对数函数 - 简单 - 讲义

对数函数知识讲解一、对数函数的图像与性质①函数log a y x =（0a >，1a ≠）叫做对数函数，其中x 是自变量，图像如下1a > 01a <<图 象性 质定义域：（0，+∞） 值域：R过点（1，0），即当时，时 时时 时在（0，+∞）上是增函数在（0，+∞）上是减函数1oyx 1oyx1=x 0=y )1,0(∈x 0<y ),1(+∞∈x 0>y )1,0(∈x 0>y ),1(+∞∈x 0<y②对数函数的性质：定义域：(0,)+∞；值域：R ；过点(1,0)，即当1x =时，0y =． 当0a >时，在（0，+∞）上是增函数；当01a <<时，在（0，+∞）上是减函数．二、对数函数与指数函数的关系关系：对数函数log a y x =与指数函数x y a =图像关于直线y x =对称． 类型：指数方程和对数方程主要有以下几种类型：()()log ,log ()()f x b a a a b f x b f x b f x a =⇔==⇔=（定义法）()()()(),log ()log ()()()0f x g x a a a a f x g x f x g x f x g x =⇔==⇔=>（转化法） ()()()log ()log f x g x m m a b f x a g x b =⇔= （取对数法）三、对数函数有关的性质（1）xy a =与log a y x =；2x x a a y --=与(l g ()ay o x x R =+∈；11x x a y a -=+与1log 1a xy x+=- 关于y x =对称，（2）已知1()lg 1x f x x +=-,,(1,1)a b ∈-则()()1a b f a f b f ab +⎛⎫+= ⎪+⎝⎭（3）指数函数与对数函数可以有两个或一个交点．典型例题一．选择题（共8小题）1．下列函数中，是对数函数的是（ ）①y=lg x a （x ＞0且x ≠1）②y=log 2x ﹣1③y=2lg 8x ④y=log 5x ． A ．① B ．②C ．③D ．④【解答】解：由对数函数的定义可知：④y=log 5x 是对数函数，其余3个都不是对数函数． 故选：D ．2．使对数log a （一2a +1）有意义的a 的取值范围为（ ） A ．a ＞12且a ≠1B ．0＜a ＜12C ．a ＞0且a ≠1D ．a ＜12【解答】解：要使对数有意义，则{−2a +1＞0a ＞0a ≠1，解得0＜a ＜12，故选：B ．3．（2018•辽宁模拟）函数f （x ）=log 3（x 2﹣x ﹣2）的定义域为（ ） A ．{x |x ＞2或x ＜﹣1} B ．{x |﹣1＜x ＜2}C ．{x |﹣2＜x ＜1}D ．{x |x ＞1或x ＜﹣2}【解答】解：由题意得：x 2﹣x ﹣2＞0，解得：x ＞2或x ＜﹣1， ∴函数的定义域是：{x |x ＞2或x ＜﹣1}， 故选：A ．4．（2016秋•邹平县期中）函数y=2+log 2x （x ≥1）的值域为（ ） A ．（2，+∞） B ．（﹣∞，2）C ．[2，+∞）D ．[3，+∞）【解答】解：∵函数y=2+log 2x 在[1，+∞）上单调递增， ∴当x=1时，y 有最小值2，即函数y=2+log 2x （x ≥1）的值域为[2，+∞）． 故选：C ．5．（2018•天津）已知a=log 372，b=（14）13，c=log 1315，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞cC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b【解答】解：∵a=log 372，c=log 1315=log 35，且5＞72＞3，∴log 35＞log 372＞1，则b=（14）13＜(14)0=1，∴c ＞a ＞b ． 故选：D ．6．（2017秋•黄陵县校级期末）若a ＞0且a ≠1，则函数y=log a （x +1）的图象一定过点（）A．（1，1）B．（1，0）C．（﹣1，0）D．（0，0）【解答】解：令x+1=1，求得x=0，y=0，故函数y=log a（x+1）的图象一定过点（0，0），故选：D．7．（2017秋•定边县校级期末）函数y=log a（x+2）+1的图象过定点（）A．（1，2）B．（2，1）C．（﹣2，1）D．（﹣1，1）【解答】解：由函数图象的平移公式，我们可得：将函数y=log a x（a＞0，a≠1）的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，即可得到函数y=log a（x+2）+1（a＞0，a≠1）的图象．又∵函数y=log a x（a＞0，a≠1）的图象恒过（1，0）点，由平移向量公式，易得函数y=log a（x+2）+1（a＞0，a≠1）的图象恒过（﹣1，1）点，故选：D．8．（2016秋•秀屿区校级期末）若函数y=log a（x+1）（a＞0，a≠1）的图象过定点，则x值为（）A．﹣1B．0C．1D．无法确定【解答】解：因为y=log a x的图象恒过（1，0）点，又y=log a （x +1）的图象是把y=log a x 的图象左移1个单位得到的， 所以y=log a （x +1）的图象必过定点（0，0）． 故选：B ．二．填空题（共4小题）9．（2012•黄浦区二模）函数f （x ）=log 12(2x +1)的定义域为 （﹣12，+∞） ．【解答】解：∵2x +1＞0∴x ＞﹣12即函数f （x ）=log 12(2x +1)的定义域为（﹣12，+∞）故答案为：（﹣12，+∞）10．（2012秋•东台市校级期中）集合A={1，log 2x }中的实数x 的取值范围为 （0，2）∪（2，+∞） ．【解答】解：∵集合A={1，log 2x }， ∴{log 2x ≠1x ＞0，解得x ∈（0，2）∪（2，+∞），故答案为：（0，2）∪（2，+∞）；11．（2017秋•昆山市期中）已知a=log 20.3，b=20.3，c=0.32，则小到大排列 a ＜c ＜b ．【解答】解：a=log 20.3＜0，b=20.3＞1，c=0.32∈（0，1）． ∴a ＜c ＜b ．故答案为：a ＜c ＜b ．12．（2016春•浦东新区期中）若对数函数y=log a x 的图象过点（9，2），则a= 3 ． 【解答】解：∵对数函数y=log a x 的图象经过点P （9，2）， ∴2=log a 9， ∴a=3， 故答案为：3．三．解答题（共2小题）13．当log x ﹣1（x 2﹣5x ﹣6）有意义时，求x 的取值范围．【解答】解：当log x ﹣1（x 2﹣5x ﹣6）有意义时，满足{x 2−5x −6＞0x −1＞0x −1≠1，解得x＞6．∴x ∈（6，+∞）．14．已知1＜x ＜10，且a=lg 2x ，b=lgx 2，c=lg （lgx ），那么求a ，b ，c 的大小顺序． 【解答】解：∵1＜x ＜10， ∴0＜lgx ＜1．c=lg （lgx ）＜0．∴a ﹣b=（lgx ﹣2）lgx ＜0，∴0＜a ＜b ， ∴c ＜a ＜b ．。

对数函数及其性质知识点总结讲义一、对数基本概念1.对数的定义：对数是数学中的一种运算，用一个数的指数表示另一个数。

2. 对数的表示方法：如果a^x = b，则记作x = loga(b)。

3.对数函数：对数函数是指以对数的形式来表示函数的函数。

二、对数函数的性质1.定义域和值域：-对数函数的定义域为正实数集，即x>0。

-对数函数的值域为实数集，即y∈R。

2.对称性：- 设a > 1，则loga(x) = y当且仅当a^y = x。

- 设0 < a < 1，则loga(x) = y当且仅当a^y = x。

3.基本性质：- loga(1) = 0，其中a ≠ 0。

- loga(a) = 1，其中a ≠ 1- loga(x · y) = loga(x) + loga(y)，其中x > 0，y > 0。

- loga(x / y) = loga(x) - loga(y)，其中x > 0，y > 0。

- loga(x^p) = p · loga(x)，其中x > 0，p ∈ R。

- loga(b) = logc(b) / logc(a)，其中a，b > 0，且a ≠ 1，c ≠14.基本图像：- 对数函数y = loga(x)的图像为一条曲线，也称为对数曲线。

-当0<a<1时，对数曲线在第一象限上严格递减。

-当a>1时，对数曲线在第一象限上严格递增。

5.特殊对数函数：- 以2为底的对数函数y = log2(x)常用于衡量信息的位数及计算机科学中。

- 自然对数函数y = ln(x)常用于微积分和其它分支的数学中。

三、对数函数的应用1.指数增长与对数函数：对数函数的性质使得它在描述指数增长的问题中非常有用。

-对数函数可以用来模拟人口增长、投资收益、疾病传播等指数增长的过程。

2.对数函数在数据处理中的应用：-对数函数可以用来处理大量数据、极大值、极小值等情形。

（一）基础知识回顾：1．二次函数：当¹a 0时，y =ax 2+bx +c 或f (x )=ax 2+bx +c 称为关于x 的二次函数，其对称轴为直线x =-a b 2，另外配方可得f (x )=a (x -x 0)2+f (x 0)，其中x 0=-ab 2，下同。

，下同。

2．二次函数的性质：当a >0时，f (x )的图象开口向上，在区间（-∞，x 0]上随自变量x 增大函数值减小（简称递减），在[x 0, -∞）上随自变量增大函数值增大（简称递增）∞）上随自变量增大函数值增大（简称递增）。

当a <0时，情况相反。

情况相反。

3．当a >0时，方程f (x )=0即ax 2+bx +c =0…①和不等式ax 2+bx +c >0…②及ax 2+bx +c <0…③与函数f (x )的关系如下（记△=b 2-4ac ）。

1）当△>0时，方程①有两个不等实根，设x 1,x 2(x 1<x 2)，不等式②和不等式③的解集分别是{x |x <x 1或x >x 2}和{x |x 1<x <x 2}，二次函数f (x )图象与x 轴有两个不同的交点，f (x )还可写成f (x )=a (x -x 1)(x -x 2). 2）当△=0时，方程①有两个相等的实根x 1=x 2=x 0=ab2-,不等式②和不等式③的解集分别是{x |x ab2-¹}和空集Æ，f (x )的图象与x 轴有唯一公共点。

轴有唯一公共点。

3）当△<0时，方程①无解，不等式②和不等式③的解集分别是R 和Æ.f (x )图象与x 轴无公共点。

共点。

当a <0时，请读者自己分析。

时，请读者自己分析。

4．二次函数的最值：若a >0，当x =x 0时，f (x )取最小值f (x 0)=ab ac 442-,若a <0，则当x =x 0=a b 2-时，f (x )取最大值f (x 0)=ab ac 442-.对于给定区间[m,n ]上的二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a >0)，当x 0∈[m, n ]时，f (x )在[m, n ]上的最小值为f (x 0); 当x 0<m 时。

对数函数及其性质知识点总结经典讲义对数函数是指以一些正数b为底的函数，表示为logb(x)，其中x为自变量，b为底数。

对数函数是指数函数的逆运算，可以用于解决指数方程和指数不等式问题。

对数函数的一些重要性质如下：1.对数函数的定义域是正实数集R+。

2.对数函数的值域是实数集R。

3.对数函数的自变量必须大于0，即x>0。

4.底数b必须大于0且不等于1，即b>0，b≠15.对数函数的图像在直线y=x左侧，与x轴交于点(1,0)。

6. 对数函数是单调递增函数，即当自变量x1 > x2时，有logb(x1) > logb(x2)。

7. 对数函数的特殊值：logb(1) = 0，logb(b) = 18. 对数函数的运算规则：logb(x·y) = logb(x) + logb(y)，logb(x/y) = logb(x) - logb(y)，logb(x^n) = n·logb(x)，其中x、y 为正实数，n为任意实数。

9. 对数函数的函数性质：logb(1/x) = -logb(x)，logb√x =(1/2)·logb(x)。

10. 对数函数的性质：logb(m/n) = logb(m) - logb(n)，logb(m^n) = n·logb(m)，logb(m) = (logc(m))/(logc(b))，其中b、c为正实数，m、n为正实数。

11. 对数函数的解析式：logb(x) = logc(x)/logc(b)，其中c为任意正实数，c ≠ 112. 对数函数的性质：logb(x) = 1/(logx(b))。

13. 对数函数与指数函数的关系：y = logb(x)是函数y = b^x的反函数，两者互为反函数。

对数函数在数学、科学和工程等领域中具有广泛的应用。

它可以用于求解指数方程和指数不等式，简化复杂的计算和求解过程。

在数学中，对数函数是指数函数的重要补充，它们互为反函数，可以相互转化，应用更加灵活。

第六讲对数与对数函数【知识点精讲】1．对数概念如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底数N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，log a N 叫做对数式性质对数式与指数式的互化：a x ＝N ⇔x＝log a aN (a >0，且a ≠1)llog a 1＝0，log a a ＝1，a log a N ＝N (a >0，且a ≠1)运算法则log a (MN )＝log a M ＋log a Na >0，且a ≠1，M >0，N >0log a MN ＝log a M －log a Nlog a M n ＝n log a M (n ∈R )换底公式,log a b ＝log c blog c a(a >0，且a ≠1，c >0，且c ≠1，b >0)[提醒]在运算性质log a M a ＝a log a M 中，要特别注意条件，在无M >0的条件下应为log a M a ＝a log a |M |(a ∈N *，且a 为偶数)．2．对数函数的图象与性质a >10<a <1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R过定点(1，0)当x >1时，y >0当0<x <1时，y <0当x >1时，y <0当0<x <1时，y >0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数[提醒]y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象只在第一、四象限且在直线x ＝0的右侧．3．反函数指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．【题型归纳及思路提示】考点01对数与对数运算例1(1)lg27＋lg 8－3lg10lg 1.2＝___.(2)(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)＝___.(3)(2021·保定模拟)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝___.(4)若log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m ＋n ＝___，用m ，n 表示log 46为___.考点02对数函数的图象与性质考向1对数函数的图象及其应用——师生共研例2(1)函数y ＝lg|x －1|的图象是()(2)当0<x ≤12时，4x <log a x (a >0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是()名师点拨应用对数型函数的图象可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．考向2对数函数的性质及其应用——多维探究角度1比较对数值的大小例3(1)已知a＝log23＋log23，b＝log29－log23，c＝log32，则a，b，c的大小关系是()A．a＝b<c B．a＝b>c C．a<b<c D．a>b>c(2)已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为()A．a<c<b B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b角度2利用对数函数单调性求参数的取值范围例4已知函数f(x)＝log0.5(x2－ax＋3a)在[2，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是()A．(－∞，4]B．[4，＋∞)C．[－4，4]D．(－4，4]角度3简单对数不等式的解法例5设函数f(x)2x，x>0，12(－x)，x<0.若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是()A．(－1，0)∪(0，1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1，0)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0，1)名师点拨1．比较对数式的大小的关系：(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需要对底数进行分类讨论；(2)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较；(3)若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较．2．解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤。

对数函数教学设计一、 问题情境1、情境：我们研究指数函数时，曾经讨论过细胞分裂问题.某种细胞分裂时，得到的细胞的个数y 是分裂次数x 的函数，这个函数可以用指数函数y =2x表示.2、问题：现在，我们来研究相反的问题，如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个……细胞？这个问题就相当于已知y =2x 中的y 求x ，我们将y =2x改写成对数式为y =log 2x ，对于每一个给定的y 值，都有唯一的x 值与之相对应。

把y 看作自变量，分裂次数x 就是细胞个数y 的函数。

这样就得到了一个新的函数。

习惯上，仍用x 表示自变量，用y 表示它的函数。

上面的这个函数就写成y =log 2x 。

二、 新授：1、对数函数概念： 一般地，函数x y alog =（a ＞0且a ≠1）叫做对数函数.思考1：函数x y alog=（a ＞0且a ≠1）与函数xa y =（a ＞0且a ≠1）的定义域、值域之间有什么关系？ （函数x y alog=（a ＞0且a ≠1）的定义域、值域分别是函数xa y =（a＞0且a ≠1）的值域和定义域）2、对数函数的图像与性质： ①学生自主活动探究 在同一坐标轴下画出对数函数x y 2log=与指数函数xy 2=的图像观察图像有什么特征？思考2：一般地，当a ＞0且a ≠1时，函数x y alog =与函数xa y =的图像有什么关系？（函数x y alog=与函数xa y =的图像关于直线y=x 对称）总结：我们发现函数x y alog=（a ＞0且a ≠1）的定义域、值域分别是函数xa y =（a ＞0且a ≠1）的值域和定义域，它们的图像关于直线y=x 对称。

这样我们把xa y =称为x yalog=的反函数，同样x y alog=称为xa y =的反函数。

一般地，如果函数)(x f y =存在反函数，那么它的反函数记作)(1x fy -=在同一坐标轴下画出对数函数x y 3log =与x y 31log=的图像，并观察函数图像，说说图像的特征。

《对数的概念》讲义一、引入在数学的世界里，我们常常会遇到各种各样的数和运算。

其中，有一种非常重要的数学概念，那就是对数。

想象一下，你正在计算一个数的乘方，比如 2 的 3 次方等于 8。

但如果反过来，已知结果是 8，要找出是 2 的几次方得到 8 呢？这时候，对数就派上用场了。

二、什么是对数对数，简单来说，就是在一个等式中，表示要得到某个数，需要对另一个固定的数（底数）进行多少次乘方运算。

如果 a 的 b 次幂等于 N（a＞0，且a≠1），那么数 b 叫做以 a 为底N 的对数，记作 b ＝logₐN。

例如，因为 2³＝ 8，所以 3 就是以 2 为底 8 的对数，记作 log₂8 ＝3。

再比如，因为 10²＝ 100，所以 2 就是以 10 为底 100 的对数，记作log₁₀100 ＝ 2。

这里，a 叫做对数的底数，N 叫做真数。

三、对数的性质1、零和负数没有对数。

因为对数是指数运算的逆运算，而任何数的任何次幂都不可能是零或负数。

2、 1 的对数是 0。

因为 a⁰＝ 1（a＞0，且a≠1），所以logₐ1 ＝ 0。

3、底数的对数是 1。

即logₐa ＝ 1。

四、对数的运算1、对数的加法logₐ(MN) ＝logₐM ＋logₐN例如，log₂(4×8) ＝ log₂4 ＋ log₂8 ＝ 2 ＋ 3 ＝ 52、对数的减法logₐ(M ／ N) ＝logₐM logₐN比如，log₃(9 ／ 3) ＝ log₃9 log₃3 ＝ 2 1 ＝ 13、对数的乘方logₐ(Mⁿ) ＝n logₐM例如，log₅(25²) ＝ 2 log₅25 ＝ 4五、常用对数和自然对数1、常用对数以 10 为底的对数叫做常用对数，简记为 lg。

例如，lg100 ＝ 2。

2、自然对数以无理数 e（约等于 271828）为底的对数叫做自然对数，简记为 ln。

例如，ln e ＝ 1，ln e²＝ 2。

《对数函数 y=log2 x 的图象和性质》讲义《对数函数 y=log₂ x 的图象和性质》讲义一、对数函数的定义在数学中，如果 a 的 x 次方等于 N（a＞0，且a≠1），那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 x ＝logₐN。

当底数 a ＝ 2 时，我们就得到了对数函数 y ＝ log₂ x。

二、对数函数 y ＝ log₂ x 的图象1、图象的绘制要绘制对数函数 y ＝ log₂ x 的图象，我们可以通过列表、描点、连线的方法来完成。

选取一些 x 的值，比如 x ＝ 1/8 、1/4 、1/2 、1、2、4、8 等等，然后分别计算出对应的 y 值。

当 x ＝ 1/8 时，y ＝ log₂（1/8) ＝－3 ；当 x ＝ 1/4 时，y ＝ log₂（1/4) ＝－2 ；当 x ＝ 1/2 时，y ＝ log₂（1/2) ＝－1 ；当 x ＝ 1 时，y ＝ log₂ 1 ＝ 0 ；当 x ＝ 2 时，y ＝ log₂ 2 ＝ 1 ；当 x ＝ 4 时，y ＝ log₂ 4 ＝ 2 ；当 x ＝ 8 时，y ＝ log₂ 8 ＝ 3 。

将这些点（1/8，－3）、（1/4，－2）、（1/2，－1）、（1，0）、（2，1）、（4，2）、（8，3）在平面直角坐标系中描出，然后用平滑的曲线连接起来，就得到了对数函数 y ＝ log₂ x 的图象。

2、图象的特征（1）对数函数 y ＝ log₂ x 的图象位于 y 轴右侧。

（2）图象经过点（1，0），因为 log₂ 1 ＝ 0 。

（3）从左往右看，图象逐渐上升。

三、对数函数 y ＝ log₂ x 的性质1、定义域对数函数 y ＝ log₂ x 的定义域为（0，＋∞），因为对数中的真数必须大于 0 。

2、值域对数函数 y ＝ log₂ x 的值域为（∞，＋∞）。

当 x 趋近于 0 时，y 趋近于负无穷；当 x 趋近于正无穷时，y 趋近于正无穷。

2.2 对数函数一、对数的概念：如果x a ＝N(a ＞0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝N a log ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。

（1）常用对数：把以10为底数的对数叫做常用对数log 10N 简记为lgN ，如：log 105记为lg5 （2）自然对数：把以无理数（e ＝2.71828……）为底的对数称为自然对数，log e N 简记为lnN ，如：log e 5记为ln5。

性质：（1）0和负数没有对数；（2）1的对数是0，即log a 1＝0；（3）底数的对数等于1，即log a a ＝1例1：求下列各式中的x （1）log x 27＝23 （2）x ＝log 2791（3）log 5(log 2x)＝0 【解析】：（1）∵ log x 27＝23 ∴ 23x ＝321)(x ＝27＝33 ∴21x ＝3 ∴x ＝9（2）∵x ＝log 2791 ∴ x 27＝91 ∴x 33＝91＝23- ∴3x ＝－2 ∴x ＝－32 （3）∵log 5(log 2x)＝0 ∴log 2x ＝1 ∴x ＝2变式练习：解下列方程 （1）log 64x ＝－32（2）log x 4＝2 （3）lg 2x －lgx －2＝0【解析】：（1）161 （2）2 （3）101或1000二、对数运算性质 【如果a ＞0且a ≠1；M ＞0，N ＞0，m 、n ∈R 】（1）log a (MN)＝log a M ＋log a N （2）log a NM＝log a M －log a N （3）log a M n ＝nlog a M [ma b n log ＝nmlog a b] （4）N a N a =log 对数恒等式（5）log a b ＝a b c c log log ＝a b lg lg ＝a b ln ln (c ＞0且c ≠1) 换底公式 （6）log a b ＝ab log 1例2：计算（1）lg12.5－lg85＋lg 21 （2）lg5＋31lg8＋lg5×lg20＋lg 22 （3）20log 77×7.0log 77 【解析】：（1）原式＝lg(12.5×21×58)＝lg10＝1（2）原式＝lg5＋31lg23＋lg5×(lg4＋lg5)＋lg 22＝lg5＋lg2＋2lg5×lg2＋lg 25＋lg 22＝lg5＋lg2＋(lg5＋lg2)2＝1＋1＝2 （3）原式＝7.0log 20log 777+＝14log 77＝14【lg5＋lg2＝lg10＝1，lg2≈0.301， lg5≈0.699】变式练习1：计算下列代数式的值。

知识梳理一、对数的运算：1、互化：N b N a a b log =⇔=2、恒等：N a N a =log3、换底： ab bc c a log log log =推论1 ab b a log 1log =推论2 log log log a b a b c c •=推论3 log log mna a nb b m =)0(≠m4、N M MN a a a log log log += log log log a a a M M N N=-5、M n M a n a log log ⋅=二、常见对数此类习题应牢记对数函数的基本运算法则，注意○1常用对数：将以10为底的对数叫常用对数，记为N lg ○2自然对数：以e=2.71828…为底的对数叫自然对数，记为N ln ○3零和负数没有对数，且1log ,01log a==a a三、对数函数一般地，函数x y a log =（a ＞0且a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0,+）。

∞四、图像高低在第一象限内，“底大图低” 0<c<d<1<a<b.五、指数函数与对数函数指数函数)1,0(≠>=a a a y x 与对数函数)1,0(log ≠>=a a x y a 的图象与性质：注：指数函数y=a x 与对数函数y=log a x 互为反函数，它们的图象关于直线y=x 对称。

对数函数0<a<1 a>1图 象表达式 log a y x =定义域 (0,)+∞值 域 R过定点 (1，0)单调性 单调递减单调递增x=1x=1y=1y=1在(0,+∞)内是 减函数在(0,+∞)内是 增函数在(- ∞,+∞)内是 减函数在(- ∞,+∞)内是 增函数0<x<1时,y<0;x>1时，y>0.0<x<1时,y>0;x>1时，y<0.x<0时,0<y<1;x>0时，y>1.x<0时，y>1;x>0时，0<y<1.(1,0)，即x=1时，y=0.(0,1)，即x =0时，y=1.(0,+∞)(0,+∞)(- ∞,+∞)(- ∞,+∞) 单调性y 值区域过定点值 域定义域图象a>10<a<1a>10<a<1a y=log a xy=a x函数11O OOO1axy1a xy1axy1a xy专题精讲类型一、对数运算1．2－3＝18化为对数式为( )A ．32log 81-= B ．2)3(log 81=- C ．381log 2-= D ．81)3(log 2=- 2．log 63＋log 62等于( )A ．6B ．5C ．1D ．log 653．如果c b a x lg 3lg 2lg lg ⋅-⋅+=，则x 等于( ) A ．a ＋2b －3c B ．a ＋b 2－c3C.ab 2c 3 D.2ab 3c4．已知2log 3=a ，那么6log 28log 33-用a 表示为( ) A ．a －2 B ．5a －2 C ．3a －(1＋a )2 D ．3a －a 2－15．)5log 211(22+ 的值等于( )A ．2＋ 5B ．2 5C ．2＋52D ．1＋526．Log 22的值为( ) A ．－ 2B. 2 C ．－12D.127．在b ＝log (a －2)(5－a )中，实数a 的取值范围是( ) A ．a ＞5或a <2 B ．2＜a ＜3或3＜a ＜5 C ．2<a <5 D ．3＜a ＜48．方程4123log =x 的解是( )A ．x ＝19B ．x ＝x3C ．x ＝ 3D ．x ＝99．若0)(log log )(log log )(log log 244332===z y x ，则x ＋y ＋z 的值为( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．6 10．若102x ＝25，则x 等于( )A ．lg 15B ．lg5C ．2lg5D ．2lg 1511．计算32log 9log 98⋅的结果为( )A ．4 B.53 C.14 D.3512．已知2log =x a ，1log =x b ，4log =x c (a ，b ，c ，x ＞0且≠1)，则=)(log abc x ( ) A.47 B.27 C.72D.7413、已知32a =，那么33log 82log 6-用a 表示是…………………………( ) A 、2a - B 、52a - C 、23(1)a a -+ D 、 23a a -14、若log 2,log 3,a a m n ==则32m n a -=_________15、log 2(3＋2)＋log 2(2－3)16、已知16log log 8log 4log 4843=⋅⋅m ，求m 的值．17、(1) 9lg 2lg 008.0lg 3181.0lg 212+++(2) ()20lg 5lg 2lg 2⋅+(3) ())2log 2(log )5log 5(log 3log 3log 2559384+⋅+⋅+类型二、对数函数的定义域与解析式注意复合函数的定义域的求法，形如[])(x g f y =的复合函数可分解为基本初等函数)(),(x g u u f y ==，分别确定这两个函数的定义域。

对数函数及其性质（讲义）➢ 知识点睛一、对数函数的定义一般地，函数__________（ ）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，+∞)． 二、对数函数的图象和性质1. 对数函数log a y x =（a >0，且a ≠1）的图象和性质：①log a y x =，②log b y x =，③log c y x =，④log d y x =， 则有0<b <a <1<d <c ，即：x ∈(1，+∞)时，log log log log a b c d x x x x <<<； x ∈(0，1)时，log log log log a b c d x x x x >>>． 3. 反函数log a y x =与x y a =互为反函数，其中a >0，且a ≠1；互为反函数的两个函数的图象关于直线y =x 对称．➢ 精讲精练1. 直接写出下列函数的定义域：（1）3log (2)y x =- __________________； （2）y =__________________； （3）y __________________；（4）1ln(1)y x =+__________________．2. （1）已知()f x 的定义域为[0，1]，则函数12(log (3))y f x =-的定义域是_____________；（2）已知函数122()log (2log )f x x =-的值域是(-∞，0)，则它的定义域是_____________；（3）函数212()log (613)f x x x =++的值域是_____________．3. 已知a >0，且a ≠1，则函数x y a =与log ()a y x =-的图象只可能是（ ）A ．B ．C ．D ．4. 函数f (x )=1+2log x 与g (x )=12x -在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．5. 若点(a ，b )在函数y =lg x 的图象上，则下列点也在此图象上的是（ ）A ．1()b a ， B ．(10a ，1-b )C ．10(1)b a+， D ．(a 2，2b )6. 若log 21a <，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(1，2)B ．(0，1)∪(2，+∞)C ．(0，1)∪(1，2)D ．(0，12)7. 若函数log a y x =在区间[2，π]上的最大值比最小值大1，则a =__________．8. 已知函数2log 0()20x x x f x x >⎧=⎨⎩≤，，，若1()2f a =，则a =________．9. （1）已知函数x y a )1(log -=在(0，+∞)上为增函数，则a 的取值范围是_____________；（2）已知函数log (2)a y ax =-在(-1，1)上是x 的减函数，则a 的取值范围是_____________；（3）若函数22log ()y x ax a =---在区间(1-∞，上是增函数，则a 的取值范围是_____________．10. （1）函数()|log |01a f x x a a =>≠（）且的单调递增区间是_____________；（2）函数212()log (2)f x x x =+的单调递增区间是__________，单调递减区间是_____________；（3）已知2()2f x x x =+，12()log g x x =，则函数(())y f g x =的单调递增区间是___________，单调递减区间是_________．11. 比较下列各组数的大小：（1）112246log log 57，；（2）35log 2log 2，；（3）0.32log 2log 3，；（4）0.450.450.4log 5，，．12.设32log πlog log a b c ===， ）A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >a >cD ．b >c >a13. 设a ，b ，c 均为正数，且112212log ()log 2a b a b ==，，21()log 2c c =，则（ ） A ．a <b <c B ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c【参考答案】➢ 知识点睛一、对数函数的定义log 01a y x a a =>≠（，且） ➢ 精讲精练1. （1）(2)+∞，；（2）(0)+∞，；（3）2(1]3，；（4）(10)(02]-，， 2. （1）5[2]2，；（2）(02)，；（3）(2]-∞-，3. B4. C5. D6. B7.22ππ或 8.或-19. （1）(2)+∞，；（2）(1，2)；（3）[22]- 10. （1）(1)+∞，（2）(2)(0)-∞-+∞，，， （3）(2)(02)+∞，，，13. A对数函数及其性质（随堂测试）1. 已知函数()f x =的定义域为M ，()ln(1)g x x =+的定义域为N ，则M ∩N =（ ） A ．{|1}x x >-B ．{|1}x x <C ．{|11}x x -<<D ．∅2. 若函数loga y x =（01a <<）在区间[a ，2a ]上的最大值是最小值的3倍，则a 的值为（ ） A ．2B ．4C ．12D ．143. 若372log πlog 6log 0.8a b c ===，，，则（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c a b >>D ．b c a >>【参考答案】1. C2. B3. A。

专题13 对数函数(对数函数的定义与图像，对数函数的性质）知识梳理一、对数函数1、对数函数定义：O y(0,1)x y a a a =>≠互为反函数。

2、性质：（1）对数函数log a y x =的图像都在y 轴的右方；（2）对数函数log a y x =的图像经过点（1,0）；（3）对数函数log (1)a y x a =>,当x>1时，y>0；当0<x<1时， y<0；对数函数log (01)a y x a =<<,当x>1时，y<0；当0<x<1时， y>0；（4）对数函数log (1)a y x a =>在（0，+∞）上是增函数，对数函数log (10)a y x a =>>在（0，+∞）上是减函数。

（5）对数函数图像在第一象限的规律是：以直线x=1把第一象限分成两个区域，每个区域里对数函数底数都是由左向右逐渐增大，如右图所示，C 1，C 2，C 3，C 4对应1log a y x =，2log a y x =，3log a y x =，4log a y x =，则0<a 4<a 3<1<a 2<a 1。

3、复合函数的单调性在复合函数[()]y f g x =中，如果()u g x =和()y f x =的增减性相异，则[()]y f g x =为减函数，如果()()u g x y f x ==和的增减性相同，则[g()]y f x =为增函数。

例题解析一、对数函数的概念与简单运用【例1】求下列函数的定义域（1）2log (162)x x y +=- （2）1lg(23)y x =+【例2】已知函数f(x)的定义域是[0，1]，求函数1[log (3)]y f x =-的定义域。

【例3】若132log >a ，则a 的取值范围是（ ） A ．231<<a B ．23110<<<<a a 或C ．132<<a D ．1320><<a a 或【例4】函数)2(x f y =的定义域为[1，2]，则函数)(log 2x f y =的定义域为（ ） A ．[0，1] B ．[1，2] C ．[2，4] D ．[4，16]【例5】已知函数2()lg(1)f x ax ax =++的定义域为R ，求实数a 的取值范围。

对数函数（第一课时）引言对数函数是数学中一种重要的函数形式，在各个领域有着广泛的应用。

在这节课中，我们将介绍对数函数的基本概念、性质和常见的应用。

一、对数函数的定义对数函数是指以某一个固定的正数为底数，对数函数将正实数映射到实数的函数。

常见的对数函数有以10为底的常用对数函数（记作log）、以自然常数e为底的自然对数函数（记作ln）、以2为底的二进制对数函数（记作log2）等。

对于一个正数x和一个给定的底数b，对数函数log以b为底的定义如下：log_b(x) = y其中，b为底数，x为真数，y为结果。

二、对数函数的性质对数函数具有以下几个重要的性质：1. 对数的底和真数之间的关系对于任意的底数b和真数x，对数函数的底b和真数x之间存在以下关系：x = b^y也就是说，对数函数实际上是底数b的幂函数的逆运算。

2. 对数函数的定义域和值域对数函数log以正数b为底的定义域是所有正实数，值域是所有实数。

3. 对数函数的性质•对于任意的底数b，满足log_b(1) = 0，即任何数的以任意底数为底的对数等于0。

•对于任意的底数b和任意的正数x，满足log_b(b) = 1，即对数函数的底数以底数为底的对数等于1。

•对于任意的底数b和正数x、y，满足log_b(x * y) = log_b(x) +log_b(y)，即对数函数的底数的乘积等于对数函数的底数的相加。

•对于任意的底数b和正数x、y，满足log_b(x / y) = log_b(x) -log_b(y)，即对数函数的底数的商等于对数函数的底数的相减。

•对于任意的底数b、正数x和正数k，满足log_b(x^k) = k * log_b(x)，即对数函数的底数的幂等于对数函数的底数的乘以幂。

三、对数函数的应用对数函数在实际应用中有着广泛的应用，以下是一些典型的应用场景：1. 财务计算对数函数在财务计算中起着重要的作用，常用于计算复利、计算投资回报率等。

第09讲-对数与对数函数一、考情分析1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；2.通过具体实例，了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；3.知道对数函数y＝log a x与指数函数y＝a x互为反函数(a>0，且a≠1)．二、知识梳理1.对数的概念一般地，对于指数式a b＝N，我们把“以a为底N的对数b”记作log a N，即b＝log a N(a>0，且a≠1).其中，数a叫做对数的底数，N叫做真数，读作“b等于以a为底N的对数”.2.对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①a log a N＝N；②log a a b＝b(a>0，且a≠1).(2)对数的运算法则如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①log a(MN)＝log a M＋log a N；②log a MN＝log a M－log a N；③log a M n＝n log a M(n∈R)；④log a m M n＝nm log a M(m，n∈R，且m≠0).(3)换底公式：log b N＝log a Nlog a b(a，b均大于零且不等于1).3.对数函数及其性质(1)概念：函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).(2)对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R4.反函数指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称. [微点提醒]1.换底公式的两个重要结论 (1)log a b ＝1log ba ；(2)log a mb n ＝n m log a b . 其中a >0，且a ≠1，b >0，且b ≠1，m ，n ∈R .2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.3.对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1，函数图象只在第一、四象限.三、 经典例题考点一 对数的运算【例1-1】 (1)计算：⎝⎛⎭⎫lg 14－lg 25÷100－12＝________. (2)计算：（1－log 63）2＋log 62·log 618log 64＝________.【解析】 (1)原式＝(lg 2－2－lg 52)×10012＝lg ⎝⎛⎭⎫122×52×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.(2)原式＝1－2log 63＋(log 63)2＋log 6 63·log 6(6×3)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋1－(log 63)2log 64＝2(1－log 63)2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.规律方法 1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3.a b ＝N ⇔b ＝log a N (a >0，且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 考点二 对数函数的图象及应用【例2-1】 (1)若函数f (x )＝a x －a －x (a >0且a ≠1)在R 上为减函数，则函数y ＝log a (|x |－1)的图象可以是( )(2)当x ∈(1，2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，则a 的取值范围是( ) A.(0，1) B.(1，2) C.(1，2]D.⎝⎛⎭⎫0，12 【解析】 (1)由f (x )在R 上是减函数，知0<a <1.又y ＝log a (|x |－1)是偶函数，定义域是(－∞，－1)∪(1，＋∞).∴当x >1时，y ＝log a (x －1)的图象由y ＝log a x 向右平移一个单位得到.因此选项D 正确. (2)由题意，易知a >1.在同一坐标系内作出y ＝(x －1)2，x ∈(1，2)及y ＝log a x 的图象.若y ＝log a x 过点(2，1)，得log a 2＝1，所以a ＝2.根据题意，函数y ＝log a x ，x ∈(1，2)的图象恒在y ＝(x －1)2，x ∈(1，2)的上方. 结合图象，a 的取值范围是(1，2].规律方法 1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 考点三 对数函数的性质及应用【例3－1】 已知函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )，则( ) A.f (x )在(0，2)上单调递增 B.f (x )在(0，2)上单调递减C.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称D.y ＝f (x )的图象关于点(1，0)对称解析 由题意知，f (x )＝ln x ＋ln(2－x )的定义域为(0，2)，f (x )＝ln[x (2－x )]＝ln[－(x －1)2＋1]，由复合函数的单调性知，函数f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，所以排除A ，B ；又f (2－x )＝ln(2－x )＋ln x ＝f (x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝1对称，C 正确，D 错误. 答案 C【例3－2】 (1)(一题多解)已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.a >b >cB.b >a >cC.c >b >aD.c >a >b(2)若log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是( ) A.(0，1) B.⎝⎛⎭⎫0，12 C.⎝⎛⎭⎫12，1D.(0，1)∪(1，＋∞)【解析】 (1)法一 因为a ＝log 2e>1，b ＝ln 2∈(0，1)，c ＝log 1213＝log 23>log 2e ＝a >1，所以c >a >b .法二 log 1213＝log 23，如图，在同一坐标系中作出函数y ＝log 2x ，y ＝ln x 的图象，由图知c >a >b .(2)由题意得a >0且a ≠1，故必有a 2＋1>2a ， 又log a (a 2＋1)<log a 2a <0，所以0<a <1， 同时2a >1，∴a >12.综上，a ∈⎝⎛⎭⎫12，1. 【例3－3】 已知函数f (x )＝log a (3－ax ).(1)当x ∈[0，2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由.【解析】 (1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ， 则t (x )＝3－ax 为减函数，x ∈[0，2]时，t (x )的最小值为3－2a ， 当x ∈[0，2]时，f (x )恒有意义， 即x ∈[0，2]时，3－ax >0恒成立.∴3－2a >0.∴a <32.又a >0且a ≠1，∴a 的取值范围是(0，1)∪⎝⎛⎭⎫1，32. (2)t (x )＝3－ax ，∵a >0， ∴函数t (x )为减函数.∵f (x )在区间[1，2]上为减函数，∴y ＝log a t 为增函数，∴a >1，x ∈[1，2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，log a（3－a ）＝1，即⎩⎨⎧a <32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1. 规律方法 1.确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行. 2.如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误.3.在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件. [方法技巧]1.对数值取正、负值的规律当a >1且b >1或0<a <1且0<b <1时，log a b >0； 当a >1且0<b <1或0<a <1且b >1时，log a b <0.2.利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决.3.比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性.4.多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y ＝1交点的横坐标进行判定.5.在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y ＝log a x 的定义域应为(0，＋∞).对数函数的单调性取决于底数a 与1的大小关系，当底数a 与1的大小关系不确定时，要分0<a <1与a >1两种情况讨论.6.在运算性质log a M α＝αlog a M 中，要特别注意条件，在无M >0的条件下应为log a M α＝αlog a |M |(α∈N +，且α为偶数).7.解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围.四、 课时作业1．（2020·土默特左旗金山学校高一开学考试（文））设82log 9log 3a=，则实数a 的值为（ ）A ．32B ．23C ．1D ．22．（2020·长春市第二十九中学高三期末（理））函数y ＝ln |x |＋1的图象大致为 （ ）A ．B ．C ．D ．3．（2020·陕西省高三开学考试（文））若24log log 1x y +=，则（ ）A ．22x y =B ．24x y =C ．22xy =D ．24xy =4．（2020·九台市第四中学高一期末）函数0.5log (43)y x =-的定义域为（ ）A ．（34，1） B ．（34，∞） C ．（1，+∞） D ．（34，1）∪（1，+∞） 5．（2020·海南省海南中学高三月考）已知实数ln22a =，22ln2b =+，2(ln2)c =，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c a b << B ．c b a << C ．b a c <<D ．a c b <<6．（2020·肥东县综合高中高三二模（理））已知函数()log 1(0,1)a f x x a a =->≠，若1234x x x x <<<，且()()()()1234f x f x f x f x ===，则12341111x x x x +++=（ ）A ．2B ．4C ．8D ．随a 值变化7．（2020·榆林市第二中学高三零模（理））等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=（ ）A ．12B ．10C ．8D ．32log 5+8．（2020·甘肃省甘谷第一中学高二开学考试（理））已知0,0a b >>，且1ab =，则函数()x f x a =与函数()log b g x x =-的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．9．（2020·湖南省宁乡一中高一期末）设函数()1232,2()log 1,2x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则()()2f f 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．310．（2020·甘肃省甘谷第一中学高一开学考试）已知函数2()log (23)a f x x x =+-，若(2)0f >，则此函数的单调递增区间是（ ）A ．(1,)(,3)+∞-∞- B ．(,3)-∞-B ．C ．(,1)-∞-D ．(1,)+∞11．（2020·内蒙古自治区集宁一中高二月考（文））已知定义在R 上的函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，且()1y f x =-的图象关于1x =对称，若实数a 满足()12log 2f a f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，则a 的取值范围是（ ）A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．1,44⎛⎫⎪⎝⎭D ．()4,+∞12．（2020·甘肃省高三一模（文））若函数()20202020log 1010f x a x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭为奇函数（其中a 为常数），则不等式()0f x ≥的整数解的个数是（ ） A ．1011B ．1010C ．2020D ．202113．（2020·湖南省宁乡一中高一期末）计算：02lg 2lg53⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值是________． 14．（2020·江苏省盐城中学高三月考）已知函数221()log (1)1x a x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，，，若[(0)]2f f =，则实数a 的值是_______．15．（2020·海南枫叶国际学校高一期末）不用计算器求下列各式的值 （1）()11230988.6427-⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）7log 23lg25lg472log +++16．（2020·甘肃省甘谷第一中学高一开学考试）设函数33()log (9)log (3)f x x x =⋅，且199x ≤≤． （1）求(3)f 的值；（2）令3log t x =，将()f x 表示成以t 为自变量的函数；并由此，求函数()f x 的最大值与最小值及与之对应的x 的值．17．（2020·四川省乐山沫若中学高一月考）已知函数()()()3 01a f x log ax a a -≠＝＞且 ．（1）当[]02x ∈，时，函数()f x 恒有意义，求实数a 的取值范围； （2）是否存在这样的实数a ，使得函数f （x ）在区间[]12，上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．18．（2020·天水市第一中学高一月考）已知函数()()lg 2(01)x xf x m m =-<<．（1）当12m =时，求()f x 的定义域； （2）试判断函数()f x 在区间(,0)-∞上的单调性，并给出证明； （3）若()f x 在区间(,1]-∞-上恒取正值，求实数m 的取值范围．19．（2020·甘肃省甘谷第一中学高二开学考试（文））已知函数()log (2)(0,1)a f x x a a =+>≠． （1）求函数()f x 定义域；（2）若(2)2f =，判断函数()f x 单调性，并用单调性定义证明； （3）解关于x 的不等式()0f x >．20．（2020·山西省大同一中高二月考（理））已知函数()()2232log ,log f x x g x x =-=. (1)当[]1,4x ∈时，求函数()()()1h x f x g x ⎡⎤=+⋅⎣⎦的值域；(2)如果对任意的[]1,4x ∈，不等式()()2f x fk g x ⋅>⋅恒成立，求实数k 的取值范围．。

一、教学目标：1．理解对数的概念，掌握对数的运算性质；2．掌握对数函数的概念、图象和性质；能利用对数函数的性质解题．二、教学重、难点：运用对数运算性质进行求值、化简、证明、运用对数函数的定义域、单调性解题三、命题规律：主要考察指数式ba N =与对数式log a Nb =的互化，对数函数的图像和性质或由对数函数复合成的函数，主要涉及比较大小、奇偶性、过定点、单调区间以及运用单调性求最值等，主要以填空为主。

四、教学内容：【知识回顾】 1.对数的概念如果 ,那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作 ，其中a 叫做对数的 ，N 叫做对数的 。

即指数式与对数式的互化：log ba aN b N =⇔=2.常用对数：通常将以10为底的对数10log N 叫做常用对数，记作lg N 。

自然对数：通常将以无理数 2.71828e =⋅⋅⋅为底的对数叫做自然对数，记作ln N 。

3.对数的性质及对数恒等式、换底公式（1）对数恒等式：①log Na a = (01,0)a a N >≠>且②log N a a =(01,0)a a N >≠>且（2）换底公式：log a N =log log b b Na（3）对数的性质：①负数和零没有对数 ② 1的对数是零，即log 10a =③底的对数等于1，即log 1a a = ④log log log a b c b c d ⋅⋅=log a d4.对数的运算性质如果01,0,0a a M N >≠>>且，那么（1）log ()a MN = ； （2）log aMN= ； （3）log n a M = ； （4）log na m M = 。

（5）log log a b b a ⋅= ； （6）log a b =1log b a5.对数函数函数log (01)a y x a a =>≠且做对数函数，其定义域为(0，+∞)，值域为(-∞，+∞).、6.对数函数图像与性质注：对数函数1log log (01)a ay x y x a a ==>≠与且的图像关于x 轴对称。

对数函数专题讲义一．对数的概念 (1)对数的定义①一般地，如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b＝N ，那么称b 是以a 为底N 的对数，记作b ＝log a N ，其中，a 叫做对数的底数，N 叫做真数．②底数的对数是1，即log a a ＝1,1的对数是0，即log a 1＝0. (2)几种常见对数4.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 ①log a Na＝N (a >0且a ≠1，N >0)；②log a a N＝N (a >0且a ≠1)．(2)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a N log a b (a ，b 均大于零且不等于1，N >0)；②log a b ＝1log b a (a ，b 均大于零且不等于1)．(3)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log a MN＝log a M －loga N ； ③log a M n＝n log a M (n ∈R )；④log m na M ＝n mlog a M .二．对数函数的定义1.形如y ＝log a x (a >0，a ≠1)的函数叫作对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 2．对数函数的图象与性质定义域：(0，＋∞)3.反函数指数函数y ＝a x(a >0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．考向一 对数运算 例1 计算下列各式的值： (1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)lg 25＋23lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2.(3)353log 1+－232log 4+＋103lg3＋⎪⎭⎫ ⎝⎛2152log .例2 已知log 189＝a,18b ＝5，用a 、b 表示log 3645. [玩转跟踪]1.计算下列各式的值： (1)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2； (2)lg 3＋25lg 9＋35lg 27－lg 3lg 81－lg 27(3)943log 21+525log 1+.2.(1)(log 29)·(log 34)等于( )A.14B.12 C.2 D.4 (2)log 2125·log 318·log 519＝________.考向二 对数函数的图像【例3】函数log ()a y x =-（0a >且1a ≠）与函数xy a =（0a >且1a ≠）在同一直角坐标系内的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【例4】函数log (32)2a y x =-+的图象必过定点（ ） A ．(1,2)B ．(2,2)C ．(2,3)D ．2,23⎛⎫⎪⎝⎭【玩转跟踪】1．函数()ln 1f x x =+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．2．函数y ＝2log 4(1－x)的图象大致是A ．B ．C ．D ．函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的底数变化对图象位置的影响．观察图象，注意变化规律：(1)上下比较：在直线x ＝1的右侧，a ＞1时，a 越大，图象向右越靠近x 轴，0＜a ＜1时a 越小，图象向右越靠近x 轴．(2)左右比较：比较图象与y ＝1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大．2.函数()log (1)1a f x x =-+（0a >，且1a ≠）的图象恒过点（ ） A ．(1,1)B ．(2,1)C ．(1,2)D ．(2,2)考向三 对数函数性质 1.单调性（区间）【例5】（1）函数()()2223f x log x x =-++的单调减区间是（ ）A ．()3,1-B ．1,C ．(]1,1-D ．()1,3（2）（2019·四川省新津中学高一月考）已知()log (32)a f x ax =-在[]1,2上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(0,1)B ．30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．33,42⎛⎫⎪⎝⎭【玩转跟踪】1．函数213log (32)y x x =-+的单调递减区间为（ ） A ．()2,+∞B ．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(),1-∞D ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭2．已知函数2()lg(45)f x x x =--在(,)a +∞上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．(2,)+∞ B ．[2,)+∞C ．(5,)+∞D ．[5,)+∞2.定义域和值域 【例6】（1）函数()ln(-1)f x x =+的定义域为（ ） A ．()1,2B ．()1,+∞C ．()2,+∞D ．()()1,22,⋃+∞（2）函数()212log 617y x x =-+的值域是（ ）.A ．RB ．(],3-∞-C ．[)8,+∞D ．[)3,+∞【一隅三反】 1．函数()2log f x x=-的定义域为（ ） A ．()0,2B ．(]0,2C ．()2,+∞D ．[)2,+∞2．已知函数()f x 的定义域是[1,1]-，则函数(21)()ln(1)f xg x x -=-的定义域是________.3．若函数22,1,()log ,1,x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩ 则函数()f x 的值域是（ ）A ．(,2)-∞B ．(,2]-∞C ．[0,)+∞D ．(,0)(0,2)-∞3.比较大小【例7】比较下列各组数中两个值的大小． （1）log 23.4，log 28.5； （2）log 0.31.8，log 0.32.7；（3）log a 5.1，log a 5.9(a >0，且a ≠1)．【玩转跟踪】1．已知2log 0.3a =， 1.30.3b =， 1.32c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．b a c <<2．已知0.2log 2a =，20.2b =，0.23c =，则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a << 3．若30.6a =，3log 0.2b =，0.63c =，则（ ）A ．c a b >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．b c a >> 4. 解不等式【例8】不等式0.25log (1)1x ->的解集是________. 【玩转跟踪】1．已知函数(2)f x +是定义域为R 的偶函数，()f x 在(2,)+∞上单调递减，则不等式(ln )(1)0f x f -<的解集是（ ） A ．(0,1)(3,)+∞B ．（1，3）C ．3(0,)(,)e e ⋃+∞D ．3(,)e e2．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(],0x ∈-∞时，()22f x x x =-+，若实数m 满足()2log 3f m ≤，则m 的取值范围是（ ）A ．(]0,2B ．1[,2]2C ．(]0,8D ．1[,8]8考向四 对数函数综合应用 例8 已知函数121()log 21axf x x -=-，a 常数. （1）若2a =-，求证()f x 为奇函数，并指出()f x 的单调区间；（2）若对于35,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，不等式1221log (21)log (21)4xx m x ⎛⎫+->-- ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围. [玩转跟踪]1.已知函数f(x)=log 2(2x +k)(k ∈R)的图象过点P(0,1)． （1）求k 的值并求函数f(x)的值域；（2）若关于x 的方程f(x)=x +m,x ∈[0,1]有实根，求实数m 的取值范围；（3）若g(x)=f(x)+ax 为偶函数，求实数a 的值． 反馈练习1．若a =log 225,b =0.43,c =ln3，则a 、b 、c 的大小关系是 。

2.2.2 对数函数的图象与性质(1)一、知识要点1、 对数函数：函数 （ ）叫做对数函数，定义域为2、 对数函数的图象和性质且)10(log ≠>=a a x y a3、函数的图象且和)1(log log 1≠>==a o a x y x y aa 关于 对称。

二、基础过关：1、画函数图像：（1）213123log ,log ,log ,log y x y x y x y x ====2、求下列函数的定义域 x y x y 25l o g1)2()1(l o g )1(=-=(3)y =3、比较下列各组中两个值的大小220.20.2(1)log 1.5___log 1.3(2)log 3___log 3.4(3)1________3log 21 (4)log 5.1_____log 5.9(0,1)a a a a >≠三、典型例题例1、求下列函数的定义域：（1）；)91(l og x y a -= （2）2log (45)a y x x =--； （3）)2lg(2+-=x x y例2、求下列函数的定义域：)32(log 3.0-=x y 33.0)32(log -=x y 变式：例3、比较下列各组数中两个值的大小： （1） 7.2log 8.1log 3.03.0 （2） 5.8lg 4.3lg （3） 05.0log 5 (4) 15log 31(5)若n m 33log log <，则m,n 的大小关系为_____________ （6）若12log <a，则a 的取值范围为(7)已知)1(log )2(log 45.045.0x x ->+，则实数x 的取值范围是例4、已知函数=-=+-=)(21)(,11lg)(a f a f x x x f ，则若 （ ） 222121、、、、D C B A --四、课后作业：1、函数 x y 2log = 中，当x _时，y>0；当x __ _ 时，y=0当 _________ 时，y<0.2、已知函数x y 31log =，则当10<<x 时，∈y ；当1>x 时，∈y ；当2>y 时，∈x ．3、若x y 3log =，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈27,31x ，则y ∈_________________4、若132log >a，则a 的取值范围为 5、不等式1122log (21)log (3)x x +>-的解集为_________________6、已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且f(x)在[0,+∞]上为增函数，f(2)=0,则不等式的解集为________________________________?7、比较正数m,n 的大小：log log (0,1)a a m n a a >>≠8、71(1)log (2)13y y y x ===-求下列函数定义定义9、已知)2(log )12(log 4.04.0x x ->+，求实数x 的取值范围。

对数与对数函数讲义--冯自会文尚学堂学科教师辅导讲义讲义编号学员编号：年级：高一课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：课题对数及对数函数、反函数授课时间：教学目标了解对数与对数函数的意义会利用对数函数的性质解题掌握反函数的求法，运用函数和反函数的性质解题重点、难点对数函数图象和性质的运用考点及考试要求对数函数的图像和性质教学内容[知识介绍]1.对数（1）对数的定义：如果ab=N（a＞0，a≠1），那么b叫做以a 为底N的对数，记作logaN=b.（2）指数式与对数式的关系： ab=NlogaN=b（a＞0，a≠1，N ＞0）.两个式子表示的a、b、N三个数之间的关系是一样的，并且可以互化.(3).对数的性质：①零和负数没有对数，即N>0；②底数的对数等于1，即logaa=1 ③1的对数0，即loga1=0（4）对数运算性质: ①loga（MN）=logaM+logaN.②loga=logaM－logaN.③logaMn=nlogaM.（M＞0，N＞0，a＞0，a≠1）④对数换底公式：logbN=（a＞0，a≠1，b＞0，b≠1，N＞0）.(5).常用对数与自然对数：（1）常用对数：以10为底的对数称为常用对数，简记为lgN.如log=lg2 (2)自然对数：以e（e=2.7182818）为底的对数成为自然对数,即log，简记为lnN。

如=ln3.2.对数函数（1）对数函数的定义:函数y=logax（a＞0，a≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）.（2）对数函数的图象底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称.（3）对数函数的性质:①定义域：（0，+∞）. ②值域：R. ③过点（1，0），即当x=1时，y=0.④当a＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a＜1时，在（0，+∞）上是减函数.[热身练习]1.函数f（x）=|log2x|的图象是2.若f －1（x）为函数f（x）=lg（x+1）的反函数，则f －1（x）的值域为___________________.3.已知f（x）的定义域为［0，1］，则函数y=f［log（3－x）］的定义域是__________.4.若logx=z，则x、y、z之间满足A.y7=xzB.y=x7zC.y=7xzD.y=zx5.已知1＜m＜n，令a=（lognm）2，b=lognm2，c=logn （lognm），则A.a＜b＜cB.a＜c＜bC.b＜a＜cD.c＜a＜b对数运算一、基本训练：___________, ______________________________已知求二、例题分析例1、(1)若，则=___________(2 )对于，下列说法中，正确的是（）(A) (B)(C) (D)（3）已知，令，则( )(A)a<b<c例2、求值或化简(1) (2)例3、若，求的值。

第9讲对数函数对数函数1. 对数函数的概念：一般地，我们把函数 ___________________________ 叫做对数函数.2. 对数函数的图象与性质：指数函数与对数函数的关系1 •反函数的概念：当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量, 而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量•我们称这两个函数互为反函数.函数y = f（X）的反函数通常用y = f」（X）表示.2•指数函数y=a x与对数函数y^log a X图象关于 __________________ 对称.【例1】下列函数是对数函数的是 （ ）2A . y =log 3(x 1)B . y =log a (2x)(a .0 ,且 a =1)C . y =1 nxD . y =log a X (a . 0,且a =1)【例2】 函数f （x ） =（a 2 a -5）log a x 为对数函数，则f （-）等于（ ）8【例1】求下列函数的定义域：j^3x（1）f x二g x 1 ；【例3】(1)设 A =〈x|y = .1—X 2?,B =「y|y =ig(1-x 2)?，则 小B =() A . {( -1,1)} B . {(0,1)}C . [-1 , 0]D . [0 , 1](2)函数y =log (2xi) 3x —2的定义域是()2 1 ________________ 2 ________________ 1 __________A .(3,1)U (1，二)B . (-,1^J(1/::)C . (-，：：)D . (- , ■:：)【例2】a,b,c 是图中三个对数函数的底数，它们的大小关系是图中的曲线是y=log a x 的图象，已知a 的值为 2 , 次为（）.4 31一,—,一，则相应曲线 G ,C 2,C 3,C 4的a依3 10 5A . c > a > bB . c > b > aC . a > b > c1-51-53一10303一1014-33W1- 5XB . -3C . -log 3 6D . - log 3 8(2) y = 1 —Iog 2(4x_5).【例3】【例4】当o :::a ：：：1时，在同一坐标系中，函数y =a°与y =log a X 的图象是（)•x【例5】 已知f (x 3) =log 2 x,则f (8)的值等于( ).A . 1B . 2C . 8【例6】 若log 2a ::1，则a 的取值范围是3---------22A . 0 :: aB . a -332[例 7】 函数y=log i(x -6X 17)的值域是(2A . RB . [8,：：)下面结论中，不正确的是 _____________ A .若a > 1,贝U y=a x 与y=log a X 在定义域内均为增函数 B .函数y =3x 与y =log 3X 图象关于直线y =x 对称2C . y - log a x 与y=2logax 表示同一函数D .若 0 :: a <1,0 : ： m ：： n ：：1，则一定有 log a m log a n 0【例13】若log m 3 ::: log n 3，求m 和n 的关系.【例8】 比较两个对数值的大小：ln7 ln12 ; log °.5°.7 l o g . 5 0. . 8 【例9】 若 logm9 ：：：logn9 ：：：0，那么A . m n 1 【例10】 log 1 b :: log 1 a :: log 1 c 2 2 2 A . 2b 2a 2c 已知 【例11】 下列大小关系正确的是( 3 0.4A . 0.4：:3 :: log 4 0.3C . log 4 0.3 ：：0.43 ：：30.4m,n 满足的条件是（ ，则（ ).). C . 0 ：： n ::: m ：： 1 D . 0 ：： m ：： n ：： 1 C . 2c 2b 2a D . 2c 2a -2b30.40.4 :: log 4 0.3 :: 3log 4 0.3 ：：：30.4 ：：0.43 D . 122 C . a ：：：1 3D . 20 ■■： a或 a >).C .（」：，-3]D .[3,；)【例12】【例14】下列区间中，函数 f(x) =lg(2 —x)，在其上为增函数的是()【例15】设x i , X 2是方程lg 2x alg x ^0的两个根，则X 1X 2的值是 _________________ .2 2【例16】函数y =(log 1 x) -log 1 x 5在2剟x 4时的值域为 _________________________ .【例17】已知函数f (X) =lg(2 x 2)，则满足不等式f(2x 一1) ：：： f (3)的x 的取值范围为【例18】(1)若函数y =log 2(kx 亠4kx 亠5)的定义域为R ，则k 的取值范围( )5 55 5A . (0，;)B . [0，；)C . [0，； ]D .(」:，0)-(二，：■)4 44 42(2)已知函数f(x)=lg(ax -2x a)的值域为R ，则实数a 的取值范围为( )A . [/ , 1]B . [0 , 1]C ., -1)- (1 ,：：)D . (1,：：)__ Q【例19】已知函数f(x)=log 2X 的定义域是[2 , 16].设g(x) = f (2x) -[ f(x)].(1) 求函数g(x)的解析式及定义域； (2) 求函数g(x)的最值.A .(一打]C - [0,3)D . [1,2)课后作业C . (i ：二“山(-1 ,0)D . (-: ：，0)L/(0 ,，)A . f(x) =x 1与 g(x) =x 1x —1C . f (x)二x 与 g(x) =log 22x f (x)=2lg x 与 g(x) =lg x 2【练6】图中曲线分别表示y=log a X , y=log b X ,y=log d X 的图象，a, b, c, d 的关系是( A . 0 :: a::: b:: 1=: d:: c B . 0 :: b:: a ::: 1:: c:: d C.0 :: d :: c:: 1：：： a ::: bD . 0 :: c d ：：1：： a ::: b【练7】 函数y =log 2(x 2 2)的值域是 ______________________ 【练8】 已知函数f(x)=lg(2 x) lg(2-x).(1) 求函数f (x)的定义域；(2) 若不等式f(x) m 有解，求实数m 的取值范围.【练1】方程2log3x=4的解是()13A .-B .C . . 3D . 993【练2】已知 a =log 2 0.3,b =2° ',c =0.21'3，则 a,b,c 的大小关系是( : )A . a ::: b ::: cB . c ::: a ::: bC . a ::: c ::: bD . b ::: c ■ a【练3】如果f 人：：：1，求x o 的取值范围.【练4】若f(x)=応，则f(x)的定义域是(【练5】F 列各组函数中，表示同一个函数的是(设函数f(x)=[2「，x 兰log 2 (x +1 ),x >0A . (1, * ：：)B . (0讥(1，•:：) f (x)二■. x 2 与 g(x) =x log c x , )O。