广东省佛山市南海区第一中学2020-2021学年高一上学期学科素养摸底数学试题

2021-2022学年广东省佛山市南海区两校联考高一（上）第一次学科素养监测数学试卷（10月份）一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．以下元素的全体不能够构成集合的是（）A．中国古代四大发明B．周长为10cm的三角形C．方程x2﹣1＝0的实数解D．地球上的小河流2．已知集合M＝{x∈Z|﹣2＜x≤1}，则M的元素个数为（）A．4 B．3 C．7 D．83．下列各式中，正确的个数是（）①{0}∈{0，1，2}；②{0，1，2}⊆{2，1，0}；③∅⊆{0，1，2}；④∅＝{0}；⑤{0，1}＝{（0，1）}；⑥0＝{0}．A．1 B．2 C．3 D．44．下列命题中是存在量词命题的是（）A．∀x∈R，x2＞0 B．∃x∈R，x2﹣2≤0C．平行四边形的对边平行D．矩形的任一组对边相等5．若A、B是全集I的真子集，则下列四个命题：①A∩B＝A；②A∪B＝A；③A∩（∁I B）＝A；④A∩B＝I．中与命题A⊆B等价的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个6．设x∈R，则“|x﹣1|＞1”是“x＞3”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．设集合U＝{（x，y）|x∈R，y∈R}，A＝{（x，y）|2x﹣y+m＞0}，B＝{（x，y）|x+y﹣n ≤0}，那么点P（2，3）∈A∩（∁U B）的充要条件是（）A．m＞﹣1，n＜5 B．m＜﹣1，n＜5 C．m＞﹣1，n＞5 D．m＜﹣1，n＞58．若两个正实数x，y满足+＝1，且不等式x+＜m2﹣3m有解，则实数m的取值范围是（）A．{m|﹣1＜m＜4} B．{m|m＜﹣1或m＞4} C．{m|﹣4＜m＜1}D．{m|m＜0或m＞3}二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分。

共20分。

在每小题给出的四个选项中。

有多项符合题目要求。

全部选对的得5分。

部分选对的得2分。

有选错的得0分.9．下列关系式表示错误的是（）①∈Q；②∉R；③0∈N*；④x﹣1∈Z．A．①B．②C．③D．④10．设a，b，c为非零实数，a＞b＞c，则（）A．a﹣b＞b﹣c B．C．a+b＞2c D．11．设集合A＝{x|a﹣1＜x＜a+1，x∈R}，B＝{x|1＜x＜5，x∈R}，则下列选项中，满足A∩B＝∅的实数a的取值范围可以是（）A．{a|0≤a≤6} B．{a|a≤2或a≥4} C．{a|a≤0} D．{a|a≥8} 12．下列有关命题的说法正确的是（）A．判定定理：“同位角相等，两直线平行”给出了两直线平行的一个充分条件B．命题：“∃a∈R，方程x2﹣ax﹣1＝0”的否定是真命题C．命题：“若p：a∈P∪Q，则q：a∈Q”，可以判断p是q的一个必要不充分条件D．对于命题p：∃x0∈R，x02+2x0+2≤0，则￢p：∀x∈R，x2+2x+2≤0三、填空题：本题共4小题。

广东省佛山市中学2020-2021学年高一数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若0＜α＜＜β＜π，且cosβ=﹣，sin（α+β）=，则sinα的值是（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】GQ：两角和与差的正弦函数．【分析】先根据已知条件分别求得sinβ和cos（α+β）的值，最后利用正弦的两角和公式求得答案．【解答】解：由0＜α＜＜β＜π，知＜α+β＜π且cosβ=﹣，sin（α+β）=，得sinβ=，cos（α+β）=﹣．∴sinα=sin[（α+β）﹣β]=sin（α+β）cosβ﹣cos（α+β）sinβ=．故选：C．2. 已知，则的值为 ( )(A) (B) (C)(D)参考答案：C略3. 函数（其中）的图象如下面右图所示，则函数的图象是（）8参考答案：B4. 已知向量，，向量的坐标是（）A．（﹣6，2）B．（6，﹣2）C．（﹣2，0）D．（2，0）参考答案：C【考点】9J：平面向量的坐标运算．【分析】根据题意，由向量加法公式可得=+，由向量加法的坐标计算公式即可得答案．【解答】解：向量，，则向量=+=（﹣2，0）；即向量的坐标是（﹣2，0）；故选：C．5. 设锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c。

若A＝，a＝，则b2＋c2＋bc的取值范围为A. （1，9]B. （3，9]C. （5，9]D. （7，9]参考答案：D6. 若集合，则集合的子集共有（）A．3个 B．6个 C．7个 D．8个参考答案：D7. 在△ABC中，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°，若使该三角形绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】所形成的几何体是以ACD为轴截面的圆锥中挖去了一个以ABD为轴截面的小圆锥后剩余的部分，故用大圆锥的体积减去小圆锥的体积，即为所求．【解答】解：如图：△ABC中，绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体是以ACD为轴截面的圆锥中挖去了一个以ABD为轴截面的小圆锥后剩余的部分．∵AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°，∴AE=ABsin60°=，BE=ABcos60°=1，V1==，V2==π，∴V=V1﹣V2=，故选：A．8. 函数零点所在的区间是（）A. B. C. D.参考答案：C略9. 设集合，集合，，则等于（）A． B． C． D．参考答案：B略10. 如果，，，那么（）A、 B、 C、 D、参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆，在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是．参考答案：12. 设函数y=f（k）是定义在N*上的增函数，且f（f（k））=3k，则f（1）+f（9）+f（10）= ．参考答案：39考点：函数的值；函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析： f（f（k））=3k，取k=1，得f（f（1））=3，由已知条件推导出f（1）=2，f（2）=3，由此能求出f（1）+f（9）+f（10）的值．解答：解：∵f（f（k））=3k，∴取k=1，得f（f（1））=3，假设f （1）=1时，有f （f （1））=f （1）=1矛盾， 假设f （1）≥3，因为函数是正整数集上的增函数， 得f （f （1））≥f（3）＞f （1）≥3矛盾，由以上的分析可得：f （1）=2，代入f （f （1））=3，得f （2）=3，可得f （3）=f （f （2））=3×2=6， f （6）=f （f （3））=3×3=9， f （9）=f （f （6））=3×6=18，由f （f （k ））=3k ，取k=4和5，得f （f （4））=12，f （f （5））=15，∵在f （6）和f （9）之间只有f （7）和f （8），且f （4）＜f （5）， ∴f（4）=7，f （7）=12，f （8）=15，f （5）=8，∴f（12）=f （f （7））=3×7=21， ∵f（10）=19，f （11）=20．∴f（1）+f （9）+f （10）=2+18+19=39．故答案为：39．点评： 本题考查函数值的求法，是中档题，解题时要注意函数性质的合理运用．13. 若二次函数在区间上单调递减，则的取值范围为； 参考答案：略14.如图，是二面角的棱上一点，分别在、上引射线、，截，如果∠∠，∠，则二面角的大小是___________.参考答案：略15. 已知对数函数f (x )的图像过点(4,－2)，则不等式的解集为▲ .参考答案：16. 若，则的值为 ▲ ．参考答案：17. 函数的定义域是参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

广东省南海一中2020-2021学年高一下学期第一次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知向量(1,2)a λ=+，11,2b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且a ，b 是共线向量，则实数λ的值为（ ）A ．4-B ．52- C ．32- D ．02．已知a →，b →均为单位向量，它们的夹角为60°，那么3a b →→+等于（ ）ABCD ．43．向量a =（1-，1）在向量b =（3，4）上投影向量的模为（ ）A ．15B ．75C ．110D ．7104．第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的．如图，会标是由4个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，若小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，设直角三角形中较大的锐角为θ，则πtan 4θ⎛⎫-=⎪⎝⎭（ ）．A ．75B ．17C ．7-D ．5．已知角α的顶点与坐标原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边与以O 为圆心的单位圆相交于A 点.若A ）A ．sin α=B ．2cos 23α=-C ．sin 2α=D ．tan 2α=6．在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c 若A =45°，B =60°，a =2，则b =（ ）AB C D ．7．已知ABC ∆中，tan tan tan A B A B +=且sin cos B B =，则ABC ∆是 A ．正三角形B ．直角三角形C ．正三角形或直角三角形D ．直角三角形或等腰三角形8．如图，在△ABC 中，D ，E ，F 分别为线段BC ，AD ，BE 的中点，则AF =（ ）A ．1588AB AC +B ．5188AB AC -C ．1588AB AC -D ．5188AB AC +二、多选题9．下列选项中，与11sin 6π⎛⎫-⎪⎝⎭的值相等的是（ ） A ．2sin15sin 75︒︒ B ．cos18cos 42sin18sin 42︒︒-︒︒ C ．22cos 151︒-D ．2tan 22.51tan 22.5︒-︒10．已知函数()sin cos f x x x =+，则（ ）A ．()f xB ．()f x 的最小正周期为πC ．4f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数D ．将()y f x =图象上所有点向左平移2π个单位，得到()sin cos g x x x =-的图象 11．以下关于正弦定理或其变形正确的有（ ） A ．在ABC 中，a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C B ．在ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则a ＝bC ．在ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B ，若A ＞B ，则sin A ＞sin B 都成立D ．在ABC 中，sin sin sin +=+a b cA B C12．设点M 是ABC 所在平面内一点，则下列说法正确的是 A ．若1122AM AB AC =+，则点M 是边BC 的中点 B ．2AM AB AC =-若，则点M 在边BC 的延长线上 C ．若AM BM CM =--，则点M 是ABC 的重心D ．若AM xAB yAC =+，且12x y +=，则MBC △的面积是的ABC 面积的12三、填空题13．计算：OP NQ MN MP ++-=________．14．已知()1,2a =，()2,3b =，实数x ，y 满足等式()3,4xa yb +=，则x y +=________． 15．在△ABC 中，已知2,3,120AB AC A ==∠=，则△ABC 的面积为____．16．．黄金矩形能够给画面带来美感，如图，在黄金矩形画框ABCD 中设,BAC BCA αβ∠=∠=，则tan()αβ-=________．四、解答题17．已知()1,2a =，()3,2b =-． （1）求a b -；（2）当k 为何值时，ka b +与3a b -垂直？18．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，它的面积为S 且满足)222S a c b =+-，b =（1）求角B 的大小；（2）当9a c 时，求a ，c 的值.19．已知非零向量,a b 满足1a =,且()()34a b a b +⋅-=. (1)求b ;(2)当14a b ⋅=-时,求2a b +和向量a 与2a b +的夹角θ的值.20．已知函数π()sin(2)cos(2)2sin cos 36f x x x x x π=---+.（1）求函数()f x 的最小正周期及单调增区间； （2）将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位,再将所得图象上各点的纵坐标不变、横坐标伸长为原来的2倍,得到函数()y g x =的图象,求()y g x =在[]0,π上的值域.21．如图，在四边形ABCD 中，π3DAB ∠=，:2:3AD AB =，BD AB BC ⊥．（1）求sin ABD ∠的值； （2）若2π3BCD ∠=，求CD 的长． 22．如图，一个半径为4米的筒车按逆时针方向每π分钟转1圈，筒车的轴心O 距水面的高度为2米，设筒车上的某个盛水筒W 到水面的距离为d (单位：米)（在水面下d 则为负数）.若以盛水筒w 刚浮出水面时开始计算时间，则d 与时间t (单位：分钟）之间的关系为d =A sin （t ωϕ+）+K ，0,0,22A ππωϕ⎛⎫>>-<< ⎪⎝⎭（1）求A ,,ωϕ,K 的值，并求盛水筒W 出水后至少经过多少时间就可到达最高点？ （2）某时刻t 0（单位：分钟）时，盛水筒矿在过点O 的竖直直线的左侧，到水面的距离为5米，再经过6π分钟后，盛水筒W 是否在水中？参考答案1．B 【分析】由共线向量基本定理即可求解. 【详解】 解：a 与b 共线，m R ∴∃∈，使a mb =，即()11,21,2m λ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即122mm λ=+=-⎧⎨⎩，解得：52λ=-. 故选：B. 2．C 【分析】根据向量模长的计算公式代入求解即可. 【详解】3a b →→+故选：C 3．A 【分析】根据向量数量积的几何意义求解． 【详解】向量a =（1-，1）在向量b =（3，4）上投影为23153a b b ⋅-+==+，所以投影向量的模也为15．故选：A ． 4．B 【分析】由已知条件可得每个直角三角形的两条直角边的长度之差为2、斜边的长度为10，设直角三角形的较大直角边为a ，另一直角边为2a -，勾股定理求出a 即可得直角三角形三边长，求出tan θ，代入两角和的正切公式即可得解. 【详解】解：根据题意，每个直角三角形的两条直角边的长度之差为2、斜边的长度为10， 故设直角三角形较大直角边为a ，则另一直角边为2a -， 所以()222100a a +-=，解方程得：8a =， ∴4sin 5θ=，3cos 5θ=，则4tan 3θ=，∴πtan 11tan 41tan 7θθθ-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭． 故选：B. 【点睛】本题考查知识的迁移应用，解题的关键在于根据题意，发现每个直角三角形的两条直角边的长度之差为2、斜边的长度为10，进而列式计算，考查运算求解能力，是中档题. 5．B 【分析】根据三角函数的定义求得cos ,sin αα，再由二倍角公式求得sin 2,cos 2αα，然后由同角关系得tan 2α后判断各选项． 【详解】由三角函数的定义，可知cos αsin α=则22cos 22cos 13αα=-=-，sin 2α、tan 2α均有两解故选：B. 6．A 【分析】 由正弦定理计算． 【详解】由sin sin a bA B=得sin 2sin 60sin sin 45a B b A ︒===︒ 故选：A ． 7．A由tan A +tan B =A tan B ，推导出C ＝60°，由sin cos B B =推导出A ＝60°或90°，从而得到△ABC 的形状． 【详解】∵tan A +tan B A tan B ，即tan A +tan B =1﹣tan A tan B ），∴1tanA tanBtanAtanB+=-tan （A +B ）=A 与B 都为三角形的内角，∴A +B ＝120°，即C ＝60°，∵sin cos B B =，∴sin2B =∴2B ＝60°或120°，则A =90°或60°. 由题意知90A ≠︒ ∴△ABC 等边三角形． 故选A ． 【点睛】本题考查三角形形状的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意两角和与差的正切函数及二倍角正弦公式的合理运用． 8．D 【分析】利用中线所在向量结合向量加减法，不难把AF 转化为AB AC 和，得解． 【详解】 解：∵()12AF AB AE =+ 111222AB AD =+⨯ ()111242AB AB AC =+⨯+ 5188AB AC =+， 故选D ． 【点睛】本题考查用基底表示向量，考查平面向量线性运算，属于基础题.【分析】求出11sin 6π⎛⎫-⎪⎝⎭的值，进而利用二倍角的正弦求值判断A ；利用两角和的余弦求值判断B ；利用二倍角的余弦求值判断C ；利用两角和的正切求值判断D. 【详解】111sin sin 2sin 6662ππππ⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.对于A ，12sin15sin 752sin15cos15sin 302︒︒=︒︒=︒=； 对于B ，()cos18cos42sin18sin 42cos 1842︒︒-︒︒=︒+︒ 1cos 602=︒=；对于C ，22cos 151cos30︒-=︒=对于D ，因为22tan 22.5tan 4511tan 22.5︒︒==-︒，可得2tan 22.511tan 22.52︒=-︒. ∴与11sin 6π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值相等的是ABD.故选：ABD. 10．AC 【分析】先将原式整理，得到()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，进而可得最大值，判定A 正确；得出最小正周期，判定B 错；根据函数奇偶性，判定C 正确；根据函数图象平移原则，判定D 错. 【详解】()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，因为x ∈R ，所以4x R π+∈，因此[]sin 1,14x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，则()max f x A 正确；最小正周期为2T π=，故B 错；42f x x x ππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以4f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数，即C 正确；将()y f x =图象上所有点向左平移2π个单位，得到sin cos cos sin 22y x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 错误. 故选：AC.本题主要考查求三角函数的最值，最小正周期，判定三角函数的奇偶性，求平移后的解析式，属于常考题型. 11．ACD 【分析】对于A ，由正弦定理得a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C ，故该选项正确； 对于B ，由题得A ＝B 或2A +2B ＝π，即得a ＝b 或a 2+b 2＝c 2，故该选项错误；对于C ，在ABC 中，由正弦定理可得A ＞B 是sin A ＞sin B 的充要条件，故该选项正确； 对于D ，由正弦定理可得右边＝2sin 2sin 2sin sin R B R CR B C+=+＝左边，故该选项正确.【详解】对于A ，由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===，可得a ：b ：c ＝2R sin A ：2R sin B ：2R sin C ＝sin A ：sin B ：sin C ，故该选项正确；对于B ，由sin2A ＝sin2B ，可得A ＝B 或2A +2B ＝π，即A ＝B 或A +B ＝2π，∴a ＝b 或a 2+b 2＝c 2，故该选项错误；对于C ，在ABC 中，由正弦定理可得sin A ＞sin B ⇔a ＞b ⇔A ＞B ，因此A ＞B 是sin A ＞sin B 的充要条件，故该选项正确； 对于D ，由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===，可得右边＝2sin 2sin 2sin sin sin sin b c R B R CR B C B C++==++＝左边，故该选项正确.故选：ACD. 【点睛】本题主要考查正弦定理及其变形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 12．ACD 【分析】判断命题真假；将前面条件进行化简，去判断点M 的位置（D 中若能判断M 位置也是一定得出面积比值）. 【详解】A 中：1122AM AB AC =+,111111222222AM AB AC AM AB AC AM ⇒=+⇒-=-即： BM MC =,则点M 是边BC 的中点B. 2AM AB AC =-,AM AB AB AC BM CB ⇒-=-∴=则点M 在边CB 的延长线上，所以B 错误.C.设BC 中点D,则AM BM CM =--,2AM BM CM MB MC MD =--=+=，由重心性质可知C 成立.D ．AM xAB yAC =+且12x y +=222,221AM xAB yAC x y ⇒=++=设2AD AM =所以22,221AD xAB yAC x y =++=，可知,,B C D 三点共线，所以MBC △的面积是ABC 面积的12 故选择ACD 【点睛】通过向量加减运算，进行化简去判断点M 的位置，难度较大. 13．OQ 【分析】利用向量的加减法化简即可. 【详解】OP NQ MN MP OP PM MN NQ OQ ++-=+++=．故答案为：OQ14．1【分析】先由()1,2a =，()2,3b =，计算xa yb +的坐标，再由()3,4xa yb +=，计算x,y ，即得解【详解】由于()1,2a =，()2,3b =，故xa yb +(2,23)(3,4)x y x y =++=故231,2234x y x y x y +=⎧∴=-=⎨+=⎩则1x y +=故答案为：1【点睛】本题考查了向量线性运算的坐标表示，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题.15【分析】由已知利用三角形面积公式求解即可得答案.【详解】2,3,120AB AC A ==∠=，11sin 23sin12022ABC S AB AC A ︒∆∴=⋅⋅⋅=⨯⨯⨯=【点睛】本题主要考查了三角形面积公式的应用，属于基础题.16．12【分析】根据题意得tanαβ==. 【详解】解：由题意可得：AB BC =tan αβ=== 所以()1tan 2a β-==． 故答案为：12【点睛】本题考查三角恒等变换，关注“五育并举”中的美育，考查运算求解能力与对新信息的解读能力，解题的关键在于根据题意得AB BC =. 17．（1）4（2）19【分析】（1）由题意，先求(4,0)a b -=，再求模长；（2）根据向量垂直，推出数量积为零，求解参数.【详解】解：（1）因为()4,0a b -=，所以||4a b -=；（2）因为1(3)221a b ⋅=⋅-+⋅=，所以22()(3)(13)32380ka b a a ka k a b b k +⋅-=+-⋅-=-=，解得19k =．【点睛】本题考查（1）向量模长的求法；（2）垂直关系的向量表示；本题考查转化与化归思想，属于基础题. 18．（1）60︒；（2）54a c =⎧⎨=⎩或45a c =⎧⎨=⎩. 【分析】（1）利用已知条件，结合三角形的面积，通过余弦定理，转化求解B 的大小即可. （2）利用余弦定理结合9a c ，求解即可.【详解】解：（1）由)222S a c b =+-，得：1csin 2ccos 2a B a B =，化简得sin B B ，∴tan B ，又0B π<<，∴60B =︒.（2）由（1）及余弦定理得：22212cos60a c ac =+-︒，∴2221a c ac +-=，与9a c 联立：22219a c ac a c ⎧+-=⎨+=⎩， 解之得：54a c =⎧⎨=⎩或45a c =⎧⎨=⎩. 【点睛】本题考查正余弦定理的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力. 19．(1)12b =;(2)1，3πθ=. 【分析】(1) 根据()()34a b a b +⋅-=，得到2234a b -=，再将1a =代入求解.(2)利用求向量模的公式2222||44||+=+⋅+a b a a b b 求解2a b +;利用向量的夹角公式()22θ⋅+=+a a b cos a a b ，求θ的值.【详解】 (1)∵1a =，且()()34a b a b +⋅-=， ∴2234a b -=，则231||4b -=， ∴12b =; (2)222112||44||144144a b a a b b ⎛⎫+=+⋅+=+⨯-+⨯= ⎪⎝⎭， ∴21a b +=;∴()2112221411122a a b a a b cos a a b θ⎛⎫+⨯- ⎪⋅++⋅⎝⎭====⨯+， ∵0≤θ≤π，∴3πθ=.【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积综合运算及其应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20．（1）π，()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）[]1,2-. 【分析】（1）利用三角恒等变换中的两角差正余弦公式、倍角公式，将()f x 化成2sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，再利用周期公式和整体代入，分别求得最小正周期及单调增区间；（2）利用平移变换和伸缩变换求得()2sin 6g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再利用整体思想求得函数的值域. 【详解】（1） ()11sin 222sin 2sin 222f x x x x x x =-+， ()sin 2f x x x =2sin 23x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 所以函数()f x 的最小正周期为π，当222,232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈,得函数()f x 的单调递增区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦； （2）将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位后所得图象的解析式为2sin 22sin 21623y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦, 所以()12sin 22sin 266g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 50,666x x ππππ≤≤∴-≤-≤, 所以当66x ππ-=-时，()min 2sin 16g x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,当62x ππ-=时，()max 2sin 22g x π==.所以()y g x =的值域为[]1,2-.【点睛】本题考查两角差正、余弦公式、倍角公式、平移变换和伸缩变换、三角函数的值域，考查函数与方程思想、转化与化归思想的运用，考查运算求解能力，利用整体思想求函数的值域和单调区间的过程是不一样，要注意区别.21．（1；（2【分析】（1）设2AD k =，3AB k =，由余弦定理求出AD ，AB ，再由正弦定理能求出sin ABD ∠； （2）由AB BC ⊥可得cos sin DBC ABD ∠=∠，由此可得sin DBC ∠，再利用正弦定理能求出CD ． 【详解】解：（1）因为:2:3AD BD =，所以可设2AD k =，3AB k =，0k >．又BD =π3DAB ∠=，所以由余弦定理，得()()222π32232cos3k k k k =+-⨯⨯，解得1k =, 所以2AD =，3AB =，2sin sin AD DAB ABD BD∠∠===． （2）因为AB BC ⊥，所以cos sin DBC ABD ∠=∠，所以sin DBC ∠= 因为sin sin BD CD BCD DBC=∠∠，所以CD == 22．（1）4,2A K ==，2ω=，6πϕ=-，盛水筒W 出水后经过3π分钟后可达到最高点；（2）再经过6π分钟后，盛水筒W 不在水中.【分析】（1）根据d 的最大之和最小值求出4,2A K ==，结合周期和特殊值求解,ωϕ，根据函数解析式求解到达最高点所需时间；（2）根据已知求出03sin 264t π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，0cos 26t π⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 【详解】（1）d 与时间t (单位：分钟）之间的关系为d =A sin （t ωϕ+）+K ，0,0,22A ππωϕ⎛⎫>>-<< ⎪⎝⎭ d 的最大值为6，最小值-2，所以4,2A K ==，每π分钟转1圈，所以周期2,2T ππωω===，所以()4sin 22d t ϕ=++， 由题0t =时，0d =，即104sin 2,sin 2ϕϕ=+=-，,226πππϕϕ-<<=-， 令64sin 22,sin 21,663t t t πππ⎛⎫⎛⎫=-+-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以盛水筒W 出水后经过3π分钟后可达到最高点；（2）由题00354sin 22,sin 2664t t ππ⎛⎫⎛⎫=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0cos 26t π⎛⎫-= ⎪⎝⎭0031sin 2sin 2666342t t ππππ⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=++=⨯+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以再经过6π分钟后，3742082d -=⨯+=>，盛水筒W 不在水中.。

2020-2021佛山市高一数学上期末一模试卷(含答案)一、选择题1．已知2log e =a ，ln 2b =，121log 3c=，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>2．设4log 3a =，8log 6b =，0.12c =，则（ ） A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >>3．在实数的原有运算法则中，补充定义新运算“⊕”如下：当a b ≥时，a b a ⊕=；当a b <时，2a b b ⊕=，已知函数()()()[]()1222,2f x x x x x =⊕-⊕∈-，则满足()()13f m f m +≤的实数的取值范围是（ ）A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．21,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦4．德国数学家狄利克在1837年时提出：“如果对于x 的每一个值，y 总有一个完全确定的值与之对应，则y 是x 的函数，”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值，有一个确定的y 和它对应就行了，不管这个对应的法则是公式、图象，表格述是其它形式已知函数f （x ）由右表给出，则1102f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．35．若函数*12*log (1),()3,x x x N f x x N⎧+∈⎪=⎨⎪∉⎩，则((0))f f =( ) A ．0B ．-1C ．13D ．16．对于函数()f x ，在使()f x m ≤恒成立的式子中，常数m 的最小值称为函数()f x 的“上界值”，则函数33()33x x f x -=+的“上界值”为（ ）A ．2B ．－2C ．1D ．－17．下列函数中，值域是()0,+∞的是（ ） A ．2y x = B ．211y x =+ C ．2x y =-D ．()lg 1(0)y x x =+>8．将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，min t 后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线nt y ae =，假设过5min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过min m 甲桶中的水只有4a升，则m 的值为（ ） A ．10B ．9C ．8D ．59．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(),0-∞上单调递增。

2020-2021佛山市高一数学上期中模拟试卷及答案一、选择题1．设常数a ∈R ，集合A={x|（x ﹣1）（x ﹣a ）≥0}，B={x|x≥a ﹣1}，若A ∪B=R ，则a 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，2）B ．（﹣∞，2]C ．（2，+∞）D ．[2，+∞）2．设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B =( ) A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,5 3．f (x)＝－x 2＋4x ＋a ，x∈[0,1]，若f (x)有最小值－2，则f (x)的最大值( ) A ．－1 B ．0C ．1D ．24．函数()log a x x f x x=（01a <<）的图象大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是（ ）A ．(0,1)B ．1(0,)3C ．11[,)73D ．1[,1)76．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+.若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=L （ ）A ．50-B ．0C ．2D ．507．若函数()(1)(0xxf x k a a a -=-->且1a ≠）在R 上既是奇函数,又是减函数,则()log ()a g x x k =+的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．8．如图，U 为全集，M 、P 、S 是U 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A ．()M P S ⋂⋂B ．()M P S ⋂⋃C ．()()U M P S ⋂⋂ðD ．()()U M P S ⋂⋃ð9．已知函数21(1)()2(1)a x x f x xx x x ⎧++>⎪=⎨⎪-+≤⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是 A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[]1,1-D ．(]1,1-10．定义在R 上的奇函数()f x 满足()1(2)f x f x +=-，且在()0,1上()3x f x =，则()3log 54f =（ ）A ．32B ．23-C ．23D ．32-11．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,∞+单调递减，则（ ）A ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．23332122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭12．函数2xy x =⋅的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．函数()22()log 23f x x x =+-的单调递减区间是______． 14．如果关于x 的方程x 2+（m -1）x -m =0有两个大于12的正根，则实数m 的取值范围为____________.15．已知集合{}{}1,1,2,4,1,0,2,A B =-=-则A B =I __________． 16．函数的定义域为___．17．定义在[3,3]-上的奇函数()f x ，已知当[0,3]x ∈时，()34()x xf x a a R =+⋅∈，则()f x 在[3,0]-上的解析式为______．18．函数()()log 2a f x ax =-在[]0,1上是x 的减函数，则实数a 的取值范围是______． 19．有15人进家电超市，其中有9人买了电视，有7人买了电脑，两种均买了的有3人，则这两种都没买的有 人.20．某班有36名同学参加数学、物理、化学竞赛小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有__________人．三、解答题21．已知函数()f x 对任意的实数m ,n 都有()()()1f m n f m f n +=+-,且当0x >时,有()1f x >.(1)求()0f ;(2)求证:()f x 在R 上为增函数;(3)若()12f =,且关于x 的不等式()()223f ax f x x -+-<对任意的[)1,x ∈+∞恒成立,求实数a 的取值范围.22．已知函数()()()sin 0,0,f x A x A ωϕωϕπ=+>><，在同一周期内，当12x π=时，()f x 取得最大值4：当712x π=时，()f x 取得最小值4-. （1）求函数()f x 的解析式； （2）若,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()()21h x f x t =+-有两个零点，求实数t 的取值范围. 23．设函数()()()22log 4log 2f x x x =⋅的定义域为1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（1）若2log t x =，求t 的取值范围；（2）求()y f x =的最大值与最小值，并求出最值时对应的x 的值． 24．设全集U=R ，集合A={x|1≤x ＜4}，B={x|2a≤x ＜3-a}．（1）若a=-2，求B∩A ，B∩(∁U A)；（2）若A∪B=A ，求实数a 的取值范围． 25．近年来,“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便,某共享单车公司“Mobike”计划在甲、乙两座城市共投资120万元,根据行业规定,每个城市至少要投资40万元,由前期市场调研可知:甲城市收益P 与投入a (单位:万元)满足6P =,乙城市收益Q 与投入b (单位:万元)满足124Q b =+,设甲城市的投入为x (单位:万元),两个城市的总收益为()f x (单位:万元).(1)当甲城市投资50万元时,求此时公司总收益;(2)试问如何安排甲、乙两个城市的投资,才能使总收益最大?26．设集合2{|40,}A x x x x R =+=∈，22{|2(1)10,}B x x a x a x R =+++-=∈. (1)若A B B ⋃=，求实数a 的值; (2)若A B B =I ，求实数a 的范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 试题分析：当时，，此时成立，当时，，当时，，即，当时，，当时，恒成立，所以a 的取值范围为，故选B.考点：集合的关系2．C解析：C 【解析】∵ 集合{}124A ，，=，{}2|40B x x x m =-+=，{}1A B ⋂= ∴1x =是方程240x x m -+=的解，即140m -+= ∴3m =∴{}{}{}22|40|43013B x x x m x x x =-+==-+==，，故选C3．C解析：C 【解析】因为对称轴2[0,1]x =∉，所以min max ()(0)2()(1)31f x f a f x f a ===-∴==+= 选C.4．C解析：C 【解析】 【分析】确定函数是奇函数，图象关于原点对称，x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，即可得出结论． 【详解】由题意，f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B 、D ； x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，排除A ． 故选C ． 【点睛】本题考查函数的图象，考查函数的奇偶性、单调性，正确分析函数的性质是关键．5．C解析：C【解析】 【分析】要使函数()f x 在(,)-∞+∞上为减函数，则要求①当1x <，()(31)4f x a x a =-+在区间(,1)-∞为减函数，②当1x ≥时，()log a f x x =在区间[1,)+∞为减函数，③当1x =时，(31)14log 1a a a -⨯+≥，综上①②③解方程即可.【详解】令()(31)4g x a x =-+，()log a h x x =.要使函数()f x 在(,)-∞+∞上为减函数，则有()(31)4g x a x =-+在区间(,1)-∞上为减函数，()log a h x x =在区间[1,)+∞上为减函数且(1)(1)g h ≥,∴31001(1)(31)14log 1(1)a a a g a a h -<⎧⎪<<⎨⎪=-⨯+≥=⎩,解得1173a ≤<. 故选：C. 【点睛】考查分段函数求参数的问题.其中一次函数y ax b =+，当0a <时，函数y ax b =+在R 上为减函数，对数函数log ,(0)a y x x =>，当01a <<时，对数函数log ay x =在区间(0,)+∞上为减函数.6．C解析：C 【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果. 详解：因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，且(1)(1)f x f x -=+， 所以(1)(1)(3)(1)(1)4f x f x f x f x f x T +=--∴+=-+=-∴=,因此(1)(2)(3)(50)12[(1)(2)(3)(4)](1)(2)f f f f f f f f f f ++++=+++++L ， 因为(3)(1)(4)(2)f f f f =-=-，，所以(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，(2)(2)(2)(2)0f f f f =-=-∴=Q ，从而(1)(2)(3)(50)(1)2f f f f f ++++==L ，选C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．7．A解析：A 【解析】 【分析】由题意首先确定函数g (x )的解析式，然后结合函数的解析式即可确定函数的图像. 【详解】∵函数()(1)xxf x k a a-=--(a >0,a ≠1)在R 上是奇函数，∴f (0)=0，∴k =2， 经检验k =2满足题意， 又函数为减函数， 所以01a <<， 所以g (x )=log a (x +2)定义域为x >−2，且单调递减， 故选A . 【点睛】本题主要考查对数函数的图像，指数函数的性质，函数的单调性和奇偶性的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．C解析：C 【解析】 【分析】先根据图中的阴影部分是M∩P 的子集，但不属于集合S ，属于集合S 的补集，然后用关系式表示出来即可． 【详解】图中的阴影部分是： M∩P 的子集，不属于集合S ，属于集合S 的补集,即是C U S 的子集则阴影部分所表示的集合是（M∩P ）∩(∁U S). 故选C ． 【点睛】本题主要考查了Venn 图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力，属于基础题．9．C解析：C 【解析】x ⩽1时,f (x )=−(x −1)2+1⩽1，x >1时,()()21,10a a f x x f x x x=++'=-…在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽x 2在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽1，而1+a +1⩾1，即a ⩾−1， 综上,a ∈[−1,1]， 本题选择C 选项.点睛：利用单调性求参数的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调性的定义：作差、变形，由f (x 1)－f (x 2)的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题．10．D解析：D【分析】由题意结合函数的性质整理计算即可求得最终结果. 【详解】由题意可得：()354f log =()3log 23f +， 则()354f log =()31log 21f -+，且()()331log 21log 21f f +=--， 由于()3log 211,0-∈-，故()()31log 2333log 211log 232f f --=--=-=-，据此可得：()()3312log 21log 213f f +=-=-，()354f log =32-.本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数的周期性及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．C解析：C 【解析】 【分析】由已知函数为偶函数，把233231log ,2,24f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，转化为同一个单调区间上，再比较大小． 【详解】()f x Q 是R 的偶函数，()331log log 44f f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭．223303322333log 4log 31,1222,log 422---->==>>∴>>Q ，又()f x 在(0，+∞)单调递减，∴()23323log 422f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选C ．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值．12．A解析：A【分析】先根据奇偶性舍去C,D,再根据函数值确定选A. 【详解】因为2xy x =⋅为奇函数，所以舍去C,D; 因为0x >时0y >,所以舍去B ，选A. 【点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．二、填空题13．【解析】设（）因为是增函数要求原函数的递减区间只需求（）的递减区间由二次函数知故填解析：()-3∞-，【解析】设2log y t =，223t x x =+-，（0t >）因为2log y t =是增函数，要求原函数的递减区间，只需求223t x x =+-（0t >）的递减区间，由二次函数知(,3)x ∈-∞-，故填(,3)x ∈-∞-．14．（-∞-）【解析】【分析】方程有两个大于的根据此可以列出不等式组求得m 的取值范围即可【详解】解：根据题意m 应当满足条件即：解得：实数m 的取值范围：（-∞-）故答案为：（-∞-）【点睛】本题考查根的判解析：（-∞，-12） 【解析】 【分析】 方程有两个大于12的根，据此可以列出不等式组求得m 的取值范围即可. 【详解】解：根据题意，m 应当满足条件2(1)40112211(1)042m m m m m ⎧⎪∆=-+>⎪-⎪->⎨⎪⎪+-->⎪⎩即：2210012m m m m ⎧⎪++>⎪<⎨⎪⎪<-⎩，解得：12m <-， 实数m 的取值范围：（-∞，-12）. 故答案为：（-∞，-12）. 【点睛】本题考查根的判别式及根与系数的关系，解题的关键是正确的运用判别式及韦达定理，是中档题.15．【解析】【分析】直接利用集合交集的定义求解即可【详解】因为集合两个集合的公共元素为所以故答案为【点睛】研究集合问题一定要抓住元素看元素应满足的属性研究两集合的关系时关键是将两集合的关系转化为元素间的解析：{}12－，【解析】 【分析】直接利用集合交集的定义求解即可. 【详解】因为集合{}{}1,1,2,4,1,0,2,A B =-=- 两个集合的公共元素为1,2-所以{}1,2A B =-I ．故答案为{}1,2-. 【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 且属于集合B 的元素的集合.16．(-12)∪(2+∞)【解析】【分析】根据式子成立的条件对数式要求真数大于零分式要求分母不等于零即可求得函数的定义域【详解】要使函数有意义则x+1>012-x≠0解得x>-1且x≠2所以函数的定义域 解析：【解析】 【分析】根据式子成立的条件，对数式要求真数大于零，分式要求分母不等于零，即可求得函数的定义域. 【详解】要使函数有意义，则，解得且，所以函数的定义域为：，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关函数的定义域的求解问题，在求解的过程中，注意对数式和分式成立的条件即可，属于简单题目.17．f （x ）＝4﹣x ﹣3﹣x 【解析】【分析】先根据计算再设代入函数利用函数的奇偶性得到答案【详解】定义在﹣33上的奇函数f （x ）已知当x ∈03时f （x ）＝3x+a4x （a ∈R ）当x ＝0时f （0）＝0解得解析：f （x ）＝4﹣x ﹣3﹣x【解析】 【分析】先根据()00f =计算1a =-，再设30x ≤≤﹣ ，代入函数利用函数的奇偶性得到答案. 【详解】定义在[﹣3，3]上的奇函数f （x ），已知当x ∈[0，3]时，f （x ）＝3x +a 4x （a ∈R ）， 当x ＝0时，f （0）＝0，解得1+a ＝0，所以a ＝﹣1． 故当x ∈[0，3]时，f （x ）＝3x ﹣4x ．当﹣3≤x ≤0时，0≤﹣x ≤3，所以f （﹣x ）＝3﹣x ﹣4﹣x ，由于函数为奇函数，故f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以f （x ）＝4﹣x ﹣3﹣x . 故答案为：f （x ）＝4﹣x ﹣3﹣x 【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求函数解析式，属于常考题型.18．【解析】【分析】首先保证真数位置在上恒成立得到的范围要求再分和进行讨论由复合函数的单调性得到关于的不等式得到答案【详解】函数所以真数位置上的在上恒成立由一次函数保号性可知当时外层函数为减函数要使为减 解析：()1,2【解析】 【分析】首先保证真数位置20ax ->在[]0,1x ∈上恒成立，得到a 的范围要求，再分01a <<和1a >进行讨论，由复合函数的单调性，得到关于a 的不等式，得到答案.【详解】函数()()log 2a f x ax =-，所以真数位置上的20ax ->在[]0,1x ∈上恒成立， 由一次函数保号性可知，2a <，当01a <<时，外层函数log a y t =为减函数，要使()()log 2a f x ax =-为减函数，则2t ax =-为增函数， 所以0a ->，即0a <，所以a ∈∅， 当1a >时，外层函数log a y t =为增函数，要使()()log 2a f x ax =-为减函数，则2t ax =-为减函数， 所以0a -<，即0a >，所以1a >， 综上可得a 的范围为()1,2. 故答案为()1,2. 【点睛】本题考查由复合函数的单调性，求参数的范围，属于中档题.19．【解析】【分析】【详解】试题分析：两种都买的有人所以两种家电至少买一种有人所以两种都没买的有人或根据条件画出韦恩图：(人)考点：元素与集合的关系 解析：【解析】 【分析】 【详解】试题分析：两种都买的有人，所以两种家电至少买一种有人.所以两种都没买的有人.或根据条件画出韦恩图：(人).考点：元素与集合的关系.20．8【解析】【分析】画出表示参加数学物理化学竞赛小组集合的图结合图形进行分析求解即可【详解】由条件知每名同学至多参加两个小组故不可能出现一名同学同时参加数学物理化学竞赛小组设参加数学物理化学竞赛小组的解析：8 【解析】 【分析】画出表示参加数学、物理、化学竞赛小组集合的Venn 图，结合图形进行分析求解即可． 【详解】由条件知，每名同学至多参加两个小组，故不可能出现一名同学同时参加数学、物理、化学竞赛小组，设参加数学、物理、化学竞赛小组的人数构成的集合分别为A ，B ，C ， 则()0card A B C ⋂⋂=，()6card A B ⋂=，()4card B C ⋂=， 由公式()card A B C ⋃⋃()()()()()()card A card B card C card A B card A C card B C =++-⋂-⋂-⋂知()3626151364card A C =++---⋂，故()8card A C ⋂=即同时参加数学和化学小组的有8人， 故答案为8．【点睛】本小题主要考查Venn 图表达集合的关系及运算、Venn 图的应用、集合中元素的个数等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于基础题．三、解答题21．(1)1 (2)见解析(3)(),231-∞ 【解析】 【分析】(1) 令0m n ==，代入计算得到答案.(2) 任取1x ，2x ∈R ，且12x x <，计算得到()()()()221111f x f x x f x f x =-+->得到证明.(3)化简得到()()221f ax x xf -+-<，根据函数的单调性得到()2130x a x -++>对任意的[]1,x ∈+∞恒成立，讨论112a +≤和112a +>两种情况计算得到答案. 【详解】(1)令0m n ==，则()()0201f f =-()01f ∴=.(2)任取1x ，2x ∈R ，且12x x <，则210x x ->，()211f x x ->.()()()1f m n f m f n +=+-Q ，()()()()()()221121111111f x f x x x f x x f x f x f x ∴=-+=-+->+-=⎡⎤⎣⎦，()()21f x f x ∴>()f x ∴在R 上为增函数.(3)()()223f ax f x x-+-<Q ，即()()2212f ax f x x -+--<，()222f ax x x ∴-+-<()12f =Q ()()221f ax x x f ∴-+-<.又()f x Q 在R 上为增函数221ax x x ∴-+-<，()2130x a x ∴-++>对任意的[]1,x ∈+∞恒成立.令()()()2131g x x a x x =-++≥，只需满足()min 0g x >即可当112a +≤，即1a ≤时，()g x 在[)1,+∞上递增，因此()()min 1g x g =， 由()10g >得3a <，此时1a ≤； 当112a +>，即1a >时，()min 12a g x g +⎛⎫= ⎪⎝⎭，由102a g +⎛⎫> ⎪⎝⎭得11a -<<，此时11a <<.综上，实数a 的取值范围为(),1-∞. 【点睛】本题考查了抽象函数的函数值，单调性，不等式恒成立问题，意在考查学生的综合应用能力.22．（1）()4sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）19t +< 【解析】 【分析】（1）根据三角函数性质确定振幅、周期以及初相，即得解析式； （2）先确定23x π+范围，再结合正弦函数图象确定实数t 满足的条件，解得结果.【详解】（1）解：由题意知74,212122T A πππ==-=，得周期T π= 即2ππω=得，则2ω=，则()()4sin 2f x x ϕ=+当12x π=时，()f x 取得最大值4，即4sin 2412πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，得πsin φ16骣琪+=琪桫得2()62k k Z ππϕπ+=+∈，，得23()k k Z πϕπ=+∈，,ϕπ<∴Q 当0k =时，=3πϕ，因此()4sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭（2）()()210h x f x t =+-=，即()12t f x -=当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，则220,33x ππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦当232x ππ+=时，4sin42π=要使()12t f x -=有两个根，则12342t -≤<，得1439t +≤< 即实数t 的取值范围是1439t +≤< 【点睛】本题考查三角函数解析式以及利用正弦函数图象研究函数零点，考查综合分析求解能力，属中档题.23．（1）[]22-,；（2）24x =，最小值14-，4x =，最大值12 .【解析】试题分析：（1）根据定义域为1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，利用对数函数的单调性确定函数2log t x =的取值范围；（2）根据对数的运算法则化简函数()()()()()2222log 4log 221f x x x log x log x =⋅=++利用换元法将函数()y f x =转化为关于t 的一元二次函数，利用二次函数的性质求函数的最值. 试题解析：（1）的取值范围为区间][221log ,log 42,24⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦（2）记()()()()()()()22log 2log 12122y f x x x t t g t t ==++=++=-≤≤．∵()23124y g t t ⎛⎫==+- ⎪⎝⎭在区间32,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦是减函数，在区间3,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是增函数 ∴当23log 2t x ==-即3222x -==时，()y f x =有最小值231424f g ⎛⎛⎫=-=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭； 当2log 2t x ==即224x ==时，()y f x =有最大值()()4212f g ==． 24．（1）B ∩A =[1，4），B ∩(∁U A )= [-4,1)∪[4,5)；（2）1[,)2+∞ . 【解析】 【分析】(1)利用补集的定义求出A 的补集,然后根据交集的定义求解即可直接求解即可；(2 )分类讨论B 是否是空集，列出不等式组求解即可. 【详解】（1）∵A ={x |1≤x ＜4}，∴∁U A ={x |x ＜1或x ≥4}，∵B ={x |2a ≤x ＜3-a }，∴a =-2时，B ={-4≤x ＜5}，所以B ∩A =[1，4）， B ∩(∁U A )={x |-4≤x ＜1或4≤x ＜5}=[-4,1)∪[4,5). （2）A ∪B =A ⇔B ⊆A ， ①B =∅时，则有2a ≥3-a ，∴a ≥1, ②B ≠∅时，则有，∴, 综上所述，所求a 的取值范围为.【点睛】本题主要考查集合的交集、集合的补集以及空集的应用，属于简答题.要解答本题，首先必须熟练应用数学的转化与划归思想及分类讨论思想，将并集问题转化为子集问题，其次分类讨论进行解答，解答集合子集过程中，一定要注意空集的讨论，这是同学们在解题过程中容易疏忽的地方，一定不等掉以轻心.25．（1）43.5（2）当甲城市投资72万元,乙城市投资48万元时,总收益最大,且最大收益为44万元. 【解析】(1)当50x =时,此时甲城市投资50万元,乙城市投资70万元, 所以总收益()50f =1325067024⨯+⨯+=43.5(万元). (2)由题知,甲城市投资x 万元,乙城市投资()120x -万元, 所以()f x =()132612024x x +-+=13226,4x x -+ 依题意得4012040x x ≥⎧⎨-≥⎩,解得4080x ≤≤,故()f x =()1322640804x x x -+≤≤, 令t x =,则210,45t ⎡∈⎣,所以y =2132264t t -++=21(62)444t --+. 当62t =,即72x =万元时,y 的最大值为44万元,所以当甲城市投资72万元,乙城市投资48万元时,总收益最大,且最大收益为44万元. 26．（1）1a =；(2)1a ≤-或1a = 【解析】 【分析】（1）∵A B B ⋃=，∴A ⊆B ，又B 中最多有两个元素，∴A=B ，从而得到实数a 的值；（2）求出集合A、B的元素，利用B是A的子集，即可求出实数a的范围.【详解】⋃=，∴A⊆B，又B中最多有两个元素，（1）∵A B B∴A=B，∴x=0，﹣4是方程x2+2（a+1）x+a2﹣1=0的两个根，故a=1；（2）∵A={x|x2+4x=0，x∈R}∴A={0，﹣4}，∵B={x|x2+2（a+1）x+a2﹣1=0}，且B⊆A．故①B=∅时，△=4（a+1）2﹣4（a2﹣1）＜0，即a＜﹣1，满足B⊆A；②B≠∅时，当a=﹣1，此时B={0}，满足B⊆A；当a＞﹣1时，x=0，﹣4是方程x2+2（a+1）x+a2﹣1=0的两个根，故a=1；综上所述a=1或a≤﹣1；【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．要正确判断两个集合间的关系，必须对集合的相关概念有深刻的理解，善于抓住代表元素，认清集合的特征．。

2020-2021学年广东省佛山市南海区高一(上)期中数学试卷一､单选题(共8小题).1. 如图，已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}13,5A =,，则图中阴影部分表示的集合是（ ）A. {}2,4B. {}1,3,5C. {}1,2,3,4,5D. ∅A先判断图中阴影部分表示的集合是UA ，再利用已知集合直接求解补集即可. 易见，图中阴影部分表示的集合是UA ，∵全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}13,5A =,， ∴{}2,4UA =.故选：A.2. 已知命题p ：x R ∀∈，2210x +>，则p ⌝是（ ） A. x R ∀∈，2210x +> B. x R ∃∈，2210x +> C. x R ∃∈，2210x +≤ D. x R ∃∈，2210x +<C根据全称命题的否定是特称命题，即得解. 根据全称命题的否定是特称命题，命题p ：x R ∀∈，2210x +>，的否定为：x R ∃∈，2210x +≤故选：C本题考查了全称命题的否定是特称命题，考查了学生概念理解能力，属于基础题. 3. 如图中，可作为函数y =f （x ）图象的是（ ）A. B.C.D.D根据题意,由函数的定义分析选项,综合即可得答案.根据题意，由函数的定义，直线x =a 与函数的图象最多只能有1个交点，而选项A 、B 、C 中都出现了2个交点的情况，不能作为函数的图象，只有D 符合函数的定义, 故选：D.本题考查函数的定义以及函数的图象，关键是掌握函数的定义，属于基础题 4. 设R x ∈，则“250x x -<”是“02x <<”的（ ） A .充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件B先求解不等式，再利用充分条件和必要条件的定义直接判断即可. 解：由250x x -<可得05x <<，故由“250x x -<”不能推出“02x <<”，反之，“02x <<” 能推出“250x x -<”， 故“250x x -<”是“02x <<”的必要而不充分条件，故选：B. 5. 下列函数中是偶函数，且在()0,∞+上单调递增的是（ ）A. ()4f x x =B. ()5f x x =C. ()1f x x x=+D. ()21f x x =A根据常见函数的奇偶性和单调性，逐一判断是否符合题意即可.解：对于A ，()4f x x =为偶函数，由幂函数的性质可知()4f x x =在()0,∞+上单调递增，符合题意；对于B ，()5f x x =为奇函数，不符合题意；对于C ，()1f x x x =+中，()()11f x x x f x x x ⎛⎫-=--=-+=- ⎪⎝⎭，即()f x 为奇函数，不符合题意；对于D ，()221f x x x-==为偶函数，由幂函数的性质可知()2f x x -=在()0,∞+上单调递减，不符合题意.故选：A.6. 函数2x y -=和2x y =的图象关于（ ） A .x 轴对称 B. y 轴对称 C. 原点对称 D. 直线y x =对称B设()2x y f x ==，则()2xf x --=，根据()f x 与()f x -的图象的对称性进行判断即可. 设()2x y f x ==，则()2xf x --=，而()y f x =的图象与()y f x =-的图象关于y 轴对称，故函数2x y -=和2x y =的图象关于y 轴对称.故选：B.7. 定义在R 上的奇函数()f x 满足()10f =且对任意的正数a ､b (ab )，有()()0f a f b a b-<-，则不等式()0f x x<的解集是（ ） A. ()()1,01,-⋃+∞ B. ()()1,00,1-C. ()(),11,-∞-+∞D. ()(),10,1-∞-⋃C易知函数()f x 在()0,∞+上单调递减，不等式()0f x x <等价为()00x f x >⎧⎨<⎩或()00x f x >⎧⎨>⎩，进一步求出答案.解：∵对任意的正数a ､b ()a b ≠，有()()0f a f b a b-<-，∴函数()f x 在()0,∞+上单调递减， ∵定义在R 上的奇函数()f x ，且()10f =，∴()f x 在(),0-∞上单调递减，()()110f f -=-=，∴不等式()0f x x <等价为()00x f x >⎧⎨<⎩或()00x f x >⎧⎨>⎩，解得1x >或1x <-，∴不等式的解集为()(),11,-∞-+∞.故选：C.8. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用他的名字命名了“高斯函数”.设R x ∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数.例如：[]3.54-=-，[]2.12=，已知函数()[]f x x x =-，则下列选项中，正确的是（ ） A. ()f x 的最大值为1，没有最小值 B. ()f x 的最小值为0，没有最大值 C. ()f x 没有最大值，没有最小值 D. ()f x 的最大值为1，最小值为0 B先进行分段化简函数，并画函数图象，再结合图象判断最值情况即可. 由高斯函数的定义可得：当01x ≤<时，[]0x =，则[]x x x -=， 当12x ≤<时，[]1x =，则[]1x x x -=-， 当23x ≤<时，[]2x =，则[]2x x x -=-， 当34x ≤<时，[]3x =，则[]3x x x -=-， 易见该函数具有周期性，绘制函数图象如图所示，观察可得函数有最小值0，没有最大值. 故选：B.二､多项选择题：本题共4小题.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.9. 已知函数()y x R αα=∈的图象过点（3，27），下列说法正确的是（ ）A. 函数y x α=的图象过原点B. 函数y x α=是奇函数C. 函数y x α=是单调减函数D. 函数y x α=的值域为RABD利用代入法，结合幂函数的性质进行判断即可.因为函数()y x R αα=∈的图象过点（3，27），所以()33273log 273f x x αα=⇒==⇒=，A ：因为(0)0f =，所以函数3y x =的图象过原点，因此本说法正确；B ：因为33()()()f x x x f x -=-=-=-，所以函数3y x =是奇函数，因此本说法正确；C ：因为3y x =是实数集上的单调递增函数，所以本说法不正确；D ：因为3y x =的值域是全体实数集，所以本说法正确.故选：ABD10. 如图，某池塘里的浮萍面积y (单位：2m )与时间t (单位：月)的关系式为t y ka =(R k ∈，且0k ≠；0a >且1a ≠).则下列说法正确的是（ ）A. 浮萍每月增加的面积都相等B. 第6个月时，浮萍的面积会超过230mC. 浮萍每月的增长率为1D. 若浮萍面积蔓延到24m ，26m ，29m 所经过的时间分别为1t ，2t ，3t ，则1322t t t += BCD先利用待定系数法求解函数解析式，再根据函数性质逐一计算，判断选项正误即可.解：由题意可知，函数过点()1,1和点()3,4，代入函数关系式：t y ka =(R k ∈，且0k ≠；0a >，且1a ≠)，得314ka ka =⎧⎨=⎩，解得122k a ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴函数关系式为11222t t y -=⨯=.由11222tt t ---=不是常数，可知浮萍每个月增加的面积不等，每月的增长率为11222t t t ---=1，故A 错误，C 正确；当6x =时，5232y ==，浮萍的面积超过了230m ，故B 正确； 令4y =得13t =；令6y =得22log 12t =；令9y =得32log 18t =， ∴1322223log 18log 1442log 122t t t +=+===，故D 正确.故选：BCD. 11. 已知0a >，0b >，1a b +=，则（ ） A. 14ab ≤B. 122a b -> C. 22log log 2a b +≥- D.1114a b +≥ ABD利用基本不等式逐一判断选项ACD 的正误，利用不等式性质，比较指数幂大小判断B 的正误即可.解：因为0a >，0b >，1a b +=，所以2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时取等号，A 正确； 由0a >，0b >，1a b +=可得10b ->，所以101b b ->>-，所以01a b >>-，所以1a b ->-，故11222a b -->=，B 正确；结合A 选项可知，22221log log log log 24a b ab +=≤=-，C 错误；11224a b a b b a a b a b a b +++=+=++≥+=，当且仅当a b b a =且1a b +=即12a b ==时取等号，故能推出1114a b +≥，D 正确.故选：ABD.12. 对任意两个实数a ，b ，定义(),min ,,a a b a b b a b≤⎧=⎨>⎩，若()22f x x =-，()22g x x =-，下列关于函数()()(){}min ,F x f x g x =的说法正确的是（ ） A. 函数()F x 是偶函数B. 方程()0F x =有两个实数根C. 函数()F x 在()2,0-上单调递增，在()0,2上单调递减 D. 函数()F x 有最大值为0，无最小值 ABD先根据题意化简函数，再分段画函数图象，结合函数图象逐一判断选项的正误即可.解：因为(),min ,,a a ba b b a b≤⎧=⎨>⎩，所以()()(){}min ,F x f x g x =,22x -≤≤时，()()f x g x ≥，()()(){}()2min 2,F x f x g x x g x ==-=； 2x <-或2x >时，()()f x g x <，()()(){}()2min ,2F x f x g x f x x ===-.故()()(){}min ,F x f x g x =的图象如图所示：由图可知，函数()F x 是偶函数，故A 正确；()0F x =3有两个实数根2x 或2x =-B 正确；函数()F x 在()2,0-上单调递减，在(2上单调递增，故C 错误；函数()F x 有最大值为0，无最小值，故D 正确.故选：ABD.三､填空题：本题共4小题.把答案填在题中的横线上. 13. 求值：124log 1616+=______.6利用对数恒等变换及分数指数幂运算得解 解：原式()12224log 44246=+=+=.故答案为：6.掌握对数恒等变换log log n ma a mb b n=是解题关键 14. 若关于x 的不等式220x ax a -+≤的解集为∅，则实数a 的取值范围是______.()0,1等价转换为()22f x x ax a =-+的图象在x 轴上方，计算∆<0，可得结果．详解】解：由题意知，()2240a a ∆=-<，解得01a <<， ∴实数a 的取值范围是()0,1. 故答案为：()0,1．15. 用二分法计算()3222f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值，参考数据如下：那么方程32220x x x +--=的一个近似根(精确到0.1)为______. 1.4先由题中参考数据可得根在区间()1.4056,1.4375内，又因为1.4375和1.4056精确到小数点后面一位都是1.4符合要求，即可得到答案.由表格可得：函数()3222f x x x x =+--的零点在()1.4056,1.4375之间又因为题中要求精确到0.1，1.4056和1.4375精确到小数点后面一位都是1.4符合要求. 故答案为：1.4.易错点睛：本题主要考查用二分法求区间根的问题，属于基础题型．在利用二分法求区间根的问题上，如果题中有根的精确度的限制，在解题时就一定要计算到满足要求才能结束． 16. log a x 中的x ，a 要分别满足0x >，0a >且1a ≠，小明同学不知道为什么，请你帮他解释为______.设log a x M =，则M a x =，由于0M a >恒成立，则0x >，根据指数函数定义，对于x y a =，则0a >且1a ≠，故对数中0a >且1a ≠ 利用指数式与对数式的互化求解. 设log a x M =，则M a x =， 因为0M a >恒成立，所以0x >，因为指数函数定义，对于x y a =，则0a >且1a ≠，故对数中0a >且1a ≠，故答案为：设log a x M =，则M a x =，由于0M a >恒成立，则0x >，根据指数函数定义，对于x y a =，则0a >且1a ≠，故对数中0a >且1a ≠.四､解答题：共6小题，解答须写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤. 17. 设函数()f x =M ，不等式2430x x -+>的解集为N . （1）求集合M ，N ； （2）求集合M N ⋂，M N ⋃；（3）写出集合(M N ⋂)与(M N ⋃)的关系.（1）32M x x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，{1N x x =<或}3x >；（2）{}3M N x x ⋂=>，{1M N x x ⋃=<或32x ⎫≥⎬⎭；（3）()()M N M N ⋂⊆⋃.（1）解不等式230x -≥与2430x x -+>即可得结果； （2）根据（1）分别求解交集与并集即可； （3）由（2）知()()M N M N ⋂⊆⋃．解：（1）{}32302M x x x x ⎧⎫=-≥=≥⎨⎬⎩⎭，{}{24301N x x x x x =-+>=<或}3x >； （2）{}3M N x x ⋂=>，{1M N x x ⋃=<或32x ⎫≥⎬⎭；（3）由（2）知()()M N M N ⋂⊆⋃． 18. 已知()f x =（1）求证：()f x 在[)0,+∞上是增函数；（2）①,R a b +∈2a b +的大小关系；②证明①的猜想的结论； ③()01x <<的最值. （1）证明见解析；（2）2a b+≥(当且仅当a b =时等号成立)；②证明见解析；③最小值12，无最大值. （1）利用单调性的定义在定义域内设12x x <，通过作差法证明()()12f x f x <即可；（2）①直接试特殊值猜想结论即可；②拆分22222224a b a b a b ++++=，利用222a b ab +≥证明即得()22222044a b a b a b ++++≥>，再开根式即得结论；③先对根式下二次函数配平方，再根据定义域利用二次函数性质得到取值情况，即得结果. 解：（1）证明：设[)12,0,x x ∈+∞，且12x x <， 则()()12f x f x -==，∵[)12,0,x x ∈+∞，且12x x <，∴120x x -<0>， 则()()120f x f x -=<，∴()()12f x f x <，则()f x 在[)0,+∞上是增函数；（2）①解：若,R a b +∈2a b+≥(当且仅当a b =时等号成立)； ②证明：∵()()22222222222222220,2,02444a b a b a b a b a b ab a b a b ab a b ab ++++++++=+-≥+≥=≥=>，∴根据函数f (x )2a b +≥=(当且仅当a b =时等号成立)；=∵01x <<，∴21111,2442x ⎛⎫⎡⎫-+∈ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭， 其中12x =时，21124x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最小值14，无最大值，12，无最大值.方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法：（1）取值：设12,x x 是该区间内的任意两个值，且12x x <；（2）作差变形：即作差，即作差12()()f x f x -，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；（3）定号：确定差12()()f x f x -的符号；（4）下结论：判断，根据定义作出结论.即取值---作差----变形----定号----下结论.19. 若函数()2f x x =-.（1）在给定的平面直角坐标系中画出函数()f x 图象；（2）写出函数()f x 的值域､单调区间；（3）在①125x +，②3x -，③2x +这三个式子中任选出一个使其等于()h x ，求不等式()()f x h x >的解集.（1）图象答案见解析；（2）值域为[)0,+∞，在(),2-∞上为减函数，在[)2,+∞上为增函数；（3）答案见解析.（1）由()2,222,2x x f x x x x -≥⎧=-=⎨-+<⎩，再作函数的图象如图所示； （2）根据函数的图象写出函数的值域和单调区间；（3）利用零点分类讨论法解不等式得解.解：（1）由()2,222,2x x f x x x x -≥⎧=-=⎨-+<⎩，图象如图所示；（2）由图象可得函数的值域为[)0,+∞，在(),2-∞上为减函数，在[)2,+∞上为增函数；（3）若选①，则1225x x ->+，即12252x x x ⎧->+⎪⎨⎪≥⎩或12252x x x ⎧-+>+⎪⎨⎪<⎩， 解得5x >或0x <，即不等式的解集为()(),05,-∞⋃+∞，若选②，则23x x ->-，即232x x x ->-⎧⎨≥⎩或232x x x -+>-⎧⎨<⎩， 解得2x ≥或2x <，即不等式的解集为R ，若选③，22x x ->+，即222x x x ->+⎧⎨≥⎩或222x x x -+>+⎧⎨<⎩， 解得2x <，即不等式的解集为(),2-∞.方法点睛：解绝对值不等式，一般利用零点分类讨论法，注意小分类求交，大综合求并. 20. 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为制定一系列政策提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：0e rt y y =，其中t 表示经过的时间，0y 表示0t =时的人口数，r 表示人口的年平均增长率. （1）根据国家统计局网站公布的数据，我国1950年末､1959年末的人口总数大约分别为5.5亿和6.7亿.根据这些数据，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在1950~1959年期间的具体人口增长模型．(精确到0.0001)（2）以（1）中的模型作预测，大约在哪一年我国人口总数达到13亿？(参考数据：ln67 4.2047=，ln55 4.0073=，ln13 2.5649=，ln6.7 1.9021=，ln5.5 1.7047=)（1）0.02195.5t y e =；（2）大约在1990年我国人口总数达到13亿.（1）由0t =时，0 5.5y =和9t =时， 6.7y =，通过计算即可得人口增长模型0.02195.5t y e =； （2）将13y =代入0.02195.5t y e =，计算整理得39.28t ≈．解：（1）由条件知，研究的是1950年开始的人口变化，即0t =时，0 5.5y =，9t =时， 6.7y =，则96.7 5.5r e =，得ln6.7ln5.59r =+，又ln6.7 1.9021=，ln5.5 1.7047=，∴9 1.9021 1.7047r =-，得0.0219r ≈，∴我国在1950~1959年期间的具体人口增长模型为0.02195.5t y e =；（2）将13y =代入0.02195.5t y e =，得0.021913 5.5t e =，∴0.0219ln13ln5.5 2.5649 1.70470.8602t =-=-=，得39.28t ≈.故以（1）中的模型作预测，大约在1990年我国人口总数达到13亿．21. 已知定义域为R 的函数21()22x x f x a =-+是奇函数. （1）求实数a 的值；（2）判断函数f （x ）的单调性，并用定义加以证明；（3）若对任意的x ∈[1,2]，不等式22()(4)0f x mx f x -++>成立，求实数m 的取值范围.（1）a =1；（2）单调递增，证明见解析；（3）m <（1）根据(0)0f =求出a 的值，再验证即得解；（2）利用定义证明函数单调递增；（3）先利用函数的性质得到42m x x<+，再利用对勾函数的性质分析求解. （1）因为函数的定义域为R,所以11(0)0,112f a a =-=∴=+. 经检验当a =1时，有()()f x f x -=-,所以1a =.（2）2+1111111()=1212212221x x x x f x -=---=-+++， 函数在定义域内单调递增，证明如下：设12x x >，所以211211()()2121x x f x f x -=-++122122=(21)(21)x x x x -++， 因为1222x x >，所以12()()f x f x >，所以函数在R 上单调递增.（3）若对任意的x ∈[1,2]，22()(4)f x mx f x ->-+成立，所以22()(4)f x mx f x ->--，所以224x mx x ->--，所以42m x x<+. 所以44222=42x x x x+≥⋅ 当且仅当2x =时取等.所以42m <.本题主要考查函数的奇偶性的应用，考查函数单调性的证明，考查对勾函数，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.22. 如图，OAB ∆是边长为2的正三角形，记OAB ∆位于直线(0)x t t =>左侧的图形的面积为()f t .（1）求函数()f t 解析式；（2）画出函数()y f t =的图像；（3）当函数()()g t f t at =-有且只有一个零点时，求a 的值.（1）()()223(01)332(12)3(2)t t f t t t t ⎧<≤⎪⎪⎪⎪=--<≤⎨⎪>⎪⎪⎩；（2）见解析；（3)见解析. （1）分三种情况讨论，利用分段函数的解析式求解即可；（2）根据（1）中解析式，分段作图即可得到函数()y f t =的图象；（3）根据（1）中分段函数的解析式，分类讨论讨论函数()()g t f t at =-是否有且只有一个零点时，即可筛选出符合条件的a 的值.（1）当01t <≤时，()23f t t = 当12t <≤时，()()23322f t t =-- 当2t >时，()3f t =()()223(01)332(12)3(2)t t f t t t t ⎧<≤⎪⎪⎪⎪∴=--<≤⎨⎪>⎪⎪⎩， （2）图象如图，（3）当01t <≤时，()230g t at =-= 3t =01,01t <≤∴<≤02a ∴<≤当2a =时，直线y at =过点(,⎛ ⎝⎭，这两点都在f t 的图像上当0a <<时，直线y at =与射线y =当12t <≤时，直线y at = (a >逆时针旋转时与f t 图像有两个交点，相切时有一个交点，且与射线y = .)220t at --=24203t a t ⎛⎫∴--+= ⎪ ⎪⎝⎭ 2480⎛⎫∴∆=-= ⎪ ⎪⎝⎭a ∴=或a =当a =2420t t ⎡⎤-+=⎢⎥⎣⎦220t -+=t ∴=(]1,2内当a =t =(]1,2内当0a ≤或a >-y at =与的图像无交点综上，当a =y at =与f t 有一个交点本题主要考查分段函数的解析式、函数的图象以及分类讨论思想的应用，属于难题. 分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.。

广东省佛山市2020-2021学年高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{}32A x Z x =∈-<<，{}0B x Z x =∈≥，则A B =（ ） A ．{}0,1,2B ．{}2,0,1-C ．{}0D ．{}0,12．已知3cos 25πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，那么sin α=（ ）A ．45-B ．45C ．35-D ．353．已知实数x ，y ，则“x y >”是>的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．设0.30.512,()2,ln 2c a b -===，则（ ）A ．c b a <<B ．c<a<bC ．a b c <<D ．b a c <<5．已知a ，0x 均为实数，且函数()sin f x x x a =++，若()()004f x f x +-=，则=a （ ） A ．1B ．2C ．4D ．86．已知三个函数a y x =，x y a =，log a y x =，则（ ） A ．对任意的0a >，三个函数定义域都为R B ．存在0a >，三个函数值域都为R C ．对任意的0a >，三个函数都是奇函数D ．存在0a >，三个函数在其定义域上都是增函数7．已知函数()y f x =（x ∈R ）满足()()12f x f x +=，且()()5332f f =+，则()4f =（ ）A ．16B ．8C ．4D ．28．在“绿水青山就是金山银山”的环保理念指引下，结合最新环保法规和排放标准，各企业单位勇于担起环保的社会责任，采取有针对性的管理技术措施，开展一系列卓有成效的改造．已知某化工厂每月收入为100万元，若不改善生产环节将受到环保部门的处罚，每月处罚20万元．该化工厂一次性投资500万元建造垃圾回收设备，一方面可以减少污染避免处罚，另一方面还能增加废品回收收入．据测算，投产后的累计收入是关于月份x 的二次函数，前1月、前2月、前3月的累计收入分别为100.5万元、202万元和304.5万元．当改造后累计纯收入首次多于不改造的累计纯收入时，x =（ ） A ．18B ．19C ．20D ．21二、多选题9．已知θ为第二象限角，则下列结论正确的是（ ） A ．cos 0θ> B ．()cos 0πθ-> C ．()cos 0πθ+>D ．cos 02πθ⎛⎫+> ⎪⎝⎭10．已知函数()sin f x x =，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 的图像关于直线2x π=对称B ．(),0π是()f x 图像的一个对称中心C ．()f x 的一个周期为πD ．()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递减11．已知函数()y f x =是定义在[1,1]-上的奇函数，当0x >时，()(1)f x x x =-，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()y f x =有2个零点 B ．当0x <时，()(1)f x x x =-+ C ．不等式()0f x <的解集是(0,1) D ．12,[1,1]x x ∀∈-，都有()()1212f x f x -≤12．(多选)由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪.直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割，是指将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ，且满足M N Q ⋃=，M N ⋂=∅，M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素，则称(),M N 为戴德金分割.试判断下列选项中，可能成立的是（ ） A ．{}{}0,0M x x N x x =<=>是一个戴德金分割 B ．M 没有最大元素，N 有一个最小元素 C ．M 有一个最大元素，N 有一个最小元素 D ．M 没有最大元素，N 也没有最小元素三、填空题13．已知幂函数()f x 的图象过点（2，则(9)f =___________14．已知函数()()cos f x x ωϕ=+相邻对称轴为14x π=-和234x π=，且对任意的x 都有()34f x f π⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，则函数()f x 的单调递增区间是______．15．已知函数()()217,03log 1,0xx f x x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+≥⎩，若()02f x <，则实数0x 的取值范围是______．四、双空题16．依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）．2019年1月1日起我国正式执行新个税法，个税的部分税率级距进一步优化调整，扩大3%、10%、20%三档低税率的级距，减税向中低收入人群倾斜．税率与速算扣除数见下表：小华的全年应纳税所得额为100000元，则全年应缴个税为360003%6400010%7480⨯+⨯=元．还有一种速算个税的办法：全年应纳税所得额⨯对应档的税率-对应档的速算扣除数，即小华全年应缴个税为10000010%25207480⨯-=元．按照这一算法，当小李的全年应纳税所得额为200000元时，全年应缴个税为______，表中的N =______.五、解答题17．设函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈R ．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求使函数()f x 取最大值时自变量x 的集合．18．在①A B ⋂=∅，②()R A B A ⋂=ð，③A B A =这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并求解下列问题：已知集合{|123}A x a x a =-<<+，{|74}B x x =-≤≤，若 ____，求实数a 的取值范围．19．已知函数()21,0log ,0ax x f x x x +≤⎧=⎨>⎩．（1）当2a =-时，在给定的平面直角坐标系中作出函数()f x 的图象，并写出它的单调递减区间；（2）若()02f x =，求实数0x ．20．已知函数()223f x ax x =++（a ∈R ）．（1）当1a =-时，求不等式()0f x >的解集； （2）解不等式()0f x >．21．生物学家认为，睡眠中的恒温动物依然会消耗体内能量，主要是为了保持体温．脉搏率f 是单位时间心跳的次数，医学研究发现，动物的体重W （单位：g ）与脉搏率f 存在着一定的关系．表1给出一些动物体重与脉搏率对应的数据，图1画出了体重W 与脉搏率f 的散点图，图2画出了lg W 与lg f 的散点图．表1为了较好地描述体重和脉搏率的关系，现有以下两种模型供选择： ①f kW b =+ ②lg lg f k W b =+（1）选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由；（2）不妨取表1中豚鼠和兔的体重脉搏率数据代入所选函数模型，求出f 关于W 的函数解析式；（3）若马的体重是兔的256倍，根据（2）的结论，预计马的脉搏率． （参考数据：lg 20.3≈，lg30.5≈．）22．已知函数()x xf x e ae -=+，其中e 是自然对数的底数，a ∈R ．（1）若函数()y f x =在区间()1,+∞内有零点，求a 的取值范围；（2）当4a =时，()0,x ∀∈+∞，()3xmf x e m -≥+，求实数m 的取值范围．参考答案：1．D【分析】直接进行交集的运算即可．【详解】{|32}A x Z x =∈-<<，{|0}B x Z x =∈≥， {|02}{0A B x Z x ∴⋂=∈≤<=,1}．故选：D ． 2．C【分析】运用诱导公式即可化简求值得解．【详解】3cos cos sin 252ππααα⎛⎫⎛⎫+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，可得3sin 5α-=， 那么3sin 5α=-故选：C ． 3．A1x y >≥，再由充分条件、必要条件的定义即可得出选项.>1x y >≥， 当x y >时，推不出1x y >≥；反之，成立，所以“x y >”是的必要不充分条件. 故选：A 4．B【解析】利用指数函数的性质，求得1b a >>，再结合对数函数的性质，得到01c <<，即可求解.【详解】由指数函数的性质和0.50.51()22b -== ，可得00.30.5222<<，即1b a >>根据对数函数的性质，可得ln1ln 2ln e <<， 因为ln 2c =，所以01c <<， 综上可得b a c >>.【点睛】本题主要考查了指数式与对数式的比较大小，其中解答中熟记指数函数与对数函数图象与性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 5．B【分析】根据题意，求出()f x -的表达式，则有()()2f x f x a +-=，进而可得24a =，计算可得答案．【详解】根据题意，函数()sin f x x x a =++，则()sin f x x x a -=--+， 则有()()2f x f x a +-=，若00()()4f x f x +-=，则24a =，必有2a =， 故选：B ． 6．D【分析】由指数函数、对数函数、幂函数的性质逐一判断即可． 【详解】若0a >且1a ≠时，log a y x =的定义域为(0,)+∞，故A 错误； 对任意的0a >，函数0x y a =>，值域不是R ，故B 错误；对任意的0a >，且1a ≠时，x y a =，log a y x =都是非奇非偶函数，故C 错误； 当3a =时，函数3y x =，3x y =，3log y x =在其定义域上都是增函数，故D 正确． 故选：D ． 7．C【分析】由(1)2()f x f x +=分别得到(5)f 、(3)f 、(4)f 之间的关系，根据它们的相等关系求值【详解】令3x =，则(4)2(3)f f =，得1(3)(4)2f f = 令4x =，则(5)2(4)f f =． ∵(5)3(3)2f f =+ ∴32(4)(4)22f f =+，解得(4)4f =． 故选：C ． 8．A【分析】不妨设投产后的累计收入2y ax bx c =++，列出,,a b c 的方程后求解，然后分别表示出改造前、后的累计纯收入，再解不等式即可. 【详解】不妨设投产后的累计收入2y ax bx c =++，则100.520242304.593a b ca b c a b c=++⎧⎪=++⎨⎪=++⎩，解得1,100,02a b c ===，211002y x x ∴=+， ∴改造后累计纯收入为2150********y x x -=+-， 不改造的累计纯收入为()10020x -， 令()21100500100202x x x +->-， 即212050002x x +->，解得20x >-+20x <--，2017.4x ∴>-+≈，x N *∈Q ，x ∴的最小值为18.故选：A 9．BC【分析】直接利用角所在的象限，判断正弦函数与余弦函数的值的符号，然后利用诱导公式化简各个选项即可判断得解． 【详解】因为θ为第二象限角， 所以cos 0θ<，故A 错误；可得cos()cos 0πθθ-=->，故B 正确； 所以cos()cos 0πθθ+=->，故C 正确； 所以cos()sin 02πθθ+=-<．故D 错误．故选：BC ． 10．ACD【分析】由函数的对称性和诱导公式可判断A ；由函数的对称性和诱导公式可判断B ；由周期函数的定义可判断C ；由正弦函数的单调性可判断D ．【详解】由()|sin()||cos |22f x x x ππ+=+=，()|sin()||cos |22f x x x ππ-=-=，即有()()22f x f x ππ+=-，所以()f x 的图象关于直线2x π=对称，故A 正确；由()()|sin(||sin()||sin ||sin |2|sin |0f x f x x x x x x ππππ++-=++-=+=≠， 故()f x 的图象不关于(,0)π对称，故B 错误． 由()|sin()||sin ||sin |()f x x x x f x ππ+=+=-==， 可得()f x 的周期为π，故C 正确；当2k x k πππ+剟时，()|sin |0f x x =…，()f x 递增； 当2k x k ππππ++剟时，()|sin |0f x x =…，()f x 递减． 所以()f x 在区间[,0]2π-单调递减，故D 正确．故选：ACD ． 11．BCD【分析】根据函数奇偶性定义和零点定义对选项一一判断即可．【详解】对A ，当0x >时，由()(1)0f x x x =-=得1x =，又因为()y f x =是定义在[1,1]-上的奇函数，所以()()()00,110f f f =-=-=，故函数()y f x =有3个零点，则A 错； 对B ，设0x <，则0x ->，则()()()()11f x f x x x x x =--=----=-+⎡⎤⎣⎦，则B 对； 对C ，当01x <≤时，由()(1)0f x x x =-<，得01x <<；当10x -≤≤时，由()(1)0f x x x =-+<，得x 无解；则C 对； 对D ，12,[1,1]x x ∀∈-，都有()()()()12max min 1111122442f x f x f x f x f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≤-=--=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则D 对． 故选：BCD ．【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据奇偶性定义，结合二次函数，二次方程和二次不等式求解． 12．BD【解析】根据题意举出实例依次判断选项即可得到答案. 【详解】对选项A ，因为{}0M x x =<，{}0N x x =>，{}|0M N x x Q =≠≠，故A 错误；对选项B ，设{}0M x Q x =∈<，{}0N x Q x =∈≥，满足戴德金分割， 则M 中没有最大元素，N 有一个最小元素0，故B 正确； 对选项C ，若M 有一个最大元素，N 有一个最小元素，则不能同时满足M N Q ⋃=，M N ⋂=∅，故C 错误；对选项D ，设{M x Q x =∈<，{N x Q x =∈≥，满足戴德金分割， 此时M 没有最大元素，N 也没有最小元素，故D 正确. 故选：BD【点睛】本题主要考查集合的新定义，同时考查学生分析问题的能力，属于中档题. 13．13【分析】由幂函数所过的点求()f x 的解析式，进而求(9)f 即可.【详解】由题设，若()n f x x =，则2n =，可得12n =-，∴12()f x x -=，故121(9)93f -==. 故答案为：1314．72,244k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z 【分析】利用两条相邻的对称轴求出函数的周期，进而得到ω的值，再利用对任意的x 都有3()()4f x f π…，得到34x π=时，函数()f x 取得最小值，从而求出ϕ，再利用余弦函数的单调性进行分析求解，即可得到答案．【详解】因为函数()cos()f x x =+ωϕ相邻对称轴为14x π=-和234x π=，所以3()244T πππ=-=，所以函数()f x 的周期为2π， 则有22ππω=，所以1ω=，故()cos()f x x ϕ=+，因为对任意的x 都有3()()4f x f π…， 所以34x π=时，函数()f x 取得最小值， 则有324k πϕππ+=+，Z k ∈， 所以2,4k k Z πϕπ=+∈，故()cos()4f x x π=+，令2224k x k πππππ+++剟，解得3722,44k x k k Z ππππ++∈剟， 故函数()f x 的单调递增区间是37[2,2],44k k k Z ππππ++∈． 故答案为：37[2,2],44k k k Z ππππ++∈． 15．()2,3-【分析】根据分段函数的解析式讨论x 的取值范围，再利用指数函数、对数函数的单调性即可求解.【详解】由()()217,03log 1,0xx f x x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+≥⎩，当0x <时，则1723x⎛⎫-< ⎪⎝⎭，解得2x >-，此时20x -<<，当0x ≥时，()2log 12x +<，即14x +<，解得03x ≤<， 综上所述，实数0x 的取值范围是()2,3-. 故答案为：()2,3- 16． 23080 52920【分析】根据全年应纳税所得额⨯对应档的税率-对应档的速算扣除数，计算小李的全年应纳税所得额为200000元时应缴个税，计算全年应纳税所得额为500000元时应缴个税数，列方程求出N 的值.【详解】根据全年应纳税所得额⨯对应档的税率-对应档的速算扣除数， 可得小李的全年应纳税所得额为200000元时，应缴个税为 00200000201692023080⨯-=（元），当全年应纳税所得额为500000元时，即全年应缴个税为 0000005000003036000310800010N ⨯-=⨯+⨯ 00000015600020120000258000030+⨯+⨯+⨯，解得52920N =（元）. 故答案为：23080；5292017．（1）π；（2）,12x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭.【分析】（1）利用周期公式即可求出f （x ）的最小正周期；（2）根据正弦函数的性质确定出f （x ）的最大值，以及此时x 的值即可． 【详解】（1）()f x 的最小正周期为22T ππ==； （2）依题意得，2232x k πππ+=+，k ∈Z ，解得12x k ππ=+，k ∈Z ．所以函数()f x 取最大值时自变量x 的集合,12x x k k ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ．18．答案见解析【分析】根据所选的条件，利用集合的交集、补集、并集的定义，对a 进行分类讨论，分别求解即可．【详解】若选①：A B ⋂=∅，当4a ≤-时，有123a a -≥+，即A =∅时，满足题意，当4a >-时，4237a a >-⎧⎨+≤-⎩或414a a >-⎧⎨-≥⎩，解得5a ≥，此时，实数a 的范围是(,4][5,)-∞-⋃+∞．若选②：()R A B A ⋂=ð，则A 是B R ð的子集，(,7)(4,)R B =-∞-⋃+∞ð， 当4a ≤-，有123a a -≥+，即A =∅，满足题意；当4a >-时，4237a a >-⎧⎨+≤-⎩或414a a >-⎧⎨-≥⎩，解得5a ≥，此时，实数a 的范围是(,4][5,)-∞-⋃+∞． 若选③：A B A =，则A B ⊆，当4a ≤-，有123a a -≥+，即A =∅，满足题意；当4a >-时，17234a a -≥-⎧⎨+≤⎩，解得142a -<≤；此时，实数a 的范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.19．（1）图像见解析，(],0-∞和(]0,1；（2）当0a ≥时，04x =或014x =；当a<0时，01x a=或 04x =或 014x =. 【分析】（1）将2a =-代入，由对数函数图象以及一次函数图象即可作出()f x 的图象，结合图象写出单调区间即可.（2）根据分段函数，讨论0x 、a 的取值，解方程即可求解.【详解】（1）当2a =-时，()221,0log ,0x x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩，图象如下图所示，由图可知()f x 的单调递减区间为(],0-∞和(]0,1. （2）依题意，当00x ≤时，012ax +=，即01ax =， 若0a ≥，方程无解；若a<0，得01x a=； 当00x >时，2log 2x =，即20log 2x =±，解得04x =或014x =. 综上所述，当0a ≥时，04x =或014x =； 当a<0时，01x a =或 04x =或 014x =. 20．（1）{}13x x -<<；（2）答案见解析.【分析】（1）当1a =-时，化简不等式2230x x -++>，然后利用二次不等式的解法求解即可．（2）2230ax x ++>，通过①当0a =时，②当0a >时，()i △0<，()ii △0=，()iii △0>，分别求解表不等式．③a<0时，求解不等式即可．【详解】（1）当1a =-时，()223f x x x =-++.()0f x >即2230x x -++>，可化为2230x x --<.方程2230x x --=的根为：11x =-，23x = 所以，不等式的解为：13x -<<. 因此()0f x >的解为{}13x x -<<. （2）2230ax x ++>①当0a =时，不等式化为230x +>，解得32x >-.②当0a >时，开口向上，此时412a ∆=-(i )∆<0，即13a >时，方程2230ax x ++=无解，不等式解为：R .(ii )0∆=，即13a =时，方程2230ax x ++=有唯一解，3x =-，不等式解为：3x ≠-.(iii )0∆>，即103a <<时，方程2230ax x ++=有两解，1x 2x =12x x <不等式解为x <x ③a<0时，开口向下，此时412a ∆=-，显然0∆>，方程2230ax x ++=有两解，1x 2x =12x x >.x <综上所述，当a<0时，不等式解集为x ⎧⎪<<⎨⎪⎪⎩⎭当0a =时，不等式解集为32x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭当103a <<时，不等式解集为{x x >⎪⎭当13a <时，不等式解集为{}3x x ≠-当13a >时，不等式解集为R .21．（1）模型②lg lg f k W b =+最符合实际，理由见解析；（2）2518410f W -=⋅；（3）50. 【分析】（1）由散点图呈现的图形特征与两个模型代表的曲线形状的匹配程度，得解； （2）将表1中的豚鼠和兔的数据分别代入（1）中得到模型，解出k ，b 的值，即可得解；（3）设马的体重和脉搏率分别为1W ，1f ，设兔的体重和脉搏率为2W ，2f ，先写出12W W 的值，再结合指数运算求出12f f 的值，即可. 【详解】（1）模型②lg lg f k W b =+最符合实际根据散点图的特征，图2基本上呈直线形式，所以可以选择一次函数来刻画lg W 和lg f 的关系.（2）由题意知，lg300lg300lg 200lg 2000k bk b =+⎧⎨=+⎩因为lg 200lg 22 2.3=+≈，lg 2000lg 23 3.3=+≈，lg300lg32 2.5=+≈.解得14258k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即lg 25lg 48W f =+， 所以f 关于W 的函数解析式为2518410f W -=⋅.（3）设马的体重和脉搏率为1W ，1f ，设兔的体重和脉搏率为2W ，2f ，由题意12256W W =， ()()11114481114412242125624f W W f W W -----⎛⎫=====⎪⎝⎭， 因为2200f =，则150f =，即马的脉搏率为50.【点睛】思路点睛：一是回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．二是根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值． 22．（1）()2,e -∞-；（2）4,7⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【分析】（1）解法①：讨论0a ≥或a<0，判断函数的单调性，利用零点存在性定理即可求解；解法②：将问题转化为0x x e ae -+=在区间()1,+∞上有解，即2x e a =-e 有解，讨论0a ≥或a<0解方程即可求解.（2）解法①：分离参数可得43x x x e m e e --≥+-，令xe t =，()1,t ∈+∞，求出43x x x e e e --+-的最大值即可求解；解法②：不等式转化为23410x x me me m -+-≥恒成立，令x e t =，()1,t ∈+∞，可得函数()2341f t mt mt m =-+-，()1,t ∈+∞，讨论0m ≤或0m >即可求解.【详解】（1）解法①：当0a ≥时，()0x x xf x e ae e -=+≥>，没有零点；当a<0时，函数()y f x =是增函数， 则需要()10af e e=+<，解得2a e <-. ()()()()ln ln 2ln 10a a f a e ae a e ----=+=-->-1>，满足零点存在定理()()()1ln 0f f a -<. 因此函数()y f x =在区间()1,+∞内有一个零点综上所述，a 的取值范围为()2,e -∞-.解法②：()y f x =的零点就是方程0x x e ae -+=的解， 即0x x e ae -+=在区间()1,+∞上有解 方程0x x e ae -+=变形得2x e a =-， 当0a ≥时，方程无解， 当a<0时，解为()ln 2a x -=，则()ln 12a ->，解得2a e <-， 综上所述，a 的取值范围为()2,e -∞-（2）解法①由题意知，()43x x x m e e e m --+≥+，即()43x x xm e e e --+-≥因为4331xxe e -+-≥=，则43xxx e m e e --≥+-， 又214334x x x x x e e e e e --=+--+， 令x e t =，()1,t ∈+∞，则2221114343473724x x e e t t t ==≤-+-+⎛⎫-+⎪⎝⎭（当且仅当32t =时等号成立），所以47m ≥，即m 的取值范围是4,7⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.解法②由题意知，()43x x xm e e e m --+≥+，即23410x x me me m -+-≥，令x e t =，()1,t ∈+∞，即23410mt mt m -+-≥， 当0m ≤时，显然不成立，因此0m >.对于函数()2341f t mt mt m =-+-，()1,t ∈+∞，()min 371 24mf t f ⎛⎫==-⎪⎝⎭，则7104m-≥，解得47m≥，即m m的取值范围是4,7⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.。

南海一中高一年级学科素养摸底测试数学（满分100分，时间60分钟）班别： 姓名： 学号：一、选择题，每题5分l 、下列计算正确的是（ ）A ．632b b b +=B ．339b b b ⋅=C ．2222a a a +=D ．()336aa = 2、把函数2(1)2y x =-+的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（ ）A ．22y x =+B ．2(1)1y x =-+C ．2(2)2y x =-+ D ．2(1)3y x =-+ 3、某厂日产手套总成本y （元）与手套日产量x （副）的关系式为54000y x =+，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为（ ）A ．200副B ．400副C ．600副D ．800副4、如图，点P 是菱形ABCD 边上的一动点，它从点A 出发沿A B C D →→→路径匀速运动到点D ，设PAD 的面积为y ，P 点的运动时间为x ，则y 关于x 的函数图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题，57题每题5分，8-11题每题6分5、计算：10120193-⎛⎫+= ⎪⎝⎭___________． 6、已知23x y =+，则代数式489x y -+的值是____________．7、函数33y x =-在实数范围内有意义，则x 的取值范围是__________． 8、已知集合{|14},{|23}A x x x B x a x a =->=+或，若B A ⊆，求实数a 的取值范围_________．9、已知集合{,,},{,,}B a b c C a b d ==，集合A 满足A B ⊆，A C ⊆，则满足条件的集合A ，请罗列出来_____________．10、下列各组中的两个集合相等的有__________．A 、{|2,},{|2(1),}P x x n n Z Q x x n n Z ==∈==-∈； B 、{}{}**|21,|21,P x x n n NQ x x n n N ==-⋅∈==+∈； C 、{}21(1)|0,|,2nP x x x Q x x n Z ⎧⎫+-=-===∈⎨⎬⎩⎭． 11、如图，抛物线2y ax bx c =++的对称轴是直线1x =，下列结论：A ．0abc >；B ．240b ac ->；C ．80a c +<；D ．520a b c ++>．其中正确的结论有___________．三、解答题，12-15题每题4分，16题10分，17题15分12、先化简，再求值：22()()()2x y x y x y x +++--，其中x y ==．13、解不等式组：122(1)4x x ->⎧⎨+>⎩①② 14、因式分解22524a ab b --15、已知集合{}2{||1A x y B y y x ====+，则A B ⋂【10分】16、如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数2k y x =的图象相交于A 、B 两点，其中点A 的坐标为(1,4)-，点B 的坐标为(4,)n ．（1）根据图象，直接写出满足2k kx b x+>的x 的取值范围；（2）求这两个函数的表达式；（3）点P 在线段AB 上，且:1:2AOP BOP S S =，求点P 的坐标．【15分】17、如图，已知顶点为(0,3)C -的抛物线2(0)y ax b a =+≠与x 轴交于A ，B 两点，直线y x m=+过顶点C 和点B ．（1）求m 的值；（2）求函数2(0)y ax b a =+≠的解析式（3）抛物线上是否存在点M ，使得15MCB ∠=︒？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．。

高一年级学科素养摸底测试数学（满分100分，时间60分钟）一、选择题，每题5分l 、下列计算正确的是（ ）A ．632b b b +=B ．339b b b ⋅=C ．2222a a a +=D ．()336aa = 2、把函数2(1)2y x =-+的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（ ）A ．22y x =+B ．2(1)1y x =-+C ．2(2)2y x =-+D ．2(1)3y x =-+3、某厂日产手套总成本y （元）与手套日产量x （副）的关系式为54000y x =+，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为（ ）A ．200副B ．400副C ．600副D ．800副4、如图，点P 是菱形ABCD 边上的一动点，它从点A 出发沿A B C D →→→路径匀速运动到点D ，设PAD 的面积为y ，P 点的运动时间为x ，则y 关于x 的函数图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题，57题每题5分，8-11题每题6分5、计算：10120193-⎛⎫+= ⎪⎝⎭___________． 6、已知23x y =+，则代数式489x y -+的值是____________．7、函数33y x =-在实数范围内有意义，则x 的取值范围是__________． 8、已知集合{|14},{|23}A x x x B x a x a =->=+或，若B A ⊆，求实数a 的取值范围_________．9、已知集合{,,},{,,}B a b c C a b d ==，集合A 满足A B ⊆，A C ⊆，则满足条件的集合A ，请罗列出来_____________．10、下列各组中的两个集合相等的有__________．A 、{|2,},{|2(1),}P x x n n Z Q x x n n Z ==∈==-∈； B 、{}{}**|21,|21,P x x n n NQ x x n n N ==-⋅∈==+∈； C 、{}21(1)|0,|,2nP x x x Q x x n Z ⎧⎫+-=-===∈⎨⎬⎩⎭． 11、如图，抛物线2y ax bx c =++的对称轴是直线1x =，下列结论：A ．0abc >；B ．240b ac ->；C ．80a c +<；D ．520a b c ++>．其中正确的结论有___________．三、解答题，12-15题每题4分，16题10分，17题15分12、先化简，再求值：22()()()2x y x y x y x +++--，其中x y ==． 13、解不等式组：122(1)4x x ->⎧⎨+>⎩①② 14、因式分解22524a ab b --15、已知集合{}2{||1A x y B y y x ====+，则A B ⋂【10分】16、如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数2k y x =的图象相交于A 、B 两点，其中点A 的坐标为(1,4)-，点B 的坐标为(4,)n ．（1）根据图象，直接写出满足2k kx b x+>的x 的取值范围；（2）求这两个函数的表达式；（3）点P 在线段AB 上，且:1:2AOP BOP S S =，求点P 的坐标．【15分】17、如图，已知顶点为(0,3)C -的抛物线2(0)y ax b a =+≠与x 轴交于A ，B 两点，直线y x m=+过顶点C 和点B ．（1）求m 的值；（2）求函数2(0)y ax b a =+≠的解析式（3）抛物线上是否存在点M ，使得15MCB ∠=︒？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．。

2020-2021学年广东省佛山市高一上学期期末考试数学试卷及答案第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}32A x x =∈-<<Z ，{}0B x x =∈≥Z ，则A B ⋂=（）A ．{}0,1,2B ．{}2,0,1-C ．{}0D ．{}0,12．已知3cos 25πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，那么sin α=（）A ．45-B ．45C ．35-D ．353．已知实数x ，y ，则“x y >”>）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．设0.32a =，0.512b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，ln 2c =，则（）A ．c b a<<B ．c a b<<C ．a b c<<D ．b a c<<5．已知a ，0x 均为实数，且函数()sin f x x x a =++，若()()004f x f x +-=，则a =（）A ．1B ．2C ．4D ．86．已知三个函数ay x =，xy a =，log a y x =，则（）A ．对任意的a >0，三个函数定义域都为RB ．存在a >0，三个函数值域都为RC ．对任意的a >0，三个函数都是奇函数D ．存在a >0，三个函数在其定义域上都是增函数7．已知函数()y f x =（x ∈R ）满足()()12f x f x +=，且()()5332f f =+，则()4f =（）A ．16B ．8C ．4D ．28．在“绿水青山就是金山银山”的环保理念指引下，结合最新环保法规和排放标准，各企业单位勇于担起环保的社会责任，采取有针对性的管理技术措施，开展一系列卓有成效的改造．已知某化工厂每月收入为100万元，若不改善生产环节将受到环保部门的处罚，每月处罚20万元．该化工厂一次性投资500万元建造垃圾回收设备，一方面可以减少污染避免处罚，另一方面还能增加废品回收收入．据测算，投产后的累计收入是关于月份x 的二次函数，前1月、前2月、前3月的累计收入分别为100.5万元、202万元和304.5万元．当改造后累计纯．收入首次多于不改造的累计纯．收入时，x =（）A ．18B ．19C ．20D ．21二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9．已知θ为第二象限角，则下列结论正确的是（）A ．cos 0θ>B ．()cos 0πθ->C ．()cos 0πθ+>D ．cos 02πθ⎛⎫+>⎪⎝⎭10．已知函数()sin f x x =，则下列说法正确的是（）A ．()f x 的图像关于直线2x π=对称B ．(),0π是()f x 图像的一个对称中心C ．()f x 的周期为πD ．()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递减11．已知函数()y f x =是定义在[]1,1-上的奇函数，当0x >时，()()1f x x x =-，则下列说法正确的是（）A ．函数()y f x =有2个零点B ．当0x <时，()()1f x x x =--C ．不等式()0f x <的解集是()0,1D ．1x ∀，[]11,1x ∈-，都有()()1212f x f x -≤12．由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪．直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ，且满足M N Q ⋃=，M N ⋂=∅，M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素，则称(),M N 为戴德金分割．试判断下列选项中，可能成立的是（）A ．{}M x x =<0，{}N x x =>0是一个戴德金分割B ．M 没有最大元素，N 有一个最小元素C ．M 有一个最大元素，N 有一个最小元素D ．M 没有最大元素，N 也没有最小元素第Ⅱ卷(非选择题)三、填空题：13．设幂函数()y f x =的图像过点22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则()9f =______．14．已知函数()()cos f x x ωϕ=+相邻对称轴为14x π=-和234x π=，且对任意的x 都有()34f x f π⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，则函数()f x 的单调递增区间是______．15．已知函数()()217,03log 1,0xx f x x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪+≥⎩，若()02f x <，则实数0x 的取值范围是______．16．依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）．2019年1月1日起我国正式执行新个税法，个税的部分税率级距进一步优化调整，扩大3%、10%、20%三档低税率的级距，减税向中低收入人群倾斜．税率与速算扣除数见下表：级数全年应纳税所得额所在区间税率（%）速算扣除数1[0,36000]302(36000,144000]1025203(144000,300000]2016924(300000,420000]2531925(420000,660000]30N小华的全年应纳税所得额为100000元，则全年应缴个税为360003%6400010%7480⨯+⨯=元．还有一种速算个税的办法：全年应纳税所得额对应档的税率对应档的速算扣除数，即小华全年应缴个税为10000010%25207480⨯-=元．按照这一算法，当小李的全年应纳税所得额为200000元时，全年应缴个税为______，表中的N =______.四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．设函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，x ∈R ．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求使函数()f x 取最大值时自变量x 的集合．18．在①A B ⋂=∅，②()R A B A ⋂=ð，③A B A ⋂=这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并求解下列问题：已知集合{}123A x a x a =-<<+，{}74B x x =-≤≤，若______，求实数a 的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19．已知函数()21,0log ,0ax x f x x x +≤⎧⎪=⎨>⎪⎩．（1）当2a =-时，在给定的平面直角坐标系中作出函数()f x 的图像，并写出它的单调递减区间；（2）若()02f x =，求实数0x．20．已知函数()223f x ax x =++（a ∈R ）．（1）当1a =-时，求不等式()0f x >的解集；（2）解不等式()0f x >．21．生物学家认为，睡眠中的恒温动物依然会消耗体内能量，主要是为了保持体温．脉搏率f 是单位时间心跳的次数，医学研究发现，动物的体重W （单位：g ）与脉搏率f 存在着一定的关系．表1给出一些动物体重与脉搏率对应的数据，图1画出了体重W 与脉搏率f 的散点图，图2画出了lg W 与lg f 的散点图．动物名体重脉搏率鼠25670大鼠200420豚鼠300300兔2000200小狗5000120大狗3000085羊5000070表1为了较好地描述体重和脉搏率的关系，现有以下两种模型供选择：①f kW b=+②lg lg f k W b=+（1）选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由；（2）不妨取表1中豚鼠和兔的体重脉搏率数据代入所选函数模型，求出f 关于W 的函数解析式；（3）若马的体重是兔的256倍，根据（2）的结论，预计马的脉搏率．（参考数据：lg 20.3≈，lg30.5≈．）22．已知函数()xxf x e ae -=+，其中e 是自然对数的底数，a ∈R ．（1）若函数()y f x =在区间()0,+∞内有零点，求a 的取值范围；（2）当4a =时，()0,x ∀∈+∞，()3xmf x em -≥+，求实数m 的取值范围．数学试题参考答案1-8DCABB DCB9-12BC ACD BCDBD13．1314．72,244k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z 15．()2,3-16．230805292017．（1）()f x 的最小正周期为22T ππ==；（2）依题意得，2232x k πππ+=+，k ∈Z ，解得12x k ππ=+，k ∈Z ．所以函数()f x 取最大值时自变量x 的集合,12x x k k ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ．18．若选择①A B ⋂=∅，则当A =∅时，即123a a -≥+，即4a ≤-时，满足题意，当4a >-时，应满足4237a a >-⎧⎨+≤-⎩或414a a >-⎧⎨-≥⎩解得：5a ≥，综上知，实数a 的取值范围是：(][),45,-∞-⋃+∞.若选择②()R A B A ⋂=ð，则A 是R B ð的子集，()()R ,74,B =-∞-⋃+∞ð，当123a a -≥+，即4a ≤-时，A =∅，满足题意；当4a >-时，4237a a >-⎧⎨+≤-⎩或414a a >-⎧⎨->⎩解得：5a ≥，综合得a 的取值范围是：(][),45,-∞-⋃+∞．若选择③A B A ⋂=，则A B ⊆，当123a a -≥+，即4a ≤-时，A =∅，满足题意；当当4a >-时，17234a a -≥-⎧⎨+≤⎩解得：162a -≤≤；综上知，实数a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．数学参考答案与评分标准第2页（共4页）19．（1）当2a =-时，()221,0log ,0x x f x x x -+≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，图象如下图所示，由图可知()f x 的单调递减区间为(],0-∞和(]0,1.（单调区间写成(),0-∞，(0,1)均给分）（2）依题意，当00x ≤时，012ax +=，即01ax =，若0a ≥，方程无解；若0a <，得01x a=；当00x >时，2log 2x =，即20log 2x =±，解得04x =或014x =.综上所述，当0a ≥时，04x =或014x =；当0a <时，01x a =或04x =或014x =.20.（1）当1a =-时，()223f x x x =-++.()0f x >即2230x x -++>，可化为2230x x --<.方程2230x x --=的根为：11x =-，23x =所以，不等式的解为：13x -<<.因此()0f x >的解为{}13x x -<<.（2）2230ax x ++>①当0a =时，不等式化为230x +>，解得32x >-.②当0a >时，开口向上，此时412a∆=-(i)0∆<，即13a >时，方程2230ax x ++=无解，不等式解为：R .(ii)0∆=，即13a =时，方程2230ax x ++=有唯一解，3x =-，不等式解为：3x ≠-.(iii)0∆>，即103a <<时，方程2230ax x ++=有两解，1113a x a --=，2113ax a-+=，且12x x <不等式解为1x a --<或1x a-+>.③0a <时，开口向下，此时412a ∆=-，显然0∆>，方程2230ax x ++=有两解，11x a --=，21x a-+=，且12x x >.不等式解为11x a a-+-<<.综上所述，当0a <时，不等式解集为113a x a ⎧--⎪<<⎨⎪⎪⎩⎭当0a =时，不等式解集为32x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭当103a <<时，不等式解集为11x x x a a ⎧--+⎪<>⎨⎪⎪⎩⎭或当13a <时，不等式解集为{}3x x ≠-当13a >时，不等式解集为R .21.（1）模型②lg lg f k W b =+最符合实际根据散点图的特征，图2基本上呈直线形式，所以可以选择一次函数来刻画lg W 和lg f 的关系.（2）由题意知，lg 300lg 300lg 200lg 2000k bk b=+⎧⎨=+⎩因为lg 200lg 22 2.3=+≈，lg 2000lg 23 3.3=+≈，lg300lg32 2.5=+≈.解得14258k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即lg 25lg 48W f =+，所以f 关于W 的函数解析式为2518410f W -=⋅.（3）设马的体重和脉搏率为1W ，1f ，设兔的体重和脉搏率为2W ，2f ，由题意12256W W =，()()11114481114412242125624f W W f W W -----⎛⎫=====⎪⎝⎭，因为2200f =，则150f =，即马的脉搏率为50.22．（1）解法①当0a ≥时，()0x x xf x e ae e -=+≥>，没有零点；当0a <时，函数()y f x =是增函数，则需要()10af e e=+<，解得2a e <-.此时()()()()ln ln 2ln 10a af a eae a e ----=+=-->-1>，满足零点存在定理()()()1ln 0f f a -<.因此函数()y f x =在区间()1,+∞内有一个零点综上所述，a 的取值范围为()2,e -∞-.解法②()y f x =的零点就是方程0x x e ae -+=的解，即0x x e ae -+=在区间()1,+∞上有解方程0x x e ae -+=变形得2x e a =-e ，当0a ≥时，方程无解，当0a <时，解为()ln 2a x -=，则()ln 12a ->，解得2a e <-，综上所述，a 的取值范围为()2,e -∞-（2）解法①由题意知，()43x x x m e e e m --+≥+，即()43x x xm e e e--+-≥因为4331x x e e -+-≥-=，则43xxx e m e e --≥+-，又214334x x x x xe e e e e ---=+--+，令x e t =，()1,t ∈+∞，则2221114343473724x x e e t t t -==≤-+-+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（当且仅当32t =时等号成立），所以47m ≥，即m 的取值范围是4,7⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.解法②由题意知，()43x x xm e e e m --+≥+，即23410x x me me m -+-≥，令x e t =，()1,t ∈+∞，即23410mt mt m -+-≥，当0m ≤时，显然不成立，因此0m >.对于函数()2341f t mt mt m =-+-，()1,t ∈+∞，()min 37124mf t f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，则7104m -≥，解得47m ≥，即m m 的取值范围是4,7⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.。

广东省佛山市南海区第一中学2020-2021学年高一上学期学科素养摸底数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列计算正确的是（ ）A ．632b b b +=B ．339b b b ⋅=C ．2222a a a +=D ．()336a a = 2．把函数2(1)2y x =-+的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（ ） A ．22y x =+B ．2(1)1y x =-+C ．2(2)2y x =-+ D ．2(1)3y x =-+ 3．某厂日产手套总成本y (元)与手套日产量x (副)的关系式为y ＝5x ＋4 000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为( )A ．200副B ．400副C ．600副D ．800副4．如图，点P 是菱形ABCD 边上的一动点，它从点A 出发沿A B C D →→→路径匀速运动到点D ，设PAD △的面积为y ，P 点的运动时间为x ，则y 关于x 的函数图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题5．计算：10120193-⎛⎫+= ⎪⎝⎭___________. 6．已知23x y =+，则代数式489x y -+的值是____________.7．函数33y x =-在实数范围内有意义，则x 的取值范围是__________. 8．已知集合{1A x x =<-或}4x >，{}23B x a x a =≤≤+，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是________．9．已知集合{,,},{,,}B a b c C a b d ==，集合A 满足A B ⊆，A C ⊆，则满足条件的集合A ，请罗列出来_____________.10．下列各组中的两个集合相等的有__________.A 、{}2,P x x n n Z ==∈，(){}21,Q x x n n Z ==-∈；B 、{}21,P x x n n N *==-∈，{}21,Q x x n n N *==+∈； C 、{}20P x x x =-=，()11,2n Q x x n Z ⎧⎫+-⎪⎪==∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭. 11．如图，抛物线2y ax bx c =++的对称轴是直线1x =，下列结论：A ．0abc >；B ．240b ac ->；C ．80a c +<；D ．520a b c ++>.其中正确的结论有___________.三、解答题12．先化简，再求值：22()()()2x y x y x y x +++--，其中x y ==13．解不等式组：122(1)4x x ->⎧⎨+>⎩14．因式分解22524a ab b --15．已知A ＝{x|y}，B ＝{y|y ＝x 2＋1}，求A∩B．16．如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数2k y x=的图象相交于A 、B 两点，其中点A 的坐标为(1,4)-，点B 的坐标为(4,)n.（1）根据图象，直接写出满足2k kx b x +>的x 的取值范围； （2）求这两个函数的表达式；（3）点P 在线段AB 上，且:1:2AOP BOP S S =，求点P 的坐标.17．如图，已知顶点为(0,3)C -的抛物线2(0)y ax b a =+≠与x 轴交于A ，B 两点，直线y x m =+过顶点C 和点B ．（1）求m 的值；（2）求函数2(0)y ax b a =+≠的解析式（3）抛物线上是否存在点M ，使得15MCB ∠=︒？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.参考答案1．C【分析】利用特殊值法可判断A 选项的正误，利用指数幂的运算法则可判断B 、D 选项的正误，利用多项式的运算法则可判断C 选项的正误.【详解】对于A 选项，取1b =，则6322b b b +=≠，A 选项错误；对于B 选项，336b b b ⋅=，B 选项错误；对于C 选项，2222a a a +=，C 选项正确；对于D 选项，()339a a =，D 选项错误.故选：C.【点睛】本题考查指数幂运算正误的判断，考查计算能力，属于基础题.2．C【分析】由函数2(1)2y x =-+的图象向右平移1个单位长度，结合平移原则即可得函数解析式.【详解】图象向右平移1个单位长度，由左加右减的原则，知：2(2)2y x =-+；故选：C.【点睛】本题考查了函数图象的平移，根据平移确定函数解析式，属于简单题.3．D【解析】利润z=10x-y=10x-(5x+4000)≥0.解得x≥800.4．B【分析】根据三角形高的变化趋势即可确定函数图象.【详解】当A B C D →→→时，12PAD P AD S AD d -=⋅△ 当A B →时，P AD d -线性增长，PAD △的面积也线性增长；当B C →时，P AD d -不变，PAD △的面积不变；当C D →时，P AD d -线性减小，PAD △的面积也线性减小；故选：B【点睛】本题考查函数图象，考查基本识别能力，属基础题.5．4【分析】根据幂运算法则求解即可.【详解】10120191343-⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭故答案为：4【点睛】本题考查幂运算，考查基本求解能力，属基础题.6．21【分析】将所给关系代入所求，化简求值即可.【详解】解：因为23x y =+，所以4812x y =+，代入489x y -+得：8128921y y +-+=. 故答案为：21.【点睛】本题考查二元一次方程的化简求值，属于基础题.7．[2,3)(3,)-⋃+∞【分析】由解析式中各代数式有意义知2030x x +≥⎧⎨-≠⎩即可求x 的取值范围. 【详解】由解析式知：2030x x +≥⎧⎨-≠⎩，解得x 的取值范围为[2,3)(3,)-⋃+∞. 故答案为：[2,3)(3,)-⋃+∞【点睛】本题考查了由解析式求定义域，属于简单题；8．{4a a <-或}2a >【分析】分B =∅和B ≠∅两种情况讨论，结合B A ⊆得出关于实数a 的不等式组，解出即可得出实数a 的取值范围.【详解】当B =∅时，23a a >+，即3a >，满足要求；当B ≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得3231a a a +≥⎧⎨+<-⎩或3224a a a +≥⎧⎨>⎩， 解得4a 或23a <≤．综上，实数a 的取值范围为{4a a <-或}2a >. 故答案为{4a a <-或}2a >.【点睛】本题考查利用集合包含关系求参数，解题时要对含参数的集合分空集和非空集合两种情况讨论，结合包含关系列不等式（组）进行求解，考查分类讨论思想的应用，属于中等题. 9．{},{},{,}a b a b ∅，【分析】先转化条件得(){,}A BC a b ⊆=，再根据求出所有子集.【详解】因为A B ⊆，A C ⊆，所以(){,}A B C a b ⊆=因此{},{},{,}A a b a b =∅，故答案为：{},{},{,}a b a b ∅，【点睛】本题考查集合子集、交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.10．AC【分析】判断出A 选项中两个集合均为偶数集，可得出结论；分析出B 选项中的集合P 为正奇数集，集合Q 是从3开始的正奇数构成的集合，可得出结论；求出C 选项中的两个集合，可得出结论.【详解】对于A ，集合{}2,P x x n n Z ==∈为偶数集，集合(){}21,Q x x n n Z ==-∈也为偶数集，则P Q =；对于B ，集合{}21,P x x n n N *==-∈为正奇数集，集合{}21,Q x x n n N *==+∈是从3开始的正奇数构成的集合，则P Q ≠； 对于C ，{}{}200,1P x x x =-==， 对于()()112n x n Z +-=∈，若n 为奇数，则0x =；若n 为偶数，则1x =，即{}0,1Q =.P Q ∴=. 故答案为：AC.【点睛】本题考查集合相等关系的判断，属于基础题.11．BCD【分析】利用函数图象，应用二次函数、不等式的性质，判断正误.【详解】对称轴是直线1x =，结合图象知：0a <，20b a =->，0c >且240b ac ∆=->，(1)0(2)420f a b c f a b c -=-+>⎧⎨=++>⎩即520a b c ++>， (2)420(4)1640f a b c f a b c -=-+<⎧⎨=++<⎩即80a c +<， 故答案为：BCD【点睛】本题考查了二次函数的图象及不等式的性质，利用函数图象写出不等式，根据不等式性质证明不等式是否成立；12．【分析】先化简代数式，再代入对应数值求解得结果.【详解】22222222()()(222)x xy x y x y x y y x y x xy x =+++-+-+=+--因为x y ==所以22()()()2x y x y x y x +++-==-【点睛】本题考查代数式化简与求值，考查基本求解能力，属基础题.13．3x >【分析】应用一元一次不等式组的解法，求解集即可；【详解】由原不等式组，可得31x x >⎧⎨>⎩，故解集为3x >； 【点睛】本题考查了一元一次不等式组求解集，注意各不等式的解集求交集为不等式的解集，属于简单题；14．(8)(3)a b a b -+【分析】根据十字相乘法因式分解.【详解】222524538(8)(3)a ab b a ab b b a b a b ----⨯=-+=【点睛】本题考查因式分解，考查基本分析求解能力，属基础题.15．[)1,+∞【分析】集合A 研究对象是自变量x ，集合B 研究对象是函数值y ，分别求得集合,A B 的取值范围，再取交集.【详解】集合A ＝{x|y ＝}表示函数y ＝的定义域，∴A＝[－1，＋∞)，集合B ＝{y|y ＝x 2＋1}表示函数y ＝x 2＋1的值域，∴B＝[1，＋∞)，∴A∩B＝[1，＋∞)．【点睛】本小题主要考查集合的概念，考查定义域的求法.集合的三要素是确定性、互异性与无序性.研究一个集合，首先要确定研究的对象，有的集合研究的是定义域，有的集合研究的是值域，这个在解题过程中需要细心的看清楚.交集是两个集合的公共部分，解题过程中，可以利用画数轴的方法确定.16．（1）1x <-或04x <<；（2）3y x =-+，4y x =-；（3）27(,)33P 【分析】（1）根据图象上下方关系直接写结果；（2）根据待定系数法求两个函数的表达式；（3）根据面积比得:1:2AP BP =,再求点P 的坐标.【详解】（1）满足2k kx b x +>的x 的取值范围为1x <-或04x <<； （2）因为2k y x =过点(1,4)-，所以22441k k =∴=--，4y x =-因为4y x =-过点(4,)n ，所以414n =-=-； 即y kx b =+过(1,4)-以及(4,)1-；所以413413k b k y x k b b -+==-⎧⎧∴∴=-+⎨⎨+=-=⎩⎩； （3）因为:1:2AOP BOP S S =，所以:1:2AP BP =设(,)P x y ，则(1)1:2,(4):(4):(11,):2x x y y ---+=-= 解得27,33x y ==，27(,)33P 【点睛】本题考查根据图象解不等式、待定系数法求解析式，考查基本分析求解能力，属基础题.17．（1）3m =-；（2）2133y x =-；（3）M 或2)-； 【分析】（1）将(0,3)-代入y x m =+，即可得答案；（2）将0y =代入直线的解析式得出点B 的坐标，再利用待定系数法确定函数关系式即可； （3）分M 在BC 上方和下方两种情况进行解答即可；【详解】（1）将(0,3)-代入y x m =+可得：3m =-；（2）将0y =代入3y x =-得：3x =，所以点B 的坐标为(3,0)，将(0,3)-，(3,0)代入2y ax b =+中，可得：3b =-，90a b +=， 解得：13a =，3b =-， ∴二次函数的解析式为：2133y x =-； （3）存在，分以下两种情况：若M 在B 的上方，设MC 交x 轴于点D ，则451560ODC ︒︒︒∠=+=，tan 30OD OC ︒∴=⋅=设DC 为3y kx =-，代入，可得k =联立两个方程可得：23133y y x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，解得：12120,36x x y y ⎧⎧==⎪⎪⎨⎨=-=⎪⎪⎩⎩所以1M ；若M 在B 下方，设MC 交x 轴于点E ，则451530OEC ︒︒︒∠=-=， 60OCE ︒∴∠=，tan 60OE OC ︒∴=⋅=联立两个方程可得：233133y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得：12120,32x x y y ⎧⎧==⎪⎪⎨⎨=-=-⎪⎪⎩⎩∴22)M -，综上所述：M的坐标为或2)-；【点睛】本题考查二次函数的综合题，需要掌握待定系数法求二次函数的解析式.。

南海区2023届高一学业水平测试2020年12月一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的.L 如图，已知全集U={l,2,3,4∖5},集合A = {l,3,5},则图中阴影部分表示的集合是（ ）3.答案：D解析：根据函数的立义，对于圧义域中的任意X ,都有唯一确定的y 与之对应，故选D.4•设 x∈R,贝 IJ " X 2-5X <0"是"0<x<2"的（ ）A ・充分而不必要条件 C.充要条件 4.答案：B数学试A. {2,4}B. {1,3,5}C. {1,2,3,4,5}D.解析：阴影部分表示的集合是QM = {2,4).2.命题“ ∀x∈R, 2X 2+1>0”的否泄是( A ・ Vx ∈ R. 2√+l≤0C. BX e R, 2X 2+1 ≤ O2.答案：C)B. 3x ∈ R, 2x 2 + 1 >O解析：全称量词命题的否左是存在量词命题, 即 “ VX ∈ D P(X)99的否定是 “ ％ ∈ Dr(X) MB.必要而不充分条件D ・既不充分也不必要条件3・下而的图象中可作为函数y = fW 的图象的是（解析：由X2-5Λ<0,解得0<XV5,由于｛xlθvxv2｝宇｛xlθ<x<5｝,所以“ x2-5x<0 ,,⅛“0<工<2”的必要而不充分条件.5.下列函数中是偶函数，且在(O,-K=O)上单调递增的是( )A. f(x) = Λ∙4B. f(x) = X5C./(χ) = χ÷lD./(χ) = AX X"5.答案：A解析：选项B, C是奇函数，选项D是偶函数，但在(0,+oo)上单调递减，只有选项A符合题意.6.函数= -2-χ与y = 2"的图象( )A.关于X轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.关于直线y = x对称6.答案：C解析：因为(x,y)与(-X, - J-)关于原点对称，所以函数y = -2^x与y = 2'的图象关于原点对称.7.泄义在R上的奇函数/(x)满足/⑴=O且对任意的正数a、b｛a ≠ b),有,/匕)7"" vθ,则不等a-b式SVo的解集是( )A. (-l,0)∪(l,+o□)B. (-1,0)U(0,1)C. (P,-1)U(I,+s)D. (-∞, — 1)U(0,1)7.答案：C解析：因为任意的正数“、b(a ≠ b).有“⑴— /(〃)< O成立,所以函数/(x)在(0,+s)上单调递减，a-b 又/(1) = 0,作出函数y = f(x)的图象如图所示，由加VO可知当Λ∙>0时，/(x)<0.当Λ∙<0时，X8.髙斯是徳国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用他的名字命名了“髙斯函数"・设x∈R.用[力表示不超过X的最大整数，则y = [x]称为高斯函数.例如:[-3.5] =-4, [2.1] = 2,已知函数f(x) = x-[x]则下列选项中，正确的是( )Λ. /(x)的最大值为1，没有最小值 B. /(x)的最小值为0,没有最大值C. /(x)没有最大值，没有最小值 D ・/(x)的最大值为1,最小值为O8.答案：B解析:函数f(χ)=χ-[χ]的图象如图所示,有图可知，/(兀)的最小值为0.没有最大值.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.9.已知幕函数y = x α(σ∈R)的图象过点(3,27),下列说法正确的是( )C.函数y =弋是单调减函数D •函数y = x α的值域为R9.答案：AD解析：将点(3,27)代入y = √,得3a=27,解得α = 3,所以y = x 3(XWR),该函数过原点，是奇函数，在R 上单调递增，值域为R.故选AD.10. 如图，某池塘里的浮萍而积y(单位:m 2)与时间H 单位：月)的关系式为y = ka , (keR 9且kHO ； α>0且t∕≠l).则下列说法正确的是()A. 浮萍每月增加的面积都相等B. 第6个月时，浮萍的而积会超过30 m 2C. 浮萍每月的增长率为1D. 若浮萍而积蔓延到4m 2,6m 2,9m 2所经过的时间分别为 t v t 1J 3,则∕1+∕3 = 2r 2 ・10.答案：BCDka = 111 解析：将(1,1), (3,4)分别代入 y = kc ιt,得｛ ,解得 k=—, a = 2. /. y =-∙2z = 2f ^,,ka =4 2 2过点0,-,(1,1), (2,2), (3,4), (4,8),...,浮萍每月增加的面积不相等，当r = 6时，y = 25A ・函数y = x°的图象过原点B.函数y = χα是偶函数O - -"13^=32>30,< 2丿每月浮萍的面积是上个月的2倍，增长率为1・若浮萍而积蔓延到4m 2,6m ∖9m 2所经过的时间分别为r l √2√3 ,则2r ^, = 4. 2z ^,=6, 2ZH=9, 因为4×9 = 62,所以 V2z3"1=(2^')2, Ar l -l+r 3-l = 2(∕2-l),即r l +r 3 = 2r 2.解析：Ub^-a+h)- = \,当且仅当a = b = -时取等号，故A 正确：42因为 a>0, b>0, cι+b = ∖.所以所以 2">2"=丄，选项 B 正确：2Iog 2 U + Iog 2 b = Iog 2(r∕Z?) ≤ Iog 2 * = 一2,所以 C 错误；•••肪W ∙L ∙∙•丄+丄= HP =丄N4,∙∙∙丄+丄N 丄正确，故选ABD4 a b ab ab CIbA12.对任意两个实数a.b 9赵义min{αb} = ("' 若/(x) = 2-√, g(x) = x 2-2>下列关于b 、 cι>b函数F(X) = min{∕(x),g(x)}的说法j 匸确的是()A ・函数F(Λ∙)是偶函数B. 方程F(X) = O 有两个实数根C. 函数F(X)在(-√Σ,0)上单调递增，在(0,√2)上单调递减D.函数F(X)有最大值为0,无最小值12.答案：ABD解析:作出函数y = F(X)的图象如图所示，由图可知， 函数F(X)是偶函数，方程F(X) = O 有两个实数根±JΣ, 函数F(X)在(-√2,0)上单调递减，在(O, √2)上单调递增. 函数F(X)有最大1 求集合M,N ：11・已知d>0, b>O 9 cι + b = ∖,贝IJ (A ・ ab≤ —411・答案：ABD)C. Iog 7 6Z+ Iog 2∕? -2D.丄 + 丄 M 丄a b 4值为0,无最小值.故选ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.13._____________________________ 求值：Iog416 + 162 1 3 = ・13.答案：6丄解析：IogJ6 + 16? =2 + 4 = 6 ・14.若关于X的不等式X2-2^ + «≤0的解集为0,则实数"的取值范困是_______________________14.答案：OVaVl解析：由题意可知，A = (-2α)2-4"=4∕-4"<0,解得OVdV 1・15.用二分法计算f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值，参考数据如下:那么方程X4+√-2X-2= O的一个近似解(精确度为0.1)可取为 _____________________ ・16.答案：由R=八①，得IOg n X= y@,在①②两式中α,x相同，在①中有α>0且a≠∖,又对任意的实数y, a y>0t即x>0.四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本题满分10分)设函数/(x) = √273的泄义域为集合M ,不等式Λ∙2-4Λ+3>O的解集为N .3 求集合M∩∕V, MUN;4 写岀集合(MnTV)与(MUN)的关系.17.解析：(1) •••函数/(x) = √∑r^3的立义域为集合M ,由2x-3≥0,3得Λ∙≥-, .∖M=∖x15.答案：1.4解析：∙.∙/(1.375)∙∕(1.4375) vO,且1.4375-1.375<0.1,故近似解⅞ ∈ (1.375,1.4375),可取X o =1.4.16.Iog fl X中的X, α要分别满足x>0, “>0且a≠∖,小明同学不知道为什么，请你帮他解释2由A2一4兀 + 3>0得兀>3或尤<1 ♦.∖ N = {x< 1 或x>3} 9(2) ∙∙∙M=]x Λ∙≥-L N = {X < 1 或 x>3), .∖M Γ∖N = {jdx>3}, ...................... 6 分I 2J3MUN = VX XVl 或Xa 二 >・ ........................................................... 8 分(3) (MnN)纭(MUN). ........................................................ 10 分 18.(本题满分12分)已知f (X)= y/x ・（1）求证/（X ）在［0,+Co ）上是增函数:18. (1) Vx 1, %2 ∈[0,+oo )且 X I < X l ,∙.∙ x 1 < x 2, .∙. X 1 - X 2 < 0 > + y∣jζ > 0 ・的大小关系:∙∙∙f(χj -f (勺)=頁-疑=丙一兀2yf^∖+∖pι∙∙∙√zF(2)①Λ^∈R ∙,猜想与a + b②证明你的猜想的结论：③求函数(O<Λ-<1)的最值・∙∙ J(E)-ZW V0,即 /(X 1) </(X 2) > 所以/(X)在[0,+CO)是增函数当a=b 时, a+ba + b方法2：<2f2、如图，点A(a ∖O ∖ B{b ∖0),点E 是AB 的中点E+∖θ , AC 丄43, BD 丄AB, EF 丄初,由图知再2(/ + 戻)一 / 一 庆 一 2ab a 2+b 1-2ab _(a-b)2、A…-------- = ---------- M U .44— 2x +1 + f/(1 — x)~ ÷ X" > 1 — A ，+X 1=J-当且仅当l-Λ- = x,即X = I 时等号成立，所以J X 2-Λ∙ + 1的最小值为无最大值. .............. 12分所以囲的最小值畤无最大值.19. (本题满分12分)若函数f(x) = ∖x-2∖ (1) 在给泄的平而直角坐标系中画出函数/(x)图象； (2) 写岀函数/(X)的值域、单调区间：(3) 在①fx + 2②兀一3,③JV +2这三个式子中任选岀一个使其等于Il(X),求不等式/(X) > h(x)的解集・注：如果选择多个条件分别解答，按第一解答计分.Cr +b 22(a 2 +b 2)-(a+b)24(Cl+bX<~Γ >出>0, .• 土42 V 2 2IO 分③E 厂③解法二:, 1 1X e-X + -+—= 4 41 X ——2) rr 当且仅空詁时等号成立'12分EF 交CD 于点G ，知EF =a + by........................ 5分(2)由图象可得函数的值域为［0,+8), .......................... 6分单调递减区间为(一s,2),单调递增区间为［2,+s).(3)IO分12分由图知原不等式的解集为R ・ 10分 12分y10分由2-x = 2 + x,得x = O,由图知原不等式的解集为{x ∖x<0}・ ........................ 12分 20.（本题满分12分）人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为制左 一系列政策提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型： y = y°e",其中/表示经过的时间，儿表示f = 0时的人口数，厂表示人口的年平均增长率. （1） 根据国家统计局网站公布的数据,我国1950年末、1959年末的人口总数大约分别为5.5亿和6.7亿.根 据这些数据，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在1950〜1959年期间的具体人口增长模型.（精确到 0.0001） （2） 以（1）中的模型作预测，大约在哪一年我国人口总数达到13亿？ （参考数据：ln67=4.2O47, ln55 = 4.∞73, In 13 = 2.5649, ln6.7 = 1.9021 , ln5.5 = 1.7047 ） 20.解析：（1）由题意知儿=5.5 ,设1950~1959年期间的我国人口的年平均增长率为宀根据马尔萨 斯人口增长模型，当/=9时，y = 6.7, 有6.7 = 5.5e 9r 即凹=® , ........................................... 5.5 55 两边取自然对数得 9r = ln-= In 67 -In 55 = 4.2047 一 4.∞73 = 0」974, 即 r = 0.1974 ÷9≈0.0219 ・ ................................ 因此,我国在1950 ~ 1959年间的具体人口增长模型为y = 5.5Z o2,9∖r∈[0,9].(2)将y = 13 代入y = 5.5√w2,9∖得13 = 5.5^02l9z, ......................... 7 分1Q 1 3即/°2⑼=0 0219/ = In — = In 13- In 5.5 = 2.5649-1.7047 = 0.8602 ,5.5 5.5从而r=0.8602÷0.0219≈39.28 ・........................................... 10 分从而1950+39.28 = 1989.28, ............................................ 11 分故大约在1990年我国人口总数达到13亿. ................................................. 12分注：如果答1989年扣1分.2x 121.(本题满分12分)已知泄义域为R的函数/(X) = -一一三是奇函数. 2x+a 2(1)求实数"的值；(2)若对任意的“[1,2],不等式f(x2-mx) + f(x2+4)> 0成立，求实数加的取值范围.2x 121・解析：(1)由题意得：函数/(X)= —一一是奇函数，泄义域为R. ....................... 1分2x+a 2A /(0) = 0,・・・丄—丄=0,得a = ∖............................................. 3分1 + “ 2经检验，G = I时，/(Q是奇函数. .......................................................... 4分2r J 2x +1 — 1 ) I j 1(2) ZW =F7T'Ξ = Z FTr^i=1-F7T'Ξ=Ξ-F7T'任取心咕R，且州5,2Λ, - 2 t2则∕U l)-∕(χ2) = j-^zτ2 2 勺+1 丿2 勺+1 2珂+1 (2 勺+1)(2 勺+1)∙/ X I <x2,.∖ 2x, < 2x∖/. 2η -2r2 <0,又(2r,+l)(2x2+l)>0, A/(x1)-∕(x2) <0 , A/(x1) </(x2) > 故在R上单调递增.对任意的x∈R> 不等式/(√-mx) + ∕(x2+4)> 0 成立，即/(x2-WU) >-/(√+4),又因为/(x)是奇函数，所以/(F 一〃M) >/(_/—4), ............................................... 8 分所以2X2-∕72X+4>O,即也V2X +?恒成立， ......................................... 10分X因为2x + ->2√8=4√2 (当且仅当x = y∕2时等号成立)，.............................. 11分所以m<(2x + - ! =4√Σ. ................................................ 12 分V X Lin22.(本题满分12分)如图，AQ4B 是边长为2的正三角形，记AQAB 位于直线x = t(t>O)左侧的图形的面积为/(O.(1) 求函数/(/)解析式： (2) 画岀函数y = /(Q 的图象；(3) 当函数g(f) = ∕(f)-M 有且只有一个零点时，求"的值.22.解析：(1)当0VfWI 时，= ...................................... 1 分当 1 V/W2时，/(O = √3-2^(2-O 2, .............................................. 2 分 当/>2时，/(f) = √J, .......................................................... 3 分—r 2,OVrWl2所以/(r) = <^√3-^-(2-02, 1<∕≤2 ......................................... 4 分2且与射线y = √3(∕>2)无交点.√3,t>27分逆时针旋转时与/(/)图象有两个交点，相切时有一个交点,(3) 当lv∕W2时，直线所以△= 4 一二-8 = 0,解得 a = 2yj3-y ∕β 或 α = 2jJ+Jδ∖当 rt = 2√3-√6 时，r-2√2y + 2 = 0,解得 ∕ = √Σ 在(1,2］内.当rt = 2√3 + √6时，r 2+2√2r + 2 = O, r = -√2 不在(1,2］］内, 当0 V/W1 时，g(t) = ^-t 2-at ,由 g(t) = ^-t 2-at = Q ,解得/ =辛22 ∙y 3因为Og1,所以OwW1,即OVKf ,当Cl = £ 时，直线y = G 过点［1,,(2,Q 这两点都在/(/)的图象上,此时√J -/ + 2 =一f)2-α∕ = 0,所以尸一 4-22.(本题满分12分)如图，AQ4B 是边长为2的正三角形，记AQAB 位于直线x = t(t>O)左侧的图/T当0 VaV 冷-时，直线y = M 与射线y = √3(r>2)有一个交点, 当GWO 或a>2羽-书时，直线y = at 与/(/)的图象无交点, 所以 t∕ = 2√3-√6.0<r≤lt>2(i)若 g(t) = ~t 2-at(O<t^Y)有唯一零点，则 0 VdW 芈, 乙 乙/T(ii)若g(r) = ^-(r-2)2+ √3-6∕M<∕<2有唯一零点，则^ = 2√3-√6, f∕ = 2√3 + √6(舍去),2(iii)若 g(t) = y∕3-at i t>2 有唯一零点，则 0 V"w£2综上所述，当0 VdWf 时，g(f)有两个零点.当^ = 2√3-√6时，函数g(t) = f(t)-at 有且只有一12分另法：设g(t) = f(t)-at=<-t)2-at, l<r≤2。

广东省佛山市南海第一中学2021年高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设集合，集合，则A∩B=（）A. [0,1]B. (0,1]C. [0,+∞)D. (－∞,1]参考答案：D∵，，∴，故选D.2. 已知数列{a n}是公差为2的等差数列，且a1，a2，a5成等比数列，则a2为( ) A．﹣2 B．﹣3 C．2 D． 3参考答案：D【考点】等比数列的性质；等差数列的性质．【专题】计算题．【分析】先用a2分别表示出a1和a5，再根据等比中项的性质得a22=a1a5进而求得a2．【解答】解：a1=a2﹣2，a5=a2+6∴a22=a1a5=（a2﹣2）（a2+6），解得a2=3故选D【点评】本题主要考查了等差数列和等比数列的性质．属基础题．3. 在复平面内，复数(1﹣i)2对应的点P位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限参考答案：C【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】展开完全平方式，得到复数对应的点P的坐标得答案．【解答】解：∵ =，∴复数对应的点P的坐标为（﹣1，﹣2），位于第三象限．故选：C．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．4. 已知圆的方程为,则此圆的半径是(A)1 (B)(C)2 (D)参考答案：C略5. 已知集合，集合，则A． B． C．D．参考答案：C略6. 一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为( )A． B．C． D．参考答案：C略7. 若，，是互不相同的空间直线，，是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是A．若，，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则参考答案：D略8. 已知m∈R，函数f（x）=，g（x）=x2﹣2x+2m﹣2，若函数y=f （g（x））﹣m有6个零点，则实数m的取值范围是（）A．（1，2）B．（，1）C．（，）D．（0，）参考答案：D【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题；作图题；转化思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】作函数f（x）=的图象，从而可得方程x2﹣2x+3m﹣1=0、x2﹣2x+m﹣1=0与x2﹣2x+2m﹣3﹣10m=0都有两个不同的解，从而解得．【解答】解：作函数f（x）=的图象如下，，由图象可知，当0＜m＜2时，f（u）﹣m=0有三个不同的解，即|u+1|=m或lg（u﹣1）=m，故u=﹣1﹣m或u=﹣1+m或u=1+10m，故g（x）=x2﹣2x+2m﹣2=﹣1﹣m或x2﹣2x+2m﹣2=﹣1+m或x2﹣2x+2m﹣2=1+10m，故x2﹣2x+3m﹣1=0或x2﹣2x+m﹣1=0或x2﹣2x+2m﹣3﹣10m=0，∵函数y=f（g（x））﹣m有6个零点，∴方程x2﹣2x+3m﹣1=0、x2﹣2x+m﹣1=0与x2﹣2x+2m﹣3﹣10m=0都有两个不同的解，∴，解得，m＜，故0＜m＜，故选：D．【点评】本题考查了分段函数的应用及二次方程的判别式的应用，难点在于复合函数的应用．9. 已知函数f(x)是以2为周期的偶函数，且当x(0,1)时，f(x)=2x-1,则f(log212)的值为（）A. B. C.2 D.11参考答案：A略10. 某同学同时投掷两颗骰子，得到点数分别为，则双曲线的一条渐近线的倾斜角小于的概率为（）参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知，则.参考答案：12. 幂函数的图象过点，则．参考答案：213. （5分）（2014?陕西）在极坐标系中，点（2，）到直线ρsin（θ﹣）=1的距离是．参考答案：1【考点】：点的极坐标和直角坐标的互化．【专题】：坐标系和参数方程．【分析】：把极坐标化为直角坐标的方法，利用点到直线的距离公式求得结果．解析：根据极坐标和直角坐标的互化公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得点（2，）即（，1）；直线ρsin（θ﹣）=1即﹣x+y=1，即x﹣y+2=0，故点（，1）到直线x﹣y+2=0的距离为=1，故答案为：1．【点评】：本题主要考查把极坐标化为直角坐标的方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．14. 已知边长为的正三角形三个顶点都在球的表面上，且球心到平面的距离为该球半径的一半，则球的表面积为 .参考答案：15. 函数f(x)＝sin2x－cos2x在区间上的最大值为________．参考答案：1略16. 已知是锐角的外接圆的圆心，且，若，则 .（用表示）参考答案：17. 已知F1，F2是双曲线E：﹣=1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=，则E的离心率为．参考答案：【考点】双曲线的简单性质．【分析】由条件MF1⊥MF2，sin∠MF2F1=，列出关系式，从而可求离心率．【解答】解：由题意，M为双曲线左支上的点，则MF1=，MF2=，∴sin∠MF2F1=，∴ =，可得：2b4=a2c2，即b2=ac，又c2=a2+b2，可得e2﹣e﹣，e＞1，解得e=．故答案为：．【点评】本题主要考查双曲线的定义及离心率的求解，关键是找出几何量之间的关系．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2021-2022学年广东省佛山市南海区高三（上）摸底数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.设集合A={−1,1，2，3，5}，B={2,3，4}，C={x∈R|1≤x<3}，则(A∩C)∪B=()A. {2}B. {2,3}C. {−1,2，3}D. {1,2，3，4}2.设复数z满足z−=|1−i|+i(i为虚数单位)，则复数z为()A. √2−iB. √2+iC. 1D. −1−2i3.已知双曲线C：x2−y2=1的一个焦点为(−2,0)，则双曲线C的一条渐近线方程为b2()A. x+√3y=0B. √3x+y=0C. x+√3y−1=0D. √3x+y−1=04.某个国家某种病毒传播的中期，感染人数y和时间x(单位：天)在18天里的散点图如图所示，下面四个回归方程类型中最适宜作为感染人数y和时间x的回归方程的是()A. y=a+bxB. y=a+be xC. y=a+blnxD. y=a+b√x5.设函数，则满足f(x+1)<f(2x)的x的取值范围是()A. B. C. (−1,0) D.6.向量a⃗，b⃗ ，c⃗在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，若e⃗为与c⃗同方向的单位向量，则(a⃗+b⃗ )⋅e⃗=()A. 1.5B. 2C. −4.5D. −37.某学生到工厂实践，欲将一个底面半径为2，高为3的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内，若不考虑损耗，则得到的圆柱体的最大体积是()A. 16π9B. 8π9C. 16π27D. 8π278.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为P，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)=2.1，P(X=4)<P(X=6)，则P=()A. 0.7B. 0.6C. 0.4D. 0.3二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.为了解目前全市高一学生身体素质状况，对某校高一学生进行了体能抽测，得到学生的体育成绩X～N(70,100)，其中60分及以上为及格，90分及以上为优秀，则下列说法正确的是()附：若X～N(μ,σ2)，则P(μ−σ≤X<μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ≤X<μ+2σ)=0.9544．A. 该校学生体育成绩的方差为10B. 该校学生体育成绩的期望为70C. 该校学生体育成绩的及格率不到85%D. 该校学生体育成绩的优秀率超过4%10.关于函数f(x)=sin|x|+|cosx|，下列结论正确的是()A. f(x)是偶函数B. f(x)在区间(π2,π)单调递减C. f(x)在[−2π,2π]有4个零点D. f(x)的最小值为−√211.已知m，n是互不重合的直线，α，β是互不重合的平面，下列四个命题中正确的是()A. 若m⊂α，n⊂α，m//β，n//β，则α//βB. 若m//α，m//β，α∩β=n，则m//nC. 若m⊥α，m⊥n，α//β，则n//βD. 若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β12. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左，右焦点是F 1，F 2，P 是椭圆上一点，若|PF 1|=2|PF 2|，则椭圆的离心率可以是( )A. 14B. 13C. 12D. 23三、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 函数f(x)=tanx1+tan 2x 的最小正周期为______．14. 第三届进博会招募志愿者，某校高一年级有3位同学报名，高二年级有6位同学报名，现要从报名的学生中选取5人，要求高一年级和高二年级的同学都有，则不同的选取方法种数为______.(结果用数值表示)15. 2n −C n 1×2n−1+C n 2×2n−2+⋯+(−1)n−1C n n−1×2+(−1)n =______．16. 已知函数f(x)=3x ，g(x)=|x +a|−2(a ∈R)，若函数y =f(g(x))是偶函数，则a =______；若函数y =g(f(x))存在两个零点，则a 的取值范围是______． 四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 在△ABC 中，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且B =2π3，b =√6．(Ⅰ)若cosAcosC =23，求△ABC 的面积；(Ⅱ)试问1a +1c =1能否成立？若能成立，求此时△ABC 的周长；若不能成立，请说明理由．18. 某保险公司拟推出某种意外伤害险，每位参保人交付50元参保费，出险时可获得2万元的赔付，已知一年中的出险率为0.15%，现有6000人参保(1)求保险公司获利在[6,12)(单位：万元)范围内的概率：(结果保留小数点后三位) (2)求保险公司亏本的概率．(结果保留小数点后三位)附：P(k)=∑C 6000t k t=0×0.0015t ×0.99856000−tk9101112131415P(k)0.5870.7060.8030.8760.9260.9590.97819.已知数列{a n}的前n项和S n=n(n+1)2，令b n=[log3a n]，其中[x]表示不超过x的最大整数，[0.9]=0，[log38]=1．(1)求a n；(2)求b100；(3)求数列{b n}的前3m−1(m∈N∗)项之和．20.如图圆锥的轴截面PAB是等腰直角三角形，AB的中点为O，C是底面圆周上异于A，B的任一点，D是OC的中点，E为母线PA上的一点，且AE=3EP．(1)证明：ED//平面PCB；(2)设二面角A−OP−C的大小为θ，二面角A−PC−B的大小为φ，求1cos2ϕ−8sin2θ的值．21.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，准线与x轴交于D点，过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，且|FA|⋅|FB|=|FA|+|FB|．(1)求抛物线C的方程；(2)设P，Q是抛物线C上的不同两点，且PF⊥x轴，直线PQ与x轴交于G点，再在x轴上截取线段|GE|=|GD|，且点G介于点E点D之间，连接PE，过点Q 作直线PE的平行线l，证明：l是抛物线C的切线．22.已知函数f(x)=ln(x+1)−ax−1，其中a≤−3，ln2≈0.693．10(1)证明：函数f(x)有唯一零点；(2)设x0为函数f(x)的零点．①证明：x0<1−a；②写出一个代数式g(a)，使g(a)<x0，并证明这一结论．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查集合的交集、并集运算，比较基础．根据集合的基本运算即可求A∩C，再求(A∩C)∪B．【解答】解：集合A={−1,1，2，3，5}，C={x∈R|1≤x<3}，则A∩C={1,2}，∵B={2,3，4}，∴(A∩C)∪B={1,2}∪{2,3，4}={1，2，3，4}；故选：D．2.【答案】A【解析】解：复数z满足z−=|1−i|+i=√2+i，则复数z=√2−i．故选：A．利用复数的模的计算公式、共轭复数的定义即可得出．本题考查了复数的模的计算公式、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】B=1的一个焦点为(−2,0)，所以c=2，因为a=1，所【解析】解：双曲线C：x2−y2b2以b=√3，所以双曲线的渐近线方程为：√3x±y=0．故选：B．利用双曲线的焦点坐标，求解c，然后求解b，即可求解双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题．4.【答案】B【解析】解：由图可知，图象随着x 的增大而增高，且增长速度越来越快， 结合选项，可判断y =a +be x 最适宜作为感染人数y 和时间x 的回归方程． 故选：B ．由图象结合四个选项中函数的单调性即可得结论． 本题考查回归方程的求法，考查数形结合思想，是基础题．5.【答案】D【解析】 【分析】本题考查分段函数的应用，考查计算能力． 画出函数的图象，列出不等式求解即可． 【解答】解：函数f(x)={2−x ,x ≤01,x >0，的图象如图：满足f(x +1)<f(2x)，可得：2x <0<x +1或2x <x +1≤0， 解得x ∈(−∞,0)． 故选：D ．6.【答案】D【解析】解：建立坐标系如图，a ⃗ =(−1,1)，b ⃗ =(−2,−1)， (a ⃗ +b ⃗ )⋅e ⃗ =(−1−2,1−1)⋅(1,0)=−3．利用已知条件表示a⃗+b⃗ ，然后求解向量的数量积即可．本题考查向量的数量积的求法与应用，是基础题．7.【答案】A【解析】解：设圆柱的半径为r，高为x，体积为V，则由题意可得r2=3−x3，∴x=3−32r，∴圆柱的体积为V(r)=πr2(3−32r)(0<r<2)，则V(r)=169π⋅34r⋅34r⋅(3−32r)≤16π9⋅(34r+34r+3−32r3)3=16π9．当且仅当34r=3−32r，即r=43时等号成立．∴圆柱的最大体积为16π9，故选：A．根据条件求出圆柱的体积，利用基本不等式研究函数的最值即可．本题主要考查基本不等式在生活中的优化问题，利用条件建立体积函数是解决本题的关键，是中档题．8.【答案】A【解析】解：概率都为p，可看做是独立重复事件，满足X～B(10,p)，P(x=4)<P(X=6)，可得C104⋅P4⋅(1−P)6<C106⋅P6⋅(1−P)4，化简得1−2P<0，解得P>12；因为D(X)=2.1，可得10P(1−P)=2.1，解得p=0.7或p=0.3(舍去)；∴P的值为0.7．故选：A．利用已知条件，转化为二项分布，利用方差转化求解即可．本题考查了二项分布的概率与方差计算问题，是基础题．【解析】解：由题意知，X～N(70,100)，所以期望值为μ=70，标准差为σ=10，方差为100，选项A错误，选项B正确；因为P(X>70)=0.5，P(60≤X≤80)=P(μ−σ<μ+σ)=0.6826，所以P(60≤X≤70)=12×0.6826=0.3413，所以P(X≥60)=P(60≤X≤70)+P(X>70)=0.3413+0.5=0.8413<85%，选项C正确；因为优秀的概率为：P(X≥90)=P(X≥70)−P(70≤X≤90)=0.5−12×0.9544= 0.0228<0.4，选项D错误．故选：BC．由已知可得即可求出期望与标准差，方差，再根据公式即可求解本题考查了正态分布的性质与应用问题，与考查了分析与判断能力，是基础题．10.【答案】AC【解析】解：函数f(x)=sin|x|+|cosx|，对于A：f(−x)=sin|x|+|cosx|=sin|−x|+|cos(−x)|=f(x)故函数为偶函数，故A 正确；对于B：由于x∈(π2,π)，故f(x)=sinx−cosx=√2sin(x−π4)，故函数在区间(π2,π)单调递增，故B错误；对于C：当x∈[0,π2]时，f(x)=sinx+cosx=√2sin(x+π4)∈[1,√2]；当x∈[π2,π]时，f(x)=sinx−cosx=√2sin(x−π4)∈[1,√2]；当x∈[π,3π2]时，f(x)=sinx−cosx=√2sin(x−π4)∈[−1,1]；当x=5π4时，f(5π4)=0．当x∈[3π2,2π]时，f(x)=sinx+cosx=√2sin(x+π4)∈[−1,1]，当x=7π4时，f(7π4)=0．故函数f(x)在[0,2π]上有两个零点，由于函数为偶函数，故函数f(x)在[−2π,2π]有4个零点，故C正确；对于D：由选项C的函数的值域函数的最小值为−1，故D错误．故选：AC．直接利用函数的关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用判断A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．11.【答案】BD【解析】【分析】本题考查命题真假的判断，涉及到空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间思维能力等数学核心素养．对于A，α与β相交或平行；对于B，由线面平行的性质得m//n；对于C，n//β或n⊂β；对于D，由面面垂直的判定定理得α⊥β．【解答】解：对于A，若m⊂α，n⊂α，m//β，n//β，则α与β相交或平行，故A错误；对于B，若m//α，m//β，α∩β=n，则由线面平行的性质得m//n，故B正确；对于C，若m⊥α，m⊥n，α//β，则n//β或n⊂β，故C错误；对于D，若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D正确．故选：BD．12.【答案】BCD【解析】解：由题意可得左准线方程为：x=−a2c ，右准线方程为：x=a2c，设P(x,y)，又因为|PF1|=2|PF2|，由题意的第二定义可得：|PF1|x+a 2c =e，所以|PF1|=e(x+a2c)，同理可得|PF2|=e(a2c−x)，所以e(x+a2c )=2e(a2c−x)，解得：x=a23c，由题意可得0<x≤a，即0<a23c ≤a，解得：ca≥13，故选：BCD．由题意的第二定义可得到焦点的距离与到相应准线的距离的比为离心率，再由|PF1|= 2|PF2|，可得P的横坐标，再由P的横坐标的取值范围求出离心率的取值范围．本题考查椭圆的简单几何性质及离心率的取值范围，属于中档题．13.【答案】π2【解析】解：函数f(x)=tanx1+tan2x =12×2tanx1+tan2x=12tan2x，故函数的最小正周期为：T=π2．故答案为：π2．直接利用三角函数关系式的变换，函数的性质周期性的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，函数的性质周期性的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．14.【答案】120【解析】解：要求高一年级和高二年级的同学都有，则有C31C64+C32C63+C33C62=45+60+15=120，故答案为：120．根据组合公式，利用分类讨论的思想进行求解即可．本题主要考查简单计数问题，利用分类讨论思想是解决本题的关键，是基础题．15.【答案】1【解析】解：由题意，根据二项式定理的公式，可知2n−C n1×2n−1+C n2×2n−2+⋯+(−1)n−1C n n−1×2+(−1)n=C n0⋅2n⋅(−1)0+C n1⋅2n−1⋅(−1)1+C n2⋅2n−2⋅(−1)2+⋅⋅⋅+C n n−1⋅21⋅(−1)n−1+C n n⋅20⋅(−1)n=(2−1)n=1．故答案为：1．本题根据题干表达式结合二项式定理的公式即可计算出结果．本题主要考查二项式定理的应用．考查转化思想，公式法，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属基础题．16.【答案】0 (−∞,−2)【解析】解：函数f(x)=3x ，g(x)=|x +a|−2， 因为y =f(g(x))=3|x+a|−2为偶函数， 则f(g(−x))=3|−x+a|−2=f(g(x))， 所以|x +a|=|−x +a|对x ∈R 恒成立， 则a =0；函数y =g(f(x))=|3x +a|−2，①当a ≥0时，则g(f(x))=3x +a −2在R 上为增函数，至多有一个零点，不符合题意； ②当a <0时，则g(f(x))={−3x −a −2,x <log 3(−a)3x+a −2,x ≥log 3(−a)， 故g(f(x))min =g(log 3(−a))=−2<0， 又x <log 3(−a)时，−3x −a <−a ， 所以−a −2>0，解得a <−2， 所以a 的取值范围为(−∞,−2)． 故答案为：0；(−∞,−2)．利用偶函数的定义，得到|x +a|=|−x +a|对x ∈R 恒成立，即可得到答案；化简函数y =g(f(x))，然后分a ≥0和a <0两种情况，结合函数的最值进行转化求解，即可得到答案．本题考查了函数的零点与方程的根的综合应用，解决函数零点或方程根的问题，常用的方法有：(1)方程法(直接解方程得到函数的零点)；(2)图象法(直接画出函数的图象分析得解)；(3)方程+图象法(令函数为零，再重新构造两个函数，数形结合分析得解).属于中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)由B =2π3，可得A +C =π3， 所以cos(A +C)=cosAcosC −sinAsinC ，即12=cosAcosC −sinAsinC ， 又因为cosAcosC =23，所以sinAsinC =16， 因为asinA =csinC =√6√32=2√2，所以a =2√2sinA,c =2√2sinC ，所以S △ABC =12⋅2√2sinA ⋅2√2sinC ⋅sinB =4sinAsinBsinC =4×16×√32=√33；(Ⅱ)假设1a +1c =1能成立，所以a +c =ac ，由余弦定理，b2=a2+c2−2accosB，所以6=a2+c2+ac，所以(a+c)2−ac=6，故(ac)2−ac−6=0，解得ac=3或ac=−2(舍)，此时a+c=ac=3，不满足a+c≥2√ac，所以假设不成立，故1a +1c=1不成立．【解析】(Ⅰ)利用三角形内角和定理，可得A+C=π3，利用cos(A+C)求出sinAsinC=16，由正弦定理得到a和c的值，然后利用面积公式求解即可；(Ⅱ)利用反证法，假设1a +1c=1能成立，然后利用余弦定理得到ac=3，与基本不等式矛盾，即可证明．本题考查了解三角形的综合应用，主要考查了正弦定理和余弦定理的应用，解三角形的基本策略是：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”，属于中档题．18.【答案】解：(1)由题意知保险公司每年的保费收入为30万元，若获利6万元，则有12人出险，若获利12万元，则有9人出险，当遭遇意外伤害的人数X∈(9,12]时，保险公司获利在[6,12)(单位：万元)范围内，∴P(9<X≤12)=P(X≤12)−P(X≤9)=0.876−0.587=0.289，∴保险公司获利在[6,12)(单位：万元)范围内的概率为0.289．(2)当遭遇意外伤害的人数X>15时，保险公司亏本，∴P(X>15)=1−P(X≤15)=1−0.978=0.022，∴保险公司亏本的概率为0.022．【解析】(1)由题意知保险公司每年的保费收入为30万元，若获利6万元，则有12人出险，若获利12万元，则有9人出险，当遭遇意外伤害的人数X∈(9,12]时，保险公司获利在[6,12)(单位：万元)范围内，由此能求出保险公司获利在[6,12)(单位：万元)范围内的概率．(2)当遭遇意外伤害的人数X>15时，保险公司亏本，由此能求出保险公司亏本的概率．本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：(1)由题意，当n =1时，a 1=S 1=1×22=1，当n ≥2时，a n =S n −S n−1=n(n+1)2−n(n−1)2=n ，∵当n =1时，a 1=1也满足上式， ∴a n =n ，n ∈N ∗．(2)由(1)，可知b n =[log 3a n ]=[log 3n]， ∵34=81，35=243， ∴34<100<35， ∴b 100=[log 3100]=4．(3)由题意，b 1=[log 31]=0，b 2=[log 32]=0， 当31≤n <32−1时，b n =1， 当32≤n <33−1时，b n =2， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅当3m−1≤n <3m −1时，b n =m −1， 设数列{b n }的前n 项和为T n ， 则T 3m −1=b 1+b 2+⋅⋅⋅+b n=(b 1+b 2)+(b 3+b 4+⋅⋅⋅+b 8)+⋅⋅⋅+(b 3m−1+b 3m−1+1+⋅⋅⋅+b 3m −1) =0×(31−30)+1×(32−31)+2×(33−32)+⋅⋅⋅+(m −1)×(3m −3m−1) =2×1×31+2×2×32+⋅⋅⋅+2×(m −1)×3m−1，则3T 3m −1=2×1×32+2×2×33+⋅⋅⋅+2×(m −2)×3m−1+2×(m −1)×3m ， 两式相减，可得−2T 3m −1=2×1×31+2×1×32+2×1×33+⋅⋅⋅+2×1×3m−1−2×(m −1)×3m =2×31−3m 1−3−2×(m −1)×3m=−(2m −3)×3m −3， ∴T3m −1=(2m−3)⋅3m2+32．【解析】(1)根据题意并结合公式a n ={S 1,n =1S n −S n−1,n ≥2即可计算出数列{a n }的通项公式．(2)先根据第(1)题的结果计算出数列{b n }的通项公式，然后根据对数的性质并判断100在34与35之间，进一步分析即可计算出b 100的值．(3)先计算出数列{b n }的前几项的值并发现规律，分析出b 1，b 2，⋅⋅⋅，b 3m −1的值并进行分类，在求和时运用分组求和法和错位相减法可计算出数列{b n }的前3m −1(m ∈N ∗)项之和．本题主要考查数列与取整函数的综合，取整数列的求通项公式和求和问题．考查了分类讨论思想，转化与化归，对数的运算，运用分组求和法和错位相减法求前n 项和，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属较难题．20.【答案】解(1)证明：连接AD ，延长与BC 交于点F ，则AD =3DF ，连接PF ，因为AE =3EP ，所以DE//PF ， 又ED ⊄平面PCB ，PF ⊂平面PCB ， 所以ED//平面PCB ；(2)由题意，∠AOC =θ，建立空间直角坐标系如图所示，设OA =1，则P(0,0，1)，A(0,−1,0)，B(0,1，0)，C(sinθ,−cosθ,0)， 所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,−1),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,−1)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(sinθ,−cosθ,−1)， 设平面PCA 的法向量为m⃗⃗⃗ =(a,b,c)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−b −c =0m ⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =asinθ−bcosθ−c =0，令b =1，则c =−1，a =cosθ−1sinθ，故m ⃗⃗⃗ =(cosθ−1sinθ,1,−1)，同理可求得平面PBC 的法向量为n ⃗ =(cosθ+1sinθ,1,1)，所以1cos 2ϕ=|m ⃗⃗⃗ |2|n ⃗⃗ |2(m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ )2=(cos 2θ+1+2sin 2θ)2−4cos 2θsin 4θ，则1cos 2ϕ−8sin 2θ=(cos 2θ+1+2sin 2θ)−4cos 2θsin 4θ−8sin 2θ=(2+sin 2θ)2−4cos 2θ−8sin 2θsin 4θ=1+4sin 2θ+sin 4θ−4(1−sin 2θ)−8sin 2θsin 4θ=1．【解析】(1)连接AD ，延长与BC 交于点F ，则AD =3DF ，，连接PF ，即可证明DE//PF ，由线面平行的判定定理即可证明ED//平面PCB ；(2)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面PCA 和平面PBC 的法向量，由向量的夹角公式求解cosφ，然后表示出1cos 2ϕ−8sin 2θ，再化简求值即可．本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面平行的判定定理，二面角，三角函数的化简求值问题，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．21.【答案】解：(1)抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点为F(p 2,0)，准线为x =−p2，设过F 的直线方程为y =k(x −p2)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立{y =k(x −p2)y 2=2px可得k 2x 2−(pk 2+2p)x +k 2p 24=0， x 1+x 2=p +2p k 2，x 1x 2=p 24，所以|FA|+|FB|=x 1+x 2+p =2p +2pk 2， |FA|⋅|FB|=(x 1+p2)(x 2+p2)=x 1x 2+p 24+p2(x 1+x 2)=p 22+p 2(p +2pk 2)=p 2+p 2k 2，由|FA|⋅|FB|=|FA|+|FB|，可得(p 2−2p)(1+1k 2)=0， 即p 2−2p =0， 解得p =2，所以抛物线的方程为y 2=4x ；(2)证明：由题意不妨设P(1,2)，D(−1,0)，F(1,0)，设直线PQ 的方程为y −2=k 1(x −1)，当y =0时，可得G(1−2k 1,0)，由G 为ED 的中点，由中点坐标公式可得E(3−4k 1,0)，所以PE 的斜率为21−(3−4k 1)=k12−k 1， 由{y =k 1x +2−k 1y 2=4x 可得k 12x 2+[2k 1(2−k 1)−4]x +(2−k 1)2=0， 可得x Q =1−4k 1+4k 12，y Q =4k 1−2，可得直线l 的方程为y +2−4k 1=k 12−k 1(x −1+4k 1−4k 12)，①与抛物线的方程y 2=4x②联立，将②代入①，消去x ，可得k14(2−k 1)⋅y 2−y +2−k 1k 1=0，则△=1−4⋅k14(2−k 1)⋅2−k 1k 1=0，即方程有唯一解．所以l为抛物线的切线．【解析】(1)求得抛物线的焦点和准线方程，设过F的直线方程为y=k(x−p2)，与抛物线的方程联立，运用韦达定理和抛物线的定义，化简整理，解方程可得p，进而得到抛物线的方程；(2)分别求得P，D，F，设PE的方程，可得G，E的坐标，求得PE的斜率和Q的坐标，可得直线l的方程，与抛物线的方程联立，由判别式为0，可得结论．本题考查抛物线的定义、方程和性质，以及直线和抛物线的位置关系，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．22.【答案】证明：(1)函数的定义域为(−1,+∞)，f′(x)=1x+1−a>0，所以f(x)在(−1,+∞)上为增函数，又f(0)=−1<0，f(e2−1)=1−ae2>0，由零点存在性定理可知，f(x)有唯一零点．(2)①f(1−a)=ln(2−a)−a(1−a)−1，令m(a)=ln(2−a)−a(1−a)−1，a≤−310，所以m′(a)=−12−a+2a−1<0，所以m(a)在(−∞,−310]上为减函数，则m(a)≥m(−310)=ln2.3−0.61>ln2−0.61>0，即f(1−a)>0，因为x0为函数f(x)的零点，所以f(1−a)>f(x0)，又f(x)(−1,+∞)上为增函数，所以x0<1−a．②g(a)=11−a ，下面证明11−a<x0，函数ℎ(x)=lnx−x+1，ℎ′(x)=1x −1=1−xx，当x∈(0,1)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增，当x∈(1,+∞)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减，所以ℎ(x)≤ℎ(1)=0，即lnx−x+1≤0，即lnx≤x−1，当且仅当x=1时取等号，所以f(11−a )=ln(11−a+1)−a(11−a)−1<11−a−a1−a−1=0，即f(11−a)<f(x0)，又f(x)在(−1,+∞)上为增函数，所以11−a<x0．【解析】(1)求导可知函数f(x)在定义域上为增函数，再结合零点存在性定理即可得证；(2)①利用导数求得f(1−a)<0，结合f(x)的单调性即可证得x0<1−a；②g(a)=11−a ，利用导数可得lnx≤x−1，当且仅当x=1时取等号，从而可得f(11−a)<0，结合f(x)的单调性即可得证．本题主要考查利用导数研究函数的单调性，最值，考查不等式的证明，零点存在性定理的应用，考查推理论证能力及运算求解能力，属于难题．。