7.4 数学归纳法一、教学内容分析数学归纳法是一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明方式．它的操作步骤简单、明确，教学重点应该是方式的应用．可是咱们以为不能把教学进程看成方式的灌输，技术的操练．对方式作简单的灌输，学生必然疑虑重重．什么缘故必需是二步呢？于是教师反复举例，说明二步缺一不可．你怎么明白n=k时命题成立呢？教师又不能不作出说明，可学生仍未完全同意．学完了数学归纳法的学生又往往有应该历时但想不起来的问题，等等．为此，咱们假想强化数学归纳法产生进程的教学，把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、熟悉当中，把数学归纳法的产生与不完全归纳法的完善结合起来．如此不仅使学生能够看到数学归纳法产生的背景，从一开始就注意它的功能，为利用它打下良好的基础，而且能够强化归纳思想的教学，这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充，也是引导学生进展创新能力的良机.数学归纳法产生的进程分二个时期，第一时期从对归纳法的熟悉开始，到对不完全归纳法的熟悉，再到不完全归纳法靠得住性的熟悉，直到如何办终止．第二时期是计谋酝酿，从介绍递推思想开始，到熟悉递推思想，运用递推思想，直到归纳出二个步骤终止.明白得数学归纳法中的递推思想，还要注意其中第二步，证明n=k+1命题成立时必需用到n=k时命题成立那个条件.二、教学目标设计1. 从对归纳法的熟悉开始，到对不完全归纳法的熟悉，再到不完全归纳法靠得住性的熟悉，再到数学归纳法的科学性的熟悉；2．对数学归纳法的表达数学步骤地把握；3．形成观看、归纳、推行的意识,提高运用知识解决问题的能力,渗透分类讨论、方程等数学思想方式．三、教学重点及难点重点：归纳法意义的熟悉和数学归纳法产生进程的分析;难点：数学归纳法中递推思想的明白得．四、教学用具预备实物投影仪五、教学流程设计 六、教学进程设计 一、温习引入问题1：那个地址有一袋球共十二个，咱们要判定这一袋球是白球，仍是黑球，请问如何办？ 方式一：把它倒出来看一看就能够够了．特点：方式是正确的，但操作上缺乏顺序性．方式二：一个一个拿，拿一个看一个．比如结果为：第一个白球，第二个白球，第三个白球，……，第十二个白球，由此取得：这一袋球都是白球． 特点：有顺序，有进程．问题2：在数列{}n a 中，*111,,()1n n n a a a n N a +==∈+，先算出234,,a a a 的值，再推测通项n a 的公式． 进程：212a =，313a =，414a =，由此取得：*1,()n a n N n=∈， 解决以上两个问题用的都是归纳法.二、讲解新课：1. 归纳法：由一些特殊事例推出一样结论的推理方式.特点：由特殊→一样.2. 不完全归纳法: 依照事物的部份(而不是全数)特例得出一样结论的推理方式叫做不完全归纳法.如咱们在推导涉及所有正整数的等差数列通项公式时，在考察了n=1，2，3，4几种特殊情形后得出的一样公式，确实是作的一种不完全归纳.课堂小结， 布置作业 首项验证（奠基）复习引入数学归纳法定义 （规范的数学表述） 假设证明 （核心步骤） 运用数学归纳法解决实际问题咱们已经明白，不完全归纳法所取得的命题并非能保证它成立，因此这种方式并非能作为一种论证方式；同时也应看到，不完全归纳法是研究数学的一把钥匙，是发觉数学规律的一种重要手腕.在问题探讨中，为了寻求一样规律，往往先考察一些特例，通过对这些特例的不完全归纳形成猜想，然后再试图去证明或否定这种猜想.因此学会用不完全归纳法对问题进行探讨，对提高咱们的数学能力十分重要.3. 完全归纳法:把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法.完全归纳法是一种在研究了事物的所有(有限种)特殊情形后得出一样结论的推理方式，又叫做列举法.与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是靠得住的.通常在事物包括的特殊情形数不多时，采纳完全归纳法.4.数学归纳法：关于某些与自然数n有关的命题常常采纳下面的方式来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n=k(k N*，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方式就叫做数学归纳法.5. 数学归纳法的大体思想：即先验证使结论成心义的最小的正整数n0，若是当n= n0时，命题成立，再假设当n=k(k≥n0，k∈N*)时，命题成立.(这时命题是不是成立不是确信的)，依照那个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就能够够递推出对所有不小于n0的正整数n0+1，n0+2，…，命题都成立.6.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：(1)证明：当n取第一个值n0结论正确；(2)假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确.由(1)，(2)可知，命题关于从n0开始的所有正整数n都正确.三、例题分析例1 用数学归纳法证明：若是{a n}是一个等差数列，那么a n=a1+(n－1)d对一切n∈N*都成立.证明：(1)当n=1时，左侧=a1，右边=a1+0·d=a1，等式成立.(2)假设当n=k时等式成立，确实是a k=a1+(k－1)d.那么a k+1=a k+d=［a1+(k－1)d］+d=a1+［(k+1)－1］d，这确实是说，当n=k+1时，等式也成立.由(1)和(2)能够判定，等式对任何n∈N*都成立.例2 用数学归纳法证明：1+3+5+…+(2n －1)=n 2.证明：(1)当n=1时，左侧=1，右边=1，等式成立.(2)假设当n=k 时，等式成立，确实是1+3+5+…+(2k －1)=k2，那么1+3+5+…+(2k －1)+［2(k+1)－1］=k 2+［2(k+1)－1］=k 2+2k+1=(k+1)2.∴n=k+1时也成立.由(1)和(2)，可知等式对任何n ∈N *都成立.四、课堂练习：1.用数学归纳法证明：1+2+3+…+n=(1)2n n +. 证明：(1)当n=1时，左侧=1，右边=1(11)2⨯+=1.∴等式成立. (2)假设当n=k 时，等式成立，即1+2+3+…+k=(1)2k k +. 那么当n=k+1时，∴n =k+1时，等式也成立.由(1)(2)可知等式对一切n ∈N *都成立.2.首项为a 1，公比为q 的等比数列的通项公式是：a n =a 1q n-1.证明：(1)n=1时，左侧=a 1，右边=a 1·q 1－1=a 1q 0=a 1.∴左侧=右边.(2)假设当n=k 时等式成立.即a k =a 1q k －1.那么当n=k+1时.a k +1=a k q=a 1q k －1·q=a 1q (k+1)－1.∴n=k+1时等式也成立.由(1)、(2)可知等式对一切n ∈N *都成立.五、课堂小结 (引导学生归纳,教师提炼)(1)中心内容是归纳法和数学归纳法；(2)归纳法是一种由特殊到一样的推理方式，分类是完全归纳法和不完全归纳法二种，完全归纳法只局限于有限个元素，而不完全归纳法得出的结论不具有靠得住性，必需用数学归纳法进行严格证明；(3)数学归纳法作为一种证明方式，它的大体思想是递推(递归)思想，它的证明步骤必需是两步，最后还要总结；(4)本节课所涉及到的数学思想方式有：递推思想、分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想.六、作业七、教学设计说明数学归纳法是一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明方式．它的操作步骤简单、明确，教学重点不该该是方式的应用，不能把教学进程看成方式的灌输，技术的操练．因此要强化数学归纳法产生进程的教学，把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、熟悉当中，把数学归纳法的产生与不完全归纳法的完善结合起来．如此不仅使学生能够看到数学归纳法产生的背景，从一开始就注意它的功能，为利用它打下良好的基础，而且能够强化归纳思想的教学，这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充，也是引导学生进展创新能力的良机．运用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题，两个步骤缺一不可．明白得数学归纳法中的递推思想，尤其要注意其中第二步，证明n＝k＋1命题成立时必需要用到n＝k时命题成立那个条件．这些内容都将放在下一课时完成，这种明白得不仅使咱们能够正确熟悉数学归纳法的原理与本质，也为证明进程中第二步的设计指明了思维方向．相关数学史资料介绍资料1: 费马（Fermat）是17世纪法国闻名的数学家，他是解析几何的发明者之一，是对微积分的创建作n+出奉献最多的人之一，是概率论的开创者之一，他对数论也有许多奉献．可是，费马曾以为，当n∈N时，221必然都是质数，这是他对n=0，1，2，3，4时的值别离为3,5,17,257,65537作了验证后取得的．18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler）却证明了当n=5时，52+=4 294 967 297=6 700 417×641，从而否定了费马的推测．21有人说，费马什么缘故再也不多算一个数呢？今天咱们是无法回答的．可是要告知同窗们，失误的关键不在于多算一个上！资料2：f（n）=n2+n+41，当n∈N时，f（n）是不是都为质数？f（0）=41，f（1）=43，f（2）=47，f（3）=53，f（4）=61，f（5）=71，f（6）=83，f（7）=97，f（8）=113，f（9）=131，f（10）=151，…f（39）=1 601．可是f（40）=1 681=412是合数.算了39个数不算少了吧，但还不行！咱们介绍以上两个资料，说明用不完全归纳法得出的结论可能是错误的．关于生活、生产中的实际问题，得出的结论的正确性，应同意实践的查验，因为实践是查验真理的唯一标准．关于数学问题，应寻求数学证明.。
