2012年高考数学试卷及解析北京卷(文科)

2012年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）一 、选择题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知集合A={x ∈R|3x+2＞0} B={x ∈R|（x+1）(x-3)＞0} 则A ∩B= A ．（-∞，-1） B ．（-1，-23） C ．（-23,3） D ． (3,+∞)【解析】和往年一样，依然的集合(交集)运算，本次考查的是一次和二次不等式的解法。

因为32}023|{->⇒>+∈=x x R x A ，利用二次不等式可得1|{-<=x x B 或}3>x 画出数轴易得：}3|{>=x x B A ．故选D ． 【答案】D2．在复平面内，复数103i i+对应的点的坐标为A ． (1 ,3)B ．(3,1)C ．(-1,3)D ．(3 ,-1)【解析】本题考查的是复数除法的化简运算以及复平面，实部虚部的概念。

i i ii i i i i i ii 3110301091030)3)(3()3(1031022+=+=--=-+-=+，实部为1，虚部为3，对应复平面上的点为(1,3)，故选A ． 【答案】A3．设不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤20,20y x ，表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 （A ）4π （B ）22π- （C ）6π（D ）44π-【解析】题目中⎩⎨⎧≤≤≤≤2020y x 表示的区域如图正方形所示，而动点D可以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，因此4422241222ππ-=⨯⋅-⨯=P ，故选D 。

【答案】D4．执行如图所示的程序框图，输出S值为（A ）2 （B ）4 （C ）8 （D ）16【解析】0=k ，11=⇒=k s ，21=⇒=k s ，22=⇒=k s ，8=s ，循环结束，输出的s 为8，故选C 。

【答案】C5．函数x x x f )21()(21-=的零点个数为（A ）0 （B ）1（C ）2 （D ）3【解析】x x x f )21()(21-=的零点，即令0)(=x f ，根据此题可得xx )21(21=，在平面直角坐标系中分别画出幂函数21x 和指数函数x)21(的图象，可得交点只有一个，所以零点只有一个，故选B 。

2012年北京市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）（2012•北京）已知集合A={x∈R|3x+2＞0}，B={x∈R|（x+1）（x﹣3）＞0}，则A∩B=（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，）C．﹙，3﹚D．（3，+∞）考点：一元二次不等式的解法；交集及其运算．专题：集合．分析：求出集合B，然后直接求解A∩B．解答：解：因为B={x∈R|（x+1）（x﹣3）＞0﹜={x|x＜﹣1或x＞3}，又集合A={x∈R|3x+2＞0﹜={x|x}，所以A∩B={x|x}∩{x|x＜﹣1或x＞3}={x|x＞3}，故选：D．点评：本题考查一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查计算能力．2．（5分）（2012•北京）在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A．（1，3）B．（3，1）C．（﹣1，3）D．（3，﹣1）考点：复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：由==1+3i，能求出在复平面内，复数对应的点的坐标．解答：解：∵===1+3i，∴在复平面内，复数对应的点的坐标为（1，3），故选A．点评：本题考查复数的代数形式的乘积运算，是基础题．解题时要认真审题，注意复数的几何意义的求法．3．（5分）（2012•北京）设不等式组，表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（）A．B．C．D．考点：二元一次不等式（组）与平面区域；几何概型．专题：概率与统计．分析：本题属于几何概型，利用“测度”求概率，本例的测度即为区域的面积，故只要求出题中两个区域：由不等式组表示的区域和到原点的距离大于2的点构成的区域的面积后再求它们的比值即可．解答：解：其构成的区域D如图所示的边长为2的正方形，面积为S1=4，满足到原点的距离大于2所表示的平面区域是以原点为圆心，以2为半径的圆外部，面积为=4﹣π，∴在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率P=故选：D．点评：本题考查几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积、的比值得到，本题是通过两个图形的面积之比得到概率的值．4．（5分）（2012•北京）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2B．4C．8D．16考点：循环结构．专题：算法和程序框图．分析：列出循环过程中S与K的数值，不满足判断框的条件即可结束循环．解答：解：第1次判断后S=1，k=1，第2次判断后S=2，k=2，第3次判断后S=8，k=3，第4次判断后3＜3，不满足判断框的条件，结束循环，输出结果：8．故选C．点评：本题考查循环框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力．5．（5分）（2012•北京）函数f（x）=的零点个数为（）A．0B．1C．2D．3考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：先判断函数的单调性，由于在定义域上两个增函数的和仍为增函数，故函数f（x）为单调增函数，而f（0）＜0，f（）＞0由零点存在性定理可判断此函数仅有一个零点解答：解：函数f（x）的定义域为[0，+∞）∵y=在定义域上为增函数，y=﹣在定义域上为增函数∴函数f（x）=在定义域上为增函数而f（0）=﹣1＜0，f（1）=＞0故函数f（x）=的零点个数为1个故选B点评：本题主要考查了函数零点的判断方法，零点存在性定理的意义和运用，函数单调性的判断和意义，属基础题6．（5分）（2012•北京）已知{a n}为等比数列，下面结论中正确的是（）A．a1+a3≥2a2B．a12+a32≥2a22C．若a1=a3，则a1=a2D．若a3＞a1，则a4＞a2考点：等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：a1+a3=，当且仅当a2，q同为正时，a1+a3≥2a2成立；，所以；若a1=a3，则a1=a1q2，从而可知a1=a2或a1=﹣a2；若a3＞a1，则a1q2＞a1，而a4﹣a2=a1q（q2﹣1），其正负由q的符号确定，故可得结论．解答：解：设等比数列的公比为q，则a1+a3=，当且仅当a2，q同为正时，a1+a3≥2a2成立，故A不正确；，∴，故B正确；若a1=a3，则a1=a1q2，∴q2=1，∴q=±1，∴a1=a2或a1=﹣a2，故C不正确；若a3＞a1，则a1q2＞a1，∴a4﹣a2=a1q（q2﹣1），其正负由q的符号确定，故D不正确故选B．点评：本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．7．（5分）（2012•北京）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）A．28+6B．30+6C．56+12D．60+12考点：由三视图求面积、体积．专题：立体几何．分析：通过三视图复原的几何体的形状，利用三视图的数据求出几何体的表面积即可．解答：解：三视图复原的几何体是底面为直角边长为4和5的三角形，一个侧面垂直底面的等腰三角形，高为4，底边长为5，如图，所以S底==10，S后=，S右==10，S左==6．几何体的表面积为：S=S底+S后+S右+S左=30+6．故选：B．点评：本题考查三视图与几何体的关系，注意表面积的求法，考查空间想象能力计算能力．8．（5分）（2012•北京）某棵果树前n年的总产量S n与n之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，则m的值为（）A．5B．7C．9D．11考点：函数的图象与图象变化；函数的表示方法．专题：函数的性质及应用．分析：由已知中图象表示某棵果树前n年的总产量S与n之间的关系，可分析出平均产量的几何意义为原点与该点边线的斜率，结合图象可得答案．解答：解：若果树前n年的总产量S与n在图中对应P（S，n）点则前n年的年平均产量即为直线OP的斜率由图易得当n=9时，直线OP的斜率最大即前9年的年平均产量最高，故选C点评：本题以函数的图象与图象变化为载体考查了斜率的几何意义，其中正确分析出平均产量的几何意义是解答本题的关键．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）（2012•北京）直线y=x被圆x2+（y﹣2）2=4截得的弦长为．考点：直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：确定圆的圆心坐标与半径，求得圆心到直线y=x的距离，利用垂径定理构造直角三角形，即可求得弦长．解答：解：圆x2+（y﹣2）2=4的圆心坐标为（0，2），半径为2∵圆心到直线y=x的距离为∴直线y=x被圆x2+（y﹣2）2=4截得的弦长为2=故答案为：点评：本题考查直线与圆相交，考查圆的弦长，解题的关键是求得圆心到直线y=x的距离，利用垂径定理构造直角三角形求得弦长．10．（5分）（2012•北京）已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和，若a1=，S2=a3，则a2= 1，S n=．考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：根据等差数列的性质可求出公差，从而可求出第二项，以及等差数列的前n项和．解答：解：根据{a n}为等差数列，S2=a1+a2=a3=+a2；∴d=a3﹣a2=∴a2=+=1S n==故答案为：1，点评：本题主要考查了等差数列的前n项和，以及等差数列的通项公式，属于容易题．11．（5分）（2012•北京）在△ABC中，若a=3，b=，，则∠C的大小为．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：利用正弦定理=，可求得∠B，从而可得∠C的大小．解答：解：∵△ABC中，a=3，b=，，∴由正弦定理=得：=，∴sin∠B=．又b＜a，∴∠B＜∠A=．∴∠B=．∴∠C=π﹣﹣=．故答案为：．点评：本题考查正弦定理，求得∠B是关键，易错点在于忽视“△中大变对大角，小边对小角”结论的应用，属于基础题．12．（5分）（2012•北京）已知函数f（x）=lgx，若f（ab）=1，则f（a2）+f（b2）=2．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：由函数f（x）=lgx，f（ab）=lg（ab）=1，知f（a2）+f（b2）=lga2+lgb2=2lg（ab）．由此能求出结果．解答：解：∵函数f（x）=lgx，f（ab）=lg（ab）=1，f（a2）+f（b2）=lga2+lgb2=lg（ab）2=2lg（ab）=2．故答案为：2．点评：本题考查对数的运算性质，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．13．（5分）（2012•北京）己知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点．则的值为1．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：直接利用向量转化，求出数量积即可．解答：解：因为====1．故答案为：1点评：本题考查平面向量数量积的应用，考查计算能力．14．（5分）（2012•北京）已知f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3），g（x）=2x﹣2．若∀x∈R，f （x）＜0或g（x）＜0，则m的取值范围是（﹣4，0）．考点：复合命题的真假；全称命题．专题：简易逻辑．分析：由于g（x）=2x﹣2≥0时，x≥1，根据题意有f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3）＜0在x ＞1时成立，根据二次函数的性质可求解答：解：∵g（x）=2x﹣2，当x≥1时，g（x）≥0，又∵∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0∴此时f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3）＜0在x≥1时恒成立则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x轴交点都在（1，0）的左面则∴﹣4＜m＜0故答案为：（﹣4，0）点评：本题主要考查了全称命题与特称命题的成立，指数函数与二次函数性质的应用是解答本题的关键三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）（2012•北京）已知函数f（x）=．（1）求f（x）的定义域及最小正周期；（2）求f（x）的单调递减区间．考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的定义域和值域；复合三角函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）由sinx≠0可得x≠kπ（k∈Z），将f（x）化为f（x）=sin（2x﹣）﹣1即可求其最小正周期；（2）由（1）得f（x）=sin（2x﹣）﹣1，再由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，x≠kπ（k∈Z）即可求f（x）的单调递减区间．解答：解：（1）由sinx≠0得x≠kπ（k∈Z），故求f（x）的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}．∵f（x）==2cosx（sinx﹣cosx）=sin2x﹣cos2x﹣1=sin（2x﹣）﹣1∴f（x）的最小正周期T==π．（2）∵函数y=sinx的单调递减区间为[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）∴由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，x≠kπ（k∈Z）得kπ+≤x≤kπ+，（k∈Z）∴f（x）的单调递减区间为：[kπ+，kπ+]（k∈Z）点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查正弦函数的单调性，注重辅助角公式的考察应用，求得f（x=sin（2x﹣）﹣1是关键，属于中档题．16．（14分）（2012•北京）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2．（1）求证：DE∥平面A1CB；（2）求证：A1F⊥BE；（3）线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．考点：直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：（1）D，E分别为AC，AB的中点，易证DE∥平面A1CB；（2）由题意可证DE⊥平面A1DC，从而有DE⊥A1F，又A1F⊥CD，可证A1F⊥平面BCDE，问题解决；（3）取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC，平面DEQ即为平面DEP，由DE⊥平面，P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，可证A1C⊥平面DEP，从而A1C⊥平面DEQ．解答：解：（1）∵D，E分别为AC，AB的中点，∴DE∥BC，又DE⊄平面A1CB，∴DE∥平面A1CB．（2）由已知得AC⊥BC且DE∥BC，∴DE⊥AC，∴DE⊥A1D，又DE⊥CD，∴DE⊥平面A1DC，而A1F⊂平面A1DC，∴DE⊥A1F，又A1F⊥CD，∴A1F⊥平面BCDE，∴A1F⊥BE．（3）线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ．理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC．∵DE∥BC，∴DE∥PQ．∴平面DEQ即为平面DEP．由（Ⅱ）知DE⊥平面A1DC，∴DE⊥A1C，又∵P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，∴A1C⊥DP，∴A1C⊥平面DEP，从而A1C⊥平面DEQ，故线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ．点评：本题考查直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定与性质，考查学生的分析推理证明与逻辑思维能力，综合性强，属于难题．17．（13分）（2012•北京）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，先随机抽取了该市三类垃圾箱总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）； “厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱 厨余垃圾 400 100 100可回收物 30 240 30其他垃圾 20 20 60（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率；（2）试估计生活垃圾投放错误的概率；（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a ，b ，c ，其中a ＞0，a+b+c=600．当数据a ，b ，c 的方差s 2最大时，写出a ，b ，c 的值（结论不要求证明），并求此时s 2的值．（求：S 2=[++…+]，其中为数据x 1，x 2，…，x n 的平均数）考点：模拟方法估计概率；极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析： （1）厨余垃圾600吨，投放到“厨余垃圾”箱400吨，故可求厨余垃圾投放正确的概率； （2）生活垃圾投放错误有200+60+20+20=300，故可求生活垃圾投放错误的概率；（3）计算方差可得=，因此有当a=600，b=0，c=0时，有s 2=80000．解答： 解：（1）由题意可知：厨余垃圾600吨，投放到“厨余垃圾”箱400吨，故厨余垃圾投放正确的概率为；（2）由题意可知：生活垃圾投放错误有200+60+20+20=300，故生活垃圾投放错误的概率为；（3）由题意可知：∵a+b+c=600，∴a ，b ，c 的平均数为200 ∴=，∵（a+b+c ）2=a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ac ≥a 2+b 2+c 2，因此有当a=600，b=0，c=0时，有s 2=80000． 点评：本题考查概率知识的运用，考查学生的阅读能力，属于中档题．18．（13分）（2012•北京）已知函数f （x ）=ax 2+1（a ＞0），g （x ）=x 3+bx ．（1）若曲线y=f （x ）与曲线y=g （x ）在它们的交点（1，c ）处有公共切线，求a ，b 的值；（2）当a=3，b=﹣9时，函数f（x）+g（x）在区间[k，2]上的最大值为28，求k的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）根据曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，可知切点处的函数值相等，切点处的斜率相等，故可求a、b的值；（2）当a=3，b=﹣9时，设h（x）=f（x）+g（x）=x3+3x2﹣9x+1，求导函数，确定函数的极值点，进而可得k≤﹣3时，函数h（x）在区间[k，2]上的最大值为h（﹣3）=28；﹣3＜k＜2时，函数h（x）在区间[k，2]上的最大值小于28，由此可得结论．解答：解：（1）f（x）=ax2+1（a＞0），则f′（x）=2ax，k1=2a，g（x）=x3+bx，则g′（x）=3x2+b，k2=3+b，由（1，c）为公共切点，可得：2a=3+b ①又f（1）=a+1，g（1）=1+b，∴a+1=1+b，即a=b，代入①式，可得：a=3，b=3．（2）当a=3，b=﹣9时，设h（x）=f（x）+g（x）=x3+3x2﹣9x+1则h′（x）=3x2+6x﹣9，令h'（x）=0，解得：x1=﹣3，x2=1；∴k≤﹣3时，函数h（x）在（﹣∞，﹣3）上单调增，在（﹣3，1]上单调减，（1，2）上单调增，所以在区间[k，2]上的最大值为h（﹣3）=28﹣3＜k＜2时，函数h（x）在区间[k，2]上的最大值小于28所以k的取值范围是（﹣∞，﹣3]点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，解题的关键是正确求出导函数．19．（14分）（2012•北京）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（2，0），离心率为，直线y=k（x﹣1）与椭圆C交于不同的两点M，N，（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当△AMN的面积为时，求k的值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）根据椭圆一个顶点为A （2，0），离心率为，可建立方程组，从而可求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线y=k（x﹣1）与椭圆C联立，消元可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0，从而可求|MN|，A（2，0）到直线y=k（x﹣1）的距离，利用△AMN的面积为，可求k的值．解答：解：（Ⅰ）∵椭圆一个顶点为A （2，0），离心率为，∴∴b=∴椭圆C的方程为；（Ⅱ）直线y=k（x﹣1）与椭圆C联立，消元可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，∴|MN|==∵A（2，0）到直线y=k（x﹣1）的距离为∴△AMN的面积S=∵△AMN的面积为，∴∴k=±1．点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，解题的关键是正确求出|MN|．20．（13分）（2012•北京）设A是如下形式的2行3列的数表，a b cd e f满足性质P：a，b，c，d，e，f∈[﹣1，1]，且a+b+c+d+e+f=0．记r i（A）为A的第i行各数之和（i=1，2），C j（A）为A的第j列各数之和（j=1，2，3）；记k（A）为|r1（A）|，|r2（A）|，|c1（A）|，|c2（A）|，|c3（A）|中的最小值．（1）对如下数表A，求k（A）的值1 1 ﹣0.80.1 ﹣0.3 ﹣1（2）设数表A形如1 1 ﹣1﹣2dd d ﹣1其中﹣1≤d≤0．求k（A）的最大值；（Ⅲ）对所有满足性质P的2行3列的数表A，求k（A）的最大值．考点：进行简单的演绎推理．专题：推理和证明．分析：（1）根据r i（A）为A的第i行各数之和（i=1，2），C j（A）为A的第j列各数之和（j=1，2，3）；记k（A）为|r1（A）|，|r2（A）|，|c1（A）|，|c2（A）|，|c3（A）|中的最小值可求出所求；（2）k（A）的定义可求出k（A）=1+d，然后根据d的取值范围可求出所求；（III）任意改变A三维行次序或列次序，或把A中的每个数换成它的相反数，所得数表A*仍满足性质P，并且k（A）=k（A*）因此，不防设r1（A）≥0，c1（A）≥0，c2（A）≥0，然后利用不等式的性质可知3k（A）≤r1（A）+c1（A）+c2（A），从而求出k（A）的最大值．解答：解：（1）因为r1（A）=1.2，r2（A）=﹣1.2，c1（A）=1.1，c2（A）=0.7，c3（A）=﹣1.8，所以k（A）=0.7（2）r1（A）=1﹣2d，r2（A）=﹣1+2d，c1（A）=c2（A）=1+d，c3（A）=﹣2﹣2d 因为﹣1≤d≤0，所以|r1（A）|=|r2（A）|≥1+d≥0，|c3（A）|≥1+d≥0所以k（A）=1+d≤1当d=0时，k（A）取得最大值1（III）任给满足性质P的数表A（如下所示）a b cd e f任意改变A三维行次序或列次序，或把A中的每个数换成它的相反数，所得数表A*仍满足性质P，并且k（A）=k（A*）因此，不防设r1（A）≥0，c1（A）≥0，c2（A）≥0，由k（A）的定义知，k（A）≤r1（A），k（A）≤c1（A），k（A）≤c2（A），从而3k（A）≤r1（A）+c1（A）+c2（A）=（a+b+c）+（a+d）+（b+e）=（a+b+c+d+e+f）+（a+b﹣f）=a+b﹣f≤3所以k（A）≤1由（2）可知，存在满足性质P的数表A使k（A）=1，故k（A）的最大值为1．点评：本题主要考查了进行简单的演绎推理，同时分析问题的能力以及不等式性质的应用，同时考查了转化的思想，属于中档题．。

2012年全国各地高考数学试题汇编汇总数学(文)(北京卷)本试卷共5页,150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题 共40分)一 、选择题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。

(1)已知集合{|320}A x R x =∈+>,{|(1)(3)0}B x R x x =∈+->,则A B = (A)(,1)-∞- (B)2(1,)3-- (C)2(,3)3- (D)(3,)+∞ (2)在复平面内,复数103ii+对应的点的坐标为 (A)(1,3) (B)(3,1) (C)(1,3)- (D)(3,1)- (3)设不等式组02,02x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域为D ,在区域D 内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于2的概率是(A)4π (B)22π-(C)6π (D)44π-(4)执行如图所示的程序框图,输出的S 值为 (A)2 (B)4 (C)8 (D)16(5)函数121()()2xf x x =-的零点个数为(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 (6)已知{}n a 为等比数列,下面结论中正确的是(A)1322a a a +≥ (B)2221322a a a +≥ (C)若13a a =,则12a a = (D)若31a a >,则42a a > (7)某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是(A)28+ (B)30+(C)56+ (D)60+(8)某棵果树前n 年的总产量n S 与n 之间的关系如图所示,从目前记录的结果看,前m 年的年平均产量最高,m 的值为 (A)5 (B)7 (C)9 (D)11第二部分(非选择题 共110分)二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。

(9)直线y x =被圆22(2)4x y +-=截得的弦长为__________。

2012年普通高等学校招生全国统一考试北京文科1.已知集合A ＝{x ∈R|3x ＋2>0}，B ＝{x ∈R|(x ＋1)(x ﹣3)>0}，则A ∩B ＝( ). A.(﹣∞，﹣1)B.21,-3⎛⎫- ⎪⎝⎭C.2,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D.(3，＋∞)D 由题意得，A ＝2|3x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭，B ＝{x |x <﹣1或x >3}，所以A ∩B ＝(3，＋∞).2.在复平面内，复数10i 3i+对应的点的坐标为( ).A.(1，3)B.(3，1)C.(﹣1，3)D.(3，﹣1)A ∵10i 3i +＝10i(3i)(3i)(3i)-+-＝1030i 10+＝1＋3i ，∴10i 3i+对应的点的坐标为(1，3).3.设不等式组02,02x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域为D .在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( ).A.π4B.π22-C.π6D.4π4-D 由题意知此概型为几何概型，设所求事件为A ，如图所示，边长为2的正方形区域为总度量μΩ，满足事件A 的是阴影部分区域μA ，故由几何概型的概率公式得P (A )＝22212π242-⨯⨯＝4π4-. 4.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为( ).A.2B.4C.8D.16C 初始：k ＝0，S ＝1，第一次循环：由0<3，得S ＝1×20＝1，k ＝1;第二次循环：由1<3得，S ＝1×21＝2，k ＝2; 第三次循环：由2<3得，S ＝2×22＝8，k ＝3. 经判断此时要跳出循环.因此输出的S 值为8. 5.函数f (x )＝12x ﹣12x⎛⎫ ⎪⎝⎭的零点个数为( ).A.0B.1C.2D.3B 函数f (x )＝12x ﹣12x⎛⎫ ⎪⎝⎭的零点个数即为方程12x ＝12x⎛⎫ ⎪⎝⎭的根的个数，因此可以利用数形结合，在同一坐标系内画出函数y ＝12x 和函数y ＝12x⎛⎫ ⎪⎝⎭的图象，两图象的交点个数即为f (x )＝12x ﹣12x⎛⎫ ⎪⎝⎭的零点个数，如图所示，其零点个数为1.6.已知{a n }为等比数列.下面结论中正确的是( ). A.a 1＋a 3≥2a 2B.21a ＋23a ≥222aC.若a 1＝a 3，则a 1＝a 2D.若a 3>a 1，则a 4>a 2B A 中当a 1，a 3为负数，a 2为正数时，a 1＋a 3≥2a 2不成立;B 中根据等比数列的性质及均值不等式得，21a＋23a ≥222a ;C 中取a 1＝a 3＝1，a 2＝﹣1，显然a 1≠a 2;D 中取a 1＝1，a 2＝﹣2，a 3＝4，a 4＝﹣8，可知a 4>a 2不一定成立.综上可知仅有B 正确.7.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( ).A.28＋B.30＋C.56＋D.60＋B 根据三棱锥的三视图可还原此几何体的直观图为：此几何体为一个底面为直角三角形，高为4的三棱锥，因此表面积为S ＝12×(2＋3)×4＋12×4×5＋12×4×(2＋3)＋1230＋8.某棵果树前n 年的总产量S n 与n 之间的关系如图所示.从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为( ).A.5B.7C.9D.11C 结合S n 与n 的关系图象可知，前2年产量均为0，显然22S ＝0为最小，在第3年~第9年期间，S n 的增长呈现持续稳定性.但在第9年之后，S n 的增长骤然降低，因为当n ＝9时，99S 的值为最大，故m 的值为9.9.直线y ＝x 被圆x 2＋(y ﹣2)2＝4截得的弦长为__________.由题意得，圆x 2＋(y ﹣2)2＝4的圆心为(0，2)，半径为2，圆心到直线x ﹣y ＝0的距离d.设截得的弦长为l ，则由22l ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋2＝22，得l ＝10.已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，若a 1＝12，S 2＝a 3，则a 2＝__________，S n ＝__________.1 14(n 2＋n ) 由a 1＝12，S 2＝a 3得，a 1＋a 2＝a 3，即a 3﹣a 2＝12，∴{a n }是一个以a 1＝12为首项，以12为公差的等差数列.∴a n ＝12＋(n ﹣1)×12＝12n ，∴a 2＝1，S n ＝11n 222n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝14n 2＋14n ＝14(n 2＋n ).11.在△ABC 中，若a ＝3，bA ＝π3，则∠C 的大小为__________.π2 由正弦定理得，sin a A ∠＝sin b B ∠sin ∠B ＝12， ∴∠B ＝30°或∠B ＝150°.由a >b 可知∠B ＝150°不合题意，∴∠B ＝30°. ∴∠C ＝180°﹣60°﹣30°＝90°.12.已知函数f (x )＝lg x ，若f (ab )＝1，则f (a 2)＋f (b 2)＝__________.2 由已知可得，lg(ab )＝1，∴f (a 2)＋f (b 2)＝lg a 2＋lg b 2＝lg(a 2b 2)＝2lg(ab )＝2×1＝2.13.已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE ·CB 的值为__________;DE ·DC 的最大值为__________.1 1 DE ·CB ＝(DA ＋AE )·CB＝(CB ＋AE )·CB ＝|CB |2＋AE ·CB ， ∵AE CB ⊥， ∴AE ·CB ＝0.∴DE ·CB ＝12＋0＝1.DE ·DC ＝(DA ＋AE )·DC＝DA ·DC ＋AE ·DC ＝λ|DC |2(0≤λ≤1)， ∴DE ·DC 的最大值为1.14.已知f (x )＝m (x ﹣2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x ﹣2.若∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0，则m 的取值范围是__________. (﹣4，0) 由题意可知，m ≥0时不能保证对∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0成立.(1)当m ＝﹣1时，f (x )＝﹣(x ＋2)2，g (x )＝2x ﹣2，画出图象①，显然满足条件;(2)当﹣1<m <0时，2m >﹣(m ＋3)，要使其满足条件，则需10,21,m m -<<⎧⎨<⎩解得﹣1<m <0，如图②; (3)当m <﹣1时，﹣(m ＋3)>2m ，要使其满足条件，则需1,-(3)1,m m <-⎧⎨+<⎩解得﹣4<m <﹣1，如图②.图① 图②综上可知，m 的取值范围为(﹣4，0). 15.已知函数f (x )＝(sin cos )sin2sin x x x x-.(1)求f (x )的定义域及最小正周期; (2)求f (x )的单调递减区间.解：(1)由sin x ≠0得x ≠k π(k ∈Z)，故f (x )的定义域为{x ∈R|x ≠k π，k ∈Z}.因为f (x )＝(sin cos )sin2sin x x x x-＝2cos x (sin x ﹣cos x ) ＝sin2x ﹣cos2x ﹣1π24x⎛⎫-⎪⎝⎭﹣1，所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(2)函数y＝sin x的单调递减区间为π3π2π,2kπ22k⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k∈Z).由2kπ＋π2≤2x﹣π4≤2kπ＋3π2，x≠kπ(k∈Z)，得kπ＋3π8≤x≤kπ＋7π8(k∈Z).所以f(x)的单调递减区间为3π7ππ,kπ88k⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k∈Z).16.如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点.将△ADE 沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2.(1)求证：DE∥平面A1CB;(2)求证：A1F⊥BE;(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ?说明理由.图1图2解：(1)因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥BC.又因为DE⊄平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.(2)由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D，DE⊥CD.所以DE⊥平面A1DC.而A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，所以A1F⊥平面BCDE.所以A1F⊥BE.(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.又因为DE∥BC，所以DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP.所以A1C⊥平面DEP.从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.17.近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱.为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000(1)(2)试估计生活垃圾投放错误的概率;(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，其中a>0，a＋b＋c＝600.当数据a，b，c的方差s2最大时，写出a，b，c的值(结论不要求证明)，并求此时s2的值.(注：s2＝1n[(x1﹣x)2＋(x2﹣x)2＋…＋(x n﹣x)2]，其中x为数据x1，x2，…，x n的平均数)解：(1)厨余垃圾投放正确的概率约为“”厨余垃圾箱里厨余垃圾量厨余垃圾总量＝400400100100++＝23.(2)设生活垃圾投放错误为事件A，则事件A表示生活垃圾投放正确.事件A的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P(A)约为400240601?000++＝0.7，所以P(A)约为1﹣0.7＝0.3.(3)当a＝600，b＝c＝0时，s2取得最大值.因为x＝13(a＋b＋c)＝200，所以s2＝13×[(600﹣200)2＋(0﹣200)2＋(0﹣200)2]＝80000.18.已知函数f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx.(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值;(2)当a＝3，b＝﹣9时，若函数f(x)＋g(x)在区间[k，2]上的最大值为28，求k的取值范围.解：(1)f'(x)＝2ax，g'(x)＝3x2＋b.因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，所以f(1)＝g(1)，且f'(1)＝g'(1).即a＋1＝1＋b，且2a＝3＋b.解得a＝3，b＝3.(2)记h(x)＝f(x)＋g(x)，当a＝3，b＝﹣9时，h(x)＝x3＋3x2﹣9x＋1，h'(x)＝3x2＋6x﹣9.令h'(x)＝0，得x1＝﹣3，x2＝1.h(x)与h'(x)在(﹣∞，2]由此可知：当k≤﹣3时，函数h(x)在区间[k，2]上的最大值为h(﹣3)＝28;当﹣3<k <2时，函数h (x )在区间[k ，2]上的最大值小于28. 因此，k 的取值范围是(﹣∞，﹣3].19.已知椭圆C ：22x a＋22y b ＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2，0)直线y ＝k (x ﹣1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N . (1)求椭圆C 的方程;(2)当△AMN时，求k 的值.解：(1)由题意得2222,,a c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得b所以椭圆C 的方程为24x ＋22y ＝1. (2)由22(1),1,42y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得(1＋2k 2)x 2﹣4k 2x ＋2k 2﹣4＝0.设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＝k (x 1﹣1)，y 2＝k (x 2﹣1)，x 1＋x 2＝22412k k+，x 1x 2＝222412k k -+. 所以|MN |又因为点A (2，0)到直线y ＝k (x ﹣1)的距离d所以△AMN 的面积为S ＝12|MN |·d，解得k ＝±1. 20.设A 是如下形式的2行3列的数表，满足性质P ：a ，b ，c ，d ，e ，f ∈[﹣1，1]，且a ＋b ＋c ＋d ＋e ＋f ＝0.记r i (A )为A 的第i 行各数之和(i ＝1，2)，c j (A )为A 的第j 列各数之和(j ＝1，2，3);记k (A )为|r 1(A )|，|r 2(A )|，|c 1(A )|，|c 2(A )|，|c 3(A )|中的最小值. (1)对如下数表A ，求k (A)的值;(2)设数表A 形如其中﹣1≤d≤0.求k(A)的最大值;(3)对所有满足性质P的2行3列的数表A，求k(A)的最大值.解：(1)因为r1(A)＝1.2，r2(A)＝﹣1.2，c1(A)＝1.1，c2(A)＝0.7，c3(A)＝﹣1.8，所以k(A)＝0.7.(2)r1(A)＝1﹣2d，r2(A)＝﹣1＋2d，c1(A)＝c2(A)＝1＋d，c3(A)＝﹣2﹣2d.因为﹣1≤d≤0，所以|r1(A)|＝|r2(A)|≥1＋d≥0，|c3(A)|≥1＋d≥0.所以k(A)＝1＋d≤1.当d＝0时，k(A)取得最大值1.(3)任给满足性质P的数表A(如下所示).任意改变A的行次序或列次序，或把A中的每个数换成它的相反数，所得数表A*仍满足性质P，并且k(A)＝k(A*).因此，不妨设r1(A)≥0，c1(A)≥0，c2(A)≥0.由k(A)的定义知，k(A)≤r1(A)，k(A)≤c1(A)，k(A)≤c2(A).从而3k(A)≤r1(A)＋c1(A)＋c2(A)＝(a＋b＋c)＋(a＋d)＋(b＋e)＝(a＋b＋c＋d＋e＋f)＋(a＋b﹣f)＝a＋b ﹣f≤3.所以k(A)≤1.由(2)知，存在满足性质P的数表A使k(A)＝1.故k(A)的最大值为1.。

2012年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）解析版数学（文科）第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1.已知集合{}320A x R x =∈+>，{}(1)(3)0B x R x x =∈+->，则A B = ( ) A ．(,1)-∞- B ．2(1,)3-- C ．2(,3)3- D ．(3,)+∞【答案】D【解析】2|3A x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭，利用二次不等式的解法可得{}|31B x x x =><-或，画出数轴易得{}|3A x x ⋂=>。

【考点定位】本小题考查的是集合（交集）运算和一次和二次不等式的解法。

2.在复平面内，复数103ii+对应的点坐标为（ ） A ． （1,3） B ． （3,1） C ．(1,3-） D ．31-（，）【答案】A 【解析】1010(3)133(3)(3)i i i i i i i -==+++-，实部是1，虚部是3，对应复平面上的点为(1,3)，故选A 【考点定位】本小题主要考查复数除法的化简运算以及复平面、实部虚部的概念。

3.设不等式组0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域为D.在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ） A ．4π B ． 22π- C ． 6π D ．44π- 【答案】D【解析】题目中0202x y ≤≤⎧⎪⎨≤≤⎪⎩表示的区域表示正方形区域，而动点D 可以存在的位置为正方形面积减去四分之一的圆的面积部分，因此2122244224p ππ⨯-⨯-==⨯，故选D 【考点定位】 本小题是一道综合题，它涉及到的知识包括：线性规划，圆的概念和面积公式、概率。

4. 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 【答案】C【解析】0,11,12,23,8k s k s k s k s ==⇒==⇒==⇒==， 循环结束，输出的S 为8，故选C【考点定位】 本小题主要考查程序框图，涉及到判断循环结束的 时刻，以及简单整数指数幂的计算。

绝密★使用完毕前2012年普通高等学校招生全国统一考试数 学 (文) (北京卷)本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）已知集合{320}A x x =∈+>R ，{(1)(3)0}B x x x =∈+->R ，则A B =I（2）在复平面内，复数10i 3i+对应的点的坐标为（3）设不等式组02,02x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域为D ．在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 （4）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（A ）(,1)-∞- （B ）2(1,)3--（C ）2(,3)3-（D ）(3,)+∞（A ）(1,3)（B ）(3,1)（C ）(1,3)-（D ）(3,1)-（A ）4π（B ）22π- （C ）6π（D ）44π-（A ）2 （B ）4 （C ）8 （D ）16S=S ∙2k1k=0, S=1是否输出S结束开始（5）函数121()2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点个数为（6）已知{}n a 为等比数列，下面结论中正确的是（7）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（8）某棵果树前n 年的总产量n S 与n 之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m 年的 年平均产量最高，m 的值为（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3（A ）1322a a a +≥ （B ）2221322a a a +≥ （C ）若13a a =，则12a a =（D ）若31a a >，则42a a >（A）28+（B）30+（C）56+（D）60+（A ）5 （B ）7 （C ）9 （D ）11俯视图侧（左）视图正（主）视图434第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．（9）直线y x =被圆22(2)4x y +-=截得的弦长为 ． （10）已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和．若112a =，23S a =，则2a = ；n S = ．（11）在A B C ∆中，若3a =，b =3A π∠=，则C ∠的大小为 ．（12）已知函数()lg f x x =，若()1f ab =，则22()()f a f b += ．（13）已知正方形A B C D 的边长为1，点E 是A B 边上的动点，则D E C B ⋅uuu r uur的值为 ；D E D C ⋅uuu r uuu r的最大值为 ．（14）已知()(2)(3)f x m x m x m =-++，()22x g x =-．若x ∀∈R ，()0f x <或()0g x <，则m 的取值范围是 ．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题共13分）已知函数(sin cos )sin 2()sin x x xf x x-=．（Ⅰ）求()f x 的定义域及最小正周期； （Ⅱ）求()f x 的单调递减区间．（16）（本小题共14分）如图1，在R t A B C ∆中，90C ∠=︒，D ，E 分别为A C ，AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点，将ADE ∆沿D E 折起到1A D E ∆的位置，使1A F C D ⊥，如图2． （Ⅰ）求证：D E //平面1A C B ； （Ⅱ）求证：1A F BE ⊥；（Ⅲ）线段1A B 上是否存在点Q ，使1A C ⊥⊥平面DEQ ？说明理由．（17）（本小题共13分）近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其 他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取 了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：（Ⅰ）试估计厨余垃圾投放正确的概率； （Ⅱ）试估计生活垃圾投放错误的概率；（Ⅲ）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为,,a b c ，其中0a >，a b c ++=600．当数据,,a b c 的方差2s 最大时，写出,,a b c的值（结论不要求证明），并求此时2s 的值．（注：222121[()()s x x x x n=-+-+ (2)()]n x x +-，其中x 为数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅的平均数）D FDEBCA 1F CB图2图1（18）（本小题共13分）已知函数2()1(0)f x ax a =+>，3()g x x bx =+．（Ⅰ）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,)c 处具有公共切线，求,a b 的值； （Ⅱ）当3a =，9b =-时，若函数()()f x g x +在区间[,2]k 上的最大值为28，求k 的取值范围．（19）（本小题共14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b ab+=>>的一个顶点为(2,0)A ，离心率为2．直线(1)y k x =-与椭圆C 交于不同的两点M ，N ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）当A M N ∆3k 的值．（20）（本小题共13分）设A 是如下形式的2行3列的数表，满足性质P ：,,,,,[1,1]a b c d e f ∈-，且0a b c d e f +++++=．记()i r A 为A 的第i 行各数之和(1,2)i =，()j c A 为A 的第j 列各数之和(1,2,3)j =； 记()k A 为1|()|r A ，2|()|r A ，1|()|c A ，2|()|c A ，3|()|c A 中的最小值． （Ⅰ）对如下数表A ，求()k A 的值；（Ⅱ）设数表A 形如其中1-≤d ≤0．求()k A 的最大值；（Ⅲ）对所有满足性质P 的2行3列的数表A ，求()k A 的最大值．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）绝密 使用完毕前2012年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）D （2）A （3）D （4）C （5）B（6）B（7）B（8）C二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）（10）1 1(1)4n n +（11）2π（12）2（13）1 1（14）(4,0)-三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（Ⅰ）由sin 0x ≠得()x k k π≠∈Z ，故()f x 的定义域为{|,}x x k k π∈≠∈R Z ． 因为(sin cos )sin 2()sin x x xf x x-=2cos(sin cos )x x =- sin 2cos 21x x =--)14x π=--， 所以()f x 的最小正周期22T ππ==．（Ⅱ）函数sin y x =的单调递减区间为3[2,2]()22k k k ππππ++∈Z ．由 3222242k x k πππππ+≤-≤+，()x k k π≠∈Z ，得 37()88k x k k ππππ+≤≤+∈Z ．所以()f x 的单调递减区间为37[,]()88k k k ππππ++∈Z ．解：（Ⅰ）因为D ，E 分别为A C ，A B 的中点，所以D E //B C ．又因为D E ⊄平面1A C B ， 所以D E //平面1A C B 平面．（Ⅱ）由已知得A C B C ⊥且D E //B C ，所以D E A C ⊥．所以1D E A D ⊥，D E C D ⊥． 所以D E ⊥平面1A D C ． 而1A F ⊂平面1A D C ， 所以1D E A F ⊥． 又因为1A F C D ⊥， 所以1A F ⊥平面B C D E ． 所以1A F BE ⊥．（Ⅲ）线段1A B 上存在点Q ，使1A C ⊥⊥平面DEQ ．理由如下：如图，分别取1A C ，1A B 的中点P ，Q ，则PQ //B C ． 又因为D E //B C ， 所以D E //PQ ．所以平面DEQ 即为平面D EP ． 由（Ⅱ）知，D E ⊥平面1A D C ， 所以1D E A C ⊥．又因为P 是等腰三角形1D A C 底边1A C 的中点， 所以1A C D P ⊥． 所以1A C ⊥平面D EP ． 从而1A C ⊥平面DEQ ．故线段1A B 上存在点Q ，使得1A C ⊥⊥平面DEQ ．A 1P F D QECB解：（Ⅰ）厨余垃圾投放正确的概率约为40024001001003==++“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量厨余垃圾总量．（Ⅱ）设生活垃圾投放错误为事件A ，则事件A 表示生活垃圾投放正确．事件A 的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量得总和除以生活垃圾总量，即()P A 约为400240600.71000++=，所以约为10.70.3-=．（Ⅲ）当600a =，0b c ==时，2s 取得最大值．因为1()2003x a b c =++=，所以22221[(600200)(0200)(0200)]800003s =-+-+-=．（18）（共13分）解：（Ⅰ）()2f x ax '=，2()3g x x b '=+．因为曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,)c 处具有公共切线，所以(1)(1)f g =，且(1)(1)f g ''=．即 11a b +=+，且23a b =+． 解得 3a =，3b =．（Ⅱ）记()()()h x f x g x =+．当3a =，9b =-时，32()391h x x x x =+-+， 2()369h x x x '=+-．令()0h x '=，得13x =-，21x =．()h x 与()h x '在(,2]-∞上的情况如下：由此可知：当k ≤3-时，函数()h x 在区间[,2]k 上的最大值为(3)28h -=； 当32k -<<时，函数()h x 在区间[,2]k 上的最大值小于28． 因此，k 的取值范围是(,3]-∞-．解：（Ⅰ）由题意得2222,2,a ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得b =．所以椭圆C 的方程为22142xy+=．（Ⅱ）由22(1),1,42y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(12)4240k x k x k +-+-=．设点M ，N 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，则11(1)y k x =-，22(1)y k x =-，2122412kx x k+=+，21222412k x x k-=+．所以||M N ==12k=+．又因为点(2,0)A 到直线(1)y k x =-的距离d =，所以A M N ∆的面积为21||||212k S M N d k=⋅=+．123k=+，解得1k =±．（20）（共13分）解：（Ⅰ）因为1() 1.2r A =，2() 1.2r A =-，1() 1.1c A =，2()0.7c A =，3() 1.8c A =-，所以()0.7k A =．（Ⅱ）1()12r A d =-，2()12r A d =-+，12()()1c A c A d ==+，3()22c A d =--．因为1-≤d ≤0，所以12|()||()|10r A r A d =≥+≥，3|()|10c A d ≥+≥． 所以()1k A d =+≤0．当0d =时，()k A 取得最大值1．（Ⅲ）任给满足性质P 的数表A （如下所示）．任意改变A 的行次序或列次序，或把A 中的每个数换成它的相反数，所得数表A *仍满足性质P ，并且()()k A k A *=．因此，不妨设1()0r A ≥，1()0c A ≥，2()0c A ≥．由()k A 的定义知，1()()k A r A ≤，1()()k A c A ≤，2()()k A c A ≤．从而1123()()()()()()()k A r A c A c A a b c a d b e ≤++=++++++()()a b c d e f a b f =+++++++- 3a b f =+-≤．所以()1k A ≤．由（Ⅱ）知，存在满足性质P 的数表A 使()1k A =．故()k A 的最大值为1．。

2012年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一 、选择题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{|320}A x R x =∈+>，{|(1)(3)0}B x R x x =∈+->，则A B =I （A ）(,1)-∞- （B ）2(1,)3-- （C ）2(,3)3- （D ）(3,)+∞ （2）在复平面内，复数103ii+对应的点的坐标为 （A ）(1,3) （B ）(3,1) （C ）(1,3)- （D ）(3,1)- （3）设不等式组02,02x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 （A ）4π（B ）22π-（C ）6π（D ）44π-（4）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 （A ）2 （B ）4 （C ）8 （D ）16（5）函数121()()2xf x x =-的零点个数为（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 （6）已知{}n a 为等比数列，下面结论中正确的是（A ）1322a a a +≥ （B ）2221322a a a +≥（C ）若13a a =，则12a a = （D ）若31a a >，则42a a > （7）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是 （A ）2865+ （B ）3065+ （C ）56125+ （D ）60125+（8）某棵果树前n 年的总产量n S 与n 之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为 （A ）5 （B ）7 （C ）9 （D ）11第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2012年北京高考数学（文）逐题详解2012年的北京数学高考是高中新课改后的第三次高考，试卷延续了近几年高考数学命题的风格，题干大气，内容丰富，难度客观讲适中，和以往一样，其中8,14,20三个题技巧性较高，侧重考查学生的数学思维和探索精神。

一、试题体现数学的人文教育功能拿到试卷的第一感觉是亲切，大部分试题均注重考查基础知识、基本技能和基本方法,考查数学传统的主干知识，较好把握了传统知识的继承点和新增知识的起步点，但是有几个试题还是非常具有心意，难度不小，重点考察能力，给笔者留下了较深的印象：例如选择第3题，在不等式背景下考查了一个概率问题，还是非常具有综合性的。

选择第7题，常见的三视图问题，但是计算几何体的表面积，对空间想象力要求还是很高的。

填空题第13小题，难度虽然不大，但是综合性以及对于函数思想的要求都很高。

第16题，立体几何考查了一个折纸的问题，难度虽然不大，但是形式还是比较有亮点的，第三问又设计为探索型问题，体现了能力立意的考试要求，要求学生有较好的空间想象力和逻辑推理能力才能顺利解答. 再比如17题以生活背景为模型考查了一个概率统计的知识，题目难度仍然不大，但是第三问非常有创新思维的让学生大胆猜想方差最大的情况，还是非常考查能力的，另外，从生活的角度命题，让学生体验数学的建模思想和应用价值，激发学生学习数学的兴趣，拓展视野，开展研究性学习，实现数学的人文教育功能。

二、试题解析（一）、选择题：【解析】第（1）题和往年一样，依然是集合（交集）运算，本次考察的是一次和二次不等式的解法。

因为，利用二次不等式的解法可得，画出数轴图易得：，答案：D【解析】第（2）题考查的是复数除法的化简运算以及复平面，实部虚部的概念。

，实部为1，虚部为3，对应复平面上的点为，答案：A【解析】第（3）题是一道微综合题，它涉及到的知识包括：线性规划，圆的概念和面积公式，概率。

题目中表示的区域如右图正方形所示，而动点D可以存在的位置为正方型面积减去四分之一圆的面积部分，因此，答案：D【解析】第（4）题考查程序框图，涉及到判断循环结束的时刻，以及简单整数指数幂的计算。

2012年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一 、选择题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1、已知集合A={x ∈R|3x+2＞0} B={x ∈R|（x+1）(x-3)＞0} 则A ∩B=A （-∞，-1）B （-1，-23） C （-23,3）D (3,+∞) 2 在复平面内，复数103i i +对应的点的坐标为 A (1 ,3) B (3,1) C(-1,3) D (3 ,-1)（3）设不等式组，表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（A ）4π （B ）22π- （C ）6π （D ）44π- （4）执行如图所示的程序框图，输出S 值为（A ）2（B ）4（C ）8（D ）16(5)函数f（x）＝x121x2⎛⎫- ⎪⎝⎭的零点个数为（A）0 （B）1（C）2 （D）3（6）已知为等比数列，下面结论种正确的是（A）a1+a3≥2a2（B）（C）若a1=a3，则a1=a2（D）若a3＞a1，则a4＞a2（7）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（A）28+B）30+C）56+D）60+（8）某棵果树前n年的总产量S n与n之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，m的值为（A）5（B）7（C）9（D）11第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）直线y=x被圆x2+（y-2）2=4截得弦长为__________。

（10）已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和，若a1= ，S2=a3，则a2=____________，S n=_________________。

（11）在△ABC中，若a=3，b=，，则的大小为_________。

2012北京高考文科数学试题(详细答案)第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合，，则（A）（B）（C）（D）（2）在复平面内，复数对应的点的坐标为（A）（B）（C）（D）（3）设不等式组表示的平面区域为，在区域内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（A）（B）（C）（D）（4）执行如图所示的程序框图，输出的值为（A）2（B）4（C）8（D）16（5）函数的零点个数为（A）0 （B）1 （C）2 （D）3（6）已知为等比数列，下面结论中正确的是（A）（B）（C）若，则（D）若，则（7）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（A）（B）（C）（D）（8）某棵果树前年的总产量与之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前年的年平均产量最高，的值为（A）5（B）7（C）9（D）11第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）直线被圆截得的弦长为__________。

（10）已知为等差数列，为其前项和，若，，则____________，_________________。

（11）在中，若，，，则的大小为_________。

（12）已知函数，若，则_____________。

（13）已知正方形的边长为，点是边上的动点，则的值为_______；的最大值为_______。

（14）已知，。

若，或，则的取值范围是_________。

三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题共13分）已知函数。

（Ⅰ）求的定义域及最小正周期；（Ⅱ）求的单调递减区间。

（16）（本小题共14分）如图1，在中，，分别为的中点，点为线段上的一点，将沿折起到的位置，使，如图2。

（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）线段上是否存在点，使平面？说明理由。

（17）（本小题共13分）近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400 100 100可回收物30 240 30其他垃圾20 20 60（Ⅰ）试估计厨余垃圾投放正确的概率；（Ⅱ）试估计生活垃圾投放错误的概率；（Ⅲ）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为，其中，。