而其中,43S △≤18Rr ,即S △≤332Rr.通观全文,S △≤332R r ,其结构简单而漂亮,应用广泛而巧妙.究其结构的实质,却是sin A +sin B +sin C ≤332,令人叫绝!参考文献1 [荷兰]O ・Bottema 等著,单土尊译.几何不等式[M ].北京大学出版社,1991:58.Mathcad 在中学数学中的应用(续)郝黎仁(西北师范大学数学系 甘肃 兰州 730070)5 与中学数学有关的Mathcad 内部函数Mathcad 系统中有涉及数学各分支的多达二百多种内部函数,Mathcad 之所以能够完成各种复杂的数学运算,很大程度上借助于它的内部函数.不仅如此,而且允许用户自定义函数,利用这些函数可以实现多种数学运算、生成各种曲线和曲面图形,并能进行逻辑运算和判断.下面列出其中与中学数学内容有关的初等函数,供参考.5.1 三角函数与反三角函数Mathcad 系统中的三角函数有:sin (z )、cos (z )、tan (z )、cot (z )、sec (z )、csc (z ).其中自变量z 必须是一个无量纲的标量.z 可以是实数也可以是复数.在系统默认的情况下,一个角度值是以弧度为单位表示的,如果需要求角度制表示的自变量的三角函数值,必须进行换算,或者在自变量(角度数之后输入deg ).如sin (1)=0.841为1弧度的正弦值,如要求60度的正弦值需输入:sin (60deg )=0.866.反三角函数有:asin (z )、acos (z )、atan (z )、acot (z )、asec (z )、acsc (z ).这里的自变量z 也是一个无量纲的标量.z 可以是实数也可以是复数.应用反三角函数返回的角度可以用三种方式表示:(1)系统默认为弧度;(2)以角度制表示,结果后面用deg 表示;(3)以π的倍数表示.用户可根据需要自行选择.例如,asin (1)=1.571,asin (1)=90・deg ,asin (1)=0.5・π.5.2 指数函数和对数函数Mathcad 系统中的指数函数和对数函数共有三种:exp (z )、log (z )、ln (z ).其中自变量z 必须是一个无量纲的标量.z 可以是实数也可以是复数.exp (z )即e z 、log (z )是以10为底的对数、ln (z )是以e 为底的对数.如果要求实数z 的对数,z 必须大于0.Mathcad 系统对复数z 计算其自然对数值时,结果仍然是一个复数,它的实部为ln (z ),即z 的摸的自然对数值,虚部系数是z 的辐角值.例如,z :=3+2i ,ln (z )=1.282+0.588i ,ln (|z |)=1.282,arg (z )=0.588.5.3 复数运算函数Mathcad 系统中的复数运算函数有:Re (z )、lm (z )、arg (z ).其中自变量z 必须是一个无量纲的标量.z 可以是实数也可以是复数.Re (z )和lm (z )分别返回复数z 的实部和虚部,arg (z )返回z 的辐角值,其结果是-π到π之间的角度值.5.4 方程求解函数Mathcad 系统中的方程求解函数有:root (f (x ),x ),Find (x ,y ,z ,…),Polyroots (V )、Minerr (x ,y ,z ,…).root (f (x ),x )叫求根函数,用于求方程f (x )=0,x 为未知数,不过在使用它求f (x )=0的根时,必须事先给出x 的一个估计初始值.Find (x ,y ,…)用于求方程组的解,x ,y ,z ,…为方程组中的未知数,当其中未知数个数仅有一个时,结果是一个标量,否则是一个向量.函数Polyroots (V )用于求一个多项式函数的根,其自变量V 是多项式的系数组成的向量.此外函数Minerr (x ,y ,…)用于求方程的近似解.5.5 其他与中学数学有关的函数142001年第1期 数学教学研究Mathcad 系统中其他与中学数学有关的函数还有:angle (x ,y )、ceil (x )、floor (x )、mod (x ,r )、rnd (x ).其中angle (x ,y )为求角度函数,它返回到直角坐标系中的点(x ,y )和原点的连线与x 轴正方向的夹角.ceil (x )返回到大于或等于实数x 的最小整数,例如ceil (3.18)=4.floor (x )返回到小于或等于实数x 的最大整数,例如floor (-2.89)=-3.mod (x ,r )为求余函数,它返回到实数x 被r 除后的余数,例如mod (125,28)=13.rnd (x )为随机数生成函数,用它可以生成一个0—x 之间的均匀分布的随机数.除了上述的内部函数之外,还有一些初等函数,如求n 次方根、求绝对值或复数的模、求正整数n 的阶乘等运算,可以通过点击数学计算板上相应的像标按钮来实现. 图5.1 插入函数对话框要插入一个内部函数可以执行Insert/Function命令或者点击菜单条中函数按钮(标记为“f (x )”),打开插入函数对话框,如图5.1所示.从中对话框的函数清单栏中选择需要的函数,点击Insert 即可.该对话框的Description (描述)栏里显示的是被选择函数的意义.5.6 用户自定义函数在实际应用中,大量的函数还需要用户自行定义,Mathcad 的函数定义方式与我们通常的书写方式一致,定义步骤如下:∀在页面的十字光标处键入函数名及左括号,例如“f (”,在括号右边的编辑线上出现一个占位符等待继续输入;∀输入自变量(如果定义的是多元函数的话,各个自变量之间用逗号分开)及右括号,例如“f (x )”;∀键入“:”,产生赋值号“:=”,接着输入表达式即可,例如“f (x ):=sin (e 2x -1)”.图5.2 求自定义函数值自定义函数与内部函数的使用是一致的,无论定义的什么函数都要求等号右边的自变量(或自变量列)应该是左边函数的自变量(或自变量列),或者在定义该函数之前已经先行对它进行过定义.例:求自定义函数值.f (x ):=sin (e 2x -1) x :=1 f (x )=0.106或者x :=1 f (x ):=sin (e 2x -1) f (x )=0.106(注:为了节省篇幅,本文在引用例子时用行对齐格式给出运算过程和结果)如果给自变量定义的是它的取值范围,如x :=1..4,则求 图6.1 创建图形区域定义函数的输出值结果为一个列表,如图5.2所示6 图形生成及其编辑操作在解决一些较复杂数学问题时,做出有关图形作为先导,往往可以借助几何直观获得解决问题的启示,有利于问题的求解.因此,描绘数学图形在数学教学及研究中占有重要的地位.Mathcod 系统不仅能够进行各种数学运算,它还具有强大的绘制图形的功能,使用它可以绘制出任何的平面直角坐标系的图形、极坐标系的图形以及三维空间曲面的图形等.6.1平面直角坐标系图形(1)绘制一元函数的曲线图Mathcad 中,平面直角坐标系图形称为x -y 图(x -y Plot ),它用于绘制一元函数的曲线.绘制x -y 图的方法非常简单灵活,其操作步骤如下:24数学教学研究 2001年第1期 图6.2 函数曲线执行菜单命令Insert /x -y Plot (热键“@”)或者点击数学板上的平面图形按钮(如图2.5)创建如图6.1的图形区域.在区域左边的占位符处输入函数表达式,随即在该占位符处右侧上下各出现一个占位符,在这两个占位符处分别输入函数变化的幅度或范围;在区域下方的占位符处输入自变量,随即在它的左右两侧出现的占位符处输入自变量的变化范围,将鼠标移出该区域并在空白处点击一下鼠标左键,指定函数的曲线就绘制完毕了.如图6.2所示.在作图过程中,如果在图形区域左边的占位符处输入表达式以后,可以不输入函数的变化范围,直接挪开鼠标在区域外点击一下,系统将会自动显示出自变量,并且自动调节自变量和函数的变化范围,生成该函数的大小比例较为适当的图形.这是快速生成图形的方法,如果对于这样生成的图形不满意,可以返回去对它进行编辑.在页面上最终显示的函数图形中,函数和自变量的范围将被隐去,只有点击它时才会显示出来.(2)在同一个坐标系中绘制多条曲线在同一个坐标系中可以同时绘制多条曲线的图形,为了使图形简洁起见,通常的做法是:先在工作页面里定义几个一元函数,如f (x )、g (x )、h (x )等,创建图形区域,在区域左边的占位符处输入“f (x )”,接键盘上的“,”键,光标下移,接着输入“g (x )”,依次类推.其余的操作同(1)中所述. 图6.3同一坐标系中的多条曲线另一种操作方法是:预先不定义函数而在创建了的图形区域左边的占位符处直接输入各函数的表达式(如图6.2中所示),各个函数仍通过按动键盘上的“,”键来分开.例 在同一坐标中绘制下列函数曲线:sin (x )、2sin (x +π/6)、1.5sin (x -π/3).定义函数及绘制的各函数曲线的图形如图6.3所示.(注:图6.3中自变量变化范围、轨迹线颜色、坐标轴类型及其刻度的数值等都经过了编辑.见本节的6.2图形的编辑)图6.4 折线图与不同自变量系统对同一坐标系中的多条曲线,用不同的轨迹线类型、不同的颜色区别显示,并在函数或者函数表达式的下面给出曲线图例标志.(3)折线图与不同自变量的函数的图形在绘制函数图形之前,如果我们预先指定了自变量的取值范围,可以生成在这个指定范围里的函数图形.但是Mathcad 在给自变量指定范围时,不是指定一个区间,而是在该范围内自变量的一些离散的数值,这些数值可以以固定间隔为步长,也可以使用向量定义一个自变量取值的数组.当这些数值的数量不多的时候,绘制出来的函数图形将呈折线形状.例如,要生成函数f (x )=x 2-2x -18在-8到12之间的图形.如果定义自变量x :=-8,-3..12,变量x 只取5个值,-8、-3、2、7、12,间隔或步长为5,则生成的图形为图6.4中的折线.显然,如果将步长定义为0.1,即x :=-8,-7.9..12,则绘制的图形几乎就是连续的曲线了.在定义x 的范围时,“x :=-8,-3..12”中的格式是:(-3)-(-8)=5为步长,其后的“..”可以单击键盘上的“;”键输入.假如自变量的这些取值不等间隔,则必须利用向量来定义了,此处不再赘述.342001年第1期 数学教学研究如果想作为比较将f (x )的精确曲线在同一个坐标系中绘制出来,方法与前面(2)中讲的一样,不过在横坐标显示自变量的占位符处改换输入另一个自变量,例如改为x 1,当然函数则该为f (x 1),如图6.4所示. 图6.5点坐标的读取(4)曲线上或坐标系中点的坐标的读取Mathcad 系统提供了从选定图形曲线上或相应坐标系中读取点的坐标的功能,其操作方法是:选中需要读取点坐标的图形,执行Format/Gragh/Trace 命令,打开X -Y Trace 对话框,如图6.5所示.将鼠标指向图中一条曲线上,图中随即出现两条分别平行于x 和y 轴的直线,对话框里显示出该点的横坐标值(X -Value )和纵坐标值(Y -Value ).单击按钮Copy X 和Copy Y 便可将坐标值拷贝到剪贴板上,届时可以把它们粘到页面上来.还可以通过按动键盘上的四个方向按钮,观察点坐标的变化.如果取消了“Track Data Point ”(轨迹上点的数值),则可以读取坐标系中各处的点的坐标.(未完待续)数学教学研究(月 刊)2001年第1期(总第101期)编 辑 《数学教学研究》编辑部(西北师范大学)名誉主编 陆润林 郑宪祖 丁传松主 编 王仲春常务副主编 杨鼎文责任编辑 刘建安 张安元印 刷 西北师范大学印刷厂发 行 兰州市邮政局订 阅 全国各地邮局(所)报刊代号 54-50邮政编码 730070出版日期 2001年1月30日 国内统一刊号:CN62-1042/O 1 定价:2.80元。
