2012年高考数学复习检测题：随机事件的概率

2012届高考数学一轮精品：25.1随机变量及其概率分布（练习题A 、B 卷）（答案+解析）25.1随机变量及其概率分布A 组1．有3张奖券，其中2张可中奖，现3个人按顺序依次从中抽一张，小明最后抽，则他抽到中奖券的概率是 （）A 、13B 、16C 、23D 、12答案：C 。

解析：抽签不分先后。

3张奖券的排布情况为：（中，中，不中），（中，不中，中），（不中，中，中）。

2．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述一次该项试验的成功次数，则)0(=ξP 等于 （ ） A ．0 B ．31 C ．21 D ．32答案：B 。

解析：1-)0(=ξP =2)0(=ξP ，即)0(=ξP =31。

3．盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，则抽出1个白球和2个红球的概率是 （ ）A 、4237 B 、4217 C 、2110 D 、2117 答案：C 。

解析：1245391021C C P C ==。

也可设抽到白球数为X ，则X —H （3，4，9），10(1)21P X ==。

4．某商场举行抽奖活动，从装有编号为0,1，2，3四个小球的抽奖箱中同时抽出两个小球，两个小球号码相加之和等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖.则中三等奖的概率为 ；中奖的概率为 。

答案：32;31。

解析：两个小球号码相加之和等于3中三等奖，两个小球号码相加之和不小于3中奖，设“中三等奖”的事件为A ，“中奖”的事件为B,从四个小球任选两个共有(0,1),(0,2),(0,3),(1,2),(1,3),(2,3)六种不同的方法.两个小球号码相加之和等于3的取法有2种：)3,0(、)2,1(， 故3162)(==A P . 两个小球号码相加之和等于1的取法有1种：(0,1)；两个小球号码相加之和等于2的取法有1种：)2,0(；故32621)(=-=B P . 5．小明、小华用4张扑克牌（分别是黑桃2、黑桃4，黑桃5、梅花5）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，小明先抽，小华后抽，抽出的牌不放回，各抽一张。

高考数学复习好题精选 随机事件的概率1.下列事件中，随机事件的个数为 ( )①物体在只受重力的作用下会自由下落；②方程x 2＋2x ＋8＝0有两个实根；③某信息台每天的某段时间收到信息咨询的请求次数超过10次；④下周六会下雨．A ．1B ．2C ．3D ．4解析：①是必然事件；②是不可能事件；③、④是随机事件．答案：B2．掷一枚均匀的硬币两次，事件M ：一次正面朝上，一次反面朝上；事件N ：至少一次正面朝上，则下列结果正确的是( )A ．P (M )＝13，P (N )＝12B ．P (M )＝12，P (N )＝12C ．P (M )＝13，P (N )＝34D ．P (M )＝12，P (N )＝34解析：I ＝{(正，正)、(正，反)、(反，正)、(反，反)}，M ＝{(正，反)、(反，正)}，N＝{(正，正)、(正，反)、(反，正)}，故P (M )＝12，P (N )＝34. 答案：D3.，则甲、乙二人下成和棋的概率为 ( )A ．60%B ．30%C ．10%D ．50%解析：甲不输即为甲获胜或甲、乙二人下成和棋，90%＝40%＋P ，∴P ＝50%.答案：D4．(2010·汕头模拟)某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽验一只是正品(甲级)的概率为( )A ．0.95B ．0.97C ．0.92D ．0.08 解析：记抽验的产品是甲级品为事件A ，是乙级品为事件B ，是丙级品为事件C ，这三个事件彼此互斥，因而抽验产品是正品(甲级)的概率为P (A )＝1－P (B )－P (C )＝1－5%－3%＝92%＝0.92.答案：C5．(2009·江西高考)为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该食品5袋，能获奖的概率为( )A.3181 B.3381 C.4881D.5081解析：获奖可能情况分两类：①12311；12322；12333；②12312；12313；12323. ①P 1＝55335A 3A 3，②P 2＝5522225A 3A A 3， ∴P ＝P 1＋P 2＝553223225113A ()A A A 3 ＝5081. 答案：D 6．某家庭电话，打进的电话响第一声时被接的概率为110，响第二声时被接的概率为310，响第三声时被接的概率为25，响第四声时被接的概率为110，则电话在响前四声内被接的概率为__________．解析：设响n 声时被接的概率为P n ，则P 1＝110，P 2＝310，P 3＝25，P 4＝110.故前四声内被接的概率为P 1＋P 2＋P 3＋P 4＝910. 答案：9107.(2010·徐州模拟)A 和B 中随机取一个数a 和b ，确定平面上的一个点P (a ，b )，记“点P (a ，b )落在直线x ＋y ＝n 上”为事件C n (2≤n ≤5，n ∈N)，若事件C n 的概率最大，则n 的所有可能值为 ( )A ．3B ．4C ．2和5D ．3和4解析：事件C n 的总事件数为6.只要求出当n ＝2,3,4,5时的基本事件个数即可． 当n ＝2时，落在直线x ＋y ＝2上的点为(1,1)；当n ＝3时，落在直线x ＋y ＝3上的点为(1,2)，(2,1)；当n ＝4时，落在直线x ＋y ＝4上的点为(1,3)，(2,2)；当n ＝5时，落在直线x ＋y ＝5上的点为(2,3)；显然当n ＝3,4时，事件C n 的概率最大为13. 答案：D8．(2009·上海高考)若某学校要从5名男生和2名女生中选出3人作为上海世博会志愿者，则选出的志愿者中男女生均不少于1名的概率是________．(结果用最简分数表示)解析：分两类：1男2女或2男1女， 故所求概率为1221525237C C +C C C ＝57. 答案：579．在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较．在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂．现有芳香度分别为0,1,2,3,4,5的六种添加剂可供选用．根据试验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验．(1)求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4的概率；(2)求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3的概率．解：设“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4”的事件为A ，“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3”的事件为B .从六种中随机选两种共有(0,1)、(0,2)、(0,3)、(0,4)、(0,5)、(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(2,3)、(2,4)、(2,5)、(3,4)、(3,5)、(4,5)15种．(1)“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4”的取法有2种：(0,4)、(1,3)，故P (A )＝215.(2)“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于1”的取法有1种：(0,1)；“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于2”的取法有1种：(0,2)，故P(B)＝1－(115＋115)＝1315.10．(2009·陕西高考)据统计，某食品企业在一个月内被消费者投诉次数为0,1,2的概率分别为0.4,0.5,0.1.(1)求该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率；(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．解：法一：(1)设事件A表示“一个月内被投诉的次数为0”，事件B表示“一个月内被投诉的次数为1”，∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.4＋0.5＝0.9.(2)设事件A i表示“第i个月被投诉的次数为0”，事件B i表示“第i个月被投诉的次数为1”，事件C i表示“第i个月被投诉的次数为2”，事件D表示“两个月内共被投诉2次”．∴P(A i)＝0.4，P(B i)＝0.5，P(C i)＝0.1(i＝1,2)．∵两个月中，一个月被投诉2次，另一个月被投诉0次的概率为P(A1C2＋A2C1)，一、二月份均被投诉1次的概率为P(B1B2)，∴P(D)＝P(A1C2＋A2C1)＋P(B1B2)＝P(A1C2)＋P(A2C1)＋P(B1B2)，由事件的独立性得P(D)＝0.4×0.1＋0.1×0.4＋0.5×0.5＝0.33.法二：(1)设事件A表示“一个月内被投诉2次”，事件B表示“一个月内被投诉的次数不超过1次”．∵P(A)＝0.1，∴P(B)＝1－P(A)＝1－0.1＝0.9.(2)同法一．。

2012年高考真题理科数学解析汇编：概率参考答案一、选择题错误！未找到引用源。

【答案】C【解析】设线段AC 的长为x cm,则线段CB 的长为(12x -)cm,那么矩形的面积为(12)x x -cm 2,由(12)32x x -<,解得48x x <>或.又012x <<,所以该矩形面积小于32cm 2的概率为23,故选C 【点评】本题主要考查函数模型的应用、不等式的解法、几何概型的计算,以及分析问题的能力,属于中档题. 错误！未找到引用源。

考点分析:本题考察几何概型及平面图形面积求法.解析:令1=OA ,扇形OAB 为对称图形,ACBD 围成面积为1S ,围成OC 为2S ,作对称轴OD ,则过C 点.2S 即为以OA 为直径的半圆面积减去三角形OAC 的面积,82212121212122-=⨯⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛=ππS .在扇形OAD 中21S 为扇形面积减去三角形OAC 面积和22S ,()1622811812221-=--=ππS S ,4221-=+πS S ,扇形OAB 面积π41=S ,选A. 错误！未找到引用源。

解析:D.两位数共有90个,其中个位数与十位数之和为奇数的两位数有45个,个位数为0的有5个,所以概率为51459=. 错误！未找到引用源。

【答案】D【解析】题目中0202x y ≤≤⎧⎪⎨≤≤⎪⎩表示的区域表示正方形区域,而动点D 可以存在的位置为正方形面积减去四分之一的圆的面积部分,因此2122244224p ππ⨯-⨯-==⨯,故选D 【考点定位】 本小题是一道综合题,它涉及到的知识包括:线性规划,圆的概念和面积公式、概率.错误！未找到引用源。

[解析])(2.0543211x x x x x E ++++=ξ=t ,2221(2.0x x E +=ξ+232x x ++243x x ++254x x ++215x x +)=t , 211)[(2.0t x D -=ξ+22)(t x -+23)(t x -+24)(t x -+25)(t x -]]5)(2)[(2.02543212524232221t t x x x x x x x x x x +++++-++++=;记1221x x x '=+,2232x x x '=+,,5215x x x '=+,同理得 2ξD ]5)(2)[(2.02543212524232221t t x x x x x x x x x x +'+'+'+'+'-'+'+'+'+'=, 只要比较2524232221x x x x x '+'+'+'+'与2524232221x x x x x ++++有大小, ])()()[(221232221412524232221x x x x x x x x x x x ++++++='+'+'+'+' )]22222()(2[1554433221252423222141x x x x x x x x x x x x x x x +++++++++= )]()()()()()(2[21252524242323222221252423222141x x x x x x x x x x x x x x x ++++++++++++++< 2524232221x x x x x ++++=,所以12ξξD D <,选A. [评注] 本题的数据范围够阴的,似乎为了与选项D 匹配,若为此范围面困惑,那就中了阴招!稍加计算,考生会发第8题图现1ξE 和2ξE 相等,其中的智者,更会发现第二组数据是第一组数据的两两平均值,故比第一组更“集中”、更“稳定”,根据方差的涵义,立得1ξD >2ξD 而迅即攻下此题.二、填空题错误！未找到引用源。

2012年高考文科数学真题汇编之10概 率一、单项选择题1.【2012高考湖北文10】如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆。

在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是A.B.. C.D.10. 【答案】C【解析】如图，不妨设扇形的半径为2a,如图,记两块白色区域的面积分别为S 1,S 2,两块阴影部分的面积分别为S 3,S 4， 则S 1+S 2+S 3+S 4=S 扇形OAB =221(2)4a a ππ=①, 而S 1+S 3 与S 2+S 3的和恰好为一个半径为a 的圆，即S 1+S 3 +S 2+S 32a π=②. ①-②得S 3=S 4,由图可知S 3=221()2OEDC EOD S S S a a π+-=-正方形扇形扇形COD ,所以. 222S a a π=-阴影. 由几何概型概率公式可得，此点取自阴影部分的概率 P=222221OABS a a S a πππ-==-阴影扇形. 【点评】本题考查古典概型的应用以及观察推理的能力.本题难在如何求解阴影部分的面积，即如何巧妙地将不规则图形的面积化为规则图形的面积来求解.来年需注意几何概型在实际生活中的应用.2.【2012高考辽宁文11】在长为12cm 的线段AB 上任取一点C. 现作一矩形，邻边长分别等于线段AC,CB 的长，则该矩形面积大于20cm 2的概率为 :(A)16 (B) 13 (C) 23 (D) 45【答案】C【解析】设线段AC 的长为x cm ，则线段CB 的长为(12x -)cm,那么矩形的面积为(12)x x -cm 2，由(12)20x x ->，解得210x <<。

又012x <<，所以该矩形面积小于32cm 2的概率为23，故选C 【点评】本题主要考查函数模型的应用、不等式的解法、几何概型的计算，以及分析问题的能力，属于中档题。

考点49 随机事件的概率、古典概型、几何概型一、选择题1.（2012·湖北高考理科·Ｔ8）如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆。

在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）(A)21-π(B)112-π(C)2π(D)1π【解题指南】本题考查几何概型，解答本题的关键是充分利用图形的特征，求出阴影部分的面积，再代入概率公式求解.【解析】选A. 设OA=2, 则扇形OAB 的面积为π.阴影部分的面积为:1111()2[()2]24242πππππ-⨯+---⨯=-,由P 2p ππ-=可知结果. 2.（2012·湖北高考文科·Ｔ10）如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆。

在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）(A)112-π (B)1π （C ）21-π （D ）2π【解题指南】本题考查几何概型，解答本题的关键是充分利用图形的特征，求出阴影部分的面积，再代入概率公式求解.【解析】选C. 设OA=2, 则扇形OAB 面积为π.阴影部分的面积为:1111()2[()2]24242πππππ-⨯+---⨯=-,由P 2p ππ-=可知结果.3.（2012·北京高考文科·Ｔ3）与（2012·北京高考理科·Ｔ2）相同设不等式组表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ）（A ）4π （B ）22π- （C ）6π（D ）44π-【解题指南】分别求出平面区域D 及到原点距离大于2的点所对应区域的面积，作比即可求出概率.【解析】选D.平面区域D 的面积为4，到原点距离大于2的点位于图中阴影部分（不含圆弧边界），其面积为4-π，所以所求概率为44π-.4.（2012·辽宁高考文科·Ｔ11）在长为12cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC,CB 的长，则该矩形面积大于20cm 2的概率为( )(A)16 (B)13 (C)23 (D)45【解题指南】设其中一段长为x cm ，则另一段长为(12)x -cm ，其中012x <≤， 利用(12)20x x ->求得x 的取值范围，利用几何概型求得概率.【解析】选C. 设其中一段AC 长为x cm ，则另一段BC 长为(12)x -cm ，其中012x <≤O 2由题意(12)20210x x x ->⇒<<，则点C 的取值长度为8cm ，故概率为82123=. 5.（2012·辽宁高考理科·Ｔ10）在长为12cm 的线段AB 上任取一点C.现作一矩形，领边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32cm 2的概率为（ ）(A) 16 (B) 13 (C) 23 (D) 45【解题指南】设其中一段长为x cm ，则另一段长为(12)x -cm ，其中012x <≤， 利用(12)32x x -<求得x 的取值范围，利用几何概型求得概率.【解析】选C. 设其中一段AC 长为x cm ，则另一段BC 长为(12)x -cm ，其中012x <≤，由题意(12)3204812x x x x -<⇒<<<≤或，则点C 的取值长度为4+4=8cm ，故概率为82123=. 6.（2012·安徽高考文科·Ｔ10）袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于( )（A ）15 （B ）25 （C ）35 （D ）45【解题指南】先将所有结果一一列出，再根据古典概型即可求出两球颜色为一白一黑的概率.【解析】选B .1个红球，2个白球和3个黑球分别记为112123,,,,,a b b c c c ， 从袋中任取两球有,共15种；满足两球颜色为一白一黑的有6种，概率等于62155=.二、填空题7. （2012·江苏高考·Ｔ6）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，-3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 .【解题指南】从等比数列的通项公式和等可能事件的概率两方面处理.【解析】这十个数是234567891,3,(3),(3),(3),(3),(3),(3),(3),(3)---------，所以它小于8的概率等于63105=. 【答案】358.（2012·浙江高考文科·Ｔ12）从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取两点，则该两点间的距离为2的概率是___________. 【解题指南】古典概型问题,该两点间的距离为2的事件可列举得出. 【解析】若使两点间的距离为，则为对角线一半，选择点必含中心，概率为142542105C C ==.【答案】259.（2012·新课标全国高考理科·T15）某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N （1 000，250），且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为【解题指南】由正态分布的意义求得三个元件使用寿命超过1 000小时的概率，然后将部件的使用寿命超过1 000小时的可能情况列出，利用相互独立事件的概率公式求解.【解析】设元件1,2,3的使用寿命超过1 000小时的事件分别记为A，B，C，显然()()()12P A P B P C===，∴该部件的使用寿命超过1000小时的事件为()AB AB AB C++，∴该部件的使用寿命超过1000小时的概率为1111111322222228p⎛⎫=⨯+⨯+⨯⨯=⎪⎝⎭.【答案】3 8三、解答题10.（2012·江西高考文科·Ｔ18）如图所示，从A1（1,0,0），A2（2,0,0），B1（0,1,0,），B2（0,2,0），C1（0,0,1），C2（0,0,2）这6个点中随机选取3个点.（1）求这3点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的概率.（2）求这3点与原点O共面的概率.【解题指南】把从6个点中取3个点的情况全部列举出来，然后找出（1）（2）情况中所包含的基本事件的个数，把比值求出来得所求概率.【解析】从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果是：x 轴上取2个点的有121122121122,,,A A B A A B A A C A A C ，共4种；y 轴上取2个点的有121B B A ，122B B A ，121B B C ，122B B C ，共4种；z 轴上取2个点的有121C C A ，122C C A ，121C C B ，122C C B ，共4种；所选取的3个点在不同坐标轴上的有111112121122,,,A B C A B C A B C A B C ，211212,A B C A B C ，221A B C 222A B C ，共8种.因此，从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果共20种.（1）选取的这3个点与原点O 恰好是正三棱锥的四个顶点的所有可能结果有：111222,A B C A B C ，共2种，因此，这3个点与原点O 恰好是正三棱锥的四个顶点的概率为P 11212010p ==.（2）选取的这3个点与原点O 共面的所有可能结果有：121122121122121122,,,,,A A B A A B A A C A A C B B A B B A ，121122121122121122,,,,,B B C B B C C C A C C A C C B C C B ，共12种，因此，这3个点与原点O 共面的概率为P 22123205p ==.11.（2012·山东高考文科·Ｔ18）袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2.(Ⅰ)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.(Ⅱ)现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.【解题指南】（I ）本题考查古典概型，要将基本事件都列出，然后找两张卡片颜色不同且标号之和小于4所含的基本事件的个数，由古典概型概率公式求得结果.（II ）再放入一张标号为0的绿色卡片，列出基本事件，然后找出这两张卡片颜色不同且标号之和小于4所含的基本事件的个数，由古典概型概率公式求得结果.【解析】(I)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种：红1红2， 红1红3，红1蓝1，红1蓝2，红2红3，红2蓝1，红2蓝2，红3蓝1， 红3蓝2，蓝1蓝2.其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况，故所求的概率为310P =.(II)加入一张标号为0的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，除上面的10种情况外，多出5种情况：红1绿0，红2绿0，红3绿0，蓝1绿0，蓝2绿0，即共有15种情况，其中颜色不同且标号之和小于4的有8种情况，所以概率为815P =.12.（2012·天津高考文科·Ｔ15）某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查. （I ）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目.（II ）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析， （1）列出所有可能的抽取结果； （2）求抽取的2所学校均为小学的概率.【解题指南】按抽取的比例计算抽取的学校数目；用列举法、古典概率公式计算概率.【解析】（I ）从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.（II ）（1）在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为123,,A A A ，2所中学分别记为45,A A ，1所大学记为6A ，则抽取2所学校的所有可能结果为1213141516{,},{,},{,},{,},{,},A A A A A A A A A A 23242526{,},{,},{,},{,}A A A A A A A A ，343536{,},{,},{,}A A A A A A ，4546{,},{,}A A A A ，56{,}A A ，共15种.（2）从这6所学校中抽取的2所学校均为小学（记为事件B ）的所有可能结果为121323{,},{,},{,}A A A A A A ，共3种，所以31()155P B ==. 13. （2012·新课标全国高考文科·Ｔ18）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售。

K 概率K1 随事件的概率12．K1[2012·某某卷] 从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机(等可能)取两点，则该两点间的距离为22的概率是________． 12.25[解析] 从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机选取两点，共有10种取法，该两点间的距离为22的有4种，所求事件的概率为 P ＝410＝25.K2 古典概型15．K2[2012·某某卷] 某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率为________(用数字作答)．15.15[解析] 6节课共有A 66＝720种排法，相邻两节文化课间至少间隔1节艺术课排法有A 33A 34＝144种排法，所以相邻两节文化课间至少间隔1节艺术课的概率为144720＝15. 18．K2[2012·某某卷] 如图1－6，从A 1(1,0,0)，A 2(2,0,0)，B 1(0,1,0)，B 2(0,2,0)，C 1(0,0,1)，C 2(0，0,2)这6个点中随机选取3个点．(1)求这3点与原点O 恰好是正三棱锥的四个顶点的概率；(2)求这3点与原点O 共面的概率．18．解：从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果是：x 轴上取2个点的有A 1A 2B 1，A 1A 2B 2，A 1A 2C 1，A 1A 2C 2，共4种；y 轴上取2个点的有B 1B 2A 1，B 1B 2A 2，B 1B 2C 1，B 1B 2C 2，共4种；z 轴上取2个点的有C 1C 2A 1，C 1C 2A 2，C 1C 2B 1，C 1C 2B 2，共4种；所选取的3个点在不同坐标轴上有A 1B 1C 1，A 1B 1C 2，A 1B 2C 1，A 1B 2C 2，A 2B 1C 1，A 2B 1C 2，A 2B 2C 1，A 2B 2C 2，共8种．因此，从这个6个点中随机选取3个点的所有可能结果共20种．(1)选取的这3个点与原点O 恰好是正三棱锥的四个顶点的所有可能结果有：A 1B 1C 1，A 2B 2C 2，共2种，因此，这3个点与原点O 恰好是正三棱锥的四个顶点的概率为P ＝220＝110. (2)选取的这3个点与原点O 共面的所有可能结果有：A 1A 2B 1，A 1A 2B 2，A 1A 2C 1，A 1A 2C 2，B 1B 2A 1，B 1B 2A 2，B 1B 2C 1，B 1B 2C 2，C 1C 2A 1，C 1C 2A 2，C 1C 2B 1，C 1C 2B 2，共12种，因此，这3个点与原点O 共面的概率为P ＝1220＝35. 10．K2[2012·某某卷] 袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球．从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于( )A.15B.25C.35D.4510．B [解析] 用列举法可得：从袋中任取两球有15种取法，其中一白一黑共有6种取法，由等可能事件的概率公式可得p ＝615＝25. 15．I1、K2[2012·某某卷] 某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，①列出所有可能的抽取结果；②求抽取的2所学校均为小学的概率．15．解：(1)从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.(2)①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A 1，A 2，A 3,2所中学分别记为A 4，A 5，大学记为A 6，则抽取2所学校的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共15种．②从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B )的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，共3种．所以P (B )＝315＝15. 18．K2、B10、I2[2012·课标全国卷] 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．(1)若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：枝，n ∈N )的函数解析式；(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：)的平均数；②若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率．18．解：(1)当日需求量n ≥17时，利润y ＝85.当日需求量n <17时，利润y ＝10n －85.所以y 关于n 的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 10n －85，n <17，85，n ≥17(n ∈N )．(2)①这100天中有10天的日利润为55元，20天的日利润为65元，16天的日利润为75元，54天的日利润为85元，所以这100天的日利润的平均数为1100(55×10＋65×20＋75×16＋85×54)＝76.4. ②利润不低于75元当且仅当日需求量不少于16枝．故当天的利润不少于75元的概率为p ＝0.16＋0.16＋0.15＋0.13＋0.1＝0.7.17．I2、K2[2012·某某卷] 某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图1－4所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)求图中a 的值；(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x )与数学成绩相应分数段的人数(y )之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数．17．解：(1)由频率分布直方图可知(0.04＋0.03＋0.02＋2a )×10＝1.所以a ＝0.005.(2)该100名学生的语文成绩的平均分约为x ＝0.05×55＋0.4×65＋0.3×75＋0.2×85＋0.05×95＝73.(3)由频率分布直方图及已知的语文成绩、数学成绩分布在各分数段的人数比，可得下表：100－(5＋20＋40＋25)＝10.17．D2、D3、K2[2012·某某卷] 在等差数列{a n }和等比数列{b n }中，a 1＝b 1＝1，b 4＝8，{a n }的前10项和S 10＝55.(1)求a n 和b n ；(2)现分别从{a n }和{b n }的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率．17．解：(1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q .依题意得S 10＝10＋10×92d ＝55，b 4＝q 3＝8， 解得d ＝1，q ＝2，所以a n ＝n ，b n ＝2n －1.(2)分别从{a n }，{b n }的前3项中各随机抽取一项，得到的基本事件有9个：(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)．符合题意的基本事件有2个：(1,1)，(2,2)．故所求的概率P ＝29. 6．K2[2012·某某卷] 现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________．6.35[解析] 本题考查等比数列的通项公式的运用以及古典概型的求解．解题突破口为等比数列通项公式的运用． 由通项公式a n ＝1×(－3)n －1得，满足条件的数有1，－3，－33，－35，－37，－39，共6个，从而所求概率为P ＝35. 19．I4、K2[2012·某某卷] 电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：图1－6将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？非体育迷 体育迷 合计男女合计(2)将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．附：χ2＝n n 11n 22－n 12n 212n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2， P (χ2≥k )0.05 0.01 k 3.841 6.63519．解：(1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”为25人，从而完成2×2列联表如下：非体育迷 体育迷 合计男 30 15 45女 45 10 55合计 75 25 100将2×2列联表中的数据代入公式计算，得χ2＝n n 11n 22－n 12n 212n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2＝100×30×10－45×15275×25×45×55＝10033≈3.030. 因为3.030<3.841，所以我们没有理由认为“体育迷”与性别有关．(2)由频率分布直方图可知，“超级体育迷”为5个，从而一切可能结果所组成的基本事件空间为Ω＝{(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 2，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)}．其中a i 表示男性，i ＝1,2,3，b j 表示女性，j ＝1,2.Ω由10个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的．用A 表示“任选2人中，至少有1人是女性”这一事件，则A ＝{(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)}，事件A 由7个基本事件组成，因而P (A )＝710.18．K2[2012·某某卷] 袋中有五X 卡片，其中红色卡片三X ，标号分别为1,2,3；蓝色卡片两X ，标号分别为1,2.(1)从以上五X 卡片中任取两X ，求这两X 卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；(2)向袋中再放入一X 标号为0的绿色卡片，从这六X 卡片中任取两X ，求这两X 卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．18．解：(1)标号为1,2,3的三X 红色卡片分别记为A ，B ，C ，标号为1,2的两X 蓝色卡片分别记为D ，E .从五X 卡片中任取两X 的所有可能的结果为：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(C ，D )，(C ，E )，(D ，E )．共10种．由于每一X 卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．从五X 卡片中任取两X ，这两X 卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为：(A ，D )，(A ，E )，(B ，D )，共3种．所以这两X 卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为310. (2)记F 为标号为0的绿色卡片，从六X 卡片中任取两X 的所有可能的结果为：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共15种．由于每一X 卡片被取到的机会均等，因此这此基本事件的出现是等可能的．从六X 卡片中任取两X ，这两X 卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为：(A ，D )，(A ，E )，(B ，D )，(A ，F )，(B ，F )，(C ，F )，(D ，F )，(E ，F )，共8种．所以这两X 卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为815. 19．I2、K2[2012·某某卷] 假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解它们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下：(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率．19．解：(1)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为5＋20100＝14，用频率估计概率，所以，甲品牌产品寿命小于200小时的概率为14. (2)根据抽样结果，寿命大于200小时的产品有75＋70＝145(个)，其中甲品牌产品是75个，所以在样本中，寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率是75145＝1529，用频率估计概率，所以已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为1529. K3 几何概型11．K3[2012·某某卷] 在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积大于20 cm 2的概率为( )A.16B.13C.23D.4511．C [解析] 本小题主要考查几何概型．解题的突破口为弄清是长度之比、面积之比还是体积之比．令AC ＝x ，CB ＝12－x ，这时的面积为S ＝x (12－x )，根据条件S ＝x (12－x )>20⇒x 2－12x＋20<0⇒2<x <10，矩形面积大于20 cm 2的概率P ＝10－212＝23，故而答案为C. 10．K3[2012·某某卷] 如图1－3，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆，在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )A.12－1πB.1πC ．1－2π D.2π10．C [解析] 如下图所示，不妨设扇形的半径为2a ，S 1，S 2，两块阴影部分的面积分别为S 3，S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝S 扇形OAB ＝14π(2a )2＝πa 2①， 而S 1＋S 3与S 2＋S 3的和恰好为一个半径为a 的圆的面积，即S 1＋S 3＋S 2＋S 3＝πa 2②.由①－②得S 3＝S 4；又由图可知S 3＝S 扇形EOD ＋S 扇形COD －S 正方形OEDC ＝12πa 2－a 2， 所以S 阴影＝πa 2－2a 2.故由几何概型概率公式可得，所求概率P ＝S 阴影S 扇形OAB ＝πa 2－2a 2πa 2＝1－2π.故选C. 3．E5、K3[2012·卷] 设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D .在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )A.π4B.π－22C.π6D.4－π43．D [解析] 础知识．如图所示，P ＝S 2S ＝S －S 1S ＝4－π4. K4 互斥事件有一个发生的概率17．K4[2012·某某卷] 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．(1)确定x ，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过．．．2分钟的概率．(将频率视为概率)17．解：(1)由已知得25＋y ＋10＝55，x ＋30＝45，所以x ＝15，y ＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为 1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10100＝1.9(分钟)．(2)记A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A 1，A 2，A 3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”．将频率视为概率得P (A 1)＝15100＝320，P (A 2)＝30100＝310，P (A 3)＝25100＝14. 因为A ＝A 1∪A 2∪A 3，且A 1，A 2，A 3是互斥事件，所以P (A )＝P (A 1∪A 2∪A 3)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝320＋310＋14＝710. 故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为710. 18．K4、K5[2012·某某卷] 甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响． (1)求乙获胜的概率；(2)求投篮结束时乙只投了2个球的概率．18．解：设A k ，B k 分别表示甲、乙在第k 次投篮投中，则P (A k )＝13，P (B k )＝12(k ＝1,2,3)．(1)记“乙获胜”为事件C ，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知P (C )＝P (A 1B 1)＋P (A 1B 1A 2B 2)＋P (A 1B 1A 2B 2A 3B 3)＝P (A 1)P (B 1)＋P (A 1)P (B 1)P (A 2)P (B 2)＋P (A 1)P (B 1)P (A 2)P (B 2)P (A 3)P (B 3) ＝23×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫233⎝ ⎛⎭⎪⎫123 ＝1327. (2)记“投篮结束时乙只投了2个球”为事件D ，则由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知P (D )＝P (A 1B 1A 2B 2)＋P (A 1B 1A 2B 2A 3)＝P (A 1)P (B 1)P (A 2)P (B 2)＋P (A 1)P (B 1)P (A 2)·P (B 2)P (A 3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫122⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝427. K5 相互对立事件同时发生的概率20．K5[2012·全国卷] 乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．(1)求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；(2)求开始第5次发球时，甲得分领先的概率．20．解：记A i 表示事件：第1次和第2次这两次发球，甲共得i 分，i ＝0,1,2； B i 表示事件：第3次和第4次这两次发球，甲共得i 分，i ＝0,1,2；A 表示事件：第3次发球，甲得1分；B 表示事件：开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2；C 表示事件：开始第5次发球时，甲得分领先．(1)B ＝A 0·A ＋A 1·A ，P (A )＝0.4，P (A 0)＝0.42＝0.16，P (A 1)＝2×0.6×0.4＝0.48，P (B )＝P (A 0·A ＋A 1·A )＝P (A 0·A )＋P (A 1·A )＝P (A 0)P (A )＋P (A 1)P (A )＝0.16×0.4＋0.48×(1－0.4)＝0.352.(2)P (B 0)＝0.62＝0.36，P (B 1)＝2×0.4×0.6＝0.48，P (B 2)＝0.42＝0.16，P (A 2)＝0.62＝0.36.C ＝A 1·B 2＋A 2·B 1＋A 2·B 2P (C )＝P (A 1·B 2＋A 2·B 1＋A 2·B 2)＝P (A 1·B 2)＋P (A 2·B 1)＋P (A 2·B 2)＝P (A 1)P (B 2)＋P (A 2)P (B 1)＋P (A 2)P (B 2)＝0.48×0.16＋0.36×0.48＋0.36×0.16＝0.307 2.18．K4、K5[2012·某某卷] 甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响． (1)求乙获胜的概率；(2)求投篮结束时乙只投了2个球的概率．18．解：设A k ，B k 分别表示甲、乙在第k 次投篮投中，则P (A k )＝13，P (B k )＝12(k ＝1,2,3)． (1)记“乙获胜”为事件C ，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知P (C )＝P (A 1B 1)＋P (A 1B 1A 2B 2)＋P (A 1B 1A 2B 2A 3B 3)＝P (A 1)P (B 1)＋P (A 1)P (B 1)P (A 2)P (B 2)＋P (A 1)P (B 1)P (A 2)P (B 2)P (A 3)P (B 3) ＝23×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫233⎝ ⎛⎭⎪⎫123 ＝1327. (2)记“投篮结束时乙只投了2个球”为事件D ，则由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知P (D )＝P (A 1B 1A 2B 2)＋P (A 1B 1A 2B 2A 3)＝P (A 1)P (B 1)P (A 2)P (B 2)＋P (A 1)P (B 1)P (A 2)·P (B 2)P (A 3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫122⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝427. K6 离散型随机变量及其分布列22．K6[2012·某某卷] 设ξ为随机变量．从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1.(1)求概率P (ξ＝0)；(2)求ξ的分布列，并求其数学期望E (ξ)．22．解：(1)若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有8C 23对相交棱，因此P (ξ＝0)＝8C 23C 212＝8×366＝411. (2)若两条棱平行，则它们的距离为1或2，其中距离为2的共有6对，故P (ξ＝2)＝6C 212＝111， 于是P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝2)＝1－411－111＝611， 所以随机变量ξ的分布列是因此E (x )＝1×611＋2×111＝6＋211. K7 条件概率与事件的独立性K8 离散型随机变量的数字特征与正态分布17．K8、I1、I2[2012·卷] 近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：(1)(2)试估计生活垃圾投放错误的概率；(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a ，b ，c ，其中a >0，a ＋b ＋c ＝600.当数据a ，b ，c 的方差s 2最大时，写出a ，b ，c 的值(结论不要求证明)，并求此时s 2的值．注：s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中x 为数据x 1，x 2，…，x n 的平均数17．解：(1)厨余垃圾投放正确的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量厨余垃圾总量＝400400＋100＋100＝23. (2)设生活垃圾投放错误为事件A ，则事件A 表示生活垃圾投放正确．事件A 的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P (A )约为400＋240＋601000＝0.7， 所以P (A )约为1－0.7＝0.3.(3)当a ＝600，b ＝c ＝0时，s 2取得最大值．因为x ＝ 13(a ＋b ＋c )＝200， 所以s 2＝13[(600－200)2＋(0－200)2＋(0－200)2]＝80 000. K9 单元综合17．K9[2012·某某卷] 某居民小区有两个相互独立的安全防X 系统(简称系统)A 和B ，系统A 和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为110和p . (1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求p 的值； (2)求系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率．17．解：(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C ，那么1－P (C )＝1－110·p ＝4950. 解得p ＝15. (2)设“系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数”为事件D ，那么P (D )＝C 23110·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1102＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1103＝9721000＝243250. 答：系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率为243250. 2012模拟题1．[2012·某某重点中学联考] 两个袋中各装有编号为1,2,3,4,5的5个小球，分别从每个袋中摸出一个小球，所得两球编号数之和小于5的概率为________．1.625[解析] 总的取球结果有n ＝5×5＝25个，满足两球编号之和小于5的试验结果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)共6个，故所求概率为P ＝625.2．[2012·某某一中月考] 已知向量a ＝(m ，n )，b ＝(1，－1)，其中m ，n ∈{1,2,3,4,5}，则a 与b 的夹角能成为直角三角形内角的概率是________．2.35 [解析] 因为a 与b 夹角为直角三角形的内角，因此有0≤a ·b |a||b|＝m －n 2×m 2＋n 2<1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥n ，m 2＋n 2>－2mn ，∴m ≥n .而所有的情况共有25种，而m ≥n ，有5＋4＋3＋2＋1＝15，故概率为35.3．[2012·某某质检] 甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为________．3.34[解析] 因为符合条件的有“甲第一局就赢”和“乙赢一局后甲再赢一局”，由于两队获胜概率相同，即为12，则第一种的概率为12，第二种情况的概率为12×12＝14，由加法计数原理得结果为34.4．[2012·某某质量评估] 由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ≤2，y ≥t ，x －y ＋5≥0其中(5≤t ＜7)围成的三角形区域内有一个内切圆，向该三角形区域内随机投一个点，该点落在圆内的概率是________．4．(3－22)π [解析] 由不等式组可知，所围成的三角形如图，则A (t －5，t )，B (2，t )，C (2,7)，则AB ＝7－t ，BC ＝7－t ，AC ＝2(7－t )，所以内切球半径为2r ＝2(7－t )－2(7－t )，即r ＝2－22(7－t )，所以圆的面积为S ＝π×6－424(7－t )2，又三角形面积为S △＝12(7－t )2，由几何概型概率计算公式可得P ＝3－222π7－t 2127－t 2＝(3－22)π.5．[2012·某某调研] 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计男生 5女生 10合计 50已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为35. (1)请将上面的列联表补充完整(不用写计算过程)；(2)能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由．下面的临界值表供参考：P (K 2≥k ) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828(参考公式：K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋c b ＋d，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d )5．解：(1)列联表补充如下：喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计男生 20 5 25女生 10 15 25合计 30 20 50(2)∵K 2＝50×20×15－10×5230×20×25×25≈8.333>7.879. ∴在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为喜爱打篮球与性别有关．。

高考数学随机事件的概率专题复习训练（含答案）概率是对随机事情发作的能够性的度量，下面是随机事情的概率专题温习训练，请考生练习。

一、选择题
1.以下说法中一定正确的选项是()
A.一名篮球运发动，号称百发百中，假定罚球三次，不会出现三投都不中的状况
B.一粒骰子掷一次失掉2点的概率是，那么掷6次一定会出现一次2点
C.假定买彩票中奖的概率为万分之一，那么买一万元的彩票一定会中奖一元
D.随机事情发作的概率与实验次数有关
[答案] D
[解析] A错误，会有三投都不中的状况发作;B错误，能够6次都不出现2点C错误，概率是预测值，而该随机事情不一定会出现.
2.以下说法正确的选项是()
A.任何事情的概率总是在(0,1)之间
B.频率是客观存在的，与实验次数有关
C.随着实验次数的添加，频率普通会越来越接近概率
D.概率是随机的，在实验前不能确定
[答案] C
[解析] 频率是n次实验中，事情A发作的次数m与实验总次数n的比值，随着实验次数的增多，频率会越来越接近概率.
3.给出以下四个命题：
集合{x||x|0}为空集是肯定事情;
y=f(x)是奇函数，那么f(0)=0是随机事情;
假定loga(x-1)0，那么x1是肯定事情;
对顶角不相等是不能够事情.
其中正确命题的个数是()
A.4
B.1
C.2
D.3
[答案] D
[解析] |x|0恒成立，正确;
奇函数y=f(x)只要在x=0有意义时才有f(0)=0，
正确;
由loga(x-1)0知，当a1时，x-11即x
随机事情的概率专题温习训练分享到这里，更多内容请关注高考数学试题栏目。

第十单元 计数原理、概率、随机变量及其分布第一节 两个基本计数原理1. 4名公务员去10处乡镇调查，每人只许去一处，则不同的分配方案种数为( ) A. 104 B. 410 C. A 410 D. C 4102. 从3名女同学和2名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，则不同的选法为( )A. 6种B. 5种C. 3种D. 2种3. 5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有( )A. 10种B. 20种C. 25种D. 32种4. 下面是高考第一批录取的一份志愿表．现有4所重点院校，每所院校有3个专业是你较为满意的选择，如果要将表格填满且规定：学校没有重复，同一学校的专业也没有重复A. 43·(A 23)3 34334·(A 23)35. 若x ，y ∈N *且x ＋y ≤6，则点(x ，y )的个数为( )A. 14B. 15C. 16D. 176. 从1,2,3,4,7,9中任取不同的两个数，分别作为对数的底数和真数，得到的不同的对数值有( )A. 17个B. 21个C. 18个D. 20个7. 2010年10月广州亚运会火炬接力传递路线分别由6名火炬手完成，如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案有________种．8. 椭圆x 2m ＋y 2n＝1的焦点在y 轴上，且m ∈{1,2,3,4,5}，n ∈{1,2,3,4,5,6,7}，则这样的椭圆有________个．9.如图所示的花圃中的5个区域中种入4种不同颜色的花，要求相邻区域不同色，有________种不同的种法．10. 某公共汽车上有10名乘客，要求在沿途的5个车站全部下完，乘客下车的可能方式有________种．11. (改编题)由1,2,3,4可以组成多少个自然数？(数字可以重复，最多只能是四位)12. 用5种不同的颜色给图中4个区域涂色，每个区域涂一种颜色，若要求相邻(有公共边)的区域不同色，那么共有多少种不同的涂色方法？第二节 排列组合1. (2011·衡水中学模拟)12名同学合影，站成了前排4人，后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同的调整方法的种数是( )A. 168B. 20 160C. 840D. 5602. 将4名司机和8名售票员分配到四辆公共汽车上，每辆车上分别有1名司机和2名售票员，则可能的分配方案种数是( )A. C 28C 26C 24A 44A 44B. A 28A 26A 24A 44C. C 28C 26C 24A 44D. C 28C 26C 243. 五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有( )A. C 14C 44种B. C 14A 44种C. C 44种D. A 44种4. 从45名男生和15名女生中按分层抽样的方法，选出8人参加国庆活动．若此8人站在同一排，则不同的排法种数为( ) A. C 645C 215 B. C 645C 215A 88 C. C 545C 315 D. C 545C 315A 885. 某校在高二年级开设选修课，其中数学选修课开三个班．选课结束后，有四名学生要求改修数学，但每班至多可再接收两名学生，那么不同的分配方案有( )A. 72种B. 54种C. 36种D. 18种6. 从10名男同学，6名女同学中选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的不同选法共有________种(用数字作答)．7. 3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是________．8. (创新题)在一次文艺演出中，需要给舞台上方安装一排完全相同的彩灯15只，以不同的点亮方式增加舞台效果，设计要求如下：恰好有6只是关的，且相邻的灯不能同时被关掉，两端的灯必须点亮，则不同的点亮方式为________种．9. 甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是________(用数字作答)．10. (2010·江西)将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有________种(用数字作答)．11. (2010·湖北)现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是( )A. 54B. 90C. 126D. 152第三节 二项式定理1. (2010·全国Ⅱ)若⎝⎛⎭⎫x －a x 9的展开式中x 3的系数为－84，则a ＝( ) A. 1 B. 2 C. －1 D. 02. (1＋x )10⎝⎛⎭⎫1＋1x 10展开式中的常数项为 ( ) A. 1 B. (C 110)2 C. C 120 D. C 10203. 在(x ＋43y )20的展开式中，系数为有理数的项共有( )A. 7项B. 6项C. 9项D. 0项4. ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 3n 展开式中各项系数之和为32，则n ＝( ) A. 6 B. 5 C. 8 D. 95. ⎝⎛⎭⎫x ＋2x 2n 的展开式中只有第六项二项式系数最大，则常数项为( ) A. 70 B. 170 C. 80 D. 1806. 二项式⎝⎛⎭⎫x ＋3x n 的展开式中，各项系数之和为A ，各项二项式系数之和为B ，且A ＋B ＝72，则展开式中常数项的值为( )A. 6B. 9C. 12D. 187. (2011·兖州模拟)二项式⎝⎛⎭⎫2x －1x 6的展开式的常数项是________． 8. 若⎝⎛⎭⎫x ＋12x n 的展开式中前三项的系数成等差数列，则展开式中x 4项的系数为________．9. 已知⎝⎛⎭⎫x ＋124＝a 4x 4＋a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4的值为________． 10. (2010·辽宁)(1＋x ＋x 2)⎝⎛⎭⎫x －1x 6的展开式中的常数项为________． 11. 若(1＋x ＋x 2)⎝⎛⎭⎫x ＋1x 3n 展开式中无常数项(n ∈N ＋且2≤n ≤8)，则n ＝________. 12. 若(1－2x )2 012＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 012x 2 012(x ∈R)，则(a 0＋a 1)＋(a 0＋a 2)＋(a 0＋a 3)＋…＋(a 0＋a 2 012)＝________.13. 若(1－2x )2 012＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 012x 2 012，求a 12＋a 222＋…＋a 2 01222 012的值． 14. 已知⎝⎛⎭⎫x －2x 2n (n ∈N ＋)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1. (1)求展开式中各项系数的和； (2)求展开式中含x 32的项； (3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项．第四节 随机事件的概率1. 下列说法：①频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小；②做n 次随机试验，事件A 发生m 次，则事件A 发生的频率m n就是事件的概率； ③百分率是频率，也是概率；④频率是不能脱离n 次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；⑤频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．其中正确的是( )A. ①②③④B. ①④⑤C. ①②③④⑤D. ②③2. 下列事件中是必然事件的是( )A. 若a ，b ，c 都是实数，则a (b ＋c )＝ab ＋acB. 若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续，f (a )·f (b )＜0，则此函数在区间(a ，b )上有唯一零点C. 没有水分，种子发芽D. ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)必有实数根3. 有编号分别是1,2,3,4,5的5个红球和5个黑球，从中取出4个，则取出的球的编号互不相同的概率为( )A. 521B. 27C. 13D. 8214. 在一个袋子里装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注数字外完全相同，现从中随机取2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是( )A. 112B. 110C. 15D. 3105. (2010·天津模拟)某班有60名学生，其中女生24人，现任选一人，则选中男生的概率为( )A. 136B. 160C. 25D. 356. (改编题)电子钟一天显示的时间是从00：00到23：59，每一时间都由四个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为( )A. 1180B. 1288C. 1360D. 14807. 甲、乙两颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为________．8. 甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为0.3，两人下成和棋的概率为0.5，那么甲不输的概率是________．9. 在10枝铅笔中，有8枝正品和2枝次品，从中不放回地任取2枝，至少取到1枝次品的概率是________．10. 甲、乙两人玩游戏，规则如程序框图所示，则甲胜的概率为______．11. 一个箱子内有9张票，其号数分别为1,2，…，9，从中任取2张，其号数至少有一个数是奇数的概率是多少？12. 一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1球，求：(1)取出1球是红球或黑球的概率；(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．第五节 古典概型1. 某班准备到郊外野营，为此向商店定了帐篷，如果下雨与不下雨是等可能的，能否准时收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期运到，他们就不会淋雨，则下列说法正确的是( )A. 一定不会淋雨B. 淋雨的可能性为34C. 淋雨的可能性为12D. 淋雨的可能性为142. 盒中有10个铁钉，其中8个是合格的，2个是不合格的，从中任取一个恰为合格铁钉的概率是( )A. 15B. 14C. 45D. 1103. 4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为( )A. 13B. 12C. 23D. 344. 把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m ，第二次出现的点数为n ，向量p ＝(m ，n )，q ＝(－2,1)，则向量p ⊥q 的概率为( )A. 118B. 112C. 19D. 165. (改编题)已知k ∈Z ，AB →＝(k,1)，AC →＝(2,4)，若|AB →|≤10，则△ABC 是直角三角形的概率是( )A. 17B. 27C. 37D. 476. (2011·湖南十校联考)设a ∈{1,2,3,4}，b ∈{2,4,8,12}，则函数f (x )＝x 3＋ax －b 在区间(1,2)上有零点的概率是( )A. 12B. 58C. 1116D. 347. (2010·浙江宁波模拟)从1,2,3,4,5,6,7,8,9这九个数字中任意取出不同的三个数字，取出的这三个数字中最大数字是8的概率为________．8. 在正方体上任意选择两条棱，则这两条棱相互平行的概率为________．9. (2011·广州模拟)从编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的十个形状、大小相同的球中，任取3个球，则这3个球编号之和为奇数的概率是________．10. 在平面直角坐标系中，从六个点：A (0,0)，B (2,0)，C (1,1)，D (0，2)，E (2,2)，F (3,3)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是________(结果用分数表示)．11. 一个盒子里装有完全相同的10个小球，分别标上1,2,3,4,5,6,7,8,9,10这10个数字，今随机地先后抽到2个小球，如果：(1)小球是不放回的；(2)小球是有放回的．求2个小球上的数字为相邻整数的概率．12. (2010·陕西)为了解学生身高状况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：(1)估计该校男生的人数；(2)估计该校学生身高在170～185 cm 之间的概率；(3)从样本中身高在180～190 cm 之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～190 cm 之间的概率．第六节 模拟方法——概率的应用1. 在一个边长为2的正方形中随机撒入200粒豆子，恰有120粒落在阴影区域内，则该阴影部分的面积约为( )A . 35B . 125C . 65D . 1852. 如图所示，墙上挂有一长为2π，宽为2的矩形木板ABCD ，它的阴影部分是由函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图像和直线y ＝1围成的图形．某人向此木板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是( )A . 18B . 14C . 13D . 123. 在长为12 cm 的线段AB 上任取一点M ，并且以线段AM 为边作正方形，则这个正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2之间的概率为( )A . 14B . 13C . 427D . 12454. 如图，A 是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点A ′，连接AA ′，得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为( )A . 12B . 32C . 13D . 145. (2011·江南十校联考)如图，设D 是图中边长为4的正方形区域，E 是D 内函数y ＝x 2图像下方的点构成的区域，向D 内随机投一点，则该点落入E 中的概率为( )A . 15B . 14C . 13D . 126. 已知正三棱锥S-ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V P-ABC ＜12V S-ABC的概率是( ) A . 78 B . 34 C . 12 D . 147. 已知区域Ω＝{(x ，y)|x ＋y ≤10，x ≥0，y ≥0}，A ＝{(x ，y)|x －y ≥0，x ≤5，y ≥0}，若向区域Ω上随机投1个点，则这个点落入区域A 的概率P(A)＝________.8. 已知函数f(x)求值的程序框图如下图：在区间[0,3]上任意一个数x ，则能命名f[f(x)]＝2的概率为________．9. (2010·中卫模拟)在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于34S 的概率是________．10. (创新题)设函数f(x)＝x 2－x －2，x ∈[－5,5]，那么任取一点x 0，使f(x 0)≤0的概率为________．11. 已知关于x 的一元二次方程x 2－2(a －2)x －b 2＋16＝0.(1)若a ，b 是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率；(2)若a ∈[2,6]，b ∈[0,4]，求方程没有实根的概率．12. 已知函数f(x)＝x 2＋ax ＋b 2.(1)若－2≤a ≤4，－2≤b ≤4(a ，b ∈Z)，求不等式f (x )>0的解集为R 的概率；(2)若|a |≤1，|b |≤1，求不等式f (x )>0的解集为R 的概率．第七节 离散型随机变量及其分布1. 设随机变量X 的分布列由P (X ＝i )＝c ·⎝⎛⎭⎫23i 确定，i ＝1,2,3，则c 的值为( ) A. 1738 B. 2738 C. 1719 D. 27192. 设随机变量X 等可能地取1,2,3，…，n ，若P (X <4)＝0.3，则n 的值为( )A. 3B. 4C. 10D. 不确定3. 设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P (X ＝0)等于( )A. 0B. 12C. 13D. 234. (创新题)设X 是一个离散型随机变量，则下列不能成为X 的概率分布列中的一组数是( )A. 0,0,0,1,0B. 0.1,0.2,0.3,0.4C. P ,1－P (P 为实数)D. 11·2，12·3，…，1(n －1)·n ，1n(n ≥2，n ∈N *) 5. 在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于C 47C 68C 1015的是( ) A. P (X ＝2) B. P (X ≤2) C. P (X ＝4) D. P (X ≤4)6. 设随机变量X则函数F (x )＝P (X ≤x )(x ∈A. F (x )＝P (X ≤x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 0(x <0)1(0≤x <1)2(1≤x <2)3(x ≥2)B. F (x )＝P (X ≤x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 0(x <0)3(0≤x <1)2(1≤x <2)1(x ≥2)C. F (x )＝P (X ≤x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 0(x <0)13(0≤x <1)12(1≤x <2)1(x ≥2)D. F (x )＝P (X ≤x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 0(x <0)16(0≤x <1)13(1≤x <2)12(x ≥2)7. 随机变量X则P (|X |＝2)＝________.8. 从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出两个球，设其中有X 个红球，把随机变量X 的概率分布补充完整.9. 设随机变量X则P (|X －3|＝1)＝10.若P (X 2<x )＝1112，则实数x 的取值范围是________． 11. 某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会，共邀请50名一线教师参加，使用不(1)从这(2)若随机选出2名使用人教版的教师发言，设使用人教A 版的教师人数为X ，求随机变量X 的分布列．12. (2010·北京)某同学参加3门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为45，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p ，q (p >q )，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记X(1)求该生至少有1(2)求p ，q 的值；(3)求数学期望E (X )．第八节 二项分布与正态分布1. 市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是( )A. 0.665B. 0.56C. 0.24D. 0.2852. 若X ～B (5,0.1)，则P (X ≤2)等于( )A. 0.072 9B. 0.008 56C. 0.918 54D. 0.991 443. 从甲口袋中摸出一个白球的概率是13，从乙口袋中摸出一个白球的概率是12，从两个口袋中各摸出一个球，那么56等于( ) A. 2个球都是白球的概率B. 2个球都不是白球的概率C. 2个球不都是白球的概率D. 2个球恰好有一个是白球的概率4. 设随机变量X 服从正态分布N (0,1)，P (X >1)＝p ，则P (－1<X <0)等于( )A. 12pB. 1－pC. 1－2pD. 12－p 5. 将1枚硬币连续抛掷5次，如果出现k 次正面的概率与出现k ＋1次正面的概率相同，则k 的值是( )A. 0B. 1C. 2D. 36. (创新题)现有构成系统的6个元件，每个元件的可靠性均为p (0＜p ＜1)，且各个元件能否正常工作是相互独立的．将这6个元件按图所示的两种连接方式构成两个系统(1)、(2)，则关于这两个系统的可靠性的大小的说法正确的是( )A. 对于任意0＜p ＜1，系统(1)较系统(2)可靠B. 对于任意0＜p ＜1，系统(2)较系统(1)可靠C. 对于任意0＜p ＜1，两个系统的可靠性一样D. 系统(1)与系统(2)谁的可靠性更大与p 的值有关，因此无法确定7. 已知三个正态分布密度函数φi (x )＝12πσie －(x －μi )22σ2i (x ∈R ，i ＝1,2,3)的图像如图所示，则μ1、μ2、μ3及σ1、σ2、σ3的大小关系为________．8. 设某种动物从出生起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的这种动物，它能活到25岁的概率是________．9. 某中学高二期中考试的数学成绩X 服从正态分布N (110,152)，若规定成绩在140分以上为优秀，试求这次考试的优秀率大约是________．10. 某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题即停止答题，晋级下一轮，假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________．11. (2010·福州三中高三年级第一次月考)某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为16，甲、乙、丙三位同学每人购买一瓶该饮料． (1)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；(2)求中奖人数X 的分布列及数学期望E (X )．12. (2011·皖南八校高三模底联考)为迎接2011“兔”年的到来，某机构举办猜奖活动，参与者需先后回答两道选择题：问题A 有四个选项，问题B 有五个选项，但都只有一个选项是正确的，正确回答问题A 可获奖金m 元，正确回答问题B 可获奖金n 元．活动规定：参与者可任意选择回答问题的顺序．如果第一个问题回答错误，则该参与者猜奖活动中止，一个参与者在回答问题前，对这两个问题都很陌生，因而准备靠随机猜测回答问题，试确定回答问题的顺序使获奖金额的期望值较大．第九节 离散型随机变量的均值与方差1. 设一随机试验的结果只有A 和A ，且P (A )＝m ，令随机变量X ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，A 发生，0，A 不发生，则X 的方差D (X )＝( )A. mB. 2m (1－m )C. m (m －1)D. m (1－m )2. 某一随机变量X 的概率分布如下表，且E (X )＝1.5，则m －n 2的值为( )A. －0.2 D. －0.13. 某一计算机网络有n 个终端，每个终端在一天中使用的概率为p ，则这个网络中一天平均使用的终端个数为( )A. np (1－p )B. npC. nD. p (1－p )4. 若随机变量X 1～B (n,0.2)，X 2～B (6，p )，X 3～B (n ，p )，且E (X 1)＝2，D (X 2)＝32，则D (X 3)的值是( )A. 0.5B. 1.5C. 2.5D. 3.55. 某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )A. 100B. 200C. 300D. 4006. (2011·皖南八校高三摸底联考)对一位运动员的心脏跳动检测了8次，得到如下表所示的数据：上述数据的统计分析中，一部分计算见如图所示的程序框图(其中a 是这8个数据的平均数)，则输出的值是( )A. 6B. 7C. 8D. 56 7. 随机变量X 其中a ，b ，c 成等差数列，若E (X )＝13，则D (X )的值是________．8. 若p则E (X )的最大值为．9. 某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量X 表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望E (X )＝________(结果用最简分数表示)．10. 一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标上数0，两个面上标上数1，一个面上标上数2，将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是________．11. 甲、乙两个商店购进同一种商品的价格为每件30元，销售价均为每件50元．根据前5售完，则甲商店在一年后以每件25元的价格处理．乙商店一年后剩下的这种商品第1件按25元的价格处理，第2件按24元的价格处理，第3件按23元的价格处理，依次类推．(1)根据前5年的有关资料统计，试分别预测今年甲、乙两个商店的销售量m 和n ； (2)若今年甲、乙两商店的实际销售量分别是(1)中的m 和n ，当它们今年各自购进40件这种商品并且全部处理完时，请你指出甲、乙两商店哪家获得的利润较大？并说明理由．12. (2010·浙江)如图，一个小球从M 处投入，通过管道自上而下落到A 或B 或C .已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的．某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到A ，B ，C ，则分别设为1,2,3等奖．(1)已知获得1,2,3等奖的折扣率分别为50%,70%,90%.记随机变量X 为获得k (k ＝1,2,3)等奖的折扣率，求随机变量X 的分布列及期望E (X )；(2)若有3人次(投入1球为1人次)参加促销活动，记随机变量η为获得1等奖或2等奖的人次，求P(η＝2)．参考答案第十单元第一节两个基本计数原理1. 解析：用分步计数原理，第一名公务员有10种选择，同理，第二、三、四名均有10种选择，4名公务员都到达乡镇分配才能完成．∴10×10×10×10＝104.答案：A2. 解析：有3＋2＝5种．答案：B3. 解析：2×2×2×2×2＝32种．答案：D4. 解析：第一步，先填写志愿学校，三个志愿学校的填写方法数是A34；第二步，再填写对应志愿学校的专业，各个对应学校专业的填写方法数都是A23，故专业填写方法数是A23 A23A23.根据分步乘法计数原理，共有填写方法数A34(A23)3.答案：D5. 解析：按x分类：x＝1，y＝1,2,3,4,5；x＝2，y＝1,2,3,4；x＝3，y＝1,2,3；x＝4，y＝1,2；x＝5，y＝1.共有1＋2＋3＋4＋5＝15(个)．答案：B6. 解析：1不作底数，1作真数时对数都为0，另要注意log24＝log39，log42＝log93，log32＝log94，log23＝log49，所以不同的对数值有1＋5×4－4＝17(个)．答案：A7.解析：若第一棒为丙，则最后一棒有2种选择，第2棒4种，第3棒3种，第4棒2种，第5棒1种，共2×4×3×2＝48种；若第一棒由甲或乙完成，则有2种，最后一棒只能有1种，其余棒同上，则共2×1×4×3×2＝48种，共96种．答案：968.解析：m<n，根据m的取值分为5类：m＝1时，有6个椭圆；m＝2时，有5个椭圆；m＝3时，有4个椭圆；m＝4时，有3个椭圆；m＝5时，有2个椭圆．共有6＋5＋4＋3＋2＝20(个)．答案：209. 解析：5处有4种，1处有3种种法，4处有2种种法．若1、3同色，2有2种种法，若1、3不同色，2有1种种法，∴4×3×2×(1×2＋1×1)＝72种．答案：7210.解析：由题意易知每名乘客都有5种不同的下法，依据分步乘法计数原理共有＝510(种)．5×5×…×510个答案：51011. 解析：组成的自然数可分以下四类：第一类：组成一位自然数共有4个；第二类：组成两位自然数，可分两步来完成，先取十位上的数字，再取出个位上的数字，共有4×4＝16(个)；第三类：组成三位自然数，可分三步来完成，先取百位，再取十位，最后取个位，共有4×4×4＝64(个)；第四类：组成四位自然数，方法同上，共有4×4×4×4＝256(个)．由分类计数原理可组成的不同自然数的个数为4＋16＋64＋256＝340(个)．12.解析：第一类：1号区域与3号区域同色时，有5×4×1×4＝80(种)涂法；第二类：1号区域与3号区域异色时，有5×4×3×3＝180(种)涂法．依据分类加法计数原理知不同的涂色方法有80＋180＝260(种)．第二节 排列组合1. 解析：C 28A 25＝560. 答案：D2. 解析：将8名售票员平均分为4组：有C 28C 26C 24，再分配司机有A 44，由此得C 28C 26C 24A 44种．答案：C3. 解析：先排甲工程队有C 14种，其他4个元素在4个位置上的排法为A 44种，总方案为C 14A 44种，故选B.答案：B4. 解析：男生与女生的比为3∶1，选出8人即男生6人，女生2人，8人站在同一排，则不同的排法种数为C 645C 215A 88.答案：B5. 解析：分两类：①三个班的人数分别为1,1,2，先将四人分三组，然后进行全排列，可列式为C 24·A 33＝36；②三个班的人数分别为2,2,0，先将四人分三组，然后进行全排列，可列式为C 24·C 22A 22·A 33＝18.所以不同的分配方案有54种．答案：B6.解析：C 110C 26＋C 210C 16＝150＋270＝420. 答案：4207.解析：先保证3位女生中有且只有两位女生相邻，则有A 22·C 23·A 33·A 24种排法，再从中排除甲站两端的种数，∴所求N ＝A 22·C 23·(A 33A 24－2A 22·A 23)＝6×(6×12－24)＝288.答案：2888.解析：15只彩灯中有6只是关的，9只是开的，且相邻的灯不能同时被关掉，则在9只开着的灯的8个空中(因两端灯必须点亮)取6个空安排关着的彩灯，共有点亮方式C 68＝28(种)．答案：289.解析：根据题意，每级台阶最多站2人，所以分两类：第一类，有2人站在同一级台阶，共有C 23A 27种不同的站法；第二类，一级台阶站1人，共有A 37种不同的站法．根据分类加法计数原理，得C 23A 27＋A 37＝336.答案：336 10.解析：考查概率、平均分组分配问题等知识，重点考查化归转化和应用知识的意识．先分组，考虑到有2个是平均分组，得两个两人组分法有C 26C 24A 22种，两个一人组方法有C 12C 11A 22种，再全排列得：C 26C 24A 22·C 12C 11A 22·A 44＝1 080.答案：1 08011. 解析：分类讨论：若有2人从事司机工作，则方案有C 23×A 33＝18种；若有1人从事司机工作，则方案有C 13×C 24×A 33＝108种，所以共有18＋108＝126种．答案：C第三节 二项式定理1. 解析：T r ＋1＝C r 9x 9－r ·⎝⎛⎭⎫－a x r ＝(－a )r ·C r 9·x 9－2r ，令9－2r ＝3得r ＝3， ∴系数为(－a )3·C 39＝－84，故a ＝1. 答案：A2. 解析： (1＋x )10⎝⎛⎭⎫1＋1x 10＝(1＋x )20x10，所以常数项为C 1020. 答案：D3. 解析：T r ＋1＝C r 20·x 20－r ·(314)r ·y r (r ＝0,1,2，…，20)．当r ＝0,4,8,12,16,20时，展开式中的系数均为有理数，∴共6项．答案：B4.解析：令x ＝1得2n ＝32，∴n ＝5. 答案：B5. 解析：只有第六项最大，∴n 为偶数，即n 2＋1＝6，则n ＝10，又T r ＋1＝C r 10·(x 12)10－r ·(2·x －2)r＝C r 10·2r ·x 5－r 2－2r ， ∴5－r2－2r ＝0，r ＝2.∴常数项为T 3＝180.答案：D6. 解析：令x ＝1得各项系数的和为4n ，各项的二项式系数的和等于2n ，根据已知得方程4n ＋2n ＝72，解得n ＝3.二项式的通项公式为T r ＋1＝C r 3(x )3－r ⎝⎛⎭⎫3x r ＝3r C r 3x 32－32r ，显然当r ＝1时，通项是常数，这个常数是9，故选B.答案：B7.解析：因为T k ＋1＝C k 6·(2x )6－k ⎝⎛⎭⎫－1x k ＝C k 6×26－k x 6－k 2·(－1)k ·x －k ＝(－1)k C k 6·26－k ·x 6－3k 2令6－3k 2＝0得k ＝2.∴T 3＝(－1)2C 26·24＝240. 答案：2408.解析：因为⎝⎛⎭⎫x ＋12x n 的展开式中前三项的系数C 0n 、12C 1n 、14C 2n 成等差数列，所以C 0n ＋14C 2n ＝C 1n ，即n 2－9n ＋8＝0，解得n ＝8或n ＝1(舍去)．T r ＋1＝C r 8x 8－r ⎝⎛⎭⎫12x r ＝⎝⎛⎭⎫12r C r8x 8－2r .令8－2r ＝4，可得r ＝2，所以x 4的系数为⎝⎛⎭⎫122C 28＝7.答案：79.解析：令x ＝1，得a 4＋a 3＋a 2＋a 1＋a 0＝8116，令x ＝0，得a 0＝116，所以a 4＋a 3＋a 2＋a 1＝5.答案：510.解析：⎝⎛⎭⎫x －1x 6的展开式通项为T r ＋1＝C r 6x 6－2r ·(－1)r ，∴(1＋x ＋x 2)·⎝⎛⎭⎫x －1x 6的常数项为C r 6·x 6－2r ·(－1)r (当r ＝3时)与C r 6x 6－2r (－1)r (当r ＝4时)之和，∴常数项为C 36(－1)3＋C 46(－1)4＝－20＋15＝－5.答案：－511.解析：在⎝⎛⎭⎫x ＋1x 3n 展开式中，T r ＋1＝C r n ·x n －r ·(x －3)r ＝C r n ·x n －4r ，∵不会出现常数项，∴n －4r ≠0，n －4r ≠－1，n －4r ≠－2，∴n ≠4r ，n ≠4r －1，n ≠4r －2，r ∈N ＋， ∴n ≠4，n ≠8，n ≠3，n ≠7，n ≠2，n ≠6， ∴n ＝5.答案：512.解析：令x ＝0得a 0＝1，令x ＝1得1＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 012， ∴(a 0＋a 1)＋(a 0＋a 2)＋…＋(a 0＋a 2 012) ＝2 011a 0＋a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 012＝2 012. 答案：2 01213.解析：令x ＝12，0＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01222 012.令x ＝0得1＝a 0，∴a 12＋a 222＋…＋a 2 01222 012＝－1.14.解析：由题意知，第五项系数为C 4n ·(－2)4， 第三项的系数为C 2n ·(－2)2， 则有C 4n ·(－2)4C 2n ·(－2)2＝101，化简得n 2－5n －24＝0， 解得n ＝8或n ＝－3(舍去)．(1)令x ＝1得各项系数的和为(1－2)8＝1.(2)通项公式T r ＋1＝C r 8·(x )8－r ·⎝⎛⎭⎫－2x 2r ＝C r 8·(－2)r ·x 8－r 2－2r . 令8－r 2－2r ＝32，则r ＝1，故展开式中含x 32的项为T 2＝－16x 32.(3)设展开式中的第r 项，第r ＋1项，第r ＋2项的系数绝对值分别为C r －18·2r －1，C r 8·2r ，C r ＋18·2r ＋1， 若第r ＋1项的系数绝对值最大，则 ⎩⎪⎨⎪⎧C r －18·2r －1≤C r 8·2r ，C r ＋18·2r ＋1≤C r 8·2r ， 解得5≤r ≤6.又T 6的系数为负，∴系数最大的项为T 7＝1 792x －11. 由n ＝8知第5项二项式系数最大，此时T 5＝1 120x －6.第四节 随机事件的概率1. 解析：由概率与频率的相关定义及联系知①④⑤正确． 答案：B2. 解析：若函数在区间(a ，b )上单调，则有唯一的零点，否则不一定成立，B 错误；C 是不可能事件，D 是随机事件．答案：A3. 解析：任取4个共有C410＝210种不同的取法．取出的球的编号不相同有C45×24种不同的取法．答案：D4. 解析：随机从袋子中取2个小球的基本事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)共有10种，其中数字之和为3或6的，有(1,2)，(1,5)，(2,4)3种，∴数字之和为3或6的概率为P ＝310.答案：D5. 解析：由题意知男生有60－24＝36(人)，故男生选中的概率为3660＝35.答案：D6. 解析：电子钟显示时间可设为AB ∶CD . 其中A ＝0,1,2，B ＝0,1,2,3，…，9， C ＝0,1,2,3,4,5，D ＝0,1,2，…，9. 若A ＋B ＋C ＋D ＝23，则(1)当A ＝0时，B ，C ，D 可分别为9,5,9一种情况．(2)当A ＝1时，B ，C ，D 可分别为9,4,9或9,5,8或8,5,9三种情况． (3)当A ＝2时不存在． ∴符合题意的只有4种． 显示所有数字种数为：A ＝0时，10×6×10＝600； A ＝1时，10×6×10＝600； A ＝2时，4×6×10＝240.∴P ＝41 440＝1360.答案：C7.解析：由对立事件的性质知，在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为1－(1－0.8)(1－0.75)＝0.95.答案：0.958.解析：“甲获胜”记为事件A ，“两人下成和棋”记为事件B ，则易知A 与B 互斥，所以甲不输的概率为P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝0.3＋0.5＝0.8.答案：0.89.解析：方法一(直接法)：“至少取到1枝次品”包括：A ＝“第一次取到次品，第二次取到正品”，B ＝“第一次取到正品，第二次取到次品”，C ＝“第一、二次均取到次品”三个互斥事件，所以所求事件的概率为P (A )＋P (B )＋P (C )＝2×8＋8×2＋2×110×9＝1745.方法二(间接法)：“至少取到1枝次品”的对立事件为“取到的2枝铅笔均为正品”，所以所求事件的概率为1－8×710×9＝1745.答案：174510. 解析：方法一：不妨给红色球编号为红1、红2、红3，则总的取法为(红1，红2)，(红2，红1)，(红1，红3)，(红3，红1)，(红2，红3)，(红3，红2)，(红1，白)，(白，红1)，(红2，白)，(白，红2)，(红3，白)，(白，红3)共12种，甲获胜的有6种，故甲胜的概率为12.方法二：甲胜的概率P ＝C23C24＝12.答案：1211.解析：从9张票中任取2张，有C29＝36种取法．记“号数至少有一个为奇数”为事件B ，“号数全是偶数”为事件C ，则事件C 为从号数为2,4,6,8的四张票中任取2张有C24＝6种取法．∴P (C )＝636＝16，由对立事件的性质得P (B )＝1－P (C )＝1－16＝56.12. 解析：方法一(利用互斥事件求概率)：记事件A 1＝{任取1球为红球}，A 2＝{任取1球为黑球}，A 3＝{任取1球为白球}，A 4＝{任取1球为绿球}，。