2012年北京市高考数学试卷(理科)

2012年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)(北京卷)本试卷共5页. 150分.考试时长120分钟.考试生务必将答案答在答题卡上.在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(选择题共40分)一、选择题共8小题。

每小题5分.共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合胜目要求的一项.1．已知集合A={x ∈R|3x+2＞0} B={x ∈R|（x+1）(x-3)＞0} 则A ∩B=A （-∞，-1）B （-1，-23） C （-23,3）D (3,+∞) 【解析】和往年一样，依然的集合(交集)运算，本次考查的是一次和二次不等式的解法。

因为32}023|{->⇒>+∈=x x R x A ，利用二次不等式可得1|{-<=x x B 或}3>x 画出数轴易得：}3|{>=x x B A ．故选D ．【答案】D 2．设不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤20,20y x ，表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（A ）4π （B ）22π- （C ）6π （D ）44π-【解析】题目中⎩⎨⎧≤≤≤≤2020y x 表示的区域如图正方形所示，而动点D 可以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，因此4422241222ππ-=⨯⋅-⨯=P ，故选D 。

【答案】D3．设a ，b ∈R 。

“a=0”是“复数a+bi 是纯虚数”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【解析】当0=a 时，如果0=b 同时等于零，此时0=+bi a 是实数，不是纯虚数，因此不是充分条件；而如果bi a +已经为纯虚数，由定义实部为零，虚部不为零可以得到0=a ，因此想必要条件，故选B 。

【答案】B4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A. 2 B .4 C.8 D. 16【解析】0=k ，11=⇒=k s ，21=⇒=k s ，22=⇒=k s ，8=s ，循环结束，输出的s 为8，故选C 。

2012年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题共8小题．每小题5分.共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合胜目要求的一项.1．已知集合{}()(){}320,130A x x B x x x =∈+>=∈+->R R ，则A ∩B=（ ）A ．(),1-∞-B ．21,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．2,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()3,+∞2．设不等式组0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ）A ．4π B ．22π- C ．6π D ．44π- 3．设,a b ∈R ．“0a =”是“复数a bi +是纯虚数”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．165．如图，,9 0ACB CD AB ︒=⊥于点D ，以BD 为直径的圆与BC 交于点E ．则（ ）A ．CE CB AD DB ⋅=⋅ B ．CE CB AD AB ⋅=⋅C ．2AD AB CD ⋅=D ．2CE EB CD ⋅=6．从0,2中选一个数字．从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为（ ）A ．24B ．18C ．12D ．67．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ）A ．2865+B ．3065+C ．56125+D ．60125+8．某棵果树前n 年的总产量Sn 与n 之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，则m 的值为（ ）A ．5B ．7C ．9D ．11二.填空题共6小题．每小题5分．共30分.9．直线21x t y t =+⎧⎨=--⎩（t 为参数）与曲线3cos 3sin x y αα=⎧⎨=⎩ （α为参数）的交点个数为 ．10．已知{}n a 是等差数列，n S 为其前n 项和．若1231,2a S a ==，则2a = ．11．在ABC 中，若12,7,cos 4a b c B =+==- ，则b = ．12．在直角坐标系xOy 中．直线l 过抛物线24y x =的焦点F ．且与该抛物线相交于A 、B 两点．其中点A 在x 轴上方．若直线l 的倾斜角为60︒．则OAF 的面积为 ．13．己知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点．则DE CB ⋅的值为 ．14．已知()()()23,()22x f x m x m x m g x =-++=-,若同时满足条件： ①,()0x f x ∀∈<R 或()0g x <； ②(),4,()()0x f x g x ∃∈-∞-<． 则m 的取值范围是 ．三、解答题公6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．已知函数()sin cos sin 2()sin x x xf x x-=.（1）求()f x 的定义域及最小正周期； （2）求()f x 的单调递增区间．16．如图1，在Rt ABC 中， 90C ︒∠=，3,6BC AC ==，,D E 分别是,AC AB 上的点，且DE ∥,2BC DE =，将ADE 沿DE 折起到1A DE 的位置，使1A C CD ⊥，如图2．（1）求证：1A C ⊥平面BCDE ；（2）若M 是1A D 的中点，求CM 与平面1A BE 所成角的大小；（3）线段BC 上是否存在点P ，使平面1A DP 与平面1A BE 垂直？说明理由．17．近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，先随机抽取了该市三类垃圾箱总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）；“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾 400 100 100 可回收物 30 240 30 其他垃圾202060（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率；（2）试估计生活垃圾投放错误的概率；（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为,,a b c ，其中0,600a a b c >++=．当数据,,a b c 的方差2s 最大时，写出,,a b c 的值（结论不要求证明），并求此时2s 的值． （求：()()()2222121n S x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦，其中x 为数据12,,,n x x x 的平均数）18．已知函数()()23()10,f x ax a g x x bx =+>=+.（1）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点()1,c 处具有公共切线，求,a b 的值；（2）当24a b =时，求函数()()f x g x +的单调区间，并求其在区间(),1-∞-上的最大值．19．已知曲线()()()22:528C m x m y m -+-=∈R（1）若曲线C 是焦点在x 轴点上的椭圆，求m 的取值范围；（2）设4m =，曲线C 与y 轴的交点为,A B （点A 位于点B 的上方），直线4y kx =+与曲线C 交于不同的两点,M N ，直线1y =与直线BM 交于点G ．求证：,,A G N 三点共线．20．设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零，记s（m，n）为所有这样的数表构成的集合．对于A∈S（m，n），记r i（A）为A的第ⅰ行各数之和（1≤ⅰ≤m），C j（A）为A的第j列各数之和（1≤j≤n）；记K（A）为|r1（A）|，|R2（A）|，…，|Rm（A）|，|C1（A）|，|C2（A）|，…，|Cn（A）|中的最小值．（1）如表A，求K（A）的值；11﹣0.80.1﹣0.3﹣1（2）设数表A∈S（2，3）形如11ca b﹣1求K（A）的最大值；（3）给定正整数t，对于所有的A∈S（2，2t+1），求K（A）的最大值．2012年北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题．每小题5分.共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合胜目要求的一项.1．（2012•北京）已知集合A={x∈R|3x+2＞0}，B={x∈R|（x+1）（x﹣3）＞0}，则A∩B=（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，）C．﹙，3﹚D．（3，+∞）【分析】求出集合B，然后直接求解A∩B．【解答】解：因为B={x∈R|（x+1）（x﹣3）＞0﹜={x|x＜﹣1或x＞3}，又集合A={x∈R|3x+2＞0﹜={x|x}，所以A∩B={x|x}∩{x|x＜﹣1或x＞3}={x|x＞3}，故选：D．2．（2012•北京）设不等式组，表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（）A．B．C．D．【分析】本题属于几何概型，利用“测度”求概率，本例的测度即为区域的面积，故只要求出题中两个区域：由不等式组表示的区域和到原点的距离大于2的点构成的区域的面积后再求它们的比值即可．【解答】解：其构成的区域D如图所示的边长为2的正方形，面积为S1=4，满足到原点的距离大于2所表示的平面区域是以原点为圆心，以2为半径的圆外部，面积为=4﹣π，∴在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率P=故选：D．3．（2012•北京）设a，b∈R．“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】利用前后两者的因果关系，即可判断充要条件．【解答】解：因为a，b∈R．“a=O”时“复数a+bi不一定是纯虚数”．“复数a+bi是纯虚数”则“a=0”一定成立．所以a，b∈R．“a=O”是“复数a+bi是纯虚数”的必要而不充分条件．故选B．4．（2012•北京）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2 B．4 C．8 D．16【分析】列出循环过程中S与K的数值，不满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：第1次判断后S=1，k=1，第2次判断后S=2，k=2，第3次判断后S=8，k=3，第4次判断后3＜3，不满足判断框的条件，结束循环，输出结果：8．故选C．5．（2012•北京）如图，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E．则（）A．CE•CB=AD•DB B．CE•CB=AD•AB C．AD•AB=CD2D．CE•EB=CD2【分析】连接DE，以BD为直径的圆与BC交于点E，DE⊥BE，由∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，△ACD∽△CBD，由此利用三角形相似和切割线定理，能够推导出CE•CB=AD•BD．【解答】解：连接DE，∵以BD为直径的圆与BC交于点E，∴DE⊥BE，∵∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，∴△ACD∽△CBD，∴，∴CD2=AD•BD．∵CD2=CE•CB，∴CE•CB=AD•BD，故选A．6．（2012•北京）从0、2中选一个数字．从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为（）A．24 B．18 C．12 D．6【分析】分类讨论：从0、2中选一个数字0，则0只能排在十位；从0、2中选一个数字2，则2排在十位或百位，由此可得结论．【解答】解：从0、2中选一个数字0，则0只能排在十位，从1、3、5中选两个数字排在个位与百位，共有=6种；从0、2中选一个数字2，则2排在十位，从1、3、5中选两个数字排在个位与百位，共有=6种；2排在百位，从1、3、5中选两个数字排在个位与十位，共有=6种；故共有3=18种故选B．7．（2012•北京）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）A．28+6B．30+6C．56+12 D．60+12【分析】通过三视图复原的几何体的形状，利用三视图的数据求出几何体的表面积即可．【解答】解：三视图复原的几何体是底面为直角边长为4和5的三角形，一个侧面垂直底面的等腰三角形，高为4，底边长为5，如图，所以S底==10，S后=，S右==10，S左==6．几何体的表面积为：S=S底+S后+S右+S左=30+6．故选：B．8．（2012•北京）某棵果树前n年的总产量S n与n之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，则m的值为（）A．5 B．7 C．9 D．11【分析】由已知中图象表示某棵果树前n年的总产量S与n之间的关系，可分析出平均产量的几何意义为原点与该点边线的斜率，结合图象可得答案．【解答】解：若果树前n年的总产量S与n在图中对应P（S，n）点则前n年的年平均产量即为直线OP的斜率由图易得当n=9时，直线OP的斜率最大即前9年的年平均产量最高，故选C二.填空题共6小题．每小题5分．共30分.9．（2012•北京）直线（t为参数）与曲线（α为参数）的交点个数为2．【分析】将参数方程化为普通方程，利用圆心到直线的距离与半径比较，即可得到结论．【解答】解：直线（t为参数）化为普通方程为x+y﹣1=0曲线（α为参数）化为普通方程为x2+y2=9∵圆心（0，0）到直线x+y﹣1=0的距离为d=∴直线与圆有两个交点故答案为：210．（2012•北京）已知﹛a n﹜是等差数列，s n为其前n项和．若a1=，s2=a3，则a2=1．【分析】由﹛a n﹜是等差数列，a1=，S2=a3，知=，解得d=，由此能求出a2．【解答】解：∵﹛a n﹜是等差数列，a1=，S2=a3，∴=，解得d=，a2==1．故答案为：1．11．（2012•北京）在△ABC中，若a=2，b+c=7，cosB=﹣，则b=4．【分析】根据a=2，b+c=7，cosB=﹣，利用余弦定理可得，即可求得b的值．【解答】解：由题意，∵a=2，b+c=7，cosB=﹣，∴∴b=4故答案为：412．（2012•北京）在直角坐标系xOy中．直线l过抛物线y2=4x 的焦点F．且与该抛物线相交于A、B两点．其中点A在x轴上方．若直线l的倾斜角为60°．则△OAF的面积为．【分析】确定直线l的方程，代入抛物线方程，确定A的坐标，从而可求△OAF的面积．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点F的坐标为（1，0）∵直线l过F，倾斜角为60°∴直线l的方程为：，即代入抛物线方程，化简可得∴y=2，或y=﹣∵A在x轴上方∴△OAF的面积为=故答案为：13．（2012•北京）己知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点．则的值为1．【分析】直接利用向量转化，求出数量积即可．【解答】解：因为====1．故答案为：114．（2012•北京）已知f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3），g （x）=2x﹣2，若同时满足条件：①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；②∃x∈（﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0．则m的取值范围是（﹣4，﹣2）．【分析】①由于g（x）=2x﹣2≥0时，x≥1，根据题意有f（x）=m （x﹣2m）（x+m+3）＜0在x＞1时成立，根据二次函数的性质可求②由于x∈（﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0，而g（x）=2x﹣2＜0，则f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3）＞0在x∈（﹣∞，﹣4）时成立，结合二次函数的性质可求【解答】解：对于①∵g（x）=2x﹣2，当x＜1时，g（x）＜0，又∵①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0∴f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3）＜0在x≥1时恒成立则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x轴交点都在（1，0）的左面则∴﹣4＜m＜0即①成立的范围为﹣4＜m＜0又∵②x∈（﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0∴此时g（x）=2x﹣2＜0恒成立∴f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3）＞0在x∈（﹣∞，﹣4）有成立的可能，则只要﹣4比x1，x2中的较小的根大即可，（i）当﹣1＜m＜0时，较小的根为﹣m﹣3，﹣m﹣3＜﹣4不成立，（ii）当m=﹣1时，两个根同为﹣2＞﹣4，不成立，（iii）当﹣4＜m＜﹣1时，较小的根为2m，2m＜﹣4即m＜﹣2成立．综上可得①②成立时﹣4＜m＜﹣2．故答案为：（﹣4，﹣2）．三、解答题公6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（2012•北京）已知函数f（x）=．（1）求f（x）的定义域及最小正周期；（2）求f（x）的单调递增区间．【分析】通过二倍角与两角差的正弦函数，化简函数的表达式，（1）直接求出函数的定义域和最小正周期．（2）利用正弦函数的单调增区间，结合函数的定义域求出函数的单调增区间即可．【解答】解：=sin2x﹣1﹣cos2x=sin（2x﹣）﹣1 k∈Z，{x|x ≠kπ，k∈Z}（1）原函数的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，最小正周期为π．（2）由，k∈Z，解得，k∈Z，又{x|x≠kπ，k∈Z}，原函数的单调递增区间为，k∈Z，，k∈Z16．（2012•北京）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图2．（1）求证：A1C⊥平面BCDE；（2）若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；（3）线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由．【分析】（1）证明A1C⊥平面BCDE，因为A1C⊥CD，只需证明A1C⊥DE，即证明DE⊥平面A1CD；（2）建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出平面A1BE法向量，=（﹣1，0，），利用向量的夹角公式，即可求得CM与平面A1BE所成角的大小；（3）设线段BC上存在点P，设P点坐标为（0，a，0），则a∈[0，3]，求出平面A1DP法向量为假设平面A1DP与平面A1BE垂直，则，可求得0≤a≤3，从而可得结论．【解答】（1）证明：∵CD⊥DE，A1D⊥DE，CD∩A1D=D，∴DE⊥平面A1CD，又∵A1C⊂平面A1CD，∴A1C⊥DE又A1C⊥CD，CD∩DE=D∴A1C⊥平面BCDE（2）解：如图建系，则C（0，0，0），D（﹣2，0，0），A1（0，0，2），B（0，3，0），E（﹣2，2，0）∴，设平面A1BE法向量为则∴∴∴又∵M（﹣1，0，），∴=（﹣1，0，）∴∴CM与平面A1BE所成角的大小45°（3）解：设线段BC上存在点P，设P点坐标为（0，a，0），则a∈[0，3]∴，设平面A1DP法向量为则∴∴假设平面A1DP与平面A1BE垂直，则，∴3a+12+3a=0，6a=﹣12，a=﹣2∵0≤a≤3∴不存在线段BC上存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直17．（2012•北京）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，先随机抽取了该市三类垃圾箱总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）；“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率；（2）试估计生活垃圾投放错误的概率；（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，其中a＞0，a+b+c=600．当数据a，b，c的方差s2最大时，写出a，b，c的值（结论不要求证明），并求此时s2的值．（求：S2=[++…+]，其中为数据x1，x2，…，x n的平均数）【分析】（1）厨余垃圾600吨，投放到“厨余垃圾”箱400吨，故可求厨余垃圾投放正确的概率；（2）生活垃圾投放错误有200+60+20+20=300，故可求生活垃圾投放错误的概率；（3）计算方差可得=，因此有当a=600，b=0，c=0时，有s2=80000．【解答】解：（1）由题意可知：厨余垃圾600吨，投放到“厨余垃圾”箱400吨，故厨余垃圾投放正确的概率为；（2）由题意可知：生活垃圾投放错误有200+60+20+20=300，故生活垃圾投放错误的概率为；（3）由题意可知：∵a+b+c=600，∴a，b，c的平均数为200∴=，∵（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≥a2+b2+c2，因此有当a=600，b=0，c=0时，有s2=80000．18．（2012•北京）已知函数f（x）=ax2+1（a＞0），g（x）=x3+bx（1）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a、b的值；（2）当a2=4b时，求函数f（x）+g（x）的单调区间，并求其在区间（﹣∞，﹣1）上的最大值．【分析】（1）根据曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，可知切点处的函数值相等，切点处的斜率相等，故可求a、b的值；（2）根据a2=4b，构建函数，求导函数，利用导数的正负，可确定函数的单调区间，进而分类讨论，确定函数在区间（﹣∞，﹣1）上的最大值．【解答】解：（1）f（x）=ax2+1（a＞0），则f'（x）=2ax，k1=2a，g（x）=x3+bx，则g′（x）=3x2+b，k2=3+b，由（1，c ）为公共切点，可得：2a=3+b ①又f（1）=a+1，g （1）=1+b，∴a+1=1+b，即a=b ，代入①式可得：．（2）由题设a2=4b，设则，令h'（x）=0，解得：，；∵a＞0，∴，x（﹣﹣）∞，﹣）h′（x）+﹣+h（x）极大值极小值∴原函数在（﹣∞，﹣）单调递增，在单调递减，在）上单调递增①若，即0＜a≤2时，最大值为；②若＜﹣，即2＜a＜6时，最大值为③若﹣1≥﹣时，即a≥6时，最大值为h（﹣）=1综上所述：当a∈（0，2]时，最大值为；当a∈（2，+∞）时，最大值为．19．（2012•北京）已知曲线C：（5﹣m）x2+（m﹣2）y2=8（m∈R）（1）若曲线C是焦点在x轴点上的椭圆，求m的取值范围；（2）设m=4，曲线c与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），直线y=kx+4与曲线c交于不同的两点M、N，直线y=1与直线BM交于点G．求证：A，G，N三点共线．【分析】（1）原曲线方程，化为标准方程，利用曲线C是焦点在x轴点上的椭圆可得不等式组，即可求得m的取值范围；（2）由已知直线代入椭圆方程化简得：（2k2+1）x2+16kx+24=0，△=32（2k2﹣3），解得：，设N（x N，kx N+4），M（x M，kx M+4），G（x G，1），MB方程为：，则，从而可得，=（x N，kx N+2），欲证A，G，N三点共线，只需证，共线，利用韦达定理，可以证明．【解答】（1）解：原曲线方程可化简得：由题意，曲线C是焦点在x轴点上的椭圆可得：，解得：（2）证明：由已知直线代入椭圆方程化简得：（2k2+1）x2+16kx+24=0，△=32（2k2﹣3）＞0，解得：由韦达定理得：①，，②设N（x N，kx N+4），M（x M，kx M+4），G（x G，1），MB方程为：，则，∴，=（x N，kx N+2），欲证A，G，N三点共线，只需证，共线即成立，化简得：（3k+k）x M x N=﹣6（x M+x N）将①②代入可得等式成立，则A，G，N三点共线得证．20．（2012•北京）设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零，记s（m，n）为所有这样的数表构成的集合．对于A∈S（m，n），记r i（A）为A 的第ⅰ行各数之和（1≤ⅰ≤m），C j（A）为A的第j列各数之和（1≤j≤n）；记K（A）为|r1（A）|，|R2（A）|，…，|Rm（A）|，|C1（A）|，|C2（A）|，…，|Cn（A）|中的最小值．（1）如表A，求K（A）的值；11﹣0.80.1﹣0.3﹣1（2）设数表A∈S（2，3）形如11ca b﹣1求K（A）的最大值；（3）给定正整数t，对于所有的A∈S（2，2t+1），求K（A）的最大值．【分析】（1）根据r i（A），C j（A），定义求出r1（A），r2（A），c1（A），c2（A），c3（A），再根据K（A）为|r1（A）|，|R2（A）|，|R3（A）|，|C1（A）|，|C2（A）|，|C3（A）|中的最小值，即可求出所求．（2）先用反证法证明k（A）≤1，然后证明k（A）=1存在即可；（3）首先构造满足的A={a i，j}（i=1，2，j=1，2，…，2t+1），然后证明是最大值即可．【解答】解：（1）由题意可知r1（A）=1.2，r2（A）=﹣1.2，c1（A）=1.1，c2（A）=0.7，c3（A）=﹣1.8∴K（A）=0.7（2）先用反证法证明k（A）≤1：若k（A）＞1则|c1（A）|=|a+1|=a+1＞1，∴a＞0同理可知b＞0，∴a+b＞0由题目所有数和为0即a+b+c=﹣1∴c=﹣1﹣a﹣b＜﹣1与题目条件矛盾∴k（A）≤1．易知当a=b=0时，k（A）=1存在∴k（A）的最大值为1（3）k（A）的最大值为．首先构造满足的A={a i，j}（i=1，2，j=1，2，…，2t+1）：，．经计算知，A中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且，，．下面证明是最大值．若不然，则存在一个数表A∈S（2，2t+1），使得．由k（A）的定义知A的每一列两个数之和的绝对值都不小于x，而两个绝对值不超过1的数的和，其绝对值不超过2，故A的每一列两个数之和的绝对值都在区间[x，2]中．由于x＞1，故A的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于x﹣1．设A中有g列的列和为正，有h列的列和为负，由对称性不妨设g＜h，则g≤t，h≥t+1．另外，由对称性不妨设A的第一行行和为正，第二行行和为负．考虑A的第一行，由前面结论知A的第一行有不超过t个正数和不少于t+1个负数，每个正数的绝对值不超过1（即每个正数均不超过1），每个负数的绝对值不小于x﹣1（即每个负数均不超过1﹣x）．因此|r1（A）|=r1（A）≤t•1+（t+1）（1﹣x）=2t+1﹣（t+1）x=x+（2t+1﹣（t+2）x）＜x，故A的第一行行和的绝对值小于x，与假设矛盾．因此k（A）的最大值为．参与本试卷答题和审题的老师有：qiss；邢新丽；zlzhan；刘长柏；豫汝王世崇；minqi5（排名不分先后）菁优网2017年2月3日。

绝密★使用完毕前2012年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{A x=∈R|320}x+>，{B x=∈R|(1)(3)0}x x+->，则A B=I（A）(,1)-∞-（B）2(1,)3--（C）2(,3)3-（D）(3,)+∞（2）设不等式组2,2xy⎧⎨⎩≤≤≤≤表示的平面区域为D．在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（A）π4（B）π22-（C）π6（D）4π4-（3）设,a b∈R．“0a=”是“复数ia b+是纯虚数”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（4）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（A）2（B）4（C）8（D）16数学（理）（北京卷）第1 页（共11 页）（5）如图，90ACB∠=︒，CD AB⊥于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E．则（A）CE CB AD DB⋅=⋅（B）CE CB AD AB⋅=⋅（C）2AD AB CD⋅=（D）2CE EB CD⋅=（6）从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（A）24（B）18（C）12（D）6（7）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（A）28+（B）30+（C）56+（D）60+（8）某棵果树前n年的总产量nS与n之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，m的值为（A）5（B）7（C）9（D）11BA DCE正（主）视图侧（左）视图俯视图42 3 4数学（理）（北京卷）第2 页（共11 页）数学（理）（北京卷） 第 3 页（共 11 页）第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

第1页，总14页…………装…………○…校:___________姓名：___________班级：…………装…………○…2012年高考理数真题试卷（北京卷）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题0}，B={x∈R|（x+1）（x ﹣3）＞0}，则A∩B=（ ） A.（﹣∞，﹣1） B.（﹣1， −23 ）C.﹙ −23，3﹚D.（3，+∞）2.设a ，b∈R．“a=0”是“复数a+bi 是纯虚数”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.如图，∠ACB=90°，CD⊥AB 于点D ，以BD 为直径的圆与BC 交于点E ．则（ ）A.CE•CB=AD•DBB.CE•CB=AD•ABC.AD•AB=CD 2D.CE•EB=CD 24.从0、2中选一个数字．从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为（ ） A.24 B.18 C.12 D.6答案第2页，总14页订…………○…………线…………○内※※答※※题※※订…………○…………线…………○5.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ）A.28+6 √5B.30+6 √5C.56+12 √5D.60+12 √5第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）6.直线 {x =2+t y =−1−t （t 为参数）与曲线 {x =3cosαy =3sinα（α为参数）的交点个数为 7.已知﹛a n ﹜是等差数列，s n 为其前n 项和．若a 1= 12 ，s 2=a3 ， 则a 2= ． 8.在△ABC 中，若a=2，b+c=7，cosB=﹣ 14 ，则b= ．9.在直角坐标系xOy 中．直线l 过抛物线y 2=4x 的焦点F ．且与该抛物线相交于A 、B 两点．其中点A 在x 轴上方．若直线l 的倾斜角为60°．则△OAF 的面积为 ．10.己知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点．则 DE →⋅CB →的值为 ．三、解答题（题型注释）11.已知函数f （x ）=(sinx−cosx)sin2xsinx．（1）求f （x ）的定义域及最小正周期； （2）求f （x ）的单调递增区间． 12.如图1，在Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C⊥CD，如图2．第3页，总14页…○…………线…………○…____…○…………线…………○…（1）求证：A 1C⊥平面BCDE ；（2）若M 是A 1D 的中点，求CM 与平面A 1BE 所成角的大小；（3）线段BC 上是否存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直？说明理由．13.近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，先随机抽取（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率； （2）试估计生活垃圾投放错误的概率；（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a ，b ，c ，其中a ＞0，a+b+c=600．当数据a ，b ，c 的方差s 2最大时，写出a ，b ，c 的值（结论不要求证明），并求此时s 2的值． （求：S2= 1n[ (x 1−x ¯)2 + (x 2−x ¯)2 +…+ (x n −x ¯)2]，其中 x ¯为数据x 1 ， x 2 ， …，x n 的平均数）14.已知函数f （x ）=ax 2+1（a ＞0），g （x ）=x 3+bx（1）若曲线y=f （x ）与曲线y=g （x ）在它们的交点（1，c ）处具有公共切线，求a 、b 的值；（2）当a 2=4b 时，求函数f （x ）+g （x ）的单调区间，并求其在区间（﹣∞，﹣1）上的最大值．15.已知曲线C ：（5﹣m ）x 2+（m ﹣2）y 2=8（m∈R）（1）若曲线C 是焦点在x 轴点上的椭圆，求m 的取值范围；（2）设m=4，曲线c 与y 轴的交点为A ，B （点A 位于点B 的上方），直线y=kx+4与曲线c 交于不同的两点M 、N ，直线y=1与直线BM 交于点G ．求证：A ，G ，N 三点共线．16.设A 是由m×n 个实数组成的m 行n 列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零，记s （m ，n ）为所有这样的数表构成的集合．对于A∈S（m ，n ），记r i （A ）为A 的第ⅰ行各数之和（1≤ⅰ≤m），C j （A ）为A 的第j 列各数之和（1≤j≤n）；记K （A ）为|r 1（A ）|，|R 2（A ）|，…，|Rm （A ）|，|C 1（A ）|，|C 2（A ）|，…，|Cn （A ）|中的最小值．答案第4页，总14页（3）给定正整数t ，对于所有的A∈S（2，2t+1），求K （A ）的最大值．第5页，总14页装…………○………订…………○…………线……_姓名：___________班级：_______考号：___________装…………○………订…………○…………线……参数答案1.D【解析】1.解：因为B={x∈R|（x+1）（x ﹣3）＞0﹜={x|x ＜﹣1或x ＞3}， 又集合A={x∈R|3x+2＞0﹜={x|x >−23 }，所以A∩B={x|x >−23}∩{x|x＜﹣1或x ＞3}={x|x ＞3}，故选：D ． 【考点精析】解答此题的关键在于理解集合的交集运算的相关知识，掌握交集的性质：（1）A∩B A ，A∩BB ，A∩A=A，A∩=,A∩B=B∩A;（2）若A∩B=A，则AB ，反之也成立，以及对解一元二次不等式的理解，了解求一元二次不等式解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数;二判：判断对应方程的根;三求：求对应方程的根;四画：画出对应函数的图象;五解集：根据图象写出不等式的解集;规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边． 2.B【解析】2.解：因为a ，b∈R．“a=O”时“复数a+bi 不一定是纯虚数”． “复数a+bi 是纯虚数”则“a=0”一定成立．所以a ，b∈R．“a=O”是“复数a+bi 是纯虚数”的必要而不充分条件． 故选B ．【考点精析】关于本题考查的复数的定义，需要了解形如的数叫做复数，和分别叫它的实部和虚部才能得出正确答案． 3.A【解析】3.解：连接DE ，∵以BD 为直径的圆与BC 交于点E ， ∴DE⊥BE，∵∠ACB=90°，CD⊥AB 于点D ， ∴△ACD∽△CBD， ∴ CDBD =ADCD ， ∴CD 2=AD•BD． ∵CD 2=CE•CB， ∴CE•CB=AD•BD，答案第6页，总14页…○…………外…………○…………装…………○…线…………○※※请※※不※※要※※在※※装※※…○…………内…………○…………装…………○…线…………○故选A ．4.B【解析】4.解：从0、2中选一个数字0，则0只能排在十位，从1、3、5中选两个数字排在个位与百位，共有 A 32=6种；从0、2中选一个数字2，则2排在十位，从1、3、5中选两个数字排在个位与百位，共有A 32 =6种；2排在百位，从1、3、5中选两个数字排在个位与十位，共有 A 32=6种； 故共有3 A 32=18种故选B ． 5.B【解析】5.解：三视图复原的几何体是底面为直角边长为4和5的三角形， 一个侧面垂直底面的等腰三角形，高为4，底边长为5，如图， 所以S 底= 12×4×5 =10， S 后= 12×5×4=10 ， S 右= 12×4×5 =10，S 左= 12×2√5×√(√41)2−(√5)2=6 √5 ． 几何体的表面积为：S=S 底+S 后+S 右+S 左=30+6 √5 ． 故选：B ．第7页，总14页…………○…………装…………○………订…………○…………线……学校:___________姓名：___________班级：________考号：___________…………○…………装…………○………订…………○…………线……【考点精析】认真审题，首先需要了解由三视图求面积、体积(求体积的关键是求出底面积和高；求全面积的关键是求出各个侧面的面积)． 6.2【解析】6.解：直线 {x =2+ty =−1−t（t 为参数）化为普通方程为x+y ﹣1=0曲线 {x =3cosαy =3sinα（α为参数）化为普通方程为x 2+y 2=9∵圆心（0，0）到直线x+y ﹣1=0的距离为d= √2＜3 ∴直线与圆有两个交点 所以答案是：2【考点精析】解答此题的关键在于理解直线的参数方程的相关知识，掌握经过点，倾斜角为的直线的参数方程可表示为（为参数），以及对圆的参数方程的理解，了解圆的参数方程可表示为．7.1【解析】7.解：∵﹛a n ﹜是等差数列，a 1= 12 ，S 2=a3 ， ∴ 12 + 12 +d= 12 +2d ， 解得d= 12 ， a 2= 12 + 12 =1．所以答案是：1．【考点精析】根据题目的已知条件，利用等差数列的通项公式（及其变式）和等差数列的前n 项和公式的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握通项公式：或；前n 项和公式：．8.4【解析】8.解：由题意，∵a=2，b+c=7，cosB=﹣ 14 ， ∴ b 2=22+(7−b)2−2×2×(7−b)×(−14) ∴b=4所以答案是：4答案第8页，总14页○…………装…………○…※※请※※不※※要※※在※※装※※订○…………装…………○…9.√3【解析】9.解：抛物线y 2=4x 的焦点F 的坐标为（1，0） ∵直线l 过F ，倾斜角为60°∴直线l 的方程为： y =√3(x −1) ，即 y =√33y +1代入抛物线方程，化简可得 y 2−4√33y −4=0∴y=2 √3 ，或y=﹣ 23√3 ∵A 在x 轴上方∴△OAF 的面积为 12×1×2√3 = √3 所以答案是： √3【考点精析】利用直线的倾斜角对题目进行判断即可得到答案，需要熟知当直线l 与x 轴相交时, 取x 轴作为基准, x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.特别地,当直线l 与x 轴平行或重合时, 规定α=0°． 10.1【解析】10.解：因为 DE →⋅CB →= DE →⋅DA →= |DE →|⋅|DA →|cos <DE →⋅DA →> =DA →2=1．所以答案是：111.（1）解： f(x)=(sinx−cosx)sin2xsinx=(sinx−cosx)sinxcosxsinx=2(sinx −cosx)cosx=sin2x ﹣1﹣cos2x= √2 sin （2x ﹣ π4 ）﹣1 k∈Z，{x|x≠kπ，k∈Z} 原函数的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，最小正周期为π（2）解：由 2kπ−π2≤2x −π4≤2kπ+π2，k∈Z，解得 kπ−π8≤x ≤kπ+3π8，k∈Z，又{x|x≠kπ，k∈Z}，第9页，总14页…外…………○…学校:…内…………○…原函数的单调递增区间为 [kπ−π8,kπ) ，k∈Z， (kπ,kπ+3π8] ，k∈Z【解析】11.通过二倍角与两角差的正弦函数，化简函数的表达式，（1）直接求出函数的定义域和最小正周期．（2）利用正弦函数的单调增区间，结合函数的定义域求出函数的单调增区间即可． 12.（1）证明：∵CD⊥DE，A 1D⊥DE，CD∩A 1D=D ， ∴DE⊥平面A 1CD ，又∵A 1C ⊂平面A 1CD ，∴A 1C⊥DE 又A 1C⊥CD，CD∩DE=D ∴A 1C⊥平面BCDE（2）解：如图建系，则C （0，0，0），D （﹣2，0，0），A 1（0，0，2 √3 ），B （0，3，0），E （﹣2，2，0）∴ A 1B →=(0,3,−2√3) ， A 1E →=(−2,2,−2√3) 设平面A 1BE 法向量为 n →=(x,y,z)则 {A 1B →⋅n →=0A 1E →⋅n →=0∴ {3y −2√3z =0−2x +2y −2√3z =0 ∴ {z =√32y x =−y2∴ n →=(−1,2,√3)又∵M（﹣1，0， √3 ），∴ CM →=（﹣1，0， √3 ） ∴ cosθ=CM →⋅n→|CM →|⋅|n →|=√1+4+3⋅√1+3=2⋅2√2=√22∴CM 与平面A 1BE 所成角的大小45°（3）解：设线段BC 上存在点P ，设P 点坐标为（0，a ，0），则a∈[0，3] ∴ A 1P →=(0,a,−2√3) ， DP →=(2,a,0)答案第10页，总14页○…………装…………○…………订…※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答○…………装…………○…………订…设平面A 1DP法向量为 n 1→=(x 1,y 1,z 1) 则 {ay 1−2√3z =02x 1+ay 1=0 ∴ {z 1=√36ay 1x 1=−12ay 1∴ n 1→=(−6,3a,√3a)假设平面A 1DP 与平面A 1BE垂直，则 n 1→⋅n →=0 ，∴3a+12+3a=0，6a=﹣12，a=﹣2 ∵0≤a≤3∴不存在线段BC 上存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直【解析】12.（1）证明A 1C⊥平面BCDE ，因为A 1C⊥CD，只需证明A 1C⊥DE，即证明DE⊥平面A 1CD ；（2）建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出平面A 1BE 法向量 n →=(−1,2,√3) ， CM →=（﹣1，0， √3 ），利用向量的夹角公式，即可求得CM 与平面A 1BE所成角的大小；（3）设线段BC 上存在点P ，设P 点坐标为（0，a ，0），则a∈[0，3]，求出平面A 1DP法向量为 n 1→=(−6,3a,√3a)假设平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直，则 n 1→⋅n →=0 ，可求得0≤a≤3，从而可得结论． 【考点精析】认真审题，首先需要了解直线与平面垂直的判定(一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想)，还要掌握向量语言表述面面的垂直、平行关系(若平面的法向量为，平面的法向量为，要证∥，只需证∥，即证;要证，只需证，即证)的相关知识才是答题的关键． 13.（1）解：由题意可知：厨余垃圾600吨，投放到“厨余垃圾”箱400吨，故厨余垃圾投放正确的概率为 400600=23（2）解：由题意可知：生活垃圾投放错误有200+60+20+20=300，故生活垃圾投放错误的概率为 3001000=310（3）解：由题意可知：∵a+b+c=600，∴a，b ，c 的平均数为200∴ s 2=13[(a −200)2+(b −200)2+(c −200)2] = 13(a 2+b 2+c 2−120000) ， ∵（a+b+c ）2=a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2a c≥a 2+b 2+c 2，因此有当a=600，b=0，c=0时，有s 2=80000【解析】13.（1）厨余垃圾600吨，投放到“厨余垃圾”箱400吨，故可求厨余垃圾投放正确的概率；（2）生活垃圾投放错误有200+60+20+20=300，故可求生活垃圾投放错误的概率；（3）计算方差可得 s 2=13[(a −200)2+(b −200)2+(c −200)2] = 13(a 2+b 2+c 2−120000) ，因此有当a=600，b=0，c=0时，有s 2=80000．【考点精析】解答此题的关键在于理解极差、方差与标准差的相关知识，掌握标准差和方差越大，数据的离散程度越大；标准差和方程为0时，样本各数据全相等，数据没有离散性；方差与原始数据单位不同，解决实际问题时，多采用标准差． 14.（1）解：f （x ）=ax 2+1（a ＞0），则f'（x ）=2ax ，k 1=2a ，g （x ）=x 3+bx ，则g′（x ）=3x 2+b ，k 2=3+b ，由（1，c ）为公共切点，可得：2a=3+b ① 又f （1）=a+1，g （1）=1+b ， ∴a+1=1+b，即a=b ，代入①式可得： {a =3b =3（2）解：由题设a 2=4b ，设 ℎ(x)=f(x)+g(x)=x 3+ax 2+14a 2x +1则 ℎ′(x)=3x 2+2ax +14a 2 ，令h'（x ）=0，解得： x 1=a 2 ， x 2=−a6 ； ∵a＞0，∴ −a2＜−a6，∴原函数在（﹣∞，﹣ a2 ）单调递增，在 (−a 2,−a 6) 单调递减，在 (−a 6,+∞) ）上单调递增①若 −1≤−a2，即0＜a≤2时，最大值为 ℎ(−1)=a −a 24；②若 −a 2＜−1 ＜﹣ a6 ，即2＜a ＜6时，最大值为 ℎ(−a2)=1③若﹣1≥﹣ a 6 时，即a≥6时，最大值为h （﹣ a2 ）=1 综上所述：当a∈（0，2]时，最大值为 ℎ(−1)=a −a 24；当a∈（2，+∞）时，最大值为 ℎ(−a2)=1答案第12页，总14页………○…………线…………○※※题※※………○…………线…………○【解析】14.（1）根据曲线y=f （x ）与曲线y=g （x ）在它们的交点（1，c ）处具有公共切线，可知切点处的函数值相等，切点处的斜率相等，故可求a 、b 的值；（2）根据a 2=4b ，构建函数 ℎ(x)=f(x)+g(x)=x 3+ax 2+14a 2x +1 ，求导函数，利用导数的正负，可确定函数的单调区间，进而分类讨论，确定函数在区间（﹣∞，﹣1）上的最大值． 【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数是解答本题的根本，需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2） 将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值． 15.（1）解：原曲线方程可化简得：x 285−m+y 28m−2=1由题意，曲线C 是焦点在x 轴点上的椭圆可得： {85−m＞8m−285−m＞08m−2＞0，解得： 72＜m ＜5（2）证明：由已知直线代入椭圆方程化简得：（2k 2+1）x 2+16kx+24=0，△=32（2k 2﹣3）＞0，解得： k 2＞32由韦达定理得： x M +x M =−16k 2k 2+1①， x M x M =242k 2+1，②设N （x N ，kx N +4），M （x M ，kx M +4），G （x G ，1），MB 方程为： y =kx M +6x Mx −2 ，则 G(3x M kx M +6,1) ，∴ AG →=(3x Mkx M+6,−1) ， AN →=（x N ，kx N +2）， 欲证A ，G ，N 三点共线，只需证 AG →， AN →共线 即 3x MkxM +6(x N k +2)=−x N 成立，化简得：（3k+k ）x M x N =﹣6（x M +x N ）将①②代入可得等式成立，则A ，G ，N 三点共线得证．【解析】15.（1）原曲线方程，化为标准方程，利用曲线C 是焦点在x 轴点上的椭圆可得不等式组，即可求得m 的取值范围；（2）由已知直线代入椭圆方程化简得：（2k 2+1）x 2+16kx+24=0，△=32（2k 2﹣3），解得： k 2>32 ，设N （x N ， kx N +4），M （x M ， kx M +4），G （x G ， 1），MB 方程为： y =kx M +6x Mx −2 ，则 G(3x M kx M +6,1) ，从而可得 AG →=(3x MkxM +6,−1) ，线…………○…线…………○…AN → =（x N ， kx N +2），欲证A ，G ，N 三点共线，只需证 AG → ， AN →共线，利用韦达定理，可以证明．【考点精析】通过灵活运用椭圆的标准方程，掌握椭圆标准方程焦点在x 轴：，焦点在y 轴：即可以解答此题．16.（1）解：由题意可知r 1（A ）=1.2，r 2（A ）=﹣1.2，c 1（A ）=1.1，c 2（A ）=0.7，c 3（A ）=﹣1.8∴K（A ）=0.7（2）解：先用反证法证明k （A ）≤1： 若k （A ）＞1则|c 1（A ）|=|a+1|=a+1＞1，∴a＞0 同理可知b ＞0，∴a+b＞0 由题目所有数和为0 即a+b+c=﹣1∴c=﹣1﹣a ﹣b ＜﹣1 与题目条件矛盾 ∴k（A ）≤1．易知当a=b=0时，k （A ）=1存在 ∴k（A ）的最大值为1（3）解：k （A ）的最大值为 2t+1t+2 ． 首先构造满足 k(A)=2t+1t+2的A={a i ，j }（i=1，2，j=1，2，…，2t+1）： a 1,1=a 1,2=⋯=1,a 1,t+1=a 1,t+2=a 1,2t+1=t−1t+2， a 2,1=a 2,2=⋯=a 2,t =t 2+t+1t(t+2),a 2,t+1=a 2,t+2=a 2,t+1=−1 ．经计算知，A 中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且 |r (A)1|=|r (A)2|=2t+1t+2， |c (A)1|=|c (A)2|=⋯=|c (A)t |=1+t 2+t+1t(t+2)＞1+t+1t+2＞2t+1t+2，|c (A)t+1|=|c (A)t+2|=⋯=|c (A)2t+1|=1+t+1t+2=2t+1t+2．下面证明 2t+1t+2 是最大值．若不然，则存在一个数表A∈S （2，2t+1），使得 k(A)=x ＞2t+1t+2．由k （A ）的定义知A 的每一列两个数之和的绝对值都不小于x ，而两个绝对值不超过1的数的和，其绝对值不超过2，故A 的每一列两个数之和的绝对值都在区间[x ，2]中．由于x ＞1，故A 的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于x ﹣1． 设A 中有g 列的列和为正，有h 列的列和为负，由对称性不妨设g ＜h ，则g≤t，h≥t+1．另外，由对称性不妨设A 的第一行行和为正，第二行行和为负．答案第14页，总14页考虑A 的第一行，由前面结论知A 的第一行有不超过t 个正数和不少于t+1个负数，每个正数的绝对值不超过1（即每个正数均不超过1），每个负数的绝对值不小于x ﹣1（即每个负数均不超过1﹣x ）．因此|r 1（A ）|=r 1（A ）≤t•1+（t+1）（1﹣x ）=2t+1﹣（t+1）x=x+（2t+1﹣（t+2）x ）＜x ，故A 的第一行行和的绝对值小于x ，与假设矛盾．因此k （A ）的最大值为 2t+1t+2【解析】16.（1）根据r i （A ），C j （A ），定义求出r 1（A ），r 2（A ），c 1（A ），c 2（A ），c 3（A ），再根据K （A ）为|r 1（A ）|，|R 2（A ）|，|R 3（A ）|，|C 1（A ）|，|C 2（A ）|，|C 3（A ）|中的最小值，即可求出所求．（2）先用反证法证明k （A ）≤1，然后证明k （A ）=1存在即可；（3）首先构造满足 k(A)=2t+1t+2的A={a i ， j }（i=1，2，j=1，2，…，2t+1），然后证明 2t+1t+2 是最大值即可．。

数学试卷 第1页（共21页）数学试卷 第2页（共21页）数学试卷 第3页（共21页）绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理科）本试卷共6页,150分.考试时长120分钟.考试生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{320}A x x =∈+>R |,{|(1)(3)0}B x x x =∈+->R ,则A B =（ ）A . (,1)-∞-B . 2(1,)3-- C . 2(,3)3-D . (3,)+∞2. 设不等式组02,02x y ⎧⎨⎩≤≤≤≤表示的平面区域为D ,在区域D 内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ）A .π4B .π22-C . π6D . 4π4-3. 设,a b ∈R .“0a =”是“复数i a b +是纯虚数”的 （ ） A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件4. 执行如图所示的程序框图,输出的S 值为 （ ）A . 2B . 4C . 8D . 165. 如图,90ACB ∠=,CD AB ⊥于点D ,以BD 为直径的圆与BC 交于点E ,则（ ）A . CE CB AD DB = B . CE CB AD AB =C . 2 AD AB CD =D . 2 CE EB CD =6. 从0,2中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为（ ）A . 24B . 18C . 12D . 67. 某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是（ ）A .28+ B .30+C .56+D .60+8. 某棵果树前n 年的总产量n S 与n 之间的关系如图所示.从目前记录的结果看,前m 年的年平均产量最高,m 值为（ ）A . 5B . 7C . 9D . 11第Ⅱ卷（选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卡相应位置上.9. 直线2,1x t y t =+⎧⎨=--⎩（t 为参数）与曲线3cos ,3sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）的交点个数为________.10. 已知{}n a 为等差数列,n S 为其前n 项和.若112a =,23S a =,则2a =________； n S =________.11. 在ABC △中,若2a =,7b c +=,1cos 4B =-,则b =________.12. 在直角坐标系xOy 中,直线l 过抛物线24y x =的焦点F ,且与该抛物线相交于A ,B 两点,其中点A 在x 轴上方.若直线l 的倾斜角为60,则OAF △的面积为________.13. 已知正方形ABCD 的边长为1,点E 是AB 边上的动点,则 DE CB 的值为________；DE DC 的最大值为________.14. 已知()(2)(3)f x m x m x m =-++,()22x g x =-.若同时满足条件：①x ∀∈R ,()0f x ＜或()0g x ＜；②(,4)x ∃∈-∞-,()()0f x g x ＜. 则m 的取值范围是________.三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题共13分） 已知函数(sin cos )sin 2()sin x x xf x x-=.（Ⅰ）求()f x 的定义域及最小正周期； （Ⅱ）求()f x 的单调递增区间.E BDAC34正（主）视图侧（左）视图俯视图姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效--------数学试卷 第4页（共21页）数学试卷 第5页（共21页） 数学试卷 第6页（共21页）16.（本小题共14分）如图1,在Rt ABC △中,90C ∠=,3BC =,6AC =.D ,E 分别是AC ,AB 上的点,且DE BC ∥,2DE =,将ADE △沿DE 折起到1A DE △的位置,使1AC CD ⊥,如图2.（Ⅰ）求证：1A C ⊥平面BCDE ；（Ⅱ）若M 是1A D 的中点,求CM 与平面1A BE 所成角的大小；（Ⅲ）线段BC 上是否存在点P ,使平面1A DP 与平面1A BE 垂直？请说明理由.17.（本小题共13分）近年来,某市为了促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机（Ⅰ）试估计厨余垃圾投放正确的概率； （Ⅱ）试估计生活垃圾投放错误的概率；（Ⅲ）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a ,b ,c ,其中0a >,600a b c ++=.当数据a ,b ,c 的方差2s 最大时,写出a ,b ,c 的值 （结论不要求证明）,并求此时2s 的值.（求：2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-,其中x 为数据1x ,2x ,,n x 的平均数）18.（本小题共13分）已知函数2()1(0)f x ax a =+>,3()g x x bx =+.（Ⅰ）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,)c 处具有公共切线,求a ,b 的值； （Ⅱ）当24a b =时,求函数()()f x g x +的单调区间,并求其在区间(,1]-∞-上的最大值.19.（本小题共14分）已知曲线C ：22(5)(2)8()m x m y m -+-=∈R .（Ⅰ）若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆,求m 的取值范围；（Ⅱ）设4m =,曲线C 与y 轴的交点为A ,B （点A 位于点B 的上方）,直线4y kx =+与曲线C 交于不同的两点M ,N ,直线1y =与直线BM 交于点G .求证：A ,G ,N 三点共线.20.（本小题共13分）设A 是由m n ⨯个实数组成的m 行n 列的数表,满足：每个数的绝对值不大于1,且所有数的和为零.记(,)S m n 为所有这样的数表构成的集合.对于(,)A S m n ∈,记()i r A 为A 的第i 行各数之和(1)i m ≤≤,()j c A 为A 的第j 列各数之和(1)j n ≤≤；记()k A 为1|()|r A ,2|()|r A ,…,|()|m r A ,1|()|c A ,2|()|c A ,…,|()|n c A中的最小值.（Ⅰ）对如下数表A ,求()k A 的值；（Ⅱ）设数表(2,3)A S ∈形如求()k A 的最大值；（Ⅲ）给定正整数t ,对于所有的(2,21)A S t ∈+,求()k A 的最大值.ACDEBA 1MCBE D图1图22012年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理科）答案解析第Ⅰ卷{|AB x x =A B ．2CE CB CD =90,CD ⊥AD DB ，所以CE CB AD DB =．【提示】由题中三角形和圆的位置关系，通过条件求解即可．【考点】几何证明选讲．第Ⅱ卷【解析】23S a =，所以【提示】由{}n a 是等差数列23S a =，解得60，所以直线的斜率为603=1⎛【解析】根据平面向量的点乘公式cos DE CB DE DA DE DA θ==，可知cos DE DA θ=，所以21DE CB DA ==；||||cos ||cos DE DC DE DC DE αα==，又因为cos DE α就是向量DE 在DC 边上的射影，要想让DE DC 最大，即让射影最大，此时E 点与B 点重合，射影为||DC ，所以长度为【提示】直接利用向量转化，求出数量积即可． 【考点】平面向量在平面几何中的运用．)()0g x <，恒成立3)0+>在综上可得①②成立时42m -<<-．)()0g x <，而【考点】指数函数的性质，二次函数的性质．（Ⅰ）证明CD 1CDA D D =，，又A ⊥DE ，又CD DE D =⊥平面BCDE （Ⅱ）如图建立空间直角坐标系C xyz -，则,23)，(0B ∴1(0,3,2A B =-，(2,2,A E =-法向量为(,,)n x y z =100A B n A E n ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴3223y ⎧⎪⎨---⎪⎩2⎪⎩∴(1,2,3)n =-又∵M ∴(1,0,CM =-cos 2||||1313222CM n CM n θ====++∴CM 与平面1A BE 所成角的大小45（Ⅲ）设线段上存在点P ，设则(0,A P a =，(2,DP a =设平面A DP 法向量为(,n x y =∴1(,,n x y =垂直，则10n n =， DE ，即证明DE ⊥平面1A CD 法向量(1,2,n =-，(1,0,CM =-A DP 法向量为(3n a =-垂直，则10n n =，可求得【考点】平面图形的折叠问题，立体几何．（Ⅰ）由题意可知，厨余垃圾600吨,投放到“厨余垃圾”箱（Ⅱ）a a∴3AG⎛= ，(AN x=三点共线，只需证AG，AN共线3(6Mxx k+成立，化简得：从而可得3AG⎛= ，(AN x=三点共线，只需证AG，AN共线，利用韦达定理，可以证明．【考点】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系．1(1)(1t t++数学试卷第19页（共21页）数学试卷第20页（共21页）数学试卷第21页（共21页）。

2012年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理科）答案解析第Ⅰ卷{|=A B x xA B．表示的区域表示正方形区域，2=90,CD⊥CE CB CD=．AD DB，所以CE CB AD DB第Ⅱ卷【解析】23S a =，所以【提示】由{}n a 是等差数列23S a =，解得60，所以直线的斜率为tan603=323y =【解析】根据平面向量的点乘公式cos DE CB DE DA DE DA θ==，可知cos DE DA θ=，所以21DE CB DA ==；||||cos ||cos DE DC DE DC DE αα==，又因为cos DE α就是向量DE 在DC 边上的射影，要想让DE DC 最大，即让射影最大，此时||DC ，所以长度为【提示】直接利用向量转化，求出数量积即可． 【考点】平面向量在平面几何中的运用．)()0g x <，综上可得①②成立时42m -<<-．)()0g x <，而【考点】指数函数的性质，二次函数的性质．（Ⅰ）证明CD 1CDA D D =，又AC ⊥DE ，又CD DE D =⊥平面BCDE xyz -，则D ∴1(0,3,A B =，1(2,2,A E =-法向量为(,,)n x y z =1100A B n A E n ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴3223y ⎧⎪⎨---⎪⎩322z y y x ==-⎪⎩∴(1,2,n =-∴(1,0,CM =-3422||||1313222CM n CM n ===++与平面1A BE 所成角的大小45（Ⅲ）设线段上存在点P ，设则1(0,A P a =，(2,DP a =设平面1A DP 法向量为111(,n x y =∴111(,,n x y =1A BE 垂直，则10n n =， 法向量(1,2,n =-，(1,0,CM =-求出平面A DP 法向量为1(3n a =- 垂直，则10n n =，可求得【答案】（Ⅰ）由题意可知，厨余垃圾600吨,（Ⅱ）a a∴3AGx⎛= ，(NAN x=三点共线，只需证AG，AN共线(6Mx k+成立，化简得：从而可得3AGx⎛= ，(NAN x=三点共线，只需证AG，AN共线，【考点】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系．++t t1(1)(1。

2012年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题共8小题．每小题5分.共40分。

在每小题列出的四个选项中,选出符合胜目要求的一项。

1．已知集合{}()(){}320,130A x x B x x x =∈+>=∈+->R R ,则A ∩B=（ ）A ．(),1-∞-B ．21,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．2,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()3,+∞2．设不等式组0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩,表示的平面区域为，在区域内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于的概率是（ ） A ．4πB ．22π-C ．6πD ．44π- 3．设,a b ∈R ．“0a =”是“复数a bi +是纯虚数”的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 4．执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）A ．B ．C ．D ．5．如图，,9 0ACB CD AB ︒=⊥于点,以BD 为直径的圆与BC 交于点．则( )A ．CE CB AD DB ⋅=⋅B ．CE CB AD AB ⋅=⋅C ．2AD AB CD ⋅=D ．2CE EB CD ⋅= 6．从0,2中选一个数字．从、、中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为（ ) A ．B ．C ．D ．7．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ）A ．2865+B ．3065+C ．56125+D ．60125+8．某棵果树前年的总产量与之间的关系如图所示．从目前记录的结果看,前年的年平均产量最高,则的值为( ）A ．B ．C ．D ．二.填空题共小题．每小题分．共分。

9．直线21x t y t =+⎧⎨=--⎩（为参数）与曲线3cos 3sin x y αα=⎧⎨=⎩(为参数）的交点个数为．10．已知{}n a 是等差数列,为其前项和．若1231,2a S a ==，则=．11．在ABC 中，若12,7,cos 4a b c B =+==-，则=．12．在直角坐标系xOy 中．直线过抛物线24y x =的焦点．且与该抛物线相交于、两点．其中点在轴上方．若直线的倾斜角为60︒．则OAF 的面积为． 13．己知正方形ABCD 的边长为,点是AB 边上的动点．则DE CB ⋅的值为． 14．已知()()()23,()22x f x m x m x m g x =-++=-，若同时满足条件： ①,()0x f x ∀∈<R 或()0g x <; ②(),4,()()0x f x g x ∃∈-∞-<． 则的取值范围是．三、解答题公6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．已知函数()sin cos sin 2()sin x x xf x x-=.(1）求()f x 的定义域及最小正周期； （2）求()f x 的单调递增区间．16．如图，在Rt ABC 中,90C ︒∠=，3,6BC AC ==，,D E 分别是,AC AB 上的点，且DE ∥,2BC DE =，将ADE 沿DE 折起到1A DE 的位置，使1A C CD ⊥,如图．(1）求证：1A C ⊥平面BCDE ；（2）若是1A D 的中点，求CM 与平面1A BE 所成角的大小；（3）线段BC 上是否存在点，使平面1A DP 与平面1A BE 垂直？说明理由．17．近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放情况，先随机抽取了该市三类垃圾箱总计1000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨);“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾 400 100 100 可回收物 30 240 30 其他垃圾202060（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率； (2)试估计生活垃圾投放错误的概率；（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物"箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为,,a b c ，其中0,600a a b c >++=．当数据,,a b c 的方差最大时，写出,,a b c 的值（结论不要求证明）,并求此时的值． （求：()()()2222121n S x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦，其中为数据12,,,n x x x 的平均数)18．已知函数()()23()10,f x ax a g x x bx =+>=+。

2012年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）【试卷总评】2012年的北京数学高考是高中新课改后的第三次高考，试卷延续了近几年高考数学命题的风格，题干大气，内容丰富，难度客观讲适中，和以往一样，其中8,14,20三个题技巧性较高，侧重考查学生的数学思维和探究精神。

拿到试卷的第一感觉是亲切，大部分试题均注重考查基础知识、基本技能和基本方法，考查数学传统的主干知识，较好的把握了传统知识的继承点和新增知识的起步点，但是有几个试题还是非常具有新意，难度不小，重点考查能力，给考生留下了较深的印象。

本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.已知集合={x R|3x+2>0}A∈，B={x R|(x+1)(x-3)>0}∈，则A B=（）A．(,1)-∞- B．2(1,)3--C．2(,3)3-D．(3,)+∞2.设不等式0202xy≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点3.设,a b R∈，“0a=”是“复数a bi+是纯虚数”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6．从0,2中选一个数字.从1.3.5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为( )A. 24B. 18C. 12D. 6【考点定位】本题是排列组合问题，属于传统的奇偶数排列的问题，解法不唯一，需先进行良好的分类之后再分步计算，该问题即可迎刃而解。

7．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ）A ．2865+B ．3065+C ．56125+D ．60125+8．某棵果树前n 年的总产量nS 与n 之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为（ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．11二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2012年普通高等学校招生全国统一考试 数学 （理）（北京卷）第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}320A x x =∈+>R {}(1)(3)0B x x x =∈+->R 则A B = ( ) A ．(,1)-∞- B ．2(1,)3-- C ．2(,3)3- D ．(3,)+∞【测量目标】集合间的基本运算,（交集）.【考查方式】给出两个集合，解出不等式表示的集合，求出交集. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】2{|}3A x x =>-，利用二次不等式的解法可得{}|31B x x x =><-或，画出数轴易得{}|3A B x x => .2. 设不等式组0202x y⎧⎨⎩剟剟表示的平面区域为D .在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 ( ) A ．π4 B ．π22- C ．π6 D ．4π4-【测量目标】判断不等式组表示的平面区域与几何概率的综合运用. 【考查方式】运用线性规划知识求几何概率. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】题目中0202xy⎧⎪⎨⎪⎩剟剟表示的区域表示正方形区域，而动点D 可以存在的位置为正方形面积减去四分之一的圆的面积部分，因此2122π24π4224P ⨯-⨯-==⨯，故选D. 3.设,a b ∈R , “0a =”是“复数a b +i 是纯虚数”的 ( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件 【测量目标】复数的概念，充分、必要条件. 【考查方式】将虚数与充分必要条件结合考查.【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】当0a =时，如果0b =，此时i 0a b +=是实数，不是纯虚数，因此不是充分条件；而如果i a b +已经是纯虚数，由定义实部为零，虚部不为零可以得到0a =，因此是必要条件，故选B.4. 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 ( ) A.2 B.4 C.8D.16第4题图【测量目标】循环结构的程序框图. 【考查方式】给出程序框图直接考查. 【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】0,11,12,23,8k s k s k s k s ==⇒==⇒==⇒==， 循环结束，输出的S 为8，故选C.5.如图，∠ACB =90，CD ⊥AB 于点D ,以BD 为直径的圆与BC 交于点E ，则 （ ）第5题图A .CE CB =AD DB B.CE CB =AD ABC .AD AB =2CD D .CE EB =2CD 【测量目标】几何证明选讲.【考查方式】给出三角形和圆的位置关系，通过条件求解. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】由切割线定理可知2CE CB CD = ，在直角ABC △中90,ACB CD AB ∠=⊥，则由射影定理可知2CD AD DB = ，所以CE CB AD DB =. 6.从0,2 中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为 （ ） A ．24 B ．18 C ．12 D ．6 【测量目标】排列组合及其应用.【考查方式】选择数字进行排列，判断奇偶性. 【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】由于题目要求是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇，偶奇奇.如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析3种选择，之后二位，有2种选择，最后百位2种选择，共12种；如果是第二种情况偶奇奇，分析同理，个位有3种选择，十位有2种选择，百位有一种选择，共6种，因此总共12618+=种，选B. 7. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是 （ ）第7题图A ．28+B ．30+C ．56+D ．60+【测量目标】由三视图求几何体的表面积. 【考查方式】给出三视图，直接求表面积. 【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，本题所求表面积为三棱锥四个面的面积之和.利用垂直关系和三角形面积公式，可得：10,10,10,S S S S ====后右左底因此该几何体表面积30S =+，故选B.8. 某棵果树前n 年得总产量n S 与n 之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为（ ）第8题图A ．5B ．7C ．9D ．11 【测量目标】 函数图象的应用.【考查方式】给出函数图象，判断变化规律. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】由图可知6，7，8，9这几年增长最快，超过平均值，所以应该加入，因此选C.第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9.直线2,1x t y t =+⎧⎨=--⎩（t 为参数）与曲线3cos 3sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）的交点个数为 .【测量目标】直线和圆的位置关系.【考查方式】给出直线和曲线的参数方程，通过转化为普通方程求解. 【难易程度】中等 【参考答案】2【试题解析】直线转化为1x y +=，曲线转化为圆229x y +=，将题目所给的直线和圆图形作出，易知有两个交点.10.已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和.若112a =，23S a =，则2a = . 【测量目标】等差数列的通项.【考查方式】给出前2项和与数列第三项的关系及首项求数列第二项. 【难易程度】容易 【参考答案】1【试题解析】23S a = ，所以111211212a a d a d d a a d ++=+⇒=⇒=+=. 11.在ABC △中，若2a =，7bc +=，1cos 4B =-，则b = . 【测量目标】余弦定理的运用.【考查方式】给出三角形部分边角值，求另一边. 【难易程度】中等【参考答案】4【试题解析】在△ABC 中，得用余弦定理22214()()47()cos 2444a c b c b c b c b B ac c c+-++-+-=⇒-==，化简得8740c b -+=，与题目条件7b c +=联立，可解得4,3b c ==，答案为4.12.在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线24y x =的焦点F,且与该抛物线相交于A 、B 两点，其中点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角为60，则OAF △的面积为 . 【测量目标】抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系.【考查方式】通过直线与抛物线的位置关系，求三角形面积. 【难易程度】中等【试题解析】由24y x =，可求得焦点坐标为(1,0)F ，因为倾斜角为60，所以直线的斜率为tan60k ==y =21(,334y A B y x⎧=⎪⇒-⎨⎪=⎩，因此11122OAF AS OF y =⨯⨯=⨯⨯△13.已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE CB的值为 ； DE DC的最大值为 .【测量目标】平面向量在平面几何中的运用.【考查方式】将最值问题，向量的数量积与平面几何结合起来考查. 【难易程度】中等 【参考答案】1,1【试题解析】根据平面向量的点乘公式||||cos DE CB DE DA DE DA θ==，可知||cos ||DE DA θ= ，因此2||1DE CB DA == ；||||cos ||cos DE DC DE DC DE αα==，而||cos DE α就是向量DE 在DC 边上的射影，要想让DE DC 最大，即让射影最大，此时E 点与B 点重合，射影为||DC，所以长度为1.14.已知()(2)(3)f x m x m x m =-++，()22x g x =-.若同时满足条件：①,()0x f x ∀∈<R 或()0g x <；②(,4)x ∃∈-∞- ，()()0f x g x <. 则m 的取值范围是 .【测量目标】指数函数的性质，二次函数的性质. 【考查方式】将指数函数与二次函数综合考查. 【难易程度】较难 【参考答案】（4,2)--【试题解析】根据()2201xg x x =-<⇒<，由于题目中第一个条件的限制，导致()f x 在1x …时必须是()0f x <，当0m =时，()0f x =，不能做到()f x 在1x …时，()0f x <，所以舍去，因此()f x 作为二次函数开口只能向下，故0m <，且此时2个根为122,3x m x m ==--，为保证条件成立，只需121212314x m m x m m ⎧=<<⎧⎪⎪⇒⎨⎨=--<⎪⎪⎩>-⎩，和大前提0m <取交集结果为40m -<<，又由于条件2的限制，可分析得出(,4),()x g x ∃∈-∞-恒负，因此就需要在这个范围内()f x 有取得正数的可能，即4-应该比12,x x 两个根中较小的根大，当(1,0)m ∈-时，34m --<-，解得交集为空，舍去.当1m =-时，两个根同为24->-，也舍去，当(4,1)m ∈--时，242m m <-⇒<-，综上所述(4,2)m ∈--.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题13分） 已知函数(sin cos )sin 2()sin x x xf x x-=.（1）求()f x 的定义域及最小正周期； （2）求()f x 的单调递增区间.【测量目标】三角函数的定义域、周期、单调性. 【考查方式】给出三角函数关系式，通过化简求解. 【难易程度】容易 【试题解析】(sin cos )sin 2()sin x x x f x x -==(sin cos )2sin cos sin x x x xx-=2(sin cos )cos x x x-sin 21cos 2x x =--π)14x --，{|π}x x k k ≠∈Z ,(步骤1)(1) 原函数的定义域为{|π,}x x k k ≠∈Z ，最小正周期为π；（步骤2） (2) 由πππ2π22π+,242k x k k --∈Z 剟.解得π3πππ,,88k x k k -+∈Z 剟又{|π,}x x k k ≠∈Z ,原函数的单调递增区间为π[π,π)8k k k -+∈Z ，3π(π,π]8k k k +∈Z .（步骤3） 16. （本小题14分）如图，在Rt △ABC 中，∠C =90，BC =3，AC =6，D,E 分别是AC ，AB 上的点， 且DE ∥BC ，DE =2，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C ⊥CD ，如图2.（1）求证：A 1C ⊥平面BCDE;（2）若M 是A 1D 的中点，求CM 与平面A 1BE 所成角的大小；（3）线段BC 上是否存在点P ,使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直？说明理由.图1 图2第16题图【测量目标】平面图形的折叠问题、立体几何中的探索问题. 【考查方式】通过图形折叠考查线面之间的综合问题. 【难易程度】中等【试题解析】（1）证明 CD DE ⊥，1A D DE ⊥又1CD A D D =∴DE ⊥平面1ACD ， 又 1AC ⊂平面1ACD ， ∴1AC ⊥DE 又1AC CD ⊥，CD DE D = ∴1AC ⊥平面BCDE .（步骤1） （2）如图建空间直角坐标系C xyz -，则()200D -，，，(100A ，，，()030B ，，，()220E -，，，(0,0,0)C .∴(103A B =-，，,(122A E =-- ，，设平面1A BE 法向量为()x y z =，，n ，则 1100A B A E ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n∴30220y x y ⎧-=⎪⎨---=⎪⎩∴(22z y y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩步骤）∴(12=-，n又∵(10M -，∴(10CM =-，∴cos 2||||CM CM θ==== n n ∴CM 与平面1A BE 所成角的大小45（步骤3）第16题图（3）设线段BC 上存在点P ，设P 点坐标为()00a ，，，则[]03a ∈，则(10A P a =- ，，，()20DP a = ，， 设平面1A DP 法向量为()1111x y z =，，n ，则1111020ay x ay ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩∴111112z x ay⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴()1(436a =-步骤），n 假设平面1A DP 与平面1ABE 垂直，则10= n n ，∴31230a a ++=，612a =-，2a =-∵03a剟 ∴不存在线段BC 上存在点P ，使平面1A DP 与平面1A BE 垂直（步骤5）. 17.（本小题13分）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率； （2）试估计生活垃圾投放错误的概率；（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为,,a b c ，其中0a >，600a b c ++=.当数据,,a b c 的方差2S 最大时，写出,,a b c 的值（结论不要求证明），并求此时2S 的值. （注：方差2222121[()()()]n S x x x x x x n=-+-++- ，其中x 为12,,n x x x 的平均数） 【测量目标】概率与方差【考查方式】通过实际生活背景考查简单的概率与方差的运用 【难易程度】中等【试题解析】（1）由题意可知：40026003=(步骤1)（2）由题意可知：20060403100010++=（步骤2）（3）由题意可知：22221(120000)3S a b c =++-，因此有当600a =，0b =，0c =时有280000S =．（步骤3）18.（本小题13分）已知函数2()1f x ax =+（0a >），3()g x x bx =+.（1）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点（1，c ）处具有公共切线，求,a b 的值； （2）当24a b =时，求函数()()f x g x +的单调区间，并求其在区间(,1)-∞-上的最大值. 【测量目标】利用导数求函数单调区间及最值.【考查方式】给出两个函数式，通过导数求最值及区间. 【难易程度】较难【试题解析】（1）由1c （，）为公共切点可得：2()1(0)f x ax a =+>，则()2f x a x '=，12k a =，3()g x x bx =+，则2()=3g x x b '+，23k b =+，∴23a b =+①（步骤1）又(1)1f a =+，(1)1g b =+，∴11a b +=+，即a b =，代入①式可得：33a b =⎧⎨=⎩．（步骤2）（2） 24a b =，∴设3221()()()14h x f x g x x ax a x =+=+++ 则221()324h x x ax a '=++，令()0h x '=，解得：12a x =-，26ax =-；0a >，∴26a a-<-，∴原函数在2a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，单调递增，在26a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，单调递减，在6a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增（步骤3）①若12a--≤，即2a ≤时，最大值为2(1)4a h a =-；②若126a a -<-<-，即26a <<时，最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭③若16a --≥时，即6a ≥时，最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 综上所述：当(]02a ∈，时，最大值为2(1)4a h a =-；当()2,a ∈+∞时，最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．（步骤4） 19.（本小题14分）已知曲线C : 22(5)(2)8()m x m y m -+-=∈R (1)若曲线C 是焦点在x 轴的椭圆，求m 的范围；(2)设4m =，曲线C 与y 轴的交点为A ,B （点A 位于点B 的上方），直线4y kx =+与曲线C 交于不同的两点M ,N ,直线1y =与直线BM 交于点G 求证：A ,G ,N 三点共线. 【测量目标】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系.【考查方式】给出曲线方程，通过条件判断运用几何性质求解. 【难易程度】中等【试题解析】（1）原曲线方程可化简得：2218852x ym m +=--，由题意可得：8852805802m m m m ⎧>⎪--⎪⎪>⎨-⎪⎪>⎪-⎩，解得：75.2m <<（步骤1）（2）证明：由已知直线代入椭圆方程化简得：22(21)16240k x kx +++=，2=32(23)0k ∆->，解得：232k >. 由韦达定理得：21621M N k x x k +=-+①，22421M N x x k =+，②（步骤2） 设(,4)N N N x k x +，(,4)M M M x kx +，(1)G G x ，MB 方程为：62M M kx y x x +=-，则316M M x G kx ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，，（步骤3）∴316MM x AG x k ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，，()2N N AN x x k =+ ，，欲证A G N ，，三点共线，只需证AG ，AN共线即3(2)6MN N M x x k x x k +=-+成立，化简得：(3)6()M N M N k k x x x x +=-+将①②代入易知等式成立，则A G N ，，三点共线得证.（步骤4） 20.（本小题13分）设A 是由m n ⨯个实数组成的m 行n 列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零.记(,)S m n 为所有这样的数表构成的集合.对于(,)A S m n ∈，记()i r A 为A 的第i 行各数之和1i m 剟，()j c A 为A 的第j 列各数之和1jn 剟；记()k A 为1|()|r A ，2|()|r A ，…，|()|m r A ，1|()|c A ，2|()|c A ，…，|()|n c A 中的最小值. （1）对如下数表A ,求()k A 的值；（2）设数表A ∈(2,3)S 形如求()k A 的最大值；（3）给定正整数t ，对于所有的A ∈S (2，21t +),求()k A 的最大值.【测量目标】合情推理.【考查方式】通过设定的条件分析判断. 【难易程度】较难【试题解析】（1）由题意可知()1 1.2r A =，()2 1.2r A =-，()1 1.1c A =，()20.7c A =，()3 1.8c A =-∴()0.7k A =（步骤1）（2）先用反证法证明()1k A …：若()1k A > 则()1|||1|11c A a a =+=+>，∴0a >同理可知0b >，∴0a b +>，由题目所有数和为0，即1a b c ++=-∴11c a b =---<-与题目条件矛盾∴()1k A ≤．易知当0a b ==时，()1k A =存在∴()k A 的最大值为1.（步骤2）（3）()k A 的最大值为212t t ++. 首先构造满足21()2t k A t +=+的,{}(1,2,1,2,...,21)i j A a i j t ===+： 1,11,21,1,11,21,211...1, (2)t t t t t a a a a a a t +++-========-+， 22,12,22,2,12,22,211...,...1(2)t t t t t t a a a a a a t t +++++========-+. 经计算知，A 中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且 1221|()||()|2t r A r A t +==+， 2121121|()||()|...|()|11(2)22t t t t t c A c A c A t t t t ++++====+>+>+++， 1221121|()||()|...|()|122t t t t t c A c A c A t t +++-+====+=++.（步骤3） 下面证明212t t ++是最大值. 若不然，则存在一个数表(2,21)A S t ∈+，使得21()2t k A x t +=>+. 由()k A 的定义知A 的每一列两个数之和的绝对值都不小于x ，而两个绝对值不超过1的数的和，其绝对值不超过2，故A 的每一列两个数之和的绝对值都在区间[,2]x 中. 由于1x >，故A 的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于1x -.（步骤4）设A 中有g 列的列和为正，有h 列的列和为负，由对称性不妨设g h <，则,1g t h t +剠. 另外，由对称性不妨设A 的第一行行和为正，第二行行和为负.考虑A 的第一行，由前面结论知A 的第一行有不超过t 个正数和不少于1t +个负数，每个正数的绝对值不超过1（即每个正数均不超过1），每个负数的绝对值不小于1x -（即每个负数均不超过1x -）. 因此()11|()|()1(1)(1)21(1)21(2)r A r A t t x t t x x t t x x =++-=+-+=++-+< …， 故A 的第一行行和的绝对值小于x ，与假设矛盾. 因此()k A 的最大值为212t t ++ （步骤5）。