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第二章 土壤水分运动基本方程如前所述，达西定律是由达西（Darcy ，Henry 1856）通过饱和砂柱渗透试验得出，后由Richards （1931）将其扩伸至非饱和水流中，并规定导水率为土壤负压h 的函数，即()H h k q ∇= （2-2-1）式中：H ∇——为水势梯度；k （h ）——为导水率，是土壤负压h 的函数； q ——为水流通量或流速。
Richards 方程垂向一维方程为)1)(( )(±∂∂-=∂∂-=zhk zH k q z θθ注意：H=h ±z ，垂直坐标向上为“+”；向下时为“–”。
由于k （h ）受滞后影响较大，上式仅适用于单纯的吸湿或脱湿过程。
若将导水率作为容积含水率函数，即以k （θ）代替人k （h ），则可避免滞后作用的影响。
一般说来达西定律对饱和与非饱和水流均可适用，即水流通量与势能梯度成正比。
但在饱和土壤中，压力为正值，其总水头包括了由该点在地下水面以下深度来确定的静水压力（正值）和相对于基准面高度来确定的位置水头，总水头为压力水头和位置水头之和，水由总水头高处向低处流动。
在非饱和土壤中，基质势为负值，土水势在不考虑溶质势、温度势及气压势时，只包括重力势和基质势。
因此，总水头常以负压水头和位置水头之和来表示。
一维Richards 方程的几种形式：根据()()θθθD hk =∂∂（K=C ×D ）得： x h k q x ∂∂-=)(θ x D q x ∂∂-=θθ)( y h k q y ∂∂-=)(θ yD q y ∂∂-=θθ)( )1)((±∂∂-=z h k q z θ )]()([θθθk zD q z ±∂∂-=第一节 直角坐标系中土壤水分运动基本方程一、基本方程的推导土壤水分运动一般遵循达西定律，且符合质量守恒的连续性原理。
土壤水分运动基本方程可通过达西定律和连续方程进行推导。
如图2-2-1所示，从土壤中取出微分单元体abcdefgh ，其体积为z y x ∆∆∆，由于该立方体很小，在各个面上的每一点流速可以看成是相等的，设其流速为z y x v v v 、、，在t ～t+Δt 时段内，流入立方体的质量为（3个面流入）：t y x v t z x v t z y v m z y x ∆∆∆+∆∆∆+∆∆∆=ρρρ入 （2-2-2）流出立方体的质量为（3个面流出）：t z y x x v v m x x ∆∆∆⎪⎭⎫⎝⎛∆∂∂+=ρ出t y x z z v v t z x y y v v z zy y ∆∆∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∂∂++∆∆∆⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∂∂++ρρ （2-2-3） 式中：ρ––––水的密度；z y x ∆∆∆,,––––分别表示微分体x 、y 、z 方向长度；x x v x ∆∂∂，y y v y ∆∂∂，z zvz ∆∂∂––––分别表示水流经微分体后，其流速在x 、y 、z 方向的变化值。
第二章 土壤水分运动基本方程如前所述，达西定律是由达西（Darcy ，Henry 1856）通过饱和砂柱渗透试验得出，后由Richards （1931）将其扩伸至非饱和水流中，并规定导水率为土壤负压h 的函数，即()H h k q ∇= （2-2-1）式中：H ∇——为水势梯度；k （h ）——为导水率，是土壤负压h 的函数；q ——为水流通量或流速。
Richards 方程垂向一维方程为)1)(( )(±∂∂-=∂∂-=zh k z Hk q z θθ 注意：H=h ±z ，垂直坐标向上为“+”；向下时为“–”。
由于k （h ）受滞后影响较大，上式仅适用于单纯的吸湿或脱湿过程。
若将导水率作为容积含水率函数，即以k （θ）代替人k （h ），则可避免滞后作用的影响。
一般说来达西定律对饱和与非饱和水流均可适用，即水流通量与势能梯度成正比。
但在饱和土壤中，压力为正值，其总水头包括了由该点在地下水面以下深度来确定的静水压力（正值）和相对于基准面高度来确定的位置水头，总水头为压力水头和位置水头之和，水由总水头高处向低处流动。
在非饱和土壤中，基质势为负值，土水势在不考虑溶质势、温度势及气压势时，只包括重力势和基质势。
因此，总水头常以负压水头和位置水头之和来表示。
一维Richards 方程的几种形式：根据()()θθθD h k =∂∂（K=C ×D ）得： x h k q x ∂∂-=)(θ xD q x ∂∂-=θθ)( y h k q y ∂∂-=)(θ y D q y ∂∂-=θθ)( )1)((±∂∂-=z h k q z θ )]()([θθθk zD q z ±∂∂-=第一节 直角坐标系中土壤水分运动基本方程一、基本方程的推导土壤水分运动一般遵循达西定律，且符合质量守恒的连续性原理。
土壤水分运动基本方程可通过达西定律和连续方程进行推导。
如图2-2-1所示，从土壤中取出微分单元体abcdefgh ，其体积为z y x ∆∆∆，由于该立方体很小，在各个面上的每一点流速可以看成是相等的，设其流速为z y x v v v 、、，在t ～t+Δt 时段内，流入立方体的质量为（3个面流入）：t y x v t z x v t z y v m z y x ∆∆∆+∆∆∆+∆∆∆=ρρρ入 （2-2-2）流出立方体的质量为（3个面流出）：t z y x x v v m x x ∆∆∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∂∂+=ρ出 t y x z z v v t z x y y v v z z y y ∆∆∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∂∂++∆∆∆⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∂∂++ρρ （2-2-3） 式中：ρ––––水的密度；z y x ∆∆∆,,––––分别表示微分体x 、y 、z 方向长度；x x v x ∆∂∂，y y v y ∆∂∂，z zv z ∆∂∂––––分别表示水流经微分体后，其流速在x 、y 、z 方向的变化值。
第二章 土壤水分运动基本方程如前所述，达西定律是由达西（Darcy ，Henry 1856）通过饱和砂柱渗透试验得出，后由Richards （1931）将其扩伸至非饱和水流中，并规定导水率为土壤负压h 的函数，即（2-2-1）()H h k q ∇=式中：——为水势梯度；H ∇ k （h ）——为导水率，是土壤负压h 的函数； q ——为水流通量或流速。
Richards 方程垂向一维方程为)1)(()(±∂∂-=∂∂-=zhk z H k q z θθ注意：H=h ±z ，垂直坐标向上为“+”；向下时为“–”。
由于k （h ）受滞后影响较大，上式仅适用于单纯的吸湿或脱湿过程。
若将导水率作为容积含水率函数，即以k （θ）代替人k （h ），则可避免滞后作用的影响。
一般说来达西定律对饱和与非饱和水流均可适用，即水流通量与势能梯度成正比。
但在饱和土壤中，压力为正值，其总水头包括了由该点在地下水面以下深度来确定的静水压力（正值）和相对于基准面高度来确定的位置水头，总水头为压力水头和位置水头之和，水由总水头高处向低处流动。
在非饱和土壤中，基质势为负值，土水势在不考虑溶质势、温度势及气压势时，只包括重力势和基质势。
因此，总水头常以负压水头和位置水头之和来表示。
一维Richards 方程的几种形式：根据（K=C ×D ）得：()()θθθD hk =∂∂x hk q x ∂∂-=)(θx D q x ∂∂-=θθ)( yhk q y ∂∂-=)(θyD q y ∂∂-=θθ)()1)((±∂∂-=zhk q z θ)]()([θθθk zD q z ±∂∂-=第一节 直角坐标系中土壤水分运动基本方程一、基本方程的推导土壤水分运动一般遵循达西定律，且符合质量守恒的连续性原理。
土壤水分运动基本方程可通过达西定律和连续方程进行推导。
如图2-2-1所示，从土壤中取出微分单元体abcdefgh ，其体积为，由于该立方体很小，z y x ∆∆∆在各个面上的每一点流速可以看成是相等的，设其流速为，在t ～t+Δt 时段内，流入立方z y x v v v 、、体的质量为（3个面流入）：ty x v t z x v t z y v m z y x ∆∆∆+∆∆∆+∆∆∆=ρρρ入 （2-2-2）流出立方体的质量为（3个面流出）：tz y x x v v m x x ∆∆∆⎪⎭⎫⎝⎛∆∂∂+=ρ出 （2-2-3）t y x z z v v t z x y y v v z z y y ∆∆∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∂∂++∆∆∆⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∂∂++ρρ式中：ρ––––水的密度；––––分别表示微分体x 、y 、z 方向长度；z y x ∆∆∆,,，，––––分别表示水流经微分体后，其流速在x 、y 、z 方向的变x x v x ∆∂∂y y v y ∆∂∂z zvz ∆∂∂化值。
由式(2一2－2）、式（2－2－3）之差可求得流入和流出立方体的质量差：出入m m m -=∆（2—2—4）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=z v y v x v z y x ρt z y x ∆∆∆∆⨯设θ为立方体内土壤含水率，则在Δt 时间内立方体内质量变化又可写为（2—2—5）t z y x tm ∆∆∆∆∂∂=∆θρ根据质量平衡原理（流入量－流出量＝储存量变化量），式（3－2－4）、式（3—2—5）应相等，即（2-2-6）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂z v y v xv t z y x θ根据达西定律得：，，（2-2-7）()x H k v x ∂∂-=θ()y H k v y ∂∂-=θ()zHk v z ∂∂-=θ式中k （θ）––––土壤水力传导度，为含水率的函数；H––––总土水势，为基质势与重力势之和（H ＝h ＋z ）。
因此，式（2－2—6）可以写作以下形式：（2-2-8）()()()zz H k y y H k x x H k t ∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂+∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂+∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂=∂∂θθθθ上式可以简写为（2-2-9）()[]H k t∇∇=∂∂θθ式（2－2－8）或式（2－2－9）为土壤水分运动基本方程。
在饱和土壤中，含水量和基质势均为常量。
水力传导度也为常量，常称渗透系数，则方程（2－2－8）可写为（2－2－10）0222222=∂∂+∂∂+∂∂zHy H x H 或写作（2－2－10‘）02=∇H（2－2－11）2222222zy x ∂∂+∂∂+∂∂=∇式中：▽2––––拉普拉斯算子。
式（2－2－10）或式（2－2－10‘）为饱和土壤水流的拉普拉斯方程。
二、基本方程的不同形式为运用基本方程分析各种实际问题的方便，可将基本方程改写为多种表达形式。
为简便起见，以下均以一维垂向土壤水分运动为例，给出基本方程的不同表达形式。
（一）以含水率θ为变量的基本方程由式（2－2－8）可得一维垂向土壤水分运动的基本方程为（2－2－12）()⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=∂∂z H k z t θθ式中：H––––总土水势；z––––为水流方向坐标，取z 向上为正。
因为H=h 十z ，所以上式可写作（2－2－13）()()zk z h k z t ∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=∂∂θθθ式(2－2－13）为以θ为变量的基本方程，将代入式（2－2－13）得：zh z h ∂∂∂∂=∂∂θθ()()z k z h k z t ∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂=∂∂θθθθθ令，则式（2—2—13）可以写成（一维垂向土壤水分运动方程）：()()θθθD hk =∂∂ （2－2－14）()()zk z D z t ∂∂+⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=∂∂θθθθ在水平运动的情况下，重力项等于0，所以，其形式与Fick 扩散定律相()xD v x ∂∂-=θθ同。
式（2－2－14）具有扩散方程的形式，故将D （θ）称为扩散度。
（2－2－14‘）()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=∂∂x D x t θθθFick 定律：自由水中溶质的分子扩散通量符合Fick 定律：xcDJ ∂∂-=式中：J 为溶质的扩散通量； D 为溶质的扩散系数；为溶质的浓度梯度。
xc∂∂（二）以基质势h 为变量的基本方程由于，则式（2－2－14）可以写成：()t h h c t h h t ∂∂=∂∂∂∂=∂∂θθ （2－2－15）()()()zh k z h h k z t h h c ∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=∂∂式中：c （h ）––––比水容量（也称容水度），c （h ）=，表示单位基质势变化时含h∂∂θ水率变化。
（三）以参数v 为因变量的基本方程采用Kirchhoff 变换，令()()()⎰⎰⎰-∞==ccch hh hh d k Vd k d k v ττττττ1则 ()h k Vh v 1=∂∂()⎰∞=ch d k V ττ由式（2-2-15）得：()()zh k z z h h k t h h ∂∂+∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂=∂∂∂∂θ()()z v v h h h k z z v v h h k t v v h h ∂∂∂∂∂∂+∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂θ()()()()()zv h k V h h k z z v h k V h k t v h k V h ∂∂∂∂-∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂=∂∂∂∂θ（2－2－16）()()zvv X z v t v v Y ∂∂+∂∂=∂∂22式中h c ––––土壤的进气值，即土壤含水率开始小于饱和含水率时的负压值。
另外，；()()()()()h k h c h D h h k v Y ==∂∂=11θ()()()hh k h k v X ∂∂=1在非饱和区： ()01<=⎰hh cd k V v ττ在饱和区： ()01>=⎰hh cd k Vv ττ且因为 ，()0=∂∂=h h c θ()0=∂∂hh k 所以；()0=v Y ()0=v X 则方程式（2－2－16）为：022=∂∂zv（四）以位置坐标z 为变量的土壤水运动方程以z 为变量，则z 为θ、t 的函数，z （θ，t ）为未知函数。
已知θ=θ（z ，t ），当0≠∂∂zθ处，可以解出z= z （θ，t ），即[14]()()0,,≡-t t z z z θ对z ，t 分别求导数：，01=∂∂∂∂-z z θθ0=∂∂-∂∂∂∂-tzt z θθ于是及θθ∂∂=∂∂z z1θθ∂∂∂∂-=∂∂z t zt 将以上式子代入方程（2－2－14）得：()()zk z D z t ∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=∂∂θθθθ()z k z z D z t z∂∂∂∂+∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂∂∂-θθθθθθθ()z k z z D z t z ∂∂∂∂+∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂∂∂-θθθθθθθ （2－2－17）()θθθθθ∂∂+∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂-k z z D t z （五）以参数u 为因变量的土壤水运动方程定义()()()⎰⎰⎰==θθθθθθθθθθθθisiid D Ud D d D u 1式中：––––初始含水率；i θ ；()⎰=θθθθid D U—饱和含水率。
s θ由式（2-2-14）得：()()zk z k z t ∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=∂∂θθθθ()tuu k z u u D z t u u ∂∂∂∂∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂=∂∂∂∂θθθθθ将代入上式得：()θθD Uu 1=∂∂()()()()zuD U k z u D U D z t u D U ∂∂∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=∂∂θθθθθ所以（2-2-18）()z uk zu D t u ∂∂∂∂+∂∂=∂∂θθ22以上各式中式（2－2－14）、式（2－2－15）是二种经常采用的形式，形式的选定取决于要解决问题的边界条件和初始条件。
以含水率θ为因变量的基本方程常用于求解均质土层或全剖面为非饱和流动问题，这种方程形式对于层状土壤或求解饱和—非饱和流问题不适用；以负压水头h 为因变量的基本方程是应用较多的一种形式，可适用于饱和—非饱和水流求解及层状土壤的水分运动分析计算，但由于非饱和土壤水的导水率k （h ）及容水度c(h)，受滞后影响较大，计算中参数选取不当会造成较大误差；以v ，u 为因变量基本方程实际上分别相当于以负压水头h 和含水率θ为因变量的基本方程，在某些情况下由于经代换后方程较为简单，易于求解；以坐标为因变量的基本方程根据定解条件需要求解较简单的土壤水分运动问题。
以上为直角坐标系中土壤水分运动的基本方程，求解某些土壤水分运动问题时，采用柱坐标系可能更方便。
