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实例近六届世界杯进球数的表格与年份。
进球数. 1990. 115P 1994. 137〃 199& 171. 2002『 161P 2006. 147。
2010. 145^实例某国某地某天的气温变化曲实例函数的图(1)/(x)=x+l (2)/"(工)=工 第二章函数(4)函数的单调性一、学习目标: 1、理解增函数和减函数的定义 2、会利用定义证明函数的单调性 3、了解函数单调区间的概念，并能根据函数图象写出的单调区间 二、学习过程:1、【实例探究】问题1：实例1中随着年份的变化，进球数有什么变化；实例2中随着时间的变化，温度有什么变化；实例3中随着自变量x 的变化，因变量》有什么变化? 问题2：怎样用数学语言描述“随自变量X 的增大，因变量y 不断增大”和“随自变量X 的增大，因变量y 不断减小” 2、【构建新知】(1)单调性的通俗定义:单调遂增函数单调遂覆函数y图象1 1F图象特征从左到右，图象上升从左到右,图象下降正y随x的瑁大而增大y随x的增大而减小(2)单调性的经典定义:三、例题分析：例1、下图是定义在[-5,5]±的函数y = /(%)的图象，根据图象说出函数y = f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，y = /(x)是增函数还是减函数。
四、巩固练习：1、函数/(%) =| %| (% e R)的增区间为函数/(x) =\X\(XE[-2,3])的增区间为2、函数/(%) = %2 + 2x-3(xe R)的减区间为3、求证：函数/(%) = --在区间(-3,0)上是单调增函数XX + ]4、用定义证明f(x) =——在(l,+oo)上是减函数x-15、用定义证明/(%)=A/^(%>0)在定义域上是增函数五、小结：用定义法证明函数单调性的步骤:1、取值:设任意玉、切属于给定区间，且X] < X?；2、作差运算：/■(>])—f(X)= ....注意：①运算的常用公式:平方差公式、立方和立方差公式%1运算的常用技巧:提取公因式、四项两两结合、通分、分母有理化等%1运算要彻底，3、定号:确定/(%[)-/(%2)的正负号；4、下结论：由定义得出函数的单调性。
函 数 的 单 调 性【教学目的】1． 使学生理解增函数、减函数的概念，掌握判断某些函数增减性的方法； 2． 培养学生利用数学概念进行判断推理的能力和数形结合，辩证思维的能力； 【基本知识】1、 定义：对于给定区间上的函数f(x)及属于这个区间上的任意两个自变量x 1、x 2，当x 1＜x 2时，如果有f(x 1)＜f(x 2)，则称f(x)在这个区间上是＿＿＿＿函数，这个区间就叫做函数f(x)的＿＿＿区间；如果有f(x 1)＞f(x 2)，则称f(x)在这个区间上是＿＿＿＿函数，这个区间就叫做函数f(x)的＿＿＿区间； 〖说明〗1。
单调区间是定义域的子集；2。
若函数f(x)在区间D 上是增函数，则图象在D 上的部分从左到右呈＿＿趋势 若函数f(x)在区间D 上是减函数，则图象在D 上的部分从左到右呈＿＿趋势 3。
单调区间一般不能并 2、 判断单调性的方法：①定义； ②导数； ③复合函数单调性：同增则增，异增则减； ④图象 3、 常用结论：①两个增（减）函数的和为___；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是__； ②奇函数在对称的两个区间上有_____的单调性；偶函数在对称的两个区间上有_____的单调性；③互为反函数的两个函数在各自定义域上有______的单调性；【课前预习】1． 下列函数中，在区间(-∞，0)上是增函数的是 ( )A 、84)(2+-=x x x f B 、g(x)=ax+3 (a≥0) C 、2()1h x x =-+ D 、12()log ()s x x =- 2． 函数33y x x=+的单调递增区间是＿＿＿＿＿＿＿ 3． 函数f(x)＝｜log a x ｜（0＜a ＜1）的单调增区间是＿＿＿＿＿＿＿ 4． 函数)23(log )(221-+-=x x x f 的减区间是__________________5． 函数f(x)＝x 3+ax 有三个单调区间，则实数a 的取值范围是＿＿＿＿＿ 【例题讲解】例1：若函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间]4,(-∞上是减函数，则实数a 的取值范围是_________.【变式1】3211()(1)132f x x ax a x =-+-+在区间（1,4）内为减函数，在区间（6，＋∞）为增函数，求实数a 的取值范围；【变式2】已知数列{a n }中22(1)2n a n a n =+-+，且n a 随着n 的增大而增大，则实数a 的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿例2、判断并证明函数1()1xf x x-=+的单调性【变式1】判断函数)1,0(11log )(≠>+-=a a x xx f a的单调性 【变式2】已知函数1()log (1)1axf x a x-=>+，是否存在实数x ，使关于x 的不等式 2()(1)f x f x <-成立例3、设)(x f 是定义在R 上的函数，对m 、R n ∈恒有)()()(n f m f n m f ⋅=+，且当0>x 时，1)(0<<x f 。
“函数的单调性”的教学设计一、教材分析地位与作用：“函数的单调性”既是一个重要的数学概念，又是函数的一个重要性质．在中学数学内容里占有十分重要的地位.它体现了函数的变化趋势和变化特点，在利用函数观点解决问题中起着十分重要的作用．重点与难点：重点是函数的单调性定义理解（从形到数，从文字语言到符号语言）．难点是利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．二、教学目标知识目标：（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性；（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；（3）能够熟练应用定义判断函数在某区间上的的单调性．能力目标：通过概念的教学，培养学生观察、联想、比较、分析、综合、抽象、概括的逻辑思维能力，使其能体验和感悟数学的一般思维方法.德育目标：通过形式化与符号化对函数单调性的描述，促使学生养成用运动、发展、变化的观点认识世界的思维习惯.三、学情研究在讲授函数的单调性之前，学生已经学过一次函数，二次函数，反比例函数等简单函数，函数的概念及函数的表示，接下来的任务是对函数应该继续研究什么.从各种函数关系中研究它们的共同属性，应该是顺理成章的，有必要的和有意义的.而且，函数的单调性是学生从已经学习的函数中比较容易发现的一个性质，学生也容易产生共鸣.四、教具选择多媒体课件及实物展台，通过对图形的直观体验理解概念，化解难点.五、过程设计问题情境：观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：得到充分感知.从而获得丰富的表象信息，产生众多的联想.学生活动：学生通过充分观察提出自己意见：①随x的增大，y的值有一定变化；②有的函数有最大值或最小值；③有的函数图象有上升或下降的情形或具有某种对称性……师：图1：函数图像在整个定义域上都是下降的.图2：函数图像在(),0-∞上下降，在()0,+∞上上升. 图3：函数图像在整个定义域上都是上升的.图4：函数图像在部分区域上上升，在部分区域上下降. 共同特点：图像在定义域的某些部分上升或下降.师：引导学生讨论一个实际问题：校门口与地下车库之间的路是上坡还是下坡？ 生：有的说上坡，有的说下坡. 师：为何说法不一？生：讨论之后形成共识：究竟上升还是下降要看方向.不然，容易产生歧义. 师：就函数图像的上升、下降而言，以什么为参照或方向比较好？ 生：以x 轴的方向为参照较好.师：图像的上升或下降表明了函数在变化中一种不变的性质.数学上把函数的这种性质称之为“单调性”.把上升称为“单调增”，把下降称为“单调减”.意义建构：建构主义的学习理论认为，学习不是一个被动的吸收过程，而是一个以已有的知识和经验为基础的主动的建构过程，因此，从具体问题出发来引出数学概念更符合学生的认知规律.对函数的单调性的建构有两个重要的过程：一是建构函数单调性的意义，二是通过思维构造把这个意义用数学的形式化语言加以描述.师：“上升、下降”是一种日常语言，这样来描述函数的性质是不够准确的.能否用数学的语言来描述函数的这一特点呢？生：讨论之后提出一种表示：上升：函数()y f x =随x 的增大而增大 下降：函数()y f x =随x 的增大而减小 师：能否用数字化的符号给出一种定量的描述？生：x 的增大⇒ x 1< x 2， ()y f x =的增大⇒()()12f x f x < 故猜想上升即 x 1< x 2⇒()()12f x f x < 同理：下降即 x 1< x 2⇒()()12f x f x >师：按刚才所说：对于函数2y x =而言，因为13-<时，()()13f f -<，所以函数2y x =是增函数.对不对？生：联系图像，发现问题，改进猜想. 师：总结之后给出定义. 数学理论：函数单调性定义一般地，设函数()y f x =的定义域为A ，如果对于定义域A 内的某个区间I 内的任意．．两个自变量x 1，x 2，当x 1< x 2时，都有()()12f x f x <，那么就说()y f x =在区间I 上是增函数（increasing function ）．I 称为y =f(x )的单调增区间（increasing interval ）.注意：○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○2 必须是对于区间I 内的任意．．两个自变量x 1，x 2；当x 1< x 2时，总有()()12f x f x <． 思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．数学运用：例1．（教材P 34例1）根据函数图象，写出函数的单调区间：⑴ 22y x =-+； ⑵ 1(0)y x x=≠ 解：（略）巩固练习：课本P 37练习第1、2题点评：对于某些函数，如果能画出其图像，那么寻找函数的单调区间就十分容易了，因此，图像法是求函数单调区间的一种重要方法．例1引申：函数xy 1=在整个定义域上是否为单调函数？ 函数在某个区间上是单调函数，并不能说明函数在整个定义域上也是单调的． 例2．（教材P 35例2）根据函数单调性定义证明函数的单调性．求证：函数11y x=--在区间(),0-∞上是单调增函数.解：（略） 巩固练习：○1 课本P 37练习第5题；○2 证明函数xx y 1+=在（1，+∞）上为增函数． 例3．借助计算机作出函数23y x x =-++的图象并指出它的单调区间． 解：（略）小结：判断函数单调性的方法步骤：利用定义证明函数f(x)在给定的区间I 上的单调性的一般步骤：○1 任取x 1，x 2∈I ，且x 1< x 2；○2 作差()()12f x f x -； ○3 变形（通常是因式分解，配方或有理化）；○4 定号（即判断差()()12f x f x -的正负）； ○5 下结论（即指出函数()y f x =在给定的区间I 上的单调性）．回顾反思：函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象可以借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步： 取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论六、教后反思⑴ 要实现数学新知的建构学习，教师创设适当的情境是一个十分重要的方面. 当然，情境应符合实际.这里的实际包括数学教学内容的实际，学生知识状况的实际，学生思维发展的实际等等. ⑵ 函数的单调性与很多已有的知识、经验、方法有联系， 这些对函数单调性的学习有着积极的意义，同时对函数单调性的理解也使得这些知识的意义得到了扩展.⑶ 概念和意义的综合贯通，不是一次课堂教学所能解决，因此需要在后续教学中多次反思，不断运用.。
高中数学说课稿：苏教版高中数学《函数的单调性》说课稿教案模板课题：函数的单调性（一）教材：苏教版必修（1）扬州大学附属中学陆萍一、教材分析1、教材内容本节课是苏教版第二章《函数概念和基本初等函数Ⅰ》§2．1．3函数简单性质的第一课时，该课时主要学习增函数、减函数的定义，以及应用定义解决一些简单问题．2、教材所处地位、作用函数的性质是研究函数的基石，函数的单调性是首先研究的一个性质．通过对本节课的学习，让学生领会函数单调性的概念、掌握证明函数单调性的步骤，并能运用单调性知识解决一些简单的实际问题．通过上述活动，加深对函数本质的认识．函数的单调性既是学生学过的函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数、三角函数的单调性的基础．此外在比较数的大小、函数的定性分析以及相关的数学综合问题中也有广泛的应用，它是整个高中数学中起着承上启下作用的核心知识之一．从方法论的角度分析，本节教学过程中还渗透了探索发现、数形结合、归纳转化等数学思想方法．3、教学目标（1）知识与技能：使学生理解函数单调性的概念，掌握判别函数单调性的方法；（2）过程与方法：从实际生活问题出发，引导学生自主探索函数单调性的概念，应用图象和单调性的定义解决函数单调性问题，让学生领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．（3）情感态度价值观：让学生体验数学的科学功能、符号功能和工具功能，培养学生直觉观察、探索发现、科学论证的良好的数学思维品质．4、重点与难点教学重点（1）函数单调性的概念；（2）运用函数单调性的定义判断一些函数的单调性．教学难点（1）函数单调性的知识形成；（2）利用函数图象、单调性的定义判断和证明函数的单调性．二、教法分析与学法指导本节课是一节较为抽象的数学概念课，因此，教法上要注意：1、通过学生熟悉的实际生活问题引入课题，为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发了学生求知欲，调动了学生主体参与的积极性．2、在运用定义解题的过程中，紧扣定义中的关键语句，通过学生的主体参与，逐个完成对各个难点的突破，以获得各类问题的解决．3、在鼓励学生主体参与的同时，不可忽视教师的主导作用．具体体现在设问、讲评和规范书写等方面，要教会学生清晰的思维、严谨的推理，并成功地完成书面表达．4、采用投影仪、多媒体等现代教学手段，增大教学容量和直观性．在学法上：1、让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、研究问题和解决问题的能力．2、让学生利用图形直观启迪思维，并通过正、反例的构造，来完成从感性认识到理性思维的一个飞跃．三、教学过程完整版观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。
2019-2020年高中数学函数的单调性教案1苏教版必修1三维目标一、知识与技能1.使学生理解函数单调性的概念，并能判断一些简单函数在给定区间上的单调性.2.启发学生能够发现问题和提出问题，培养学生分析问题、认识问题的能力和创造地解决问题的能力.3.通过观察——猜想——推理——证明这一重要的思想方法，进一步培养学生的逻辑推理能力和创新意识.二、过程与方法1.通过渗透数形结合的数学思想，对学生进行辩证唯物主义的思想教育.2.探究与活动，明白考虑问题要细致，说理要明确.三、情感态度与价值观理性描述生活中的增长、递减现象.教学重点领会函数单调性的实质，明确单调性是一个局部概念.教学难点利用函数单调性的定义证明具体函数的单调性.教具准备多媒体课件（PowerPoint）.教学过程一、创设情景，引入新课师：我们在初中已经学习了函数图象的画法.为了研究函数的性质，我们分别画函数y=x2和y=x的图象.y=x2的图象如图（1），y=x的图象如图（2）.请同学们观察这两个函数图象，然后指出这两个函数图象有什么特点.（1）（2）生：从函数y=x的图象〔图（2）〕看到：图象由左至右是上升的；从函数y=x2的图象〔图（1）〕看到：图象在y轴的右侧部分是上升的，在y轴的左侧部分是下降的.师：对.他（她）答得很好，这正是这两个函数的主要区别.函数图象的“上升”“下降”反映了函数的一个基本性质——单调性.那么如何描述函数图象的“上升”“下降”呢？生：函数y=x2的图象在y轴的左侧“下降”，也就是说当x在区间（－∞，0）上取值时，随着x的增大，相应的y值反而随着减小；图象在y轴的右侧“上升”也就是说当x在区间［0，+∞)上取值时，随着x的增大，相应的y值也随着增大.师：回答的很好.对于y=f（x）=x2，如果取x1、x2∈［0，+∞)，得到y1=f（x1），y2=f（x2），那么当x1＜x2时，有y1＜y2，这时我们就说函数y=f（x）=x2在［0，+∞）上是增函数.当x在区间（－∞，0）上取值时，随着x的增大，相应的y值反而随着减小，即如果取x1、x2∈（－∞，0），得到y1=f（x1），y2=f（x2），那么当x1＜x2时，有y1＞y2，这时我们就说函数y=f（x）=x2在（－∞，0）上是减函数.函数的这两个性质，就是今天我们要学习研究的.我们曾经根据具体函数（一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数）的图象研究过函数的函数值随自变量的变大而变大或变小的性质，而这些研究结论是直观地由图象得到的，在函数的集合中，有很多函数具有这种性质，因此我们有必要对函数这种性质作更进一步的一般性的讨论和研究，这就是我们今天这一节课的内容.（点明本节课的内容，既是曾经有所认识的，又是新的知识，引起学生的注意）〔板书课题：单调性与最大（小）值（1）〕二、讲解新课师：请同学们打开课本第33页，大家集体把增函数、减函数、单调区间的定义朗读一遍.（由学生朗读）师：通过刚才阅读增函数和减函数的定义，请同学们思考一个问题：这种定义与我们刚才讨论的函数值y随自变量x的增大而增大或减小是否一致？如果一致，定义中是怎样描述的？生：我认为是一致的.定义中的“当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2）”描述了y随x的增大而增大；“当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2）”描述了y随x的增大而减小.师：说得非常正确.定义中用了两个简单的不等关系“x1＜x2”和“f（x1）＜f（x2）或f（x1）＞f （x2）”，它刻画了函数的单调递增或单调递减的性质，数学语言多么精炼简洁，这就是数学的魅力所在！（通过教师的情绪感染学生，激发学生学习数学的兴趣）师：现在请同学们和我一起来看图（3）、图（4），它们分别是函数y=f1（x）和y=f2（x）的图象，体会这种魅力.（3）（4）（指图说明，并板演）师：图（3）中y=f1（x）对于区间［a，b］上的任意x1、x2，当x1＜x2时，都有f1（x1）＜f1（x2），因此y=f1（x）在区间［a，b］上是单调递增的，区间［a，b］是函数y=f1（x）的单调增区间；而图（4）中y=f2（x）对于区间［a，b］上的任意x1、x2，当x1＜x2时，都有f2（x1）＞f2（x2），因此y=f2（x）在区间［a，b］上是单调递减的，区间［a，b］是函数y=f2（x）的单调减区间.（教师指图说明分析定义，使学生把函数单调性的定义与直观图象结合起来，使新旧知识融为一体，加深对概念的理解.渗透数形结合分析问题的数学思想方法）师：因此我们可以说，增函数就其本质而言是在相应区间上较大的自变量对应……（不把话说完，指一名学生接着说完，让学生的思维始终跟着老师）生：较大的函数值的函数.师：那么减函数呢？生：在相应区间上较大的自变量对应较小的函数值的函数.（学生可能回答得不完整，教师应指导他说完整）师：好.我们刚刚对增函数和减函数的定义作了初步的分析，通过阅读和分析你认为在定义中我们应该抓住哪些关键词语，才能更透彻地认识定义？（学生思索）学生在高中阶段以至在以后的学习中经常会遇到一些概念（或定义），能否抓住定义中的关键词语，是能否正确地、深入地理解和掌握概念的重要条件，更是学好数学及其他各学科的重要一环.因此教师应该教会学生如何深入理解一个概念，以培养学生分析问题、认识问题的能力.（教师在学生思索过程中，再一次有感情地朗读定义，并注意在关键词语处适当加重语气.在学生感到无从下手时，给以适当的提示）生：我认为在定义中，有一个词“定义域I内某个区间D”是定义中的关键词语.师：很好，我们在学习任何一个概念的时候，都要善于抓住定义中的关键词语，在学习几个相近的概念时还要注意区别它们之间的不同.例如，反比例函数y=在（－∞，0），（0，+∞）内都是单调递减的，那我们能否说它在定义域上是减函数？生：不能.增函数和减函数都是对定义域内相应的区间而言的，离开了定义域内相应的区间就根本谈不上函数的增减性.师：回答得很到位.函数的单调性是对定义域内相应的区间而言的，所以要受到区间的限制，在不同的区间上增减性是不一样的.请大家继续思考一个问题，我们能否说一个函数在x=5时是递增或递减的？为什么？生：不能.因为此时函数值是一个数.师：对.函数在某一点，由于它的函数值是唯一确定的常数（注意这四个字“唯一确定”），因而没有增减的变化，所以在求单调区间时，若端点在定义域内，包括不包括端点都可以，但要求用闭区间来表示，“能闭则闭”.那么，我们能不能脱离区间泛泛谈论某一个函数是增函数或是减函数呢？你能否举一个我们学过的例子？生：不能.比如二次函数y=x2，在y轴左侧它是减函数，在y轴右侧它是增函数.因而我们不能说y=x2是增函数或是减函数.（在学生回答问题时，教师板演函数y=x2的图象，从“形”上感知）师：好.他（她）举了一个例子来帮助我们理解定义中的词语“给定区间”，这说明函数的单调性是函数在某一个区间上的性质，但这不排斥有些函数在其定义域内都是增函数或减函数.因此，今后我们在谈论函数的增减性时必须指明相应的区间.师：还有没有其他的关键词语？生：还有定义中的“对于某个区间D上的任意两个”和“都有”也是关键词语.师：你答的很对.能解释一下为什么吗？（学生不一定能答全，教师应给予必要的提示）师：“对于”是什么意思？生：就是说两个自变量x1、x2必须取自给定的区间，不能从其他区间上取.师：如果是闭区间的话，能否取自区间端点？生：可以.师：那么“任意”和“都有”又如何理解？生：“任意”就是指不能取特定的值来判断函数的增减性，而“都有”则是说只要x1＜x2，f（x1）就必须都小于f（x2），或f（x1）都大于f（x2）.师：能不能构造一个反例来说明“任意”呢？（让学生思考片刻）生：可以构造一个反例.考察函数y=x2，在区间［－2，2］上，如果取两个特定的值x1=－1，x2=1，显然x1＜x2，而f（x1）=1，f（x2）=1，有f（x1）=f（x2），若由此判定y=x2是［－2，2］上的减函数，那就错了.师：那么如何来说明“都有”呢？生：y=x2在［－2，2］上，当x1=－2，x2=－1时，有f（x1）＞f（x2）；当x1=1，x2=2时，有f（x1）＜f（x2），这时就不能说y=x2在［－2，2］上是增函数或减函数.师：好极了！通过分析定义和举反例，我们知道要判断函数y=f（x）在某个区间内是增函数或减函数，不能由特定的两个点的情况来判断，而必须严格依照定义在给定区间内任取两个自变量x1、x2，根据它们的函数值f（x1）和f（x2）的大小来判定函数的增减性.（教师通过一系列的设问，使学生处于积极的思维状态，从抽象到具体，并通过反例的反衬，使学生加深对定义的理解.在概念教学中，反例常常帮助学生更深刻地理解概念，锻炼学生的发散思维能力）师：反过来，如果我们已知f（x）在某个区间上是增函数或是减函数，那么，我们就可以通过自变量的大小去判定函数值的大小，也可以由函数值的大小去判定自变量的大小，即一般成立则特殊成立，反之，特殊成立，一般不一定成立.这恰是辩证法中一般和特殊的关系.（用辩证法的原理来解释数学知识，同时用数学知识去理解辩证法的原理，这样的分析，有助于深入地理解和掌握概念，分清概念的内涵和外延，培养学生学习的能力）例题讲解【例1】图（5）所示的是定义在闭区间［－5，5］上的函数f（x）的图象，根据图象说出f（x）的单调区间，并回答：在每一个单调区间上，f（x）是增函数还是减函数？（5）生：函数y=f（x）在区间［－5，－2］，［1，3］上是减函数，因此［－5，－2］，［1，3］是函数y=f （x）的单调减区间；在区间［－2，0］，；0，1］，［3，5］上是增函数，因此［－2，0］，［0，1］，［3，5］是函数y=f（x）的单调增区间.师：回答是正确的.但区间［－2，0］，［0，1］可以连起来写［－2，1］，一般写单调区间遵循“能连则连”原则.生：老师，我有一个问题，［－5，－2］是函数f（x）的单调减区间，那么，是否可认为（－5，－2）也是f（x）的单调减区间呢？师：问得好，这说明你考虑问题很严谨.容易证明：若f（x）在［a，b］上单调（增或减），则f（x）在（a，b）上单调（增或减）.反之不然，你能举出反例吗？一般来说，若f（x）在［a，b］上单调（增或减），且［a1，b1］［a，b］，则f（x）在［a1，b1］上单调（增或减）.反之不然.【例2】物理学中的玻意耳定理p=（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大.试用函数的单调性证明之.师：从函数图象上观察函数的单调性固然形象，但在理论上不够严格，尤其是有些函数不易画出图象，因此必须学会根据解析式和定义从数量上分析辨认，这才是我们研究函数单调性的基本途径（指出用定义证明的必要性）.这里由题意，只要证明函数p=在区间（0，+∞）上是减函数即可.那么，怎样用定义证明呢？请同学们思考后在笔记本上写出证明过程.（教师巡视，并指定一名中等水平的学生在黑板上板演.学生可能会对如何比较p（V1）和p（V2）的大小关系感到无从入手，教师应给以启发）师：对于p（V1）和p（V2）我们如何比较它们的大小呢？我们知道对两个实数a、b，如果a＞b，那么它们的差a－b就大于零；如果a=b，那么它们的差a—b就等于零；如果a＜b，那么它们的差a－b就小于零，反之也成立.因此我们可由差的符号来决定两个数的大小关系.生：（板演）设V1、V2是定义域（0，+∞）上的任意两个实数，且V1＜V2，则p（V1）－p（V2）=－=k·.由V1、V2∈（0，+∞），得V1V2＞0；由V1＜V2，得V2－V1＞0.又k＞0，于是p（V1）－p（V2）＞0，即p（V1）＞p（V2）.所以，函数p=，V∈（0，+∞）是减函数.也就是说，当体积V减小时，压强将增大.师：他的证明思路是清楚的.一开始设V1、V2是（0，+∞）内任意两个自变量，并设V1＜V2（边说边用彩色粉笔在相应的语句下划线，并标注“①→设”），然后看p（V1）－p（V2），这一步是证明的关键，再对式子进行变形，一般方法是分解因式或配成完全平方的形式，这一步可概括为“作差，变形”（同上，划线并标注“②→作差，变形”）.在这里一定要对变形后的式子说明其符号.应写明“因为V1、V2∈（0，+∞），得V1V2＞0，由V1＜V2，得V2－V1＞0.又k＞0，于是p（V1）－p（V2）＞0，即p（V1）＞p（V2）.”这一步可概括为“定符号”（在黑板上板演，并注明“③→定符号”）.最后，作为证明题一定要有结论，我们把它称之为第四步“下结论”（在相应位置标注“④→下结论”）.这就是我们用定义证明函数增减性的四个步骤，请同学们记住.需要指出的是第二步，如果函数y=p（V）在给定区间上恒大于零，也可以通过证明当0＜V1＜V2时，大于或小于1来比较p（V1）与p（V2）的大小.（对学生的做法进行分析，把证明过程步骤化，可以形成思维的定势.在学生刚刚接触一个新的知识时，思维定势对理解知识本身是有益的，同时对学生养成一定的思维习惯，形成一定的解题思路也是有帮助的）【例3】能说反比例函数f（x）=（k＞0）在整个定义域内是单调函数吗？并用定义证明你的结论.师：反比例函数f（x）=（k＞0）定义域是什么?生：f（x）=（k＞0）的定义域是（－∞，0）∪（0，+∞）.师：你的结论是什么呢？生甲：我认为f（x）=（k＞0）在（－∞，0）以及（0，+∞）上都是减函数，因此我觉得它在定义域（－∞，0）∪（0，+∞）上是减函数.生乙：我有不同的意见，我认为这个函数不是整个定义域内的减函数，因为它不符合减函数的定义.比如取x1∈（－∞，0），取x2∈（0，+∞），x1＜x2显然成立，而f（x1）＜0，f（x2）＞0，显然有f（x1）＜f（x2），而不是f（x1）＞f（x2），因此它不是定义域内的减函数.师：那能否说明f（x）=（k＞0）是定义域内的增函数呢?生：也不能这样认为，因为由图象可知，它分别在（－∞，0）和（0，+∞）上都是减函数.师：经过刚才的讨论，我们知道f（x）=（k＞0）既不是定义域内的增函数，也不是定义域内的减函数，它在（－∞，0）和（0，+∞）的每一个单调区间内都是减函数.因此在函数的几个单调增（减）区间之间不要用符号“∪”连接.另外，x=0不是定义域中的元素，此时不要写成闭区间.师：下面请左边三行同学证明函数f（x）=（k＞0）在（－∞，0）上是减函数，右边三行同学证明f （x）=（k＞0）在（0，+∞）上是减函数.（教师巡视.对学生证明中出现的问题给予点拨.可依据学生的问题，给出下面的提示：（1）分式问题化简方法一般是通分；（2）要说明三个代数式的符号：k，x1·x2，x2－x1.要注意在不等式两边同乘以一个负数的时候，不等号方向要改变.对学生的解答进行简单的分析小结，点出学生在证明过程中所出现的问题，引起全体学生的重视）课后请同学们思考若k≠0，指出函数f（x）=的单调区间.【例4】讨论函数f（x）=x2－2ax+3在（－2，2）内的单调性.解：∵f（x）=x2－2ax+3=（x－a）2+3－a2，对称轴x=a，∴若a≤－2，则f（x）=x2－2ax+3在（－2，2）内是增函数；若－2＜a＜2，则f（x）=x2－2ax+3在（－2，a）内是减函数，在［a，2）内是增函数；若a≥2，则f（x）=x2－2ax+3在（－2，2）内是减函数.三、课堂练习教科书P38练习1，2，3.答案：1.在一定范围内，生产效率随着工人数的增加而提高，当工人数达到某个数量时，生产效率达到最大值，而超过这个数量时，生产效率又随着工人数的增加而降低.由此可见，并非是工人越多，生产效率就越高.2.增区间为［8，12］，［13，18］；减区间为［12，13］，［18，20］.3.任取x1、x2∈R，且x1＜x2，因为f（x1）－f（x2）=2（x2－x1）＞0，所以f（x1）＞f（x2）.所以f（x）=－2x+1在R上是减函数.四、课堂小结师：请同学小结一下这节课的主要内容，有哪些是应该特别注意的？（请一个思路清晰、善于表达的学生口述，教师可从中给予提示）生：这节课我们学习了函数单调性的定义，要特别注意定义中“定义域内某个区间”“属于”“任意”“都有”这几个关键词语；在写单调区间时不要轻易用并集的符号连接；最后在用定义证明函数的单调性时，应该注意证明的四个步骤：（1）设x1、x2是给定区间内的任意两个值，且x1＜x2；（2）作差f（x1）－f（x2），并将此差式变形（要注意变形的程度）；（3）判断f（x1）－f（x2）的正负（要注意说理的充分性）；（4）根据f（x1）－f（x2）的符号确定其增减性.五、布置作业补充：讨论函数f（x）=的单调性.板书设计1.3.1 单调性与最大（小）值（1）增函数：减函数：单调区间：注意点：例1例2例3例42019-2020年高中数学函数的单调性教案2新课标人教版必修1(A)教学目的：（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；（3）能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性．教学重点：函数的单调性及其几何意义．教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．教学过程：一、引入课题1．观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：○1 随x 的增大，y 的值有什么变化？ ○2 能否看出函数的最大、最小值？ ○3 函数图象是否具有某种对称性？ 2． 画出下列函数的图象，观察其变化规律：1．f(x) = x○1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○2 在区间 ____________ 上，随着x 的增 大，f(x)的值随着 ________ ．2．f(x) = -2x+1○1 从左至右图象上升还是下降 ______?○2 在区间 ____________ 上，随着x 的增 大，f(x)的值随着 ________ ．3．f(x) = x 2○1在区间 ____________ 上，f(x)的值随 着x 的增大而 ________ ．○2 在区间 ____________ 上，f(x)的值随 着x 的增大而 ________ ． 二、新课教学 （一）函数单调性定义1．增函数 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)，那么就说f(x)在区间D 上是增函数（increasing function ）．思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．（学生活动）注意：○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f(x 1)<f(x 2) ． 2．函数的单调性定义如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y=f(x)的单调区间： 3．判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数f(x)在给定的区间D 上的单调性的一般步骤： ○1 任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2；○2 作差f(x 1)－f(x 2)； ○3 变形（通常是因式分解和配方）； ○4 定号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）；○5 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性）．（二）典型例题例1．（教材P 34例1）根据函数图象说明函数的单调性．解：（略）巩固练习：课本P38练习第1、2题例2．（教材P34例2）根据函数单调性定义证明函数的单调性．解：（略）巩固练习：○1课本P38练习第3题；○2证明函数在（1，+∞）上为增函数．例3．借助计算机作出函数y =－x2 +2 | x | + 3的图象并指出它的的单调区间．解：（略）思考：画出反比例函数的图象．○1这个函数的定义域是什么？○2它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论．说明：本例可利用几何画板、函数图象生成软件等作出函数图象．三、归纳小结，强化思想函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取值→作差→变形→定号→下结论四、作业布置1．书面作业：课本P45习题1．3（A组）第1- 5题．2．提高作业：设f(x)是定义在R上的增函数，f(xy)=f(x)+f(y)，○1求f(0)、f(1)的值；○2若f(3)=1，求不等式f(x)+f(x-2)>1的解集．。
5.学习评价设计（从知识获得、能力提升、学习态度、学习方法、思维发展、价值观念培育等方面设计过程性评价的内容、方式与工具等，通过评价持续促进课堂学习深入，突出诊断性、表现性、激励性。
体现学科核心素养发展的进阶，课时的学习评价是单元学习过程性评价的细化，要适量、适度，评价不应中断学生学习活动，通过学生的行为表现判断学习目标的达成度）在学生认识函数单调性的过程中会存在两方面的困难：一是如何把“随的增大而增大（减小）”这一描述性语言“翻译”为严格的数学符号化语言，尤其抽象概括出用“任意”刻画“无限”现象；二是用定义证明单调性的代数推理论证．对高一学生而言，作差后的变形和因式符号的判断也有一定的难度．为达成课堂教学目标，突出重点，突破难点，我们主要采取以下形式组织学习材料：1．指导思想．充分发挥多媒体形象、动态的优势，借助函数图象、表格和几何画板直观演示．在学生已有认知基础上，通过师生对话自然生成．2．在“创设情境”阶段．观察并分析沙漠某天气温变化的趋势，结合初中已学函数的图象，让学生直观感受函数单调性，明确相关概念．3．在“引导探索”阶段．首先创设认知冲突，让学生意识到继续学习的必要性；然后设置递进式“问题串”，借助多媒体引导学生对“随的增大而增大”进行探究、辨析、尝试、归纳和总结，并回顾已有知识经验，实现函数单调性从“直观性”到“描述性”再到“严谨性”的跨越．4．在“学以致用”阶段．首先通过3个判断题帮助学生从正、反两方面辨析，逐步形成对概念正确、全面而深刻的认识．然后教师示范用定义证明函数单调性的方法，一起提炼基本步骤，强化变形的方向和符号判定方法．接着请学生板演实践．（2）判断并证明函数的单调性．探究题：向一杯水中加一定量的糖，糖加得越多糖水越甜．请你运用所学的数学知识解释这一现象．设计说明：课堂作业是为及时巩固初学的知识和方法，完善对“对勾函数”的认识．探究题是为培养学生运用数学的意识（从地理情境开始，中间解答物理定律，最后以化学实验结束），感受数学的实用性和人文性．9.特色学习资源分析、技术手段应用说明（结合教学特色和实际撰写）判断题：你认为下列说法是否正确，请说明理由．（举例或者画图）（1）设函数的定义域为，若对任意，都有，则在区间上递增；（2）设函数的定义域为R，若对任意，且，都有，则是递增的；（3）反比例函数的单调递减区间是．设计说明：让学生分组讨论，然后进行展示性回答．若学生认为正确，则要求说明理由；若学生认为错误，则要求学生到黑板上画出反例（题（3）可追问怎么修改）．通过构造反例，逐步完善和加深对函数单调性的理解．例题：判断并证明函数的单调性．。
《函数的单调性》说课稿各位领导、老师你们好！我今天说课的内容是《函数的单调性》。
以下我从五个方面来汇报我是如何研究教材、备课和设计教学过程的。
一、教材分析教材：我选用的教材是苏教版《普通高中课程标准实验教科书数学》（必修一）第二章2．1．3第一节《函数的单调性》。
在备课中，我主要思考的问题是：教材的地位和作用是什么？学生在学习中可能会遇到什么困难？如何依据现代教育理论和新课程理念，设计教学过程？如何结合教学内容，发展学生能力？(一) 教学内容本节课内容教材共分两课时进行，这是第一课时，该课时主要学习函数的单调性的的概念，依据函数图象判断函数的单调性和依据定义证明函数的单调性。
(二) 教材的地位和作用本节课是在学生学习了函数概念的基础上所研究的函数的一个重要性质，常伴随着函数的其它性质出现。
它既是在学生学过函数概念图象、表示方法等知识后的延续和拓展，又是后面研究指数函数、对数函数、幂函数等各类函数的单调性的基础，在整个高中数学中起着承上启下的作用。
研究函数单调性的过程体现了数学的“数形结合”和“从一般到特殊”的思想方法，这对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力，掌握数学的思想方法具有重大意义。
函数的单调性是函数的一个重要性质，是研究函数时经常要注意的一个性质．并且在比较几个数的大小、对函数作定性分析、以及与其他知识的综合应用上都有广泛的应用．（三）学情分析知识上已经掌握了一次函数、二次函数的图象和基本性质以及集合等内容，但对知识的理解和方法的掌握一些细节上不完备，反应在解题中就是思维不缜密，过程不完整；能力上具备了一定的观察、类比、分析、归纳能力，但知识整合和主动迁移的能力较弱，数形结合的意识和思维的深刻性还需进一步培养和加强；情感上多数学生有积极的学习态度，能主动参与研究，少数学生的学习主动性还需要通过营造一定的学习氛围来加以带动。
根据上述教学内容的地位和作用，结合教学大纲和学生的实际，确定了以下教学重点和难点：（四）教材的重点﹑难点﹑关键及成因教学重点：函数单调性的概念与判断，单调区间的概念。
函数的单调性1三维目标一、知识与技能1.使学生理解函数单调性的概念，并能判断一些简单函数在给定区间上的单调性.2.启发学生能够发现问题和提出问题，培养学生分析问题、认识问题的能力和创造地解决问题的能力.3.通过观察——猜想——推理——证明这一重要的思想方法，进一步培养学生的逻辑推理能力和创新意识.二、过程与方法1.通过渗透数形结合的数学思想，对学生进行辩证唯物主义的思想教育.2.探究与活动，明白考虑问题要细致，说理要明确.三、情感态度与价值观理性描述生活中的增长、递减现象.教学重点领会函数单调性的实质，明确单调性是一个局部概念.教学难点利用函数单调性的定义证明具体函数的单调性.教具准备多媒体课件（PowerPoint）.教学过程一、创设情景，引入新课师：我们在初中已经学习了函数图象的画法.为了研究函数的性质，我们分别画函数y=x2和y=x的图象.y=x2的图象如图（1），y=x的图象如图（2）.请同学们观察这两个函数图象，然后指出这两个函数图象有什么特点.（1）（2）生：从函数y=x的图象〔图（2）〕看到：图象由左至右是上升的；从函数y=x2的图象〔图（1）〕看到：图象在y轴的右侧部分是上升的，在y轴的左侧部分是下降的.师：对.他（她）答得很好，这正是这两个函数的主要区别.函数图象的“上升”“下降”反映了函数的一个基本性质——单调性.那么如何描述函数图象的“上升”“下降”呢？生：函数y=x2的图象在y轴的左侧“下降”，也就是说当x在区间（－∞，0）上取值时，随着x的增大，相应的y值反而随着减小；图象在y轴的右侧“上升”也就是说当x在区间［0，+∞)上取值时，随着x的增大，相应的y值也随着增大.师：回答的很好.对于y=f（x）=x2，如果取x1、x2∈［0，+∞)，得到y1=f（x1），y2=f（x2），那么当x1＜x2时，有y1＜y2，这时我们就说函数y=f（x）=x2在［0，+∞）上是增函数.当x在区间（－∞，0）上取值时，随着x的增大，相应的y值反而随着减小，即如果取x1、x2∈（－∞，0），得到y1=f（x1），y2=f（x2），那么当x1＜x2时，有y1＞y2，这时我们就说函数y=f（x）=x2在（－∞，0）上是减函数.函数的这两个性质，就是今天我们要学习研究的.我们曾经根据具体函数（一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数）的图象研究过函数的函数值随自变量的变大而变大或变小的性质，而这些研究结论是直观地由图象得到的，在函数的集合中，有很多函数具有这种性质，因此我们有必要对函数这种性质作更进一步的一般性的讨论和研究，这就是我们今天这一节课的内容.（点明本节课的内容，既是曾经有所认识的，又是新的知识，引起学生的注意）〔板书课题：单调性与最大（小）值（1）〕二、讲解新课师：请同学们打开课本第33页，大家集体把增函数、减函数、单调区间的定义朗读一遍.（由学生朗读）师：通过刚才阅读增函数和减函数的定义，请同学们思考一个问题：这种定义与我们刚才讨论的函数值y随自变量x的增大而增大或减小是否一致？如果一致，定义中是怎样描述的？生：我认为是一致的.定义中的“当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2）”描述了y随x的增大而增大；“当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2）”描述了y随x的增大而减小.师：说得非常正确.定义中用了两个简单的不等关系“x1＜x2”和“f（x1）＜f（x2）或f（x1）＞f （x2）”，它刻画了函数的单调递增或单调递减的性质，数学语言多么精炼简洁，这就是数学的魅力所在！（通过教师的情绪感染学生，激发学生学习数学的兴趣）师：现在请同学们和我一起来看图（3）、图（4），它们分别是函数y=f1（x）和y=f2（x）的图象，体会这种魅力.（3）（4）（指图说明，并板演）师：图（3）中y=f1（x）对于区间［a，b］上的任意x1、x2，当x1＜x2时，都有f1（x1）＜f1（x2），因此y=f1（x）在区间［a，b］上是单调递增的，区间［a，b］是函数y=f1（x）的单调增区间；而图（4）中y=f2（x）对于区间［a，b］上的任意x1、x2，当x1＜x2时，都有f2（x1）＞f2（x2），因此y=f2（x）在区间［a，b］上是单调递减的，区间［a，b］是函数y=f2（x）的单调减区间.（教师指图说明分析定义，使学生把函数单调性的定义与直观图象结合起来，使新旧知识融为一体，加深对概念的理解.渗透数形结合分析问题的数学思想方法）师：因此我们可以说，增函数就其本质而言是在相应区间上较大的自变量对应……（不把话说完，指一名学生接着说完，让学生的思维始终跟着老师）生：较大的函数值的函数.师：那么减函数呢？生：在相应区间上较大的自变量对应较小的函数值的函数.（学生可能回答得不完整，教师应指导他说完整）师：好.我们刚刚对增函数和减函数的定义作了初步的分析，通过阅读和分析你认为在定义中我们应该抓住哪些关键词语，才能更透彻地认识定义？（学生思索）学生在高中阶段以至在以后的学习中经常会遇到一些概念（或定义），能否抓住定义中的关键词语，是能否正确地、深入地理解和掌握概念的重要条件，更是学好数学及其他各学科的重要一环.因此教师应该教会学生如何深入理解一个概念，以培养学生分析问题、认识问题的能力.（教师在学生思索过程中，再一次有感情地朗读定义，并注意在关键词语处适当加重语气.在学生感到无从下手时，给以适当的提示）生：我认为在定义中，有一个词“定义域I内某个区间D”是定义中的关键词语.师：很好，我们在学习任何一个概念的时候，都要善于抓住定义中的关键词语，在学习几个相近的概念时还要注意区别它们之间的不同.例如，反比例函数y =x1在（－∞，0），（0，+∞）内都是单调递减的，那我们能否说它在定义域上是减函数？生：不能.增函数和减函数都是对定义域内相应的区间而言的，离开了定义域内相应的区间就根本谈不上函数的增减性.师：回答得很到位.函数的单调性是对定义域内相应的区间而言的，所以要受到区间的限制，在不同的区间上增减性是不一样的.请大家继续思考一个问题，我们能否说一个函数在x =5时是递增或递减的？为什么？生：不能.因为此时函数值是一个数.师：对.函数在某一点，由于它的函数值是唯一确定的常数（注意这四个字“唯一确定”），因而没有增减的变化，所以在求单调区间时，若端点在定义域内，包括不包括端点都可以，但要求用闭区间来表示，“能闭则闭”.那么，我们能不能脱离区间泛泛谈论某一个函数是增函数或是减函数呢？你能否举一个我们学过的例子？生：不能.比如二次函数y =x 2，在y 轴左侧它是减函数，在y 轴右侧它是增函数.因而我们不能说y =x 2是增函数或是减函数.（在学生回答问题时，教师板演函数y =x 2的图象，从“形”上感知）师：好.他（她）举了一个例子来帮助我们理解定义中的词语“给定区间”，这说明函数的单调性是函数在某一个区间上的性质，但这不排斥有些函数在其定义域内都是增函数或减函数.因此，今后我们在谈论函数的增减性时必须指明相应的区间.师：还有没有其他的关键词语？生：还有定义中的“对于某个区间D 上的任意两个”和“都有”也是关键词语.师：你答的很对.能解释一下为什么吗？（学生不一定能答全，教师应给予必要的提示）师：“对于”是什么意思？生：就是说两个自变量x 1、x 2必须取自给定的区间，不能从其他区间上取.师：如果是闭区间的话，能否取自区间端点？生：可以.师：那么“任意”和“都有”又如何理解？生：“任意”就是指不能取特定的值来判断函数的增减性，而“都有”则是说只要x 1＜x 2，f （x 1）就必须都小于f （x 2），或f （x 1）都大于f （x 2）.师：能不能构造一个反例来说明“任意”呢？（让学生思考片刻）生：可以构造一个反例.考察函数y =x 2，在区间［－2，2］上，如果取两个特定的值x 1=－1，x 2=1，显然x 1＜x 2，而f （x 1）=1，f （x 2）=1，有f （x 1）=f （x 2），若由此判定y =x 2是［－2，2］上的减函数，那就错了.师：那么如何来说明“都有”呢？生：y =x 2在［－2，2］上，当x 1=－2，x 2=－1时，有f （x 1）＞f （x 2）；当x 1=1，x 2=2时，有f （x 1）＜f （x 2），这时就不能说y =x 2在［－2，2］上是增函数或减函数.师：好极了！通过分析定义和举反例，我们知道要判断函数y =f （x ）在某个区间内是增函数或减函数，不能由特定的两个点的情况来判断，而必须严格依照定义在给定区间内任取两个自变量x 1、x 2，根据它们的函数值f （x 1）和f （x 2）的大小来判定函数的增减性.（教师通过一系列的设问，使学生处于积极的思维状态，从抽象到具体，并通过反例的反衬，使学生加深对定义的理解.在概念教学中，反例常常帮助学生更深刻地理解概念，锻炼学生的发散思维能力）师：反过来，如果我们已知f （x ）在某个区间上是增函数或是减函数，那么，我们就可以通过自变量的大小去判定函数值的大小，也可以由函数值的大小去判定自变量的大小，即一般成立则特殊成立，反之，特殊成立，一般不一定成立.这恰是辩证法中一般和特殊的关系.（用辩证法的原理来解释数学知识，同时用数学知识去理解辩证法的原理，这样的分析，有助于深入地理解和掌握概念，分清概念的内涵和外延，培养学生学习的能力）例题讲解【例1】 图（5）所示的是定义在闭区间［－5，5］上的函数f （x ）的图象，根据图象说出f （x ）的单调区间，并回答：在每一个单调区间上，f （x ）是增函数还是减函数？（5）生：函数y =f （x ）在区间［－5，－2］，［1，3］上是减函数，因此［－5，－2］，［1，3］是函数y =f （x ）的单调减区间；在区间［－2，0］，；0，1］，［3，5］上是增函数，因此［－2，0］，［0，1］，［3，5］是函数y =f （x ）的单调增区间.师：回答是正确的.但区间［－2，0］，［0，1］可以连起来写［－2，1］，一般写单调区间遵循“能连则连”原则.生：老师，我有一个问题，［－5，－2］是函数f （x ）的单调减区间，那么，是否可认为（－5，－2）也是f （x ）的单调减区间呢？师：问得好，这说明你考虑问题很严谨.容易证明：若f （x ）在［a ，b ］上单调（增或减），则f （x ）在（a ，b ）上单调（增或减）.反之不然，你能举出反例吗？一般来说，若f （x ）在［a ，b ］上单调（增或减），且［a 1，b 1］⊆［a ，b ］，则f （x ）在［a 1，b 1］上单调（增或减）.反之不然.【例2】 物理学中的玻意耳定理p =Vk （k 为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强p 将增大.试用函数的单调性证明之.师：从函数图象上观察函数的单调性固然形象，但在理论上不够严格，尤其是有些函数不易画出图象，因此必须学会根据解析式和定义从数量上分析辨认，这才是我们研究函数单调性的基本途径（指出用定义证明的必要性）.这里由题意，只要证明函数p =Vk 在区间（0，+∞）上是减函数即可.那么，怎样用定义证明呢？请同学们思考后在笔记本上写出证明过程.（教师巡视，并指定一名中等水平的学生在黑板上板演.学生可能会对如何比较p （V 1）和p （V 2）的大小关系感到无从入手，教师应给以启发）师：对于p （V 1）和p （V 2）我们如何比较它们的大小呢？我们知道对两个实数a 、b ，如果a ＞b ，那么它们的差a －b 就大于零；如果a =b ，那么它们的差a —b 就等于零；如果a ＜b ，那么它们的差a －b 就小于零，反之也成立.因此我们可由差的符号来决定两个数的大小关系.生：（板演）设V 1、V 2是定义域（0，+∞）上的任意两个实数，且V 1＜V 2，则p （V 1）－p （V 2）=1V k －2V k =k ·2112V V V V -. 由V 1、V 2∈（0，+∞），得V 1V 2＞0；由V 1＜V 2，得V 2－V 1＞0.又k ＞0，于是p （V 1）－p （V 2）＞0，即p （V 1）＞p （V 2）.所以，函数p =Vk ，V ∈（0，+∞）是减函数.也就是说，当体积V 减小时，压强将增大. 师：他的证明思路是清楚的.一开始设V 1、V 2是（0，+∞）内任意两个自变量，并设V 1＜V 2（边说边用彩色粉笔在相应的语句下划线，并标注“①→设”），然后看p （V 1）－p （V 2），这一步是证明的关键，再对式子进行变形，一般方法是分解因式或配成完全平方的形式，这一步可概括为“作差，变形”（同上，划线并标注“②→作差，变形”）.在这里一定要对变形后的式子说明其符号.应写明“因为V 1、V 2∈（0，+∞），得V 1V 2＞0，由V 1＜V 2，得V 2－V 1＞0.又k ＞0，于是p （V 1）－p （V 2）＞0，即p （V 1）＞p （V 2）.”这一步可概括为“定符号”（在黑板上板演，并注明“③→定符号”）.最后，作为证明题一定要有结论，我们把它称之为第四步“下结论”（在相应位置标注“④→下结论”）.这就是我们用定义证明函数增减性的四个步骤，请同学们记住.需要指出的是第二步，如果函数y =p （V ）在给定区间上恒大于零，也可以通过证明当0＜V 1＜V 2时，)()(21V p V p 大于或小于1来比较p （V 1）与p （V 2）的大小.（对学生的做法进行分析，把证明过程步骤化，可以形成思维的定势.在学生刚刚接触一个新的知识时，思维定势对理解知识本身是有益的，同时对学生养成一定的思维习惯，形成一定的解题思路也是有帮助的）【例3】 能说反比例函数f （x ）=x k （k ＞0）在整个定义域内是单调函数吗？并用定义证明你的结论. 师：反比例函数f （x ）=x k （k ＞0）定义域是什么? 生：f （x ）=xk （k ＞0）的定义域是（－∞，0）∪（0，+∞）. 师：你的结论是什么呢？生甲：我认为f （x ）=xk （k ＞0）在（－∞，0）以及（0，+∞）上都是减函数，因此我觉得它在定义域（－∞，0）∪（0，+∞）上是减函数.生乙：我有不同的意见，我认为这个函数不是整个定义域内的减函数，因为它不符合减函数的定义.比如取x 1∈（－∞，0），取x 2∈（0，+∞），x 1＜x 2显然成立，而f （x 1）＜0，f （x 2）＞0，显然有f （x 1）＜f （x 2），而不是f （x 1）＞f （x 2），因此它不是定义域内的减函数. 师：那能否说明f （x ）=xk （k ＞0）是定义域内的增函数呢? 生：也不能这样认为，因为由图象可知，它分别在（－∞，0）和（0，+∞）上都是减函数. 师：经过刚才的讨论，我们知道f （x ）=xk （k ＞0）既不是定义域内的增函数，也不是定义域内的减函数，它在（－∞，0）和（0，+∞）的每一个单调区间内都是减函数.因此在函数的几个单调增（减）区间之间不要用符号“∪”连接.另外，x =0不是定义域中的元素，此时不要写成闭区间. 师：下面请左边三行同学证明函数f （x ）=x k （k ＞0）在（－∞，0）上是减函数，右边三行同学证明f （x ）=xk （k ＞0）在（0，+∞）上是减函数. （教师巡视.对学生证明中出现的问题给予点拨.可依据学生的问题，给出下面的提示：（1）分式问题化简方法一般是通分；（2）要说明三个代数式的符号：k ，x 1·x 2，x 2－x 1.要注意在不等式两边同乘以一个负数的时候，不等号方向要改变.对学生的解答进行简单的分析小结，点出学生在证明过程中所出现的问题，引起全体学生的重视）课后请同学们思考若k ≠0，指出函数f （x ）=xk 的单调区间. 【例4】 讨论函数f （x ）=x 2－2ax +3在（－2，2）内的单调性.解：∵f （x ）=x 2－2ax +3=（x －a ）2+3－a 2，对称轴x =a ，∴若a ≤－2，则f （x ）=x 2－2ax +3在（－2，2）内是增函数；若－2＜a ＜2，则f （x ）=x 2－2ax +3在（－2，a ）内是减函数，在［a ，2）内是增函数；若a ≥2，则f （x ）=x 2－2ax +3在（－2，2）内是减函数.三、课堂练习教科书P 38练习1，2，3.答案：1.在一定范围内，生产效率随着工人数的增加而提高，当工人数达到某个数量时，生产效率达到最大值，而超过这个数量时，生产效率又随着工人数的增加而降低.由此可见，并非是工人越多，生产效率就越高.2.增区间为［8，12］，［13，18］；减区间为［12，13］，［18，20］.3.任取x 1、x 2∈R ，且x 1＜x 2，因为f （x 1）－f （x 2）=2（x 2－x 1）＞0，所以f （x 1）＞f （x 2）. 所以f （x ）=－2x +1在R 上是减函数.四、课堂小结师：请同学小结一下这节课的主要内容，有哪些是应该特别注意的？（请一个思路清晰、善于表达的学生口述，教师可从中给予提示）生：这节课我们学习了函数单调性的定义，要特别注意定义中“定义域内某个区间”“属于”“任意”“都有”这几个关键词语；在写单调区间时不要轻易用并集的符号连接；最后在用定义证明函数的单调性时，应该注意证明的四个步骤：（1）设x 1、x 2是给定区间内的任意两个值，且x 1＜x 2；（2）作差f （x 1）－f （x 2），并将此差式变形（要注意变形的程度）；（3）判断f （x 1）－f （x 2）的正负（要注意说理的充分性）；（4）根据f （x 1）－f （x 2）的符号确定其增减性.五、布置作业补充：讨论函数f （x ）=21x 的单调性.板书设计1.3.1 单调性与最大（小）值（1）增函数：减函数：单调区间：注意点：例1例2例3例4。
2.2.函数的单调性-苏教版必修1教案一、教学目标1.理解函数的单调性概念。
2.掌握函数单调性的判定方法。
3.能够应用函数单调性解决实际问题。
二、教学重点1.函数单调性的定义和判定方法。
2.函数单调性在实际问题中的应用。
三、教学难点1.函数单调性在实际问题中的应用。
2.判定复合函数的单调性。
四、教学准备1.教师准备教案和课件。
2.学生准备笔记和教材。
五、教学过程5.1. 函数单调性概念的引入请学生回顾前面的知识，回答以下问题：•什么是函数的定义域？•什么是函数的值域？•什么是函数的图像？回答以上问题后，引出函数的单调性概念，说明单调性是描述函数变化的一种性质。
5.2. 函数单调性的定义介绍单调递增和单调递减的定义。
并通过图像和表格的形式进行演示。
5.3. 函数单调性的判定方法介绍用导数和数列来判定函数单调性的方法。
并通过例题讲解。
5.4. 函数单调性在实际问题中的应用通过实例讲解函数单调性在实际问题中的应用，如销售收益、消费选择等。
5.5. 判定复合函数的单调性在前面教学的基础上，介绍复合函数单调性的判定方法，并举例说明。
六、课堂练习对前面的知识进行巩固和拓展，设计练习题，帮助学生深入理解函数单调性的概念和判定方法。
七、作业留下一定数量的练习题，以检测学生是否掌握了函数单调性的概念和判定方法。
八、教学后记总结本课中教学的难点、重点和易错点，为下次课的教学做好准备。
同时，了解学生的学习状况，及时做好反馈和调整。
