数值分析课件第五章2

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数值分析课件第五章2

1 M4 = 5
f ′( x ) = − ∫ t sin txdt = ∫ t cos( tx +
0 0 1 2 1 2
1
1
π
2
)dt
2π f ′′( x ) = − ∫ t cos txdt = ∫ t cos( tx + )dt 0 0 2 1 kπ (k ) k 归纳法知由归纳法知 f ( x ) = t cos( tx + )dt ∫0 2 1 1 kπ 1 (k ) k k f ( x ) ≤ ∫ t cos( tx + ) dt ≤ ∫ t dt = 0 0 2 k +1
xi
f ( xi )
1/2
0.958851 0.936156 0.908858 0.877193 0.841471
复化梯形公式复化梯形公式(n=8) 梯形公式( )
h= 1
1 1 3 1 T8 ( f ) = f (0) + 2 f ( ) + f ( ) + f ( ) 2×8 4 8 8
b−a 2 Rn ( f ) = I − Tn ( f ) = − h f ′′(η ),η ∈ [a , b] 12
设 M 2 = max] | f ′′( x ) |，则 x∈[ a , b
b−a 2 | Rn ( f ) |≤ h M2 12
2
复化梯形公式是收敛的复化梯形公式是收敛的，误差阶是O ( h 公式是收敛以通过 M 2 求出 n 。
在区间[ xk , xk +1 ] , k
b a
b−a 将积分区间 [ a , b ] n等分分点 xk = a + kh, h = 等分: 等分 n

清华第五版数值分析第5章课件

第一步：选 ai ,1 max ai 1 ,交换第1行和第i1行，
1 i n
然后进行消元，得
( a111 ) [ A( 2 ) , b ( 2 ) ]
( 1 a121 ) a1( n ) ( (2 a222 ) a2 n )

( an 2 ) 2

(2 ann )
三
高斯列主元消去法
基本思想：在每轮消元之前，选列主元素（绝对值最大的元素）
设方程组 AX b的增广矩阵为 a11 a (1) (1) 21 [ A , b ] [ A , b] an1 具体步骤为：
1
b1 a22 a2 n b2 an 2 ann bn a12 a1 n
如此至多经过n-1步,就得到与之同解的上三角形方程组的增广矩阵,再用回代过程即可得方程组的解.
例：用Gauss列主元消去法解方程组 2 4 6 x1 3 4 9 2 x 5 2 1 1 3 x3 4
(1)
1 2 n
a (1) 0 0
a (1) a (1)
12 1n
(2 ( a22 ) a22 ) n

( (2 an22) ann)
b(1) ( 2) b2 ( 2) bn
1
则
a 令m i 1 , i 2,3,...,n a
n
a (1) 0 0
11
a (1) a (1)
12
(2 ( a22 ) a22 ) n

( (2 an22) ann)

数值分析第五版第5章学习资料

6
n
即 de(A t) aijAij (i1,2,,n), j1
其中 A ij 为 a ij 的代数余子式，Aij(1)ijMij, M ij 为元素 a ij 的余子式.
行列式性质：
( ad ) ( A e ) d t B ( A e )d ( t B )A e , ,B t R n n .
有非零解，故系数行列式 deIt (A)0，记
a11 a12 p()det(I A) a21 a22
a1n a2n
（1.3）
an1 an2 ann n c1n1cn1cn 0.
p()称为矩阵 A的特征多项式，方程(1.3)称为矩阵 A的特
征方程.
9
因为 n次代数方程 p() 在复数域中有 n个根
其中用 ri 表示矩阵的第 i行. 由此看出，用消去法解方程组的基本思想是用逐次消
去未知数的方法把原方程组 Axb化为与其等价的三角形方程组，而求解三角形方程组可用回代的方法.
上述过程就是用行的初等变换将原方程组系数矩阵化为简单形式(上三角矩阵)，从而将求解原方程组(2.1)的问题转化为求解简单方程组的问题.
n
n
trA aii i.
i1
i1
（1.4）（1.5）
称 trA为 A的迹.
A的特征值和特征向量 x还有一下性质：
(1) AT 与 A有相同的特征值及特征向量 .
(2)若 A非奇异，则 A1 的特征值为 1，特征向量为 x.
(3)相似矩阵 BS1AS有相同的特征多项式.
11
例1 求 A的特征值及谱半径
4x2x3 5,
2x3 6.
显然，方程组(2.6)是容易求解的，解为
x (1,2,3)T.

数值分析第五章

输出：有根区间为（3.3，3. 4）且区间（3.6，3.7）内无实根。
8
§2
设有非线性方程
二分法
其中，f (x)为 [a,b] 上连续函数且设 f (a) ⋅ f (b) < 0 （不妨设方程（2.1）于（2.1）
f (x) = 0
（2.1） 2.1）
[a,b] 内仅有一个实根。
y
求方程（2.1）实根 x* 的二分法过程，就是将含根区间 [a,b] 逐步分（2.1）半，检查函数符号的变化，以便确定含根的充分小区间。
a ←x
k ≤ N0
否
输出
图5-3
分半 N0 次还没有到达精度要求信息
15
§3 迭代法
迭代法是一种逐次逼近法。它是求解代数方法，超越方程及方程组的一种基本方法，但存在收敛性及收敛快慢问题。为了用迭代法求非线性方程 f (x) = 0的近似值，首先需要将此方程转化为等价的方程 3.1）（3.1）
x >b
≤
f1 ← f2
＜输出有根区间
(x − ∆x, x)
L2
图 5-1
L 1
7
+ 若 f (x) 于 [a, ∞) 某点 xs 分为两支曲线且 x → xs 时 f (x) →+∞或 − ∞ ， − 当 x → xs 时 f (x) → −∞ 或
[注] 当 f (x) 于 [a,b] 连续时，输出区间 (x − ∆x, x) 内一定有实根，注
f (xk ) < ε1 或 h < ε2则输出 xk , f (xk ), k;
ak+1 = xk ,bk+1 = bk
其中 N0 表示给定的最大分半次数，当 f (x) < ε1 或 h < ε2 时分半终止， fmax为一大数。

数值分析第五章插值法精品PPT课件

证明 R n ( x i ) f ( x i ) n ( x i ) 0 ,
故 R n ( x ) K ( x ) x x ( 0 ) x x ( 1 ) ( x x n ).
其中 K (x)是与 x有关的待定函数.
如何求 K (x) ?
8
现把x看成是[a, b]上的固定点, 作辅助函数
x22
x2n
a2
f
(x2
)
1 xn xn2 xnnan f (xn)
系数矩阵A的行列式是Vandermonde行列式，其值为
n
deA t() (xj xi)
i,j0,ij
当插值节点xi (i=0, 1, 2, …, n)互不相同时，此行列
式不为0, 即系数矩阵A可逆. 因此ai (i=0, 1, 2, …, n),
11 2181.031 3 03.
抛物线插值. 取x0=11, x1=12, x1=13, 插值多项式为
L2(x)2.39((1 7x 1 91 1))2 21 x (( 111)3 )32.48((1 4x 2 91 1))1 11 x (( 211)3 )3 2.56(4x 91)1x (1)2 (1 31)11 ( 31)2
xx0xx11y0xx1xx00y1
x0
x1
l0 ( x)
xi x0 x1
1次多项式
10
l0 (x )y 0 l1 (x )y 1
l1( x)
xi x0 x1
1次多项式
01
13
➢ 二次插值多项式
已知
xi
x0 x1 x2
yi f(xi) y 0 y 1 y 2
求 L2(x)
(1) 至多2次多项式; (2) L 2 ( x i ) f ( x i ) y i ( i 0 , 1 , 2 ).

数值分析课件 (第5、6章)

(1 ( La1n) b11) (2) (2) a L 2n b2 = A(3) : b(3) LM M (3) (3) Lamn bn
[
]
( ( ( aij3) = aij2) −mij a22) j (3) ( bi = bi(2) −mi2b22)
(i = 3,L m j = 3,L n) , ; , (i = 3,L m) ,
[
]
( ( ( aij2) = aij1) − mij a11) j (2) bi = bi(1) − mi1b(1) 1
研究生公共课程数学系列
(i = 2,L m j = 2,L n) , ; , (i = 2,L m) ,
机动上页下页首页结束
(2)
[A
(2)
: b(2)
]
(1 (1 a11) a12) (2 0 a22) = M M (2) 0 am2
(n)
续述程到成 s 消计。继上过 , 直完第步元算
后到原程等的单程 A 最得与方组价简方组 (s+1) x = b,(s+1) 中（）上形其 A s+1 为梯。
(1 (1 (1 a11) a12) L a1n) (2 ( a22) L a22) n = O M (n ann)
( a2k ) k m = (k ) ik akk
(k (akk ) ≠0)
−−−−−→
(i=k+1,Lm) ,
(1 (1 ( a11) a12) L a11) k (2 ( a22) L a22) k O M (k akk ) M 0

数值分析第五章线性方程组-数值分析课件

(1) 1n ( 2) 2n (1) 1 ( 2) 2
即
(1) (1) (1) (1) a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 ( 2) ( 2) ( 2) a 22 x 2 a 2 n x n b2 (n) (n) a x b nn n n
3.2 解线性方程组的直接法（高斯消去法） 3.2.1 高斯消去法的基本思想先用一个简单实例来说明Gauss法的基本思想例3.1 解线性方程组
2 x1 x 2 3 x3 1 4 x1 2 x 2 5 x 3 4 x 2x 7 2 1
① ② ③
解: 该方程组的求解过程实际上是将一个方程乘或除以某个常数,然后将两个方程相加减,逐步减少方程中的未知数,最终使每个方程只含有一个未知数, 从而得出所求的解。整个过程分为消元和回代两个部分。
( 3.3 )
解线性方程组（3.1）的高斯（Gauss）消去法的消元过程就是对( 3.3 )的增广矩阵进行初等行变换。将例 3.1中解三阶线性方程组的消去法推广到一般的 n n 阶线性方程组并记 (1) aij aij , bi(1) bi (i, j 1,2,, n)
则高斯消去法的算法构造归纳为：
需要(n-1)2次乘法运算及(n-1)2次加减法运
算,
第k 步
1 2 3 … n-1 合计
加减法次数 (n-1)2 (n-2)2 (n-3)2 … 1 n(n-1) (2n-1)/6
乘法次数
(n-1)2 (n-2)2 (n-3)2 … 1 n(n-1) (2n-1)/6
除法次数
(n-1) (n-2) (n-3) … 1 n(n-1)/2
(k ) 只要 akk 0 ,消元过程就可以进行下去,直到经过n-1次消元之后，消元过程结束，得到与原方程组等价的上三角形方程组,记为 A(n) x b 1) 11

数值分析ppt课件

数值积分与微分
数值积分
通过数值方法近似计算定积分，如梯形法则、辛普森法则等。
数值微分
通过数值方法近似计算函数的导数，如差分法、中心差分法等。
常微分方程的数值解法
通过数值方法求解常微分方程，如欧拉方法、龙格-库塔方法等。
03
数值分析的稳定性与误差分析
误差的来源与分类
模型误差
由于数学模型本身的近似性和简化，与真实系
非线性代数方法
非线性方程组的求解
通过迭代法、直接法等求解非线性方程组，如牛顿法、拟牛顿法等。
非线性最小二乘问题
通过迭代法、直接法等求解非线性最小二乘问题，如GaussNewton方法、Levenberg-Marquardt方法等。
多项式插值与逼近
通过多项式插值与逼近方法对函数进行近似，如拉格朗日插值、样条插值等。
机器学习与数值分析的交叉研究
机器学习算法
利用数值分析方法优化和改进机器学习模型的训练和预测过程，提高模型的准确性和效率。
数据驱动的模型
通过数值分析方法处理大规模数据集，提取有用的特征和模式，为机器学习模型提供更好的输入和输出。
大数据与数值分析的结合
大数据处理
利用数值分析方法处理和分析大规模数据集，挖掘其中的规律、趋势和关联信息。
数值分析PPT课件
contents
目录
• 引言 • 数值分析的基本方法 • 数值分析的稳定性与误差分析 • 数值分析的优化方法 • 数值分析的未来发展与挑战
01
引言
数值分析的定义
数值分析
数值分析是一门研究数值计算方法及其应用的学科，旨在解决各种数学问题，如微积分、线性代数、微分方程等。

数值分析第五版李庆扬王能超课件第5章(2)

xk
xk+1
f ( xk ) x k 1 [ x k ] (1 ) xk f ( xk ) xk f ( xk ) f ( xk )
xk 1 (1 ) xk , [0, 1]
注： = 1 时就是Newton’s Method 公式。当 = 1 代入效果不好时，将减半计算。
§1.牛顿法
定理（收敛的充分条件）设 f C2[a, b]，若
(1) f (a) f (b) < 0；(2) 在整个[a, b]上 f ”不变号且 f ’(x) 0；

(3) 选取 x0 [a, b] 使得 f (x0) f ”(x0) > 0；
则Newton’s Method产生的序列{ xk } 收敛到f (x) 在 [a, b] 的唯一根。产生的序列单调有有根根唯一定理（局部收敛性）设 f C2[a, b]界，保证收敛。，若 x* 为 f (x) 在[a, b] 上的根，且 f ’(x*) 0，则存在 x* 的邻域 B ( x*) 使得任取初值 x0 B ( x*)，Newton’s Method产生的序列{ xk } 收敛到x*，且满足 x * x k 1 f ( x*) lim k ( x * x ) 2 2 f ( x*) k
f ( x) 其中 g( x ) x ，则 f ( x ) f ( x*)2 f ( x*) f ( x*) 1 | g( x*) | 1 1 1 2 f ( x*) n
A1: 有局部收敛性，但重数 n 越高，收敛越慢。 Q2: 如何加速重根的收敛？ A2: 将求 f 的重根转化为求另一函数的单根。
这是一个充分条件。 g ( p ) ( k )

数值分析第五章%282012%29

( a , b )，时：

b a
f ( x)dx
a
i0
i
f ( xi )
h
n2
f
( n 1)
( )
( n 1) !

n 0
t ( t 1)...( t n ) d t
结论是什么？
b
结论：应用高阶型插值求积公式计算 f ( x )d x 会出现数值不稳定，而低阶公式（如梯形、辛普生公式）又因积分区间步长过大使得离散误差大
二次插值求积公式（即Simpson公式）
先将[a, b] 区间二等分： a , 再作二次 la g ra n g e插值 P2 ( x ) (x (a
抛物型求积公式： ab
, b 2

2
f ( x k )l k ( x ) )( x b ) f (a ) )( a b ) ( ( x a )( x ) ( b a )( b ab 2 ab 2 ) f (b ) )
第五章数值积分
问题的提出：
f(x)的原函数没有具体的解析表达式或表达式很复杂不适宜计算，只有f(x)的离散数据点。如何求
a f ( x )d x ？
I
b
寻找近似计算方法
a f ( x )d x
f (x)
b
思路：利用插值多项式Pn ( x )
，则积分易算。
5.1 插值型积分公式
b a
b-a ab P2 ( x ) d x f (b ) f (a ) 4 f 6 2
当 f ( x ) 1时

b a
f ( x ) ( b - a )，

数值分析第5章haha

, 其中
1 m k 1, k m n ,k 1
1
最后， L n 1 L 2 L1 A
(1 )
A
(n)
U ， L n 1 L 2 L1b

(1 )
b
(n)
.
A L1 L 2 L n 1U LU ，其中 1 m 21 m 31 m n1 1
2
结束
关于线性方程组的解法一般分为两大类,一类是直接法, 即经过有限次的算术运算,可以求得(5.1)的精确解(假定计算过程没有舍入误差).如线性代数课程中提到的克莱姆算
法就是一种直接法.但该法对高阶方程组计算量太大,不是
一种实用的算法.实用的直接法中具有代表性的算法是高斯消元法,其它算法都是它的变形和应用. 另一类是迭代法,它将(5.1)变形为某种迭代公式,给出初始解 x0 ,用迭代公式得到近似解的序列｛xk｝,k=0,1,2, ,在一定的条件下 xk→x* (精确解).迭代法显然有一个收敛条件和收敛速度问题. 这两种解法都有广泛的应用,我们将分别讨论,本章介绍直接法. 3 结束
(5.3) (5.6) (5.8)
回代:解(5.8)得x3,将x3 代入(5.6)得x2,将x2, x3 代入(5.3) 得x1,得到解 x*=(2,1,-1)T
容易看出第一步和第二步相当于增广矩阵［Ａ:b］在作行变换,用ri表示增广阵［A:b］的第i行: 6 结束
1 A : b 2 1
(1)
(1) x1 b1 (k ) xk b k ( k 1) . x k 1 bk 1 ( k 1) x n bn

数值分析容第五章

第五章函数插值实践中常有这样的问题：由实验得到某一函数y = f (x )在一系列点x 0, x 1,…, x n 处的值y 0, y i ,…, y n ，其函数的解析表达式是未知的，需要构造一个简单函数P (x )作为y = f (x )的近似表达式；或者y = f (x )虽有解析式，但计算复杂，不便于使用，需要用一个比较简单且易于计算的函数P (x )去近似代替它；本章所介绍的插值法就是建立这种近似公式的基本方法。

§1 代数插值设已知某个函数关系y = f (x )在某些离散点上的函数值：nn y y y y yx x x x x 21210 （6.1）插值问题就是根据这些已知数据来构造函数y = f (x )的一种简单的近似表达式，以便于计算点i x x ≠的函数值)(x f ，或计算函数的一阶、二阶导数值。

一种常用的方法就是从多项式中选一个P n (x )，使得n i y x P i i n ,,2,1,0,)( ==（6.2）作为f (x )的近似。

因为多项式求值方便，且还有直到n 阶的导数。

我们称满足关系（6.2）的函数P n (x )为f (x )的一个插值函数，称x 0, x 1,…, x n 为插值节点，并称关系（6.2）为插值原则。

这种用代数多项式作为工具来研究插值的方法叫做代数插值。

设 x 0 < x 1< …< x n记a = x 0, b = x n ，则 [a, b] 为插值区间。

插值多项式存在的唯一性：设所要构造的插值多项式为：n n n x a x a x a a x P ++++= 2210)(由插值条件n i y x P ii n ,,1,0)( ==得到如下线性代数方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++⋅=+++⋅=+++⋅n n n n n n nn nya x a x a y a x a x a y a x a x a101111000100111 此方程组的系数行列式为∏≤<≤-==ni j j innnnnnx xx x x x x x x x x D 0212110200)(111此为范得蒙行列式，在线性代数课中，已经证明当j i x x ≠，;,2,1n i = n j ,2,1=时，D ≠ 0，因此，P n (x )由a 0, a 1,…, a n 唯一确定。

结构动力学-第五章数值分析方法 (Part 2)

§5.5 Wilson-θ 法
ti +1 时刻的解
}i +1 = {u }i +1 {u 6 θ 3 Δt 2
({u}
i +θ
{u}i +1
Δt }i + ({u }i +1 + {u }i ) = {u 2 Δt 2 }i + }i +1 + 2 {u }i ) = {u}i + Δt {u {u ( 6
结构动力学
第五章动力反应数值分析方法
11 of 23
华南理工大学
土木与交通学院
土木工程系
§5.5 Wilson-θ 法
不同数值积分法计算精度的比较
(0) = 0 考虑无阻尼自由振动问题： mu + ku = 0 u (0) = 1, u
步长： Δt = 0.1 × Tn
结构动力学第五章动力反应数值分析方法 12 of 23 华南理工大学土木与交通学院土木工程系
i +θ i
i +1
− {P}i ) +
⎡ 6 ⎤ 6 }i + 2 {u }i ⎥ + u + {u [M ] ⎢ 2 { }i θ Δt ⎢ ⎥ ⎣ (θ Δt ) ⎦ ⎛ 3 ⎞ θ Δt }i + }i ⎟ {u [C ] ⎜ {u}i + 2 {u 2 ⎝ θ Δt ⎠
结构动力学第五章动力反应数值分析方法 9 of 23 华南理工大学土木与交通学院土木工程系
4 of 23
华南理工大学
土木与交通学院
土木工程系
§5.5 Wilson-θ 法
加速度变化规律
( ti ) + ατ a ( ti + τ ) = u (0 ≤ τ ≤ θ Δt )

数值分析全套课件

Ln n si n

ˆ L2n (4L2n Ln ) / 3
n L error 192 3.1414524 1.4e-004 384 3.1415576 3.5e-005 3.1415926 4.6e-010
3/16
通信卫星覆盖地球面积
将地球考虑成一个球体, 设R为地球半径,h为卫星高度,D为覆盖面在切痕平面上的投影(积分区域)
( x1 x2 ) | x1 | ( x2 ) | x2 | ( x1 )
15/16
例3.二次方程 x2 – 16 x + 1 = 0, 取
求 x1 8 63 使具有4位有效数
63 7.937
解:直接计算 x1≈8 – 7.937 = 0.063
( x1 ) (8) (7.937) 0.0005
5/16
误差的有关概念
假设某一数据的准确值为 x*,其近似值为 x，则称
e(x)= x - x*
为 x 的绝对误差而称
e( x) x x er ( x ) , x x
*
( x 0)

为 x 的相对误差
6/16
如果存在一个适当小的正数ε

，使得
e( x) x x
计算出的x1 具有两位有效数
1 0.062747 修改算法 x1 8 63 15.937 4位有效数 (15.937) 0.0005 ( x1 ) 0.000005 2 2 (15.937) (15.937)
16/16
1
参考文献
[1]李庆扬关治白峰杉, 数值计算原理(清华) [2]蔡大用白峰杉, 现代科学计算 [3]蔡大用, 数值分析与实验学习指导 [4]孙志忠,计算方法典型例题分析 [5]车刚明等, 数值分析典型题解析(西北工大) [6]David Kincaid,数值分析(第三版) [7] John H. Mathews,数值方法(MATLAB版)

数值分析课件第5章

cn1xn1
fn1
an bn xn fn
其中|i-j|>1时,aij=0,且满足如下的对角占优条件:
(1)|b1|>|c1|>0,|bn|>|an|>0
(2)|bi|≥|ai|+|ci|, aici≠0, i=2,3,…,n-1.
工科研究生公共课程数学系列
机动上页下页首页结束
b1 c1
为单位下三角矩阵
这就是说，高斯消去法实质上产生了一个将A分解为两个三角形矩阵相乘的因式分解，于是我们得到如下重要定理。
工科研究生公共课程数学系列
机动上页下页首页结束
定理 7矩 ( 阵L的 U 分解 )设A为n阶矩阵， A的如顺果序主 Di 0(i1,2,,n1)，则 A可分解为一个角单矩L和位阵下一个上三U的角乘矩积阵，且这唯种一分的解。是
a(2) m2
a1(1n) a2(2n)
b1(1) b2(2)
mi2aa22((2221))
(a2(22) 0)
(i3,,m)
am(2n)
bn(2)
a1(11) 0
a(1) 12
a(2) 22
a1(1n)
a2(2n)
b1(1) b2(2)
A(3)
: b(3)
0
0
am(3n)
a(k) kk
工科研究生公共课程数学系列
()
机动上页下页首页结束
高斯消去法的条件
定理5 设Axb,其中ARnn
(1) 如果ak(kk) 0(k 1,2,,n)，则可通过高斯将消去法 Axb约化为等价的三组角(方 )，程且计算公 (式 )。

《数值分析》第五章课件

h
取 h = 0.2 ，要求保留六位小数.
校正： cn+1 = y n + 2 ( y n' + mn' +1 )
解：Euler 迭代格式为
校正的改进：
1 y n +1 = c n +1 + ( p n +1 − c n+1 ) 5
yk +1 = yk + 0.2(− yk − xk yk2 ) = 0.8 yk − 0.2 xk yk2
差分方程：关于未知序列的方程.
例如： y n +3 = 5 y n + 2 − 3 y n +1 + 4 y n
例如： y ' ' ( x) − a ( x) y '+b( x) y + c( x) = 0
3
4
微分方程的应用情况
实际中，很多问题的数学模型都是微分方程. 常微分方程作为微分方程的基本类型之一，在理论研究与工程实际上应用很广泛. 很多问题的数学模型都可以归结为常微分方程. 很多偏微分方程问题，也可以化为常微分方程问题来近似求解.
且
可得，
y(xn+1) − yn+1 = hf y (xn+1,η)[ y(xn+1) − yn+1] − h2 '' y (xn ) + O(h3 ) 2
f (xn+1, y(xn+1)) = y' (xn+1) = y' (x n ) + hy'' (xn ) + O(h2 )
19
20
2 考虑到 1 − hf y ( xn+1 ,η ) = 1 + hf y ( xn+1 ,η ) + O(h ) ，则有

数值分析5-2(高斯消去法)

M M ... (3) xn bn (3) ann
…
( 1 0 ... 0 x1 b1n) 0 1 ... 0 x b(n) • 2 = 2 O M M 0 0 ... 1 x (n) n bn
高斯-约当消去法的应用高斯约当消去法的应用
1.同时求解系数矩阵相同的多个方程组同时求解系数矩阵相同的多个方程组用高斯-约当消去法求解两个方程例用高斯约当消去法求解两个方程组 AX=b1 和AX=b2 ，其中
3 4 6 2 4 5 A= 1 2 3
3 b1 = 4 1
(1 a11) ≠ 0
第一次消元
(2 a22) ≠ 0
(2 (2 ( 1 a12) ... a1n) x1 b12) b(2) (2) (2) 0 a22 ... a2n x2 2 • = ... M M (2) (2) (2) 0 an2 ... ann xn bn
1 1 1 A = 0 4 − 1 2 − 2 1 1 0 0 1 1 1 ∆ = 0 1 0 • 0 4 − 1 = LU ห้องสมุดไป่ตู้ 2 − 1 1 0 0 − 2
则求解原方程组可转化为如下两个三角形方程组：程组：
第五章解线性方程组的直接法 §2 高斯消去法
一、高斯消去法二、矩阵的三角分解三、高斯消去法的计算量四、高斯—约当消去法高斯约当消去法
一、高斯消去法
1. 高斯消去法的基本思想举例用消去法解方程组
基本思想：用逐次消去未知数的方法把 x1 + x2 + x3 = 6

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1 ba h Tn f ( x 1 ) f ( x 1 ) f ( xk ) k k 2 2n k 0 2 2 2
n 1
ba 1、首先将区间 [a , b] n等分： h n
3、终止条件：
由复化梯形公式的余项知
f ( x ) 变化不大时
ba ba 2 I Tn ( ) f (1 ) I Tn 12 n 4 ba ba 2 I T 2n I T2 n ( ) f (2 ) 12 2n 1 由此得到近似关系式 I T2 n (T2 n Tn ) 4 1 1 误差控制条件 (T2 n Tn ) 4 1
4
本题
M 4 的求法： 1 sin x cos txdt f ( x) 0 x
1 1 0 0
1 M4 5
f ( x ) t sin txdt t cos( tx
1 2 1 2

2
)dt
2 f ( x ) t cos txdt t cos( tx )dt 0 0 2 1 k ( k ) k 由归纳法知 f ( x ) t cos( tx )dt 0 2 1 1 k 1 (k ) k k f ( x ) t cos(tx ) dt t dt Cotes公式
n 1 n 1 h C n ( f ) 7 f (a ) 32 f ( x 1 ) 12 f ( x 1 ) k k 90 k 0 k 0 4 2 n 1 n 1 32 f ( x 3 ) 14 f ( xk ) 7 f (b ) k k 0 k 1 4
0 k 1
n
ba 将积分区间 [a , b] n等分: 分点 xk a kh, h n 在区间[ xk , xk 1 ], k 0,1, , n 1 上采用Simpson
公式
二、复化Simpson公式： /*Compound Simpon Formula */
I ( f ) f ( x )dx
设 f ( x ) C [a, b]
4
h h 4 ( 4) Rn ( f ) I Sn ( f ) f (k ) k 0 180 2
n 1 1 ( 4) ( 4) ( 4) m min f ( x ) f (k ) max f ( x ) M a xb a xb n k 0
注意事项：
（1）使用复化梯形公式、Simpson公式，首先要确定步长 h ；（2）而步长要根据余项确定，这就涉及到高阶导数的估计；（3）高阶导数的估计一般比较困难，且估计值往往偏大；（4）计算机上实现起来不方便，通常采用“事后估计法”。
三、积分步长的自动选取：基本思想：
将积分区间逐次分半前后两次近似值的误差小于已知精度
复化梯形公式
h Tn ( f ) f (a ) 2 f ( xk ) f (b) 2 k 1
n1
复化梯形公式的几何意义
y f ( x)
小梯形面积之和近似
复化梯形公式的余项
设 f ( x ) C 2 [a, b]
n 1
h3 Rn ( f ) I Tn ( f ) f (k ) k 0 12
n 1 n 1 h S n ( f ) f ( a ) 4 f ( x 1 ) 2 f ( x k ) f ( b ) k 6 k 0 k 1 2
复化Simpson公式的几何意义
小抛物面积之和近似
y f ( x)
复化Simpson公式的余项
n 1
1 5 3 7 f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f (1) 0.945692 2 8 4 8
复化Simpson公式(n=4)
h 1
1 3 5 7 1 S4 ( f ) f ( 0) 4 f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 6 4 8 8 8 8 1 3 1 2 f ( ) f ( ) f ( ) f (1) 2 4 4
例2：选取5个等距节点，分别利用复化梯形公式、复化
x dx Simpson公式计算积分 I 的近似值，要 2 0 4 x
1
求小数点后保留4位。
x h 0.25 ,令 f ( x ) 解：将区间[0,1]4等分， 2 4 x
计算各节点的函数值为：
xi
f ( xi )
0 0
0.25
0.5
0.75
1 0.2
0.0615 0.1176 0.1644
复化梯形公式(n=4,h=0.25)
0.111571775657
0.25 T4 ( f ) f (0) 2 f (0.25) f (0.5) f (0.75) 2 f (1) 0.1109
复化Simpson公式(n=2,h=0.5)
1 n1 m min f ( x ) f (k ) max f ( x ) M a xb a xb n k 0
1 n1 由介值定理 [a , b] f ( ) f (k ) n k 0 ba 2 余项估计式 Rn ( f ) I Tn ( f ) h f ( ) 12
0.5 S2 ( f ) f (0) 2 f (0.5) 4 f (0.25) f (0.75) 6 f (1) 0.1116
例3：分别利用复化梯形公式、复化Simpson公式计算
sin x 积分I 的近似值，要求按复化 Simpson公 dx 0 x 6
1 b a ba f ( xk ) f ( xk ) 2 n k 0 n k 1
n1 n
f ( x )dx (n )
a
b
复化梯形公式是稳定的其中定积分与区间分法和 k 的取法无关

b a
f ( x )dx lim f (k )xk
4
b a h ( 4) Rn ( f ) I Sn ( f ) f ( ) 180 2
( 4) M max | f ( x ) | ，则设 4 a xb
ba h | Rn ( f ) | M4 180 2 4 复化Simpson公式是收敛的，误差阶是O( h ) ，可以通过 M 4 求出 n 。
4
0.9460832
复化Simpson公式的算法
n n1 h Sn ( f ) f (a ) 4 f ( x2i 1 ) 2 f ( x2i ) f (b) 3 i 1 i 1
ba 其中 h 2n
1. 输入积分区间a,b,等分数n; Y1: 端点的值 2. 令 h=(b-a)/2n; Y2: 半点值 3. 令 Y1=f(a)+f(b),Y2=0,Y3=0; Y3: 内部整节点值 4. 对 i=1,2,...2n-1 令 x=a+ih; 如果 i 为偶数，则 Y3=Y3+f(x); 如果 i 为奇数，则 Y2=Y2+f(x); 5. 令 S=h(Y1+4Y2+2Y3)/3.
2
复化梯形公式是收敛的，误差阶是O( h 以通过 M 2 求出 n 。
1
) ，可
,
x e dx 问题：若用复化梯形公式计算 , 要求误差不超过 0 6 利用余项公式估计，至少用多少个求积节点。 10
复化梯形公式的收敛性
设 f ( x ) C [a , b]
n1 h Tn ( f ) f (a ) 2 f ( xk ) f (b) 2 k 1
1 ( 4) 由介值定理 [a , b] f ( ) f (k ) n k 0 4 b a h ( 4) 余项估计式R ( f ) I S ( f ) f ( ) n n 180 2
( 4)
n 1
复化Simpson公式的余项
设 f ( x ) C 4 [a, b]
终止法则：
I 2n I n
具体过程（以复化梯形公式为例）
n1
h Tn f (a ) 2 f ( xk ) f (b) 2 k 1 h 2、再将区间[a , b] 2n等分，即步长减半： h 1 2 n 1 n 1 h1 T2 n f (a ) 2 f ( xk ) 2 f ( x 1 ) f (b) k 2 k 1 k 0 2
b a
k 0
n 1
n 1
xk 1 xk
f ( x )dx
h f ( xk ) 4 f ( x 1 ) f ( xk 1 ) Rn ( f ) k 6 k 0 2
h 其中 f ( x 1 ) f ( xk ) k 2 2
复化Simpson公式
1 1 1 1 6 Rn ( f ) M4 0.5 10 180 2n 900 2n
解不等式得
4
4
n4
0 1/8 1/4 3/8
将区间 [0,1 8] 等分，分别采用复化Simpson、梯形公式
xi
f ( xi )
1/2
1
5/8
0.997398 0.989688 0.976727
6/8 7/8 1
0.958851 0.936156 0.908858 0.877193 0.841471
复化梯形公式(n=8)
h 1
1 1 3 1 T8 ( f ) f ( 0) 2 f ( ) f ( ) f ( ) 28 4 8 8
8 0.946083070367

数值分析课件第五章2

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