动量矩定理

动量矩定理

习 题

例1：单摆将质量为m的小球用长为l的线悬挂于水平轴上，使其在重力作用下绕悬挂轴O在铅直平面内摆动。线自重不计且不可伸长，摆线由偏角0时从静止开始释放，求单摆的运动规律。

解：将小球视为质点。其速度为lv且垂直于摆线。摆对轴的动量矩为

2mllmlmvmo

又 oTmo，则外力对轴O之矩为

sinmglFmo

注意：在计算动量矩与力矩时，符号规定

应一致（在本题中规定逆时针转向为正）。

根据动量矩定理，有

sin2mglmltxdd

即 0sinlg

(a)

当单摆做微幅摆动时，sin，并令lgn2 则式（a）成为

02n

（b）

解此微分方程，并将运动初始条件带入，即当t=0时，0，00，得单摆微幅摆动时的运动方程为

tncos0

©

由此可知，单摆的运动是做简谐振动。其振动周期为

glTn22

Olmg0vT例2：双轴传动系统中，传动轴Ⅰ与Ⅱ对各自转轴的转动惯量为1J与2J，两齿轮的节圆半径分别为1R与2R，齿数分别为1z与2z，在轴Ⅰ上作用有主动力矩1M，在轴Ⅱ上作用有阻力矩2M，如图所示。求轴Ⅰ的角加速度。

解：轴Ⅰ与轴Ⅱ的定轴转动微分方程分别为

1111RPMJ （a）

2222RPMJ (b)

又

122112zzRRi

（c）

以上三式联立求解，得

221211iJJiMM

108 第12章 动量矩定理

12-1 质量为m的点在平面Oxy内运动，其运动方程为：

tbytax2sincos

式中a、b和为常量。求质点对原点O的动量矩。

解：由运动方程对时间的一阶导数得原点的速度

tbtyvtatxvyx2cos2ddsindd

质点对点O的动量矩为

tatbmtbtamxmvymvmMmMLyxOOcos2cos22sin)sin()()(0yxvv

tmab3cos2

12-3 如图所示，质量为m的偏心轮在水平面上作平面运动。轮子轴心为A，质心为C，AC

= e；轮子半径为R，对轴心A的转动惯量为JA；C、A、B三点在同一铅直线上。（1）当轮子只滚不滑时，若vA已知，求轮子的动量和对地面上B点的动量矩。（2）当轮子又滚又滑时，若vA 、已知，求轮子的动量和对地面上B点的动量矩。

解：（1）当轮子只滚不滑时B点为速度瞬心。

轮子角速度 RvA

质心C的速度 )(eRRvCBvAC

轮子的动量 ACmvReRmvp（方向水平向右）

对B点动量矩 BBJL

由于 222)( )( eRmmeJeRmJJACB

故 RveRmmeJLAAB22)( 

（2）当轮子又滚又滑时由基点法求得C点速度。

evvvvACAAC

轮子动量 )(evmmvpAC （方向向右）

对B点动量矩

) ( )()()( )( 2emRJeRmvmeJeRevmJBCmvLAAAACCB

12-5 图示水平圆板可绕z轴转动。在圆板上有一质点M作圆周运动，已知其速度的大小为常量，等于v0，质点M的质量为m，圆的半径为r，圆心到z轴的距离为l，M点在圆板的位置由角确定，如图所示。如圆板的转动惯量为J，并且当点M离z轴最远在点M0时，圆板的角速度为零。轴的摩擦和空气阻力略去不计，求圆板的角速度与角的关系。

动量矩定理(3) 班级

学号 姓名

1、图示均质杆AB长l，质量为1m。杆的B端固连质量为2m的小球，其大小不计。杆上点D连一弹簧，刚度系数为k，使杆在水平位置保持平衡。设初始静止，求给小球B一个垂直向下的微小初位移0后杆AB的运动规律。

2、图示匀质长方体的质量为50kg，与地面间的动滑动摩擦系数为0.20，在力P作用下向右滑动。求：（1）长方体只滑而不倾倒时，P的最大值；（2）此时长方体的加速度。

3、均质细杆OA和EC的质量分别为50kg和100kg，并在A点焊成一体。若此结构在图示位置由静止状态释放，求刚释放时杆的角加速度及光滑铰链O处的约束力。

4、均质圆柱体质量为m ，半径为r，放在倾斜角为60的斜面上，如图所示。一细绳缠在圆柱体上，其一端固定于A点，AB平行于斜面。若圆柱体与斜面间的摩擦系数31f，试求柱体中心C的加速度。

理论力学作业（八） 动量矩定理

2812-1、无重杆OA以角速度Oω绕O轴转动，质量Kg25=m、半径

的均质圆盘以三种方式安装于mm200=ROA杆的点，如图所示。在图a中，圆盘与OA杆焊接在一起；在图b中，圆盘与OA杆在点铰接，且相对OA杆以角速度A

Arω

逆时针向转动；在图中，圆盘相对OA杆以角速度crω顺时针向转动。已知rad/s4==rOωω，计算在此三种情况下，圆盘对轴的动量矩。 O

()c 理论力学作业（八） 动量矩定理

12-2、如图所示，质量为的偏心轮在水平面上作平面运动。轮子轴心为，

质心为，mA

CeAC=；轮子半径为R，对轴心的转动惯量为；C、、AAJAB

三点在同一铅直线上。（1）当轮子只滚不滑时，若已知，求轮子的动量和

对地面上AvB点的动量矩。（2）当轮子又滚又滑时，若、Avω已知，求轮子的

动量和对地面上B点的动量矩。

29理论力学作业（八） 动量矩定理

12-3、一半径为R、质量为的均质圆盘，可绕通过其中心O的铅直轴无摩

擦地旋转，如图所示。一质量为的人在盘上由点1m

2mB按规律221ats=相对于

盘沿半径为r的圆周行走。开始时，圆盘和人静止。求圆盘的角速度和角加速度。

30理论力学作业（八） 动量矩定理

12-4、两个重物和的质量各为与分别系在两条不计质量的绳上，

如图所示。此两绳又分别围绕在半径为和的塔轮上。塔轮的质量为，

质心为，对轴的回转半径为1M2M1m2m

1r2r3m

OOρ。重物受重力作用而运动，求塔轮的角加速度α。

31理论力学作业（八） 动量矩定理

12-5、图示均质杆长l，质量为。杆的AB1mB端固连质量为的小球，其

大小不计。杆上点连一弹簧，刚度系数为，使杆在水平位置保持平衡。

设初始静止，求给小球2mDkB一个铅直向下的微小初位移0δ后杆的运动规律

和周期。 AB

32理论力学作业（八） 动量矩定理

12-6、图示两带轮的半径各为和，其质量各为和，两轮以胶带相