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向 量一、向量的概念1.向量的表示： a 或者 AB 或(,)=a x y2.向量的模：||== a ||||||||||||-≤±≤+ a b a b a b (注意等号成立的条件)3.向量的相等：+=xa yb c (其中,,a b c 是已知向量)可以求两个未知数,x y 的确定值。
类似的知识还有 .4.单位向量：非零 a 的单位向量0||=aa a ，它与 a 方向相同。
5.零向量：大小为0，方向任意的向量。
在判断两个向量的关系时，往往把它单独考虑。
6.向量的平行：方向相同或相反的两个向量。
若非零向量a b ，那么它们所在的直线平行或重合，也叫它们为共线向量。
7.向量的夹角：两个非零向量的夹角范围：[0,]π且必需在二者共始点的前提下度量. 二、向量的运算1.几个重要的结论：①应注意到,,,+-a b a b a b 通常组成的图形是平行四边形，常用于解选择题或填空题；②||||cos ⋅=⋅a b a b θ，据此求两条直线夹角的大小；③两个非零向量1221||0||||||a b a b x y x y a b a b λ⇔=⇔-=⇔⋅=⋅ ；④两个非零向量0⊥⇔⋅=a b a b12120||||⇔+=⇔+=- x x y y a b a b ；⑤,,OA OB OC 的终点共线的充要条件为：存在非零实数x ，使等式(1)=+-OA xOB x OC 成立.例1.非零向量, a b 满足：||||||==+a b a b ，求① a 与 b 的夹角② a 与+ a b 的夹角.例2.O 为凸四边形ABCD 所在平面内任意一点，若+=+OA OC OB OD 恒成立，判断四边形ABCD 的形状.例3.设00,a b 分别为, a b 的单位向量，且 a 和 b 的夹角为60，求向量002=- m a b 与向量0023=-+n a b 的夹角θ.例4.已知 a 与 b 是非零向量，且满足(3)(75),(4)(72)+⊥--⊥-a b a b a b a b ，求 a 与 b 的夹角的大小.例5.在∆ABC 中，记,,===AB c BC a CA b ①若∆ABC 为等边三角形，求⋅+⋅+⋅ a b b c c a 的值；②若3,4,5===AB AC BC ，求⋅+⋅+⋅a b b c c a 的值；③若,==AB c AC b ，=BC a 求⋅+⋅+⋅a b b c c a 的值.例6.已知||10= a ，(3,4)=b ，且⊥ a b ，求 a .例7.已知|||3== a b ， a 和 b 的夹角为45，求使向量+ a b λ与+ a b λ的夹角为锐角时λ的取值范围.例8.O 为∆ABC 所在平面内任意一点，且OP 分别满足下列条件，则P 点一定经过∆ABC的()A 重心()B 外心()C 垂心()D 内心。
平面向量1、向量的物理背景与概念了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度.2、 既有大小又有方向的量叫做向量.3、向量的几何表示带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度. 向量AB 的大小，也就是向量AB 的长度（或称模），记作AB ；长度为零的向量叫做零向量；长度等于1个单位的向量叫做单位向量.4、方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.规定：零向量与任意向量平行.5、长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.6、向量加法运算及其几何意义 三角形法则和平行四边形法则. b a +≤b a +.7、向量数乘运算及其几何意义规定：实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作：a λ，它的长度和方向规定如下：⑴a a λλ=,⑵当0>λ时, a λ的方向与a 的方向相同；当0<λ时, a λ的方向与a 的方向相反.8、 平面向量共线定理：向量()0≠a a 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使a b λ=.9、平面向量基本定理 平面向量基本定理：如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量a ，有且只有一对实数21,λλ，使2211e e a λλ+=.10、平面向量的正交分解及坐标表示()y x j y i x a ,=+=. 11、平面向量的坐标运算设()()2211,,,y x b y x a ==，则：⑴()2121,y y x x b a ++=+， ⑵()2121,y y x x b a --=-，⑶()11,y x a λλλ=，12、平面向量共线的坐标表示 设()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ，则 ⑴线段AB 中点坐标为()222121,y y x x ++， ⑵△ABC 的重心坐标为()33321321,y yy x x x ++++. 13、平面向量数量积的物理背景及其含义 θcos b a b a =⋅.a 在b 方向上的投影为：θcos a . 22a a =. 2a a =. 0=⋅⇔⊥b a b a .设()()2211,,,y x B y x A ，则： ()1212,y y x x AB --=14、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 设()()2211,,,y x b y x a ==，则： ⑴2121y y x x b a +=⋅ ⑵2121y x a += ⑶02121=+⇔⊥y y x x b a 1221//y x y x b a =⇔ 设()()2211,,,y x B y x A ，则： ()()212212y y x x AB -+-=.提炼： 1 θcos b a b a =⋅ b a ba ⋅=θcos2设()()2211,,,y x b y x a ==，则： ⑴2121y y x x b a +=⋅ ⑵2121y x a += 212122y x a a +== 22)(b a b a +=+ ⑶02121=+⇔⊥y y x x b a 1221//y x y x b a =⇔ 练习。
向量1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：AB ； ④向量AB 的大小――长度称为向量的模，记作|AB |.3.零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作0。
0的方向是任意的。
②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.4.平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.5.相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．．．．．．．．．．. 6.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上.（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.7.对向量概念的理解AB 的字母是有顺序的，起点在前终点在后，所以我们说有向线段有三个要素：起点、方向、长度；既有大小又有方向的量，我们叫做向量，有二个要素：大小、方向.向量不能比较大小；实数与向量不能相加减，但实数与向量可以相乘.向量与有向线段的区别：向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与起点无关：只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段。
8． 向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。
几何中向量加法是用几何作图来定义的，一般有两种方法，即向量加法的三角形法则（“首尾相接，首尾连”）和平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）。
课本中采用了三角形法则来定义，这种定义，对两向量共线时同样适用，当向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的。
向量是什么？
在数学中，向量是指具有大小和方向的量，可以形象化地表示为带箭头的线段。
箭头所指：代表向量的方向；线段长度：代表向量的大小。
与向量对应的量叫做数量（物理学中称标量），数量（或标量）只有大小，没有方向。
在物理学和工程学中，向量更常被称为矢量。
扩展资料
向量的记法
印刷体记作黑体（粗体）的`字母（如a、b、u、v），书写时在字母顶上加一小箭头“→”。
如果给定向量的起点（A）和终点（B），可将向量记作AB（并于顶上加→）。
在空间直角坐标系中，也能把向量以数对形式表示，例如xOy平面中(2,3)是一向量。
高中数学中的向量向量是高中数学中的重要概念，它不但在数学上有广泛的应用，在物理、工程等领域也有着重要的地位。
本文将从向量的定义、性质、运算和应用等方面来介绍高中数学中的向量。
一、向量的定义向量是有大小和方向的量，通常用一条带箭头的线段来表示。
在数学中，向量通常用坐标表示，一个n维向量可以表示为(a1,a2,...,an)，其中a1,a2,...,an为实数。
二、向量的性质1. 向量的大小向量的大小（或长度）是一个标量，通常用|v|来表示，根据勾股定理可以得到一个向量的大小：|v| = √(v1² + v2² + ... + vn²)2. 向量的方向向量的方向通常用另一个向量来表示，这个向量被称为一个单位向量，它的大小为1。
假设向量v的大小为|v|，则单位向量u = v/|v|，表示v的方向。
3. 向量的零向量大小为0的向量被称为零向量，通常用0或O来表示。
4. 向量的相等如果两个向量的大小和方向都相同，则这两个向量相等。
三、向量的运算1. 向量的加法两个向量的加法等于将它们的对应分量相加，例如(u1,u2) + (v1,v2) = (u1+v1,u2+v2)。
当向量的维数增多时，其加法规律也同样适用。
2. 向量的数乘向量的数乘指将一个向量的所有分量乘以一个实数，例如k(u1,u2) = (ku1,ku2)。
3. 向量的点积向量的点积也叫数量积，它是两个向量相乘后再相加得到的标量。
设两个n维向量u和v，则它们的点积为u·v = u1v1 + u2v2 + ... + unvn。
如果u·v=0，则称u和v垂直（或正交）。
4. 向量的叉积向量的叉积也叫向量积，它是两个三维向量相乘后得到的新向量。
设两个三维向量u=(u1,u2,u3)和v=(v1,v2,v3)，则它们的叉积为u×v = (u2v3-u3v2,u3v1-u1v3,u1v2-u2v1)。
向量的知识点总结1. 概述向量是数学中一种重要的概念，用于表示具有大小和方向的量。
在物理、几何、线性代数等领域有广泛的应用。
本文将对向量的定义、性质、运算、线性相关性、内积、向量空间等知识点进行总结。
2. 定义向量可以看作一个有序的数字列表或坐标。
一般表示为一个小写的字母带上一个箭头，如a⃗。
向量有大小和方向两个重要属性。
3. 向量的表示向量可以用不同的方式进行表示： - 笛卡尔坐标：用 n 个实数表示一个 n 维向量。
- 列向量：将向量的分量按列排列成一个列向量。
- 行向量：将向量的分量按行排列成一个行向量。
4. 向量的性质向量有以下基本性质： - 零向量：大小为 0 的向量，表示为0⃗⃗。
- 单位向量：大小为 1 的向量，长度为 1。
- 相等性：两个向量相等当且仅当它们对应的分量相等。
- 加法交换律：a⃗+b⃗⃗=b⃗⃗+a⃗。
- 加法结合律：(a⃗+b⃗⃗)+c⃗=a⃗+(b⃗⃗+c⃗)。
5. 向量的运算向量的运算包括加法、减法和数乘： - 向量加法：将两个向量对应的分量相加得到的新向量。
- 向量减法：将两个向量对应的分量相减得到的新向量。
- 数乘：将一个向量的每个分量与一个实数相乘得到的新向量。
6. 线性相关性向量的线性相关性描述了向量之间是否存在线性关系： - 线性相关：存在一组不全为零的实数使得线性组合为零。
- 线性无关：不存在一组不全为零的实数使得线性组合为零。
线性相关性可以通过计算行列式或者高斯消元法进行判断。
7. 内积向量的内积（点积）是两个向量相乘得到的标量值。
内积有以下性质： - 结合律：(a ⃗⋅b ⃗⃗)⋅c ⃗=a ⃗⋅(b ⃗⃗⋅c ⃗) - 分配律：(a ⃗+b ⃗⃗)⋅c ⃗=a ⃗⋅c ⃗+b ⃗⃗⋅c ⃗ - 交换律：a ⃗⋅b ⃗⃗=b ⃗⃗⋅a ⃗内积的计算公式为：a ⃗⋅b⃗⃗=a 1b 1+a 2b 2+⋯+a n b n 8. 向量的模长向量的模长（长度）是指向量的大小。
向量知识总结一、引言在数学学科中，向量是一个重要的概念。
它不仅在几何学中有着广泛的应用，还在物理学、工程学等领域中扮演着重要的角色。
本篇文章将对向量知识进行总结和归纳，希望能够帮助读者更好地理解和运用向量。
二、向量的概念和性质1. 向量的定义：向量可以被看作是有方向和大小的量。
其表示方式可以是一个有序的数组，也可以用箭头表示。
2. 向量的性质：向量具有加法、减法和数乘等运算规则。
加法满足交换律和结合律，减法可以通过加法和数乘来表示。
3. 零向量：长度为零的向量被称为零向量，它在加法运算中作为单位元的角色。
4. 向量的模长：向量的模长是其大小的度量，表示为长度。
向量的模长可以通过勾股定理来计算。
三、向量的表示和运算1. 向量的表示：向量可以用坐标表示，也可以用分量表示。
坐标表示是指将向量的起点放在原点，终点的坐标即为向量的坐标。
分量表示是指将向量的坐标在特定坐标轴方向上的投影。
2. 向量的运算：向量的运算包括加法、减法和数乘。
加法运算是将两个向量的对应分量相加，减法运算是将两个向量的对应分量相减，数乘是将向量的每个分量与一个常数相乘。
3. 内积和外积：向量的内积和外积是两种常见的向量运算。
内积（点乘）表示两个向量之间的夹角关系，外积（叉乘）表示两个向量之间构成的平行四边形的面积。
四、向量的几何应用1. 向量的共线与共面：如果两个向量平行或者反平行，则它们共线；如果三个向量共面，则它们满足线性相关关系。
2. 向量的垂直关系：如果两个向量的内积为零，则它们垂直；如果两个向量的外积为零，则它们共线。
3. 直线和平面的向量表示：直线和平面可以通过向量的参数方程或者法向量方程来表示。
参数方程表示了直线或平面上的所有点，法向量方程则表示了垂直于直线或平面的向量。
5. 向量的投影：向量的投影是指将向量在某一方向上的投影长度。
投影可以用来计算两个向量之间的夹角，或者求解平面上的几何问题。
五、向量的物理应用1. 力学中的向量：在力学中，向量被用来表示物体的受力情况。
向量的三种表示方法
1.笛卡尔坐标表示法：在二维平面直角坐标系或三维空间直角坐标系中，向量可以用坐标表示。
例如，二维平面中的向量 a 可以表示为 (a1,a2)，三维空间中的向量 b 可以表示为 (b1,b2,b3)。
2. 极坐标表示法：在平面直角坐标系中，向量可以用极坐标表示。
向量的极角是与 x 轴正半轴的夹角，向量的长度是向量的模。
例如，向量 c 的极角为θ，长度为 r，可以表示为 (r,θ)。
3. 分量表示法：向量在某个方向上的投影可以表示为向量在该方向上的分量。
例如，向量 d 在 x 方向上的分量可以表示为 dx，y 方向上的分量可以表示为 dy，向量可以表示为 (dx,dy)。
- 1 -。
2.4 Vectors向量It is also simple to compute dot products, cross products, and coordinates of vectors in Cartesian systems ,as we'll see in the following sections. 在笛卡尔系统的矢量坐标中，计算点积，叉积，很简单，正如我们将要看的如下部分。
By convention we write the coordinates of a either as an ordered pair or a column matrix:按惯例，我们写的坐标为一个有序的对或列矩阵：The form we use will depend on typographic convenience. We will also occasionally write the vector as a row matrix, which we will indicate as aT:我们使用的形式将取决于印刷方便。
我们也会偶尔写向量作为一个行矩阵，我们将按如下表明We can also represent 3D. 4D, etc., vectors in Cartesian coordinates. For the 3D case, we use a basis vector z that is orthogonal lo both x and y.我们也可以代表3D，4D，等载体在笛卡尔坐标系中，在三维的情况下，我们使用了一个基础矢量，这是正交x和Y。
2.4.3 Dot Product点积The simplest way to multiply two vectors is the dot product. The dot product of a and b is denoted a •b and is often called the scalar product because it returns a scalar.The dot product returns a value related to its arguments`lengths and the angle Ø between them (Figure 2.17): 最简单的乘法2个向量的方法是点积。
A和B的点积是指A•B和通常被称为标量积因为它返回一个标量，点积反映它的模和它们之间的角度Ø相关值（图2.17）：The most common use of the dot product in graphics programs is to compute the cosine of the angle between two vectors.图形流程中最常用的点积是计算向量夹角的余弦值。
The dot product can also be used to find the projection of one vector onto another. This is the length a→b of a vector a that is projected at right angles onto a vector b(Figure2.18):还可以用来寻找一个矢量到另一个矢量上的投影。
这是一个a→b矢量的长度，以直角投影到一个向量B（figure2.18）：The dot product obeys the familiar associative and distributive properties we have in real arithmetic:在实际运算中，点积服从我们所拥有的熟悉的联想和分配特性：If 2D vectors a and b are expressed in Cartesian coordinates, we can take advantage of x·x=y·y=1 and x·y=0 to derive that dot product is:如果在直角坐标系中表示二维矢量，我们可以利用×= 1和×= 0，导出该点积：2.4.4 Cross Product叉积The cross product a x b is usually used only for three-dimensional vectors; generalized cross products are discussed in references given in the chapter notes. The cross product returns a 3D vector that is perpendicular to the two arguments of the cross product. The length of the resulting vector is related to sin Ø:叉积的一个a x b通常只用于三维矢量；广义叉积在本章的说明中在参考文献中讨论。
叉积反映一个三维向量，是垂直的叉积的双参数。
所得到的矢量的长度与其Ø相关：||a x b|| = ||a|| ||b|| sin Ø. .The magnitude ||a x b|| is equal to the area of the parallelogram formed by vectors a and b. In addition, a x b is perpendicular to both a and b (Figure 2.19). Note that there are only two possible directions for such a vector. By definition, the vectors in the direction of the a-, y- and z-axes are given by。
| |AX B | |的大小等于向量A和B形成平行四边形的的面积，此外，AX B与A和B（图2.19）。
请注意，只有两个可能的方向，这样的向量。
根据定义，在一个方向的单位向量，y轴和z轴的X == (1,0,0),y == (0,1,0),z == (0,0,1)，and we set as a convention that x x y must be in the plus or minus z direction. The choice is somewhat arbitrary, but it is standard to assume that我们定为一个公约，即必须在加或减的方向。
这一选择有点不严谨，但它是标准的假设z = x x y.All possible permutations of the three Cartesian unit vectors are三个笛卡尔单位向量的所有可能的排列是P126Rotation is considerably more complicated in 3D than in 2D, because there are more possible axes of rotation. However, if we simply want to rotate about the z-axis, which will only change x- and y-coordinates, we can use the 2D rotation matrix with no operation on z:旋转相比二维是相当复杂的三维，因为有更多的可能的旋转轴。
然而，如果我们只是想绕Z轴，其中X和Y坐标只会改变，我们可以用二维旋转矩阵没有运行在z：Similarly we can construct matrices to rotate about the x-axis and the y-axis:同样，绕X轴和Y轴我们可以构造矩阵：We will discuss rotations about arbitrary axes in the next section.在下一节中我们将讨论任意轴的旋转。
As in two dimensions, we can shear along a particular axis, for example.如在二维中，我们可以沿着一个特定的轴进行剪切，例如。
As with 2D transforms，any 3D transformation matrix can be decomposed using SVD into a rotation, scale, and another rotation. Any symmetric 3D matrix has an eigenvalue decomposition into rotation, scale, and inverse-rotation. Finally, a 3D rotation can be decomposed into a product of 3D shear matrices.正如二维变换，任何三维变换矩阵进行奇异值分解成可以旋转、尺度、旋转和另一个旋转。
任何对称的三维矩阵的特征值分解成旋转，规模和逆旋转。
最后，一个三维旋转可以分解成一个向量的三维剪切矩阵。
6.2.1 Arbitrary 3D Rotations任意三维旋转As in 2D, 3D rotations are orthogonal matrices. Geometrically, this means that the three rows of the matrix are the Cartesian coordinates of three mutually-orthogonal unit vectors as discussed in Section 2.4.5. The columns are three, potentially different, mutually-orthogonal unit vectors. There are an infinite number of such rotation matrices. Let's write down such a matrix:作为二维，三维旋转是正交矩阵。
