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【A 级】 基础训练1．(2011·高考安徽卷)若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝( )A ．15B ．12C ．－12D ．－15解析：∵a n ＝(－1)n (3n －2)，∴a 1＋a 2＋…＋a 10＝－1＋4－7＋10－…－25＋28＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋(－25＋28)＝3×5＝15. 答案：A2．(2013·山东名校联考信息优化卷)已知等差数列{a n }的公差d ＝1729，a 30＝2，则数列{a n }的前30项的和为( ) A ．－15B ．255C ．－195D ．－60解析：由题意得，{a n }的首项a 1＝a 30－29d ＝2－29×1729＝－15，则S 30＝30×(－15)＋30×292×1729＝－195.故选C. 答案：C3．(2013·云南保山二模)设函数f (x )＝x m ＋ax 的导数为f ′(x )＝2x ＋1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f (n )(n ∈N *)的前n 项和是( ) A.nn ＋1 B.n ＋2n ＋1 C.n n －1D.n ＋1n解析：∵f (x )＝x m ＋ax 的导数为f ′(x )＝2x ＋1，∴m ＝2，a ＝1，∴f (x )＝x 2＋x ，即f (n )＝n 2＋n ＝n (n ＋1)， ∴1f (n )＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1∴S n ＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝nn ＋1. 答案：A4．(2013·济南市模拟)在等比数列{a n }中，a n ＞0(n ∈N *)，且a 6－a 4＝24，a 3a 5＝64，则{a n }的前6项和是________．解析：由a 3a 5＝a 24＝64，且a n ＞0，可得a 4＝8，由a 6－a 4＝24，可得q ＝2，又a 4＝a 1·q 3，可得a 1＝1.所以S 6＝1－261－2＝63.答案：635．(2013·山东高考专家原创)已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝1，且a 1，a 3，a 9成等比数列．设数列{2a n }的前n 项和为S n ，则S n ＝________.解析：设数列{a n }的公差为d ，由a 1＝1，a 1，a 3，a 9成等比数列得1＋2d 1＝1＋8d1＋2d ，解得d ＝1或d ＝0(舍去)，故数列{a n }通项公式为a n ＝n ，∴2a n ＝2n 为等比数列． ∴S n ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2答案：2n ＋1－26．(2013·温州模拟)若数列{a n }满足a 1＝1，且1a n ＋1－1a n＝1，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a 2 010a 2 011＝________.解析：1a n＝1＋(n －1)×1＝n∴a n ＝1n∴a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a 2 010a 2 011＝⎝⎛⎭⎫11－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫12 010－12 011＝2 0102 011 答案：2 0102 0117．(2013·济宁模拟)已知在等比数列{a n }中，a 1＝2，a 3＝18，等差数列{b n }中，b 1＝2，且a 1＋a 2＋a 3＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＞20. (1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)设数列{a n }的公比为q .因为等比数列{a n }中，a 1＝2，a 3＝18，a 1a 3＝a 22，所以a 2＝±6.又因为a 1＋a 2＋a 3＞20，所以a 2＝6，故公比q ＝3. 所以a n ＝2·3n －1.(2)设数列{b n }的公差为d ，则b 1＋b 2＋b 3＋b 4＝4b 1＋6d ＝a 1＋a 2＋a 3＝26. 由b 1＝2，可知d ＝3，所以b n ＝3n －1.所以数列{b n }的前n 项和S n ＝n (b 1＋b n )2＝3n 2＋n2.8．(2013·日照模拟)已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＝12a n ＋1－2n (n ∈N *)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是等差数列；(2)求数列{a n }的前n 项和S .解：(1)证明：设b n ＝a n 2n ，则a n ＝2n b n ，代入a n ＝12a n ＋1－2n 得2n b n ＝12×2n ＋1b n ＋1－2n ，整理得2n b n ＝2n b n ＋1－2n ，因为2n ＞0，所以b n ＝b n ＋1－1，即b n ＋1－b n ＝1，所以数列{b n }，即数列{a n 2n }是首项为a 121＝22＝1，公差为1的等差数列．(2)由(1)知，a n2n ＝1＋(n －1)×1＝n ，所以a n ＝n ×2n .则S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ，① 2S n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1，②②－①得，S n ＝－21－22－23－…－2n ＋n ×2n ＋1＝－(21＋22＋23＋…＋2n )＋n ×2n ＋1＝－2(1－2n )1－2＋n ×2n ＋1＝(n －1)×2n ＋1＋2.【B 级】 能力提升1．(2013·安徽江南十校二模)数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2a n －1(n ∈N *)，则T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1的结果可化为( ) A ．1－14nB ．1－12nC.23⎝⎛⎭⎫1－14nD.23⎝⎛⎭⎫1－12n 解析：由S n ＝2a n －1得，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1，∴a n ＝2a n －1，由a 1＝2a 1－1得a 1＝1，∴a n ＝2n －1，则1a n a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12n －1·⎝⎛⎭⎫12n ＝⎝⎛⎭⎫122n －1， ∴T n ＝12＋⎝⎛⎭⎫123＋…＋⎝⎛⎭⎫122n －1＝12⎝⎛⎭⎫1－14n 1－14＝23⎝⎛⎭⎫1－14n ，故选C. 答案：C2．(2012·高考课标全国卷)数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为( )A ．3 690B ．3 660C ．1 845D ．1 830解析：利用数列的递推式的意义结合等差数列求和公式求解．∵a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，∴a 2＝1＋a 1，a 3＝2－a 1，a 4＝7－a 1，a 5＝a 1，a 6＝9＋a 1，a 7＝2－a 1，a 8＝15－a 1，a 9＝a 1，a 10＝17＋a 1，a 11＝2－a 1，a 12＝23－a 1，…， a 57＝a 1，a 58＝113＋a 1，a 59＝2－a 1，a 60＝119－a 1，∴a 1＋a 2＋…＋a 60＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)＋…＋(a 57＋a 58＋a 59＋a 60)＝10＋26＋42＋…＋234 ＝15×(10＋234)2＝1 830.答案：D3．(2013·日照市重点中学第二次诊断)已知数列{a n }为等比数列，S n 为其前n 项和，n ∈N *，若a 1＋a 2＋a 3＝3，a 4＋a 5＋a 6＝6，则S 12＝( ) A ．15 B ．30 C ．45D ．60解析：解法一：设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4＋a 5＋a 6a 1＋a 2＋a 3＝a 1·q 3＋a 2·q 3＋a 3·q 3a 1＋a 2＋a 3＝q 3＝63，即q 3＝2.故S 12＝(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5＋a 6)＋(a 7＋a 8＋a 9)＋(a 10＋a 11＋a 12)＝(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 1·q 3＋a 2·q 3＋a 3·q 3)＋(a 1·q 6＋a 2·q 6＋a 3·q 6)＋(a 1·q 9＋a 2·q 9＋a 3·q 9)＝(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 1＋a 2＋a 3)q 3＋(a 1＋a 2＋a 3)q 6＋(a 1＋a 2＋a 3)q 9＝(a 1＋a 2＋a 3)(1＋q 3＋q 6＋q 9)＝3×(1＋2＋22＋23)＝45.解法二：设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4＋a 5＋a 6a 1＋a 2＋a 3＝q 3＝63，即q 3＝2.因为S 6＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝9，S 12－S 6＝a 7＋a 8＋a 9＋a 10＋a 11＋a 12，所以S 12－S 6S 6＝a 7＋a 8＋a 9＋a 10＋a 11＋a 12a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝a 1·q 6＋a 2·q 6＋a 3·q 6＋a 4·q 6＋a 5·q 6＋a 6·q 6a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝q 6＝4，所以S 12＝5S 6＝45.答案：C4．(2013·西城区期末)已知{a n }是公比为2的等比数列，若a 3－a 1＝6，则a 1＝________；1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n＝________. 解析：∵{a n }是公比为2的等比数列，且a 3－a 1＝6，∴4a 1－a 1＝6，即a 1＝2，∴a n ＝a 12n －1＝2n ，∴1a n ＝⎝⎛⎭⎫12n ，1a 2n ＝⎝⎛⎭⎫14n ，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n 是首项为14，公比为14的等比数列，∴1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n ＝14⎝⎛⎭⎫1－14n 1－14＝13⎝⎛⎭⎫1－14n .答案：213⎝⎛⎭⎫1－14n 5．(2013·温州质检)若数列{a n }的各项按如下规律排列：21，31，32，41，42，43，51，52，53，54，…，n ＋11，n ＋12，…，n ＋1n ，…，则a 2 012＝________. 解析：依题意得，将该数列中的项依次按分子相同的项分成一组，第n 组中的数出现的规律是：第n 组中的数共有n 个，并且每个数的分子均是n ＋1，相应的分母依次由1增大到n .由于1 953＝62(62＋1)2＜2 012＜63(63＋1)2＝2 016，又2 012＝1 953＋59，因此题中的数列中的第2 012项应位于第63组中的第59个数，则题中的数列中的第2 012项的分子等于64，相应的分母等于59，即a 2 012＝6459.答案：64596．(2013·山东高考原创卷)设{a n }是集合{2t ＋2s |0≤s ＜t ，且s ，t ∈Z}中所有的数按从小到大的顺序排成的数列，即a 1＝3，a 2＝5，a 3＝6，a 4＝9，a 5＝10，a 6＝12………将数列{a n }中的各项按照上小下大，左小右大的原则写成如图所示的三角形数表，则这个三角形数表的第n 行的数字之和是________．解析：根据数列{a n }中的项与集合中的元素的关系，数列的第一项对应s ＝0，t ＝1，数列的第二项对应s ＝0，t ＝2，第三项对应s ＝1，t ＝2，第四项对应s ＝0，t ＝3，第五项对应s ＝1，t ＝3，第六项对应s ＝2，t ＝3……由此可得规律，数表中的第n 行对应t ＝n ，s ＝0,1,2,3，…，(n －1)．故第n 行的数字之和是(2n ＋20)＋(2n ＋21)＋(2n ＋22)＋…＋(2n＋2n －1)＝n ·2n＋1－2n1－2＝(n ＋1)·2n －1.答案：(n ＋1)·2n －17．(2013·济南两所名校模拟)已知数列{a n }的前n 项和是S n ，且S n ＋12a n ＝1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝log 3a 2n 4，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n ·b n ＋2的前n 项和为T n ，证明：T n ＜316. 解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1，由S 1＋12a 1＝1，解得a 1＝23.当n ≥2时，∵S n ＝1－12a n ，S n －1＝1－12a n －1，∴S n －S n －1＝12(a n －1－a n )，即a n ＝12(a n －1－a n )．∴a n ＝13a n －1.∴{a n }是以23为首项，13为公比的等比数列，其通项公式为a n ＝23×⎝⎛⎭⎫13n －1＝2×3－n.(2)证明：∵b n ＝log 3a 2n 4＝2 log 33－n ＝－2n ，∴1b n ·b n ＋2＝1(－2n )×[－2(n ＋2)]＝14n (n ＋2)＝18⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2. ∴T n ＝18×⎣⎡⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫12－14＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎦⎤⎝⎛⎭⎫1n －2－1n ＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＋1＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2＝18⎝⎛⎭⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2 ＝18⎝⎛⎭⎫32－1n ＋1－1n ＋2＜316.。
2014 年普通高等学校招生全国统一考试全国课标 I 理科数学第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）一．选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1. 已知集合 A={ x| x 22 x3 0 } ， － ≤ ＜ ＝，则A B =B={ x | 2 x 2A .[-2,-1]B .[-1,2 ）C .[-1,1]D .[1,2 ）(1 i )32.(1 i )2=A .1 iB . 1 iC . 1 iD . 1 i3.设函数 f ( x) ， g(x)的定义域都为R，且 f (x) 时奇函数， g( x) 是偶函数，则下列结论正确的是A . f (x) g (x) 是偶函数B .| f ( x) | g( x) 是奇函数C . f (x) | g ( x) |是奇函数D .| f (x) g( x) |是奇函数4.已知 F 是双曲线 C ： x 2my 23m( m 0) 的一个焦点，则点F 到 C 的一条渐近线的距离为 A . 3B .3C . 3mD . 3m5.4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日 都有同学参加公益活动的概率A . 1B . 3C .5D .7888 86.如图，圆 O 的半径为 1， A 是圆上的定点， P 是圆上的动点，角 x 的始边为射线 OA ，终边为射线OP ，过点 P 作直线 OA 的垂线，垂足为 M ，将点 M 到直线 OP 的距离表示为 x 的函数 f ( x) ，则 y = f ( x) 在 [0,]上的图像大致为7.执行下图的程序框图，若输入的a, b, k 分别为 1,2,3 ，则输出的 M =A .20B .16C . 7D .15352 88.设(0,)，(0,) ，且 tan 1 sin，则cos22A . 32B . 22C .3D . 2229.不等式组x y 1的解集记为 D .有下面四个命题：x 2 y4p1： ( x, y) D , x 2 y 2 ，p2： ( x, y) D , x 2y 2 ,P( x, y) D , x 2 y 3，p4 ：( x, y) D , x 2 y1.3 ：其中真命题是A .p2，p3B .p1，p4C .p1，p2D .p1，p310.已知抛物线C：y28x 的焦点为F，准线为l，P是l上一点， Q 是直线PF与C的一个焦点，若uuur uuurFP4FQ ，则 | QF |=75C .3D .2A .B .2211.已知函数f ( x) = ax33x21，若 f ( x) 存在唯一的零点 x0，且 x0＞0，则 a 的取值范围为A .（2，+∞）B .（-∞，-2）C .（1，+∞）D .（-∞，-1）12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为A . 6 2B . 4 2C .6D .4第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两个部分。
2014届高三联考试卷(一)数 学(理科)领航教育数学命题组本卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分㊂总分150分㊂考试时间120分钟㊂第Ⅰ卷(选择题,共40分)一㊁选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合S ={y |y =2x},T ={x |y =l g (x -1)},则S ɘT =( )A.(0,+ɕ) B .[0,+ɕ) C .(1,+ɕ) D.[1,+ɕ)2.已知命题p ʒ∃x ɪR ,x -2>l gx ,命题q ʒ∀x ɪR ,x 2>0,则( )A.命题p ᶱq 是假命题B .命题p ɡq 是真命题C .命题p ᶱ(췍q )是假命题 D.命题p ɡ(췍q )是真命题3.函数y =l o g a (x +3)-1(a >0,且a ʂ1)的图象恒过定点A ,且点A 在直线m x +n y +1=0上(其中m ,n >0),则1m +2n的最小值等于( )A.16B .12C .9 D.84.设a ɪR ,函数f (x )=e x+a ㊃e -x 的导函数是f ᶄ(x ),且f ᶄ(x )是奇函数.若曲线y =f (x )的一条切线的斜率是32,则切点的横坐标为( )A.l n 2B .-l n 2C .l n 22 D.-l n 225.已知定义域为R 的函数f (x )满足f (-x )=-f (x +4),当x >2时,f (x )单调递增,若x 1+x 2<4,且(x 1-2)(x 2-2)<0,则f (x 1)+f (x 2)与0的大小关系是( )A.f (x 1)+f (x 2)>0B .f (x 1)+f (x 2)=0C .f (x 1)+f (x 2)<0 D.f (x 1)+f (x 2)ɤ06.已知函数f (x )=e x -1,g (x )=-x 2+4x -3.若存在实数a ,b ,使得f (a )=g (b ),则b 的取值范围是( )A.[2-2,2+2]B .(2-2,2+2)C .[1,3] D.(1,3)7.若关于x 的方程|x |x +2=k x2有四个不同的实数解,则实数k 的取值范围为( )A.(0,1)B .12,()1C .12,()+ɕ D.(1,+ɕ)8.若对于定义在R 上的函数f (x ),其图象是连续不断的,且存在常数λ(λɪR )使得f (x +λ)+λf (x )=0对任意实数x 都成立,则称f (x )是一个 λ 伴随函数 .有下列关于 λ 伴随函数 的结论:①f (x )=0是常数函数中唯一一个 λ 伴随函数 ;②f (x )=x 不是 λ 伴随函数 ;③f (x )=x 2是 λ 伴随函数 ;④ 12 伴随函数至少有一个零点.其中正确结论是多少个( )A.1B .2C .3D.4第Ⅰ卷(选择题)答题表题号12345678答案第Ⅱ卷(非选择题,共110分)二㊁填空题(本大题共7小题,每小题5分,共35分)9.函数y =l o g a (x 2+2x -3).当x =2时,y <0,则此函数的单调递减区间是.10.设函数f (x )=x 2-4x +3,g (x )=3x-2,集合M ={x ɪR |f (g (x ))>0},N ={x ɪR |g (x )<2},则M ɘN 为 .11.设函数f (x )=(x +1)2+s i n x x 2+1的最大值为M ,最小值为m ,则M +m =.12.用m i n {a ,b ,c }表示a ,b ,c 三个数中的最小值㊂设f (x )=m i n {2x,x +2,10-x }(x ȡ0),则f (x )的最大值为 .13.已知函数f (x )=2x-a , x ɤ0x 2-3a x +a ,x >{,有三个不同的零点,则实数a 的取值范围是.14.某商品在最近100天内的单价f (t )与时间t 的函数关系是f (t )=t 4+22 (0ɤt <40,t ɪN )-t 2+52 (40ɤt ɤ100,t ɪN ìîíïïïï),日销售量g (t)与时间t 的函数关系是g (t )=-t 3+1093(0ɤt ɤ100,t ɪN ).则这种商品的日销售额的最大值为.15.函数f (x )的定义域为D ,若对于任意x 1,x 2ɪD ,当x 1<x 2时,都有f (x 1)ɤf (x 2),则称函数f (x )在D 上为非减函数㊂设函数f (x )为定义在[0,1]上的非减函数,且满足以下三个条件:①f (0)=0;②f (1-x )+f (x )=1,xɪ[0,1];③当x ɪ0,[]14时,f (x )ȡ2x 恒成立㊂则f ()37+f ()59=.三㊁解答题(本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)16.(本小题满分12分)已知集合A ={x |x 2-2x -8ɤ0},B ={x |x 2-(2m -3)x +m (m -3)ɤ0,m ɪR }.(1)若A ɘB =[2,4],求实数m 的值;(2)设全集为R ,若A ⊆C R B ,求实数m 的取值范围.17.(本小题满分12分)已知命题pʒx1和x2是方程x2-m x-2=0的两个实根,不等式a2-5a-3ȡ|x1-x2|对任意实数mɪ[-1,1]恒成立;命题qʒ不等式a x2+2x-1>0有解,若pᶱq为真命题,pɡq为假命题,求a的取值范围.18.(本小题满分12分)设f(x)=3a x2+2b x+c,若a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0,求证:(1)a>0且-2<b a<-1;(2)方程f(x)=0在(0,1)内有两个实根.19.(本小题满分13分)设函数f(x)=a x-(k-1)a-x(a>0且aʂ1)是定义域为R的奇函数.(1)求k的值;(2)若f(1)=32,且g(x)=a2x+a-2x-2m㊃f(x)在[1,+ɕ)上的最小值为-2,求m的值.20.(本小题满分13分)某蔬菜基地2013年2月2日有一批黄瓜进入市场销售,通过市场调查,预测黄瓜的价格f (x)(单位:元/k g)与时间(表示距2月10日的天数,单位:天,xɪ(0,8])的数据如下表:时间x862价格8420(1)根据上表数据,从下列函数中选取一个函数描述黄瓜价格f(x)与上市时间x的变化关系:f(x)=a x+b,f(x)=a x2+b x+c,f(x)=a㊃b x,f(x)=a㊃l o g b x,其中aʂ0;并求出此函数;(2)为了控制黄瓜的价格,不使黄瓜的价格过于偏高,经过市场调研,引入一控制函数h(x)=e x-(12-2m)x+39.(x>0)m称为控制系数.求证:当m>l n2-1时,总有f(x)<h(x).21.(本小题满分13分)已知函数f(x)=12x2-a l n x(a>0).(1)若a=2,求f(x)在(1,f(1))处的切线方程;(2)求f(x)在区间[1,e]上的最小值;(3)若f(x)在区间(1,e)上恰有两个零点,求a的取值范围.2014届数学参考答案(联考试卷一)一㊁选择题:1.C2.D3.D4.A5.C6.B7.D8.B解析:1.S ={y |y >0},T ={x |x >1},ʑS ɘT =(1,+ɕ),选C .2.由图象可知p 真,又q 假故选D .3.a =(-2,-1),ʑ2m +n =1,ʑ1m +2n =1m +2()n ㊃(2m +n )=4+n m +4m nȡ8.选D .4.fᶄ(x )=e x-a ㊃e -x ,又f ᶄ(x )为奇函数,ʑf ᶄ(0)=0,ʑa =1,设切点横坐标为x 0则f ᶄ(x 0)=e x 0-e -x 0=32,即e x 0=2,x 0=l n 2,选A .5.(理)不妨设x 1<x 2则x 1<2,x 2>2,又x 1+x 2<4,ʑ4-x 1>x 2>2,ʑf (4-x 1)>f (x 2),ʑ-f (x 1)>f (x 2),即f (x 1)+f (x 2)<0,故选C .6.f (x )=e x -1>1,ʑg (b )=-b 2+4b -3>-1,ʑ2-2<b <2+2,故选B .7.|x |x +2=k x 2=k |x |2,ʑx =0或1x +2=k |x |,ʑy =1x +2与y =k |x |有不为0的三个交点,ʑk >1,故选D .8.①λ=-1时f (x )可为任一常数函数②f (x )=x 时λx +(x +λ)=0不恒成立③f (x )=x2代入显然不是④λ=12时,f x ()+1=-12f (x ),ʑf ()12=-12f (0),又f (x )图象连续不断,ʑf (x )在0,[]12上至少有一个零点,故选B .二㊁填空题:9.(1,+ɕ) 10.{x |x <1} 11.2 12.6 13.49<a ɤ1 14.808.5 15.1三㊁解答题:16.解:(1)ȵA =[-2,4],B =[m -3,m ],A ɘB =[2,4].(2分)………………………………………………………ʑm -3=2m ȡ{4,ʑm =5.(6分)…………………………………………………………………………………(2)C R B ={x |x <m -3,或x >m },ȵA ⊆B ,ʑm <-2,或m -3>4,ʑm >7或m <-2.(12分)……………17.解:ȵx 1,x 2是方程x 2-mx -2=0的两个实根,ʑx 1+x 2=m x 1x 2{=-2,ʑ|x 1-x 2|=(x 1+x 2)2-4x 1x 2=m 2+8ʑ当m ɪ[-1,1]时,|x 1-x 2|m a x =3.由不等式a 2-5a -3ȡ|x 1-x 2|对任意实数m ɪ[-1,1]恒成立,可得:a 2-5a -3ȡ3ʑa ȡ6或a ɤ-1.ʑ命题p 为真命题时a ȡ6或a ɤ-1,命题p 为假命题时-1<a <6.(5分)………………命题q ʒ不等式a x 2+2x -1>0有解.①当a >0时,显然有解;②当a =0时,2x -1>0有解;③当a <0时,ȵa x 2+2x -1>0有解.ʑΔ=4+4a >0,ʑ-1<a <0.从而命题p :不等式a x 2+2x -1>0有解时a >-1ʑ命题q 是真命题时a >-1,命题q 是假命题时a ɤ-1.(10分)………………………………………………ȵp ᶱq 真,p ɡq 假,ʑp 与q 有且仅有一个为真.(1)当命题p 是真命题且命题q 是假命题时a ɤ-1.(2)当命题p 是假命题且命题q 是真命题时-1<a <6综上所述:a 的取值范围为a <6.(12分)……………………………………………………………………………18.解:(1)ȵf (0)>0,f (1)>0,所以c >0,3a +2b +c >0.由条件a +b +c =0,消去b 得a >c >0;由条件a +b +c =0消去c ,得a +b <0,2a +b >0.故-2<b a<-1.(6分)…………………………………………………(2)抛物线f (x )=3a x 2+2b x +c 的对称轴为x =-b 3a ,由-2<b a <-1得13<-b 3a <23.即对称轴x ɪ13,()23;而ә=4b 2-12a c =4[(-a -c )2-3a c ]=4(a 2+c 2-a c )>0,且f (0)>0,f (1)>0,所以方程f (x )=0在区间(0,1)内有两个不等的实根.(12分)………………………19.解:(1)由题意,对任意x ɪR ,f (-x )=-f (x ),即a -x -(k -1)a x =-a x+(k -1)a -x ,即(k -1)(a x +a -x )-(a x +a -x )=0,(k -2)(a x+a -x )=0,因为x 为任意实数,所以k =2.(4分)………………………………………………………………………(2)由(1)f (x )=a x-a -x ,因为f (1)=32,所以a -1a =32,解得a =2.故f (x )=2x -2-x ,g (x )=22x +2-2x -2m (2x-2-x ),令t =2x -2-x ,则22x +2-2x =t 2+2,由x ɪ[1,+ɕ),得t ɪ32,[)+ɕ,所以g (x )=h (t )=t 2-2m t +2=(t -m )2+2-m 2,t ɪ32,[)+ɕ,当m <32时,h (t )在ɪ32,[)+ɕ上是增函数,则h ()32=-2,94-3m +2=-2,解得m =2512(舍去)当m ȡ32时,则h (m )=-2,2-m 2=-2,解得m =2,或m =-2(舍去).综上,m 的值是2.(13分)…………………………………………………………………………………………20.解:(1)根据表中数据,表述黄瓜价格f (x )与上市时间x 的变化关系的函数决不是单调函数,这与函数f (x )=a x +b ,f (x )=a ㊃b x,f (x )=a ㊃l o g b x ,均具有单调性不符,所以,在a ʂ0的前提下,可选取二次函数f (x )=a x 2+b x +c 进行描述,把表格提供的三对数据代入该解析式得到:64a +8b +c =836a +6b +c =44a +2b +c ìîíïïï=20,解得a =1,b =-12,c =40.所以,黄瓜价格f (x )与上市时间x 的函数关系是f (x )=x 2-12x +40.x ɪ(0,8].(6分)………………(2)设函数g (x )=h (x )-f (x )=e x -x 2+2m x -1,求导,结果见下表.gᶄ(x )=e x -2x +2m ,继续对g ᶄ(x )求导得g ᵡ(x )=e x-2.表格如下:x(0,l n 2)l n 2(l n 2,+ɕ)g ᵡ(x )-0+gᶄ(x )减极小值增由上表可知g ᶄ(x )ȡg ᶄ(l n 2),而gᶄ(l n 2)=e l n 2-2l n 2+2m =2-2l n 2+2m =2(m -l n 2+1),由m >l n 2-1知g ᶄ(l n 2)>0,所以g ᶄ(x )>0,即g (x )在区间(0,+ɕ)上为增函数.于是有g (x )>g (0),而g (0)=e 0-02+2m ˑ0-1=0,故g (x )>0,即当m >l n 2-1且x >0时,e x >x 2-2m x +1.即h (x )>f (x ).(13分)………………………21.解:(1)a =2,f (x )=12x 2-2l n x ,f ᶄ(x )=x -2x ,f ᶄ(1)=-1,f (1)=12,f (x )在(1,f (1))处的切线方程为2x +2y -3=0.(3分)…………………………………………………(2)由f ᶄ(x )=x -a x =x 2-a x,由a >0及定义域为(0,+ɕ),令f ᶄ(x )=0得x =a .①若a ɤ1,即0<a ɤ1,在(1,e )上,f ᶄ(x )>0,f (x )在[1,e ]上单调递增,因此,f (x )在区间[1,e ]的最小值为f (1)=12.②若1<a <e ,即1<a <e 2,在(1,a )上,f ᶄ(x )<0,f (x )单调递减;在(a ,e )上,f ᶄ(x )>0,f (x )单调递增,因此f (x )在区间[1,e ]上的最小值为f (a )=12a (1-l n a ).③若a ȡe ,即a ȡe 2,在(1,e )上,f ᶄ(x )<0,f (x )在[1,e ]上单调递减,因此,f (x )在区间[1,e ]上的最小值为f (e )=12e 2-a .综上,当0<a ɤ1时,f m i n (x )=12;当1<a <e 2时,f mi n x =12a (1-l n a );当a ȡe 2时,f mi n (x )=12e 2-a .(9分)………………………………………………………………………(3)由(2)可知当0<a ɤ1或a ȡe 2时,f (x )在(1,e )上是单调递增或递减函数,不可能存在两个零点.当1<a <e 2时,要使f (x )在区间(1,e)上恰有两个零点,则ʑ12a (1-l n a )<0f (1)=12>0f (e )=12e 2-a >ìîíïïïïïï0,即a >e a <12e {2,此时,e <a <12e 2.所以,a 的取值范围为e ,12e ()2.(13分)………………………………………………………………………。
山东省数学高考模拟试题精编一【说明】 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分．考试时间120分钟．请将第Ⅰ卷的答案填入答题栏内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．已知复数z ＝2i1＋i，z 的共轭复数为z ，则z ·z ＝( ) A ．1－i B ．2 C ．1＋i D ．02．(理)条件甲：⎩⎨⎧ 2＜x ＋y ＜40＜xy ＜3；条件乙：⎩⎨⎧0＜x ＜12＜y ＜3，则甲是乙的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件(文)设α，β分别为两个不同的平面，直线l ⊂α，则“l ⊥β”是“α⊥β”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是( )A．4 B．5C．6 D．74．(理)下列说法正确的是()A．函数f(x)＝1x在其定义域上是减函数B．两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件C．命题“∃x∈R，x2＋x＋1＞0”的否定是“∀x∈R，x2＋x＋1＜0”D．给定命题p、q，若p∧q是真命题，则綈p是假命题(文)若cos θ2＝35，sinθ2＝－45，则角θ的终边所在的直线为()A．7x＋24y＝0 B．7x－24y＝0C．24x＋7y＝0 D．24x－7y＝05．如图是依据某城市年龄在20岁到45岁的居民上网情况调查而绘制的频率分布直方图，现已知年龄在[30,35)、[35,40)、[40,45]的上网人数呈现递减的等差数列分布，则年龄在[35,40)的网民出现的频率为()A．0.04 B．0.06C．0.2 D．0.36．已知等比数列{a n }的首项为1，若4a 1,2a 2，a 3成等差数列，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为( ) A.3116 B ．2 C.3316 D.16337．已知l ，m 是不同的两条直线，α，β是不重合的两个平面，则下列命题中为真命题的是( )A ．若l ⊥α，α⊥β，则l ∥βB ．若l ⊥α，α∥β，m ⊂β，则l ⊥mC ．若l ⊥m ，α∥β，m ⊂β，则l ⊥αD ．若l ∥α，α⊥β，则l ∥β 8．(理)在二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋12·4x n 的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为( ) A.16 B.14 C.13 D.512(文)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，则f ′(e)＝( ) A ．1 B ．－1 C ．－e －1 D ．－e9．将函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移φ(φ＞0)个单位，再将图象上每一点横坐标缩短到原来的12倍，所得图象关于直线x ＝π4对称，则φ的最小正值为( ) A.π8 B.3π8 C.3π4 D.π2 10.如图所示是一个几何体的三视图，其侧视图是一个边长为a 的等边三角形，俯视图是两个正三角形拼成的菱形，则该几何体的体积为( ) A ．a 3B.a 32C.a 33D.a 34 11.如图所示，F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，以坐标原点O 为圆心，|OF 1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点分别为A ，B ，且△F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为( ) A.2＋1 B.3＋1 C.2＋12 D.3＋1212．设定义在R 上的奇函数y ＝f (x )，满足对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12时，f (x )＝－x 2，则f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32的值等于( ) A ．－12 B ．－13 C ．－14 D ．－15 答题栏二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填写在题中的横线上)13．向平面区域{}(x ，y )|x 2＋y 2≤1内随机投入一点，则该点落在区域⎩⎨⎧2x ＋y ≤1x ≥0y ≥0内的概率等于________．14．(理)如图所示，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP ＝3，则AP →·AC→＝________.(文)已知向量p ＝(1，－2)，q ＝(x,4)，且p ∥q ，则p ·q 的值为________． 15．给出下列等式：观察各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则依次类推可得a 6＋b 6＝________.16．已知不等式xy ≤ax 2＋2y 2，若对任意x ∈[1,2]，且y ∈[2,3]，该不等式恒成立，则实数a 的取值范围是________．三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程及演算步骤)17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2cos 2x －1(x ∈R )(1)求f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知f (A )＝12，b ，a ，c 成等差数列，且AB →·AC →＝9，求a 的值．18.(理)(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C ⊥底面ABC ，AA 1＝A 1C ＝AC ＝2，AB ＝BC ，AB ⊥BC ，O 为AC 中点． (1)证明：A 1O ⊥平面ABC ；(2)求直线A 1C 与平面A 1AB 所成角的正弦值；(3)在BC 1上是否存在一点E ，使得OE ∥平面A 1AB ？若存在，确定点E 的位置；若不存在，说明理由． (文)(本小题满分12分)如图，直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为菱形，AB ＝1，AA 1＝62，∠ABC ＝60°. (1)求证：AC ⊥BD 1；(2)求四面体D 1－AB 1C 的体积．19.(理)(本小题满分12分)某学校为了增强学生对消防安全知识的了解，举行了一次消防安全知识竞赛，其中一道题是连线题，要求将4种不同的工具与它们的4种不同的用途一对一连线，规定：每连对一条得5分，连错一条得－2分．某参赛者随机用4条线把消防工具与用途一对一全部连接起来． (1)求该参赛者恰好连对一条的概率；(2)设X 为该参赛者此题的得分，求X 的分布列与数学期望． (文)(本小题满分12分)某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学基本公式大赛，他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83. (1)求x 和y 的值；(2)从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率．20．(本小题满分13分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．21.(理)(本小题满分13分)已知函数f (x )＝e x (ax 2－2x －2)，a ∈R 且a ≠0. (1)若曲线y ＝f (x )在点P (2，f (2))处的切线垂直于y 轴，求实数a 的值； (2)当a ＞0时，求函数f (|sin x |)的最小值；(3)在(1)的条件下，若y ＝kx 与y ＝f (x )的图象存在三个交点，求k 的取值范围． (文)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x 与g (x )＝kx ＋b (k ，b ∈R )的图象交于P ，Q 两点，曲线y ＝f (x )在P ，Q 两点处的切线交于点A .(1)当k ＝e ，b ＝－3时，求函数h (x )＝f (x )－g (x )的单调区间；(e 为自然常数) (2)若A ⎝ ⎛⎭⎪⎫ee －1，1e －1，求实数k ，b 的值．22.(本小题满分12分)如图F 1、F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1的左、右焦点，D 、E 是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率e ＝32，S △DEF 2＝1－32.若点M (x 0，y 0)在椭圆C 上，则点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0a ，y 0b 称为点M 的一个“椭点”，直线l 与椭圆交于A 、B 两点，A 、B两点的“椭点”分别为P 、Q . (1)求椭圆C 的标准方程；(2)问是否存在过左焦点F 1 的直线l ，使得以PQ 为直径的圆经过坐标原点？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由．山东省数学高考模拟试题精编二【说明】 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分．考试时间120分钟．请将第Ⅰ卷的答案填入答题栏内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．设A ＝{1,4,2x }，B ＝{1，x 2}，若B ⊆A ，则x ＝( ) A ．0 B ．－2C ．0或－2D ．0或±22．命题“若x ＞1，则x ＞0”的否命题是( ) A ．若x ＞1，则x ≤0 B ．若x ≤1，则x ＞0 C ．若x ≤1，则x ≤0 D ．若x ＜1，则x ＜0 3．若复数z ＝2－i ，则z ＋10z ＝( ) A ．2－i B ．2＋i C ．4＋2i D ．6＋3i4．(理)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的方程为( ) A ．5x 2－45y 2＝1 B.x 25－y 24＝1C.y 25－x 24＝1 D ．5x 2－54y 2＝1(文)已知双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±22x B ．y ＝±2x C ．y ＝±2x D ．y ＝±12x5．设函数f (x )＝sin x ＋cos x ，把f (x )的图象按向量a ＝(m,0)(m ＞0)平移后的图象恰好为函数y ＝－f ′(x )的图象，则m 的最小值为( ) A.π4 B.π3 C.π2 D.2π36．(理)已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x n的展开式的各项系数和为32，则展开式中x 4的系数为( )A ．5B ．40C ．20D ．10(文)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，……，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落入区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C .则抽到的人中，做问卷C 的人数为( ) A ．7 B ．9 C ．10 D ．157．按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M 的值是( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．88．点A 、B 、C 、D 在同一个球的球面上，AB ＝BC ＝2，AC ＝2，若四面体ABCD 体积的最大值为23，则这个球的表面积为( ) A.125π6 B ．8π C.25π4 D.25π169．(理)已知实数a ，b ，c ，d 成等比数列，且函数y ＝ln(x ＋2)－x 当x ＝b 时取到极大值c ，则ad 等于( ) A ．1 B ．0 C ．－1 D ．2(文)直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1,3)，则2a ＋b 的值为( ) A ．2 B ．－1 C ．1 D ．－210．已知抛物线x 2＝4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为( ) A.34 B.32 C ．1 D ．211．在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a ，b ，则使得函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π有零点的概率为( ) A.78 B.34 C.12 D.1412．(理)设函数f (x )＝x －1x ，对任意x ∈[1，＋∞)，f (2mx )＋2mf (x )＜0恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 (文)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·2x ，x ≤0，log 12x ，x ＞0.若关于x 的方程f (f (x ))＝0有且仅有一个实数解，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，0)∪(0,1) C ．(0,1) D ．(0,1)∪(1，＋∞) 答题栏二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填写在题中的横线上)13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．14．若x ，y 满足条件⎩⎨⎧3x －5y ＋6≥02x ＋3y －15≤0，y ≥0当且仅当x ＝y ＝3时，z ＝ax －y 取得最小值，则实数a 的取值范围是________．15．已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ；当x ＜4时f (x )＝f (x ＋1)，则f (2＋log 23)＝________.16．(理)已知a n ＝∫n0(2x ＋1)d x ，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，数列{b n }的通项公式为b n ＝n －8，则b n S n 的最小值为________．(文)在△ABC 中，2sin 2A 2＝3sin A ，sin (B －C)＝2cos B sin C ，则ACAB ＝________. 三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程及演算步骤)17．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝3sin ωx ＋φ2cos ωx ＋φ2＋sin 2ωx ＋φ2(ω＞0,0＜φ＜π2)．其图象的两个相邻对称中心的距离为π2，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，1.(1)求函数f(x)的表达式；(2)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，a ＝5，S △ABC ＝25，角C 为锐角，且满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2－π12＝76，求c 的值．18.(理)(本题满分12分)如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为一直角梯形，其中BA⊥AD，CD⊥AD，CD＝AD＝2AB，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．(Ⅰ)求证：BE∥平面PAD；(Ⅱ)若BE⊥平面PCD，求平面EBD与平面BDC夹角的余弦值．(文)(本小题满分12分)如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．(1)求证：AB1⊥平面A1BD；(2)设点O为AB1上的动点，当OD∥平面ABC时，求AOOB1的值．19．(理)(本小题满分12分)某高校组织自主招生考试，共有2 000名优秀同学参加笔试，成绩均介于195分到275分之间，从中随机抽取50名同学的成绩进行统计，将统计结果按如下方式分成8组：第1组[195,205)，第2组[205,215)，…，第8组[265,275]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，且笔试成绩在260分(含260分)以上的同学进入面试．(1)估计所有参加笔试的2 000名同学中，参加面试的同学人数；(2)面试时，每位同学抽取三个问题，若三个问题全答错，则不能取得该校的自主招生资格；若三个问题均回答正确且笔试成绩在270分以上，则获A 类资格；其他情况下获B 类资格．现已知某中学有3人获得面试资格，且仅有1人笔试成绩在270分以上，在回答三个面试问题时，3人对每一个问题正确回答的概率均为12，用随机变量X 表示该中学获得B 类资格的人数，求X 的分布列及期望EX. (文)(本小题满分12分)PM 2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．根据现行国家标准GB 3095-2012，PM 2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标． 从某自然保护区某年全年每天的PM 2.5日均值监测数据中随机地抽取12天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示(十位为茎，个位为叶).(1)求空气质量为超标的数据的平均数与方差；(2)从空气质量为二级的数据中任取两个，求这两个数据的和小于100的概率； (3)以这12天的PM 2.5日均值来估计该年的空气质量情况，估计该年(366天)大约有多少天的空气质量达到一级或二级．20.(本小题满分13分)已知函数f(x)＝x 2－2(n ＋1)x ＋n 2＋5n －7.(Ⅰ)设函数y ＝f(x)的图象的顶点的纵坐标构成数列{a n }，求证：{a n }为等差数列； (Ⅱ)设函数y ＝f(x)的图象的顶点到x 轴的距离构成数列{b n }，求{b n }的前n 项和S n .21．(理)(本小题满分13分)已知函数f(x)＝ax sin x ＋cos x ，且f(x)在x ＝π4处的切线斜率为2π8.(1)求a 的值，并讨论f(x)在[－π，π]上的单调性； (2)设函数g(x)＝ln (mx ＋1)＋1－x1＋x，x ≥0，其中m ＞0，若对任意的x 1∈[0，＋∞)总存在x 2∈[0，π2]，使得g(x 1)≥f(x 2)成立，求m 的取值范围．(文)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝12x 2－13ax 3(a ＞0)，函数g(x)＝f(x)＋e x (x －1)，函数g(x)的导函数为g ′(x)． (1)求函数f(x)的极值； (2)若a ＝e ，(ⅰ)求函数g(x)的单调区间；(ⅱ)求证：x ＞0时，不等式g ′(x)≥1＋ln x 恒成立．22．(本小题满分12分)如图，已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，直线l 的方程为x ＝4，过右焦点F 的直线l ′与椭圆交于异于左顶点A 的P ，Q 两点，直线AP 、AQ 交直线l 分别于点M 、N.(Ⅰ)当AP →·AQ→＝92时，求此时直线l ′的方程； (Ⅱ)试问M 、N 两点的纵坐标之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．山东省数学高考模拟试题精编三【说明】 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分．考试时间120分钟．请将第Ⅰ卷的答案填入答题栏内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．若复数z 满足3－iz ＝1＋i ，i 是虚数单位，则z ＝( ) A ．2－2i B ．1－2i C ．2＋i D ．1＋2i2．若集合A ＝{x ∈Z |2＜2x ＋2≤8}，B ＝{x ∈R |x 2－2x ＞0}，则A ∩(∁R B )所含的元素个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3.若三棱锥的三视图如右图所示，则该三棱锥的体积为( ) A ．80 B ．40 C.803 D.4034．若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABC ( ) A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 5．设l 、m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列命题： ①l ∥m ，m ⊂α，则l ∥α ②l ∥α，m ∥α，则l ∥m ③α⊥β，l ⊂α，则l ⊥β ④l ⊥α，m ⊥α，则l ∥m其中正确的命题的个数是( ) A ．1 B ．2C ．3D ．46．已知双曲线C 的中心在原点，焦点在坐标轴上，P (1，－2)是C 上的点，且y ＝2x 是C 的一条渐近线，则C 的方程为( ) A.y 22－x 2＝1 B ．2x 2－y 22＝1C.y 22－x 2＝1或2x 2－y 22＝1 D.y 22－x 2＝1或x 2－y 22＝17．现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0、1表示没有击中目标，2、3、4、5、6、7、8、9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为( ) A ．0.852 B ．0.819 2 C ．0.8 D ．0.758．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)，把函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度，所得图象的一条对称轴方程是x ＝π3，则ω的最小值是( ) A ．1 B ．2 C ．4 D.329．按右面的程序框图运行后，输出的S 应为( ) A ．26 B ．35 C ．40 D ．5710．(理)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧π4≤x ≤5π4|y |≤1所表示的平面区域为D ，现向区域D 内随机投掷一点，且该点又落在曲线y ＝sin x 与y ＝cos x 围成的区域内的概率是( ) A.22π B.2π C ．2 2 D ．1－2π(文)函数f (x )＝lg|sin x |是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为2π的偶函数11．(理)[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5，已知f (x )＝x －[x ](x ∈R )，g (x )＝log 4(x －1)，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4(文)在直角三角形ABC 中，∠C ＝π2，AC ＝3，取点D 、E 使BD→＝2DA →，AB →＝3BE →，那么CD →·CA →＋CE →·CA →＝( ) A ．3 B ．6 C ．－3 D ．－612．一个赛跑机器人有如下特性：(1)步长可以人为地设置成0.1米，0.2米，0.3米，…，1.8米，1.9米；(2)发令后，机器人第一步立刻迈出设置的步长，且每一步的行走过程都在瞬时完成；(3)当设置的步长为a 米时，机器人每相邻两个迈步动作恰需间隔a 秒．则这个机器人跑50米(允许超出50米)所需的最少时间是( ) A ．48.6秒 B ．47.6秒 C ．48秒 D ．47秒 答题栏二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填写在题中的横线上)13．(理)在(4x －2－x )6的展开式中，常数项为________．(文)若实数x ，y 满足－1＜x ＋y ＜4，且2＜x －y ＜3，则p ＝2x －3y 的取值范围是________．14．已知△ABC 中，BC ＝1，AB ＝3，AC ＝6，点P 是△ABC 的外接圆上一个动点，则BP →·BC→的最大值是________． 15．(理)若曲线y ＝x －12在点⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m －12处的切线与两坐标轴围成三角形的面积为18，则m ＝________.(文)已知点P (x ，y )在直线x ＋2y ＝3上移动，当2x ＋4y 取得最小值时，过点P 引圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋142＝12的切线，则此切线段的长度为________． 16．已知数列a n ：11，21，12，31，22，13，41，32，23，14，…，依它的前10项的规律，则a 99＋a 100的值为________．三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程及演算步骤)17．(本小题满分12分)已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，3sin C cos C －cos 2C ＝12，且c ＝3. (1)求角C ；(2)若向量m ＝(1，sin A )与n ＝(2，sin B )共线，求a 、b 的值． 18.(理)(本小题满分12分)如图，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，AA 1＝AB ＝AC ＝1，AB ⊥AC ，M 、N 分别是CC 1，BC 的中点，点P 在线段A 1B 1上，且A 1P →＝λA 1B 1→(1)证明：无论λ取何值，总有AM ⊥PN ；(2)当λ＝12时，求直线PN 与平面ABC 所成角的正切值．(文)(本小题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，∠BAD ＝120°，AD ＝AB ＝1，AC 交BD 于O 点．(1)求证：平面PBD ⊥平面P AC ；(2)求三棱锥D －ABP 和三棱锥B －PCD 的体积之比．19.(理)(本小题满分12分)某地近年来持续干旱，为倡导节约用水，该地采用了阶梯水价计费方法，具体为：每户每月用水量不超过a吨的每吨2元；超过a吨而不超过(a＋2)吨的，超出a吨的部分每吨4元；超过(a＋2)吨的，超出(a＋2)吨的部分每吨6元．(1)写出每户每月用水量x(吨)与支付费y(元)的函数关系；(2)该地一家庭记录了去年12个月的月用水量(x∈N*)如下表：将12费用，求Y的分布列和数学期望(精确到元)；(3)今年干旱形势仍然严峻，该地政府决定适当下调a的值(3＜a＜4)，小明家响应政府号召节约用水，已知他家前3个月的月平均水费为11元，并且前3个月用水量x的分布列为：请你求出今年调整的(文)(本小题满分12分)某地近年来持续干旱，为倡导节约用水，该地采用了阶梯水价计费方法，具体为：每户每月用水量不超过4吨的每吨2元；超过4吨而不超过6吨的，超出4吨的部分每吨4元；超过6吨的，超出6吨的部分每吨6元．(1)写出每户每月用水量x(吨)与支付费y(元)的函数关系；(2)该地一家庭记录了去年12个月的月用水量(x∈N*)如下表：(3)今年干旱形势仍然严峻，该地政府号召市民节约用水，如果每个月水费不超过12元的家庭称“节约用水家庭”，随机抽取了该地100户的月用水量作出如下统计表：据此估计该地“节约用水家庭”的比例．20．(本小题满分13分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数a.①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出常数a；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为一个三角恒等式，并证明你的结论．21.(本小题满分13分)已知函数f(x)＝12ax2－(2a＋1)x＋2ln x(a∈R)．(Ⅰ)若曲线y＝f(x)在x＝1和x＝3处的切线互相平行，求a的值；(Ⅱ)求f(x)的单调区间；(Ⅲ)设g(x)＝x2－2x，若对任意x1∈(0,2]，均存在x2∈(0,2]，使得f(x1)＜g(x2)，求a的取值范围．22.(本小题满分12分)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为12，点F1，F2分别是椭圆C的左，右焦点，以原点为圆心，椭圆C的短半轴为半径的圆与直线x－y＋6＝0相切．(1)求椭圆C的方程；(2)若过点F2的直线l与椭圆C相交于M，N两点，求△F1MN的内切圆面积的最大值和此时直线l的方程．山东省数学高考模拟试题精编四【说明】本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分．考试时间120分钟．请将第Ⅰ卷的答案填入答题栏内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知复数z ＝1＋i2－i (其中是虚数单位)，则复数z 在坐标平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．(理)已知f (x )＝3sin x －πx ，命题p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )＜0，则( )A ．p 是真命题，綈p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )＞0B ．p 是真命题，綈p ：∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x 0)≥0C ．p 是假命题，綈p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0D ．p 是假命题，綈p ：∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x 0)≥0(文)已知命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≤0，则綈p 为( )A ．∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2＞0B ．∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2＜0C ．∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0D ．∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2＞0 3．(理)如图所示，要使电路接通即灯亮，开关不同的闭合方式有( ) A ．11种 B ．20种 C ．21种 D ．12种(文)已知向量a 、b 的夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝( ) A ．3 2 B ．2 2 C. 2 D ．14．“m ＜0”是“函数f (x )＝m ＋log 2x (x ≥1)存在零点”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件5．已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象不可能是( )6．在圆的一条直径上，任取一点作与该直径垂直的弦，则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长的概率为( ) A.14 B.13 C.12 D.327．(理)下列四个判断：①某校高三(1)班的人数和高三(2)班的人数分别是m 和n ，某次测试数学平均分分别是a ，b ，则这两个班的数学平均分为a ＋b 2；②从总体中抽取的样本(1,2.5)，(2,3.1)，(3,3.6)，(4,3.9)，(5,4.4)，则回归直线y ∧＝b ∧x ＋a ∧必过点(3,3.6)；③已知ξ服从正态分布N (1,22)，且p (－1≤ξ≤1)＝0.3，则p (ξ＞3)＝0.2 其中正确的个数有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个(文)某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x (千元)与居民人均消费水平y (千元)统计调查，y 与x 具有相关关系，回归方程为y ∧＝0.66x ＋1.562，若某城市居民人均消费水平为7.675千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为( ) A ．83% B ．72% C ．67% D ．66%8．阅读程序框图(如图)，如果输出的函数值在区间[1,3]上，则输入的实数x 的取值范围是( )A．{x∈R|0≤x≤log23}B．{x∈R|－2≤x≤2}C．{x∈R|0≤x≤log23或x＝2}D．{x∈R|－2≤x≤log23或x＝2}9．已知点M(a，b)(a＞0，b＞0)是圆C：x2＋y2＝1内任意一点，点P(x，y)是圆上任意一点，则实数ax＋by－1()A．一定是负数B．一定等于0C．一定是正数D．可能为正数也可能为负数10．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F作直线l交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，则△AOB的形状为()A．不确定B．钝角三角形C．锐角三角形D．直角三角形11．(理)设方程10x＝|lg(－x)|的两个根分别为x1、x2，则()A．x1x2＜0 B．x1x2＝1C．x1x2＞1 D．0＜x1x2＜1(文)定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，且f(x)在(－∞，2)上是增函数，则()A．f(－1)＜f(3) B．f(0)＞f(3)C．f(－1)＝f(3) D．f(0)＝f(3)12．等差数列{a n}的前n项和为S n，公差为d，已知(a8＋1)3＋2013(a8＋1)＝1，(a2006＋1)3＋2013(a2006＋1)＝－1，则下列结论正确的是()A．d＜0，S2013＝2013 B．d＞0，S2013＝2013C．d＜0，S2013＝－2013 D．d＞0，S2013＝－2013答题栏二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填写在题中的横线上)13．在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积和的14，且样本容量为160，则中间一组的频数为________． 14．(理)如图，阴影部分由曲线y ＝x 与y 轴及直线y ＝2围成，则阴影部分的面积S ＝________.(文)曲线y ＝x 3－2x ＋3在x ＝1处的切线方程为________．15．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积等于________cm 3.16．观察下面两个推理过程及结论：(1)若锐角A ，B ，C 满足A ＋B ＋C ＝π，以角A ，B ，C 分别为内角构造一个三角形，依据正弦定理和余弦定理可得到等式：sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C －2sin B sin C cos A ， (2)若锐角A ，B ，C 满足A ＋B ＋C ＝π，则⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 2＝π，以角π2－A 2，π2－B 2，π2－C2分别为内角构造一个三角形，依据正弦定理和余弦定理可以得到的等式：cos2A2＝cos2B2＋cos2C2－2cosB2cosC2sinA2.则：若锐角A，B，C满足A＋B＋C＝π，类比上面推理方法，可以得到的一个等式是________．三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程及演算步骤)17．(本小题满分12分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知c＝1，C＝π3.(1)若cos(α＋C)＝－35，0＜α＜2π3，求cos α；(2)若sin C＋sin(A－B)＝3sin 2B，求△ABC的面积S.18.(理)(本小题满分12分)如图已知：菱形ABEF所在平面与直角梯形ABCD所在平面互相垂直，AB＝2AD＝2CD＝4，∠ABE＝60°，∠BAD＝∠CDA＝90°，点H，G分别是线段EF，BC的中点．(1)求证：平面AHC⊥平面BCE；(2)点M在直线EF上，且GM∥平面AFD，求平面ACH与平面ACM所成角的余弦值．(文)(本小题满分12分)如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1.(1)若M、N分别是AB、A1C的中点，求证：MN∥平面BCC1B1；(2)若三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长均为2，∠B1BA＝∠B1BC＝60°，P为线段B1B 上的动点，当P A＋PC最小时，求证：B1B⊥平面APC.19.(理)(本小题满分12分)空气质量指数PM2.5(单位：μg/m 3)表示每立方米空气中入肺颗粒物的含量，这个值越高，就代表空气污染越严重(如下表)：某市某年8月8日～9月6日(30天)对空气质量指数PM2.5进行监测，获得数据后得到如图所示的条形图：(1)以该数据为依据，求该城市一个月内空气质量类别为良的概率；(2)在上述30个监测数据中任取2个，设X 为其中空气质量类别为优的天数，求X 的分布列和数学期望．(文)(本小题满分12分)某车间将10名技术工人平均分为甲、乙两个小组加工某种零件．已知甲组每名技术工人加工的零件合格的分别为4个、5个、7个、9个、10个，乙组每名技术工人加工的零件合格的分别为5个、6个、7个、8个、9个． (1)分别求出甲、乙两组技术工人加工的合格零件的平均数及方差，并由此比较这两组技术工人加工这种零件的技术水平；(2)假设质检部门从甲、乙两组技术工人中分别随机抽取1人，对他们加工的零件进行检测，若抽到的2人加工的合格零件之和超过12个，则认为该车间加工的零件质量合格，求该车间加工的零件质量合格的概率．20.(本小题满分13分)已知数列{a n }的前n 项和S n 和通项a n 满足S n ＝12(1－a n )． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝na n ，求证：b 1＋b 2＋…＋b n ＜34.21．(理)(本小题满分13分)已知函数g (x )＝2a ln(x ＋1)＋x 2－2x (1)当a ≠0时，讨论函数g (x )的单调性；(2)若函数f (x )的图象上存在不同两点A ，B ，设线段AB 的中点为P (x 0，y 0)，使得f (x )在点Q (x 0，f (x 0))处的切线与直线AB 平行或重合，则说函数f (x )是“中值平衡函数”，切线叫做函数f (x )的“中值平衡切线”．试判断函数g (x )是否是“中值平衡函数”？若是，判断函数g (x )的“中值平衡切线”的条数；若不是，说明理由． (文)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ＞0)的零点的集合为{0,1}，且x ＝13是f (x )的一个极值点． (1)求ba 的值；(2)试讨论过点P (m,0)且与曲线y ＝f (x )相切的直线的条数．22.(本小题满分12分)已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点(A ，B 不是左，右顶点)，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点D .求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．山东省数学高考模拟试题精编五【说明】 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分．考试时间120分钟．请将第Ⅰ卷的答案填入答题栏内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．复数1＋2ii 的共轭复数是a ＋b i(a ，b ∈R )，i 是虚数单位，则点(a ，b )为( ) A ．(1,2) B ．(2，－1) C ．(2,1) D ．(1，－2)2．下列说法中，正确的是()A．命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题B．命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题C．已知x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件D．命题“∃x∈R，x2－x＞0”的否定是：“∀x∈R，x2－x≤0”3．已知a＝0.7－13，b＝0.6－13，c＝log2.11.5，则a，b，c的大小关系是()A．c＜a＜b B．c＜b＜aC．a＜b＜c D．b＜a＜c4．一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积(单位：cm2)为()A．48＋12 2 B．48＋24 2C．36＋12 2 D．36＋24 25．(理)如图，A、B两点之间有4条网线连接，每条网线能通过的最大信息量分别为1,2,3,4.从中任取2条网线，则这2条网线通过的最大信息量之和等于5或6的概率是()A.56 B.12C.13 D.16(文)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤2x ＋y ≥1x －y ≤1，则z ＝3x ＋y 的最大值为( )A ．12B ．11C ．3D ．－16．将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6(x ∈R )图象上所有的点向左平行移动π6个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得到的图象的解析式为( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3C ．y ＝sin x 2D ．y ＝cos x27．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，a 3＝5，S k ＋2－S k ＝36，则k 的值为( ) A ．8 B ．7 C ．6 D ．5 8.某程序框图如图所示，现输入下列四个函数：f (x )＝1x ，f (x )＝log 3(x 2＋1)，f (x )＝2x ＋2－x ，f (x )＝2x －2－x ，则输出的函数是( ) A ．f (x )＝1x B ．f (x )＝log 3(x 2＋1) C ．f (x )＝2x ＋2－x D ．f (x )＝2x －2－x9．(理)将5名学生分到A ，B ，C 三个宿舍，每个宿舍至少1人至多2人，其中。
2014 年全国一致高考数学试卷（理科）（纲领版）一、选择题（本大题共12 小题，每题 5 分）1．（5 分）（2014?纲领版）设 z=，则 z 的共轭复数为（）A．﹣ 1+3i B．﹣ 1﹣3i C．1+3i D．1﹣3i【剖析】直接由复数代数形式的除法运算化简，则z 的共轭可求．【解答】解：∵ z= =，∴．应选： D．2．（5 分）（2014?纲领版）设会合M={ x| x2﹣3x﹣4＜0} ，N={ x| 0≤x≤5} ，则 M ∩N=（）A．（ 0， 4]B．[ 0， 4）C．[ ﹣1，0）D．（﹣ 1，0]【剖析】求解一元二次不等式化简会合M ，而后直接利用交集运算求解．2【解答】解：由 x ﹣3x﹣ 4＜ 0，得﹣ 1＜x＜4．∴M={ x| x2﹣ 3x﹣4＜0} ={ x| ﹣1＜x＜4} ，又 N={ x| 0≤x≤5} ，∴M∩N={ x| ﹣ 1＜ x＜ 4} ∩{ x| 0≤x≤5} =[ 0， 4）．应选： B．3．（5 分）（2014?纲领版）设 a=sin33 ，°b=cos55 °，c=tan35 A．a＞b＞c B．b＞c＞ a C．c＞b＞a ，°则（）D．c＞a＞b【剖析】可得b=sin35 °，易得b＞a，c=tan35 °=＞sin35 °综合可得．，【解答】解：由引诱公式可得b=cos55°=cos（90°﹣35°）=sin35 °，由正弦函数的单一性可知b＞a，而 c=tan35 °=＞ sin35 °=b，∴ c＞b＞a应选： C．4．（5 分）（2014?纲领版）若向量、知足：| | =1，（ + ）⊥ ，（2 + ）⊥ ，则| | =（ ）A ．2B ．C ．1D ．【剖析】 由条件利用两个向量垂直的性质，可得（+ ） ?，（ 2+ ） ? ，=0 =0由此求得 | | ．【解答】 解：由题意可得，（ + ）?=+=1+，∴﹣ ；=0= 1（2+）?=2 + ﹣，∴ 2 ，=2+ =0 b =2则||=，应选： B ．5．（ 5 分）（2014?纲领版）有 6 名男医生、 5 名女医生，从中选出2 名男医生、 1名女医生构成一个医疗小组，则不一样的选法共有（）A ．60 种B ．70 种C ．75 种D ．150 种【剖析】依据题意，分 2 步剖析，先从 6 名男医生中选 2 人，再从 5 名女医生中选出 1 人，由组合数公式挨次求出每一步的状况数量，由分步计数原理计算可得答案．【解答】 解：依据题意，先从 6 名男医生中选 2 人，有 C 62=15 种选法，再从 5 名女医生中选出 1 人，有 C 51=5 种选法，则不一样的选法共有 15× 5=75 种；应选： C ．．（ 分）（ 纲领版）已知椭圆： + （ ＞ ＞ ）的左、右焦点为 、 6 52014?C=1 a bF 1 2，离心率为，过 F 2 的直线 l 交 C 于 A 、B 两点，若△ AF 1 B 的周长为4，F则 C 的方程为（）A ．+=1． +y 2 =1B C ． +=1D ．+ =1【剖析】 利用△ AF 1B 的周长为 4 ，求出 a=，依据离心率为 ，可得 c=1，求出 b，即可得出椭圆的方程．【解答】解：∵△ AF1B 的周长为 4，∵△ AF1B 的周长 =| AF1|+| AF2|+| BF1|+| BF2| =2a+2a=4a，∴4a=4 ，∴a= ，∵离心率为，∴，c=1，∴ b==，∴椭圆 C 的方程为+=1．应选： A．7．（ 5 分）（2014?纲领版）曲线y=xe x﹣1在点（ 1，1）处切线的斜率等于（）A．2e B．e C．2D．1【剖析】求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出对应的切线斜率．【解答】解：函数的导数为 f ′（x）=e x﹣1+xe x﹣1=（1+x）e x﹣1，当 x=1 时， f ′（ 1） =2，即曲线 y=xe x﹣1在点（ 1， 1）处切线的斜率k=f （′1）=2，应选： C．8．（ 5 分）（ 2014?纲领版）正四棱锥的极点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A．B．16πC．9πD．PO1上，记为O，求出PO1，【剖析】正四棱锥P﹣ ABCD的外接球的球心在它的高OO1，解出球的半径，求出球的表面积．【解答】解：设球的半径为R，则∵棱锥的高为 4，底面边长为 2，∴R2=（4﹣R）2+（）2，∴R= ，∴球的表面积为4π?（）2=．故： A．9．（5 分）（2014?大版）已知双曲 C 的离心率 2，焦点 F1、F2，点 A 在C 上，若 | F1A| =2| F2A| ，cos∠AF2F1=（）A．B．C．D．【剖析】依据双曲的定，以及余弦定理成立方程关系即可获得．【解答】解：∵双曲 C 的离心率 2，∴ e=，即c=2a，点 A 在双曲上，| F1A| | F2A| =2a，又 | F1A| =2| F2A| ，∴解得 | F1A| =4a， | F2A| =2a，|| F1F2| =2c，由余弦定理得cos ∠ AF2F1 ===．故： A．10．（ 5 分）（2014?大版）等比数列 { a n } 中， a4， 5 ，数列n} 的前 8 =2 a =5{ lga和等于（）A．6B．5C．4D．3【剖析】利用等比数列的性可得 a1 8 27 3 6 4 5．再利用数的运算性a =a a =a a =a a =10即可得出．【解答】解：∵数列 { a n } 是等比数列， a4=2，a5=5，∴a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10．∴lga1 +lga2+⋯+lga8=lg（a1a2?⋯ ?a8）=4lg10=4．应选： C．11．（ 5 分）（2014?纲领版）已知二面角α﹣l﹣β为60°，AB?α，AB⊥l，A为垂足，CD? β，C∈l，∠ACD=135°，则异面直线 AB 与CD 所成角的余弦值为（）A．B．C．D．AB 与CD 所成角，【剖析】第一作出二面角的平面角，而后再结构出异面直线利用解直角三角形和余弦定理，求出问题的答案．【解答】解：如图，过 A 点做 AE⊥ l，使 BE⊥β，垂足为 E，过点 A 做 AF∥CD，过点 E 做 EF⊥AE，连结 BF，∵AE⊥l∴∠ EAC=90°∵CD∥AF又∠ ACD=135°∴∠ FAC=45°∴∠ EAF=45°在 Rt△BEA中，设 AE=a，则 AB=2a，BE= a，在 Rt△AEF中，则 EF=a，AF= a，在 Rt△BEF中，则 BF=2a，∴异面直线 AB 与 CD所成的角即是∠ BAF，∴ cos∠ BAF===．应选： B．12．（ 5 分）（2014?纲领版）函数 y=f （ x ）的图象与函数 y=g （x ）的图象对于直线 x+y=0 对称，则y=f （ x ）的反函数是（）A ．y=g （x ）B ．y=g （﹣ x ）C ．y=﹣g （x ）D ．y=﹣g （﹣ x ）【剖析】 设 P （x ，y ）为 y=f （ x ）的反函数图象上的随意一点，则 P 对于 y=x 的对称点 P ′（ y ，x ）一点在 y=f （ x ）的图象上， P ′（y ，x ）对于直线 x+y=0 的对称点 P ″（﹣ x ，﹣ y ）在 y=g （ x ）图象上，代入分析式变形可得．【解答】 解：设 P （ x ， y ）为 y=f （x ）的反函数图象上的随意一点，则 P 对于 y=x 的对称点 P ′（y ， x ）一点在 y=f （x ）的图象上，又∵函数 y=f （x ）的图象与函数 y=g （x ）的图象对于直线 x+y=0 对称，∴ P ′（y ， x ）对于直线 x+y=0 的对称点 P ″（﹣ x ，﹣ y ）在 y=g （x ）图象上，∴必有﹣ y=g （﹣ x ），即 y=﹣ g （﹣ x ）∴ y=f （ x ）的反函数为： y=﹣g （﹣ x ）应选： D ．二、填空题 ( 本大题共 4 小题，每题 5 分 )13．（5 分）（ 2014?纲领版）的睁开式中 x 2y 2 的系数为70 ．（用数字作答）【剖析】先求出二项式睁开式的通项公式，再令x 、y 的幂指数都等于 2，求得 r的值，即可求得睁开式中 x 2y 2 的系数．【解答】解：的睁开式的通项公式为T r +1 r?= ?（﹣ ）= ? 1 ?（﹣ 1） r ??，令 8﹣ = ﹣4=2，求得 r=4，故睁开式中 x 2y 2的系数为=70，故答案为： 70．、 知足拘束条件，则 z=x+4y 的最大14．（5 分）（ 2014?纲领版）设 x y值为5 ．【剖析】由拘束条件作出可行域， 化目标函数为直线方程的斜截式， 由图获得最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由拘束条件作出可行域如图，联立，解得 C（ 1， 1）．化目标函数 z=x+4y 为直线方程的斜截式，得．由图可知，当直线过 C 点时，直线在 y 轴上的截距最大， z 最大．此时 z max=1+4×1=5．故答案为： 5．15．（ 5 分）（ 2014?纲领版）直线 l1和 l2是圆 x2+y2=2 的两条切线，若 l1与 l2的交点为（ 1，3），则 l1与 l2的夹角的正切值等于．【剖析】设 l1与 l2的夹角为 2θ，因为 l1与 l2的交点 A（1，3）在圆的外面，由直角三角形中的边角关系求得sin θ=的值，可得cos θ、 tan θ的值，再依据tan2 θ=，计算求得结果．【解答】解：设 l1与 l2的夹角为 2θ，因为 l1与 l2的交点 A（1，3）在圆的外面，且点 A 与圆心 O 之间的距离为 OA==，圆的半径为 r=，∴ sin θ= =，∴ cosθ=，tanθ== ，∴ tan2 θ=== ，故答案为：．16．（ 5 分）（2014?纲领版）若函数f（ x） =cos2x+asinx 在区间（，）是减函数，则 a 的取值范围是（﹣∞，2]．【剖析】利用二倍角的余弦公式化为正弦，而后令t=sinx 换元，依据给出的x 的范围求出t 的范围，联合二次函数的图象的张口方向及对称轴的地点列式求解 a 的范围．【解答】解：由 f（ x）=cos2x+asinx=﹣2sin2 x+asinx+1，令 t=sinx，则原函数化为 y=﹣2t2 +at+1．∵ x∈（，）时f（x）为减函数，则 y=﹣2t 2+at+1 在 t∈（，1）上为减函数，∵ y=﹣2t2+at+1 的图象张口向下，且对称轴方程为t= ．∴，解得： a≤2．∴a 的取值范围是（﹣∞，2] ．故答案为：（﹣∞， 2] ．三、解答题17．（ 10 分）（ 2014?纲领版）△ ABC的内角 A、B、C 的对边分别为a、 b、c，已知 3acosC=2ccosA，tanA= ，求 B．【剖析】由3acosC=2ccosA，利用正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，再利用同角的三角函数基本关系式可得tanC，利用tanB=tan[ π﹣（A+C）] =﹣tan （A+C）即可得出．【解答】解：∵ 3acosC=2ccosA，由正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，∴3tanA=2tanC，∵ tanA= ，∴2tanC=3× =1，解得 tanC= ．∴ tanB=tan[ π （ A+C）] = tan（ A+C）=，== 1∵ B∈（ 0，π），∴B=18．（ 12 分）（ 2014?大版）等差数列 { a n} 的前 n 和 S n，已知 a1=13，a2整数，且 S n≤S4．（ 1）求 { a n } 的通公式；（ 2）b n=，求数列{ b n} 的前n 和T n．【剖析】（1）通 S n≤ S4得 a4≥0，a5≤0，利用 a1=13、 a2整数可得 d= 4，而可得；（ 2）通 a n =13 3n，分别分母可得b n= （），并相加即可．【解答】解：（1）在等差数列 { a n} 中，由 S n≤S4得：a4≥ 0， a5≤0，又∵ a1=13，∴，解得≤d≤ ，∵ a2整数，∴ d= 4，∴{ a n} 的通： a n=17 4n；（ 2）∵a n =17 4n，∴ b n===（），于是 T n=b1+b2+⋯⋯+b n[ （）+（）+⋯⋯+（） ]== （）=．．（分）（ 2014?大版）如，三棱柱1 11中，点A1 在平面ABC19 12ABC ABC内的射影 D 在 AC上，∠ ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2．（Ⅰ）证明： AC1⊥A1B；（Ⅱ）设直线AA 与平面1BCC的距离为1B1，求二面角 A ﹣AB﹣ C 的大小．1【剖析】（Ⅰ）由已知数据联合线面垂直的判断和性质可得；（Ⅱ）作协助线可证∠ A1FD 为二面角 A1﹣ AB﹣C 的平面角，解三角形由反三角函数可得．【解答】解：（Ⅰ）∵ A1D⊥平面 ABC，A1D? 平面 AA1 C1C，∴平面 AA1C1C⊥平面 ABC，又 BC⊥AC∴BC⊥平面 AA1C1C，连结 A1C，由侧面 AA1C1C 为菱形可得 AC1⊥ A1C，又 AC1⊥BC，A1C∩BC=C，∴AC1⊥平面 A1 BC， AB1? 平面 A1BC，∴AC1⊥A1B；（Ⅱ）∵ BC⊥平面 AA1C1C，BC? 平面 BCC1B1，∴平面 AA1C1C⊥平面 BCC1B1，作 A1E⊥CC1，E 为垂足，可得 A1E⊥平面BCC1B1，又直线 AA1∥平面 BCC1B1，∴ A为直线AA1与平面 BCC的距离，即 A，1E1B11E=∵A1C 为∠ ACC1的均分线，∴ A1D=A1E= ，作 DF⊥ AB，F 为垂足，连结 A1 F，又可得 AB⊥A1D， A1 F∩ A1D=A1，∴AB⊥平面 A1DF，∵ A1 F? 平面 A1DF∴A1F⊥ AB，∴∠ A1FD 为二面角 A1﹣AB﹣ C 的平面角，由 AD==1 可知 D 为 AC中点，∴ DF== ，∴tan∠ A1FD= = ，∴二面角 A1﹣AB﹣C 的大小为 arctan20．（ 12 分）（2014?纲领版）设每个工作日甲、乙、丙、丁4 人需使用某种设施的概率分别为 0.6、0.5、0.5、0.4，各人能否需使用设施互相独立．（Ⅰ）求同一工作日起码 3 人需使用设施的概率；（Ⅱ） X 表示同一工作日需使用设施的人数，求X 的数学希望．【剖析】记 A i表示事件：同一工作日乙丙需要使用设施，i=0， 1，2，B 表示事件：甲需要设施， C 表示事件，丁需要设施， D 表示事件：同一工作日起码 3 人需使用设施（Ⅰ）把 4 个人都需使用设施的概率、 4 个人中有 3 个人使用设施的概率相加，即得所求．（Ⅱ） X 的可能取值为 0，1，2，3，4，分别求出 PX i，再利用数学希望公式计算即可．【解答】解：由题意可得“同一工作日起码3 人需使用设施”的概率为0.6×0.5× 0.5×0.4+（1﹣0.6）× 0.5×0.5× 0.4+0.6×（ 1﹣0.5）× 0.5× 0.4+0.6×0.5×（ 1﹣ 0.5）× 0.4+0.6×0.5×0.5×（ 1﹣0.4）=0.31．（Ⅱ） X 的可能取值为 0，1，2，3，4P（X=0） =（ 1﹣0.6）× 0.52×（ 1﹣0.4）=0.06P（X=1） =0.6×0.52×（ 1﹣0.4）+（ 1﹣ 0.6）× 0.52×0.4+（1﹣0.6）× 2×0.52×（1﹣0.4）=0.25P（X=4） =P（A2?B?C）=0.52× 0.6×0.4=0.06，P（X=3） =P（D）﹣ P（ X=4）=0.25，P（X=2） =1﹣P（X=0）﹣ P（X=1）﹣ P（X=3）﹣ P（X=4）=1﹣0.06﹣ 0.25﹣0.25﹣0.06=0.38．故数学希望 EX=0×0.06+1×0.25+2×0.38+3×0.25+4×0.06=221．（ 12 分）（ 2014?纲领版）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4 与 y 轴的交点为 P，与 C 的交点为 Q，且 | QF| = | PQ| ．（Ⅰ）求 C 的方程；（Ⅱ）过 F 的直线 l 与 C 订交于 A、B 两点，若 AB的垂直均分线l 与′ C 订交于 M 、N 两点，且 A、M 、B、N 四点在同一圆上，求l 的方程．【剖析】（Ⅰ）设点 Q 的坐标为（ x0，4），把点 Q 的坐标代入抛物线C 的方程，求得 x0= ，依据 | QF| = | PQ| 求得 p 的值，可得 C 的方程．（Ⅱ）设l 的方程为 x=my+1 （m≠0），代入抛物线方程化简，利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长 | AB| ．把直线 l 的′方程代入抛物线方程化简，利用韦达定理、弦长公式求得 | MN| ．因为 MN 垂直均分线段 AB，故 AMBN 四点共圆等价于 | AE| =| BE| = | MN| ，由此求得 m 的值，可得直线 l 的方程．【解答】解：（Ⅰ）设点 Q 的坐标为（x0，4），把点 Q 的坐标代入抛物线C：y2=2px （p＞0），可得 x0= ，∵点 P（0，4），∴ | PQ| = ．又 | QF| =x0+ = + ， | QF| = | PQ| ，∴+ = ×，求得 p=2，或 p=﹣2（舍去）．故 C 的方程为 y2=4x．（Ⅱ）由题意可得，直线 l 和坐标轴不垂直， y2=4x 的焦点 F（ 1， 0），设 l 的方程为 x=my+1（m≠0），代入抛物线方程可得 y2﹣ 4my﹣ 4=0，明显鉴别式△ =16m2+16＞ 0，y1+y2=4m，y1?y2=﹣ 4．∴ AB的中点坐标为 D （ 2m2+1 ， 2m ），弦长 | AB| =| y1﹣y 2| =（m2+1）．=4又直线 l 的′斜率为﹣ m，∴直线 l ′方程为的x=﹣y+2m2+3．过 F 的直线 l 与 C 订交于 A、 B 两点，若 AB 的垂直均分线 l 与′ C 订交于 M 、N 两点，把线 l ′方程代入抛物线方程可得的y2+ y﹣4（2m2+3）=0，∴ y3+y4=，y3?y4=﹣4（2m2+3）．故线段MN 的中点 E 的坐标为（+2m2+3，），∴ | MN| =| y3﹣y4| =，∵MN 垂直均分线段 AB，故 AMBN 四点共圆等价于 | AE| =| BE| = | MN| ，∴+DE2= MN 2，∴ 4（ m2+1）2 ++= ×，化简可得m2﹣1=0，∴m=± 1，∴直线 l 的方程为 x﹣y﹣1=0，或 x+y﹣ 1=0．22．（ 12 分）（ 2014?纲领版）函数 f（ x） =ln（ x+1）﹣（a＞1）．（Ⅰ）议论 f （x）的单一性；（Ⅱ）设 a1=1， a n+1=ln（a n+1），证明：＜a n≤（n∈ N*）．【剖析】（Ⅰ）求函数的导数，经过议论 a 的取值范围，即可获得 f （x）的单一性；（Ⅱ）利用数学概括法即可证明不等式．【解答】解：（Ⅰ）函数 f（x）的定义域为（﹣ 1，+∞），f （′x）=，①当 1＜a＜2 时，若 x∈（﹣ 1，a2﹣2a），则 f （′x）＞ 0，此时函数 f（x）在（﹣1，a2﹣2a）上是增函数，若 x∈（ a2﹣ 2a，0），则 f ′（x）＜ 0，此时函数 f（x）在（ a2﹣2a，0）上是减函数，若 x∈（ 0，+∞），则 f ′（ x）＞ 0，此时函数 f （x）在（ 0， +∞）上是增函数．②当 a=2 时， f ′（x）≥0，此时函数 f（ x）在（﹣ 1，+∞）上是增函数，③当 a＞2 时，若 x∈（﹣ 1，0），则 f ′（x）＞ 0，此时函数 f （x）在（﹣ 1， 0）上是增函数，若 x∈（ 0，a2﹣ 2a），则 f ′（x）＜ 0，此时函数 f（x）在（ 0，a2﹣2a）上是减函数，若 x∈（ a2﹣ 2a，+∞），则 f ′（ x）＞ 0，此时函数 f（x）在（ a2﹣2a， +∞）上是增函数．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a=2 时，此时函数 f（x）在（﹣ 1， +∞）上是增函数，当 x∈（ 0，+∞）时， f（ x）＞ f（ 0） =0，即 ln（x+1）＞，（x＞0），又由（Ⅰ）知，当a=3 时， f（ x）在（ 0，3）上是减函数，当 x∈（ 0，3）时， f（x）＜ f（0）=0，ln（x+1）＜，下边用数学概括法进行证明＜a n≤成立，①当 n=1 时，由已知＜，故结论成立．②假定当 n=k 时结论成立，即＜，则当 n=k+1 时， a n+1（n+1）＞ ln（）＞，=ln aa k+1=ln（a k+1）＜ ln（）＜，即当 n=k+1 时，＜成立，综上由①②可知，对任何n∈N?结论都成立．。
2014年金太阳高考押题精粹(数学理课标版)（30道选择题+20道非选择题）【参考答案及点评】二．选择题（30道）1. 【答案】B2. 【答案】A【点评】:集合问题是高考必考内容之一，题目相对简单.集合的表示法有列举法、描述法、图示法三种，高考中与集合的子，交，并，补相结合，侧重考查简单的不等式的有关知识。
3. 【答案】C4. 【答案】A【点评】:3、4题考查的是复数有关知识。
复数主要内容有：复数的四则运算、复数的模、共轭复数、复平面、复数概念等，理科一般都只考简单的复数乘除法运算，且比较常规化。
5. 【答案】C 6. 【答案】B【点评】:上面5、6题是简易逻辑的内容，简易逻辑内容有：命题的或、且、非；四种命题；充分、必要条件；全称命题和特称命题。
作为高考内容的重要组成部分，也是各省高考常见题型，特别是对充分、必要条件与全称命题和特称命题的考查。
单独考查简易逻辑相关的概念不多见，按照近几年高考真题的特点来讲，结合其他知识点一同考查是总趋势，如5题。
一般和不等式相结合的也时有出现，如6题。
7. 【答案】B 8. 【答案】B【点评】:7,8题考查的内容是程序框图。
程序框图题型一般有两种，一种是根据完整的程序框图计算，如题7；一种是根据题意补全程序框图，如题8.程序框图一般与函数知识和数列知识相结合，一般结合数列比较多见，特别经过多年的高考，越来越新颖、成熟。
9. 【答案】D【解析】根据sin(π+α）=αsin -可知“若函数的图像)3x sin()(πω+=x f 向右平移3π个单位后与原函数的图像关于x轴对称”则至少变为）ππω-+=3sin()(x x g ，于是.3333x 的最小正值是则ωππωππω-+→+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 10. 【答案】A 11. 【答案】A【解析】.6,0232cos ,3sin 3sin sin sin 222222A C C ab c b a C ab c b a B a C c B b A a ，选故，又所以即ππ=<<=-+==-+=-+ 【点评】:三角函数内容在新课标全国高考试卷中，一般考察三角函数图象的平移，函数单调性，依据函数图象确定相关系数等问题，另外三角函数在解三角形中的应用也不容忽视。
2014年全国统一高考数学试卷高考理科数学大纲版试卷及参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分)1.(5分)设z ＝,则z 的共轭复数为( ) A.－1＋3i B.－1－3i C.1＋3i D.1－3i2.(5分)设集合M ＝{x|x 2－3x －4＜0},N ＝{x|0≤x ≤5},则M ∩N ＝( ) A.(0,4] B.[0,4) C.[－1,0) D.(－1,0]3.(5分)设a ＝sin33°,b ＝cos55°,c ＝tan35°,则( ) A.a ＞b ＞c B.b ＞c ＞a C.c ＞b ＞a D.c ＞a ＞b4.(5分)若向量、满足：||＝1,(＋)⊥,(2＋)⊥,则||＝( )A.2B.C.1D.5.(5分)有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有( ) A.60种 B.70种 C.75种 D.150种6.(5分)已知椭圆C ：＋＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1、F 2,离心率为,过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点,若△AF 1B 的周长为4,则C 的方程为( )A.＋＝1B.＋y 2＝1C.＋＝1D.＋＝17.(5分)曲线y ＝xe x －1在点(1,1)处切线的斜率等于( ) A.2e B.e C.2 D.18.(5分)正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为( )A. B.16π C.9π D.9.(5分)已知双曲线C 的离心率为2,焦点为F 1、F 2,点A 在C 上,若|F 1A|＝2|F 2A|,则cos ∠AF 2F 1＝( )A.B.C.D.10.(5分)等比数列{a n }中,a 4＝2,a 5＝5,则数列{lga n }的前8项和等于( ) A.6 B.5 C.4 D.311.(5分)已知二面角α－l －β为60°,AB ⊂α,AB ⊥l,A 为垂足,CD ⊂β,C ∈l,∠ACD ＝135°,则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为( )A.B.C.D.12.(5分)函数y ＝f(x)的图象与函数y ＝g(x)的图象关于直线x ＋y ＝0对称,则y ＝f(x)的反函数是( )A.y ＝g(x)B.y ＝g(－x)C.y ＝－g(x)D.y ＝－g(－x)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分)13.(5分)的展开式中x2y2的系数为.(用数字作答)14.(5分)设x、y满足约束条件,则z＝x＋4y的最大值为.15.(5分)直线l1和l2是圆x2＋y2＝2的两条切线,若l1与l2的交点为(1,3),则l1与l2的夹角的正切值等于.16.(5分)若函数f(x)＝cos2x＋asinx在区间(,)是减函数,则a的取值范围是.三、解答题17.(10分)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知3acosC＝2ccosA,tanA＝,求B.18.(12分)等差数列{an }的前n项和为Sn,已知a1＝13,a2为整数,且Sn≤S4.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn ＝,求数列{bn}的前n项和Tn.19.(12分)如图,三棱柱ABC－A1B1C1中,点A1在平面ABC内的射影D在AC上,∠ACB＝90°,BC＝1,AC＝CC1＝2.(Ⅰ)证明：AC1⊥A1B；(Ⅱ)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为,求二面角A1－AB－C的大小.20.(12分)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4,各人是否需使用设备相互独立.(Ⅰ)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(Ⅱ)X表示同一工作日需使用设备的人数,求X的数学期望.21.(12分)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F,直线y＝4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|＝|PQ|.(Ⅰ)求C的方程；(Ⅱ)过F的直线l与C相交于A、B两点,若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点,且A、M、B、N四点在同一圆上,求l的方程.22.(12分)函数f(x)＝ln(x＋1)－(a＞1). (Ⅰ)讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)设a1＝1,an＋1＝ln(an＋1),证明：＜an≤(n∈N*).2014年全国统一高考数学试卷(理科)(大纲版)参考答案与试题解析一、选择题(本大题共12小题,每小题5分)1.(5分)设z＝,则z的共轭复数为( )A.－1＋3iB.－1－3iC.1＋3iD.1－3i【分析】直接由复数代数形式的除法运算化简,则z的共轭可求.【解答】解：∵z＝＝,∴.故选：D.【点评】本题考查复数代数形式的除法运算,考查了复数的基本概念,是基础题.2.(5分)设集合M＝{x|x2－3x－4＜0},N＝{x|0≤x≤5},则M∩N＝( )A.(0,4]B.[0,4)C.[－1,0)D.(－1,0]【分析】求解一元二次不等式化简集合M,然后直接利用交集运算求解.【解答】解：由x2－3x－4＜0,得－1＜x＜4.∴M＝{x|x2－3x－4＜0}＝{x|－1＜x＜4},又N＝{x|0≤x≤5},∴M∩N＝{x|－1＜x＜4}∩{x|0≤x≤5}＝[0,4).故选：B.【点评】本题考查了交集及其运算,考查了一元二次不等式的解法,是基础题.3.(5分)设a＝sin33°,b＝cos55°,c＝tan35°,则( )A.a＞b＞cB.b＞c＞aC.c＞b＞aD.c＞a＞b【分析】可得b＝sin35°,易得b＞a,c＝tan35°＝＞sin35°,综合可得.【解答】解：由诱导公式可得b＝cos55°＝cos(90°－35°)＝sin35°,由正弦函数的单调性可知b＞a,而c＝tan35°＝＞sin35°＝b,∴c＞b＞a故选：C.【点评】本题考查三角函数值大小的比较,涉及诱导公式和三角函数的单调性,属基础题.4.(5分)若向量、满足：||＝1,(＋)⊥,(2＋)⊥,则||＝( )A.2B.C.1D.【分析】由条件利用两个向量垂直的性质,可得(＋)•＝0,(2＋)•＝0,由此求得||.【解答】解：由题意可得,(＋)•＝＋＝1＋＝0,∴＝－1；(2＋)•＝2＋＝－2＋＝0,∴b2＝2,则||＝,故选：B.【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质,两个向量垂直,则它们的数量积等于零,属于基础题.5.(5分)有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有( )A.60种B.70种C.75种D.150种【分析】根据题意,分2步分析,先从6名男医生中选2人,再从5名女医生中选出1人,由组合数公式依次求出每一步的情况数目,由分步计数原理计算可得答案.【解答】解：根据题意,先从6名男医生中选2人,有C62＝15种选法,再从5名女医生中选出1人,有C51＝5种选法,则不同的选法共有15×5＝75种；故选：C.【点评】本题考查分步计数原理的应用,注意区分排列、组合的不同.6.(5分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为,过F2的直线l交C于A、B两点,若△AF1B的周长为4,则C的方程为( )A.＋＝1B.＋y2＝1C.＋＝1D.＋＝1【分析】利用△AF1B的周长为4,求出a＝,根据离心率为,可得c＝1,求出b,即可得出椭圆的方程.【解答】解：∵△AF1B的周长为4,∵△AF1B的周长＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝2a＋2a＝4a,∴4a＝4,∴a＝,∵离心率为,∴,c＝1,∴b ＝＝,∴椭圆C 的方程为＋＝1.故选：A.【点评】本题考查椭圆的定义与方程,考查椭圆的几何性质,考查学生的计算能力,属于基础题.7.(5分)曲线y ＝xe x －1在点(1,1)处切线的斜率等于( ) A.2e B.e C.2 D.1【分析】求函数的导数,利用导数的几何意义即可求出对应的切线斜率. 【解答】解：函数的导数为f′(x)＝e x －1＋xe x －1＝(1＋x)e x －1, 当x ＝1时,f′(1)＝2,即曲线y ＝xe x －1在点(1,1)处切线的斜率k ＝f′(1)＝2, 故选：C.【点评】本题主要考查导数的几何意义,直接求函数的导数是解决本题的关键,比较基础.8.(5分)正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为( )A. B.16π C.9π D.【分析】正四棱锥P －ABCD 的外接球的球心在它的高PO 1上,记为O,求出PO 1,OO 1,解出球的半径,求出球的表面积.【解答】解：设球的半径为R,则 ∵棱锥的高为4,底面边长为2, ∴R 2＝(4－R)2＋()2,∴R ＝,∴球的表面积为4π•()2＝.故选：A.【点评】本题考查球的表面积,球的内接几何体问题,考查计算能力,是基础题.9.(5分)已知双曲线C 的离心率为2,焦点为F 1、F 2,点A 在C 上,若|F 1A|＝2|F 2A|,则cos ∠AF 2F 1＝( )A. B. C. D.【分析】根据双曲线的定义,以及余弦定理建立方程关系即可得到结论. 【解答】解：∵双曲线C的离心率为2,∴e＝,即c＝2a,点A在双曲线上,则|F1A|－|F2A|＝2a,又|F1A|＝2|F2A|,∴解得|F1A|＝4a,|F2A|＝2a,||F1F2|＝2c,则由余弦定理得cos∠AF2F1＝＝＝.故选：A.【点评】本题主要考查双曲线的定义和运算,利用离心率的定义和余弦定理是解决本题的关键,考查学生的计算能力.10.(5分)等比数列{an }中,a4＝2,a5＝5,则数列{lgan}的前8项和等于( )A.6B.5C.4D.3【分析】利用等比数列的性质可得a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5＝10.再利用对数的运算性质即可得出.【解答】解：∵数列{an }是等比数列,a4＝2,a5＝5,∴a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5＝10.∴lga1＋lga2＋…＋lga8＝lg(a1a2•…•a8)＝4lg10＝4.故选：C.【点评】本题考查了等比数列的性质、对数的运算性质,属于基础题.11.(5分)已知二面角α－l－β为60°,AB⊂α,AB⊥l,A为垂足,CD⊂β,C∈l,∠ACD＝135°,则异面直线AB与CD所成角的余弦值为( )A. B. C. D.【分析】首先作出二面角的平面角,然后再构造出异面直线AB与CD所成角,利用解直角三角形和余弦定理,求出问题的答案.【解答】解：如图,过A点做AE⊥l,使BE⊥β,垂足为E,过点A做AF∥CD,过点E做EF⊥AE,连接BF,∵AE⊥l∴∠EAC＝90°∵CD∥AF又∠ACD＝135°∴∠FAC＝45°∴∠EAF＝45°在Rt△BEA中,设AE＝a,则AB＝2a,BE＝a,在Rt△AEF中,则EF＝a,AF＝a,在Rt△BEF中,则BF＝2a,∴异面直线AB与CD所成的角即是∠BAF,∴cos∠BAF＝＝＝.故选：B.【点评】本题主要考查了二面角和异面直线所成的角,关键是构造二面角的平面角和异面直线所成的角,考查了学生的空间想象能力和作图能力,属于难题.12.(5分)函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象关于直线x＋y＝0对称,则y＝f(x)的反函数是( )A.y＝g(x)B.y＝g(－x)C.y＝－g(x)D.y＝－g(－x)【分析】设P(x,y)为y＝f(x)的反函数图象上的任意一点,则P关于y＝x的对称点P′(y,x)一点在y＝f(x)的图象上,P′(y,x)关于直线x＋y＝0的对称点P″(－x,－y)在y＝g(x)图象上,代入解析式变形可得.【解答】解：设P(x,y)为y＝f(x)的反函数图象上的任意一点,则P关于y＝x的对称点P′(y,x)一点在y＝f(x)的图象上,又∵函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象关于直线x＋y＝0对称,∴P′(y,x)关于直线x＋y＝0的对称点P″(－x,－y)在y＝g(x)图象上,∴必有－y＝g(－x),即y＝－g(－x)∴y＝f(x)的反函数为：y＝－g(－x)故选：D.【点评】本题考查反函数的性质和对称性,属中档题.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分)13.(5分)的展开式中x2y2的系数为70 .(用数字作答)【分析】先求出二项式展开式的通项公式,再令x、y的幂指数都等于2,求得r的值,即可求得展开式中x2y2的系数.【解答】解：的展开式的通项公式为 Tr＋1＝•(－1)r••＝•(－1)r••,令 8－＝－4＝2,求得 r＝4,故展开式中x2y2的系数为＝70,故答案为：70.【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项式系数的性质,二项式展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,属于中档题.14.(5分)设x、y满足约束条件,则z＝x＋4y的最大值为 5 .【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,由图得到最优解,联立方程组求出最优解的坐标,代入目标函数得答案.【解答】解：由约束条件作出可行域如图,联立,解得C(1,1).化目标函数z＝x＋4y为直线方程的斜截式,得.由图可知,当直线过C点时,直线在y轴上的截距最大,z最大.此时zmax＝1＋4×1＝5.故答案为：5.【点评】本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.15.(5分)直线l1和l2是圆x2＋y2＝2的两条切线,若l1与l2的交点为(1,3),则l1与l2的夹角的正切值等于.【分析】设l1与l2的夹角为2θ,由于l1与l2的交点A(1,3)在圆的外部,由直角三角形中的边角关系求得sinθ＝的值,可得cosθ、tanθ 的值,再根据tan2θ＝,计算求得结果.【解答】解：设l1与l2的夹角为2θ,由于l1与l2的交点A(1,3)在圆的外部,且点A与圆心O之间的距离为OA＝＝,圆的半径为r＝,∴sinθ＝＝,∴cosθ＝,tanθ＝＝,∴tan2θ＝＝＝,故答案为：.【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质,直角三角形中的变角关系,同角三角函数的基本关系、二倍角的正切公式的应用,属于中档题.16.(5分)若函数f(x)＝cos2x＋asinx在区间(,)是减函数,则a的取值范围是(－∞,2] .【分析】利用二倍角的余弦公式化为正弦,然后令t＝sinx换元,根据给出的x的范围求出t 的范围,结合二次函数的图象的开口方向及对称轴的位置列式求解a的范围.【解答】解：由f(x)＝cos2x＋asinx＝－2sin2x＋asinx＋1,令t＝sinx,则原函数化为y＝－2t2＋at＋1.∵x∈(,)时f(x)为减函数,则y＝－2t2＋at＋1在t∈(,1)上为减函数,∵y＝－2t2＋at＋1的图象开口向下,且对称轴方程为t＝.∴,解得：a≤2.∴a的取值范围是(－∞,2].故答案为：(－∞,2].【点评】本题考查复合函数的单调性,考查了换元法,关键是由换元后函数为减函数求得二次函数的对称轴的位置,是中档题.三、解答题17.(10分)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知3acosC＝2ccosA,tanA＝,求B.【分析】由3acosC＝2ccosA,利用正弦定理可得3sinAcosC＝2sinCcosA,再利用同角的三角函数基本关系式可得tanC,利用tanB＝tan[π－(A＋C)]＝－tan(A＋C)即可得出.【解答】解：∵3acosC＝2ccosA,由正弦定理可得3sinAcosC＝2sinCcosA,∴3tanA＝2tanC,∵tanA＝,∴2tanC＝3×＝1,解得tanC＝.∴tanB＝tan[π－(A＋C)]＝－tan(A＋C)＝－＝－＝－1,∵B∈(0,π),∴B＝【点评】本题考查了正弦定理、同角的三角函数基本关系式、两角和差的正切公式、诱导公式等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力,属于中档题.18.(12分)等差数列{an }的前n项和为Sn,已知a1＝13,a2为整数,且Sn≤S4.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn ＝,求数列{bn}的前n项和Tn.【分析】(1)通过Sn ≤S4得a4≥0,a5≤0,利用a1＝13、a2为整数可得d＝－4,进而可得结论；(2)通过an ＝13－3n,分离分母可得bn＝(－),并项相加即可.【解答】解：(1)在等差数列{an }中,由Sn≤S4得：a 4≥0,a5≤0,又∵a1＝13,∴,解得－≤d≤－,∵a2为整数,∴d＝－4,∴{an }的通项为：an＝17－4n；(2)∵an＝17－4n,∴bn＝＝＝－(－),于是Tn ＝b1＋b2＋……＋bn＝－[(－)＋(－)＋……＋(－)]＝－(－)＝.【点评】本题考查求数列的通项及求和,考查并项相加法,注意解题方法的积累,属于中档题.19.(12分)如图,三棱柱ABC－A1B1C1中,点A1在平面ABC内的射影D在AC上,∠ACB＝90°,BC＝1,AC＝CC1＝2.(Ⅰ)证明：AC1⊥A1B；(Ⅱ)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为,求二面角A1－AB－C的大小.【分析】(Ⅰ)由已知数据结合线面垂直的判定和性质可得；(Ⅱ)作辅助线可证∠A1FD为二面角A1－AB－C的平面角,解三角形由反三角函数可得.【解答】解：(Ⅰ)∵A1D⊥平面ABC,A1D⊂平面AA1C1C,∴平面AA1C1C⊥平面ABC,又BC⊥AC∴BC⊥平面AA1C1C,连结A1C,由侧面AA1C1C为菱形可得AC1⊥A1C,又AC1⊥BC,A1C∩BC＝C,∴AC1⊥平面A1BC,AB1⊂平面A1BC,∴AC1⊥A1B；(Ⅱ)∵BC⊥平面AA1C1C,BC⊂平面BCC1B1,∴平面AA1C1C⊥平面BCC1B1,作A1E⊥CC1,E为垂足,可得A1E⊥平面BCC1B1,又直线AA1∥平面BCC1B1,∴A1E为直线AA1与平面BCC1B1的距离,即A1E＝,∵A1C为∠ACC1的平分线,∴A1D＝A1E＝,作DF⊥AB,F为垂足,连结A1F,又可得AB⊥A1D,A1F∩A1D＝A1,∴AB⊥平面A1DF,∵A1F⊂平面A1DF∴A1F⊥AB,∴∠A1FD为二面角A1－AB－C的平面角,由AD＝＝1可知D为AC中点,∴DF＝＝,∴tan∠AFD＝＝,1－AB－C的大小为arctan∴二面角A1【点评】本题考查二面角的求解,作出并证明二面角的平面角是解决问题的关键,属中档题.20.(12分)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4,各人是否需使用设备相互独立.(Ⅰ)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(Ⅱ)X表示同一工作日需使用设备的人数,求X的数学期望.表示事件：同一工作日乙丙需要使用设备,i＝0,1,2,B表示事件：甲需要设备,C 【分析】记Ai表示事件,丁需要设备,D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备(Ⅰ)把4个人都需使用设备的概率、4个人中有3个人使用设备的概率相加,即得所求.,再利用数学期望公式计算即可.(Ⅱ)X的可能取值为0,1,2,3,4,分别求出PXi【解答】解：由题意可得“同一工作日至少3人需使用设备”的概率为0.6×0.5×0.5×0.4＋(1－0.6)×0.5×0.5×0.4＋0.6×(1－0.5)×0.5×0.4＋0.6×0.5×(1－0.5)×0.4＋0.6×0.5×0.5×(1－0.4)＝0.31.(Ⅱ)X的可能取值为0,1,2,3,4P(X＝0)＝(1－0.6)×0.52×(1－0.4)＝0.06P(X＝1)＝0.6×0.52×(1－0.4)＋(1－0.6)×0.52×0.4＋(1－0.6)×2×0.52×(1－0.4)＝0.25•B•C)＝0.52×0.6×0.4＝0.06,P(X＝4)＝P(A2P(X＝3)＝P(D)－P(X＝4)＝0.25,P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝3)－P(X＝4)＝1－0.06－0.25－0.25－0.06＝0.38. 故数学期望EX＝0×0.06＋1×0.25＋2×0.38＋3×0.25＋4×0.06＝2【点评】本题主要考查了独立事件的概率和数学期望,关键是找到独立的事件,计算要有耐心,属于难题.21.(12分)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F,直线y＝4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|＝|PQ|.(Ⅰ)求C的方程；(Ⅱ)过F的直线l与C相交于A、B两点,若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点,且A、M、B、N四点在同一圆上,求l的方程.【分析】(Ⅰ)设点Q的坐标为(x0,4),把点Q的坐标代入抛物线C的方程,求得x＝,根据|QF|＝|PQ|求得 p的值,可得C的方程.(Ⅱ)设l的方程为 x＝my＋1 (m≠0),代入抛物线方程化简,利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长|AB|.把直线l′的方程代入抛物线方程化简,利用韦达定理、弦长公式求得|MN|.由于MN垂直平分线段AB,故AMBN四点共圆等价于|AE|＝|BE|＝|MN|,由此求得m的值,可得直线l的方程.【解答】解：(Ⅰ)设点Q的坐标为(x,4),把点Q的坐标代入抛物线C：y2＝2px(p＞0),可得x＝,∵点P(0,4),∴|PQ|＝.又|QF|＝x＋＝＋,|QF|＝|PQ|,∴＋＝×,求得 p＝2,或 p＝－2(舍去).故C的方程为 y2＝4x.(Ⅱ)由题意可得,直线l和坐标轴不垂直,y2＝4x的焦点F(1,0),设l的方程为 x＝my＋1(m≠0),代入抛物线方程可得y2－4my－4＝0,显然判别式△＝16m2＋16＞0,y1＋y2＝4m,y1•y2＝－4.∴AB的中点坐标为D(2m2＋1,2m),弦长|AB|＝|y1－y2|＝＝4(m2＋1).又直线l′的斜率为－m,∴直线l′的方程为 x＝－y＋2m2＋3.过F的直线l与C相交于A、B两点,若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点,把线l′的方程代入抛物线方程可得 y2＋y－4(2m2＋3)＝0,∴y3＋y4＝,y3•y4＝－4(2m2＋3).故线段MN的中点E的坐标为(＋2m2＋3,),∴|MN|＝|y3－y4|＝,∵MN垂直平分线段AB,故AMBN四点共圆等价于|AE|＝|BE|＝|MN|,∴＋DE2＝MN2,∴4(m2＋1)2 ＋＋＝×,化简可得 m2－1＝0,∴m＝±1,∴直线l的方程为 x－y－1＝0,或 x＋y－1＝0.【点评】本题主要考查求抛物线的标准方程,直线和圆锥曲线的位置关系的应用,韦达定理、弦长公式的应用,体现了转化的数学思想,属于难题.22.(12分)函数f(x)＝ln(x＋1)－(a＞1).(Ⅰ)讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)设a1＝1,an＋1＝ln(an＋1),证明：＜an≤(n∈N*).【分析】(Ⅰ)求函数的导数,通过讨论a的取值范围,即可得到f(x)的单调性；(Ⅱ)利用数学归纳法即可证明不等式.【解答】解：(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(－1,＋∞),f′(x)＝,①当1＜a＜2时,若x∈(－1,a2－2a),则f′(x)＞0,此时函数f(x)在(－1,a2－2a)上是增函数,若x∈(a2－2a,0),则f′(x)＜0,此时函数f(x)在(a2－2a,0)上是减函数,若x∈(0,＋∞),则f′(x)＞0,此时函数f(x)在(0,＋∞)上是增函数.②当a＝2时,f′(x)≥0,此时函数f(x)在(－1,＋∞)上是增函数,③当a＞2时,若x∈(－1,0),则f′(x)＞0,此时函数f(x)在(－1,0)上是增函数,若x∈(0,a2－2a),则f′(x)＜0,此时函数f(x)在(0,a2－2a)上是减函数,若x∈(a2－2a,＋∞),则f′(x)＞0,此时函数f(x)在(a2－2a,＋∞)上是增函数.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当a＝2时,此时函数f(x)在(－1,＋∞)上是增函数,当x∈(0,＋∞)时,f(x)＞f(0)＝0,即ln(x＋1)＞,(x＞0),又由(Ⅰ)知,当a＝3时,f(x)在(0,3)上是减函数,当x∈(0,3)时,f(x)＜f(0)＝0,ln(x＋1)＜,下面用数学归纳法进行证明＜an≤成立,①当n＝1时,由已知,故结论成立.②假设当n＝k时结论成立,即,则当n＝k＋1时,an＋1＝ln(an＋1)＞ln(),ak＋1＝ln(ak＋1)＜ln(),即当n＝k＋1时,成立,综上由①②可知,对任何n∈N•结论都成立.【点评】本题主要考查函数单调性和导数之间的关系,以及利用数学归纳法证明不等式,综合性较强,难度较大.。
【A 级】 基础训练1．(2014·孝感模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，过点P (n ，S n )和Q (n ＋1，S n＋1)(n ∈N ＋)的直线的斜率为3n －2，则a 2＋a 4＋a 5＋a 9的值等于( )A ．52B ．40C ．26D ．20解析：由题意，知S n ＋1－S n (n ＋1)－n＝3n －2，∴S n ＋1－S n ＝3n －2，即a n ＋1＝3n －2.∴a n ＝3n －5. 因此数列{a n }是等差数列，a 5＝10. ∴a 2＋a 4＋a 5＋a 9＝2(a 3＋a 7)＝4a 5＝40. 答案：B2．(2014·重庆模拟)数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 2，则a n ＝( ) A.13·2n －1 B ．12·3n －1C.12nD ．n 3n解析：令n ＝1，得a 1＝12，排除A 、D ；再令n ＝2，得a 2＝16，排除C ，故选B.答案：B3．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ，则a n ＝( ) A ．2＋ln n B ．2＋(n －1)ln n C ．2＋n ln nD ．1＋n ＋ln n解析：a 2＝a 1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋11，a 3＝a 2＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12，…，a n ＝a n －1＋ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n －1 ⇒a n ＝a 1＋ln ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21⎝ ⎛⎭⎪⎫32⎝ ⎛⎭⎪⎫43…⎝ ⎛⎭⎪⎫n n －1＝2＋ln n . 答案：A4．已知数列{a n }中，a 1＝2，点(a n －1，a n )(n >1且n ∈N ＋)满足y ＝2x －1，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝________.解析：a n ＝2a n －1－1⇒a n －1＝2(a n －1－1)， ∴{a n －1}是等比数列，则a n ＝2n －1＋1. ∴a 1＋a 2＋…＋a 10＝10＋(20＋21＋22＋…＋29) ＝10＋1－2101－2＝1 033.答案：1 0335．设关于x 的不等式x 2－x <2nx (n ∈N ＋)的解集中整数的个数为a n ，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 100的值为________．解析：由x 2－x <2nx (n ∈N ＋)，得0<x <2n ＋1，因此a n ＝2n ，所以数列{a n }是一个等差数列，所以S 100＝100×(2＋200)2＝10 100.答案：10 1006．(2014·南宁模拟)某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员，第一名得全部资金的一半多一万元，第二名得余下的一半多一万元，以名次类推都得到余下的一半多一万元，到第十名恰好分完，则此单位共拿出________万元资金进行奖励． 解析：设第十名到第一名得到的资金分别是a 1，a 2，…，a 10，则a n ＝12S n ＋1， ∴a 1＝2，又a n －1＝12S n －1＋1(n ≥2)， 故a n －a n －1＝12a n .∴a n ＝2a n －1则每人所得资金数组成一个以2为首项，公比为2的等比数列，所以S 10＝2(1－210)1－2＝2 046.答案： 2 0467．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ，数列{b n }是各项为正的等比数列，满足a 1＝－b 1，b 3(a 2－a 1)＝b 1. (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)记c n ＝a n ·b n ，求c n 的最大值． 解：(1)∵a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1，S n －S n －1， n ≥2，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1， n ＝1，4n －5， n ≥2，即a n ＝4n －5(n ∈N ＋)． 故b 1＝1，b 1q 2(a 2－a 1)＝b 1， ∴q 2＝14，∵b n >0，∴q ＝12， ∴b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1(n ∈N ＋)．(2)由(1)可知，c n ＝(4n －5)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，则由⎩⎪⎨⎪⎧c n ≥c n －1c n ≥c n ＋1可得94≤n ≤134，又n ∈N ＋，故n ＝3.即c 3最大，故c n 的最大值为74.8．(2014·武汉模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧12a n ＋n (n 为奇数，n ∈N ＋)a n －2n (n 为偶数，n ∈N ＋).(1)求a 2，a 3；(2)设b n ＝a 2n －2，n ∈N ＋，求证：数列{b n }是等比数列，并求其通项公式； (3)已知c n ＝log 12|b n |，求证：1c 1c 2＋1c 2c 3＋…＋1c n －1c n <1.解：(1)由数列{a n }的递推关系易知： a 2＝32，a 3＝－52.(2)证明：b n ＋1＝a 2n ＋2－2＝12a 2n ＋1＋(2n ＋1)－2 ＝12a 2n ＋1＋(2n －1)＝12(a 2n －4n )＋(2n －1) ＝12a 2n －1＝12(a 2n －2)＝12b n .又b 1＝a 2－2＝－12，∴b n ≠0，∴b n ＋1b n＝12，即数列{b n }是公比为12，首项为－12的等比数列， b n ＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n .(3)证明：由(2)有c n ＝log 12|b n |＝log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝n .∵1(n －1)n ＝1n －1－1n (n ≥2)． ∴1c 1c 2＋1c 2c 3＋…＋1c n －1c n＝11×2＋12×3＋…＋1(n －1)n＝1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＝1－1n <1.【B 级】 能力提升1．(2014·淮安模拟)已知a n ＝sin n π6＋162＋sin n π6(n ∈N ＋)，则数列{a n }的最小值为( ) A ．6 B ．7 C ．8D ．193解析：令t ＝2＋sin n π6(1≤t ≤3)，则a n ＝f (t )＝t ＋16t －2，f ′(t )＝1－16t 2<0，∴f (t )在其定义域上单调递减，∴当t ＝3，即sin n π6＝1时，a n 取得最小值193，故选D. 答案：D2．(2014·赣州模拟)已知函数f (n )＝⎩⎨⎧n 2 当n 为奇数时－n 2 当n 为偶数时，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100等于( ) A ．0 B ．100 C ．－100D ．10 200解析：∵a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝[f (1)＋f (2)]＋[f (2)＋f (3)]＋[f (3)＋f (4)]＋…＋[f (100)＋f (101)]＝[(32－22)＋(52－42)＋(72－62)＋…＋(1012－1002)]＋[(12－22)＋(32－42)＋(52－62)＋…＋(992－1002)]＝(5＋9＋13＋…＋201)－(3＋7＋11＋…＋199)＝100. 答案：B3．据科学计算，运载“神七”的“长征”二号系列火箭在点火后第一秒钟通过的路程为2 km ，以后每秒钟通过的路程增加2 km ，在到达离地面240 km 的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间为( ) A ．10秒钟 B ．13秒钟 C ．15秒钟D ．20秒钟解析：设每一秒钟通过的路程依次为a 1，a 2，a 3，…，a n ，则数列{a n }是首项a 1＝2，公差d ＝2的等差数列，由求和公式有na 1＋n (n －1)d 2＝240，即2n ＋n (n －1)＝240，解得n ＝15. 答案：C4．(2013·高考湖北卷)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式： 三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ， 正方形数 N (n,4)＝n 2， 五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n ， 六边形数 N (n,6)＝2n 2－n ， ……可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝________.解析：由N (n,4)＝n 2，N (n,6)＝2n 2－n ，…，可以推测：当k 为偶数时，N (n ，k )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2－1n 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2－2n ，于是N (n ，24)＝11n 2－10n ，故N (10,24)＝11×102－10×10＝1 000. 答案：1 0005．(2014·泉州模拟)设{a n }是等比数列，公比q ＝2，S n 为{a n }的前n 项和．记T n ＝17S n －S 2n a n ＋1，n ∈N ＋.设Tn 0为数列{T n }的最大项，则n 0＝________.解析：根据等比数列的前n 项和公式S n ＝a 1(1－q n )1－q，则T n ＝17×a 1(1－q n )1－q －a 1(1－q 2n )1－q a 1q n ＝q 2n －17q n ＋16(1－q )q n ＝11－q ⎝ ⎛⎭⎪⎫q n ＋16q n －17，令q n＝(2)n ＝t ，则函数g (t )＝t ＋16t ，当t ＝4时函数g (t )取得最小值，此时n ＝4，而11－q ＝11－2<0，故此时T n 最大，所以n 0＝4. 答案：46．两个相距2343364厘米的物体相向运动，甲第一秒经过3厘米，以后每秒比前一秒多行4厘米．乙第一秒经过2厘米，以后每秒行的路程是前一秒的32倍，则经过________秒两物体相遇．解析：第n 秒甲、乙两物体各行a n ，b n 厘米， a n ＝4n －1，b n ＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1(n ∈N ＋)． {a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋n ， {b n }的前n 项和为T n ＝4·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n－4. 由题意知：2343364＝S n ＋T n ⇒n ＝8. 答案：87．(创新题)某商店投入38万元经销某种纪念品，经销时间共60天，为了获得更多的利润，商店将每天获得的利润投入到次日的经营中，市场调研表明，该商店在经销这一产品期间第n 天的利润a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， 1≤n ≤25125n ， 26≤n ≤60(单位：万元，n∈N ＋)，记第n 天的利润率b n ＝第n 天的利润前n 天投入的资金总和，例如b 3＝a 338＋a 1＋a 2.(1)求b 1，b 2的值； (2)求第n 天的利润率b n ；(3)该商店在经销此纪念品期间，哪一天的利润率最大？并求该天的利润率． 解：(1)当n ＝1时，b 1＝138；当n ＝2时，b 2＝139. (2)当1≤n ≤25时，a 1＝a 2＝…＝a n －1＝a n ＝1. ∴b n ＝a n 38＋a 1＋a 2＋…＋a n －1＝138＋n －1＝137＋n.当26≤n ≤60时，b n ＝a n38＋a 1＋…＋a 25＋a 26＋…＋a n －1＝n 2563＋(n －26)(n ＋25)50＝2nn 2－n ＋2 500，∴第n 天的利润率b n＝⎩⎨⎧137＋n， 1≤n ≤252nn 2－n ＋2 500， 26≤n ≤60(n ∈N ＋)．(3)当1≤n ≤25时，b n ＝137＋n 是递减数列，此时b n 的最大值为b 1＝138；当26≤n ≤60时，b n ＝2nn 2－n ＋2 500＝2n ＋2 500n －1≤22 2 500－1＝299⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当n ＝2 500n ，即n ＝50时，“＝”成立. 又∵138>299，∴n ＝1时，(b n )max ＝138.∴该商店经销此纪念品期间，第1天的利润率最大，且该天的利润率为138.。
