题型研究题型四新定义与阅读理解题类型三新解题方法型针对演练

高中数学“新定义”题型的解题策略１.明确“新定义”题型的本质与特点“新定义”题型中所说的“新定义”其实是相对考纲、课本而言，在题目中定义了中学数学中没有学过的一些新概念、新运算、新符号，但是这种题型已在多年的高考甚至中考中出现，某种程度上讲“新定义”题并不是完全创新的题型，而是考生很常见的一种题型。

可以通过日常的教学及模拟训练让学生喜欢上这种较有特色的数学情景题，如果学生的情绪不紧张，很多“新定义”题是可以迎刃而解的，在解题中真正的障碍是理解与运算、信息的迁移能力。

“新定义”题型内容新颖，题目中常常伴随有“定义”“称”“规定”“记”等字眼，而题目一般都是用抽象简洁的语言给出新的定义，没有过多的解释说明，要求学生自己仔细揣摩、体会和理解定义的含义。

而“新定义”题学习新定义的时间短，阅读后就要求立即独立运用它解决有关问题，对学生的心理素质和思维敏捷性要求较高。

２.“新定义”题型解题步骤解题时可以分这样几步：（１）对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号。

（２）细细品味新定义的概念、法则，对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法，有时可以寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点。

（３）对定义中提取的知识进行转换，有效的输出，其中对定义信息的提取和化归是解题的关键，也是解题的难点。

如果是新定义的运算、法则，直接按照运算法则计算即可；若是新定义的性质，一般就要判断性质的适用性，能否利用定义的外延，可用特值排除等方法。

３.“新定义”题型的讲评建议（１）通过熟悉的例子增强学生对这类题目的兴趣，也可以提高他们的解题信心。

（２）加强审题能力的培养。

现在学生的阅读能力差，所以在平时的教学中一定要训练学生的阅读、审题能力，如数学中常见的应该题就是对学生阅读能力的考查。

（３）拓宽学生的视野。

可以借助“新定义”题或是大纲内相关的知识点拓宽学生的视野，虽然“新定义”题特征是题目新颖较难猜测，但实际上高考中也有很多重复出现的例子。

新定义与阅读理解创新型问题一、单选题1．（四川省雅安市2021年中考数学真题）定义：{}()min ,()a a b a b b a b ≤⎧=⎨>⎩，若函数()2min 123y x x x =+-++，，则该函数的最大值为（ ）A ．0B ．2C ．3D ．4【答案】C 【分析】根据题目中所给的运算法则，分两种情况进行求解即可． 【详解】 令(),y min a b =,当2123x x x +≤-++时，即220x x --≤时，1y x =+， 令22w x x =-- ，则w 与x 轴的交点坐标为（2，0），（-1，0）， ∴当0w ≤时，12x -≤≤， ∴1y x =+（12x -≤≤）， ∴y 随x 的增大而增大， ∴当x =2时，3y =最大；当2123x x x +>-++时，即220x x -->时，2y x 2x 3=-++， 令22w x x =-- ，则w 与x 轴的交点坐标为（2，0），（-1，0）， ∴当0w >时，2x >或1x <-， ∴2y x 2x 3=-++（2x >或1x <-）， ∴2y x 2x 3=-++的对称轴为x =1， ∴当2x >时，y 随x 的增大而减小， ∴当x =2时，2y x 2x 3=-++=3， ∴当2x >时，y <3；当1x <-，y 随x 的增大而增大， ∴当x =-1时，2y x 2x 3=-++=0； ∴当1x <-时，y <0；综上，()2min 123y x x x =+-++，的最大值为3． 故选C ． 【点睛】本题是新定义运算与二次函数相结合的题目，解题时要注意分情况讨论，不要漏解．2．（广东省2021年中考真题数学试卷）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a ，b ，c ，记2a b cp ++=，则其面积S =．这个公式也被称为海伦-秦九韶公式．若5,4p c ==，则此三角形面积的最大值为（ ）A B ．4C ．D ．5【答案】C 【分析】由已知可得a +b =6，5S ab ==-，把b =6-a 代入S 的表达式中得：256S a a -+S 的最大值．【详解】 ∴p =5，c =4，2a b cp ++= ∴a +b =2p -c =6∴55S ab ==-由a +b =6，得b =6-a ，代入上式，得：25(6)5565S a a a a =--=-+-设2+65y a a =--，当2+65y a a =--取得最大值时，S 也取得最大值 ∴22+65(3)4y a a a =--=--+ ∴当a =3时，y 取得最大值4∴S =故选：C ． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，关键是由已知得出a +b =6，把面积最大值问题转化为二次函数的最大值问题． 3．（内蒙古通辽市2021年中考数学真题）定义：一次函数y ax b =+的特征数为[],a b ，若一次函数2y x m =-+的图象向上平移3个单位长度后与反比例函数3y x=-的图象交于A ，B 两点，且点A ，B 关于原点对称，则一次函数2y x m =-+的特征数是（ ） A ．[]2,3 B ．[]2,3-C ．[]2,3-D ．[]2,3--【答案】D 【分析】先求出平移后的直线解析式为23y x m =-++，根据与反比例函数3y x=-的图象交于A ，B 两点，且点A ，B 关于原点对称，得到直线23y x m =-++经过原点，从而求出m ，根据特征数的定义即可求解． 【详解】解：由题意得一次函数2y x m =-+的图象向上平移3个单位长度后解析式为23y x m =-++， ∴直线23y x m =-++与反比例函数3y x=-的图象交于A ，B 两点，且点A ，B 关于原点对称， ∴点A ，B ，O 在同一直线上， ∴直线23y x m =-++经过原点， ∴m +3=0， ∴m =-3，∴一次函数2y x m =-+的解析式为23y x =--， ∴一次函数2y x m =-+的特征数是[]2,3--． 故选：D 【点睛】本题考查了新定义，直线的平移，一次函数与反比例函数交点，中心对称等知识，综合性较强，根据点A ，B 关于原点对称得到平移后直线经过原点是解题关键．4．（江苏省无锡市2021年中考数学真题）设1(,)P x y ，2(,)Q x y 分别是函数1C ，2C 图象上的点，当a x b≤≤时，总有1211y y -£-£恒成立，则称函数1C ，2C 在a x b ≤≤上是“逼近函数”，a x b ≤≤为“逼近区间”．则下列结论：①函数5y x =-，32y x =+在12x ≤≤上是“逼近函数”； ①函数5y x =-，24y x x =-在34x ≤≤上是“逼近函数”； ①01x ≤≤是函数21y x =-，22y x x =-的“逼近区间”； ①23x ≤≤是函数5y x =-，24y x x =-的“逼近区间”． 其中，正确的有（ ） A ．①① B ．①① C ．①① D ．①①【答案】A 【分析】分别求出12y y -的函数表达式，再在各个x 所在的范围内，求出12y y -的范围，逐一判断各个选项，即可求解． 【详解】解：∴∴15y x =-，232y x =+，∴()()1253227y y x x x -=--+=--，当12x ≤≤时，12119y y -£-£-， ∴函数5y x =-，32y x =+在12x ≤≤上不是“逼近函数”；∴∴15y x =-，224y x x =-，∴()()12225554x y y x x x x --=--=-+-，当34x ≤≤时，1211y y -£-£，函数5y x =-，24y x x =-在34x ≤≤上是“逼近函数”；∴∴211y x =-，222y x x =-， ∴()()22122112x x x y y x x -=--=-+--，当01x ≤≤时，12314y y -£-£-， ∴01x ≤≤是函数21y x =-，22y x x =-的“逼近区间”；∴∴15y x =-，224y x x =-，∴()()12225554x y y x x x x --=--=-+-，当23x ≤≤时，12514y y £-£， ∴23x ≤≤不是函数5y x =-，24y x x =-的“逼近区间”． 故选A 【点睛】本题主要考查一次函数与二次函数的性质，掌握一次函数与二次函数的增减性，是解题的关键． 5．（2021·广西来宾市·中考真题）定义一种运算：,,a a ba b b a b ≥⎧*=⎨<⎩，则不等式(21)(2)3x x +*->的解集是（ ） A ．1x >或13x < B ．113x -<<C ．1x >或1x <-D ．13x >或1x <- 【答案】C 【分析】根据新定义运算规则，分别从212x x +≥-和212x x +<-两种情况列出关于x 的不等式，求解后即可得出结论． 【详解】解：由题意得，当212x x +≥-时， 即13x ≥时，(21)(2)21x x x +*-=+， 则213x +>， 解得1x >，∴此时原不等式的解集为1x >； 当212x x +<-时， 即13x <时，(21)(2)2x x x +*-=-， 则23x ->， 解得1x <-，∴此时原不等式的解集为1x <-；综上所述，不等式(21)(2)3x x +*->的解集是1x >或1x <-． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是根据新定义运算规则列出关于x 的不等式．6．（2021·广西中考真题）如{}1,2,M x =，我们叫集合M ，其中1，2，x 叫做集合M 的元素．集合中的元素具有确定性（如x 必然存在），互异性（如1x ≠，2x ≠），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合{},1,2N x =，我们说M N =．已知集合{}1,0,A a =，集合1,,b B a a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，若A B =，则b a -的值是（ ） A ．－1 B ．0C ．1D ．2【答案】C 【分析】根据集合的确定性、互异性、无序性，对于集合B 的元素通过分析，与A 的元素对应分类讨论即可． 【详解】解：∴集合B 的元素1,ba a，a ，可得， ∴0a ≠， ∴10≠a，0b a =，∴0b =，当11a =时，1a =，{}1,0,1A =，{}1,1,0B =，不满足互异性，情况不存在， 当1a a=时，1a =±，1a =（舍），1a =-时，{}1,0,1A =-，{}1,1,0B =-，满足题意， 此时，=1b a -． 故选：Ｃ 【点睛】本题考查集合的互异性、确定性、无序性。

考研英语新题型技巧《考研英语新题型技巧》近年来，考研英语的题型不断更新，以适应更广泛的学科背景和能力要求。

新题型考察的不仅是基础的语法和词汇能力，更注重考生的综合阅读和分析能力。

为了帮助广大考生提高考试成绩，在此分享一些考研英语新题型的解题技巧。

第一种新题型是阅读填词题。

这种题型要求考生根据短文的语境，在空格中填入最恰当的词汇。

首先，考生应该仔细阅读选项，以便对文章的主题和内容有一个大致的了解。

然后，通过上下文的逻辑关系，把握文章的整体结构。

最后，根据语境和选项的词性，选择合适的单词填入空格中。

第二种新题型是阅读选择题。

在这类题目中，考生需要在每个空格处选择最恰当的选项来完成短文。

解这类题目时，考生应该注意首先阅读全文，了解其大意和结构。

然后，根据上下文和相关联的信息，选择与之相符的选项。

此外，考生还应注重选项中的词性和词义，确保选项在句子中的用法是正确的。

第三种新题型是阅读理解题中的判断题。

这类题目要求考生根据所给短文判断给出的陈述是“正确”、“错误”还是“不提及”。

读完短文后，考生应该逐句阅读陈述，并注意与短文的事实和细节是否一致。

在判断时，考生应当避免个人主观想法的干扰，只按照短文的内容来判断。

最后，考生还需注重平时的练习和积累。

有意识地阅读各类英文文章、报纸、杂志以及考研英语真题，提高对词汇和句型的理解和运用能力。

此外，通过针对性的练习，可以熟悉各种题型，掌握解题技巧。

考生还可以参加英语角或找一个英语学习小组，与他人交流，提高口语和听力水平，在考试中更有信心。

总之，在应对考研英语新题型的过程中，考生应该注重逻辑思维能力的培养，提高对文本的理解能力。

通过合理的时间规划和针对性的练习，相信考生们一定能在考试中取得好成绩。

祝愿所有考生都能成功进入自己理想的院校，开启人生新的篇章。

2019年高考数学复习：新定义型、创新型、应用型试题新定义型、创新型、应用型试题「考情研析」本讲内容主要考查学生的阅读理解能力，信息迁移能力，数学探究能力以及创造性解决问题的能力．高考中一般会以选择题的形式出现，分值5分，题目新而不难，备考时要高度重视．核心知识回顾1．新定义型问题“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解．对于此类题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求．但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝．2．创新型问题创新型试题在命题的立意，背景的取材，情境的设置，设问的方式等方面新颖灵活，解题时要注意进行文字阅读训练，培养从冗长的或不熟悉的问题情境中获取重要信息的能力，加强数学语言——符号语言——图形语言相互转换的能力训练，善于把不熟悉的问题转化为熟悉的问题来加以解决．3．实际应用型问题将实际问题抽象为数学问题，此类问题往往含有文字语言、符号语言、图表语言，要明确题中已知量与未知量的数学关系，要理解生疏的情境、名词、概念，将实际问题数学化，将现实问题转化为数学问题，构建数学模型，运用恰当的数学方法解模(如借助不等式、导数等工具加以解决)．热点考向探究考向1新定义型问题例1(1)(2018·天津市耀华中学模拟)设P和Q是两个集合，定义集合P－Q ＝{x|x∈P，且x∉Q}，如果P＝{x|log2x<1}，Q＝{x||x－2|<1}，那么P－Q等于() A．{x|0<x<1} B．{x|0<x≤1}C．{x|1≤x<2} D．{x|0≤x<2}答案 B解析由log2x<1，得0<x<2，所以P＝{x|0<x<2}；由|x－2|<1，得1<x<3，所以Q＝{x|1<x<3}．由题意，得P－Q＝{x|0<x≤1}．(2)(2018·山东菏泽模拟)若函数y＝f(x)的图象上存在两个点A，B关于原点对称，则称点对[A ，B ]为y ＝f (x )的“友情点对”，点对[A ，B ]与[B ，A ]可看作同一个“友情点对”，若函数f (x )＝⎩⎨⎧2，x <0，－x 3＋6x 2－9x ＋a ，x ≥0恰好由两个“友情点对”，则实数a 的值为( )A ．－2B ．2C ．1D ．0答案 B解析 首先注意到(0，a )没有对称点，当x >0时，f (x )＝－x 3＋6x 2－9x ＋a ，则－f (－x )＝－x 3－6x 2－9x －a ，即－x 3－6x 2－9x －a ＝2(x <0)有两个实数根，即a ＝－x 3－6x 2－9x －2(x <0)有两个实数根．画出y ＝－x 3－6x 2－9x －2(x <0)的图象如下图所示，由图可知a ＝2时有两个解．方法指导 遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质．按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．对于选择题，可以结合选项通过验证，用排除、对比、特值等方法求解．1．若数列{a n }满足1a n ＋1－p a n＝0，n ∈N *，p 为非零常数，则称数列{a n }为“梦想数列”．已知正项数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 为“梦想数列”，且b 1b 2b 3…b 99＝299，则b 8＋b 92的最小值是( )A ．2B ．4C ．6D ．8答案 B解析 依题意可得b n ＋1＝pb n ，则数列{b n }为等比数列．又b 1b 2b 3…b 99＝299＝b 9950，则b 50＝2.b 8＋b 92≥2 b 8·b 92＝2b 50＝4，当且仅当b 8＝b 92，即该数列为常数列时取等号．2．(2018·湖南联考)在R 上定义运算：xy ＝x (1－y )．若对任意x >2，不等式(x －a )x ≤a ＋2都成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，7]B ．(－∞，3]C ．[－1,7]D ．(－∞，－1]∪[7，＋∞) 答案 A解析 ∵运算：x y ＝x (1－y )，∴(x －a )x ≤a ＋2转化为(x －a )(1－x )≤a ＋2，a (x －2)≤x 2－x ＋2，∵任意x >2，不等式(x －a )x ≤a ＋2都成立，∴a ≤x 2－x ＋2x －2. 令f (x )＝x 2－x ＋2x －2，x >2，则a ≤[f (x )]min ，当x >2时，f (x )＝x 2－x ＋2x －2＝(x －2)＋4x －2＋3≥2(x －2)×4x －2＋3＝7，当且仅当x ＝4时，取最小值．∴a ≤7，选A.考向2 创新型问题例2 (1)(2018·抚顺模拟)关于圆周率π，数学发展史上出现过许多有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请360名同学，每人随机写下一个x ，y 都小于1的正实数对(x ，y )；然后统计x ，y 两数能与1构成钝角三角形三边的数对(x ，y )的个数m ；再根据统计数m 来估计π的值．假如统计结果是m ＝102，那么可以估计π的值约为( )A.227B.4715C.5116D.6017答案 B解析 (构造可行域求解)两数能与1构成钝角三角形三边的数对(x ，y )所需满足的条件为⎩⎨⎧ x ＋y >1，x 2＋y 2<1，0<x <1，0<y <1，作出满足不等式组的可行域，如图中阴影部分所示，依题意有102360＝π4－121×1，解得π＝4715.(2)已知{a n }满足a 1＝1，a n ＋a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14n (n ∈N *)，S n ＝a 1＋4·a 2＋42·a 3＋…＋4n －1·a n ，类比课本中推导等比数列前n 项和公式的方法，可求得S n －4n 5·a n ＝________. 答案 n 5解析 由S n ＝a 1＋a 2·4＋a 3·42＋…＋a n ·4n －1； ①得4·S n ＝4·a 1＋a 2·42＋a 3·43＋…＋a n －1·4n －1＋a n ·4n ； ②①＋②得，5S n ＝a 1＋4(a 1＋a 2)＋42·(a 2＋a 3)＋…＋4n －1·(a n －1＋a n )＋a n ·4n ＝a 1＋4·14＋42·⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋…＋4n －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1＋4n ·a n ＝1＋1＋1＋…＋1＋4n ·a n ＝n ＋4n ·a n . 所以5S n －4n·a n ＝n ，∴S n －4n 5·a n ＝n 5. 方法指导 高中数学创新试题呈现的形式是多样化的，但是考查的知识和能力并没有太大的变化，解决创新型问题应注意三点：认真审题，确定目标；深刻理解题意；开阔思路，发散思维，运用观察、比较、类比、猜想等进行合情推理，以便为逻辑思维定向．方向确定后，又需借助逻辑思维，进行严格推理论证，这两种推理的灵活运用，两种思维成分的交织融合，便是处理这类问题的基本思想方法和解题策略．1．把数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫12n －1的所有数按照从大到小的原则写出如图所示的数表，第k行有2k －1个数，第t 行的第s 个数(从左数起)记为A (t ，s )，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫12n －1中的项1287应记为________．113 1517 19 111 113115 117 119 (129)… … …答案 A (8,17)解析 令2n －1＝287⇒n ＝144⇒1287是数列{12n －1}的第144项，由S 7＝27－12－1＝127⇒A (8,17)． 2．如图，在平面斜坐标系xOy 中，∠xOy ＝θ，平面上任意一点P 关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若OP →＝x e 1＋y e 2(其中e 1，e 2分别是x 轴，y 轴正方向上的单位向量)，则点P 的斜坐标为(x ，y )，向量OP→的斜坐标为(x ，y )．给出以下结论：①若θ＝60°，P (2，－1)，则|OP→|＝3； ②若P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则OP →＋OQ →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)； ③若OP →＝(x 1，y 1)，OQ →＝(x 2，y 2)，则OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2； ④若θ＝60°，以O 为圆心、1为半径的圆的斜坐标方程为x 2＋y 2＋xy －1＝0.其中所有正确结论的序号是________．答案 ①②④解析 对于①，OP 是两邻边长分别为2,1，且一内角为60°的平行四边形较短的对角线，解三角形可知|OP →|＝3，故①正确；对于②，若P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则OP →＋OQ →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，故②正确；对于③，OP →＝(x 1，y 1)，OQ →＝(x 2，y 2)，所以OP →·OQ →＝(x 1e 1＋y 1e 2)(x 2e 1＋y 2e 2)，因为e 1·e 2≠0，所以OP →·OQ →≠x 1x 2＋y 1y 2，故③错误；对于④，设圆O 上任意一点为P (x ，y )，因为|OP |＝1，所以(x e 1＋y e 2)2＝1，所以x 2＋y 2＋xy －1＝0，故④正确．故填①②④.考向3 实际应用型问题例3 (1)(2018·南昌模拟)小明在如图1所示的跑道上匀速跑步，他从点A 出发，沿箭头方向经过点B 跑到点C ，共用时30 s ，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程，设小明跑步的时间为t (s)，他与教练间的距离为y (m)，表示y 与t 的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的( )A ．点MB ．点NC ．点PD ．点Q答案 D解析 由题图2可知固定位置到点A 距离大于到点C 距离，所以舍去N ，M 两点，不选B ，A ；若是P 点，则从最高点到点C 依次递减，与图2矛盾，因此取Q ，即选D.(2)一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y ＝a e －bt (cm 3)，若经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．答案 16解析 当t ＝0时，y ＝a ；当t ＝8时，y ＝a e －8b ＝12a ，∴e －8b ＝12，当容器中的沙子只有开始时的八分之一，即a e －bt ＝18a 时，e －bt＝18＝(e －8b )3＝e －24b ，则t ＝24，所以再经过16 min.方法指导 求解应用题的一般步骤(四步法)(1)读题：读懂和深刻理解，译为数学语言，找出主要关系；(2)建模：把主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题；(3)求解：化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；(4)评价：对结果进行验证或评估，对误差加以调节，最后将结果应用于现实，作出解释或验证．1．(2017·北京高考)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与M N 最接近的是( )(参考数据：lg 3≈0.48)A ．1033B ．1053C ．1073D ．1093答案 D解析 由题意，lg M N ＝lg 33611080＝lg 3361－lg 1080＝361lg 3－80lg 10≈361×0.48－80×1＝93.28.又lg 1033＝33，lg 1053＝53，lg 1073＝73，lg 1093＝93，故与M N 最接近的是1093.故选D.2．某网店是一家以销售袜子为主的店铺，该网店月销量L (x )(单位：千双)是关于销售单价x (单位：元/双)的函数．已知销售单价不低于1元/双．当月销售量最少为0.205千双时，该店才会正常营业，否则会亏本停业；当销售单价为20元/双时，月销售量恰好可以保证该店正常营业；当销售单价不超过4元/双时，月销售量为2.125千双．研究表明：当4≤x ≤20时，月销售量L (x )与销售单价x的函数关系为L (x )＝a x 2＋b (a ，b 为常数)．记月销售额(单位：千元)为f (x )＝x ·L (x )，为使f (x )达到最大值，则销售单价x 应为( )A ．1元/双B ．2元/双C ．3元/双D ．4元/双 答案 D解析 由题得，当1≤x ≤4时，L (x )＝2.125；当x ＝20时，L (x )＝0.205；当4≤x ≤20时，L (x )＝a x 2＋b (a ，b 为常数)，则⎩⎨⎧ L (4)＝2.125，L (20)＝0.205，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 42＋b ＝2.125，a 202＋b ＝0.205，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝32，b ＝18，所以L (x )＝32x 2＋18，故函数L (x )的表达式为L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2.125，1≤x ≤4，32x 2＋18，4<x ≤20.故f (x )＝x ·L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2.125x ，1≤x ≤4，32x ＋x 8，4<x ≤20.当1≤x ≤4时，f (x )为增函数，故当x ＝4时，f (x )的最大值为8.5；当4<x ≤20时，可知函数f (x )＝32x ＋x 8在区间(4,16]上单调递减，在区间[16,20]上单调递增，又f (4)＝8.5，f (20)＝4.1，所以f (x )的最大值为8.5.综上，当x ＝4，即当销售单价为4元/双时，月销售额可以达到最大值，故选D.真题押题『真题模拟』1．(2018·郑州模拟)欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，e 2i 表示的复数在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 B解析 依题可知e i x 表示的复数在复平面内对应的点的坐标为(cos x ，sin x )，故e 2i 表示的复数在复平面内对应的点的坐标为(cos2，sin2)，显然该点位于第二象限，选B.2．(2018·天水期末)我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列1，12，13，14，…，1n . ①第二步：将数列①的各项乘以n ，得数列(记为)a 1，a 2，a 3，…，a n .则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n 等于( )A ．n 2B ．(n －1)2C ．n (n －1)D ．n (n ＋1) 答案 C解析 a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ＝n 1·n 2＋n 2·n 3＋…＋n n －1·n n ＝n 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤11×2＋12×3＋…＋1(n －1)n ＝n 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＝n 2·n －1n ＝n (n －1)．3．(2018·南京模拟)古典著作《连山易》中记载了金、木、水、火、土之间相生相克的关系，如图所示，现从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰是相克关系的概率为( )A.23B.25C.12D.15答案 C解析 依题意，从5种物质中任取2种，共有4＋3＋2＋1＝10种选法，根据相生相克原理，可知恰有5种选法具有相克关系，故恰是相克关系的概率为P ＝12，故选C.4．(2017·北京高考)某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：①男学生人数多于女学生人数；②女学生人数多于教师人数；③教师人数的两倍多于男学生人数．(1)若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________；(2)该小组人数的最小值为________．答案 6 12解析 (1)若教师人数为4，则男学生人数小于8，最大值为7，女学生人数最大时应比男学生人数少1人，所以女学生人数的最大值为7－1＝6.(2)设男学生人数为x (x ∈N ＋)，要求该小组人数的最小值，则女学生人数为x－1，教师人数为x －2.又2(x －2)>x ，解得x >4，即x ＝5，该小组人数的最小值为5＋4＋3＝12.5．(2018·江苏高考)设n ∈N *，对1,2，…，n 的一个排列i 1i 2…i n ，如果当s <t 时，有i s >i t ，则称(i s ，i t )是排列i 1i 2…i n 的一个逆序，排列i 1i 2…i n 的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1,2,3的一个排列231，只有两个逆序(2,1)，(3,1)，则排列231的逆序数为2.记f n (k )为1,2，…，n 的所有排列中逆序数为k 的全部排列的个数．(1)求f 3(2)，f 4(2)的值；(2)求f n (2)(n ≥5)的表达式(用n 表示)．解 (1)记τ(abc )为排列abc 的逆序数，对1,2,3的所有排列，有τ(123)＝0，τ(132)＝1，τ(213)＝1，τ(231)＝2，τ(312)＝2，τ(321)＝3， 所以f 3(0)＝1，f 3(1)＝f 3(2)＝2.对1,2,3,4的排列，利用已有的1,2,3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，f 4(2)＝f 3(2)＋f 3(1)＋f 3(0)＝5.(2)对一般的n (n ≥4)的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n ，所以f n (0)＝1.逆序数为1的排列只能是将排列12…n 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以f n (1)＝n －1.为计算f n ＋1(2)，当1,2，…，n 的排列及其逆序数确定后，将n ＋1添加进原排列，n ＋1在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，f n ＋1(2)＝f n (2)＋f n (1)＋f n (0)＝f n (2)＋n .当n ≥5时，f n (2)＝[f n (2)－f n －1(2)]＋[f n －1(2)－f n －2(2)]＋…＋[f 5(2)－f 4(2)]＋f 4(2)＝(n －1)＋(n －2)＋…＋4＋f 4(2)＝n 2－n －22， 因此n ≥5时，f n (2)＝n 2－n －22. 『金版押题』6．某驾驶员喝了m 升酒后，血液中的酒精含量f (x )(毫克/毫升)随时间x (小时)变化的规律近似满足表达式f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 5x －2，0≤x ≤1，35·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x >1.《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定：驾驶员血液中酒精含量不得超过0.02毫克/毫升．此驾驶员至少要过________小时后才能开车(精确到1小时)．答案 4解析 当0≤x ≤1时，－2≤x －2≤－1,5－2<5x －2<5－1，即125<5x －2<15，不满足5x －2≤0.02，所以x >1.。

第二篇热点难点篇专题07新定义与阅读理解题（讲案）一讲考点——考点梳理1、“新定义”型问题，主要是指在问题中概念了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新概念进行运算、推理、迁移的一种题型.“新概念”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.注重考查学生应用新的知识解决问题的能力.2、阅读理解型问题一般文字叙述较长，信息量较大，各种关系错综复杂，考查的知识也灵活多样，既考查学生的阅读能力，又考查学生的解题能力的新颖数学题.中考数学的阅读理解题考查学生阅读理解能力与日常生活体验，同时又能考查学生获取信息后的抽象概括能力、建模能力，决策判断能力。

3、方程思想、数形结合思想、分类思想、转化思想、从特殊到一般思想等．二讲题型——题型解析（一）规律题型中的新概念例1、（1）填空：()()a b a b -+=；22()()a b a ab b -++=；3223()()a b a a b ab b -+++=．（2）猜想：1221()(...)n n n n a b aa b ab b -----++++=（其中n 为正整数，且2n ≥）．（3）利用（2）猜想的结论计算：98732222...222-+-+-+．(二)运算题型中的新概念例2、为了求1+3+32+33+…+3100的值，可令M=1+3+32+33+…+3100，则3M=3+32+33+34+…+3101，因此，3M﹣M=3101﹣1，所以M=101312-，即1+3+32+33+…+3100=101312-，仿照以上推理计算：1+5+52+53+…+52015的值是．（三）探索题型中的新概念例3、我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l：y kx =+与x 轴、y 轴分别交于A、B，∠OAB=30°，点P 在x 轴上，⊙P 与l 相切，当P 在线段OA 上运动时，使得⊙P 成为整圆的点P 个数是（）A．6B．8C．10D．12（四）开放题型中的新概念例4、如图，已知抛物线C 1：y=a 1x 2+b 1x+c 1和C 2：y=a 2x 2+b 2x+c 2都经过原点，顶点分别为A，B，与x 轴的另一个交点分别为M、N，如果点A 与点B，点M 与点N 都关于原点O 成中心对称，则抛物线C 1和C 2为姐妹抛物线，请你写出一对姐妹抛物线C 1和C 2，使四边形ANBM 恰好是矩形，你所写的一对抛物线解析式是_______________________和_________________________（五）阅读材料题型中的新概念例5、在直角坐标系xOy 中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：若(0)(0)y x y y x ≥⎧'=⎨-<⎩，则称点Q 为点P 的“可控变点”．例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2），点（﹣1，3）的“可控变点”为点（﹣1，﹣3）．（1）若点（﹣1，﹣2）是一次函数3y x =+图象上点M 的“可控变点”，则点M 的坐标为；（2）若点P 在函数216y x =-+（5x a -≤≤）的图象上，其“可控变点”Q 的纵坐标y′的取值范围是1616y '-≤≤，则实数a 的取值范围是．（六）阅读试题信息，借助已有数学思想方法解决新问题例6、理数学兴趣小组在探究如何求tan15°的值，经过思考、讨论、交流，得到以下思路：思路一如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB至点D，使BD=BA，连接AD．设AC=1，则==2．思路二利用科普书上的和（差）角正切公式：tan（α±β）=tan tan1tan tanαβαβ±．假设α=60°，β=45°代入差角正切公式：tan15°=tan（60°﹣45°）=tan60tan451tan60tan45-+2-．思路三在顶角为30°的等腰三角形中，作腰上的高也可以…思路四…请解决下列问题（上述思路仅供参考）．（1）类比：求出tan75°的值；（2）应用：如图2，某电视塔建在一座小山上，山高BC为30米，在地平面上有一点A，测得A，C两点间距离为60米，从A测得电视塔的视角（∠CAD）为45°，求这座电视塔CD的高度；（3）拓展：如图3，直线112y x=-与双曲线4yx=交于A，B两点，与y轴交于点C，将直线AB绕点C旋转45°后，是否仍与双曲线相交？若能，求出交点P的坐标；若不能，请说明理由．（七）阅读相关信息，通过归纳探索，发现规律，得出结论例7、在如图所示的平面直角坐标系中，△OA 1B 1是边长为2的等边三角形，作△B 2A 2B 1与△OA 1B 1关于点B 1成中心对称，再作△B 2A 3B 3与△B 2A 2B 1关于点B 2成中心对称，如此作下去，则△B 2n A 2n+1B 2n+1（n 是正整数）的顶点A 2n+1的坐标是（）A．）B．C．）D．）三讲方法——方法点睛1.“新概念型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．2.解决阅读理解问题的关键是要认真仔细地阅读给定的材料，弄清材料中隐含了什么新的数学知识、结论，或揭示了什么数学规律，或暗示了什么新的解题方法，然后展开联想，将获得的新信息、新知识、新方法进行迁移，建模应用，解决题目中提出的问题.四练实题——随堂小练1.阅读理解：如图1，在平面内选一定点O，引一条有方向的射线Ox，再选定一个单位长度，那么平面上任一点M 的位置可由∠MOx 的度数θ与OM 的长度m 确定，有序数对（θ，m）称为M 点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”．应用：在图2的极坐标系下，如果正六边形的边长为2，有一边OA 在射线Ox 上，则正六边形的顶点C 的极坐标应记为（）A．（60°，4）B．（45°，4）C．）D．）2.把标准纸一次又一次对开，可以得到均相似的“开纸”．现在我们在长为1的矩形纸片中，画两个小矩形，使这两个小矩形的每条边都与原矩形纸的边平行，或小矩形的边在原矩形的边上，且每个小矩形均与原矩形纸相似，然后将它们剪下，则所剪得的两个小矩形纸片周长之和的最大值是．3.张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子1x x+（x＞0）的最小值是2”．其推导方法如下：在面积是1的矩形中设矩形的一边长为x，则另一边长是1x，矩形的周长是2（1x x +）；当矩形成为正方形时，就有x=1x （x＞0），解得x=1，这时矩形的周长2（1x x +）=4最小，因此1x x+（x＞0）的最小值是2．模仿张华的推导，你求得式子2x 9x +（x＞0）的最小值是（）A．2B．1C．6D．104.规定：sin（-x）=-sinx，cos（-x）=cosx，sin（x+y）=si nx•cosy+cosx•siny．据此判断下列等式成立的是（写出所有正确的序号）①cos （-60°）=-12；②sin75°=4+；③sin2x=2sinx•cosx；④sin （x-y）=sinx•cosy-cosx•siny．5.如图是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角”．它的发现比西方要早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的！“杨辉三角”中有许多规律，如它的每一行的数字正好对应了（a+b）n （n 为非负整数）的展开式中a 按次数从大到小排列的项的系数．例如，（a+b）2=a 2+2ab+b 2展开式中的系数1、2、1恰好对应图中第三行的数字；再如，（a+b）3=a 3+3a 2b+3ab 2+b 3展开式中的系数1、3、3、1恰好对应图中第四行的数字．请认真观察此图，写出（a-b）4的展开式，（a-b）4=．五练原创——预测提升1.“聪”和“明”是一对好朋友，聪说：“学数学就像玩游戏，一旦掌握了规则，就很容易了！”明说：“那我考考你，若规定：x◎y =x +|y|,如1◎（-2）=1+|-2|=1+2=3，那么（-2）◎1=（）？”聪很快说出了答案，你也试试吧！A．﹣3B．﹣1C．1D．32.a 为有理数，定义运算符号“※”：当a＞－2时，※a＝－a；当a＜－2时，※a＝a；当a＝－2时，※a＝0．根据这种运算，则※[4＋※（2－5）]的值为（）A．1B．－1C．7D．－73.如图所示的数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数，且两端的数都为1n，每个数是它下一行左右相邻两数的和，则第8行第3个数（从左往右数）为（）.1411211214161313121211A.160B．1168C．1252D．12804.如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（）A．1,2,32335.阅读下面材料:小明遇到下面一个问题：如图1所示，AD 是ABC ∆的角平分线，,AB m AC n ==，求BDDC的值.小明发现，分别过B ，C 作直线AD 的垂线，垂足分别为,E F .通过推理计算，可以解决问题（如图2）.请回答，BDDC=________.参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，四边形ABCD 中，2,6,60,AB BC ABC BD ==∠=︒平分ABC ∠，AB AC ⊥，CD BD ⊥.AC 与BD 相交于点O .（1）AOOC=______.（2）tan DCO ∠=__________.。

新定义与阅读理解题类型一 新法则、运算学习型1.我们规定：若(,),(,),m a b n c d ==则.m n ac bd =+如(1,2),(3,5),m n ==则13+25=13.m n =⨯⨯(1)已知(2,4),(2,-3),m n ==求m n ；(2)已知(,1),(,1)m x a n x a x =-=-+求,y m n =问,y m n =的函数图象与一次函数1y x =-的图象是否相交，请说明理由.解：(1)22+4(3)=8;m n =⨯⨯--(2)不相交，理由如下：2()(1)m n x a x =-++=22(21)1x a x a --++，∴22(21)1y x a x a =--++,与一次函数y=x-1联立得：22(21)11,x a x a x --++=-化简得22220,x ax a -++=∵2224(2)4(2)80,b ac a a -=--+=-<∴方程无实数解，两函数图象无交点.2.对x ，y 定义一种新运算 T ，规定：T (x,y )＝2ax by x y++(其中a 、b 均为非零常数)，这里等式右边是通常的四则运算，；例如T （0,1）=01201a b b ⨯+⨯=⨯+.已知T (1,-1) =-2,T (4,2)=1． (1)求a,b 的值；(2)若T (m ,m +3) =-1，求m 的值.解：(1)(1,1)2,21a b T --==--即a -b =-2 ,T (4,2)=42182a b +=+,即2a +b =5 ,解得a=1,b=3;(2)根据题意得3(3)12(3)m mm m++=-++，解得127m=-，经检验，127m=-是方程的解.3.定义新运算：（a，b）⊗（c，d）=（ac，b d），（a，b）⊕（c，d）=（a+c，b+d）（a，b）*（c，d）=a2+c2-b d .（1）求（1，2）*（3，-4）的值；（2）已知（1，2）⊗（p，q）=（2，-4），分别求出p与q的值；（3）在（2）的条件下，求（1，2）⊕（p，q）的结果；（4）已知x2+2xy+y2=5，x2-2xy+y2=1，求（x，5）*（y，xy）的值．解：(1)∵（a，b）*（c，d）=a2+c2-bd，∴（1，2）*（3，-4）=12+32-2×（-4） =1+9+8 =18；(2)∵（a，b）⊗（c，d）=（ac，bd），∴（1，2）⊗（p，q）=（p，2q），∵（1，2）⊗（p，q）=（2，-4），∴p=2，2q=-4，∴q=-2；(3)∵q=-2，p=2，（a，b）⊕（c，d）=（a+c，b+d），∴（1，2）⊕（p，q） =（1，2）⊕（2，-2） =（3，0）；(4)∵x2+2xy+y2=5，x2-2xy+y2=1，∴x2+y2=3，xy=1，∵（a，b）*（c，d）=a2+c2-bd，∴（x，5）*（y，xy） =x2+y2-5xy =3-5 =-2．4. 我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad ).如图①，在△ABC 中，AB =AC ，顶角A 的正对记作sad A ,这时sad A =BC AB=底边腰,容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述角的正对定义，解答下列问题:(1)sad 60°= ___________,sad 90°=____________;(2)如图②，已知sin A =35,其中∠A 为锐角，试求sad A 的值.第4题图解：(1)1，2；(2)∵sin A =35,BC ⊥AC,∴设AB =5a ,BC =3a ，则AC =4a ，如解图，在AB 上取AD =AC =4a ,作DE ⊥AC 于点E ，则DE =AD ·sin A =4a ·35=125a ,AE =AD ·cos a =4a ·45=165a，CE =4a 165-a =45a ，CD =2222412410()()555a a CE DE a +=+=，∴sad A =105CD AC =.第4题解图类型二 新概念学习型1.观察下表我们把某格中字母和所得到的多项式称为特征多项式，例如第1格的“特征多项式”为4x +y ，回答下列问题：(1)第3格的“特征多项式”为_________,第4格的“特征多项式”为_________,第n 格的“特征多项式”为_________;(2)若第1格中的“特征多项式”的值为-10，第2格的“特征多项式”的值为-16. ①求x ,y 的值；②在①的条件下，第n 格的“特征多项式”是否有最小值？若有，求出最小值和相应的n 值，若没有，请说明理由.解：(1)16x +9y ,25x +16y ,(n +1)2x +n 2y ;(2)①依题意得4109416x y x y +=-⎧⎨+=-⎩， 解得247267x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. ②有，理由如下：设最小值为W ，依题意得：22222426(1)(1)77W n x n y n n =++=-++ 224824777n n =-- 22312(12)77n =--， ∴有最小值3127-，相应的n 值为12.2.已知抛物线21111y a x b x c =++，22222y a x b x c =++，且满足111222(0,1)a b c k k a b c ===≠，则抛物线12,y y 互为“友好抛物线”. (1)若y 2有最大值8，则y 1也有最大值，这样的说法对吗，为什么？(2)结合二次函数的特点和你对“友好抛物线”的理解，写出至少2条结论.解：(1)不对.理由如下： 如果y 2的最值是m ,则y 1的最值是221112221244844a c b a c b k k a a --==, 当k>0时,y 1有最大值为8k ;当k<0时,y 1有最小值为8k .(2)①当a 1与a 2符号相反时其开口方向相反,当12a a ≠时,两抛物线开口大小不同,②y 1与y 2的对称轴相同; ③如果1y 与x 轴有2个不同的交点，则y 2与x 轴也有两个不同的交点.（写出2条合理结论即可）3.如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”.已知点A 、B 、C 、D 分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y =x 2-2x -3，AB 为半圆的直径，求这个“果圆”被y 轴截得的弦CD 的长.第3题图解：如解图，连接AC ，BC ，第3题解图∵抛物线的解析式为y=x2-2x-3，∴点D的坐标为（0，-3），∴OD=3，设y=0，则0=x2-2x-3，解得：x=-1或x=3，∴A（-1，0），B（3，0）∴AO=1，BO=3，∵AB为半圆的直径，∴∠ACB=90°，∵CO⊥AB，∴CO2=AO•BO=3，∴CO=3，∴CD=CO+OD=3+3.4.定义：如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“匀称三角形”，这条中线为“匀称中线”.（1）请根据定义判断下列命题的真假；（请在真命题后的括号内打“√”，假命题后的括号内打“×”）①等腰直角三角形一定不存在匀称中线. ( )②如果直角三角形是匀称三角形，那么匀称中线一定是较长直角边上的中线. （2）已知：如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC>BC,若△ABC是“匀称三角形”，求BC:AC:AB的值；（3）拓展应用：如图②，△ABC是O的内接三角形，AB>AC,∠BAC=45°，将△ABC绕点A逆时针旋转45°得到△ADE，点B的对应点为D，连接CD交O于M，连接AM.①请根据题意用实线在图②中补全图形；②若△ADC是“匀称三角形”，求tan∠AMC的值.第4题图解：(1)①√；②√.(2)∵∠C=90°，AC>BC,如解图①，由（1）可知△ABC的匀称中线是AC边上的中线，设D为AC的中点，则BD为匀称中线.设AC=2a，则CD=a，BD=2a.∵∠C=90°，∴BC=3a，∴AB=22a a a+=，(2)(3)7∴BC:AC:AB=3:2:7;第4题解图①(3)①根据题意补全图形如解图②；第4题解图②②∵△ABC 绕点A 逆时针旋转45°得到△ADE ，∴∠DAE =∠BAC =45°，AD =AB ,∴∠DAC =90°，AD>AC ,∵△ADC 是匀称三角形，∴AD ：AC =2:3，即AB :AC =2:3,如解图③，过点C 作CH ⊥AB 于点H ，第4题解图③则∠AHC =∠BHC =90°，设AC =3k ，则AH =CH =26322kk =，AB=2k , ∴BH =646222k k k --=， ∴tan B =632625462k CH BH k +==-, 在O 中，由∠AMC =∠B 得tan ∠AMC =tan B=3265+. 类型三 新解题方法型 1.如果我们要计算231222++++++99100…22的值，我们可以用如下的方法：解：设231222++S =++++99100…22，①等式两边同乘以2，则有：231012222+++2S =+++99100…22，②②-①得，101221,S S -=-即231011222++21++++=-99100…22.【理解运用】计算：(1)231333++++++99100…33；(2)2313333+-+-+-99100…3.解：(1)设231333++S =++++99100…33，①等式两边同乘以3，得：231013333+++3S =+++99100…33，②②-①得，101231,S =- 即101312S -=, 则原式=101312-. (2)设2313333+S =-+-+-99100…3，①等式两边同乘以3，得：23433333S =-+-+100101…-3+3,②②+①得，101431,S =+ 即101314S +=, 则原式=101314+. 2. 阅读材料：已知方程210a a +-=，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍. 解：设所求方程的根为x ，则x =2a , ∴2xa =， 把2x a =代入210a a +-=，得2()()1022x x +-=，化简得2240x x +-=，所以所求方程为2240x x +-=.这种代换法求新方程的方法，我们称为“换根法”.根据以上阅读材料，解决下列问题：（1）已知方程220a a +-=，求关于m 的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为___________;（2）已知关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数.解：(1)220m m --=；【解法提示】设所求方程的根为m ，则m =-a ,∴a =-m ,把a =-m 代入220a a --=中，得2()20m m ---=，所以所求方程为220m m --=；(2)设所求方程的根为n ，则1(0)n x x=≠， 所以1(0)x n n =≠， 把1x n =代入2ax bx c ++=0中， 得211()()a b c n n++=0， 化简得：20cn bn a ++=，当c =0时，20ax bx +=，方程20ax bx +=有一个根为0（0没有倒数，舍去），所以c ≠0，∴所求方程为20(0)cn bn a c ++=≠.3. 在△ABC 中，AB 、BC 、AC 三边的长分别为5、10、13，求这个三角形的面积. 小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC （即△ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处），如图 所示，这样不需求△ABC 的高，而借用网格就能计算出它的面积.第3题图(1)△ABC 的面积等于___________;思维拓展：(2)我们把上述求△ABC 面积的方法叫做构图法，若△ABC 三边的长分别为5217(0)a a a a >、2、，请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a ）画出相应的△ABC ，并求出它的面积；探索创新(3)若△ABC 三边的长分别为2216m n +、2294m n +、2244m n +（0,0,m n >>且m n =），试运用构图法求出这个三角形的面积. 解：（1）72；(2)画图如解图①：第3题解图①21112422243222ABC S a a a a a a a a a =⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=；(3)构造△ABC 如解图②所示，第3题解图11134432225222ABC S m n m n m n m n mn =⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=. 4. 阅读下列材料：已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？古希腊的几何学家海伦（HerOn,约公元50年）解决了这个问题，在他的著作《度量》一书中给出了计算公式------海伦公式：()()()S p p a p b p c =---（其中A ,B ,C 是三角形的三边长，2a b c p ++=，S 为三角形的面积），并给出了证明.例如：在△ABC 中，a =3,b =4,c =5,那么它的面积可以这样计算：∵a =3,b =4,c =5, ∴62a b c p ++==， ∴()()()63216S p p a p b p c =---=⨯⨯⨯=.事实上，对于已知任意三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决.根据上述材料，解答下列问题：如图，△ABC 中，BC =5，AC =6，AB =9.(1)用海伦公式求△ABC 的面积；(2)求△ABC 得内切圆半径r .第4题图解：(1)∵BC =5，AC =6，AB =9, ∴(569)102p ++==， ∴10(105)(106)(109)102S =⨯---=；(2)如解图，连接AO ,BO ,CO ,第4题解图∵ABC AOB BOC AOC S S S S =++, ∴111102956222r r r =⨯+⨯+⨯， 即956()102222r ++=， ∴10102r =， 解得2r =，∴△ABC 的内切圆半径为2.。

“新定义”型中考试题例析绍兴市文理附中 冯梅纵观近几年全国各地中考数学试题，“新定义”型试题已越来越受到各地命题者的青睐。

在近几年的绍兴中考数学试卷中，每年都有一个有关“新定义”型的试题，它已成为绍兴中考数学试题的一大特色．“新定义”型试题是指在试题中定义新概念、新公式、新运算、新法则、新方法，这些都是同学们从未接触过的，要求同学们在解题时能够运用已掌握的知识和方法理解“新定义”，做到“化生为熟”，现学现用，其目的是考查同学们的阅读理解能力、接受能力、应变能力和创新能力，培养同学们自主学习、主动探究的数学品质，在一定程度上促进教学方法和学习方法的转变．基于这些原因，对新概念试题进行深层次、多方位的研究，并在毕业复习中对同学们有意加强这方面的训练，就显得尤为重要．1．定义一种运算例1（2011湖南湘潭）规定一种新的运算：ba b a 11+=⊗，则=⊗21 ． 解：把21==b a ，代入式子b a b a 11+=⊗计算即可：=⊗2123． 点评：解题关键是弄清新定义运算的转化方法，根据题意把b a 、的值代入，按规定计算．2．定义一个规则例2（2012四川德阳）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密）；接收方由密文→明文（解密）.已知加密规则为：明文d c b a ,,,对应密文， d d c c b b a 4,32,2,2+++.例如：明文1，2，3，4对应的密文5，7，18，16.当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为（ ）A ．4，6，1，7B ．4，1，6，7C ．6，4，1，7D ．1，6，4，7解：根据对应关系，284=d 可以求得7=d ；代入2332=+d c 得1=c ；在代入92=+c b 得4=b ；代入142=+b a 得6=a ．故选C ．点评：本题的实质是考查多元方程组的解法．从简单的一元一次方程入手，通过代入消元，求出各个未知量，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”和把复杂问题转化为简单问题的思想方法．3．定义一种变换例3（2010山东东营）把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换．．．．．．．在自然界和日常生活中，大量地存在这种图形变换（如图甲）．结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换．．．．．．过程中，两个对应三角形（如图乙）的对应点所具有的性质是( )A ．对应点连线与对称轴垂直B ．对应点连线被对称轴平分C ．对应点连线被对称轴垂直平分D ．对应点连线互相平行点评：本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等及轴对称的性质；按要求画出图形是正确解答本题的关键．4．定义一类数例4（2008浙江绍兴）定义[]p q ，为一次函数y px q =+的特征数．（1）若特征数是[]22k -，的一次函数为正比例函数，求k 的值；（2）设点A B ，分别为抛物线()(2)y x m x =+-与x y ，轴的交点，其中0m >，且OAB △的面积为4，O 为原点，求图象过A B ，两点的一次函数的特征数．解：（1）特征数为[22]k -，的一次函数为22y x k =+-，20k ∴-=，2k ∴=．（2）抛物线与x 轴的交点为12(0)(20)A m A -，，，， 与y 轴的交点为(02)B m -，．若14OBA S =△，则2,4221==⋅m m m ； 若24OBA S =△，则2,42221==⨯⨯m m ． ∴当2m =时，满足题设条件．∴此时抛物线为(2)(2)y x x =+-．它与x 轴的交点为(20)(20)-，，，，与y 轴的交点为(04)-，，∴一次函数为24y x =--或24y x =-，∴特征数为[24]--，或[24]-，．点评：本题考查学生根据一次、二次函数的性质，根据题意，分析解决问题的能力．5．定义一个函数例5（2007浙江绍兴）设关于x 的一次函数11b x a y +=与22b x a y +=，则称函数)()(2211b x a n b x a m y +++=（其中1=+n m ）为此两个函数的生成函数．（1）当1=x 时，求函数1+=x y 与x y 2=的生成函数的值；（2）若函数11b x a y +=与22b x a y +=的图象的交点为P ，判断点P 是否在此两个函数的生成函数的图象上，并说明理由．解：（1）当1=x 时，()2222)2()1(=+=+=++=n m n m x n x m y（2）点P 在此两个函数的生成函数的图象上，设点P 的坐标为()b a ,，∵b b a a b b a a =+⨯=+⨯2211,，∴当a x =时，)()(2211b x a n b x a m y +++=，()b n m b nb mb b a a n b a a m =+=+=+⨯++⨯=)()(2211，即点P 在此两个函数的生成图象上．点评：此题是一道新定义信息题，难度不大，考查了同学们的阅读理解和对新知识的接受能力，只要仔细阅读，就可根据相关函数知识作出解答．6．定义一个公式例6（2009湖南益阳）阅读材料：如图1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a )，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h )”.我们可得出 一种计算三角形面积的新方法：ah S ABC 21=∆，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．解答下列问题：如图2，抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0)，交y 轴于点B .（1）求抛物线和直线AB 的解析式；（2）点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S ∆；（3）是否存在一点P ，使S △PAB =89S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）设抛物线的解析式为：()4121+-=x a y把A （3,0）代入解析式求得1-=a 所以()3241221++-=+--=x x x y 图2 x COyABD 1 1 B 铅垂高水平宽 ha图1设直线AB 的解析式为：b kx y +=2由3221++-=x x y 求得B 点的坐标为)3,0(把)0,3(A ，)3,0(B 代入b kx y +=2中解得：3,1=-=b k ，所以32+-=x y（2）因为C 点坐标为(１,4)所以当x ＝１时，y 1＝4，y 2＝2，所以CD ＝4-2＝232321=⨯⨯=∆CAB S （平方单位） （3）假设存在符合条件的点P ，设P 点的横坐标为x ，△PAB 的铅垂高为h ，则x x x x x y y h 3)3()32(2221+-=+--++-=-=由S △PAB =89S △CAB ，得：389)3(3212⨯=+-⨯⨯x x 化简得：091242=+-x x ，解得，23=x 将23=x 代入3221++-=x x y 中，解得P 点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛41523， 点评：本题给出了一个直角坐标系中求一般三角形的面积计算公式，并要求现学现用，总体来说本题难度不大．7．定义一个图形定义“点”例7（2012绍兴）联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念．定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．举例：如图1，若PA=PB ，则点P 为△ABC 的准外心．应用：如图2，CD 为等边三角形ABC 的高，准外心P 在高CD 上，且PD=12AB ，求∠APB 的度数．探究：已知△ABC 为直角三角形，斜边BC=5，AB=3，准外心P 在AC 边上，试探究PA 的长．应用：解：①若PB=PC ，连接PB ，则∠PCB=∠PBC ，∵CD 为等边三角形的高，∴AD=BD ，∠PCB=30°，∴∠PBD=∠PBC=30°，∴PD=33DB=36AB ， 与已知PD=12AB 矛盾，∴PB≠PC ， ②若PA=PC ，连接PA ，同理可得PA≠PC ，③若PA=PB ，由PD=12AB ，得PD=BD ， ∴∠APD=45°，故∠APB=90°；探究：解：∵BC=5，AB=3，∴AC=2222BC AB 534-=-=，①若PB=PC ，设PA=x ，则2223(4)x x +=-，∴78x =，即PA=78， ②若PA=PC ，则PA=2，③若PA=PB ，由图知，在Rt △PAB 中，不可能．故PA=2或78．点评：这是一道新概念试题，解答本题的关键是理解新概念的含义，然后结合有关图形性质分情况进行计算验证．定义“线”例8（2012甘肃兰州）如图，定义：若双曲线y ＝ k x (k ＞0)与它的其中一条对称轴y ＝x 相交于A 、B 两点，则线段AB 的长度为双曲线y ＝ k x (k ＞0)的对径．（1）求双曲线y ＝ 1 x 的对径；（2）若双曲线y ＝ k x (k ＞0)的对径是102，求k 的值；（3）仿照上述定义，定义双曲线y ＝ k x (k ＜0)的对径．解：过A 点作AC ⊥x 轴于C ，如图，(1)解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==x y x y 1，得⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==11,112211y x y x ， ∴A 点坐标为(1，1)，B 点坐标为(－1，－1)，∴OC ＝AC ＝1，∴OA ＝2OC ＝2，∴AB ＝2OA ＝22，∴双曲线y ＝x1的对径是22； (2)∵双曲线的对径为210，即AB ＝210，OA ＝25，∴OA ＝2OC ＝2AC ，∴OC ＝AC ＝5，∴点A 坐标为(5，5)，把A (5，5)代入双曲线y ＝xk (k ＞0)得k ＝5×5＝25， 即k 的值为25；(3)若双曲线y ＝xk (k ＜0)与它的其中一条对称轴y ＝－x 相交于A 、B 两点， 则线段AB 的长称为双曲线y ＝xk (k ＞0)的对径． 点评：本题考查了反比例函数综合题，题中的对径即为线段AB 的长度；点在反比例函数图象上，点的横纵坐标满足其解析式；等腰直角三角形的斜边是直角边的2倍；强化理解能力．定义“角”例9（2012江苏南京）如图，A 、B 是⊙O 上的两个定点，P 是⊙O 上的动点（P 不与A ，B 重合），我们称∠APB 是⊙O 上关于A 、B 的滑动角．（1）已知∠APB 是⊙O 上关于A 、B 的滑动角．①若AB 是⊙O 的直径，则∠APB= ；②若⊙O 的半径是1，AB=2，求∠APB 的度数.（2）已知O 2是⊙O 1外一点，以O 2为圆心做一个圆与⊙O 1相交于A 、B 两点，∠APB 是⊙O 1上关于A 、B 的滑动角，直线PA 、PB 分别交⊙O 2于点M 、N （点M 与点A 、点N 与点B 均不重合），连接AN ，试探索∠APB 与∠MAN 、∠ANB 之间的数量关系．解：（1）①∵AB 是⊙O 的直径，∴∠APB=90°.②∵OA=OB=1, AB=2，∴OA 2+OB 2=1+1=2=AB 2∴△AOB 是直角三角形∴∠AOB=90°.∴∠APB=21∠AOB=45° BA 0PN（2）当P上时，如图1，这时∠MAN是△PAN的外角，因而∠APB=∠MAN-∠ANB；当P在劣弧AB上时，如图2，这时∠APB是△PAN的外角，因而∠APB=∠MAN+∠ANB；点评：本题以新概念入手，有一种新意，但其知识点就是圆周角与圆心角之间的关系，只是说法不同而已，还用到直径所对圆周角为直角，勾股定理等知识；第二问主要看考生能否周全考虑，自己要画出图形来帮助分析，结合图形很容易得到正确结论．定义“三角形”例10（2010浙江绍兴）在平面直角坐标系中,一次函数的图象与坐标轴围成的三角形,叫做此一次函数的坐标三角形.例如，图中的一次函数的图象与x,y轴分别交于点A,B,则△OAB为此函数的坐标三角形．（1）求函数y＝43-x＋3的坐标三角形的三条边长；（2）若函数y＝43-x＋b（b为常数）的坐标三角形周长为16, 求此三角形面积．解：(1) ∵直线y＝43-x＋3与x轴的交点坐标为（4,0），与y轴交点坐标为（0,3），∴函数y＝43-x＋3的坐标三角形的三条边长分别为3,4,5.(2) 直线y＝43-x＋b与x轴的交点坐标为（b34,0），与y轴交点坐标为（0,b），当b>0时,163534=++bbb，得b =4，此时，坐标三角形面积为332；当b<0时，163534=---bbb，得b =－4，此时，坐标三角形面积为332.综上，当函数y＝43-x＋b的坐标三角形周长为16时，面积为332．点评：本题考查了一次函数和几何问题的综合应用，本题中根据一次函数和坐标轴的交点坐标，求坐标三角形的三边长是解题的基础．定义“四边形”例11（2007鄂尔多斯）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称 ， ；（2）如图1，已知格点（小正方形的顶点）(00)O ，，(30)A ，，(04)B ，，请你画出以格点为顶点，OA OB ，为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB ；（3）如图2，将ABC △绕顶点B 按顺时针方向旋转60，得到DBE △，连结AD DC ，，30DCB =∠．求证：222DC BC AC +=，即四边形ABCD 是勾股四边形．解：（1）正方形、长方形、直角梯形．（任选两个均可）（2）答案如图所示．(34)M ，或(43)M ，．（3）证明：连结EC ABC DBE △≌△AC DE ∴=，BC BE =60CBE =∠ EC BC ∴=，60BCE =∠30DCB =∠ 90DCE ∴=∠ 222DC EC DE ∴+=图1 A 60 图260222∴+=，即四边形ABCD是勾股四边形DC BC AC点评：本题考查勾股定理，及考查旋转的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．从以上实例可以看出，解决这类问题首先应准确理解题目中定义的新概念、新公式、新运算、新法则、新方法，充分挖掘其本质，并从中获取新的数学公式、定理、性质、运算法则和解题思路，最后结合已有的知识加以解决．这类试题对培养学生的阅读理解能力和独立获取新知识、解决新问题的能力有非常重要的作用．为了能使学生很好地解答这类问题，在平时的教学中，教师应当多渗透这类试题，不断提高学生的阅读理解能力、数学学习能力和应用所学知识解决问题的能力．。