2.1平面向量的实际背景及基本概念课件 (2)

平面向量的实际背景及基本概念1．向量的概念和表示方法(1)概念：既有大小，又有方向的量称为向量．(2)向量的表示：表示法几何表示：用有向线段来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向，即用有向线段的起点、终点字母表示，如AB，…字母表示：用小写字母a，b，c，…表示，手写时必须加箭头[点睛]向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段．向量是规定了大小和方向的量，有向线段是规定了起点和终点的线段．2．向量的长度(或称模)与特殊向量(1)向量的长度定义：向量的大小叫做向量的长度．(2)向量的长度表示：向量AB，a的长度分别记作：|AB|，|a|.(3)特殊向量：①长度为0的向量为零向量，记作0；②长度等于1个单位的向量，叫做单位向量．[点睛]定义中的零向量和单位向量都是只限制大小，没有确定方向．我们规定零向量的方向是任意的；单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同．3．向量间的关系(1)相等向量：长度相等且方向相同的向量，叫做相等向量，记作：a＝b.(2)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫共线向量；a平行于b，记作a∥b；规定零向量与任一向量平行．[点睛]共线向量仅仅指向量的方向相同或相反；相等向量指大小和方向均相同．向量的有关概念[典例]有下列说法：①向量AB和向量BA长度相等；②方向不同的两个向量一定不平行；③向量BC是有向线段；④向量0＝0，其中正确的序号为________．[活学活用]有下列说法：①若向量a与向量b不平行，则a与b方向一定不相同；②若向量AB，CD满足|AB|＞|CD|，且AB与CD同向，则AB＞CD；③若|a|＝|b|，则a，b的长度相等且方向相同或相反；④由于零向量方向不确定，故其不能与任何向量平行．其中正确说法的个数是()A．1B．2C．3 D．4向量的表示[典例]在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：①OA，使|OA|＝42，点A在点O北偏东45°；②AB，使|AB|＝4，点B在点A正东；③BC，使|BC|＝6，点C在点B北偏东30°.[活学活用]一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达B点，然后改变方向，向北偏西40°方向行驶了200千米到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达D点．作出向量AB，BC，CD，AD.共线向量或相等向量[典例]如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且OA＝a，OB＝b，OC＝c.(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？(2)与a共线的向量有哪些？(3)请一一列出与a，b，c相等的向量．[一题多变]1．[变设问]本例条件不变，试写出与向量BC相等的向量．2．[变条件，变设问]在本例中，若|a|＝1，则正六边形的边长如何？层级一学业水平达标1．下列说法正确的是()A．向量AB∥CD就是AB所在的直线平行于CD所在的直线B．长度相等的向量叫做相等向量C．若a＝b，b＝c，则a＝cD．共线向量是在一条直线上的向量2.如图，在圆O中，向量OB，OC，AO是()A．有相同起点的向量B．共线向量C．模相等的向量D．相等的向量3．向量AB与向量BC共线，下列关于向量AC的说法中，正确的为() A．向量AC与向量AB一定同向B．向量AC，向量AB，向量BC一定共线C．向量AC与向量BC一定相等D．以上说法都不正确4.如图，在▱ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，图中与AE平行的向量有()A．1个B．2个C．3个D．4个5．已知向量a，b是两个非零向量，AO，BO分别是与a，b同方向的单位向量，则下列各式正确的是()A．AO＝BO B．AO＝BO或AO＝－BOC．AO＝1 D．|AO|＝|BO|6．已知|AB|＝1，|AC|＝2，若∠ABC＝90°，则|BC|＝________.7．设a0，b0是两个单位向量，则下列结论中正确的是________(填序号)．①a0＝b0；②a0＝－b0；③|a0|＋|b0|＝2；④a0∥b0.8．给出下列四个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b方向相反；④|a|＝0或|b|＝0.其中能使a∥b成立的条件是________(填序号)．9.如图，O是正方形ABCD的中心．(1)写出与向量AB相等的向量；(2)写出与OA的模相等的向量．10.一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地．(1)在如图所示的坐标系中画出AD，DC，CB，AB.(2)求B地相对于A地的位移．层级二应试能力达标1.如图所示，梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式成立的是() A．AD＝BC B．AC＝BDC．PE＝PF D．EP＝PF2．下列说法正确的是()A．若a∥b，b∥c，则a∥c B．终点相同的两个向量不共线C ．若a ≠b ，则a 一定不与b 共线D ．单位向量的长度为1 3．若a 为任一非零向量，b 为单位向量，下列各式： ①|a |＞|b |；②a ∥b ；③|a |＞0；④|b |＝±1. 其中正确的是( ) A ．①④ B ．③ C ．③④D ．②③4．在△ABC 中，点D ，E 分别为边AB ，AC 的中点，则如图所示的向量中相等向量有( )A ．一组B ．二组C ．三组D ．四组5．四边形ABCD 满足AD ＝BC ，且|AC |＝|BD |，则四边形ABCD 是______(填四边形ABCD 的形状)．6.如图，O 是正三角形ABC 的中心，四边形AOCD 和AOBE 均为平行四边形，则与向量AD 相等的向量为________；与向量OA 共线的向量为__________；与向量OA 的模相等的向量为________．(填图中所画出的向量)7．如图，D ，E ，F 分别是正三角形ABC 各边的中点． (1)写出图中所示向量与向量DE 长度相等的向量． (2)写出图中所示向量与向量FD 相等的向量．(3)分别写出图中所示向量与向量DE ，FD 共线的向量．8．如图，已知函数y ＝x 的图象l 与直线m 平行，A ⎝⎛⎭⎫0，－22，B (x ，y )是m 上的点．求(1)x ，y 为何值时，AB ＝0； (2)x ，y 为何值时，AB 为单位向量．。

§2.1 平面向量的实际背景及基本概念学习目标 1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别. 2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量. 3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念．知识点一 向量的概念1．向量：既有大小，又有方向的量叫做向量． 2．数量：只有大小，没有方向的量称为数量． 知识点二 向量的表示方法1.向量的几何表示：向量可以用一条有向线段表示．带有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示．以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB →.2．向量的字母表示：向量可以用字母a, b, c ，…表示(印刷用黑体a ，b ，c ，书写时用 a →， b →， c →)．3．向量AB →的大小，也就是向量AB →的长度(或称模)，即有向线段AB →的长度，记作|AB →|.长度为0的向量叫做零向量，记作0；长度等于1个单位的向量，叫做单位向量． 思考 “向量就是有向线段，有向线段就是向量”的说法对吗？答案 错误．理由是：①向量只有长度和方向两个要素；与起点无关，只要长度和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；②有向线段有起点、长度和方向三个要素，起点不同，尽管长度和方向相同，也是不同的有向线段．知识点三 相等向量与共线向量1．相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量． 2．平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量． (1)记法：向量a 平行于b ，记作a ∥b . (2)规定：零向量与任一向量平行．3．共线向量：由于任一组平行向量都可以移动到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量．也就是说，平行向量与共线向量是等价的，因此要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆．思考 (1)平行向量是否一定方向相同？(2)不相等的向量是否一定不平行？(3)与零向量相等的向量必定是什么向量？(4)与任意向量都平行的向量是什么向量？(5)若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？1．如果|AB →|>|CD →|，那么AB →>CD →.( )提示 向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小． 2．若a ，b 都是单位向量，则a ＝b .( )提示 a 与b 都是单位向量，则|a |＝|b |＝1，但a 与b 方向可能不同． 3．若a ＝b ，且a 与b 的起点相同，则终点也相同．( )提示 若a ＝b ，则a 与b 的大小和方向都相同，那么起点相同时，终点必相同． 4．零向量的大小为0，没有方向．( )提示 任何向量都有方向，零向量的方向是任意的．题型一 向量的概念例1 下列说法正确的是( ) A ．向量AB →与向量BA →的长度相等B ．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同C ．零向量都是相等的D ．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 考点 向量的概念.反思感悟 解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题． 跟踪训练1 下列说法中正确的是( ) A ．数量可以比较大小，向量也可以比较大小B ．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小C ．向量的大小与方向有关D ．向量的模可以比较大小 考点 向量的概念 题点 向量的性质题型二 相等向量与共线向量例2 如图所示，△ABC 的三边均不相等，E ，F ，D 分别是AC ，AB ，BC 的中点．(1)写出与EF →共线的向量； (2)写出模与EF →的模相等的向量； (3)写出与EF →相等的向量． 考点 相等向量与共线向量题点 几何图形中的相等向量与共线向量反思感悟 相等向量与共线向量的探求方法(1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线． (2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量． 跟踪训练2 如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心．(1)与OA →的模相等的向量有多少个？(2)是否存在与OA →长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？ (3)与OA →共线的向量有几个？ 考点 相等向量与共线向量题点 几何图形中的相等向量与共线向量 题型三 向量的表示及应用例3 一辆汽车从A 点出发向西行驶了100 km 到达B 点，然后又改变方向，向西偏北50°的方向走了200 km 到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100 km 到达D 点． (1)作出向量AB →，BC →，CD →； (2)求|AD →|.考点 向量的表示方法 题点 向量的几何表示反思感悟 准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．跟踪训练3 在如图的方格纸上，已知向量a ，每个小正方形的边长为1.(1)试以B 为终点画一个向量b ，使b ＝a ；(2)在图中画一个以A 为起点的向量c ，使|c |＝5，并说出向量c 的终点的轨迹是什么？ 考点 向量的表示方法特殊向量的作用典例 给出下列命题：①若a ∥b ，则a 与b 的方向相同或相反； ②若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；③若两个模相等的向量互相平行，则这两个向量相等； ④若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ， 其中正确的是________．(填序号)考点 向量的概念 题点 向量[素养评析] (1)本题主要考查相等向量，共线向量与零向量的概念，需要准确理解概念进行推理，这正体现了数学中逻辑推理的核心素养．(2)特殊向量的性质往往与一般向量有所不同，在解题中应单独加以验证，不能混淆，否则在解决相关问题过程中容易出错．(3)零向量与任意向量平行，解题时要验证取零向量时是否成立．1．在同一平面内，把所有长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是( ) A ．单位圆 B ．一段弧 C ．线段D ．直线考点 向量的表示方法 题点 向量2．下列结论正确的个数是( )①温度含零上和零下温度，所以温度是向量； ②向量的模是一个正实数；③向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量； ④若|a |>|b |，则a >b . A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 考点 向量的概念 题点 向量的性质3．若|AB →|＝|AD →|且BA →＝CD →，则四边形ABCD 的形状为( ) A ．平行四边形 B ．矩形 C ．菱形D ．等腰梯形 考点 相等向量与共线向量 题点 相等向量与共线向量的应用4.如图所示，设O 是正方形ABCD 的中心，则下列结论正确的有________．(填序号)①AO →＝OC →； ②AO →∥AC →； ③AB →与CD →共线； ④AO →＝BO →.考点 相等向量与共线向量题点 几何图形中的相等向量与共线向量5．已知A ，B ，C 是不共线的三点，向量m 与向量AB →是平行向量，与BC →是共线向量，则m ＝________.考点 单位向量与零向量 题点 零向量的性质 答案 01．向量是既有大小又有方向的量，从其定义可以看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又将几何问题转化为代数问题，故向量能起到数形结合的桥梁作用．2．共线向量与平行向量是一组等价的概念．两个共线向量不一定要在一条直线上．当然，同一直线上的向量也是平行向量．3．注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位向量。