高数1-6章单元自测题

自测题(1-7章附参考答案)-高等数学上册第一章 函数与极限一、 选择题： 1．函数1arccos2x y +=的定义域是（ ） (A)1x ≤； (B)31x -≤≤；(C)(3,1)-； (D){}{}131x x x x <⋂-≤≤. 2.函数23,401,03x x x x --≤≤⎧⎨+<≤⎩的定义域是（ ）(A)40x -≤≤；(B)3≤;(C)(4,3)-; (D){}{}4003x x x x -≤≤⋃<≤. 3、函数cos sin y x x x=+是（ ）(A)偶函数； (B)奇函数； (C)非奇非偶函数；(D)奇偶函数. 4、函数()1cos2f x xπ=+的最小正周期是（ ）(A)2π； (B)π； (C) 4 ； (D)12. 5、函数21x x +在定义域为（ ） (A)有上界无下界； (B)有下界无上界； (C)有界，且1122()f x ≤≤； (D)有界，且 2221x x -≤≤+ .6、与()f x =等价的函数是（ ）(A) x ；(B) 2；(C)3； (D) x .7、当0x →时，下列函数哪一个是其它三个的高阶无穷小（ ）（A ）2x ； （B ）1cos x -；（C ）tan x x -； （D ）ln(1)x +. 8、设0,0,a b≠则当（ ）时有10101010........lim .........m m m n n x na x a x a ab x b x b b --→∞+++=+++ .(A)m n > ； (B)m n = ；(C)m n < ； (D),m n 任意取 .9、设1,10,01x x x x --<≤⎧⎨<≤⎩,则0lim ()x f x →=( ) (A)-1 ； (B)1 ； (C)0 ； (D)不存在 .10、0lim x xx →（ ） (A)1； (B)-1；(C)0； (D)不存在.二、求下列函数的定义域： 1sin(21)arctan ;y x x =++、 2、()x φ=三、 设2(1)231g x x x -=--（1） 试确定,,a b c的值使 2(1)(1)(1)g x a x b x c-=-+-+ ； （2） 求(1)g x +的表达式 . 四、 求2()(1)sgn f x x x=+的反函数1()f x -.五、 求极限：1、2221lim (1)n n n n →∞++- ； 2、3x → ； 3、2lim(1)xx x →+ ； 4、1lim (1)xx x e→∞- ； 5、当x ≠时，limcos cos ........cos 242n n x x x→∞ ；6、21sinlimx x →+∞.六、 设有函数sin ,1()(1)1,1ax x f x a x x <⎧=⎨--≥⎩试确定a的值使()f x 在1x =连续 . 七、 讨论函数1arctan1()sin2x x f x xπ-=的连续性，并判断其间断点的类型 .八、 证明奇次多项式： 2120121()n n n P x a xa x a ++=+++L 0(0)a ≠至少存在一个实根 .第二章 导数与微分一、 选择题： 1、函数()f x 在点0x 的导数0()f x '定义为（ ） （A ）00()()f xx f x x+∆-∆； （B ）000()()limx x f x x f x x →+∆-∆；（C ）00()()limx x f x f x x →-∆； （D ）000()()limx x f x f x x x →--；2、若函数()y f x =在点0x 处的导数0()0f x '=，则曲线()y f x =在点(0,()x f x )处的法线（ ）（A ）与x 轴相平行；（B ）与x 轴垂直；（C ）与y 轴相垂直；（D ）与x 轴即不平行也不垂直：3、若函数()f x 在点0x 不连续，则()f x 在0x ( )（A ）必不可导； （B ）必定可导；（C ）不一定可导； （D ）必无定义.4、如果()f x =（ ），那么()0f x '=. (A) arcsin2arccos x x +；(B) 22sec tan x x +；(C) 22sin cos (1)x x +-；(D) arctan x +arc cot x .5、如果2,0()(1),0axe xf x b x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩处处可导，那末（ ） （A ）1a b ==； （B ）2,1a b =-=-； （C ）1,0a b ==； （D ）0,1a b ==. 6、已知函数()f x 具有任意阶导数，且[]2()()f x f x '=,则当n 为大于2的正整数时， ()f x 的n 阶导数()()n fx 是（ ）（A ）1![()]n n f x +； （B ） 1[()]n n f x +； （C ） 2[()]nf x ； （D ）2![()]nn f x . 7、若函数()x x t =,()y y t =对t 可导且()0x t '≠,又()x x t =的反函数存在且可导，则dydx =（ ）（A ）()()y t x t '； （B ）()()y t x t '-'； （C ）()()y t x t ''； （D ）()()y t x t '.8、若函数()f x 为可微函数，则dy （ ）（A ）与x ∆无关；（B ）为x ∆的线性函数；（C ）当0x ∆→时为x ∆的高阶无穷小；（D ）与x ∆为等价无穷小. 9、设函数()y f x =在点0x 处可导，当自变量x 由0x 增加到0xx+∆时，记y ∆为()f x 的增量，dy 为()f x 的微分，0lim x y dy x ∆→∆-∆等于（ ）（A ）-1； （B ）0； （C ）1； （D ）∞.10、设函数()y f x =在点0x 处可导，且0()0f x '≠，则 0lim x y dy x ∆→∆-∆等于（ ）.（A ）0； （B ）-1； （C ）1； （D ）∞ .二、求下列函数的导数：1、2sin ln y x x =； 2、cosh xy a = （0a >）； 3、2sec (1)xy x =+ ； 4、2ln[cos(103)]y x =+；5、设y 为x的函数是由方程arctanyx=确 定的；6、设2x yy=+，322()u xx =+，求dydu .三、证明sin tx e t =，cos ty e t =满足方程222()2()d y dyx y x y dx dx+=- .四、已知()cos ,0(),0g x xx f x xa x -⎧≠⎪=⎨⎪=⎩其中()g x 有二阶连续导数，且(0)1g =，1、确定a 的值，使()f x 在0X =点连续；2、求()f x ' 五、设ln ,y x x =求()(1)n f .的近似值 .七、一人走过一桥之速率为4公里/小时，同时一船在此人底下以8公里/小时之速率划过，此桥比船高200米，问3分钟后人与船相离之速率为多少？第三章 微分中值定理一、 选择题： 1、 一元函数微分学的三个中值定理的结论都有一个共同点，即（ ）（A ） 它们都给出了ξ点的求法 .（B ） 它们都肯定了ξ点一定存在，且给出了求ξ的方法。

第一单元 函数与极限一、填空题1、已知x x f cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。

2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 。

3、0→x 时，x x sin tan -是x 的 阶无穷小。

4、01sinlim 0=→xx kx 成立的k 为 。

5、=-∞→x e xx arctan lim 。

6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。

7、=+→xx x 6)13ln(lim0 。

8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。

9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。

10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。

11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。

12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域是__________。

13、____________22lim22=--++∞→x x n 。

14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________。

15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。

二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则 中所给的函数必为奇函数。

（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。

2、xxx +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有 。

（Ａ）α是比β高阶的无穷小； （Ｂ）α是比β低阶的无穷小； （C ）α与β是同阶无穷小； （D ）βα~。

第六单元 定积分的应用一、填空题1、由曲线e y e y x ==,及y 轴所围成平面区域的面积是______________ 。

2、由曲线23x y -=及直线x y 2=所围成平面区域的面积是____________。

3、由曲线 1,1,1,12=-==-=x x y x x y 所围成平面区域的面积是_______ 。

4、由曲线x x e y e y -==,与直线1=x 所围成平面区域的面积是_________ 。

5、连续曲线),(x f y =直线a x =，b x =及x 轴所围图形绕x 轴旋转一周而成的立体的体积=v __________，绕y 轴旋转一周而成的立体的体积=v ____________。

6、抛物线ax y 42=及直线)0(00>=x x x 所围成的图形绕x 轴旋转而成的立体的体积______。

7、渐伸线)sin (cos t t t a x +=，)cos (sin t t t a y -=上相应于t 从0变到π的一段弧长为______。

8、曲线x x x y 223++-=与x 轴所围成的图形的面积_______=A 。

9、界于π==x x ,0之间由曲线x y x y cos ,sin ==所围图形的面积=S _______。

10、对数螺线θa er =自0=θ到ϕθ=的弧长_________=l 。

11、心形线)cos 1(4θρ+=和直线2,0πθθ==围成图形绕极轴旋转所得旋转体的体积为____________。

二、选择题1、曲线)0(ln ,ln ,ln b a b y a y x y <<===及y 轴所围图形的面积=A （ ）。

（A ）⎰baxdx ln ln ln ； （B ）⎰ba e exdx e ； （C ）⎰baydy e ln ln ； （D ）⎰ba e exdx ln 。

2、曲线θcos 2a r =所围面积=A （ ）。

第一章函数与极限一、选择题：1．函数的定义域是（）(A； (B； (C；(D.2.函数的定义域是（）(A；(B;(C;(D.3、函数是（）(A偶函数； (B奇函数；(C非奇非偶函数；(D奇偶函数.4、函数的最小正周期是（）(A2； (B； (C 4 ； (D .5、函数在定义域为（）(A有上界无下界； (B有下界无上界；(C有界，且；(D有界，且.6、与等价的函数是（）(A ； (B ； (C ； (D .7、当时，下列函数哪一个是其它三个的高阶无穷小（）（A）；（B）；（C）；（D）.8、设则当（）时有.(A； (B；(C； (D任意取 .9、设,则((A-1 ； (B1 ； (C0 ； (D不存在 .10、（）(A1； (B-1；(C0； (D不存在.二、求下列函数的定义域：2、 .三、设（1）试确定的值使；（2）求的表达式 .四、求的反函数.五、求极限：1、；2、；3、；4、；5、当时，；6、 .六、设有函数试确定的值使在连续 .七、讨论函数的连续性，并判断其间断点的类型 .八、证明奇次多项式：至少存在一个实根 .第二章导数与微分一、选择题：1、函数在点的导数定义为（）（A）；（B）；（C）；（D）；2、若函数在点处的导数，则曲线在点(处的法线（）（A）与轴相平行；（B）与轴垂直；（C）与轴相垂直；（D）与轴即不平行也不垂直：3、若函数在点不连续，则在 (（A）必不可导；（B）必定可导；（C）不一定可导；（D）必无定义.4、如果=（），那么.(A ；(B ；(C ；(D .5、如果处处可导，那末（）（A）；（B）；（C）；（D）.6、已知函数具有任意阶导数，且,则当为大于2的正整数时，的n阶导数是（）（A）；（B）；（C）；（D）.7、若函数,对可导且,又的反函数存在且可导，则=（）（A）；（B）；（C）；（D）.8、若函数为可微函数，则（）（A）与无关；（B）为的线性函数；（C）当时为的高阶无穷小；（D）与为等价无穷小.9、设函数在点处可导，当自变量由增加到时，记为的增量，为的微分，等于（）（A）-1；（B）0；（C）1；（D）.10、设函数在点处可导，且，则等于（）.（A）0；（B）-1；（C）1；（D） .二、求下列函数的导数：1、；2、（）；3、；4、；5、设为的函数是由方程确定的；6、设，，求.三、证明，满足方程.四、已知其中有二阶连续导数，且，1、确定的值，使在点连续；2、求五、设求.六、计算的近似值 .七、一人走过一桥之速率为4公里/小时，同时一船在此人底下以8公里/小时之速率划过，此桥比船高200米，问3分钟后人与船相离之速率为多少？第三章微分中值定理一、选择题：1、一元函数微分学的三个中值定理的结论都有一个共同点，即（）（A）它们都给出了ξ点的求法 .（B）它们都肯定了ξ点一定存在，且给出了求ξ的方法。

高等数学测试题及答案1-9章全第1章自测题一、 选择题1. 若函数()f x 在点0x 处的极限存在，则（ ） Ａ ()f x 在点0x 处的函数值必存在，并且等于极限值； Ｂ ()f x 在点0x 处的函数值必存在，但不一定等于极限值； Ｃ ()f x 在点0x 处的函数值可以不存在； Ｄ 如果0()f x 存在的话，一定等于极限值 . 答案： C ．提示：根据极限的定义．2．下列函数中，在点2x =处连续的是（ ） .Ａ ln(2)x -； Ｂ 22x -； Ｃ 242x y x -=-； Ｄ答案： B ．提示：A 与C 在2x =处无意义，D 在2x =处左连续．3.函数53sin ln x y = 的复合过程是( )A x w w v v u u y sin ,,ln ,35====B x u u y sin ln ,53== ;C x u u y sin ,ln 53== ;D x v v u u y sin ,ln ,5=== . 答案：A ．4.设,0(),0x e x f x a x x ⎧<⎪=⎨+⎪⎩≥ ，要使()f x 在0x =处连续，则a ＝（ ）Ａ 2 ； Ｂ 1 ； Ｃ 0 ； Ｄ -1 .答案： B ．提示：0lim ()lim e e 1x x x f x --→→===，00lim ()lim()x x f x a x a ++→→=+=． 二、填空题5． 函数()34f x x =-的反函数是 . 答案：43x y +=．提示：反表示为43y x +=．6. 函数y 的复合过程是 .答案：2ln ,,cos y u v v t t x ====．7. 若2()f x x =， ()x g x e =，则[()]f g x = ，[()]g f x = .答案： 22[()](e )e x x f g x ==，2[()]x g f x e =． 8. 函数1()ln(2)f x x =-的连续区间为 .答案：(2,3)和(3,)+∞. 提示：20x ->且ln 20x -≠．三、 解答题9．设函数ln ,01()1,122x x f x x x x ⎧<⎪=-<⎨⎪>⎩≤≤ ，(1) 求()f x 的定义域；(2) 作出函数图像；(3) 讨论()f x 在1x =及2x =处的连续性 .解 (1) 函数()f x 的定义域为(0,)+∞． (2) 函数图像为第1题图(3) 观察图像知，函数()f x 在1x =处连续，在2x =处不连续性．10．指出函数2πsin (3)4y x =-是有哪些简单函数复合而成的．解 2π,sin ,34y u u v v x ===-．11．计算下列各极限：（1） 22125lim 1x x x x →-+++ ； （2）221241lim 232x x x x →-+-； （3） 32lim(2)x x x →- ；（4）224lim 2x x x →--+；（5） 221lim()x x x→∞- ；（6）2241lim 232x x x x →∞-+-.解 （1） 22125125lim2111x x x x →-++-+==++； （2）2211122241(21)(21)214lim lim lim (21)(2)25232x x x x x x x x x x x x →→→--++===-+++-；（3） 33222lim(2)lim 2lim 484x x x x x x x →→→-=-=-=- ；（4）22224(2)(2)lim lim lim (2)422x x x x x x x x x →-→-→---+==-=-++；（5） 222121lim()lim lim 000x x x x x xx →∞→∞→∞-=-==-= ；（6）22221441limlim 2322322x x x x x x x x→∞→∞--==+-+-．12. 利用高级计算器计算下列各极限：（1）2lim sinx x x→∞ ； （2）3x → ；（3）lim x →+∞ （4）21lim()xx x x→∞+.解（1）2lim sin2x x x→∞= ； （2）314x →=； （3）x →∞=0； （4）221lim()e xx x x→∞+=.四、应用题1．若某厂每天生产某种产品60件的成本为300元，生产80件的成本为340元．求这种产品的线性成本函数，并求每天固定成本和生产一件产品的可变成本为多少？解 300602(),,()180234080180a b a C Q aQ b C Q Q a b b =+=⎧⎧=+⇒⇒∴=+⎨⎨=+=⎩⎩； 固定成本为180元，一件产品的变动成本为2元.2．甲向乙购买一套价值300万元的房子，乙提出三种付款方式：（1）全部付现款，可以优惠10万元；（2）先首付100万元，余款每隔一年付40万元，但每次付款必须加还40万元产生的利息（按年利率5%计算），5年后还清；（3）先首付200万元，一年后付余款100万元，但必须加还100万元的利息（按年利率5%计算）；分别计算这三种付款方式实际付款金额． 解 （1）300—10=290（万元）；（2）234510040(15%)40(15%)40(15%)40(15%)40(15%)332.076513++++++++++=万元；（3）（3）200100(15%)305++=万元．第2章 自测题一、 选择题1.过曲线2y x x =-上M 点处切线斜率为1，M 点坐标为（ ）. A.()1,0；B.()1,1；C.()0,0；D.()0,1.答案： A ．提示：切线斜率为211,1k x x =-==，0y =．2.设在0x =处可导，则0(2)(0)lim h f h f h→-=（ ）.A.0；B.2(0)f '-；C.(0)f '；D.2(0)f '.答案： D ．提示：00(2)(0)(02)(0)lim lim 22(0)2h h f h f f h f f h h→→-+-'=⋅=3.函数()f x 在点0x x =取得极大值，则必有（ ）. A.()00f x '=；B.()00f x '<；C ()00f x '=且()00f x =；D.()0f x '等于零或不存在.答案： D ．提示：()0f x '等于零或不存在的点都是可能的极值点． 4.函数sin y x x =-在[]0,π上的最大值是（ ）.； B.0； C.π-； D.π. 答案： C. 提示：因为cos 10y x '=-≤，所以函数单调递减．最大值为()f ππ=-5.函数e arctan x y x =+在区间[]1,1-上（ ）. A.单调减少；B.单调增加；C.无最大值；D.无最小值．答案： B ．提示：因为2101x y e x'=+>+． 6.d d yx=（ ）.C.D.答案： C ．提示：0,y y ''==． 7. 设()211f x x =+ (0)x >，则()f x '=（ ）. A.21(1)x -+； B.21(1)x +；C.；. 答案： C ．提示：()f x，所以y '= 8.设32,2t x te y t t -==+，则1t dydx =-=（ ） A.2e -； B.2e -； C.2e; D.2e答案：C ．提示：因为262ttdy t tdx e te--+=-，所以12t dy dx e =-= 9.设(),()y f u u x ϕ==，则dy =（ ）A.()f u dx '；B.()()f x x dx ϕ''C.()()f u x dx ϕ''；D.()()f u x du ϕ'' 答案： C ．提示：根据复合函数求导法则． 二、填空题10.已知某商品的收益为375)(Q Q Q R -=，则其边际收益=')(Q R 解 2375)(Q Q R -='11.函数1x y e -=在2x =-处的切线斜率为 ． 解 13222xx x k y e e -=-=-'==-=．12.曲线()21f x x =-在区间 上是单调增加函数. 解 ()2f x x '=-，所以在(,0)-∞上是单调增加函数． 13.如果2,0.01x x =∆=，则22()x d x == ．解 2220.01()20.04x x x d x x x==∆==⋅∆=．14.函数x y xe -=在[]1,2-上的最大值为 .解 (1)x y e x -'=-，得驻点1x =，12(1),(1),(2)f f e f e e=-=-=，所以最大值为2(2)f e=．15.如果2sin 2y x =，则y '= ． 解 2sin 2cos222sin 4y x x x '=⋅⋅=．16. 某需求曲线为1003000Q P =-+，则20P =时的需求弹性E = 解 202020()(100)21003000P P P P P E Q P Q P ==='=-=--=-+ ． 17.已知ln 2y x =，则y ''= ．解 211,y y x x'''==-．三、计算题18. 求下列函数的导数（1）(1y =+ （2）cos πy =+解y =解231(1)3y x -'=⋅+。

第一单元 函数与极限一、填空题 1、已知x xf cos 1)2(sin+=，则=)(cos x f 。

2、=-+→∞)1()34(lim 22x x x x 。

3、0→x 时，x x sin tan -是x 的 阶无穷小。

4、01sinlim 0=→xx kx 成立的k 为 。

5、=-∞→x e xx arctan lim 。

6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。

7、=+→xx x 6)13ln(lim0 。

8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。

9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。

10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。

11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。

12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域是__________。

13、____________22lim22=--++∞→x x n 。

14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________。

15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。

二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则 中所给的函数必为奇函数。

（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。

2、xxx +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有 。

（Ａ）α是比β高阶的无穷小； （Ｂ）α是比β低阶的无穷小； （C ）α与β是同阶无穷小； （D ）βα~。

高数第一章测试一、选择题（每题5分）1、当x →0时，下列函数哪一个是其他三个的高阶无穷小（ ）A ．x 2 B. 1-cos x C. x - tan x D. ln(1+x 2)答案：C;211cos ~2x x -，22ln(1)~x x +， 222222000011tan cos 11sin 1cos lim lim lim lim 022cos 2cos x x x x x x x x x x x x x x x→→→→---===-=， ∴该选（C ）2、设当x →0时，(1-cos x )ln(1+x 2)是比x sin x n 高阶的无穷小，而x sin x n 是比（2x e ）高阶的无穷小，则正整数n 为（）A.1B.2C.3D.4答案：B ；因为当0x →时，224121(1cos )ln(1)sin ,(1)2n n x x x x x x x e x +-+-，，所以214n <+<满足题设条件的2n =。

故选B 。

3、设232)(-+=x x x f ,则当x →0时（） A. )(x f 与x 是等价无穷小量 B. )(x f 与x 是同阶但非等价无穷小量C. )(x f 与比x 较高阶的无穷小量D. )(x f 与比x 较低阶的无穷小量 答案：B ；【解法1】ln 22ln32121ln 2(ln 2)2!131ln 3(ln 3)2!()232(ln 2ln 3)()x x x x x x e x x e x x f x x x ο==+++ ==+++∴=+-=++ 故0x →时()f x 与x 是同阶但非等价无穷小量。

【解法2】 000()2322ln 23ln 3lim lim lim ln 2ln 31x x x x x x x f x x x →→→+-+===+ ∴0x →时()f x 与x 是同阶但非等价无穷小量。

4、下列极限存在的是（） A.x x x x 1arctan sin lim 0→ B. x x x x 1arctan sin lim 0→ C. x x x x 1arctan sin lim 0→ D. x x x x 1arctan sin lim 0→答案：A;因为00sin sin 11lim arctan (1)()lim arctan 12222x x x x x x x x ππππ-→→=--==⨯=＋，。

高数b一到六章测试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 函数f(x)=x^3-3x+1在x=1处的导数是（）。

A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B2. 曲线y=x^2-4x+5在点(2,1)处的切线斜率是（）。

A. -4B. -2C. 0D. 2答案：B3. 以下哪个选项是函数y=x^2+3x-4的极值点（）。

A. x=-3B. x=-1C. x=1D. x=2答案：C4. 函数f(x)=e^x的不定积分是（）。

A. e^x + CB. xe^x + CC. e^x/x + CD. ln|x| + C答案：A5. 以下哪个选项是函数y=x^3-3x^2+2的拐点（）。

A. x=0B. x=1C. x=2D. x=-1答案：B二、填空题（每题2分，共10分）1. 函数f(x)=x^2-4x+5的最小值是________。

答案：12. 函数f(x)=ln(x)的定义域是________。

答案：(0, +∞)3. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点是________。

答案：x=1, x=24. 函数f(x)=x^2-4x+4的图像关于________对称。

答案：x=25. 函数f(x)=x^3-3x在x=0处的泰勒展开式是________。

答案：f(x) = x^3 - 3x三、计算题（每题10分，共20分）1. 计算定积分∫(0 to 1) (3x^2-2x+1)dx。

答案：(1/3x^3 - x^2 + x)|_0^1 = 12. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值。

答案：f'(x)=3x^2-12x+11，令f'(x)=0得x=1或x=3，f''(x)=6x-12，f''(1)=-6<0，所以x=1是极大值点，f''(3)=6>0，所以x=3是极小值点。

四、解答题（每题15分，共30分）1. 证明函数f(x)=x^3-3x+1在x=1处取得极小值。

高等数学测试题极限、连续部分 一、 选择题（每小题4分，共20分） 1、 当0x →+时，（ ）无穷小量。

A 1sin x xB 1xe C ln x D 1sin x x2、点1x =是函数311()1131x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪->⎩的（ ）。

A 连续点B 第一类跳跃间断点C 可去间断点D 第二类间断点3、函数()f x 在点0x 处有定义是其在x 处极限存在的（ ）。

A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 无关条件4、已知极限22lim()0x x ax x→∞++=，则常数a 等于（ ）。

A -1B 0C 1D 2 5、极限201limcos 1x x e x →--等于（ ）。

A ∞B 2C 0D -2二、填空题（每小题4分，共20分）3.已知函数()f x 在点0x =处连续，且当0x ≠时，函数21()2x f x -=，则函数值(0)f =的连续区间是三、 求下列函数的极限（每小题5分，共20分）1. )1113(31x lim x x---→2.)13x 1(21x lim---+→xx3.2)1sin(221x lim----→x xx4.)3sin 2sin(limx xx x x +→四．解答题 1. 判断函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=2,sin 2,cos 1)(ππx x x x x f 在点2π=x 的连续性（10分）2．已知是连续函数，求的值（10分）五．求函数的间断点，并判断类型（10分）六．用零点定理证明方程在内有两个实根（10分）答案 一、1. A 2. B 3. D 4. C 5. B 二、1. ),(+∞-∞ 2.11-+x x 3. 0 4. k5. ),1[+∞ 三、 1.)1113(31x lim x x---→=xx x 321x 1)1(3lim-++-→=12321x lim--+→x x x1221x lim+++→x x x =12.)13x 1(21x lim---+→xx=42 （先分子有理化）3. 32 （等价无穷小替换） 4．3 （变成两个极限的和，再分别求极限） 四、1.=-∏→)(lim2x x f 1cos 1lim 2x =+-∏→x=+∏→)(lim2x x f 1sin lim 2x =+∏→x所以)2(1)(lim 2x ∏==∏→f x f ，因此，)(x f 在点2π=x 处连续。

高数单元测试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 函数f(x)=x^2+3x-2的定义域是：A. RB. [0, ∞)C. (-∞, 0)D. [2, ∞)2. 已知函数f(x)=x^3-2x^2+x-5，求f'(x)：A. 3x^2-4x+1B. x^3-4x^2+1C. 3x^2-4x+1D. x^2-4x+13. 若f(x)=sin(x)+cos(x)，则f''(x)是：A. -sin(x)-cos(x)B. -sin(x)+cos(x)C. sin(x)-cos(x)D. sin(x)+cos(x)4. 曲线y=x^3在点(1,1)处的切线斜率是：A. 0B. 1C. 3D. 45. 函数f(x)=ln(x)的值域是：A. (-∞, 0)B. (0, ∞)C. (-∞, ∞)D. [0, ∞)6. 已知函数f(x)=e^x，求f'(x)：A. e^xB. x*e^xC. e^x-1D. 17. 若f(x)=x^2+1，求f(-x)：A. x^2+1B. -x^2+1C. -x^2-1D. x^2-18. 函数f(x)=x^3-3x^2+2x在x=1处的极值是：A. 极小值B. 极大值C. 无极值D. 不能确定9. 若f(x)=x^2-4x+3，求f(x)的单调递增区间：A. (-∞, 2)B. (2, ∞)C. (-∞, 1)D. (1, ∞)10. 函数f(x)=sin(x)cos(x)的原函数F(x)是：A. sin(2x)B. sin(x)+cos(x)C. (sin(x)+cos(x))/2D. (sin(x)-cos(x))/2答案：1-5 A C B C C 6-10 A A B B D二、填空题（每题2分，共10分）1. 函数f(x)=x^3的导数是 \( f'(x) = 3x^2 \) 。

2. 若曲线y=x^2-4x+3与直线y=k相切，则k= \( 1 \) 。