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第五章机械能及其守恒定律章末过关检测(五)(时间：45分钟分值：100分)一、单项选择题(本题共6小题，每小题6分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确) 1．有一固定轨道ABCD如图所示，AB段为四分之一光滑圆弧轨道，其半径为R，BC段是水平光滑轨道，CD段是光滑斜面轨道，BC和斜面CD间用一小段光滑圆弧连接．有编号为1、2、3、4完全相同的4个小球(小球不能视为质点，其半径r<R)，紧挨在一起从圆弧轨道上某处由静止释放，经平面BC到斜面CD上，忽略一切阻力，则下列说法正确的是( )A．四个小球在整个运动过程中始终不分离B．在圆弧轨道上运动时，2号球对3号球不做功C．在CD斜面轨道上运动时，2号球对3号球做正功D．在CD斜面轨道上运动时，2号球对3号球做负功解析：选A.圆弧轨道越低的位置切线的倾角越小，加速度越小，故相邻小球之间有挤压力，小球在水平面上速度相同，无挤压不分离，在斜面上加速度相同，无挤压也不分离，故B、C、D错误，A正确．2．如图甲所示的一次训练中，运动员腰部系着不可伸长的绳拖着质量m＝11 kg的轮胎从静止开始沿着平直的跑道加速奔跑，绳与水平跑道的夹角是37°，5 s后拖绳从轮胎上脱落，轮胎运动的v－t图象如图乙所示，不计空气阻力，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度g＝10 m/s2，则下列说法正确的是( )A．轮胎与地面间的动摩擦因数μ＝0.2B．拉力F的大小为55 NC．在0～5 s内，轮胎克服摩擦力做功为850 JD．拖绳对轮胎做的功为1 750 J解析：选C.拖绳从轮胎上脱落后，轮胎的受力分析如图a所示，由v－t图象可得5～7 s内的加速度为a2＝－5 m/s2，根据牛顿运动定律有N2－mg＝0，－f2＝ma2，又因为f2＝μN2，代入数据可解得μ＝0.5，选项A错误；拖绳拉动轮胎的过程中，轮胎的受力分析如图b所示，由牛顿运动定律可得F cos 37°－f1＝ma1，mg－F sin 37°－N1＝0，又因为f1＝μN1，由v－t图象可知此过程中的加速度为a1＝2 m/s2，联立以上各式可解得F＝70 N，选项B错误；由F cos 37°－f1＝ma1可解得f1＝34 N，由图象可知轮胎在0～5 s 内的位移为x1＝25 m，故在此过程中克服摩擦力所做的功为W＝f1x1＝850 J，选项C正确；由W F＝Fx1cos37°可得拖绳对轮胎所做的功为W F ＝1 400 J ，选项D 错误．3．如图所示，在高1.5 m 的光滑平台上有一个质量为2 kg 的小球被一细线拴在墙上，球与墙之间有一根被压缩的轻质弹簧．当烧断细线时，小球被弹出，小球落地时的速度方向与水平方向夹角为60°，则弹簧被压缩时具有的弹性势能为(g ＝10 m/s 2)( )A ．10 JB ．15 JC ．20 JD ．25 J解析：选A.由h ＝12gt 2，tan 60°＝vy v0＝gtv0，可得v 0＝10 m/s ，由小球被弹射过程中小球和弹簧组成的系统机械能守恒得，E p ＝12mv 20＝10 J ，A 正确．4．(2019·吉大附中模拟)如图所示为游乐场中过山车的一段轨道，P 点是这段轨道的最高点，A 、B 、C 三处是过山车的车头、中点和车尾，假设这段轨道是圆轨道，各节车厢的质量相等，过山车在运行过程中不受牵引力，所受阻力可忽略．那么过山车在通过P 点的过程中，下列说法正确的是( )A ．车头A 通过P 点时的速度最小B ．车的中点B 通过P 点时的速度最小C ．车尾C 通过P 点时的速度最小D ．A 、B 、C 通过P 点时的速度一样大解析：选B.过山车在运动过程中，受到重力和轨道支持力作用，只有重力做功，机械能守恒，动能和重力势能相互转化，则当重力势能最大时，过山车的动能最小，即速度最小，根据题意可知，车的中点B通过P 点时，重心的位置最高，重力势能最大，则动能最小，速度最小．5．(2019·湖北襄阳调研)如图所示，质量为m 的滑块从斜面底端以平行于斜面的初速度v 0冲上固定斜面，沿斜面上升的最大高度为h .已知斜面倾角为α，斜面与滑块间的动摩擦因数为 μ，且μ<tan α，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取斜面底端为零势能面，则能表示滑块在斜面上运动的机械能E 、动能E k 、势能E p 与上升高度h 之间关系的图象是( )解析：选D.势能先随高度增加而变大，后随高度减小而变小，上行与下行图线重合为一条第一象限内过原点的倾斜线段，A 选项错误；机械能变化参考摩擦力做功，上行和下行过程中摩擦力随高度变化均匀做功，机械能随高度变化均匀减小，B 选项错误；动能变化参考合外力做功，上行过程的合外力大于下行过程的合外力，且合外力在运动过程中大小恒定，随高度变化均匀做功，D 选项正确、C 选项错误．6.(2019·湖北孝感高级中学高三调考)如图所示，固定在地面上的半圆轨道直径ab 水平，质点P 与半圆轨道的动摩擦因数处处一样，当质点P 从a 点正上方高H 处自由下落，经过轨道后从b 点冲出竖直上抛，上升的最大高度为H2，空气阻力不计．当质点下落再经过轨道a 点冲出时，能上升的最大高度h 为( )A ．不能从a 点冲出半圆轨道B ．能从a 点冲出半圆轨道，但h <H 2C ．能从a 点冲出半圆轨道，但h >H 2D ．无法确定能否从a 点冲出半圆轨道解析：选B.质点第一次在半圆轨道中运动的过程，由动能定理得：mg ⎝⎛⎭⎪⎫H －H 2＋(－W f )＝0－0，W f 为质点克服摩擦力做功大小，解得：W f ＝12mgH ，即质点第一次在半圆轨道中运动损失的机械能为12mgH ，由于第二次质点在半圆轨道中运动时，对应位置处速度变小，因此半圆轨道给质点的弹力变小，摩擦因数不变，所以摩擦力变小，摩擦力做功小于12mgH ，机械能损失小于12mgH ，因此质点再次冲出a 点时，能上升的高度大于零而小于12H ，故A 、C 、D 错误，B 正确．二、多项选择题(本题共4小题，每小题6分，共24分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全选对的得6分，选对但不全的得3分，有错选或不答的得0分)7.滑沙是国内新兴的，也是黄金海岸独有的旅游项目，深受游客欢迎．如图所示，某人坐在滑沙板上从沙坡斜面的顶端由静止沿直线下滑到斜面底端时，速度为v ，设人下滑时所受阻力恒定不变，沙坡长度为L ，斜面倾角为θ，人的质量为m ，滑沙板质量不计，重力加速度为g .则( )A ．人沿沙坡斜面的顶端下滑到底端所受阻力做的功为mgL sin θ－12mv2B ．人沿沙坡下滑时所受阻力的大小为mg sin θ－mv22LC ．人沿沙坡斜面的顶端下滑到底端重力做的功为mgL sin θD ．人在下滑过程中重力功率的最大值为mgv sin θ解析：选BCD.某人坐在滑沙板上从沙坡斜面的顶端由静止沿直线下滑到斜面底端时，由动能定理可得：mgL sin θ＋W f ＝12mv 2，则W f ＝12mv 2－mgL sin θ，故选项A 错误；W f ＝－fL ＝12mv 2－mgL sin θ，解得：f ＝mg sinθ－mv22L，故选项B 正确；人从沙坡斜面的顶端下滑到底端，重力做的功为mgL sin θ，故选项C 正确；人在下滑过程中重力功率的最大值为mgv sin θ，故选项D 正确．8．如图所示，质量为M 、长度为L 的小车静止在光滑的水平面上，质量为m 的小物块，放在小车的最左端，现用一水平向右的恒力F 始终作用在小物块上，小物块与小车之间的滑动摩擦力为f ，经过一段时间后小车运动的位移为x ，此时小物块刚好滑到小车的最右端，则下列说法中正确的是( )A ．此时物块的动能为F (x ＋L )B ．此时小车的动能为F (x ＋L )C ．这一过程中，物块和小车增加的机械能为F (x ＋L )－fLD ．这一过程中，物块和小车因摩擦而产生的热量为fL解析：选CD.对小物块分析，水平方向受到拉力F 和摩擦力f ，小车位移为x ，小物块相对于小车位移为L ，则根据动能定理有(F －f )·(x ＋L )＝E k －0，选项A 错误；小车受到水平向右的摩擦力f 作用，对地位移为x ，根据动能定理同样有fx ＝E ′k －0，选项B 错误；在这一过程，物块和小车增加的机械能等于增加的动能，即E k ＋E ′k ＝F (x ＋L )－fL ，选项C 正确；在此过程中外力做功为F (x ＋L )，所以系统因摩擦而产生的热量为F (x ＋L )－[F (x ＋L )－fL ]＝fL ，选项D 正确．9.如图所示，由电动机带动的水平传送带以速度v ＝2.0 m/s 顺时针匀速运行，A 端上方靠近传送带的料斗中装有煤，打开阀门，煤以流量Q ＝50 kg/s 落到传送带上，煤与传送带达共同速度后被运至B 端，在运送煤的过程中，下列说法正确的是( )A ．电动机应增加的功率为100 WB ．电动机应增加的功率为200 WC ．在1 min 内因煤与传送带摩擦产生的热量为6.0×103JD ．在1 min 内因煤与传送带摩擦产生的热量为1.2×104J解析：选BC.煤经时间t 加速到v ，由动能定理有μmg ·v 2t ＝12mv 2，t 时间内由摩擦产生的热量Q 内＝μmg ·s 相对＝μmg ⎝⎛⎭⎪⎫vt －12vt ＝12mv 2，这段时间内电动机多消耗的能量E ＝12mv 2＋Q 内＝mv 2，电动机应增加的功率P ＝E t ＝mv2t ＝Qv 2＝200 W ，在1 min 内因煤与传送带摩擦产生的热量为Q 内＝12mv 2＝12Qtv 2＝6.0×103J ，选项B 、C 正确．10．(2019·徐州适应性测试)如图所示，左侧为一个固定在水平桌面上的半径为R 的半球形碗，碗口直径AB 水平，O 点为球心，碗的内表面及碗口光滑．右侧是一个足够长的固定光滑斜面．一根不可伸长的轻质细绳跨过碗口及竖直固定的轻质光滑定滑轮，细绳两端分别系有可视为质点的小球和物块，且小球质量m 1大于物块质量m 2.开始时小球恰在A 点，物块在斜面上且距离斜面顶端足够远，此时滑轮右侧的细绳与斜面平行且恰好伸直，C 点在球心O 的正下方．当小球由静止释放开始运动，则下列说法中正确的是( )A ．在小球从A 点运动到C 点的过程中，小球与物块组成的系统机械能守恒B ．当小球运动到C 点时，小球的速率是物块速率的22C ．小球不可能沿碗面上升到B 点D ．物块沿斜面上滑的过程中，地面对斜面的支持力始终保持恒定解析：选ACD.本题易错之处是误认为小球与物块的速度大小相等，无法判断地面对斜面的支持力与什么因素有关．在小球从A 点运动到C 点的过程中，小球与物块组成的系统只发生着动能和重力势能的转化，小球与物块组成的系统机械能守恒，选项A 正确；当小球运动到C 点时，设小球的速率为v 1，物块的速率为v 2，分析可知有v 2＝v 1cos 45°＝22v 1，即物块的速率是小球速率的22，选项B 错误；假设小球恰能上升到B 点，则滑轮左侧的细绳将加长，物块一定是上升的，物块的机械能一定增加，小球的机械能不变，导致系统机械能增加，违背了机械能守恒定律，即小球不可能沿碗面上升到B 点，选项C 正确；物块沿斜面上滑过程中，由于滑轮右侧细绳始终与斜面平行，所以物块对斜面的压力始终不变，地面对斜面的支持力始终保持恒定，选项D 正确．三、非选择题(本题共2小题，共40分．按题目要求作答，计算题要有必要的文字说明和解题步骤，有数值计算的要注明单位)11．(20分)如图是阿毛同学的漫画中出现的装置，描述了一个“吃货”用来做“糖炒栗子”的“萌”事儿：将板栗在地面小平台上以一定的初速度经两个四分之一圆弧衔接而成的轨道，从最高点P 飞出进入炒锅内，利用来回运动使其均匀受热．我们用质量为m 的小滑块代替栗子，借用这套装置来研究一些物理问题．设大小两个四分之一圆弧半径分别为2R 、R ，小平台和圆弧均光滑．将过锅底的纵截面看做是由两个斜面AB 、CD 和一段光滑圆弧组成．斜面与小滑块间的动摩擦因数均为0.25，而且不随温度变化．两斜面倾角均为θ＝37°，AB ＝CD ＝2R ，A 、D 等高，D 端固定一小挡板，小滑块碰撞它不损失机械能．滑块的运动始终在包括锅底最低点的竖直平面内，重力加速度为g .(1)如果滑块恰好能经P 点飞出，为了使滑块恰好沿AB 斜面进入锅内，应调节锅底支架高度使斜面的A 、D 点离地高为多少？(2)接(1)问，求滑块在锅内斜面上运动的总路程；(3)对滑块的不同初速度，求其通过最高点P 和小圆弧最低点Q 时受压力之差的最小值． 解析：(1)设滑块恰好经P 点飞出时速度为v P ，由牛顿第二定律有mg ＝mv2P2R，得v P ＝2gR得v P ＝2gR到达A 点时速度方向要沿着斜面AB ，则v y ＝v P tan θ＝342gR所以A 、D 点离地高度为h ＝3R －v2y 2g ＝3916R .(2)进入A 点时滑块的速度为v ＝vP cos θ＝542gR(2)进入A 点时滑块的速度为v ＝vP cos θ＝542gR假设经过一个来回能够回到A 点，设回来时动能为E k ，则E k ＝12mv 2－4μmg cos θ·2R <0，所以滑块不会滑到A 点而飞出．因mg sin θ>μmg cos θ，则根据动能定理得mg ·2R sin θ－μmg cos θ·s ＝0－12mv 2得滑块在锅内斜面上运动的总路程s ＝221R16.(3)设滑块的初速度和经过最高点时的速度分别为v 1、v 2由牛顿第二定律，在Q 点F 1－mg ＝mv21R 在P 点F 2＋mg ＝mv222R 所以F 1－F 2＝2mg ＋m （2v21－v 2）2R由机械能守恒有12mv 21＝12mv 2＋mg ·3R 得v 21－v 2＝6gR 为定值在P 点F 2＋mg ＝mv222R 所以F 1－F 2＝2mg ＋m （2v21－v 2）2R 由机械能守恒有12mv 21＝12mv 2＋mg ·3R 得v 21－v 2＝6gR 为定值所以F 1－F 2＝2mg ＋m （2v21－v 2）2R 由机械能守恒有12mv 21＝12mv 2＋mg ·3R 得v 21－v 2＝6gR 为定值由机械能守恒有12mv 21＝12mv 2＋mg ·3R得v 21－v 2＝6gR 为定值代入v 2的最小值(v 2＝v P ＝2gR )得压力差的最小值为9mg .答案：(1)3916R (2)221R16(3)9mg12．(20分)如图所示，质量为m ＝1 kg 的滑块，在水平力F 作用下静止在倾角为θ＝30°的光滑斜面上，斜面的末端处与水平传送带相接(滑块经过此位置滑上传送带时无能量损失)，传送带的运行速度为v 0＝3 m/s ，长为L ＝1.4 m ，今将水平力撤去，当滑块滑到传送带右端C 时，恰好与传送带速度相同．滑块与传送带间的动摩擦因数μ＝0.25，g ＝10 m/s 2.(1)求水平作用力F 的大小；(2)求滑块下滑的高度；(3)若滑块滑上传送带时速度大于3 m/s ，求滑块在传送带上滑行的整个过程中产生的热量．解析：(1)滑块静止在斜面上时，受到水平推力F 、重力mg 和支持力F N 而处于平衡状态，由平衡条件可知，水平推力F ＝mg tan θ， 代入数据得F ＝1033N.(2)设滑块从高为h 处下滑，到达斜面底端速度为v ，下滑过程机械能守恒，故有mgh ＝12mv 2，所以v ＝2gh .若滑块滑上传送带时的速度小于传送带速度，则滑块在传送带上由于受到向右的滑动摩擦力而做匀加速运动；根据动能定理有 μmgL ＝12mv 20－12mv 2，所以h 1＝v202g－μL ，代入数据得h 1＝0.1 m.若滑块冲上传送带时的速度大于传送带的速度，则滑块由于受到向左的滑动摩擦力而做匀减速运动；根据动能定理有若滑块冲上传送带时的速度大于传送带的速度，则滑块由于受到向左的滑动摩擦力而做匀减速运动；根据动能定理有－μmgL ＝12mv 20－12mv 2，则h 2＝v202g＋μL ，代入数据得h 2＝0.8 m.(3)设滑块在传送带上运动的时间为t ，则t 时间内传送带的位移x ＝v 0t ，(3)设滑块在传送带上运动的时间为t ，则t 时间内传送带的位移x ＝v 0t ，由机械能守恒可知mgh 2＝12mv 2，对滑块由运动学公式知v 0＝v －at ，a ＝μg 滑块相对传送带滑动的位移Δx ＝L －x ，相对滑动产生的热量Q ＝μmg Δx ，联立代入数据可得Q ＝0.5 J.答案：(1)1033N (2)0.1 m 或0.8 m (3)0.5 J。
本章综合能力提升练一、单项选择题自然现象中蕴藏着许多物理知识，如图1所示为一个盛水袋，某人从侧面缓慢推袋壁使它变形，那么水的重力势能()图1A．变大B．变小C．不变D．不能确定答案 A解析人缓慢推水袋，对水袋做正功，水的机械能变大，水的动能不变，由功能关系可知，水的重力势能一定变大，A正确．2．(2021·镇江市模拟)坐落在镇江新区的摩天轮高 88m，假设乘客随座舱在竖直面内做匀速圆周运动如图 2.以下说法正确的选项是( )1图2A．在摩天轮转动的过程中，乘客机械能始终保持不变B．在最低点时，乘客所受重力大于座椅对他的支持力C．在摩天轮转动一周的过程中，合力对乘客做功为零D．在摩天轮转动的过程中，乘客重力的功率保持不变答案C3．(2021·第二次全国大联考(江苏卷))如图3甲为沿斜坡向上行驶的汽车，当汽车在拉力 F作用下向上运动时，汽车的机械能E与位移x的关系如图乙所示(AB段为曲线)，汽车与斜面间的摩擦忽略不计．以下说法正确的选项是( )图3A．0～x1过程中，汽车所受拉力逐渐增大B．x1～x2过程中，汽车速度可到达最大值2C．0～x3过程中，汽车的动能一直增大D．x1～x2过程中，汽车以恒定的功率运动答案解析设斜坡的倾角为α，那么汽车的重力势能为Ep＝mgxsinα，由动能定理得汽车的动能为k ＝sin，那么汽车的机械能为＝k＋p＝，即图线的斜率表示，那么可知0～E Fxmgx EE E Fx F过程中汽车受到的拉力恒定，选项A错误；x～x过程中，拉力逐渐减小，随着F的减小，1汽车先做加速度减小的加速运动，再做加速度增大的减速运动，拉力沿斜面方向的分力等于摩擦力时，加速度为零，速度到达最大值，选项B正确；综上可知，0～x3过程中，汽车的速度先增大后减小，即动能先增大后减小，C错误；x1～x2过程中，汽车所受拉力逐渐减小，到x2处为零，那么汽车到x2处的功率为零，选项D错误．4．(2021·淮安中学期中)如图4甲所示，在粗糙的水平面上，一质量 m＝1kg可视为质点的滑块压缩一轻弹簧并被锁定，滑块与弹簧不相连，解除锁定前滑块处于P处，t＝0时解除锁定，计算机通过传感器描绘出滑块的速度－时间图象如图乙所示，其中Oab段为曲线，bc段为直线，在t1＝1s时滑块已经在水平面上滑行x＝6m的距离.g取10m/s2，弹簧劲度系数为N/m，那么以下正确的选项是( )图4A．滑块与水平面间动摩擦因数为B．弹簧锁定时具有的弹性势能为20JC．假设水平面光滑，那么在滑块向右运动的过程中，滑块机械能守恒D．当滑块从P点向右运动时，滑块具有最大的动能答案B3二、多项选择题5．(2021·田家炳中学开学考)如图5甲所示，静止在水平地面的物块 A，受到水平向右的拉力F作用，F与时间t的关系如图乙所示，设物块与地面间的静摩擦力最大值 Ffm与滑动摩擦力大小相等，那么( )图5A．0～t1时间内F的功率逐渐增大B．t2时刻物块A的加速度最大C．t2时刻后物块A做反向运动D．t3时刻物块A的动能最大答案BD解析由题图乙可知，0～t1时间内拉力F小于最大静摩擦力，物块静止，拉力功率为零，故A错误；由题图乙可知，在t2时刻物块A受到的拉力最大，物块A受到的合力最大，由牛顿第二定律可得，此时物块A的加速度最大，故B正确；由题图乙可知在t2～t3时间内物块受到的合力与物块的速度方向相同，物块一直做加速运动，不做反向运动，故C错误；由题图乙可知在t1～t3时间内，物块A受到的合力一直做正功，物块动能一直增加，在t3时刻以后，合力做负功，物块动能减小，因此在t3时刻物块动能最大，故D正确．6．(2021·泰州中学四模)如图6所示，质量为M的电梯底板上放置一质量为m的物体，钢索拉着电梯由静止开始向上做加速运动，当上升高度为H时，速度到达v，不计空气阻力，重力加速度为g，以下说法错误的选项是( )4图61 2A．物体所受合力做的功等于2mv＋mgH1 2B．底板对物体的支持力做的功等于 mgH＋2mv2C．钢索的拉力做的功等于2Mv＋MgH1D．钢索的拉力、电梯的重力及物体对底板的压力对电梯M做的总功等于2Mv答案AC解析对物体，设底板对物体支持力做功为W，应用动能定理得：W－mgH＝2mv，W＝mgH＋2，故A错误，B正确；根据功能关系可知，钢索的拉力做的功F＝(＋)＋)2，mv W MmgHM mv故C错误；对电梯，根据动能定理知：钢索的拉力、电梯的重力及物体对底板的压力对电梯1 2M做的总功等于2Mv，故D正确．7．(2021·南京市期中)如图7所示，绷紧的水平传送带AB始终保持某一恒定的速率v运行，一行李无初速度地放在A处，传送带对行李的摩擦力使行李开始运动，并在传送带右端脱离传送带．以下说法正确的选项是( )5图7A．传送带运行速率v越大，行李在传送带上的运动时间一定越短B．传送带运行速率v越大，行李运动到传送带水平段末端B的速度一定越大C．假设行李释放点改在A处右侧，那么行李运动到传送带水平段末端B的速度可能不变D．如果行李到达B点前已经与传送带的速度相同，那么行李与传送带之间摩擦力做功而产生的热能一定与行李的末动能相等答案CD8．(2021·扬州市一模)如图8所示，轻弹簧一端固定在倾角为θ的光滑斜面底端，弹簧上端放着质量为m的物体A，处于静止状态．将一个质量为2m的物体B轻放在A上，重力加速度为g，那么在A、B一起向下运动过程中()图862 A．放在A上的瞬间，B对A的压力大小为3mgsinθB．A、B的速度先增大后减小C．A、B间的弹力先增大后减小D．A、B组成的系统机械能守恒答案AB解析在放B之前，物体A保持静止状态，重力沿斜面的分力和弹簧的弹力平衡：mgsin θ＝F；在放B瞬间，对A、B整体研究，根据牛顿第二定律有：(2m＋m)gsinθ－F＝(3m)a，解得：＝2sin；对物体受力分析，根据牛顿第二定律有：2sin－N＝2，解得：N＝2gmg Fma F3 mgsinθ.由牛顿第三定律知，B对A的压力大小为32mgsinθ，故A正确；由于在A、B向下运动过程中，弹簧的弹力做负功，重力做正功，弹簧的弹力一直增大，3sinθ先大于弹力，mg后小于弹力，那么A、B的速度先增大后减小，故B正确；对A、B整体，合力先减小后反向增大，加速度先减小后反向增大，当加速度沿斜面向下时，对B物体根据牛顿第二定律有：2mgsin－N＝2，知减小，N增大．当加速度沿斜面向上时，对物体根据牛顿第二定律有：F maa FFN－2mgsinθ＝2ma，知a增大，FN增大，那么A、B间的弹力一直增大，故C错误；由于在运动过程中，弹簧对、系统做功，因此、组成的系统机械能不守恒，故D错误．A BA B三、实验题9．(2021·南通市、泰州市一模)某实验小组利用如图9甲所示装置“探究恒力做功与物体动能变化的关系〞．质量为m的钩码通过跨过定滑轮的细线牵引质量为M的小车，使它在长木板上运动．打点计时器在纸带上记录小车的运动情况．79以下做法中正确的有________．A．滑的高度，使引小的与木板保持平行B．在平衡摩擦力，不需要接C．小从靠近打点器放(2)接通源，放小，打点器在上打出一系列点，将打出的第一个点O，在上依次取A、B、C⋯假设干个数点．得A、B、C⋯各点到O点的距离分x1、x2、x3⋯，如乙所示．相数点的隔均T.中，量小于小量，可小受到的拉力大小等于mg.在打O点到打B点的程中，拉力小做的功W＝________，打B点小的能Ek＝________.(3)小明同学操作正确，但打出的起始点不清晰，他挑了一个清晰的点O1，以小速度的二次方v2坐，数点到O1点的距离x横坐，利用数据作出v2x象，象截距的物理意是______________________________________.(4)小虎同学在程中没有保量小于小量，他利用数据作出的v 2－W象________(填“会〞或“不会〞)弯曲．答案(1)AC(2)mgx2Mx3－x12(3)打O1点速度的二次方(4)不会8T210．(2021·徐州市期中)10甲是“机械能守恒定律〞的装置．乙是某同学在程中得到的一条，相两个数点有4个点没有出．打点器所用源的率50Hz，当地的重力加速度g2，答复以下：8图109以下说法正确的选项是________．A．打点计时器使用交流电源B．释放纸带后应立刻接通电源C．重物的密度应大一些D．不需要测出重物的质量根据图乙中的数据，可得打出计数点“B〞时重物的速度vB＝________m/s.(结果保存3 位有效数字)该同学换用了其它重物进行实验，得出了另外一条纸带(题中未画出)．测量出纸带中打出的第一点到各计数点的距离h，计算出打各计数点时重物的速度v，作出v2－h关系图象如图丙所示．试根据图线判断，此过程中重物的机械能________(填“守恒〞或“不守恒〞)．理由是：________________________________________.答案(1)ACD(3)守恒理由见解析解析(1)打点计时器使用交流电源，故A正确；为充分利用纸带，实验时应先接通电源再释放纸带，故B错误；为减小空气阻力对实验的影响，重物的密度应大一些而体积小些，故212正确；如果机械能守恒，那么：mgh＝2mv，实验需要验证：gh＝2v，实验不需要测出重物的质量，故D正确．(2)相邻两个计数点间还有4个计时点没有标出，打点计时器所用电源的频率为50Hz，那么相邻两计数点间的时间间隔：t＝×5s＝s ，由图示纸带可知，打出计数点“B〞时重AC＋－2×10物的速度：v＝2t＝2×m/s≈m/s.(3)由机械能守恒定律得：12＝2gh，由图示2mgh＝mv，那么：vv－h图象可知，图象斜率：22＝2g＝≈，重力加速度：g≈m/s，由于存在阻力，所测重力加速度小于标准值m/s2，在误差允许范围内，可以认为机械能守恒．四、计算题11．(2021·海安中学月考)如图11所示是一种升降电梯的模型示意图，A为轿厢，B为平衡重物，A、B的质量分别为mA＝和mB＝1kg.A、B由跨过轻质滑轮的足够长的轻绳系住．在电动机牵引下使轿厢由静止开始向上运动，电动机输出功率10W保持不变，轿厢上升h＝1m后恰好到达最大速度．不计空气阻力和摩擦阻力，g＝10m/s2.在轿厢向上运动过程中，求：10图11(1)当轿厢的速度 v＝1m/s时，轿厢的加速度a的大小；轿厢的最大速度vm；轿厢从开始运动到恰好到达最大速度过程中所用的时间．答案(1)2m/s2(2)2m/s(3)1s解析(1)当轿厢向上的速度为＝1m/s时，由Fv得重物下端绳的拉力大小为v PFB＝10N.根据牛顿第二定律得：对A：FA－mAg＝mAa，对B：FB＋mBg－FA＝mBa联立解得：a＝2m/s2当电动机的拉力F＝(mA－mB)g时轿厢的速度到达最大．又由P＝Fvm得：vm＝2m/s(3)轿厢从开始运动到恰好到达最大速度的过程，对A、B整体，由动能定理得：12Pt－mgh＋mgh＝2(m＋m)vmAB AB解得t＝1s.1112。
学案23 机械能守恒定律与其应用一、概念规律题组1．在如下几个实例中，机械能守恒的是()A ．在平衡力作用下运动的物体B ．物体沿光滑圆弧曲面自由下滑C ．在粗糙斜面上下滑的物体，下滑过程中受到沿斜面向下的拉力，拉力大小大于滑动摩擦力D ．如图1所示，在光滑水平面上压缩弹簧过程中的小球图12．当重力对物体做正功时，物体的()A ．重力势能一定增加，动能一定减小B ．重力势能一定减小，动能一定增加C ．重力势能不一定减小，动能一定增加D ．重力势能一定减小，动能不一定减小图23．从高为h 处以速度v 0竖直向上抛出一个质量为m 的小球，如图2所示．假设取抛出点物体的重力势能为0，不计空气阻力，如此物体着地时的机械能为()A ．mghB ．mgh ＋12mv 20 C .12mv 20 D .12mv 20－mgh4．从高处自由下落的物体，它的重力势能E p 和机械能E 随下落的高度h 的变化图线(如下图)正确的答案是()二、思想方法题组图35．木块静止挂在绳子下端，一子弹以水平速度射入木块并留在其中，再与木块一起共同摆到一定高度，如图3所示，从子弹开始入射到共同上摆到最大高度的过程中，下面说法正确的答案是()A．子弹的机械能守恒B．木块的机械能守恒C．子弹和木块的总机械能守恒D．以上说法都不对图46．如图4所示，两个质量一样的小球A和B，分别用线悬在等高的O1、O2两点，A球的悬线比B球的悬线长，把两球的悬线拉到水平后将小球无初速度的释放，如此经过最低点时(以悬点为零势能点)，如下说法不正确的答案是()A．A球的速度大于B球的速度B．A球的动能大于B球的动能C．A球的机械能大于B球的机械能D．A球的机械能等于B球的机械能一、机械能守恒的判断方法1．机械能守恒的条件：只有重力或系统内的弹力做功．2．机械能守恒的判断方法(1)从机械能的定义直接判断：假设物体动能、势能均不变，机械能不变．假设一个物体动能不变，重力势能变化，或重力势能不变，动能变化或动能和重力势能同时增加(或减小)，其机械能一定变化．(2)用做功判断：假设物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，虽受其他外力，但其他外力不做功，机械能守恒．(3)用能量转化来判断：假设物体系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，如此物体系统的机械能守恒．【例1】如下运动中能满足机械能守恒的是()A．手榴弹从手中抛出后的运动B．子弹射穿木块C．细绳一端固定，另一端拴着一个小球，使小球在光滑水平面上做匀速圆周运动D．吊车将货物匀速吊起[规范思维]二、机械能守恒定律与应用1．用守恒的观点表示，即系统在初状态的机械能等于末状态的机械能，表达式为E k1＋E p1＝E k2＋E p2或E1＝E2.2．用转化的观点表示，即：系统减少(增加)的势能等于增加(减少)的动能，表达式为ΔE p ＝－ΔE k.3．用转移的观点表示，即系统假设由A、B两局部组成，A局部机械能的减少量等于B局部机械能的增加量，表达式为：ΔE A减＝ΔE B增．【例2】(2011·皖南八校高三联考)素图5有“陆地冲浪〞之称的滑板运动已深受广阔青少年喜爱．如图5所示是由足够长的斜直轨道，半径R1＝2 m的凹形圆弧轨道和半径R2＝3.6 m的凸形圆弧轨道三局部组成的模拟滑板组合轨道．这三局部轨道依次平滑连接，且处于同一竖直平面内．其中M点为凹形圆弧轨道的最低点，N点为凸形圆弧轨道的最高点，凸形圆弧轨道的圆心O与M点在同一水平面上．一可视为质点，质量为m＝1 kg的滑板从斜直轨道上的P点无初速度滑下，经M点滑向N点，P点距水平面的高度h＝3.2 m，不计一切阻力，g取10 m/s2.求：(1)滑板滑至M点时的速度；(2)滑板滑至M点时，轨道对滑板的支持力；(3)假设滑板滑至N点时对轨道恰好无压力，如此滑板的下滑点P距水平面的高度．[规范思维]【例3】 (全国Ⅱ高考.18)如图6所示，图6一很长的、不可伸长的柔软轻绳跨过光滑定滑轮，绳两端各系一小球a 和b.a 球质量为m ，静置于地面；b 球质量为3m ，用手托住，高度为h ，此时轻绳刚好拉紧．从静止开始释放b 后，a 可能达到的最大高度为()A ．hB ．1.5hC ．2hD ．2.5h[规范思维]图7【例4】如图7所示，内壁光滑的空心细管弯成的轨道ABCD 固定在竖直平面内，其中BCD 段是半径R ＝0.25 m 的圆弧，C 为轨道的最低点，CD 为14圆弧，AC 的竖直高度差h ＝0.45m ．在紧靠管道出口D 处有一水平放置且绕其水平中心轴OO ′匀速旋转的圆筒，圆筒直径d ＝0.15 m ，筒上开有小孔E.现有质量为m ＝0.1 kg 且可视为质点的小球由静止开始从管口A 滑下，小球滑到管道出口D 处时，恰好能从小孔E 竖直进入圆筒，随后，小球由小孔E 处竖直向上穿出圆筒．不计空气阻力，取g ＝10 m /s 2.求： (1)小球到达C 点时对管壁压力的大小和方向； (2)圆筒转动的周期T 的可能值．[规范思维]【根底演练】图81．(2009·广东高考)游乐场中的一种滑梯如图8所示．小朋友从轨道顶端由静止开始下滑，沿水平轨道滑动了一段距离后停下来，如此()A．下滑过程中支持力对小朋友做功B．下滑过程中小朋友的重力势能增加C．整个运动过程中小朋友的机械能守恒D．在水平面滑动过程中摩擦力对小朋友做负功图92．(2010·安徽理综)伽利略曾设计如图9所示的一个实验，将摆球拉至M点放开，摆球会达到同一水平高度上的N点．如果在E或F处钉钉子，摆球将沿不同的圆弧达到同一高度的对应点；反过来，如果让摆球从这些点下落，它同样会达到原水平高度上的M点．这个实验可以说明，物体由静止开始沿不同倾角的光滑斜面(或弧线)下滑时，其末速度的大小()A．只与斜面的倾角有关B．只与斜面的长度有关C．只与下滑的高度有关D．只与物体的质量有关3．(2010·福建·17)如图10甲所示，质量不计的弹簧竖直固定在水平面上，t＝0时刻，将一金属小球从弹簧正上方某一高度处由静止释放，小球落到弹簧上压缩弹簧到最低点，然后又被弹起离开弹簧，上升到一定高度后再下落，如此反复．通过安装在弹簧下端的压力传感器，测出这一过程弹簧弹力F随时间t变化的图象如图乙所示，如此()图10A．t1时刻小球动能最大B．t2时刻小球动能最大C．t2～t3这段时间内，小球的动能先增加后减少D．t2～t3这段时间内，小球增加的动能等于弹簧减少的弹性势能图114．(2011·湖北黄冈中学、襄樊四中联考)如图11所示，长为L的轻杆一端固定一质量为m的小球，另一端安装在固定转动轴O上，杆可在竖直平面内绕轴O无摩擦地转动．假设在最低点P处给小球一沿切线方向的初速度v0＝2gL.不计空气阻力，如此()A．小球不可能到达圆轨道的最高点QB．小球能到达圆周轨道的最高点Q，且在Q点受到轻杆向上的弹力C．小球能到达圆周轨道的最高点Q，且在Q点受到轻杆向下的弹力D．小球能到达圆周轨道的最高点Q，但在Q点不受轻杆的弹力5．(某某高考.8)物体做自由落体运动，E k代表动能，E p代表势能，h代表下落的距离，以水平地面为零势能面，如下所示图象中，能正确反映各物理量之间关系的是()图126．(2011·泰州市联考)如图12所示，半径为R 的竖直固定光滑圆轨道内侧底部静止着一个光滑小球，现给小球一个冲击使其在瞬间得到一个水平初速度v 0，假设v 0大小不同，如此小球能够上升到的最大高度(距离底部)也不同．如下说法中正确的答案是()A ．如果v 0＝gR ，如此小球能够上升的最大高度为R 2B ．如果v 0＝2gR ，如此小球能够上升的最大高度为R 2C ．如果v 0＝3gR ，如此小球能够上升的最大高度为3R 2D ．如果v 0＝5gR ，如此小球能够上升的最大高度为2R7．图13如图13所示，一根不可伸长的轻绳两端分别系着小球A 和物块B ，跨过固定于斜面体顶端的小滑轮O ，倾角为θ＝30°的斜面体置于水平地面上．A 的质量为m ，B 的质量为4m.开始时，用手托住A ，使OA 段绳恰处于水平伸直状态(绳中无拉力)，OB 绳平行于斜面，此时B 静止不动．将A 由静止释放，在其下摆过程中，斜面体始终保持静止，如下判断中错误的答案是()A ．物块B 受到的摩擦力先减小后增大B．地面对斜面体的摩擦力方向一直向右C．小球A的机械能守恒D．小球A的机械能不守恒，A、B系统的机械能守恒题号 1 2 3 4 5 6 7答案8.一质量为50 kg的男孩在距离河流40 m高的桥上做“蹦极跳〞，原长长度为14 m的弹性绳AB一端系着他的双脚，另一端如此固定在桥上的A点，如图14(a)所示，然后男孩从桥面下坠直至贴近水面的最低点D.男孩的速率v跟下坠的距离h的变化关系如图(b)所示，假定绳在整个运动过程中遵守胡克定律(不考虑空气阻力、男孩的大小和绳的质量，g取10 m/s2)．求：图14(1)当男孩在D点时，绳所储存的弹性势能；(2)绳的劲度系数；(3)讨论男孩在AB、BC和CD期间运动时作用于男孩的力的情况．【能力提升】9．(2009·山东·24)如图15所示，某货场需将质量为m1＝100 kg的货物(可视为质点)从高处运送至地面，为防止货物与地面发生撞击，现利用固定于地面的光滑四分之一圆轨道，使货物由轨道顶端无初速滑下，轨道半径R＝1.8 m．地面上紧靠轨道依次排放两块完全一样的木板A、B，长度均为l＝2 m，质量均为m2＝100 kg，木板上外表与轨道末端相切．货物与木板间的动摩擦因数为μ1，木板与地面间的动摩擦因数μ2＝0.2.(最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，取g＝10 m/s2)图15(1)求货物到达圆轨道末端时对轨道的压力．(2)假设货物滑上木板A时，木板不动，而滑上木板B时，木板B开始滑动，求μ1应满足的条件．(3)假设μ1＝0.5，求货物滑到木板A末端时的速度和在木板A上运动的时间．图1610．(2011·四川省钟祥中学期中)如图16所示，一小球从A点以某一水平向右的初速度出发，沿水平直线轨道运动到B点后，进入半径R＝10 cm的光滑竖直圆形轨道，圆形轨道间不相互重叠，即小球离开圆形轨道后可继续向C点运动，C点右侧有一壕沟，C、D 两点的竖直高度h＝0.8 m，水平距离x＝1.2 m，水平轨道AB长为L1＝1 m，BC长为L2＝3 m．小球与水平轨道间的动摩擦因数μ＝0.2，重力加速度g＝10 m/s2.如此：(1)假设小球恰能通过圆形轨道的最高点，求小球在A点的初速度？(2)假设小球既能通过圆形轨道的最高点，又不掉进壕沟，求小球在A点的初速度的范围是多少？学案23 机械能守恒定律与其应用【课前双基回扣】 1．BC2．D[重力对物体做正功，重力势能减小，但物体可能受其他力．] 3．C[物体刚抛出时的机械能为12mv 20，机械能守恒．]4．C[机械能守恒E 不随h 变化，而E p ＝mg (H －h )．]5．D[子弹打入木块的过程中，子弹抑制摩擦力做功产生热能，故系统机械能不守恒．] 6．ABD[取悬点为零势能0，二球的机械能相等均为0， 又mgL ＝12mv 2，v ＝2gL ，故v A >v B ，E k A >E k B .]思维提升1．判断机械能是否守恒时，对单个物体就看是否只有重力做功，或者虽受其他力，但其他力不做功；对两个或几个物体组成的系统，就看是否只有重力或系统内弹力做功，假设有其他外力或内力做功(如内部有摩擦等)，如此系统机械能不守恒．2．(1)机械能守恒定律的表达式有多种，具体选用哪一种要视情况而定；(2)对单个物体而言，如果机械能守恒，如此除了应用机械能守恒定律以外，也可以选用动能定理解题． 3．对于多个物体组成的系统，研究对象的选取是解题的关键环节，假设选单个物体为研究对象时，机械能可能不守恒，但选此物体与其他几个物体组成的系统为研究对象时，机械能却是守恒的． 【核心考点突破】例1 AC[手榴弹从手中抛出后，在不计空气阻力的情况下，只有重力做功，没有其他力做功，机械能守恒，A 正确；子弹穿过木块的过程中，子弹受到木块施加的摩擦力的作用，摩擦力对子弹做负功，子弹的动能一局部转化为内能，机械能不守恒，B 不正确；小球在光滑的水平面上做匀速圆周运动，受到重力、水平面对小球的支持力、细绳对小球的拉力作用，这些力皆与小球的运动方向垂直，不做功，所以小球在运动过程中无能量转化，保持原有的动能不变，即机械能守恒，C 正确；吊车将货物匀速吊起的过程中，货物受到与其重力大小相等、方向相反的拉力作用，上升过程中除重力做功外还有拉力对物体做正功，货物的机械能增加，故机械能不守恒，D 不正确．][规范思维] 机械能守恒的条件绝不是合力的功等于零，更不是合力为零；判断机械能是否守恒，要根据不同情景恰当地选取判断方法． 例2 (1)8 m/s(2)42 N(3)5.4 m解析 (1)对滑板由P 点滑至M 点，由机械能守恒得mgh ＝12mv 2M 所以v M ＝8 m/s.(2)对滑板滑至M 点时受力分析，由牛顿第二定律得F N －mg ＝m v 2MR 1所以F N ＝42 N.(3)滑板滑至N 点时对轨道恰好无压力，如此有mg ＝m v 2NR 2得v N ＝6 m/s滑板从P 点到N 点机械能守恒，如此有mgh ′＝mgR 2＋12mv 2N 解得h ′＝5.4 m.[规范思维] 应用机械能守恒定律解题的根本步骤： (1)根据题意，选取研究对象(物体或系统)；(2)明确研究对象的运动过程，分析研究对象在运动过程中的受力情况，弄清各力的做功情况，判断是否符合机械能守恒的条件；(3)如果符合，如此根据机械能守恒定律列方程求解．注意：所列方程有多种形式，如：E k1＋E p1＝E k2＋E p2，ΔE k ＝－ΔE p ，ΔE A ＝－ΔE B 等，视具体情况，灵活运用．例3 B[在b 球落地前，a 、b 球组成的系统机械能守恒，且a 、b 两球速度大小相等，根据机械能守恒定律可知：3mgh －mgh ＝12(m ＋3m )v 2，v ＝gh ，b 球落地时，a 球高度为h ，之后a 球向上做竖直上抛运动，在这个过程中机械能守恒，12mv 2＝mg Δh ，Δh ＝v 22g ＝h2，所以a 球可能达到的最大高度为1.5h ，B 正确．][规范思维] 此题中单个物体机械能并不守恒，但系统机械能守恒，可以对系统应用机械能守恒定律．对系统应用机械能守恒定律要注意： (1)合理选取系统，判断是哪个系统的机械能守恒； (2)清楚系统内各局部机械能(动能、势能)的变化情况． 例4 (1)4.6 N 方向竖直向下 (2)0.22n ＋1s(n ＝0,1,2,3，…)解析 (1)小球从A →C ，由机械能守恒定律得mgh ＝12mv 2C小球在C 点处，根据牛顿第二定律有F N C －mg ＝mv 2CR解得F N C ＝m (g ＋v 2CR)＝4.6 N根据牛顿第三定律知小球到达C 点时对管壁压力的大小为4.6 N ，方向竖直向下． (2)小球从A →D ，由机械能守恒定律得mgh ＝mgR ＋12mv 2D代入数据解得v D ＝2 m/s小球由D 点竖直上抛至刚穿过圆筒时，由位移公式得d ＝v D t －12gt 2，解得t 1＝0.1 s 和t 2＝0.3 s(舍去)小球能向上穿出圆筒所用时间满足t ＝T2(2n ＋1)(n ＝0,1,2,3，…)联立解得T ＝2t 2n ＋1＝0.22n ＋1s(n ＝0,1,2,3，…)规范思维 应用机械能守恒定律，无需关注中间过程的细节，只需考虑初、末状态的机械能或动能、势能的变化，因此机械能守恒定律对解决曲线运动问题应用广泛，经常与圆周运动、平抛运动规律相结合解题． 【课时效果检测】 1．D2.C3.C4.B5.B6．AD[根据机械能守恒定律，当速度v 0＝gR 时，由mgh ＝12mv 20解得h ＝R2，A 项正确，B项错误；当v 0＝5gR ，小球能够运动到圆轨道内侧最高点，D 项正确；当v 0＝3gR 时小球运动到圆轨道内侧最高点以下，假设C 项成立，说明小球运动的末速度为0，这是不可能的，因为小球沿轨道未到3R2高处就已经脱离轨道做斜抛运动了．] 7．ABC[首先需要判断B 物体在整个过程中是否发生了运动．当A 球未释放时B 物体静止，如此此时B 受向上的静摩擦力F f ＝4mg ·sin θ＝2mg .假设在A 球运动的过程中B 未动，如此A 球下落的过程中机械能守恒，mgR ＝12mv 2，v ＝2gR ，在最低点时，对A 球进展受力分析可得，F T －mg ＝m v 2R，F T ＝3mg ，A 球运动至最低点时绳子拉力最大，此时F T ＝3mg <F f＋4mg ·sin θ＝4mg ，说明A 球在运动的过程中不能拉动B 物体，故小球A 的机械能守恒，C 正确，D 错误；斜面体对B 物体的静摩擦力方向先沿斜面向上，后沿斜面向下，故先减小后增大，A 正确；小球下降时有沿着绳子方向的加速度，根据整体法可判断出地面对斜面体的摩擦力方向一直向右，故B 正确．] 8．(1)2×104J(2)62.5 N/m(3)见解析解析 (1)男孩在D 点时速度为零，绳所储存的弹性势能等于男孩减少的重力势能，如此E p ＝mgh ＝50×10×40 J ＝2×104 J(2)男孩到C 点时的速度最大，此时男孩的加速度为零，绳的拉力和男孩的重力大小相等，即mg ＝kx此时绳的伸长量为x ＝22 m －14 m ＝8 m 解得绳的劲度系数为k ＝mg x ＝50×108N/m ＝62.5 N/m(3)由题图(b)可知，AB 段是一条倾斜的直线，男孩仅受重力作用；BC 段男孩受重力和绳的拉力作用，且重力大于拉力；CD 段男孩受重力和绳的拉力作用，且重力小于拉力． 9．(1)3 000 N ，方向竖直向下 (2)0.4<μ1≤0.6(3)4 m/s0.4 s解析 (1)设货物滑到圆轨道末端时的速度为v 0，对货物的下滑过程中根据机械能守恒得m 1gR ＝12m 1v 20①设货物在轨道末端所受支持力的大小为F N ，根据牛顿第二定律得F N －m 1g ＝m 1v 20R②联立①②式，代入数据得F N ＝3 000 N ③根据牛顿第三定律，货物对轨道的压力大小为3 000 N ，方向竖直向下． (2)假设滑上木板A 时，木板不动，由受力分析得μ1m 1g ≤μ2(m 1＋2m 2)g ④假设滑上木板B 时，木板B 开始滑动，由受力分析得μ1m 1g >μ2(m 1＋m 2)g ⑤联立④⑤式，代入数据得 0．4<μ1≤0.6⑥(3)μ1＝0.5，由⑥式可知，货物在木板A 上滑动时，木板不动．设货物在木板A 上做减速运动时的加速度大小为a 1，由牛顿第二定律得μ1m 1g ＝m 1a 1⑦设货物滑到木板A 末端时的速度为v 1，由运动学公式得v 21－v 20＝－2a 1l ⑧ 联立①⑦⑧式，代入数据得v 1＝4 m/s ⑨设货物在木板A 上运动的时间为t ，由运动学公式v 1＝v 0－a 1t ⑩ 联立①⑦⑧⑨式，代入数据得t ＝0.4 s 10．(1)3 m/s(2)3 m/s ≤v A ≤4 m/s 或v A ≥5 m/s解析 (1)小球恰能通过最高点mg ＝m v 2R由B 到最高点12mv 2B ＝12mv 2＋mg (2R )由A →B ：－μmgL 1＝12mv 2B －12mv 2A解得在A 点的初速度v A ＝3 m/s(2)假设v A ＝3 m/s 时，设小球将停在距B 点l 处－μmg (L 1＋l )＝0－12mv 2A解得l ＝1.25 m假设小球刚好停在C 处，如此有－μmg (L 1＋L 2)＝0－12mv A ′2如此v A ′＝4 m/s假设小球停在BC 段，如此有3 m/s≤v A ≤4 m/s假设小球能通过C 点，并恰好越过壕沟时，如此有h ＝12gt 2x ＝v C t －μmg (L 1＋L 2)＝12mv 2C －12mv 2A 如此有v A ＝5 m/s欲满足题意3 m/s≤v A ≤4 m/s 或v A ≥5 m/s 易错点评1．机械能守恒条件是只有重力和系统内的弹簧弹力做功，不是合外力的功等于零，更不是合外力等于零．2．机械能是否守恒与物体的运动状态无关，判断时不要受此干扰．3．零势能面的选取虽对利用机械能守恒的解题结果没有影响，但解题的难易往往不同，所以要尽量选适宜的零势能面．4．对于绳索、链条之类的物体，由于发生形变，其重心位置相对物体来说并不是固定不变的，能否确定重心的位置，常是解决该类问题的关键．可以采用分段法求出每段的重力势能，然后求和即为整体的重力势能；也可采用等效法求出重力势能的改变量．利用ΔE k＝－ΔE p列方程时，不需要选取参考平面，且便于分析计算．学案24 功能关系能量守恒定律一、概念规律题组1．质量均为m的甲、乙、丙三个小球，在离地面高为h处以一样的动能在竖直平面内分别做平抛、竖直下抛、沿光滑斜面下滑的运动，如此如下说法错误的答案是()A．三者到达地面时的速率一样B．三者到达地面时的动能一样C．三者到达地面时的机械能一样D．三者同时落地图12．如图1所示，一个小孩从粗糙的滑梯上加速滑下，对于其机械能的变化情况，如下判断正确的答案是()A．重力势能减小，动能不变，机械能减小B．重力势能减小，动能增加，机械能减小C．重力势能减小，动能增加，机械能增加D．重力势能减小，动能增加，机械能不变3．质量为m的物体，从静止开始以2g的加速度竖直向下运动h，不计空气阻力，如此如下说法中错误的答案是()A．物体的机械能保持不变B．物体的重力势能减小mghC．物体的动能增加2mghD．物体的机械能增加mgh图24．如图2所示，小球从高处下落到竖直放置的轻弹簧上，在弹簧压缩到最短的整个过程中，如下关于能量的表示中正确的答案是()A ．重力势能和动能之和总保持不变B ．重力势能和弹性势能之和总保持不变C ．动能和弹性势能之和总保持不变D ．重力势能、弹性势能和动能之和总保持不变二、思想方法题组5．如图3所示，小球以初速度v 0从光滑斜面底部向上滑，恰能到达最大高度为h 的斜面顶部．图中A 是内轨半径大于h 的光滑轨道、B 是内轨半径小于h 的光滑轨道、C 是内轨直径等于h 的光滑轨道、D 是长为12h 的轻棒，其下端固定一个可随棒绕O 点向上转动的小球．小球在底端时的初速度都为v 0，如此小球在以上四种情况中能到达高度h 的有()图36．从地面竖直向上抛出一个物体，当它的速度减为初速度v 0的一半时，上升的高度为(空气阻力不计)() A .v 202g B .v 204g C .v 208g D .3v 208g一、几种常见的功能关系1．合力做功与物体动能改变之间的关系：合力做功等于物体动能的增量，即W 合＝E k 2－E k 1(动能定理)．2．重力做功与物体重力势能改变之间的关系：重力做功等于物体重力势能增量的负值，即W G ＝－ΔE p .3．弹力做功与物体弹性势能改变之间的关系：弹力做功等于物体弹性势能增量的负值，即W ＝－ΔE p .4．除了重力和系统内弹力之外的其他力做功与机械能改变之间的关系：其他力做的总功等于系统机械能的增量，即W 其他＝ΔE.图4【例1】 (2010·山东理综·22改编)如图4所示，倾角θ＝30°的粗糙斜面固定在地面上，长为l 、质量为m 、粗细均匀、质量分布均匀的软绳置于斜面上，其上端与斜面顶端齐平．用细线将物块与软绳连接，物块由静止释放后向下运动，直到软绳刚好全部离开斜面(此时物块未到达地面)，在此过程中()A ．物块的机械能逐渐增加B ．软绳重力势能共减少14mg lC ．物块重力势能的减少等于软绳抑制摩擦力所做的功D ．软绳重力势能的减少等于其动能的增加与抑制摩擦力所做功之和[规范思维][针对训练1] 如图5所示，卷扬机的绳索通过定滑轮用力F 拉位于粗糙斜面上的木箱，使之沿斜面加速向上移动，在移动过程中，如下说法正确的答案是()图5A ．F 对木箱做的功等于木箱增加的动能与木箱抑制摩擦力所做的功之和B ．F 对木箱做的功等于木箱抑制摩擦力和抑制重力所做的功之和C ．木箱抑制重力做的功等于木箱增加的重力势能D ．F 对木箱做的功大于木箱增加的机械能与木箱抑制摩擦力做的功之和二、能量转化与守恒定律的应用 1．摩擦力做功的特点：(1)一对静摩擦力对两物体做功时，能量的转化情况：静摩擦力对相互作用的一个物体做正功，如此另一摩擦力必对相互作用的另一物体做负功，且做功的大小相等，在做功的过程中，机械能从一个物体转移到另一物体，没有机械能转化为其他形式的能．(2)一对滑动摩擦力对两物体做功时，能量的转化情况：由于两物体发生了相对滑动，位移不相等，因而相互作用的一对滑动摩擦力对两物体做功不相等，代数和不为零，其数值为－Fx，即滑动摩擦力对系统做负功，系统抑制摩擦力做功，将机械能转化为内能，即Q＝Fx.2．能量守恒定律：当物体系内有多种形式的能量参与转化时，可考虑用能量守恒定律解题，能量守恒定律的两种常见表达形式：(1)转化式：ΔE减＝ΔE增，即系统内减少的能量等于增加的能量；(2)转移式：ΔE A＝－ΔE B，即一个物体能量的减少等于另一个物体能量的增加．【例2】(2011·衡水模拟)质量为m的木块(可视为质点)左端与轻弹簧相连，弹簧的另一端与固定在足够大的光滑水平桌面上的挡板相连，木块的右端与一轻细线连接，细线绕过光滑的质量不计的轻滑轮，木块处于静止状态，在如下情况中弹簧均处于弹性限度内，(不计空气阻力与线的形变，重力加速度为g)．(1)在图6甲中，在线的另一端施加一竖直向下的大小为F的恒力，木块离开初始位置O 由静止开始向右运动，弹簧开始发生伸长形变，木块通过P点时，速度大小为v，O、P 两点间的距离为l.求木块拉至P点时弹簧的弹性势能；图6(2)如果在线的另一端不是施加恒力，而是悬挂一个质量为M的钩码，如图乙所示，木块也从初始位置O由静止开始向右运动，求当木块通过P点时的速度大小．[规范思维]。
第四节 功能关系 能量守恒定律(建议用时：40分钟)一、单项选择题1.(2019·河南林州一中高三质量监测)如图所示，倾角为30°的斜面上，质量为m 的物块在恒定拉力作用下沿斜面以加速度a ＝g 2(g 为重力加速度)向上加速运动距离x 的过程中，下列说法正确的是( )A ．重力势能增加mgxB ．动能增加 mgx4C ．机械能增加mgxD ．拉力做功为mgx2解析：选C.物块上升的高度为x 2，因而增加的重力势能为ΔE p ＝12mgx ，A 错误；根据动能定理可得增加的动能为ΔE k ＝ma ·x ＝12mgx ，B 错误；根据能量守恒定律可得ΔE ＝ΔE p ＋ΔE k ，故增加的机械能为ΔE ＝mgx ，C 正确；由于斜面是否光滑未知，因而不能确定拉力的大小，不能得到拉力做的功，D 错误．2．(2019·安徽合肥一模)如图所示，一个质量为m 的小铁块沿半径为R 的固定半圆轨道上边缘由静止滑下，到半圆轨道最低点时，轨道所受压力为铁块重力的1.5倍，则此过程中铁块损失的机械能为(重力加速度为g )( )A.18mgR B ．14mgR C.12mgR D ．34mgR 解析：选D.铁块在最低点，支持力与重力合力等于向心力，即1.5mg －mg ＝m v 2R，即铁块动能E k ＝12mv 2＝14mgR ，初动能为零，故动能增加14mgR ，铁块重力势能减少mgR ，所以机械能损失34mgR ，D 项正确． 3.(2019·江西重点中学联考)如图所示，在粗糙的水平面上，质量相等的两个物体A 、B 间用一轻质弹簧相连组成系统，且该系统在水平拉力F 作用下以相同加速度保持间距不变一起做匀加速直线运动，当它们的总动能为2E k 时撤去水平力F ，最后系统停止运动．不计空气阻力，认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，从撤去拉力F 到系统停止运动的过程中( )A ．外力对物体A 所做总功的绝对值等于2E kB ．物体A 克服摩擦阻力做的功等于E kC ．系统克服摩擦阻力做的功可能等于系统的总动能2E kD ．系统克服摩擦阻力做的功一定等于系统机械能的减少量解析：选D.当它们的总动能为2E k 时，物体A 动能为E k ，撤去水平力F ，最后系统停止运动，外力对物体A 所做总功的绝对值等于E k ，选项A 、B 错误；由于二者之间有弹簧，弹簧具有弹性势能，根据功能关系，系统克服摩擦阻力做的功一定等于系统机械能的减少量，选项D 正确，C 错误．4.(2019·泉州模拟)如图所示为地铁站用于安全检查的装置，主要由水平传送带和X 光透视系统两部分组成，传送过程传送带速度不变．假设乘客把物品轻放在传送带上之后，物品总会先、后经历两个阶段的运动，用v 表示传送带速率，用μ表示物品与传送带间的动摩擦因数，则( )A ．前阶段，物品可能向传送方向的相反方向运动B ．后阶段，物品受到摩擦力的方向跟传送方向相同C ．v 相同时，μ不同的等质量物品与传送带摩擦产生的热量相同D ．μ相同时，v 增大为原来的2倍，前阶段物品的位移也增大为原来的2倍 解析：选C.物品轻放在传送带上，前阶段，物品受到向前的滑动摩擦力，所以物品的运动方向一定与传送带的运动方向相同，故A 错误；后阶段，物品与传送带一起做匀速运动，不受摩擦力，故B 错误；设物品匀加速运动的加速度为a ，由牛顿第二定律得F f ＝μmg ＝ma ，物品的加速度大小为a ＝μg ，匀加速的时间为t ＝v a ＝v μg ，位移为x ＝v 2t ，传送带匀速的位移为x ′＝vt ，物品相对传送带滑行的距离为Δx ＝x ′－x ＝vt 2＝v 22μg，物品与传送带摩擦产生的热量为Q ＝μmg Δx ＝12mv 2，则知v 相同时，μ不同的等质量物品与传送带摩擦产生的热量相同，故C 正确；前阶段物品的位移为x ＝vt2＝v 22μg ，则知μ相同时，v 增大为原来的2倍，前阶段物品的位移增大为原来的4倍，故D 错误．5.如图所示，在竖直平面内有一半径为R 的圆弧轨道，半径OA 水平、OB 竖直，一个质量为m 的小球自A 的正上方P 点由静止开始自由下落，小球沿轨道到达最高点B 时恰好对轨道没有压力．已知AP ＝2R ，重力加速度为g ，则小球从P 到B 的运动过程中( )A ．重力做功2mgRB ．机械能减少mgRC ．合外力做功mgRD ．克服摩擦力做功12mgR 解析：选D.小球到达B 点时，恰好对轨道没有压力，只受重力作用，根据mg ＝mv 2R得，小球在B 点的速度v ＝gR .小球从P 到B 的运动过程中，重力做功W ＝mgR ，故选项A 错误；减少的机械能ΔE 减＝mgR －12mv 2＝12mgR ，故选项B 错误；合外力做功W 合＝12mv 2＝12mgR ，故选项C 错误；根据动能定理得，mgR －W f ＝12mv 2－0，所以W f ＝mgR －12mv 2＝12mgR ，故选项D 正确． 6.如图所示，一张薄纸板放在光滑水平面上，其右端放有小木块，小木块与薄纸板的接触面粗糙，原来系统静止．现用水平恒力F 向右拉薄纸板，小木块在薄纸板上发生相对滑动，直到从薄纸板上掉下来．上述过程中有关功和能的说法正确的是( )A ．拉力F 做的功等于薄纸板和小木块动能的增加量B ．摩擦力对小木块做的功一定等于系统中由摩擦产生的热量C ．离开薄纸板前小木块可能先做加速运动，后做匀速运动D ．小木块动能的增加量可能小于系统中由摩擦产生的热量解析：选D.由功能关系，拉力F 做的功等于薄纸板和小木块动能的增加量与系统产生的内能之和，选项A 错误；摩擦力对小木块做的功等于小木块动能的增加量，选项B 错误；离开薄纸板前小木块一直在做匀加速运动，选项C 错误；对于系统，由摩擦产生的热量Q ＝f ΔL ，其中ΔL 为小木块相对薄纸板运动的路程，若薄纸板的位移为L 1，小木块相对地面的位移为L 2，则ΔL ＝L 1－L 2，且ΔL 存在大于、等于或小于L 2三种可能，对小木块，fL 2＝ΔE k ，即Q 存在大于、等于或小于ΔE k 三种可能，选项D 正确．7.(2019·江苏十校模拟)将三个木板1、2、3固定在墙角，木板与墙壁和地面构成了三个不同的三角形，如图所示，其中1与2底边相同，2和3高度相同．现将一个可以视为质点的物块分别从三个木板的顶端由静止释放，并沿斜面下滑到底端，物块与木板之间的动摩擦因数μ均相同．在这三个过程中，下列说法不正确的是( )A ．沿着1和2下滑到底端时，物块的速率不同，沿着2和3下滑到底端时，物块的速率相同B ．沿着1下滑到底端时，物块的速度最大C ．物块沿着3下滑到底端的过程中，产生的热量是最多的D ．物块沿着1和2下滑到底端的过程中，产生的热量是一样多的解析：选A.设1、2、3木板与地面的夹角分别为θ1、θ2、θ3，木板长分别为l 1、l 2、l 3，当物块沿木板1下滑时，由动能定理有mgh 1－μmgl 1cos θ1＝12mv 21－0，当物块沿木板2下滑时，由动能定理有mgh 2－μmgl 2cos θ2＝12mv 22－0，又h 1＞h 2，l 1cos θ1＝l 2cos θ2，可得v 1＞v 2；当物块沿木板3下滑时，由动能定理有mgh 3－μmgl 3cos θ3＝12mv 23－0，又h 2＝h 3，l 2cos θ2＜l 3cos θ3，可得v 2＞v 3，故A 错、B 对；三个过程中产生的热量分别为Q 1＝μmgl 1cos θ1，Q 2＝μmgl 2cos θ2，Q 3＝μmgl 3cos θ3，则Q 1＝Q 2＜Q 3，故C 、D 对．二、多项选择题8.(2019·嘉兴一中模拟)在儿童乐园的蹦床项目中，小孩在两根弹性绳和弹性床的协助下实现上下弹跳，如图所示．某次蹦床活动中小孩静止时处于O 点，当其弹跳到最高点A 后下落可将蹦床压到最低点B ，小孩可看成质点．不计空气阻力，下列说法正确的是( )A ．从A 点运动到O 点，小孩重力势能的减少量大于动能的增加量B ．从O 点运动到B 点，小孩动能的减少量等于蹦床弹性势能的增加量C ．从A 点运动到B 点，小孩机械能的减少量小于蹦床弹性势能的增加量D ．从B 点返回到A 点，小孩机械能的增加量大于蹦床弹性势能的减少量解析：选AD.小孩从A 点运动到O 点，由动能定理可得mgh AO －W 弹1＝ΔE k1，选项A 正确；小孩从O 点运动到B 点，由动能定理可得mgh OB －W 弹2＝ΔE k2，选项B 错误；小孩从A 点运动到B 点，由功能关系可得－W 弹＝ΔE 机1，选项C 错误；小孩从B 点返回到A 点，弹性绳和蹦床的弹性势能转化为小孩的机械能，则知小孩机械能的增加量大于蹦床弹性势能的减少量，选项D 正确．9.将一质量为1 kg 的滑块轻轻放置于传送带的左端，已知传送带正以4 m/s 的速度顺时针运行，滑块与传送带间的动摩擦因数为0.2，传送带左右距离无限长，当滑块放上去2 s 时，突然断电，传送带以1 m/s 2的加速度做匀减速运动至停止，则滑块从放上去到最后停下的过程中，下列说法正确的是( )A ．前2 s 传送带与滑块之间因摩擦力所产生的热量为8 JB ．前2 s 传送带与滑块之间因摩擦力所产生的热量为16 JC ．2 s 后传送带与滑块之间因摩擦力所产生的热量为8 JD ．2 s 后传送带与滑块之间因摩擦力所产生的热量为0解析：选AD.前2 s ，滑块的位移x 1＝12μgt 2＝4 m ，传送带的位移x 2＝vt ＝8 m ，相对位移Δx ＝x 2－x 1＝4 m ，2 s 后滑块随传送带一起做匀减速运动，无相对位移，整个过程中传送带与滑块之间因摩擦力而产生的热量为Q ＝μmg ·Δx ＝8 J ，2 s 后滑块与传送带相对静止，产生热量为0，故选项A 、D 正确．10.如图所示，轻质弹簧一端固定，另一端与一质量为m 、套在粗糙竖直固定杆A 处的圆环相连，弹簧水平且处于原长．圆环从A 处由静止开始下滑，经过B 处的速度最大，到达C 处的速度为零，AC ＝h .圆环在C 处获得一竖直向上的速度v ，恰好能回到A .弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g .则圆环( )A ．下滑过程中，加速度一直减小B ．下滑过程中，克服摩擦力做的功为14mv 2 C ．在C 处，弹簧的弹性势能为mgh －14mv 2 D ．上滑经过B 的速度大于下滑经过B 的速度解析：选BCD.圆环下落时，先加速，在B 位置时速度最大，加速度减小至0，从B 到C圆环减速，加速度增大，方向向上，选项A 错误；圆环下滑时，设克服摩擦力做功为W f ，弹簧的最大弹性势能为ΔE p ，由A 到C 的过程中，根据功能关系有mgh ＝ΔE p ＋W f ，由C 到A 的过程中，有12mv 2＋ΔE p ＝W f ＋mgh ，联立解得W f ＝14mv 2，ΔE p ＝mgh －14mv 2，选项B 、C 正确；设圆环在B 位置时，弹簧弹性势能为ΔE ′p ，根据能量守恒，A 到B 的过程有12mv 2B ＋ΔE ′p ＋W ′f ＝mgh ′，B 到A 的过程有12mv ′2B ＋ΔE ′p ＝mgh ′＋W ′f ，比较两式得v ′B >v B ，选项D 正确．三、非选择题11．如图所示，弹簧的一端固定，另一端连接一个物块，弹簧质量不计．物块(可视为质点)的质量为m ，在水平桌面上沿x 轴运动，与桌面间的动摩擦因数为μ.以弹簧原长时物块的位置为坐标原点O ，当弹簧的伸长量为x 时，物块所受弹簧弹力大小为F ＝kx ，k 为常量．(1)请画出F 随x 变化的示意图；并根据F －x 图象求物块沿x 轴从O 点运动到位置x 的过程中弹力所做的功．(2)物块由x 1向右运动到x 3，然后由x 3返回到x 2，在这个过程中，①求弹力所做的功，并据此求弹性势能的变化量；②求滑动摩擦力所做的功；并与弹力做功比较，说明为什么不存在与摩擦力对应的“摩擦力势能”的概念．解析：(1)F －x 图象如图所示．物块沿x 轴从O 点运动到位置x 的过程中，弹力做负功；F －x 图线下的面积等于弹力做功大小．弹力做功W F ＝－12·kx ·x ＝－12kx 2.(2)①物块由x 1向右运动到x 3的过程中，弹力做功W F 1＝－12·(kx 1＋kx 3)·(x 3－x 1)＝12kx 21－12kx 23物块由x 3向左运动到x 2的过程中，弹力做功W F 2＝12·(kx 2＋kx 3)·(x 3－x 2)＝12kx 23－12kx 22 整个过程中，弹力做功W F ＝W F 1＋W F 2＝12kx 21－12kx 22 弹性势能的变化量ΔE p ＝－W F ＝12kx 22－12kx 21. ②整个过程中，摩擦力做功 W f ＝－μmg (2x 3－x 1－x 2)与弹力做功比较，弹力做功与x 3无关，即与实际路径无关，只与始末位置有关，所以，我们可以定义一个由物体之间的相互作用力(弹力)和相对位置决定的能量——弹性势能．而摩擦力做功与x 3有关，即与实际路径有关，所以，不可以定义与摩擦力对应的“摩擦力势能”．答案：见解析12.(2019·湖南石门一中高三检测)如图所示，光滑的水平面AB 与半径R ＝0.4 m 的光滑竖直半圆轨道BCD 在B 点相切，D 点为半圆轨道最高点， A 右侧连接一粗糙水平面．用细线连接甲、乙两物体，中间夹一轻质压缩弹簧，弹簧与甲、乙两物体不拴接，甲质量为m 1＝4 kg ，乙质量m 2＝5 kg ，甲、乙均静止．若固定乙，烧断细线，甲离开弹簧后经过B 点进入半圆轨道，过D 点时对轨道压力恰好为零．取g ＝10 m/s 2，甲、乙两物体均可看做质点，求：(1)甲离开弹簧后经过B 时速度大小v B ；(2)弹簧压缩量相同情况下，若固定甲，烧断细线，乙物体离开弹簧后从A 进入动摩擦因数μ＝0.4的粗糙水平面，则乙物体在粗糙水平面上运动的位移s .解析：(1)甲在最高点D ，由牛顿第二定律得：m 1g ＝m 1v 2D R， 甲离开弹簧运动至D 点的过程中由机械能守恒得：12m 1v 2B ＝m 1g ·2R ＋12m 1v 2D . 代入数据联立解得：v B ＝2 5 m/s.(2)甲固定，烧断细线后乙的速度大小为v 2，由能量守恒得：E p ＝12m 1v 2B ＝12m 2v 22，得：v2＝4 m/s.乙在粗糙水平面做匀减速运动：μm2g＝m2a，解得：a＝4 m/s2，则有：s＝v222a＝162×4m＝2 m.答案：(1)2 5 m/s (2)2 m。
高考培优讲座⑤力学压轴题每年高考中都有一道力学综合计算题，通过对近几年江苏卷试题的分析研究可以看出，力学计算题从考查直线运动逐渐转为结合牛顿运动定律考查板块模型问题、功能问题.这说明凡是《考试大纲》要求的，只要适合作为计算题综合考查的，都有可能设置为计算题.因此高考复习中不要犯经验主义错误，认为最近几年没有考查就不重点复习.一轮复习时全面复习知识点，夯实基础，是取得高考胜利的关键. 二【重难解读】对于力学压轴题主要考查方向有以下几点: 1.不可或缺的受力分析和共点力平衡问题：整体法或隔离法的应用；正交分解法，矢量三角形法的应用；临界与极值问题的求解；连接体问题的分析都是潜在考点.2.值得重视的直线运动：传送带模型和滑块一滑板模型的分析与求解；多物体多过程运动中功能关系的应用；追及、相［问题都是重点.3.体会曲线运动抛体与圆周运动：结合动能定理、机械能守恒定律、能量守恒定律处理问题.【典题例证】过山车是游乐场中常见的设施.下图是一种过山车的简易模型，它由水平轨道和在竖直平面内的三个圆形轨道组成，B、C、D分别是三个圆形轨道的最低点，B、C间距与C、Z）间距相等，半径l?i=2・0m、7?2=l・4m. —个质量为加=1.0 kg的小球（视为质点），从轨道的左侧A点以v0=12.0 m/s的初速度沿轨道向右运动，B间距Z4=6・0m.小球与水平轨道间的动摩擦因数“=0.2,圆形轨道是光滑的.假设水平轨道足够长，圆形轨道间不相互重叠.重力加速度g = 10m/s2,计算结果保留小数点后_位数字.试求：Ill(1)小球在经过第一个圆形轨道的最高点时，轨道对小球作用力的大小;⑵如果小球恰能通过第二个圆形轨道，“、C间距L应是多少？(3)在满足(2)的条件下，如果要使小球不脱离轨道，在第三个圆形轨道的设计中，半径应满足的条件；小球最终停留点与起点A的距离.［审题指导］本题结合动能定理、机械能守恒定律分阶段分析小球的运动过程. Q［解析］(1)设小球经过第一个圆轨道的最高点时的速度为" 根据动能定理C JL C -———ymgL\ — mg・ 2R x=^mv j—①小球在最高点受到重力mg和轨道对它的作用力F,根据牛顿第二定律Ri由①②得F=10.0N. ③(2)设小球在第二个圆轨道的最高点的速度为由题意tngIll④—pmgiLi +L)—mg^ 2R2⑥由④⑤得L=12.5m.(3)要保证小球不脱离轨道，可分两种情况进行讨论:I •轨道半径较小时，小球恰能通过第三个圆轨道，设在最高点的速度为4,应满足⑦由⑥⑦⑧得1?3=0・4 m.II •轨道半径较大时，小球上升的最大高度为人3,根据动能定理解得人3 =1-0 m为了保证圆轨道不重叠，从最大值111应满足(/?2+/?3)2=L2 +03—人2)2解得1?3=27.9 m.综合I、II,要使小球不脱离轨道，则第三个圆轨道的半径必须满足下面的条件0<1?3^0.4 m 或1・0 mW/?3W27.9 m.当0<7?300・4 m时，小球最终停留点与起始点A的距离为ZA1 2—pmgL f= 0_尹如Z/=36・0 m・当1.0 mW/?3W27・9 m时，小球最终停留点与起始点A的距离为L"，则L u =Z7—2(/7—Li—2厶)=26.0 m.［答案］(1)10.0 N (2)12.5 m (3)当0</?3冬0・4 m 时，L f=36.0 m 当1.0 mW7?3W27・9 m 时，L" =26.0 m1寻找向心力的来源：对物体进行受力分析，列1 ［出向心力表达式;-J 临界条件的判断：找出特殊位置的临界速度，分1 ［析可能存在的状态:甸能鬼理的应用：把諒殊点推F 到一般，研兎整］f ］个运动过程的特点*、——一 —————一 ————————■解决圆周运动需要从下来分题 以点虑问【突破训练】C 为轨道的最低点• C 点右侧的光滑水平面上紧挨C 点静止放置一木板，木板质量M=lkg,上表面与C 点等高.质量为（2019•昆山模拟）如图所示，半径为《 = 1.0 m 的光滑圆弧轨道固定在竖直平面 内，轨道的一个端点B 和圆心O 的连线 与水平方向的夹角〃=37。
第3讲 机械能守恒定律一、重力做功与重力势能的关系1．重力做功的特点(1)重力做功与路径无关，只与该物体始、末位置的高度差有关．(2)重力做功不引起物体机械能的变化．2．重力势能(1)表达式：E p＝mgh.(2)重力势能的特点重力势能是物体和地球所共有的，重力势能的大小与参考平面的选取有关，但重力势能的变化与参考平面的选取无关．3．重力做功与重力势能变化的关系(1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能减小；重力对物体做负功，重力势能增大．(2)定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减小量．即W G＝－(E p2－E p1)＝－ΔE p.自测1 关于重力势能，下列说法中正确的是( )A．物体的位置一旦确定，它的重力势能的大小也随之确定B．物体与零势能面的距离越大，它的重力势能也越大C．一个物体的重力势能从－5J变化到－3J，重力势能减少了D．重力势能的减少量等于重力对物体做的功答案 D二、弹性势能1．定义：发生弹性形变的物体之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能．2．弹力做功与弹性势能变化的关系：弹力做正功，弹性势能减小；弹力做负功，弹性势能增加．即W＝－ΔE p.自测2 (多选)关于弹性势能，下列说法中正确的是( )A．任何发生弹性形变的物体，都具有弹性势能B．任何具有弹性势能的物体，一定发生了弹性形变C．物体只要发生形变，就一定具有弹性势能D．弹簧的弹性势能只跟弹簧被拉伸或压缩的长度有关答案 AB三、机械能守恒定律1．内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变．2．表达式：mgh 1＋mv ＝mgh 2＋mv .121212223．条件(1)系统只受重力或弹簧弹力的作用，不受其他外力．(2)系统除受重力或弹簧弹力作用外，还受其他内力和外力，但这些力对系统不做功．(3)系统内除重力或弹簧弹力做功外，还有其他内力和外力做功，但这些力做功的代数和为零．(4)系统跟外界没有发生机械能的传递，系统内、外也没有机械能与其他形式的能发生转化．自测3 (多选)如图1所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是( )图1A ．甲图中，物体A 将弹簧压缩的过程中，物体A 机械能守恒B ．乙图中，物体A 固定，物体B 沿斜面匀速下滑，物体B 的机械能守恒C ．丙图中，不计任何阻力和定滑轮质量时，A 加速下落，B 加速上升过程中，A 、B 组成的系统机械能守恒D ．丁图中，小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时，小球的机械能守恒答案 CD自测4 (多选)如图2所示，在地面上以速度v 0抛出质量为m 的物体，抛出后物体落到比地面低h 的海平面上．若以地面为零势能面，而且不计空气阻力，则下列说法中正确的是( )图2A ．重力对物体做的功为mghB ．物体在海平面上的重力势能为mghC ．物体在海平面上的动能为mv －mgh 1202D ．物体在海平面上的机械能为mv 1202答案 AD命题点一 机械能守恒的判断1．只有重力做功时，只发生动能和重力势能的相互转化．如自由落体运动、抛体运动等．2．只有系统内弹力做功，只发生动能和弹性势能的相互转化．如在光滑水平面上运动的物体碰到一个弹簧，和弹簧相互作用的过程中，对物体和弹簧组成的系统来说，机械能守恒．3．只有重力和系统内弹力做功，只发生动能、弹性势能、重力势能的相互转化．如自由下落的物体落到竖直的弹簧上，和弹簧相互作用的过程中，对物体和弹簧组成的系统来说，机械能守恒．4．除受重力(或系统内弹力)外，还受其他力，但其他力不做功，或其他力做功的代数和为零．如物体在沿斜面向下的拉力F 的作用下沿固定斜面向下运动，拉力的大小与摩擦力的大小相等，在此运动过程中，物体机械能守恒．例1 (多选)(2018·苏州市期中)下列情形中物体或系统机械能守恒的是(空气阻力均不计)( )A ．抛出的篮球在空中运动B ．物体沿粗糙斜面匀速下滑C ．细绳拴着小球在竖直平面内做圆周运动D ．系统只有重力或弹簧弹力做功的过程答案 ACD解析 空气阻力不计，故篮球在空中只受重力，机械能守恒，故A 正确；物体沿粗糙斜面匀速下滑时，摩擦阻力做负功，机械能不守恒，故B 错误；细绳拴着小球在竖直平面内做圆周运动，绳子拉力不做功，只有重力做功，机械能守恒，故C 正确；系统只有重力或弹簧弹力做功的过程，符合机械能守恒的条件，机械能一定守恒，故D 正确．变式1 一轻质弹簧，固定于天花板上的O 点处，原长为L ，如图3所示，一个质量为m 的物块从A 点竖直向上抛出，以速度v 与弹簧在B 点相接触，然后向上压缩弹簧，到C 点时物块速度为零，在此过程中无机械能损失，则下列说法正确的是( )A．由A到C的过程中，动能和重力势能之和不变B．由B到C的过程中，弹性势能和动能之和不变C．由A到C的过程中，物块m的机械能守恒D．由B到C的过程中，物块与弹簧组成的系统机械能守恒答案 D命题点二 单个物体的机械能守恒1．表达式2．一般步骤3．选用技巧在处理单个物体机械能守恒问题时通常应用守恒观点和转化观点，转化观点不用选取零势能面．例2 (2018·盐城市期中)如图4甲所示，游乐场的过山车可以底朝上在圆形轨道上运行，游客却不会掉落下来．我们把这种情景抽象为如图乙所示的模型：高h的弧形轨道下端与半径为R的竖直圆形轨道平滑相接，使质量为m的小球从弧形轨道上端由静止滚下，小球进入圆形轨道下端后沿圆形轨道运动．不计一切阻力，重力加速度为g.(1)求小球运动到圆形轨道最低点时的角速度；(2)求小球在圆形轨道上运动而不脱离时h 的取值范围．答案 (1) (2)0＜h ≤R 或h ≥R 2gh R 52解析 (1)对小球从静止到运动至圆形轨道最低点的运动过程，由机械能守恒可得：mgh ＝mv 2，所以v ＝，则角速度ω＝＝；122gh v R 2gh R(2)小球在圆形轨道上运动而不脱离，那么，小球运动的最高点高度H ＝2R 或0＜H ≤R ；当H ＝2R 时，设在最高点的速度为v ′，则由牛顿第二定律可得：mg ≤；对小球从静止mv ′2R到运动到最高点的过程，由机械能守恒可得：mg (h －2R )＝mv ′2≥mgR ，所以h ≥R ；121252当0＜H ≤R 时，设在最高点的速度为0，对小球从静止到运动到最高点的过程，由动能定理可得：mg (h －H )＝0，所以h ＝H ，即0＜h ≤R ；故小球在圆形轨道上运动而不脱离，h 的取值范围为0＜h ≤R 或h ≥R .52变式2 (多选)(2018·无锡市期中)物体做自由落体运动，E k 代表动能，E p 代表势能，h 代表下落的距离，以水平地面为零势能面．下列所示图象中，能正确反映各物理量之间关系的是( )答案 BD解析 自由落体运动的速度v ＝gt ，则动能E k ＝mv 2＝mg 2t 2，故E k 与t 、v 均成二次函数关1212系，物体的重力势能：E p ＝E －E k ＝E －mv 2＝E －mg 2t 2，故E p 与t 、v 均成二次函数关系，开1212口的方向均向下，故A 错误，B 正确．因为在整个运动的过程中，机械能守恒，所以E k ＋E p ＝C (常量)，所以E p ＝C －E k ，E p 与E k 成一次函数关系，故C 错误，由动能定理，E k ＝mgh ，则E p ＝C －mgh ，E p 与h 成一次函数关系，D 正确．命题点三 连接体的机械能守恒1．多个物体组成的系统机械能守恒的判断一般从能量转化的角度：判断是否只有动能与重力势能(或弹性势能)之间的相互转化，有无其它形式的能量参与．或判断：有无摩擦、碰撞、绳子绷紧等现象．2．绳、杆相连物体的速度往往不同，要注意各物体间的速度关系．3．“链条”“液柱”等不能看成质点的物体，可分析重心位置的变化，也可分段处理，明确初末状态各部分的高度与速度．4．列机械能守恒方程时，一般选用ΔE k ＝－ΔE p 或ΔE A ＝－ΔE B 的形式．例3 (2018·江苏单科·14)如图5所示，钉子A 、B 相距5l ，处于同一高度．细线的一端系有质量为M 的小物块，另一端绕过A 固定于B .质量为m 的小球固定在细线上C 点，B 、C 间的线长为3l .用手竖直向下拉住小球，使小球和物块都静止，此时BC 与水平方向的夹角为53°.松手后，小球运动到与A 、B 相同高度时的速度恰好为零，然后向下运动．忽略一切摩擦，重力加速度为g ，取sin53°＝0.8，cos53°＝0.6.求：图5(1)小球受到手的拉力大小F ；(2)物块和小球的质量之比M ∶m ；(3)小球向下运动到最低点时，物块M 所受的拉力大小T .答案 (1)Mg －mg (2)6∶553(3)8mMg 5(m ＋M )(4855mg 或811Mg )解析 (1)对小球受力分析，如图所示，设小球受AC 、BC 的拉力分别为F 1、F 2在水平方向：F 1sin53°＝F 2cos53°①在竖直方向：F ＋mg ＝F 1cos53°＋F 2sin53°②且F 1＝Mg ③由①②③式解得F ＝Mg －mg ④53(2)小球运动到与A 、B 相同高度过程中由几何关系得小球上升高度h 1＝3l sin53°⑤物块下降高度h 2＝2l ⑥物块和小球组成的系统机械能守恒，根据机械能守恒定律mgh 1＝Mgh 2⑦由⑤⑥⑦式解得＝⑧M m 65(3)根据机械能守恒定律，小球回到起始点，设此时AC 方向的加速度大小为a ，物块受到的拉力为T对物块由牛顿第二定律得Mg －T ＝Ma ⑨根据牛顿第三定律，小球受AC 的拉力T ′＝T ⑩对小球，在沿AC 方向，由牛顿第二定律得T ′－mg cos53°＝ma ⑪解得T ＝(结合⑧式，也可得到T ＝mg 或T ＝Mg )⑫8mMg5(m ＋M )4855811变式3 (多选)(2018·沛县中学调研)如图6所示，质量相等的两个物块A 和B 用跨过滑轮的轻绳相连，不计摩擦、滑轮质量和空气阻力，B 物块套在光滑的竖直杆上，在B 下落的过程中，下列说法正确的是( )图6A ．物块B 减少的机械能等于物块A 增加的机械能B ．物块B 减少的重力势能等于物块A 和B 增加的动能之和C ．绳拉力对A 做的功等于B 克服绳拉力做的功D ．物块A 和B 的速度大小相等答案 AC解析 A 、B 两物块组成的系统，只有重力做功，系统机械能守恒，则A 增加的机械能与B 减小的机械能相等，故A 正确．因为系统机械能守恒，则A 、B 系统重力势能的减小量等于物块A 、B 增加的动能之和，故B 错误．绳子拉力对A 做的功等于A 的机械能增加量，B 克服绳子拉力做的功等于B 机械能的减小量，因为机械能守恒，则绳拉力对A 做的功等于B 克服绳拉力做的功，故C 正确．物块B 速度在沿绳子方向的分速度等于A 的速度，可知B 的速度大于A 的速度，故D 错误．命题点四 含弹簧类机械能守恒问题1．由于弹簧发生形变会具有弹性势能，系统的总动能将发生变化，若系统所受的外力(除重力外)和除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒．2．弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时，两端的物体具有相同的速度，弹性势能最大．3．如果系统内每个物体除弹簧弹力外所受合力为零，当弹簧为自然长度时，系统内弹簧某一端的物体具有最大速度(如绷紧的弹簧在光滑桌面上由静止释放)．例4 (多选)(2018·南京市三模)如图7所示，轻弹簧一端固定于O 点，另一端与可视为质点的小滑块连接，把滑块放在光滑斜面上的A 点，此时弹簧恰好水平，将滑块从A 点由静止释放，经B 点到达位于O 点正下方的C 点，当滑块运动到B 点时弹簧与斜面垂直，运动到C 点时弹簧恰好处于原长，已知OC 的距离为L ，斜面倾角为θ＝30°，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g .则滑块由A 运动到C 的过程中( )图7A ．滑块的加速度一直减小B ．滑块经过B 点时的速度一定最大C ．滑块经过C 点的速度大于2gLD ．滑块的加速度大小等于的位置一共有三处g 2答案 CD变式4 (多选)(2018·南通市等七市三模)如图8所示，斜面体静置在水平面上，斜面底端固定一挡板，轻弹簧一端连接在挡板上，弹簧原长时自由端在B 点．一小物块紧靠弹簧放置，在外力作用下将弹簧压缩至A 点．物块由静止释放后，恰能沿粗糙斜面上滑至最高点C ，然后下滑，最终停在斜面上，斜面体始终保持静止．则( )图8A ．物块最终会停在A 、B 之间的某位置B ．物块上滑过程速度最大的位置与下滑过程速度最大的位置相同C ．整个运动过程中产生的内能小于弹簧的最大弹性势能D ．物块从A 上滑到C 过程中，地面对斜面体的摩擦力先减小再增大，然后不变答案 ACD1.背越式跳高是一项跳跃垂直障碍的运动项目，包括助跑、起跳、过杆和落地四个阶段，如图9所示为从起跳到落地运动过程分解图，某同学身高1.80m，体重60kg，参加学校运动会成功地越过了1.90m的横杆，该同学跳起时刻的动能可能是下列哪个值( )图9A．500JB．600JC．800JD．2000J答案 C2．(多选)(2018·南京市三模)抛出的铅球在空中的运动轨迹如图10所示，A、B为轨迹上等高的两点，铅球可视为质点，空气阻力不计．用v、E、E k、P分别表示铅球的速率、机械能、动能和重力瞬时功率的大小，用t表示铅球在空中从A运动到B的时间，则下列图象中不正确的是( )图10答案 ABC3．(多选)(2018·南通等六市一调)如图11所示，一轻弹簧直立于水平面上，弹簧处于原长时上端在O点，将一质量为M的物块甲轻放在弹簧上端，物块甲下降到A点时速度最大，下降到最低点B时加速度大小为g，O、B间距为h.换用另一质量为m的物块乙，从距O点高为h 的C点由静止释放，也刚好将弹簧压缩到B点．不计空气阻力，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度大小为g，则上述过程中( )图11A．弹簧最大弹性势能为MghB．乙的最大速度为2ghC．乙在B点加速度大小为2gD ．乙运动到O 点下方处速度最大h 4答案 AD解析 对于物块甲的运动过程，根据机械能守恒定律可知，弹簧压缩到B 点时的弹性势能等于甲的重力势能的变化即Mgh ，物块乙也刚好将弹簧压缩到B 点，所以弹簧最大弹性势能为Mgh ，故A 正确；当乙下落到O 点时，根据动能定理：mgh ＝mv 2，解得：v ＝，此时开始122gh 压缩弹簧，但弹簧弹力为零，所以物块将继续加速直到弹力等于重力时速度达到最大，所以乙的最大速度大于，故B 错误；根据机械能守恒有Mgh ＝mg ·2h ，则m ＝M ，在B 点对M 2gh 12根据牛顿第二定律有：F －Mg ＝Mg ，对m 根据牛顿第二定律有：F －mg ＝ma ，联立可得：a ＝3g ，故C 错误；设弹簧劲度系数为k ，在最低点有：kh ＝2Mg ＝4mg ，即k ＝mg ，可得乙运动到O h 4点下方处速度最大，故D 正确．h 44．(2018·扬州中学5月模拟)如图12所示，小球(可视为质点)从静止开始沿光滑曲面轨道AB 滑下，从B 端水平飞出，撞击到一个与地面呈θ＝37°的斜面上，撞击点为C .已知斜面上端与曲面末端B 相连，A 、B 间的高度差为h ，B 、C 间的高度差为H ，不计空气阻力，则h 与H 的比值为( )h H图12A. B. C. D.34439449答案 D5．(多选)(2018·苏锡常镇二模)如图13所示，用铰链将三个质量均为m 的小球A 、B 、C 与两根长为L 的轻杆相连，B 、C 置于水平地面上．在轻杆竖直时，将A 由静止释放，B 、C 在杆的作用下向两侧滑动，三小球始终在同一竖直平面内运动．忽略一切摩擦，重力加速度为g .则此过程中( )图13A ．球A 的机械能一直减小B ．球A 落地的瞬时速度为2gLC ．球B 对地面的压力始终等于mg 32D ．球B 对地面的压力可小于mg答案 BD1．(多选)下列运动的物体，机械能守恒的有( )A ．物体沿斜面匀速下滑B ．物体做自由落体运动C ．跳伞运动员在空中匀速下降D ．木块沿光滑曲面自由下滑答案 BD解析 物体沿斜面匀速下滑、跳伞运动员在空中匀速下降，都属于动能不变，重力势能减小的情况，因此机械能不守恒，A 、C 错误；物体做自由落体运动，此时它只受重力作用，机械能守恒，木块沿光滑曲面自由下滑时只有重力做功，故机械能守恒，所以B 、D 正确．2.(2018·常熟市模拟)半径分别为r 和R (r <R )的光滑半圆形槽，其圆心均在同一水平面上，如图1所示，质量相等的两物体分别自半圆形槽左边缘的最高点无初速度地释放，在下滑过程中两物体( )图1A ．机械能均逐渐减小B ．经最低点时动能相等C ．机械能总是相等的D ．两物体在最低点时加速度大小不相等答案 C3．(2018·阜宁中学调研)如图2所示，由光滑细管组成的轨道固定在竖直平面内，AB 段和BC 段是半径为R 的四分之一圆弧，CD 段为平滑的弯管．一小球从管口D 处由静止释放，最后能够从A 端水平抛出落到地面上．则管口D 距离地面的高度必须满足的条件是( )图2A ．等于2RB ．大于2RC ．大于2R 且小于RD ．大于R 5252答案 B解析 细管轨道可以提供支持力，所以小球到达A 点的速度大于零即可，即mgH －mg ·2R >0，解得H >2R .故选B.4．(多选)(2018·无锡市期中)如图3所示，一物体从光滑斜面AB 底端A 点以初速度v 0上滑，沿斜面上升的最大高度为h .假设下列情境中物体从A 点上滑的初速度仍为v 0，则下列说法中正确的是( )图3A ．若把斜面CB 部分截去，物体冲过C 点后上升的最大高度仍为hB ．若把斜面弯成圆弧D ，物体仍沿圆弧升高hC ．若把斜面AB 变成曲面AEB ，物体沿此曲面上升仍能到达B 点D ．若把斜面从C 点以上部分弯成与C 相切的圆弧状，物体上升的最大高度有可能仍为h 答案 CD解析 若把斜面CB 部分截去，物体冲过C 点后做斜抛运动，物体运动到最高点有水平分速度，速度不为零，由机械能守恒可知，物体不能到达h 高处，故A 错误；若把斜面弯成圆弧D ，如果能到圆弧最高点，根据机械能守恒定律得知：到达h 高处的速度应为零，而物体要到达最高点，必须由合力充当向心力，速度不为零，故知物体不可能到达h 高处，故B 错误；若把斜面AB 变成曲面AEB ，物体在最高点速度为零，根据机械能守恒定律，物体沿此曲面上升仍能到达B 点，故C 正确；若把斜面从C 点以上部分弯成与C 相切的圆弧状，若圆弧的圆心位置低于h 高度，则物体在最高点速度为零，根据机械能守恒定律，物体沿斜面上升的最大高度仍然为h ，故D 正确．5．(2018·江苏百校12月大联考)一小球在空中从t ＝0时刻开始做自由落体运动，如图4所示．以地面为参考平面，关于小球速率v 、重力的瞬时功率P 、小球的动能E k 和重力势能E p 随时间t 变化的图象正确的是( )图4答案 B6．(2018·宿迁市上学期期末)如图5所示，可视为质点的小球A 、B 用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上、半径为R 的光滑圆柱，A 的质量为B 的两倍．当B 位于地面上时，A 恰与圆柱轴心等高．将A 由静止释放，B 上升的最大高度是( )图5A ．2R B. C. D.5R 34R 32R 3答案 C解析 设B 球质量为m ，A 球刚落地时两球速度大小为v ，根据机械能守恒定律得2mgR －mgR ＝(2m ＋m )v 2，得v 2＝gR ，B 球继续上升的高度h ＝＝，B 球上升的最大高度为h ＋R ＝R ，1223v 22g R 343故选C.7．(多选)(2018·淮安市、宿迁市等期中)如图6所示，足够长的光滑斜面固定在水平面上，竖直轻质弹簧与A 、B 物块相连，A 、C 物块由跨过光滑小滑轮的轻绳连接．初始时刻，C 在外力作用下静止，绳中恰好无拉力，B 放置在水平面上，A 静止．现撤去外力，物块C 沿斜面向下运动，当C 运动到最低点时，B 刚好离开地面．已知A 、B 的质量均为m ，弹簧始终处于弹性限度内，则上述过程中( )图6A ．C 的质量m C 可能小于mB ．C 的速度最大时，A 的加速度为零C ．C 的速度最大时，弹簧弹性势能最小D ．A 、B 、C 组成的系统的机械能先变小后变大答案 BC解析 C 的速度最大时，加速度为零，因A 的加速度等于C 的加速度，则此时A 的加速度也为零，选项B 正确；设弹簧的劲度系数为k ，开始时弹簧压缩量为Δx 1＝，因当C 运动到mg k 最低点时，B 刚好离开地面，此时弹簧伸长量为Δx 2＝，根据对称性可知，当A 的加速度mg k为零时，弹簧处于原长状态，则此时弹簧弹性势能为零，设斜面倾角为θ，此时有m C g sin θ＝mg ，则C 的质量m C 一定大于m ，选项A 错误，C 正确；因只有重力和弹力做功，则A 、B 、C 及弹簧组成的系统的机械能守恒，因弹性势能先减小后增大，则A 、B 、C 系统的机械能先变大后变小，选项D 错误．8．(多选)(2018·南京市、盐城市一模)如图7所示，光滑细杆上套有两个质量均为m 的小球，两球之间用轻质弹簧相连，弹簧原长为L ，用长为2L 的细线连接两球．现将质量为M 的物块用光滑的钩子挂在细线上，从细线绷直开始释放，物块向下运动．则物块( )图7A ．运动到最低点时，小球的动能为零B ．速度最大时，弹簧的弹性势能最大C ．速度最大时，杆对两球的支持力为(M ＋2m )gD ．运动到最低点时，杆对两球的支持力小于(M ＋2m )g答案 AC解析 物块从开始释放先做加速运动，后做减速运动直到速度为零即到达最低点，故A 正确；根据系统机械能守恒可知，物块M 减小的重力势能转化为弹簧的弹性势能、物块和两小球的动能，当物块运动到最低点时，即速度为零时，弹簧的弹性势能最大，故B 错误；速度最大时，即此时系统所受合力为零，将两小球和物块看成系统，受重力(M ＋2m )g 和杆对两球的支持力二力平衡，故C 正确；运动到最低点时，物块具有向上的加速度，由整体法可知，杆对两球的支持力大于(M ＋2m )g ，故D 错误．9．(2018·扬州中学月考)如图8所示，一轻绳绕过无摩擦的两个轻质小定滑轮O 1、O 2和质量为m 的小球连接，另一端与套在光滑直杆上质量也为m 的小物块连接，已知直杆两端固定，与两定滑轮在同一竖直平面内，与水平面的夹角θ＝60°，直杆上C 点与两定滑轮均在同一高度，C 点到定滑轮O 1的距离为L ，重力加速度为g ，设直杆足够长，小球运动过程中不会与其他物体相碰．现将小物块从C 点由静止释放，当小物块沿杆下滑距离也为L 时(图中D 处)，求：图8(1)小球下降的最大距离；(2)小物块在D 处的速度大小．答案 见解析解析 (1)当拉物块的绳子与直杆垂直时，小球下降的距离最大，根据几何关系知，Δh ＝L －L sin 60°＝L (1－)；32(2)设小物块下滑距离为L 时的速度大小为v ，此时小球的速度大小为v 1，则v 1＝v cos θ对物块和小球组成的系统根据机械能守恒定律，有：mgL sin θ＝mv ＋mv 2121212解得v ＝.253gL 510．(2018·南京市三模)如图9所示，物块A 、B 、C 的质量分别为2m 、2m 、m ，并均可视为质点，三个物块用轻绳通过轻质滑轮连接，在外力作用下现处于静止状态，此时物块A 置于地面，物块B 与C 、C 到地面的距离均是L ，现将三个物块由静止释放．若C 与地面、B 与C 相碰后速度立即减为零，A 距离滑轮足够远且不计一切阻力，重力加速度为g .求：图9(1)刚释放时A 的加速度大小及轻绳对A 的拉力大小；(2)物块A 由最初位置上升的最大高度；(3)若改变A 的质量使系统由静止释放后物块C 能落地且物块B 与C 不相碰，则A 的质量应满足的条件．答案 见解析解析 (1)设刚释放时A 、B 、C 的加速度大小为a ，绳子对A 的拉力大小为F由受力分析可知对于A 有F －2mg ＝2ma对于B 、C 整体有3mg －F ＝3ma联立解得a ＝，F ＝mg ＝2.4mg g 5125(2)C 下落L 后落地，由v 2＝2ax 可知此时的速度v ＝25gL由h ＝得h ＝0.2L v 22g则物块由最初位置上升的最大高度H ＝2.2L(3)若改变A 的质量使系统由静止释放后物块C 能落地，则A 的质量需满足m A <3m同时使得B 与C 不相碰，即C 落地后B 减速下降到地面时速度为0，从释放到C 落地的过程中运用系统机械能守恒定律得 3mgL －m A gL ＝(3m ＋m A )v 212解得v ＝2(3m －m A )gL 3m ＋m A从C 落地到B 减速到速度为0的过程中运用机械能守恒定律得2mgL ＋(2m ＋m A )v 2＝m A gL 12解得m A ＝m6即A 的质量满足m <m A <3m ，系统由静止释放后物块C 能落地且物块B 与C 不相碰．611．(2019·海安中学月考)如图10所示，长为L 的轻杆一端连着质量为m 的小球，另一端与固定于水平地面上O 点的铰链相连，初始时小球静止于地面上，边长为L 、质量为M 的正方体左侧紧靠O 点．现在杆中点处施加一个方向始终垂直杆、大小不变的拉力，当杆转过θ＝45°时撤去此拉力，小球恰好能到达最高点，不计一切摩擦，重力加速度为g .求：图10(1)拉力做的功W 和拉力的大小F ；。
