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第1页 共26页 ◎ 第2页 共26页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：________班级：________考号：________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………绝密★启用前 河北省石家庄市2022年高三模拟演练注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ， ）1. 已知集合A ＝{x|1≤x <4}，集合B ＝{x|log 2x <1}，则A ∩B ＝（ ） A.（0.2] B.[−1，2] C.[0.2] D.（−1，2]2. 设复数z 满足|z −2i|=|z +1|，z 在复平面内对应的点为(x,y )，则( ) A.2x −4y −3=0 B.2x +4y −3=0 C.4x +2y −3=0 D.2x −4y +3=03. 已知a ∈(0,+∞)，则“a >1”是“a +1a >2”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4. 抛物线C:x 2=4ay 过点(−4,4)，则C 的准线方程为（ ） A.y =1 B.y =−1 C.x =1 D.x =−15. 将函数f (x )=sin (3x +π6)的图象上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），再将所得到的图象向右平移m （m >0）个单位长度，得到函数g (x )的图象．若g (x )为奇函数，则m 的最小值为( ) A.π18B.π9C.π6D.π36. 古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是√5−12（√5−12≈0.6，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是0.6．若某人满足上述两个黄金分割比例（用0.6代替），且腿长为100cm ，头顶至咽喉的长度为24cm ，则其身高可能是（ ） A.168cmB.171cmC.173cmD.178cm7. 已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1=n 1+√a n ∈N ∗)．记数列{a n }的前n 项和为S n ，则（ ）A.32<S 100<3B.3<S 100<4C.4<S 100<92D.92<S 100<58. 已知a ，b ∈R ，ab >0，函数f (x )=ax 2+b (x ∈R )．若f (s −t )，f (s )，f (s +t )成等比数列，则平面上点(s,t )的轨迹是（ ） A.直线和圆B.直线和椭圆C.直线和双曲线D.直线和抛物线二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ， ）9. 给出以下结论正确的序号为（ ）A.若向量a →=(−2, 3)，b →=(3, m)，且a →⊥b →，则m ＝2 B.|a →|＝4，|b →|＝8，a →与b →的夹角是120∘，则|a →+b →|＝4√3 C.已知向量a →=(1, √3)，b →=(√3, 1)，则a →与b →夹角的大小为π6 D.向量m →=(a, −2)，n →=(1, 1−a)，且m → // n →，则实数a ＝0．10. 下列四个解不等式，正确的有( )A.不等式2x 2−x −1>0的解集是(−∞, 1)∪(2, +∞)B.不等式−6x 2−x +2≤0的解集是{x|x ≤−23或x ≥12}C.若不等式ax 2+8ax +21<0的解集是{x|−7<x <−1}，那么a 的值是3D.关于x 的不等式x 2+px −2<0的解集是(q, 1)，则p +q 的值为−111. 已知实数a ，b 满足a >0，b >0，a ≠1，b ≠1，且x =a lgb ，y =b lga ，z =a lga ，w =b lgb ，则( ) A.存在实数a ，b ，使得x >y >z >w B.存在a ≠b ，使得x =y =z =w C.任意符合条件的实数a ，b 都有x =y D.x ，y ，z ，w 中至少有两个大于112. 有下列说法其中正确的说法为（ ） A.若a →∥b →，b →∥c →，则a →∥c →B.若2OA →+OB →+3OC →=0→，S △AOC ，S △ABC 分别表示△AOC ，△ABC 的面积，则S △AOC :S △ABC ＝1:6第3页 共26页 ◎ 第4页 共26页外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※※※内※※答※※题※※内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…C.两个非零向量a →，b →，若|a →−b →|=|a →|+|b →|，则a →与b →共线且反向 D.若a →∥b →，则存在唯一实数λ使得a →=λb →卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ， ）13. 已知函数f (x )={log 3(1−x ),x <11+3x−1,x ≥1,则f (−8)+f (log 315)=14. 已知sinθ+cosθ=√23，则cos （2θ+5π2）的值为________.15. 已知多项式(x −1)3+(x +1)4=x 4+a 1x 3+a 2x 2+a 3x +a 4，则a 1=________，a 2+a 3+a 4=________．16. 袋中有4个红球，m 个黄球，n 个绿球．现从中任取两个球，记取出的红球数为ξ，若取出的两个球都是红球的概率为16，一红一黄的概率为13，则m −n =________，E (ξ)=_________． 四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，共计70分 ， ）17.(10分) △ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，D 是AC 的中点．已知平面向量m →、n →满足m →=(sinA −sinB,sinB −sinC ),n →=(a +b,c )，m →⊥n →（1）求A ；（2）若BD =√3, b +2c =4√3，求△ABC 的面积．18.(12分) 已知数列{a n }满足a 1=154，a n+1=a n +1+√1+4a n ,n ∈N ∗.(1)设b n =√1+4a n ，n ∈N ∗，求证：数列{b n }为等差数列；(2)求证：1a 1+1a 2+⋯+1a n<34，n ∈N ∗.19.(12分) 在某医院，因为患心脏病而住院的600名男性病人中，有200人秃顶，而另外750名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有150人秃顶．(1)填写下列秃顶与患心脏病列联表：据表中数据估计秃顶病患中患心脏病的概率P 1和不秃顶病患中患心脏病的概率P 2，并用两个估计概率判断秃顶与患心脏病是否有关.(2)能够以99.9%的把握认为秃顶与患心脏病有关吗？请说明理由． 注：K 2=n (ad−bc )2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d ).20.(12分) 如图，两个直角梯形ABCD ，ACFE 所在的平面相互垂直，其中AD//BC,AE//CF,AB ⊥AD,AE ⊥AC,AE =BC =2AB =2AD =2.(1)求证：平面EBD ⊥平面CDF ；(2)若二面角E −BD −F 的余弦值为13，求直线FB 与平面ABCD 所成角的正切值．21.(12分) 已知抛物线F:x 2=2py (p >0)的准线l 被圆x 2+y 2=2所截得弦长为2.第5页 共26页 ◎ 第6页 共26页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：________班级：________考号：________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………(1)求抛物线Γ的方程；(2)设准线l 与y 轴的交点为M ，过M 的直线l 1,l 2与抛物线Γ分别交于点A ，B 和点C ，D ，直线AC ，BD 与准线l 分别交于E ，G 两点，求证：|ME|=|MG|.22.(12分) 已知f (x )=lnx +ax +1(a ∈R )，f ′(x )为f (x )的导函数． (1)若对任意x >0都有f (x )≤0，求a 的取值范围；(2)若0<x 1<x 2，证明：对任意常数a ，存在唯一的x 0∈(x 1,x 2)，使得f ′(x 0)=f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2成立．第7页共26页◎第8页共26页参考答案与试题解析2022年4月28日高中数学一、选择题（本题共计 8 小题，每题 5 分，共计40分）1.【答案】A【考点】交集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】略2.【答案】B【考点】复数的模复数的代数表示法及其几何意义【解析】本题考查复数的几何意义【解答】解：∵|z−2i|=|z+1|，∴x2+(y−2)2=(x+1)2+y2，解得2x+4y−3=0．故选B.3.【答案】A 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】此题暂无解析【解答】A4.【答案】B【考点】抛物线的标准方程【解析】此题暂无解析【解答】B5.【答案】D【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换正弦函数的图象奇偶性与单调性的综合【解析】此题暂无解析【解答】解：将函数f(x)=sin(3x+π6)的图象上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到y=sin(12x+π6)的图象，再将图象得到函数图象向右平移m(m>0)个单位长度，第9页 共26页 ◎ 第10页 共26页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：________班级：________考号：________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………可得g(x)=sin[12(x −m)+π6]=sin(12x +π6−m2)，因为g(x)是奇函数， 所以π6−m 2=kπ,k ∈Z ，解得m =π3−2kπ，k ∈Z . 因为m >0， 所以m 的最小值为π3.故选D . 6. 【答案】 B 【考点】黄金分割法—0.618法进行简单的合情推理 【解析】 此题暂无解析 【解答】 B 7. 【答案】 A 【考点】 数列的求和 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：因为数列{a n }满足a 1=1， a n+1=n 1+√a n ∈N ∗)，所以a n >0， 所以a 2=12，a 3=1−√22， S 100>a 1+a 2=32，0<a n+1<a n ≤1， 由a n+1=n 1+√a ，可得1a n+1=1a n√a =(√a 12)2−14，所以√a <√a 12，又0<a n+1<a n ≤1， 所以√a ≤1+n−12=n+12，当且仅当n =1时，等号成立．所以a n ≥(2n+1)2，即√a n ≥2n+1， 所以a n+1=n 1+√a ≤a n1+2n+1=n+1n+3a n ，所以a n+1a n≤n+1n+3，则a n+1a n ⋅a na n−1⋅a n−1a n−2⋅a n−2a n−3⋯a 3a 2⋅a 2a 1≤n+1n+3⋅nn+2⋅n−1n+1⋅ n−2n⋯35×24，即a n+1a 1≤3×2(n+3)(n+2)，所以a n ≤6(n+2)(n+1)=6(1n+1−1n+2)，所以S 100≤6(12−13+13−14+⋯+1100−1101+1101−1102) =6×(12−1102)<6×12=3. 故选A ． 8. 【答案】 C 【考点】 轨迹方程 等比数列的性质 双曲线的标准方程 【解析】此题暂无解析第11页共26页◎第12页共26页【解答】解：因为f(s−t)，f(s)，f(s+t)成等比数列，所以f(s−t)×f(s+t)=[f(s)]2，即[a(s−t)2+b]×[a(s+t)2+b]=(as2+b)2，对其进行整理变形：(as2+at2−2ast+b)(as2+at2+2ast+b)=(as2+b)2，(as2+at2+b)2−(2ast)2−(as2+b)2=0，(2as2+at2+2b)at2−4a2s2t2=0，−2a2s2t2+a2t4+2abt2=0，t2(at2+2b−2as2)=0，所以t=0或at2+2b−2as2=0，当t=0时，平面上点(s,t)的轨迹为直线；当at2+2b−2as2=0时，即s2ba −t22ba=1，平面上点(s,t)的轨迹为双曲线．综上所述，平面上点(s,t)的轨迹为直线和双曲线．故选C．二、多选题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）9.【答案】A,B,C【考点】命题的真假判断与应用【解析】直接利用向量的共线的充要条件的应用，向量垂直的充要条件的应用，向量的模的应用，向量的夹角公式的应用求出结果．【解答】①因为a⊥b，所以a⋅b＝−2×3+3m＝0，解得m＝2，故A正确；②因为|a+b|2＝a2+2a⋅b+b2＝16+2×(−16)+64＝48，所以|a+b|＝4√3．故B正确；③因为cos<a，b>=a⋅b|a||b|=1×√3+√3×12×2=√32，所以a与b夹角的大小为π6故C正确，④D显然不正确，10.【答案】B,C,D【考点】其他不等式的解法一元二次不等式的解法【解析】对A，B直接解一元二次不等式，对C，D根据一元二次不等式的与对应方程根的关系判断即可．【解答】解：A，∵2x2−x−1=(2x+1)(x−1)>0，解得x>1或x<−12，∴不等式的解集为(−∞,−12)∪(1, +∞)，故A错误；B，∵−6x2−x+2≤0，即6x2+x−2≥0，∴(2x−1)(3x+2)≥0，解得x≥12或x≤−23，故B正确；C，∵−7和−1为方程ax2+8ax+21=0的两个根，∴−7×(−1)=21a，解得a=3，故C正确；D，∵q，1是方程x2+px−2=0的两根，∴q+1=−p，即p+q=−1，故D正确．故选BCD.11.【答案】C,D【考点】指数式、对数式的综合比较指数式与对数式的互化【解析】这里既有指数，又有对数．要善于找到两者之间的关系．【解答】解：设lga=p，lgb=q，则有10p=a，10q=b，则x=a lgb=(10p)q=10pq，y=(10q)p=10pq，z=(10p)p=10p2，w=(10q)q=10q2，第13页 共26页 ◎ 第14页 共26页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：________班级：________考号：________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………所以任意符合条件的a ，b 都有x =y ，故C 正确，A 错误； 若a ≠b ，则p ≠q ，则x ≠z ，故B 错误； 因为a ≠1，b ≠1，所以p ≠0，q ≠0，所以p 2>0，q 2>0，故z >1，且w >1，故D 正确． 故选CD . 12. 【答案】 B,C 【考点】平面向量的基本定理向量的数量积判断向量的共线与垂直 向量的共线定理 【解析】b →=0→，a →，c →可以不共线，可判断A ；运用三角形的重心向量表示和性质，以及三角形的面积的求法，即可判断B ；由向量的模的性质，即可判断C ；由向量共线定理，即可判断D ． 【解答】A ，若a → // b →，b → // c →，则a → // c →不成立，比如b →=0→，a →，c →可以不共线； B ，若2OA →+OB →+3OC →=0→，延长OA 到A ′， 使得OA ′＝2OA ，延长OC 到C ′，使得OC ′＝3OC ， 可得O 为三角形BA ′C ′的重心，可设△AOC 、△BOC 、△COA 的面积分别为x ，y ，z ，则△A ′OB 的面积为2y ，△C ′OB 的面积为3z ，△A ′OC ′的面积为6x ，由三角形的重心的性质可得2y ＝3z ＝6x ，则S △AOC :S △ABC ＝x ：(x +y +z)＝1:6，正确； C ，两个非零向量a →，b →，若|a →−b →|＝|a →|+|b →|，则a →与b →共线且反向，正确；D ，若a → // b →，则存在唯一实数λ使得a →=λb →，不正确，比如a →≠0→，b →=0→，不存在实数λ． 三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ） 13. 【答案】 8 【考点】函数的求值 分段函数的应用 对数的运算性质 【解析】 此题暂无解析 【解答】 8 14. 【答案】 79 【考点】 三角函数值的符号二倍角的正弦公式 同角三角函数间的基本关系 【解析】 此题暂无解析 【解答】 79 15. 【答案】 5,10 【考点】 二项式定理的应用 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(x −1)3=x 3−3x 2+3x −1， (x +1)4=x 4+4x 3+6x 2+4x +1， 所以a 1=1+4=5，a 2=−3+6=3，第15页 共26页 ◎ 第16页 共26页a 3=3+4=7，a 4=−1+1=0， 所以a 2+a 3+a 4=3+7+0=10． 故答案为：5；10． 16. 【答案】1,89 【考点】古典概型及其概率计算公式 离散型随机变量的期望与方差 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：因为取出的两个球都是红球的概率为16， 所以C 42C 4+m+n2=16，则(m +n +4)(m +n +3)=72， 解得m +n =5，又因为一红一黄的概率为13， 所以C 41⋅C m 1C 4+m+n2=13，解得m =3， 则n =5−3=2， 所以m −n =3−2=1，所以袋中有4个红球，3个黄球，2个绿球． 则P (ξ=0)=C 52C 92=518，P (ξ=1)=C 41⋅C 51C 92=59，P(ξ=2)=C 42C 92=16，分布列为： 所以E (ξ)=0×518+1×59+2×16=89．故答案为：1；89．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，共计70分 ） 17.【答案】解：（1）∵ m →=(sinA −sinB,sinB −sinC ) ，n →=(a +b,c ),m →⊥n →∴ (sinA −sinB )(a +b )+(sinB −sinC )c =0∴ (a −b )(a +b )+(b −c )c =0，即b 2+c 2−a 2=bc ∴ cosA =b 2+c 2−a 22bc =12∵ 0<A <π，∴ A =π3（2）在△ABD 中，由BD =√3， A =π3和余弦定理，得BD 2=3=AB 2+AD 2−2AB ⋅ADcosA =AB 2+AD 2−AB ⋅AD ． ∵ D 是AC 的中点，∴ AD =b2∴ c 2+(b 2)2−c ×b2=3，化简得4c 2+b 2−2bc =12，即(b +2c )2−6bc =12 ∵ b +2c =4√3，∴ (4√3)2−6bc =12，解得bc =6． ∴ S △ABC =12bcsinA =12bcsin π3=√3bc4=3√32∴ △ABC 的面积为3√32． 【考点】 余弦定理 正弦定理数量积判断两个平面向量的垂直关系 平面向量数量积坐标表示的应用 【解析】 此题暂无解析【解答】第17页 共26页 ◎ 第18页 共26页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：________班级：________考号：________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………解：（1）∵ m →=(sinA −sinB,sinB −sinC ) ，n →=(a +b,c ),m →⊥n →∴ (sinA −sinB )(a +b )+(sinB −sinC )c =0∴ (a −b )(a +b )+(b −c )c =0，即b 2+c 2−a 2=bc ∴ cosA =b 2+c 2−a 22bc=12∵ 0<A <π，∴ A =π3（2）在△ABD 中，由BD =√3， A =π3和余弦定理，得BD 2=3=AB 2+AD 2−2AB ⋅ADcosA =AB 2+AD 2−AB ⋅AD ． ∵ D 是AC 的中点，∴ AD =b2∴ c 2+(b 2)2−c ×b2=3，化简得4c 2+b 2−2bc =12，即(b +2c )2−6bc =12∵ b +2c =4√3，∴ (4√3)2−6bc =12，解得bc =6． ∴ S △ABC =12bcsinA =12bcsin π3=√3bc4=3√32∴ △ABC 的面积为3√32．18.【答案】证明：(1)因为b n =√1+4a n ，所以a n =14(b n 2−1)， 因此14(b n+12−1)=14(b n2−1)+1+b n ，即b n+12=b n2+4b n +4，于是b n+12=(b n +2)2，注意到b n >0, b n+1>0，则b n+1=b n +2，即b n+1−b n =2， 所以数列{b n }是公差为2的等差数列．(2)因为b 1=√1+4a 1=4，且数列{b n }是公差为2的等差数列， 所以b n =4+2(n −1)=2n +2，因此√1+4a n =2n +2，即a n =n 2+2n +34>n 2+2n =n (n +2)， 于是1a 1+1a 2+⋯+1a n<11×3+12×4+⋯+1n (n+2)=12(1−13+12−14+⋯+1n −1n +2) =12(1+12−1n+1−1n+2)<12(1+12)=34. 【考点】数列递推式 等差数列 数列的求和 【解析】此题暂无解析 【解答】证明：(1)因为b n =√1+4a n ，所以a n =14(b n 2−1)， 因此14(b n+12−1)=14(b n 2−1)+1+b n ，即b n+12=b n 2+4b n +4，于是b n+12=(b n +2)2，注意到b n >0, b n+1>0，则b n+1=b n +2，即b n+1−b n =2， 所以数列{b n }是公差为2的等差数列．(2)因为b 1=√1+4a 1=4，且数列{b n }是公差为2的等差数列， 所以b n =4+2(n −1)=2n +2，因此√1+4a n =2n +2，即a n =n 2+2n +34>n 2+2n =n (n +2)，于是1a 1+1a 2+⋯+1a n<11×3+12×4+⋯+1n (n+2)=12(1−13+12−14+⋯+1n −1n +2) =12(1+12−1n+1−1n+2)<12(1+12)=34. 19. 【答案】 解：(1)P 1≈200350=47, P 2≈4001000=25,由于P 1远大于P 2，所以判断秃顶与患心脏病有关． (2)由题可知K 2的观测值k =1350×(200×600−150×400)2350×1000×600×750=2167≈30.86>10.828，所以能够以99.9%的把握认为秃顶与患心脏病有关． 【考点】第19页 共26页 ◎ 第20页 共26页装…………○…………订…………○…………线…………○…※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※装…………○…………订…………○…………线…………○…离散型随机变量及其分布列 独立性检验 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：(1)P 1≈200350=47, P 2≈4001000=25,由于P 1远大于P 2，所以判断秃顶与患心脏病有关． (2)由题可知K 2的观测值 k =1350×(200×600−150×400)2350×1000×600×750=2167≈30.86>10.828，所以能够以99.9%的把握认为秃顶与患心脏病有关． 20. 【答案】解：（1）∵ 平面ABCD ⊥平面ACFE ，平面ABCD ∩平面ACFE =AC,AE ⊥AC ，∴ AE ⊥平面ABCD ， ∵ AE//CF ，∴ CF ⊥平面ABCD ， ∵ BD ⊂平面ABCD ，∴ CF ⊥BD ，在Rt △BAD 中，AB =AD =1,BD =√AB 2+AD 2=√2 在△BDC 中，由余弦定理得CD =√BD 2+BC 2−2BD ⋅BCcos∠DBC =√2+4−2×2×√2×√22=√2，∵ BD 2+DC 2=BC 2，∴ BD ⊥CD ， 又∵ FC ∩CD =C ，∴ BD ⊥平面CDF ， 又BD ⊂平面EBD ，∴ 平面EBD ⊥平面CDF ．(2)如图，以A 为原点，分别以AB →，AD →，AE →的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,1,0)，E(0,0,2)，设CF =ℎ(ℎ>0)，则F (1,2,ℎ)． 设m →=(x,y,z )为平面BDF 的法向量，则{BD →⋅m →=0BF →⋅m →=0即{−x +y =02y +ℎz =0不妨令y =1，可得m →=(1,1,−2ℎ)．同理可得平面BDE 的一个法向量为n →=(2,2,1)， 由题意，有 |cos(m →,n →⟩|=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=13 ，解得ℎ=87．∴ CF =87，∵ CF ⊥平面ABCD ，∴ ∠FBC 为直线FB 与平面ABCD 所成角， ∴ tan∠FBC =CFBC =47． 【考点】平面与平面垂直的判定直线与平面所成的角 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：（1）∵ 平面ABCD ⊥平面ACFE ，平面ABCD ∩平面ACFE =AC,AE ⊥AC ，∴ AE ⊥平面ABCD ， ∵ AE//CF ，∴ CF ⊥平面ABCD ， ∵ BD ⊂平面ABCD ，∴ CF ⊥BD ，在Rt △BAD 中，AB =AD =1,BD =√AB 2+AD 2=√2 在△BDC 中，由余弦定理得第21页 共26页 ◎ 第22页 共26页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：________班级：________考号：________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………CD =√BD 2+BC 2−2BD ⋅BCcos∠DBC =√2+4−2×2×√2×√22=√2，∵ BD 2+DC 2=BC 2，∴ BD ⊥CD ， 又∵ FC ∩CD =C ，∴ BD ⊥平面CDF ， 又BD ⊂平面EBD ，∴ 平面EBD ⊥平面CDF ．(2)如图，以A 为原点，分别以AB →，AD →，AE →的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,1,0)，E(0,0,2)， 设CF =ℎ(ℎ>0)，则F (1,2,ℎ)． 设m →=(x,y,z )为平面BDF 的法向量， 则{BD →⋅m →=0BF →⋅m →=0 即{−x +y =02y +ℎz =0不妨令y =1，可得m →=(1,1,−2ℎ)．同理可得平面BDE 的一个法向量为n →=(2,2,1)， 由题意，有 |cos(m →,n →⟩|=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=13，解得ℎ=87．∴ CF =87，∵ CF ⊥平面ABCD ，∴ ∠FBC 为直线FB 与平面ABCD 所成角， ∴ tan∠FBC =CFBC =47． 21. 【答案】解：（1）抛物线Γ：x 2=2py (p >0)的准线l 的方程为y =−p2， ∵ 准线l 被圆x 2+y 2=2所截得弦长为2，∴ 圆心(0,0)到准线l 的距离d =p2,(p 2)2+12=(√2)2， 解得 p =2，故抛物线Γ的方程为 x 2=4y ．(2)准线l 与y 轴的交点为M (0,−1)，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),C (x 3,y 3),D (x 4,y 4),E (s,−1),G (t,−1) ．则{x 12=4y 1①x 22=4y 2②，②{x 32=4y 3③x 42=4y 4④， 设直线l 1:y =k 1x −1,l 2:y =k 2x −1,k 1k 2≠0联立l 1和抛物线Γ的方程{y =k 1x −1x 2=4y,’消去y 得x 2−4k 1x +4=0则x 1+x 2=4k 1,x 1x 2=4， 同理x 3+x 4=4k 2,x 3=4．∵ A ，C ，E 三点共线，∴ EA →//EC →,(x 1−s )(y 3+1)=(x 3−s )(y 1+1)， 得x 1y 3−x 3y 1+x 1−x 3=s (y 3−y 1) 将①③代入，x 1x 324−x 3x 124+x 1−x 3=s (x 324−x 124)，化简得s =x 1x 3−4x 1+x 3．同理t =x 2x 4−4x 2+x 4.∵ s +t =x 1x 3−4x 1+x 3+x 2x 4−4x 2+x 4=(x 1x 3−4)(x 2+x 4)+(x 2x 4−4)(x 1+x 3)(x 1+x 3)(x 2+x 4)=x 1x 2(x 3+x 4)+x 3x 4(x 1+x 2)−4(x 1+x 2+x 3+x 4)(x 1+x 3)(x 2+x 4)=0．∴ |ME|=|MG|．【考点】 抛物线的标准方程圆锥曲线的综合问题 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：（1）抛物线Γ：x 2=2py (p >0)的准线l 的方程为y =−p2，∵ 准线l 被圆x 2+y 2=2所截得弦长为2，∴ 圆心(0,0)到准线l 的距离d =p2,(p 2)2+12=(√2)2， 解得 p =2，故抛物线Γ的方程为 x 2=4y ． (2)准线l 与y 轴的交点为M (0,−1)，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),C (x 3,y 3),D (x 4,y 4),E (s,−1),G (t,−1) ．第23页 共26页 ◎ 第24页 共26页则{x 12=4y 1①x 22=4y 2②，②{x 32=4y 3③x 42=4y 4④， 设直线l 1:y =k 1x −1,l 2:y =k 2x −1,k 1k 2≠0联立l 1和抛物线Γ的方程{y =k 1x −1x 2=4y,’消去y 得x 2−4k 1x +4=0则x 1+x 2=4k 1,x 1x 2=4， 同理x 3+x 4=4k 2,x 3=4．∵ A ，C ，E 三点共线，∴ EA →//EC →,(x 1−s )(y 3+1)=(x 3−s )(y 1+1)， 得x 1y 3−x 3y 1+x 1−x 3=s (y 3−y 1) 将①③代入，x 1x 324−x 3x 124+x 1−x 3=s (x 324−x 124)，化简得s =x 1x 3−4x 1+x 3．同理t =x 2x 4−4x 2+x 4.∵ s +t =x 1x 3−4x 1+x 3+x 2x 4−4x 2+x 4=(x 1x 3−4)(x 2+x 4)+(x 2x 4−4)(x 1+x 3)(x 1+x 3)(x 2+x 4)=x 1x 2(x 3+x 4)+x 3x 4(x 1+x 2)−4(x 1+x 2+x 3+x 4)(x 1+x 3)(x 2+x 4)=0．∴ |ME|=|MG|． 22. 【答案】(1)解：因为f ′(x )=1x +a =ax+1x(x >0)，所以，当a ≥0时，f (1)=a +1>0不符合题意． 当a <0时，令f ′(x )<0，得x >−1a；令f ′(x )>0，得0<x <−1a ，所以f (x )在区间(0,−1a )上单调递增，在区间(−1a ,+∞)上单调递减，由题得f (−1a )=ln (−1a )≤0，解得a ≤−1． 所以a ≤−1， 综上所述a ≤−1． (2)证明：设g (x )=f ′(x )−f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2，问题转化为g (x )在区间(x 1,x 2)上有唯一的零点，由g (x )=f ′(x )−f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2=1x +a −lnx 1+ax 1−lnx 2−ax 2x 1−x 2，易知g (x )在区间(x 1,x 2)上单调递减，故函数g (x )在区间(x 1,x 2)上至多有1个零点， 由g (x 1)=f ′(x 1)−f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2=1x 1+a −lnx 1+ax 1−lnx 2−ax 2x 1−x 2=1x 1−lnx 1−lnx 2x 1−x 2=1x 1−x 2(1−x 2x 1+ln x 2x 1) 同理，得g (x 2)=1x 1−x 2(x 1x 2−1+ln x2x 1)，由（1）知，当a =−1时， lnx −x +1≤0，当且仅当x =1时取等号， 因为0<x 1<x 2，所以x 2x 1>1，所以ln x 2x 1−x2x 1+1<0，又因为x 1−x 2<0，即1x 1−x 2<0，所以g (x 1)>0，因为0<x 1<x 2，所以0<x1x 2<1，所以ln x 1x 2−x 1x 2+1<0，即ln x 2x 1+x1x 2−1>0，又因为x 1−x 2<0，即1x1−x 2<0，所以g (x 2)<0，由函数零点存在定理知g (x )在区间(x 1,x 2)上有唯一的零点，即存在唯一的x 0∈(x 1,x 2)，使得f ′(x 0)=f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2成立．【考点】利用导数研究函数的单调性 利用导数研究不等式恒成立问题 【解析】此题暂无解析 【解答】(1)解：因为f ′(x )=1x +a =ax+1x(x >0)，所以，当a ≥0时，f (1)=a +1>0不符合题意． 当a <0时，令f ′(x )<0，得x >−1a ；令f ′(x )>0，得0<x <−1a ，所以f (x )在区间(0,−1a )上单调递增，在区间(−1a ,+∞)上单调递减，由题得f (−1a )=ln (−1a )≤0，解得a ≤−1． 所以a ≤−1， 综上所述a ≤−1． (2)证明：设g (x )=f ′(x )−f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2，问题转化为g (x )在区间(x 1,x 2)上有唯一的零点，由g (x )=f ′(x )−f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2=1x +a −lnx 1+ax 1−lnx 2−ax 2x 1−x 2，第25页 共26页 ◎ 第26页 共26页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：________班级：________考号：________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………易知g (x )在区间(x 1,x 2)上单调递减，故函数g (x )在区间(x 1,x 2)上至多有1个零点， 由g (x 1)=f ′(x 1)−f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2=1x 1+a −lnx 1+ax 1−lnx 2−ax 2x 1−x 2=1x 1−lnx 1−lnx 2x 1−x 2=1x 1−x 2(1−x 2x 1+ln x 2x 1) 同理，得g (x 2)=1x 1−x 2(x 1x 2−1+ln x2x 1)，由（1）知，当a =−1时， lnx −x +1≤0，当且仅当x =1时取等号， 因为0<x 1<x 2，所以x2x 1>1，所以lnx 2x 1−x 2x 1+1<0，又因为x 1−x 2<0，即1x 1−x 2<0，所以g (x 1)>0， 因为0<x 1<x 2，所以0<x 1x 2<1， 所以lnx 1x 2−x 1x 2+1<0，即lnx 2x 1+x 1x 2−1>0，又因为x 1−x 2<0，即1x1−x 2<0，所以g (x 2)<0，由函数零点存在定理知g (x )在区间(x 1,x 2)上有唯一的零点，即存在唯一的x 0∈(x 1,x 2)，使得f ′(x 0)=f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2成立．第27页共2页◎第28页共2页。
高考模拟数学试卷（时间：120分钟 满分：150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.满足{2}⊆M ⊆{1,2,3}的集合M 有 ( ) A ． 2个 B ． 3个 C ． 4个 D ． 5个2．若{}{}2|22,|log (1)M x x N x y x =-≤≤==-，则M N I = （ ） A ．{}|20x x -≤< B ．{}|10x x -<< C ．{}2,0-D ．{}|12x x <≤3．若函数y ＝f （x ）的定义域是[0，2]，则函数g （x ）＝f2xx －1的定义域是（ ）． A ．[0，1]B ．[0，1）C ．[0，1）∪（1，4]D ．（0，1）4．三个数a ＝0.32，2log 0.3b =，c ＝20.3之间的大小关系是 （ ）． A ．a ＜c ＜b B ．a ＜b ＜c C ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a5．已知函数f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ，则下列说法中正确的是 ( ) ①f(x)的定义域为(0，＋∞)；②f(x)的值域为[1，＋∞)； ③f(x)是奇函数；④f(x)在(0,1)上单调递增．A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④6.定义在R 上的偶函数f(x)满足：对任意的x 1，x 2∈(－∞，0](x 1≠x 2)，有(x 2－x 1)·[f(x 2)－f(x 1)]＞0，则当n∈N *时，有 ( )A ．f(－n)＜f(n －1)＜f(n ＋1)B ．f(n －1)＜f(－n)＜f(n ＋1)C ．f(n ＋1)＜f(－n)＜f(n －1)D ．f(n ＋1)＜f(n －1)＜f(－n) 7．下列说法错误的是 （ ） A ．命题“若x 2— 3x+2＝0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x 2—3x+2≠0” B ．“x＞1”，是“|x|>1”的充分不必要条件 C ．若p ∧q 为假命题，则p 、q 均为假命题D ．若命题p ：“∃x∈R，使得x 2+x+1＜0”,则⌝p ：“∀x∈R，均有x 2+x+1≥0”8．设集合A={x|1≤x ≤2},B={x|x ≥a }.若A ⊆B 则a 的范围是( )A. a <1B. a ≤1C. a <2D. a ≤29. U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A∩B ＝∅”的 ( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10． 已知命题p ：若x ＞y ，则－x ＜－y ，命题q ：若x ＞y ，则x 2＞y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(⌝ q)；④(⌝p )∨q 中，真命题是( ) A ．①③ B ．①④ C ．②④ D ．②③11. 已知)(),(x g x f 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且1)()(23++=-x x x g x f ，则=+)1()1(g f （ ）A.3-B.1-C.1D.3 12．设定义域为R 的函数2lg (>0)()-2(0)x x f x x x x ⎧=⎨-≤⎩ 则关于x 的函数1)(3-)(2y 2+=x f x f 的零点的个数为（ ）A ．3B ．7C ．5D ．6二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．集合A ＝{0，2，a}，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0，1，2，4，16}，则a 的值为________ 14．已知f(x)是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R 都有f(x ＋6)＝f(x)＋2f(3)，且f(－2)＝2，则f(2 012)＝________.15．函数()f x 对一切实数x 都满足11()()22f x f x +=-，并且方程()0f x =有三个实根，则这三个实根的和为 。
2024学年河北省正定县一中高三数学第一学期期末调研模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（ ） A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离2．公比为2的等比数列{}n a 中存在两项m a ，n a ，满足2132m n a a a =，则14m n+的最小值为（ ） A ．97B ．53C ．43D ．13103．已知111M dx x =+⎰，20cos N xdx π=⎰，由程序框图输出的S 为（ ）A ．1B ．0C ．2πD ．ln 24．在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 、Q 分别为AB 、AD 的中点，过点D 作平面α使1//B P 平面α，1//A Q 平面α若直线11B D ⋂平面M α=，则11MD MB 的值为（ ） A ．14B ．13 C ．12D ．235．已知函数()1xf x xe-=，若对于任意的0(0,]x e ∈，函数()20()ln 1g x x x ax f x =-+-+在(0,]e 内都有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(1,]eB ．2(,]e e e-C ．22(,]e e e e -+ D ．2(1,]e e- 6．已知非零向量,a b 满足a b λ=，若,a b 夹角的余弦值为1930，且()()23a b a b -⊥+，则实数λ的值为（ ）A ．49-B ．23C ．32或49-D ．327．已知函数f (x )＝223,1ln ,1x x x x x ⎧--+≤⎨>⎩,若关于x 的方程f (x )＝kx －12恰有4个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是( ) A ．1,e 2⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,2e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1,2e e ⎛⎤ ⎥ ⎝⎦D ．1,2e e ⎛⎫⎪⎝⎭8．中国的国旗和国徽上都有五角星，正五角星与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以A 、B 、C 、D 、E 为顶点的多边形为正五边形，且512PT AP -=，则512AT ES --=（ ）A 51+ B 51+ C 51RD - D 51RC - 9．已知函数()xf x e b =+的一条切线为(1)y a x =+，则ab 的最小值为（ ） A ．12e-B ．14e-C ．1e-D ．2e-10．已知集合U =R ，{}0A y y =≥，{}1B y y x ==，则UAB =( )A ．[)0,1B ．()0,∞+C ．()1,+∞D ．[)1,+∞ 11．设双曲线22221x y a b-=（a>0,b>0）的右焦点为F ，右顶点为A,过F 作AF 的垂线与双曲线交于B,C 两点，过B,C分别作AC ，AB 的垂线交于点D ．若D 到直线BC 的距离小于22a a b + （ ）A ．(1,0)(0,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞ C．((0,2) D．(,(2,)-∞+∞12．中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆22(2)1x y -+=都相切，则双曲线C 的离心率是（ ） A ．2B ．2CD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
正定县高中2018-2019学年上学期高三数学期末模拟试卷含答案班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 已知x ，y 满足约束条件，使z=ax+y 取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为（）A ．﹣3B ．3C ．﹣1D ．12． 设偶函数f （x ）满足f （x ）=2x ﹣4（x ≥0），则{x|f （x ﹣2）＜0}=（）A ．{x|x ＜﹣2或x ＞4}B ．{x|x ＜0或x ＞4}C ．{x|x ＜0或x ＞6}D ．{x|0＜x ＜4}3． 如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是AA 1，AD 的中点，则CD 1与EF 所成角为（）A ．0°B ．45°C ．60°D ．90°4． 下列判断正确的是（）A ．①不是棱柱B ．②是圆台C ．③是棱锥D ．④是棱台5． 已知，则方程的根的个数是（ ）22(0)()|log |(0)x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩[()]2f f x = A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个6． 设M={x|﹣2≤x ≤2}，N={y|0≤y ≤2}，函数f （x ）的定义域为M ，值域为N ，则f （x ）的图象可以是（）A ．B ．C ．D ．7． 已知变量满足约束条件，则的取值范围是（ ）,x y 20170x y x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩y x A ． B ． C ． D ．9[,6]59(,][6,)5-∞+∞ (,3][6,)-∞+∞ [3,6]8． 若集合M={y|y=2x ，x ≤1}，N={x|≤0}，则 N ∩M （）A ．（1﹣1，]B ．（0，1]C ．[﹣1，1]D ．（﹣1，2] 9． 一个几何体的三个视图如下，每个小格表示一个单位, 则该几何体的侧面积为（）A. B. C. D. 4π5π2π+【命题意图】本题考查空间几何体的三视图，几何体的侧面积等基础知识，意在考查学生空间想象能力和计算能力．10．下列函数中，与函数的奇偶性、单调性相同的是（）()3x xe ef x --=A ．B ．C ．D ．(ln y x =2y x =tan y x =xy e=11．直角梯形中,,直线截该梯形所得位于左边图OABC ,1,2AB OC AB OC BC ===A :l x t =形面积为，则函数的图像大致为（）()S f t =12．已知函数，若存在常数使得方程有两个不等的实根211,[0,22()13,[,1]2x x f x x x ⎧+∈⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩()f x t =12,x x （），那么的取值范围为（ ）12x x <12()x f x ∙A ．B ．C ．D ．3[,1)41[831[,)1623[,3)8二、填空题13．【泰州中学2018届高三10月月考】设二次函数（为常数）的导函数为()2f x ax bx c =++,,a b c ，对任意，不等式恒成立，则的最大值为__________．()f x 'x R ∈()()f x f x ≥'222b a c+14．如图所示是y=f （x ）的导函数的图象，有下列四个命题：①f （x ）在（﹣3，1）上是增函数；②x=﹣1是f （x ）的极小值点；③f （x ）在（2，4）上是减函数，在（﹣1，2）上是增函数；④x=2是f （x ）的极小值点．其中真命题为 （填写所有真命题的序号）．15．已知z ，ω为复数，i 为虚数单位，（1+3i ）z 为纯虚数，ω=，且|ω|=5，则复数ω= ．16．已知实数，满足，目标函数的最大值为4，则______．x y 2330220y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩3z x y a =++a =【命题意图】本题考查线性规划问题，意在考查作图与识图能力、逻辑思维能力、运算求解能力．17．已知直线：（）被圆：所截的弦长是圆心到直线的043=++m y x 0>m C 062222=--++y x y x C 距离的2倍，则 .=m 18．设全集______.三、解答题19．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5}，B={1，3，5，7}．（1）求A ∪B ；（2）求（∁U A ）∩B ；（3）求∁U （A ∩B ）． 20．在直角坐标系中，已知圆C 的圆心坐标为（2，0），半径为，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．，直线l 的参数方程为：（t 为参数）．（1）求圆C 和直线l 的极坐标方程；（2）点P 的极坐标为（1，），直线l 与圆C 相交于A ，B ，求|PA|+|PB|的值．21．（本小题满分12分）一个盒子里装有编号为1、2、3、4、5的五个大小相同的小球，第一次从盒子里随机抽取2个小球，记下球的编号，并将小球放回盒子，第二次再从盒子里随机抽取2个小球，记下球的编号．（Ⅰ）求第一次或第二次取到3号球的概率；（Ⅱ）设为两次取球时取到相同编号的小球的个数，求的分布列与数学期望．ξξ22．已知函数f （x ）=（Ⅰ）求函数f （x ）单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足（2a ﹣c ）cosB=bcosC ，求f （A ）的取值范围． 23．（本小题满分12分）求下列函数的定义域：（1）；()f x =（2）()f x =24．已知p：x∈A={x|x2﹣2x﹣3≤0，x∈R}，q：x∈B={x|x2﹣2mx+m2﹣4≤0，x∈R，m∈R}（1）若A∩B=[0，3]，求实数m的值；（2）若p是￢q的充分条件，求实数m的取值范围．正定县高中2018-2019学年上学期高三数学期末模拟试卷含答案（参考答案）一、选择题1．【答案】D【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=ax+y，得y=﹣ax+z，若a=0，此时y=z，此时函数y=z只在B处取得最小值，不满足条件．若a＞0，则目标函数的斜率k=﹣a＜0．平移直线y=﹣ax+z，由图象可知当直线y=﹣ax+z和直线x+y=1平行时，此时目标函数取得最小值时最优解有无数多个，此时﹣a=﹣1，即a=1．若a＜0，则目标函数的斜率k=﹣a＞0．平移直线y=﹣ax+z，由图象可知当直线y=﹣ax+z，此时目标函数只在C处取得最小值，不满足条件．综上a=1．故选：D．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决此类问题的基本方法，利用z的几何意义是解决本题的关键．注意要对a进行分类讨论．2．【答案】D【解析】解：∵偶函数f（x）=2x﹣4（x≥0），故它的图象关于y轴对称，且图象经过点（﹣2，0）、（0，﹣3），（2，0），故f（x﹣2）的图象是把f（x）的图象向右平移2个单位得到的，故f（x﹣2）的图象经过点（0，0）、（2，﹣3），（4，0），则由f（x﹣2）＜0，可得0＜x＜4，故选：D．【点评】本题主要考查指数不等式的解法，函数的图象的平移规律，属于中档题．3．【答案】C【解析】解：连结A1D、BD、A1B，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是AA1，AD的中点，∴EF∥A1D，∵A1B∥D1C，∴∠DA1B是CD1与EF所成角，∵A1D=A1B=BD，∴∠DA1B=60°．∴CD1与EF所成角为60°．故选：C．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养． 4．【答案】C【解析】解：①是底面为梯形的棱柱；②的两个底面不平行，不是圆台；③是四棱锥；④不是由棱锥截来的，故选：C ． 5． 【答案】C【解析】由，设f （A ）=2,则f （x ）=A,则，则A=4或A=，作出f （x ）的图像，由[()]2f f x =2log 2x =14数型结合，当A=时3个根，A=4时有两个交点，所以的根的个数是5个。
高三年级第一学期第六次月考数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）１.已知集合12{|||1},{|log 0},M x x N x x =<=>则M N I 为（A ）(1,1)- （B ）(0,1) （C ）1(0,)2 （D ）∅ 2.在复平面内与复数21iz i =+所对应的点关于实轴对称的点为A ，则A 对应的复数为（A ）1i + （B ）1i - （C ）1i -- （D ）1i -+ 3.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足0,1n a q >>，且352620,64a a a a +==，则5S =（A ）31 （B ）36 (C)42 (D)484.函数1()22x f x e x =+-的零点所在的区间是(A)1(0,)2 (B)1(,1)2 (C)(1,2) (D)(2,3) 5.已知命题p :函数21()sin 2f x x =-的最小正周期为π；命题q ：若函数)1(+x f 为偶函数，则)(x f 关于1=x 对称.则下列命题是真命题的是 (A)q p ∧(B)q p ∨(C)()()p q ⌝∧⌝ (D)()p q ∨⌝一次实验：向下图所示的正方形中随机撒一大把豆子，经查数，落在正方形中的豆子的总数为N 粒，其中)(N m m ＜粒豆子落在该正方形的内切圆内，以此估计圆周率π为(A)N m (B)N m 2 (C)N m 3 (D)N m47.已知曲线()sin 3cos (0)f x x x ωωω=+＞的两条相邻的对称轴之间的距离为2π，且曲线关于点)0,(0x 成中心对称，若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,00πx ，则=0x(A)12π(B)6π (C)3π (D)125π8.已知F 是双曲线22221x y a b -=的右焦点,点,A B 分别在其两条渐近线上，且满足2BF FA =u u u r u u u r ，0OA AB ⋅=u u ur u u u r （O 为坐标原点），则该双曲线的离心率为（A 233 （B ） 2 （C ）3 （D ）51-9.执行如图所示的程序框图，则输出结果S 的值为（A ）12 （B ）0 （C ）32-（D ）1-已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-20062x y x y x ，若目标函数y mx z +-=的最大值为102+-m ，最小值为22--m ，则实数m 的取值范围是 (A)[]2,1- (B)[]1,2- (C)[]3,2 (D)[]3,1-四面体ABCD 的四个顶点都在球O 的表面上，⊥AB 平面BCD ，△BCD 是边长为3的等边三角形.若2=AB ，则球O 的表面积为(A)322π(B)π12 (C)π16 (D) π3212.已知函数4()f x x =与3()g x x t =+，若()f x 与()g x 的交点在直线y x =的两侧，则实数t 的取值范围是(A)(6,0]- (B)(6,6)- (C)(4,)+∞ (D)(4,4)- 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）如图，某几何体的主视图和俯视图都是矩形，左视图是等腰直角三角形，则该几何体的体积为__________.14.已知函数))(()(b x a x x x f --=的导函数为)(x f '，且4)0(='f ，则222b a +的最小值为_____.15．在ABC ∆中，点D 在线段BC 的延长线上，且CD BC 2=，点O 在线段CD 上（与点,C D不重合）若 AC x AB x AO )1(-+=，则x 的取值范围是____________.16.已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，△ABC 的顶点都在抛物线上，且满足 FC FB FA -=+，则=++CA BC AB k k k 111_______.三、解答题（本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）设数列{}n a 的各项均为正数，它的前n 项的和为n S ，点(,)n n a S 在函数2111822y x x =++的图象上；数列{}n b 满足11,b a =11()n n n n b a a b ++⋅-=，其中n N *∈．（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设nn n a c b =，求数列{}n c 的前n 项的和n T ．18.（本小题满分12分）已知向量2(2sin(),2),(2cos ,0)(0)3a x b x πωωω=+=>r r ，函数()f x a b =r r g的图象与直线2y =-+π．（1）求函数()f x 在[0,2]π上的单调递增区间；（2）将函数()f x 的图象向右平移12π个单位，得到函数()y g x =的图象．若()y g x =在[0,](0)b b >上至少含有10个零点，求b 的最小值．19.（本小题满分12分）今年年初，我国多个地区发生了持续性大规模的雾霾天气，给我们的身体健康产生了巨大的威胁.私家车的尾气排放也是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力.为此，很多城市实施了机动车车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：（Ⅰ）完成被调查人员的频率分布直方图；（Ⅱ）若从年龄在[15，25)，[25，35)的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．20.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA AD ⊥， //AB CD ，CD AD ⊥，22AD CD AB ===，,E F 分别为,PC CD 的中点，DE EC =.（1）求证：平面ABE ⊥平面BEF ；（2）设PA a =，若平面EBD 与平面ABCD 所成锐二面角[]43ππθ∈，，求a 的取值范围.21.（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形（记为Q ）. （1）求椭圆C 的方程；（2）设点P 是直线4-=x 与x 轴的交点，过点P 的直线l 与椭圆C 相交于N M ,两点，当线段MN 的中点落在正方形Q 内（包括边界）时，求直线l 斜率的取值范围.22.(本题满分12分)设3x =是函数()()()23,x f x x ax b e x R -=++∈的一个极值点.（Ⅰ）求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求()f x 的单调区间；（Ⅱ）设()2250,4x a g x a e ⎛⎫>=+ ⎪⎝⎭，若存在[]12,0,4ξξ∈，使得()()12254f g ξξ-<成立，求实数a 的取值范围.河北正定中学第六次月考理科数学答案 一、选择题 BBABB DCACA CB二、填空题 13.814. 15. 1(,0)2- 16.0三、解答题17.⑴由已知条件得2111822n n n S a a =++， ① 当2n ≥时，2111111822n n n S a a ---=++， ② ①－②得：221111()()82n n n n n a a a a a --=-+-， 即1111()()4n n n n n n a a a a a a ---+=+-，∵数列{}n a 的各项均为正数，∴14n n a a --=（2n ≥），又12a =，∴42n a n =-；∵1111,()n n n n b a b a a b ++=-=，∴1112,4n n b b b +==，∴112()4n n b -=⋅； ⑵∵1(21)4n nn na c nb -==-，∴22113454(23)4(21)4n n n T n n --=+⋅+⋅++-⋅+-⋅L ，2214434(25)4(23)4(21)4n n nn T n n n --=+⋅++-⋅+-⋅+-⋅L ，两式相减得2155312(444)(21)4(2)433n n nn T n n --=++++--=---⋅L ， ∴5(65)499nn n T -=+18.19.（Ⅱ）ξ的所有可能取值为：0,1,2,3……………6分()22642251061545150=,104522575C C p C C ξ==⋅=⋅=()21112646442222510510415624102341=,1045104522575C C C C C p C C C C ξ⋅==⋅+⋅=⋅+⋅= ()111224644422225105104246666222=,1045104522575C C C C C p C C C C ξ⋅==⋅+⋅=⋅+⋅=()124422510461243=,104522575C C p C C ξ==⋅=⋅=所以ξ的分布列是：所以ξ的数学期望65E ξ=．20. (Ⅰ)Θ,//CD AB 22===AB CD AD ，F 分别为CD 的中点，ABFD ∴为矩形，BF AB ⊥ ················· 2分EF DC EC DE ⊥∴=,Θ,又EF AB CD AB ⊥∴,// ⊥∴=AE E EF BF ,I Θ面BEF ,⊂AE 面ABE ,∴平面ABE ⊥平面BEF ····················· 4分(Ⅱ) EF DC EC DE ⊥∴=,Θ,又EF PD //，PD AB CD AB ⊥∴,// 又PD AB ⊥,所以⊥AB 面PAD ,PA AB ⊥ ··················6分 建系AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴,)0,2,0(),0,0,1(D B ),0,0(a P ，)0,2,2(C ,)2,1,1(aE 平面BCD 法向量1(0,0,1)n =u r，平面EBD 法向量)2,,2(2-=a a n ··········9分]22,21[452cos 2∈+=a θ，可得]5152,552[∈a . (12)21. 解: （Ⅰ）依题意，设椭圆C 的方程为=1(a>b>0),焦距为2c ，由题设条件知，a2=8,b=c, 所以b2=21a2=4故椭圆C 的方程为4822y x +=1 (4分)（Ⅱ）椭圆C 的左准线方程为x=-4,所以点P 的坐标为（-4,0），显然直线l 的斜率k 存在，所以直线的方程为y=k(x+4)。
—————————— 新学期 新成绩 新目标 新方向 ——————————桑水高三数学练习题命题人：任丽萍 印数：750（理＋复） 时间：201505101．已知三棱锥P ABC -的各项点均在一个半径为R 的球面上，球心O 在AB 上，PO ⊥平面,3AC ABC BC=，则三棱锥与球的体积之比为____________。
2．已知矩形ABCD 的面积为8，当矩形ABCD 周长最小时，沿对角线AC 把ACD ∆折起，则三棱锥D ABC -的外接球表面积等于____________。
3．已知点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>右支上一点，12,F F 分别是双曲线的左、右焦点，I 为12PF F ∆的内心，若121212IPF IPF IF F S S S ∆∆∆=+成立，则双曲线的离心率为（ ）A ．4B ．52C ．2D ．53 4．方程1169x x y y +=-的曲线即为函数()y f x =的图象，对于函数()y f x =，有如下结论：①()f x 在R 上单调递减；②函数()4()3F x f x x =+不存在零点；③函数()y f x =的值域是R ；—————————— 新学期 新成绩 新目标 新方向 ——————————桑水 ④若函数()g x 和()f x 的图象关于原点对称，则函数()y g x =的图象就是方程1169y y x x +=确定的曲线。
其中正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．②③C ．①③④D ．①②③5．设12,F F 分别为椭圆2213x y +=的左、右焦点，点,A B 在椭圆上，若125F A F B =，则点A 的坐标是____________。
6．在棱柱111ABC A B C -中，已知15,4AB AC AA BC ====，点1A 在底面ABC 的投影是线段BC 的中点O 。
（1）证明在侧棱1AA 上存在一点E ，使得OE ⊥平面11BB C C ，并求出AE 的长；（2）求平面11A B C 与平面11BB C C 夹角的余弦值。
2021-2022学年河北省石家庄市正定艺文斋美术职业中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设复数z满足= （）A． B． C． D．参考答案：D2. 设集合M={x|x2﹣2x＜0}，N={x|y=lg（4﹣x2）}，则（）A．M∪N=M B．（?R M）∩N=R C．（?R M）∩N=? D．M∩N=M参考答案：D【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合思想；综合法；集合．【分析】分别求出关于集合M、N的范围，结合集合的运算性质得出答案即可．【解答】解：依题意，化简得M={x|0＜x＜2}，N={x|﹣2＜x＜2}，所以M∩N=M，故选：D．【点评】本题考查了对数函数以及解不等式问题，考查集合的运算性质，是一道基础题．3. 设是定义在R上的恒不为零的函数，对任意，都有，，若，且，则数列的前n项和为为（）A． B． C．D．参考答案：D4. 已知抛物线方程为，直线的方程为，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为，P到直线的距离为，则的最小值 ( )A． B． C．D．参考答案：D因为抛物线的方程为，所以焦点坐标,准线方程为。
因为点到轴的距离为，所以到准线的距离为，又,所以，焦点到直线的距离，而，所以，选D.5. 已知函数,的部分图像如图,则（）A．B．C．D．参考答案：B略6. 设是虚数单位，则复数(1－i)2－等于A．0 B．2 C． D．参考答案：D(1－i)2－=－2i－=－2i－=－2i－2i=－4i.故选D.7. 如图所示,在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部的概率（）A． B． C. D．参考答案：C 8.已知等差数列，则的值为A．18 B．16 C．14 D．12参考答案：答案：A9. 已知所在的平面内一点满足，则（）参考答案：B略10. =（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的应用即可得出．【解答】解：==+i．故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. （坐标系与参数方程选讲选做题）图2在极坐标系中，设曲线与的交点分别为，，则线段的垂直平分线的极坐标方程为.参考答案：12. 用表示不超过的最大整数，例如，，设函数．(1) __________；（2）若函数的定义域是，，则其值域中元素个数为_________．参考答案：略13. 如下图：在△ABC 中，若AB ＝AC ＝3，cos ∠BAC ＝，＝2，则·＝__________．参考答案：-1.5 14. 设分别表示不大于的最大整数，如.则集合表示的平面区域的面积为 .参考答案：515. 如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是边长为m 的正方形, PD ⊥底面ABCD,且PD= m ,PA=PC=m ,若在这个四棱锥内放一个球,则此球的最大半径是 .参考答案：16. 如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是 __________．参考答案：略17. 把函数表示为一个偶函数与一个奇函数和的形式是 .参考答案：略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
河北省2023届高三模拟（六）数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
A．B．
C．D．
二、多选题
9．近年来，我国大力发展新能源汽车工业，新能源汽车（含电动汽车）的销量已跃居全球首位，同时我国也加大了新能源汽车公共充电桩的建设，以解决新能源汽车的充电困境.下面是我国2021年9月至2022年8月这一年来公共充电桩累计数量统计图，则针对这12个月的数据，下列说法正确的是（）
A．这12个月以来，我国公共充电桩累计数量一直保持增长态势B．这12个月我国公共充电桩累计数量的中位数低于123万台C．这12个月我国公共充电桩的月平均累计数量超过115万台D．2022年6月我国公共充电桩累计数量的同比增长率最大
三、单选题
四、多选题
五、填空题
六、解答题。
一、单选题二、多选题1. 已知角的终边经过点，将角的终边绕原点逆时针旋转得到角的终边，则等于（ ）A．B．C．D．2. 复数在复平面内对应的点的坐标为，则（ ）A．B．C．D．3. 在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，若，则（ ）A ．1B．C ．2D．4.已知，则（ ）A．B．C．D．5. 已知是定义在上的奇函数，也是定义在上的奇函数，则关于的不等式的解集为（ ）A．B．C．D．6. 在中，内角所对的边分别为，点为的中点，，，且的面积为，则（）A．B ．1C ．2D ．37.设全集，则图中阴影部分所表示的集合是（）A．B．C．D．8. 在等比数列中，若>0且，则的值为A ．2B ．4C ．6D ．89. 下面是关于公差的等差数列的四个命题，其中正确的有（ ）A．数列是等差数列B ．数列是等差数列C．数列是递增数列D ．数列是递增数列10. 放射性物质在衰变中产生辐射污染逐步引起了人们的关注，已知放射性物质数量随时间的衰变公式，表示物质的初始数量，是一个具有时间量纲的数，研究放射性物质常用到半衰期，半衰期指的是放射性物质数量从初始数量到衰变成一半所需的时间，已知，右表给出了铀的三种同位素τ的取值：若铀234、铀235和铀238的半衰期分别为，，，则（ ）河北省2023届高三模拟（六）数学试题(3)河北省2023届高三模拟（六）数学试题(3)三、填空题四、解答题物质τ的量纲单位τ的值铀234万年35.58铀235亿年10.2铀238亿年64.75A．B．与成正比例关系C．D．11. 已知等差数列的公差不为0，且成等比数列，则（ ）A．B．C．D．12. 为比较甲、乙两地某月14时的气温情况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据单位：制成如图所示的茎叶图．下列结论正确的为（）A ．甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温B ．甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温C ．甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差D ．甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差13.已知函数的部分图象如图，，则____________．14.若曲线在点处的切线与直线平行，则___________.15. 已知为锐角内角的对边,且满足,则的取值范围是______.16. 求的值．17. 已知函数，.(1)讨论函数在区间上的最大值；(2)当时，不等式恒成立，求实数t 的取值范围.18.在三维空间中，立方体的坐标可用三维坐标表示，其中．而在n 维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的项点坐标可表示为n维坐标，其中．现有如下定义：在n 维空间中两点间的曼哈顿距离为两点与坐标差的绝对值之和，即为．回答下列问题：(1)求出n 维“立方体”的顶点数；(2)在n 维“立方体”中任取两个不同顶点，记随机变量X 为所取两点间的曼哈顿距离①求出X的分布列与期望；②证明：在n足够大时，随机变量X的方差小于．（已知对于正态分布，P随X变化关系可表示为）19. 椭圆的离心率.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）如图，是椭圆的顶点，是椭圆上除顶点外的任意一点，直线交轴于点，直线交于点，设的斜率为，的斜率为，试证明：为定值.20. 已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若恒成立，求实数的取值范围.21. 如图，在几何体中，平面.(1)求证：平面平面；(2)若，在棱上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.。
