【配套K12】2018版高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形课时跟踪检测25理

课时跟踪检测(二十一)[高考基础题型得分练]1．[2017·河北张家口模拟]计算：tan 15°＋1tan 15°＝( )A. 2 B ．2 C ．4 D ．2 2答案：C解析：tan 15°＋1tan 15°＝sin 15°cos 15°＋cos 15°sin 15°＝sin 215°＋cos 215°sin 15°cos 15°＝112si n 30°＝4. 2．[2017·江西九江一模]已知tan α＝－35，则sin 2α＝( )A.1517B ．－1517C ．－817D ．817答案：B解析：sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＋1＝－1517.3．[2017·山西四校联考]已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝12，－π2<α<0，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3的值是( ) A.12 B ．23 C ．－12D ．1答案：C解析：由已知得cos α＝12，sin α＝－32，cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝12cos α＋32sin α＝－12.4．[2017·山东济宁期末]tan π12－1tanπ12＝( )A ．4B ．－4C ．2 3D ．－2 3答案：D解析：∵tan π12＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π4＝tan π3－tanπ41＋tan π3·tanπ4＝3－11＋3＝2－3， ∴tan π12－1tanπ12＝2－3－12－3＝－2 3. 5．[2016·广东广州二测]已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－θ＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋θ的值是( ) A.13 B ．223C ．－13D ．－223答案：A 解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－θ＝ cos (π12－θ )＝13. 6．[2017·甘肃兰州检测]在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B ·cos C ，且tan B ·tanC ＝1－2，则角A 的值为( )A.π4B ．π3C ．π2D ．3π4答案：A解析：由题意知，sin A ＝－2cos B ·cos C ＝sin(B ＋C )＝sin B ·cos C ＋cos B ·sinC ，等式－2cos B ·cos C ＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C 两边同除以cos B ·cos C ，得tan B ＋tan C ＝－2，又tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝－1＝－tan A ，即tan A ＝1，所以A ＝π4.7．[2016·陕西宝鸡模拟]已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝14，则sin 4θ＋cos 4θ的值为________．答案：58解析：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝⎝⎛⎭⎪⎫22cos θ－22sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos θ＋22sin θ＝12(cos 2θ－sin 2θ)＝12cos 2θ＝14. 所以cos 2θ＝12.故sin 4θ＋cos 4θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－cos 2θ22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos 2θ22＝116＋916＝58. 8．已知sin α＝12＋cos α，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4的值为________．答案：－142解析：解法一：∵sin α＝12＋cos α，∴sin α－cos α＝12，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝12，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝24.又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝144， ∴cos 2α＝－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4·cos ( α－π4 )＝－2×24×144＝－74，∴cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－7424＝－142.解法二：∵sin α＝12＋cos α，∴sin α－cos α＝12，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝14，∴2sin αcos α＝34，∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＋cos α＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝1＋34＝72， ∴cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝ cos α＋sin α cos α－sin α22sin α－cos α ＝－2(sin α＋cos α)＝－142. 9. 如图，A ，B ，C ，D 为平面四边形ABCD 的四个内角．(1)证明：tan A 2＝1－cos Asin A；(2)若A ＋C ＝180°，AB ＝6，BC ＝3，CD ＝4，AD ＝5，求tan A 2＋tan B 2＋tan C 2＋tan D2的值．(1)证明：tan A 2＝sin A2cos A 2＝2sin 2A22sin A 2cosA 2＝1－cos Asin A .(2)解：由A ＋C ＝180°，得C ＝180°－A ，D ＝180°－B . 由(1)，有tan A 2＋tan B 2＋tan C 2＋tan D2＝1－cos A sin A ＋1－cos B sin B ＋1－cos 180°－A sin 180°－A ＋1－cos 180°－Bsin 180°－B＝2sin A ＋2sin B. 连接BD (图略)．在△ABD 中，有BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ， 在△BCD 中，有BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ，所以AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ＝BC 2＋CD 2＋2BC ·CD cos A ，则cos A ＝AB 2＋AD 2－BC 2－CD 22 AB ·AD ＋BC ·CD ＝62＋52－32－422 6×5＋3×4＝37. 于是sin A ＝1－cos 2A ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫372＝2107. 连接AC ，同理可得cos B ＝AB 2＋BC 2－AD 2－CD 22 AB ·BC ＋AD ·CD ＝62＋32－52－422 6×3＋5×4 ＝119，于是sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1192＝61019.所以tan A 2＋tan B 2＋tan C2＋tan D2＝2sin A ＋2sin B ＝2×7210＋2×19610＝4103.10.[2017·湖南常德模拟]已知函数f (x )＝2sin ωx ＋m cos ωx (ω>0，m >0)的最小值为－2，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和m 的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＝65，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π8的值．解：(1)易知f (x )＝2＋m 2sin(ωx ＋φ)(φ为辅助角)， ∴f (x )min ＝－2＋m 2＝－2，∴m ＝ 2. 由题意知，函数f (x )的最小正周期为π， ∴2πω＝π，∴ω＝2. (2)由(1)得f (x )＝2sin 2x ＋2cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝65，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35.∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎫π4，3π4，∴θ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－45，∴sin θ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4cos π4－cos ( θ＋π4 )sin π4＝7210， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π8＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π8＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π2＝2cos 2θ＝2(1－2sin 2θ)＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2×⎝⎛⎭⎪⎫72102＝－4825. [冲刺名校能力提升练]1．[2017·河北模拟]已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，且sin θ－cos θ＝－144，则2cos 2θ－1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝( )A.23 B ．43 C ．34 D ．32答案：D解析：由sin θ－cos θ＝－144，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝74， ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴π4－θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝34，∴2cos 2θ－1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝cos 2θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝32.2．[2017·安徽十校联考]已知α为锐角，且7sin α＝2cos 2α，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝( )A.1＋358B ．1＋538C ．1－358D ．1－538答案：A解析：由7sin α＝2cos 2α，得7sin α＝2(1－2sin 2α)， 即4sin 2α＋7sin α－2＝0，解得sin α＝－2(舍去)或sin α＝14，又由α为锐角，可得cos α＝154， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝12sin α＋32cos α＝1＋358， 故选A.3．[2017·福建宁德一模]已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α＝________.答案：－53解析：∵sin α＋cos α＝33， 两边平方，得1＋sin 2α＝13，∴sin 2α＝－23，∴(sin α－cos α)2＝1－sin 2α＝53，∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0， ∴sin α－cos α＝153， ∴cos 2α＝－(sin α－cos α)(sin α＋cos α) ＝－153×33＝－53. 4．化简下列各式： (1)1－sin 20°sin 10°－221＋cos 20°；(2)1＋sin θ1－sin θ－1－sin θ1＋sin θ；(3)1＋cos α＋cos 2α＋cos 3αcos 2α－sin2α2.解：(1)原式＝cos 10－sin 10° 2sin 10°－cos 210°＝|cos 10°－sin 10°|sin 10°－cos 10°＝cos 10°－sin 10°sin 10°－cos 10°＝－1.(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2＋cos θ22⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ22－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ22⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2＋cos θ22＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin θ2＋cos θ2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin θ2－cos θ2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin θ2－cos θ2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin θ2＋cos θ2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2＋cos θ22－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ22⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin θ2－cos θ2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin θ2＋cos θ2＝4sin θ2cosθ2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin 2θ2－cos 2θ2＝2sin θ|cos θ|. (3)原式＝ 1＋cos 2α ＋cos 2α－α ＋cos 2α＋α cos 2α－1－cos α2＝2cos 2α＋2cos 2αcos α2cos 2α＋cos α－12 ＝2cos α cos α＋cos 2α2cos 2α＋cos α－12＝2cos α cos α＋2cos 2α－1 2cos 2α＋cos α－12 ＝4cos α.。

课时跟踪检测(二十一)[高考基础题型得分练]1．[2017·河北张家口模拟]计算：tan 15°＋1tan 15°＝( )A. 2 B ．2 C ．4 D ．2 2答案：C解析：tan 15°＋1tan 15°＝sin 15°cos 15°＋cos 15°sin 15°＝sin 215°＋cos 215°sin 15°cos 15°＝112sin 30°＝4. 2．[2017·江西九江一模]已知tan α＝－35，则sin 2α＝( )A.1517B ．－1517C ．－817D ．817答案：B解析：sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＋1＝－1517.3．[2017·山西四校联考]已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝12，－π2<α<0，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3的值是( ) A.12 B ．23 C ．－12D ．1答案：C解析：由已知得cos α＝12，sin α＝－32，cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝12cos α＋32sin α＝－12.4．[2017·山东济宁期末]tan π12－1tanπ12＝( )A ．4B ．－4C ．2 3D ．－2 3答案：D解析：∵tan π12＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π4＝tan π3－tanπ41＋tan π3·tanπ4＝3－11＋3＝2－3， ∴tan π12－1tanπ12＝2－3－12－3＝－2 3. 5．[2016·广东广州二测]已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－θ＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋θ的值是( ) A.13 B ．223C ．－13D ．－223答案：A 解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－θ＝ cos (π12－θ )＝13. 6．[2017·甘肃兰州检测]在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B ·cos C ，且tan B ·tanC ＝1－2，则角A 的值为( )A.π4B ．π3C ．π2D ．3π4答案：A解析：由题意知，sin A ＝－2cos B ·cos C ＝sin(B ＋C )＝sin B ·cos C ＋cos B ·sinC ，等式－2cos B ·cos C ＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C 两边同除以cos B ·cos C ，得tan B ＋tan C ＝－2，又tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝－1＝－tan A ，即tan A ＝1，所以A ＝π4.7．[2016·陕西宝鸡模拟]已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝14，则sin 4θ＋cos 4θ的值为________．答案：58解析：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝⎝⎛⎭⎪⎫22cos θ－22sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos θ＋22sin θ＝12(cos 2θ－sin 2θ)＝12cos 2θ＝14. 所以cos 2θ＝12.故sin 4θ＋cos 4θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－cos 2θ22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos 2θ22＝116＋916＝58. 8．已知sin α＝12＋cos α，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4的值为________．答案：－142解析：解法一：∵sin α＝12＋cos α，∴sin α－cos α＝12，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝12，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝24.又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝144， ∴cos 2α＝－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4·cos ( α－π4 )＝－2×24×144＝－74，∴cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－7424＝－142.解法二：∵sin α＝12＋cos α，∴sin α－cos α＝12，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝14，∴2sin αcos α＝34，∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＋cos α＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝1＋34＝72， ∴cos 2αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝α＋sin αα－sin α22α－cos α＝－2(sin α＋cosα)＝－142. 9. 如图，A ，B ，C ，D 为平面四边形ABCD 的四个内角．(1)证明：tan A 2＝1－cos Asin A；(2)若A ＋C ＝180°，AB ＝6，BC ＝3，CD ＝4，AD ＝5，求tan A 2＋tan B 2＋tan C 2＋tan D2的值．(1)证明：tan A 2＝sin A2cos A 2＝2sin 2A22sin A 2cosA 2＝1－cos Asin A .(2)解：由A ＋C ＝180°，得C ＝180°－A ，D ＝180°－B . 由(1)，有tan A 2＋tan B 2＋tan C 2＋tan D2＝1－cos A sin A ＋1－cos B sin B ＋1－－A －A＋1－－B－B＝2sin A ＋2sin B. 连接BD (图略)．在△ABD 中，有BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ， 在△BCD 中，有BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ，所以AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ＝BC 2＋CD 2＋2BC ·CD cos A ，则cos A ＝AB 2＋AD 2－BC 2－CD 2AB ·AD ＋BC ·CD ＝62＋52－32－42＋＝37. 于是sin A ＝1－cos 2A ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫372＝2107.连接AC ，同理可得cos B ＝AB 2＋BC 2－AD 2－CD 2AB ·BC ＋AD ·CD ＝62＋32－52－42＋＝119，于是sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1192＝61019.所以tan A 2＋tan B 2＋tan C2＋tan D2＝2sin A ＋2sin B ＝2×7210＋2×19610＝4103.10.[2017·湖南常德模拟]已知函数f (x )＝2sin ωx ＋m cos ωx (ω>0，m >0)的最小值为－2，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和m 的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＝65，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π8的值．解：(1)易知f (x )＝2＋m 2sin(ωx ＋φ)(φ为辅助角)， ∴f (x )min ＝－2＋m 2＝－2，∴m ＝ 2. 由题意知，函数f (x )的最小正周期为π， ∴2πω＝π，∴ω＝2. (2)由(1)得f (x )＝2sin 2x ＋2cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝65，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35.∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎫π4，3π4，∴θ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－45，∴sin θ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4cos π4－cos ( θ＋π4 )sin π4＝7210， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π8＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π8＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π2＝2cos 2θ＝2(1－2sin 2θ)＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2×⎝⎛⎭⎪⎫72102＝－4825. [冲刺名校能力提升练]1．[2017·河北模拟]已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，且sin θ－cos θ＝－144，则2cos 2θ－1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝( )A.23 B ．43 C ．34 D ．32答案：D解析：由sin θ－cos θ＝－144，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝74， ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴π4－θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝34，∴2cos 2θ－1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝cos 2θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝32.2．[2017·安徽十校联考]已知α为锐角，且7sin α＝2cos 2α，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝( )A.1＋358B ．1＋538C ．1－358D ．1－538答案：A解析：由7sin α＝2cos 2α，得7sin α＝2(1－2sin 2α)， 即4sin 2α＋7sin α－2＝0，解得sin α＝－2(舍去)或sin α＝14，又由α为锐角，可得cos α＝154， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝12sin α＋32cos α＝1＋358， 故选A.3．[2017·福建宁德一模]已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α＝________.答案：－53解析：∵sin α＋cos α＝33， 两边平方，得1＋sin 2α＝13，∴sin 2α＝－23，∴(sin α－cos α)2＝1－sin 2α＝53，∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0， ∴sin α－cos α＝153， ∴cos 2α＝－(sin α－cos α)(sin α＋cos α) ＝－153×33＝－53. 4．化简下列各式： (1)1－sin 20°sin 10°－221＋cos 20°；(2)1＋sin θ1－sin θ－1－sin θ1＋sin θ；(3)1＋cos α＋cos 2α＋cos 3αcos 2α－sin2α2.解：(1)原式＝－2sin 10°－cos 210°＝|cos 10°－sin 10°|sin 10°－cos 10°＝cos 10°－sin 10°sin 10°－cos 10°＝－1.(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2＋cos θ22⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ22－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ22⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2＋cos θ22＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin θ2＋cos θ2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin θ2－cos θ2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin θ2－cos θ2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin θ2＋cos θ2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2＋cos θ22－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ22⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin θ2－cos θ2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin θ2＋cos θ2＝4sin θ2cosθ2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin 2θ2－cos 2θ2＝2sin θ|cos θ|. (3)原式＝＋cos 2α＋α－α＋α＋αcos 2α－1－cos α2＝2cos 2α＋2cos 2αcos α2cos 2α＋cos α－12 ＝2cos αα＋cos 2α2cos 2α＋cos α－12＝2cos αα＋2cos 2α－2cos 2α＋cos α－12＝4cos α.。

2018版高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形课时跟踪检测18 理新人教A版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形课时跟踪检测18 理新人教A版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018版高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形课时跟踪检测18 理新人教A版的全部内容。

课时跟踪检测(十八）［高考基础题型得分练]1．下列与错误!的终边相同的角的表达式中正确的是（）A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋错误!(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z）D．kπ＋错误!（k∈Z）答案：C解析：与错误!的终边相同的角可以写成2kπ＋错误!(k∈Z），但是角度制与弧度制不能混用，所以只有C正确．2．已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α＝( )A.错误!B．错误!C．－错误!D．－错误!答案:D解析：由三角函数的定义知，cos α＝错误!＝－错误!.3．已知点P（tan α，cos α）在第三象限,则角α的终边在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：B解析：由题意知tan α＜0,cos α＜0，∴α是第二象限角．4．若tan α〉0,则（）A．sin 2α〉0 B．cos α>0C．sin α〉0 D．cos 2α>0答案：A解析:由tan α>0可得，α的终边在第一象限或第三象限,此时sin α与cos α同号，故sin 2α＝2sin αcos α〉0，故选A.5．已知点P错误!落在角θ的终边上，且θ∈［0，2π），则θ的值为( ）A。

1．y＝A sin(ωx＋φ）的有关概念y＝A sin(ωx ＋φ）(A〉0，ω〉0），x∈R 振幅周期频率相位初相A T＝错误!f＝错误!＝错误!ωx＋φφ2.用五点法画y＝A sin（ωx＋φ）一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示：x错误!错误!错误!错误!错误!ωx＋φ0π2π错误!2πy＝A sin（ωx＋φ）0A0－A03.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin(ωx＋φ) （A>0，ω>0）的图象的步骤如下：【知识拓展】1．由y＝sin ωx到y＝sin（ωx＋φ)(ω>0，φ〉0）的变换：向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度．2．函数y＝A sin（ωx＋φ）的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋错误!,k∈Z确定;对称中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定其横坐标．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×")(1)y＝sin错误!的图象是由y＝sin错误!的图象向右平移错误!个单位得到的．( √）（2）将函数y＝sin ωx的图象向右平移φ（φ>0)个单位长度，得到函数y＝sin（ωx－φ）的图象．（×)（3）利用图象变换作图时“先平移，后伸缩"与“先伸缩,后平移”中平移的长度一致．( ×)（4)函数y＝A sin（ωx＋φ）的最小正周期为T＝错误!。

( ×) (5）把y＝sin x的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的错误!,所得图象对应的函数解析式为y＝sin 12x。

（×)(6)若函数y＝A cos（ωx＋φ）的最小正周期为T，则函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为错误!.（√）1．(教材改编）y＝2sin(错误!x－错误!）的振幅，频率和初相分别为( ）A．2，4π，错误!B．2，错误!，错误!C．2，错误!，－错误!D．2，4π,－错误!答案C解析由题意知A＝2，f＝错误!＝错误!＝错误!，初相为－错误!. 2．（2015·山东）要得到函数y＝sin错误!的图象，只需将函数y＝sin 4x 的图象( )A．向左平移π12个单位B．向右平移错误!个单位C．向左平移错误!个单位D．向右平移错误!个单位答案B解析∵y＝sin错误!＝sin错误!，∴要得到y＝sin错误!的图象,只需将函数y＝sin 4x的图象向右平移错误!个单位．3．（2016·青岛模拟）将函数y＝sin x的图象上所有的点向右平行移动错误!个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变），所得图象的函数解析式是( ）A．y＝sin（2x－错误!）B．y＝sin（2x－错误!）C．y＝sin（错误!x－错误!）D．y＝sin（错误!x－错误!）答案C解析y＝sin xπ10右移个单位−−−−−→y＝sin（x－错误!)错误!y＝sin(错误!x－错误!）．4．(2016·临沂模拟）已知函数f(x)＝A cos(ωx＋θ）的图象如图所示,f(错误!)＝－错误!,则f(－错误!）＝________。

课时跟踪训练(十八)[基础巩固] 一、选择题 1．sin 11π3＝( ) A.32 B ．－32 C.12D ．－12[解析] sin 11π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－sin π3＝－32，故选B. [答案] B2．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，sin α＝－35，则cos(π－α)的值为( ) A ．－45 B.45 C.35D ．－35[解析] ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，sin α＝－35， ∴cos α＝45，∴cos(π－α)＝－cos α＝－45.故选A. [答案] A3．(2017·黑龙江双鸭山质检)1－2sin (π＋2)cos (π－2)＝( ) A ．sin2－cos2 B ．sin2＋cos2 C ．±(sin2－cos2) D ．cos2－sin2[解析]1－2sin (π＋2)cos (π－2)＝1－2sin2cos2＝(sin2－cos2)2＝|sin2－cos2|＝sin2－cos2. [答案] A4．若α为三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝23，则这个三角形是( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形[解析] 由sin α＋cos α＝23，得(sin α＋cos α)2＝49，∴1＋2sin αcos α＝49， 2sin αcos α＝－59，∵α∈(0，π)， ∴α为钝角．选D. [答案] D5．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝23，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2π3等于( ) A ．－23 B ．－12 C.23D.12[解析] sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝－sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－23. 故选A. [答案] A6．已知1＋sin x cos x ＝－12，那么cos xsin x －1的值是( )A.12 B ．－12 C ．2D ．－2[解析] ∵cos 2x ＝1－sin 2x ， ∴cos xsin x －1＝－sin x ＋1cos x ＝12. [答案] A 二、填空题7．已知tan θ＝2，则sin θcos θ＝________. [解析] sin θcos θ＝sin θ·cos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θtan 2θ＋1＝222＋1＝25.[答案] 258．sin 4π3·cos 5π6·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3的值是________．[解析]原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6·tan ⎝⎛⎭⎪⎫－π－π3＝⎝⎛⎭⎪⎫－sin π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π6·⎝ ⎛⎭⎪⎫－tan π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×(－3)＝－334. [答案] －3349．sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝________.[解析] sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 244°＋sin 245°＋cos 244°＋cos 243°＋…＋cos 21°＋sin 290°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋…＋(sin 244°＋cos 244°)＋sin 245°＋sin 290°＝44＋12＋1＝912.[答案] 912 三、解答题10．已知cos(π＋α)＝－12，且α是第四象限角，计算： (1)sin(2π－α)；(2)sin[α＋(2n ＋1)π]＋sin[α－(2n ＋1)π]sin (α＋2n π)·cos (α－2n π)(n ∈Z )．[解] ∵cos(π＋α)＝－12， ∴－cos α＝－12，cos α＝12. 又∵α是第四象限角， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－32.(1)sin(2π－α)＝sin[2π＋(－α)]＝sin(－α)＝－sin α＝32； (2)sin[α＋(2n ＋1)π]＋sin[α－(2n ＋1)π]sin (α＋2n π)·cos (α－2n π)＝sin (2n π＋π＋α)＋sin (－2n π－π＋α)sin (2n π＋α)·cos (－2n π＋α)＝sin (π＋α)＋sin (－π＋α)sin α·cos α ＝－sin α－sin (π－α)sin α·cos α＝－2sin αsin αcos α ＝－2cos α＝－4.[能力提升]11．(2017·河北邢台质检)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sin α的值是( ) A.355 B.377C.31010D.13[解析] 由已知条件整理得，⎩⎪⎨⎪⎧－2tan α＋3sin β＝－5，tan α－6sin β＝1， 解得tan α＝3.又α为锐角，tan α＝sin αcos α＝sin α1－sin 2α＝3，所以sin α＝31010. [答案] C12．(2017·河南洛阳一模)已知θ为第二象限角，sin θ，cos θ是关于x 的方程2x 2＋(3－1)x ＋m ＝0(m ∈R )的两根，则sin θ－cos θ等于( )A.1＋32B.1－32 C. 3D ．－ 3[解析] 由题意可得， sin θ＋cos θ＝1－32，sin θcos θ＝m2，可得(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ， 即2－32＝1＋m ，即m ＝－32.∵θ为第二象限角，∴sin θ>0，cos θ<0， 即sin θ－cos θ>0，∵(sin θ－cos θ)2 ＝(sin θ＋cos θ)2－4sin θcos θ＝4－234－2m ＝1－32＋3＝2＋32， ∴sin θ－cos θ＝2＋32＝1＋32.[答案] A13．已知sin(125°－α)＝13，则sin(55°＋α)的值为________． [解析] 因为(125°－α)＋(55°＋α)＝180°，所以sin(55°＋α)＝sin[180°－(125°－α)]＝sin(125°－α)＝13.[答案] 1314．若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为________．[解析] 由题意知：sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θcos θ＝m4， 又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ， ∴m 24＝1＋m 2，解得：m ＝1±5，又Δ＝4m 2－16m ≥0， ∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－ 5. [答案] 1－ 515．已知角α终边上一点P (－4,3)，求：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin (－π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋α的值．[解] 因为角α终边上一点P (－4,3)，所以tan α＝－34， 则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin (－π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋α＝－sin 2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin 2α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos α＝－sin 2α－sin αcos α＝tan α＝－34.16．(1)化简：1－2sin20°cos20°sin160°－1－sin 220°； (2)已知α为第二象限角，化简cos α 1－sin α1＋sin α＋sin α1－cos α1＋cos α.[解] (1)原式＝1－2sin20°cos20°sin20°－cos20°＝cos20°－sin20°sin20°－cos20°＝－1. (2)原式＝cos α(1－sin α)2cos 2α＋sin α(1－cos α)2sin 2α＝cos α1－sin α|cos α|＋sin α1－cos α|sin α| ＝cos α·1－sin α－cos α＋sin α·1－cos αsin α＝sin α－cos α.。

课时跟踪检测(二十)[高考基础题型得分练]1．(1＋tan 17°)(1＋tan 28°)的值是( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2答案：D解析：原式＝1＋tan 17°＋tan 28°＋tan 17°·tan 28° ＝1＋tan 45°(1－tan 17°·tan 28°)＋tan 17°·tan 28° ＝1＋1＝2.2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝12，－π2＜α＜0，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3的值是( ) A.12 B ．23 C ．－12D ．1 答案：C解析：由已知得cos α＝12，sin α＝－32，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝12cos α＋32sin α＝－12.3．[2017·河南六市联考]设a ＝12cos 2°－32sin 2°，b ＝2tan 14°1－tan 14°，c ＝1－cos 50°2，则有( ) A ．a ＜c ＜b B ．a ＜b ＜c C ．b ＜c ＜a D ．c ＜a ＜b 答案：D解析：由题意可知，a ＝sin 28°，b ＝tan 28°，c ＝sin 25°， ∴c ＜a ＜b .4．[2017·安徽师大附中学高三上学期期中]设当x ＝θ时，函数y ＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝( )A ．－55B ．55 C ．－255D ．255答案：C解析：f (x )＝sin x －2cos x ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫55sin x －255cos x ＝5sin(x －α)，其中sin α＝255，cos α＝55，因为当x ＝θ时，函数y ＝sin x －2cos x 取得最大值，所以sin(θ－α)＝1， 即sin θ－2cos θ＝5，又sin 2θ＋cos 2θ＝1，联立方程组可得cos θ＝－255，故选C.5．已知sin 2α＝13，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝( ) A ．－13B ．13C ．－23D ．23答案：D解析：依题意，得cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝12(cos α＋sin α)2＝12(1＋sin 2α)＝23. 6．[2017·广西柳州、北海、钦州三市模拟]若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－cos 2α，则sin 2α的值可以为( )A ．－12或1B ．12 C ．34 D ．－34答案：A解析：解法一：由已知得22(sin α－cos α)＝sin 2α－cos 2α，∴sin α＋cos α＝22或sin α－cos α＝0，解得sin 2α＝－12或1.解法二：由已知得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π2 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝12或sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝0， 则sin 2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4－1＝2×14－1＝－12或sin 2α＝1.7．[2017·四川成都一诊]若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，则α＋β的值是( )A.7π4B ．9π4C ．5π4或7π4D ．5π4或9π4答案：A解析：因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，所以2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π，又sin 2α＝55，所以2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2， 故cos 2α＝－255.又β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，所以β－α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π4， 故cos(β－α)＝－31010.所以cos(α＋β)＝cos [2α＋(β－α)] ＝cos 2αcos(β－α)－sin 2αsin(β－α) ＝－255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010－55×1010＝22， 且α＋β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，2π，故α＋β＝7π4.8．计算2cos 10°－sin 20°sin 70°＝________.答案： 3 解析：原式＝－－sin 20°sin 70°＝＋－sin 20°sin 70°＝3cos 20°cos 20°＝ 3.9．设α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12的值为________． 答案：17250解析：因为α为锐角，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝2425，cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝725， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π4＝2425×22－725×22＝17250. 10．化简sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin 2α的结果是________．答案：12解析：解法一：原式＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π32＋1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π32－sin 2α＝1－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3－sin 2α＝1－cos 2α·cos π3－sin 2α＝1－cos 2α2－1－cos 2α2＝12.解法二：令α＝0，则原式＝14＋14＝12.11．已知cos(α＋β)＝16，cos(α－β)＝13，则tan αtan β的值为________．答案：13解析：因为cos(α＋β)＝16，所以cos αcos β－sin αsin β＝16.①因为cos(α－β)＝13，所以cos αcos β ＋sin αsin β＝13.②①＋②得cos αcos β＝14.②－①得sin αsin β＝112.所以tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝13.[冲刺名校能力提升练]1．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝7210，cos 2α＝725，则sin α＝( ) A.45 B ．－45C ．35D ．－35答案：C解析：由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝7210得， sin α－cos α＝75，①由cos 2α＝725得，cos 2α－sin 2α＝725，所以(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝725，②由①②可得，cos α＋sin α＝－15，③由①③可得，sin α＝35.2．[2017·江西九校联考]已知锐角α，β满足sin α－cos α＝16，tan α＋tan β＋3tan αtan β＝3，则α，β的大小关系是( ) A ．α<π4＜βB ．β<π4<αC ．π4<α<βD ．π4<β<α答案：B解析：∵α为锐角，sin α－cos α＝16>0，∴α>π4.又tan α＋tan β＋3tan αtan β＝3， ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，∴α＋β＝π3，又α>π4，∴β<π4<α.3．[2017·河北衡水中学二调]3cos 10°－1sin 170°＝( )A ．4B ．2C ．－2D ．－4答案：D 解析：3cos 10°－1sin 170°＝3cos 10°－1sin 10°＝3sin 10°－cos 10°sin 10°cos 10°＝－12sin 20°＝－2sin 20°12sin 20°＝－4.4.[2017·山东菏泽二模]已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β＝________.答案：－3π4解析：因为tan α＝tan [(α－β)＋β]＝α－β＋tan β1－α－βtan β＝12－171－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－17＝13<1，所以0<α<π4.又因为tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝34<1， 所以0<2α<π4，所以tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34－⎝ ⎛⎭⎪⎫－171＋34×⎝ ⎛⎭⎪⎫－17＝1.因为0<β<π，所以－π<2α－β<π4，所以2α－β＝－3π4.5．已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314⎝ ⎛⎭⎪⎫0<β<α<π2.(1)求tan 2α的值； (2)求β的值．解：(1)∵cos α＝17，0<α<π2，∴sin α＝437，∴tan α＝43，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×431－48＝－8347. (2)∵0<β<α<π2，∴0<α－β<π2，∴sin(α－β)＝3314，∴cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝17×1314＋437×3314＝12. ∴β＝π3.6．[2017·安徽合肥质检]已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2. (1)求sin 2α的值； (2)求tan α－1tan α的值． 解：(1)cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋αcos ⎝⎛⎭⎪⎫π3－α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－14，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－12. ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫π3，π2，∴2α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，4π3， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－32， ∴sin 2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3sin π3＝12.(2)∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，∴2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，π， 又由(1)知sin 2α＝12，∴cos 2α＝－32.∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos 2αsin 2α ＝－2×－3212＝2 3.。

2018版高考数学一轮复习 第四章 三角函数与解三角形 4.7 正弦定理和余弦定理真题演练集训 理 新人教A 版1．[2014·新课标全国卷Ⅱ]钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1 ，BC ＝2，则AC ＝( ) A ．5 B. 5 C ．2D ．1答案：B解析：由题意可得12AB ·BC ·sin B ＝12， 又AB ＝1 ，BC ＝2，所以sin B ＝22， 所以B ＝45°或B ＝135°.当B ＝45°时，由余弦定理可得 AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝1，此时AC ＝AB ＝1，BC ＝2，易得A ＝90°，与“钝角三角形”条件矛盾，舍去．所以B ＝135°.由余弦定理可得 AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝ 5.2．[2014·新课标全国卷Ⅰ]已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．答案： 3解析：∵a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ，a ＝2，又(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C 可化为(a ＋b )(a －b )＝(c －b )c ，∴a 2－b 2＝c 2－bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc . ∴b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12＝cos A ，∴A ＝60°. ∵△ABC 中，4＝a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos 60°＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc (当且仅当b ＝c 时等号成立)，∴S △ABC ＝12·bc ·sin A ≤12×4×32＝ 3. 3．[2016·新课标全国卷Ⅱ]△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________.答案：2113解析：解法一：因为cos A ＝45，cos C ＝513， 所以sin A ＝35，sin C ＝1213， 从而sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C＝35×513＋45×1213＝6365. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得b ＝a sin B sin A ＝2113. 解法二：因为cos A ＝45，cos C ＝513， 所以sin A ＝35，sin C ＝1213， 从而cos B ＝－cos(A ＋C )＝－cos A cos C ＋sin A sin C ＝－45×513＋35×1213＝1665. 由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得c ＝a sin C sin A ＝2013. 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得b ＝2113. 解法三：因为cos A ＝45，cos C ＝513，所以sin A ＝35，sin C ＝1213， 由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得c ＝a sin C sin A ＝2013. 从而b ＝a cos C ＋c cos A ＝2113. 解法四：如图，作BD ⊥AC 于点D ，由cos C ＝513，a ＝BC ＝1，知CD ＝513，BD ＝1213.又cos A ＝45，所以tan A ＝34，从而AD ＝1613. 故b ＝AD ＋DC ＝2113. 4．[2016·新课标全国卷Ⅰ]△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c .(1)求C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长． 解：(1)由已知及正弦定理，得2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C ，2cos C sin(A ＋B )＝sin C ，故2sin C cos C ＝sin C ，C ∈(0，π)． 可得cos C ＝12，所以C ＝π3. (2)由已知，12ab sin C ＝332. 又C ＝π3，所以ab ＝6. 由已知及余弦定理，得a 2＋b 2－2ab cos C ＝7，故a 2＋b 2＝13，从而(a ＋b )2＝25.所以△ABC 的周长为5＋7.课外拓展阅读转化与化归思想在解三角形中的应用[典例] [2016·新课标全国卷Ⅰ]△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c .(1)求C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长． [审题视角] (1)利用正弦定理进行边角互化求解；(2)利用三角形的面积公式得出ab ，再结合余弦定理联立方程求出a ＋b ，进而求得△ABC 的面积．[解] (1)由已知及正弦定理得， 2cos C sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin C ，①2cos C sin(A ＋B )＝sin C ．故2sin C cos C ＝sin C .可得cos C ＝12，所以C ＝π3. (2)由已知，得12ab sin C ＝332. 又C ＝π3，所以ab ＝6. 由已知及余弦定理得，a 2＋b 2－2ab cos C ＝7. 故a 2＋b 2＝13，从而a ＋b 2＝25.②所以△ABC 的周长为5＋7.满分心得1．(1)题中①处不能利用正弦定理将边化为角，使已知条件中的式子转化为同类．(2)题中②处不能结合余弦定理将(a ＋b )视为整体进行求解而走入误区．2．转化与化归思想在解三角形中的应用主要体现在边角之间利用正、余弦定理统一的转化化简上，使关系式中的量达到统一性．。

课时跟踪检测(二十五)[高考基础题型得分练]1．[2017·四川宜宾模拟]一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( )A ．10 2 海里B ．10 3 海里C ．20 3 海里D ．20 2 海里答案：A解析： 如图所示，易知，在△ABC 中，AB ＝20海里，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°，根据正弦定理，得BC sin 30°＝ABsin 45°，解得BC ＝102(海里)．2．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )A ．50 mB ．100 mC ．120 mD ．150 m答案：A解析：设水柱高度是h m ，水柱底端为C ，则在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝h ，AB ＝100，BC ＝3h ，根据余弦定理得，(3h )2＝h 2＋1002－2·h ·100·cos 60°，即h 2＋50h －5 000＝0，即(h －50)(h ＋100)＝0，即h ＝50，故水柱的高度是50 m.3．[2017·广东广州调研]如图所示长为3.5 m 的木棒AB 斜靠在石堤旁，木棒的一端A 在离堤足C 处1.4 m 的地面上，另一端B 在离堤足C 处2.8 m 的石堤上，石堤的倾斜角为α，则坡度值tan α等于( )A.2315 B ．516 C.23116D ．115答案：A解析：由题意，可得在△ABC 中，AB ＝3.5 m ，AC ＝1.4 m ，BC ＝2.8 m ，且∠α＋∠ACB ＝π.由余弦定理，可得AB 2＝AC 2＋BC 2－2×AC ×BC ×cos∠ACB ， 即3.52＝1.42＋2.82－2×1.4×2.8×cos(π－α)， 解得cos α＝516，所以sin α＝23116，所以tan α＝sin αcos α＝2315.故选A.4．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d ＝0.6 km ，一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B .已知AB ＝1 km ，水的流速为2 km/h ，若客船从码头A 驶到码头B 所用的最短时间为6 min ，则客船在静水中的速度为( )A ．8 km/hB ．6 2 km/hC ．234 km/hD ．10 km/h答案：B解析：设AB 与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h ，由题意知，sin θ＝0.61＝35，从而cos θ＝45，所以由余弦定理，得⎝ ⎛⎭⎪⎫110v 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110×22＋12－2×110×2×1×45，解得v ＝6 2.故选B.5．[2017·湖南师大附中月考]如图所示，测量河对岸的塔高AB 时可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB ＝()A ．5 6B ．15 3C ．5 2D ．15 6答案：D解析：在△BCD 中，∠CBD ＝180°－15°－30°＝135°.由正弦定理，得BC sin 30°＝30sin 135°，所以BC ＝15 2.在Rt △ABC 中，AB ＝BC tan ∠ACB ＝152×3＝15 6.故选D.6．[2017·山东德州检测]某货轮在A 处看灯塔S 在北偏东30°方向，它向正北方向航行24海里到达B 处，看灯塔S 在北偏东75°方向．则此时货轮到灯塔S 的距离为________海里．答案：12 2解析：根据题意知，在△ABS 中，AB ＝24，∠BAS ＝30°，∠ASB ＝45°，由正弦定理，得BSsin 30°＝24sin 45°，所以BS ＝1222＝122，故货轮到灯塔S 的距离为122海里．7．[2017·山东潍坊一中月考]校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10 6 m(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上．若国歌时长为50 s ，升旗手应以________m/s 的速度匀速升旗．答案：0.6解析：依题意可知∠AEC ＝45°，∠ACE ＝180°－60°－15°＝105°，∴∠EAC ＝180°－45°－105°＝30°.由正弦定理可知CE sin ∠EAC ＝ACsin ∠CEA ，∴AC ＝CEsin ∠EAC·sin∠CEA ＝203(m)．∴在Rt △ABC 中，AB ＝AC ·sin∠ACB ＝203×32＝30(m)．∵国歌时长为50 s ， ∴升旗速度为3050＝0.6(m/s)．8．[2017·山东威海模拟]在某海域A 处正东方向相距80海里的B 处有一艘客轮遇险，在原地等待救援．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距40海里的C 处的救援船，救援船立即朝北偏东θ角的方向沿直线CB 前往B 处救援．(1)若救援船的航行速度为60海里/小时，求救援船到达客轮遇险位置的时间； (2)求tan θ的值．解：(1)由题意画出示意图如图所示，在△ABC 中，AB ＝80，AC ＝40，∠CAB ＝120°， 故由余弦定理，得BC ＝402＋802－2×40×80×cos 120°＝407，故救援船到达客轮遇险位置的时间为40760＝273小时．(2)过C 点作CD ⊥BA 的延长线于D ，由题意得θ＝∠BCD ，又由∠ACD ＝30°，故AD ＝20，BD ＝100，CD ＝40×32＝203， 在Rt △BDC 中，tan θ＝BD CD ＝100203＝533.9.已知在东西方向上有M ，N 两座小山，山顶各有一个发射塔A ，B ，塔顶A ，B 的海拔高度分别为AM ＝100米和BN ＝200米，一测量车在小山M 的正南方向的点P 处测得发射塔顶A 的仰角为30°，该测量车向北偏西60°方向行驶了1003米后到达点Q ，在点Q 处测得发射塔顶B 处的仰角为θ，且∠BQA ＝θ，经测量tan θ＝2，求两发射塔顶A ，B 之间的距离．解：在Rt △AMP 中，∠APM ＝30°，AM ＝100，∴PM ＝1003，连接QM ，在△PQM 中，∠QPM ＝60°，又PQ ＝1003，∴△PQM 为等边三角形， ∴QM ＝1003，在Rt △AMQ 中，由AQ 2＝AM 2＋QM 2， 得AQ ＝200.在Rt △BNQ 中，tan θ＝2，BN ＝200， ∴BQ ＝1005，cos θ＝55. 在△BQA 中，BA 2＝BQ 2＋AQ 2－2BQ ·AQ cos θ＝(1005)2， ∴BA ＝1005，即两发射塔顶A ，B 之间的距离是1005米．[冲刺名校能力提升练]1．[2017·陕西五校联考]已知△ABC 外接圆O 的半径为1，且OA →·OB →＝－12.从圆O 内随机取一点M ，若点M 取自△ABC 内的概率恰为334π，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形答案：B解析：由题意得，OA →·OB →＝1×1×cos∠AOB ＝－12，则cos ∠AOB ＝－12，∠AOB ＝2π3，C ＝π3，则12CA ·CB ·sin π3π×12＝334π. 所以CA ·CB ＝3.在△AOB 中，由于OA ＝OB ＝1，∠AOB ＝120°， 所以AB ＝ 3.由余弦定理，得AB 2＝CA 2＋CB 2－2CA ·CB cos π3，即CA 2＋CB 2＝6，所以CA ＝CB ＝3，则△ABC 的形状为等边三角形．故选B.2．要测量对岸A ，B 两点之间的距离，选取相距 3 km 的C ，D 两点，并测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB ＝45°，则A ，B 之间的距离为________ km.答案： 5解析：如题图所示，在△ACD 中， ∠ACD ＝120°，∠CAD ＝∠ADC ＝30°， ∴AC ＝CD ＝ 3 (km)．在△BCD 中，∠BCD ＝45°，∠BDC ＝75°，∠CBD ＝60°. ∴BC ＝3sin 75°sin 60°＝6＋22.在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝(3)2＋⎝⎛⎭⎪⎫6＋222－2×3×6＋22×cos 75°＝3＋2＋3－3＝5，∴AB ＝5(km)，∴A ，B 之间的距离为 5 km.3．如图，在海岸A 处，发现北偏东45°方向距A 为(3－1)海里的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75°方向，距A 为2海里的C 处的缉私船奉命以103海里/时的速度追截走私船．此时走私船正以10海里/时的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间(注：6≈2.449)．解：设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获(在D 点)走私船，则有CD ＝103t (海里)，BD ＝10t (海里)．在△ABC 中，∵AB ＝(3－1)海里，AC ＝2海里，∠BAC ＝45°＋75°＝120°，根据余弦定理，可得BC ＝3－2＋22－3－＝6(海里)．根据正弦定理，可得sin ∠ABC ＝AC sin 120°BC ＝2×326＝22.∴∠ABC ＝45°，易知CB 方向与正北方向垂直， 从而∠CBD ＝90°＋30°＝120°. 在△BCD 中，根据正弦定理，可得 sin ∠BCD ＝BD sin ∠CBD CD ＝10t ·sin 120°103t＝12， ∴∠BCD ＝30°，∠BDC ＝30°，∴BD ＝BC ＝6(海里)， 则有10t ＝6，t ＝610≈0.245小时＝14.7分钟． 故缉私船沿北偏东60°方向，需14.7分钟才能最快追上走私船．。

真题演练集训1．若tan α＝34，则cos2α＋2sin 2α＝( ）A。

错误! B.错误!C．1 D.错误!答案：A解析：解法一：由tan α＝错误!＝错误!，cos2α＋sin2α＝1，得错误!或错误!则sin 2α＝2sin αcos α＝错误!，则cos2α＋2sin 2α＝错误!＋错误!＝错误!.解法二：cos2α＋2sin 2α＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.2．设a＝sin 33°，b＝cos 55°，c＝tan 35°，则( ）A．a〉b〉c B．b>c〉aC．c〉b>a D．c〉a〉b答案:C解析：∵a＝sin 33°，b＝cos 55°＝sin 35°，c＝tan 35°＝错误!，又0<cos 35°〈1，∴c>b>a。

3．已知sin α＋2cos α＝0,则2sin αcos α－cos2α的值是________．答案：－1解析:由sin α＋2cos α＝0，得tan α＝－2。

所以2sin αcos α－cos2α＝错误!＝错误!＝错误!＝－1.课外拓展阅读分类讨论思想在三角函数求值化简中的应用(1）已知A＝错误!＋错误!（k∈Z），则A的值构成的集合是（）A．{1,－1,2，－2｝B．{－1，1｝C．｛2，－2} D．{1,－1,0,2，－2｝（2)在△ABC中，若sin(2π－A)＝－2sin(π－B）,错误!cos A＝－错误! cos(π－B），则C＝________.(1)角中有整数k，应对k是奇数还是偶数进行讨论；（2)利用同角三角函数基本关系式的平方关系时，要对开方的结果进行讨论．（1)当k为偶数时，A＝错误!＋错误!＝2；当k为奇数时，A＝错误!－错误!＝－2.所以A的值构成的集合是{2，－2｝．（2）由已知，得错误!①2＋②2，得2cos2A＝1，即cos A＝±错误!,当cos A＝错误!时，cos B＝错误!，又A，B是三角形的内角，所以A＝错误!，B＝错误!，所以C＝π－（A＋B)＝错误!。

课时跟踪训练(十八)[基础巩固] 一、选择题 1．sin 11π3＝( ) A.32 B ．－32 C.12D ．－12[解析] sin 11π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－sin π3＝－32，故选B. [答案] B2．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，sin α＝－35，则cos(π－α)的值为( ) A ．－45 B.45 C.35D ．－35[解析] ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，sin α＝－35， ∴cos α＝45，∴cos(π－α)＝－cos α＝－45.故选A. [答案] A3．(2017·黑龙江双鸭山质检)1－2sin (π＋2)cos (π－2)＝( ) A ．sin2－cos2 B ．sin2＋cos2 C ．±(sin2－cos2)D ．cos2－sin2＝(sin2－cos2)2＝|sin2－cos2|＝sin2－cos2. [答案] A4．若α为三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝23，则这个三角形是( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形[解析] 由sin α＋cos α＝23，得(sin α＋cos α)2＝49，∴1＋2sin αcos α＝49， 2sin αcos α＝－59，∵α∈(0，π)， ∴α为钝角．选D. [答案] D5．已知cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6－α＝23，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－2π3等于( )A ．－23B ．－12 C.23D.12[解析] sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝－sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－23. 故选A. [答案] A6．已知1＋sin x cos x ＝－12，那么cos xsin x －1的值是( )A.12 B ．－12 C ．2D ．－2[解析] ∵cos 2x ＝1－sin 2x ， ∴cos xsin x －1＝－sin x ＋1cos x ＝12. [答案] A 二、填空题7．已知tan θ＝2，则sin θcos θ＝________.[解析] sin θcos θ＝sin θ·cos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θtan 2θ＋1＝222＋1＝25.[答案] 258．sin 4π3·cos 5π6·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3的值是________．[解析]原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π－π3＝⎝⎛⎭⎪⎫－sin π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π6·⎝ ⎛⎭⎪⎫－tan π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×(－3)＝－334. [答案] －3349．sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝________.[解析] sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 244°＋sin 245°＋cos 244°＋cos 243°＋…＋cos 21°＋sin 290°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋…＋(sin 244°＋cos 244°)＋sin 245°＋sin 290°＝44＋12＋1＝912.[答案] 912 三、解答题10．已知cos(π＋α)＝－12，且α是第四象限角，计算： (1)sin(2π－α)；(2)sin[α＋(2n ＋1)π]＋sin[α－(2n ＋1)π]sin (α＋2n π)·cos (α－2n π)(n ∈Z )．[解] ∵cos(π＋α)＝－12， ∴－cos α＝－12，cos α＝12. 又∵α是第四象限角， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－32.(1)sin(2π－α)＝sin[2π＋(－α)]＝sin(－α)＝－sin α＝32； (2)sin[α＋(2n ＋1)π]＋sin[α－(2n ＋1)π]sin (α＋2n π)·cos (α－2n π)＝sin (2n π＋π＋α)＋sin (－2n π－π＋α)sin (2n π＋α)·cos (－2n π＋α)＝sin (π＋α)＋sin (－π＋α)sin α·cos α ＝－sin α－sin (π－α)sin α·cos α＝－2sin αsin αcos α ＝－2cos α＝－4.[能力提升]11．(2017·河北邢台质检)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sin α的值是( ) A.355 B.377 C.31010D.13[解析] 由已知条件整理得，⎩⎪⎨⎪⎧－2tan α＋3sin β＝－5，tan α－6sin β＝1， 解得tan α＝3.又α为锐角，tan α＝sin αcos α＝sin α1－sin 2α＝3，所以sin α＝31010. [答案] C12．(2017·河南洛阳一模)已知θ为第二象限角，sin θ，cos θ是关于x 的方程2x 2＋(3－1)x ＋m ＝0(m ∈R )的两根，则sin θ－cos θ等于( )A.1＋32B.1－32 C. 3D ．－ 3[解析] 由题意可得， sin θ＋cos θ＝1－32，sin θcos θ＝m2，可得(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ， 即2－32＝1＋m ，即m ＝－32.∵θ为第二象限角，∴sin θ>0，cos θ<0， 即sin θ－cos θ>0，∵(sin θ－cos θ)2＝(sin θ＋cos θ)2－4sin θcos θ＝4－234－2m ＝1－32＋3＝2＋32， ∴sin θ－cos θ＝ 2＋32＝1＋32.[答案] A13．已知sin(125°－α)＝13，则sin(55°＋α)的值为________． [解析] 因为(125°－α)＋(55°＋α)＝180°，所以sin(55°＋α)＝sin[180°－(125°－α)]＝sin(125°－α)＝13.[答案] 1314．若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为________．[解析] 由题意知：sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θcos θ＝m4， 又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ， ∴m 24＝1＋m 2，解得：m ＝1±5，又Δ＝4m 2－16m ≥0， ∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－ 5. [答案] 1－ 515．已知角α终边上一点P (－4,3)，求：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin (－π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋α的值．[解] 因为角α终边上一点P (－4,3)，所以tan α＝－34，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin (－π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋α＝－sin 2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin 2α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos α＝－sin 2α－sin αcos α＝tan α＝－34. 16．(1)化简：1－2sin20°cos20°sin160°－1－sin 220°； (2)已知α为第二象限角，化简cos α 1－sin α1＋sin α＋sin α1－cos α1＋cos α.[解] (1)原式＝1－2sin20°cos20°sin20°－cos20°＝cos20°－sin20°sin20°－cos20°＝－1. (2)原式＝cos α(1－sin α)2cos 2α＋sin α(1－cos α)2sin 2α＝cos α1－sin α|cos α|＋sin α1－cos α|sin α| ＝cos α·1－sin α－cos α＋sin α·1－cos αsin α＝sin α－cos α.。