动量(矩)定理1

y
解：
aC1x = 0 aC 2 x
l
ωt
Q2 Q1
d2 aC 3 x = 2 (l sin ωt ) = −lω 2 sin ωt dt Q3 代入质心 Q Q l − 2 ω 2 sin ωt − 3 lω 2 sin ωt = Fx 运动定理 g 2 g x (Q2 + 2Q3 )lω 2 (Q2 + 2Q3 )lω 2 Fx = − sin ωt Fx max =
ω
v r Lz = k ⋅ LO =
=
∑
i =1
n
r r r k ⋅ ( ri × mi vi )
r r r vi = ω × ri r r = ωk × ri
r LO =
∑
i =1
n
r r r mi vi ⋅ ( k × ri )
∑
i =1
n
r r ri × mi vi
ρi
mi ri O
m iv i
mi
r r r LC = ∑ rCi × mi vi
n i =1
mn
m nv n
动量系的动量矩对不同的简化中心有不同的量值。 动量系的动量矩对不同的简化中心有不同的量值。 动量系的等动量矢与等动量矩这二 个量完全等效地取代了原质点系的全部 动力效应。 动力效应。
r LC
C
r p
已知椭圆规的杆AB质量为 质量为2 质量为m 例1: 已知椭圆规的杆 质量为2m1 ， 杆OD质量为 1，物块 质量为 A、B质量均为 2，OD=AD=BD=l， = ωt ，试求物系的等动 质量均为m 试求物系的等动 ， 、 质量均为 θ y 量矢。 量矢。 解：
O
R
ωΟ
ϕ
vC
r C
ωC
三、冲量和冲量矩
r t2 r 冲量----力在某一时间段内的累积效应。 ----力在某一时间段内的累积效应 冲量----力在某一时间段内的累积效应。 I = ∫ F ⋅ d t t1 r r r r 冲量对一点O的矩被称为 的矩被称为冲量矩 冲量对一点 的矩被称为冲量矩 M O ( I ) = r × I 四、动量定理和动量矩定理
5 & p y = myc = ωl cos ωt ( m1 + 2m2 ) 2
p=
tan ϕ =
2 px
+
p2 y
5 = lω( m1 + 2m2 ) 2
不是合动量的作用点。 点C不是合动量的作用点。 不是合动量的作用点
py px
= tan ωt
∴L = ∑r × mv
C i =1 Ci i
动量系对两点的等动量矩矢的关系 i =1 由速度合成定理，在点C建立一个平动坐标 建立一个平动坐标， 由速度合成定理，在点 建立一个平动坐标，有 r r r m iv i viC vi = vC + viC z′ ′ LC n r r rCi Q ∑ rCi × mi vC = 0 m i vC vi vC i =1 y′ r ′ n r r C x′ ′ r mi vi ）对质心 动量矩之和等 质心而言 绝对动量（ 而言， 对质心C动量矩之和等 对质心而言，绝对动量（ r 于相对动量( )对质心 动量矩之和。 对质心C动量矩之和 于相对动量( mi viC )对质心 动量矩之和。 若向任一点O′简化， 若向任一点 ′简化，(利用力线平移定理 ) LO' r r r r r r r LO′ = LC + rO′C × p rO′C × p L
r n r p = ∑ mi v i
i =1
r r p = mv C
在简化中心动量的大小与方位与简化中心的 选择无关， 动量系的等动量矢是一个不变量。 选择无关，即动量系的等动量矢是一个不变量。 m iv i m1v1
动量系对质心C的动量 动量系对质心 的动量 等动量矩: 矩—等动量矩:
m1 rCi C
~ ~ Fx = ρQv2 cos ϕ − (− ρQv1 )
~ = ρQ(v2 cos ϕ + v1 )
Fx
ϕ ϕ
刚体系： 刚体系：
v 2 v d rC d rCi m 2 = ∑ mi dt dt2
2
r v2
r v1
r v2
∑
r mi aCi =
∑
re r Fi =FR
刚体系统质心运动定理
电动机重Q 外壳用螺栓固定在基础上。匀质杆长l， 例4 电动机重 1，外壳用螺栓固定在基础上。匀质杆长 ， 一端连一重Q 的小球。 转动， 重Q2，一端连一重 3的小球。电机以匀角速度 ω 转动，试求 螺栓和基础作用于电机的最大总水平力及铅直力。 螺栓和基础作用于电机的最大总水平力及铅直力。
1.质点动量定理和对静点 动量矩定理 质点动量定理和对静点O r r r d dv r 将质量凑入微分号中 对 m = F ,将质量凑入微分号中,得 d t ( mv ) = F 将质量凑入微分号中, dt r r d r r r 为质点动量定理 两边左乘 r r × ( mv ) = r × F 质点动量定理, 质点动量定理
n
r r r dp d d n Q ∑ (mi vi ) = ∑ mi vi = d t i =1 dt i =1 d t
r r d ( mFi = ∑ Fi + ∑ Fi E n i =1 i =1 i =1
rI ∑ Fi ≡ 0
n i =1
A a
r v1
r F1
B b
r FN
mg
r F2
C cv D d
v ~ r r Fd = ρ Q(v2 − v1 ) v ~ r r Fd′ = ρ Q(v1 − v2 )
r
2
欧拉方程
例3: 水泵以速度 1将水喷射在墙面上，又以速度 2反射出 : 水泵以速度v 将水喷射在墙面上，又以速度v ~ 试求墙面受到的力。 已知：流量Q， 去，已知：流量 ，密度 ρ，试求墙面受到的力。 解：
d2 l l = 2 ( sin ωt ) = − ω 2 sin ωt dt 2 2
M
a C1 y = 0
2g
2g
Fx
Fy
l d2 l aC 2 y = 2 ( cos ωt ) = − ω 2 cos ωt dt 2 2 d2 aC 3 y = 2 (l cos ωt ) = −lω 2 cos ωt dt Q l Q − 2 ω 2 cos ωt − 3 lω 2 cos ωt = Fy − Q1 − Q2 − Q3
=ω
i =1 r r (k×r) 的模为质点 i到转轴的距离ρi i 的模为质点m
∑
n
r r r r mi ( k × ri ) ⋅ ( k × ri )
Lz = ( ∑ mi ρ i2 )ω = J zω
i =1
n
与运动学不同的是：一般情况下， 与运动学不同的是：一般情况下，刚体 定轴转动问题，不能化作平面问题来处理。 定轴转动问题，不能化作平面问题来处理。 r r 动量系的 p ⋅ LO = 0，即当转动 即当转动 刚体的质量对称面垂直转轴时, 刚体的质量对称面垂直转轴时,是空 间问题简化为平面问题 的条件之 一。 (3)对平面运动刚体 (3)对平面运动刚体 对作平面运动的刚体，向质心 简化 简化， 对作平面运动的刚体，向质心C简化，当 动量系的等动量矩矢与平面运动平面正交 r r 时，即 p ⋅ LC = 0 质量对称面平行平面运动 , 平面时，才是能作为平面问题的条件之一。 平面时，才是能作为平面问题的条件之一。
r d r r d r r × ( mv ) = ( r × mv ) dt dt
2.质点系的动量定理和动量矩定理 2.质点系的动量定理和动量矩定理 对有n质点的质点系中的第 个质点 对有 质点的质点系中的第i个质点,有 质点的质点系中的第 个质点,
n r r d ∑ d t (mi vi ) = ∑ Fi i =1 i =1 n
动量、 动量、动量矩定理
一、质点的动量与动量矩
r 动量( )—矢量 映物体机械运动强弱。 矢量, 动量( mv ) 矢量,反映物体机械运动强弱。
动量矩:动量对一点之矩。 动量矩:动量对一点之矩。
r mv
A
r r r LO = r × mv
二、质点系的动量的简化
LO
O
r
m iv i m1v1 m1 rCi C mn m nv n mi 以质心C为简化中心,得在点 的 以质心 为简化中心,得在点C的 为简化中心 一个动量,即动量系的等动量矢 等动量矢: 一个动量,即动量系的等动量矢:
iC
n r r r LC = ∑ rCi × mi vi
C
r p
C
r LC
式中O′可以是动点，也可以是静点。 式中 ′可以是动点，也可以是静点。
O´
r p
rO'C
r r r r LO′ = LC + rO′C × p
两边点积p 因为
r r r r r r p ⋅ (rO′C × p) = rO′C ⋅ ( p × p) = 0
B
LO O O P 对称平面
A p C LC
r r r v iC = ω × rCi
i =1
n r r r r LC = ∑ rCi × mi viC = J C ω
的匀质轮， 例2： 已知半径为 的匀质轮，在半径为 的固定凹面上只滚不 ： 已知半径为r的匀质轮 在半径为R的固定凹面上只滚不 轮重Q，匀质杆OC重 ，杆长l 试求系统在该瞬时对点O 滑，轮重 ，匀质杆 重P，杆长 。试求系统在该瞬时对点 的动量矩（ 的函数） 的动量矩（表示成ϕ 的函数） 。 解： r r r r LO′ = LC + rO′C × p
r r r r r r ~Q∆t (v − v ) = pCDcd − p ABab = m(v2 − v1 ) = ρ 2 1