x））≤2（）2=，当且仅当x=，y=5时，取等号，经检验（，5）在可行域内，故xy的最大值为，故选：A【点评】本题主要考查线性规划以及基本不等式的应用，利用数形结合是解决本题的关键．10．（5分）（2015•四川）设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点，与圆（x﹣5）2+y2=r2（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（）A．（1，3）B．（1，4）C．（2，3）D．（2，4）【分析】先确定M的轨迹是直线x=3，代入抛物线方程可得y=±2，所以交点与圆心（5，0）的距离为4，即可得出结论．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），斜率存在时，设斜率为k，则y12=4x1，y22=4x2，则，相减，得（y1+y2）（y1﹣y2）=4（x1﹣x2），当l的斜率存在时，利用点差法可得ky0=2，因为直线与圆相切，所以=﹣，所以x0=3，即M的轨迹是直线x=3．将x=3代入y2=4x，得y2=12，∴，∵M在圆上，∴，∴r2=，∵直线l恰有4条，∴y0≠0，∴4＜r2＜16，故2＜r＜4时，直线l有2条；斜率不存在时，直线l有2条；所以直线l恰有4条，2＜r＜4，故选：D．【点评】本题考查直线与抛物线、圆的位置关系，考查点差法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）（2015•四川）设i是虚数单位，则复数i﹣=2i．【分析】直接利用复数的运算法则求解即可．【解答】解：复数i﹣=i﹣=i+i=2i．故答案为：2i．【点评】本题考查复数的基本运算，考查计算能力．12．（5分）（2015•四川）lg0.01+log216的值是2．【分析】直接利用对数的运算法则化简求解即可．【解答】解：lg0.01+log216=﹣2+4=2．故答案为：2．【点评】本题考查对数的运算法则的应用，考查计算能力．13．（5分）（2015•四川）已知sinα+2cosα=0，则2sinαcosα﹣cos2α的值是﹣1．【分析】已知等式移项变形求出tanα的值，原式利用同角三角函数间的基本关系化简，将tanα的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵sinα+2cosα=0，即sinα=﹣2cosα，∴tanα=﹣2，则原式=====﹣1，故答案为：﹣1【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．14．（5分）（2015•四川）在三棱住ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设M，N，P分别是AB，BC，B1C1的中点，则三棱锥P﹣AMN的体积是．【分析】判断三视图对应的几何体的形状，画出图形，利用三视图的数据，求解三棱锥P﹣AMN的体积即可．【解答】解：由三视图可知，可知几何体的图形如图：几何体是底面为等腰直角三角形直角边长为1，高为1的直三棱柱，所求三棱锥的高为NP=1，底面AMN的面积是底面三角形ABC的，所求三棱锥P﹣AMN的体积是：=．故答案为：．【点评】本题考查三视图与直观图的关系，组作出几何体的直观图是解题的关键之一，考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．15．（5分）（2015•四川）已知函数f（x）=2x，g（x）=x2+ax（其中a∈R）．对于不相等的实数x1、x2，设m=，n=．现有如下命题：①对于任意不相等的实数x1、x2，都有m＞0；②对于任意的a及任意不相等的实数x1、x2，都有n＞0；③对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=n；④对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=﹣n．其中的真命题有①④（写出所有真命题的序号）．【分析】运用指数函数的单调性，即可判断①；由二次函数的单调性，即可判断②；通过函数h（x）=x2+ax﹣2x，求出导数判断单调性，即可判断③；通过函数h（x）=x2+ax+2x，求出导数判断单调性，即可判断④．【解答】解：对于①，由于2＞1，由指数函数的单调性可得f（x）在R上递增，即有m＞0，则①正确；对于②，由二次函数的单调性可得g（x）在（﹣∞，﹣）递减，在（﹣，+∞）递增，则n＞0不恒成立，则②错误；对于③，由m=n，可得f（x1）﹣f（x2）=g（x1）﹣g（x2），即为g（x1）﹣f（x1）=g（x2）﹣f（x2），考查函数h（x）=x2+ax﹣2x，h′（x）=2x+a﹣2x ln2，当a→﹣∞，h′（x）小于0，h（x）单调递减，则③错误；对于④，由m=﹣n，可得f（x1）﹣f（x2）=﹣[g（x1）﹣g（x2）]，考查函数h（x）=x2+ax+2x，h′（x）=2x+a+2x ln2，对于任意的a，h′（x）不恒大于0或小于0，则④正确．故答案为：①④．【点评】本题考查函数的单调性及运用，注意运用指数函数和二次函数的单调性，以及导数判断单调性是解题的关键．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）（2015•四川）设数列{a n}（n=1，2，3…）的前n项和S n，满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列的前n项和为T n，求T n．【分析】（Ⅰ）由条件S n满足S n=2a n﹣a1，求得数列{a n}为等比数列，且公比q=2；再根据a1，a2+1，a3成等差数列，求得首项的值，可得数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）由于=，利用等比数列的前n项和公式求得数列的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）由已知S n=2a n﹣a1，有a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2a n﹣1（n≥2），即a n=2a n﹣1（n≥2），从而a2=2a1，a3=2a2=4a1．又因为a1，a2+1，a3成等差数列，即a1+a3=2（a2+1）所以a1+4a1=2（2a1+1），解得：a1=2．所以，数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列．故a n=2n．（Ⅱ）由（Ⅰ）得=，所以T n=+++…+==1﹣．【点评】本题主要考查数列的前n项和与第n项的关系，等差、等比数列的定义和性质，等比数列的前n项和公式，属于中档题．17．（12分）（2015•四川）一辆小客车上有5名座位，其座号为1，2，3，4，5，乘客P1，P2，P3，P4，P5的座位号分别为1，2，3，4，5．他们按照座位号顺序先后上车，乘客P1因身体原因没有坐自己1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就坐：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位．如果自己的座位已有乘客就坐，就在这5个座位的剩余空位中选择座位．（Ⅰ）若乘客P1坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法．下表给出其中两种坐法，请填入余下两种坐法（将乘客就坐的座位号填入表中空格处）乘客P1P2P3P4P5座位号3 2 1 4 5 3 2 4 5 132415 32541（Ⅱ）若乘客P1坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，求乘客P5坐到5号座位的概率．【分析】（Ⅰ）根据题意，可以完成表格；（Ⅱ）列表，确定所有可能的坐法，再求出乘客P1坐到5号座位的概率．【解答】解：（Ⅰ）余下两种坐法：乘客P1P2P3P4P5座位号3 2 1 4 5 3 2 4 5 1 3 2 4 1 5 3 2 5 4 1（Ⅱ）若乘客P1坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，则所有可能的坐法可用下表表示为乘客P1P2P3P4P5座位号2 1 3 4 5 2 3 1 4 5 2 3 4 1 5 2 3 4 5 1 2 3 5 4 1 2 4 3 1 5 2 4 3 5 1 2 5 3 4 1于是，所有可能的坐法共8种，设“乘客P5坐到5号座位”为事件A，则事件A中的基本事件的个数为4，所以P（A）==．答：乘客P5坐到5号座位的概率是．【点评】本题考查概率的运用，考查学生的计算能力，列表确定基本事件的个数是关键．18．（12分）（2015•四川）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．（Ⅰ）请按字母F，G，H标记在正方体相应地顶点处（不需要说明理由）（Ⅱ）判断平面BEG与平面ACH的位置关系．并说明你的结论．（Ⅲ）证明：直线DF⊥平面BEG．【分析】（Ⅰ）直接标出点F，G，H的位置．（Ⅱ）先证BCHE为平行四边形，可知BE∥平面ACH，同理可证BG∥平面ACH，即可证明平面BEG∥平面ACH．（Ⅲ）连接FH，由DH⊥EG，又DH⊥EG，EG⊥FH，可证EG⊥平面BFHD，从而可证DF⊥EG，同理DF⊥BG，即可证明DF⊥平面BEG．【解答】解：（Ⅰ）点F，G，H的位置如图所示．（Ⅱ）平面BEG∥平面ACH，证明如下：∵ABCD﹣EFGH为正方体，∴BC∥FG，BC=EH，又FG∥EH，FG=EH，∴BC∥EH，BC=EH，∴BCHE为平行四边形．∴BE∥CH，又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，∴BE∥平面ACH，同理BG∥平面ACH，又BE∩BG=B，∴平面BEG∥平面ACH．（Ⅲ）连接FH，∵ABCD﹣EFGH为正方体，∴DH⊥EG，又∵EG⊂平面EFGH，∴DH⊥EG，又EG⊥FH，EG∩FH=O，∴EG⊥平面BFHD，又DF⊂平面BFHD，∴DF⊥EG，同理DF⊥BG，又∵EG∩BG=G，∴DF⊥平面BEG．【点评】本题主要考查了简单空间图形的直观图、空间线面平行与垂直的判定与性质等基础知识，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．19．（12分）（2015•四川）已知A、B、C为△ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x2+px ﹣p+1=0（p∈R）两个实根．（Ⅰ）求C的大小（Ⅱ）若AB=3，AC=，求p的值．【分析】（Ⅰ）由判别式△=3p2+4p﹣4≥0，可得p≤﹣2，或p≥，由韦达定理，有tanA+tanB=﹣p，tanAtanB=1﹣p，由两角和的正切函数公式可求tanC=﹣tan（A+B）=，结合C 的范围即可求C的值．（Ⅱ）由正弦定理可求sinB==，解得B，A，由两角和的正切函数公式可求tanA=tan75°，从而可求p=﹣（tanA+tanB）的值．【解答】解：（Ⅰ）由已知，方程x2+px﹣p+1=0的判别式：△=（p）2﹣4（﹣p+1）=3p2+4p﹣4≥0，所以p≤﹣2，或p≥．由韦达定理，有tanA+tanB=﹣p，tanAtanB=1﹣p．所以，1﹣tanAtanB=1﹣（1﹣p）=p≠0，从而tan（A+B）==﹣=﹣．所以tanC=﹣tan（A+B）=，所以C=60°．（Ⅱ）由正弦定理，可得sinB===，解得B=45°，或B=135°（舍去）．于是，A=180°﹣B﹣C=75°．则tanA=tan75°=tan（45°+30°）===2+．所以p=﹣（tanA+tanB）=﹣（2+）=﹣1﹣．【点评】本题主要考查了和角公式、诱导公式、正弦定理等基础知识，考查了运算求解能力，考查了函数与方程、化归与转化等数学思想的应用，属于中档题．20．（13分）（2015•四川）如图，椭圆E：=1（a＞b＞0）的离心率是，点P（0，1）在短轴CD上，且•=﹣1（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A、B两点．是否存在常数λ，使得•+λ•为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）通过e=、•=﹣1，计算即得a=2、b=，进而可得结论；（Ⅱ）分情况对直线AB斜率的存在性进行讨论：①当直线AB的斜率存在时，联立直线AB与椭圆方程，利用韦达定理计算可得当λ=1时•+λ•=﹣3；②当直线AB的斜率不存在时，•+λ•=﹣3．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，可得C（0，﹣b），D（0，b），又∵P（0，1），且•=﹣1，∴，解得a=2，b=，∴椭圆E的方程为：+=1；（Ⅱ）结论：存在常数λ=1，使得•+λ•为定值﹣3．理由如下：对直线AB斜率的存在性进行讨论：①当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去y并整理得：（1+2k2）x2+4kx﹣2=0，∵△=（4k）2+8（1+2k2）＞0，∴x1+x2=﹣，x1x2=﹣，从而•+λ•=x1x2+y1y2+λ[x1x2+（y1﹣1）（y2﹣1）]=（1+λ）（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1==﹣﹣λ﹣2．∴当λ=1时，﹣﹣λ﹣2=﹣3，此时•+λ•=﹣3为定值；②当直线AB的斜率不存在时，直线AB即为直线CD，此时•+λ•=+=﹣2﹣1=﹣3；故存在常数λ=1，使得•+λ•为定值﹣3．【点评】本题考查椭圆的标准方程、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想，注意解题方法的积累，属于难题．21．（14分）（2015•四川）已知函数f（x）=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．（Ⅰ）设g（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性；（Ⅱ）证明：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解．【分析】（I）函数f（x）=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．可得：x＞0．g（x）=f′（x）=2（x﹣1﹣lnx﹣a），可得g′（x）==，分别解出g′（x）＜0，g′（x）＞0，即可得出单调性．（II）由f′（x）=2（x﹣1﹣lnx﹣a）=0，可得a=x﹣1﹣lnx，代入f（x）可得：u（x）=（1+lnx）2﹣2xlnx，利用函数零点存在定理可得：存在x0∈（1，e），使得u（x0）=0，令a0=x0﹣1﹣lnx0=v（x0），再利用导数研究其单调性即可得出．【解答】（I）解：函数f（x）=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．可得：x＞0．g（x）=f′（x）=2（x﹣1﹣lnx﹣a），∴g′（x）==，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；当1＜x时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增．（II）证明：由f′（x）=2（x﹣1﹣lnx﹣a）=0，解得a=x﹣1﹣lnx，令u（x）=﹣2xlnx+x2﹣2（x﹣1﹣lnx）x+（x﹣1﹣lnx）2=（1+lnx）2﹣2xlnx，则u（1）=1＞0，u（e）=2（2﹣e）＜0，∴存在x0∈（1，e），使得u（x0）=0，令a0=x0﹣1﹣lnx0=v（x0），其中v（x）=x﹣1﹣lnx（x≥1），由v′（x）=1﹣≥0，可得：函数v（x）在区间（1，+∞）上单调递增．∴0=v（1）＜a0=v（x0）＜v（e）=e﹣2＜1，即a0∈（0，1），当a=a0时，有f′（x0）=0，f （x0）=u（x0）=0．再由（I）可知：f′（x）在区间（1，+∞）上单调递增，当x∈（1，x0）时，f′（x）＜0，∴f（x）＞f（x0）=0；当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，∴f（x）＞f（x0）=0；又当x∈（0，1]，f（x）=﹣2xlnx＞0．故当x∈（0，+∞）时，f（x）≥0恒成立．综上所述：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解．【点评】本题考查了导数的运算法则、函数的零点、利用导数研究函数的单调性极值，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．参与本试卷答题和审题的老师有：gongjy；changq；刘长柏；1619495736；qiss；w3239003；sdpyqzh；maths；sllwyn；双曲线；LOL；cst；沂蒙松（排名不分先后）菁优网2016年8月29日。

2015年四川省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）（2015•四川）设集合A={x|﹣1＜x＜2}，集合B={x|1＜x＜3}，则A∪B=（）A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|﹣1＜x＜1}C．{x|1＜x＜2}D．{x|2＜x＜3}考点：并集及其运算．专题：集合．分析：直接利用并集求解法则求解即可．解答：解：集合A={x|﹣1＜x＜2}，集合B={x|1＜x＜3}，则A∪B={x|﹣1＜x＜3}．故选：A．点评：本题考查并集的求法，基本知识的考查．2．（5分）（2015•四川）设向量=（2，4）与向量=（x，6）共线，则实数x=（）A．2B．3C．4D．6考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：利用向量共线的充要条件得到坐标的关系求出x．解答：解；因为向量=（2，4）与向量=（x，6）共线，所以4x=2×6，解得x=3；故选：B．点评：本题考查了向量共线的坐标关系；如果两个向量向量=（x，y）与向量=（m，n）共线，那么xn=yn．3．（5分）（2015•四川）某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（）A．抽签法B．系统抽样法C．分层抽样法D．随机数法考点：收集数据的方法．专题：应用题；概率与统计．分析：若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样．解答：解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，而事先已经了解到三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，这种方式具有代表性，比较合理．故选：C．点评：本小题考查抽样方法，主要考查抽样方法，属基本题．4．（5分）（2015•四川）设a，b为正实数，则“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件考点：充要条件．专题：简易逻辑．分析：先求出loga＞log2b＞0的充要条件，再和a＞b＞1比较，从而求出答案．2解答：解：若loga＞log2b＞0，则a＞b＞1，2故“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的充要条件，故选：A．点评：本题考察了充分必要条件，考察对数函数的性质，是一道基础题．5．（5分）（2015•四川）下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（）A．y=cos（2x+）B．y=sin（2x+）C．y=sin2x+cos2x D．y=sinx+cosx考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：求出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可．解答：解：y=cos（2x+）=﹣sin2x，是奇函数，函数的周期为：π，满足题意，所以A正确y=sin（2x+）=cos2x，函数是偶函数，周期为：π，不满足题意，所以B不正确；y=sin2x+cos2x=sin（2x+），函数是非奇非偶函数，周期为π，所以C不正确；y=sinx+cosx=sin（x+），函数是非奇非偶函数，周期为2π，所以D不正确；故选：A．点评：本题考查两角和与差的三角函数，函数的奇偶性以及红丝带周期的求法，考查计算能力．6．（5分）（2015•四川）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（）A．﹣B．C．﹣D．考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k的值，当k=5时满足条件k ＞4，计算并输出S的值为．解答：解：模拟执行程序框图，可得k=1k=2不满足条件k＞4，k=3不满足条件k＞4，k=4不满足条件k＞4，k=5满足条件k＞4，S=sin=，输出S的值为．故选：D．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题．7．（5分）（2015•四川）过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则|AB|=（）A．B．2C．6D．4考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线的渐近线方程，求出AB的方程，得到AB坐标，即可求解|AB|．解答：解：双曲线x2﹣=1的右焦点（2，0），渐近线方程为y=，过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，x=2，可得y A=2，y B=﹣2，∴|AB|=4．故选：D．点评：本题考查双曲线的简单性质的应用，考查基本知识的应用．8．（5分）（2015•四川）某食品保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y=e kx+b（e=…为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（）A．16小时B．20小时C．24小时D．28小时考点：指数函数的实际应用．专题：函数的性质及应用．分析：由已知中保鲜时间与储藏温度是一种指数型关系，由已知构造方程组求出e k，e b的值，运用指数幂的运算性质求解e33k+b即可．解答：解：y=e kx+b（e=…为自然对数的底数，k，b为常数）．当x=0时，e b=192，当x=22时e22k+b=48，∴e16k==e11k=e b=192当x=33时，e33k+b=（e k）33•（e b）=（）3×192=24故选：C点评：本题考查的知识点是函数解析式的运用，列出方程求解即可，注意整体求解．9．（5分）（2015•四川）设实数x，y满足，则xy的最大值为（）A．B．C．12D．16考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用基本不等式进行求解即可．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图；则动点P在BC上运动时，xy取得最大值，此时2x+y=10，则xy==，当且仅当2x=y=5，即x=，y=5时，取等号，故xy的最大值为，故选：A点评：本题主要考查线性规划以及基本不等式的应用，利用数形结合是解决本题的关键．10．（5分）（2015•四川）设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点，与圆（x﹣5）2+y2=r2（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（）A．（1，3）B．（1，4）C．（2，3）D．（2，4）考点：抛物线的简单性质；直线与圆的位置关系．专题：综合题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先确定M的轨迹是直线x=3，代入抛物线方程可得y=±2，所以交点与圆心（5，0）的距离为4，即可得出结论．解答：解：设A（x，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），则1斜率存在时，设斜率为k，则y12=4x1，y22=4x2，利用点差法可得ky0=2，因为直线与圆相切，所以=﹣，所以x0=3，即M的轨迹是直线x=3，代入抛物线方程可得y=±2，所以交点与圆心（5，0）的距离为4，所以2＜r＜4时，直线l有2条；斜率不存在时，直线l有2条；所以直线l恰有4条，2＜r＜4，故选：D．点评：本题考查直线与抛物线、圆的位置关系，考查点差法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）（2015•四川）设i是虚数单位，则复数i﹣= 2i ．考点：复数代数形式的混合运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的运算法则求解即可．解答：解：复数i﹣=i﹣=i+i=2i．故答案为：2i．点评：本题考查复数的基本运算，考查计算能力．12．（5分）（2015•四川）+log216的值是 2 ．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：直接利用对数的运算法则化简求解即可．解答：解：+log16=﹣2+4=2．2故答案为：2．点评：本题考查对数的运算法则的应用，考查计算能力．13．（5分）（2015•四川）已知sinα+2cosα=0，则2sinαcosα﹣cos2α的值是﹣1 ．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析：已知等式移项变形求出tanα的值，原式利用同角三角函数间的基本关系化简，将tanα的值代入计算即可求出值．解答：解：∵sinα+2cosα=0，即sinα=﹣2cosα，∴tanα=﹣2，则原式=====﹣1，故答案为：﹣1点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．14．（5分）（2015•四川）在三棱住ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设M，N，P分别是AB，BC，B1C1的中点，则三棱锥P﹣A1MN的体积是．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：判断三视图对应的几何体的形状，画出图形，利用三视图的数据，求解三棱锥P ﹣A1MN的体积即可．解答：解：由三视图可知，可知几何体的图形如图：几何体是底面为等腰直角三角形直角边长为1，高为1的直三棱柱，所求三棱锥的高为NP=1，底面AMN的面积是底面三角形ABC的，所求三棱锥P﹣A1MN的体积是：=．故答案为：．点评：本题考查三视图与直观图的关系，组作出几何体的直观图是解题的关键之一，考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．15．（5分）（2015•四川）已知函数f（x）=2x，g（x）=x2+ax（其中a∈R）．对于不相等的实数x1、x2，设m=，n=．现有如下命题：①对于任意不相等的实数x1、x2，都有m＞0；②对于任意的a及任意不相等的实数x1、x2，都有n＞0；③对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=n；④对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=﹣n．其中的真命题有①④（写出所有真命题的序号）．考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：运用指数函数的单调性，即可判断①；由二次函数的单调性，即可判断②；通过函数h（x）=x2+ax﹣2x，求出导数判断单调性，即可判断③；通过函数h（x）=x2+ax+2x，求出导数判断单调性，即可判断④．解答：解：对于①，由于2＞1，由指数函数的单调性可得f（x）在R上递增，即有m＞0，则①正确；对于②，由二次函数的单调性可得g（x）在（﹣∞，﹣）递减，在（，+∞）递减，则n＞0不恒成立，则②错误；对于③，由m=n，可得f（x1）﹣f（x2）=g（x1）﹣g（x2），考查函数h（x）=x2+ax﹣2x，h′（x）=2x+a﹣2x ln2，当a→﹣∞，h′（x）小于0，h（x）单调递减，则③错误；对于④，由m=﹣n，可得f（x1）﹣f（x2）=﹣[g（x1）﹣g（x2）]，考查函数h（x）=x2+ax+2x，h′（x）=2x+a+2x ln2，对于任意的a，h′（x）不恒大于0或小于0，则④正确．故答案为：①④．点评：本题考查函数的单调性及运用，注意运用指数函数和二次函数的单调性，以及导数判断单调性是解题的关键．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）（2015•四川）设数列{a n}（n=1，2，3…）的前n项和S n，满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列的前n项和为T n，求T n．考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由条件S满足S n=2a n﹣a1，求得数列{a n}为等比数列，且公比q=2；再根据na1，a2+1，a3成等差数列，求得首项的值，可得数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）由于=，利用等比数列的前n项和公式求得数列的前n项和T n．解答：解：（Ⅰ）由已知S=2a n﹣a1，有na n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2a n﹣1（n≥2），即a n=2a n﹣1（n≥2），从而a2=2a1，a3=2a2=4a1．又因为a1，a2+1，a3成等差数列，即a1+a3=2（a2+1）所以a1+4a1=2（2a1+1），解得：a1=2．所以，数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列．故a n=2n．（Ⅱ）由（Ⅰ）得=，所以T n=+++…+==1﹣．点评：本题主要考查数列的前n项和与第n项的关系，等差、等比数列的定义和性质，等比数列的前n项和公式，属于中档题．17．（12分）（2015•四川）一辆小客车上有5名座位，其座号为1，2，3，4，5，乘客P1，P2，P3，P4，P5的座位号分别为1，2，3，4，5．他们按照座位号顺序先后上车，乘客P1因身体原因没有坐自己1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就坐：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位．如果自己的座位已有乘客就坐，就在这5个座位的剩余空位中选择座位．（Ⅰ）若乘客P1坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法．下表给出其中两种坐法，请填入余下两种坐法（将乘客就坐的座位号填入表中空格处）乘客PP2P3P4P51座位号32145324513 24 1 53 2 54 1（Ⅱ）若乘客P1坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，求乘客P1坐到5号座位的概率．考点：概率的应用．专题：应用题；概率与统计．分析：（Ⅰ）根据题意，可以完成表格；（Ⅱ）列表，确定所有可能的坐法，再求出乘客P1坐到5号座位的概率．解答：解：（Ⅰ）余下两种坐法：乘客PP2P3P4P51座位号32145324513241532541（Ⅱ）若乘客P1坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，则所有可能的坐法可用下表表示为乘客 PP2 P3 P4 P51座位号 2 1 3 4 52 3 1 4 52 3 4 1 52 3 4 5 12 3 5 4 12 43 1 52 43 5 12 534 1于是，所有可能的坐法共8种，设“乘客P1坐到5号座位”为事件A，则事件A中的基本事件的个数为4，所以P（A）==．答：乘客P1坐到5号座位的概率是．点评：本题考查概率的运用，考查学生的计算能力，列表确定基本事件的个数是关键．18．（12分）（2015•四川）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．（Ⅰ）请按字母F，G，H标记在正方体相应地顶点处（不需要说明理由）（Ⅱ）判断平面BEG与平面ACH的位置关系．并说明你的结论．（Ⅲ）证明：直线DF⊥平面BEG．考点：直线与平面垂直的判定；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）直接标出点F，G，H的位置．（Ⅱ）先证BCHE为平行四边形，可知BE∥平面ACH，同理可证BG∥平面ACH，即可证明平面BEG∥平面ACH．（Ⅲ）连接FH，由DH⊥EG，又DH⊥EG，EG⊥FH，可证EG⊥平面BFHD，从而可证DF⊥EG，同理DF⊥BG，即可证明DF⊥平面BEG．解答：解：（Ⅰ）点F，G，H的位置如图所示．（Ⅱ）平面BEG∥平面ACH，证明如下：∵ABCD﹣EFGH为正方体，∴BC∥FG，BC=EH，又FG∥EH，FG=EH，∴BC∥EH，BC=EH，∴BCHE为平行四边形．∴BE∥CH，又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，∴BE∥平面ACH，同理BG∥平面ACH，又BE∩BG=B，∴平面BEG∥平面ACH．（Ⅲ）连接FH，∵ABCD﹣EFGH为正方体，∴DH⊥EG，又∵EG⊂平面EFGH，∴DH⊥EG，又EG⊥FH，EG∩FH=O，∴EG⊥平面BFHD，又DF⊂平面BFHD，∴DF⊥EG，同理DF⊥BG，又∵EG∩BG=G，∴DF⊥平面BEG．点评：本题主要考查了简单空间图形的直观图、空间线面平行与垂直的判定与性质等基础知识，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．19．（12分）（2015•四川）已知A、B、C为△AB C的内角，tanA，tanB是关于方程x2+px﹣p+1=0（p∈R）两个实根．（Ⅰ）求C的大小（Ⅱ）若AB=3，AC=，求p的值．考点：正弦定理的应用；两角和与差的正切函数．专题：函数的性质及应用；解三角形．分析：（Ⅰ）由判别式△=3p2+4p﹣4≥0，可得p≤﹣2，或p≥，由韦达定理，有tanA+tanB=﹣p，tanAtanB=1﹣p，由两角和的正切函数公式可求tanC=﹣tan（A+B）=，结合C的范围即可求C的值．（Ⅱ）由正弦定理可求sinB==，解得B，A，由两角和的正切函数公式可求tanA=tan75°，从而可求p=﹣（tanA+tanB）的值．解答：解：（Ⅰ）由已知，方程x2+px﹣p+1=0的判别式：△=（p）2﹣4（﹣p+1）=3p2+4p﹣4≥0，所以p≤﹣2，或p≥．由韦达定理，有tanA+tanB=﹣p，tanAtanB=1﹣p．所以，1﹣tanAtanB=1﹣（1﹣p）=p≠0，从而tan（A+B）==﹣=﹣．所以tanC=﹣tan（A+B）=，所以C=60°．（Ⅱ）由正弦定理，可得sinB===，解得B=45°，或B=135°（舍去）．于是，A=180°﹣B﹣C=75°．则tanA=tan75°=tan（45°+30°）===2+．所以p=﹣（tanA+tanB）=﹣（2+）=﹣1﹣．点评：本题主要考查了和角公式、诱导公式、正弦定理等基础知识，考查了运算求解能力，考查了函数与方程、化归与转化等数学思想的应用，属于中档题．20．（13分）（2015•四川）如图，椭圆E：=1（a＞b＞0）的离心率是，点P（0，1）在短轴CD上，且•=﹣1（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A、B两点．是否存在常数λ，使得•+λ•为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：向量与圆锥曲线；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）通过e=、•=﹣1，计算即得a=2、b=，进而可得结论；（Ⅱ）分情况对直线AB斜率的存在性进行讨论：①当直线AB的斜率存在时，联立直线AB与椭圆方程，利用韦达定理计算可得当λ=1时•+λ•=﹣3；②当直线AB的斜率不存在时，•+λ•=﹣3．解答：解：（Ⅰ）根据题意，可得C（0，﹣b），D（0，b），又∵P（0，1），且•=﹣1，∴，解得a=2，b=，∴椭圆E的方程为：+=1；（Ⅱ）结论：存在常数λ=1，使得•+λ•为定值﹣3．理由如下：对直线AB斜率的存在性进行讨论：①当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去y并整理得：（1+2k2）x2+4kx﹣2=0，∵△=（4k）2+8（1+2k2）＞0，∴x1+x2=﹣，x1x2=﹣，从而•+λ•=x1x2+y1y2+λ[x1x2+（y1﹣1）（y2﹣1）]=（1+λ）（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1==﹣﹣λ﹣2．∴当λ=1时，﹣﹣λ﹣2=﹣3，此时•+λ•=﹣3为定值；②当直线AB的斜率不存在时，直线AB即为直线CD，此时•+λ•=+=﹣2﹣1=﹣3；故存在常数λ=1，使得•+λ•为定值﹣3．点评：本题考查椭圆的标准方程、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想，注意解题方法的积累，属于难题．21．（14分）（2015•四川）已知函数f（x）=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．（Ⅰ）设g（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性；（Ⅱ）证明：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（I）函数f（x）=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．可得：x＞0．g（x）=f′（x）=2（x﹣1﹣lnx﹣a），可得g′（x）==，分别解出g′（x）＜0，g′（x）＞0，即可得出单调性．（II）由f′（x）=2（x﹣1﹣lnx﹣a）=0，可得a=x﹣1﹣lnx，代入f（x）可得：u（x）=（1+lnx）2﹣2xlnx，利用函数零点存在定理可得：存在x0∈（1，e），使得u（x0）=0，令a0=x0﹣1﹣lnx0=v（x0），再利用导数研究其单调性即可得出．解答：（I）解：函数f（x）=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．可得：x＞0．g（x）=f′（x）=2（x﹣1﹣lnx﹣a），∴g′（x）==，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；当1＜x时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增．（II）证明：由f′（x）=2（x﹣1﹣lnx﹣a）=0，解得a=x﹣1﹣lnx，令u（x）=﹣2xlnx+x2﹣2（x﹣1﹣lnx）x+（x﹣1﹣lnx）2=（1+lnx）2﹣2xlnx，则u（1）=1＞0，u（e）=2（2﹣e）＜0，∴存在x0∈（1，e），使得u（x0）=0，令a0=x0﹣1﹣lnx0=v（x0），其中v（x）=x﹣1﹣lnx（x≥1），由v′（x）=1﹣≥0，可得：函数v（x）在区间（1，+∞）上单调递增．∴0=v（1）＜a0=v（x0）＜v（e）=e﹣2＜1，即a0∈（0，1），当a=a0时，有f′（x0）=0，f（x0）=u（x0）=0．再由（I）可知：f′（x）在区间（1，+∞）上单调递增，当x∈（1，x0）时，f′（x）＜0，∴f（x）＞f（x0）=0；当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，∴f（x）＞f（x0）=0；又当x∈（0，1]，f（x）=﹣2xlnx＞0．故当x∈（0，+∞）时，f（x）≥0恒成立．综上所述：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解．点评：本题考查了导数的运算法则、函数的零点、利用导数研究函数的单调性极值，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．2015年四川省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）（2015•四川）设集合A={x|﹣1＜x＜2}，集合B={x|1＜x＜3}，则A∪B=（）A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|﹣1＜x＜1}C．{x|1＜x＜2}D．{x|2＜x＜3}2．（5分）（2015•四川）设向量=（2，4）与向量=（x，6）共线，则实数x=（）A．2B．3C．4D．63．（5分）（2015•四川）某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（）A．抽签法B．系统抽样法C．分层抽样法D．随机数法4．（5分）（2015•四川）设a，b为正实数，则“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）（2015•四川）下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（）A．y=cos（2x+）B．y=sin（2x+）C．y=sin2x+cos2x D．y=sinx+cosx6．（5分）（2015•四川）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（）A．﹣B．C．﹣D．7．（5分）（2015•四川）过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则|AB|=（）A．B．2C．6D．48．（5分）（2015•四川）某食品保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y=e kx+b（e=…为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（）A．16小时B．20小时C．24小时D．28小时9．（5分）（2015•四川）设实数x，y满足，则xy的最大值为（）A．B．C．12D．1610．（5分）（2015•四川）设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点，与圆（x﹣5）2+y2=r2（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（）A．（1，3）B．（1，4）C．（2，3）D．（2，4）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）（2015•四川）设i是虚数单位，则复数i﹣= ．12．（5分）（2015•四川）+log216的值是．（2015•四川）已知sinα+2cosα=0，则2sinαcosα﹣cos2α的值是．13．（5分）14．（5分）（2015•四川）在三棱住ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设M，N，P分别是AB，BC，B1C1的中点，则三棱锥P﹣A1MN的体积是．15．（5分）（2015•四川）已知函数f（x）=2x，g（x）=x2+ax（其中a∈R）．对于不相等的实数x1、x2，设m=，n=．现有如下命题：①对于任意不相等的实数x1、x2，都有m＞0；②对于任意的a及任意不相等的实数x1、x2，都有n＞0；③对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=n；④对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=﹣n．其中的真命题有（写出所有真命题的序号）．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）（2015•四川）设数列{a n}（n=1，2，3…）的前n项和S n，满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列的前n项和为T n，求T n．17．（12分）（2015•四川）一辆小客车上有5名座位，其座号为1，2，3，4，5，乘客P1，P2，P3，P4，P5的座位号分别为1，2，3，4，5．他们按照座位号顺序先后上车，乘客P1因身体原因没有坐自己1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就坐：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位．如果自己的座位已有乘客就坐，就在这5个座位的剩余空位中选择座位．（Ⅰ）若乘客P1坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法．下表给出其中两种坐法，请填入余下两种坐法（将乘客就坐的座位号填入表中空格处）乘客PP2P3P4P51座位号3214532451（Ⅱ）若乘客P1坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，求乘客P1坐到5号座位的概率．18．（12分）（2015•四川）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．（Ⅰ）请按字母F，G，H标记在正方体相应地顶点处（不需要说明理由）（Ⅱ）判断平面BEG与平面ACH的位置关系．并说明你的结论．（Ⅲ）证明：直线DF⊥平面BEG．19．（12分）（2015•四川）已知A、B、C为△ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x2+px﹣p+1=0（p∈R）两个实根．（Ⅰ）求C的大小（Ⅱ）若AB=3，AC=，求p的值．20．（13分）（2015•四川）如图，椭圆E：=1（a＞b＞0）的离心率是，点P（0，1）在短轴CD上，且•=﹣1（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A、B两点．是否存在常数λ，使得•+λ•为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．21．（14分）（2015•四川）已知函数f（x）=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．（Ⅰ）设g（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性；（Ⅱ）证明：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解．。

雅安市高中2015级第三次诊断性考试数学试题(文科)（本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，答题时间120分钟） 注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。

并检查条形码粘贴是否正确。

2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

3.考试结束后，将答题卡收回。

第Ⅰ卷 （选择题，50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}0,1M =，{}0,1-=N ,则=N MA. {}1,0,1-B. {}1,1-C. {}0D. φ 2.已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x ，－4)，若a ∥b ，则x =A ．4B ．－4C ．2D ．2-3. 设a,b ∈R,则“a ≥1且b ≥1”是“a+b ≥2”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4. 设a 为锐角，若cos a ＝45，则sin 2a 的值为A. 1225 B.2425C. 2425- D. 1225- 5. 执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为2,则输出s 的值是A. 1B. 2C. 4D. 76. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是A.283π-B.83π-C.82π-D.23π7. 已知直线l ：05=--ky x 与圆10:22=+y x O 与交于,A B两点且0OA OB ⋅=，则k=A.2B. 2±C. 8．若实数b a ,满足22b a +≤1，则关于x 的方程022=++-b a x x 有实数根的概率是A .3142π+ B ．314π+ C ．3152π+ D ．315π+ 9．对于定义在正整数集且在正整数集上取值的函数)(x f 满足1)1(≠f ，且对*N n ∈∀,有,13))(()1()(+=+++n n f f n f n f 则=)2(fA.1B.2C.3D.410.过抛物线24x y =的焦点作直线l 交抛物线于A,B 两点，分别过A,B 作抛物线的切线12,l l ,则1l 与2l 的交点P 的轨迹方程是（ ）A.1y =-B.2y =-C.1y x =-D. 1y x =--第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11. 已知(1＋2i)z ＝3－i(i 为虚数单位)，则复数z = . 12. 某高中共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表，已知在全校学生中随机抽取1人，抽到高二年级女生的概率是0.19，现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则在高三13.若函数12)2()(2+++=ax x a x f 有零点，但不能用二分法求其零点，则a 的值______ 14．曲线⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4cos 4sin ππx x y 与直线21=y 在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P 1，P 2，P 3，…，则|P 2P 4|＝________.15.以下命题，错误的是_________（写出全部错误命题）①若13)1()(23++-+=x x a x x f 没有极值点，则42<<-a②31)(++=x mx x f 在区间()+∞-,3上单调，则31≥m ③若函数m xx x f -=ln )(有两个零点，则e m 1< ④已知且不全等，+∈<<=R n m k a x x f a ,,),10(log )()()()()2()2()2(n f m f k f nk f n m f m k f ++<+++++则 三、解答题：（本大题共6个小题，75分）解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）已知向量)sin 2,sin (),cos 3,sin 2(x x q x x p -== ，函数q p x f⋅=)( (1)求 )(x f 的单调递增区间；(2)在ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，且32,1,1)(===ab c C f ，且a >b ， 求b a ,的值．17. （本小题满分12分）有编号为12,A A ，…，10A 的10个零件，测量其直径(单位：cm)，得到下面数据：其中直径在区间［1.48，1.52］内的零件为一等品.(1)从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率； (2)从一等品零件中，随机抽取2个.(i)用零件的编号列出所有可能的抽取结果； (ii)求这2个零件直径相等的概率18．（本小题满分12分）如图1，在直角梯形ABCD 中，090=∠ADC ，CD ∥AB ，4=AB ，2==CD AD ，将ADC ∆沿AC 折起，使平面⊥ADC 平面ABC ，得到几何体ABC D -，如图2所示．(1)求证： ⊥BC 平面ACD ； (2)求几何体ABC D -的体积．19.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前项n 和为n S ，点))(,(*∈N n S n n 均在函数x x x f 23)(2-=的图象上。

【学易大联考】2015年第三次全国大联考【四川卷】文科数学试卷考试时间：120分钟；满分150分 命题人：大联考命题中心第Ⅰ卷(共50分)一.选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{}{}24,0A y y x B x x x ==≤≤=->，则A B =I （ ）A ．(]()12-∞⋃+∞，，B ．()()012-∞⋃，，C ．∅D ．(]12， 2.已知i 是虚数单位，若()32i z i -⋅=，则z =（ ）A ．1255i - B ．2155i -+ C ．2155i -- D ．1255i + 3.函数cos xy e =()x ππ-≤≤的大致图象为（ ）4.如图所示的程序框图输出的结果是14S =，则判断框内应填的条 件是（ ）A ．7?i ≥B ．15?i >C ．15?i ≥D ．31?i > 5.已知函数()sin cos (,0)f x a x b x a b =-≠，若()()44f x f x ππ-=+，则直线0ax by c -+=的倾斜角为（ ）A ．4πB ．3πC ．23πD ．34π6.设1m >，在约束条件1y xy mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z x my =+的最大值等于2，则m =（ ）A．1 B．1+C．11+ D7.若命题p ：“1122,0a b b >≠”的充要条件为“ln ln a b >”；命题q ：在ABC ∆中，角,,A B C 所xy ππ-O x yππ-Ox yππ-O x yππ-OA ．B ．C ．D ．对的边分别为,,a b c ，若2cos cos cos ,2B A C b a c =⋅=+，则ABC ∆是等边三角形，则下列结论正确的是（ ）A ．p ⌝为假命题B ．q ⌝为真命题C ．p q ∨为假命题D ．p q ∧⌝为真命题 8.已知向量a e ≠，||1e =，若对任意t R ∈，恒有||||a te a e -≥-成立，则（ ） A ．a e ⊥ B ．()a a e ⊥- C ．()e a e ⊥- D ．()()a e a e +⊥- 9.单位正方体（棱长为1）被切去一部分，剩下部分几何体 的三视图如图所示，则（ ） A ．该几何体体积为56B ．该几何体体积可能为23C ．该几何体表面积应为92+D ．该几何体唯一10.已知函数)(x f y =是定义在R 上的增函数，函数)1(-=x f y 的图像关于点)0,1(对称，若任意的x 、R y ∈，不等式0)8()216(22<-++-y y f x x f 恒成立，则当3>x 时，22y x +的取值范围是（ ）A ．(13,49)B ．(13,34)C ．(]9,49D ．(]13,49第Ⅱ卷(共100分)二.填空题(每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上)11.用系统抽样的方法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生随机地从1~160编号，按编号顺序平均分成20组（1~8号，9~16号，…，153~160号）．若第16组抽出的号码为126，则第1组中抽取的号码是_______． 12.将函数()sin(8)4f x x π=+的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），再向右 移动8π个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()h x 与()g x 的图象关于y 轴对称，则()h x的解析式是________．13.已知双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的渐近线与圆22(2)1x y -+=相切，则双曲线的离心率为 ．14.已知等差数列{}n a 的前三项分别为,,a b a b +，等比数列{}n b 的前三项分别,,a b ab ，若log log 1m m a b ->，则实数m 的取值范围为____________．15.．对于下列命题：①椭圆2211612x y +=是黄金椭圆；②若椭圆22112x y m+=是黄金椭圆，则6m =； ③在ABC ∆中，(2,0),(2,0)B C -，且点A 在以,B C 为焦点的黄金椭圆上，则ABC ∆的周长为6+；④过黄金椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点(,0)F c 作垂直于长轴的垂线，交椭圆于,A B 两点，则||1)AB a =；⑤设12,F F 是黄金椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，则椭圆C 上满足1290F PF ∠=的点P 不存在．其中所有正确命题的序号是___________（把你认为正确命题的序号都填上）．三.解答题 (本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.)16.(本小题满分12分)设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ，且,6a C π==．（1）求tan A 的值；（2）若ABC ∆的面积为，求c 的值． 17.(本小题满分12分)某校高三文科（1）班学生参加“学易大联考”，其数学成绩（已折合成百分制）的频率 分布直方图如图所示，其中成绩分布区间为[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100，现已知成绩落在[]90,100的有5人． （1）求该校高三文科（1）班参加“学易大联考”的总人数；（2）根据频率分布直方图，估计该班此次数学 成绩的平均分（可用中值代替各组数据的平均 值）；（3）现要从成绩在[)40,50和[]90,100的学生中共选2人参加某项座谈会，求2人来自于同一分数段的概率． 18.(本小题满分12分)如图，平面11ABB A 为圆柱1OO 的轴截面，点C 为底面圆周上异于,A B 的任意一点． （1）求证：BC ⊥平面1A AC ；（2）若D 为AC 的中点，求证：1//A D 平面1O BC ． 19.(本小题满分12分) 已知函数()31x f x x =+，数列{}n a 满足()111,()n n a a f a n N *+==∈． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记12231n n n S a a a a a a +=++⋅⋅⋅+，证明:1143n S ≤<． 20.(本小题满分13分)已知椭圆C:22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点2F 是抛物线24y x =的焦点，过点2F 垂直于x轴的直线被椭圆C 所截得的线段长度为3． （1）求椭圆C 的方程；（2）设动直线:l y kx m =+与椭圆C 有且只有一个公共点P ，且与直线2x =相交于点Q ．请问：在x 轴上是否存在定点M ，使得MP MQ ⋅为定值？若存在，求出点M 的坐标；若不存在， 请说明理由．。

四川省雅安市2017届高三数学下学期第三次诊断考试试题文（扫描版）雅安市高中2014级第三次诊断性考试 数学试题(文科) 参考答案及评分意见二、填空题（每小题5分，共20分）13. 4 14. 2 错误！未找到引用源。

15. 112（，） 16. -14 三、解答题17. 解：（1）设等差数列{}的公差是．由已知............2分，得， ............4分数列{}的通项公式为………………6分（2）由数列{ }是首项为1，公比为2的等比数列，12n n n a b -∴+=,112322n n n n b a n --=-=-+ ………………8分 21[147...(32)](122...2)n n S n -=++++-+++++ ……………10分(31)=+212nn n -- ……………12分 18、解 (1)……………2分根据列联表中的数据，得到22105(10302045) 6.109 3.84155503075k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯ …………4分 因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”． ……………6分 (2)设“抽到10号”为事件A ，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为(x ， y )，则所有的基本事件有(1,1)、(1,2)、(1,3)、…、(6,6)，共36个．事件A 包含的基本事件有 (4,6)，(5,5)，(6,4)，共3个， ……………10分∴P (A )＝313612= ……………12分 19. (1)证明：设ACBD O =，取BE 中点G ，连结,FG OG ，所以，12OG DE // 因为DE AF //，AF DE 2=，所以AF //=OG ，从而四边形AFGO 是平行四边形，AO FG // ……… 4分 因为FG ⊂平面BEF ,AO ⊄平面BEF ,所以//AO 平面BEF ，即//AC 平面BEF ……… 6分 （2）解：因为平面ABCD ⊥平面ADEF ，AB AD ⊥,所以AB ⊥平面ADEF . ……… 8分 因为DE AF //,90ADE ∠=,22===AF DA DE ，所以DEF ∆的面积为122ED AD ⨯=， 所以四面体BDEF 的体积14=33DEF S AB ∆⨯=. ……… 12分20.解：（1）由已知可得22222c e a b a b c ⎧==⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩,解得2221a b ==，， ………2分 故椭圆C 的标准方程为2212x y +=． ………4分 （2）设11()A x y ，，22()B x y ，，联立方程2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消去y 得222(12)4220k x kmx m +++-=． ………5分 当228(21)0k m ∆=-+>，即2221k m >-时， ………6分A BCDFE122412kmx x k-+=+，21222212m x x k -⋅=+． ………7分 所以1222212x x km k +-=+，122212y y m k +=+． 因为线段AB 的垂直平分线过点1(0)2-，，所以12121()12202y y x x k +--=-+-， 化简整理得2212k m +=． ………9分由22221221k m k m ⎧+=⎪⎨+>⎪⎩，，得02m <<． ………10分又原点O 到直线AB的距离为d =12AB x =-=所以12AOB S AB d ∆=⋅=而2212k m+=且02m <<，则2,02AB S m m m ∆=-<<．所以当1m =，即212k =时，AOB S ∆． ………11分综上AOB S ∆，此时直线l 的方程为12y x =+或12y x =+ ………12分21．解：（1）∵xmxx f ln )(=，∴2)(ln )1(ln )(x x m x f -='， ………2分 由题意有：21)(2='e f 即：214=m ，∴2=m ∴xx x f ln 2)(=∴2)(ln )1(ln 2)(x x x f -='，由0)(<'x f ⇒10<<x 或e x <<1，∴函数)(x f 的单调递减区间为()1,0和()e ,1 ………4分由0)(>'x f ⇒e x >，∴函数)(x f 的单调递增区间为()+∞,e . ………5分（2）要x x k x f 2ln )(+>恒成立，即x x k x x 2ln ln 2+>x xx x k 2ln 2ln -<⇔ ① 当)1,0(∈x 时，0ln <x ，则要：x x x k ln 22⋅->恒成立， 令x x x x h ln 22)(⋅-=，则xx x x h 2ln 2)(--='，再令2ln 2)(--=x x x g ，则01)(<-='xx x g ，所以)(x g 在)1,0(单调递减， ∴0)1()(=>g x g ，∴02ln 2)(>--='xx x x h ，∴)(x h 在)1,0(单调递增，∴2)1()(=<h x h ， ∴2≥k ………8分 ②当),1(+∞∈x 时，0ln >x ，则要x x x k ln 22⋅-<恒成立，由①可知，当),1(+∞∈x 时，01)(>-='xx x g ，∴)(x g 在),1(+∞单调递增， ∴当),1(+∞∈x 时，0)1()(=>g x g ，∴02ln 2)(>--='xx x x h ，∴)(x h 在),1(+∞单调递增，∴2)1()(=>h x h ，∴2≤k ………11分综合①，②可知：2=k ，即存在常数2=k 满足题意. ………12分选考题：22、解: (1)由3cos sin x y αα=⎧⎨=⎩消去参数α，得2219x y +=， 即曲线C 的普通方程为2219x y += ……………2分由sin()4πρθ-=，得sin cos 2ρθρθ-=，(*)将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入(*)，化简得2y x =+， ……………4分所以直线l 的倾斜角为4π……………5分 (2)由(1)知，点(0,2)P 在直线l 上，可设直线l 的参数方程为cos 42sin 4x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ (t 为参数)，即222x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ (t 为参数)， ………………7分 代入2219x y +=并化简，得25270t ++=，2=-4527=1080∆⨯⨯>（， 设A B 、两点对应的参数分别为12t t 、，则1205t t +=-<，1227=05t t ⋅>，120,0t t ∴<<所以1212()PA PB t t t t +=+=-+= ……………10分 23解:(1)(ⅰ)当1x ≤-时，原不等式可化为122x x --≤--，解得1x <- …………2分(ⅱ)当112x -<<-时，原不等式可化为122x x +<--，解得1x <-，此时原不等式无解； ………………4分(ⅲ)当12x ≥-时，原不等式可化为12x x +<，解得1x >. ……………5分 综上，{}|11M x x x =<->或. ……………6分 (2)证明：因为()()111(1)f a f b a b a b a b --=+--+≤+--+=+，所以，要证()()()f ab f a f b >--，只需证1ab a b +>+， 即证221ab a b +>+，即证2222212a b ab a ab b ++>++，即证222210a b a b --+>，即证()()22110a b -->.因为,a b M ∈，所以221,1a b >>，所以()()22110a b -->成立，所以原不等式成立. ………………10分。

绵阳市高2015级第三次诊断性考试数学(文史类)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．ABDCC ADABC DB二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．1(0)8-， 14．215．81256π16．210三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．解：（Ⅰ）由已知a 1a n =S 1+S n ，可得当n =1时，a 12=a 1+a 1，可解得a 1=0，或a 1=2， ……………………………2分 由{a n }是正项数列，故a 1=2．…………………………………………………3分 当n ≥2时，由已知可得2a n =2+S n ，2a n -1=2+S n -1，两式相减得，2(a n -a n -1)=a n ．化简得a n =2a n -1， ……………………………6分 ∴ 数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列，故a n =2n ．∴ 数列{a n }的通项公式为a n =2n ． …………………………………………8分（Ⅱ）∵ b n =32log 2n a，代入a n =2n 化简得b n =n -5， ………………………9分显然{b n }是等差数列，…………………………………………………………10分∴ 其前n 项和T n =292)54(2nn n n -=-+-．…………………………………12分18．解：（Ⅰ）由题得蜜柚质量在[17502000)，和[20002250)，的比例为2∶3， ∴ 应分别在质量为[17502000)，，[20002250)，的蜜柚中各抽取2个和3个． ……………………………………………2分 记抽取质量在[17502000)，的蜜柚为A 1，A 2，质量在[20002250)，的蜜柚为B 1，B 2，B 3，则从这5个蜜柚中随机抽取2个的情况共有以下10种：A 1A 2，A 1B 1，A 1B 2，A 1B 3，A 2B 1，A 2B 2，A 2B 3，B 1B 2，B 1B 3，B 2B 3， 其中质量均小于2000克的仅有A 1A 2这1种情况，…………………………5分故所求概率为101．………………………………………………………………6分 （Ⅱ）方案A 好，理由如下：…………………………………………………7分由频率分布直方图可知，蜜柚质量在)17501500[，的频率为250×0.0004=0.1， 同理，蜜柚质量在)20001750[，，)22502000[，，)25002250[，，)27502500[，，]30002750[，的频率依次为0.1，0.15，0.4，0.2，0.05． …………………8分 若按A 方案收购：根据题意各段蜜柚个数依次为500，500，750，2000，1000，250，于是总收益为 (150017502+×500+175020002+×500+200022502+×750+225025002+×2000+250027502+×1000+275030002+×250)×40÷1000=2502×250×[(6+7)×2+(7+8)×2+(8+9)×3+(9+10)×8+(10+11)×4+(11+12)×1]× 40÷1000=25×50 [26+30+51+152+84+23]=457500（元）． ……………………………………………………………10分 若按B 方案收购：∵ 蜜柚质量低于2250克的个数为 (0.1+0.1+0.3)×5000=1750， 蜜柚质量低于2250克的个数为5000-1750=3250，∴ 收益为1750×60+325080=250×20×[7×3+13×4]=365000元．∴ 方案A 的收益比方案B 的收益高，应该选择方案A ．…………………12分 19．解：（Ⅰ）证明：连接AC ，与交BD 于点N ，连接MN ．由ABCD 是菱形，知点N 是AC 的中点．…1分 又∵ 点M 是PC 的中点，∴ MN //PA ， ………………………………3分而MN ⊂面MDB ，PA ⊄面MDB ， ∴ PA //面MDB ． ……………………………5分（Ⅱ） ∵ PA ⊥面ABCD ，∴ PA ⊥AB ，PA ⊥AD ．又∵ AB=AD ，∴ Rt △PAD ≌Rt △PAB ，于是PB=PD ．……………………………………7分 由已知PB ⊥PD ，得2PB 2=BD 2． ……………………………………………8分令菱形ABCD 的边长为a ，则由∠BAD =32π，可得BD =a 3，∴ PB =a 26，PA =a 22． ……………………………………………………9分 ∴ V P -ABD=23111332ABD S PA a ∆⋅=⨯=解得a =2，于是PA =222=a ． ……………………………………………12分20．解：（Ⅰ）设F 2(c ，0)，由题意可得12222=+by a c ，即y M =a b 2．∵ OH 是△F 1F 2M 的中位线，且OH =42， ∴ |MF 2|=22，即a b 2=22，整理得a 2=2b 4．① …………………………2分又由题知，Q 为椭圆C 的上顶点，∴ △F 1F 2Q 的面积=1221=⨯⨯b c ，整理得bc =1，即b 2(a 2-b 2)=1，② ……3分PD M CAN联立①②可得2b 6-b 4=1，变形得(b 2-1)(2b 4+b 2+1)=0， 解得b 2=1，进而a 2=2，∴ 椭圆C 的方程为1222=+y x ． ……………………………………………5分 （Ⅱ）由|OB OA 2+|=|-|可得|2+|=|2-|，两边平方整理得=0OA OB ⋅．……………………………………………………6分直线l 斜率不存在时，A (-1，22)，B (-1，22-)，不满足=0OA OB ⋅．…7分 直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为1-=my x ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 联立⎪⎩⎪⎨⎧=+-= 12122y x my x 消去x ，得(m 2+2)y 2-2my -1=0， ∴ y 1+y 2=222+m m，y 1y 2=212+-m ，（*）………………………………………9分由=0OA OB ⋅得02121=+y y x x ．将x 1=my 1-1，x 2=my 2-1代入整理得(my 1-1)(my 2-1)+y 1y 2=0， 展开得m 2y 1y 2-m (y 1+y 2)+1+y 1y 2=0，将（*）式代入整理得222102m m -+=+， 解得m= ……………………10分 ∴ y 1+y 2=y 1y 2=25-，△ABO 的面积为S =11212OF y y ⨯⨯-=112⨯⨯代入计算得S=即△ABO的面积为． ……………………………………………………12分21．解：（Ⅰ）当a =1时，2221441()1x x f x x x x -+'=+-=，………………………1分由题意知x 1、x 2为方程x 2-4x +1=0的两个根， 根据韦达定理得121241x x x x +=⋅=，．于是x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=14． ……………………………………………4分（Ⅱ）∵ 22244()a ax x af x a x x x -+'=+-=，同（Ⅰ）由韦达定理得121241x x x x a+=⋅=，，于是121x x =． ……………5分∵ 21221121()()4ln 4ln a af x f x ax x ax x x x -=---++，∴ 21()()f x f x -22222214ln 4ln a a ax x ax x x x =---++222228ln aax x x =-- 22212()8ln a x x x =--，…………………………………………7分 由121241x x x x a+=⋅=，整理得221222244411x a x x x x x ===+++，代入得21()()f x f x -22222281()8ln 1x x x x x =--+ 222228(1)8ln 1x x x -=-+，………………………9分 令222=(1)t x e ∈， ，于是可得88()4ln 1t h t t t -=-+， 故222221644(21)4(1)()0(1)(1)(1)t t t h t t t t t t t --+--'=-==<+++∴ h (t )在2(1)e ，上单调递减，…………………………………………………11分∴ 21216()()(0)1f x f x e -∈-+，． ………………………………………………12分 22．解：（Ⅰ）由题可变形为ρ2+3ρ2cos 2θ=16，∵ ρ2=x 2+y 2，ρcos θ=x ， ∴ x 2+y 2+3x 2=16，∴221416x y +=．…………………………………………………………………5分 （Ⅱ）由已知有M (2，0)，N (0，4)，设P (2cos α，4sin α)，α∈(0，2π)．于是由OMPN OMP ONP S S S ∆∆=+1124sin 42cos 22αα=⋅⋅+⋅⋅4sin 4cos αα=+)4πα=+，由α∈(0，2π)，得4πα+∈(4π，34π)，于是sin()4πα+≤ ∴ 四边形OMPN最大值10分 23．解：（Ⅰ）f (x )=|x +a |+|x -3a |≥|(x +a )-(x -3a )|=4|a |，有已知f (x )min =4，知4|a |=4，解得 a =±1．……………………………………………………………………5分 （Ⅱ）由题知|m 2|-4|m |≤4|a |， 又a 是存在的，∴ |m |2-4|m |≤4|a |ma x =12．即 |m |2-4|m |-12≤0，变形得 (|m |-6)(|m |+2)≤0， ∴ |m |≤6，∴ -6≤m ≤6．…………………………………………………………………10分。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作四川省雅安市高中2013级第三次诊断性考试数学试题(理科)（本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，答题时间120分钟） 注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。

并检查条形码粘贴是否正确。

2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

3.考试结束后，将答题卡收回。

第Ⅰ卷 （选择题，50分）一、选择题：(本大题共10个小题,每小题5分,共50分.)在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、已知i 是虚数单位,则(2+i)(3+i)= A. 5-5iB. 7-5iC. 5+5iD. 7+5i2、已知实数集R ，集合A={x|x<0x 2}>或，集合B=}1-x y |{y =，则=⋂B A)(C RA.{x|1<x<2}B.{x|1≤x ≤2}C.{x|1≤x<2}D.{x|0≤x ≤2}3、已知命题p ，q ，那么“p q ∧为真命题”是“p q ∨为真命题”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4、相距1400m 的A 、B 两个哨所，听到炮弹爆炸的时间相差3s ，已知声速340m/s ，则炮弹爆炸点所在曲线的离心率为 A.5170B.7051C.3517D. 15、如图(1)是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为A 1，A 2，…，A 14.图(2)是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是A ．7B ．8C ．9D ．106、已知)(x f =Asin(x ωϕ+)(A>0，ω>0，0<ϕ<π)，其导函数/()f x 的图象如图所示，则)(πf 的值为 A. 2 B. 3 C ．22 D ．237、一个多面体的三视图如图所示，则这个多面体的面数及这些面中直角三角形的个数分别为A. 5和2B. 5和3C. 5和4D. 4和38、假设你家订了一份牛奶,送奶工人在早上6:00-7:00之间把牛奶送到你家,你离开家去上学的时间在早上6:30-7:30之间,则你在离开家前能收到牛奶的概率是 A.18B.58C.12D.789、已知直线1x ya b+=（a b ，是非零常数）与圆22100x y +=有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有 A. 30条 B. 56条 C. 60条D. 66条10、已知函数x x x x f ln )(+=，若存在实数),2(+∞∈m ，使得)2()(-≤m k m f 成立，则整数k 的最小取值为 A. 3 B. 4C. 5D. 6第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上） 11、=+25.0log 10log 255_________________.12、621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中2x 的系数为_________（用数字表示）.13、若,0,1>>b a 且,2=+b a 则ba 411+-的最小值为______. 14、在ABC ∆中，AB=2，AC=3，1AB BC ⋅=，则 BC=________.15、定义在R 上的偶函数)(x f 满足对任意R x ∈，有)1()()2(f x f x f -=+，且当]3,2[∈x 时，96)(2-+-=x x x f ，若函数)1(log )(+-=x x f y a 在),0(+∞上至少有3个零点，则实数a 的取值范围是____________.三、解答题：(本大题共6个小题,75分)解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16、（本题满分12分）等差数列}{n a 中,9,155432==++a a a a . (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式; (Ⅱ)设213+=n a n b ,求数列}b 21a {n n ⋅+的前n 项和n S 17、（本题满分12分）已知函数12cos 2)32cos(2)(+-+=x x x f ωπω (ω>0)的最小正周期为π.(I)求函数)(x f 图象的对称中心；(Ⅱ)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，若△ABC 为锐角三角形且0)(=A f ，求bc的取值范围． 18、（本题满分12分）某校从参加某次数学能力测试的学生中抽出36名学生，统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为120分），成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：)90,80[，)100,90[，)110,100[，]120,110[．（Ⅰ）在这36名学生中随机抽取3名学生，求同时满足下列两个条件的概率： ①有且仅有1名学生成绩不低于110分；②成绩在)100,90[内至多1名学生；（Ⅱ）在成绩是)100,80[内的学生中随机选取3名学生进行诊断问卷，设成绩在)100,90[内人数为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望)(X E .19、（本题满分12分）圆O 上两点C ，D 在直径AB 的两侧(如图甲), 沿直径AB 将圆O 折起形成一个二面角(如图乙), 若∠DOB 的平分线交弧于点G ，交弦BD 于点E,F 为线段BC 的中点.（Ⅰ）证明:平面OGF ∥平面CAD;（Ⅱ）若二面角C-AB-D 为直二面角，且AB=2， ，求直线FG 与平面BCD 所成角的正弦值. 20、（本题满分13分）设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，其离心率为32，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为423+. (Ⅰ)求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设曲线C 的上、下顶点分别为A 、B ，点P 在曲线C 上，且异于点A 、B ，直线AP ，BP 与直线:l y=2-分别交于点M ，N ．(1)设直线AP ，BP 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值； (2)求线段MN 长的最小值． 21、（本题满分14分）已知函数)(1)(,2)(2R a ax x g ax e x f x ∈+=-=.(Ⅰ)设函数)()()(x f x g x h -=,其导函数为/()h x ，若/()h x 在),0[+∞上具有单调性，求a 的取值范围；(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，求证：)(41)1()31()21()1(*N n n n f f f f ∈+>+⋅⋅⋅+++.雅安市高中2013级第三次诊断性考试数学试题(理科)参考答案一、选择题：(本大题共10个小题,每小题5分,共50分.)在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案CDABDCBDCC二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上） 11、2 12、15 13、9 14、3 15、310<<a . 三、解答题：(本大题共6个小题,75分)解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16、（本题满分12分） 解:(Ⅰ)设数列{}由题意得首项的公差为,1a d a n且⎩⎨⎧=+=+⎩⎨⎧==++941563915115432d a d a a a a a 即 解得⎩⎨⎧==211d a所以数列{}12-=n a a n n 的通项公式为 ……………………………………6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可得n n n a b 3231==+ 所以n n n n b a 3..21=+ 所以+++=323.33.23.11n S 13.+n n两式相减得++++-=433333(22n S 13.)3+++n n n ………………………10 分43).12(323..1233.31313111+++-+=-+=+---=n n n n n n S n n n 即）（）（………………………………12 分17、（本题满分12分）解: (1)由条件得12cos 2)32cos(2)(+-+=x x x f π1)62sin(212cos 2sin 3++-=+--=πx x x …………………………………3分由)(62Z k k x ∈=+ππ解得212ππk x +-= 故所求对称中心为)1,212(ππk +-)(Z k ∈…………………………………………6分（2）由01)62s i n (2)(=++-=πA A f 解得3π=A ，32π=+C B ，所以21t a n 23s i n )32s i n (s i n s i n +=-==C C C C B c b π又ABC ∆为锐角三角形，故26ππ<<C所以221tan 2321<+=<C cb ，即c b 的取值范围是)2,21(………………………12分 18（本题满分12分）19、（本题满分12分）解析：(Ⅰ) 为 的一条中位线又OF平面平面平面………………………………………………………（2分）又为的平分线OG又可知AD……………………………………………（4分）又OG平面平面平面………………………………………………………（5分）又为平面内的两条相交直线平面OGF∥平面CAD………………………………………………………（6分）（Ⅱ）二面角C-AB-D为直二面角，即平面CAB平面由已知得为斜边的中点，则CO平面又中，AD=1,又，ADGO为菱形，设DG中点为M,则即直线OM,OB,OC两两垂直，故可如图建立空间直角坐标系………………（8分）则B为(0,1,0) C为(0,0,1) D为（，）G为（，） F为（0，，）…………………………………………（9分）（，）为直线FG的一个方向向量………………………（10分）设为平面的一个法向量则又，（，）令y=1,则（分）=则直线FG与平面BCD所成角的正弦值为…………………………………（12分）20、（本题满分13分）解：(Ⅰ)C 的方程为：2214xy+= ……………………………………………………4分(Ⅱ) (1)由题意，A (0,1)，B (0，－1)，令P (x 0，y 0)，则x 0≠0，∴直线AP 的斜率k 1＝y 0－1x 0，BP 的斜率k 2＝y 0＋1x 0.又点P 在椭圆上，∴x 204＋y 20＝1(x 0≠0)， 从而有k 1k 2＝y 20－1x 20＝1－x 204－1x 20＝－14. 即k 1k 2为定值． ………………………………………………7分 (2)由题设可以得到直线AP 的方程为y －1＝k 1(x －0)， 直线BP 的方程为y －(－1)＝k 2(x －0)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y －1＝k 1x ，y ＝－2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3k 1，y ＝－2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋1＝k 2x ，y ＝－2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1k 2，y ＝－2，∴直线AP 与直线l 的交点M ⎝⎛⎭⎫－3k 1，－2， 直线BP 与直线l 的交点N ⎝⎛⎭⎫－1k 2，－2. 又k 1k 2＝－14，∴|MN |＝⎪⎪⎪⎪－3k 1＋1k 2＝⎪⎪⎪⎪3k 1＋4k 1＝⎪⎪⎪⎪3k 1＋|4k 1| ≥2⎪⎪⎪⎪3k 1·|4k 1|＝43，当且仅当⎪⎪⎪⎪3k 1＝|4k 1|，即k 1＝±32时等号成立， 故线段MN 长的最小值是4 3. ………………………………………………13分21、（本题满分14分）解：(Ⅰ) ∵12)()()(2+-+=-=xe ax ax xf xg xh ，∴a e ax x h x22)('+-=，设a e ax x h x m x22)()('+-==，则xe a x m -=2)('，…………2分（1）若02)('≤-=xe a x m 在),0[+∞上恒成立，则xe a ≤2，故21≤a ； （2）若02)('≥-=xe a x m 在),0[+∞上恒成立，则xe a ≥2，此时，),1[+∞∈xe ，故不存在a 使xe a ≥2恒成立综上所述，a 的范围是：]21-，（∞………………………………………6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知当21=a 时，121)(2+-+=xe x x x h ， 0)0()(1)('''=≤+-=h x h e x x h x ，，),0[)(+∞在x h 上为减函数，所以0)0()(=≤h x h ，即01212<+-+x e x x ， 所以121)(,12122+>+>-x x f x x e x即，依次令n x 1,,31,21,1⋅⋅⋅=得：,1)1(21)1(,,1)31(21)31(,1)21(21)21(,1121)1(2222+⨯>⋅⋅⋅+⨯>+⨯>+⨯>nn f f f f 累加得：马鸣风萧萧 41)n1-121]11-n 141-3131-2121-1[21])1(1431321211[21)131211(21)1()31()21()1(2222+≥+=+++⋅⋅⋅+++=++⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯>++⋅⋅⋅+++>+⋅⋅⋅+++n n n n n n n n nnf f f f （）（）（）（）（ 故)(41)1()31()21()1(*N n n n f f f f ∈+>+⋅⋅⋅+++………….……………14分。

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

考试结束后，将答题卷和机读卡一并收回。

第I 卷(选择题，共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合P={1，2}，Q={z|z=x+y ；x,y P ∈}，则集合Q 为 （ ）(A){1,2，3} (B){2,3,4} (C){3，4，5} (D){2，3}2. 已知命题x x R x p lg 2,:>-∈∃，命题0,:2>∈∀xR x q ，则( )(A)命题q p ∨是假命题(B)命题q p ∧是真命题(C) 命题)(q p ⌝∨是假命题 (D) 命题)(q p ⌝∧是真命题3. 某校在一年一度的“校园十佳歌手”比赛中，9位评委为参赛选手A 给出的分数的茎叶图如图所示.在去掉一个最高分和一个最低分后，得出选手A 得分的中位数是(A)93 (B)92 (C)91 (D) 90 4. 已知3cos sin cos sin =-+xx xx ，则tanx 的值是(A)2 (B)-2 (C) 3 (D)-35. 已知a 是函数的零点，若0＜x 0＜a ，则f （x 0）的值满足（ ）(A)f （x 0）=0 (B)f （x 0）＞0 (C)f （x 0）＜0 (D)f （x 0）的符号不确定 6. 函数1)(2+=x e x f 的大致图象为7. 在ΔABC 中，若 sinA-sinAcosC=cosAsinC ，则ΔABC 的形状是(A)正三角形 （B )等腰三角形 (C)直角三角形（D)等腰直角三角形错误!未找到引用源。

8. 已知正数x ,y 满足⎩⎨⎧≥+-≤-05302y x y x ，则y xz )21(4⋅=-的最小值为( )(A)1 (B)3241 (C)161 (D)321 9. 如图，在三棱锥S —ABC 中，SA 丄平面ABC,SA = 3，AC=2，AB 丄BC ，点P 是SC 的中点，则异面直线SA 与PB 所成角的 正弦值为 (A)1313 (B) 133 (C) 13133 (D) 1313210. 定义在R 上的函数)(x f 满足3)2(1)3(=-=f f ，，)(x f '为f （x ）的导函数，已知y=)(x f '的图象如图所示，且)(x f '有且只有一个零点，若非负实数 a ，b 满足3)2(1)2(≤--≤+b a f b a f ，，则12++a b 的取值范围是（ ） (A)(B)(C)(D)第Ⅱ卷(非选择题，共100分）二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.某学校高中三个年级的学生人数分别为：高一 950人，髙二 1000人，高三1050人.现要调查该校学生的视力状况，考虑采用分层 抽样的方法，抽取容量为60的样本，则应从高三年级中抽取的人数为12. 已知向量a b 、满足(0,1),(1,2)a b a b +=-=-，则a b ⋅=___________.13. 当x>l 时， 2log log 22x x +的最小值为 14. 已知角γβα，，构成公差为3π的等差数列.若32cos -=β，则=+γαcos cos15. 如图，在ΔABC 中，0=•BC AH ，且AH=1，G 为ABC ∆的重心，则=•AH GH =三.解答题：本大题共6小题,共75分. 16. (本小题满分12分）已知向量)cos 2sin (cos )sin sin (cos x x x b x x x a ，，　，-=+=，设.)(R x b a x f ∈•=　， (I )化简函数f(x)的解析式并求其最小正周期； (II)当 ]20[π，　∈x 时，求函数f(x)的最大值及最小值.17.（本小题满分12分）已知A B 、分别在射线CM CN 、（不含端点C ）上运动，23MCN ∠=π，在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别 是a 、b 、c ．（Ⅰ）若a 、b 、c 依次成等差数列，且公差为2．求c 的值；（Ⅱ）若3c =，ABC ∠=θ，试用θ表示ABC ∆的周长，并求周长的最大值．18. (本小题满分12分）如图，矩形 ABCD 中，BC=2，AB=1，PA 丄平面 ABCD ，BE//PA ，BE=21PA,F 为PA 的中点.(I ）求证:DF//平面PEC(II)记四棱锥C 一PABE 的体积为V 1,三棱锥P —ACD 的 体积为V 2，求21V V 的值.19. (本小题满分12分）已知函数⎩⎨⎧∞+⋃-∞∈-∈+-=)2()1(12]21[1)(2，，，，，x x x x x x f (I)解关于x 的不等式1)(≤-x f :；(II)若21≤≤x ，判断函数365)(2)(2-+-=x x x xf x h 的零点个数，并说明理由.MNθACB20. (本小题满分13分）在数列{}n a 中，21=a ，42=a ，且当2≥n 时，112+-=n n n a a a ，*N n ∈。

雅安市高2010级第三次诊断性考试数 学（文史类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共4页，满分150分；考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（共50分）本卷共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

请将此选项的番号用2B 铅笔填涂在答题卡的相应栏目上。

1．已知集合{}{}{}4,3,5,4,2,6,5,4,3,2,1===B A U 则()U C A B =（ ）（A ）{}3（B ）{}45，（C ）{}6,4,3,1 （D ）{}5,4,3,22．复数1,iz i+=则z =（ ） （A（B ）2 （C ）（D ） 1i - 3．曲线3231y x x =-+在点（1，0）处的切线方程为 （ ）（A ）45y x =- （B ）32y x =-+ （C ）44y x =-+ （D ） 33y x =-4．下面命题判断正确的是（ ）（A ）若p q ∨是真命题，则,p q 都是真命题（B ）命题“200,10x R x ∃∈->的否定是“2,10x R x ∀∈-<”（C ）ABC ∆中，“A>B ”是“sin sin A B >”的充要条件（D ）过平面外的一点P 的直线与平面α所成的角为θ，则这样的直线有无数条 5．按下面的程序框图进行计算时，若输入4x =，则输出x 的值是（ ）是（ ）.（A ）M N ≥ （B ）M N > （C ）M N < （D ）M N ≤7．双曲线12222=-by a x )0,0(>>b a 与抛物线x y 122=有一个公共焦点F ，过点F 且垂直于实轴的弦长为2，则双曲线的离心率等于( ) （A ）4 （B ）22 （C ）3（D ）23 8．已知tan ,tan αβ是方程240x ++=的两根，且－π2<α<π2，－π2<β<π2，则α＋β的值为( ) （A ）3π（B ）32π- （C ）233ππ-或 （D ）233ππ-或9．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若213211234(),27n n S a a a a a a -=+++⋅⋅=，则3132320log log log a a a +++=（ ）（A ）210 （B ）190 （C ）220 （D ）24210．定义域为[]b a ,的函数()y f x =图象的两个端点为A 、B ，向量(1)ON OA OB λλ=+-， M(x,y)是()y f x =图象上任意一点，其中]1,0[,)1(∈-+=λλλb a x . 若不等式MN k ≤恒成立， 则称函数()f x 在[]b a ,上满足“k 范围线性近似”，其中最小的正实数k 称为该函数的线性近似阀值．则定义在[1,2]上的函数y=1x x -的线性近似阀值是（ ） （A）32（B）32+（C（D ）2第Ⅱ卷（共100分） 考生注意事项：请用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上书写作答无效。

四川省雅安市重点中学2015届高三1月月考数学（文）试题本试卷分为试题卷和答题卷两部分,其中试题卷由第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷组成,共4页;答题卷共4页.满分150分,考试时间120分钟.考试结束后将答题卡和答题卷一并交回.第Ⅰ卷(选择题,共50分)一.选择题(本大题共10个小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.02600cos 等于 （ ）A ．23±B ．23C ．23-D ．212.已知(){}*30A x N x x =∈-≤，函数ln(1)y x =-的定义域为集合B ，则B A =（ ）A. {}1,2,3B. {}2,3C. (]1,3D. []1,33.已知直线b a ,都在平面α外, 则下列推断错误的是（ ）A ．αα////,//a b b a ⇒B ．αα//,a b b a ⇒⊥⊥C ．b a b a ////,//⇒ααD ．b a b a //,⇒⊥⊥αα4. 函数2()(sin cos )cos2f x x x x =++的最小正周期是（ ）A.2π B. π C. 32π D. 2π 5.下列判断正确的是（ ） A. 若命题p 为真命题，命题q 为假命题，则命题“p q ∧”为真命题B.命题“若0xy =，则0x =”的否命题为“若0xy =，则0x ≠”C. “21cos =α”是“3πα= ”的充分不必要条件 D. .命题“02,>∈∀x R x ”的否定是“02,0≤∈∃x o R x ”6.等差数列{}n a 中的1a 、4017a 是函数321()4613f x x x x =-+-的极值点，则 20142log a =（ ）A . 2 B. 3 C. 4 D. 57.设变量,x y 满足约束条件3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则目标函数23z x y =+的最小值为（ ）A . 6B . 7C . 8D . 238.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 （ ）A .B .C .()1π+ D .()2π+9.设动直线t x =与函数x x g x x f ln )(,)(2==的图象分别交于点A 、B ，则|AB|的最小值为 ( )A ．2ln 2121+B ．2ln 2121- C ． 2ln 1+ D ．12ln - 如果直线()21400,0ax by a b -+=>>和函数()()110,1x f x m m m +=+>≠的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆()()221225x a y b -+++-=的内部或圆上，那么b a的取值范围是 （ ） A.⎪⎭⎫⎢⎣⎡3443， B.⎥⎦⎤ ⎝⎛3443， C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡3443， D.⎪⎭⎫ ⎝⎛3443，第Ⅱ卷(非选择题,共100分)二.填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)11.若直线1:20l ax y +=和()2:3110l x a y +++=平行，则实数a 的值为 .12.经过点()1,2M ，并且与圆0248622=+--+y x y x 相切的直线方程是 .13.若sin cos θθ+=tan 3πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 ___________. 14.已知AD 是ABC ∆的中线，若A ∠0120=，2AC AB -=⋅ ,则的最小值是 ．15.已知球的直径SC=4，A ，B 是该球球面上的两点，AB=2．∠ASC=∠BSC=60°，则 棱锥S —ABC 的体积为_____________.三.解答题(本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明证明过程或推演步骤.)16.（本小题12分）已知向量⎪⎭⎫ ⎝⎛=23,sin x ，()02cos 3,cos 3>⎪⎭⎫ ⎝⎛=A x A x A n ，函数()f x m n =⋅的最大值为6.（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象.求()g x 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡40π，上的值域.17.（本小题12分）如图，已知DE ⊥平面ACD ，AB //DE ，ACD ∆是正三角形，AD = DE 2=AB ，且 F 是 CD 的中点．⑴求证：AF //平面 BCE ；⑵求证：平面 BCE ⊥平面 CDE .18.（本小题12分）已知等差数列{}n a 满足：18,11625=+=a a a .（1）求{}n a 的通项公式；（2）若n a n n q a b +=(0>q )，求数列{}n b 的前n 项和n S .19.（本小题12分）已知圆C ：()()9122=--+-a y a x ，其中a 为实常数．（1）若直线l ：03=-+y x 被圆C 截得的弦长为2，求a 的值；（2）设点()0,3A ，0为坐标原点，若圆C 上存在点M ，使|MA|=2 |MO|，求a 的取值范围．20.（本小题13分）已知k R ∈,函数()x x f x a k b =+(0a >且1a ≠，0b >且1)b ≠.(1) 如果实数,a b 满足1a >且1ab =，函数()f x 是否具有奇偶性? 如果有,求出相应的k 值;如果没有,说明原因；(2) 如果21,2==b a ，讨论函数()f x 的单调性。

雅安市高中2015 级第三次诊疗性考试数学（文科）试题一、选择题（本大题共12 个小题，每题 5 分，共60 分. 在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的. ）1. 若复数 z 知足 z (3 4i ) 1 ，则 z 的虚数是（）A．2 B ． 4 C ． 3 D ． 42. 已知会合 A x 1 x 2 ， B x x2 2x 0 ，则A B （）A．x 0 x 2 B ．x 0 x 2 C ．x 1 x 0 D ．x 1 x 03. 若双曲线 x2 y2 1与椭圆x2 y2 1 有公共焦点，则 p 的值为（）3 8 pA 2 B． 3 C．4 D．4 2．4. 将函数 y sin(2 x ) 图象向左平移4 个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是6 （）A．x B ． x6 C ． x D ． x3 12 12 5. 已知向量 a (2, 1) ， b (1,3) ，且a (a mb) ，则m （）．1 B ． 5C． 1D． 5A6. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1 ，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）、侧视图、俯视图 . 则该几何体的体积为（）A．5B ． 10C ．8D ． 33 3 3x 07. 已知实数x，y知足条件y 1 ，若目标函数 z mx y( m 0) 获得最大值时的2x 2 y 1 0最优解有无量多个，则实数m的值为（）A ． 1B．1C．1D． 1228. 偶函数 f ( x) 在 0, 单一递加，若 f ( 2) 1 ，则 f ( x 2)1 的 x 的取值范围是（）A ． 0,2B．2,2C． 0,4D． 4,49. 履行如图的程序框图，假如输入p 8 ，则输出的 S （ ）A ．63B． 127C． 127D． 255646412812810. 若曲线 y1 x2 与曲线 ya ln x 在它们的公共点 P(s,t ) 处拥有公共切线，则实数 a2e（ ）A ． 1B．1C． 1D． 2211.设F ，F是椭圆x 2y 2 1(a b 0) 的左、右两个焦点，若椭圆上存在一点P ，使12a 2b 2(OP OF 2 ) F 2 P 0 （此中 O 为坐标原点），且 PF 13 PF 2 ，则椭圆的离心率为（）A ．3 1B．2 1C．3 1．2 12 D212.t R ， t 表示不大于 t 的最大整数，如0 ，1 ，且 x R ，f (x)f ( x 2)， x[ 1,1]1x ，定义：， f (x)2Dx, yxt 2y21,t1,3 . 若 (a,b) D ，则 f (a) b 的概率为（）4A ．1B． 1 1C． 1 1D． 1 122 32 52 5二、填空题（本大题每题 5 分，共 20 分，将答案填在答题纸上）13. 函数 f (x) 3sin x 3cos x 的最小值是．14. 察看以下式子：1 3 1 1 5 1 1 1 71 ， 132， 122 32 42，，依据以上式子22 2 22 3 41 1 1．能够猜想： 132 201822215.若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，则圆锥侧面积与球面面积之比为．16.在锐角 ABC 中，内角A，B， C 的对边分别为a， b ，c，且知足(a b)(sin A sin B) (c b)sin C ，若a 3 ，则b2 c2的取值范围是．三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）17. 已知公差不为零的等差数列{ a n} 知足 a1， a2， a3成等比数列， a3 3 ；数列 { b n } 知足b n b n 1 a n 1( n 2) ， b1 a1.（ 1）求数列{ a n}，{b n}的通项公式；（ 2）记c n1，求数列 { c n } 的前n项和 T n.b n 2n18. 如图，在四棱锥S ABCD 中， SD 底面 ABCD ，M为 SD 的中点，底面ABCD 为直角梯形， AB AD ，AB//CD，且CD 2AB 2AD 2 .（ 1）求证：AM //平面SBC ；（ 2）若SB 与平面ABCD 所成角的正弦值为33，求四棱锥S ABCD 的体积.19.某校初一年级整年级共有 500 名学生，为了拓展学生的知识面，在放寒假时要修业生在假期时期进行宽泛的阅读，开学后老师对整年级学生的阅读量进行了问卷检查，获得了如图所示的频次散布直方图（部分已被损毁），统计人员记得依据频次直方图计算出学生的均匀阅读量为 8.3 万字.依据阅读量分组按分层抽样的方法从整年级500 人中抽出 20 人来作进一步伐查 .（ 1）在阅读量为 3 万到5 万字的同学中有20 人的成绩优异，在阅量为11万到13万字的同学中有 25 人成绩不优异，请达成下边的2 2列联表，并判断在“出错误概率不超出前提下，可否定为“学生成绩优异与阅读量有有关关系” ；0.005 ”的阅读量为3万到5 万阅读量为11万到13万共计人数人数成绩优异的人数成绩不优异的人数共计（ 2）在抽出的同学中，1）求抽到被污染部分的同学人数；2）从阅读量在3万到5万字及11万到 13 万字的同学中选出 2 人写出阅读的心得领会.求这 2 人中恰有 1人来自阅读量是11 万到13 万的概率.参照公式： K 2(an( ad bc)2 ，此中 n a b c d .b)(c d )(a c)(b d )参照数据：P(K 2 k0 )k020. 已知抛物线 C 的方程为y2 2 px( p 0) ，点R(1,2)在抛物线 C 上.（ 1）求抛物线C 的方程；（ 2）过点Q (1,1)作直线交抛物线C 于不一样于R的两点A，B.若直线AR，BR分别交直线 l ：y2x 2 于M， N 两点，求线段 MN 最小时直线AB的方程.21. 设函数f x x 1 e x kx2（此中）. 21k 1 时，求函数f x的单一区间；（）当2k 0 时，议论函数f x的零点个数.（）当请考生在22、23 题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号 .22.选修 4-4 ：坐标系与参数方程在直角坐标系中，已知圆 C 的圆心坐标为(2,0) ，半径为 2 ，以坐标原点为极点，X 轴的正半轴为极轴成立极坐标系，直线x tl 的参数方程为：（ t 为参数）.y 1t（ 1）求圆C和直线l的极坐标方程；2 1,，直线 l 与圆 C 订交于A，B，求PA PB的值.（）点 P 的极坐标为223.选修 4-5 ：不等式选讲已知函数 f x2x a x 2 （此中a R ）.（1）当a1时，求不等式 f ( x) 6 的解集；（2）若对于x的不等式f (x) 3a2 2 x恒成立，求a的取值范围 .雅安市高中2015 级第三次诊疗性考试数学试题 ( 文科 ) （参照答案）一、选择题1-5: BDCCB 6-10: CACCA 11 、 12：AD二、填空题13. -2 314.4035 5：216.5，615.2018三、解答题设数列a n的公差为 d 则:a22d) 2 a 1 (a 1 3d ) ,17、解： (I) a 1a 4, (a 1 a 1d,又a 3 3a 1 2d 3d 3 d 1, a 1 1,a n =a 1 +（ n-1 ） d=n .b 1 a 1 b 1 1, b nbn 1an 1n 1当n2 时b n(b n b n 1 ) (b n 1 b n 2 ) (b n 2 b n 3 )(b 3 b 2 ) (b 2 b 1 ) b 1(n 1) (n 2) (n 3)2 1n 2n 2n 2n 22，又b 1b n2.1知足上式（II ）c nb n 1 22 (n 2 2( n 1 1 ) 2n n3n 2 1)(n2) 1 n 2T2(1 1) 2(1 1) 2(11)2(11 )n2 3 3 4n n 1 n 1 n 212nn 2n 2 .设 SC 中点分别是 E ，连结BE , MEME/ / 1DC18、证明： (I)则2，1QAB/ / DC ，四边形 ABEM 为平行四边形，Q AM //EB ，QEB 平面SBC，AM平面SBC，平面 .（ II ） Q SD 平面 ABCD,SD DB SBD是SB与平面ABCD所成角,sin SBD SD 3, SB 323 2 又正方形 ABED中 BD=BD 2 2直角三角形中SB SD AB SDB SB SD2 DB2 3SD2 SD2 2 SD 1 .1( AB DC)AD 1(1 2) 13又 S 梯形 ABCD=2 ，2 2v四棱锥 S ABCD 1S梯形ABCD SD 1 3 1 1 .3 3 2 219、解答： (I)阅读量在3万到 5 万的小矩形的面积为0.1 ，阅读量在9 万到 11 万的小矩形的面积为 0.25, 阅读量在11 万到 13 万的小矩形的面积为 0.15.阅读量在 3 万到 5 万的人数为50， 9 万到 11 万的人数为 125, 11 万到 13 万的人数为 75. 则阅读量为 3 万到 5万人数阅读量为 11 万到 13 万人数共计成绩优异的人数20 50 70成绩不优异的人数30 25 55共计50 75 125K 2n(ad bc)2 125(20 25 50 30) 2(a b)( c d )( a c)(b d ) (20 50)(30 25)(20 30)(50 25) .能在出错误的概率不超出0.005 的前提下以为“学生成绩优异与阅读量有有关关系”. (II)1）由 (I) 知阅读量在 5 万到 9 万的小矩形的面积为1- （ 01+0.25+0.15 ）则被污损部分的同学人数为10 人，2）按分层抽样的方法，抽得阅读量在 3 万到5 万的人数为 2 人，阅读量在11 万字到13 万字的为 3 人，设阅读量在 3 万字到 5 万字的 2 个同学为a, b，阅读量为 11 万字到 13 万字的 3 个同学为A, B,C 则从这 8 个同学中选出 2 个同学的状况有：a, b a, A a, B , a,C b, A b, B b,CA, B A,C B, C ，共 10 种状况，2 人中恰有1 人来自阅读量是11 万到 13 万的有：a, A a, B , a,C b, A b, B b,C ，共 6 种状况，P 3 5这 2 人中恰有 1 人来自阅读量是11 万到 13 万的概率为3. 520、解答： (I) 将R(1,2)代入抛物线中，可得p 2，因此抛物线方程为y2 4x .（ II ）设 AB 所在直线方程为xm( y 1) 1(m0)， A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ) 与抛物线联立y2 4xx my m 1得：y2 4my 4(m 1) 0 ，因此y1 y2 4m, y1 y2 4(m 1) ，设AR：y k1(x 1) 2，y k1 (x 1) 2y1 2 y1 2 4 k1k11 2 y1 2由y2x 2x M x1 y1 1k12，而 4得，x M2x N2y2可得y1 ，同理，| MN | 5 | x Mx N | 2 5 m 2m 1因此| m 1| .令 m 1t(t0)，则 mt 1 ，|MN|5 | x M 1 1 2 315x N | 2 5 ()4因此t2，此时 m1， AB 所在直线方程为： x+y-2=0.21、解 答：(I)函 数f x的定 义 域为,，f xe xx 1 exkx xe xkx x e xk，① k0 时，令fx，解得 x0 ，因此 fx 的单一递减区间是,0 ，单一递加区间是0,，②当k 1时，令fx，解得 x lnk 或 x 0 ，因此fx 在,ln k 和 0,上单一递加，在ln k,0 上单一递减，f 1k） f1，①当 k时，，又fx 在 0,（ II2上单一递加，因此函数f x 在 0,上只有一个零点，在区间,0中，由于f xx 1 e xk x 2 x 1k x 2x2 122， 取k，于是22 k22k，又1,00上单一递减，故f k 1 k12 k 12f x 在fx 在,0上也只有一个零点，因此，函数fx 在定义域,上有两个零点；②当 k 0 时，fxx1 e x在单一递加区间0,内，只有f 1 0．而在区间 ,0 内fx 0 ，即 fx在此区间内无零点．因此，函数fx 在定义域,上只有独一的零点 .22. 选修 4— 5：极坐标参数方程解： (I) 圆的直角坐标方程为，代入圆得：，化简得圆由的极坐标方程：得，的极坐标方程为.,（II）由得点的直角坐标为直线的参数的标准方程可写成,代入圆得：化简得：,.23、选修 4— 5：不等式选讲解：（1）当 a1时，函数f ( x)2x1x 2，则不等式为2x1x2 6，① x 2时，原不等式为2x1 x 26，解得：x3 ；1 x 2②当21 2x 6，解得：x 5. 此时不等式无解；时，原不等式为2xx 12时，原不等式为12x 2 x6，解得：x1，③当原不等式的解集为{ x | x1或x 3} .雅安市高中2015级第三次诊疗性考试数学(文科)试题3x 3, x2方法二：当a1 时，函数f (x) 2x 1 x 2x1 x2 ，画出函数 f ( x) 的图1,2 13x 3,x2象，如图：联合图象可得原不等式的解集为{ x | x1或x3}.（ 2）不等式f ( x) 3a 22 x 即为 2 x a x 2 3a 2 2 x ，即对于 x 的不等式 2xa2 x2 3a 2 恒成立 .而 2xa 2 x 2 2x a 2x 4 (2x a) (2 x 4)a 4 ，因此 a4 3a 2 ，解得a4 3a 2 或 a43a 2， 1 a43 或a.解得[ 1, 4]因此 a 的取值范围是3 .。

2015年四川省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）（2015?四川）设集合A={x|﹣1＜x＜2}，集合B={x|1＜x＜3}，则A∪B=（）|1．（5分）（2015?四川）设集合A={x|﹣1＜x＜2}，集合B={x|1＜x＜3}，则A∪B=（）|1．（5分）（2015?四川）设集合A={x|﹣1＜x＜2}，集合B={x|1＜x＜3}，则A∪B=（）A．{x|﹣1＜x ＜3}B．{x|﹣1＜x＜1}C．{x|1＜x＜2}D．{x|2＜x＜3}考点：并集及其运算．专题：集合．分析：直接利用并集求解法则求解即可．解答：解：集合A={x|﹣1＜x＜2}，集合B={x|1＜x＜3}，则A∪B={x|﹣1＜x＜3}．故选：A．点评：本题考查并集的求法，基本知识的考查．2．（5分）（2015?四川）设向量=（2，4）与向量=（x，6）共线，则实数x=（）A．2B．3C．4D．6考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：利用向量共线的充要条件得到坐标的关系求出x．解答：解；因为向量=（2，4）与向量=（x，6）共线，所以4x=2×6，解得x=3；故选：B．点评：本题考查了向量共线的坐标关系；如果两个向量向量=（x，y）与向量=（m，n）共线，那么xn=yn．3．（5分）（2015?四川）某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显着差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（）A．抽签法B．系统抽样法C．分层抽样法D．随机数法考点：收集数据的方法．专题：应用题；概率与统计．分析：若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样．解答：解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，而事先已经了解到三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显着差异，这种方式具有代表性，比较合理．故选：C．点评：本小题考查抽样方法，主要考查抽样方法，属基本题．4．（5分）（2015?四川）设a，b为正实数，则“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件考点：充要条件．专题：简易逻辑．分析：先求出log2a＞log2b＞0的充要条件，再和a＞b＞1比较，从而求出答案．解答：解：若log2a＞log2b＞0，则a＞b＞1，故“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的充要条件，故选：A．点评：本题考察了充分必要条件，考察对数函数的性质，是一道基础题．5．（5分）（2015?四川）下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（）A．y=cos（2x+）B．y=sin（2x+）C．y=sin2x+co s2x D．y=sinx+cos x考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：求出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可．解答：解：y=cos（2x+）=﹣sin2x，是奇函数，函数的周期为：π，满足题意，所以A正确y=sin（2x+）=cos2x，函数是偶函数，周期为：π，不满足题意，所以B不正确；y=sin2x+cos2x=sin（2x+），函数是非奇非偶函数，周期为π，所以C不正确；y=sinx+cosx=sin（x+），函数是非奇非偶函数，周期为2π，所以D不正确；故选：A．点评：本题考查两角和与差的三角函数，函数的奇偶性以及红丝带周期的求法，考查计算能力．6．（5分）（2015?四川）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（）A．﹣B．C．﹣D．考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k的值，当k=5时满足条件k＞4，计算并输出S 的值为．解答：解：模拟执行程序框图，可得k=1k=2不满足条件k＞4，k=3不满足条件k＞4，k=4不满足条件k＞4，k=5满足条件k＞4，S=sin =，输出S 的值为．故选：D．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题．7．（5分）（2015?四川）过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则|AB|=（）A．B．2C．6D．4考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线的渐近线方程，求出AB的方程，得到AB坐标，即可求解|AB|．解答：解：双曲线x2﹣=1的右焦点（2，0），渐近线方程为y=，过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，x=2，可得y A =2，y B=﹣2，∴|AB|=4．故选：D．点评：本题考查双曲线的简单性质的应用，考查基本知识的应用．8．（5分）（2015?四川）某食品保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y=e kx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（）A．16小时B．20小时C．24小时D．28小时考点：指数函数的实际应用．专题：函数的性质及应用．分析：由已知中保鲜时间与储藏温度是一种指数型关系，由已知构造方程组求出e k，e b的值，运用指数幂的运算性质求解e33k+b即可．解答：解：y=e kx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．当x=0时，e b=192，当x=22时e22k+b=48，∴e16k==e11k=e b=192当x=33时，e33k+b=（e k）33?（e b）=（）3×192=24故选：C点评：本题考查的知识点是函数解析式的运用，列出方程求解即可，注意整体求解．9．（5分）（2015?四川）设实数x，y 满足，则xy的最大值为（）A．B．C．12D．16考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用基本不等式进行求解即可．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图；则动点P在BC上运动时，xy取得最大值，此时2x+y=10，则xy==，当且仅当2x=y=5，即x=，y=5时，取等号，故xy的最大值为，故选：A点评：本题主要考查线性规划以及基本不等式的应用，利用数形结合是解决本题的关键．10．（5分）（2015?四川）设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点，与圆（x﹣5）2+y2=r2（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r 的取值范围是（）A．（1，3）B．（1，4）C．（2，3）D．（2，4）考点：抛物线的简单性质；直线与圆的位置关系．专题：综合题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先确定M的轨迹是直线x=3，代入抛物线方程可得y=±2，所以交点与圆心（5，0）的距离为4，即可得出结论．解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），则斜率存在时，设斜率为k，则y12=4x1，y22=4x2，利用点差法可得ky0=2，因为直线与圆相切，所以=﹣，所以x0=3，即M的轨迹是直线x=3，代入抛物线方程可得y=±2，所以交点与圆心（5，0）的距离为4，所以2＜r＜4时，直线l有2条；斜率不存在时，直线l有2条；所以直线l恰有4条，2＜r＜4，故选：D．点评：本题考查直线与抛物线、圆的位置关系，考查点差法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）（2015?四川）设i是虚数单位，则复数i﹣= 2i ．考点：复数代数形式的混合运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的运算法则求解即可．解答：解：复数i ﹣=i ﹣=i+i=2i．故答案为：2i．点评：本题考查复数的基本运算，考查计算能力．12．（5分）（2015•四川）lg0.01+log216的值是 2 ．考对数的运算性质．点：函数的性质及应用．专题：直接利用对数的运算法则化简求解即可．分析：解：lg0.01+log216=﹣2+4=2．解答：故答案为：2．本题考查对数的运算法则的应用，考查计算能力．点评：13．（5分）（2015•四川）已知sinα+2cosα=0，则2sinαcosα﹣cos2α的值是﹣1 ．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析：已知等式移项变形求出tanα的值，原式利用同角三角函数间的基本关系化简，将tanα的值代入计算即可求出值．解答：解：∵sinα+2cosα=0，即sinα=﹣2c osα，∴tanα=﹣2，则原式=====﹣1，故答案为：﹣1点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．14．（5分）（2015?四川）在三棱住ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设M，N，P分别是AB，BC，B1C1的中点，则三棱锥P﹣A1MN的体积是．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：判断三视图对应的几何体的形状，画出图形，利用三视图的数据，求解三棱锥P﹣A1MN的体积即可．解答：解：由三视图可知，可知几何体的图形如图：几何体是底面为等腰直角三角形直角边长为1，高为1的直三棱柱，所求三棱锥的高为NP=1，底面AMN的面积是底面三角形ABC的，所求三棱锥P﹣A1MN的体积是：=．故答案为：．点评：本题考查三视图与直观图的关系，组作出几何体的直观图是解题的关键之一，考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．15．（5分）（2015?四川）已知函数f（x）=2x，g（x）=x2+ax（其中a∈R）．对于不相等的实数x1、x2，设m=，n=．现有如下命题：①对于任意不相等的实数x1、x2，都有m＞0；②对于任意的a及任意不相等的实数x1、x2，都有n＞0；③对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=n；④对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=﹣n．其中的真命题有①④（写出所有真命题的序号）．考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：运用指数函数的单调性，即可判断①；由二次函数的单调性，即可判断②；通过函数h（x）=x2+ax﹣2x，求出导数判断单调性，即可判断③；通过函数h（x）=x2+ax+2x，求出导数判断单调性，即可判断④．解答：解：对于①，由于2＞1，由指数函数的单调性可得f（x）在R 上递增，即有m＞0，则①正确；对于②，由二次函数的单调性可得g（x）在（﹣∞，﹣）递减，在（，+∞）递减，则n＞0不恒成立，则②错误；对于③，由m=n，可得f（x1）﹣f（x2）=g（x1）﹣g（x2），考查函数h（x）=x2+ax﹣2x，h′（x）=2x+a﹣2x ln2，当a→﹣∞，h′（x）小于0，h（x）单调递减，则③错误；对于④，由m=﹣n，可得f（x1）﹣f（x2）=﹣[g（x1）﹣g（x2）]，考查函数h（x）=x2+ax+2x，h′（x）=2x+a+2x ln2，对于任意的a，h′（x）不恒大于0或小于0，则④正确．故答案为：①④．点评：本题考查函数的单调性及运用，注意运用指数函数和二次函数的单调性，以及导数判断单调性是解题的关键．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）（2015?四川）设数列{a n}（n=1，2，3…）的前n项和S n，满足S n=2a n ﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列的前n项和为T n，求T n．考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由条件S n满足S n=2a n﹣a1，求得数列{a n}为等比数列，且公比q=2；再根据a1，a2+1，a3成等差数列，求得首项的值，可得数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）由于=，利用等比数列的前n项和公式求得数列的前n项和T n．解答：解：（Ⅰ）由已知S n=2a n﹣a1，有a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2a n﹣1（n≥2），即a n=2a n﹣1（n≥2），从而a2=2a1，a3=2a2=4a1．又因为a1，a2+1，a3成等差数列，即a1+a3=2（a2+1）所以a1+4a1=2（2a1+1），解得：a1=2．所以，数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列．故a n=2n．（Ⅱ）由（Ⅰ）得=，所以T n=+++…+==1﹣．点评：本题主要考查数列的前n项和与第n项的关系，等差、等比数列的定义和性质，等比数列的前n项和公式，属于中档题．17．（12分）（2015?四川）一辆小客车上有5名座位，其座号为1，2，3，4，5，乘客P1，P2，P3，P4，P5的座位号分别为1，2，3，4，5．他们按照座位号顺序先后上车，乘客P1因身体原因没有坐自己1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就坐：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位．如果自己的座位已有乘客就坐，就在这5个座位的剩余空位中选择座位．（Ⅰ）若乘客P1坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法．下表给出其中两种坐法，请填入余下两种坐法（将乘客就坐的座位号填入表中空格处）乘客P1P2P3P4P5座位号32145324513 24 1 53 2 54 1（Ⅱ）若乘客P1坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，求乘客P1坐到5号座位的概率．考点：概率的应用．专题：应用题；概率与统计．分析：（Ⅰ）根据题意，可以完成表格；（Ⅱ）列表，确定所有可能的坐法，再求出乘客P1坐到5号座位的概率．解答：解：（Ⅰ）余下两种坐法：乘客P1P2P3P4P5座位号32145324513241532541（Ⅱ）若乘客P1坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，则所有可能的坐法可用下表表示为乘客 P1 P2 P3 P4 P5座位号 2 1 3 4 52 3 1 4 52 3 4 1 52 3 4 5 12 3 5 4 12 43 1 52 43 5 12 534 1于是，所有可能的坐法共8种，设“乘客P1坐到5号座位”为事件A，则事件A中的基本事件的个数为4，所以P（A）==．答：乘客P1坐到5号座位的概率是．点评：本题考查概率的运用，考查学生的计算能力，列表确定基本事件的个数是关键．18．（12分）（2015?四川）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．（Ⅰ）请按字母F，G，H标记在正方体相应地顶点处（不需要说明理由）（Ⅱ）判断平面BEG与平面ACH的位置关系．并说明你的结论．（Ⅲ）证明：直线DF⊥平面BEG．考点：直线与平面垂直的判定；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）直接标出点F，G，H的位置．（Ⅱ）先证BCHE为平行四边形，可知BE∥平面ACH，同理可证BG∥平面ACH，即可证明平面BEG∥平面ACH．（Ⅲ）连接FH，由DH⊥EG，又DH⊥EG，EG⊥FH，可证EG⊥平面BFHD，从而可证DF⊥EG，同理DF⊥BG，即可证明DF⊥平面BEG．解解：（Ⅰ）点F，G，H的位置如图所示．答：（Ⅱ）平面BEG∥平面ACH，证明如下：∵ABCD﹣EFGH为正方体，∴BC∥FG，BC=EH，又FG∥EH，FG=EH，∴BC∥EH，BC=EH，∴BCHE为平行四边形．∴BE∥CH，又CH?平面ACH，BE?平面ACH，∴BE∥平面ACH，同理BG∥平面ACH，又BE∩BG=B，∴平面BEG∥平面ACH．（Ⅲ）连接FH，∵ABCD﹣EFGH为正方体，∴DH⊥EG，又∵EG?平面EFGH，∴DH⊥EG，又EG⊥FH，EG∩FH=O，∴EG⊥平面BFHD，又DF?平面BFHD，∴DF⊥EG，同理DF⊥BG，又∵EG∩BG=G，∴DF⊥平面BEG．点评：本题主要考查了简单空间图形的直观图、空间线面平行与垂直的判定与性质等基础知识，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．19．（12分）（2015?四川）已知A、B、C为△ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x2+px﹣p+1=0（p∈R）两个实根．（Ⅰ）求C的大小（Ⅱ）若AB=3，AC=，求p的值．考点：正弦定理的应用；两角和与差的正切函数．专题：函数的性质及应用；解三角形．分析：（Ⅰ）由判别式△=3p2+4p﹣4≥0，可得p≤﹣2，或p≥，由韦达定理，有tanA+tanB=﹣p，tanAtanB=1﹣p，由两角和的正切函数公式可求tanC=﹣tan（A+B）=，结合C的范围即可求C的值．（Ⅱ）由正弦定理可求sinB==，解得B，A，由两角和的正切函数公式可求tanA=tan75°，从而可求p=﹣（tanA+tanB）的值．解答：解：（Ⅰ）由已知，方程x2+px﹣p+1=0的判别式：△=（p）2﹣4（﹣p+1）=3p2+4p﹣4≥0，所以p≤﹣2，或p≥．由韦达定理，有tanA+tanB=﹣p，tanAtanB=1﹣p．所以，1﹣tanAtanB=1﹣（1﹣p）=p≠0，从而tan（A+B）==﹣=﹣．所以tanC=﹣tan（A+B）=，所以C=60°．（Ⅱ）由正弦定理，可得sinB===，解得B=45°，或B=135°（舍去）．于是，A=180°﹣B﹣C=75°．则tanA=tan75°=tan（45°+30°）===2+．所以p=﹣（tanA+tanB）=﹣（2+）=﹣1﹣．点评：本题主要考查了和角公式、诱导公式、正弦定理等基础知识，考查了运算求解能力，考查了函数与方程、化归与转化等数学思想的应用，属于中档题．20．（13分）（2015?四川）如图，椭圆E：=1（a＞b＞0）的离心率是，点P （0，1）在短轴CD上，且?=﹣1（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A、B两点．是否存在常数λ，使得?+λ?为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：向量与圆锥曲线；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）通过e=、?=﹣1，计算即得a=2、b=，进而可得结论；（Ⅱ）分情况对直线AB斜率的存在性进行讨论：①当直线AB的斜率存在时，联立直线AB与椭圆方程，利用韦达定理计算可得当λ=1时?+λ?=﹣3；②当直线AB的斜率不存在时，+λ?=﹣3．解答：解：（Ⅰ）根据题意，可得C（0，﹣b），D（0，b），又∵P（0，1），且?=﹣1，∴，解得a=2，b=，∴椭圆E的方程为：+=1；（Ⅱ）结论：存在常数λ=1，使得?+λ?为定值﹣3．理由如下：对直线AB斜率的存在性进行讨论：①当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去y并整理得：（1+2k2）x2+4kx﹣2=0，∵△=（4k）2+8（1+2k2）＞0，∴x1+x2=﹣，x1x2=﹣，从而?+λ?=x1x2+y1y2+λ[x1x2+（y1﹣1）（y2﹣1）]=（1+λ）（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1==﹣﹣λ﹣2．∴当λ=1时，﹣﹣λ﹣2=﹣3，此时?+λ?=﹣3为定值；②当直线AB的斜率不存在时，直线AB即为直线CD，此时?+λ?=+=﹣2﹣1=﹣3；故存在常数λ=1，使得?+λ?为定值﹣3．点评：本题考查椭圆的标准方程、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想，注意解题方法的积累，属于难21．（14分）（2015•四川）已知函数f（x）=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．（Ⅰ）设g（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性；（Ⅱ）证明：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（I）函数f（x）=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．可得：x＞0．g（x）=f′（x）=2（x﹣1﹣lnx﹣a），可得g′（x）==，分别解出g′（x）＜0，g′（x）＞0，即可得出单调性．（II）由f′（x）=2（x﹣1﹣lnx﹣a）=0，可得a=x﹣1﹣lnx，代入f（x）可得：u（x）=（1+lnx）2﹣2xlnx，利用函数零点存在定理可得：存在x0∈（1，e），使得u（x0）=0，令a0=x0﹣1﹣lnx0=v（x0），再利用导数研究其单调性即可得出．解答：（I）解：函数f（x）=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．可得：g（x）=f′（x）=2（x﹣1﹣lnx﹣a），∴g′（x）==，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；当1＜x时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增．（II）证明：由f′（x）=2（x﹣1﹣lnx﹣a）=0，解得a=x ﹣1﹣lnx，令u（x）=﹣2xlnx+x2﹣2（x﹣1﹣lnx）x+（x﹣1﹣lnx）2=（1+lnx）2﹣2xlnx，则u（1）=1＞0，u（e）=2（2﹣e）＜0，∴存在x0∈（1，e），使得u（x0）=0，令a0=x0﹣1﹣lnx0=v（x0），其中v（x）=x﹣1﹣lnx（x≥1），由v′（x）=1﹣≥0，可得：函数v（x）在区间（1，+∞）上单调递增．∴0=v（1）＜a0=v（x0）＜v（e）=e﹣2＜1，即a0∈（0，1），当a=a0时，有f′（x0）=0，f（x0）=u（x0）=0．再由（I）可知：f′（x）在区间（1，+∞）上单调递增，当x∈（1，x0）时，f′（x）＜0，∴f（x）＞f（x0）=0；当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，∴f（x）＞f（x0）=0；又当x∈（0，1]，f（x）=﹣2xlnx＞0．故当x∈（0，+∞）时，f（x）≥0恒成立．综上所述：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解．点评：本题考查了导数的运算法则、函数的零点、利用导数研究函数的单调性极值，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．2015年四川省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）（2015?四川）设集合A={x|﹣1＜x＜2}，集合B={x|1＜x＜3}，则A∪B=（）|1．（5分）（2015?四川）设集合A={x|﹣1＜x＜2}，集合B={x|1＜x＜3}，则A∪B=（）|1．（5分）（2015?四川）设集合A={x|﹣1＜x＜2}，集合B={x|1＜x＜3}，则A∪B=（）A．{x|﹣1＜x ＜3}B．{x|﹣1＜x＜1}C．{x|1＜x＜2}D．{x|2＜x＜3}2．（5分）（2015?四川）设向量=（2，4）与向量=（x，6）共线，则实数x=（）A．2B．3C．4D．63．（5分）（2015?四川）某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显着差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（）A．抽签法B．系统抽样法C．分层抽样法D．随机数法4．（5分）（2015?四川）设a，b为正实数，则“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）（2015?四川）下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（）A．y=cos（2x+）B．y=sin（2x+）C．y=sin2x+cos2x D．y=sinx+cosx6．（5分）（2015?四川）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（）A．﹣B．C．﹣D．7．（5分）（2015?四川）过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则|AB|=（）A．B．2C．6D．48．（5分）（2015?四川）某食品保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y=e kx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（）A．16小时B．20小时C．24小时D．28小时9．（5分）（2015?四川）设实数x，y 满足，则xy的最大值为（）A．B．C．12D．1610．（5分）（2015?四川）设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点，与圆（x﹣5）2+y2=r2（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r 的取值范围是（）A．（1，3）B．（1，4）C．（2，3）D．（2，4）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）（2015?四川）设i是虚数单位，则复数i﹣= ．12．（5分）（2015•四川）lg0.01+log216的值是．13．（5分）（2015•四川）已知sinα+2cosα=0，则2sinαcosα﹣cos2α的值是．14．（5分）（2015?四川）在三棱住ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设M，N，P分别是AB，BC，B1C1的中点，则三棱锥P﹣A1MN的体积是．15．（5分）（2015?四川）已知函数f（x）=2x，g（x）=x2+ax（其中a∈R）．对于不相等的实数x1、x2，设m=，n=．现有如下命题：①对于任意不相等的实数x1、x2，都有m＞0；②对于任意的a及任意不相等的实数x1、x2，都有n＞0；③对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=n；④对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=﹣n．其中的真命题有（写出所有真命题的序号）．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）（2015?四川）设数列{a n}（n=1，2，3…）的前n项和S n，满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列的前n项和为T n，求T n．17．（12分）（2015?四川）一辆小客车上有5名座位，其座号为1，2，3，4，5，乘客P1，P2，P3，P4，P5的座位号分别为1，2，3，4，5．他们按照座位号顺序先后上车，乘客P1因身体原因没有坐自己1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就坐：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位．如果自己的座位已有乘客就坐，就在这5个座位的剩余空位中选择座位．（Ⅰ）若乘客P1坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法．下表给出其中两种坐法，请填入余下两种坐法（将乘客就坐的座位号填入表中空格处）乘客P1P2P3P4P5座位号3214532451（Ⅱ）若乘客P1坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，求乘客P1坐到5号座位的概率．18．（12分）（2015?四川）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．（Ⅰ）请按字母F，G，H标记在正方体相应地顶点处（不需要说明理由）（Ⅱ）判断平面BEG与平面ACH的位置关系．并说明你的结论．（Ⅲ）证明：直线DF⊥平面BEG．19．（12分）（2015?四川）已知A、B、C为△ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x2+px﹣p+1=0（p∈R）两个实根．（Ⅰ）求C的大小（Ⅱ）若AB=3，AC=，求p的值．20．（13分）（2015?四川）如图，椭圆E：=1（a＞b＞0）的离心率是，点P （0，1）在短轴CD上，且?=﹣1（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A、B两点．是否存在常数λ，使得?+λ?为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．21．（14分）（2015•四川）已知函数f（x）=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．（Ⅰ）设g（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性；（Ⅱ）证明：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解．2020-2-8。