35种高中数学易错题失分题汇总解析

高中数学错题集及解析1. 题目：如图所示，已知AD∥CF，DE∥CF，∠ADE=40°，∠FCD=120°，求∠BCF的度数。

A B C DE F解析：根据题目所给的已知条件，我们可以得到如下信息：AD∥CF，DE∥CF，∠ADE=40°，∠FCD=120°。

要求∠BCF的度数，我们可以利用几何知识进行推理和计算。

首先，根据平行线的性质，我们知道∠ADE=∠FCD=40°。

由于∠FCD=120°，所以∠DCF=180°-120°=60°。

接下来，我们观察四边形ADCF，可以发现∠CAF和∠ADF是对顶角，因此它们的度数相等。

∠ADE和∠DCF是共顶角，它们的度数也相等。

由此，我们可以得到以下等式：∠CAF=∠ADF=40°∠ADE=∠DCF=60°现在我们来考虑三角形BCF。

已知∠CAF=∠ADF=40°，∠BCF为所求。

我们知道，三角形内角和为180°，因此有：∠CAF+∠ADF+∠BCF=180°带入已知信息，得到：40°+40°+∠BCF=180°化简得：80°+∠BCF=180°再进一步，我们可以得到：∠BCF=180°-80°∠BCF=100°因此，∠BCF的度数为100°。

2. 题目：已知函数f(x)=2x^3-3x^2+x-5，求f(-1)和f(2)的值。

解析：我们可以使用给定的函数，将x的值代入函数中进行计算，从而得到f(x)的值。

首先，计算f(-1)的值。

将x=-1代入函数f(x)中，有：f(-1)=2(-1)^3-3(-1)^2+(-1)-5化简得：f(-1)=-2-3+(-1)-5=-2-3-1-5=-11因此，f(-1)的值为-11。

接下来，计算f(2)的值。

高一上学期易错陷阱总结1、 对数型函数中，（易忽略真数位置大于0）5．已知y ＝log a (2－ax )在[0,1]上为减函数，则a 的取值范围为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(0,2) D ．[2，＋∞) 2、 集合中，空集的特殊性（易忘记讨论空集）13．已知集合A ＝{x |2a ＋1≤x ≤3a －5}，B ＝{x |x ＜－1，或x ＞16}，分别根据下列条件求实数a 的取值范围． (1)A ∩B ＝∅； (2)A ⊆(A ∩B )． 3、集合中，元素的互异性（易忽略导致取值错误）[例2] 已知集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，a ，b a ＝{0，a 2，a ＋b }，求a 2 019＋b 2 020的值．跟踪探究 2.已知集合A ＝{2，x ，y }，B ＝{2x,2，y 2}且A ＝B ，求x ，y 的值．4、集合中，元素的特殊要求（比如：易忽略x等条件）跟踪探究 1.若集合A ＝{x |1≤x ≤3，x ∈N }，B ＝{x |x ≤2，x ∈N }，则A ∩B ＝( )A.{x |1≤x ≤2} B ．{x |x ≥1} C ．{2,3}D ．{1,2}5、抽象函数的定义域问题（定义域仅代表x ，括号内取值范围一致）14、函数的定义域为,则的定义域是___;函数的定义域为___.6、 区间中默认a<b14.已知函数f （x ）=, x是偶函数，则a+b=7、 换元法求值域类问题（易忽略换元后，t 的取值范围）(1)f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的值域；8、动轴定区间类问题（分类讨论不重不漏）典型案例：求函数y ＝x 2－2ax －1在[0,2]上的最值．9同增异减求单调区间问题（对数型时不能忽略真数位置大于0）（多个区间，隔开）跟踪探究 2.求函数y ＝log 2(x 2－5x ＋6)的单调区间．10、分段函数单调性问题。

（易忽略结点处）13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ＋4，(x ≤1)，－ax ＋3a －4，(x ＞1)且f (x )在R 上递减，则实数a 的取值范围________．11.解分式不等式。

高中学生数学易错题选析（一）张家炎 阮晓锋【易错点1】忽视“空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集”而导致思维不全面。

例1．设{}2|8150A x x x =-+=，{}|10B x ax =-=，若A ∩B=B ，求实数a 组成的集合的子集有多少个？【易错点分析】由此题条件A ∩B=B 易知B A ⊆，但在本题解答中极易因忽视“空集是任何集合的子集”这种特殊情况而造成漏掉a=0的值。

解析：由集合A 化简得{}3,5A =，又由A ∩B=B 知B A ⊆，故有： （Ⅰ）当B φ=时，即方程10ax -=无解，此时a=0符合已知条件 （Ⅱ）当B φ≠时，即方程10ax -=的解为3或5，代入得13a =或15。

综上满足条件的a 组成的集合为110,,35⎧⎫⎨⎬⎩⎭，故其子集共有328=个。

【练1】已知集合{}2|40A x xx =+=、(){}22|2110B x x a x a =+++-=，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是 。

答案：1a =或1a ≤-。

【易错点2】求解函数值域或单调区间易忽视定义域优先的原则。

例2．已知()22214yx ++=,求22x y +的取值范围【易错点分析】此题学生很容易想到利用消元的思路将问题转化为关于x 的函数求值域，但极易忽视()22214yx ++=这个条件中x 、y 的约束关系而造成扩大定义域范围致出错。

解析：由于()22214yx ++=得(x+2)2=1-42y≤1，∴-3≤x ≤-1从而x 2+y 2=-3x 2-16x-122283383x =-+⎛⎫+ ⎪⎝⎭因此当x=-1时x 2+y 2有最小值1, 当x=-38时，x 2+y 2有最大值328。

故x 2+y 2的取值范围是[1,328]说明：此外本题还可通过三角换元转化为三角最值求解【练2】⑴若动点（x,y ）在曲线22214xy b+=()0b >上变化，则22x y +的最大值为（ ）（A ）()()2404424b b b b ⎧+<<⎪⎨⎪≥⎩（B ）()()2402422b b b b ⎧+<<⎪⎨⎪≥⎩（C ）244b +（D ）2b答案：A⑵是否存在实数a ，使函数()()2log a fx a x x=-在[]2,4上是增函数？若存在，试求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由。

【目录】一、导言二、易错题汇总及解析1. 二次函数的基本性质及应用2. 数列与数学归纳法3. 平面向量的运算及应用4. 不定积分与定积分5. 空间几何与三视图6. 概率统计及应用三、总结与展望【正文】一、导言数学作为一门基础学科，对培养学生的逻辑思维能力、数学建模能力和问题解决能力有着举足轻重的作用。

而在高中阶段，数学的难度也相应提升，很多学生容易在一些常见的易错题上犯错。

本文将对高中数学易错题进行大汇总，并给出详细的解析，希望能够帮助同学们更好地理解和掌握这些知识点。

二、易错题汇总及解析1. 二次函数的基本性质及应用（1）易错题案例：已知二次函数f(x)=ax²+bx+c的图象经过点(1,2)，且在点(2,1)处的切线斜率为3，求a、b、c的值。

解析：首先利用已知条件列方程，得到三元一次方程组。

然后利用切线的斜率性质，得到关于a和b的关系式。

最后代入已知条件解方程组即可求得a、b、c的值。

（2）易错题案例：已知函数f(x)=ax²+bx+c的图象经过点a、b、c，求a、b、c的值。

解析：利用函数过定点的性质列方程，再利用函数在定点处的斜率为求得a、b、c的值。

2. 数列与数学归纳法（1）易错题案例：已知等差数列{an}的前n项和为Sn=n²，求an。

解析：利用等差数列的前n项和公式列方程，然后利用数学归纳法求得an的表达式。

（2）易错题案例：已知{an}是等比数列，且a₁=2，a₃=18，求通项公式。

解析：利用等比数列的通项公式列方程，再利用已知条件求出通项公式的值。

3. 平面向量的运算及应用（1）易错题案例：已知向量a=3i+4j，b=5i-2j，求a与b的夹角。

解析：利用向量的夹角公式求出a与b的夹角。

（2）易错题案例：已知平面向量a=2i+j，b=i-2j，求2a-3b的模。

解析：利用向量的运算规则，先求出2a和3b，然后再求它们的差向量，最后求出差向量的模。

高中高考数学（函数部分）易错题汇总及解析一、选择题：1， 答案：B解析：结合数轴解答。

本题易错点在于集合M 的判断，易认为集合M 为}2211|{><<<=x x x x P 或或，而误选C,2. 答案：C解析：可从集合B 中()()1,2f f ，的象的和等于()3f 入手分析显然有110,000,011,011-+=+=+-=-+=四种情况分别对应的映射有：2个、1个、2个、2个共有个。

3．解析：此题根据复合函数的单调性求解时，转化为求二次函数的单调减区间但易忽视定义域的限制。

4． 答案：C 解析：根据同增异减的规律可知二交函数在区间]2,(a -∞上为减函数，则易知以a 为底的对数函数为增函数，易忽略当x 在区间]2,(a -∞上取值时，真数为零的限制。

5． 答案：A解析：根据导数解答，分出变量但注意等号是否取得。

6． 答案：A解析：数形结合，根据题意易知函数f （x ）在[]2,4上为增函数利用单调性即可比较大小。

7． 答案：B解析：可将选项逐次判断。

8．答案：D解析：数形结合9． 答案：B 解析：由条件1(2)()f x f x +=可推出函数为周期为4的函数，故根据周期性即得 10． 答案：D 解析：由132log <a=log a a 根据单调性分类讨论即得。

11． 答案：D解析：代入化简注意开方时由于01,0a x <<>故x x aa ->。

12答案：C解析：根据定义判断13．答案：A 解析：分a>1和a<1讨论解决14． 答案：D解析：将问题可转化为二次函数220x x a ---=（2x ≠±）有一解时实数a 的取值范围，注意二次函数可有一解或有两解但一解为2或-2。

15． 答案：A 解析：易知d cx bx ax x f +++=23)(=()(1ax x x --a,b,c,d 的关系，再利用当0<x<1时，f （x ）小于零得关于b 答案：一、选择题：BCCCAABBBDDCADA二、（17）)3,0()0,3(⋃-，（18）)23,(-∞，（19）)4,(--∞，（20）3，（21）-4，（22）)4,0[， （23）-4，（24）]3,1[-，三、解答题：25、211|||1|2||2|1|<≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-m m m m m 。

高中高考数学易错易混易忘题分类汇总及解析“会而不对，对而不全”一直以来成为制约学生数学成绩提高的重要因素，成为学生挥之不去的痛，如何解决这个问题对决定学生的高考成败起着至关重要的作用。

本文结合笔者的多年高三教学经验精心挑选学生在考试中常见的66个易错、易混、易忘典型题目，这些问题也是高考中的热点和重点，做到力避偏、怪、难，进行精彩剖析并配以近几年的高考试题作为相应练习，一方面让你明确这样的问题在高考中确实存在，另一方面通过作针对性练习帮你识破命题者精心设计的陷阱，以达到授人以渔的目的，助你在高考中乘风破浪，实现自已的理想报负。

【易错点1】忽视空集是任何非空集合的子集导致思维不全面。

例1、设{}2|8150A x x x =-+=，{}|10B x ax =-=，若A B B = ，求实数a 组成的集合的子集有多少个？【易错点分析】此题由条件A B B = 易知B A ⊆，由于空集是任何非空集合的子集，但在解题中极易忽略这种特殊情况而造成求解满足条件的a 值产生漏解现象。

解析：集合A 化简得{}3,5A =，由A B B = 知B A ⊆故（Ⅰ）当B φ=时，即方程10ax -=无解，此时a=0符合已知条件（Ⅱ）当Bφ≠时，即方程10ax -=的解为3或5，代入得13a=或15。

综上满足条件的a 组成的集合为110,,35⎧⎫⎨⎬⎩⎭，故其子集共有328=个。

ＡＢ时，【练1】已知集合{}2|40A x x x =+=、()22|2110B x x a x a =+++-=，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是。

答案：1a=或1a ≤-。

【易错点2】求解函数值域或单调区间易忽视定义域优先的原则。

例2、已知()22214y x ++=,求22x y +的取值范围【易错点分析】此题学生很容易只是利用消元的思路将问题转化为关于x 的函数最值求解，但极易忽略x、y 满足()22214y x ++=这个条件中的两个变量的约束关系而造成定义域范围的扩大。

高中数学错题集1、“直线ax+y +1=0和直线4x+ay -2=0”平行的充要条件为”a = “.22、.已知函数f(x)是R 上的减函数，A(0,-2),B(-3,2)是其图像上的两点，那么不等式|f(x -2)|>2的解集为 .请将错误的一个改正为 .3、已知正数x,y 满足x+ty =1，其中t 是给定的正实数，若1/x +1/y 的最小值为16，则实数t 的值为 .4、已知,,x y z R +∈，230x y z -+=，则2y xz的最小值 ．34、若不等式｜3x -b ｜＜4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b 的取值范围 。

（5，7）.5、已知正数x,y 满足4x-y=xy 则,x-y 的做小值为 .6、偶函数f(x)在[0，+∞]上是增函数，若f(ax+1)>f(x-3)在[1,2]上恒成立，则实数的取值范围为 .(a>1ora<-3)7、若数列{a n }的通项公式⋅⋅2n-2n-1n 22a =5()-4()55，数列{a n }的最大项为第x 项，最小项为第y 项，则x+y=_______________. 12. 38、已知a ,b 是两个互相垂直的单位向量, 且1=⋅=⋅b c a c 2=,则对0>t a t ++的最小值是 。

9、定义：区间)](,[2121x x x x <的长度为12x x -.已知函数|log |5.0x y =定义域为],[b a ，值域为]2,0[，则区间],[b a 的长度的最大值为 10．154函数f(x)=sin(ωx+π/3)（ω>0）在[0，2]上恰有一个最大值和最小值，则ω的取值范围是 .10.设D 、P 为△ABC 内的两点，且满足,51),(41+=+=则ABCAPDS S ∆∆= .0.1 11、设D 为ABC ∆的边AB 上的点，P 为ABC ∆内一点，且满足52,43+==，则=∆∆ABCAPD S S ．10312、若函数2()x f x x a =+（0a >）在[)1,+∞上的最大值为3,则a 的值为113、 已知函数M,最小值为m,则mM的值为 ___________。

高中数学易错题数学概念的理解不透必修一（1）若不等式ax 2+x+a ＜0的解集为 Φ，则实数a 的取值范围（ ） A.a ≤-21或a ≥21 B.a ＜21 C.-21≤a ≤21 D.a ≥ 21【错解】选A.由题意，方程ax 2+x+a=0的根的判别式20140a ∆<⇔-<⇔ a ≤-21或a ≥21，所以选A.【正确解析】D .不等式ax 2+x+a ＜0的解集为 Φ，若a=0,则不等式为x<0解集不合已知条件，则a 0≠；要不等式ax 2+x+a ＜0的解集为 Φ，则需二次函数y=ax 2+x+a 的开口向上且与x 轴无交点，所以a>0且20140120a a a ⎧∆≤⇔-≤⇔≥⎨>⎩.必修一（2）判断函数f(x)=(x －1)xx-+11的奇偶性为____________________【错解】偶函数.f(x)=(x -===，所以()()f x f x -===，所以f （x ）为偶函数.【正解】非奇非偶函数.y=f(x)的定义域为：(1)(1)01011101x x xx x x +-≥⎧+≥⇔⇔-≤<⎨-≠-⎩，定义域不关于原点对称，所以此函数为非奇非偶函数.1) 必修二（4）1l ，2l ，3l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） (A)12l l ⊥，23l l ⊥13//l l ⇒ （B ）12l l ⊥，3//l l ⇒13l l ⊥(C)123////l l l ⇒ 1l ，2l ，3l 共面 （D ）1l ，2l ，3l 共点⇒1l ，2l ，3l 共面 【错解】错解一：选A.根据垂直的传递性命题A 正确； 错解二：选C.平行就共面；【正确解答】选B.命题A 中两直线还有异面或者相交的位置关系；命题C 中这三条直线可以是三棱柱的三条棱，因此它们不一定共面；命题D 中的三条线可以构成三个两两相交的平面，所以它们不一定共面.必修五（5）x=ab 是a 、x 、b 成等比数列的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件 【错解】C.当.x=ab 时，a 、x 、b 成等比数列成立；当a 、x 、b 成等比数列时，x=ab 成立 .【正确解析】选D.若x=a=0，x=ab 成立，但a 、x 、b 不成等比数列， 所以充分性不成立；反之，若a 、x 、b成等比数列，则2x ab x =⇔=x=ab 不一定成立，必要性不成立.所以选D.排列组合（6）(1)把三枚硬币一起掷出，求出现两枚正面向上，一枚反面向上的概率. 分析:（1）【错解】三枚硬币掷出所有可能结果有2×2×2=8种，而出现两正一反是一种结果，故所求概率P=.81【正解】在所有的8种结果中，两正一反并不是一种结果，而是有三种结果：正、正、反，正、反、正，反、正、正，因此所求概率,83=P 上述错解在于对于等可能性事件的概念理解不清，所有8种结果的出现是等可能性的，如果把上述三种结果看作一种结果就不是等可能性事件了，应用求概率的基本公式n m P =自然就是错误的.公式理解与记忆不准（7）若1,0,0=+>>y x y x ，则yx41+的最小值为___________.【错解】 y x 41+8)2(14422=+≥≥y x xy ，错解原因是忽略等号成立条件. 【正解】yx 41+=945)(4≥++=+++yx xy yy x xy x（8）函数y=sin 4x+cos 4x －43的相位____________，初相为__________ .周期为_________，单调递增区间为____________.【错解】化简y=sin 4x+cos 4x －43=1cos 44x ，所以相位为4x ，初相为0，周期为2π，增区间为….【正确解析】y=sin 4x+cos 4x －43=11cos 4sin(4)442x x π=+.相位为42x π+，初相为2π，周期为2π，单调递增区间为21[,]()42k k k Z ππ-∈. 审题不严 （1）读题不清必修五（9）已知()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，1()()12x f x =+，则()f x 的反函数的图像大致是【错解】选B.因为1()2x y =在0x >内递减，且1()()12x f x =+过点（0，2），所以选B. 【正确解答】A .根据函数与其反函数的性质，原函数的定义域与值域同其反函数的值域、定义域相同.当10,0()1,122x x y ><<⇒<<，所以选A.或者首先由原函数过点（0，2），则其反函数过点（2，0），排除B 、C ；又根据原函数在0x >时递减，所以选A. 排列组合（10）一箱磁带最多有一盒次品.每箱装25盒磁带，而生产过程产生次品磁带的概率是0.01.则一箱磁带最多有一盒次品的概率是 .【错解】一箱磁带有一盒次品的概率240.01(10.01)⨯-，一箱磁带中无次品的概率25(10.01)-，所以一箱磁带最多有一盒次品的概率是240.01(10.01)⨯-+25(10.01)-.【正确解析】一箱磁带有一盒次品的概率124250.01(10.01)C ⋅⨯-，一箱磁带中无次品的概率02525(10.01)C ⋅-，所以一箱磁带最多有一盒次品的概率是124250.01(10.01)C ⋅⨯-+02525(10.01)C ⋅-.（2）忽视隐含条件必修一（11）设βα、是方程0622=++-k kx x 的两个实根，则22)1()1(-+-βα的最小值是（ ）不存在)D (18)C (8)B (449)A (-【错解】利用一元二次方程根与系数的关系易得：,6,2+==+k k αββα2222(1)(1)2121αβααββ∴-+-=-++-+2()22()2αβαβαβ=+--++23494().44k =--选A.【正确解析】利用一元二次方程根与系数的关系易得：,6,2+==+k k αββα2222(1)(1)2121αβααββ∴-+-=-++-+2()22()2αβαβαβ=+--++23494().44k =--Θ 原方程有两个实根βα、，∴0)6k (4k 42≥+-=∆ ⇒.3k 2k ≥-≤或当3≥k 时，22)1()1(-+-βα的最小值是8；当2-≤k 时，22)1()1(-+-βα的最小值是18.选B. 必修一(12)已知(x+2)2+ y 24=1, 求x 2+y 2的取值范围.【错解】由已知得 y 2=－4x 2－16x －12，因此 x 2+y 2=－3x 2－16x －12=－3(x+38)2+328， ∴当x=－83 时，x 2+y 2有最大值283 ，即x 2+y 2的取值范围是(－∞, 283].【正确解析】由已知得 y 2=－4x 2－16x －12，因此 x 2+y 2=－3x 2－16x －12=－3(x+38)2+328 由于(x+2)2+ y 24 =1 ⇒ (x+2)2=1－ y 24≤1 ⇒ －3≤x ≤－1，从而当x=－1时x 2+y 2有最小值1.∴ x 2+y 2的取值范围是[1, 283 ].（此题也可以利用三角函数和的平方等于一进行求解）必修一（13） 方程1122log (95)log (32)20x x ------=的解集为___________________- 【错解】111122222log (95)log (32)20log (95)log (32)log 40x x x x --------=⇔----=11111122log (95)log 4(32)954(32)(31)(33)0x x x x x x -------=-⇔-=-⇔--=1310x --=或1330x --=所以x=1或x=2.所以解集为{1，2}.【正解】111122222log (95)log (32)20log (95)log (32)log 40x x x x --------=⇔----=111111221954(32)log (95)log 4(32)3203302950x x x x x x x x -------⎧-=-⎪-=-⇔->⇔-=⇔=⎨⎪->⎩所以解集为{2}.字母意义含混不清（14）若双曲线22221x y a b -=-的离心率为54，则两条渐近线的方程为（ ）A.0916x y ±= B.0169x y ±= C.034x y ±= D.043x y±= 【错解】选D.22222222252593310416164443c c a b b b b x y e y x a a a a a a +==⇒===+⇒=⇒=±⇒=±⇒±=，选D. 【正确解析】2222222211x y y x a b b a-=-⇒-=，与标准方程中字母a,b 互换了.选C.4.运算错误（1）数字与代数式运算出错若)2,1(),7,5(-=-=b a ρρ，且（b a ρρλ+）b ρ⊥，则实数λ的值为____________.【错解】(5,72)a b λλλ+=--+r r ，则（b a ρρλ+）()052(72)03b a b b λλλλ⊥⇔+⋅=⇔-+-+=⇒=r r r r.【正确解析】(5,72)a b λλλ+=--+r r，（ba ρρλ+）19()052(72)05b a b b λλλλ⊥⇔+⋅=⇔-+-+=⇒=r r r r必修二18. 已知直线l 与点A （3，3）和B （5，2）的距离相等，且过二直线1l ：3x －y －1=0和2l：x+y－3=0的交点，则直线l的方程为_______________________【错解】先联立两直线求出它们交点为（1，2），设所求直线的点斜式，再利用A、B到12k=⇔=-，所以所求直线为x+2y-5=0.【正确解析】x-6y+11=0或x+2y-5=0.联立直线1l：3x－y－1=0和2l：x+y－3=0的方程得它们的交点坐标为（1，2），令过点（1，2）的直线l为：y-2=k(x-1)（由图形可看出直线l的斜率必然存在），11,62k k=⇔==-，所以直线l的方程为:x-6y+11=0或x+2y-5=0.（2）运算方法（如公式、运算程序或运算方向等）选择不当导致运算繁杂或不可能得解而出错必修二19. 已知圆(x－3)2+y2=4和直线y=mx的交点分别为P，Q两点，O为坐标原点，则OQOP⋅的值为.【运算繁杂的解法】联立直线方程y=mx与圆的方程(x－3)2+y2=4消y，得关于x的方程22(1)650m x x+-+=，令1122(,),(,)P x y Q x y，则12122265,11x x x xm m+=⋅=++，则221212251my y m x xm==+，由于向量OPuuu r与向量OQuuu r共线且方向相同，即它们的夹角为0，所以212122255511mOP OQ OP OQ x x y ym m⋅=⋅=+=+=++u u u r u u u r.【正确解析】根据圆的切割线定理，设过点O的圆的切线为OT（切点为T），由勾股定理，则222325OP OQ OT⋅==-=.（3）忽视数学运算的精确性，凭经验猜想得结果而出错曲线x2－122=y的右焦点作直线交双曲线于A、B两点，且4=AB，则这样的直线有___________条.【错解】4条.过右焦点的直线，与双曲线右支交于A、B时，满足条件的有上、下各一条（关于x轴对称）；与双曲线的左、右分别两交于A、B两点，满足条件的有上、下各一条（关于x 轴对称），所以共4条.【正解】过右焦点且与X 轴垂直的弦AB （即通径）为222241b a ⨯==，所以过右焦点的直线，与双曲线右支交于A 、B 时，满足条件的仅一条；与双曲线的左、右分别两交于A 、B 两点，满足条件的有上、下各一条（关于x 轴对称），所以共3条. 5.数学思维不严谨（1）数学公式或结论的条件不充分24.已知两正数x,y 满足x+y=1,则z=11()()x y x y++的最小值为 .【错解一】因为对a>0,恒有12a a +≥,从而z=11()()x y x y++≥4,所以z 的最小值是4.【错解二】22222()2x y xy z xy xy xy +-==+-≥21)-=，所以z 的最小值是1). 【正解】z=11()()x y x y ++=1y xxy xy x y+++=21()222x y xy xy xy xy xy xy +-++=+-，令t=xy, 则210()24x y t xy +<=≤=，由2()f t t t =+在10,4⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减,故当t=14时 2()f t t t =+有最小值334,所以当12x y ==时z 有最小值334.（2）以偏概全，重视一般性而忽视特殊情况必修一(1)不等式|x+1|(2x －1)≥0的解集为____________解析：（1）【错解】1[,)2+∞.因为|x+1|≥0恒成立，所以原不等式转化为2x-1≥0，所以1[,)2x ∈+∞【正确解析】}1{),21[-⋃+∞.原不等式等价于|x+1|=0或2x-1≥0，所以解集为1[,){1}2x ∈+∞⋃-.必修一(2)函数y =的定义域为 .(2) 【错解】10(1)(1)011x x x x x+≥⇒+-≥⇒≥-或1x ≤-.【正解】(1)(1)0(1)(1)010111011x x x x x x x x x+-≥+-≤⎧⎧+≥⇒⇒⇒-≤<⎨⎨-≠≠-⎩⎩（3）解题时忽视等价性变形导致出错 27.已知数列{}n a 的前n 项和12+=n n S ，求.n a【错解】 .222)12()12(1111----=-=+-+=-=n n n n n n n n S S a 【正确解析】当1=n 时，113a S ==，n 2≥时，1111(21)(21)222nn n n n n n n a S S ----=-=+-+=-=.所以13(1)2(2)n n n a n -⎧=⎪=⎨≥⎪⎩.选修实数a 为何值时，圆012222=-+-+a ax y x 与抛物线x y 212=有两个公共点. 【错解】 将圆012222=-+-+a ax y x 与抛物线 x y 212=联立，消去y ， 得 ).0(01)212(22≥=-+--x a x a x ①因为有两个公共点，所以方程①有两个相等正根，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->-=∆.01021202a a ， 解之得.817=a【正确解析】要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程①有一正根、一负根；或有两个相等正根.当方程①有一正根、一负根时，得⎩⎨⎧<->∆.0102a 解之，得.11<<-a因此，当817=a 或11<<-a 时，圆012222=-+-+a ax y x 与抛物线x y 212=有两个公共点.(1)设等比数列{}n a 的全n 项和为n S .若9632S S S =+，求数列的公比q .【错解】 ,2963S S S =+Θq q a q q a q q a --⋅=--+--∴1)1(21)1(1)1(916131， .012(363）＝整理得--q q q1q 24q ,0)1q )(1q 2(.01q q 20q 33336=-=∴=-+∴=--≠或得方程由.【正确解析】若1=q ，则有.9,6,3191613a S a S a S ===但01≠a ，即得,2963S S S ≠+与题设矛盾，故1≠q .又依题意 963S 2S S =+ ⇒ q q a q q a q q a --⋅=--+--1)1(21)1(1)1(916131 ⇒ 01q q 2(q 363）＝--,即,0)1)(12(33=-+q q 因为1≠q ，所以,013≠-q 所以.0123=+q 解得 .243-=q空间识图不准必修二直二面角α－l －β的棱l 上有一点A ，在平面α、β内各有一条射线AB ，AC 与l 成450，AB βα⊂⊂AC ,，则∠BAC= .【错解】如右图.由最小角定理，12221cos cos cos 23BAC BAC πθθ∠=⋅=⨯=⇒∠=. 【正确解析】3π或23π.如下图.当6CAF π∠=时，由最小角定理，时，12221cos cos cos 2223BAC BAC πθθ∠=⋅=⨯=⇒∠=；当AC 在另一边DA 位置23BAC π∠=.。

高三数学错题整理与解析在高三数学学习过程中，学生经常会遇到各种错题。

对于这些错题，我们需要进行仔细的整理与解析，以提高学生的数学水平。

本文将对高三数学错题进行整理分类，并给出详细的解答和解析。

一、代数与函数1. 题目：已知函数$f(x) = \frac{1}{x}$，求函数$f(f(x))$的表达式。

解析：将$f(x) = \frac{1}{x}$代入$f(f(x))$中，得到$f(f(x)) =\frac{1}{f(x)} = \frac{1}{\frac{1}{x}} = x$。

2. 题目：已知二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$的图像关于$x$轴对称，且顶点在直线$y = 2x + 1$上。

求$a$、$b$、$c$的值。

解析：由于图像关于$x$轴对称，所以顶点的纵坐标为0。

将顶点的横坐标代入直线方程$y = 2x + 1$中，得到$0 = 2x_0 + 1$，解得$x_0 = -\frac{1}{2}$。

将$x_0 = -\frac{1}{2}$代入二次函数$f(x)$中的横坐标，得到$a\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + b\left(-\frac{1}{2}\right) + c = 0$。

根据顶点坐标的性质，我们知道顶点的横坐标为$-\frac{b}{2a}$，因此$-\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2}$，解得$b = a$。

将$b = a$代入上述方程，得到$a\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + a\left(-\frac{1}{2}\right) + c = 0$，整理得$c = \frac{1}{4}$。

综上所述，$a = b$，$c = \frac{1}{4}$。

二、几何与三角学1. 题目：已知$\triangle ABC$中，$AB = 7$，$AC = 9$，$BC = 5$，$D$为边$BC$上一点，且$\angle BAD = \angle CAD$。

高中数学各章节关注点1.4 否定形式命题可考虑用逆否命题来研究．例1.4 已知R b a ∈,，则条件＂21≠≠b a 或＂是＂2≠ab ＂的 条件．1.5 “且”与“或”的区分．例1.5.1 判断真假：(1) 10232≠⇔≠+-x x x 或2≠x ；(2)33≥．例1.5.2 已知 013:1=+-y ax l ，01)21(:2=---ay x a l ，根据下列条件分别求a 的取值范围．(1) 21l l 与相交；(2) 21l l ⊥．2、函数2.1求函数关系式时必须包含定义域；对数问题也应注意定义域．例2.1 (1)在ABC ∆中，BC AC BC x AB ,3,4,===边上的中线长y AM =，求y 关于x 的函数关系式；(2)函数x x y ln 22-=的单调递增区间是 ．2.2 函数的零点问题通常利用函数图像．例2.2 (1)若函数m x x x y -+-=4423在区间），（251-有且只有一个零点，则实数m 的取值范围是 ；(2) 若函数m x x x y -+-=4423在区间），（251-至少有一个零点，则实数m 的取值范围是 ．例2.5.2 已知函数)(x f 是周期为2的周期函数，当20≤<x 时，13)(2+-=x x x f ，求当75<<x 时，函数)(x f 的表达式．2.6 关注二次函数二次项系数是否为零，注意∆、开口、对称轴与特殊值四要素．例2.6 (1)已知方程0)3(42=++-a x ax 有两个大于１的不等实根，求实数a 的取值范围； (2) 已知方程0)3(42=++-a x ax 至少有一个大于１的实根，求实数a 的取值范围．2.7 指对数的运算法则．例2.7 （1）已知02ln =+x ，求x ；（2）已知)00(02≠>=-a a a x且，求x ； （3）解不等式)10(2log <<->a x a ；（4）已知()1,12log 2log >>>b a b a ，求b a , 的大小关系．3、数列3.1 注意题中n 取值，如：⎩⎨⎧≥-==-2n ,S S 1,n ,S a 1n n1n 的公式应用．例3.1 (1)已知数列{}n a 的前n 项的和为）（+∈+-=N n n n S n 1322，求数列{}n a 的通项公式；(2) 已知数列{}n a 的前n 项的和为n S ，若),2(0321+-∈≥=+N n n a S S n n n ，又31=a ，求n a ；(3) 已知数列{}n a 的前n 项的和为n S ，若,)(31++∈=N n a S n n 又31=a ，求n a ．3.2 等比数列求和注意对q=1与q ≠1的分类；等比数列证明注意首项0a 1≠的说明．例3.2 (1) 若等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比1-≠q ．求证：n n n n n S S S S S 232,,--也成等比；(2) 若数列{}n a 中,)(23,411++∈-==N n a a a n n ．求证数列{}1-n a 是等比数列．3.3 求和：观察通项、 注意首项、 点清项数，并注意结果的验证．例3.3 求和nn S )2(8421-++-+-= ．3.4 应用性问题：逐步列式，保留原始数据，便于观察规律．例3.4 小王2012年5月向银行借款100万元用于购房，年利率7.8%，2013年5月开始偿还，每年还a 万元，2032年5月全部还清，求每年还款额a （其中2078.110≈）．3.5 等差数列、等比数列常用定义、公式或性质解决．例3.5.1 已知数列{}n a 的前n 项的和为n S ，42,293==S S ．(1)若数列{}n a 成等差，求12S ； (2) 若数列{}n a 成等比，求12S ．例3.5.2 已知等差数列{}n a 与{}n b 的前n 项的和分别为n n T S , , 若1423--=n n T S n n , 求2020b a ．3.6 数列与函数的单调性、最值研究的方法“区别”．例3.6 (1) 已知数列{}n a 的通项公式是nnn C a )31(2012⋅=，求数列{}n a 的最大项；(2)已知函数xex x f 2012)(-=，求函数)(x f 在区间),0(∞+上的最大值．3.7 熟练掌握利用错位相减法或裂项法进行数列求和． 例3.7 (1) 求和：n n n S )21)(12()21(7)21(5)21(321432--++-+-+-+-= ；(2) 求和：)12(753197531753153131++++++++++++++++=n S n ．(3) 求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+++)23(3522n n n n 的前n 项的和n T ．3.8 通常递推关系转化为“新数列”的思想运用． 例3.8 已知数列{}n a 中，311=a ,根据下列各递推公式，求数列的通项公式： （1） 131-=+n n a a ；（2）131+=+n nn a a a ；（3）()112++-=n n n n a a a a ；（4）nn n a a 331=+－．5.4 三角形问题应注意内角的判断一个或两个解．例5.4 (1) 在ABC ∆中，若32cos ,36sin ==B A , 求C sin ；(2) 在ABC ∆中，若3,31cos ,33sin ===a B A , 求边c 的长．5.5 熟练掌握正弦、余弦定理，面积公式．例5.5.1 在ABC ∆中， 面积32=S ，,6,600=+=c b A （1）求边a 的长； (2)求)(sin C B -．例5.5.2 在ABC ∆中, 三内角C B A ,,成等差数列 , 角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,, 外接圆半径为2 , 求22c a +的取值范围．6.5 熟练掌握不等式应用的两种题型.例6.5 (1) 已知+∈R y x ,，212=+yx ，求y x +的最小值；（2）已知c ax x f +=2)(，1)1(2≤≤-f ，4)2(0≤≤f ，求)3(f 的取值范围．7、直线和圆7.1 求直线问题注意斜率存在与不存在，掌握斜率变化与倾斜角变化的规律．例7.1 (1) 已知过点（０，１）的直线l 与圆)0()1(222>=++R R y x 交于B A ,两点，O 为坐标原点，若52<⋅<-OB OA ，求半径R 的取值范围；(2) 已知过点（－２，０）的直线l 与圆16)1(22=++y x 交于B A ,两点，O 为坐标原点，若1213-<⋅<-OB OA ，求直线l 的倾斜角取值范围．高中数学各章节关注点答案3.1解：(1) ⎩⎨⎧≥== 2.n ,5-4n ,1n ,0a n (2) ,0)(3211=-+--n n n n S S S S 32111=--n n S S ， 数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1是首项为31，公差为32的等差数列，所以3121-=n S n ，即123-=n S n ，从而得⎪⎩⎪⎨⎧≥---==.2,)32)(12(61,3n n n n a n ， (3) ,43111n n n n n n S S S S a S =⇒-==+++数列{}n S 是公比为4 , 首相为3的等比数列 ,所以143-⋅=n n S , 从而⎩⎨⎧≥⋅==-.2,49,1,32n n a n n 3.2解：(1)当公比1=q 时，,,,0123121na S S na S S na S n n n n n =-=-≠=结论成立；当公比1≠q 时，222212131123)1()1()1)1(1)1((1)1()(q q q a q q a q q a q q a S S S nn n n n n n n --=-----⋅--=-， 22221212122)1()1(1)1(1)1()(q q q a q q a q q a S S n n n n n n--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----=-， 1,0,01±≠≠≠q q a ，0)()(2322≠-=-∴n n n n n S S S S S ，结论成立．(2),)1(311-=-+n n a a 又0311≠=-a ，所以数列{}1-n a 是以3为首项,以3为公比的等比数列．3.3解： []11)2(131)2(1)2(1++--=----=n n n S ． 3.4解：201819%)8.71(100%)8.71(%)8.71(%)8.71(+=+++++++a a a a ，2020%)8.71(100%)8.71(1%)8.71(1+=+-+-⋅a ， 4.103078.0400=⨯≈a （万元）．3.5.1解：(1)由91269363,,,S S S S S S S ---成等差，得,)42(2)2(266S S -+=-166=S ，所以38912=-S S ，8012=∴S ．(2) 由91269363,,,S S S S S S S ---成等比，得,)42(2)2(626S S -=-86-=S 或106=S ，从而128912=-S S 或250912-=-S S ，所以17012=S 或20812-=S ．3.5.2解：利用等差数列求和公式n n a n S )12(12-=-得312315511539392020===T S b a ． 3.6解：(1)1)1(3201231!)2011(!)1(!2012!)2012(!!2012312012120121≥+-=⋅-+-=⋅=++n nn n n n C C a a n n n n ，得25.502≤n ，即12502503a a a a >>>> ， >>>505504503a a a ，所以数列{}n a 的最大项为5035032012503)31(C a =．(2)2013,02013)('==-=x exx f x得，函数↑∞+↑），（，），）在（（201320130x f ． 所以函数)(x f 在区间),0(∞+上的最大值是2013)2013-=ef （．3.7解：(1) 运用错位相减法，15432)21)(12()21)(32()21(7)21(5)21(3)21(21+--+--++-+-+-+-=-n n n n n S15432)21)(12(])21()21()21()21()21[(22123+----++-+-+-+-+-=n n n n S 1111)(12()21(13121)21)(12()21(1)21(141221+-+---⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-=---⎥⎦⎤⎢⎣⎡----⋅+-=n n n n n n n n )21(61661-++-=， nn n S )21(91691-++-=∴．(2) )211(21)2(1)12(7531+-=+=+++++n n n n n，⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++--++-+-+-+-=∴)211()1111()6141()5131()4121()311(21n n n n S n )2)(1(23243211121121+++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-+=n n n n n ． (3) )2(31)1(31)23(35212+-+=+++-n n n n n n n n,))2(31)1(31()531431()431331()33121(1322+-+++⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-=∴-n n T n n n)2(3121+-=n n ．4.9解：y x y x 32cos 2sin -=+,22)32()2(1y y -≥+,031252≤+-y y ,52165216+≤≤-y , ∴值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-5216,5216． 4.10解：321sin 121,21sin 23,1sin 21,326<+≤≤+<≤<∴≤<x x x x ππ， 所以1sin 43+-=x y 的值域为⎥⎦⎤ ⎝⎛1,31．4.11解: 2tan 11tan )4tan(=-+=+x x x π, 得31tan =x ． (1)原式671tan 32tan =++=x x ．(2)原式7201tan tan )1(tan 2)cos (sin cos sin )cos (sin 2222222-=--+=+-+=x x x x x x x x x ． 5.1 (1)51- 解析：CB AB AC AB CB BC AB CB AM ⋅-+=⋅+=⋅)](32[)32( 51)2716236(31231)()2(3122-=--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅+-=-⋅+=AC AB AC AB AC AB AC AB ．(2)42- 解析：以A 为原点，分别以AB ，AC 所在直线为x ，y 轴，建立直角坐标系，A （0，0），B （6，0），C （0，9），M （2，6），425412),9,6(,)6,2(-=-=⋅-==CB AM CB AM ．5.2解：(1)213,0372)2(1)1)(23(2-=-==++⇒-⋅=++x x x x x x x 或得． (2) 26,03201)23()1)(2(2±==-⇒=⋅+++-x x x x x 得． 5.3解：(1)错 解析：0应该为0．(2)错 解析：c b a )(⋅与向量c 共线 , )(c b a ⋅与向量a 共线． (3)错 解析：正确形式为AC BC AB =+；(4) 错 解析：正确形式为CB AC AB =-．5.4解：(1),,sin 35sin A B A B <∴<=33cos ±=∴A , B A B A B A C sin cos cos sin )(sin sin +=+= 9156235)33(3236±=±+⋅=． (2) 36cos ,,sin 322sin =∴>∴>=A A AB A B ，必为锐角角 ,935322363133sin cos cos sin )(sin sin =+⋅=+=+=B A B A B A C ； 由正弦定理得539353sin sin =⋅⋅==A C a c ．5.5.1解：(1) 83260sin 210=⇒==bc bc S ， 又，或22,4,6===∴=+b c b c b 4=c ，32,12cos 2222==-+=a A bc c b a ． (2) 当4,2==c b 时，由正弦定理，C B sin 4sin 260sin 320==，得1sin ,21sin ==C B ，23)sin(,90,3000-=-==C B C B ，同理当2,4==c b 时，23)sin(=-C B ． 5.5.2解：三角C B A ,,成等差060=⇔B , 由正弦定理42sin sin ===R CcA a , 所以[][])2240cos(2cos 28)120(sin sin 1602222A A A A c a ---=-+=+)602cos(8160+-=A , 由于001200<<A , 00030060260<+<A ,所以21)602cos(10<+≤-A , 从而241222≤+<c a ． 5.6.1 解: (1)真． (2)假．(3)假. 解析：正确的应是等腰三角形或直角三角形． 例5.6.2 (1) 若角A 为锐角, 则A A cos sin +的取值范围是 ； (2)若角A 为钝角, 则A A cos sin +的取值范围是 ．5.6.2 （1）(]2,1 解析：)45sin(2cos sin +=+A A A ，A 为锐角，900<<∴A ， 1354545<+<∴A ，1)45sin(22≤+<∴A ，即有2cos sin 1≤+<A A .． (2)()1,1- 解析: A 为钝角，即18090<<A ，22545135<+<∴A ，22)45sin(22<+<-∴ A ，即有1cos sin 1<+<-A A ． 6.1解：(1)027322132≥--=---x x x x x , 由此得解集[)⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+,372,0 ．6.4 1024或 解析：)52()(1+=-⋅x x x ，得0=x 或3-=x ，44224)42(222++=++=-x x x x ，40=-=x ；1023=--=x ．6.5 解:(1))223(21)2(321)12)((21+≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=++=+y x x y y x y x y x ， 即y x +的最小值为)223(21+． (2))1(35)2(389)3(,4)2(,)1(f f c a f c a f c a f -=+=+=+=；332)2(380≤≤f ，310)1(3535≤-≤-f ，14)3(35≤≤-∴f ．则当1=t 时，1=k ，当1≠t 时，0)3)(1(44,0)3(2)1(2≥---=∆=-+--t t t k k t ，得；2222+≤≤-t ，所以24322-<<-R ．综上所述，半径R 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛-24,0．(2) 当x l ⊥轴时，)15,2(-A ，)15,2(--B ，11-=⋅OB OA ，不合, 当l 与x 轴不垂直时，设直线)2(:+=x k y l 代入圆方程，得0154)12(2)1(2222=-++++k x k x k ,由韦达定理，222122211154,1)12(2kk x x k k x x +-=++-=+， 2212212212214)(2)1()2)(2(k x x k x x k x x k x x OB OA ++++=+++=⋅)12,13(1151141)12(41542222222--∈++-=+++--=kk k k k k k ，得312<<k , 13-<<-k 或31<<k ，所以直线l 倾斜角的范围是⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛43,323,4ππππ ．7.2解：圆心（－１，０）到直线的距离53=d ，所以5109235322=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=R ． 8.1.1解：(1)513解析：因为02=+FQ PF ,所以点Q 为线段PF 的中点, O 为原点，椭圆另一焦点为'F ,则OQ PF //', 4'=PF , 由椭圆定义：42-=a PF ,'PF PF PF OQ ⊥⇒⊥,由勾股定理；52)42(162=-+a , 得5=a , 所以椭圆的离心率513=e ． (2) 228- 解析：如图，椭圆左焦点)0,2(-F ， 右焦点即为B ，如图，由椭圆的定义得2288)(8-=-≥--=+AF PA PF PB PA ．8.1.2解： (1) 1622=+y x 解析：不妨设点P 在双曲线的右支上，设直线1与2PF 交于点Q ，O 为坐标原点，4221)(21)(21212122==⋅=-=-==a a PF PF PF PQ Q F OM ， 所以点M 的轨迹方程是1622=+y x ．(2) ２ 解析：抛物线的焦点()1,0F ，准线1:-=y l ，连AF 、BF ，设A 、B 、M 到准线l 的距离分别为1d 、2d 、d 则322221=≥+=+=AB BF AF d d d ， ∴点M 到x 轴的最近距离为2．8.2解：(1)9或964解析：当焦点在ｘ轴上时，3181=-m ，得9=m ；当焦点在ｙ轴上时，3181=-m ，得964=m ． (2) 3171--或 解析：当焦点在x 轴上时，7)28(2=+++n n ，得1-=n ；当焦点在y 轴上时，7)2()82(=--+--n n ，得317-=n ．(3) )161,0(a 解析：抛物线方程的标准式为y ax 412=．8.3解：(1)（基本轨迹法） 设)0,5(,)0,5(21F F -，动圆半径为R ，则31+=R PF ，12+=R PF ，221=-PF PF ，由双曲线定义，点P 的轨迹是以1F 、2F 为焦点的双曲线的一支，1=a ，24,52==b c ，它的轨迹方程是)1(12422≥=-y x y ． (2) (转移法) 设),(),,(00y x C y x G ，则3,300yy x x ==，即y y x x 3,300==，代入椭圆得1144)3(324)3(22=+y x ，又三角形中三点不共线，0≠∴x , 所以重心G 的轨迹方程是)0(1163622≠=+x y x ．8.4 解： )0,2()0,2(21F F -，当x PQ ⊥轴时, )3,2(,)3,2(-Q P ，12=S ； 当AB 与x 轴不垂直时, 设直线)0)(2(:≠-=k x k y PQ ,代入椭圆方程得0481616)43(2222=-+-+k x k x k ,设),(11y x P ,),(22y x Q , 则22212221434816,4316kk x x k k x x +-=+=+, 2222243)1(24431241k k k k k PQ ++=+++= , 点1F 到直线PQ 的距离 214kk d +=,由此得222222)43()1(484314821k k k k k k d PQ S ++=++== , 设t k =+243，其中3>t ，则232112t t S --=随t 的增大而增大，120<<S ， 所以PQ F 1∆面积S 的取值范围是(]12,0.(2)设直线2)1(:+-=x k y l ， 代入双曲线方程4422=-y x 得[]01)2(4)2(8)41(222=+-----k x k k x k ，[]0)543(161)2()41(16)2(6422222=+--=+--+-=∆k k k k k k ，得3192±-=k ， 双曲线的渐近线斜率为21±，如图，可知直线l 的斜率范围是)21,3192(---． 8.6解：)0,2(-F ,当x l ⊥轴时,)214,1(P ,)214,1(-Q ,不合． 设直线)1(:-=x k y l ，代入椭圆得0824)21(2222=-+-+k x k x k ,设),(11y x P ,),(22y x Q , 则 ,2142221kk x x +=+22212182k k x x +-=, 2212212212214))(1()1()1)(2()2)(2(k x x k x x k x x k x x FQ FP +++-++=--+++=⋅=2222222421)2(421)82)(1(k k k k k k k +++-++-+=02141122=+-k k ,得112±=k , 所以直线的方程为)1(112-±=x y ．9.1解：(1) 373)4242(433122=⋅⨯++=V ． (2)表面积ππππ425)41(4122=⋅++⋅+⋅=S ，体积ππ284)4161(31=⋅++=V ． 9.2解：(1)取AB 中点O ，连OC ，则AB PO ⊥，ABC PAB 面面⊥ ，ABC PO 面⊥∴， ABC PC PCO 与面就是∠∴所成的角，103010232tan 10232==∠==PCO OC PO ，，， 所以所求角的正切值为1030．。

高中数学36个常见易犯的错误，只供同学们参考。

1．在应用条件A∪B＝B，A∩B＝A 时，易忽略A是空集Φ的情况。

2．求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则，尤其是在与实际生活相联系的应用题中，判断两个函数是否是同一函数也要判断函数的定义域，求三角函数的周期时也应考虑定义域。

3．判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称,优先考虑定义域对称。

4．解对数不等式时，易忽略真数大于0、底数大于0且不等于1这一条件。

5．用判别式法求最值（或值域）时，需要就二次项系数是否为零进行讨论，易忽略其使用的条件，应验证最值。

6．用判别式判定方程解的个数（或交点的个数）时，易忽略讨论二次项的系数是否为0。

尤其是直线与圆锥曲线相交时更易忽略。

7．用均值定理求最值（或值域）时，易忽略验证“一正（几个数或代数式均是正数）二定（几个数或代数式的和或者积是定值）三等（几个数或代数式相等）”这一条件。

8．用换元法解题时，易忽略换元前后的等价性。

9．两个向量平行与与两条直线平行易混, 两个向量平行(也称向量共线)包含两个向量重合, 两条直线平行不包含两条直线重合。

10．求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”；单调区间不能用集合或不等式表示,而应用逗号连接多个区间。

11．用等比数列求和公式求和时，易忽略公比ｑ＝1的情况。

12．已知Sn求an 时, 易忽略n＝1的情况。

13．用直线的点斜式、斜截式设直线的方程时, 易忽略斜率不存在的情况；题目告诉截距相等时，易忽略截距为0的情况。

14. 求含系数的直线方程平行或者垂直的条件时，易忽略直线与x轴或者y轴平行的情况。

15．用到角公式时，易将直线L1、L2的斜率ｋ1、ｋ2的顺序弄颠倒；使用到角公式或者夹角公式时，分母为零不代表无解，而是两直线垂直。

16．在做应用题时, 运算后的单位要弄准，不要忘了“答”及变量的取值范围；在填写填空题中的应用题的答案时, 不要忘了单位。

高二数学中常见的错题整理与总结在高二数学学习的过程中，我们常常会遇到各种各样的题目，有些题目容易出错，而这些错题常常会给我们带来不少困扰。

为了帮助同学们更好地掌握数学知识，下面将对高二数学中常见的错题进行整理与总结。

一、函数与方程1. 错题：求函数的定义域时未考虑到分母为零的情况。

解析：在求函数的定义域时，我们需要注意到分母不能为零的情况。

例如对于函数$f(x) = \frac{1}{x}$，我们需要考虑$x \neq 0$的限制条件。

2. 错题：未正确运用反函数的概念。

解析：在解题过程中，有时我们需要运用到函数的反函数。

反函数是指将函数的自变量和因变量对调得到的新函数。

我们应该熟练掌握反函数的相关性质和运算法则，灵活运用。

3. 错题：未正确运用函数复合的定义。

解析：函数复合是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入。

在运用函数复合的时候，我们需要仔细审题，注意变量的替换和运算的顺序。

二、几何1. 错题：未正确运用正弦定理和余弦定理。

解析：正弦定理和余弦定理是几何学中非常重要的定理，它们可以用来求解三角形的边长和角度。

在应用这两个定理时，我们需要注意各个边和角之间的对应关系，正确设置等式并解方程，避免混淆。

2. 错题：误将两条直线的交点记错。

解析：在求解几何问题时，有时我们需要找到两条直线的交点。

这时我们需要仔细观察题目中直线的方程，运用代数方法求解交点的坐标，注意计算过程的准确性。

三、概率与统计1. 错题：在计算概率时未正确列出样本空间。

解析：计算概率时，我们需要先确定样本空间，即所有可能的结果组成的集合。

未正确列出样本空间会导致后续计算的错误。

2. 错题：未正确理解独立事件和互斥事件的概念。

解析：独立事件是指一个事件发生与否不会影响另一个事件的发生与否，互斥事件是指两个事件不能同时发生。

在解题时，我们需要明确这两个概念，根据题目的要求判断事件之间的关系，正确计算概率。

四、导数与微分1. 错题：计算导数时未正确应用基本求导公式。

高中数学典型易错题大集分析与解答大全（12个易错点）
高中数学不仅仅是要从基础打好，要有效的提高成绩，还得不断的汇总起来自己的错题本！
错题本是提高学习成绩的最有效办法。

从错题入手，不断的培养良好学习态度和习惯，当然，最大的作用是不断的帮助这类题型，这类基础查漏补缺，深入完善自己欠缺点！尤其是学习基础差、成绩差的同学就更适用！
下面以函数的定义域及值域这个知识点为例
这类题型很普遍，但是考生很容易丢分！
易错点1没有理解掌握已知原函数求复合函数的定义域的方法
易错点2没有理解掌握已知复合函数的定义域求原函数的定义域的方法
易错点3根式化简错误导致同一函数判断出错
易错点4求复合函数的定义域时漏掉了对数函数的限制条件
易错点5误认为函数的最值总是在函数图像的端点取得
易错点6求函数的最值时忽略了函数的定义域
易错点7讨论对数函数的最值没有对底数分类讨论
易错点8消元时忽略了等式中的隐含条件
易错点9当二次函数的对称轴与函数的定义域的端点位置不确定时没有分类讨论
易错点10数形结合分析时忽略了对函数定义域的研究考虑
易错点11审题粗心大意没有看清部分小条件
易错点12数形结合分析数学问题时没有进行动态的分析。

高考题易错系列数学常见易错题解析高考数学常见易错题解析在高考数学中，有一些题目常常让考生感到头疼。

这些题目看似简单，却隐藏着一些易错点，需要我们加以留意。

下面我将针对一些常见易错题进行解析，希望能帮助大家更好地备考。

1.分数的化简：在做分数题时，考生往往容易忽略化简的环节，导致最后答案错误。

常见的化简错误有两种情况。

第一种情况是没有将分子与分母进行约分，例如：$\frac{6}{12}$没有化简为$\frac{1}{2}$。

第二种情况是计算出结果后没有化简，例如：$\frac{2}{3} +\frac{3}{4}$计算出$\frac{17}{12}$，但没有进一步化简为$\frac{4}{3}$。

因此，在做题过程中，我们要时刻注意分数的化简，确保最后的答案是最简形式。

2.角度与弧度的转换：在高考数学中，经常会涉及到角度与弧度的转换问题。

考生在这方面容易出错的原因是没有正确掌握转换公式。

将角度转换为弧度时，需要记住公式：$弧度 = \frac{角度 \times\pi}{180}$。

将弧度转换为角度时，需要记住公式：$角度 = \frac{弧度 \times 180}{\pi}$。

掌握了正确的转换公式，在做相关题目时就能够避免出错。

3.错位相乘：错位相乘是高中数学中常见的易错点之一。

某些题目在计算过程中需要应用错位相乘，但考生往往会忽略或者不熟悉这一方法。

例如，计算$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}$时，常常会计算出$\frac{ac}{bd}$，而忽略了错位相乘的规则。

正确的计算方法是将分子$a$与分母$d$相乘，以及分子$c$与分母$b$相乘，得到$\frac{ad}{bd}$，然后化简为最简形式。

因此，掌握错位相乘的方法，能够帮助我们在解题过程中避免出错。

4.函数的定义域与值域：在函数题中，很多考生对函数的定义域与值域容易混淆，导致答案错误。

函数的定义域是指能够使函数有意义的自变量的取值范围，需要注意排除使函数无意义的值。

高中数学易错点梳理一、集合与简易逻辑易错点1 对集合表示方法理解存在偏差【问题】1: 已知A = {x | x > 0}, B = {y y > 1}，求A B 。

错解：A B =Φ剖析：概念模糊，未能真正理解集合的本质。

正确结果：A B =B【问题】2: 已知A = {y | y =x + 2}, B = {(x, y) | x 2 +y 2 = 4} ，求A B 。

错解： A B = {(0, 2), (-2, 0)}正确答案：A B =Φ剖析：审题不慎，忽视代表元素，误认为A 为点集。

反思：对集合表示法部分学生只从形式上“掌握”，对其本质的理解存在误区，常见的错误是不理解集合的表示法，忽视集合的代表元素。

易错点2 在解含参数集合问题时忽视空集【问题】: 已知A = {x | 2a <x <a 2}, B = {x | -2 <x < 1} ，且A ⊆B ，求a 的取值范围。

错解：[-1，0）剖析：忽视A =∅的情况。

正确答案：[-1，2]反思：由于空集是一个特殊的集合，它是任何集合的子集，因此对于集合A ⊆B 就有可能忽视了A =∅，导致解题结果错误。

尤其是在解含参数的集合问题时，更应注意到当参数在某个范围内取值时，所给的集合可能是空集的情况。

考生由于思维定式的原因，往往会在解题中遗忘了这个集合，导致答案错误或答案不全面。

易错点3 在解含参数问题时忽视元素的互异性【问题】: 已知1∈{ a + 2 , (a +1)2 , a2 + 3a +3 }，求实数a 的值。

错解：a =-2, -1, 0剖析：忽视元素的互异性，其实当a =-2 时，(a +1)2 = a2 + 3a + 3 =1；当a =-1时，a + 2 = a2 + 3a + 3 =1；均不符合题意。

正确答案：a = 0反思：集合中的元素具有确定性、互异性、无序性，集合元素的三性中的互异性对解题的影响最大，特别是含参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。

高中数学易错题一．选择题（共6小题）1．已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=3，P是AB上一点，则点P到AC，BC的距离乘积的最大值是（）A．2B．3C．4D．52．在△ABC中，边AB=，它所对的角为15°，则此三角形的外接圆直径为（）A．缺条件，不能求出B．C．D．3．在△ABC中，边a，b，c分别为3、4、5，P为△ABC内任一点，点P到三边距离之和为d，则d的取值范围是（）A．3＜d＜4 B．C．D．4．在平面直角坐标系xoy中，已知△ABC的顶点A（﹣6，0）和C（6，0），顶点B在双曲线的左支上，则等于（）A．B．C．D．5．（2009•闸北区二模）过点A（1，﹣2），且与向量平行的直线的方程是（）A．4x﹣3y﹣10=0 B．4x+3y+10=0 C．3x+4y+5=0 D．3x﹣4y+5=06．（2011•江西模拟）下面命题：①当x＞0时，的最小值为2；②过定点P（2，3）的直线与两坐标轴围成的面积为13，这样的直线有四条；③将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，可以得到函数y=sin（2x﹣）的图象；④已知△ABC，∠A=60°，a=4，则此三角形周长可以为12．其中正确的命题是（）A．①②④B．②④C．②③D．③④二．填空题（共10小题）7．Rt△ABC中，AB为斜边，•=9，S△ABC=6，设P是△ABC（含边界）内一点，P到三边AB，BC，AC的距离分别为x，y，z，则x+y+z的取值范围是_________．8．（2011•武进区模拟）在△ABC中，，且△ABC的面积S=asinC，则a+c的值=_________．9．锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．边长a，b是方程的两个根，且，则c边的长是_________．10．已知在△ABC中，，M为BC边的中点，则|AM|的取值范围是_________．11．一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为_________．12．三角形ABC中，若2，且b=2，一个内角为300，则△ABC的面积为_________．13．△ABC中，AB=AC，，则cosA的值是_________．14．（2010•湖南模拟）已知点P是边长为2的等边三角形内一点，它到三边的距离分别为x、y、z，则x、y、z 所满足的关系式为_________．15．（2013•东莞二模）如图，已知△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，AD切⊙O于A，若∠ABC=30°，AC=2，则AD的长为_________．16．三角形ABC中，三个内角B，A，C成等差数列，∠B=30°，三角形面积为，则b=_________．三．解答题（共12小题）17．在△ABC中，AC=b，BC=a，a＜b，D是△ABC内一点，且AD=a，∠ADB+∠C=π，问∠C为何值时，四边形ABCD的面积最大，并求出最大值．18．（2010•福建模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，．（1）求sinC；（2）若c=2，sinB=2sinA，求△ABC的面积．19．已知外接圆半径为6的△ABC的边长为a、b、c，角B、C和面积S满足条件：S=a2﹣（b﹣c）2和sinB+sinC=（a，b，c为角A，B，C所对的边）（1）求sinA；（2）求△ABC面积的最大值．20．（2010•东城区模拟）在△ABC中，A，B，C是三角形的三个内角，a，b，c是三个内角对应的三边，已知b2+c2﹣a2=bc．（1）求角A的大小；（2）若sin2B+sin2C=2sin2A，且a=1，求△ABC的面积．21．小迪身高1.6m，一天晚上回家走到两路灯之间，如图所示，他发现自己的身影的顶部正好在A路灯的底部，他又向前走了5m，又发现身影的顶部正好在B路灯的底部，已知两路灯之间的距离为10m，（两路灯的高度是一样的）求：（1）路灯的高度．（2）当小迪走到B路灯下，他在A路灯下的身影有多长？22．（2008•徐汇区二模）在△ABC中，已知．（1）求AB；（2）求△ABC的面积．23．在△ABC中，已知．（1）求出角C和A；（2）求△ABC的面积S；（3）将以上结果填入下表．C A S情况①情况②24．（2007•上海）通常用a、b、c表示△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C所对边的边长，R表示△ABC外接圆半径．（1）如图所示，在以O为圆心，半径为2的⊙O中，BC和BA是⊙O的弦，其中BC=2，∠ABC=45°，求弦AB 的长；（2）在△ABC中，若∠C是钝角，求证：a2+b2＜4R2；（3）给定三个正实数a、b、R，其中b≤a，问：a、b、R满足怎样的关系时，以a、b为边长，R为外接圆半径的△ABC 不存在，存在一个或两个（全等的三角形算作同一个）？在△ABC存在的情况下，用a、b、R表示c．25．（2010•郑州二模）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，=（2b﹣c，cosC），=（a，cosA），且∥．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求2cos2B+sin（A﹣2B）的最小值．26．在△ABC中，A、B、C是三角形的内角，a、b、c是三内角对应的三边，已知，．（1）求∠A；（2）求△ABC的面积S．27．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且（2a+c）cosB+bcosC=0．（Ⅰ）求角B的值；（Ⅱ）若a+c=4，求△ABC面积S的最大值．28．已知△ABC的外接圆半径，a、b、C分别为∠A、∠B、∠C的对边，向量，，且．（1）求∠C的大小；（2）求△ABC面积的最大值．高中数学易错题参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=3，P是AB上一点，则点P到AC，BC的距离乘积的最大值是（）A．2B．3C．4D．5考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：设点P到AC，BC的距离分别是x和y，最上方小三角形和最大的那个三角形相似，它们对应的边有此比例关系，进而求得x和y的关系式，进而表示出xy的表达式，利用二次函数的性质求得xy的最大值．解答：解：如图，设点P到AC，BC的距离分别是x和y，最上方小三角形和最大的那个三角形相似，它们对应的边有此比例关系，即=4，所以4x=12﹣3y，y=，求xy最大，也就是那个矩形面积最大．xy=x•=﹣•（x2﹣3x），∴当x=时，xy有最大值3故选B．点评：本题主要考查了三角函数的几何计算．解题的关键是通过题意建立数学模型，利用二次函数的性质求得问题的答案．2．在△ABC中，边AB=，它所对的角为15°，则此三角形的外接圆直径为（）A．缺条件，不能求出B．C．D．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：直接利用正弦定理，两角差的正弦函数，即可求出三角形的外接圆的直径即可．解答：解：由正弦定理可知：====．故选D．点评：本题是基础题，考查三角形的外接圆的直径的求法，正弦定理与两角差的正弦函数的应用，考查计算能力．3．在△ABC中，边a，b，c分别为3、4、5，P为△ABC内任一点，点P到三边距离之和为d，则d的取值范围是（）A．3＜d＜4 B．C．D．考点：三角形中的几何计算．专题：数形结合；转化思想．分析：画出图形，利用点到直线的距离之间的转化，三角形两边之和大于第三边，求出最小值与最大值．解答：解：由题意△ABC中，边a，b，c分别为3、4、5，P为△ABC内任一点，点P到三边距离之和为d，在图（1）中，d=CE+PE+PF＞CD==，在图（2）中，d=CE+EP+FP＜CE+EG＜AC=4；∴d的取值范围是；故选D．点评：本题是中档题，考查不等式的应用，转化思想，数形结合，逻辑推理能力，注意，P为△ABC内任一点，不包含边界．4．在平面直角坐标系xoy中，已知△ABC的顶点A（﹣6，0）和C（6，0），顶点B在双曲线的左支上，则等于（）A．B．C．D．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：由题意可知双曲线的焦点坐标就是A，B，利用正弦定理以及双曲线的定义化简即可得到答案．解答：解：由题意可知双曲线的焦点坐标就是A，B，由双曲线的定义可知BC﹣AB=2a=10，c=6，===；故选D．点评：本题是基础题，考查双曲线的定义，正弦定理的应用，考查计算能力，常考题型．5．（2009•闸北区二模）过点A（1，﹣2），且与向量平行的直线的方程是（）A．4x﹣3y﹣10=0 B．4x+3y+10=0 C．3x+4y+5=0 D．3x﹣4y+5=0考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：通过向量求出直线的斜率，利用点斜式方程求出最新的方程即可．解答：解：过点A（1，﹣2），且与向量平行的直线的斜率为﹣，所以所求直线的方程为：y+2=﹣（x﹣1），即：3x+4y+5=0．故选C．点评：本题是基础题，考查直线方程的求法，注意直线的方向向量与直线的斜率的关系，考查计算能力．6．（2011•江西模拟）下面命题：①当x＞0时，的最小值为2；②过定点P（2，3）的直线与两坐标轴围成的面积为13，这样的直线有四条；③将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，可以得到函数y=sin（2x﹣）的图象；④已知△ABC，∠A=60°，a=4，则此三角形周长可以为12．其中正确的命题是（）A．①②④B．②④C．②③D．③④考点：三角形中的几何计算；恒过定点的直线．专题：应用题．分析：①由于基本不等式等号成立的条件不具备，故的最小值大于2，故①不正确．②设过定点P（2，3）的直线的方程，求出它与两坐标轴的交点，根据条件可得4k2+14k+9=0，或4k2﹣38k+9=0．而这两个方程的判别式都大于0，故每个方程都有两个解，故满足条件的直线有四条．③将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，可以得到函数y﹣sin（2x﹣）的图象，故③不正确．④若△ABC中，∠A=60°，a=4，则此三角形周长可以为12，此时，三角形是等边三角形．解答：解：①∵≥2=2，（当且仅当x=0时，等号成立），故当x＞0时，的最小值大于2，故①不正确．②设过定点P（2，3）的直线的方程为y﹣3=k（x﹣2），它与两坐标轴的交点分别为（2﹣，0），（0，3﹣2k），根据直线与两坐标轴围成的面积为13=，化简可得4k2+14k+9=0，或4k2﹣38k+9=0．而这两个方程的判别式都大于0，故每个方程都有两个解，故满足条件的直线有四条，故②正确．③将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，可以得到函数y=cos2（x﹣）=sin[﹣（2x﹣）]=sin（）=﹣sin（2x﹣）的图象，故③不正确．④已知△ABC，∠A=60°，a=4，则此三角形周长可以为12，此时，三角形是等边三角形，故④正确．故选B．点评：本题基本不等式取等号的条件，过定点的直线，三角函数的图象变换，诱导公式的应用，检验基本不等式等号成立的条件，是解题的易错点．二．填空题（共10小题）7．Rt△ABC中，AB为斜边，•=9，S△ABC=6，设P是△ABC（含边界）内一点，P到三边AB，BC，AC的距离分别为x，y，z，则x+y+z的取值范围是[，4]．考点：向量在几何中的应用；三角形中的几何计算．专题：综合题．分析：设三边分别为a，b，c，利用正弦定理和余弦定理结合向量条件利用三角形面积公式即可求出三边长．欲求x+y+z的取值范围，利用坐标法，将三角形ABC放置在直角坐标系中，通过点到直线的距离将求x+y+z的范围转化为，然后结合线性规划的思想方法求出范围即可．解答：解：△ABC为Rt△ABC，且∠C=90°，设三角形三内角A、B、C对应的三边分别为a，b，c，∵（1）÷（2），得，令a=4k，b=3k（k＞0）则∴三边长分别为3，4，5．以C为坐标原点，射线CA为x轴正半轴建立直角坐标系，则A、B坐标为（3，0），（0，4），直线AB方程为4x+3y﹣12=0．设P点坐标为（m，n），则由P到三边AB、BC、AB的距离为x，y，z．可知，且，故，令d=m+2n，由线性规划知识可知，如图：当直线分别经过点A、O时，x+y+z取得最大、最小值．故0≤d≤8，故x+y+z的取值范围是．故答案为：[]．点评：本题主要考查了解三角形中正弦定理、余弦定理、平面向量数量积的运算、简单线性规划思想方法的应用，综合性强，难度大，易出错．8．（2011•武进区模拟）在△ABC中，，且△ABC的面积S=asinC，则a+c的值=4．考点：二倍角的余弦；三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：首先根据三角形的面积公式求出b的值，然后将所给的式子写成+=3进而得到acosC+ccosA+a+c=6，再根据在三角形中acosC+ccosA=b=2，即可求出答案．解答：解：∵S=absinC=asinC∴b=2∴acos2+ccos2=3∴+=3即a（cosC+1）+c（cosA+1）=6∴acosC+ccosA+a+c=6∵acosC+ccosA=b=2∴2+a+c=6∴a+c=4故答案为：4．点评：本题考查了二倍角的余弦以及三角形中的几何运算，解题的关键是巧妙的将所给的式子写成+=3的形式，属于中档题．9．锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．边长a，b是方程的两个根，且，则c边的长是．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：先根据求得sin（A+B）的值，进而求得sinC的值，根据同角三角函数的基本关系求得cosC，根据韦达定理求得a+b和ab的值，进而求得a2+b2，最后利用余弦定理求得c的值．解答：解：∵，∴sin（A+B）=∴sinC=sin（π﹣A﹣B）=sin（A+B）=∴cosC==∵a，b是方程的两根∴a+b=2，ab=2，∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=8∴c===故答案为：点评：本题主要考查了三角形中的几何计算，余弦定理的应用，韦达定理的应用．考查了考生综合运用基础知识的能力．10．已知在△ABC中，，M为BC边的中点，则|AM|的取值范围是．考点：三角形中的几何计算；正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：构造以BC为正三角形的外接圆，如图满足，即可观察推出|AM|的取值范围．解答：解：构造以BC为正三角形的外接圆，如图，显然满足题意，由图可知红A处，|AM|值最大为，A与B（C）接近时|AM|最小，所以|AM|∈．故答案为：．点评：本题考查三角形中的几何计算，构造法的应用，也可以利用A的轨迹方程，两点减距离公式求解．11．一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为2．考点：棱柱的结构特征；三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：由于正三棱柱的底面ABC为等边三角形，我们把一个等腰直角三角形DEF的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，结合图形的对称性可得，该三角形的斜边EF上的中线DG的长等于底面三角形的高，从而得出等腰直角三角形DEF的中线长，最后得到该三角形的斜边长即可．解答：解：一个等腰直角三角形DEF的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，∠EDF=90°，已知正三棱柱的底面边长为AB=2，则该三角形的斜边EF上的中线DG=，∴斜边EF的长为2．故答案为：2．点评：本小题主要考查棱柱的结构特征、三角形中的几何计算等基础知识，考查空间想象力．属于基础题．12．三角形ABC中，若2，且b=2，一个内角为300，则△ABC的面积为1或．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：先利用2，转化得到2acosB=c；再借助于余弦定理得a=b=2；再分∠A=30°以及∠C=30°两种情况分别求出对应的面积．解答：解：因为2，转化为边长和角所以有2acosB=c可得：cosB==⇒a2=b2⇒a=b=2．当∠A=30°=∠B时，∠C=120°，此时S△ABC=×2×2×sinC=；当∠C=30°时，∠A=∠B=75°，此时S△ABC=×2×2×sinC=1．故答案为：或1．点评：本题主要考查余弦定理的应用以及三角形中的几何计算．解决本题的关键在于利用2，转化得到2acosB=c；再借助于余弦定理得a=b=2．13．△ABC中，AB=AC，，则cosA的值是．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：根据AB=AC可推断出B=C，进而利用三角形内角和可知cosA=cos（π﹣2B）利用诱导公式和二倍角公式化简整理，把cosB的值代入即可．解答：解：∵AB=AC，∴B=C∴cosA=cos（π﹣2B）=cos2B=2cos2B﹣1=﹣1=﹣故答案为：﹣点评：本题主要考查了三角形中的几何计算，二倍角公式的应用．考查了学生综合运用三角函数基础知识的能力．14．（2010•湖南模拟）已知点P是边长为2的等边三角形内一点，它到三边的距离分别为x、y、z，则x、y、z 所满足的关系式为x+y+z=3．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：设等边三角形的边长为a，高为h将P与三角形的各顶点连接，进而分别表示出三角形三部分的面积，相加应等于总的面积建立等式求得x+y+z的值．解答：解：设等边三角形的边长为a，高为h将P与三角形的各顶点连接根据面积那么：ax+ay+az=ah所以x+y+z=h因为等边三角形的边长为2，所以高为h=3所以x．y．z所满足的关系是为：x+y+z=3故答案为：3点评：本题主要考查了三角形中的几何计算．考查了学生综合分析问题的能力和转化和化归的思想．15．（2013•东莞二模）如图，已知△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，AD切⊙O于A，若∠ABC=30°，AC=2，则AD的长为．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：根据已知可得△AOC是等边三角形，从而得到OA=AC=2，则可以利用勾股定理求得AD的长．解答：解：（2）∵OA=OC，∠AOC=60°，∴△AOC是等边三角形，∴OA=AC=2，∵∠OAD=90°，∠D=30°，∴AD=•AO=．故答案为：．点评：本题考查和圆有关的比例线段，考查同弧所对的圆周角等于弦切角，本题在数据运算中主要应用含有30°角的直角三角形的性质，本题是一个基础题．16．三角形ABC中，三个内角B，A，C成等差数列，∠B=30°，三角形面积为，则b=．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：先利用三个内角成等差数列求得A，根据，∠B=30°求得C，然后利用tan30°=表示出a，代入三角形面积公式求得b．解答：解：三角形ABC中，三个内角A，B，C成等差数列A+B+C=3A=180°∴∠A=60°∵∠A=30°，∴C=90S=ab=∵tan30°=∴a=∴b=故答案为：点评：本题主要考查了三角形的几何计算．考查了学生基础知识综合运用的能力．三．解答题（共12小题）17．在△ABC中，AC=b，BC=a，a＜b，D是△ABC内一点，且AD=a，∠ADB+∠C=π，问∠C为何值时，四边形ABCD的面积最大，并求出最大值．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：设出BD，利用余弦定理分别在△ABC，△ABD中表示出AB，进而建立等式求得b﹣x=2acosC代入四边形ABCD的面积表达式中，利用正弦函数的性质求得问题的答案．解答：解：设BD=x，则由余弦定理可知b2+a2﹣2abcosC=AB2=a2+x2+2axcosC∴b﹣x=2acosC．∵S=（absinC）﹣（axsinC）=a（b﹣x）sinC=a2•sin2C，∴当C=时，S有最大值．点评：本题主要考查了三角形的几何计算．注意灵活利用正弦定理和余弦定理以及其变形公式．18．（2010•福建模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，．（1）求sinC；（2）若c=2，sinB=2sinA，求△ABC的面积．考点：三角形中的几何计算；二倍角的正弦．专题：计算题．分析：（1）利用同角三角函数关系及三角形内角的范围可求；（2）利用正弦定理可知b=2a，再利用余弦定理，从而求出a、b的值，进而可求面积．解答：解：（1）由题意，，∴（2）由sinB=2sinA可知b=2a，又22=a2+b2﹣2abcosC，∴a=1，b=2，∴点评：此题考查学生灵活运用三角形的面积公式，灵活运用正弦、余弦定理求值，是一道基础题题．19．已知外接圆半径为6的△ABC的边长为a、b、c，角B、C和面积S满足条件：S=a2﹣（b﹣c）2和sinB+sinC=（a，b，c为角A，B，C所对的边）（1）求sinA；（2）求△ABC面积的最大值．考点：三角形中的几何计算；正弦定理的应用；余弦定理的应用．专题：计算题；综合题．分析：（1）由三角形的面积公式，结合余弦定理求出的值，进而有sinA=．（2）利用，结合正弦定理，求出b+c的值，利用三角形的面积公式和基本不等式求出面积的最大值．解答：解：（1）得进而有（2）∵，∴即所以故当b=c=8时，S最大=．点评：本题是中档题，考查三角函数的化简，正弦定理、余弦定理的应用，三角形的面积公式以及基本不等式的应用，考查计算能力，逻辑推理能力．20．（2010•东城区模拟）在△ABC中，A，B，C是三角形的三个内角，a，b，c是三个内角对应的三边，已知b2+c2﹣a2=bc．（1）求角A的大小；（2）若sin2B+sin2C=2sin2A，且a=1，求△ABC的面积．考点：三角形中的几何计算；正弦定理．专题：计算题．分析：（1）利用余弦定理和题设等式求得cosA的值，进而求得A．（2）利用正弦定理把题设中的正弦转化成边的关系，进而求得bc的值，最后利用三角形面积公式求得答案．解答：解：（1）因为b2+c2﹣a2=2bccosA=bc所以所以（2）因为sin2B+sin2C=2sin2A所以b2+c2=2a2=2因为b2+c2﹣a2=bc所以bc=1所以=点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．注意挖掘题设中关于边，角问题的联系．21．小迪身高1.6m，一天晚上回家走到两路灯之间，如图所示，他发现自己的身影的顶部正好在A路灯的底部，他又向前走了5m，又发现身影的顶部正好在B路灯的底部，已知两路灯之间的距离为10m，（两路灯的高度是一样的）求：（1）路灯的高度．（2）当小迪走到B路灯下，他在A路灯下的身影有多长？考点：三角形中的几何计算．专题：综合题．分析：（1）由题意画出简图，设CN=x，则QD=5﹣x，路灯高BD为h，利用三角形相似建立方程解德；（2）由题意当小迪移到BD所在线上（设为DH），连接AH交地面于E，则DE长即为所求的影长，利用三角形相似建立方程求解即可．解答：解：如图所示，设A、B为两路灯，小迪从MN移到PQ，并设C、D分别为A、B灯的底部．由题中已知得MN=PQ=1.6m，NQ=5m，CD=10m（1）设CN=x，则QD=5﹣x，路灯高BD为h∵△CMN∽△CBD，即⇒又△PQD∽△ACD即⇒由①②式得x=2.5m，h=6.4m，即路灯高为6.4m．（2）当小迪移到BD所在线上（设为DH），连接AH交地面于E．则DE长即为所求的影长．∵△DEH∽△CEA⇒⇒解得DE=m，即他在A路灯下的身影长为m．点评：此题考查了学生理解题意的能力，还考查了利用三角形相似及方程思想求解变量及学生的计算能力．22．（2008•徐汇区二模）在△ABC中，已知．（1）求AB；（2）求△ABC的面积．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：（1）求AB长，关键是求sinB，sinC，利用已知条件可求；（2）根据三角形的面积公式，故关键是求sinA的值，利用sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC可求解答：解：（1）设AB、BC、CA的长分别为c、a、b，，∴，∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）因为．∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）故所求面积﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）点评：本题的考点是三角形的几何计算，主要考查正弦定理得应用，考查三角形的面积公式，关键是正确记忆公式，合理化简．23．在△ABC中，已知．（1）求出角C和A；（2）求△ABC的面积S；（3）将以上结果填入下表．C A S情况①情况②考点：三角形中的几何计算．专题：计算题；分类讨论．分析：（1）先根据正弦定理以及大角对大边求出角C，再根据三角形内角和为180°即可求出角A．（2）分情况分别代入三角形的面积计算公式即可得到答案；（3）直接根据前两问的结论填写即可．解答：解：（1）∵，…（2分）∵c＞b，C＞B，∴C=60°，此时A=90°，或者C=120°，此时A=30°…（2分）（2）∵S=bcsinA∴A=90°，S=bcsinA=；A=30°，S=bcsinA=．…（2分）（3）点评：本题主要考查三角形中的几何计算．解决本题的关键在于根据正弦定理以及大角对大边求出角C．24．（2007•上海）通常用a、b、c表示△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C所对边的边长，R表示△ABC外接圆半径．（1）如图所示，在以O为圆心，半径为2的⊙O中，BC和BA是⊙O的弦，其中BC=2，∠ABC=45°，求弦AB 的长；（2）在△ABC中，若∠C是钝角，求证：a2+b2＜4R2；（3）给定三个正实数a、b、R，其中b≤a，问：a、b、R满足怎样的关系时，以a、b为边长，R为外接圆半径的△ABC 不存在，存在一个或两个（全等的三角形算作同一个）？在△ABC存在的情况下，用a、b、R表示c．考点：三角形中的几何计算；解三角形．专题：计算题；数形结合．分析：（1）由正弦定理知===2R，根据题目中所给的条件，不难得出弦AB的长；（2）若∠C是钝角，故其余弦值小于0，由余弦定理得到a2+b2＜c2＜（2R）2，即可证得结果；（3）根据图形进行分类讨论判断三角形的形状与两边a，b的关系，以及与直径的大小的比较，分成三类讨论即可．解答：解：（1）在△ABC中，BC=2，∠ABC=45°===2R⇒b=2sinA=∵A为锐角∴A=30°，B=45°∴C=75°∴AB=2Rsin75°=4sin75°=；（2）∠C为钝角，∴cosC＜0，且cosC≠1cosC=＜0∴a2+b2＜c2＜（2R）2即a2+b2＜4R2（8分）（3）a＞2R或a=b=2R时，△ABC不存在当时，A=90，△ABC存在且只有一个∴c=当时，∠A=∠B且都是锐角sinA=sinB=时，△ABC存在且只有一个∴c=2RsinC=2Rsin2AC=当时，∠B总是锐角，∠A可以是钝角，可是锐角∴△ABC存在两个∠A＜90°时，c=∠A＞90°时，c=点评：本题考查三角形中的几何计算，综合考查了三角形形状的判断，解三角形，三角形的外接圆等知识，综合性很强，尤其是第三问需要根据a，b两边以及直径的大小比较确定三角形的形状．再在这种情况下求第三边的表达式，本解法主观性较强．难度较大．25．（2010•郑州二模）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，=（2b﹣c，cosC），=（a，cosA），且∥．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求2cos2B+sin（A﹣2B）的最小值．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：（Ⅰ）根据∥和两向量的坐标可求得，利用正弦定理把边转化成角的正弦，然后利用两角和公式化简整理求得cosA的值，进而求得A（Ⅱ）把A的值代入，利用两角和公式整理后，利用正弦函数的性质求得2cos2B+sin（A﹣2B）的最小值．解答：解：（Ⅰ）由得．由正弦定理得，．∴．∵A，B∈（0，π），∴sinB≠0，，∴．（Ⅱ）解：∵∴2cos2B+sin（A﹣2B）==，．2cos2B+sin（A﹣2B）的最小值为点评：本题主要考查了三角形中的几何计算，正弦定理的应用和两角和公式的化简求值．注意综合运用三角函数的基础公式，灵活解决三角形的计算问题．26．在△ABC中，A、B、C是三角形的内角，a、b、c是三内角对应的三边，已知，．（1）求∠A；（2）求△ABC的面积S．考点：正弦定理的应用；三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：（1）由已知结合正弦与余弦定理=化简可求b，由余弦定理可得，cosA=代入可求cosA，及A（2）代入三角形的面积公式可求解答：解：（1）∵∵∴=化简可得，b2﹣2b﹣8=0∴b=4由余弦定理可得，cosA==∴；（2）==点评：本题主要考查了解三角形的基本工具：正弦定理与余弦定理的应用，解题的关键是具备综合应用知识解决问题的能力27．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且（2a+c）cosB+bcosC=0．（Ⅰ）求角B的值；（Ⅱ）若a+c=4，求△ABC面积S的最大值．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：（Ⅰ）利用正弦定理化简（2a+c）cosB+bcosC=0，得到三角形的角的关系，通过两角和与三角形的内角和，求出B的值；（Ⅱ）通过S=，利用B=以及a+c=4，推出△ABC面积S的表达式，通过平方法结合a的范围求出面积的最大值．解答：解（Ⅰ）由正弦定理得（2sinA+sinC）cosB+sinBcosC=0，即2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0得2sinACcosB+sin（C+B）=0，因为A+B+C=π，所以sin（B+C）=sinA，得2sinAcosB+sinA=0，因为sinA≠0，所以cosB=﹣，又B为三角形的内角，所以B=．（Ⅱ）因为S=，由B=及a+c=4得S===，又0＜a＜4，所以当a=2时，S取最大值…（3分）点评：本题是中档题，考查三角形面积的最值，三角形的边角关系，三角函数的公式的灵活应用，考查计算能力．28．已知△ABC的外接圆半径，a、b、C分别为∠A、∠B、∠C的对边，向量，，且．（1）求∠C的大小；（2）求△ABC面积的最大值．考点：三角函数的恒等变换及化简求值；三角形中的几何计算．专题：综合题．分析：（1）由，推出，利用坐标表示化简表达式，结合余弦定理求角C；（2）利用（1）中c2=a2+b2﹣ab，应用正弦定理和基本不等式，求三角形ABC的面积S的最大值．解答：解答：解：（1）∵∴且，由正弦定理得：化简得：c2=a2+b2﹣ab由余弦定理：c2=a2+b2﹣2abcosC∴，∵0＜C＜π，∴（2）∵a2+b2﹣ab=c2=（2RsinC）2=6，∴6=a2+b2﹣ab≥2ab﹣ab=ab（当且仅当a=b时取“=”），所以，．点评：本题考查数量积判断两个平面向量的垂直关系，正弦定理，余弦定理的应用，考查学生分析问题解决问题的能力，是中档题．。

高中数学经典例题、错题详解【例1】设M=｛1、2、3｝,N=｛e、g、h｝,从M至N的四种对应方式,其中是从M到N的映射是M NA M NBM NCM ND映射的概念:设A、B是两个集合,如果按照某一个确定的对应关系f,是对于集合A中的每一个元素x,在集合B中都有一个确定的元素y与之对应,那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射;函数的概念：一般的设A、B是两个非空数集,如果按照某种对应法则f,对于集合A中的每一个元素x,在集合B中都有唯一的元素y和它对应,这样的对应叫集合A到集合B的一个函数;函数的本质是建立在两个非空数集上的特殊对应映射与函数的区别与联系：函数是建立在两个非空数集上的特殊对应；而映射是建立在两个任意集合上的特殊对应；函数是特殊的映射,是数集到数集的映射,映射是函数概念的扩展,映射不一定是函数,映射与函数都是特殊的对应;映射与函数特殊对应的共同特点：错误!可以是“一对一”；错误!可以是“多对一”；错误!不能“一对多”；错误!A中不能有剩余元素；错误!B中可以有剩余元素;映射的特点：1多元性：映射中的两个非空集合A、B,可以是点集、数集或由图形组成的集合等；2方向性：映射是有方向的,A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射；3映射中集合A的每一个元素在集合B中都有它的象,不要求B中的每一个元素都有原象；4唯一性：映射中集合A中的任一元素在集合B中的象都是唯一的；5一一映射是一种特殊的映射方向性上题答案应选C分析根据映射的特点错误!不能“一对多”,所以A、B、D都错误；只有C完全满足映射与函数特殊对应的全部5个特点;本题是考查映射的概念和特点,应在完全掌握概念的基础上,灵活掌握变型题;【例2】已知集合A=R,B={x、y︱x、y∈R},f是从A到B的映射fx：→x+1、x2,1求2在B中的对应元素；22、1在A中的对应元素分析1将x=2代入对应关系,可得其在B中的对应元素为2+1、1；2由题意得：x+1=2,x2=1 得出x=1, 即2、1在A中的对应元素为1【例3】设集合A={a、b},B={c、d、e},求：1可建立从A到B的映射个数；2可建立从B到A的映射个数分析如果集合A中有m个元素,集合B中有n个元素,则集合A到集合B的映射共有n m 个；集合B到集合A的映射共有m n个,所以答案为23=9；32=8例4 若函数fx为奇函数,且当x﹥0时,fx=x-1,则当x﹤0时,有A、fx ﹥0B、fx ﹤0C、fx·f-x≤0D、fx-f-x ﹥0奇函数性质：1、图象关于原点对称；2、满足f-x = - fx；3、关于原点对称的区间上单调性一致；4、如果奇函数在x=0上有定义,那么有f0=0；5、定义域关于原点对称奇偶函数共有的偶函数性质：1、 图象关于y 轴对称；2、满足f-x = fx ；3、关于原点对称的区间上单调性相反；4、如果一个函数既是奇函数有是偶函数,那么有fx=0；5、定义域关于原点对称奇偶函数共有的 基本性质：唯一一个同时为奇函数及偶函数的函数为其值为0的常数函数即对所有x,fx=0; 通常,一个偶函数和一个奇函数的相加不会是奇函数也不会是偶函数；如x + x 2; 两个偶函数的相加为偶函数,且一个偶函数的任意常数倍亦为偶函数; 两个奇函数的相加为奇函数,且一个奇函数的任意常数倍亦为奇函数; 两个偶函数的乘积为一个偶函数; 两个奇函数的乘积为一个偶函数;一个偶函数和一个奇函数的乘积为一个奇函数; 两个偶函数的商为一个偶函数; 两个奇函数的商为一个偶函数;一个偶函数和一个奇函数的商为一个奇函数; 一个偶函数的导数为一个奇函数; 一个奇函数的导数为一个偶函数;两个奇函数的复合为一个奇函数,而两个偶函数的复合为一个偶函数; 一个偶函数和一个奇函数的复合为一个偶函数分析 fx 为奇函数,则f-x = -fx,当X ﹤0时,fx = -f-x = ---x – 1 = -x+1>0,所以A 正确,B 错误； fx·f-x=x-1-x+1﹤0,故C 错误； fx-f-x= x-1--x+1﹤0,故D 错误例5 已知函数fx 是偶函数,且x ≤0时,fx=xx-+11,求：1f5的值； 2fx=0时x 的值；3当x ＞0时,fx 的解析式考点 函数奇偶性的性质 专题计算题,函数的性质及应用 分析及解答1根据题意,由偶函数的性质fx= f-x,可得f5= f-5=）（）（5--15-1+=—322当x ≤0时,fx=0 可求x,然后结合fx= f-x,即可求解满足条件的x, 即当x ≤0时,xx-+11=0 可得x=—1；又f1= f-1,所以当fx=0时,x=±1 3当x ＞0时,根据偶函数性质fx= f-x=)(1)(1x x ---+=xx+-11例6 若fx=e x +ae -x 为偶函数,则fx-1＜ee 12+的解集为A.2,+∞B.0,2C.-∞,2D.-∞,0∪2,+∞考点 函数奇偶性的性质 专题转化思想；综合法；函数的性质及应用 分析及解答根据函数奇偶性的性质先求出a 值,结合函数单调性的性质求解即可∵fx=e x +ae -x 为偶函数,∴f-x=e -x +ae x = fx= e x +ae -x ,∴a=1, ∴fx=e x +e -x 在0,+∞上单调递增,在-∞,0上单调递减,则由fx-1＜ee 12+=e+e 1, ∴ -1 ＜x-1＜1, 求得 0 ＜x ＜2 故B 正确点评 本题主要考查不等式的求解,根据函数奇偶性的性质先求出a 值是解题关键 例7 函数fx=21xb ax ++是定义在-1,1上的奇函数,且f 21=52,1确定函数fx 的解析式；2证明fx 在-1,1上为增函数；3解不等式f2x-1+ fx ＜0考点 函数奇偶性与单调性的综合 专题函数的性质及应用 分析及解答（1） 因为fx 为-1,1上的奇函数,所以f0=0,可得b=0,由f 21=52,所以2)21(121+a=52,得出a=1,所以fx= 21x x + （2） 根据函数单调性的定义即可证明任取-1 ＜x 1＜x 2＜1,fx 1—fx 2=2111x x +—2221x x +=)1)(1()1)((22212121x x x x x x ++--因为-1 ＜x 1＜x 2＜1,所以x 1-x 2＜0,1—x 1x 2＞0,所以fx 1—fx 2 ＜0, 得出fx 1 ＜fx 2,即fx 在-1,1上为增函数（3） 根据函数的奇偶性、单调性可去掉不等式中的符号“f ”,再考虑到定义域可得一不等式组,解出即可：f2x-1+ fx= ＜0,f2x-1 ＜—fx,由于fx 为奇函数,所以f2x-1 ＜f —x,因为fx 在-1,1上为增函数,所以2x-1＜—x 错误!, 因为-1 ＜2x-1＜1错误!,-1 ＜x ＜1错误!,联立错误!错误!错误!得0 ＜ x ＜31,所以解不等式f2x-1+ fx ＜0的解集为0,31 点评 本题考查函数的奇偶性、单调性及抽象不等式的求解,定义是解决函数单调性、奇偶性的常用方法,而抽象不等式常利用性质转化为具体不等式处理;例8 定义在R 上的奇函数fx 在0,+∞上是增函数, 又f-3=0,则不等式x fx ＜0的解集为 考点 函数单调性的性质 专题综合题；函数的性质及应用分析及解答 易判断fx 在-∞,0上的单调性及fx 图像所过特殊点,作出fx 草图,根据图像可解不等式; 解：∵ fx 在R 上是奇函数,且fx 在0,+∞上是增函数,∴ fx 在-∞,0上也是增函数,由f-3=0,可得- f3=0,即f3=0,由f-0=-f0,得f0=0 作出fx 的草图,如图所示：由图像得：x fx ＜0⇔⎩⎨⎧〈〉0)(0x f x 或⎩⎨⎧〉〈0)(0x f x ⇔0﹤x ﹤3或-3﹤x ﹤0,∴ x fx ＜0的解集为：-3,0∪0,3,故答案为：-3,0∪0,3点评 本题考查函数奇偶性、单调性的综合应用,考查数形结合思想,灵活作出函数的草图是解题关键; 例9 已知fx+1的定义域为-2,3,则f2x+1的定义域为抽象函数定义域求法总结：1函数y=fgx 的定义域是a,b,求fx 的定义域：利用a ＜x ＜b,求得gx 的范围就是fx 的定义域；2函数y=fx 的定义域是a,b,求y=fgx 的定义域：利用a ＜gx ＜b,求得x 的范围就是y=fgx 的定义域;考点 函数定义域极其求法分析及解答 由fx+1的定义域为-2,3,求出 fx 的定义域,再由2x+1在函数fx 的定义域内求解x 的取值集合,得到函数f2x+1的定义域;解：由fx+1的定义域是-2,3,得-1≤x+1≤4 ；再由-1≤2x+1≤4 0≤x ≤25 ∴ f2x+1的定义域是0,25,故选A 点评 本题考查了复合函数定义域的求法,给出函数fgx 的定义域是a,b,求函数fx 的定义域,就是求x ∈a,b 内的gx 的值域；给出函数fx 的定义域是a,b,只需由a ＜gx ＜b,求解x 的取值集合即可; 例10 已知函数fx=x 7+ax 5+bx-5,且f-3= 5,则f3=A. -15B. 15 考点 函数的值；奇函数分析及解答 令gx= x 75当时,函数图像如图,由图知：只有当时,函数的图像在x 轴上方,即时,因为函数收偶函数,偶函数的图像关于y 轴对称,所以时,函数的图像在x 轴上方时,只有则不等式的解集为故选D 18、如果函数fx=x2+2a-1x+2在区间-∞,4行单调递减,那么实数a 的取值范围是 ≦-3 ≧-3 ≦5 ≧519、定义在R 上的函数)(x f 对任意两个不相等实数a,b,总有ba b f a f --)()(>0成立,则必有_______ A. )(x f 在R 上是增函数 B. )(x f 在R 上是减函数 C.函数)(x f 是先增加,后减少 D.函数)(x f 是先减少,后增加解：利用函数单调性定义,在定义域上任取x 1,x 2∈R,且x 1<x 2,因为ba b f a f --)()(>0 所以fa-fb<0,所以)(x f 在R 上是增函数;20、对于定义域R 上的函数fx,有下列命题：1若fx 满足f2>f1,则fx 在R 上时减函数；2若fx 满足f-2=f2,则函数fx 不是奇函数；3若函数fx 在区间-∞,0上是减函数,在区间0,+∞也是减函数,则fx在R 上也是减函数；4若fx 满足f-2=f2,则函数fx 不是偶函数；其中正确的是_____________________21、函数fx=x ∣x-2∣,1求作函数Y=fx 的图象；2写出函数fx 的单调区间并指出在各区间上是增函数还是减函数不必证明3已知fx=1,求x 的值22、函数Fx 是定义域为R 的偶函数,当x ≧0 时,fx=x2-x,1画出函数fx 的图象不列表；2求函数fx的解析式；3讨论方程fx-k=0的根的情况23、已知fx 的定义域为-2,3,则f2x-1的定义域为A.0,5/2B.-4,4C.-5,5D.-3,724、已知函数⎪⎩⎪⎨⎧〉-≤++=)0(10)0(63)(2x x x x a x f 且fa=10,则a= 或125、已知函数fx=x7+ax 5+bx-5,则f3=26、若函数fx=4x 2-kx-8在区间5,8上是单调函数,则k 的取值范围是A.-∞,0B.40,64C.- ∞,40∪64,+∞D.64,+ ∞27、已知二次函数fx=x 2+x+aa>0,若fm<0,则fm+1的值为A.正数B.负数C.零D.符号与a 有关 28、函数fx=∣x 2-2x ∣-m 有两个零点,m 的取值范围__________29、已知函数fx 和gx 均为奇函数,hx=afx+bgx+2,在区间0,+∞有最大值5,那么hx 在区间0,+∞的最小值为________30、对于每个实数x,设fx 取y=x+1,y=2x+1,y=-2x 三个函数中的最大值,用分段函数的形式写出fx 的解析式,求出fx 的最小值由方程组y=x+1,y=2x+1,解得x=0,y=1,得到交点A0,1；由方程组y=x+1,y=-2x,解得x=-1/3,y=2/3,得到交点B-1/3,2/3；由方程组y=2x+1,y=-2x,解得x=-1/4,y=1/2,得到交点C-1/4,1/2.由图像容易看出：1x ＜-1/3时,三直线的最大值是y=-2x,所以在此时fx=-2x;2-1/3≤x ≤0时,三直线的最大值是y=x+1,所以此时的fx=x+1;3x ＞0时,三直线中最大值是y=2x+1,所以此时的fx=2x+1.所以fx=-2x ；x ＜-1/3,x+1；-1/3≤x ≤0,2x+1.x ＞01考察函数的图像由射线—线段—射线组成的折线可以看出函数的最小值是x=1/3时的y=2/3.31、已知函数fx=x 2+ax+3,1当X ∈R 时,fx ≧a 恒成立,求a 的取值范围；2当X ∈-2,2时,fx ≧a 恒成立,求a 的取值范围；3若对一切a ∈-3,3,不等式fx ≥a 恒成立,那么实数x 的取值范围是什么 1fx ≥a 即x 2+ax+3-a ≥0,要使x ∈R 时,x 2+ax+3-a ≥0恒成立,应有△=a 2-43-a ≤0,即a 2+4a-12≤0,解得-6≤a ≤2；2当x ∈-2,2时,令gx=x 2+ax+3-a,当x ∈-2,2时,fx ≥a 恒成立,转化为gx min ≥a,分以下三种情况讨论：①当-a/2≤-2,即a ≥4时,gx 在-2,2上是增函数,∴gx 在-2,2上的最小值为g-2=7-3a,∴a ≤4 7-3a ≥0,解得a 无解②当-a/2≥-2,即a ≤4时,gx 在-2,2上是递减函数,∴gx 在-2,2上的最小值为g2=7+a,∴a ≤-4 7+a ≥0 解得-7≤a ≤-4③当-2<a/2<2时,即-4＜a ＜4时,gx 在-2,2上的最小值为34)2(22+--=a a a g ⇒ ⇒⎪⎩⎪⎨⎧〈〈-+-4434a -2a a -4＜a ≤2,解得-4＜a ≤2,综上所述,实数a 的取值范围是-7≤a ≤2；3不等式fx ≥a 即x 2+ax+3-a ≥0．令ha=x-1a+x 2+3,要使ha ≥0在-3,3上恒成立,只需⎩⎨⎧≥≥-0)3(0)3(h h 即⎩⎨⎧≥+≥+-030632x x x x 解得：x ≥0或x ≤-3。