2015年全国高中数学联赛河北省预赛试题及答案

2015年全国高中数学联赛河北省预赛试题及答案

一、填空题（每小题8分，共64分） 1.已知函数(

))

()ln 10f x ax a =+>，

则()1ln ln f a f a ⎛⎫

+= ⎪⎝⎭

． 答案：2 提示：

()(

)

))

()2222ln

ln

2ln 12 2.

f x f x ax ax a x a x +-=++=+-+=

2.设A 、B 两点分别在抛物线2

6y x =和圆()2

2

:21C x y -+=上，则AB 的取值范围

是

． 答案：[)1,+∞

提示：由于1AB AC ≥-，则只需要考虑AC 的范围．而

()()()222

22

2

2262413,

AC x y x x

x x x =-+=-+=++=++

又0x ≥，故min 2AC =，故AB 的取值范围为[)1,.+∞ 3.若tan 3tan 02παββα⎛⎫

=<≤< ⎪⎝

⎭

，则αβ-的最大值为 ． 答案：

6

π． 提示：

(

)2tan tan 2tan tan 1tan tan 13tan 2

1

3tan tan tan .36

αββ

αβαββ

β

βπ--=

=

++=

+≤

= 因为02

π

βα<≤<，所以0.2

π

αβ≤-<

所以6

π

αβ-≤

，即αβ-的最大值为

.6

π 4.已知△ABC 为等腰直角三角形，其中C ∠为直角，1AC BC ==，过点B 作平面ABC 的垂线DB ，使得1DB =，在DA 、DC 上分别取点E 、F ，则△BEF 周长的最小

值为 ．

．

提示：由题意可知，,4CDB π

∠=且BDA ∠与CDA ∠之和为.2

π

如图，将侧面BDA 和侧面

CDB 分别折起至面1B DA 和2B DC ，且与侧面ADC 位于同一个平面上．则△BEF 周长的

最小值即面12AB DB C 上两点1B 、2B 之间的线段长．

由前面的分析可知，

1212

3.244

B DB B DA AD

C CDB ππ

π

∠=∠+∠+∠=+=

由余弦定理可得，

12B B ===

所以，△BEF

5.已知函数()3

3f x x x =+，对任意的[]2,2,m ∈-()()82

0x f mx f -+<恒成立，

则正实数x 的取值范围为 ． 答案：0 2.x <<

提示：由于()3

3f x x x =+为奇函数且为增函数，所以()()82

0x

f mx f -+<等价于

()()()822x x f mx f f -<-=-，即82.x mx -<-

即280x

mx +-<对任意[]2,2m ∈-恒成立．

即2280,2280,

x

x

x x ⎧+-<⎪⎨-+-<⎪⎩所以02,04,x x <<⎧⎨<<⎩即0 2.x <<

6.已知向量a 、

b 、

c 满足(

)*

::2::3a b c k k N =∈，

且()2b a c b -=-，若α为a 、c 的夹角，则cos α的值为 ．

答案：1

.6

-

提示：由()

2b a c b -=-得12

33

b a

c =

+，所以 222144

.999

b a

c a c =++⋅

又::2::3a b c k =，所以

240241664cos ,.9999k α⎡⎤

=

+∈⎢⎥⎣⎦

又*

k N ∈，所以2k =，所以cos α的值为1.6

-

7.现有一个能容纳10个半径为1的小球的封闭正四面体容器，则该容器棱长最小值为 ．

答案：4+

提示：这10个小球成棱锥形来放，第一层1个，第2层3个，第3层6个，即每一条

棱是3的小球，于是正四面体的一条棱长就应该是4倍的小球的半径加上2倍的球心到四面

体顶点的距离到棱长上射影的长度，又球心到顶点的距离为3，正四面体的高和棱所成角的

余弦值为

3

42343+⨯⨯=+ 8.将10个小球（5个黑球和5个白球）排成一行，从左边第一个小球开始向右数小球．无

论数几个小球，黑球的个数总不少于白球个数的概率为 ． 答案：1

.6

提示：方法一 如果只有2个小球（1黑1白），那么黑球的个数总不少于白球个数的概

率为

12；如果只有4个小球（2黑2白），那么黑球的个数总不少于白球个数的概率为13

；如果只有6个小球（3黑3白），那么黑球的个数总数不少于白球个数的概率为1

4

；以此类

推，可知将10个小球（5黑5白）排成一行，从左边一个小球开始向右数小球，无论数几