整式乘法中的数学思想

a ab b 图图 整式乘法中的数学思想数学思想方法是数学问题的灵魂，求解决数学问题的金钥匙，整式的乘法运算也不例外. 整式的乘法运算运算中常见的数学思想方法有以下几种：一、转化思想在整式运算中，多项式乘法是化归为多项式乘以单项式来完成的，多项式乘以单项式又化归为单项式乘以单项式来完成的，而单项式乘以单项式又化归为同底数幂的运算来完成的.例1 化简：(3x +2)(x －1)+3(x －1)(x +1).分析： 根据多项式乘以多项式的法则，将原式展开后化归为单项式乘以单项式，最后化归到同底数幂相乘，从而获解.解： (3x +2)(x －1)－3(x －1)(x +1)＝3x 2－3x +2x －2－3x 2－3x +3x +3＝－x +1.评注： 本题在运用化归思想运算的过程中省略了一些步骤，不过一定要注意避免因为“－”号可能给化简带来的错误.二、整体思想例2 以知3a+2b=2，ab=5，求32 a b [（3a+2b ）2+a 2b 2]的值． 分析：此题没有告诉ab 的具体值，所以必须把原式化为 只含3a+2b 和ab 的式子，即把3a+2b 和ab 分别看作一个整体．解：原式=32a b ·（3a+2b ）2+32（ab ）3把3a+2b=2，ab=5代入，则原式=340+3250=9632． 评注：本题既运用了整体思想进行化简，又运用了整体代入求值.三、数形结合思想例3、如下图1，边长为a 的大正方形中一个边长为b 的小正方形，小明将图1的阴影部分拼成了一个长方形，如图2．这一过程用下式表示正确的是( )A 、a 2+b 2-2ab =(a -b )2B 、a 2+b 2+2ab =(a +b )2C 、2a 2-3ab +b 2=(2a -b )(a -b )D 、a 2-b 2=(a +b ) (a -b ) 分析：关键是计算出两个图形中的阴影部分的面积，根据面积相等就可得到正确结果．解：图1中阴影部分的面积是一个边长为a 的正方形和边长为b 的正方形的面积之差，即阴影部分的面积为a 2-b 2，图2中阴影部分是一个以分别以(a +b )， (a -b )为边长的长方形，面积为(a +b ) (a -b )，所以选D ．评注：本题通过简单的几何拼图渗透数形结合思想，考查了同学们的观察能力、分析研究的能力．四、分类讨论思想例4、在整式运算中，任意两个一次二项式相乘后，将同类项合并得到的项数可以是----． 分析：对于任意两个一次二项式相乘，最多可以有四项，如（a+b ）（c+d ）；还可以是三项，如（x+1）（x+3）；还可以是两项，如（x-2）（x+2）．解：两项或三项或四项．评注：本题是一道开放型探究题，结论有多个，需要进行分类讨论．。

《整式乘除》教学中渗透的数学思想方法宜宾县育才中学 何伟数学思想方法是数学的精髓，是数学素养的重要构成之一，学生只有领会了数学思想方法，才能有效的应用知识，形成能力。

因此，在教学中，要有意识的让学生领会到其中体现和渗透的数学思想方法。

本文以“整式的乘除”一章的教学，谈谈数学思想方法的渗透和体现。

一、从特殊到一般的认识规律和方法。

本章在研究幂的运算规律时，都是运用从特殊到一般的思想方法。

例如：由以下几个特殊例子：3253232+==⋅⋅⋅⋅=⋅a a a a a a a a a 个个，46104646+==⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅a a a a a a a a a a a 个个推出“同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

”再如由(ab)2=(ab)(ab)=a ·a ·b ·b=a 2b 2,(ab)3=(ab)(ab)(ab)=a 3b 3。

推知“积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”。

二、化归思想所谓“化归”就是将所要解决的问题转化为另一个较易解决或已经解决的问题，它是初中数学中最常见的思想方法，在本章的学习和研究中，就多次用到了化归思想。

例如： 单项式乘以单项式可化归为有理数乘法和同底数幂的乘法运算；单项式乘以多项式和多项式乘以多项式都可化归为单项式乘以单项式的运算；单项式除以单项式可化归为有理数除法和同底数幂的除法运算；多项式除以单项式可化归为单项式除以单项式的运算，等等。

三、整体代换的方法这在乘法公式中表现得特别典型。

公式中的字母a ，b 不仅表示数，而且可以表示代数式。

正是由于整体代换的思想，乘法公式才能得到广泛的应用。

例如，讲多项式乘以多项式法则时，是先把(a+b)或(m+n)看成一个整体，运用单项式乘以多项式法则，得到(a+b)(m+n)=m(a+b)+n(a+b)。

然后再运用“单×多”的运算法则即可得到(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 。

整式乘除中的数学思想作者：赵国瑞来源：《初中生之友·中旬刊》2013年第01期数学思想是数学的灵魂和精髓，是解决数学问题的金钥匙。

在学习数学知识的过程中，同学们要有意识地挖掘提炼其中的数学思想，并运用这些数学思想指导我们解决数学问题。

经常这样做，可以提高同学们分析问题和解决问题的能力，提高数学素养。

下面以整式乘除为例说明。

一、整体思想在推导多项式乘法法则（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn时，我们先把其中的一个多项式（m+n）看成一个整体，即看成一个单项式，这样就将两个多项式相乘问题转化为我们熟悉的单项式与多项式相乘问题，这体现了数学中的整体思想。

例1 （2012年天津市中考题）若实数x、y、z满足（x-z）2-4（x-y）（y-z）=0。

则下列式子一定成立的是（）A．x+y+z=0 B．x+y-2z=0 C．y+z-2x=0 D．x+z-2y=0分析注意到（x-y）+（y-z）=x-z，于是可将（x-y）、（y-z）分别看成一个整体。

解因为（x-y）+（y-z）=x-z，所以[（x-y）+（y-z）]2-4（x-y）（y-z）=0。

即（x-y）2+2（x-y）（y-z）+（y-z）2-4（x-y）（y-z）=0。

即（x-y）2-2（x-y）（y-z）+（y-z）2=0。

即[（x-y）-（y-z）]2=0。

所以（x-y）-（y-z）=0。

整理得x+z-2y=0。

故答案选D。

点评本题若按常规方法，需要先将已知等式左边的括号展开，然后再整理、分组，进行因式分解，即（x-z）2-4（x-y）（y-z）=（x2-2xz+z2）-4（xy-xz-y2+yz）=（x2+2xz+z2）-4（xy+yz）+4y2=（x+z）2-4y（x+z）+4y2=（x+z-2y）2。

显然这样比较麻烦，且分组有一定的困难。

当然本题也可应用完全平方公式的变形公式4ab=（a+b）2-（a-b）2，这样便有4（x-y）（y-z）=[（x-y）+（y-z）]2-[（x-y）-（y-z）]2=（x-z）2-（x+z-2y）2。

整式乘除中所蕴涵的数学思想河北 欧阳庆红 张爱民数学思想和方法是数学的血液和精髓，是解决数学问题的有利武器，是进行数学发现和创造的工具，数学思想方法又是处理数学问题的指导思想和基本策略，是数学的灵魂．因此，我们领悟和掌握以数学知识为载体的数学思想方法，是提高思维水平，真正懂得数学的价值，建立科学的数学观念，从而发展数学，运用数学的重要保证．整式乘除一章中，隐含着许多重要的数学思想方法，需要我们去挖掘、拓展和应用，现归纳起来主要有以下几种．一、 整体代入的数学思想例1:已知a +b =2，求222121b ab a ++的值． 分析:将所求的代数式变形，使之成为a +b 的表达式，然后整体代入求值． 解: .)(21)2(21212122222b a b ab a b ab a +=++=++ ∵a +b =2∴原式.22212=⨯= 例2：已知,610,510==b a 求b a 3210+的值．分析:由于,610,510==b a 我们不便将a ，b 分别求出，但我们从问题b a 3210+入手，不难发现， ,)10()10(103232b a b a =+利用整体代入，将问题解决．解: .54002162565)10()10(10101032326232=⨯=⨯=⋅=⋅=+b a b a b a二、 分类讨论的数学思想例3:若25)4(22+++x a x 是完全平方式，求a 的值．分析:根据完全平方式求待定系数或公式中的a 与b ．解: .25)4(225)4(222+++=+++x a x x a x∵多项式是完全平方式， ∴2(a +4)x =±2×x ×5， ∴2(a +4)= ±10．∴当2(a +4)= 10时，a =1;当2(a +4)= -10时，a = -9．三、 化归的数学思想例4：已知.6,3,2===z y x a a a 求z y x a -+23的值．分析:求解本题的关键在于寻找求值式与已知的关系，可以用下面两种解法．解法一:由2=x a ，得.2)(33=x a 即83=x a． 由3=y a ，得.3)(22=y a 即.92=y a又.6=z a 所以.1269823=÷⨯=÷⋅z y x a a a 即z y x a -+23=12．解法二: z y x a -+23=.12632)()(232323=÷⋅=÷⋅=÷⋅z y x z y x a a a a a a说明:解法一根据等式两边可以同时n 次方的原理，从已知中构造出求值式中有关的y x a a 23、及z a ，再根据同底数幂的乘法、除法法则构造出求值式z y x a -+23，这种解法的基本思路是由已知向目标转化，即“已知→目标”；解法二利用幂的运算法则的可逆性，即逆用幂的乘方法则、同底数幂的乘法、除法法则，求解过程直截了当，一气呵成，这种解法的基本思路是由目标向已知转化，即“目标→已知”．四、 逆向思维的思想方法1、逆用幂的运算性质例5：计算：.)8()125.0(1716-⨯分析：若将1716)8(,)125.0(-计算，再相乘，运算非常麻烦，这时若将幂的运算性质逆向运用，就简便多了．解: ()[]171617168)125.0()8()125.0(-⨯=-⨯=.8818)8125.0(88)125.0(8)125.0(161616161716-=⨯-=⨯⨯-=⨯⨯-=⨯-2、逆用完全平方式例6：计算.7655.07655.0469.22345.122+⨯+分析：因数位数多，直接计算难度较大，这时若能抓住数字的结构特征，巧妙逆用完全平方公式，则可简化计算过程．解:原式=.7655.07655.02345.122345.122+⨯⨯+=.42)7655.02345.1(22==+五、 构造公式模型的思想方法例7:计算11×101×10001．分析:若直接相乘，计算量很大，但仔细观察到:11=10+1，101=100+1，10001=10000+1，所以在原式中只要乘以(10-1)，即可连续运用平方差公式计算．.111111119999999991110911101109111011011091110000110011011091844422=⨯=-=+-=++-=+++-=）（））（（））（）（（））（）（）（（解：原式。

整式乘除知识点整式是由常数和变量按照代数运算的规则经过加、减、乘、除等基本运算得到的式子。

整式乘除是代数学中的重要内容，掌握整式乘除的知识点对于解决代数问题和化简式子非常有帮助。

下面将介绍整式乘法和整式除法的要点和方法。

一、整式乘法整式乘法是指将两个整式相乘得到一个新的整式。

整式乘法的基本思想是利用分配律和合并同类项的原则进行运算。

1. 分配律分配律是整式乘法的基本运算定律，即对于任意的整式a、b、c来说，有：a × (b + c) = a × b + a × c这个定律表示乘法可以分别作用于加减运算中的每一项。

2. 合并同类项在整式乘法中，对于相同的字母次幂，只需要将系数相乘即可。

例如：3x × 4x = 12x²，3a² × 2a² = 6a^4。

二、整式除法整式除法是指将一个整式除以另一个整式，得到商和余数的运算过程。

整式除法的基本思想是通过长除法的方式进行计算。

整式除法的步骤如下：1. 对除数和被除数的次数进行降幂排列，确保被除数和除数的次数次幂之间存在对应关系。

2. 从被除数中选择一个项作为被除数，与除数的首项进行除法运算，得到一个商和余数。

3. 将商乘以除数，并减去这个乘积。

4. 重复步骤2和步骤3，直到被除数的次数次幂小于除数的次数次幂为止。

5. 将所有的商相加，并将余数放在最后。

例如，计算整式 (3x³ - 2x² + 5x - 1) ÷ (x - 2) 的步骤如下：(3x³ - 2x² + 5x - 1) ÷ (x - 2) = 3x² + 4x + 13 + 25/(x - 2)通过以上步骤，我们可以得到商和余数。

三、整式乘除综合运算在实际应用中，整式的乘法和除法常常需要综合运算。

在进行整式乘除综合运算时，需要根据分配律以及合并同类项的原则，进行逐步计算。

整式运算思想总结整式运算是学习代数中的重要内容，掌握整式运算的基本思想对于进一步学习代数以及应用数学都具有重要意义。

下面我将就整式运算的基本思想总结下来。

首先，整式的运算是基于代数的基本运算规律进行的。

整式主要涉及到加法、减法、乘法和整除这四种运算。

在整式的运算过程中，我们需要灵活运用各种运算规律和性质，对整式进行合理的运算和简化。

其次，整式的运算思想主要包括整式的加减运算、整式的乘法运算以及整式的整除运算。

整式的加减运算：整式的加减运算是指对整式进行相加或相减的操作。

在整式的加减运算中，我们需要注意如下几个基本思想：1.同类项的合并：同类项是指具有相同字母和相同指数的项，我们可以通过合并同类项来简化整式。

2.去括号：有时整式中会出现括号，我们需要运用分配律将括号里的项与括号外的项相乘，然后再进行合并同类项的操作。

3.借位、进位：在整式相加或相减的过程中，我们会遇到进位或借位的情况，需要根据运算规则进行相应的调整。

整式的乘法运算：整式的乘法运算是指对整式进行相乘的操作。

在整式的乘法运算中，我们需要遵循如下几个基本思想：1.乘法交换律：整式的乘法具有交换律，即a*b=b*a，我们可以根据需要改变整式相乘的顺序。

2.乘法分配律：整式的乘法具有分配律，即a*(b+c)=a*b+a*c，我们需要运用这个性质将整式进行展开和合并。

3.乘法合并同类项：整式相乘后，我们需要合并同类项，即将相同字母和相同指数的项进行合并。

整式的整除运算：整式的整除运算是指对整式进行相除的操作。

在整式的整除运算中，我们需要遵循如下几个基本思想：1.整除的定义：如果整式A除以整式B能够得到整式C，即A=B*C，我们就称整式A能够被整式B整除，记作B|A。

2.整除的性质：整除具有传递性和乘法结合律，即如果B|A且C|B，则C|A；如果B|A，则B*D|A*D，其中D为任意整式。

3.整除的判断：判断一个整式是否能够被另一个整式整除，我们需要将被除数与除数进行相除，并观察是否能够得到一个整式。

初一数学整式运算思想总结数学初一下学期主要学习整式运算，整式运算是利用代数的运算法则对含有字母的式子进行计算的一种方法。

在学习整式运算的过程中，我们需要掌握一些基本的思想和方法。

下面是对整式运算的思想总结，共计1000字。

首先，整式运算需要注意的是变量的含义和使用。

整式中的字母通常代表着未知数或变量，常用字母有x，y，z等。

在整式运算中，变量可以代表任意数值，因此需要注意根据具体问题进行代入。

另外，整式运算中的字母可以相同，也可以不同，这取决于具体问题的要求。

其次，整式运算中需要掌握的一种基本思想是合并同类项。

同类项是指含有相同的字母和相同的指数的项。

在合并同类项时，我们可以将它们的系数相加，然后保留相同的字母和指数。

这个思想在整式的加法和减法中经常用到，能够简化计算过程，使得整式更加简洁。

另外，整式运算中还需要掌握的一种基本思想是乘法的分配律。

在整式的乘法中，我们经常会遇到一个整式乘以一个多项式的情况。

根据分配律，我们可以将多项式中的每一项与整式分别相乘，然后将它们的结果相加，得到最终的乘积。

这个思想在整式的乘法中非常重要，能够使得计算更加简便。

此外，整式运算中还需要掌握的一种基本思想是因式分解。

整式的因式分解是将一个整式表示为若干个整式的乘积的形式。

在因式分解中，我们需要根据整式的特点，找出能够整除整式的因子，并利用乘法分配律进行因式分解。

因式分解的思想在整式的乘法和约分中经常用到，能够简化计算过程，得到更简洁的结果。

最后，整式运算中需要注意的是化简和约分。

化简是指对整式进行运算，使得结果更加简洁。

约分是指将整式的各项的公因子约去，得到最简形式。

化简和约分是整式运算的重要环节，能够使得整式的计算结果更加规范和美观。

在整式运算中，需要不断积极地进行练习和思考，掌握基本思想和方法。

通过大量的练习，我们能够更好地理解整式运算的概念和规则，提高整式运算的能力。

同时，整式运算还能培养我们的逻辑思维和分析能力，提高我们解决实际问题的能力。

整式乘除中的数学思想
整式乘除法是解决复杂数学问题的一种常用方法，它涉及不同数字、符号和运算符之间的相互关系，常用于根据有关病理解决各种数学结论。

整式乘除法的最基本原则是结构的统一和清晰的结构，上下文之
间的完整性。

其次，重要的是要有较高的准确度，因为乘除法的常规
计算过程，与现实生活中的大多数计算形式有所不同。

要做好整式乘除的计算，首先要明确一系列基本原则，包括推广和具
体的推导，由高级到低级，顺序不可更改。

比如，在多项式乘除中，
要先乘以最高次幂的变量，然后再乘以其余的变量；在分式乘除中，
要完全算式的乘除之前，先将分式公约处理下。

此外，整式乘除的另一大重点是运用有效的规律，如聚合原则和下面
的基本运算，遵循这些规律有助于更加得心应手地计算出该数学模型，从而解决任何一个复杂数学问题。

例如，如果有两个数，则先聚合，
再乘除；如果是三个数，则先聚合，再乘以剩下的数。

最后，有一般认为，任何一个数学模型都可以用这种整式乘除法来解决，只要熟悉各种乘除规则，并有足够的耐心把握其中的规律，就可
以较容易的应用到实际的数学计算中。

因此，学习整式乘除法不仅可
以提高我们的理解能力，而且有助于强化我们的逻辑推理能力，更能
给我们的数学思维运用提供有力的帮助。