八年级数学几何图形证明之令狐采学创编

一个独特的几何证明勾股定理，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．这是平面几何中的一个十分重要的定理，国外称为毕达哥拉斯(约公元前580——500年)定理．可是，据我国古算书《周髀算经》记载，在公元前十一世纪的周朝初年，商高就讲过“勾广三，股修四、径隅五”．这是我国关于勾股定理的最早陈述，比毕达哥拉斯学派发现勾股定理早了五百多年，不过没有给出证明．到了公元三世纪的三国时期，吴国数学家赵爽在注释《周髀算经》时，写了一篇《勾股园方图注》，并附了一幅“弦图”(如下图)对勾股定理作出了严格而又简捷的证明：以勾股为边的长方形可视为被对角线等分成两个直角三角形之和，三角形涂上朱色，它的面积叫做“朱实”，四个这样的长方形合成了一个正方形，其面积称为“弦实”，中间突出的小正方形涂上黄色，其面积称为“黄实”，显然这个小正方的边长等于勾、股之差，因为“弦实”等于四个“朱实”与中间“黄实”的和，于是22221=4(2⨯⨯+-=+弦勾股）（股勾）勾股 这个证明不但是勾股定理的最早证明（比国外最先用类似方法来证明的印度数学家婆什迦罗要早900年)，而且也是有史以来勾股定理的四百多种证明中最独特、最巧妙的一个．应该指出，赵爽证明勾股定理的思想，是把平面几何问题归结为研究平面图形的面积，通过对平面图形面积的代数运算而完成对几何问题的证明．这种几何问题代数化的思想是我国古代数学的一大特点．与古希腊几何学偏重于概念间的逻辑关系，把形与数割裂开来，是完全不同的风格．还应提到的是，与赵爽大约同时的刘徽，对勾股定理也给出了一个证明，其基本思想是利用平面图形的面积，巧妙地加以移、合、拼、补之后，甚至无须代数运算，而勾、股、弦之间的关系便可一目了然．刘徽把这种方法概括成一个基本原理，称为“出入相补原理”．这个原理是说：一个平面图形从一处移置到另一处，面积不变；又若把图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原图形的面积，“出入相补原理”在我国古代几何理论中占有很重要的地位．。

八年级上册几何证明知识点几何证明是几何学中的重要内容之一，是数学学习的必修课。

而在八年级上册几何学习中，有些重要的证明知识点需要我们特别注意和掌握。

下面，我们就来一一梳理这些知识点。

1. 直角三角形的性质证明
直角三角形是我们几何学习中最基础的一个知识点，学生们要掌握直角三角形的性质、勾股定理等重要概念，同时也要能熟练地进行证明。

常见的直角三角形证明有“勾股定理证明”、“三角形内角和证明”等。

2. 等腰三角形的性质证明
等腰三角形也是我们几何学习中的一个重点知识点，其性质是指两边相等、两角相等。

在证明过程中，常用的方法有等角、割角、共线等方法，最终要得到等腰三角形的性质。

3. 同位角证明
同位角是指两个角位于平行线同侧且对应相等的角，其证明方法有构造直线也平行于给定平行线、重心定理、余角定理等。

4. 交错角证明
交错角是指两条相交的直线以及这两条直线所夹的四个角中的一对相对角，其证明方法有构造外接圆、平行四边形的证明方法等。

5. 分类讨论证明
分类讨论是几何证明中的常用方法，在具体应用中需要分析情况来进行证明。

例如，在证明二等分线的性质时，我们需要根据三角形种不同的情况进行分析，从而得出最终的结论。

以上就是八年级上册几何证明的一些重要知识点，需要同学们特别注意和掌握。

在学习过程中，需要多加练习和思考，逐渐提高自己的证明能力和水平。

沪科版初中数学目录令狐文艳备注：七年级上册：1-5七年级下册：6-11八年级上册：12-17八年级下册：18-22九年级上册：23-25九年级下册：26-28第1章有理数1.1 正数和负数1.2 数轴1.3 有理数的大小1.4 有理数的加减1.5 有理数的乘除1.6 有理数的乘方1.7 近似数第2章整式加减2.1 用字母表示数2.2 代数式2.3 整式加减第3章一次方程与方程组3.1 一元一次方程及其解法3.2 二元一次方程组3.3 消元解决方程组3.4 用一次方程（组）解决问题第4章直线与角4.1 多彩的几何图形4.2 线段、射线、直线4.3 线段的长短比较4.4 角的表示与度量4.5 角的大小比较4.6 作线段与角第5章数据处理5.1 数据的收集5.2 数据的整理5.3 统计图的选择5.4 从图表中获取信息第6章实数6.1 平方根立方根6.2 实数第7章一一次不等与不等式组7.1 不等及其基本质7.2 一元次不等式7.3 一元次不等式组第8章整乘除与因分解8.1 幂的算8.2 整式法8.3平方差式与完全方公式8.4 整式法第12章平面直角坐标系12.1 平面上点的坐标12.2 图形在坐标系中的平移第13章一次函数13.1 函数13.2 一次函数-13.3 一次函数与一次方程、一次不等式13.4 二元一次方程组的图象解法第14章三角形中的边角关系14.1 三角形中的边角关系14.2 命题与证明第15章全等三角形15.1 全等三角形15.2 三角形全等的判定第16章轴对称图形与等腰三角形16.1 轴对称图形16.2 线段的垂直平分线16.3 等腰三角形16.4 角的平分线第17章勾股定理17.1 勾股定理17.2 勾股定理的逆定理第18章二次根式18.1 二次根式18.2 二次根式的运算――――（）第19章一元二次方程19.1 一元二次方程19.2一元二次方程的解法19.3一元二次方程的根的判别式19.4一元二次方程的根与系数的关系19.5 一元二次方程的应用第20章四边形20.1 多边形内角和20.2平行四边形20.3 矩形菱形正方形20.4 梯形第21章据的集中势21.1 平均21.2 中位与众数21.3从部看总体第22章数据的离程度22.1极差22.2 方差标准差第23章二次函数反比例函数23.1 二次数23.2 二次数y=ax^2图象和性质23.3二次第25章解直角三角形25.1 锐角三角函数25.2 锐角三角函数值25.3 解直角三角形及其应用第26章圆26.1 旋转26.2 圆的对称性26.3 圆的确定26.4 圆周角26.5 直线与圆的位置关系26.6 三角形的内切圆26.7 圆与圆的位置关系26.8 正多边形与圆26.9 弧长与扇形面积第27章投影与视图27.1 投影27.2 三视图第28章概率初步28.1 随机事件28.2 等可能情形下的概率计算28.3 用频数估计概率。

光与色彩的魔术师——路易斯令狐采学路易斯·巴拉干大师简介巴拉干是墨西哥二十世纪有关庭园景观设计的著名建筑师，他于1902年出生在墨西哥瓜达拉哈纳(Guadalajara)附近的一处牧场，那里是一片红色泥土的大地，有很多起伏的小山丘，可以看日初日落的美景。

而附近那些有庭园式的房屋都有挑檐及设置景观喷泉，另外还有各式的教堂与市集。

这些都带给他不可磨灭的印象，并影响他后来一生的工作方向。

从瓜达拉哈纳大学一般工程技术系毕业后，他改变先前所学的工程方面而转向他较感兴趣的建筑方向，但未再进学校攻读，全靠自己进修。

1925年他离开墨西哥到欧洲旅行，并且在旅行时参加了柯布的演讲会。

回墨西哥之前，他又拜访了希腊，此时他迷恋上了一般集居住宅的质朴；到了西班牙，他找到他的理想——中古世纪西班牙首府格拉那达(Granada)附近摩尔族诸王的Alhmbra宫殿，围墙内有无拘无束不对称陈列的建筑及清泉飞溅的寂静花园。

1927年，他在瓜达拉哈纳所完成的几栋建筑物均是以住宅为主。

1936年之前，他重返大牧场履行他的家族职责；之后他迁移到墨西哥致力于寂静环境的创造。

最先的工作，是为了找出顺应墨西哥本土的建筑形式来表现其特征；如同伊斯兰建筑，特别是摩洛哥王朝所勾画出符合当地需要的适宜环境，是他非常着重的设计重点。

这是他从书上所学习到的心得。

1940年，由于结识法国的知识分子、画家、景园建筑师Ferdinand Bac及墨西哥的雕刻家Mathias Goeritz而有更灵性的设计。

他并不像一般同时期的人，其舍弃了柯布的应用理论和那些国际样式的教育，而将注意力集中在Bac所设计的花园——那像是有一股无从捉摸的魔力，一直萦绕在他的脑海中。

于是他就自己所感受到的发展出一套个人的表现风格；以墨西哥当地特有的植物、水景和单纯的几何学建筑形式结合他隐藏的超现实主义成份。

于是他在1944年买了865英亩的溶岩沙漠，在墨西哥城市建造EL Pedregal （19431950），描述他热爱的私密性隐居生活和对大自然的重视。

白蛇传故事简介欧阳光明（2021.03.07）“白蛇传”是一个具有浓厚神话色彩的反封建的爱情悲剧。

人们对悲剧女主人公的爱称是白娘子。

据说，她原是一条白蛇，和一条青蛇在深山中修炼了一千年，能变人形。

由于不甘山中修行的寂寞生活，化为主婢，取名白素贞和小青儿，来到了繁华锦绣的西子湖畔，寻找人间的自由幸福生活。

桃红柳绿的清明时节，杭州城里一个药铺伙计许仙去灵隐附近上坟。

归途风狂雨骤，难以步行，只得在断桥雇船回家。

白娘子和青儿相中了年青的许仙。

白在桥边要求搭许仙的船回家，许仙慨然允诺。

在涌金门上岸时，雨不停，许仙将伞借给了她们主婢俩，自己淋雨回城。

第二天，许仙如约前来白家取伞，受到了盛情接待。

终于由小青说合，二人当晚成婚。

故事原是这样发展的：成婚缺少费用，由小青施展法术，盗得钱塘县的官库银两，第二天就被发觉了。

许仙被捕，发配镇江。

白娘子和青儿最后也赶到镇江，找到了许仙。

他们开了一爿药店，施舍药物，为人看病，很受当地人欢迎。

生活非常美满。

镇江金山寺住持法海，是个神通广大的和尚。

他知道白娘子的来历，认为江南佛地，岂容妖孽栖身？！于是借化缘登门挑拨离间。

许仙原先根本无法相信自己的爱妻会是白蛇的化身。

可是却经不起法海苦劝，终于在端午节这一天，硬让白娘子饮了雄黄酒。

结果，揭开了罗帐，妻子果然变成了白蛇。

许仙晕倒在地，性命垂危。

白素贞醒来，不顾千难万险，上蓬莱仙岛盗取仙草救治许仙。

许仙病愈后又受了法海的挑拨，上金山寺还愿。

法海要许仙随他出家，并软禁了他。

白蛇前去索夫，百般哀求无效，反遭辱骂。

她和青儿无可奈何，于是就发动了虾兵蟹将，将长江倒流，水漫金山。

法海也召来了天兵天将镇压。

经过一场苦战，白娘子因为怀有身孕，终于败下阵来，和青儿遁回杭州。

许仙趁双方混战之际也逃回杭州，和白娘子、青儿在断桥邂逅重逢。

白娘子责备许仙轻信；青儿则恨许仙负心，举剑要杀他。

后许仙自认错误，三人言归于好，把仇恨集中到法海身上。

由于白将分娩，大家一起到许的姐夫家安身。

所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.令狐文艳关键:动中求静.数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想注重对几何图形运动变化能力的考查从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。

选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。

在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点．函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析.一、应用勾股定理建立函数解析式例1(2000年·上海)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上,有一个动点P,PH⊥OA,垂足为H,△OPH的重心为G.(1)当点P在弧AB上运动时,线段GO、GP、GH中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.(2)设PH x=,求y关于x的函数解析式，并写出函数=,GP y的定义域(即自变量x 的取值范围).(3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长.解:(1)当点P 在弧AB 上运动时,OP 保持不变,于是线段GO 、GP 、GH 中,有长度保持不变的线段，这条线段是GH=32NH=2132⋅OP=2. (2)在Rt △POH 中, 22236x PH OP OH -=-=, ∴2362121x OH MH -==. 在Rt △MPH 中,.∴y =GP=32MP=233631x + (0<x <6).(3)△PGH 是等腰三角形有三种可能情况:①GP=PH 时,x x =+233631,解得6=x . 经检验,6=x 是原方程的根,且符合题意.②GP=GH 时,2336312=+x ,解得0=x . 经检验,0=x 是原方程的根,但不符合题意.③PH=GH 时,2=x .综上所述,如果△PGH 是等腰三角形,那么线段PH 的长为6或2.本专题的主要特征是两个点在运动的过程中，直接或间接地构造了直角三角线，因此可以利用勾股定理去建立函数关系式. 勾股定理是初中数学的重要定理，在运用勾股定理写函数解析式的过程中，主要是找边的等量关系，要善于发现这种内H M N G P O A B 图1 x y在的关系，用代数式去表示这些边，达到解题的目的. 由于是压轴题，有的先有铺垫，再写解析式；有的写好解析式后，再证明等腰三角形、相似三角形等，还有的再解一些与圆有关的体型. 要认真领会，达到举一反三的目的.1 牢记勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.例题，扇形中∠AOB=45°，半径OB=2，矩形PQRS的顶点P、S在半径OA上，Q在半径OB上，R在弧AB上，连结OR. （1）当∠AOR=30°时，求OP长（2）设OP=x，OS=y，求y与x的函数关系式及定义域2 在四边形的翻折与旋转中，往往会应用到勾股定理，由此产生些函数解析式的问题，要熟练掌握.例题：如图，正方形ABCD中，AB=6，有一块含45°角的三角板，把45°角的顶点放在D点，将三角板绕着点D旋转，使这个45°角的两边与线段AB、BC分别相交于点E、F （点E与点A、B不重合）（1）从几个不同的位置，分别测量AE、EF、FC的长，从中你能发现AE、EF、FC的数量之间具有怎样的关系？并证明你所得到的结论（2）设AE=x，CF=y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域（3）试问△BEF的面积能否为8？如果能，请求出EF的长；如果不能，请说明理由.3 在一些特殊的四边形中，如矩形、正方形，它们都是直角，菱形的对角线互相垂直，这些都有可能构造直角三角形，可以考虑用勾股定理写出函数的解析式.例题：如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，点P是射线BC上的一个动点，∠PAQ=60°，交射线CD于点Q，设点P到点B的距离为x，PQ=y（1）求证：三角形APQ是等边三角形（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域（3）如果PD⊥AQ，求BP的值4 作底边上的高，可以构造直角三角形，利用勾股定理写函数的解析式例题：如图，等边△ABC的边长为3，点P、Q分别是AB、BC上的动点（点P、Q与△ABC的顶点不重合），且AP=BQ，AQ、CP相交于点E.（1）如设线段AP为x，线段CP为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域（2）当△CBP的面积是△CEQ的面积的2倍时，求AP的长（3）点P、Q分别在AB、BC上移动过程中，AQ和CP能否互相垂直？如能，请指出P点的位置，请说明理由.5 在解圆的题目时，首选的辅助线是弦心距，它不仅可以运用垂径定理，而且构造了直角三角形，为用勾股定理写函数解析式创造了条件.例题：如图，⊙A和⊙B是外离的两圆，两圆的连心线分别交⊙A、⊙B于E、F，点P是线段AB上的一动点（点P不与E、F重合），PC切⊙A于点C，PD切⊙B于点D，已知⊙A的半径为2，⊙B的半径为1，AB=5.（1）如设线段BP的长为x，线段CP的长为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域（2）如果PC=PD，求PB的长（3）如果PC=2PD，判断此时直线CP与⊙B的位置关系，证明你的结论6 强调圆的首选辅助线是弦心距，它不仅可以平分弦，而且构造了直角三角形，为解题创建新思路.例题：如图，在△ABC中，AB=15,AC=20,cotA=2，P是边AB上的一个动点，⊙P的半径为定长. 当点P与点B重合时，⊙P恰好与边AC相切；当点P与点B不重合，且⊙P与边AC 相交于点M和点N时，设AP=x，MN=y.(1)求⊙P的半径(2)求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域(3)当AP=65时，试比较∠CPN与∠A的大小，并说明理由阶梯题组训练1 如图，E是正方形ABCD的边AD上的动点，F是边BC延长线上的一点，且BF=EF，AB=12，设AE=x，BF=y.（1）当△BEF是等边三角形时，求BF的长；（2）求y与x之间的函数解析式，并写出它的定义域；（3）把△ABE沿着直线BE翻折，点A落在点A′处，试探索：△A′BF能否为等腰三角形？如果能，请求出AE的长；如果不能，请说明理由.2 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，D是边AC上不与点A、C重合的任意一点，DE⊥AB，垂足为点E，M是BD 的中点.（1）求证：CM=EM;（2）如果BC=3设AD=x，CM=y，求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当点D在线段AC上移动时，∠MCE的大小是否发生变化？如果不变，求出∠MCE的大小；如果发生变化，说明如何变化.中，对角线AC⊥AB，AB=15，AC=20，点P为射线BC上一动点，AP⊥PM(点M与点B分别在直线AP的两侧)，且∠PAM=∠CAD，连结MD.(1)当点M内时，如图，设BP=x，AP=y，求y关于x的函数关系式，并写出函数定义域；(2)请在备用图中画出符合题意的示意图，并探究：图中是否存在与△AMD相似的三角形？若存在，请写出并证明；若不存在，请说明理由；(3)当△为等腰三角形时，求BP的长.4 抛物线经过A（2，0）、B（8，0）、C（0，3316）.(4)求抛物线的解析式；(5)设抛物线的顶点为P，把△APB翻折，使点Pl落在线段AB上（不与A、B重合），记作P′，折痕为EF，设AP′=x，PE=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；(6)当点P′在线段AB上运动但不与A、B重合时，能否使△EFP′的一边与x轴垂直？若能，请求出此时点P′的坐标；若不能，请你说明理由.5 如图，矩形ABCD中，AD=7，AB=BE=2，点P是EC（包括E、C）上的动点，线段AP的垂直平分线分别交BC、AD于点F、G，设BP=x，AG=y.（4）四边形AFPG是说明图形？请说明理由；（5）求y与x的函数关系式；（6）如果分别以线段GP、DC为直径作圆，且使两圆外切，求x的值.6 在梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥AD，AB=4，AD=5，CD=5. E为底边BC上一点，以点E为圆心，BE为半径画⊙E交直线DE 于点F.（1）如图，当点F在线段DE上时，设BE=x，DF=y，试建立y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当以CD为直径的⊙O与⊙E相切时，求x的值；（3）连结AF、BF，当△ABF是以AF为腰的等腰三角形时，求x的值.7 如图，在正方形ABCD中，AB=1，弧AC是以点B为圆心，AB 长为半径的圆的一段弧，点E是边AD上的任意一点（点E与点A、D不重合），过E作弧AC所在圆的切线，交DC于点F，G为切点.（1）当∠DEF=45°时，求证点G为线段EF的中点；（2）设AE=x，FC=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的解析式；5（3）将△DEF沿直线EF翻折后得△D1EF，如图2，当EF=6时，讨论△AD1D与△ED1F是否相似，如果相似，请加以证明；如果不相似，只要求写出结论，不要求写出理由.（2003年上海第27题）二、应用比例式建立函数解析式例2（2006年·山东）如图2,在△ABC中,AB=AC=1,点D,E在直线BC上运动.设BD=,x CE=y.(1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y与x之间的函数解析式；(2)如果∠BAC 的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由.解:(1)在△ABC 中,∵AB=AC,∠BAC=30°,∴∠ABC=∠ACB=75°,∴∠ABD=∠ACE=105°. ∵∠BAC=30°,∠DAE=105°, ∴∠DAB+∠CAE=75°,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°,∴∠CAE=∠ADB,∴△ADB ∽△EAC, ∴ACBD CE AB =, ∴11x y =, ∴xy 1=. (2)由于∠DAB+∠CAE=αβ-,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=290α-︒,且函数关系式成立, ∴290α-︒=αβ-, 整理得=-2αβ︒90.当=-2αβ︒90时,函数解析式x y 1=成立.例3(2005年·上海)如图3(1),在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3. 点O 是边AC 上的一个动点,以点O 为圆心作半圆,与边AB 相切于点D,交线段OC 于点E.作EP ⊥ED,交射线AB 于点P,交射线CB于点F.(1)求证: △ADE ∽△AEP.(2)设OA=x ,AP=y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出它的定义域.A ED C B 图2 A 3(2) 3(1)(3)当BF=1时,求线段AP 的长.解:(1)连结OD.根据题意,得OD ⊥AB,∴∠ODA=90°,∠ODA=∠DEP.又由OD=OE,得∠ODE=∠OED.∴∠ADE=∠AEP, ∴△ADE ∽△AEP.(2)∵∠ABC=90°,AB=4,BC=3, ∴AC=5. ∵∠ABC=∠ADO=90°, ∴OD ∥BC, ∴53x OD =,54x AD =, ∴OD=x 53,AD=x 54. ∴AE=x x 53+=x 58.∵△ADE ∽△AEP, ∴AE AD AP AE =, ∴x x y x 585458=. ∴x y 516= (8250≤<x ). (3)当BF=1时，①若EP 交线段CB 的延长线于点F,如图3(1)，则CF=4. ∵∠ADE=∠AEP, ∴∠PDE=∠PEC. ∵∠FBP=∠DEP=90°,∠FPB=∠DPE,∴∠F=∠PDE, ∴∠F=∠FEC, ∴CF=CE.∴5-x 58=4,得85=x .可求得2=y ,即AP=2.②若EP 交线段CB 于点F,如图3(2), 则CF=2.类似①,可得CF=CE.∴5-x 58=2,得815=x . 可求得6=y ,即AP=6.综上所述,当BF=1时,线段AP 的长为2或6.本专题探究在图形的运动变化过程中，存在平行或相似的三角形，利用比例式来建立函数关系式. 难一些的题目其中的一个变量是比例式，一个变量是线段，也是利用相似或平行来构造比例式，从而写出函数的解析式. 作为最后的一道压轴题，一般情况下写出解析式后还会有一个证等腰或相似或相切的题目，可以二次函数专题中的解题思想进行处理.1 由平行得到比例式，从而建立函数关系式.1AB，点P是边例题：如图，在△ABC中，AB=AC=4,BC=21PD，∠APD=∠ABC，连结DC并延长交边AC上的一个点，AP=2AB的延长线于点E（1）求证：AD//BC（2）设AP=x，BE=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域（3）连结BP，当△CDP与△CBE相似时，试判断BP与DE的位置关系，并说明理由2 由三角形相似得到比例式，建立函数关系式例题：如图，在正方形ABCD中，AB=2，E为线段CD上一点（点E与点C、D不重合），FG垂直平分AE，且交AE于F，交AB延长线于G，交BC于H.（1）证明：△ADE∽△GFA（2）设DE=x，BG=y，求y关于x的函数解析式及定义域1时，求DE的长（3）当BH=43 在学习利用相似比建立函数的解析式的时候，初中阶段的知识已经学了不少，对最后的压轴题的综合性的要求已经很高了.一般会在写解析式前有一些证明或计算，写好解析式后再来一个证明等腰三角形或圆的位置关系等. 如果能够把一道复杂的压轴题拆分成几道小的题目，各个击破，难题也就变简单了.例题：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinB=54，AC=4；D 是BC 的延长线上一个动点，∠EDA=∠B ，AE//BC.(1) 找出图中的相似三角形，并加以证明(2) 设CD=x ，AE=y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(3) 当△ADE 为等腰三角形时，求AE 的长4 刚才研究的写函数解析式都是在几何图形中进行的，下面来看在平面直角坐标系中怎样写解析式.例题：如图，在直角坐标系中的等腰梯形AOCD 中，AD//x 轴，AO=CD=5，OC AD =52，cos ａ=53，P 是线段OC 上的一个动点，∠APQ=∠ａ,PQ 交射线AD 于点Q ，设P 点坐标为（x ，0），点Q 到D 的距离为y（1）求过A 、O 、C 三点的抛物线解析式 （2）用含x 的代数式表示AP 的长 （3）求y 与x 的函数解析式及定义域 （4） △CPQ 与△AOP 能否相似？若能，请求出x 的值，若不能，请说明理由5 当一个变量是比例式，另一个变量是一条线段，怎样来写函数的解析式呢？可以根据题目的要求，由相似三角形面积的比等于相似比的平方，或相似三角形周长的比等于相似比等建立函数解析式.例题：如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（1，0），点B 、C 的坐标分别为（-1，0），C （0，b ），且0＜b ＜3，m 是经过点B 、C 的直线，当点C 在线段OC 上移动时，过点A 作AD ⊥m 于点D.(1) 求点D 、O 之间的距离 (2) 如果BOC BDA S △△S =ɑ，试求：ɑ与b 的函数关系式及ɑ的取值范围 (3)当∠ADO 的余切值为2时，求直线m 的解析式 (4) 求此时△ABD 与△BOC 重叠部分的面积6 当我们学习到利用相似三角形的相似比来建立函数解析式的时候，初中阶段的知识已经学得差不多了，对于一些貌似很复杂的图形，只要能够分层求解，就能化繁为简.例题：如图，在边长为6的正方形ABCD 的两侧如图作正方形BEFG 、正方形DMNK ，恰好使得N 、A 、F 三点在一直线上，连结MF 交线段AD 于点P ，连结NP ，设正方形BEFG 的边长为x ，正方形DMNK 的边长为y.（1）求y 关于x 的函数关系式及自变量x 的取值范围 （2）当△NPF 的面积为32时，求x 的值 （3） 以P 为圆心，AP 为半径的圆能够与以G 为圆心，GF 为半径的圆相切，若能请求x 的值，若不能，请说明理由 练习：1. 如图，在三角形中，AB=AC=8，BC=10，点D 、E 分别在BC 、AC 上（点D 不与B 、C 重合），且∠ADE=∠B ，设BD=x ，AE=y.（1）求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域（2）点D在BC上的运动过程中，△ADE是否有可能成为一个等腰三角形？如有可能，请求出当△ADE为等腰三角形时x的值;如不可能，请说明理由.3，点D是边AC上的点，2.在△ABC中，AB=4，AC=5，cosA=5点E是边AB上的点，且满足∠AED=∠A，DE的延长线交射线CB于点F，设AD=x，EF=y.（1）如图1，用含x的代数式表示线段AE的长（2）如图1，求y关于x的函数解析式及函数的定义域（3）连结EC，如图2，求档x为何值时，△AEC与△BEF相似.3.如图，在矩形ABCD中，AB=m（m是大于0的常数），BC=8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）.连结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE=x，BF=y.(1)求y关于x的函数关系式(2)若m=8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？12，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？(3)若y=m4.已知在梯形ABCD中，AD//BA，AD＜BC，且BC=6，AB=DC=4，点E是AB的中点.（1）如图，P为BC上的一点，且BP=2. 求证：△BEP∽△CPD；（2）如果点P在BC边上移动（点P与点B、C不重合），且满足∠EPF=∠C，PF交直线CD与点F，同时交直线AD于点M ，那么（3） 当点F 在线段CD 的延长线上时，设BP=x ，DF=y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；（4）当S △DMF =49S △BEP 时，求BP 的长. 5. 如图，在四边形ABCD 中，∠B=90°，AD//BC ，AB=4，BC=12，点E 在边BA 的延长线上，AE=2，点F 在BC 边上，EF 与边AD 相交于点G ，DF ⊥EF ，设AG=x ，DF=y.（3）求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域； （4）当AD=11时，求AG 的长； （5） 如果半径为EG 的⊙E 与半径为FD 的⊙F 相切，求这两个圆的半径.6. 如图，在半径为5的⊙O 中，点A 、B 在⊙O 上，∠AOB=90°，点C 是弧AB 上的一个动点，AC 与OB 的延长线相交于点D ，设AC=x ，BD=y.(1) 求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；(2) 若⊙O 1与⊙O相交于点A 、C ，且⊙O 1与⊙O 的圆心距为2，当BD=31OB 时，求⊙O 1的半径；(3) 是否存在点C ，使得△DCB ∽△DOC ？如果存在，请证明；如果不存在，请简要说明理由.7. 已知∠ABC=90°，AB=2，BC=3，AD//BC ，P 为线段BD 上的动点，点Q 在射线AB 上，且满足PC PQ =AB AD (如图1所示)（1） 当AD=2，且点Q 与点B 重合时（如图2所示），求线段PC 的长；（2） 在图1中，连结AP. 当AD=23，且点Q 在线段AB 上时，设点B 、Q 之间的距离为x ，PBC APQ S S △△=y ，其中S △APQ 表示△APQ 的面积，S △PBC 表示△PBC 的面积，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数定义域；（3） 当AD ＜AB ，且点Q 在线段AB 的延长线上时（如图3所示），求∠QPC 的大小.（2009上海第25题）三、应用求图形面积的方法建立函数关系式例4（2004年·上海）如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A 的半径为1.若点O 在BC 边上运动(与点B 、C 不重合),设BO=x ,△AOC 的面积为y .(1)求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域.(2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当⊙O 与⊙A 相切时,△AOC 的面积.解:(1)过点A 作AH ⊥BC,垂足为H.∵∠BAC=90°,AB=AC=22, ∴BC=4,AH=21BC=2. ∴OC=4-x . ∵AH OC S AOC ⋅=∆21, ∴4+-=x y (40<<x ).(2)①当⊙O 与⊙A 外切时,在Rt △AOH 中,OA=1+x ,OH=x -2, ∴222)2(2)1(x x -+=+. 解得67=x .此时,△AOC 的面积y =617674=-. ②当⊙O 与⊙A 内切时,在Rt △AOH 中,OA=1-x ,OH=2-x , ∴222)2(2)1(-+=-x x .A B CO 图8 H解得27=x . 此时,△AOC 的面积y =21274=-.综上所述,当⊙O 与⊙A 相切时,△AOC 的面积为617或21. 例2、【09广东】正方形ABCD 边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，当M 点在BC 上运动时，保持AM 和MN 垂直．（1）证明：Rt △ABM ∽Rt △MCN ；（2）设BM =x ，梯形ABCN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；当M 点运动到什么位置时，四边形ABCN 面积最大，并求出最大面积；（3）当M 点运动到什么位置时Rt △ABM ∽Rt △AMN ，求此时x 的值练习1.如图，在△ABC 中，BC=8，CA= ，∠C=60°，EF ∥BC ，点E 、F 、D 分别在AB 、AC 、BC 上（点E 与点A 、B 不重合），连接ED 、DF 。