2014年浙江省高职考试数学卷

2014年1月浙江省普通高中学业水平考试数学试题学生须知：1、本试卷分选择题和非选择题两部分，共6页，满分100分，考试时间110分钟.2、考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上.3、选择题的答案须用2B铅笔将答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡皮擦净.4、非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上的相应区域内，作图时可先使用2B铅笔，确定后须用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑，答案写在本试卷上无效.5、参考公式球的表面积公式：S=4πR2 球的体积公式：V=43πR3（其中R表示球的半径）选择题部分一、选择题（共25小题，1－15每小题2分，16－25每小题3分，共60分.每小题给出的选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分.）1、设集合M={0,1,2}，则（）A.1∈MB.2∉MC.3∈MD.{0}∈M2、函数y=（）A. [0，+∞）B.[1，+∞）C. （－∞，0]D.（－∞，1]3、若关于x的不等式mx－2>0的解集是{x|x>2}，则实数m等于（）A.－1B.－2C.1D.24、若对任意的实数k，直线y－2=k(x+1)恒经过定点M，则M的坐标是（）A.（1，2）B.（1，－2）C.（－1，2）D.（－1，－2）5、与角－6π终边相同的角是（）A.56π B.3π C.116π D.23π6、若一个正方体截去一个三棱锥后所得的几何体如图所示，则该几何体的正视图是（）（第6题图）A. B. C. D.7、以点（0，1）为圆心，2为半径的圆的方程是（）A.x2+(y－1)2=2B. (x－1)2+y2=2C. x2+(y－1)2=4D. (x－1)2+y2=48、在数列{ a n }中，a1=1，a n+1=3a n(n∈N*)，则a4等于（）A.9B.10C.27D.819、函数y=（）xxxxA. B. C. D.10、设a ,b 是两个平面向量，则“a ＝b ”是“|a |＝|b |”的 （ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件11、设双曲线C ：2221(0)3y x a a-=>的一个顶点坐标为（2，0），则双曲线C 的方程是（ ）A.221163y x -= B.221123y x -= C.22183y x -= D.22143y x -= 12、设函数f(x)＝sinxcosx ，x ∈R ，则函数f(x)的最小值是（ ）A.14-B.12-C.D.－1 13、若函数f(x)=21x a x ++(a ∈R )是奇函数，则a 的值为（ ）A.1B.0C.－1D.±114、在空间中，设α，β表示平面，m ，n 表示直线.则下列命题正确的是 （ ）A.若m ∥n ，n ⊥α，则m ⊥αB. 若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥βC.若m 上有无数个点不在α内，则m ∥αD.若m ∥α，那么m 与α内的任何直线平行 15、在△ABC 中，若AB=2，AC=3，∠A=60°，则BC 的长为 （ ）C.316、下列不等式成立的是（ ） A.1.22>1.23 B.1.2－3<1.2－2C. log 1.2 2>log 1.2 3D.log 0.2 2<log 0.2 3 17、设x 0为方程2x +x=8的解.若x 0 ∈(n,n+1)(n ∈N *)，则n 的值为（ ） A.1 B.2 C.3D.418、下列命题中，正确的是（ ） A. ∃ x 0∈Z ，x 02<0 B. ∀x ∈Z ，x 2≤0 C. ∃ x 0∈Z ，x 02=1D.∀x ∈Z ，x 2≥119、若实数x,y 满足不等式组{20x y x y -≥+-≤，则2y －x 的最大值是（ ）A.－2B.－1C.1D.220、如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为线段A 1C 1的中点， 则异面直线DE 与B 1C 所成角的大小为 （ ）A.15°B.30°C.45°D.60°1A A （第20题图） 21、研究发现，某公司年初三个月的月产值y （万元）与月份n 近似地满足函数关系式y=an 2+bn+c （如n=1表示1月份）.已知1月份的产值为4万元，2月份的产值为11万元，3月份的产值为22万元.由此可预测4月份的产值为 （ ）A.35万元B.37万元C.56万元D.79万元 22、设数列{ a n }，{ a n 2} (n ∈N *)都是等差数列，若a 1＝2，则a 22+ a 33+ a 44+ a 55等于（ ）A.60B.62C.63D.6623、设椭圆Γ：22221(0)y x a b a b+=>>的焦点为F 1，F 2，若椭圆Γ上存在点P ，使△P F 1F 2是以F 1P 为底边的等腰三角形，则椭圆Γ的离心率的取值范围是 （ ）A. 1(0,)2B. 1(0,)3C. 1(,1)2D.1(,1)324、设函数()f x =，给出下列两个命题：①存在x 0∈(1,+∞)，使得f(x 0)<2； ②若f(a)=f(b)(a≠b)，则a+b>4.其中判断正确的是 （ ） A.①真，②真 B. ①真，②假 C. ①假，②真 D. ①假，②假 25、如图，在Rt △ABC 中，AC=1，BC=x ，D 是斜边AB 的中点，将△BCD 沿直线CD 翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB ⊥AD ，则x 的取值范围是 （ ）A.B.C.D.（2，4]C（第25题图）非选择题部分二、填空题（共5小题，每小题2分，共10分）26、设函数f(x)={2,232,2x x x x ≤->，则f(3)的值为 27、若球O 的体积为36πcm 3，则它的半径等于 cm.28、设圆C ：x 2+y 2=1，直线l: x+y=2，则圆心C 到直线l 的距离等于 .29、设P 是半径为1的圆上一动点，若该圆的弦AP AB ⋅的取值范围是 30、设ave{a,b,c}表示实数a,b,c 的平均数，max{a,b,c}表示实数a,b,c 的最大值.设A=ave{112,,122x x x -++}，M= max{112,,122x x x -++}，若M=3|A －1|，则x 的取值范围是三、解答题（共4小题，共30分）31、（本题7分）已知3sin ,052παα=<<，求cos α和sin()4πα+的值.32、（本题7分，有（A ），（B ）两题，任选其中一题完成，两题都做，以（A ）题记分.）（A ）如图，已知四棱锥P －ABCD 的底面为菱形，对角线AC与BD 相交于点E ，平面PAC 垂直于底面ABCD ，线段PD 的中点为F.（1）求证：EF ∥平面PBC ；（2）求证：BD ⊥PC.（第32题（A ）图）（B ）如图，在三棱锥P －ABC 中，PB ⊥AC ，PC ⊥平面ABC ，点D ，E 分别为线段PB ，AB 的中点.（1）求证：AC ⊥平面PBC ；（2）设二面角D －CE －B的平面角为θ，若PC=2，cosθ的值.B（第32题（B ）图）33、（本题8分）如图，设直线l ∈R )与抛物线C ：y=x 2相交于P ，Q 两点，其中Q 点在第一象限.（1）若点M 是线段PQ 的中点，求点M 到x 轴距离的最小值；（2）当k>0时，过点Q 作y 轴的垂线交抛物线C 于点R ，若PQ PR ＝0，求直线l 的方程.x（第33题图）34、（本题8分）设函数f(x)=x 2－ax+b,a,b ∈R ..（1）已知f(x)在区间(－∞,1)上单调递减，求a 的取值范围； （2）存在实数a ，使得当x ∈[0,b]时，2≤f(x)≤6恒成立，求b 的最大值及此时a 的值.解答一、选择题（共25小题，1－15每小题2分，16－25每小题3分，共60分.每小题给出的选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分.）25题解答（1）由题意得，BC=x，取BC中点E，翻折前，在图1中，连接DE,CD,则DE=12AC=12，翻折后，在图2中，此时CB⊥AD。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设全集{}2|≥∈=x N x U ，集合{}5|2≥∈=x N x A ，则=A C U （ ）A. ∅B. }2{C. }5{D. }5,2{（2）已知i 是虚数单位，R b a ∈,,则“1==b a ”是“i bi a 2)(2=+”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件（3）某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的表面积是 A. 902cm B. 1292cm C. 1322cm D. 1382cm4.为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像（ ）A.向右平移4π个单位 B.向左平移4π个单位 C.向右平移12π个单位 D.向左平移12π个单位5.在46)1()1(y x ++的展开式中，记nm yx 项的系数为),(n m f ，则=+++)3,0(2,1()1,2()0,3(f f f f ） （ ）A.45B.60C.120D. 2106.已知函数则且,3)3()2()1(0,)(23≤-=-=-≤+++=f f f c bx ax x x f （ ） A.3≤c B.63≤<c C.96≤<c D. 9>c7.在同一直角坐标系中，函数x x g x x x f a alog )(),0()(=≥=的图像可能是（ ）8.记,max{,},x x y x y y x y ≥⎧=⎨<⎩，,min{,},y x yx y x x y≥⎧=⎨<⎩，设a,b 为平面向量，则（ ）A.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤B.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≥C.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≥+ D.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≤+9.已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个篮球()3,3m n ≥≥，从乙盒中随机抽取()1,2i i =个球放入甲盒中. （a ）放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为()1,2ii ξ=；（b ）放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为()1,2i p i =. 则A.()()1212,p p E E ξξ><B.()()1212,p p E E ξξ<>C.()()1212,p p E E ξξ>>D.()()1212,p p E E ξξ<< 10.设函数21)(x x f =，),(2)(22x x x f -=|2sin |31)(3x x f π=，99,,2,1,0,99==i ia i ，记|)()(||)()(||)()(|98991201a f a f a f a f a f a f I k k k k k k k -++-+-= ，.3,2,1=k 则( )A.321I I I <<B. 312I I I <<C. 231I I I <<D. 123I I I <<二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11.若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是________.12.随机变量ξ的取值为0,1,2，若()105P ξ==，()1E ξ=，则()D ξ=________. 13.当实数x ，y 满足240,10,1,x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩时，14ax y ≤+≤恒成立，则实数a 的取值范围是________.14.在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不 同的获奖情况有_____种（用数字作答）.15.设函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+=0,0,22x x x x x x f 若()()2≤a f f ，则实数a 的取值范围是______15.设直线)0(03≠=+-m m y x 与双曲线12222=-by a x （0a b >>）两条渐近线分别交于点B A ,，若点)0,(m P 满足PB PA =,则该双曲线的离心率是__________17、如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练.已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小.若则的最大EA值 。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设全集{}2|≥∈=x N x U ，集合{}5|2≥∈=x N x A ，则=A C U （ ） A. ∅ B. }2{ C. }5{ D. }5,2{（2）已知i 是虚数单位，R b a ∈,,则“1==b a ”是“i bi a 2)(2=+”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件（3）某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的表面积是 A. 902cm B. 1292cm C. 1322cm D. 1382cm4.为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像（ ） A.向右平移4π个单位 B.向左平移4π个单位 C.向右平移12π个单位 D.向左平移12π个单位 5.在46)1()1(y x ++的展开式中，记nm y x 项的系数为),(n m f ，则=+++)3,0(2,1()1,2()0,3(f f f f ）（ ）A.45B.60C.120D. 2106.已知函数则且,3)3()2()1(0,)(23≤-=-=-≤+++=f f f c bx ax x x f （ ） A.3≤c B.63≤<c C.96≤<c D. 9>c 7.在同一直角坐标系中，函数x x g x x x f a alog )(),0()(=≥=的图像可能是（ ）A.B. C. D.8.记,max{,},x x y x y y x y ≥⎧=⎨<⎩，,min{,},y x yx y x x y≥⎧=⎨<⎩，设a,b 为平面向量，则（ ） A.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤ B.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≥ C.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≥+ D.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≤+9.已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个篮球()3,3m n ≥≥，从乙盒中随机抽取()1,2i i =个球放入甲盒中.（a ）放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为()1,2ii ξ=；（b ）放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为()1,2i p i =. 则A.()()1212,p p E E ξξ><B.()()1212,p p E E ξξ<>C.()()1212,p p E E ξξ>>D.()()1212,p p E E ξξ<<10.设函数21)(x x f =，),(2)(22x x x f -=|2sin |31)(3x x f π=，99,,2,1,0,99==i ia i ，记|)()(||)()(||)()(|98991201a f a f a f a f a f a f I k k k k k k k -++-+-= ，.3,2,1=k 则( )A.321I I I <<B. 312I I I <<C. 231I I I <<D. 123I I I << 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11.若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是________.12.随机变量ξ的取值为0,1,2，若()105P ξ==，()1E ξ=，则()D ξ=________. 13.当实数x ，y 满足240,10,1,x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩时，14ax y ≤+≤恒成立，则实数a 的取值范围是________.14.在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不 同的获奖情况有_____种（用数字作答）.15.设函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+=0,0,22x x x x x x f 若()()2≤a f f ，则实数a 的取值范围是______15.设直线)0(03≠=+-m m y x 与双曲线12222=-by a x （0a b >>）两条渐近线分别交于点B A ,，若点)0,(m P 满足PB PA =,则该双曲线的离心率是__________ 17、如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练.已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小.若则的最大值 。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设全集{}2|≥∈=x N x U ，集合{}5|2≥∈=x N x A ，则=A C UA.∅B.{}2C.{}5D.{}5,2 2. 已知i 是虚数单位，R b a ∈,，则“1==b a ”是“()i bi a 22=+”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 3. 某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的表面积是 A.290cm B.2129cm C.2132cm D.2138cm 4. 为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像A.向右平移4π个单位 B.向左平移4π个单位 C.向右平移12π个单位 D..向左平移12π个单位5. 在()()4611y x ++的展开式中，记nmy x 项的系数为()n m f ,，则()()()()=+++3,02,11,20,3f f f fA.45B.60C.120D. 210 6. 已知函数()c bx ax x x f +++=23，且()()()33210≤-=-=-≤f f f ，则A.3≤cB.63≤<cC.96≤<cD.9>c 7. 在同一直角坐标系中，函数()()0≥=x x x f a，()x x g a log =的图像可能是A. B. C. D.（第3题图）8. 记{}⎩⎨⎧<≥=y x y y x x y x ,,,max ，{}⎩⎨⎧<≥=yx x y x y y x ,,,min ，设b a,为平面向量，则A.{}{}b a b a b a ,min ,min ≤-+ B.{}{}b a b a b a ,min ,min ≥-+ C.{}2222,max b aba b a +≤-+ D.{}2222,max b aba b a +≥-+9. 已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个蓝球()3,3≥≥n m ，从乙盒中随机 抽取()2,1=i i 个球放入甲盒中.（a ）放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为()2,1=i i ξ； （b ）放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为()2,1=i p i . 则A.()()2121,ξξE E p p <>B.()()2121,ξξE E p p ><C.()()2121,ξξE E p p >>D.()()2121,ξξE E p p <<10. 设函数()21x x f =，()()222x x x f -=，()x x f π2sin 313=，99,,2,1,0,99==i ia i . 记()()()()()()3,2,1,9899101=-++-+-=k a f a f a f a f a f a f I k k k k k k k 2. 则A.321I I I <<B.312I I I <<C.231I I I <<D.123I I I <<二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设全集{}2|≥∈=x N x U ，集合{}5|2≥∈=x N x A ，则=A C U （ ） A.∅ B. }2{ C. }5{ D. }5,2{（2）已知i 是虚数单位，R b a ∈,,则“1==b a ”是“i bi a 2)(2=+”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件（3）某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的表面积是 A. 902cm B. 1292cm C. 1322cm D. 1382cmD.为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像（ ）A.向右平移4π个单位 B.向左平移4π个单位 C.向右平移12π个单位 D.向左平移12π个单位5.在46)1()1(y x ++的展开式中，记nm yx 项的系数为),(n m f ，则=+++)3,0(2,1()1,2()0,3(f f f f ） （ ）A.45B.60C.120D. 2106.已知函数则且,3)3()2()1(0,)(23≤-=-=-≤+++=f f f c bx ax x x f （ ） A.3≤c B.63≤<c C.96≤<c D. 9>c 7.在同一直角坐标系中，函数x x g x x x f a alog )(),0()(=≥=的图像可能是（ ）8.记,max{,},x x y x y y x y ≥⎧=⎨<⎩，,min{,},y x yx y x x y ≥⎧=⎨<⎩，设a,b 为平面向量，则（ ）A.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤B.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≥C.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≥+ D.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≤+9.已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个篮球()3,3m n ≥≥，从乙盒中随机抽取()1,2i i =个球放入甲盒中. （a ）放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为()1,2ii ξ=；（b ）放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为()1,2i p i =. 则A.()()1212,p p E E ξξ><B.()()1212,p p E E ξξ<>C.()()1212,p p E E ξξ>>D.()()1212,p p E E ξξ<<10.设函数21)(x x f =，),(2)(22x x x f -=|2sin |31)(3x x f π=，99,,2,1,0,99==i ia i ，记|)()(||)()(||)()(|98991201a f a f a f a f a f a f I k k k k k k k -++-+-= ，.3,2,1=k 则( )A.321I I I <<B. 312I I I <<C. 231I I I <<D. 123I I I <<。

数学试卷 第1页（共21页） 数学试卷 第2页（共21页） 数学试卷 第3页（共21页）绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学(文科)本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共6页,选择题部分1至3页,非选择题部分4至6页.满分150分,考试时间120分钟. 考生注意：1.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上.2.答题时,请按照答题纸上“注意事项”的要求,在答题纸相应的位置上规范作答,在本试题卷上作答一律无效. 参考公式：球的表面积公式 柱体的体积公式24πS R =V Sh =球的体积公式 其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高 33π4V R =台体的体积公式其中R 表示球的半径121(S )3V h S =锥体的体积公式其中1S ,2S 分别表示台体的上、下底面积,13V Sh =h 表示台体的高其中S 表示锥体的底面积,如果事件A ,B 互斥,那么 h 表示锥体的高()()()P A B P A P B +=+选择题部分（共50分）一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合{|2}S x x =≥,{|5}T x x =≤,则S T =( )A .(,5]-∞B .[2,)+∞C .(2,5)D .[2,5]2.设四边形ABCD 的两条对角线为AC ,BD ,则“四边形ABCD 为菱形”是“AC BD ⊥”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件3.某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示,则该几何体的体积是( )A .372cmB .390cmC .3108cmD .3138cm4.为了得到函数sin3cos3y x x =+的图象,可以将函数y x 的图象( )A .向右平移π12个单位B .向右平移π4个单位C .向左平移π12个单位D .向左平移π4个单位5.已知圆22220x y x y a ++-+=截直线20x y ++=所得弦的长度为4,则实数a 的值是( )A .2-B .4-C .6-D .8- 6.设m ,n 是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面( )A .若m n ⊥,nα,则m α⊥B .若m β,βα⊥,则m α⊥C .若m β⊥,n β⊥,n α⊥,则m α⊥D .若m n ⊥,n β⊥,βα⊥,则m α⊥7.已知函数32()f x x ax bx c =+++,且0(1)(2)(3)3f f f -=-=-＜≤,则( )A .3c ≤B .36c ＜≤C .69c ＜≤D .9c ＞8.在同一直角坐标系中,函数()(0)a f x x x =>,()log a g x x =的图象可能是( )ABCD9.设θ为两个非零向量a ,b 的夹角.已知对任意实数t ,|b t +a |是最小值为1 ( )A .若θ确定,则| a |唯一确定B .若θ确定,则| b |唯一确定C .若| a |确定,则θ唯一确定D .若| b |确定,则θ唯一确定10.如图,某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练.已知点A 到墙面的距离为AB ,某目标点P 沿墙面的射线CM 移动,此人为了准确瞄准目标点P ,需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小（仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成角）.若15m AB =,25m AC =,30BCM ∠=,则tan θ的最大值是 ( )ABCD-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共21页） 数学试卷 第5页（共21页） 数学试卷 第6页（共21页）非选择题部分（共100分）二、填空题：本大题共7小题,每小题4分,共28分.11.已知i 是虚数单位,计算21i(1i)-=+ . 12.若实数x ,y 满足240,10,1,x y x y x +-⎧⎪--⎨⎪⎩≤≤≥则x y +的取值范围是 .13.若某程序框图如图所示,当输入50时,则该程序运行后输出的结果是 .14.在3张奖券中有一、二等奖各1张,另1张无奖.甲、乙两人各抽取1张,两人都中奖的概率是 .15.设函数2222, 0,(), 0,x x x f x x x ⎧++⎪=⎨-⎪⎩≤＞若(())2f f a =,则a = .16.已知实数a ,b ,c 满足0a b c ++=,2221a b c ++=,则a 的最大值是 .17.设直线30(0)x y m m -+=≠与双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线分别交于点A ,B .若点(,0)P m 满足||||PA PB =,则该双曲线的离心率是 .三、解答题：本大题共5小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.（本题满分14分）在ABC △中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知24sin 4sin sin 2A BA B -+2=（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）已知4b =,ABC △的面积为6,求边长c 的值.19.（本题满分14分）已知等差数列{}n a 的公差0d >,设{}n a 的前n 项和为n S ,2336S S =. （Ⅰ）求d 及n S ；（Ⅱ）求m ,k （*,m k ∈Ν）的值,使得1265m m m m k a a a a +++++++=.20.（本题满分15分）如图,在四棱锥A BCDE -中,平面ABC ⊥平面B C D E ,90CDE BED ∠=∠=,2AB CD ==,1DE BE ==,AC =（Ⅰ）证明：AC ⊥平面BCDE ；（Ⅱ）求直线AE 与平面ABC 所成角的正切值.21.（本题满分15分）已知函数3()3||(0)f x x x a a =+->.若()f x 在[]1,1-上的最小值记为()g a . （Ⅰ）求()g a ；（Ⅱ）证明：当[]1,1x ∈-时,恒有()()4f x g x +≤.22.（本题满分14分）已知ABP △的三个顶点在抛物线C ：24x y =上,F 为抛物线C 的焦点,点M 为AB 的中点,3PF FM =.（Ⅰ）若||3PF =,求点M 的坐标； （Ⅱ）求ABP △面积的最大值.AD EBC数学试卷 第7页（共21页） 数学试卷 第8页（共21页） 数学试卷 第9页（共21页）[2,5]S T =||1b at +≥恒成立，所以22)2||||cos 1ta b t a b θ++≥恒成立，若||b 为定值时二次函，||1b at +≥恒成立，所以22()2||||cos 1ta b t a b θ++≥恒成立，【考点】平面向量数量积的运算，零向量，数量积表示两个向量的夹角 2320225m m-+的长，利用勾股定理求出数学试卷 第10页（共21页） 数学试卷 第11页（共21页） 数学试卷 第12页（共21页）故的取值范围是[1,3].中，24sin 2A -1cos(A 42--2=，即2，C ∠=cos 18ab C =ABC 中由条件利用二倍角的余弦公式、数学试卷 第13页（共21页） 数学试卷 第14页（共21页） 数学试卷 第15页（共21页）cos ab C 的值2336S =得，所以1n S na =265m k a +=265m k a +=.CDE ∠=2在ACB △中，22AB BC AC ===，，BC AC AB AC BC ∴+=∴⊥，.又平面ABC ⊥平面BCDE ，AC BCDE ∴⊥平面．（Ⅰ）0a >，-，若[x ∈﹣3a ，()f x '数学试卷 第16页（共21页） 数学试卷 第17页（共21页） 数学试卷 第18页（共21页）由3P F F M =，得M 0=，于是16∆=由3PF FM =，得(-又2241AB k k m =++，点F 到直线2481||ABP ABF S S m k m ==+=△△﹣，于是(m)f 在⎛ ⎝数学试卷 第19页（共21页） 数学试卷 第20页（共21页） 数学试卷 第21页（共21页）PBA M FyxO。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设全集{}2|≥∈=x N x U ，集合{}5|2≥∈=x N x A ，则=A C U （ ）A. ∅B. }2{C. }5{D. }5,2{（2）已知i 是虚数单位，R b a ∈,,则“1==b a ”是“i bi a 2)(2=+”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件（3）某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的表面积是 A. 902cm B. 1292cm C. 1322cm D. 1382cm4.为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像（ ）A.向右平移4π个单位 B.向左平移4π个单位 C.向右平移12π个单位 D.向左平移12π个单位 5.在46)1()1(y x ++的展开式中，记nmy x 项的系数为),(n m f ，则=+++)3,0(2,1()1,2()0,3(f f f f ） （ ）A.45B.60C.120D. 2106.已知函数则且,3)3()2()1(0,)(23≤-=-=-≤+++=f f f c bx ax x x f （ ） A.3≤c B.63≤<c C.96≤<c D. 9>c7.在同一直角坐标系中，函数x x g x x x f a alog )(),0()(=≥=的图像可能是（ ）A. B. C. D.8.记,max{,},x x y x y y x y ≥⎧=⎨<⎩，,min{,},y x yx y x x y ≥⎧=⎨<⎩，设a,b 为平面向量，则（ ）A.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤B.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≥C.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≥+ D.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≤+9.已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个篮球()3,3m n ≥≥，从乙盒中随机抽取()1,2i i =个球放入甲盒中.（a ）放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为()1,2ii ξ=；（b ）放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为()1,2i p i =. 则A.()()1212,p p E E ξξ><B.()()1212,p p E E ξξ<>C.()()1212,p p E E ξξ>>D.()()1212,p p E E ξξ<< 10.设函数21)(x x f =，),(2)(22x x x f -=|2sin |31)(3x x f π=，99,,2,1,0,99==i ia i ，记|)()(||)()(||)()(|98991201a f a f a f a f a f a f I k k k k k k k -++-+-= ，.3,2,1=k 则( )A.321I I I <<B. 312I I I <<C. 231I I I <<D. 123I I I << 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11.若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是________.12.随机变量ξ的取值为0,1,2，若()105P ξ==，()1E ξ=，则()D ξ=________. 13.当实数x ，y 满足240,10,1,x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩时，14ax y ≤+≤恒成立，则实数a 的取值范围是________.14.在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不 同的获奖情况有_____种（用数字作答）.15.设函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+=0,0,22x x x x x x f 若()()2≤a f f ，则实数a 的取值范围是______15.设直线)0(03≠=+-m m y x 与双曲线12222=-by a x （0a b >>）两条渐近线分别交于点B A ,，若点)0,(m P 满足PB PA =,则该双曲线的离心率是__________ 17、如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练.已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小.若则的最大值 。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）理科数学试题答案与解析1. 解析 因为{}{}5A x x x x =∈=∈N N 厖3，所以{}{}2232U a A x x =∈<=N …ð，故选B.2. 解析 当1a b ==时，有()21i 2i +=，即充分性成立.当()2i 2i a b +=时，有222i 2i a b ab -+=，得220,1,a b ab ⎧-=⎨=⎩解得1a b ==或1a b ==-，即必要性不成立，故选A.评注 本题考查复数的运算，复数相等的概念，充分条件与必要条件的判定，属于容易题. 3. 解析 由三视图可知该几何体由一个直三棱柱与一个长方体组合而成（如图），其表面积为()2135243433324324636138cm 2S =⨯+⨯⨯⨯+⨯+⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯=.评注 本题考查三视图的概念和性质，空间几何体的直观图和表面积的计算，考查运算求解能力和空间想象能力.由三视图得几何体的直观图是解题的关键.4. 解析因为πsin3cos334y x x x ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，要得到函数π34y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，可以将函数y x =的图像向右平移π12个单位，故选C. 5. 解析 在的展开式中，的系数为，在的展开式中，的系数为，故.从而，，，，故选C.6. 解析 由得解得则有，由得.33434()61x +m x 6C m()41y +n y 4C n ()64,C C mnf m n =⋅()363,0C 20f ==()21642,1C C 60f =⋅=()12641,2C C 36f =⋅=()340,3C 4f ==()()()()12,13f f f f -=-⎧⎪⎨-=-⎪⎩37,413,a b a b -=⎧⎨-=⎩6,11.a b =⎧⎨=⎩()()12f f -=-=()3f -6c =-()013,f <-…69c <…7. 解析 因为0a >，所以()a f x x =在()0,+∞上为增函数，故A 错.在B 中，由()f x 的图像知1a >，由()g x 的图像知01a <<，矛盾，故B 错.在C 中，由()f x 的图像知01a <<，由()g x 的图像知1a >，矛盾，故C 错.在D 中，由()f x 的图像知01a <<，由()g x 的图像知01a <<，相符，故选D.评注 本题考查幂函数和对数函数的图像与单调性，考查分类讨论思想和逻辑推理能力. 8. 解析 在A 中，取()1,0=a ，0=b ，则{}min ,1+-=a b a b ，而{}min ,0=a b ，不符合，即A 错.在B 中，设0=≠a b ，则{}mi n ,0+-=a b a b ，而{}mi n ,0=>a b a 不符合，即B 错.因为2222+=++⋅a b a b a b ，2222-=+-⋅a b a b a b <，则当0⋅a b …，时{}222222max ,2+-=++⋅+a b a b a b a b a b ?；当0⋅<a b <时{}222222max ,2+-=+-⋅+a b a b a b a b a b ?即总有{}2222max ,+-+a b a ba b ….故选D.9. 解析 当1i =时，若从乙盒中抽取的1个球为红球，记从甲盒中取1个球是红球的事件为1A ，则()1mP A m n=+.若从乙盒中抽取的1个球为蓝球，记从甲盒中取1个球是红球的事件为2A ，则()()2122m n P A m n m n =⨯=++，而1A 与2A 互斥， 则()()()()1121222n m p P A A P A P A m n +=+=+=+.此时，1ξ的取值为1或2，()11nP m nξ==+，()12m P m n ξ==+，则()1212n m n mE m n m n m nξ+=⨯+⨯=+++.当2i =时，若从乙盒中抽取的2个球为红球，记从甲盒中取1个球是红球的事件为1B ，则()212C C m m nP B +=. 若从乙盒中抽取的2个球为1个红球和1个蓝球，记从甲盒中取1个球是红球的事件为2B ，则()1122C C 23C m nm nP B +=⨯. 若从乙盒中抽取的2个球都是蓝球，记从甲盒中取1个球是红球的事件为3B ，则()232C 13C n m nP B +=⨯.因为1B ，2B ，3B 互斥，则()()()()()221123212312322C 3C 2C C C 13C 3C n m m n nm n m nP B p P B B B P B P B P B ++++=⨯=++=++==()()()()()()()2231334331313n m m n m m mn n n n mm n m n m n m n m n ++--++-+==++-++-+.则()1206n p p m n -=>+， 即有12p p >.此时，2ξ的取值为1，2，3，则()222C 1C n m n P ξ+==，()1122C C 2C m nm nP ξ+==，()222C 3C mm nP ξ+==则()21122112222222C C C C C 2C C 3C 1233C C C C n m n m n m n mm n m n m n m nE p ξ++++++=⨯+⨯+⨯===3n mn m++，则有()()12E E ξξ<，综上，12p p >，()()12E E ξξ<，故选A.10. 解析 []0,1i a ∈ ，且0199a a a <<<，而()1f x 在[]0,1上为增函数，故有()()()1011199f a f a f a <<<，则()()()()111101211I f a f a f a f a =⎡-⎤+⎡-⎤++⎣⎦⎣⎦()()()()()()1991981991011101f a f a f a f a f f ⎡-⎤=-=-=⎣⎦. ()2f x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，而495012a a <<，且49501a a +=，即有()()249250f a f a =，故()()()()()()22120250249250251I f a f a f a f a f a f a =⎡-⎤++⎡-⎤+⎡-⎤++⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()()()()29829925020250299f a f a f a f a f a f a ⎡-⎤=-+-=⎣⎦()()2225020199f f f ⎛⎫--= ⎪⎝⎭()224950*********,199999999⨯⨯⨯==-∈. ()3f x 在10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，在11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，在13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，在3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，即()3f x 在[]024,a a 上为增函数，在[]2549,a a 上为减函数. 在[]5074,a a 上为增函数，在[]7599,a a 上为减函数.又()324148148sin πsin π399399f a =⋅=，()325150149sin πsin π399399f a =⋅=，则()()()3253243491981πsin πsin 399399f a f a f a >=⋅=，()35011001πsinπsin 399399f a =⋅=，即有()()349350f a f a =. ()3741148149sin πsin π399399f a =⋅=，()()3753741150151148πsin πsin π=sin 399399399f a f a =⋅=<.故有()()()()3031324325f a f a f a f a <<<<，()()()()325326349350f a f a f a f a >>>=，()()()350351374f a f a f a <<<，()()()374375399f a f a f a >>>.从而3I =()()()(){}()()()(){}3130325324325326349350fa f a f a f a f afa fa fa ⎡-⎤++⎡-⎤+⎡-⎤++⎡-⎤+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ()()()(){}374375398399fa f a f a f a ⎡-⎤++⎡-⎤=⎣⎦⎣⎦()()()()()()()()32530325350374350374399f a f a f a f a f a f a f a f a ⎡-⎤+⎡-⎤+⎡-⎤+⎡-⎤=⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()()()3253503743039923f a f a f a f a f a -+--=250π2100π2148πsin sin sin 399399399-+= 2492π249249πsin πsin sin π2sin π-sin 39939939939999⎛⎫-+= ⎪⎝⎭.而495πsinπsin 9912>=，ππsin sin 9912<=，则3213I >>⎝⎭.所以213I I I <<. 11. 解析 第一次循环，1S =,2i =；第二次循环，224S =+=,3i =；第三次循环，8311S =+=，4i =；第四次循环，22426S =+=，5i =；第五次循环，52557S =+=，6i =，5750>，退出循环，故输出结果为6. 12. 解析 设()1P p ξ==，则()425P p ξ==-，从而由()14012155E p p ξ⎛⎫=⨯+⨯+⨯-= ⎪⎝⎭，得35p =.故()()()()22213120111215555D ξ=-⨯+-⨯+-⨯=. 13. 解析 不等式组构成以，，为顶点的三角形区域（包含边界）. 又，所以转化为恒成立.而表示可行区域点与定点连接的斜率，其最大值为.同理，表示可行区()1,0A 31,2B ⎛⎫⎪⎝⎭()2,1C 12x剟14ax y+剟41y y a xx ---剟14y k x -=(),P x y ()0,432-21y k x-=域内点与定点连接的斜率，其最小值为，故有，即.14. 解析 不同的获奖情况可分为以下两类：（1）有一个人获得两张有奖奖券，另外还有一个人获得一张有奖奖券，有2234C A 36=种获奖情况.（2）有三个人各获得一张有奖奖券，有34A 24=种获奖情况.故不同的获奖情况有362460+=种.15. 解析 当0a …时，()20f a a =-…，又()00f =，故由()()()2422f f a f a a a =-=-…，得22a …，所以0a剟当10a -<<时，()()210f a a a a a =+=+<，则由()()()()()22222f f a f a a a a aa =+=+++…，得210a a +-…，得a ，则有10a -<<.当1a -…时，()()210f a a a a a =+=+…，则由，()()()()2222f f a f a a a a =+=-+…，得a ∈R ，故1a -….综上，a的取值范围为(-∞.16. 解析 由得，由 得，则线段的中点为.由题意 得，所以，得，故，所以17. 解析 过点P 作PN BC ⊥于N ，连接AN ，则PAN θ∠=，如图.(),Px y ()0,11-312a ---剟312a剟30,x y m b y x a -+=⎧⎪⎨=⎪⎩,33am bm A b a b a ⎛⎫ ⎪--⎝⎭30,x y m b y x a -+=⎧⎪⎨=-⎪⎩,33ambm B b a b a ⎛⎫- ⎪++⎝⎭AB 2222223,99a m b m M b a b a ⎛⎫ ⎪--⎝⎭PM AB ⊥3PM k =-2222444a b c a ==-254e =2e =设PN x =m ，由30BCM ∠=，得CN =m .在直角ABC △中，AB =15m ， 25AC =m ，则20BC =m，故()20BN =-m .从而()222215203625AN x =+=-+，故2222tan PN AN θ=.当1x ==时，2tan θ取最大值2527，即当x =tan θ.18. 解析 （I）由题意得1cos 21cos 22222A B A B ++-=，112cos 22cos 222A A B B -=-，ππsin 2sin 266A B ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 由a b ≠，得A B ≠，又()0,πA B +∈，得ππ22π66A B -+-=，即2π3A B +=，所以π3C =. （II ）由c =4sin 5A =，sin sin a c A C =，得85a =，由a c <，得A C <.从而3cos 5A =，故()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+=，所以，ABC △的面积为1sin 2S ac B =.评注 本题主要考查诱导公式、两角和差公式、二倍角公式、正弦定理、三角形面积公式等基础知识，同时考查运算求解能力. 19. 解析 （I ）由题意(1232nb n a a a a=，326b b -=，知3238b b a -==.又由12a =，得公比2q =（2q =-舍去），所以数列{}n a 的通项为()*2n n a n =∈N ，所以，123n a a a a =NMCB APθ()()1122n n n n ++=.故数列{}n b 的通项为()()*1n b n n n =+∈N .（II ）（i ）由（I ）知1111121n n n n c a b n n ⎛⎫=-=-- ⎪+⎝⎭()*n ∈N ，所以1112n n S n =-+. （ii ）因为10c =，20c >，30c >，40c >；当5n …时，()()115112n n n n c n n ⎡+⎤=-⎢⎥+⎣⎦， 而()()()1112022nn n n n n ++++->，得()()51551122nn n +⋅+<…，所以，当5n …时，0n c <.综上，对任意*n ∈N ，恒有4n S S >，故4k =.评注 本题主要考查等差数列与等比数列的概念、通项公式、求和公式、不等式性质等基础知识，同时考查运算求解能力.20. 解析 （I ）在直角梯形BCDE 中，由1DE BE ==，2CD =，得BD BC ==，由AC =2AB =，得222AB AC BC =+，即AC BC ⊥，又平面ABC ⊥平面BCDE ，从而AC ⊥平面BCDE ，所以AC DE ⊥.又DE DC ⊥，从而DE ⊥平面ACD .（II ）解法一：作BF AD ⊥，与AD 交于点F ，过点F 作//FG DE ，与AE 交于点G ，连接BG ，由（I ）知D E AD ⊥，则FG AD ⊥.所以BFG ∠是二面角B AD E --的平面角.在直角梯形BCDE 中，由222CD BC BD =+，得BD BC ⊥，又平面ABC ⊥平面BCDE ，得BD ⊥平面ABC ，从而BD AB ⊥.由于AC ⊥平面BCDE ，得AC CD ⊥.在Rt ACD △中，由DC =2，AC得AD 在Rt AED △中，由1ED =，AD =得AE 在Rt ABD △中，由BD 2AB =，AD =BF =，23AF AD =.从而23GF =.在ABE △，ABG △中，利用余弦定理分别可得cos BAE ∠=23BC =.在BFG △中，2222GF BF BG cos BFG BF GF +-∠==⋅.所以π6BFG ∠=，，即二面角的大小是π6.GFEDCBA解法二：以D 为原点，分别以射线DE ，DC 为x 轴，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，D xyz -如图所示.由题意知各点坐标如下：()0,0,0D ，()1,0,0E ，()0,2,0C，(A ，()1,1,0B .设平面ADE 的法向量为()111,,=x y zm ，平面ABD 的法向量为()222,,=x y zn ，可算得(0,22AD =-，(1,2,AE =-，()1,1,0DB =，由0,0,AD AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m即1111120,20,y x y ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩可取(0,2=m . 由0,0,AD BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即222220,0,y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩可取(1,=-n .于是cos ,⋅===⋅m n m n m n 所求二面角是锐角，故二面角B AD E --的大小是π6. 评注 本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力、推理论证和运算求解能力.21. 解析 （I ）设直线的方程为，由消去得.由于与只有一个公共点，故，即，解得点的坐标为.又点在第一象限，xl ()0y kx m k =+<2222,1y kx m x y a b=+⎧⎪⎨+=⎪⎩y ()22222222220b a k mx a kmx a m a b +++-=l C 0∆=22220b m a k -+=P 22222222,a km b m b a k b a k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭P故点的坐标为. (II)由于直线过原点且与垂直，故直线的方程为，所以点到直线的距离，整理得因为，所以，当且仅当时等号成立.所以，点到直线的距离最大值为. 评注 本题主要考查椭圆的几何性质、点到直线的距离、直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法、基本不等式应用等综合解题能力.22. 解析 （I ）因为()3333, ,33, ,x x a x a f x x x a x a ⎧+-⎪=⎨-+<⎪⎩…所以()2233, ,33, ,x x a f x x x a ⎧+⎪'=⎨-<⎪⎩…由于11x-剟，（i ）当1a -…时，有x a …，故()333f x x x a =+-.此时()f x 在()1,1-上是增函数，因此，()()143M a f a ==-，()()143m a f a =-=--，故()()()()43438M a m a a a -=----=.（ii ）当11a -<<时，若(),1x a ∈，则()333f x x x a =+-，在(),1a 上是增函数；若()1,a -，则()333f x x x a =-+在()1,a -上是减函数，所以，()()(){}max 1,1M a f f =-，()()3m a f a a ==，由于()()1162f f a --=-+，因此，当113a <…时，()()334M a m a a a -=--+；当113a <<时，()()332M a m a a a -=-++.（iii ）当1a …时，有x a …，故()333f x x x a =-+，此时()f x ，在()1,1-上是减函数，因此，()()123M a f a =-=+，()()123m a f a ===-+，P 22P ⎛⎫1l O l 1l 0x ky +=P 1l d =22d =22222b a k ab k+ (22)22a b =-…2bk a=P 1l a b -故()()()()23234M a m a a a -=+--+=.综上，()()338, 1,134, 1, 3132, 1,34, 1,a a a a M a m a a a a a -⎧⎪⎪--+-<⎪-=⎨⎪-++<<⎪⎪⎩………（II ）令()()h x f x b =+，则()3333, ,33, ,x x a b x a h x x x a b x a ⎧+-+⎪=⎨-++<⎪⎩…()2233,,33,.x x a h x x x a ⎧+⎪'=⎨-<⎪⎩卆因为()4f x b ⎡+⎤⎣⎦…对[]1,1x ∈-恒成立，即()22h x -剟对[]1,1x ∈-恒成立，所以由（I ）知，（i ）当1a -…时，()h x 在()1,1-上是增函数，()h x 在[]1,1-上的最大值是()143h a b =-+，最小值是()143h a b -=--+，则432a b -+-…且432a b -+…，矛盾.（ii ）当113a -<…时，()h x 在[]1,1-上的最小值是()3h a a b =+，最大值是()143h a b =-+，所以32a b +-…且432a b -+…，从而323362a a a b a --++-剟且103a 剟.令()323t a a =--+，则()2330t a a '=->，()t a 在10,3⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数，故()()02t a t =-…，因此230a b -+剟.（iii ）当113a <<时，()h x 在[]1,1-上的最小值是()3h a a b =+，最大值是()132h a b -=++，所以32a b +-…且322a b ++…，解得283027a b -<+….（iv ）当1a …时，()h x 在[]1,1-上的最大值是()123h a b -=++，最小值是()123h a b =-++，所以322a b ++…且322a b +--…，解得30a b +=.综上，得3a b +的取值范围是230a b -+剟.评注 本题主要考查函数最大（最小）值的概念，利用导数研究函数的单调性等基础知识，同时考查推理论证、分类讨论、分析问题和解决问题等综合解题能力.。

2014年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数学(理科)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U ＝{x ∈N |x ≥2}，集合A ＝{x ∈N |x 2≥5}，则∁U A ＝( ) A ．∅ B ．{2} C ．{5} D ．{2,5}2．已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，则“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 当a ＝b ＝1时，(a ＋b i)2＝(1＋i)2＝2i ，反之，若(a ＋b i)2＝2i ，则有a ＝b ＝－1或a ＝b ＝1，因此选A.3．某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是( )A ．90 cm 2B ．129 cm 2C ．132 cm 2D ．138 cm 24．为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象( ) A ．向右平移π4个单位B ．向左平移π4个单位C ．向右平移π12个单位D ．向左平移π12个单位5．在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n 项的系数为f (m ，n )，则f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝( )A ．45B ．60C ．120D ．2106．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0<f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( )A ．c ≤3B ．3<c ≤6C ．6<c ≤9D ．c >97．在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x ≥0)，g (x )＝log a x 的图象可能是( )8．记max{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，x ≥y ，y ，x <y ，min{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧y ，x ≥y ，x ，x <y ，设a ，b 为平面向量，则( ) A ．min{|a ＋b |，|a －b |}≤min{|a |，|b |} B ．min{|a ＋b |，|a －b |}≥min{|a |，|b |} C ．max{|a ＋b |2，|a －b |2}≤|a |2＋|b |2 D ．max{|a ＋b |2，|a －b |2}≥|a |2＋|b |29．已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个蓝球(m ≥3，n ≥3)，从乙盒中随机抽取i (i ＝1,2)个球放入甲盒中．(1)放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi (i ＝1,2)；(2)放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p i (i ＝1,2)． 则( )A ．p 1>p 2，E (ξ1)<E (ξ2)B ．p 1<p 2，E (ξ1)>E (ξ2)C ．p 1>p 2，E (ξ1)>E (ξ2)D ．p 1<p 2，E (ξ1)<E (ξ2)10．设函数f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝2(x －x 2)，f 3(x )＝13|sin 2πx |，a i ＝i99，i ＝0,1,2，…，99.记I k＝|f k (a 1)－f k (a 0)|＋|f k (a 2)－f k (a 1)|＋…＋|f k (a 99)－f k (a 98)|，k ＝1,2,3.则( )A ．I 1<I 2<I 3B ．I 2<I 1<I 3C ．I 1<I 3<I 2D ．I 3<I 2<I 1二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运行后输出的结果是________．12．随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________.13．当实数x ，y 满足{ x ＋2y －4≤0， x －y －1≤0， x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________．14．在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答)．15．设函数f (x )＝{ x 2＋x ，x <0， －x 2，x ≥0，若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是________．16．设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m,0)满足|P A |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________．17．如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练．已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面上的射线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小．若AB ＝15 m ，AC ＝25 m ，∠BCM ＝30°，则tan θ的最大值是________．(仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成角)三、解答题(本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18．(本题满分14分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ≠b ，c ＝3，cos 2A －cos 2B ＝3sin A cos A －3sin B cos B .(1)求角C 的大小；(2)若sin A ＝45，求△ABC 的面积．19．(本题满分14分)已知数列{a n }和{b n }满足a 1a 2a 3…a n ＝(2)b n (n ∈N *)．若{a n }为等比数列，且a 1＝2，b 3＝6＋b 2.(1)求a n 与b n ；(2)设c n ＝1a n －1b n (n ∈N *)．记数列{c n }的前n 项和为S n .①求S n ；②求正整数k ，使得对任意n ∈N *，均有S k ≥S n .20．(本题满分15分)如图，在四棱锥A -BCDE 中，平面ABC ⊥平面BCDE ，∠CDE ＝∠BED ＝90°，AB ＝CD ＝2，DE ＝BE ＝1，AC ＝ 2.(1)证明：DE ⊥平面ACD ；(2)求二面角B -AD -E 的大小．21．(本题满分15分)如图，设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，动直线l 与椭圆C 只有一个公共点P ，且点P 在第一象限．(1)已知直线l 的斜率为k ，用a ，b ，k 表示点P 的坐标；(2)若过原点O 的直线l 1与l 垂直，证明：点P 到直线l 1的距离的最大值为a －b .22．(本题满分14分)已知函数f (x )＝x 3＋3|x －a |(a ∈R )．(1)若f (x )在[－1,1]上的最大值和最小值分别记为M (a )，m (a )，求M (a )－m (a )； (2)设b ∈R ，若[f (x )＋b ]2≤4对x ∈[－1,1]恒成立，求3a ＋b 的取值范围．答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．解析：选B 由题意知U ＝{x ∈N |x ≥2}，A ＝{x ∈N |x ≥5}，所以∁U A ＝{x ∈N |2≤x ＜5}＝{2}．故选B.2．解析：选A 当a ＝b ＝1时，(a ＋b i)2＝(1＋i)2＝2i ，反之，若(a ＋b i)2＝2i ，则有a ＝b ＝－1或a ＝b ＝1，因此选A.3．解析：选D 由三视图画出几何体的直观图，如图所示，则此几何体的表面积S ＝S 1－S正方形＋S 2＋2S 3＋S斜面，其中S 1是长方体的表面积，S 2是三棱柱的水平放置的一个侧面的面积，S 3是三棱柱的一个底面的面积，则S ＝(4×6＋3×6＋3×4)×2－3×3＋3×4＋2×12×4×3＋5×3＝138(cm 2)，选D.4．解析：选C 因为y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4＝2cos 3⎝⎛⎭⎫x －π12，所以将函数y ＝2cos 3x 的图象向右平移π12个单位后，可得到y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4的图象，故选C. 5．解析：选C 由题意知f (3,0)＝C 36C 04，f (2,1)＝C 26C 14，f (1，2)＝C 16C 24，f (0,3)＝C 06C 34，因此f (3,0)＋f (2,1)＋f (1，2)＋f (0,3)＝120，选C.6．解析：选C 由题意，不妨设g (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c －m ，m ∈(0,3]，则g (x )的三个零点分别为x 1＝－3，x 2＝－2，x 3＝－1，因此有(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c －m ，则c －m ＝6，因此c ＝m ＋6∈(6,9]．7．解析：选D 当a >1时，函数f (x )＝x a (x >0)单调递增，函数g (x )＝log a x 单调递增，且过点(1,0)，由幂函数的图象性质可知C 错；当0<a <1时，函数f (x )＝x a (x >0)单调递增，函数g (x )＝log a x 单调递减，且过点(1,0)，排除A ，又由幂函数的图象性质可知C 错，因此选D.8．解析：选D 对于min{|a ＋b |，|a －b |}与min{|a |，|b |}，相当于平行四边形的对角线长度的较小者与两邻边长的较小者比较，它们的大小关系不定，因此A ，B 均错；而|a ＋b |，|a －b |中的较大者与|a |，|b |可构成非锐角三角形的三边，因此有max{|a ＋b |2，|a －b |2}≥|a |2＋|b |2，因此选D.9．解析：选A 解法一(特值法) 取m ＝n ＝3进行计算、比较即可．解法二(标准解法) 从乙盒中取1个球时，取出的红球的个数记为ξ，则ξ的所有可能取值为0,1，则P (ξ＝0)＝n m ＋n ＝P (ξ1＝1)，P (ξ＝1)＝m m ＋n ＝P (ξ1＝2)，所以E (ξ1)＝1·P (ξ1＝1)＋2·P (ξ1＝2)＝m m ＋n ＋1，所以p 1＝E (ξ1)2＝2m ＋n2(m ＋n )；从乙盒中取2个球时，取出的红球的个数记为η，则η的所有可能取值为0,1,2，则P (η＝0)＝C 2n C 2m ＋n ＝P (ξ2＝1)，P (η＝1)＝C 1n C 1mC 2m ＋n＝P (ξ2＝2)，P (η＝2)＝C 2mC 2m ＋n ＝P (ξ2＝3)，所以E (ξ2)＝1·P (ξ2＝1)＋2P (ξ2＝2)＋3P (ξ2＝3)＝2m m ＋n ＋1，所以p 2＝E (ξ2)3＝3m ＋n3(m ＋n )，所以p 1>p 2，E (ξ1)<E (ξ2)，故选A.10．解析：选B 显然f 1(x )＝x 2在[0,1]上单调递增，可得f 1(a 1)－f 1(a 0)>0，f 1(a 2)－f 1(a 1)>0，…，f 1(a 99)－f 1(a 98)>0，所以I 1＝|f 1(a 1)－f 1(a 0)|＋|f 1(a 2)－f 1(a 1)|＋…＋|f 1(a 99)－f 1(a 98)|＝f 1(a 1)－f 1(a 0)＋f 1(a 2)－f 1(a 1)＋…＋f 1(a 99)－f 1(a 98)＝f 1(a 99)－f 1(a 0)＝⎝⎛⎭⎫99992－0＝1.f 2(x )＝2(x －x 2)在⎣⎡⎦⎤0，4999上单调递增，在⎣⎡⎦⎤5099，1上单调递减，可得f 2(a 1)－f 2(a 0)>0，…，f 2(a 49)－f 2(a 48)>0，f 2(a 50)－f 2(a 49)＝0，f 2(a 51)－f 2(a 50)<0，…，f 2(a 99)－f 2(a 98)<0，所以I 2＝|f 2(a 1)－f 2(a 0)|＋|f 2(a 2)－f 2(a 1)|＋…＋|f 2(a 99)－f 2(a 98)|＝f 2(a 1)－f 2(a 0)＋…＋f 2(a 49)－f 2(a 48)－[f 2(a 51)－f 2(a 50)＋…＋f 2(a 99)－f 2(a 98)]＝f 2(a 49)－f 2(a 0)－[f 2(a 99)－f 2(a 50)]＝2f 2(a 50)－f 2(a 0)－f 2(a 99)＝4×5099×⎝⎛⎭⎫1－5099＝9 8009 801<1.f 3(x )＝13|sin 2πx |在⎣⎡⎦⎤0，2499，⎣⎡⎦⎤5099，7499上单调递增，在⎣⎡⎦⎤2599，4999，⎣⎡⎦⎤7599，1上单调递减，可得f 3(a 1)－f 3(a 0)>0，…，f 3(a 24)－f 3(a 23)>0，f 3(a 25)－f 3(a 24)>0，f 3(a 26)－f 3(a 25)<0，…，f 3(a 49)－f 3(a 48)<0，f 3(a 50)－f 3(a 49)＝0，f 3(a 51)－f 3(a 50)>0，…，f 3(a 74)－f 3(a 73)>0，f 3(a 75)－f 3(a 74)<0，f 3(a 76)－f 3(a 75)<0，…，f 3(a 99)－f 3(a 98)<0，所以I 3＝|f 3(a 1)－f 3(a 0)|＋|f 3(a 2)－f 3(a 1)|＋…＋|f 3(a 99)－f 3(a 98)|＝f 3(a 25)－f 3(a 0)－[f 3(a 49)－f 3(a 25)]＋f 3(a 74)－f 3(a 50)－[f 3(a 99)－f 3(a 74)]＝2f 3(a 25)－2f 3(a 49)＋2f 3(a 74)＝232sin 49π99－sin π99>232sin 5π12－sin π12＝2326＋224－6－24＝6＋326>1.因此I 2<I 1<I 3.二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．解析：S ＝0，i ＝1；S ＝1，i ＝2；S ＝4，i ＝3；S ＝11，i ＝4；S ＝26，i ＝5；S ＝57，i ＝6，此时S >n ，所以i ＝6.答案：612．解析：由题意设P (ξ＝由E (ξ)＝1，可得p ＝35，所以D (ξ)＝12×15＋02×35＋12×15＝25.答案：2513．解析：由线性规划的可行域，求出三个交点坐标分别为(1,0)，⎝⎛⎭⎫1，32，(2,1)，都代入1≤ax ＋y ≤4，可得1≤a ≤32.答案：⎣⎡⎦⎤1，32 14．解析：分情况：一种情况将有奖的奖券按2张、1张分给4个人中的2个人，种数为C 23C 11A 24＝36；另一种将3张有奖的奖券分给4个人中的3个人，种数为A 34＝24，则获奖情况总共有36＋24＝60(种)．答案：6015．解析：结合图形(图略)，由f (f (a ))≤2可得f (a )≥－2，可得a ≤ 2. 答案：(－∞，2)16．解析：联立直线方程与双曲线渐近线方程y ＝±b a x 可解得交点为⎝⎛⎭⎫am 3b －a ，bm 3b －a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－am 3b ＋a ，bm 3b ＋a ，而k AB＝13，由|P A |＝|PB |，可得AB 的中点与点P 连线的斜率为－3，即bm 3b －a ＋bm3b ＋a2－0am3b －a ＋－am 3b ＋a2－m＝－3，化简得4b 2＝a 2，所以e ＝52.答案：5217．解析：作PH ⊥BC ，垂足为H ，设PH ＝x ，则CH ＝3x ，由余弦定理AH ＝625＋3x 2－403，tan θ＝tan ∠P AH ＝PHAH ＝1625x 2－403x＋3⎝⎛⎭⎫1x >0，故当1x＝43125时，tan θ取得最大值，最大值为539.答案：539三、解答题(本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18．解析：(1)由题意得1＋cos 2A 2－1＋cos 2B 2＝32sin 2A －32sin 2B ，即32sin 2A －12cos 2A ＝32sin 2B －12cos 2B ， sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2B －π6. 由a ≠b ，得A ≠B ，又A ＋B ∈(0，π)，得2A －π6＋2B －π6＝π，即A ＋B ＝2π3，所以C ＝π3.(2)由c ＝3，sin A ＝45，a sin A ＝c sin C ，得a ＝85.由a <c ，得A <C ，从而cos A ＝35，故sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝4＋3310，所以，△ABC 的面积为S ＝12ac sin B ＝83＋1825.19．解析：(1)由题意a 1a 2a 3…a n ＝(2)b n ，b 3－b 2＝6，知a 3＝(2)b 3－b 2＝8.又由a 1＝2，得公比q ＝2(q ＝－2，舍去)， 所以数列{a n }的通项为a n ＝2n (n ∈N *)． 所以，a 1a 2a 3…a n ＝2n (n ＋1)2＝(2)n (n ＋1)．故数列{b n }的通项为b n ＝n (n ＋1)(n ∈N *)． (2)①由(1)知c n ＝1a n －1b n ＝12n －⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1(n ∈N *)，所以S n ＝1n ＋1－12n (n ∈N *)．②因为c 1＝0，c 2>0，c 3>0，c 4>0； 当n ≥5时， c n ＝1n (n ＋1)⎣⎡⎦⎤n (n ＋1)2n－1， 而n (n ＋1)2n －(n ＋1)(n ＋2)2n ＋1＝(n ＋1)(n －2)2n ＋1>0， 得n (n ＋1)2n≤5·(5＋1)25<1， 所以，当n ≥5时，c n <0.综上，对任意n ∈N *恒有S 4≥S n ，故k ＝4.20．解析：(1)在直角梯形BCDE 中，由DE ＝BE ＝1，CD ＝2，得BD ＝BC ＝ 2. 由AC ＝2，AB ＝2，得AB 2＝AC 2＋BC 2，即AC ⊥BC . 又平面ABC ⊥平面BCDE ，从而AC ⊥平面BCDE . 所以AC ⊥DE .又DE ⊥DC ，从而DE ⊥平面ACD .(2)法一：作BF ⊥AD ，与AD 交于点F .过点F 作FG ∥DE ，与AE 交于点G ，连接BG ，由(1)知DE ⊥AD ，则FG ⊥AD .所以∠BFG 是二面角B -AD -E 的平面角． 在直角梯形BCDE 中，由CD 2＝BC 2＋BD 2，得BD ⊥BC ， 又平面ABC ⊥平面BCDE ，得BD ⊥平面ABC ，从而BD ⊥AB . 由于AC ⊥平面BCDE ，得AC ⊥CD .在Rt △ACD 中，由DC ＝2，AC ＝2，得AD ＝ 6. 在Rt △AED 中，由ED ＝1，AD ＝6，得AE ＝7.在Rt △ABD 中，由BD ＝2，AB ＝2，AD ＝6，得BF ＝233，AF ＝23AD .从而GF ＝23.在△ABE ，△ABG 中，利用余弦定理分别可得cos ∠BAE ＝5714，BG ＝23.在△BFG 中，cos ∠BFG ＝GF 2＋BF 2－BG 22BF ·GF ＝32.所以，∠BFG ＝π6，即二面角B -AD -E 的大小是π6.法二：以D 为原点，分别以射线DE ，DC 为x ，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系D -xyz ，如图所示．由题意知各点坐标如下：D (0,0,0)，E (1,0,0)，C (0,2,0)，A (0,2，2)，B (1,1,0)． 设平面ADE 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，于是|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m |·|n |＝33·2＝32. 由题意可知，所求二面角是锐角，故二面角B -AD -E 的大小是π6.21．解析：(1)设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k <0)，由消去y 得(b 2＋a 2k 2)x 2＋2a 2kmx ＋a 2m 2－a 2b 2＝0.由于l 与C 只有一个公共点，故Δ＝0，即b 2－m 2＋a 2k 2＝0，解得点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－a 2km b 2＋a 2k 2，b 2m b 2＋a 2k 2.又点P 在第一象限，故点P 的坐标为P －a 2kb 2＋a 2k 2，b 2b 2＋a 2k 2.(2)由于直线l 1过原点O 且与l 垂直，故直线l 1的方程为x ＋ky ＝0，所以点P 到直线l 1的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－a 2k b 2＋a 2k2＋b 2k b 2＋a 2k 21＋k2，整理得d ＝a 2－b 2b 2＋a 2＋a 2k 2＋b2k2，因为a 2k 2＋b 2k2≥2ab ，所以a 2－b 2b 2＋a 2＋a 2k 2＋b 2k2≤a 2－b 2b 2＋a 2＋2ab＝a －b ，当且仅当k 2＝ba时等号成立．所以，点P 到直线l 1的距离的最大值为a －b . 22．由于－1≤x ≤1，①当a ≤－1时，有x ≥a ，故f (x )＝x 3＋3x －3a ，此时f (x )在(－1,1)上是增函数，因此，M (a )＝f (1)＝4－3a ，m (a )＝f (－1)＝－4－3a ，故M (a )－m (a )＝(4－3a )－(－4－3a )＝8.②当－1<a <1时，若x ∈(a,1)，f (x )＝x 3＋3x －3a ，在(a,1)上是增函数；若x ∈(－1，a )，f (x )＝x 3－3x ＋3a ，在(－1，a )上是减函数，所以，M (a )＝max{f (1)，f (－1)}，m (a )＝f (a )＝a 3. 由于f (1)－f (－1)＝－6a ＋2，因此，当－1＜a ≤13时，M (a )－m (a )＝－a 3－3a ＋4；当13<a <1时，M (a )－m (a )＝－a 3＋3a ＋2. ③当a ≥1时，有x ≤a ，故f (x )＝x 3－3x ＋3a ，此时f (x )在(－1,1)上是减函数，因此，M (a )＝f (－1)＝2＋3a ，m (a )＝f (1)＝－2＋3a ，故M (a )－m (a )＝(2＋3a )－(－2＋3a )＝4.因为[f (x )＋b ]2≤4对x ∈[－1,1]恒成立，即－2≤h (x )≤2对x ∈[－1,1]恒成立， 所以由(1)知，①当a ≤－1时，h (x )在(－1,1)上是增函数，h (x )在[－1，1]上的最大值是h (1)＝4－3a ＋b ，最小值是h (－1)＝－4－3a ＋b ，则－4－3a ＋b ≥－2且4－3a ＋b ≤2，矛盾；②当－1＜a ≤13时，h (x )在[－1,1]上的最小值是h (a )＝a 3＋b ，最大值是h (1)＝4－3a ＋b ，所以a 3＋b ≥－2且4－3a ＋b ≤2，从而－2－a 3＋3a ≤3a ＋b ≤6a －2且0≤a ≤13. 令t (a )＝－2－a 3＋3a ，则t ′(a )＝3－3a 2>0，t (a )在⎝⎛⎭⎫0，13上是增函数，故t (a )≥t (0)＝－2，因此－2≤3a ＋b ≤0；③当13<a <1时，h (x )在[－1,1]上的最小值是h (a )＝a 3＋b ，最大值是h (－1)＝3a ＋b ＋2，所以a 3＋b ≥－2是3a ＋b ＋2≤2，解得－2827<3a ＋b ≤0； ④当a ≥1时，h (x )在[－1,1]上的最大值是h (－1)＝2＋3a ＋b ，最小值是h (1)＝－2＋3a ＋b ，所以3a ＋b ＋2≤2且3a ＋b －2≥－2，解得3a ＋b ＝0.综上，得3a ＋b 的取值范围是－2≤3a ＋b ≤0.。

绝密★考试结束前2014年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（文科）本试题卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页。

满分150分，考试时间120分钟。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

选择题部分（共50分）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。

2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

不能答在试题卷上。

参考公式台体的体积公式其中S,2S分别表示台体的上、下面积，h表示台体的高1柱体体积公式V Sh其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高锥体的体积公式13V Sh = 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 球的表面积公式 球的体积公式 其中R 表示球的半径 如果事件,A B 互斥 ，那么一 、选择题： 本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设集合}5|{},2|{≤=≥=x x T x x S ，则=T S IA. ]5,(-∞B.),2[+∞C. )5,2(D. ]5,2[2. 设四边形ABCD 的两条对角线为AC 、BD 。

则“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD ”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件3. 某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是 A.72cm 3 B. 90 cm 3 C.108 cm 3 D. 138 cm 34．为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像 A ．向右平移12π个单位 B ．向右平移4π个单位C ．向左平移12π个单位 D ．向左平移4π个单位 5. 已知圆02222=+-++a y x y x 截直线02=++y x 所得弦的长度为4，则实数a 的值是 A ．2- B ．4- C ．6- D ．8- 6. 设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面 A ．若m ⊥n ，n ∥α则m ⊥α B ．若m ∥β，β⊥α，则m ⊥αC ．若m ⊥β，n ⊥β, n ⊥α则m ⊥αD ．若m ⊥n ，n ⊥β,β⊥α,则m ⊥α7. 已知函数c bx ax x x f +++=23)(,且3)3()2()1(0≤-=-=-<f f f ，则 A ．3≤c B ．63≤<c C ．96≤<c D ．9>c8. 在同意直角坐标系中，函数x x g x x x f a a log )(),0()(=≥=的图像可能是 9.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若243,15,S S ==则6S =（ ） A ．31 B ．32 C ．63 D ．6410. 如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练，已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点沿墙面上的射线CM 移动。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设全集{}2|≥∈=x N x U ，集合{}5|2≥∈=x N x A ，则=A C U （ ）A. ∅B. }2{C. }5{D. }5,2{（2）已知i 是虚数单位，R b a ∈,,则“1==b a ”是“i bi a 2)(2=+”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件（3）某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的表面积是 A. 902cm B. 1292cm C. 1322cm D. 1382cm4.为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像（ ）A.向右平移4π个单位 B.向左平移4π个单位 C.向右平移12π个单位 D.向左平移12π个单位5.在46)1()1(y x ++的展开式中，记nm yx 项的系数为),(n m f ，则=+++)3,0(2,1()1,2()0,3(f f f f ） （ ）A.45B.60C.120D. 2106.已知函数则且,3)3()2()1(0,)(23≤-=-=-≤+++=f f f c bx ax x x f （ ） A.3≤c B.63≤<c C.96≤<c D. 9>c7.在同一直角坐标系中，函数x x g x x x f a alog )(),0()(=≥=的图像可能是（ ）8.记,max{,},x x y x y y x y ≥⎧=⎨<⎩，,min{,},y x yx y x x y≥⎧=⎨<⎩，设a,b 为平面向量，则（ ）A.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤B.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≥C.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≥+ D.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≤+9.已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个篮球()3,3m n ≥≥，从乙盒中随机抽取()1,2i i =个球放入甲盒中. （a ）放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为()1,2ii ξ=；（b ）放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为()1,2i p i =. 则A.()()1212,p p E E ξξ><B.()()1212,p p E E ξξ<>C.()()1212,p p E E ξξ>>D.()()1212,p p E E ξξ<< 10.设函数21)(x x f =，),(2)(22x x x f -=|2sin |31)(3x x f π=，99,,2,1,0,99Λ==i ia i ，记|)()(||)()(||)()(|98991201a f a f a f a f a f a f I k k k k k k k -++-+-=Λ，.3,2,1=k 则( )A.321I I I <<B. 312I I I <<C. 231I I I <<D. 123I I I <<二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11.若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是________.12.随机变量ξ的取值为0,1,2，若()15Pξ==，()1Eξ=，则()Dξ=________.13.当实数x，y满足240,10,1,x yx yx+-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩时，14ax y≤+≤恒成立，则实数a的取值范围是________.14.在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_____种（用数字作答）.15.设函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+=,,22xxxxxxf若()()2≤aff，则实数a的取值范围是______15.设直线)0(03≠=+-mmyx与双曲线12222=-byax（0a b>>）两条渐近线分别交于点BA,，若点)0,(mP满足PBPA=,则该双曲线的离心率是__________17、如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练.已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小.若则的最大ED CBA值 。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设全集{}2|≥∈=x N x U ，集合{}5|2≥∈=x N x A ，则=A C U （ ）A. ∅B. }2{C. }5{D. }5,2{（2）已知i 是虚数单位，R b a ∈,,则“1==b a ”是“i bi a 2)(2=+”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件（3）某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的表面积是 A. 902cm B. 1292cm C. 1322cm D. 1382cm4.为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像（ ）A.向右平移4π个单位 B.向左平移4π个单位 C.向右平移12π个单位 D.向左平移12π个单位5.在46)1()1(y x ++的展开式中，记nm yx 项的系数为),(n m f ，则=+++)3,0(2,1()1,2()0,3(f f f f ） （ ）A.45B.60C.120D. 2106.已知函数则且,3)3()2()1(0,)(23≤-=-=-≤+++=f f f c bx ax x x f （ ） A.3≤c B.63≤<c C.96≤<c D. 9>c7.在同一直角坐标系中，函数x x g x x x f a alog )(),0()(=≥=的图像可能是（ ）8.记,max{,},x x y x y y x y ≥⎧=⎨<⎩，,min{,},y x yx y x x y≥⎧=⎨<⎩，设a,b 为平面向量，则（ ）A.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤B.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≥C.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≥+ D.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≤+9.已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个篮球()3,3m n ≥≥，从乙盒中随机抽取()1,2i i =个球放入甲盒中. （a ）放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为()1,2ii ξ=；（b ）放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为()1,2i p i =. 则A.()()1212,p p E E ξξ><B.()()1212,p p E E ξξ<>C.()()1212,p p E E ξξ>>D.()()1212,p p E E ξξ<< 10.设函数21)(x x f =，),(2)(22x x x f -=|2sin |31)(3x x f π=，99,,2,1,0,99==i ia i ，记|)()(||)()(||)()(|98991201a f a f a f a f a f a f I k k k k k k k -++-+-= ，.3,2,1=k 则( )A.321I I I <<B. 312I I I <<C. 231I I I <<D. 123I I I <<二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11.若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是________.12.随机变量ξ的取值为0,1,2，若()105P ξ==，()1E ξ=，则()D ξ=________. 13.当实数x ，y 满足240,10,1,x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩时，14ax y ≤+≤恒成立，则实数a 的取值范围是________.14.在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不 同的获奖情况有_____种（用数字作答）.15.设函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+=0,0,22x x x x x x f 若()()2≤a f f ，则实数a 的取值范围是______15.设直线)0(03≠=+-m m y x 与双曲线12222=-by a x （0a b >>）两条渐近线分别交于点B A ,，若点)0,(m P 满足PB PA =,则该双曲线的离心率是__________17、如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练.已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小.若则的最大EA值 。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出学科网的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设全集{}2|≥∈=x N x U ，集合{}5|2≥∈=x N x A ，zxxk 则=A C U （ ） A. ∅ B. }2{ C. }5{ D. }5,2{（2）已知i 是虚数单位，R b a ∈,,则“1==b a ”是“i bi a 2)(2=+”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件（3）某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的学科网表面积是 A. 902cm B. 1292cm C. 1322cm D. 1382cm4.为了得到函数zxxk x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像（ ） A.向右平移4π个单位 B.向左平移4π个单位 C.向右平移12π个单位 D.向左平移12π个单位5.在46)1()1(y x ++的展开式中，记nm y x 项的系数为),(n m f ，则=+++)3,0(2,1()1,2()0,3(f f f f ）（ ）A.45B.60C.120D. 2106.已知函数则且,3)3()2()1(0,)(23≤-=-=-≤+++=f f f c bx ax x x f （ ）A.3≤cB.63≤<cC.96≤<cD. 9>c 7.在同意直角坐标系中，函数x x g x x x f a a log )(),0()(=≥=的图像可能是（ ）8.记,max{,},x x y x y y x y ≥⎧=⎨<⎩，,min{,},y x yx y x x y≥⎧=⎨<⎩，设,a b 为平面向量，则（ ）A.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤B.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≥C.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≥+ D.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≤+9.已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个篮球学科网()3,3m n ≥≥，从乙盒中随机抽取()1,2i i =个球放入甲盒中.（a ）放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为()1,2ii ξ=；（b ）放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为zxxk ()1,2i p i =. 则A.()()1212,p p E E ξξ><B.()()1212,p p E E ξξ<>C.()()1212,p p E E ξξ>>D.()()1212,p p E E ξξ<<10.设函数21)(x x f =，),(2)(22x x x f -=|2sin |31)(3x x f π=，99,,2,1,0,99==i ia i ，记|)()(||)()(||)()(|98991201a f a f a f a f a f a f I k k k k k k k -++-+-= ，.3,2,1=k 则A.321I I I <<B. 312I I I <<C. 231I I I <<D. 123I I I << 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11.若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的学科网结果是________.12.随机变量ξ的取值为0,1,2，若()105P ξ==，()1E ξ=，则()D ξ=________. 13.当实数x ，y 满足240,10,1,x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩时，zxxk 14ax y ≤+≤恒成立，则实数a 的取值范围是________.14.在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_____种（用数字作答）.15.设函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+=0,0,22x x x x x x f 若()()2≤a f f ，则实数a 的取值范围是______16.设直线)0(03≠=+-m m y x 与双曲线12222=-by a x （）两条渐近线分别交于点B A ,，若点)0,(m P 满足PB PA =,则该双曲线的离心率是__________17、如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练. 学科网已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小.若则的最大值三．解答题：本大题共5小题，共72分。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设全集{}2|≥∈=x N x U ，集合{}5|2≥∈=x N x A ，则=A C U （ ）A. ∅B. }2{C. }5{D. }5,2{（2）已知i 是虚数单位，R b a ∈,,则“1==b a ”是“i bi a 2)(2=+”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件（3）某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的表面积是 A. 902cm B. 1292cm C. 1322cm D. 1382cm4.为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像（ ）A.向右平移4π个单位 B.向左平移4π个单位 C.向右平移12π个单位 D.向左平移12π个单位5.在46)1()1(y x ++的展开式中，记nm yx 项的系数为),(n m f ，则=+++)3,0(2,1()1,2()0,3(f f f f ） （ ）A.45B.60C.120D. 2106.已知函数则且,3)3()2()1(0,)(23≤-=-=-≤+++=f f f c bx ax x x f （ ） A.3≤c B.63≤<c C.96≤<c D. 9>c7.在同一直角坐标系中，函数x x g x x x f a alog )(),0()(=≥=的图像可能是（ ）8.记,max{,},x x y x y y x y ≥⎧=⎨<⎩，,min{,},y x yx y x x y≥⎧=⎨<⎩，设a,b 为平面向量，则（ ）A.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤B.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≥C.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≥+ D.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≤+9.已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个篮球()3,3m n ≥≥，从乙盒中随机抽取()1,2i i =个球放入甲盒中. （a ）放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为()1,2ii ξ=；（b ）放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为()1,2i p i =. 则A.()()1212,p p E E ξξ><B.()()1212,p p E E ξξ<>C.()()1212,p p E E ξξ>>D.()()1212,p p E E ξξ<< 10.设函数21)(x x f =，),(2)(22x x x f -=|2sin |31)(3x x f π=，99,,2,1,0,99==i ia i ，记|)()(||)()(||)()(|98991201a f a f a f a f a f a f I k k k k k k k -++-+-= ，.3,2,1=k 则( )A.321I I I <<B. 312I I I <<C. 231I I I <<D. 123I I I <<二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11.若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是________.12.随机变量ξ的取值为0,1,2，若()105P ξ==，()1E ξ=，则()D ξ=________. 13.当实数x ，y 满足240,10,1,x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩时，14ax y ≤+≤恒成立，则实数a 的取值范围是________.14.在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不 同的获奖情况有_____种（用数字作答）.15.设函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+=0,0,22x x x x x x f 若()()2≤a f f ，则实数a 的取值范围是______15.设直线)0(03≠=+-m m y x 与双曲线12222=-by a x （0a b >>）两条渐近线分别交于点B A ,，若点)0,(m P 满足PB PA =,则该双曲线的离心率是__________17、如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练.已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小.若则的最大EA值 。