2017小升初奥数知识点：还原问题、最值问题、猎狗追兔问题

猎狗追赶野兔问题例1：猎狗赶前方15米处的野兔。

猎狗步子大，它跑5步的路程兔子要跑8步。

但是兔子动作快，猎狗跑3步的时间，兔子能跑4步。

猎狗至少跑出多远才能追上野兔？解法一：猎狗跑5步的路程与兔子跑8步的路程相同，不妨设为40米，猎狗跑3步的时间与兔子跑4步的时间相同，不妨设为12秒，这样的话，猎狗每秒跑3÷12×8=2米，兔子每秒跑4÷12×5=53米，则猎狗追上兔子所用个的时间是15÷（2－53）=45秒，猎狗追上兔子时要跑2×45=90米解法二：猎狗和兔子的速度之比是6:5，不妨设猎狗的速度是6x，兔子的速度为5x，则猎狗追上兔子所需要的时间为15÷（6x-5x）=15x,猎狗追上兔子要跑的路程为6x×15x=90米。

解法三：1、由条件一“猎狗跑5步的路程兔子要跑8步”也可以理解为“兔子8步距离＝猎狗5步距离”。

假设：我们给兔子装上猎狗一样的腿，那么原来兔腿跑的8步，也就变成了猎狗腿跑5步。

2、把条件二“猎狗跑3步的时间，兔子能跑4步”扩大成“猎狗跑了6步的时间，兔子能跑8步”。

也就是说：在兔子跑8步的时间里，猎狗能跑6步。

进一步可理解为，假猎狗腿跑5步的时间里，真猎狗腿跑6步。

真猎狗腿比假猎狗腿多跑一步，多跑五分之一。

也就是说在相同时间内，综合考虑，猎狗比兔子多跑了五分之一。

3、从题目中得知猎狗要追上兔子，就要多跑15米，这15米占兔子所跑路程的五分之一，所以，兔子跑的路程是：15÷15= 75（米）4、猎狗要跑的距离是：15＋75=90（米）答：猎狗至少跑出90米才能追上野兔。

例2：野兔逃出80步后猎狗才追它，野兔跑8步的路程猎狗只需跑3步，猎狗跑4步的时间兔子只能跑9步。

猎狗至少要跑多少步才能追上野兔？解法一：狗跑12步的路程等于兔跑32步的路程，狗跑12步的时间等于兔跑27步的时间。

所以兔每跑27步，狗追上5步（兔步），狗要追上80步（兔步）需跑[27×（80÷5）＋80]÷8×3＝192（步）。

猎狗追兔问题巧解猎狗追兔问题是行程问题中比较典型的一类题，该类问题除考察追及问题的基本公式外，还要综合运用比例、份数等手段解决。

解题思想是将两种动物单位化为统一，然后用路程差除以速度差得到追及时间，或者由速度比得出路程比，再引入份数思想，进而解决问题。

以下题为例：【例1】一猎狗正在追赶前方20米远兔子,已知狗一跳前进3米,而兔子一跳前进2.1米,但狗跳3次的时间兔子可以跳4次,问猎狗跑多少米能追上兔子?【李老师分析】狗跳3次的时间兔子可以跳4次，设都等于一秒则狗速度为9米/秒，兔速度为8.4米/秒，狗和兔子的速度都得以确定，接下来将是一个非常简单的追及问题，路程差为20米，可列式子20÷（9－8.4）=100/3（秒）能够追上兔子。

用时20/(9-8.4)秒时间追上，即狗跑了9×100/3=300米从以上例题我们可以看出，解决此类问题的关键在于：根据时间相同，将其设为单位时间（1秒），问题简单解决。

我们再看下一道题：【例2】猎狗前面26步远有一只野兔,猎狗追之,兔跑8步的时间狗跑5步,兔跑9步的距离等于狗跑4步的距离,问:兔跑多少步后被猎狗抓获?此时猎狗跑了多少米?【李老师分析】兔8步的时间狗跑5步,设都为1秒………………………（一次设数）再根据兔跑9步的距离等于狗跑4步的距离设兔子一步4米，狗一步9米………………………………………（二次设数）从而得出狗速度为45米/秒，兔速度为32米/秒进而狗兔相距26×9=234米，追及时间为234÷(45-32)=18（秒）兔子一秒跑8步，总共跑了9×18=144步狗一秒跑45米，总共跑了45×18=810米此题不同于第一道题的地方在于并未直接告诉我们狗与兔的步长，而给出两者步长的关系，解决问题时可再一次设数，将狗与兔的数据调换，作为其步长，问题转化同例1.根据以上两道例题，李老师做以下总结，称之为“两次设数法”：猎狗追兔问题“两次设数法”：①设单位时间，得出每秒几步；②设步长，从而得出各自速度；之后运用追及基本公式解决。

六年级奥数行程问题专题：猎狗追兔问题的要点及解题技巧猎狗追兔问题是行程问题中比较典型的一类题,该类问题除考察追及问题的基本公式外,还要综合运用比例、份数等手段解决。

解题思想是将两种动物单位化为统一,然后用路程差除以速度差得到追及时间,或者由速度比得出路程比,再引入份数思想,进而解决问题。

以下题为例：【例1】一猎狗正在追赶前方20米远兔子,已知狗一跳前进3米,而兔子一跳前进2。

1米,但狗跳3次的时间兔子可以跳4次,问猎狗跑多少米能追上兔子?【分析】狗跳3次的时间兔子可以跳4次,设都等于一秒则狗速度为9米/秒,兔速度为8。

4米/秒,狗和兔子的速度都得以确定,接下来将是一个非常简单的追及问题,路程差为20米,可列式子20÷（9－8。

4）=100/3（秒）能够追上兔子。

用时20/(9-8。

4)秒时间追上,即狗跑了9×100/3=300米从以上例题我们可以看出,解决此类问题的关键在于：根据时间相同,将其设为单位时间（1秒）,问题简单解决。

我们再看下一道题：【例2】猎狗前面26步远有一只野兔,猎狗追之,兔跑8步的时间狗跑5步,兔跑9步的距离等于狗跑4步的距离,问:兔跑多少步后被猎狗抓获?此时猎狗跑了多少米?【分析】兔8步的时间狗跑5步,设都为1秒……（一次设数）再根据兔跑9步的距离等于狗跑4步的距离设兔子一步4米,狗一步9米…………（二次设数）从而得出狗速度为45米/秒,兔速度为32米/秒进而狗兔相距26×9=234米,追及时间为234÷(45-32)=18（秒）兔子一秒跑8步,总共跑了9×18=144步狗一秒跑45米,总共跑了45×18=810米此题不同于第一道题的地方在于并未直接告诉我们狗与兔的步长,而给出两者步长的关系,解决问题时可再一次设数,将狗与兔的数据调换,作为其步长,问题转化同例1。

根据以上两道例题,老师做以下总结,称之为“两次设数法”：猎狗追兔问题“两次设数法”：①设单位时间,得出每秒几步；②设步长,从而得出各自速度；之后运用追及基本公式解决。

猎狗追兔问题的口诀
摘要：
1.猎狗追兔问题简介
2.猎狗追兔问题的口诀及其解析
3.口诀在实际生活中的应用
4.总结
正文：
猎狗追兔问题，又称“追及问题”，是数学中的一种经典问题。

它描述了一个猎狗追逐一只兔子的场景，猎狗和兔子在不同时间起点出发，猎狗的速度大于兔子的速度。

问题要求求解猎狗何时能够追上兔子，以及在追上兔子时它们所走的路程。

为了解决这个问题，我们可以借助一个口诀：“距离相等，时间相同；速度差，追及时间。

”这个口诀的意思是，当猎狗和兔子在同一时间出发时，猎狗的速度比兔子的速度快。

在追逐过程中，每当猎狗和兔子之间的距离缩短至零时，猎狗都需要花费相同的时间来追上兔子。

我们可以用以下公式来表示这个关系：
猎狗追上兔子的时间= 兔子跑的时间× （猎狗的速度- 兔子的速度）接下来，我们来看如何在实际生活中应用这个口诀。

假设你和朋友约定在公园门口见面，但你迟到了，你的朋友已经等了你10分钟。

此时，你的速度是每分钟走500米，而你朋友的速度是每分钟走400米。

你可以根据口诀计算出你需要多长时间才能追上朋友：
追及时间= 10分钟× （500米/分钟- 400米/分钟）
追及时间= 10分钟× 100米/分钟
追及时间= 1000米/ 100米/分钟
追及时间= 10分钟
所以，你需要10分钟才能追上你的朋友。

这个例子说明了猎狗追兔问题口诀在实际生活中的应用。

总之，猎狗追兔问题是一个有趣且实用的数学问题。

通过掌握口诀及其解析，我们可以轻松解决这类问题，并将它们应用到实际生活中。

1、猎狗前面26步远有一只野兔，猎狗追之. 兔跑8步的时间狗跑5步，兔跑9步的距离等于狗跑4步的距离.问：兔跑多少步后被猎狗抓获?此时猎狗跑了多少步?【解析】“猎狗前面26步”，显然指的是猎狗的26步，兔跑8步的时间狗跑5步，兔跑9步的距离等于狗跑4步的距离，可以统一为兔子跑72步的时间狗跑45步，兔子跑72步的距离狗跑32步距离，所以在兔子跑72步的时间里，狗比兔子多跑了45-32=13（步）的路程，这个13步是猎狗的13步，因此，要追上距离26（狗）步的距离，兔子跑了72×（26÷13）=144（步），此时猎狗跑了5×（144÷8）=90（步）【答案】兔子144步，猎狗90步。

2、猎人带猎狗去捕猎，发现兔子刚跑出40米，猎狗去追兔子。

已知猎狗跑2步的时间兔子跑3步，猎狗跑4步的距离与兔子跑7步的距离相等，求兔子再跑多远，猎狗可以追上它？【解析】设狗跑2步的时间为1(分钟)，兔跑3步的时间也为1(分钟)；再设狗的步长为7(米)，则兔的步长为4(米)，推出狗的速度是2×7=14，兔的速度是3×4=12。

用40÷（14－12）=20，20为追击时间。

再用兔的速度乘上追击时间可得兔跑的路程，即12×20=240（米）【答案】240米3、一只猎狗发现在离它18米远的前方有一只狐狸在跑，马上紧追上去，猎狗跑2步的路程狐狸需跑3步，若猎狗跑5步的时间，狐狸可跑7步，猎狗跑多少米能追上狐狸？【解析】设猎狗一步距离为A,狐狸一步则为(2/3)A 设单位时间X作为参数,在X时间内猎狗可以跑一步,则狐狸可以跑7/5步即在相同的X时间内,猎狗跑A,狐狸可跑(2/3)*(7/5)A=(14/15)A 时间相同,猎狗和狐狸的速度即为路程比,15:14 猎狗每跑15米,狐狸跑14米,可追上狐狸1米,所以猎狗要跑15*18=270米因为不知道到这是小学竞赛题还是中学题,所以用小学的方式解的,中学物理题的话,用公式V=S/T表示上面的东西就可以了,最后的速度V用参数表示出来4、一条猎狗追30米外的一只狐狸，狗跳跃一次为2米，狐狸跳跃一次为1米，而狐狸跳3次的时间，猎狗只能跳两次，猎狗跑多少米才能追上狐狸？【解析】分析：狐狸跳3次的时间，猎狗只能跳两次，也就是狐狸前进1×3＝3米，猎狗可以前进2×2＝4米，由于4－3＝1，所以猎狗每跑4米就追上狐狸1米，于是猎狗追上狐狸的需要跑4×30＝120（米）.5、一只野兔逃出85步后猎狗才追它，野兔跑8步的路程猎狗才需要跑3步，猎狗跑4步的时间野兔能跑9步，问猎狗需要跑多少步才能追上野兔？【解析】猎狗每跑12步这段时间内野兔跑27步而猎狗每跑12步的路程需要野兔跑32步所以猎狗每跑12步就可以比野兔多跑5步85÷5×12=204答：猎狗至少要跑204步才能追上野兔6、猎狗追赶前方30米处的野兔。

猎狗追兔问题的口诀
摘要：
一、猎狗追兔问题的背景
二、猎狗追兔问题的口诀
三、口诀的解释与应用
四、口诀在实际问题中的应用案例
五、总结
正文：
猎狗追兔问题是古代数学家提出的一个趣味数学问题，用以帮助人们理解和解决类似问题。

这个问题是这样的：猎狗以每小时12 公里的速度追赶兔子，兔子以每小时24 公里的速度逃跑，猎狗和兔子的距离是每小时24 公里。

问猎狗需要多长时间才能追上兔子？
这个问题有一个口诀：”距离等于速度乘以时间，时间等于距离除以速度，速度等于距离除以时间。

“根据这个口诀，我们可以轻松地解决猎狗追兔问题。

首先，猎狗和兔子的距离是每小时24 公里，所以距离等于速度乘以时间，即24t，其中t 是时间。

然后，根据时间等于距离除以速度，我们可以得到t=24/（12+24）=0.5 小时。

最后，根据速度等于距离除以时间，我们可以得到猎狗的速度是24/0.5=48 公里/小时。

这个口诀不仅可以解决猎狗追兔问题，还可以解决其他类似的问题，比如火车追汽车、飞机追潜艇等。

在实际生活中，这个口诀也有广泛的应用，比如交通规划、物流运输、甚至是宇宙飞行等。

例如，假设我们要设计一条从北京到上海的火车线路，火车的速度是200 公里/小时，我们需要知道需要多长时间才能到达。

根据这个口诀，我们可以得到时间等于距离除以速度，即t=1310/200=6.55 小时。

总结，猎狗追兔问题的口诀是一个非常有用的工具，可以帮助我们理解和解决许多实际问题。

XX小升初奥数知识点：还原问题、最值问题、猎狗追兔问题小升初奥数知识点：还原问题已知一个数，经过某些运算之后，得到了一个新数，求原来的数是多少的应用问题，它的解法常常是以新数为基础，按运算顺序倒推回去，解出原数，这种方法叫做逆推法或还原法，这种问题就是还原问题.还原问题又叫做逆推运算问题.解这类问题利用加减互为逆运算和乘除互为逆运算的道理，根据题意的叙述顺序由后向前逆推计算.在计算过程中采用相反的运算，逐步逆推.在解题过程中注意两个相反：一是运算次序与原来相反;二是运算方法与原来相反.还原问题的分类：⑴单个变量的还原问题;⑵多个变量的还原问题.小升初奥数知识点：最值问题在日常生活中，我们常常考虑“最”字，如走路则尽可能使所行的路程短一些，使时间最少或车费最省;做一件工作，尽可能使效率最高，工时最短;学习则尽可能使所用的时间最短而收获最大……，一句话，都是考虑一个“最”字的问题，即最值问题。

小升初奥数知识点：猎狗追兔问题猎狗追兔问题是行程问题中比较典型的一类题，该类问题除考察追及问题的基本公式外，还要综合运用比例、份数等手段解决。

解题思想是将两种动物单位化为统一，然后用路程差除以速度差得到追及时间，或者由速度比得出路程比，再引入份数思想，进而解决问题。

以下题为例：【例1】一猎狗正在追赶前方20米远兔子,已知狗一跳前进3米,而兔子一跳前进2.1米,但狗跳3次的时间兔子可以跳4次,问猎狗跑多少米能追上兔子?【李老师分析】狗跳3次的时间兔子可以跳4次，设都等于一秒则狗速度为9米/秒，兔速度为8.4米/秒，狗和兔子的速度都得以确定，接下来将是一个非常简单的追及问题，路程差为20米，可列式子20÷能够追上兔子。

用时20/秒时间追上，即狗跑了9×米从以上例题我们可以看出，解决此类问题的关键在于：根据时间相同，将其设为单位时间，问题简单解决。

我们再看下一道题：【例2】猎狗前面26步远有一只野兔,猎狗追之,兔跑8步的时间狗跑5步,兔跑9步的距离等于狗跑4步的距离,问:兔跑多少步后被猎狗抓获?此时猎狗跑了多少米?【李老师分析】兔8步的时间狗跑5步,设都为1秒………………………再根据兔跑9步的距离等于狗跑4步的距离设兔子一步4米，狗一步9米………………………………………从而得出狗速度为45米/秒，兔速度为32米/秒进而狗兔相距26×9=234米，追及时间为234÷=18兔子一秒跑8步，总共跑了9×18=144步狗一秒跑45米，总共跑了45×18=810米此题不同于第一道题的地方在于并未直接告诉我们狗与兔的步长，而给出两者步长的关系，解决问题时可再一次设数，将狗与兔的数据调换，作为其步长，问题转化同例1.根据以上两道例题，李老师做以下总结，称之为“两次设数法”：猎狗追兔问题“两次设数法”：①设单位时间，得出每秒几步;②设步长，从而得出各自速度;之后运用追及基本公式解决。

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小学奥数猎狗追兔问题及解析
猎狗追赶前方30米处的野兔.猎狗步子大，它跑4步的路程兔子要跑7步，但是兔子动作快，猎狗跑3步的时间兔子能跑4步。

狗至少跑出多远才能追上
野兔?(思考：此时兔子跑了多少米?)
【解析一】猎狗跑12步的路程兔子要跑21步，猎狗跑12步的时间兔子要跑16步，在猎狗跑12步这个单位时间内，两者的速度差为兔子的5步，所
以猎狗追击距离为：30÷5×21=126(米).
【解析二，推荐】此处求狗跑了多少米，所以统一兔子。

题目条件统一兔子
距离兔7步，狗4步兔28步，狗16步
时间兔4步，狗3步兔28步，狗21步
所以兔子跑28步时间内，狗比兔子多跑狗步长的21-16=5步。

狗要跑
30÷5×21=126米才能追上兔子。

思考：如果要求兔子跑了多少米，就得统一狗。

题目条件统一兔子
距离兔7步，狗4步兔21步，狗12步
时间兔4步，狗3步兔16步，狗12步
所以狗跑12步时间内，狗比兔子多跑兔步长的21-16=5步。

兔要跑
30÷5×16=96米才能追上兔子。

当然也可以用126米-30米=96米。

猎狗追兔问题问题在旷野上有一只野兔和一条猎狗，猎狗发现了野兔并开始追踪，同时野兔也发现了猎狗，开始向兔穴跑去。

设兔穴位于坐标原点，野兔和猎狗的初始位置分别为(0,)(0,60)b =-和00(,)(70,15)x y =，假定猎狗的追踪方向始终对着野兔，猎狗和野兔的奔跑速度分别为 u =5m/s 和 v =3m/s 。

问：猎狗能否在野兔进洞前抓住野兔？分析：在时刻t 时，兔子位于(0,)b vt +，设猎狗位于(,)x y ，由于猎狗的追踪方向始终对着野兔，故有d ()d y y b vt x x-+=猎狗在 [0, t ]内走过的路程为x x x xut x x ==⎰⎰消去t 后可得'x xv xy y b x u =--⎰两边求导"xy =初始条件：00000(), '()y by x y y x x -==计算x =0时y 的值，若小于0，则表示能追上兔子，否则表示没追上。

令'z y =, 记/a v u =，则原方程化为'xz =即d x ax=两边取积分可得(ln ln()z a x c =+故11112a a z c x x c -⎛⎫=- ⎪⎝⎭其中 10c > 两边再取积分可得111211121(1)a a c y x x c a a c +-+⎛⎫=-+ ⎪+-⎝⎭其中 10c >将初值条件00()y x y =和0000()'()y bz x y x x -==代入可得1100a c x y b --⎛=-+⎝，111200011121(1)a a c c y x x a a c +-+⎛⎫=-- ⎪+-⎝⎭当0x =时， 6.0080y ≈-<，故猎狗在野兔进洞前追上了野兔。