北京课改版八年级(上) 中考题同步试卷：13.11 勾股定理(01)

2022-2023学年八年级数学上册第一章《勾股定理》试卷一、单选题（每题3分，共30分）1．在△ABC 中，若∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，且90A ∠=︒，则（）A ．a b c =+B ．22b a c =+C ．222c a b =+D ．222a b c =+2．在平面直角坐标系中，已知点()24A -，，点()34B ，，则线段AB 的长度为（）．A ．5B ．4C ．3D ．23．一直角三角形的三边分别为2、3、x ，以x 为边长的正方形的面积为（）A 5B ．13C ．5或13D 5134．如图，ABC 的顶点A ，B ，C 在边长为1的正方形网格的格点上，则BC 边上的高为（）A 13B 45C 30D 855．如图所示，小宇手里有一张直角三角形纸片ABC ，他无意中将直角边AC 折叠了一下，恰好使AC 落在斜边AB 上，且C 点与E 点重合，小宇经过测量得知两直角边6cm AC =，8cm BC =，求出CD 的长是（）A ．4cmB ．5cmC ．6cmD ．3cm 6．下列条件中，不能说明ABC 是直角三角形的是（）A ．A B C∠-∠=∠B ．::3:4:5A B C ∠∠∠=C ．222AB AC BC -=D ．::3:4:5AB AC BC =7．如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数2的点为圆心、正方形对角线的长为半径画弧，交数轴于点A ，则点A 表示的数是（）A ．2-B ．22C ．12-D ．128．《九章算术》中记录了这样一则“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈=10尺）如果我们假设折断后的竹子高度为x 尺，根据题意，可列方程为（）A ．222410x +=B ．()22210410x -+=C ．()222104x x -+=D ．()222410x x +=-9．如图所示的一段楼梯，高BC 是3米，斜边AB 长是5米，现打算在楼梯上铺地毯，至少需要地毯的长度为（）A ．5米B ．6米C ．7米D ．8米10．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，10AC =，12BC =，点D 是ABC ∆内的一点，连接AD ，CD ，BD ，满足90ADC ∠=︒，则BD 的最小值是（）A ．5B ．6C ．8D ．13二、填空题（每题3分，共24分）11．如图，一个长方体盒子，84BC CD AB ===，，则沿盒子表面从A 点到D 点的最短路程是_____．12．如图，正方形ABCD 的边长为1，其面积标记为1S ，以AB 为斜边向外作等腰直角三角形，再以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为2S ，…，按照此规律继续下去，则2023S 的值为_______．13．在Rt ABC △中，90C ∠=︒，有一个锐角为30︒，6AB =，若点P 在直线AB 上（不与点A ，B 重合），且30PCB ∠=︒，则AP 的长为_____．14．在直角三角形中，存在斜边的平方等于两条直角边的平方的和.如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，b 的面积分别为5和13，则c 的面积为______．15．如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，正方形A 、B 、C 的面积分别是28cm ，212cm ，214cm ，则正方形D 的面积是______2cm ．16．如图，在△ABC 中，3BC =，4AC =，5AB =，P 为边AB 上一动点，PE BC ⊥于点E ，PF AC ⊥于点F ，连接EF ，则EF 的最小值为______．17．《勾股》中记载了这样一个问题：“今有开门去阃（kǔn ）一尺不合2寸，问门广几何？”意思是：如图推开两扇门（AD 和BC ），门边沿D ，C 两点到门槛AB 的距高是1尺（1尺=10寸），两扇门的间隙CD 为2寸，则门槛AB 为_______寸．18．如图，甲、乙两艘轮船同时从港口O 出发，甲轮船以20海里/小时的速度向南偏东45度方向航行，乙轮船向南偏西45度方向航行．已知它们离开港口O 两小时后，两艘轮船相距60海里，则乙轮船2小时航行_____海里，乙轮船平均每小时航行_______海里．三、解答题（共66分）19．如图，在四边形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，将点B 绕点C 逆时针旋转60︒得到点E ，连接AE ，BE ，CE ．(1)求CBE ∠的度数；(2)若ACD 是等边三角形，且30ABC ∠=︒，3AB =，5BD =，求BE 的长．20．如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，5AB =cm ，3AC =cm ，动点P 从点B 出发沿射线BC 以1cm/s 的速度移动，设运动的时间为t s ．(1)求BC 边的长；(2)当ABP 为直角三角形时，求t 的值．21．如图，已知ACB 和ECF 中，90ACB ECF ∠=∠=︒，AC BC =，CE CF =，连接AE ．BF 交于点O ．(1)求证：ACE BCF ≌△△；(2)求AOB ∠的度数；(3)连接BE ，AF ，求证()22222BE AF AC CE +=+22．综合与实践．勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明颇感兴趣，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．(1)我国汉代数学家赵爽创制了一幅如图1所示的用4个全等的直角三角形拼成的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，若AC b =，BC a =，AB c =，请你利用这个图形说明222+=a b c ．(2)业余数学爱好者向常春在1994年构造发现了一个新的证法：把两个全等的Rt ABC △和Rt DAE 按如图2所示的方式放置，90DAB B ∠∠==︒，AB AD c ==，BC AE a ==，AC DE b ==．请你利用这个图形说明222c a b +=．(提示：连接EC ，CD )23．一架梯子AB 长25米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端B 离墙7米．(1)这个梯子的顶端距地面有多高？(2)如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子底部在水平方向滑动了4米吗？为什么？24．问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为80cm，宽为50cm的长方形地毛毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于场地宽AD，木块从正面看是一个边长为20cm的等边三角形．求一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程．(1)数学抽象：将蚂蚁爬行过．．．的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”．请在图②中用虚线补全木块的侧面展开图，并用实线连接AC．(2)线段AC的长即蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程，依据是_____．(3)问题解决：如图②，展开图中AB=_____，BC=_____．(4)这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是_____．25．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图①），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．如图①是用四个能够完全重合的直角三角形拼成的图形，其中直角边长分别为a，b，斜边长为c，用含a，b，c的代数式表示：（1）大正方形的面积为_____________；小正方形的面积为_______________；（2）四个直角三角形的面积和为___，根据图中面积关系，可列出a，b，c之间的关系式为_______________；（3）如图②，以直角三角形的三边为直径，分别向外部作半圆，则1S ，2S ，3S 满足的关系是_________________；（4）如图③直角三角形的两条直角边长分别为3、5，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，则图中两个月形图案（阴影部分）的面积和为_______________．26．如图，P 是等边三角形ABC 内一点，连接PA ，PB ，PC ，以BP 为边作60PBQ ∠=︒，且BP BQ =，连接CQ ．(1)求证：AP CQ =；(2)若150APB ∠=︒，3PA =，4PB =，求PC 长．参考答案：1．D2．A3．C4．B5．D6．B7．B8．D9．C10．C11．413．202212⎛⎫⎪⎝⎭13．92，9或314．815．1516．12517．10118．510519．(1)60︒(2)4（1）解：∵将点B 绕点C 逆时针旋转60︒得到点E ，∴CB CE =，60BCE ∠=︒，∴BCE 是等边三角形，∴60CBE ∠=︒，∴CBE ∠的度数为60°；（2）∵ACD 是等边三角形，∴AC DC =，60ACD ∠=︒.∵60ACD BCE ∠=∠=︒，∴ACD ACB BCE ACB ∠+∠=∠+∠，∴ACE BCD ∠=∠.∵BC CE =，AC DC =，∴ACE △≌DCB △（SAS ），∴5AE BD ==.∵60CBE ∠=︒，30ABC ∠=︒，∴90ABE CBE ABC ∠=∠+∠=︒.在Rt ABE △中，3AB =，∴2222534BE AE AB =--=，∴BE 的长为4．20．(1)4cm(2)4或254（1）在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，5cm 3cm AB AC ==，，由勾股定理得()22534cm BC =-=；（2）由题意知cm BP t =．①当90APB ∠=︒时，如图，点P 与点C 重合，4cm BP BC ==，∴424t =÷=；②当90BAP ∠=︒时，如图2，()4cm CP BP BC t =-=-，3cm AC =．在Rt ACP 中，()2222234AP AC CP t =+=+-，在Rt BAP △中，222225AP BP AB t =-=-，因此()2222345t t +-=-，解得254t =．综上所述，当ABP 为直角三角形时，t 的值为4或254．21．（1）解：证明：90ACB ECF ∠=∠=︒ ，ACE BCF ∴∠=∠，CA CB = ，CE CF =，(SAS)ACE BCF ∴ ≌．（2）设EC 交BF 于点K ．ACE BCF ≌，OEK KFC ∴∠=∠，90CFK CKF ∠+∠=︒Q ，CKF OKE ∠=∠，90OEK OKE ∴∠+∠=︒，90EOK ∴∠=︒，90AOB ∠=︒∴．（3）证明：连接BE ．90BOE AOF ∠=∠=︒Q ，222BE OB OE ∴=+，222AF OA OF +=，()22222AC EC AB EF +=+Q ，()22222222222BE AF OB OE OA OF AB EF AC CE ∴+=+++=+=+．22．（1）∵大正方形面积为2c ，直角三角形面积为12ab ，小正方形面积为2()b a -，∴22222122)4(c ab a b ab a ab b =⨯+-=+-+，即222c a b =+；（2）连接EC ，CD ，Rt Rt ABC DAE ≌△△，ACB AED ∠∠∴=，90ABC BAD ∠∠==︒，90BAC ACB BAC AED ∠∠∠∠∴+=︒=+，90AFE ∠∴=︒，AC DE ∴⊥，∵四边形ABCD 的面积=12()BC AD AB +⨯=22ac c +，四边形AECD 的面积AEC ACD S S =+= 12AC DE ⨯=122b ，BEC ∴ 的面积=四边形ABCD 的面积-四边形AECD 的面积=22ac c +-12221122b ac a =-，∴222c a b +=．23．（1）解：由题意得：25AB =米，7BC =米，∴2225724AC =-=（米），答：这个梯子的顶端距地面有24米；（2）梯子底部不是水平方向滑动了4米，由题意得：4AA '=米，∴24420A C '=-=米，∴22252015B C '=-=（米），则：1578BB '=-=（米），答：梯子的底端在水平方向滑动了8米．24．（1）如图所示即为所求：（2）线段AC 的长即蚂蚁从点A 处到达点C 处需要走的最短路程，依据是两点之间线段最短，故答案为：两点之间线段最短；（3）根据题意可得：展开图中的802020120AB =++=cm ，50BC =cm ．故答案为：120cm ，50cm ；（4）由题（1）可得：在Rt ABC 中，由勾股定理可得：222212050130AC AB BC =++=cm ，故答案为：130cm ．25．解：（1）由题意得：大正方形面积()2=a b +，小正方形面积2=c ，故答案为：()2a b +，2c ；（2）由题意得：四个直角三角形的面积和为1422ab ab ⨯=，∴根据图中面积关系，可列出a ，b ，c 之间的关系式为()222222ab c a b a ab b +=+=++，∴222+=a b c ，故答案为：2ab ，222+=a b c ；11（3）设这个直角三角形的短直角边为a ，长直角边为b ，斜边为c ，由题意得：2112S a π=，2212S b π=，2312S c π=，∵222+=a b c ，∴()2222212311112222S S a b a b c S ππππ+=+=+==，故答案为：123S S S +=；（4）如图所示，∠ACB =90°，AC =5，BC =3，∴2234AB a b =+=，∴S 阴影=SBC 为直径的半圆+SAC 为直径的半圆+S △ABC -SAB 为直径的半圆()22211113535347.52222πππ=⨯+⨯+⨯⨯-⨯=．26．（1）证明：∵ABC 为等边三角形，∴60ABC AB CB ∠=︒=，，∴60ABP PBC ︒∠+∠=．又∵60PBQ PBC CBQ ∠=∠+∠=︒，∴ABP CBQ ∠=∠．在ABP 和CBQ △中，AB CBABP CBQ BP BQ=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABP CBQ SAS ≌，∴AP CQ =．（2）连接PQ ，如图所示．∵ABP CBQ ≌ ，150APB ∠=︒∴150BQC BPA ∠=∠=︒．∵60BP BQ PBQ =∠=︒，，∴PBQ 为等边三角形，∴460PQ PB BQP ==∠=︒，，∴90PQC ∠=︒．3PA =，4PB =，在Rt PQC 中，90PQC ∠=︒，4PQ =，3CQ AP ==，∴225PC PQ CQ =+=．。

《勾股定理》同步练习题A 卷（满分100分）一﹑填空题 (每小题2分, 共20分)1. 如图，∠OAB =∠OBC =∠OCD =90°， AB =BC =CD =1，OA =2，则OD 2=____________.2. 如图， 等腰△ABC 的底边BC 为16, 底边上的高AD 为6，则腰AB 的长为____________.3. 如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C 偏离欲到达点B 200m ，结果他在水中实际游了520m ，求该河流的宽度为____________________m.4. 正方形的面积为18cm 2, 则正方形对角线长为__________ cm.5．在△ABC 中，∠C =90°，若AB ＝5，则2AB +2AC +2BC =__________.6. 小华和小红都从同一点O 出发，小华向北走了9米到A 点，小红向东走了12米到了B 点，则________ AB 米． 7. 一个三角形三边满足(a+b)2－c 2＝2ab, 则这个三角形是 三角形.8. 木工做一个长方形桌面， 量得桌面的长为60cm ， 宽为32cm ， 对角线为68cm ， 这个桌面__________ (填“合格”或“不合格”).9. 直角三角形一直角边为12cm ，斜边长为13cm ，则它的面积为 ． 10. 有六根细木棒，它们的长分别是2，4，6，8，10，12（单位：cm ），首尾连结能搭成直角三角形的三根细木棒分别是 ． 二﹑选择题(每小题3分, 共30分)11. 一直角三角形的斜边长比一直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为 （ ）A. 4B. 8C. 10D. 12 12. 小丰的妈妈买了一部29英寸(74cm)的电视机，下列对29英寸的说法中正确的是（ ）A. 小丰认为指的是屏幕的长度B. 小丰的妈妈认为指的是屏幕的宽度C. 小丰的爸爸认为指的是屏幕的周长D. 售货员认为指的是屏幕对角线的长度 13. 如图中字母A 所代表的正方形的面积为（ ）A. 4B. 8C. 16D. 64（1题图） A B C200m 520m（3题图） D CB A O （2题图） A B D（13题图）14. 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是（ ）A. 钝角三角形B. 锐角三角形C. 直角三角形D. 等腰三角形15. 一直角三角形的一条直角边长是7cm , 另一条直角边与斜边长的和是49cm , 则斜边的长( )A. 18cmB. 20 cmC. 24 cmD. 25cm 16. 适合下列条件的△ABC 中, 直角三角形的个数为( )①；，，514131===c b a ②6=a ，∠A =45°; ③∠A =320, ∠B =58°；④；，，25247===c b a ⑤.422===c b a ，，A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个 17. 在△ABC 中，若12122+==-=n c n b n a ，，，则△ABC 是（ ）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 等腰三角形D. 直角三角形18. 直角三角形斜边的平方等于两条直角边乘积的2倍, 这个三角形有一个锐角是（ ）A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°19. 在△ABC 中，AB =12cm ，BC =16cm,，AC =20cm,，则△ABC 的面积是（ ）A. 96cm 2B. 120cm 2C. 160cm 2D. 200cm 2 20. 如图：有一圆柱，它的高等于8cm ，底面直径等于4cm （3=π）在圆柱下底面的A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A 相对的B 点 处的食物，需要爬行的最短路程大约（ ）A. 10cmB. 12cmC. 19cmD. 20cm 三、 解答题 (每小题10分, 共50分)21. 如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，请问它飞行的最短路程是多少米？（先画出示意图，然后再求解）22. 如图， 在△ABC 中， AD ⊥BC 于D ，AB =3，BD =2，DC =1， 求AC 2的值. A（20题图）BAB D C23. “中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪正前方30米处，过了2秒后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50米，这辆小汽车超速了吗？观测点小汽车小汽车24. 小明的叔叔家承包了一个矩形鱼池，已知其面积为48m 2，其对角线长为10m ，为建栅栏，要计算这个矩形鱼池的周长，你能帮助小明算一算吗？ 25. 如图所示的一块地，∠ADC ＝90°，AD ＝12m ，CD ＝9m ，AB ＝39m ，BC ＝36m ，求这块地的面积.B 卷 (满分50分)一、填空题(每小题2分,共10分)1. 如图，AC ⊥CE ，AD =BE =13，BC =5，DE =7，则AC = .2. 如图，一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20、3、2，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B3. 在ΔABC 中,若AB=30,AC=26,BC 上的高为AD=24,则此三角形的周长为 .4. 已知两条线段的长为5c m 和12c m,当第三条线段的长为 c m 时,这三条线段能组成一个直角三角形． 5．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm 2． 二、选择题（每小题3分，共15分）6. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，周长为60，斜边与一条直角边之比为13∶5，则这个三角形三边长分别A BCDE （1题图）（2题图） 2032A B是（ ）A. 5、4、3、B. 13、12、5C. 10、8、6D. 26、24、107.如图，在同一平面上把三边为BC ＝3，AC ＝4、AB ＝5的三角形沿最长边AB 翻折后得到△ABC ′，则CC ′的长等于（ ） A.125 B. 135 C. 56 D. 2458. 直角三角形有一条直角边的长为11，另外两边的长也是正整数，那么此三角形的周长是（ ） A. 120 B. 121 C. 132 D. 1239．已知，如图长方形ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ ） A ．6cm 2 B ．8cm 2 C ．10cm 2 D ．12cm 2 10．已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ） A ．25海里 B ．30海里 C ．35海里 D ．40海里三、解答题（11、12题每题8分，13题9分，共25分）11. 如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC =6cm ，BC =8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上,且与AE 重合,你能求出CD 的长吗？12．印度数学家什迦逻（1141年-1225年）曾提出过“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲； 出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边， 渔人观看忙向前，花离原位二尺远； 能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”请用学过的数学知识解答这个问题.13．如图，A 城气象台测得台风中心在A 城正西方向320km的B 处，以每小时40km 的速度向北偏东60°的BF 方向移动，距离台风中心200km的范围内是（9题图）北 南A东（10题图）（7题图）C ′ BCA受台风影响的区域.（1） A 城是否受到这次台风的影响？为什么？（2） 若A 城受到这次台风影响，那么A 城遭受这次台风影响有多长时间？参考答案一1、7 ；2、10；3、480； 4、6；5、50；6、15；7、直角；8、合格；9、30；10、6，8，10； 二CDDC DADC AA 三21、13米 22、AC 2＝623、20 v 米/秒＝72千米/时＞70千米/时，超速。

实用文档之"北师大版八年级数学上"勾股定理练习题一、基础达标:1. 下列说法正确的是（）A.若 a、b、c是△ABC的三边，则a2＋b2＝c2；B.若 a、b、c是Rt△ABC的三边，则a2＋b2＝c2；C.若 a、b、c是Rt△ABC的三边， 90∠A，则a2＋b2=＝c2；D.若 a、b、c是Rt△ABC的三边， 90=∠C，则a2＋b2＝c2．2. Rt△ABC的三条边长分别是a、b、c，则下列各式成立的是（）A．ca>ba<+ D.+ C. cbba=+ B. c2c22+a=b3．如果Rt△的两直角边长分别为k2－1，2k（k >1），那么它的斜边长是（）A、2kB、k+1C、k2－1D、k2+14. 已知a，b，c为△ABC三边，且满足(a2－b2)(a2+b2－c2)＝0，则它的形状为（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形5．直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（）A．121 B．120 C．90 D．不能确定6．△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为（ ）A ．42B ．32C ．42 或 32D ．37 或 337.※直角三角形的面积为S ，斜边上的中线长为d ，则这个三角形周长为（ ）（A 2d （B d -（C ）2d （D ）d8、在平面直角坐标系中，已知点P 的坐标是(3,4)，则OP的长为（ ）A ：3 B ：4 C ：5 D ：79．若△ABC 中，AB=25cm ，AC=26cm 高AD=24,则BC 的长为（ ）A ．17 B.3 C.17或3 D.以上都不对10．已知a 、b 、c 是三角形的三边长，如果满足2(6)100a c --=则三角形的形状是（ ）A ：底与边不相等的等腰三角形B ：等边三角形C ：钝角三角形D ：直角三角形11．斜边的边长为cm 17，一条直角边长为cm 8的直角三角形的面积是 ．12. 等腰三角形的腰长为13，底边长为10，则顶角的平分线为＿＿.13. 一个直角三角形的三边长的平方和为200，则斜边长为14．一个三角形三边之比是6:8:10，则按角分类它是 三角形．15. 一个三角形的三边之比为5∶12∶13，它的周长为60，则它的面积是＿＿＿.16. 在Rt △ABC 中，斜边AB=4，则AB 2＋BC 2＋AC 2=_____． 17．若三角形的三个内角的比是3:2:1，最短边长为cm 1，最长边长为cm 2，则这个三角形三个角度数分别是 ，另外一边的平方是 ．18．如图，已知ABC ∆中，︒=∠90C ，15=BA ，12=AC ，以直角边BC 为直径作半圆，则这个半圆的面积是 ．19． 一长方形的一边长为cm 3，面积为212cm ，那么它的一条对角线长是 ．二、综合发展:1．如图，一个高4m 、宽3m 的大门，需要在对角线的顶点间加固一个木条，求木条的长．ACB2、有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC 沿∠CAB 的角平分线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出CD 的长吗？3.一个三角形三条边的长分别为cm 15，cm 20，cm 25，这个三角形最长边上的高是多少？4．如图，要修建一个育苗棚，棚高h=3m ，棚宽a=4m ，棚的长为12m ，现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？AECDB5．如图，有一只小鸟在一棵高13m 的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m ，高8m 的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2m/s 的速度飞向小树树梢，它最短要飞多远？这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？15．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h.如图，，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30m 处，过了2s 后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m ，这辆小汽车超速了吗？A小汽车小汽车 BC观测点答案:一、基础达标1. 解析:利用勾股定理正确书写三角形三边关系的关键是看清谁是直角．答案: D.2. 解析：本题考察三角形的三边关系和勾股定理.答案：B.3． 解析：设另一条直角边为x ，则斜边为（x+1）利用勾股定理可得方程，可以求出x ．然后再求它的周长. 答案：C ．4．解析：解决本题关键是要画出图形来，作图时应注意高AD 是在三角形的内部还是在三角形的外部，有两种情况，分别求解. 答案：C.5． 解析: 勾股定理得到：22215817=-，另一条直角边是15，所求直角三角形面积为21158602cm ⨯⨯=．答案: 260cm ．6． 解析：本题目主要是强调直角三角形中直角对的边是最长边,反过来也是成立．答案:222c b a =+，c ，直角，斜，直角．7． 解析:本题由边长之比是6:8:10 可知满足勾股定理，即是直角三角形．答案：直角．8． 解析：由三角形的内角和定理知三个角的度数,断定是直角三角形．答案：︒30、︒60、︒90，3．9． 解析：由勾股定理知道：22222291215=-=-=AC AB BC ，所以以直角边9=BC 为直径的半圆面积为10.125π．答案：10.125π．10． 解析:长方形面积长×宽，即12长×3，长4=，所以一条对角线长为5． 答案：cm 5． 二、综合发展11． 解析：木条长的平方=门高长的平方+门宽长的平方．答案：5m ．12解析：因为222252015=+，所以这三角形是直角三角形，设最长边（斜边）上的高为xcm ，由直角三角形面积关系，可得1115202522x ⨯⨯=⨯⋅，∴12=x ．答案：12cm13．解析：透阳光最大面积是塑料薄膜的面积，需要求出它的另一边的长是多少，可以借助勾股定理求出.答案：在直角三角形中，由勾股定理可得：直角三角形的斜边长为5m, 所以矩形塑料薄膜的面积是：5×20=100(m2) ．14．解析：本题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理求斜边的值是13m，也就是两树树梢之间的距离是13m，两再利用时间关系式求解.答案：6.5s．15．解析：本题和14题相似，可以求出BC的值，再利用速度等于路程除以时间后比较.BC=40米，时间是2s，可得速度是20m/s=72km/h＞70km/h．答案：这辆小汽车超速了．。

北师大版八年级上册数学第一章勾股定理同步测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1．把一个直角三角形的两直角边长同时扩大到原来的3倍，则斜边长扩大到原来的( )A．2倍B．3倍C．4倍D．5倍2.如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC⊥AB，AB=√5，且AC：BD=2：3，那么AC的长为()A. 2√5B. √5C. 3D. 43.下面四组线段能够组成直角三角形的是( )A.2,3,4B.3,4,5C.6,7,8D.7,8,94．如图，阴影部分是一个长方形，则长方形的面积是( )A．3 cm2B．4 cm2C．5 cm2D．6 cm25．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的为( )A．∠A＝∠B－∠C B．∠A∶∠B∶∠C＝1∶1∶2C．b2＝a2－c2 D．a∶b∶c＝2∶3∶46.如图，直线L上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为1和9，则b 的面积为()A.8B. 9C. 10D. 117．如图所示，圆柱的高AB=3，底面直径BC=3，现在有一只蚂蚁想要从A 处沿圆柱表面爬到对角C 处捕食，则它爬行的最短距离是（ ）A ．π+13B ．23C ．2432π+ D ．213π+ 8.小明想知道学校旗杆的高,他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1 m,当它把绳子的下端拉开5 m 后,发现下端刚好接触地面,则旗杆的高为 ( )A.8 mB.10 mC.12 mD.14 m9．已知直角三角形的斜边长为5 cm ，周长为12 cm ，则此三角形的面积是( )A ．12 cm 2B ．6 cm 2C ．8 cm 2D ．10 cm 210．如图：在△ABC 中，CE 平分∠ACB ，CF 平分∠ACD ，且EF ∥BC 交AC 于M ，若CM=5，则CE 2+CF 2等于（ ）A ．75B ．100C ．120D ．125二．填空题（共8小题，满分32分）11．已知△ABC 的三边长为a 、b 、c ，满足a+b=10，ab=18，c=8，则此三角 形为 三角形．12.在Rt△ABC中，已知两边长为5、12，则第三边的长为______ ．13.如图所示,小明将一张长为20 cm,宽为15 cm的长方形纸剪去了一角,量得AB=3 cm,CD=4 cm,则剪去的直角三角形的斜边长为.c－b＝0，14．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足关系式(a2－c2－b2)2＋||则△ABC的形状为____________．15．如图，每个小正方形边长为1，则△ABC边AC上的高BD的长为．16.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B 沿AE折叠，使点B落在点B′处.当△CEB′为直角三角形时，CB′的长为______．17.如图所示,在一棵树上的10米高处有两只猴子,一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘A处,另一只猴子爬到树顶C后直接跃到A处,距离以直线计算,若两只猴子所经过的距离相等, 则这棵树高米.18．在一根长90 cm的灯管上缠满了彩色丝带，已知可近似地将灯管看成圆柱体，且底面周长为4 cm，彩色丝带均匀地缠绕了30圈(如图为灯管的部分示意图)，则彩色丝带的总长度为__________．三、解答题19．（8分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠B=45°，∠C=30°，AD=2，求△ABC 的面积．20．（10分）方格纸中小正方形的顶点叫格点．点A和点B是格点，位置如图．（1）在图1中确定格点C使△ABC为直角三角形，画出一个这样的△ABC；（2）在图2中确定格点D使△ABD为等腰三角形，画出一个这样的△ABD；（3）在图2中满足题（2）条件的格点D有个．21.如图所示，将一个长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠.点B 落在E点，AE交DC 于F点，已知AB=8cm，BC=4cm.求折叠后重合部分的面积．22．如图，一根12 m的电线杆AB用铁丝AC，AD固定，现已知用去的铁丝AC＝15 m，AD＝13 m，又测得地面上B，C两点之间的距离是9 m，B，D两点之间的距离是5 m，则电线杆和地面是否垂直，为什么？23．（12分）为了绿化环境，我县某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=3m，DA=4m，BC=12m，CD=13m．（1）求出空地ABCD的面积．（2）若每种植1平方米草皮需要200元，问总共需投入多少元？24．（14分）阅读理解：我们知道在直角三角形中，有无数组勾股数，例如：5、12、13；9、40、41；…但其中也有一些特殊的勾股数，例如：3、4、5；是三个连续正整数组成的勾股数．解决问题：①在无数组勾股数中，是否存在三个连续偶数能组成勾股数？答：，若存在，试写出一组勾股数：．②在无数组勾股数中，是否还存在其它的三个连续正整数能组成勾股数？若存在，求出勾股数，若不存在，说明理由．③在无数组勾股数中，是否存在三个连续奇数能组成勾股数？若存在，求出勾股数，若不存在，说明理由．答案提示1.B2. D3.B4.C5.D6. C 7．C． 8.C 9.B 10．B．11．直角．12.13或√11913.20 cm14．等腰直角三角形15．8 516. 2或√1017.1518．150 cm 19．解：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，在Rt △ADB 中，∵∠B+∠BAD=90°，∠B=45°，∴∠B=∠BAD=45°，∴BD=AD=2，在Rt △ADC 中，∵∠C=30°，∴AC=2AD=22，∴CD=()()622222=-，BC=BD+CD=2+6， ∴S △ABC =21×BC ×AD=21×（2+6）×2=1+3． 20．解：（1）（2）如图所示：（3）在图2中满足题（2）条件的格点D 有4个．故答案是：4．21. 解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D =∠B =90∘，AD =BC ，∵将一个长方形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，∴BC =CE ，∠B =∠E ，∴AD =CE ，∠D =∠E ，在△EFC 和△DFA 中，{∠E =∠D∠EFC =∠DFA CE =AD，∴△EFC ≌△DFA ，∴DF =EF ，AF =CF ，设FC =x ，则DF =8−x ，在RT △ADF 中，DF 2+AD 2=AF 2，即(8−x)2+16=x 2，解得：x =5，即CF =5cm ，∴折叠后重合部分的面积=12CF ×AD =10cm 2．22．解：垂直．理由如下：因为AB ＝12 m ，AC ＝15 m ，BC ＝9 m ，所以AC 2＝BC 2＋AB 2.所以∠CBA ＝90°.又因为AD ＝13 m ，AB ＝12 m ，BD ＝5 m ，所以AD 2＝BD 2＋AB 2.所以∠ABD ＝90°，因此电线杆和地面垂直．23．解：（1）连接BD ，在Rt △ABD 中，BD 2=AB 2+AD 2=32+42=52，在△CBD 中，CD 2=132，BC 2=122，而122+52=132，即BC 2+BD 2=CD 2，∴∠DBC=90°，则S 四边形ABCD =S △BAD +S △DBC =21•AD •AB+21DB •BC=21×4×3+21×12×5=36； （2）所以需费用36×200=7200（元）．24．解：①存在三个连续偶数能组成勾股数，如6，8，10，故答案为：存在；6，8，10；②答：不存在，理由是：假设在无数组勾股数中，还存在其它的三个连续正整数能组成勾股数，设这三个正整数为n﹣1，n，n+1，则（n﹣1）2+n2=（n+1）2，（5分）n 1=4，n2=0（舍），当n=4时，n﹣1=3，n+1=5，∴三个连续正整数仍然是3，4，5，∴不存在其它的三个连续正整数能组成勾股数；③答：不存在，理由是：在无数组勾股数中，存在三个连续奇数能组成勾股数，设这三个奇数分别为：2n﹣1，2n+1，2n+3（n＞1的整数），（2n﹣1）2+（2n+1）2=（2n+3）2，n 1=27，n2=﹣21，∴不存在三个连续奇数能组成勾股数；。

第一章《勾股定理》专项练习专题一：勾股定理考点分析：勾股定理单独命题的题目较少，常与方程、函数，四边形等知识综合在一起考查，在中考试卷中的常见题型为填空题、选择题和简单的解答题典例剖析例1．（1）如图1是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），计算两圆孔中心A和B的距离为______mm．（2）如图2，直线l上有三个正方形a b c，，，若的面积分别为5和11，则b的面积为（）A．4 B．6C．16 D．55分析：本题结合图中的尺寸直接运用勾股定理计算即可．解：（1）由已知得：AC=150-60=90，BC=180-60=120，由勾股定理得：AB2=902+1202=22500，所以AB=150（mm）（2）由勾股定理得：b=a+c=5+11=16，故选C．点评：以上两例都是勾股定理的直接运用，当已知直角三角形的两边，求第三边时，往往要借助于勾股定理来解决．例2．如图3，正方形网格的每一个小正方形的边长都是1，试求122424454A E A A E C A E C++∠∠∠的度数．解：连32A E．32122222A A A A A E A E==，，32212290A A E A A E∠=∠=，322122Rt RtA A E A A E∴△≌△（SAS）．322122A E A A E A∴∠=∠．由勾股定理，得：4532C E C E===，4532A E A E===，图21A2A3A4A5A5E2E11114C1A2A3A4A5A5E2E11114C3C2C图344332A C A C ==，445332A C E A C E ∴△≌△（SSS ）． 323454A E C A E C ∴∠=∠122424454324424323224A E A A E C A E C A E C A E C A E C A E C ∴∠+∠+∠=∠+∠+∠=∠．由图可知224E C C △为等腰直角三角形．22445A E C ∴∠=． 即12242445445A E A A E C A E C ∠+∠+∠=．点评：由于在正方形网格中，它有两个主要特征：（1）任何格点之间的线段都是某正方形或长方形的边或对角线，所以格点间的任何线段长度都能求得．（2）利用正方形的性质，我们很容易知道一些特殊的角，如450、900、1350，便一目了然．以上两例就是根据网格的直观性，再结合图形特点，运用勾股定理进行计算，易求得线段和角的特殊值，重点考查学生的直觉观察能力和数形结合的能力．专练一：1、△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=2：1：1，a ，b ，c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，则下列各等式中成立的是（ ）（A ）222a b c +=；（B ）222a b =； （C ）222c a =； （D ）222b a = 2、若直角三角形的三边长分别为2，4，x ，则x 的可能值有（ ） （A ）1个； （B ）2个； （C ）3个； （D ）4个3、一根旗杆在离底面4.5米的地方折断，旗杆顶端落在离旗杆底部6米处，则旗杆折断前高为（ ）（A ）10.5米； （B ）7.5米； （C ）12米； （D ）8米 4、下列说法中正确的有（ ）（1）如果∠A+∠B+∠C=3：4：5，则△ABC 是直角三角形；（2）如果∠A+∠B=∠C ，那么△ABC 是直角三角形；（3）如果三角形三边之比为6：8：10，则ABC 是直角三角形；（4）如果三边长分别是221,2,1(1)n n n n -+>，则ABC 是直角三角形。

第一章勾股定理一、选择题1. 若a，b，c为△ABC的三边长，则下列条件中不能判定△ABC是直角三角形的是( )A．a=1.5，b=2，c=2.5B．a:b:c=3:4:5C．∠A+∠B=∠C D．∠A:∠B:∠C=3:4:52. 在Rt△ABC中，若∠C=90∘，AC=3，BC=4，则点C到直线AB的距离为( )A．3B．4C．5D．2.43. 如图，四边形ABCD中，∠B=90∘，且AB=BC=2，CD=3，DA=1，则∠DAB的度数为( )A．90∘B．120∘C．135∘D．150∘4. 如图，在高为5 m，坡面长为13 m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要( )A．17 m B．18 m C．25 m D．26 m5. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别为3，5，2，3，则最大正方形E的面积是( )A．47B．13C．11D．86. 如图，将一根长度为8 cm，自然伸直的弹性皮筋AB两端固定在水平的桌面上，然后把皮筋中点C竖直向上拉升3 cm到点D，则此时该弹性皮筋被拉长了( )A．6 cm B．5 cm C．4 cm D．2 cm7. 如图，为了测得湖两岸A点和B点之间的距离，一个观测者在C点设桩，使∠ABC=90∘，并测得BC长为16 m，若已知AC比AB长8 m，则A点和B点之间的距离为( )A．25 m B．12 m C．13 m D．43 m8. 如图，在三角形纸片ABC中，∠ACB=90∘，AC=4，BC=3，点D，E分别在AB，AC上，连接DE，将△ADE沿DE翻折，使点A的对应点F落在BC的延长线上．若FD平分∠EFB，则AD的长为( )A．259B．258C．157D．207二、填空题9. 在△ABC中，∠C=90∘．（1）已知a=10，b=24，那么c=．（2）已知b:c=4:5，a=9，那么b=，c=．10. 如图是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AH=6，EF=2，那么AB等于．11. 《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为．12. 如图，一个长方体长4 cm，宽3 cm，高12 cm，则它上下两底面的对角线MN的长为cm．13. 已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，则可以判断△ABC的形状为．14. 如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA=∘（点A，B，P是网格线的交点）．15. 对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．若AD=2，BC=4，则AB2+CD2=．三、解答题16. 在Rt△ABC中，∠C=90∘．(1) 已知a=8，c=17，求b．(2) 已知b=40，c=41，求a．17. 如图，在四边形ABCD中，∠DBC=90∘，AB=9，AD=12，BC=8，DC=17，求四边形ABCD的面积．18. 如图，滑竿在机械槽内运动，∠C=90∘，AB=2.5 m，BC=1.5 m，当底端B向右移动0.5 m时，顶端A下滑了多少米？19. 假期中，王强和同学到某海岛上去旅游．他们按照如图所示路线．在点A登陆后租借了自行车，骑车往东走8千米，又往北走2千米；遇到障碍后往西走3千米，再折向北走到6千米处往东拐，走了1千米到达景点B．登陆点A到景点B的直线距离是多少千米？20. 若正整数a，b，c（a<b<c）满足a2+b2=c2，则称（a，b，c）为一组“勾股数”．观察下列两类“勾股数”：第一类（a是奇数）：(3,4,5)，(5,12,13)，(7,24,25)，⋯⋯第二类（a是偶数）：(6,8,10)，(8,15,17)，(10,24,26)，⋯⋯(1) 请再写出两组勾股数，每类各写一组；(2) 分别就a为奇数、偶数两种情形，用a表示b和c，并选择其中一种情形证明(a,b,c)是“勾股数”．答案一、选择题1. D2. D3. C4. A5. B6. D7. B8. D二、填空题9. 26；12；1510. 1011. x2+62=(10−x)212. 1313. 直角三角形14. 4515. 20三、解答题16.(1) 15．(2) 9．17. ∵∠DBC=90∘，DC=17，BC=8，∴BD2=CD2−BC2=172−82=225=152，∴BD=15．∵AD2+AB2=122+92=144+81=225，BD 2=225， ∴AD 2+AB 2=BD 2，∴△ABD 是直角三角形，且 ∠A =90∘，∴ 四边形 ABCD 的面积 =△ABD 的面积 +∠CBD 的面积 =12×9×12+12×15×8=54+60=114．18. 依题意得 AB =DE =2.5 m ，BC =1.5 m ，∠C =90∘，∴AC 2+BC 2=AB 2，即 AC 2+1.52=2.52，解得 AC =2 m ． ∵BD =0.5 m ， ∴CD =2 m ．在 Rt △ECD 中，CE 2+CD 2=DE 2， ∴CE =1.5 m ， ∴AE =0.5 m ．答：顶端 A 下滑了 0.5 m ．19. 10 千米．20.(1) 第一组（a 是奇数）：9,40,41（答案不唯一）；第二组（a 是偶数）：12,35,37（答案不唯一）．(2) 当 a 为奇数时，b =a 2−12，c =a 2+12；当 a 为偶数时，b =a 24−1，c =a 24+1．证明：当 a 为奇数时，a 2+b 2=a 2+(a 2−12)2=(a 2+12)2=c 2，∴(a,b,c ) 是“勾股数”．当 a 为偶数时，a 2+b 2=a 2+(a 24−1)2=(a 24+1)2=c 2，∴(a,b,c ) 是“勾股数”．。

2023-2024学年八年级数学上册《第一章勾股定理的应用》同步练习题附带答案-北师大版学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1．梯子的底端离建筑物6米，10米长的梯子可以到达建筑物的高度是（）A．6米B．7米C．8米D．9米2．一个长方形抽屉长3cm，宽4cm，贴抽屉底面放一根木棒，那么这根木棒最长（不计木棒粗细）可以是（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm3．由于台风的影响，一棵树在离地面6m处折断，树顶落在离树干底部8m处，则这棵树在折断前（不包括树根）长度是（）A．8m B．10m C．16m D．18m4．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高丈，末折抵地，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？（）A．4尺B．4.55尺C．5尺D．5.55尺5．如图是我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积41，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长的直角边为b，那么（a+b）2的值为（）A．25 B．41 C．62 D．816．如图，斜坡BC的长度为4米．为了安全，决定降低坡度，将点C沿水平距离向外移动4米到点A，使得斜坡AB的长度为4√3米，则原来斜坡的水平距离CD的长度是（）米．A．2 B．4 C．2√3D．67．国庆假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照探宝图，他们从门口A处出发先往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再向北走到6km处往东拐，仅走了1km，就找到了宝藏，则门口A到藏宝点B的直线距离是（）A．20km B．14km C．11km D．10km8．如图，OP=1，过点P作PP1⊥OP且PP1=1，得OP1=√2；再过点P，作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=√3；又过点P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2…依此法继续作下去，得OP2021=（）A．√2023B．√2022C．√2021D．√2020二、填空题9．一轮船以16海里/时的速度从A港向东北方向航行，另一艘船同时以12海里/时的速度从A港向西北方向航行，经过1.5小时后，它们相距海里．10．如图是某路口处草坪的一角，当行走路线是A→C→B时，有人为了抄近道而避开路的拐角∠ACB(∠ACB=90°)，于是在草坪内走出了一条不该有的捷径路AB.某学习实践小组通过测量可知，AC的长约为6米，BC的长约为8米，为了提醒居民爱护草坪，他们想在A，B处设立“踏破青白可惜，多行数步无妨”的提示牌．则提示牌上的“多行数步”是指多行米．11．在平静的湖面上，有一朵荷花高出水面半尺，忽然一阵强风吹来把荷花垂直拉到水里且荷花恰好落在水面．花在水平方向上离开原来的位置2尺远，则这个湖的水深是尺．12．如图，一个长方体铁盒的长，宽，高分别是8 cm，6 cm，24 cm，-根长28 cm的木棒完全装进这个盒子里.（填“能”或“不能”）13．如图，山坡上，树甲从点A处折断，其树顶恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB＝4m，BC ＝10m，已知两棵树的水平距离为6m，则树甲原来高．三、解答题14．如图，小旭放风筝时，风筝挂在了树上，他先拉住风筝线，垂直于地面，发现风筝线多出1米；把风筝线沿直线BC向后拉5米，风筝线末端刚好接触地面，求风筝距离地面的高度AB.15．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，请你求出旗杆的高度（滑轮上方的部分忽略不计）．16．某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人如图（1）.如图（2），已知云梯最多只能伸长到15m（即AB=CD=15m），消防车高3m，救人时云梯伸长至最长，在完成从12m（即BE=12m）高的B处救人后，还要从15m（即DE=15m）高的D处救人，这时消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为多少米？（延长AC交DE于点O，AO⊥DE点B在DE上，OE的长即为消防车的高3m）17．如图，在笔直的公路AB旁有一座山，为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为15km，与公路上另一停靠站B的距离为20km，停靠站A、B之间的距离为25km，且CD⊥AB．（1）求修建的公路CD的长；（2）若公路CD修通后，一辆货车从C处经过D点到B处的路程是多少？18．台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A，B两点的距离分别为300km、400km，且∠ACB=90°，过点C作CE⊥AB于点E，以台风中心为圆心，半径为260km的圆形区域内为受影响区域，台风的速度为25km/h．（1）求监测点A与监测点B之间的距离；（2）请判断海港C是否会受此次台风的影响，若受影响，则台风影响该海港多长时间？若不受影响，请说明理由．参考答案1．C2．B3．C4．B5．D6．A7．D8．B9．3010．411．3.7512．不能13．(4+6√5)m14．解：设AB＝x米，则AC＝（x＋1）米由图可得，∠ABC＝90°，BC＝5米在Rt△ABC中AB2+BC2=AC2即x2+52=(x+1)2解得x＝12答：风筝距离地面的高度AB为12米.15．解：如图设旗杆高度为x米，则AC=AD=x(m)，AB=(x−2)(m)而BC=8m 在Rt△ABC中AB2+BC2=AC2，即(x−2)2+82=x2解得：x=17(m)即旗杆的高度为17m．16．解：在 Rt △ABO 中∵∠AOB =90° AB =15m ，OB =12−3=9 （m ） ∴AO =√AB 2−OB 2=√152−92=12 （m ）在 Rt △COD 中∵∠COD =90°，CD =15m ，OD =15−3=12 （m ） ∴OC =√CD 2−OD 2=√152−122=9 （m ）∴AC =OA −OC =3 （m ）答：消防车从原处向着火的楼房靠近的距离 AC 为 3m .17．（1）解：∵AC=15km ，BC=20km ，AB=25km152+202=252∴△ACB 是直角三角形，∠ACB=90°∵12AC ×BC=12AB ×CD∴CD=AC ×BC ÷AB=12（km ）．故修建的公路CD 的长是12km ；（2）解：在Rt △BDC 中，BD= √BC 2−CD 2=16（km ）一辆货车从C 处经过D 点到B 处的路程=CD+BD=12+16=28（km ）． 故一辆货车从C 处经过D 点到B 处的路程是28km ．18．（1）解：在RtΔABC 中，AC =300km ，BC =400km ∴AB =√AC 2+BC 2=√3002+4002=500（km ）答：监测点A 与监测点B 之间的距离为500km ；（2）解：海港C 受台风影响理由：∵∠ACB =90°，CE ⊥AB∴S ΔABC =12AC ⋅BC =12CE ⋅AB ∴300×400=500CE∴CE =240km∵以台风中心为圆心周围260km 以内为受影响区域∴海港C 会受到此次台风的影响以C 为圆心，260km 长为半径画弧，交AB 于D ，F则DE =EF =260km 时，正好影响C 港口在RtΔCDE 中∵ED =√CD 2−CE 2=√2602−2402=100（km ）∴DF =200km∵台风的速度为25千米/小时∴200÷25=8（小时）．答：台风影响该海港持续的时间为8小时．。

《勾股定理》零失误训练基础能力训练回归教材注重基础◆对勾股定理的认识1.一个三角形的三个内角度数之比为1：2：3，则此三角形是______三角形，若此三角形的三边为a、b、c(c为最长边)，则此三角形的三边关系是_______.2.两只小鼹鼠在地下挖洞，一只向前挖，每分钟挖8 cm，另一只向左挖，每分钟挖6 cm.10分钟后，两只小鼹鼠相距( )A.50 cmB.80 cmC.100 cmD.140 cm3.一个直角三角形，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是( )A.斜边长为25B.三角形的周长为25C.斜边长为5D.三角形面积为204.下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是( )A.1.5，2，3B.7，24，25C.6，8，10D.9，12，155.如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到该建筑物的高度是( )A.12米B.13米C.14米D.15米6.如图13.11—9所示，字母B所代表的正方形的面积是( )A.12B.13C.144D.1947.一直角三角形的斜边长比直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为( )A.4B.8C.10D.128.如图13.11—10所示，CD为Rt△ABC斜边AB上的高，若AB＝10，AC：BC＝3：4，则Rt△ABC的面积为( )A.6B.8C.12D.249.小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶上的绳子垂到地面还多1 m，当它把绳子的下端拉开5 m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为( )A.8 mB.10 mC.12 mD.14 m10.在Rt△ABC中，斜边AB＝2，则AB2+BC2+CA2＝______.11.下列如图13.11—11中所示的线段的长度或正方形的面积为多少?(注：下列各图中的三角形均为直角三角形)A＝________；y＝________；B＝________.12.要登上8 m高的建筑物，为了安全需要，需使梯子底端离建筑物6 m，至少需要多长的梯子?13.(2009·延安模拟)(1)如图13.11—12①是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式；(2)如图13.11—12②所示，Rt△ABC≌Rt△CDE，∠B＝∠D＝90°，且B，C，D三点共线.试证明∠ACE＝90°；(3)伽菲尔德(Garfield，1881年任美国第20届总统)利用(1)中的公式和图②证明了勾股定理(1876年4月1日，发表在《新英格教育日志》上)，现请你尝试证明过程.综合创新训练★登高望远课外拓展◆综合应用14.如图13.11—13所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7 cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为________cm2.15.如图13.11—14所示，A D⊥AB，BC⊥AB，AB＝20，AD＝8，BC＝12，E为AB上一点，且DE＝CE，求AE的长.◆生活应用16.如图13.11—15所示，从电线杆离地面6 m处向地面拉一条长10 m的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有多远.◆趣味应用17.在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A 处.另一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离以直线计算.如果两只猴子所经过的距离相等，求这棵树的高度.◆智力比拼18.观察下列表格：请你结合该表格及相关知识，求出b 、c 的值.即b ＝_______,c=_______.参考答案1答案：直角 a 2+b 2=c 22答案：C 解析：由勾股定理得，100608022=+(cm). 3答案：C 解析：由勾股定理得，斜边长为54322=+.4答案：A 解析：看较小的两个数的平方和是否等于较大数的平方. 5答案：A 解析：可到达建筑物的高度1251322=-=(米). 6答案：C7答案：C8答案：D 解析：由AB=10,AC ：BC=3：4，得出两直角边分别为6和8，进而求得面积为21×6×8＝24. 9答案：C 解析：设旗杆的高为x m ，则绳子的长为(x+1)m ，根据勾股定理得，(x+1)2=x 2+52，x=12.10答案：811答案：225 39 22512答案：解析：梯子的长108622=+=(m).13答案：解析：(1)这个公式为(a+b)2=a 2+2ab+b 2.(2)∵△ABC ≌△CDE ，∴∠BAC ＝∠DCE,∴∠ACB+∠DCE ＝∠ACB+∠BAC ＝90°. 由于B ，C ，D 共线，所以∠ACE ＝180°－(∠ACB+∠DCE)＝180°－90°=90°.(3)梯形ABDE 的面积为：2)(21))((21)(21b a b a b a BD ED AB +=++=∙+；另一方面，梯形ABDE 可分成三个直角三角形，其面积又可以表示成2212121c ab ab ++所以22212121)(21c ab ab b a ++=+，即a 2+b 2=c 2. 14答案：49 解析：如图所示，∵A+B ＝M ，C+D ＝N ，M+N ＝72. ∴A+B+C+D ＝72＝49.15答案：解析：由勾股定理得，AE 2+AD 2=EB 2+BC 2， ∴AE 2+82=(20－AE)2+122，解得，AE ＝12 ∴A+B+C+D ＝72＝49.16答案：解析：861022=-.即这条缆绳在地面的固定点离电线杆底部有8 m. 17答案：解析：设树高为x 米，由勾股定理可得，2220+=x AD .根据题意,得2010201022+=++-x x ，解得，x ＝15.即树高15米.18答案：84 85 解析：表中的规律是第一个数的平方所得到的数可以分为两个相邻的整数和.。

北师大版八年级上册语文：勾股定理经典
题目(含答案)
本文档包含了北师大版八年级上册语文教材中关于勾股定理的经典题目及其答案。

以下是一些例题：
例题1
已知直角三角形中的两个直角边分别为3 cm和4 cm，请计算斜边的长度。

答案：
根据勾股定理，斜边的长度可以通过以下公式计算：
斜边长度= √(3^2 + 4^2) = 5 cm
例题2
假设一个直角三角形的斜边长度为5 cm，其中一条直角边长度为3 cm，请计算另一条直角边的长度。

答案：
根据勾股定理，另一条直角边的长度可以通过以下公式计算：
直角边长度= √(5^2 - 3^2) = 4 cm
例题3
如果一个直角三角形的斜边长度为13 cm，其中一条直角边长
度为5 cm，请计算另一条直角边的长度。

答案：
根据勾股定理，另一条直角边的长度可以通过以下公式计算：
直角边长度= √(13^2 - 5^2) = 12 cm
以上是一些勾股定理的经典题目及其答案。

通过这些题目的练，学生可以加深对勾股定理的理解和应用能力。

请注意：本文档提供的答案仅供参考，具体解答还需根据实际
情况进行验证和思考。