浙江省杭州市2019届高三上学期期末教学质量检测数学试题(含解析)

浙江省杭州市富阳区新登中学2019届高三数学上学期期末模拟试题一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合{|21}=-<<A x x ，{|02}B x x =<<，则集合AB =（ ）A ．{|11}x x -<<B ．{|21}x x -<<C ．{|01}x x <<D ．{|22}x x -<< 2．已知i 为虚数单位，与i 1i+相等的复数是（ ）A ．1i 2+ B ．1i2-+ C ．1i2-- D ．1i 2-3．若a ∈R ，则“21a -≥”是“0a ≤”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知0απ<<，1sin cos 2αα+=，则c os α的值为 ( )A B ． C ． 5．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，595,27S S =-=-，}{n b 为等比数列，且33b a =，55b a =则9b 的值为( ) A. 9-B. 9C. 27-D. 276．设单位向量12,e e 对任意实数λ都有+≤+，则向量12,e e 的夹角为( ) A.3π B. 23π C. 6π D. 56π 7. 函数223()2xx x f x e+=的大致图象是( )8．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左右焦点分别为12,F F ，P 为双曲线C 上一点，Q 为双曲线渐近线C 上一点，,P Q 均位于第一象限，且2122,0QP PF QF QF →→→→=⋅=，则双曲线C 的离心率为（ ）A1B1C2D29. 设函数,1,41|,12|)(1⎩⎨⎧>-≤-=+x x x x f x 若互不相等的实数r q p ,,满足),()()(r f q f p f == 则r q p 222++的取值范围是 （ ）A )16,8(B )17,9(C )16,9(D )235,217(10．已知定义在R 上的奇函数()f x ，满足当210()ln 2x f x x x x >=-时，则关于x 的方程()f x a =满足（ ）A ．对任意a R ∈，恰有一解B ．对任意a R ∈，恰有两个不同解C ．存在a R ∈,有三个不同解D ．存在a R ∈,无解 二、填空题 (本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分) 11．__________，（，）的最大值为_________．12．已知随机变量ξ的分布列如右表， 则m = ；()E ξ= .13．若62()a x x-展开式中3x 项的系数为12-，则a = ；常数项是 . 14．若，满足，的最小值为__________；的最大值为_______．15．现有7名志愿者，其中只会俄语的有3人，既会俄语又会英语的有4人. 从中选出4人担任“一带一路”峰会开幕式翻译工作，2人担任英语翻译，2人担任俄语翻译，共有 种不同的选法.16. 已知平面向量,,a b c 满足2a b ==，,a b 的夹角为3π，2240c a c b c --+=， 则()a c b +的最大值为 .17．若方程011)(1)(22=----+-+ax x x f x x f 有三个不同的解，其中⎩⎨⎧>≤-=.0,lg ,0,)(x x x x x f 则a 的取值范围是 ．三、解答题 (本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)18．（本小题满分15分）18. 已知(3s i n,c o s )m x x ωω=，(cos ,cos )n x x ωω=- (0,x R >∈ω)，1()2f x m n =⋅-且()f x 的图象上相邻两条对称轴之间的距离为2π.（Ⅰ） 求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且b =()0f B =，sin 3sin A C =，求,a c 的值及AC 边上的中线.19.（本小题满分15分）已知函数32()3(36)12()f x x ax a x a a R =++-+∈（Ⅰ）若()f x 在0x x =处取得极小值，且0x ∈(0，3)，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若对任意的a ∈[﹣1，1]，不等式()f x m <在x ∈[﹣1，1]恒成立，求实数m 的取值范围.20．(本小题满分15分) 已知等比数列满足条件，，，数列满足，（，）（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）若数列满足，，求的前项和.21．(本小题满分15分) 设函数2113(),[,]2ln 2f x x x e x =+∈ （Ⅰ）证明：211()22f x x x e≥-+； （Ⅱ）证明：2192()102e f x +<≤。

杭州市2019-2020学年度高三期末教学质量统一检测卷试题数 学一、选择题1. 设集合{}|2A x x =>，()(){}|130B x x x =--<，则A B =I （ ）A. {}|1x x >B. {}|23x x <<C. {}|13x x <<D. {}|2,1x x x >< 2. 双曲线2214x y -=的离心率等于（ ） A. 52 B. 5 C. 32 D. 33. 已知非零向量a r ，b r ，则“0a b ⋅>r r ”是“向量a r ，b r 为锐角”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 若实数x ，y 满足不等式组010x y x x y +≥⎧⎪≥⎨⎪-≥⎩，则（ ）A. 1y ≥B. 2x ≥C. 20x y +≥D. 210x y -+≥ 5. 设正实数x ，y 满足()y x y x e e e⋅=，则当x y +取得最小值时，x =（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 46. 已知随机变量ξ的取值为()0,1,2i i =.若()105P ξ==，()1E ξ=，则（ ） A. ()()1P D ξξ=< B. ()()1P D ξξ== C. ()()1P D ξξ=>D. ()()115P D ξξ== 7. 下列不可能．．．是函数()()()22a x x x a Z f x -=+∈的图象的是（ ） A. B. C. D .8. 若函数()y f x =，()y g x =定义域为R ，且都不恒为零，则（ ）A. 若()()y f g x =为周期函数，则()y g x =为周期函数B. 若()()y f g x =为偶函数，则()y g x =为偶函数C. 若()y f x =，()y g x =均为单调递增函数，则()()y f x g x =⋅为单调递增函数D. 若()y f x =，()y g x =均为奇函数，则()()y f g x =为奇函数 9. 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，抛物线()220y px p =>的焦点为2F ，设两曲线的一个交点为P ，若221216PF F F P ⋅=u u u u r u u u u r ，则椭圆的离心率为（ ） A. 12 B. 22 C. 34 D. 3210. 已知非常数列{}n a 满足()*12n n n a a a n N αβαβ+++=∈+，若0αβ+≠，则（ ） A. 存在α，β，对任意1a ，2a ，都有{}n a 为等比数列B. 存在α，β，对任意1a ，2a ，都有{}n a 为等差数列C. 存在1a ，2a ，对任意α，β，都有{}n a 为等差数列D. 存在1a ，2a ，对任意α，β，都有{}n a 为等比数列二、填空题11. 设复数z 满足()12i z i +⋅=（i 为虚数单位），则z =______，z =______.12. 已知二项式()60a x a x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭的展开式中含2x 的项的系数为15，则a =______，展开式中各项系数和等于______.13. 在ABC ∆中，BAC ∠的平分线与BC 边交于点D ，sin 2sin C B =，则BD CD=______；若1AD AC ==，则BC =______. 14. 已知函数()210cos 0x x f x x x π⎧-≤=⎨>⎩，则()()2019f f =______；若关于x 的方程()0f x a +=在(),0-∞内有唯一实根，则实数a 的取值范围是______.15. 杭州亚运会启动志愿者招募工作，甲、乙等5人报名参加了A 、B 、C 三个项目的志愿者工作，因工。

2019-2020学年浙江省杭州市高三（上）期末数学试卷一、选择题：每小题4分，共40分1．（4分）设集合A ＝{x |x ＞2}，B ＝{x |（x ﹣1）（x ﹣3）＜0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{x |x ＞1} B ．{x |2＜x ＜3} C ．{x |1＜x ＜3} D ．{x |x ＞2或x ＜1}2．（4分）双曲线x 24−y 2=1的离心率等于（ ）A ．√52B ．√5C ．√32D ．√33．（4分）已知非零向量a →，b →，则“a →•b →＞0”是“向量a →，b →夹角为锐角”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．（4分）若实数x ，y 满足不等式组{x +y ≥0x ≥1x −y ≥0，则（ ）A ．y ≥1B ．x ≥2C ．x +2y ≥0D ．2x ﹣y +1≥05．（4分）设正实数x ，y 满足e x •e y ＝（e x ）y ，则当x +y 取得最小值时，x ＝（ ） A ．1B ．2C ．3D ．46．（4分）已知随机变量ξ的取值为i （i ＝0，1，2）．若P(ξ=0)=15，E （ξ）＝1，则（ ） A ．P （ξ＝1）＜D （ξ） B ．P （ξ＝1）＝D （ξ） C ．P （ξ＝1）＞D （ξ）D ．P(ξ=1)=15D(ξ)7．（4分）下列不可能是函数f （x ）＝x a （2x +2﹣x ）（a ∈Z ）的图象的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．（4分）若函数y ＝f （x ），y ＝g （x ）定义域为R ，且都不恒为零，则（ ）A ．若y ＝f （g （x ））为周期函数，则y ＝g （x ）为周期函数B ．若y ＝f （g （x ））为偶函数，则y ＝g （x ）为偶函数C ．若y ＝f （x ），y ＝g （x ）均为单调递增函数，则y ＝f （x ）•g （x ）为单调递增函数D ．若y ＝f （x ），y ＝g （x ）均为奇函数，则y ＝f （g （x ））为奇函数 9．（4分）已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，抛物线y 2＝2px （p＞0）的焦点为F 2．设两曲线的一个交点为P ，若PF 2→⋅F 1F 2→=16p 2，则椭圆的离心率为（ ） A ．12B ．√22C ．√34 D ．√3210．（4分）已知非常数数列{a n }满足a n+2=αa n+1+βa n α+β（n ∈N *，α，β为非零常数）．若α+β≠0，则（ ）A ．存在α，β，对任意a 1，a 2，都有数列{a n }为等比数列B ．存在α，β，对任意a 1，a 2，都有数列{a n }为等差数列C ．存在a 1，a 2，对任意α，β，都有数列{a n }为等差数列D ．存在a 1，a 2，对任意α，β，都有数列{a n }为等比数列 二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分，共36分11．（6分）设复数z 满足（1+i ）•z ＝2i （i 为虚数单位），则z ＝ ，|z |＝ ． 12．（6分）已知二项式(x +ax)6(a ＞0)的展开式中含x 2的项的系数为15，则a ＝ ，展开式中各项系数和等于 ．13．（6分）在△ABC 中，∠BAC 的平分线与BC 边交于点D ，sin C ＝2sin B ，则BD CD= ；若AD ＝AC ＝1，则BC ＝ ．14．（6分）已知函数f(x)={1−x 2(x ≤0)cosπx(x ＞0)，则f [f （2019）]＝ ；若关于x 的方程f（x +a ）＝0在（﹣∞，0）内有唯一实根，则实数a 的取值范围是 ．15．（4分）杭州亚运会启动志愿者招募工作，甲、乙等5人报名参加了A ，B ，C 三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者．若甲不能参加A ，B 项目，乙不能参加B ，C 项目，那么共有 种不同的选拔志愿者的方案．（用数字作答） 16．（4分）已知函数f （x ）＝x 3﹣9x ，g （x ）＝3x 2+a （a ∈R ）．若方程f （x ）＝g （x ）有三个不同的实数解x 1，x 2，x 3，且它们可以构成等差数列，则a ＝ ．17．（4分）在平面凸四边形ABCD 中，AB ＝2，点M ，N 分别是边AD ，BC 的中点，且MN =32，若MN →⋅(AD →−BC →)=32，则AB →⋅CD →= ．三、解答题：5小题，共74分18．（14分）已知函数f(x)=sin 2x −cos 2(x +π3)（x ∈R ）． （1）求f （x ）的最小正周期；（2）求f （x ）在区间[−π3，π4]上的值域． 19．（15分）已知函数f （x ）＝x 2+k |x ﹣1|﹣2． （1）当k ＝1时，求函数f （x ）的单调递增区间． （2）若k ≤﹣2，试判断方程f （x ）＝﹣1的根的个数．20．（15分）如图，在△ABC 中，∠BAC =2π3，AD →=3DB →，P 为CD 上一点，且满足AP →=mAC →+12AB →，若△ABC 的面积为2√3．（1）求m 的值； （2）求|AP →|的最小值．21．（15分）设公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为T n ，若a 2是a 1与a 4的等比中项，a 6＝12，a 1b 1＝a 2b 2＝1． （1）求a n ，S n 与T n ；（2）若c n =√S n ⋅T n ，求证：c 1+c 2+⋯+c n ＜n(n+2)2． 22．（15分）设函数f （x ）＝e x +ax ，a ∈R ． （1）若f （x ）有两个零点，求a 的取值范围；（2）若对任意x ∈[0，+∞）均有2f （x ）+3≥x 2+a 2，求a 的取值范围．2019-2020学年浙江省杭州市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：每小题4分，共40分1．（4分）设集合A ＝{x |x ＞2}，B ＝{x |（x ﹣1）（x ﹣3）＜0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{x |x ＞1}B ．{x |2＜x ＜3}C ．{x |1＜x ＜3}D ．{x |x ＞2或x ＜1}【解答】解：集合A ＝{x |x ＞2}，B ＝{x |（x ﹣1）（x ﹣3）＜0}＝{x |1＜x ＜3}， 则A ∩B ＝{x |2＜x ＜3}． 故选：B ． 2．（4分）双曲线x 24−y 2=1的离心率等于（ ）A ．√52B ．√5C ．√32D ．√3【解答】解：由双曲线x 24−y 2=1可得a 2＝4，b 2＝1，∴a ＝2，c =√a 2+b 2=√5． ∴双曲线的离心率e =c a =√52． 故选：A ．3．（4分）已知非零向量a →，b →，则“a →•b →＞0”是“向量a →，b →夹角为锐角”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：a →与 b →都是非零向量，则“向量a →与 b →夹角为锐角”⇒“a →⋅b →＞0”，反之不成立，可能同向共线．因此“a →⋅b →＞0”是“向量a →与 b →夹角为锐角”的必要不充分条件． 故选：B ．4．（4分）若实数x ，y 满足不等式组{x +y ≥0x ≥1x −y ≥0，则（ ）A ．y ≥1B ．x ≥2C ．x +2y ≥0D ．2x ﹣y +1≥0【解答】解：作出不等式组{x +y ≥0x ≥1x −y ≥0对应的平面区域如图：；由图可得A，B均不成立；对于C：因为直线x+2y＝0过平面区域，红线所表，故函数值有正有负，不成立．故只有答案D成立．故选：D．5．（4分）设正实数x，y满足e x•e y＝（e x）y，则当x+y取得最小值时，x＝（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：∵正实数x，y满足e x•e y＝（e x）y，∴x+y＝xy，又∵x+y≥2√xy，∴xy≥2√xy，∴xy≥4，∴x+y≥4，当且仅当x＝y＝2时取等号，∴当x+y取得最小值时，x＝2．故选：B．6．（4分）已知随机变量ξ的取值为i（i＝0，1，2）．若P(ξ=0)=15，E（ξ）＝1，则（）A．P（ξ＝1）＜D（ξ）B．P（ξ＝1）＝D（ξ）C．P（ξ＝1）＞D（ξ）D．P(ξ=1)=15D(ξ)【解答】解：∵随机变量ξ的取值为i（i＝0，1，2）．P(ξ=0)=15，E（ξ）＝1，∴P（ξ＝1）+2P（ξ＝2）＝1，P（ξ＝1）+P（ξ＝2）=4 5，∴P（ξ＝1）=35，P（ξ＝2）=15，∴D（ξ）=(0−1)2×15+(1−1)2×35+(2−1)2×15=25．∴P（ξ＝1）＞D（ξ）．故选：C．7．（4分）下列不可能是函数f（x）＝x a（2x+2﹣x）（a∈Z）的图象的是（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝x a（2x+2﹣x）（a∈Z），当a＝0，f（x）＝（e x+e﹣x），（x≠0）其定义域为{x|x≠0}，f（x）为偶函数，不经过原点且在第一象限为增函数，A选项符合；当a为正整数时，f（x）＝x a（e x+e﹣x），其定义域为R，图象经过原点，没有选项符合；当a为负整数时，f（x）＝x a（e x+e﹣x），其定义域为{x|x≠0}，其导数f′（x）＝ax a﹣1（e x+e﹣x）+x a（e x﹣e﹣x），当x＞0时，f′（x）＝x a﹣1[a（e x+e﹣x）+x（e x﹣e﹣x）]＝x a﹣1[（a+x）e x+（a﹣x）e﹣x]，则f′（x）先负后正，故f（x）不经过原点且在第一象限先减后增，BD符合；故选：C．8．（4分）若函数y＝f（x），y＝g（x）定义域为R，且都不恒为零，则（）A．若y＝f（g（x））为周期函数，则y＝g（x）为周期函数B．若y＝f（g（x））为偶函数，则y＝g（x）为偶函数C．若y＝f（x），y＝g（x）均为单调递增函数，则y＝f（x）•g（x）为单调递增函数D．若y＝f（x），y＝g（x）均为奇函数，则y＝f（g（x））为奇函数【解答】解：令f（x）＝sin x，g（x）＝2x，函数sin2x是周期函数，但y＝g（x）不是周期函数，故A错误；令f（x）＝x2+1，g（x）＝2x，则f（g（x））＝4x2+1为偶函数，但y＝g（x）不是偶函数，故B错误；令f（x）＝x，g（x）＝x3，y＝f（x），y＝g（x）均为R上的单调递增函数，但y＝f（x）•g （x ）＝x 4在R 上不单调，故C 错误；由y ＝f （x ），y ＝g （x ）均为奇函数，则f （﹣x ）＝﹣f （x ），g （﹣x ）＝﹣g （x ），且两函数定义域均关于原点对称，则f （g （﹣x ））＝f （﹣g （x ））＝﹣f （g （x ）），且定义域关于原点对称，函数y ＝f （g （x ））为奇函数，故D 正确． 故选：D ． 9．（4分）已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，抛物线y 2＝2px （p＞0）的焦点为F 2．设两曲线的一个交点为P ，若PF 2→⋅F 1F 2→=16p 2，则椭圆的离心率为（ ） A ．12B ．√22C ．√34D ．√32【解答】解：设P （x 0，y 0），PF 2→=(c −x 0，−y 0)，F 1F 2→=(2c ，0)． ∵PF 2→⋅F 1F 2→=16p 2，则2c （c ﹣x 0）=16p 2⋯①， ∵抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F 2．∴p ＝2c …②， 由①②可得x 0=2c3，由椭圆、抛物线焦半径公式可得a ﹣ex 0＝x 0+p2．整理可得：a ﹣e ⋅2c 3=5c3⇒2e 2+5e ﹣3＝0． 解得e =12（负值舍）． 故选：A ．10．（4分）已知非常数数列{a n }满足a n+2=αa n+1+βa n α+β（n ∈N *，α，β为非零常数）．若α+β≠0，则（ ）A．存在α，β，对任意a1，a2，都有数列{a n}为等比数列B．存在α，β，对任意a1，a2，都有数列{a n}为等差数列C．存在a1，a2，对任意α，β，都有数列{a n}为等差数列D．存在a1，a2，对任意α，β，都有数列{a n}为等比数列【解答】解：由题意，得a n+2=αa n+1+βa nα+β=αα+βa n+1+βα+βa n．令t=αα+β，则βα+β=1﹣t，∵α，β为非零常数且α+β≠0，∴t，1﹣t均为非零常数，∴常数t≠0，且t≠1．故a n+2＝ta n+1+（1﹣t）a n．两边同时减去a n+1，可得a n+2﹣a n+1＝ta n+1﹣a n+1+（1﹣t）a n＝（t﹣1）（a n+1﹣a n）．∵常数t≠0，且t≠1．∴t﹣1≠﹣1，且t﹣1≠0．∴a n+1﹣a n＝（t﹣1）（a n﹣a n﹣1）＝（t﹣1）2（a n﹣1﹣a n﹣2）＝…＝（t﹣1）n﹣1（a2﹣a1）．∵数列{a n}是非常数数列，∴a2﹣a1≠0，则当t﹣1＝1，即t＝2，即αα+β=2，即α+2β＝0时，a n+1﹣a n＝a n﹣a n﹣1＝a n﹣1﹣a n﹣2＝…＝a2﹣a1．此时数列{a n}很明显是一个等差数列．∴存在α，β，只要满足α，β为非零，且α+2β＝0时，对任意a1，a2，都有数列{a n}为等差数列．故选：B．二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分，共36分11．（6分）设复数z满足（1+i）•z＝2i（i为虚数单位），则z＝1+i，|z|＝√2．【解答】解：由（1+i）•z＝2i，得z=2i1+i=2i(1−i)(1+i)(1−i)=1+i，∴|z|=√2．故答案为：1+i；√2．12．（6分）已知二项式(x +ax)6(a ＞0)的展开式中含x 2的项的系数为15，则a ＝ 1 ，展开式中各项系数和等于 64 ．【解答】解：二项式(x +a x)6(a ＞0)的展开式的通项公式为 T r +1=C 62•a r •x6﹣2r，令6﹣2r＝2 求得r ＝2，故展开式中含x 2的项的系数为C 62•a 2＝15，则a ＝1．再令x ＝1，可得展开式中各项系数和等于（1+1）6＝64， 故答案为：1；64．13．（6分）在△ABC 中，∠BAC 的平分线与BC 边交于点D ，sin C ＝2sin B ，则BD CD= 2 ；若AD ＝AC ＝1，则BC ＝3√22． 【解答】解：①如图所示，△ABC 中，∠BAC 的平分线与BC 边交于点D ，sin C ＝2sin B ， 所以c ＝2b ， 所以BD CD=AB AC=c b=2；②由AD ＝AC ＝1，所以AB ＝2AC ＝2，设DC ＝x ，则BD ＝2x ，由余弦定理得cos ∠BAD =AB 2+AD 2−CD 22AC⋅AD =4+1−4x 22×2×1=5−4x 24，cos ∠CAD =AC 2+AD 2−CD 22AC⋅AD=1+1−x 22×1×1=2−x 22， 又∠BAD ＝∠CAD ， 所以5−4x 24=2−x 22，解得x =√22；所以BC ＝3x =3√22． 故答案为：2，3√22．14．（6分）已知函数f(x)={1−x 2(x ≤0)cosπx(x ＞0)，则f [f （2019）]＝ 0 ；若关于x 的方程f （x +a ）＝0在（﹣∞，0）内有唯一实根，则实数a 的取值范围是 [﹣1，12] ．【解答】解：∵函数f(x)={1−x 2(x ≤0)cosπx(x ＞0)，∴f （2019）＝cos2019π＝cos π＝﹣1， f [f （2019）]＝f （﹣1）＝1﹣（﹣1）2＝0． 作出函数f(x)={1−x 2(x ≤0)cosπx(x ＞0)的图象，如下图：设f （x ）与x 轴从左到右的两个交点分别为A （﹣1，0），B （12，0），f （x +a ）与f （x ）的图象是平移关系，∵关于x 的方程f （x +a ）＝0在（﹣∞，0）内有唯一实根， ∴结合图形，得实数a 的取值范围是（﹣1，12]．故答案为：0，（﹣1，12]．15．（4分）杭州亚运会启动志愿者招募工作，甲、乙等5人报名参加了A ，B ，C 三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者．若甲不能参加A ，B 项目，乙不能参加B ，C 项目，那么共有 21 种不同的选拔志愿者的方案．（用数字作答） 【解答】解：若甲，乙都参加，则甲只能参加C 项目，乙只能参见A 项目，B 项目有3种方法，若甲参加，乙不参加，则甲只能参加C 项目，A ，B 项目，有A 32＝6种方法， 若甲参加，乙不参加，则乙只能参加A 项目，B ，C 项目，有A 32＝6种方法， 若甲不参加，乙不参加，有A 33＝6种方法， 根据分类计数原理，共有3+6+6+6＝21种． 故答案为：21．16．（4分）已知函数f （x ）＝x 3﹣9x ，g （x ）＝3x 2+a （a ∈R ）．若方程f （x ）＝g （x ）有三个不同的实数解x 1，x 2，x 3，且它们可以构成等差数列，则a ＝ ﹣11 ．【解答】解：方程f （x ）＝g （x ）即为x 3﹣3x 2﹣9x ＝a ，依题意，函数h （x ）＝x 3﹣3x 2﹣9x 与常函数y ＝a 由三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，不妨设x 1＜x 2＜x 3，由x 1，x 2，x 3构成等差数列可知，函数h （x ）关于（x 2，h （x 2））中心对称，而三次函数的对称中心点就是二阶导函数的零点，且h ′（x ）＝3x 2﹣6x ﹣9，h ''（x ）＝6x ﹣6，令h ''（x ）＝6x ﹣6＝0，解得x ＝1，即x 2＝1，故函数h （x ）的对称中心即为（1，﹣11），则a ＝﹣11．故答案为：﹣11．17．（4分）在平面凸四边形ABCD 中，AB ＝2，点M ，N 分别是边AD ，BC 的中点，且MN =32，若MN →⋅(AD →−BC →)=32，则AB →⋅CD →= ﹣2 ． 【解答】解：取BD 的中点O ，连接OM ，ON ，可得MN →=MO →+ON →=12(AB →+DC →)，平方可得MN →2=14(AB →2+DC →2+2AB →⋅DC →)=14(4+DC →2+2AB →⋅DC →)=94， 即有AB →⋅DC →=52−12DC →2，MN →⋅(AD →−BC →)=32，即有12(AB →+DC →)•（AB →+BD →−BC →） =12（AB →+DC →）•（AB →+CD →）=12（AB →2−CD →2）=12（4−CD →2）=32， 解得CD →2=1，所以AB →⋅CD →=12DC →2−52=12−52=−2， 故答案为：﹣2．三、解答题：5小题，共74分18．（14分）已知函数f(x)=sin 2x −cos 2(x +π3)（x ∈R ）．（1）求f （x ）的最小正周期；（2）求f （x ）在区间[−π3，π4]上的值域．【解答】解：（1）函数f(x)=sin 2x −cos 2(x +π3)=sin 2x −(12cosx −√32sinx)2=14sin 2x −14cos 2x +√32sin x cos x =√34sin2x −14cos2x =12sin （2x −π6），∴f （x ）的最小正周期为2π2=π． （2）在区间[−π3，π4]上，2x −π6∈[−5π6，π3]，故当2x −π6=−π2时，函数f （x ）取得最小值为−12， 当2x −π6=π3时，函数f （x ）取得最大值为√34， 故f （x ）的值域为[−12，√34]． 19．（15分）已知函数f （x ）＝x 2+k |x ﹣1|﹣2．（1）当k ＝1时，求函数f （x ）的单调递增区间．（2）若k ≤﹣2，试判断方程f （x ）＝﹣1的根的个数．【解答】解：（1）k ＝1时，f （x ）＝x 2+|x ﹣1|﹣2={x 2+x −3，x ≥1x 2−x −1，x ＜1， 当x ≥1时，f （x ）＝（x +12）2−134，此时函数在[1，+∞）上单调递增；当x ＜1时，f （x ）＝（x −12）2−54，此时函数在（12，1）上单调递增， 综上函数f （x ）的单调递增区间是（12，+∞）； （2）当x ≥1时，则x 2+k （x ﹣1）﹣2＝﹣1，即（x ﹣1）（x +1+k ）＝0，即x ＝﹣1﹣k ，或x ＝1；当x ＜1时，则x 2﹣k （x ﹣1）﹣2＝﹣1，即（x ﹣1）（x +1﹣k ）＝0，即x ＝k ﹣1， 故当k ＜﹣2，﹣1﹣k ＞1，k ﹣1＜1，则方程有3个不等实数根；当k ＝﹣2时，﹣1﹣k ＝1，k ﹣1＝﹣3，则方程有2个不等实数根．20．（15分）如图，在△ABC 中，∠BAC =2π3，AD →=3DB →，P 为CD 上一点，且满足AP →=mAC →+12AB →，若△ABC 的面积为2√3．（1）求m 的值；（2）求|AP →|的最小值．【解答】解：（1）设|AB →|＝c ，|AC →|＝b ，所以S △ABC =12bc sin 23π=2√3，解得bc ＝8， 由AP →=m AC →+12AB →=m AC →+23AD →，且C ，P ，D 三点共线， 所以m +23=1，解得m =13；（2）由（1）可知AP →=13AC →+12AB →，所以|AP →|2＝（13AC →+12AB →）2=b 29+c 24+13AC →⋅AB → 因为AC →⋅AB →=bc cos2π3=−4， 所以|AP →|2=b 29+c 24−43≥2•bc 6−43=43， 故|AP →|≥2√33，当且仅当b ＝2√3，c =4√33时取得等号，综上|AP →|的最小值为2√33． 21．（15分）设公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为T n ，若a 2是a 1与a 4的等比中项，a 6＝12，a 1b 1＝a 2b 2＝1．（1）求a n ，S n 与T n ；（2）若c n =√S n ⋅T n ，求证：c 1+c 2+⋯+c n ＜n(n+2)2． 【解答】（1）解：由题意得，a 22=a 1a 4，即(a 1+d)2=a 1(a 1+3d)，得a 1＝d （d ≠0）， 由a 6＝12，得a 1＝d ＝2．∴a n ＝a 1+（n ﹣1）d ＝2+2（n ﹣1）＝2n ，S n =2n +n(n−1)2×2=n(n +1)， 由a 1b 1＝a 2b 2＝1，得b 1=12，b 2=14，∴T n=1−(12)n；（2）证明：∵c n=√S n⋅T n=√n(n+1)⋅[1−(12)n]，由0＜1−(12)n＜1恒成立，∴c n＜√k(k+1)＜√k(k+1)+14=k+12，∴c1+c2+…+c n＜(32+n+12)⋅n2=(n+2)n2．22．（15分）设函数f（x）＝e x+ax，a∈R．（1）若f（x）有两个零点，求a的取值范围；（2）若对任意x∈[0，+∞）均有2f（x）+3≥x2+a2，求a的取值范围．【解答】解：（1）f′（x）＝e x+a，①当a≥0时，f′（x）＞0，则f（x）在R上单调递增，不满足题意；②当a＜0时，令f′（x）＝0，解得x＝ln（﹣a），则f（x）在（﹣∞，ln（﹣a））上单调递减，在（ln（﹣a），+∞）上单调递增，要使f（x）有两个零点，只需f（ln（﹣a））＜0，解得a＜﹣e；（2）令g（x）＝2f（x）+3﹣x2﹣a2＝2e x﹣（x﹣a）2+3，x≥0，则g′（x）＝2（e x﹣x+a），又令h（x）＝2（e x﹣x+a），则h′（x）＝2（e x﹣1）≥0，所以h（x）在[0，+∞）上单调递增，且h（0）＝2（a+1），①当a≥﹣1时，g′（x）≥0恒成立，即函数g（x）在[0，+∞）上单调递增，从而必须满足g（0）＝5﹣a2≥0，解得−√5≤a≤√5，又因为a≥﹣1，所以﹣1≤a≤√5；②当a＜﹣1时，则存在x0＞0，使h（x0）＝0且x∈（0，x0）时，h（x）＜0，即g′（x）＜0，即g（x）单调递减，x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，即g′（x）＞0，即g（x）单调递增，所以g（x）最小值为g（x0）=2e x0−(x0−a)2+3≥0，又h（x0）＝2（e x0−x0+a）＝0，从而2e x0−(e x0)2+3≥0，解得0＜x0≤ln3，由e x0=x0﹣a，则a＝x0−e x0，令M（x）＝x﹣e x，0＜x≤ln3，则M′（x）＝1﹣e x＜0，所以M（x）在（0，ln3上单调递减，则M（x）≥M（ln3）＝ln3﹣3，又M（x）＜M（0）＝﹣1，故ln3﹣3≤a＜﹣1，综上，ln3﹣3≤a≤√5．。

2019-2020浙江省杭州市高三（上）期末数学考试试卷答案解析一、选择题（每题4分，共40分）1．设集合A＝{x|x＞2}，B＝{x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，则A∩B＝（）A．{x|x＞1}B．{x|2＜x＜3}C．{x|1＜x＜3}D．{x|x＞2或x＜1}【解答】解：集合A＝{x|x＞2}，B＝{x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}＝{x|1＜x＜3}，则A∩B＝{x|2＜x＜3}．故选：B．2．双曲线的离心率等于（）A．B．C．D．【解答】解：由双曲线＝1可得a2＝4，b2＝1，∴a＝2，c＝＝．∴双曲线的离心率e＝＝．故选：A．3．已知非零向量，，则“•＞0”是“向量，夹角为锐角”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：与都是非零向量，则“向量与夹角为锐角”⇒“”，反之不成立，可能同向共线．因此“”是“向量与夹角为锐角”的必要不充分条件．故选：B．4．若实数x，y满足不等式组，则（）A．y≥1B．x≥2C．x+2y≥0D．2x﹣y+1≥0【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：；由图可得A，B均不成立；对于C：因为直线x+2y＝0过平面区域，红线所表，故函数值有正有负，不成立．故只有答案D成立．故选：D．5．设正实数x，y满足e x•e y＝（e x）y，则当x+y取得最小值时，x＝（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：∵正实数x，y满足e x•e y＝（e x）y，∴x+y＝xy，又∵，∴，∴xy≥4，∴x+y≥4，当且仅当x＝y＝2时取等号，∴当x+y取得最小值时，x＝2．故选：B．6．已知随机变量ξ的取值为i（i＝0，1，2）．若，E（ξ）＝1，则（）A．P（ξ＝1）＜D（ξ）B．P（ξ＝1）＝D（ξ）C．P（ξ＝1）＞D（ξ）D．【解答】解：∵随机变量ξ的取值为i（i＝0，1，2）．，E（ξ）＝1，∴P（ξ＝1）+2P（ξ＝2）＝1，P（ξ＝1）+P（ξ＝2）＝，∴P（ξ＝1）＝，P（ξ＝2）＝，∴D（ξ）＝+＝．∴P（ξ＝1）＞D（ξ）．故选：C．7．下列不可能是函数f（x）＝x a（2x+2﹣x）（a∈Z）的图象的是（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝x a（2x+2﹣x）（a∈Z），当a＝0，f（x）＝（e x+e﹣x），（x≠0）其定义域为{x|x≠0}，f（x）为偶函数，不经过原点且在第一象限为增函数，A选项符合；当a为正整数时，f（x）＝x a（e x+e﹣x），其定义域为R，图象经过原点，没有选项符合；当a为负整数时，f（x）＝x a（e x+e﹣x），其定义域为{x|x≠0}，其导数f′（x）＝ax a﹣1（e x+e﹣x）+x a（e x﹣e﹣x），当x＞0时，f′（x）＝x a﹣1[a（e x+e﹣x）+x（e x﹣e﹣x）]＝x a﹣1[（a+x）e x+（a﹣x）e﹣x]，则f′（x）先负后正，故f（x）不经过原点且在第一象限先减后增，BD符合；故选：C．8．若函数y＝f（x），y＝g（x）定义域为R，且都不恒为零，则（）A．若y＝f（g（x））为周期函数，则y＝g（x）为周期函数B．若y＝f（g（x））为偶函数，则y＝g（x）为偶函数C．若y＝f（x），y＝g（x）均为单调递增函数，则y＝f（x）•g（x）为单调递增函数D．若y＝f（x），y＝g（x）均为奇函数，则y＝f（g（x））为奇函数【解答】解：令f（x）＝sin x，g（x）＝2x，函数sin2x是周期函数，但y＝g（x）不是周期函数，故A错误；令f（x）＝x2+1，g（x）＝2x，则f（g（x））＝4x2+1为偶函数，但y＝g（x）不是偶函数，故B错误；令f（x）＝x，g（x）＝x3，y＝f（x），y＝g（x）均为R上的单调递增函数，但y＝f（x）•g（x）＝x4在R上不单调，故C错误；由y＝f（x），y＝g（x）均为奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），g（﹣x）＝﹣g（x），且两函数定义域均关于原点对称，则f（g（﹣x））＝f（﹣g（x））＝﹣f（g（x）），且定义域关于原点对称，函数y＝f（g（x））为奇函数，故D正确．故选：D．9．已知椭圆（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F2．设两曲线的一个交点为P，若，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设P（x0，y0），，．∵，则2c（c﹣x0）＝…①，∵抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F2．∴p＝2c…②，由①②可得x0＝，由椭圆、抛物线焦半径公式可得a﹣ex0＝x．整理可得：a﹣e＝⇒2e2+5e﹣3＝0．解得e＝（负值舍）．故选：A．10．已知非常数数列{a n}满足（n∈N*，α，β为非零常数）．若α+β≠0，则（）A．存在α，β，对任意a1，a2，都有数列{a n}为等比数列B．存在α，β，对任意a1，a2，都有数列{a n}为等差数列C．存在a1，a2，对任意α，β，都有数列{a n}为等差数列D．存在a1，a2，对任意α，β，都有数列{a n}为等比数列【解答】解：由题意，得＝a n+1+a n．令t＝，则＝1﹣t，∵α，β为非零常数且α+β≠0，∴t，1﹣t均为非零常数，∴常数t≠0，且t≠1．故a n+2＝ta n+1+（1﹣t）a n．两边同时减去a n+1，可得a n+2﹣a n+1＝ta n+1﹣a n+1+（1﹣t）a n＝（t﹣1）（a n+1﹣a n）．∵常数t≠0，且t≠1．∴t﹣1≠﹣1，且t﹣1≠0．∴a n+1﹣a n＝（t﹣1）（a n﹣a n﹣1）＝（t﹣1）2（a n﹣1﹣a n﹣2）＝…＝（t﹣1）n﹣1（a2﹣a1）．∵数列{a n}是非常数数列，∴a2﹣a1≠0，则当t﹣1＝1，即t＝2，即＝2，即α+2β＝0时，a n+1﹣a n＝a n﹣a n﹣1＝a n﹣1﹣a n﹣2＝…＝a2﹣a1．此时数列{a n}很明显是一个等差数列．∴存在α，β，只要满足α，β为非零，且α+2β＝0时，对任意a1，a2，都有数列{a n}为等差数列．故选：B．二．填空题（共36分）11．设复数z满足（1+i）•z＝2i（i为虚数单位），则z＝1+i，|z|＝．【解答】解：由（1+i）•z＝2i，得z＝，∴|z|＝．故答案为：1+i；．12．已知二项式的展开式中含x2的项的系数为15，则a＝1，展开式中各项系数和等于64．【解答】解：二项式的展开式的通项公式为T r+1＝•a r•x6﹣2r，令6﹣2r＝2 求得r＝2，故展开式中含x2的项的系数为•a2＝15，则a＝1．再令x＝1，可得展开式中各项系数和等于（1+1）6＝64，故答案为：1；64．13．在△ABC中，∠BAC的平分线与BC边交于点D，sin C＝2sin B，则＝2；若AD ＝AC＝1，则BC＝．【解答】解：①如图所示，△ABC中，∠BAC的平分线与BC边交于点D，sin C＝2sin B，所以c＝2b，所以＝＝＝2；②由AD＝AC＝1，所以AB＝2AC＝2，设DC＝x，则BD＝2x，由余弦定理得cos∠BAD＝＝＝，cos∠CAD＝＝＝，又∠BAD＝∠CAD，所以＝，解得x＝；所以BC＝3x＝．故答案为：2，．14．已知函数，则f[f（2019）]＝0；若关于x的方程f（x+a）＝0在（﹣∞，0）内有唯一实根，则实数a的取值范围是[﹣1，]．【解答】解：∵函数，∴f（2019）＝cos2019π＝cosπ＝﹣1，f[f（2019）]＝f（﹣1）＝1﹣（﹣1）2＝0．作出函数的图象，如下图：设f（x）与x轴从左到右的两个交点分别为A（﹣1，0），B（，0），f（x+a）与f（x）的图象是平移关系，∵关于x的方程f（x+a）＝0在（﹣∞，0）内有唯一实根，∴结合图形，得实数a的取值范围是（﹣1，]．故答案为：0，（﹣1，]．15．杭州亚运会启动志愿者招募工作，甲、乙等5人报名参加了A，B，C三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者．若甲不能参加A，B项目，乙不能参加B，C项目，那么共有21种不同的选拔志愿者的方案．（用数字作答）【解答】解：若甲，乙都参加，则甲只能参加C项目，乙只能参见A项目，B项目有3种方法，若甲参加，乙不参加，则甲只能参加C项目，A，B项目，有A32＝6种方法，若甲参加，乙不参加，则乙只能参加A项目，B，C项目，有A32＝6种方法，若甲不参加，乙不参加，有A33＝6种方法，根据分类计数原理，共有3+6+6+6＝21种．故答案为：21．16．已知函数f（x）＝x3﹣9x，g（x）＝3x2+a（a∈R）．若方程f（x）＝g（x）有三个不同的实数解x1，x2，x3，且它们可以构成等差数列，则a＝﹣11．【解答】解：方程f（x）＝g（x）即为x3﹣3x2﹣9x＝a，依题意，函数h（x）＝x3﹣3x2﹣9x与常函数y＝a由三个不同的实数根x1，x2，x3，不妨设x1＜x2＜x3，由x1，x2，x3构成等差数列可知，函数h（x）关于（x2，h（x2））中心对称，而三次函数的对称中心点就是二阶导函数的零点，且h′（x）＝3x2﹣6x﹣9，h''（x）＝6x﹣6，令h''（x）＝6x﹣6＝0，解得x＝1，即x2＝1，故函数h（x）的对称中心即为（1，﹣11），则a＝﹣11．故答案为：﹣11．17．在平面凸四边形ABCD中，AB＝2，点M，N分别是边AD，BC的中点，且，若，则＝﹣2．【解答】解：取BD的中点O，连接OM，ON，可得，平方可得＝＝，即有，，即有•（）＝（）•（）＝（）＝（4﹣）＝，解得，所以＝＝，故答案为：﹣2．三、解答题（5题，共74分）18．已知函数（x∈R）．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间上的值域．【解答】解：（1）函数＝sin2x﹣＝sin2x﹣cos2x+sin x cos x＝sin2x﹣cos2x＝sin（2x﹣），∴f（x）的最小正周期为＝π．（2）在区间上，2x﹣∈[﹣，]，故当2x﹣＝﹣时，函数f（x）取得最小值为﹣，当2x﹣＝时，函数f（x）取得最大值为，故f（x）的值域为[﹣，]．19．已知函数f（x）＝x2+k|x﹣1|﹣2．（1）当k＝1时，求函数f（x）的单调递增区间．（2）若k≤﹣2，试判断方程f（x）＝﹣1的根的个数．【解答】解：（1）k＝1时，f（x）＝x2+|x﹣1|﹣2＝，当x≥1时，f（x）＝（x+）2﹣，此时函数在[1，+∞）上单调递增；当x＜1时，f（x）＝（x﹣）2﹣，此时函数在（，1）上单调递增，综上函数f（x）的单调递增区间是（，+∞）；（2）当x≥1时，则x2+k（x﹣1）﹣2＝﹣1，即（x﹣1）（x+1+k）＝0，即x＝﹣1﹣k，或x＝1；当x＜1时，则x2﹣k（x﹣1）﹣2＝﹣1，即（x﹣1）（x+1﹣k）＝0，即x＝k﹣1，故当k＜﹣2，﹣1﹣k＞1，k﹣1＜1，则方程有3个不等实数根；当k＝﹣2时，﹣1﹣k＝1，k﹣1＝﹣3，则方程有2个不等实数根．20．如图，在△ABC中，，，P为CD上一点，且满足，若△ABC的面积为．（1）求m的值；（2）求的最小值．【解答】解：（1）设||＝c，||＝b，所以S△ABC＝bc sin＝2，解得bc＝8，由＝m+＝m+，且C，P，D三点共线，所以m+＝1，解得m＝；（2）由（1）可知，所以||2＝（）2＝因为＝bc cos＝﹣4，所以||2＝≥2•﹣＝，故||≥，当且仅当b＝2，c＝时取得等号，综上||的最小值为．21．设公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的前n项和为T n，若a2是a1与a4的等比中项，a6＝12，a1b1＝a2b2＝1．（1）求a n，S n与T n；（2）若，求证：．【解答】（1）解：由题意得，，即，得a1＝d（d ≠0），由a6＝12，得a1＝d＝2．∴a n＝a1+（n﹣1）d＝2+2（n﹣1）＝2n，，由a1b1＝a2b2＝1，得，，∴；（2）证明：∵，由0＜＜1恒成立，∴c n＜＜＝，∴c1+c2+…+c n＜．22．设函数f（x）＝e x+ax，a∈R．（1）若f（x）有两个零点，求a的取值范围；（2）若对任意x∈[0，+∞）均有2f（x）+3≥x2+a2，求a的取值范围．【解答】解：（1）f′（x）＝e x+a，①当a≥0时，f′（x）＞0，则f（x）在R上单调递增，不满足题意；②当a＜0时，令f′（x）＝0，解得x＝ln（﹣a），则f（x）在（﹣∞，ln（﹣a））上单调递减，在（ln（﹣a），+∞）上单调递增，要使f（x）有两个零点，只需f（ln（﹣a））＜0，解得a＜﹣e；（2）令g（x）＝2f（x）+3﹣x2﹣a2＝2e x﹣（x﹣a）2+3，x≥0，则g′（x）＝2（e x﹣x+a），又令h（x）＝2（e x﹣x+a），则h′（x）＝2（e x﹣1）≥0，所以h（x）在[0，+∞）上单调递增，且h（0）＝2（a+1），①当a≥﹣1时，g′（x）≥0恒成立，即函数g（x）在[0，+∞）上单调递增，从而必须满足g（0）＝5﹣a2≥0，解得﹣≤a≤，又因为a≥﹣1，所以﹣1≤a≤；②当a＜﹣1时，则存在x0＞0，使h（x0）＝0且x∈（0，x0）时，h（x）＜0，即g′（x）＜0，即g（x）单调递减，x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，即g′（x）＞0，即g（x）单调递增，所以g（x）最小值为g（x0）＝≥0，又h（x0）＝2（）＝0，从而≥0，解得0＜x0≤ln3，由＝x0﹣a，则a＝x0﹣，令M（x）＝x﹣e x，0＜x≤ln3，则M′（x）＝1﹣e x＜0，所以M（x）在（0，ln3上单调递减，则M（x）≥M（ln3）＝ln3﹣3，又M（x）＜M（0）＝﹣1，故ln3﹣3≤a＜﹣1，综上，ln3﹣3≤a≤．。

2019年浙江省杭州市市商贸职业中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数，若对于都有成立，则的取值范围A．B．C．D．参考答案：B略2. 执行如图的程序框图，则输出的值为（）A．2 B． C． D．参考答案：A以4作为一个周期，所以，故选A3. 函数y=x a，y=x b, y=x c在第一象限的图像如图所示，则实数a、b、c的大小关系为（）A.c<b<aB.a<b<cC.b<c<aD.c<a< b参考答案：A4. 福利彩票“双色球”中红球的号码可以从01，02，03，…，32，33这33个二位号码中选取，小明利用如图所示的随机数表选取红色球的6个号码，选取方法是从第1行第9列和第10列的数字开始从左到右依次选取两个数字，则第四个被选中的红色球号码为（）参考答案：C【考点】B2：简单随机抽样．【分析】根据随机数表进行选择即可．【解答】解：第1行第9列和第10列的数字为63，从左到右依次选取两个数字，依次为17，12，33，06，则第四个被选中的红色球号码为06，故选：C5. 若，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．参考答案：答案：A6.正项数列中，已知对一切正整数，都有，若，则（）A.8B.16C.32D.64参考答案：答案:B7.参考答案：B略8. 设a＞0，b＞0，e是自然对数的底数A. 若e a+2a=e b+3b，则a＞bB. 若e a+2a=e b+3b，则a＜bC. 若e a-2a=e b-3b，则a＞bD. 若e a-2a=e b-3b，则a＜b参考答案：A若，必有．构造函数：，则恒成立，故有函数在x＞0上单调递增，即a＞b成立．其余选项用同样方法排除．9. 已知函数f（x）=|lnx|，若f（m）=f（n）（m＞n＞0），则+=（）A．B．1 C．2 D．4参考答案：C【考点】4N：对数函数的图象与性质．【分析】由题意，函数f（x）=|lnx|，f（m）=f（n）（m＞n＞0），可知m与n关于x=1对称，即m+n=2．f（m）=f（n），即lnm=﹣lnn，可得mn=1．即可求解则+的值．【解答】解：由题意，函数f（x）=|lnx|，f（m）=f（n）（m＞n＞0），可知：m与n关于x=1对称，即m+n=2．∵f（m）=f（n），（m＞n＞0），可得lnm=﹣lnn，即lnm+lnn=0，∴mn=1．那么： +==，故选C．【点评】本题考查了对数函数的图象及性质的运用以及对数的运算．属于中档题．10. 设变量x，y满足约束条件则目标函数的最大值为（）A．0 B．1 C． D．2参考答案：D在坐标系中做出可行域如图,由得，平移直线，由图象可知，当直线经过点时，直线的截距最大，此时也最大，最大为，选D.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知向量序列：满足如下条件：，且（）.则中第_____项最小.参考答案：312. 已知是递增的等差数列，，为其前项和，若成等比数列，则▲ .参考答案：7013. 我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细．在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为M，现将该金杖截成长度相等的10段，记第i段的重量为a i（i=1，2，…，10），且a1＜a2＜…＜a10，若48a i=5M，则i= ．参考答案：6【考点】等差数列的通项公式．【分析】由题意知由细到粗每段的重量成等差数列，记为{a n}且设公差为d，由条件和等差数列的通项公式列出方程组，求出a1和d值，由等差数列的前n项和公式求出该金杖的总重量M，代入已知的式子化简求出i的值．【解答】解：由题意知由细到粗每段的重量成等差数列，记为{a n}，设公差为d，则，解得a1=，d=，所以该金杖的总重量M==15，因为48a i=5M，所以48[+（i﹣1）×]=25，即39+6i=75，解得i=6，故答案为：6．14. 已知点P的坐标，过点P的直线与圆相交于A、B两点，则的最小值为．参考答案：4如图，点P位于三角形内。

2019届浙江省杭州市高三教学质量检测数学试题一、单选题1．设集合{}{}21,|4A x x B x x =>=≤，则A B =I ( ) A ．()1,2 B ．(]1,2C ．(]0,2 D ．()1,+∞【答案】B【解析】首先求解集合B ，然后求A B I . 【详解】24x ≤，解得22x -≤≤，所以{}22B x x =-≤≤， 所以{}12A B x x ⋂=<≤. 故选：B 【点睛】本题考查集合的交集，重点考查不等式的解法，属于基础题型.2．已知复数1z i =+（i 是虚数单位），则211z z -=+( )A ．iB ．i -C ．1i +D ．1i -【答案】A【解析】根据完全平方和除法计算公式计算结果. 【详解】原式()()()()()211212215112225i i i i ii i i i i +----=====++++-.故选：A 【点睛】本题考查复数的化简求值，属于基础计算题型.3．二项式612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项为( )A ．20B ．-20C ．160D ．-160【答案】D【解析】首先写出二项式的通项公式()6621612rrr r r T C x --+=-⋅⋅，然后令3r =求常数项. 【详解】()()66621661212rrr r rr r r T C x C x x ---+⎛⎫=⋅⋅-=-⋅⋅ ⎪⎝⎭当620r -=时，3r = ，所以二项式的常数项为()333612160C -⋅=-.故选：D 【点睛】本题考查二项式定理指定项的求法，重点考查通项公式，属于基础题型. 4．“a b >”是“a a b b >”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】C【解析】首先判断y x x =的单调性，再根据单调性判断充分必要条件. 【详解】22,0,0x x y x x x x ⎧≥==⎨-<⎩，函数是奇函数，并且在R 上单调递增，所以a b >时，a a b b >，反过来，若满足a a b b >时，根据函数y x x =是单调递增函数，所以a b >， 所以a b >”是“a a b b >”的充要条件. 故选：C 【点睛】本题考查充分必要条件，重点考查函数单调性的判断方法，转化与化归的思想，属于基础题型.5．《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍（音meng ，底面为矩形的屋脊状的几何体），下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何.已知该刍甍的三视图如图所示，则此刍甍的体积等于( )A ．3B ．5C ．6D ．12【答案】B【解析】首先由三视图还原几何体，再将刍甍分为三部分求解体积，最后计算求得刍甍的体积. 【详解】由三视图换元为如图所示的几何体，该几何体分为三部分，中间一部分是直棱柱，两侧是相同的三棱锥，并且三棱锥的体积113113⨯⨯⨯=， 中间棱柱的体积131232V =⨯⨯⨯= , 所以该刍甍的体积是1235⨯+=. 故选：B 【点睛】本题考查组合体的体积，重点考查空间想象能力和计算能力，属于中档题型. 6．函数()()212x y x x e =--（其中e 为自然对数的底数）的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】首先判断函数零点，并判断零点左右的正负，排除选项，得到正确答案. 【详解】由函数可知函数有两个零点，1,x =和2x =，当2x >时，0y >，2x <且1x ≠时，0y < ，故排除B,C,D. 满足条件的是A. 故选：A 【点睛】本题考查函数图象的识别，重点考查函数性质的灵活应用，属于基础题型，一般函数图象的识别，首先考查函数的定义域，零点，单调性，极值，特殊值等，一般都是排除选项，得到正确答案.7．已知a c ≠，随机变量ξ，η的分布列如表所示.ξ1 2 3Pabcη1 2 3 P cba命题p ：=E E ξη，命题q ：D D ξη=，则( ) A ．p 真q 真 B ．p 真q 假C ．p 假q 真D ．p 假q 假【答案】C【解析】首先分别求E ξ和E η，然后比较，利用公式()()22D E E ξξξ=-，利用公式1a b c ++=，计算D D ξη-的值.【详解】12323E a b c a b c ξ=⨯+⨯+⨯=++ 12332E c b a a b c η=⨯+⨯+⨯=++ ，()2E E c a ξη-=- a c ≠Q ，E E ξη∴≠，所以命题p 是假命题，()249E a b c ξ=++，()()2223E a b c ξ=++，所以()()24923D a b c a b c ξ=++-++()294E a b c η=++，()()2232E a b c η=++，()()()()2229432D E E a b c a b c ηηη=-=++-++ ，()()()()()2283223D D c a a b c a b c ξη-=-+++-++()()()822444c a a c a b c =-+-++ ， 1a b c ++=Q ，所以()()()()880D D c a a c ξη-=-+-=， 即()()D D ξη=,所以命题q 是真命题. 综上可知p 假q 真. 故选：C 【点睛】本题考查离散型分布列的期望方差，属于重点题型，本题使用的关键公式是()()22D E E ξξξ=-，比较大小的关键是利用1a b c ++=. 8．设函数()111222xxf x ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则函数()()y f f x =( )A ．是偶函数也是周期函数B ．是偶函数但不是周期函数C ．不是偶函数是周期函数D ．既不是偶函数也不是周期函数【答案】A【解析】首先去绝对值，得到分段函数()y f x =，判断函数的奇偶性，然后根据()f x 的值域，求函数()()y f f x =，判断函数的周期性.【详解】当1x >时，1122x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以()1111122222x xx f x -⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，当1x ≤时，11,122x⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()11112222xxf x ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以()112122x f x -⎧-⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩ 11x x ≤> ， 函数满足()()f x f x -= ， 所以函数()f x 是偶函数， 那么()()()()ff x f f x -=，所以函数()()y f f x =是偶函数，1x >时，10x -<，所以1021x -<<，11112222x --<-<，所以函数()f x 的值域是11,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭， 所以()12f f x =-⎡⎤⎣⎦， 所以()()y ff x =是常函数，所以是周期函数，综上可知，函数()()y f f x =是偶函数，也是周期函数.故选：A 【点睛】本题考查含绝对值函数，判断函数的奇偶性和周期，重点考查函数解析式和性质的灵活运用，属于中档题型，本题的关键是求函数()y f x =. 9．已知数列{}n a 满足112(,2)n n n a a a n n *-+∈≥N ≤＋，则（ ） A ．52143a a a ≤- B ．2736a a a a +≤+ C ．76633()a a a a -≥- D ．2367a a a a +≥+【答案】C【解析】由112n n n a a a -+≤＋可知11n n n n a a a a -+-≤-，再根据这个不等关系判断选项正误． 【详解】由题得11n n n n a a a a -+-≤-，则有213243546576a a a a a a a a a a a a -≤-≤-≤-≤-≤-， 76435465633()()()()a a a a a a a a a a -≥-+-+-=-，故选C ．【点睛】本题考查数列的递推关系，用到了放缩的方法，属于难题．10．已知椭圆Γ：()222210x y a b a b+=>>，直线1x y +=与椭圆Γ交于M ，N 两点，以线段MN 为直径的圆经过原点.若椭圆Γ的离心率不大于2，则a 的取值范围为（ ）A ．(B ．2⎛ ⎝C ．⎛ ⎝⎦D ．⎛ ⎝⎦【答案】D【解析】由题意可得a >1，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，直径所对的圆周角为直角，化为12120x x y y +=，化简整理，结合离心率公式和不等式的解法，可得a 的范围． 【详解】椭圆Γ：()222210x y a b a b+=>>，直线1x y +=与椭圆Γ交于M ，N 两点，可得a >1，由1x y +=联立椭圆方程可得()222222220a bxa x a ab +-+-=，设()()1122,,,M x y N x y ,可得2222121222222,a a a b x x x x a b a b -+==++， 线段MN 为直径的圆经过原点，可得OM ⊥ON ， 即有12120x x y y +=，可得()()1212110x x x x +--=， 化为()1212210x x x x +-+=，则222222222210a a b a a b a b -⋅+-=++，化为22222a b a b +=，由2e ≤,可得22314b a -≤，即2214b a ≥,可得22212a a a ≥-，即有2214a -≤,解得a ≤， 可得12a <≤ 故选：D . 【点睛】本题主要考查直线与椭圆位置关系问题，根据题目条件列出不等式，重点在于联立方程利用韦达定理代入，化简不等关系可解，属于综合题.二、双空题11．双曲线2214x y -=的焦距为__________；渐近线方程为__________．【答案】 12y x =±【解析】由双曲线2214x y -=可知，224,1,a b ==故2225c a b =+=,焦距2c =渐近线:12b y x x a =±=±,故答案为(1) ， (2) 12y x =±.12．设函数()()()log 020a x x x f x x ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩，若1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则实数a=________；()()2f f =________.【答案】14 2【解析】代入分段函数求a 的值，然后再求()2f 和()()2f f 的值. 【详解】111log 222a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，得121124a a =⇒=所以()14log 2x x f x ⎧⎪=⎨⎪⎩ 00x x >≤ ，那么()1412log 22f ==-，所以()()1212222f f f -⎛⎫=-== ⎪⎝⎭.故答案为：14；2【点睛】本题考查分段函数求值，属于基础题型.13．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知1cos 24C =-，则sin C =________；当2a =，2sin sin A C =时，则b =________.或【解析】首先根据二倍角公式2cos 212sin C C =-计算求值，再根据正弦定理得到2c a =，最后利用余弦定理2222cos c a b ab C =+-，求b .【详解】21cos 212sin 4C C =-=-，所以25sin 8C =0c π<<Q ，sin C ∴=所以cos 4C =±, 由正弦定理可知24c a ==，2222cos c a b ab C ∴=+-,当cos 4C =时，整理为2120b --= ，即(0b b +-=，所以b =当cos 4C =-，整理为2120b +-=，即(0b b -+=，所以b =，所以b =.故答案为：4或【点睛】本题考查二倍角公式，正余弦定理，解三角形，重点考查公式的灵活运用，属于基础题型.14．设实数x，y满足不等式组2502700,0x yx yx y+-≥⎧⎪+-≥⎨⎪≥≥⎩，则2x y+的最小值是________；设22d x y=+，则d的最小值等于________.【答案】5 49 5【解析】首先画出可行域，并且做出初始目标函数20x y+=，根据2z x y=+的几何意义确定z的最小值，再根据22d x y=+的几何意义是可行域内的点到原点距离的平方，由图象确定最小值.【详解】首先如图作出可行域，令2z x y=+，设0z=时，作出初始目标函数20x y+=20x y+=与边界250x y+-=平行，平移初始目标函数20x y+=，当2z x y=+与250x y+-=重合时，z取得最小值，所以5z=；22d x y=+表示可行域内的点与原点连线距离的平方，由图象可知，可行域内的点到原点的最小距离就是原点到直线270x y+-=的距离，即22775521d-'==+，那么d的最小值是275495⎛⎫=⎪⎪⎝⎭.故答案为：5；495【点睛】本题考查线性规划和非线性规划，重点考查数形结合分析问题的能力，属于基础题型.三、填空题15．已知集合{}13,5A =,，{}0,2,4B =，分别从A ，B 中各取2个不同的数，能组成不同的能被3整除的四位偶数的个数是________（用数字作答）. 【答案】32【解析】首先先从两个集合分别选出两个元素，这四个数加起来能被3整除，然后再排列4为偶数，得到最后结果. 【详解】首先先从两个集合中选取元素，分别选取1,3,0,2，1,5,2,4，3,5,0,4共3种组合情况，当四个数是1,3,0,2时，能组成的偶数：个位是0时，共有336A =种，个位是2时，有2224A =种，有6410+=种，当四个数是1,5,2,4时，能组成的偶数有33212A =种，当四个数是3,5,0,4时，能组成的偶数：个位是0时，共有336A =种，个位是4时，有2224A =种，有6410+=种，综上可知能组成不同的能被3整除的四位偶数的个数是10+12+10=32种. 故答案为：32 【点睛】本题考查分步计数和分类计数原理，以及排列，重点考查分析，抽象转化的应用能力，属于中档题型，本题的关键是正确选出4个数字.16．已知向量()1,2a =r ，平面向量b r满足()2a b a +⋅=v v v v，则()4b a b -⋅v v v 的最小值等于________. 【答案】20【解析】由已知条件变形可得10a b ⋅=-rr r ，再利用数量积的公式，将()4b a b-⋅v v v 变形为关于b r的二次函数求最小值.【详解】()222a b a a a b +⋅=+⋅=r rr r r r即105a b b +⋅=r r r ，即510a b b ⋅=-rr r ，()22444540b a b b a b b b -⋅=-⋅=-+r r r r r r r r()22520b =-+r，当25b =r 时，可得()4b a b -⋅r rr 的最小值是20.故答案为：20 【点睛】本题考查向量数量积的应用，二次函数求最值，重点考查转化与化归的思想，计算能力，属于基础题型.17．如图，已知矩形ABCD ，3AB =，1AD =，AF ⊥平面ABC ，且3AF =.E 为线段DC 上一点，沿直线AE 将△ADE 翻折成D AE 'V ，M 为BD '的中点，则三棱锥M BCF -体积的最小值是________.【答案】312【解析】首先分析出11123322BCF S BC BF =⨯⨯=⨯⨯=V 即求棱锥M BCF -体积的最小值即求点M 到平面BCF 的距离的最小值，转化为求点D ¢到平面BCF 距离的最小值，由条件确定点D ¢的运动轨迹为以A 为球心，半径为1的球面的一部分，然后根据图象分析点D ¢到平面BCF 距离的最小值. 【详解】因为AF ⊥平面ABCD ，所以AF BC ⊥, 又因为AB BC ⊥，AB AF A =I ， 所以BC ⊥平面ABF ， 所以BC BF ⊥()223323BF =+=所以11123322BCF S BC BF =⨯⨯=⨯⨯=V所以求棱锥M BCF -体积的最小值即求点M 到平面BCF 的距离的最小值， 因为点M 是BD '的中点，所以点M 到平面BCF 的距离是点D ¢到平面BCF 距离的一半， 因为1AD '=,随着点E 在线段DC 上移动，点D ¢的运动轨迹为以A 为球心，半径为1的球面的一部分， 因为BC ⊥平面ABF ，所以平面BCF ⊥平面ABF ，并且交于BF ， 所以如图，过点A 作AH BF ⊥，即AH ⊥平面BCF ，当D ¢为AH 与球面的交点G 时，D ¢到平面BCF 的距离最小， 此时点E 在线段DC 上， 根据AB AF BF AH ⋅=⋅，可得32AH =,此时31122GH =-=，即D ¢到平面BCF 的距离的最小值是12，那么点M 到平面BCF 距离的最小值是14，所以三棱锥M BCF -体积的最小值是11333412=. 故答案为：312【点睛】本题考查三棱锥体积的最小值，考查空间点的轨迹问题，意在考查空间想象能力，和数形结合分析问题的能力，属于中档题型.四、解答题18．已知函数()23sin 22sin f x x x =+.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）当,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域. 【答案】（1）(),63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）[]1,2-.【解析】（1）首先利用二倍角公式和辅助角公式化简函数()2sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再求函数的单调递增区间； （2）先求26x π-的范围，再求函数sin 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭的范围，最后求函数的值域. 【详解】（1）因为()3sin 21cos 22sin 216f x x x x π⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭， 令222262k x k πππππ-+≤-≤+，解得,63k x k k Z ππππ-+≤≤+∈所以函数()f x 的单调增区间为(),63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.（2）因为,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 所以1sin 21,62x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以()f x 的值域为[]1,2-. 【点睛】本题考查三角函数恒等变换和函数性质的综合应用，重点考查基本变形，基本方法，属于基础题型.19．如图，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，//EF AB ，90BAF ∠=︒，2AD =，1AB AF ==，点P 在线段DF 上.（1）求证：AF ⊥平面ABCD ； （2）若二面角D AP C --，求PF 的长度. 【答案】（1）见解析；（2【解析】（1）先证明AB AF ⊥，又平面ABEF ⊥平面ABCD ，即得AF ⊥平面ABCD ；（2）以A 为原点，以AB ，AD ，AF 为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，由题得cos ,m AB m AB m AB⋅===u u u vu u u v u u u v ，解方程即得解.【详解】（1）证明：∵90BAF ∠=︒，∴AB AF ⊥，又平面ABEF ⊥平面ABCD ，平面ABEF I 平面ABCD AB =，AF ⊂平面ABEF ， ∴AF ⊥平面ABCD .（2）以A 为原点，以AB ，AD ，AF 为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,2,0C ，()0,2,0D，()0,0,1F ，∴()0,2,1FD u u u v =-，()1,2,0AC =u u u v，()1,0,0AB =u u u r由题知，AB ⊥平面ADF ，∴()1,0,0AB =u u u r为平面ADF 的一个法向量，设()01FP FD λλ=≤<u u u v u u u v ，则()0,2,1P λλ-，∴()0,2,1AP λλ=-u u u v， 设平面APC 的一个法向量为(),,x y z =m ，则00m AP m AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v u u u v ， ∴()21020y z x y λλ⎧+-=⎨+=⎩，令1y =，可得22,1,1m λλ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，∴cos ,3m AB m AB m AB⋅===u u u vu u u v u u u v ，得13λ=或1λ=-（舍去），∴PF =【点睛】本题主要考查空间垂直关系的证明，考查二面角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20．设等差数列{}n a 前n 项和为n A ，等比数列{}n b 前n 项和为n B .若387n n B B +=+，12a b =，44a b =.（1）求n b 和n A ；（2）求数列{}n n b A -的最小项. 【答案】（1）12n nb -=，2n A n n =+；（2）514c =-.【解析】（1）由等比数列的性质，变形条件为3112387n n n B q B a a a B +=+++=+，列方程求等比数列的首项和公比，再由12a b =，44a b =，求等差数列的首项和公差；（2）由（1）可知122n n n b A n n +-=--，判断数列的单调性，再求最小项.【详解】（1）因为3312387n n n B q B b b b B +=+++=+，所以312387q b b b ⎧=⎨++=⎩，解得112b q =⎧⎨=⎩. 所以12n nb -=.又因为122a b ==，448a b ==，所以2d =，2n a n =，因此2n A n n =+. （2）设122n n n n c b A n n -=-=--.又因为()11221n n n c c n -+-=-+，所以当4n ≤时，1n n c c +<，当5n ≥时，1n n c c +>， 所以数列{}n c 的最小项为514c =-.【点睛】本题考查数列的基本量的求解和等比数列的性质，以及数列的单调性，最值的综合应用，意在考查转化与变形，计算能力，属于中档题型，本题第一问巧妙的运用了等比数列的性质33123n n B q B b b b +=+++，这样问题迎刃而解.21．如图，已知()1,1P 为抛物线2y x =上一点，斜率分别为k ，k -()2k >的直线PA ，PB 分别交抛物线于点A ，B （不与点P 重合）.（1）证明：直线AB 的斜率为定值； （2）若△ABP 265. （i ）求△ABP 的周长（用k 表示）； （ii ）求直线AB 的方程.【答案】（1）证明见解析；（2）（i ）22125k k +；（ii ）224y x =-+. 【解析】（1）首先设直线P A 的方程为()11y k x =-+，与抛物线2y x =联立，求得点A 的坐标，将k k =-，求得点B 的坐标，再求直线AB 的斜率；（2）（ⅰ）利用弦长公式，分别求三角形的三边长，（ⅱ）首先求点P 到直线AB 的距离，再利用等面积公式转化方程求k ，最后求直线AB 的方程. 【详解】（1）设直线P A 的方程为()11y k x =-+，与抛物线2y x =联立，得210x kx k -+-=，易知()()21,1A k k --，()()21,1B k k --+， 所以直线AB 的斜率2AB k =-（定值）.（2）由（1）得直线AB 的方程为()()2211y x k k =--++-，所以点P 到直线AB的距离2d =. ()2AP k =-，()2BP k =+，AB =.（ⅰ）求ABP ∆的周长2l =； （ⅱ）设ABP ∆的内切圆半径为r，则r =-2AB d r l⋅====5k =. 所以直线AB 的方程为224y x =-+. 【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系的综合应用，重点考查转化与化归的思想，计算能力，坐标法解决几何问题的思想，属于中档题型，本题的关键是利用方程联立求出点,A B 的坐标.22．已知函数()()1xf x x e =-.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若方程()(),f x ax b a b R =+∈有非负实数解，求2+4a b 的最小值. 【答案】（1）()0,∞+；（2）()24ln 21--.【解析】（1）首先求函数的导数()xf x xe '=，直接求函数的单调递增区间；（2）设()()g x f x ax b =--，求函数的导数()x g x xe a '=-，当0a ≤时，判断函数在()0,∞+上单调性，当有非负实数解时，求24a b +的最小值，当0a >，转化为存在00x >使()00g x '=，即00x a x e =，且()g x 在[]00,x 上单调递减，在[)0,x +∞上单调递增转化为()002222000441x x a b x ex x e +≥--+，通过构造函数()()22241x x h x x e x x e =--+，求函数的最小值.【详解】（1）因为()xf x xe '=，所以函数()f x 的单调递增区间为()0,∞+.（2）设()()1xg x x e ax b =---，则()xg x xe a '=-.①当0a ≤时，因为()0g x '≥，所以()g x 在[)0,+∞单调递增， 所以()010g b =--≤，得1b ≥-，故244a b +≥-. ②当0a >时，存在00x >使()00g x '=，即00xa x e =，且()g x 在[]00,x 上单调递减，在[)0,x +∞上单调递增.所以()()000010xg x x e ax b =---≤，解得()()0002000011x x x b x e ax x e x e ≥--=--，因此()002222000441x x a b x e x x e +≥--+.设()()22241xx h x x ex x e =--+，则()()()222x x x h x x e e =+-'，所以()h x 在[]0,ln 2上单调递减，在[)ln 2,+∞上单调递增， 所以()()ln 204h h <=-，()()2ln 24ln 28ln 28h x h ≥=-+-.所以当2ln2a =，22ln 22ln 22b =-+-时，24a b +取到最小值()24ln 21--，此时方程()f x ax b =+有零点ln 2.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，最值，零点，属于综合性强的题型，本题的难点是第二问0a >时的讨论，通过转化，变形构造函数，转化为求函数的最小值.。

浙江省杭州市19-20学年高三上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合A={1,2，3}，B={x|−1<x<3,x∈Z}，则A∩B等于()A. {1}B. {1,2}C. {0,1，2，3，}D. {1,2，3}2.双曲线x22−y2=−1的离心率为()A. √33B. √62C. √3D. 323.“a⃗⋅b⃗ ≥0”是“a⃗与b⃗ 的夹角为锐角”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知实数x，y满足{y≥0 x−y≥1x+2y≤4 , 则该不等式组所表示的平面区域的面积为().A. 12B. 32C. 2D. 35.已知正实数x，y满足(x−1)(y+1)=4，则x+y的最小值为______ ．A. 1B. 1C. 1D. 16.随机变量ξ的取值为0，1，2，若P(ξ=0)=15，期望E(ξ)=1，则方差D(ξ)=()A. 15B. 25C. √55D. 2√557.已知函数f(x)=13ax3+12ax2+x(a∈R)，下列选项中不可能是函数f(x)图象的是()A. B.C. D.8. 已知函数f(x)={2x ,x <0x −a,x ≥0，以下说法正确的是( )A. ∀a ∈R ，函数f(x)在定义域上单调递增B. ∀a ∈R ，函数f(x)存在零点C. ∃a ∈R ，函数f(x)有最大值D. ∃a ∈R ，函数f(x)没有最小值9. 已知抛物线y 2=2px(p >0)与椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个公共点，且AF ⊥x 轴，则椭圆的离心率为( )A. √3−1B. √2−1C. √5−12 D. 2√2−1210. 已知在数列{a n }中，a 1=2，a 2=5，且a n+2=a n+1+a n ，则a 5=( )A. 13B. 15C. 17D. 19二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11. 已知复数z =(1+i)(1−i)(i 是虚数单位)，则|z|= ______ ．12. 已知在(1−2x)n 的展开式中，各项的二项式系数之和是64，则(1+2x)n (1−2x 2)的展开式中，x 4项的系数是__________．13. 已知△ABC 中，∠ABC =45°，AB =√2，BC =3，则sin∠BAC = ______ ． 14. 已知函数f (x )={log 2x,x >03x ,x ≤0，且关于x 的方程f (x )+x −a =0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是___________．15. 有11名跳水运动员，其中10米跳台跳水运动员4人，3米跳板跳水运动员5人，还有甲、乙两人两个项目都可参加．现从中选取8人组成跳水队(两个项目各4人)，则不同的安排方法共有________种．16. 关于x 的方程x 3−3x 2−a =0有3个不同的实数解，则a 的取值范围是______ ． 17. 在△ABC 中，AC =4，M 为AC 的中点，BM =3，则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ． 三、解答题（本大题共5小题，共74.0分） 18. 已知函数，其中0<α<π2，且f (0)=√3−1．(Ⅰ)求α的值；(Ⅱ)求f (x )的最小正周期和单调递减区间．19. 已知定义在R 上的函数f(x)满足f(x +2)=f(x)，当x ∈[0,2]时，f(x)=(12)|x−m |．(1)求实数m 的值；(2)设g(x)=log 2x ，求证：方程f(x)=g(x)只有一个实数解．20. 在△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AC 边上的中点，G 为BE 上一点，且GB =2GE ，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，试用a⃗ ，b ⃗ 表示AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ．21. 设{a n }是一个公差为d (d ≠0)的等差数列，它的前10项和S 10=110，且a 22=a 1a 4．(1)证明：a1=d；(2)求公差d的值和数列{a n}的通项公式．22.设函数f(x)=e x+ax，a∈R．(1)若f(x)有两个零点，求实数a的取值范围;(2)若对任意的x∈[0,+∞)均有2f(x)+3≥x2+a2，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：集合A={1,2，3}，B={x|−1<x<3,x∈Z}={0,1，2}，则A∩B={1,2}．故选：B．化简集合B，根据交集的定义写出A∩B．本题考查了交集的定义与运算问题，是基础题．2.答案：C解析：解：双曲线x22−y2=−1可得y2−x22=1，∴a2=1，b2=2．∴离心率e=ca =√c2a2=√1+b2a2=√3．故选：C．由双曲线x22−y2=−1可得y2−x22=1，可得a2=1，b2=2.利用离心率e=√1+b2a2即可得出．本题考查了双曲线的标准方程及其性质，属于基础题．3.答案：B解析：解：a⃗与b⃗ 的夹角为锐角⇒a⃗⋅b⃗ ≥0，反之不成立，夹角可能为0．∴“a⃗⋅b⃗ ≥0”是“a⃗与b⃗ 的夹角为锐角”的必要不充分条件．故选：B．a⃗与b⃗ 的夹角为锐角⇒a⃗⋅b⃗ ≥0，反之不成立，夹角可能为0.即可判断出结论．本题考查了向量的夹角、数量积运算性质、简易逻辑，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.答案：B解析：本题考查二元一次不等式组表示平面区域，作出不等式组对应的平面区域，根据对应图形的面积公式即可得到结果．解：作出不等式组对应的平面区域如图：则B(1,0)，C(4,0)，A(2,1)，因此不等式组所表示的平面区域的面积为12×(4−1)×1=32．故选B．5.答案：C解析：解：正实数x，y满足(x−1)(y+1)=4，化为y=5−xx−1>0，解得1<x<5．∴x+y=x+5−xx−1=x−1+4x−1≥2√(x−1)⋅4x−1=4，当且仅当x=3(y=1)时取等号．∴x+y的最小值为4．故答案为：4．正实数x，y满足(x−1)(y+1)=4，可化为y=5−xx−1>0，解得x的取值范围．再利用基本不等式即可得出．本题考查了基本不等式的性质、一元二次不等式的解法，属于基础题．6.答案：B解析：本题考查随机变量的期望与方差的计算，属于较易题．先利用期望E(ξ)=1求出P(ξ=1),P(ξ=2)，然后利用方差公式求解即可．解：设P(ξ=1)=m，P(ξ=2)=45−m，因为E(ξ)=1×m+2×(45−m)=1，所以m=35，D(ξ)=15×(0−1)2+35×(1−1)2+15×(2−1)2=25．故选B．7.答案：D解析：本题考查利用导数研究函数的单调性及函数图象，属于基础题．求出函数f(x)的导数，通过讨论a的范围，判断函数的单调性，从而求出答案即可．解：因为f(x)=13ax3+12ax2+x(a∈R)，f′(x)=ax2+ax+1，Δ=a2−4a，当0<a<4时，f′(x)=0无实数根，f′(x)>0，f(x)递增，故A可能；当a>4或a<0时，f′(x)=0有2个实数根，当a<0时，f(x)先递减再递增再递减，当a>4时，f(x)先递增再递减再递增，故B、C可能，故选D．8.答案：D解析：解：对于A，当a=1时，f(0)=−1<12=f(−1)，函数f(x)在定义域上不是单调递增函数，故A错误；对于B，当a<0时，在区间[0,+∞)上，f(x)=x−a>0恒成立，在区间(−∞,0)上，f(x)=2x>0恒成立，所以函数f(x)在定义域内不存在零点，故B错误；对于C，当x≥0时，f(x)=x−a，无论a取何值，函数无最大值，故C错误；对于D，∃a=1∈R，使得函数f(x)的值域为(0,+∞)，没有最小值，故D正确．故选：D．A，当a=1时，易求f(0)=−1<12=f(−1)，可判断A的正误；B，当a<0时，利用指数函数与二次函数的性质可知f(x)>0恒成立，从而可判断B的正误；C，当x≥0时，f(x)=x−a，无论a取何值，函数无最大值，据此可判断C的正误；D，∃a=1∈R，使得函数f(x)的值域为(0,+∞)，没有最小值，可判断D的正误．本题考查命题的真假判断与应用，考查分段函数的单调性质、最值应用，属于中档题．9.答案：B解析：解：如图所示，∵AF⊥x轴，∴p2=c，把x=p2代入抛物线方程可得：y2=2p⋅p2，解得y=p．∴A(p2,p)，即A(c,2c)．代入椭圆的方程可得：c2a2+4c2b2=1，又b2=a2−c2，∴c2a2+4c2a2−c2=1，化为e4−6e2+1=0，0<e<1．解得e2=3−2√2，∴e=√2−1．故选：B．如图所示，由AF⊥x轴，可得p2=c，分别代入椭圆与抛物线标准方程可得：A(p2,p)，即A(c,2c).代入椭圆的方程可得：c2a2+4c2b2=1，又b2=a2−c2，利用离心率计算公式即可得出．本题考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质、一元二次方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.答案：D解析：本题考查数列的递推式的运用，考查运算能力，属于基础题．由a1=2，a2=5，且a n+2=a n+1+a n，分别求得a3，a4，a5．解：在数列{a n}中，a1=2，a2=5，且a n+2=a n+1+a n，可得a3=a1+a2=2+5=7，a4=a3+a2=7+5=12，a5=a4+a3=12+7=19，故选：D．11.答案：2解析：解：∵z=(1+i)(1−i)=1−i2=2，∴|z|=2．故答案为：2．直接利用复数代数形式的乘法运算化简，然后求|z|．本题考查复数代数形式的乘法运算，是基础的计算题．12.答案：120解析：2n=64，所以n=6．T r+1=C6r(2x)r=C6r2r⋅x r，令r=4，则T5=C6424⋅x4=240x4，令r=2，则T3=C6222x2=60x2，x4项为240x4×1−60x2×2x2=120x4，故x4项的系数为120．13.答案：3√1010解析：解：∵∠ABC=45°，AB=√2，BC=3，∴由余弦定理可得：AC2=AB2+BC2−2AB⋅BC⋅cos∠ABC=2+9−2×√2×3×sin45°=5，可得AC=√5，∴由正弦定理可得：sin∠BAC=BC⋅sin∠ABCAC =√5=3√1010．故答案为：3√1010．由已知利用余弦定理可求得AC的值，由正弦定理可求得sin∠BAC的值，从而得解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．14.答案：(1,+∞)解析：本题主要考查方程根的个数的应用，利用方程和函数之间的关系转化为两个图象的交点个数问题是解决本题的关键.利用数形结合的数学思想．解：由f(x)+x−a=0得f(x)=−x+a，∵函数f(x)={log2x,x>0 3x,x≤0，∴作出函数f(x)和y=−x+a的图象：则由图象可知，要使方程f(x)+x−a=0有且只有一个实根，则a>1．故答案为(1,+∞)．15.答案：185解析：本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于中档题．根据题意，设只能参加10米跳台跳水运动员4人组成集合A，则集合A中最少有2人参加、最多4人参加跳水队，据此分3种情况讨论，由加法原理分析可得答案．解：根据题意，设只能参加10米跳台跳水运动员4人组成集合A，则集合A中最少有2人参加、最多4人参加跳水队，分3种情况讨论：①，从集合A中选取4人，参加跳水队，有C44C74=35种情况，②，从集合A中选取3人，参加跳水队，有C43C21C64=120种情况，③，从集合A中选取2人，参加跳水队，有C42C22C54=30种情况，则有35+120+30=185种情况；故答案为185．16.答案：(−4,0)解析：解：由x 3−3x 2−a =0，得x 3−3x 2=a ．令f(x)=x 3−3x 2，解x 3−3x 2=0，得x 1=x 2=0，或x 3=3，即函数f(x)有一个零点3，和一个二重零点0．又f′(x)=3x 2−6x =3x(x −2)，令f′(x)=0，则x =0或2.列表如下：由表格可以看出：函数f(x)在区间(−∞,0)上单调递增，在区间(0,2)上单调递减，在区间(2,+∞)上单调递增． 在x =0时取得极大值，且f(0)=0；在x =2时取得极小值，且f(2)=−4．综上可画出函数y =f(x)的图象，如下图：要使函数y =f(x)与y =a 由三个不同的交点，则必须满足−4<x <0．此时满足 关于x 的方程x 3−3x 2−a =0有3个不同的实数解．故答案为(−4,0)．分析：关于x 的方程x 3−3x 2−a =0有3个不同的实数解⇔函数y =x 3−3x 2与y =a 由三个不同的交点，利用导数先得出函数y =f(x)的单调性并画出图象，进而即可得出答案．把方程的解得问题转化问题函数的交点问题和熟练应用导数得到函数的单调性并画出图象是解题的关键．17.答案：5解析：解：∵M 为AC 的中点，∴BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=36，①∵BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−2BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA⃗⃗⃗⃗⃗ 2=16，② ①−②得：4BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =20，∴BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =5．故答案为：5．由题意可得BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA⃗⃗⃗⃗⃗ ，对两式平方相减即可得出答案． 本题考查了平面向量线性运算的几何意义，平面向量的数量积运算，属于在中档题． 18.答案：解：(Ⅰ)由已可得，f(0)=√3cos0−2sin 2(0−α)=√3−2sin 2α=√3−1．其中0<α<π2，∴sinα=√22，∴α=π4． (Ⅱ)由(Ⅰ)可得，函数f(x)=√3cos2x −2sin 2(x −α)=√3cos2x −2sin 2(x −π4)=√3cos2x −2⋅1−cos(2x−π2)2=√3cos2x +sin2x −1=2sin(2x +π3)−1， ∴函数f(x)最小正周期为2π2=π．令2kπ+π2≤2x +π3≤2kπ+3π2，求得kπ+π12≤x ≤kπ+7π12， 可得函数的减区间为[kπ+π12,kπ+7π12]，k ∈Z ．解析：本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和单调性，属于中档题．(Ⅰ)根据函数的解析式以及f(0)=√3−1，求得α的值．(Ⅱ)由(Ⅰ)可得f(x)的解析式，再利用正弦函数的周期性和单调性，得出结论．19.答案：解：(1)由x ∈[0,2]时，f (x +2)=f (x )，令x =0有f (2)=f (0)，得|2−m |=|m |，所以m =1．(2)由(1)可知f(x)=(12)|x−1|，x ∈[0,2]， 所以当x ∈[0,2]时，f (x )的值域为[12,1]，又f (x )是周期为2的周期函数，故f (x )的值域为[12,1]，当x >2时，f (x )≤1<g (x )，故此时方程无解；当0<x ≤1时，g (x )≤0<f (x )，此时方程无解；当x =2时，f (x )≠g (x )，不是方程的解；当1<x <2时，记F(x)=f(x)−g(x)=(12)x−1−log 2x ，因为F (x )在x ∈[1,2]上的函数图象连续并单调递减且F(1)⋅F(2)=−12<0，所以函数F (x )在(1,2)内有唯一的零点，即方程f (x )=g (x )在x ∈(1,2)上有唯一的实数解．综上可知，方程f (x )=g (x )有唯一的实数解．解析：本题主要考查复合函数的知识，关键是知道复合函数的特点．(1)令x =0有f (2)=f (0)，代入f(x)=(12)|x−1|即可求出m =1． (2)本题利用函数的零点与方程根的关系，把判断方程f (x )=g (x )实数解的个数，转化为求函数F(x)=f(x)−g(x)=(12)x−1−log 2x 的零点个数，由(1)可知f (x )是周期为2的周期函数，再利用函数F (x )的单调性从而确定零点个数，即解的个数．20.答案：解：AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12a →+12b →． AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BG ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BE → =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =23AB →+13(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =13AB →+13AC → =13a →+13b →．解析：利用平面向量的加减运算及平面向量基本定理表示出向量即可．21.答案：证明：(1)因a 22=a 1a 4 ， 而{a n }是等差数列，有a 2=a 1+d ，a 4=a 1+3d ，于是(a 1+d)2=a 1(a 1+3d)，即a12+2a1d+d2=a12+3a1d，化简得a1=d；d，得到10a1+45d=110，(2)解：由条件S10=110和S10=10a1+10×92由(1)，a1=d，代入上式得55d=110，故d=2，a n=a1+(n−1)d=2n，因此，数列{a n}的通项公式为a n=2n．解析：本题主要考查等差数列的应用，熟悉等差数列和等比数列的性质是解答本题的关键，属于中档题．(1)由已知a22=a1⋅a4，代入等差数列的通项可转化为(a1+d)2=a1⋅(a1+3d)，整理可得．d，联立方程可求a1，d及a n(2)结合(1)且有s10=10a1+10×9222.答案：解：(1)f′(x)=e x+a，①当a≥0时，f′(x)>0，则f(x)在R上单调递增，不满足题意；②当a<0时，令f′(x)=0，解得x=ln(−a)，当x<ln(−a)时f′(x)<0，当x>ln(−a)时f′(x)>0，则f(x)在(−∞,ln(−a))上单调递减，在(ln(−a),+∞)上单调递增，要使f(x)有两个零点，只需f(ln(−a))<0，解得a<−e；(2)设F(x)=2f(x)+3−x2−a2=2e x−x2+2ax−a2+3，x∈[0,+∞)F′(x)=2e x−2x+2a，F′′(x)=2e x−2，∵F′′(x)≥0，∴F′(x)在上递增，F′(0)=2a+2，当2a+2≥0时，即a≥−1，此时F′(x)≥0，∴F(x)在上递增，∴F(x)min=F(0)=5−a2≥0，解得−1≤a≤√5;当2+2a<0时，即a<−1，F(x)在(0,x0)上递减，在(x0,+∞)上递增，(x0≥0)∴F(x)min=F(x0)=2e x0−2x0+2a=0，即2e x0=2x0−2a，∴F(x0)=2x0−2a−x02+2ax0−a2+3=−x02+2(a+1)x0+(a+3)(a−1)≥0，∴a−1≤x0≤a+3，又a<−1，x0≥0，∴F′(a+3)=2e a+3−2(a+3)+2a≥0，∴e a+3≥3，解得ln3−3≤a<−1，综上所述，ln3−3≤a≤√5，即实数a的取值范围为[ln3−3,√5].解析：本题考查函数导数的综合应用，属于较难题．(1)求出F(x)的导数，对a进行分类讨论，即可得出结论；(2)设F(x)=2f(x)+3−x2−a2=2e x−x2+2ax−a2+3，x∈[0,+∞)，求得F′(0)=2a+2，接下来分a≥−1和a<−1两种情况进行讨论，利用导数分别求出F(x)min，再利用F(x)min≥0，综合考虑即可求得实数a的取值范围．。

2019-2020学年高三第一学期期末数学试卷一、选择题1．设集合A＝{x|x＞2}，B＝{x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，则A∩B＝（）A．{x|x＞1} B．{x|2＜x＜3} C．{x|1＜x＜3} D．{x|x＞2或x＜1} 2．双曲线的离心率等于（）A．B．C．D．3．已知非零向量，，则“•＞0”是“向量，夹角为锐角”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．若实数x，y满足不等式组，则（）A．y≥1 B．x≥2 C．x+2y≥0 D．2x﹣y+1≥0 5．设正实数x，y满足e x•e y＝（e x）y，则当x+y取得最小值时，x＝（）A．1 B．2 C．3 D．46．已知随机变量ξ的取值为i（i＝0，1，2）．若，E（ξ）＝1，则（）A．P（ξ＝1）＜D（ξ）B．P（ξ＝1）＝D（ξ）C．P（ξ＝1）＞D（ξ）D．7．下列不可能是函数f（x）＝x a（2x+2﹣x）（a∈Z）的图象的是（）A．B．C．D．8．若函数y＝f（x），y＝g（x）定义域为R，且都不恒为零，则（）A．若y＝f（g（x））为周期函数，则y＝g（x）为周期函数B．若y＝f（g（x））为偶函数，则y＝g（x）为偶函数C．若y＝f（x），y＝g（x）均为单调递增函数，则y＝f（x）•g（x）为单调递增函数D．若y＝f（x），y＝g（x）均为奇函数，则y＝f（g（x））为奇函数9．已知椭圆（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F2．设两曲线的一个交点为P，若，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．10．已知非常数数列{a n}满足（n∈N*，α，β为非零常数）．若α+β≠0，则（）A．存在α，β，对任意a1，a2，都有数列{a n}为等比数列B．存在α，β，对任意a1，a2，都有数列{a n}为等差数列C．存在a1，a2，对任意α，β，都有数列{a n}为等差数列D．存在a1，a2，对任意α，β，都有数列{a n}为等比数列二、填空题11．设复数z满足（1+i）•z＝2i（i为虚数单位），则z＝，|z|＝．12．已知二项式的展开式中含x2的项的系数为15，则a＝，展开式中各项系数和等于．13．在△ABC中，∠BAC的平分线与BC边交于点D，sin C＝2sin B，则＝；若AD ＝AC＝1，则BC＝．14．已知函数，则f[f（2019）]＝；若关于x的方程f（x+a）＝0在（﹣∞，0）内有唯一实根，则实数a的取值范围是．15．杭州亚运会启动志愿者招募工作，甲、乙等5人报名参加了A，B，C三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者．若甲不能参加A，B项目，乙不能参加B，C项目，那么共有种不同的选拔志愿者的方案．（用数字作答）16．已知函数f（x）＝x3﹣9x，g（x）＝3x2+a（a∈R）．若方程f（x）＝g（x）有三个不同的实数解x1，x2，x3，且它们可以构成等差数列，则a＝．17．在平面凸四边形ABCD中，AB＝2，点M，N分别是边AD，BC的中点，且，若，则＝．三、解答题18．已知函数（x∈R）．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间上的值域．19．已知函数f（x）＝x2+k|x﹣1|﹣2．（1）当k＝1时，求函数f（x）的单调递增区间．（2）若k≤﹣2，试判断方程f（x）＝﹣1的根的个数．20．如图，在△ABC中，，，P为CD上一点，且满足，若△ABC的面积为．（1）求m的值；（2）求的最小值．21．设公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的前n项和为T n，若a2是a1与a4的等比中项，a6＝12，a1b1＝a2b2＝1．（1）求a n，S n与T n；（2）若，求证：．22．设函数f（x）＝e x+ax，a∈R．（1）若f（x）有两个零点，求a的取值范围；（2）若对任意x∈[0，+∞）均有2f（x）+3≥x2+a2，求a的取值范围．参考答案一、选择题1．设集合A＝{x|x＞2}，B＝{x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，则A∩B＝（）A．{x|x＞1} B．{x|2＜x＜3} C．{x|1＜x＜3} D．{x|x＞2或x＜1} 【分析】化简集合B，根据交集的定义写出A∩B．解：集合A＝{x|x＞2}，B＝{x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}＝{x|1＜x＜3}，则A∩B＝{x|2＜x＜3}．故选：B．2．双曲线的离心率等于（）A．B．C．D．【分析】由双曲线＝1可得a2＝4，b2＝1，可得a＝2，c＝，利用离心率计算公式即可得出．解：由双曲线＝1可得a2＝4，b2＝1，∴a＝2，c＝＝．∴双曲线的离心率e＝＝．故选：A．3．已知非零向量，，则“•＞0”是“向量，夹角为锐角”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】与都是非零向量，则“向量与夹角为锐角”⇒“”，反之不成立，即可判断出结论．解：与都是非零向量，则“向量与夹角为锐角”⇒“”，反之不成立，可能同向共线．因此“”是“向量与夹角为锐角”的必要不充分条件．故选：B．4．若实数x，y满足不等式组，则（）A．y≥1 B．x≥2 C．x+2y≥0 D．2x﹣y+1≥0 【分析】作出不等式组对应的平面区域，结合图象即可求解．解：作出不等式组对应的平面区域如图：；由图可得A，B均不成立；对于C：因为直线x+2y＝0过平面区域，红线所表，故函数值有正有负，不成立．故只有答案D成立．故选：D．5．设正实数x，y满足e x•e y＝（e x）y，则当x+y取得最小值时，x＝（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据e x•e y＝（e x）y，可得x+y＝xy，再利用基本不等式可得，从而得到，然后确定当x+y取得最小值时x的值即可．解：∵正实数x，y满足e x•e y＝（e x）y，∴x+y＝xy，又∵，∴，∴xy≥4，∴x+y≥4，当且仅当x＝y＝2时取等号，∴当x+y取得最小值时，x＝2．故选：B．6．已知随机变量ξ的取值为i（i＝0，1，2）．若，E（ξ）＝1，则（）A．P（ξ＝1）＜D（ξ）B．P（ξ＝1）＝D（ξ）C．P（ξ＝1）＞D（ξ）D．【分析】推导出P（ξ＝1）+2P（ξ＝2）＝1，P（ξ＝1）+P（ξ＝2）＝从而P（ξ＝1）＝，P（ξ＝2）＝，由此推导出P（ξ＝1）＞D（ξ）．解：∵随机变量ξ的取值为i（i＝0，1，2）．，E（ξ）＝1，∴P（ξ＝1）+2P（ξ＝2）＝1，P（ξ＝1）+P（ξ＝2）＝，∴P（ξ＝1）＝，P（ξ＝2）＝，∴D（ξ）＝+＝．∴P（ξ＝1）＞D（ξ）．故选：C．7．下列不可能是函数f（x）＝x a（2x+2﹣x）（a∈Z）的图象的是（）A．B．C．D．【分析】根据题意，分a＝0、a＞0和a＜0三种情况讨论，分析函数f（x）的定义域、奇偶性以及单调性，综合即可得答案．解：根据题意，函数f（x）＝x a（2x+2﹣x）（a∈Z），当a＝0，f（x）＝（e x+e﹣x），（x≠0）其定义域为{x|x≠0}，f（x）为偶函数，不经过原点且在第一象限为增函数，A选项符合；当a为正整数时，f（x）＝x a（e x+e﹣x），其定义域为R，图象经过原点，没有选项符合；当a为负整数时，f（x）＝x a（e x+e﹣x），其定义域为{x|x≠0}，其导数f′（x）＝ax a ﹣1（e x+e﹣x）+x a（e x﹣e﹣x），当x＞0时，f′（x）＝x a﹣1[a（e x+e﹣x）+x（e x﹣e﹣x）]＝x a﹣1[（a+x）e x+（a﹣x）e﹣x]，则f′（x）先负后正，故f（x）不经过原点且在第一象限先减后增，BD符合；故选：C．8．若函数y＝f（x），y＝g（x）定义域为R，且都不恒为零，则（）A．若y＝f（g（x））为周期函数，则y＝g（x）为周期函数B．若y＝f（g（x））为偶函数，则y＝g（x）为偶函数C．若y＝f（x），y＝g（x）均为单调递增函数，则y＝f（x）•g（x）为单调递增函数D．若y＝f（x），y＝g（x）均为奇函数，则y＝f（g（x））为奇函数【分析】举例说明A，B，C错误；利用函数奇偶性的定义证明D正确．解：令f（x）＝sin x，g（x）＝2x，函数sin2x是周期函数，但y＝g（x）不是周期函数，故A错误；令f（x）＝x2+1，g（x）＝2x，则f（g（x））＝4x2+1为偶函数，但y＝g（x）不是偶函数，故B错误；令f（x）＝x，g（x）＝x3，y＝f（x），y＝g（x）均为R上的单调递增函数，但y＝f （x）•g（x）＝x4在R上不单调，故C错误；由y＝f（x），y＝g（x）均为奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），g（﹣x）＝﹣g（x），且两函数定义域均关于原点对称，则f（g（﹣x））＝f（﹣g（x））＝﹣f（g（x）），且定义域关于原点对称，函数y ＝f（g（x））为奇函数，故D正确．故选：D．9．已知椭圆（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F2．设两曲线的一个交点为P，若，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【分析】设P（x0，y0），由，p＝2c，可得x0＝，由椭圆、抛物线焦半径公式可得a﹣ex0＝x，整理可得：a﹣e＝⇒e＝即可．解：设P（x0，y0），，．∵，则2c（c﹣x0）＝…①，∵抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F2．∴p＝2c…②，由①②可得x0＝，由椭圆、抛物线焦半径公式可得a﹣ex0＝x．整理可得：a﹣e＝⇒2e2+5e﹣3＝0．解得e＝（负值舍）．故选：A．10．已知非常数数列{a n}满足（n∈N*，α，β为非零常数）．若α+β≠0，则（）A．存在α，β，对任意a1，a2，都有数列{a n}为等比数列B．存在α，β，对任意a1，a2，都有数列{a n}为等差数列C．存在a1，a2，对任意α，β，都有数列{a n}为等差数列D．存在a1，a2，对任意α，β，都有数列{a n}为等比数列【分析】本题先将递推式进行变形，然后令t＝，根据题意有常数t≠0，且t≠1．将递推式通过换元法简化为a n+2＝ta n+1+（1﹣t）a n．两边同时减去a n+1，可得a n+2﹣a n+1＝（t ﹣1）（a n+1﹣a n）．根据此时逐步递推可得a n+1﹣a n＝（t﹣1）（a n﹣a n﹣1）＝（t﹣1）2（a n﹣1﹣a n﹣2）＝…＝（t﹣1）n﹣1（a2﹣a1）．根据题意有a2﹣a1≠0，则当t﹣1＝1，即t＝2，即＝2，即α+2β＝0时，可得到数列{a n}是一个等差数列．由此可得正确选项．解：由题意，得＝a n+1+a n．令t＝，则＝1﹣t，∵α，β为非零常数且α+β≠0，∴t，1﹣t均为非零常数，∴常数t≠0，且t≠1．故a n+2＝ta n+1+（1﹣t）a n．两边同时减去a n+1，可得a n+2﹣a n+1＝ta n+1﹣a n+1+（1﹣t）a n＝（t﹣1）（a n+1﹣a n）．∵常数t≠0，且t≠1．∴t﹣1≠﹣1，且t﹣1≠0．∴a n+1﹣a n＝（t﹣1）（a n﹣a n﹣1）＝（t﹣1）2（a n﹣1﹣a n﹣2）＝…＝（t﹣1）n﹣1（a2﹣a1）．∵数列{a n}是非常数数列，∴a2﹣a1≠0，则当t﹣1＝1，即t＝2，即＝2，即α+2β＝0时，a n+1﹣a n＝a n﹣a n﹣1＝a n﹣1﹣a n﹣2＝…＝a2﹣a1．此时数列{a n}很明显是一个等差数列．∴存在α，β，只要满足α，β为非零，且α+2β＝0时，对任意a1，a2，都有数列{a n}为等差数列．故选：B．二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分，共36分11．设复数z满足（1+i）•z＝2i（i为虚数单位），则z＝1+i，|z|＝．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求解．解：由（1+i）•z＝2i，得z＝，∴|z|＝．故答案为：1+i；．12．已知二项式的展开式中含x2的项的系数为15，则a＝ 1 ，展开式中各项系数和等于64 ．【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求出a的值，再令x＝1，可得展开式中各项系数和．解：二项式的展开式的通项公式为T r+1＝•a r•x6﹣2r，令6﹣2r＝2 求得r＝2，故展开式中含x2的项的系数为•a2＝15，则a＝1．再令x＝1，可得展开式中各项系数和等于（1+1）6＝64，故答案为：1；64．13．在△ABC中，∠BAC的平分线与BC边交于点D，sin C＝2sin B，则＝ 2 ；若AD＝AC＝1，则BC＝．【分析】①根据三角形角平分线定理和正弦定理，即可求出的值；②由余弦定理列出方程，即可求得BD、CD和BC的值．解：①如图所示，△ABC中，∠BAC的平分线与BC边交于点D，sin C＝2sin B，所以c＝2b，所以＝＝＝2；②由AD＝AC＝1，所以AB＝2AC＝2，设DC＝x，则BD＝2x，由余弦定理得cos∠BAD＝＝＝，cos∠CAD＝＝＝，又∠BAD＝∠CAD，所以＝，解得x＝；所以BC＝3x＝．故答案为：2，．14．已知函数，则f[f（2019）]＝0 ；若关于x的方程f（x+a）＝0在（﹣∞，0）内有唯一实根，则实数a的取值范围是[﹣1，] ．【分析】推导出f（2019）＝cos2019π＝cosπ＝﹣1，从而f[f（2019）]＝f（﹣1）＝1﹣（﹣1）2＝0．作出函数的图象，结合图形，能求出实数a的取值范围．解：∵函数，∴f（2019）＝cos2019π＝cosπ＝﹣1，f[f（2019）]＝f（﹣1）＝1﹣（﹣1）2＝0．作出函数的图象，如下图：设f（x）与x轴从左到右的两个交点分别为A（﹣1，0），B（，0），f（x+a）与f（x）的图象是平移关系，∵关于x的方程f（x+a）＝0在（﹣∞，0）内有唯一实根，∴结合图形，得实数a的取值范围是（﹣1，]．故答案为：0，（﹣1，]．15．杭州亚运会启动志愿者招募工作，甲、乙等5人报名参加了A，B，C三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者．若甲不能参加A，B项目，乙不能参加B，C项目，那么共有21 种不同的选拔志愿者的方案．（用数字作答）【分析】由题意可以分为四类，每一类分别求解，再根据分类计数原理可得．解：若甲，乙都参加，则甲只能参加C项目，乙只能参见A项目，B项目有3种方法，若甲参加，乙不参加，则甲只能参加C项目，A，B项目，有A32＝6种方法，若甲参加，乙不参加，则乙只能参加A项目，B，C项目，有A32＝6种方法，若甲不参加，乙不参加，有A33＝6种方法，根据分类计数原理，共有3+6+6+6＝21种．故答案为：21．16．已知函数f（x）＝x3﹣9x，g（x）＝3x2+a（a∈R）．若方程f（x）＝g（x）有三个不同的实数解x1，x2，x3，且它们可以构成等差数列，则a＝﹣11 ．【分析】问题等价为函数h（x）＝x3﹣3x2﹣9x与常函数y＝a由三个不同的实数根，依题意，函数h（x）关于（x2，h（x2））中心对称，而利用三次函数的性质可求得x2＝1，进而求得a的值．解：方程f（x）＝g（x）即为x3﹣3x2﹣9x＝a，依题意，函数h（x）＝x3﹣3x2﹣9x与常函数y＝a由三个不同的实数根x1，x2，x3，不妨设x1＜x2＜x3，由x1，x2，x3构成等差数列可知，函数h（x）关于（x2，h（x2））中心对称，而三次函数的对称中心点就是二阶导函数的零点，且h′（x）＝3x2﹣6x﹣9，h''（x）＝6x﹣6，令h''（x）＝6x﹣6＝0，解得x＝1，即x2＝1，故函数h（x）的对称中心即为（1，﹣11），则a＝﹣11．故答案为：﹣11．17．在平面凸四边形ABCD中，AB＝2，点M，N分别是边AD，BC的中点，且，若，则＝﹣2 ．【分析】取BD的中点O，连接OM，ON，运用向量的中点表示和数量积的性质，以及加减运算，计算可得所求值．解：取BD的中点O，连接OM，ON，可得，平方可得＝＝，即有，，即有•（）＝（）•（）＝（）＝（4﹣）＝，解得，所以＝＝，故答案为：﹣2．三、解答题：5小题，共74分18．已知函数（x∈R）．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间上的值域．【分析】（1）由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的周期性，得出结论．（2）由题意利用正弦函数的定义域和值域，得出结论．解：（1）函数＝sin2x﹣＝sin2x ﹣cos2x+sin x cos x＝sin2x﹣cos2x＝sin（2x﹣），∴f（x）的最小正周期为＝π．（2）在区间上，2x﹣∈[﹣，]，故当2x﹣＝﹣时，函数f（x）取得最小值为﹣，当2x﹣＝时，函数f（x）取得最大值为，故f（x）的值域为[﹣，]．19．已知函数f（x）＝x2+k|x﹣1|﹣2．（1）当k＝1时，求函数f（x）的单调递增区间．（2）若k≤﹣2，试判断方程f（x）＝﹣1的根的个数．【分析】（1）写出k＝1时的函数解析式，分别讨论各段的单调增区间即可得f（x）的单调增区间；（2）解出各段上函数的解析式，再结合k的取值范围得到方程根的个数．解：（1）k＝1时，f（x）＝x2+|x﹣1|﹣2＝，当x≥1时，f（x）＝（x+）2﹣，此时函数在[1，+∞）上单调递增；当x＜1时，f（x）＝（x﹣）2﹣，此时函数在（，1）上单调递增，综上函数f（x）的单调递增区间是（，+∞）；（2）当x≥1时，则x2+k（x﹣1）﹣2＝﹣1，即（x﹣1）（x+1+k）＝0，即x＝﹣1﹣k，或x＝1；当x＜1时，则x2﹣k（x﹣1）﹣2＝﹣1，即（x﹣1）（x+1﹣k）＝0，即x＝k﹣1，故当k＜﹣2，﹣1﹣k＞1，k﹣1＜1，则方程有3个不等实数根；当k＝﹣2时，﹣1﹣k＝1，k﹣1＝﹣3，则方程有2个不等实数根．20．如图，在△ABC中，，，P为CD上一点，且满足，若△ABC的面积为．（1）求m的值；（2）求的最小值．【分析】（1）利用面积可得bc＝8，利用，可知C、P、D三点共线，即可求出m的值；（2）由（1）可表示出||，利用机泵不等式可得最小值．解：（1）设||＝c，||＝b，所以S△ABC＝bc sin＝2，解得bc＝8，由＝m+＝m+，且C，P，D三点共线，所以m+＝1，解得m＝；（2）由（1）可知，所以||2＝（）2＝因为＝bc cos＝﹣4，所以||2＝≥2•﹣＝，故||≥，当且仅当b＝2，c＝时取得等号，综上||的最小值为．21．设公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的前n项和为T n，若a2是a1与a4的等比中项，a6＝12，a1b1＝a2b2＝1．（1）求a n，S n与T n；（2）若，求证：．【分析】（1）由题意得，，代入等差数列的通项公式即可求得首项与公差，则等差数列的通项公式与前n项和可求；（2）由，结合0＜＜1恒成立，即可得到c n＜＜＝，结合等差数列的前n项和公式即可证明．【解答】（1）解：由题意得，，即，得a1＝d（d ≠0），由a6＝12，得a1＝d＝2．∴a n＝a1+（n﹣1）d＝2+2（n﹣1）＝2n，，由a1b1＝a2b2＝1，得，，∴；（2）证明：∵，由0＜＜1恒成立，∴c n＜＜＝，∴c1+c2+…+c n＜．22．设函数f（x）＝e x+ax，a∈R．（1）若f（x）有两个零点，求a的取值范围；（2）若对任意x∈[0，+∞）均有2f（x）+3≥x2+a2，求a的取值范围．【分析】（1）求出导数，分类讨论a的正负即可；（2）表示出g（x）＝2f（x）+3﹣x2﹣a2，求出其导数，构造函数，再利用导数判断出g （x）单调区间，进而求出a的取值范围解：（1）f′（x）＝e x+a，①当a≥0时，f′（x）＞0，则f（x）在R上单调递增，不满足题意；②当a＜0时，令f′（x）＝0，解得x＝ln（﹣a），则f（x）在（﹣∞，ln（﹣a））上单调递减，在（ln（﹣a），+∞）上单调递增，要使f（x）有两个零点，只需f（ln （﹣a））＜0，解得a＜﹣e；（2）令g（x）＝2f（x）+3﹣x2﹣a2＝2e x﹣（x﹣a）2+3，x≥0，则g′（x）＝2（e x﹣x+a），又令h（x）＝2（e x﹣x+a），则h′（x）＝2（e x﹣1）≥0，所以h（x）在[0，+∞）上单调递增，且h（0）＝2（a+1），①当a≥﹣1时，g′（x）≥0恒成立，即函数g（x）在[0，+∞）上单调递增，从而必须满足g（0）＝5﹣a2≥0，解得﹣≤a≤，又因为a≥﹣1，所以﹣1≤a≤；②当a＜﹣1时，则存在x0＞0，使h（x0）＝0且x∈（0，x0）时，h（x）＜0，即g′（x）＜0，即g（x）单调递减，x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，即g′（x）＞0，即g（x）单调递增，所以g（x）最小值为g（x0）＝≥0，又h（x0）＝2（）＝0，从而≥0，解得0＜x0≤ln3，由＝x0﹣a，则a＝x0﹣，令M（x）＝x﹣e x，0＜x≤ln3，则M′（x）＝1﹣e x＜0，所以M（x）在（0，ln3上单调递减，则M（x）≥M（ln3）＝ln3﹣3，又M（x）＜M（0）＝﹣1，故ln3﹣3≤a＜﹣1，综上，ln3﹣3≤a≤．。

2018-2019浙江省杭州市高三上学期期末数学试卷一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．已知集合M={x|y=ln(2-x )},N={x|}，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知221(32)z m m m i =-+-+（,m R i ∈为虚数单位），则“1m =-”是“z 为纯虚数”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3．下列函数中周期为π且为奇函数的是（ ）A ．)22sin(π-=x yB ．)22cos(π-=x yC ．)2sin(π+=x yD ．c=y 4．如图1，四棱柱1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别是1AB 、1BC 的中点．下列结论中，正确的是 ( ) A ．1BB EF ⊥B ．//EF 平面11A ACCC ．BD EF ⊥ D ．⊥EF 平面11B BCC5．P 为△ABC 部一点，且满足||2||2PB PA ==，56APB π∠=，且2340PA PB PC ++=，则ABC ∆的面积为（ ）A ．98B ．43C ．1D ．6516．设a 为实常数，()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，2()97a f x x x=++．若()1f x a ≥+对一切0x ≥成立，则a 的取值范围是（ ）.A ．0a ≤B ．85a ≥C ．8875a a ≤-≥或D ．87a ≤-7．将正方形ABCD 沿对角线BD 折叠成一个四面体ABCD ，当该四面体的体积最大时，直线AB 与CD 所成的角为（ ） A ．090B ．060C ．045D ．0308．在ABC ∆中，已知53tan ,41tan ==B A ，且ABC ∆最大边的长为17，则ABC ∆的最小边为（ ）A ．1B ．5C ．2D ．39．设实数a 使得不等式2|2||32|x a x a a -+-≥对任意实数x 恒成立，则满足条件的a 所组成的集合是( ) A ．]31,31[-B ．]21,21[-C ．]31,41[- D ．[3,3]-10．设)(x f ，)(x g 都是定义在实数集上的函数，定义函数))((x g f ：x R ∈任意， ))(())((x g f x g f = ．若⎩⎨⎧≤>=.0 ,,0 , )(2x x x x x f ，⎩⎨⎧>≤=.0 ,ln ,0 , )(x x x e x g x ，则( )A ．)())((x f x f f =B ．)())((x f x g f =C ．)())((x g x f g =D ．)())((x g x g g =非选择题部分（共110分）二、填空题（本大题共7小题，第11-14题，每题6分，15-17每小题4分，共36分）11.设复数52z i=-（其中i 为虚数单位），则复数z 的实部为 ，虚部为 ．12.在一次随机试验中，事件A 发生的概率为p ，事件A 发生的次数为ξ，则期望E ξ= ，方差D ξ的最大值为 ．13.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，a 3b =，sin 2sin C A =，则sin A = ；设D 为AB 边上一点，且2BD DA =，则BCD ∆的面积为 ．14.如图是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为 ；表面积为 ．15.在二项式25()()a x a R x+∈的展开式中，若含7x 的项的系数为-10，则a = ．16.有红，黄，蓝三种颜色的小球（除颜色外均相同）各4只，都分别标有字母,,,A B C D ．任意取出4只，字母各不相同且三种颜色齐备的取法有 种．17.已知单位向量2,e e 的夹角为3π，设122a e e λ=+，则当0λ<时，||a λ+的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共5小题，共74分） 18.设向量(23sin ,cos )a x x =-，(cos ,2cos )b x x =，()1f x a b =⋅+.（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若方程2()||()f x t t t R =-∈无实数解，求t 的取值范围.19.如图，在三棱锥A BCD -中，60BAC BAD DAC ∠=∠=∠=︒，2AC AD ==，3AB =.（Ⅰ）证明：AB CD ⊥；（Ⅱ）求CD 与平面ABD 所成角的正弦值. 20.设函数22()()1f x x R x=∈+.（Ⅰ）求证：2()1f x x x ≥-++；（Ⅱ）当[1,0]x ∈-时，函数()2f x ax ≥+恒成立，求实数a 的取值范围.21.已知椭圆22:132x y C +=，直线:(0)l y kx m m =+≠，设直线l 与椭圆C交于,A B 两点.（Ⅰ）若||m k的取值范围；（Ⅱ）若直线,,OA AB OB 的斜率成正等比数列（其中O 为坐标原点），求OAB ∆的面积的取值范围.22.设数列{}n a 满足13a =，2*1(1)20()n n n a a a n N +-++=∈. （Ⅰ）求证：1n a >； （Ⅱ）求证：12n n a a +<<；（Ⅲ）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：1222()233()23n n n S n -≤-≤-.2018-2019浙江省杭州市高三上学期期末数学试卷试卷答案一、选择题 1-5 BCBBA 6-10 DBCAA1．B 2．C3．B 【解析】B. 根据函数的周期为π可知选项C,D 错误，又因为选项A 中x x y 2cos 22sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=π为偶函数，而选项B 中x x y 2sin 22cos -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=π为奇函数，所以选B.中点4. B 【解析】试题分析：如图，取1BB 的交M ，连接,ME MF ，延长ME 交1AA 于P ，延长MF ∴P 1CC 于Q ，∵E 、F 分别是1AB 、1BC 的中点，中点，是1AA 的中点，Q 是1CC 中点，从而可得E 是MP F 是MQ 中点，所以//EF PQ ，又PQ ⊂平面11ACC A ，EF ⊄平面11ACC A ，所以//PQ 平面11ACC A ，选B.5．A ．【解析】如图所示，作2PD PA =，3PE PB =，4PF PC =，∴0PD PE PF ++=，∴P为DEF ∆重心，∴PDE PEF PDF S S S ∆∆∆==，∴111248PAC PDF PDF S S S ∆∆∆=⨯=，同理16PAB PDE S S ∆∆=，112PBC PEF S S ∆∆=，∴::4:2:3PAB PBC PAC S S S ∆∆∆=，又∵||2||2PB PA ==，56APB π∠=，∴15121sin 262PAB S π∆=⋅⋅⋅=，∴423948ABC PAB S S ∆∆++=⨯=，故选A ．16．D 因为()y f x =是定义在R 上的奇函数，所以当0x =时，()0f x =；当0x >时，22()()[97]97a a f x f x x x x x =--=--++=+--，因此01a ≥+且2971a x a x +-≥+对一切0x >成立所以1a ≤-且8716717a a a a ≥+⇒--≥+⇒≤-，即87a ≤-.7．B 【解析】法一：取,,BD AC BC 的中点，分别为,,O M N ，则,ON MN 所成的角即为所求的角。